ELEKTROTEHNI ˇ SKI VESTNIK 92(3): 97–103, 2025
IZVIRNI ZNANSTVENI ˇ CLANEK
Oddaljenost neperiodiˇ cnih binarnih zaporedij glede
na dve meri avtokorelacijskih lastnosti
Janez Brest
1
, Aljaˇ z Brest, Blaˇ z Pˇ seniˇ cnik, Jan Popiˇ c, Borko Boˇ skovi´ c
Laboratorij za raˇ cunalniˇ ske arhitekture in jezike, Inˇ stitut za raˇ cunalniˇ stvo, Fakulteta za elektrotehniko,
raˇ cunalniˇ stvo in informatiko, Univerza v Mariboru, Koroˇ ska cesta 46, 2000 Maribor, Slovenija
1
E-naslov: janez.brest@um.si
Povzetek. V ˇ clanku opisujemo binarna zaporedja, kjer se omejimo na aperiodiˇ cne avtokorelacijske funkcije.
V literaturi sta znani dve meri za ocenitev avtokorelacijskih lastnosti, in sicer merit faktor in najviˇ sji nivo
stranskega reˇ znja. V praksi so potrebna binarna zaporedja, ki imajo ˇ cim boljˇ so vrednost glede na eno ali drugo
mero, saj ˇ zelimo pri komunikacijah poslati signal najboljˇ se kakovosti z najmanjˇ so porabo energije. Znano je
tudi, da ˇ ce ˇ zelimo izboljˇ sati eno mero, drugo pokvarimo. V ˇ clanku nas zanima, koliko sta narazen dve binarni
zaporedji, kjer eno optimiziramo glede na merit faktor, drugo pa na najviˇ sji nivo stranskega reˇ znja. Odgovorimo
tudi na vpraˇ sanje, ali je pri optimizaciji smiselno uporabiti sinergijo obeh mer.
Kljuˇ cne besede: binarna zaporedja, nizke avtokorelacijske vrednosti, najviˇ sji stranski reˇ zenj, merit faktor
Distance of nonperiodic binary sequences with respect to
two measures of autocorrelation properties
The paper describes binary sequences of aperiodic autocorre-
lation functions. Two measures to evaluate the autocorrelation
properties are known in the literature, i.e., the merit factor and
the peak sidelobe level. In practice, binary sequences of the
best possible value with respect to one or the other measure
should be used as communication systems need to transmit the
signal of optimal quality while minimizing power consump-
tion. As known, when one measure is improved, the other
deteriorates. The paper investigates how far the two binary
sequences are apart when they are optimized according to both
measures. The issue of whether using both measures together
is beneficial for problem optimization is also discussed.
Keywords: binary sequences, low autocorrelation functions,
peak sidelobe level, merit factor
1 UVOD
Binarna zaporedja, ki imajo dobre avtokorelacijske last-
nosti, so v praksi zelo zaˇ zelena. Njihovo uporabnost
najdemo v digitalnih komunikacijah, procesiranju sig-
nalov [25], [26], [13] in kriptografiji, z njimi pa se
ukvarjajo tudi v fiziki [2], [21], kemiji in matematiki [3],
[1], [23], [4], [12], [24].
Uporaba takˇ snih zaporedij v digitalnih komunikacijah
omogoˇ ca uˇ cinkovit prenos informacij. Najenostavnejˇ sa
fazna modulacija preklaplja med dvema fazama, po
navadi med 0
◦ in 180
◦ , kar lahko oznaˇ cimo s + in
− . Takˇ sno zaporedje je sestavljeno iz elementov dveh
Prejet 6. marec, 2025
Odobren 18. april, 2025
Avtorske pravice: © 2025
Creative Commons Attribution 4.0
International License
vrednosti, zato ga imenujemo binarno zaporedje. Cilj
satelitskih komunikacij je poslati signal najboljˇ se kako-
vosti z najmanjˇ so porabo moˇ ci in najmanjˇ so pasovno
ˇ sirino s pomoˇ cjo najenostavnejˇ se strojne opreme [27].
Na iskanje binarnih zaporedij lahko pogledamo kot na
optimizacijski problem. V literaturi sta znani dve meri, s
katerima ocenimo, kako dobre avtokorelacijske lastnosti
ima dano binarno zaporedje. To sta Golayev faktor (angl.
Golay’s merit factor) [16] in najviˇ sji nivo stranskega
reˇ znja (angl. Peak Sidelobe Level) [19]. Golayev faktor
bomo oznaˇ cili z MF, najviˇ sji nivo stranskega reˇ znja pa
s PSL.
