Matematika v šoli XIX. [2013] 031-044 Povzetek V prispevku je predstavljenih nekaj preizkušenih načinov dela, idej, skrbno izbranih nalog za delo z nadarjenimi učenci pri matematiki. Ključne besede: nadarjeni učenci, matematika, geometrijske naloge, naloge iz vsakdanjega življenja, medpredmetno naloge. Naini motiviranja uencev pri pouku matematike Katja Ilc Gimnazija Brežice Samo Repolusk Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko Approaches to Motivation of Pupils at Mathematics Lessons Abstract In the article we first present some theoretical frameworks for learning motivation and subsequently discuss nine different te- chniques, offering an example for each. Key words: mathematical lessons, motivational approaches, le- arning motivation, teaching methods α Uvod s predstavitvijo izhodiš V članku predstavimo devet načinov motiviranja učencev pri pouku matematike. Ti načini so: izhajanje iz pomanjkljivega znan- ja učencev, opazovanje vzorcev, predstavitev izziva, matematični »triki«, prikaz uporabnosti matematike, uporaba razvedrilnih na- log, pripovedovanje slikovitih zgodb, aktivno vključevanje učen- cev v utemeljevanje matematičnih zanimivosti ter uporaba didak- Naini motiviranja uencev pri pouku matematike 32 tičnih modelov in gradiv. Pri predstavitvi načinov motiviranja smo izhajali iz predlo- gov v knjigi The Art of Motivating Students for Mathematics Instruction, avtorjev Alfreda Posamentiera in Stephena Krulika (2011). Učna motivacija obsega vse, kar daje po- bude za učenje, ga usmerja, mu določa in- tenzivnost, trajanje in kakovost (Marentič Požarnik, 2003, str. 184). Različne teorije imajo različne poglede na učno motivacijo. Behavioristična teorija podkrepitve poudar- ja pomembnost posledic nekega ravnanja za njegovo izvajanje. Le-te so lahko pozitivne, kjer gre za zadovoljitev kake potrebe v obliki pohvale, nagrade, ali negativne, kjer gre na primer za podkrepitev zavedanja o neustrez- nosti določenega napačnega ravnanja s ka- znijo. Problem behaviorističnega pristopa je, da človek pri ravnanjih ne izhaja iz notranjih pobud, ampak zgolj od zunaj s sistemom nagrad in kazni. Kognitivna perspektiva po udarja pomembnost ciljev, pričakovanj, razlag in predvidevanj. Pohvala ima lahko pozitiven ali negativen učinek. Negativen v smislu, da ima učenec občutek, da učitelj dvomi o njegovih sposobnostih, če ga na pri- mer pohvali za pravilno rešitev neke lahke naloge. Pri človekovi dejavnosti gre torej za premik k izhajanju iz notranjih pobud. Kon- struktivizem poudarja aktivno vlogo učen- ca pri izgradnji razumevanja. Poudarek je na predhodnem znanju in učenčevi miselni aktivnosti. Socialni konstruktivizem pa opo- zarja na vpliv skupine na učenje in motivi- ranost posameznika. Pomemben je dialog med učenci. Humanistično usmerjeni psi- hologi menijo, da je pomembno, da učenje povezujemo z osebnimi izkušnjami, z rado- vednostjo, s pozitivnimi čustvi in z odnosom spoštovanja in zaupanja med učiteljem in učencem (prim. Marentič Požarnik, 2003). Učna motivacija je lahko zunanja ali no- tranja. Zunanja motivacija se kaže na primer v oceni ali pohvali in ni trajna. Pogosto je povezana s pritiski ali z napetostjo. Viri zu- nanje motivacije so starši, učitelji in vrstniki. Notranja motivacija se kaže v želji po razvoju lastnih sposobnosti, doseči želimo nekaj, kar nas zanima. Določajo jo izzivi, radovednost, interes, samostojno obvladanje nečesa, ne- odvisno odločanje za aktivnost, notranji kriteriji uspešnosti. Prednost notranje mo- tivacije je v zadovoljstvu in njeni trajnosti. Pri spodbujanju notranje motivacije učitelja marsikaj omejuje (že na primer to, da je šola obvezna, da je poudarek na ocenah in v sred- nji šoli posledično na maturi, učni načrt je predpisan). Zunanja in notranja motivacija se med seboj prepletata. Zunanje nagrade lahko zmanjšajo notranjo motivacijo, ki je bolj učinkovita. Vendar nekatere učence ne navdihuje notranja motivacija, zato jih mora učitelj spodbuditi z zunanjimi motivacijski- mi sredstvi, da vzbudi začetno ukvarjanje z dejavnostjo (prim. Marentič Požarnik, 2003). V nadaljevanju bomo predstavili prej omenjene načine motiviranja učencev pri pouku matematike. β Naini motiviranja uencev pri pouku matematike Cilj dobrega učitelja je, da se na vsako uro čim bolje pripravi in jo učinkovito izvede. Velik vpliv na dosežek imajo poleg učitelje- vega osebnega odnosa do učencev še moti- vacija, različni poučevalni pristopi in naloge. Učitelji si želimo matematiko približati otro- kovemu izkustvenemu svetu in poleg razvi- janja logičnega in kritičnega mišljenja pred- staviti tudi nekatere vidike njene uporabe (v vsakdanjem življenju in drugih znanostih), 33 njene lepote za človekov intelektualni in du- hovni razvoj, strategije reševanja problemov … To lahko dosežemo preko načrtne skrbi za ustvarjanje pogojev za pozitiven odnos do matematike in izzivov, s katerimi se pri njej srečujejo. Med načini vzpostavljanja pozi- tivnega odnosa je tudi ustrezna motivacija. Ogledali si bomo devet različnih načinov motiviranja in pri vsakem izmed načinov po en zgled. Tukaj gre za enega od možnih na- činov razvrščanja motivacijskih tehnik. Mar- sikatero motivacijo lahko prepoznamo v več kot eni od teh kategorij. Izhajanje iz pomanjkljivega znanja uencev V človekovi naravi je, da si navadno že- limo neko stvar, ki se je lotimo in se nam zdi smiselna, tudi končati. Tako na primer zbiralci sličic želijo zapolniti svoj album do konca, majhni otroci do zadnjega sprašujejo »Zakaj?«, dokler ne pridejo stvari do dna. Na podoben način imajo učenci naravno potre- bo po tem, da svoje znanje razširijo in ne- nehno dopolnjujejo. Običajno učence motivira, če odkrijemo pomanjkljivosti v predznanju, tako da raz- pravljamo o določeni matematični vsebini in učenci sami ugotovijo, v kolikšni meri to vsebino razumejo. Učiteljeva naloga je, da učence aktivira v smeri, da sami poiščejo to »luknjo« v znanju in se sami potrudijo, da jo zapolnijo, kolikor je v domeni njihovih zmož nosti.Ta način motiviranja lahko upo- rabimo pri prav vsaki uri matematike. Predstavili bomo, kako lahko učence mo- tiviramo, tako da izhajamo iz njihovega po- manjkljivega znanja. Ko začnemo obravna- vati novo matematično vsebino, navedemo nekaj enostavnih primerov, ki vsebujejo po- dobne situacije, nato pa primer, kjer se situa- cija nekoliko spremeni, vendar gre še vedno za isto matematično vsebino. Učence na tak način vodimo do nepoznanega pojma in jim zbudimo željo po tem, da nadgradijo svoje znanje pri določeni matematični vsebini. Tak način je boljši kot deduktivni pristop, kjer je ura razdeljena v grobem v dva dela: teorija (frontalni zapis nove vsebine na tablo) in naloge (utrjevanje naučenega). Seveda je to učinkovito, če je pravilno izvedeno. ZGLED 1: Uvod v logaritemsko funkcijo Učenci se bodo prvič srečali z definicijo logaritma. Ker že poznajo potenčno in ek- sponentno funkcijo, navedemo nekaj prime- rov, ki jih bodo znali rešiti z njihovo pomoč- jo in nato primer, kjer bodo odkrili luknjo v svojem znanju. 1. 2 3 = 2. 8 2 = 3. 10 6 = Za temi uvodnimi primeri zastavimo ne- koliko drugačen problem: 4. 7 x = 49 5. 4 x = 64 6. 3 x = 243 7. 10 x = 15603 Tudi pri 4., 5. in 6. primeru učenci nima- jo težav, saj že poznajo eksponentno enač- bo. Ob tem jim povemo, da smo z iskanjem x v resnici že spoznali nov postopek, ki mu bomo rekli logaritmiranje. Poudarimo, da is- kanje logaritma pomeni iskanje eksponenta x. Seveda pa to še ni razlog, zakaj bi morali za iskanje neznanke v eksponentu vpeljati či- sto novo operacijo, zato si bomo pogledali še primer, kjer neznanke ne moremo poiskati kar na pamet, in takšen je 7. primer. Za tem 34 lahko zapišemo definicijo logaritma najprej na konkretni, nato na splošni ravni: log a y = x a x = y. Tako rešimo 7. primer, pri katerem si za izračun logaritma lahko pomagamo z raču- nalom: x = log 10 15603 x 4,19 . Opazovanje vzorcev Učitelj lahko motivira učence s preisko- vanjem vzorcev. Pri tem mora biti spreten, njegova navodila naj bodo diskretna, tako da imajo učenci občutek, da so sami prišli do ideje. Takšen način je bistven za izboljšanje njihovega razumevanja in spoznanja. Različne načine reševanja problemov in preiskovanja vzorcev lahko uporabimo za predstavitev novih pojmov, ki jih bomo obravnavali v prihodnje. Pri opazovanju vzorca in odkrivanju splošne lastnosti gre za induktivno sklepanje. Splošno lastnost v obliki obrazca lahko izpeljemo na enostaven in eleganten način s sredstvi, ki so učencem na voljo pri preiskovanju vzorca. Preiskovanje vzorcev ni vedno uporabno. Kadar pa je, je zelo učinkovito. Vzorce srečujemo vsak dan. Človek se je že od nekdaj ob ukvarjanju