Razlikujemo dve skupini avtokorelacijskih funkcij:
periodiˇ cne in aperiodiˇ cne (neperiodiˇ cne). Za prvo sku-
pino v literaturi najdemo konstrukcijske metode za
generiranje binarnih zaporedij, ki ustrezajo nekaterim
kriterijem. Pregledni ˇ clanek [15] predstavlja aperiodiˇ cna
zaporedja in njihovo uporabo pri aktivnem zaznavanju.
V tem ˇ clanku se bomo omejili na aperiodiˇ cna binarna
zaporedja. Omenimo ˇ se predhodni objavi na konferenci
ERK [7], [10].
Osnovno vpraˇ sanje, s katerim se ukvarjamo v ˇ clanku,
je sledeˇ ce. Dani imamo binarni zaporedji dolˇ zine L in
prvo zaporedje naj ima minimalno vrednost PSL, drugo
pa maksimalno vrednost MF. Zanima nas, koliko se
razlikujeta ti binarni zaporedji.
Glavna doprinosa v ˇ clanku sta naslednja:
• Podan je odgovor, za koliko se razlikujeta binarni
zaporedji dolˇ zine L, ˇ ce primerjamo tisto z naj-
boljˇ sim merit faktorjem s tisto z najboljˇ so vredno-
stjo PSL.
• Na podlagi eksperimentalnega dela smo izpeljali
odvisnost med razliko binarnih zaporedij in njihovo

98 J. BREST, A. BREST, P
ˇ
SENI
ˇ
CNIK, POPI
ˇ
C, BO
ˇ
SKOVI
´
C
dolˇ zino.
Preostanek ˇ clanka je organiziran sledeˇ ce. V 2. po-
glavju opiˇ semo problem iskanja aperiodiˇ cnih binar-
nih zaporedij z nizkimi avtokorelacijskimi vrednostmi.
V 3. poglavju predstavljamo osrednji del ˇ clanka. V njem
podamo glavni rezultat, kako je razdalja med binarnimi
zaporedji z najboljˇ simi znanimi vrednostmiMF in zapo-
redji z najboljˇ simi znanimi vrednostmi PSL odvisna od
njihove dolˇ zine. Sledi zakljuˇ cno poglavje, kjer podamo
kratko diskusijo in izpostavimo smernice za nadaljnje
raziskave.
2 OPIS PROBLEMA
Binarno zaporedje S:
S = (s
0
,s
1
,...,s
L− 1
), (1)
dolˇ zine L je zaporedje, kjer imajo vsi elementi s
i
, i ∈ { 0,...,L − 1} le dve vrednosti, in sicer+1 ali− 1. Ape-
riodiˇ cna avtokorelacijska funkcija binarnega zaporedjaS
pri zamiku k je definirana kot:
C
k
(S) =
L− k− 1
X
i=0
s
i
s
i+k
, za k =− (L− 1),..., − 1, 0, 1,...,L − 1. (2)
Prva mera, s katero opiˇ semo kakovost binarnega za-
poredja, je najviˇ sji nivo stranskega reˇ znja, ki je defini-
rana [20]:
PSL(S) =
L− 1
max
k=1
|C
k
(S)|. (3)
Glavni cilj v praksi je poiskati binarna zaporedja, ki
imajo minimalno vrednost PSL. Reˇ zenj C
0
imenujemo
glavni reˇ zenj, preostali (C
k
,k = 1, 2,...,L − 1) pa pred-
stavljajo stranske reˇ znje. Stranski reˇ znji so simetriˇ cni,
kar lahko vidimo tudi v enaˇ cbi (2), in se pojavijo na obeh
straneh ob glavnem reˇ znju.
ˇ
Zelimo, da imajo binarna
zaporedja ˇ cim niˇ zjo vrednost PSL. Druga mera za kakovost binarnega zaporedja S je
Golayev faktor MF [17], ki ga izraˇ cunamo:
MF(S) =
L
2
2E(S)
, (4)
kjer je energija E zaporedja S definirana kot:
E(S) =
L− 1
X
k=1
C
2
k
. (5)
ˇ
Zelimo, da imajo binarna zaporedja ˇ cim viˇ sji MF, kar
z drugimi besedami pomeni ˇ cim manjˇ so energijo E.
Naj bo S
L
mnoˇ zica vseh binarnih zaporedij dolˇ zine
L. Z MF
L
oznaˇ cimo optimalno (maksimalno) vrednost
merit faktorja v mnoˇ zici S
L
:
MF
L
= max
S∈ S
L
MF(S). (6)
V sploˇ sni obliki problem labs (binarna zaporedja z
nizkimi avtokorelacijskimi vrednostmi) lahko zapiˇ semo
kot [19]:
limsup
L→∞ MF
L
. (7)
Vrednost limite v enaˇ cbi (7) ˇ se dandanes ostaja ne-
znanka in problem labs nereˇ sen. Golay [18] je zapisal
domnevno asimptotiˇ cno vrednostMF = 12, 3248 za zelo
dolga zaporedja. Do danes ˇ se ne poznamo binarnega
zaporedja, ki bi imelo MF≥ 10 pri L > 13, ˇ ceprav
raˇ cunalniˇ ska zmogljivost raste iz dneva v dan in nam
omogoˇ ca iskanje daljˇ sih zaporedij.