z matematiko srečeval tudi z vzorci: opazovanjem in napo- vedovanjem določenih pravil. Učenci gredo pri raziskovanju vzorcev skozi več korakov. Najprej zberejo podatke, ki jih uredijo v nek smiselni red. Nato poskušajo poiskati vzorec, s pomočjo katerega dobijo iskani obrazec oziroma definicijo. Vendar moramo paziti na pasti pri vzorcih, saj ne moremo vedno na podlagi posameznih primerov sklepati o splošnemo brazcu. Primer pasti je opisan v drugem zgledu. V osnovni šoli so primerni ne le algebra- ični vzorci (npr. številska zaporedja), ampak tudi slikovni vzorci (npr. z liki, barvami …). ZGLED 2: Potence z negativnim celim in nielnim eksponentom Učenci že poznajo potence z naravnimi eksponenti, in sicer na način, da 5 n pomeni produkt n faktorjev števila 5. Ko jih vpraša- mo, kaj je n, bodo najverjetneje odgovorili, da je n naravno število. Naslednji način jih bo spodbudil, da upoštevajo tudi negativna cela števila in število 0. Oglejmo si naslednje primere: Sedaj nadaljujemo vzorec tako, da desno stran delimo s 3, na levi strani pa eksponent za 1 zmanjšujemo. Na tablo zapišemo dva pri- mera, ostale primere naj zapišejo učenci sami: To bo učence motiviralo za nadaljnjo obravnavo negativnih celih eksponentov. Sedaj ne moremo reči, da pomeni na primer x -3 produkt -3 faktorjev števila x. Z uporabo pravil računanja z eksponenti lahko vpelje- mo pomen negativnih celih eksponentov. Oglejmo si primer: . Naini motiviranja uencev pri pouku matematike 35 Ta ulomek smo okrajšali, tako kot ga učenci že znajo. Če upoštevamo pravila za računanje z eksponenti, dobimo naslednji rezultat: . Iz tega vidimo, da bi bilo v redu, če bi veljalo: . Zato tudi tako definira- mo pomen negativnih celih eksponentov in ostane naš sistem skladen. Pri ničelnem eksponentu pa gledamo na problem na naslednji način: , kjer je , kar je enako . Iz tega vidimo, da je . Tudi tu nima pomena, da rečemo, da je to produkt faktorjev števila x. Definiramo , da ostanemo dosledni s pravili raču- nanja z eksponenti. Učence vprašamo, kaj bi pomeni- lo 0 0 . Na podoben način kot prej vidimo: ; k je naravno število. To seveda nima pomena, saj je , pa je nedoločeno. Na podoben način ne moremo definirati 0 -k , ker bi to pomenilo , kar pa ni definirano. Tako učenci ugotovijo, da osnova ne sme biti enaka 0, če je eksponent negati- ven ali enak 0. Sedaj definiciji in dobita pomen. ZGLED 3: Pasti pri vzorcih Induktivno sklepanje je lahko tudi ne- varno. Med vzorci pogosto obravnavamo številska zaporedja, za katera pa vemo, da jih lahko nadaljujemo na neskončno mnogo načinov. Formalna utemeljitev o različnih načinih nadaljevanja istega zaporedja bo za učence morda pretežka, zato si pomagamo s kakšnim konkretnim problemom. Oglejmo si primer zaporedja: . Učenci bi običajno kot naslednji člen zaporedja pred- videli število , mi pa jim na konkretnem primeru pokažemo, da lahko sledi tudi šte- vilo 31. Tak primer je lep za prikaz tega, da induktivno izpeljan sklep ne pripelje nujno do pravilne rešitve in da ni enak dokazu. Narišimo krožnico, na njej izberimo toč- ke in jih paroma povežimo. V tabelo (tabela 1) zabeležimo, na koliko največ delov narisa- ne daljice razdelijo krog, seveda v odvisnosti od števila izbranih točk. Učenci si pomagajo s tem, da narišejo krog in na njem točke, jih povežejo med seboj ter preštejejo dele. Število točk na krožnici Največje število delov, na katere krog razpade 11 22 34 48 51 6 63 1 75 7 89 9 [Tabela 1] Zaporedja S tem primerom učencem nazorno prika- žemo, da se lahko navidezno enolična števil- ska zaporedja nadaljujejo na različne načine. Učitelj mora biti previden, ko predstavlja vzorce, da učencev ne vodi v napačno smer. Samo ugibanje in prepoznavanje vzorca lah- ko služi kot hipoteza, vendar jo moramo, preden ta postane matematični rezultat, po- trditi z dokazom. 36 Predstavitev izziva Učenje je učinkovitejše, če ga znamo pred- staviti kot izziv, ki ga učenec želi rešiti sam. Problem ne sme biti prelahek, saj je naš na- men v učencih zbuditi občutek, da gre za izziv. Vendar pa ne sme biti pretežek, da ne izgubijo volje do reševanja, ker ga ne znajo rešiti. Izziv naj vodi do teme, ki jo želimo obravnavati in za katero želimo motivirati učence. Pripravi- mo jih do tega, da postanejo radovedni in od- prti za novo matematično vsebino, ki jo bodo spoznali. Učitelji, ki imajo v razredu heterogene skupine, morda lahko lažje ustvarijo ustrez- ne skupine po dva ali tri učence, da razmisli- jo o izzivu, ki smo ga predstavili celotnemu razredu. Večje skupine so navadno nepro- duktivne, ker je lahko zraven nekdo pasiven in nekdo, ki bi vse naredil sam. Poleg tega je dobro, da imamo več manjših skupin, saj bodo učenci drugače pristopili k problemu in bodo lahko razredu predstavili različne poti do rešitve. Ta način motivacije lahko uporabimo pri mnogih urah matematike. ZGLED 4: Uvod v geometrijsko vrsto Uro začnemo tako, da učencem zastavimo naslednji izziv: Bi raje zaslužili 100 000 € vsak dan v me- secu ali bi raje zaslužili 1 cent prvi dan, 2 centa drugi dan, 3 cente tretji dan, 4 centov četrti dan, 5 centov peti dan in tako naprej vseh 31 dni? Učenci bodo najverjetneje izbrali prvo možnost, kar bi jim skupno prineslo 3 100 000 €. Pričakujemo, da jih ne bo zanimal seznam centov. Povemo jim, da so se slabo odločili, saj nam druga možnost pri- nese več denarja, in sicer 21 474 836,47 €. To izračunamo po obrazcu = 21 474 836,47. Matematini triki Pri učencih lahko spodbudimo zanimanje in radovednost tudi s predstavitvijo paradok- sov, napačnih sklepanj ali navideznih čarov- nij. Učitelj učencem pokaže, kako enostavno rešimo neke situacije, ki vodijo do nepriča- kovanih rezultatov. Motiviramo jih s tem, da problem, ki je enostavno rešljiv, kratek in se še vedno navezuje na našo temo, predstavi- mo tako, da se učenci vprašajo, kako in zakaj smo do predstavljene rešitve prišli. Takšen način motiviranja je lahko zelo učinkovit, saj učenci vidijo, kako je lahko matematika zabavna in čarobna. Vendar pa takšni zanimivi primeri niso vedno na voljo in jih zato pri uri matematike uporabimo redkeje. Kadar pa so, je vredno vložiti čas in trud za njihovo predstavitev. ZGLED 5: Obravnavanje deljenja z ni Eno izmed pomembnih pravil pri mate- matiki je, da ne smemo deliti z 0. Učencem je smiselno pokazati preprost in nazoren primer, kaj se zgodi pri deljenju z . Najlažje je, če jim preprosto rečemo, da je to prepo- vedano, vendar se bodo še vedno spraševali »Zakaj?«. V nadaljevanju si bomo ogledali enostav- no situacijo s preprostimi algebraičnimi ra- čuni. Učencem napovemo, da bomo »dokazali« enakost 1 = 2. Naini motiviranja uencev pri pouku matematike 37 T a trditev bo verjetno sprožila radovednost in smeh. Začnemo z »dokazom«. Na tablo po- stopoma zapisujemo korake, ki so prikazani spodaj in vsakega posebej komentiramo: 1. Privzemimo: a = b 2. Obe strani pomnožimo z b: ab = b 2 3. Na obeh straneh odštejemo a 2 : ab – a 2 = b 2 – a 2 4. Razstavimo obe strani enačbe: a (b – a) = (b + a)(b – a) 5. Obe strani enačbe delimo z b – a: a = b + a 6. Na desni strani lahko namesto b pišemo a: a = a + a = 2a 7. Obe strani delimo z a: 1 = 2. Učenci bodo najverjetneje zelo začudeni. Vprašamo jih, kje smo naredili napako. Očit- no gre za matematično napako, ker vemo, da 1 ≠ 2. Počasi gremo še enkrat čez vse korake in ugotovimo, da smo naredili napako v pe- tem koraku. Delili smo z 0, saj smo delili obe strani z b – a. Tako pokažemo učencem, da deljenje z 0 pripelje do čudnih in neresničnih rezultatov. Ta motivacijska tehnika nas vodi do razprave o pomembnosti določilnih pogo- jev v matematičnih definicijah in lastnostih. Prikaz uporabnosti matematike Prikaz uporabnosti matematike je ena uspešnejših motivacijskih tehnik pri mate- matiki, saj se veliko učencev sprašuje o njeni uporabnosti in za vsako temo posebej jih za- nima, kje je predstavljena matematična vse- bina uporabna. Matematiko lahko povežemo z drugimi predmeti, na primer fiziko, kemijo, biologi- jo, zgodovino, ekonomijo, športno vzgojo in podobno. Še večji učinek motivacije bomo dosegli, če nam uspe povezati matematično vsebino, ki jo obravnavamo, z vsakdanjimi življenjskimi situacijami in dogodki. ZGLED 6: Uvod v podobne trikotnike Primer, ki ga bomo opisali, nas vodi do teme o podobnih trikotnikih in o uporabi sorazmerja ustreznih stranic. Učenci izraču- najo velikost nekega objekta s pomočjo veli- kosti podobnega objekta. Povemo jim zgodbo, kako je grški mate- matik Tales moral izračunati višine piramid v starem Egiptu. Našel je pametno rešitev. Učence vprašamo, kako je po njihovem mnenju to izračunal. Nekateri učenci bodo morda pomislili, da je uporabil lestev ali kaj podobnega. To