2.1 Zgled
Prikaˇ zimo izraˇ cun avtokorelacijskih funkcij na binar-
nem zaporedju s sedmimi elementi (L = 7):
S = (s
0
,s
1
,s
2
,s
3
,s
4
,s
5
,s
6
). S pomoˇ cjo enaˇ cbe (2) izraˇ cunamo vrednosti avtokorela-
cijskih funkcij C
k
za k = 1, 2,..., 6:
C
1
=s
0
s
1
+s
1
s
2
+s
2
s
3
+s
3
s
4
+s
4
s
5
+s
5
s
6
, C
2
=s
0
s
2
+s
1
s
3
+s
2
s
4
+s
3
s
5
+s
4
s
6
, .
.
.
C
6
=s
0
s
6
. ˇ
Clen C
0
smo izpustili, saj ni vkljuˇ cen v enaˇ cbah (3)
in (4). Omenimo, da ima vsak C
k
natanko L− k
elementov. Za nekaj primerov zaporedij za L = 7 in
L = 21 so izraˇ cunane vrednosti PSL in MF prikazane
v tabeli 1. Izpostavimo lahko:
• Pri dolˇ zini L = 7 lahko opazimo, da ima binarno
zaporedje s PSL = 1 vrednost MF = 8, 16667 (to
je S
4
), torej najniˇ zji PSL in najviˇ sji MF.
• Pri dolˇ zini L = 21 pa lahko opazimo, da najniˇ zji
PSL in najviˇ sji MF nista v korelaciji, torej vidimo,
da ima binarno zaporedje S
7
vrednosti PSL = 2
(najniˇ zji znaniPSL) inMF = 6, 48529, medtem ko
ima binarno zaporedjeS
8
vrednostiMF = 8, 48077
(najviˇ sji znani MF) in PSL = 3.
Absolutne vrednosti avtokorelacijskih funkcij za bi-
narni zaporedji S
7
in S
8
so prikazane na sliki 1. Pri
zaporedju S
8
opazimo, da imata C
6
in C
18
vrednost
− 3 (absolutno vrednost 3) ter simetriˇ cno enako na levi
strani slike.
ˇ
Ceprav ima zaporedje S
7
slabˇ so vrednost
PSL, dosega boljˇ so (viˇ sjo) vrednost MF.
Zaporedje S
4
, kjer je PSL = 1, je tudi optimalno
za dolˇ zino 7 in je znano kot Barkerjevo zaporedje (po
definiciji so to zaporedja s PSL = 1). Omenimo ˇ se,
da ima najdaljˇ se znano Barkerjevo zaporedje dolˇ zino
L = 13.

ODDALJENOST NEPERIODI
ˇ
CNIH BINARNIH ZAPOREDIJ GLEDE NA MERI A VTOKORELACIJSKIH LASTNOSTI 99
Tabela 1: Vrednosti PSL in MF izbranih binarnih zaporedij dolˇ zin L = 7 in L = 21.
L Binarno zaporedje PSL MF
7 S
1
= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 6 0, 26923
7 S
2
= (− 1,− 1,− 1, 1, 1, 1, 1) 4 0, 7
7 S
3
= (1,− 1, 1, 1, 1, 1, 1) 3 1, 28947
7 S
4
= (1, 1, 1,− 1,− 1, 1,− 1) 1 8,16667
21 S
5
= (1,− 1, 1,− 1, 1,− 1, 1,− 1, 1,− 1, 1,− 1, 1,− 1, 1,− 1, 1,− 1, 1,− 1, 1) 20 0, 07682
21 S
6
= (− 1,− 1,− 1,− 1, 1, 1,− 1,− 1,− 1,− 1,− 1, 1,− 1, 1,− 1, 1, 1,− 1, 1, 1,− 1) 3 2, 97973
21 S
7
= (− 1, 1, 1,− 1, 1,− 1, 1, 1,− 1, 1, 1, 1,− 1, 1, 1, 1, 1, 1,− 1,− 1,− 1) 2 6, 48529
21 S
8
= (− 1,− 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,− 1,− 1, 1, 1,− 1, 1,− 1, 1,− 1, 1, 1,− 1) 3 8,48077
−20 −10 0 10 20
0 5 10 15 20
k
C
k
S
8
,PSL=3
S
7
,PSL=2
Slika 1: Primera avtokorelacijskih funkcij (absolutne
vrednosti) za binarni zaporedjiS
7
, inS
8
dolˇ zineL = 21,
ki imata vrednosti PSL = 2 in 3.