ni priročno, saj bi morala biti lestev zelo dolga, da bi lahko prišel do vrha. Najprej lahko ne- kaj časa razpravljamo o različnih možnostih preden povemo, kaj je naredil Tales. Tales je izbral tri točke, da je dobil triko- tnik, in sicer vrh piramide, končno točko njene sence ter pravokotno projekcijo višine na osnovno ploskev. Dobil je dva podobna trikotnika, tako da je uporabil svojo višino in senco ter primerjal to z dolžino sence pira- mide, kot je prikazano na sliki 1. [Slika 1] Podobnost trikotnikov 38 Ker sta trikotnika podobna, je uporabil naslednje razmerje: Talesova višina Talesova senca višina piramide = Senca piramide . To je eden izmed načinov, kako računa- mo s podobnimi trikotniki. Učencem bi lahko dali izziv, kako bi to samo z vrvico in metrom izračunali danes, če bi bilo vreme oblačno. Primeri uporabe matematike so še logari- temska skala v fiziki (potresna jakost, zvočna jakost), eksponentna funkcija pri opazovanju rasti ali upada populacij, v biologiji, odstotki pri kemiji, ekonomiji, statistika pri športni vzgoji, vektorji v fiziki, intervali v glasbi in podobno. Danes lahko take primere učitelj razmeroma hitro najde z brskanjem po sple- tu. Pri tem ni nujno, da učenci razumejo vse podrobnosti uporabe matematike, ampak zadošča že to, da prepoznajo matematiko kot orodje pri opisu nekega realnega pojava ali procesa. Uporaba razvedrilnih nalog Ljudje radi igramo različne igrice. Tudi pri matematiki lahko zastavimo naloge, ki vključujejo razne uganke, paradokse, igrice in podobne matematične probleme. Razved- rilni problemi in matematične igrice pri- kažejo matematiko na zabaven način. Pred leti je postala svetovno znana matematična igrica Sudoku, ki jo rešujejo tako otroci kot tudi odrasli. Če primerno uporabimo ma- tematične igrice pri pouku, je ta način mo- tiviranja lahko zelo uporaben za učitelje pri vpeljavi nove snovi. Ne le, da učence s tem motiviramo, damo jim tudi občutek uspeha ob reševanju problemov. Na ta način si želijo raziskovati dalje in imajo željo po spozna- vanju novih vsebin. Ko učitelj izbira naloge, mora biti pozoren na to, da ne zaide stran od matematične vsebine, ki jo obravnava. Ne- katere razvedrilne naloge so lahko sestavni del snovi, ki jo obravnavamo, lahko pa jih uporabimo samo za razvedrilo. Za pravo motivacijsko moč izbiramo kratke in prijet- ne naloge. Čeprav so včasih te naloge nekoli- ko nepraktične in neživljenjske, so po drugi strani zabavne, povečajo zanimanje, spodbu- jajo intelektualno radovednost in omogočajo raziskovanje matematičnih tehnik in kon- ceptov. Da je ta motivacijska tehnika učinko- vita, moramo učencem omogočiti, da uspeh dosežejo z razvedrilnimi nalogami brez pre- velikega napora. Najboljši primeri razvedrilnih nalog so tis ti, ki pokažejo zahtevnost, vendar so hkrati presenetljivo enostavno rešljivi. Učitelj mora pri izbiri nalog biti pozoren, da niso prelah- ke, saj se bodo učenci morda počutili prema- lo izzvane, a tudi ne pretežke, da bi bile izven dosega večine učencev. Razvedrilne naloge so nam pri vpeljavi snovi redkeje na voljo. ZGLED 7: Razvijanje loginega mišljenja Predstavimo primer uvoda v naravna šte- vila, ki ga osredotočimo na to, da si učenci vzamejo čas, da razmislijo o matematičnem problemu, preden se spoprimejo z njim. Po- gosto se zgodi, da takoj začnemo reševati nek problem in se vanj zaletimo, ne da bi prej o njem dobro premislili. Palindrom je število, ki ga naprej in nazaj preberemo enako, kot je na primer 353 ali 7117. Koliko palindromov je med številoma 1 in 1000, vključno z njima? Učenci bodo najverjetneje pristopili tako, da si bodo začeli zapisovati vsa števila in Naini motiviranja uencev pri pouku matematike 39 bodo iz tega poskušali ugotoviti, katera iz- med njih so palindromi. Ta način je neroden in dolgotrajen, poleg tega pa se hitro zgodi, da katerega izmed palindromov izpustimo. Izbrati moramo primerno strategijo reševa- nja problema in tako najprej poskusimo, če si lahko pomagamo z vzorcem, da rešimo problem. Oglejmo si tabelo 2: Rang Število palindromov Skupno število 1 – 9 9 9 10 – 99 9 18 100 – 199 10 28 200 – 299 10 38 300 – 399 10 48 … [Tabela 2] Palindromi Vidimo, da vzorec obstaja. Po številu 99 je v vsaki skupini 100 števil natanko 10 palin- dromov. To pomeni, da dobimo 9 nizov po 10, kar je 90 palindromov, prištejemo pa še 18 in dobimo, da je med številoma 1 in 1000, vključno z njima, skupno 108 palindromov. Ta problem lahko rešimo še na drugačen način. Pogledamo najprej vsa enomestna šte- vila, za katera vemo, da so že sama po sebi palindromi. Teh je 9. Dvomestnih palindro- mov (obe števki sta enaki) je ravno tako 9. Trimestna števila imajo 9 možnih »zunan- jih« števk in 10 »vmesnih« števk, zato jih je 90. Tako pridemo do istega rezultata kot prej, torej je med številoma 1 in 1000, vključno z njima, skupno 108 palindromov. To je pri- mer motivacijske tehnike, ki bi jo lahko uvr- stili tudi med opazovanje vzorca. Pripovedovanje slikovitih zgodb Kadar matematiko povežemo z zgodovi- no in povemo kakšno zanimivo zgodbo, ki je povezana z matematičnim raziskovanjem, učence motiviramo, saj so nekatere zgodbe lahko tudi poučne oz. nosijo sporočilo, ne- katere so zgolj zabavne, nekatere so resnič- ne, druge spet ne. Učenci se seznanijo tudi s tem, kako so v preteklosti znani matematiki razmišljali. S takšnimi zgodbami učenci drugače gledajo na matematične enačbe, obrazce in simbole. Prednost pripovedovanja slikovitih zgodb je v čudenju in obujanju otroške ra- dovednosti, v spoznavanju zgodovinskega in kulturnega okolja, v katerem je matematika nastajala, in v vedenju, da se za obrazci skri- vajo usode ljudi, neprespane noči, tudi tra- gedije, trdo delo, zgodovinski preobrati … Na ta način učenci matematiko doživijo kot sooblikovalko kulture in civilizacije. Zaveda- jo se premišljenih načinov, ki so bili odkriti skozi leta in ne kot takojšnji rezultati, ki jih zapišemo na tablo, kot so navadno predstav- ljeni v šoli. Zavedati se moramo, da večina ljudi rada prisluhne kakšni dobri zgodbi, kjer jih rado- vednost pripelje do tega, da želijo izvedeti, kakšen je zaključek. Zgodba bo učinkovito pedagoško orodje, če je učitelju, ki jo pripo- veduje, tema zgodbe všeč, če dela primerne prekinitve, in če zgodbo povez navdušenjem. Slabo povedana zgodba ima lahko negativen učinek, ravno obratno kot je bil naš namen. Izogibati se moramo tudi temu, da zgodbo povemo prehitro, samo zato, da pridemo do zaključka in naredimo uvod v matematično vsebino, ki jo bomo obravnavali. Tako zgod- ba ni le neučinkovita, ampak gre tudi za iz- gubo časa. Motivacija bo še bolj učinkovita, 40 če bomo zgodbo povedali na smešen način, lahko vpletemo še kakšno šalo. Upoštevati moramo tudi starost učencev. ZGLED 8: Praštevila Učencem na začetku povemo, da obstaja veliko matematičnih problemov, za katere še niso našli rešitev. Takšni problemi so vča- sih postavljeni kot uganka ali domneva brez dokaza. Enega izmed takšnih primerov je predstavil grški matematik Christian Gold- bach (1690–1764) v pismu Leonardu Eulerju (1707–1783), ki ga je poslal 7. junija 1742. Ta znani primer iz teorije števil se imenuje Goldbachova domneva, ki še ni bila dokaza- na. Glasi se: Vsako sodo število, večje od 2, lahko zapišemo kot vsoto dveh praštevil. Soda števila večja od Vsota dveh praštevil [Tabela 3] Goldbachova domneva Kot zanimivost lahko učencem povemo, da je angleški založnik TobyFaber ponudil milijon dolarjev tistemu, ki mu uspe do 15. marca 2002 dokazati to domnevo. Veliko znanih matematikov jo je poskušalo dokaza- ti. 16. februarja 2008 je portugalski profesor Tomas Oliveira e Silva pokazal, da domneva velja do števila 1,1 ∙ 10 18 . Učenci naj zapišejo seznam sodih številin njihove vsote dveh praštevil (tabela 3). Tako naj nadaljujejo, da se prepričajo, da se to oči- tno nadaljuje v neskončnost. ZGLED 9: Veliki Fermatov izrek V eliki Fermatov izrek pravi, da je nemo- goče zapisati potencoštevila kot vsoto dveh potenc enakih stopenj, če je potenca večja kot dva. Enačbo x n + y n = z n imenujemo Fer- matova enačba. Izrek je eden od najbolj zna- nih izrekov v zgodovini matematike. Učenci lahko sami poiščejo primere za n = 1 in 2, za n = 3 in večje pa jih pustimo kratek čas, da preiskujejo z računalom. Pri n = 2 lahko hitro najdemo iskana števila. To so ravno pitagorejske trojice: x 2 + y 2 = z 2 . Znameniti francoski matematik Fermat (1601–1665) je domneval, da obstajajo cele netrivialne rešitve samo pri n = 2, pri n > 2 pa po njegovi domnevi ni nobene netrivialne rešitve (trivialne rešitve so tiste, pri katerih je ena od spremenljivk enaka nič, take pa seve- da obstajajo pri vsakem ). Slavni Fermatov problem je