2.2 Zakaj je problem labs zahteven?
Pri majhnih vrednostih L (kratka binarna zaporedja)
lahko optimalno (minimalno) vrednost PSL izraˇ cunamo
z eksaktnim algoritmom, s katerim izraˇ cunamo vrednost
PSL za vse moˇ zne razvrstitve− 1 in1 v danem binarnem
zaporedju. Vseh moˇ znosti je 2
L
(ˇ ce upoˇ stevamo ˇ se
simetrije, pa je vseh moˇ znosti pribliˇ zno 2
L− 3
), zato
problem iskanja binarnih zaporedij z nizkimi avtokore-
lacijami spada med probleme z eksponentno ˇ casovno
zahtevnostjo, torej O(2
n
). Podobno velja za iskanje
binarnih zaporedij z maksimalnim MF.
Iskalni prostor problema labs je zelo skokovit in
nazobˇ can ter ima mnogo lokalnih optimumov.
ˇ
Ce na-
redimo majhno spremembo znotraj zaporedja S, ko
npr. zamenjamo en predznak s
i
=− s
i
, energija (glej
enaˇ cbo (5)) moˇ cno spremeni svojo vrednost, kar posre-
dno vpliva tudi na MF, oziroma tudi na PSL.
Z uporabo poljubnega eksaktnega algoritma ne pri-
demo prav daleˇ c (pribliˇ zno do vrednosti L = 35 na
danaˇ snjem osebnem raˇ cunalniku). Doslej so s pomoˇ cjo
zmogljivih paralelnih raˇ cunalnikov eksaktno izraˇ cunali
zaporedja do velikosti L ≤ 66 [23]. Kot zanimivost
povejmo, da so bili leta 1996 znani rezultati za L≤ 60 [21]. Potrebni sta bili dve desetletji, da se je meja
premaknila s 60 na 66.
Pri problemu labs obstajajo tudi simetrije. Na primer,
ˇ ce v zaporedju zamenjamo vse − 1 z 1 in obratno,
dobimo prvo simetrijo. O preostalih simetrijah pa lahko
bralec razlago s primeri najde v [6]. Povejmo, da
imajo zaporedja lihih dolˇ zin vsaj 4 simetriˇ cne optimalne
reˇ sitve, zaporedja sodih dolˇ zin pa imajo vsaj 8 sime-
triˇ cnih reˇ sitev [6]. Z uporabo simetrij se iskalni prostor
le nekoliko zmanjˇ sa, a z veˇ canjemL iskalni prostor raste
eksponentno.
Samo pri lihih dolˇ zinah, L = 2k− 1, je definiran po-
seben razred binarnih zaporedij, imenovanih ”popaˇ ceno-
simetriˇ cna binarna zaporedja” (angl. ”skew-symmetric
binary sequences”) (naˇ sli smo tudi prevod ”poˇ sevno-
simetriˇ cna”, v drugem slovarju ”skew” prevajajo kot
asimetriˇ cno):
s
k+1
= (− 1)
i
s
k− i
, i = 1, 2,...,k − 1. (8)
Ta oblika simetrije obˇ cutno zmanjˇ sa dejansko velikost
iskalnega prostora – dimenzija iskalnega prostora se
prepolovi, vendar dobljene najboljˇ se reˇ sitve popaˇ ceno-
simetriˇ cnih binarnih zaporedij pri nekaterih dolˇ zinah
niso nujno optimalne med vsemi binarnimi zaporedji.
Na primer, zaporedji S
4
in S
8
v tabeli 1 sta optimalni
med vsemi zaporedji dolˇ zin 7 in 21, hkrati pa sta tudi
popaˇ ceno-simetriˇ cni. Pri dolˇ zini L = 19 pa optimalno
zaporedje ni popaˇ ceno-simetriˇ cno.
Optimalne reˇ sitve za binarna zaporedja so znane do
L ≤ 66, medtem ko so najboljˇ se znane reˇ sitve s
popaˇ ceno simetrijo (optimalne s to simetrijo) za L≤ 119 [23]. Pri dolgih zaporedjih (L > 200) se reˇ sitve
s to simetrijo pravzaprav izkaˇ zejo za kar precej dobre
reˇ sitve.
3 EKSPERIMENTALNI REZULTATI
V poglavju 2.1 smo pri binarnem zaporedju dolˇ zine
L = 21 opazili, da najniˇ zji PSL in najviˇ sji MF nista
v korelaciji, saj ima binarno zaporedje S
7
PSL = 2 in
MF = 6, 485, medtem ko ima zaporedje S
8
PSL = 3 in
MF = 8, 48. Pri krajˇ sem zaporedju L = 7 pa pri istem
binarnem zaporedju opazimo najniˇ zji PSL in najviˇ sji
MF.