poiskati dokaz ali protidokaz te domneve. Od Fermatovih časov do danes je mnogo matematikov poskusilo dokazati ali ovreči domnevo. Zanimivo je, da je Fermat zapisal, da je našel dokaz za svojo trditev, ki pa ga ni nikjer objavil. Pravega dokaza niso našli 357 let, dokler ga ni končno rešil An- drew John Wiles. Objavljen je bil leta 1995. Naini motiviranja uencev pri pouku matematike 41 Aktivno vkljuevanje uencev v utemeljevanje matematinih zanimivosti Obstaja veliko trikov s števili, ki krožijo po internetu. Ljudje se sprašujejo, kako se lahko to zgodi. To je navadno mogoče pojas- niti s pomočjo enostavne algebre in je lahko dobra motivacijska tehnika. Takšne zanimive primere izberemo tako, da učencem zbudimo zanimanje za matema- tično vsebino, ki sledi, in ti primeri morajo biti ustrezni glede na starost učencev. Pri teh zanimivostih moramo biti previdni, saj ne smejo prevladati nad matematično vsebino, ki jo želimo obravnavati. Januar Februar Marec 3. Michael Schumacher 6. Bob Marley 4. Antonio Vivaldi 3. Mel Gibson 19. Nikolaj Kopernik 10. ChuckNorris 8. Elvis Presley   14. Albert Einstein 27. W . A. Mozart   25. Elton John April Maj Junij 3. Eddie Murphy 10. Bono 9. Johnny Depp 15. Leonardo da Vinci   14. Che Guevara 20. Adolf Hitler   18. Paul McCartney 23. William Shakespeare     Julij Avgust September 3. Franz Kafka 15. Napoleon Bonaparte   24. Jennifer Lopez 16. Madonna     29. Michael Jackson   Oktober November December 9. John Lennon 2. Borut Pahor 5. Walt Disney 25. Pablo Picasso 11. Leonardo DiCaprio 18. Brad Pitt   26. Tina Turner   [Tabela 4] Znane osebnosti ZGLED 10: Uvod v verjetnost Pri tem primeru je priporočljivo, da ima- mo razred s čim več učenci, recimo okoli 30. Najprej preverimo, ali imata dva učenca v tem konkretnem razredu na isti dan rojstni dan.Nato učence vprašamo, kakšna je verje- tnost, da imata dva sošolca rojstni dan na isti datum (upoštevamo mesec in dan). Učenci navadno začnejo razmišljati o ver- jetnosti, da imata 2 osebi isti datum v 365 dneh (predpostavimo, da ni prestopno leto). 42 Učencem pokažemo primer, kjer smo iz- brali 30 naključno izbranih znanih osebnosti. Poiskali smo datume njihovih rojstnih dni in jih po vrsti zapisali. Med njimi imata dva isti datum (tabela 4). Vidimo, da imata 3. januarja rojstni dan Michael Schumacher in Mel Gibson. Če nam čas dopušča, lahko za popestritev povemo kaj o njiju ali učence vprašamo, če vedo kaj o njiju in sami povejo. Učenci bodo prese- nečeni, ko bodo izvedeli, da je verjetnost, da imata dve osebi od na isti datum rojstni dan, več kot 0,7. Vodimo jih do utemeljitve te ne- pričakovane verjetnosti na naslednji način: Kolikšna je verjetnost, da ima en učenec na isti datum rojstni dan kot ga ima sam? Se- veda je odgovor 1. To zapišemo kot . Verjetnost, da nek drugi učenec nima na isti datum rojstni dan kot naš izbrani, je . Verjetnost, da nek tretji učenec nima na isti datum rojstni dan kot naša dva izbrana, je . Verjetnost, da vseh učencev nima na isti dan rojstni dan, je produkt vseh teh verjetnosti: Naj bo q verjetnost, da imata dva učenca iz skupine na isti datum rojstni dan in naj bo p verjetnost, da dva učenca iz skupine nima- ta na isti datum rojstni dan. Vsota teh dveh verjetnosti je 1, torej p + q =1 . V tem primeru je = 0,7063162427. Učenci si bodo želeli raziskati kaj več o verjetnostni funkciji. V tabeli 5 imamo na- štetih nekaj primerov verjetnosti ujemajočih rojstnih datumov za različno velike skupine: Število ljudi v skupini Verjetnost ujemajočih rojstnih datumov [Tabela 5] Verjetnost ZGLED 11: Branje misli Ta enostaven primer bo navdušil učence. Predvidevamo, da bodo vsi sodelovali pri tej »igrici« in nas pozorno spremljali. Vodimo jih do teme o algebraični predstavitvi in do- kazu. Lahko si izmislimo različne primere, v tabeli 6 je opisan eden izmed njih. Kora k 1: Zamisli si število. x Korak 2: Podvoji število. 2x Korak 3: Prištej 8. 2x + 8 Korak 4: Odštej 2. 2x + 6 Korak 5: Deli z 2. x + 3 Korak 6: Odštej prvotno število. 3 Korak 7: Tvoj rezultat je 3. [Tabela 6] Branje misli Učenci bodo presenečeni, kako vemo, kaj imajo v mislih. Povemo jim, da nismo čarov- niki in ne beremo misli, ampak se vse skriva v zgornjem algoritmu. Učenci naj poskusijo še sami sestaviti kakšen podoben primer. Naini motiviranja uencev pri pouku matematike 43 Uporaba didaktinih modelov in gradiv Za večino učencev je najboljši način moti- viranja, da jim snov predstavimo s pomočjo didaktičnih pripomočkov. Za lažje dojeman- je in razumevanje matematične vsebine jim lahko pripravimo razne konkretne materia- le, ki jih lahko primejo v roke, morda kakšne video posnetke, kjer so na primer prikazani postopki konstrukcije raznih geometrijskih objektov, uporabimo lahko kakšen računal- niški program, na primer GeoGebro, upora- bimo aplete, uporabimo informacije na sve- tovnem spletu ... Pri izbiri takšnega gradiva in načrtovanju ure smo pozorni, da motivi- ramo učence v smeri matematične vsebine, ki jo želimo obravnavati, in ne odstopamo od glavne teme. Menimo, da je ta način poleg praktične uporabe matematike eden izmed najboljših in najučinkovitejših, saj nam je vsem ljudem prirojeno, da moramo nekaj iz- kusiti, prijeti, videti in slišati, da si lažje zapo- mnimo. Pri tem bodo sodelovali tudi učenci, ki imajo morda do matematike odpor, in ki se je na nek način bojijo. Seveda ne moremo vsake ure izpeljati na takšen način, saj vza- me precej časa, vendar je priporočljivo, da se tak šne ure izvedejo čim pogosteje. ZGLED 12: Trikotniška neenakost Za izpeljavo tega primera potrebujemo zavoj špagetov. Učenci bodo presenečeni, ko bomo v učilnico vstopili s špageti. S pomočjo špagetov bomo utrdili kon- cept trikotniške neenakosti. Vsakemu izmed učencev razdelimo po deset špagetov. Vsake- ga morajo razlomiti na tri dele. Nato mora- jo vzeti poljubne tri dele in na mizi sestaviti različne trikotnike. Ali lahko vedno sestavi- jo trikotnik? S poskušanjem jih vodimo do tega, da ugotovijo, da lahko trikotnik sestavi- mo le, če je vsota dveh stranic večja od tretje stranice. Učenci vedo, da je najkrajša razdalja med dvema točkama daljica. To dejstvo lahko uporabimo, da pridemo do trikotniške ne- enakosti: Vsota dolžin poljubnih dveh stranic trikotnika mora biti večja od dolžine tretje stranice. Dokaz za to razmerje je enostaven. Oglej- mo si poljuben trikotnik ABC, kot je prika- zano na sliki 2 in izberimo točko D na nosilki stranice BC, tako da je |CD| = |CA|. [Slika 2] Trikotnik Trikotnik DAC je enakokrak, zato sta kota ADC in CAD skladna in kot BAD je večji od kota ADC. Iz tega sledi, da je v tri- kotniku ABD stranica BD daljša od stranice AB, saj je v trikotniku nasproti večjega kota daljša stranica. Vemo, da je |CD| = |CA| in |BD| = |BC| + |AC|. Zato je |BC| + |AC| > |AB|, kar smo želeli dokazati. γ Zakljuek Velikokrat se lahko zgodi, da matemati- ka postane učencem nezanimiva, predvsem zaradi abstraktnosti. Učitelji lahko naredimo marsikaj, da bodo učenci ta predmet vzlju- bili in ne bodo imeli odpora do učenja. Pri A B C D 44 δ Viri in literatura: 1. Posamentier, A., Krulik, S. (2011). The Art of Motiva- ting Studentsfor Mathematics Instruction. McGraw- Hill Education – Europe. 2. Marentič Požarnik, B. (2003). Psihologija učenja in pouka. Ljubljana: DZS. 3. Ilc, K. (2012). Načini motiviranja učencev pri pouku ma- tematike: diplomsko delo. Maribor: FNM UM, spletna stran: http://dkum.uni-mb.si/Dokument.php?id=28829 tem je zelo pomembna učna motivacija. Po- magamo si lahko s predstavljenimi primeri. Zanimive primere lahko najdemo na spletu, v raznih knjigah, kjer so zbrane razvedrilne matematične naloge ali knjige iz zgodovine matematike, kjer so zbrane različne zgodbe. Ko enkrat spoznamo načine motiviranja pri pouku matematike, si lažje tudi sami pripra- vimo nove primere motivacij. Če bi učitelji matematike posvetili nekoliko več časa na- činom motiviranja, bi v razredu lažje delali. Ko enkrat učence uspemo motivirati in zbu- diti v njih zanimanje za določeno matema- tično vsebino, smo naredili velik korak na poti k cilju. Glavni korak pa morajo narediti še učenci in se učiti – tega učitelj ne more namesto njih. Cilj motiviranja je večje pre- vzemanje odgovornosti učencev za lastno znanje, skrb učitelja za kakovost pouka, ve- čanje radovednosti in ustvarjalnosti učencev, spodbujanje pozitivnega odnosa do mate- matike in znanja nasploh. Učenci bodo po formalnem izobraževanju pozabili mnogo dejstev, ki so se jih naučili, ne bodo pa izgu- bili ustvarjalnosti, radovednosti in pozitiv- nega odnosa do matematike, znanja in dela, kar jim lahko pomagamo razvititudi preko ustrezne motivacije. Naini motiviranja uencev pri pouku matematike