Poglejmo si ˇ se nekaj rezultatov eksperimenta, v ka-
terem smo hevristiˇ cni algoritem [8], [11] uporabili za
iskanje binarnih zaporedij glede na mero MF. En zagon

100 J. BREST, A. BREST, P
ˇ
SENI
ˇ
CNIK, POPI
ˇ
C, BO
ˇ
SKOVI
´
C
7.0 7.5 8.0 8.5 9.0
15 20 25
MF
PSL
(a) L = 201
7.0 7.5 8.0 8.5
12 14 16 18 20
MF
PSL
(b) L = 203
7.0 7.5 8.0 8.5 9.0
12 14 16 18 20 22
MF
PSL
(c) L = 207
7.0 7.5 8.0 8.5 9.0
12 14 16 18 20 22
MF
PSL
(d) L = 211
Slika 2: Toˇ cka na grafih pri dolˇ zinah 201, 203, 207 in 211 predstavlja par PSL–MF. Po optimizaciji glede na mero
MF smo pri najdenem binarnem zaporedju odˇ citali vrednost PSL. Opazimo lahko, da najviˇ sji MF nima najboljˇ sega
(najniˇ zjega) PSL in obratno.
hevristiˇ cnega algoritma je trajal ˇ stiri dni in na koncu op-
timizacijskega postopka smo kot rezultat dobili binarno
zaporedje in pripadajoˇ co vrednost MF ter izraˇ cunali ˇ se
vrednostPSL. Poudariti ˇ zelimo, da med optimizacijskim
postopkom nismo uporabljali merePSL. Dobljeni rezul-
tati pri dolˇ zinah 201, 203, 207 in 211 so prikazani na
sliki 2. S slike lahko razberemo, da se dobljene reˇ sitve
razlikujejo glede na vrednosti MF in da najviˇ sji MF
nima najniˇ zjega (najboljˇ sega) PSL. Velja tudi obratno.
Kar lahko zakljuˇ cimo, je, da se binarna zaporedja pri
dani dolˇ zini lahko razlikujejo, ˇ ce jih optimiziramo glede
na mero MF oziroma glede na mero PSL.
Zanima nas, koliko se razlikujeta binarni zaporedji,
kjer ima prvo zaporedje minimalno vrednostPSL, drugo
pa maksimalno vrednost MF. Razliko binarnih zapored-
jih S in T dolˇ zine L lahko zapiˇ semo:
d =d(S,T ) =
L− 1
X
i=0
d
i
, (9)
kjer je
d
i
=
(
1, S
i
=T
i
0, S
i
̸=T
i
. (10)
Na primer, zaporedji S
1
in S
2
iz tabele 1 se razlikujeta
v treh elementih, saj je d(S
1
,S
2
) = 3.
Slika 3 prikazuje, kako s poveˇ cevanjem dolˇ zine L
raste razlika d, ki smo jo izraˇ cunali po enaˇ cbi (9) in
ki pove, v koliko elementih se razlikujeta primerjani
binarni zaporedji pri danem L. Spomnimo, da imata
primerjani zaporedji v literaturi znani najboljˇ si MF
oziroma PSL.
Na sliki 3 prikazujemo grafe z odvisnostjo razlike
d od dolˇ zine L, pri ˇ cemer smo izbrali ˇ stiri razliˇ cne
intervale glede na L:
• Slika 3a prikazuje rezultate za binarna zaporedja do
dolˇ zineL≤ 66. To so zaporedja, pri katerih soMF
optimalni. Odvisnost med razliko d in dolˇ zino L
je linearna, a samo korelacijsko prileganje je slabo
(R
2
= 0, 59).
• Na sliki 3b so prikazani rezultati za L ≤ 119.
Do 119 so znani optimalni rezultati za zaporedja s
popaˇ ceno simetrijo. Korelacijsko prileganje je kar
dobro, saj je R
2
= 0, 89.
• Rezultati do L≤ 225 so prikazani na sliki 3c, kjer
spet vidimo linearno odvisnost z R
2
= 0, 96.

ODDALJENOST NEPERIODI
ˇ
CNIH BINARNIH ZAPOREDIJ GLEDE NA MERI A VTOKORELACIJSKIH LASTNOSTI 101
10 20 30 40 50 60
0 10 20 30
L
d
0,4802*L−3,1301
(a) L≤ 66
0 20 40 60 80 100 120
0 10 20 30 40 50 60
L
d
0,5312*L−4,4948
(b) L≤ 119
0 50 100 150 200
0 20 40 60 80 100
L
d
0,5201*L−3,7992
(c) L≤ 225
100 150 200
40 60 80 100
L
d
0,5058*L−1,5131
(d) 66≤ L≤ 225
Slika 3: Razlika med binarnima zaporedjema, kjer ena vsebuje najboljˇ si (znani) MF in druga vsebuje najboljˇ si
(znani) PSL dolˇ zine (a) do 66, (b) do 119, (c) do 225 in (d) od 66 do 225.
• Na sliki 3d pa prikazujemo rezultate na intervalu
66≤ L≤ 225. Spet opazimo linearno odvisnost
med razliko d in dolˇ zino L.
Odvisnost med razliko d in dolˇ zino L je v vseh ˇ stirih
primerih na sliki 3 linearna, in sicer v primeru L ≤ 225, kjer imamo zajeta binarna zaporedja na najˇ sirˇ sem
intervalu:
d = 0, 5201× L− 3, 7992. (11)
Pri izraˇ cunu smo uporabili binarna zaporedja do dolˇ zine
225, za katere lahko sklepamo, da so njihove trenu-
tno najboljˇ se znane vrednosti MF zelo visoke. Tudi
korelacijsko ujemanje na sliki 3c je kar visoko. In
kaj to pomeni? Razlika med binarnimi zaporedji z
maksimiziranim merit faktorjem in binarnimi zaporedji
z minimiziranim (to je najboljˇ sim) nivojem stranskega
reˇ znja znaˇ sa pribliˇ zno L/ 2.
Pri izraˇ cunu razlik smo uporabili kanoniˇ cno obliko
pri obeh binarnih zaporedjih, to je osnovna oblika, ko
imamo v mislih ˇ se simetrije. Da smo narisali sliko 3,
smo uporabili najboljˇ sa znana (za krajˇ sa zaporedja op-

102 J. BREST, A. BREST, P
ˇ
SENI
ˇ
CNIK, POPI
ˇ
C, BO
ˇ
SKOVI
´
C
timalna) binarna zaporedja iz literature:
• za MF: [6], [8], [11], [5] in
• za PSL: [22], [14], [9].
Na sliki 3 opazimo, da je d = 0 pri vseh Barkerjevih
binarnih zaporedjih 2, 3, 4, 5, 7, 11 in 13 ter pri
dolˇ zinah 22, 24, 27, 29, 33, 38, 42, 52 in 64. Pri
binarnih zaporedjih ostalih dolˇ zin do L ≤ 225 pa je
d > 0. Spomnimo, da d = 0 pomeni, da ima binarno
zaporedje hkrati najboljˇ si MF in najboljˇ si PSL. Naˇ si
eksperimentalni rezultati kaˇ zejo, da ima lastnost d = 0
najdaljˇ se binarno zaporedje pri L = 64.
4 ZAKLJU
ˇ
CEK
V ˇ clanku smo opisali binarna zaporedja z dobrimi aperi-
odiˇ cnimi avtokorelacijskimi lastnostmi. Osrednji dopri-
nos v ˇ clanku je izraˇ cun, ki temelji na eksperimentalnih
rezultatih in ki prikaˇ ze odvisnost razdalje med binarnimi
zaporedji z najboljˇ sim merit faktorjem in najboljˇ sim
PSL od dolˇ zine teh zaporedij.
Predlagan izraˇ cun odvisnosti razdalje med binarnimi
zaporedji z najboljˇ sim merit faktorjem in najboljˇ sim
PSL temelji na eksperimentalnem delu, in ne na strogo
teoretiˇ cnem dokazu.
Ugotovitve v tem ˇ clanku so lahko koristne predvsem
za raziskovalce, ki se ˇ zelijo lotiti optimizacije iskanja
binarnih zaporedij z visokimi merit faktorji. Namreˇ c,
izognejo se lahko preiskovanju iskalnega prostora binar-
nih zaporedij, ki so dovolj blizu binarnim zaporedjem z
najboljˇ sim PSL.
Sploˇ sna oblika problema labs, ki je prikazana v
enaˇ cbi (7), ˇ se dandanes ostaja nereˇ sena in zato je ta
problem tako raziskovalno zanimiv.
Kot nadaljnje delo omenimo moˇ znost uporabe katere
druge metrike za razdaljo (npr. Levenshteinova razdalja)
namesto uporabljene razdalje, ki pove le ˇ stevilo elemen-
tov, v katerih se primerjani binarni zaporedji razlikujeta.
ZAHVALA
J. Brest, A. Brest, J. Popiˇ c in B. Boˇ skovi´ c priznavajo
financiranje ˇ clanka Javne agencije za znanstvenora-
ziskovalno in inovacijsko dejavnost, raziskovalni pro-
gram P2-0041 – Raˇ cunalniˇ ski sistemi, metodologije in
inteligentne storitve.
LITERATURA
[1] J.M. Baden. Efficient optimization of the merit factor of long
binary sequences. IEEE Trans. Inf. Theory, 57(12):8084–8094,
Dec 2011.
[2] J. Bernasconi. Low autocorrelation binary sequences: statistical
mechanics and configuration space analysis. J. Physsique,
48:559–567, April 1987.
[3] P. Borwein, K.-K.S. Choi, and J. Jedwab. Binary sequences with
merit factor greater than 6.34. IEEE Transactions on Information
Theory, 50(12):3234–3249, Dec 2004.
[4] Borko Boˇ skovi´ c and Janez Brest. Two-phase optimization of
binary sequences with low peak sidelobe level value. Expert
Systems with Applications, 251, 2024. Art. no. 124032.
[5] Borko Boˇ skovi´ c, Jana Herzog, and Janez Brest. Parallel self-
avoiding walks for a low-autocorrelation binary sequences pro-
blem. Journal of Computational Science, 2024. Art. no. 102260.
[6] B. Boˇ skovi´ c, F. Brglez, and J. Brest. Low-Autocorrelation Binary
Sequences: On Improved Merit Factors and Runtime Predictions
to Achieve Them. Appl. Soft Comput., 56:262–285, 2017.
[7] Janez Brest and Borko Boˇ skovi´ c. LABS – binarna zaporedja z
nizkimi avtokorelacijami. In ERK 2017, Zbornik ˇ sestindvajsete
mednarodne Elektrotehniˇ ske in raˇ cunalniˇ ske konference ERK
2017 (ERK), Portoroˇ z, pages 371–374. IEEE, 2017.
[8] Janez Brest and Borko Boˇ skovi´ c. A heuristic algorithm for a
low autocorrelation binary sequence problem with odd length
and high merit factor. IEEE Access, 6:4127–4134, 2018.
[9] Janez Brest and Borko Boˇ skovi´ c. Low Autocorrelation Binary
Sequences: Best-Known Peak Sidelobe Level Values. IEEE
Access, 9:67713–67723, 2021.
[10] Janez Brest and Borko Boˇ skovi´ c. Neperiodiˇ cna binarna zapo-
redja z dobrimi avtokorelacijskimi lastnostmi: nizke vrednosti
stranskih reˇ znjev. In ERK 2022, 31. Mednarodna Elektrotehniˇ ska
in raˇ cunalniˇ ska konferenca (ERK), Portoroˇ z, pages 355–358.
IEEE, 2022.
[11] Janez Brest and Borko Boˇ skovi´ c. Computational search of
long skew-symmetric binary sequences with high merit factors.
MENDEL, 28(2):17–24, Dec. 2022.
[12] Janez Brest, Jan Popiˇ c, Jana Herzog, and Borko Boˇ skovi´ c. An
efficient algorithm for designing long aperiodic binary sequences
with low auto-correlation sidelobes. IEEE Access, 2024.
[13] Miroslav Dimitrov. On the skew-symmetric binary sequences and
the merit factor problem. Digital Signal Processing, 156:104793,
2025.
[14] Miroslav Dimitrov, Tsonka Baicheva, and Nikolay Nikolov.
Hybrid Constructions of Binary Sequences With Low Autocor-
relation Sideobes. IEEE Access, 9:112400–112410, 2021.
[15] Enrique Garc´ ıa, Jos´ e A Paredes, Fernando J
´
Alvarez, M Carmen
P´ erez, and Juan Jes´ us Garc´ ıa. Spreading sequences in active
sensing: A review. Signal Processing, 106:88–105, 2015.
[16] M Golay. The merit factor of Legendre sequences (corresp.).
IEEE Transactions on Information Theory, 29(6):934–936, 1983.
[17] M. J. E. Golay. Sieves for low autocorrelation binary sequences.
IEEE Trans. Inf. Theory, 23(1):43–51, 1977.
[18] M. J. E. Golay. The merit factor of long low autocorrelation
binary sequences. IEEE Trans. Inf. Theory, 28(3):543–549, 1982.
[19] Jonathan Jedwab et al. A survey of the merit factor problem for
binary sequences. In SETA, pages 30–55. Springer, 2004.
[20] Jonathan Jedwab and Kayo Yoshida. The peak sidelobe level of
families of binary sequences. IEEE transactions on information
theory, 52(5):2247–2254, 2006.
[21] S. Mertens. Exhaustive search for low-autocorrelation binary
sequences. Journal of Physics A: Mathematical and General,
29:473–481, 1996. http://www-e.uni-magdeburg.de/mertens/-
research/labs/open.dat.
[22] Carroll J Nunn and Gregory E Coxson. Best-known autocorre-
lation peak sidelobe levels for binary codes of length 71 to 105.
IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 44(1), 2008.
[23] Tom Packebusch and Stephan Mertens. Low autocorrelation
binary sequences. Journal of Physics A: Mathematical and
Theoretical, 49(16):165001, 2016.
[24] Blaˇ z Pˇ seniˇ cnik, Rene Mlinariˇ c, Janez Brest, and Borko Boˇ skovi´ c.
Dual-step optimization for binary sequences with high merit
factors. arXiv preprint arXiv:2409.07222, 2024.
[25] Abhisek Ukil. Low autocorrelation binary sequences: Number
theory-based analysis for minimum energy level, barker codes.
Digit. Signal Process., 20(2):483–495, March 2010.
[26] Abhisek Ukil. On asymptotic merit factor of low autocorrelation
binary sequences. In Industrial Electronics Society, IECON
2015-41st Annual Conference of the IEEE, pages 004738–
004741. IEEE, 2015.
[27] Vid Vrh, Luka Kavˇ ciˇ c, Jaˇ sa Vid Meh Peer, Mihael Zeme,
Jan Luka Verˇ cek, Neja Flogie, Luka Mlakar, Andraˇ z Pavliha,
Grega Blatnik, Marko Jankovec, et al. Trajnostni pristopi k
satelitskemu teleportu. Elektrotehniski Vestnik, 91(3):138–142,
2024.

ODDALJENOST NEPERIODI
ˇ
CNIH BINARNIH ZAPOREDIJ GLEDE NA MERI A VTOKORELACIJSKIH LASTNOSTI 103
Janez Brest je s podroˇ cja raˇ cunalniˇ stva in informacijskih tehnologij na
Univerzi v Mariboru diplomiral, magistriral in doktoriral v letih 1995,
1998 in 2000. Trenutno je zaposlen na Fakulteti za elektrotehniko,
raˇ cunalniˇ stvo in informacijske tehnologije kot redni profesor in je tudi
vodja Laboratorija za raˇ cunalniˇ ske arhitekture in jezike na Inˇ stitutu
za raˇ cunalniˇ stvo. Njegovi raziskovalni interesi vkljuˇ cujejo evolucijsko
raˇ cunalniˇ stvo, umetno inteligenco, optimizacijske metode, programske
jezike ter vzporedno in porazdeljeno raˇ cunalniˇ stvo. Je pridruˇ zeni
urednik revije Swarm and Evolutionary Computation.
Aljaˇ z Brest je ˇ student na Fakulteti za elektrotehniko, raˇ cunalniˇ stvo
in informacijske tehnologije. Trenutno je zaposlen v Laboratoriju za
raˇ cunalniˇ ske arhitekture in jezike kot tehniˇ ski delavec. Njegovi razi-
skovalni interesi vkljuˇ cujejo vzporedno in porazdeljeno raˇ cunalniˇ stvo
ter umetno inteligenco.
Blaˇ z Pˇ seniˇ cnik je v letu 2023 diplomiral s podroˇ cja raˇ cunalniˇ stva
in informacijskih tehnologij. Trenutno zakljuˇ cuje magistrski ˇ studij
na Fakulteti za elektrotehniko, raˇ cunalniˇ stvo in informatiko. Je tudi
tehniˇ ski sodelavec v Laboratoriju za raˇ cunalniˇ ske arhitekture in jezike,
kjer je zaposlen od leta 2024. Njegovi raziskovalni podroˇ cji sta
optimizacija ter paralelno in porazdeljeno raˇ cunanje.
Jan Popiˇ c je diplomiral in magistriral iz raˇ cunalniˇ stva in informa-
cijskih tehnologij na Univerzi v Mariboru v letih 2019 in 2023.
Trenutno nadaljuje doktorski ˇ studij na Fakulteti za elektrotehniko,
raˇ cunalniˇ stvo in informatiko. Je tudi mladi raziskovalec v Laboratoriju
za raˇ cunalniˇ ske arhitekture in jezike, kjer je zaposlen od leta 2018.
Njegovo raziskovalno podroˇ cje v velikem obsegu vkljuˇ cuje optimiza-
cijo.
Borko Boˇ skovi´ c je v letih 2004 in 2010 pridobil diplomo in doktorat iz
raˇ cunalniˇ stva na Univerzi v Mariboru. Trenutno je docent na Fakulteti
za elektrotehniko, raˇ cunalniˇ stvo in informatiko. Z Laboratorijem za
raˇ cunalniˇ ske arhitekture in jezike sodeluje od leta 2000. Njegovi raz-
iskovalni interesi vkljuˇ cujejo evolucijsko raˇ cunalniˇ stvo, optimizacijo,
obdelavo naravnega jezika in programske jezike.