     
P 51 (2023/2024) 4 5
S kvaternioni preko štirih
dimenzij do računalniških iger
F R
V srednji šoli spoznamo naslednje zaporedje
številskih množic:
N Ă Z Ă Q Ă R Ă C.
Matematiki so se dolgo časa spraševali, ali lahko
zaporedje smiselno nadaljujemo in definiramo no-
vo množico števil, ki bi vsebovala vse prejšnje.
Ker so kompleksna števila dvodimenzionalna
»nadgradnja« realnih števil, bi bila rešitev proble-
ma lahko konstrukcija novih, tridimenzionalnih
števil.
Tako idejo je imel tudi irski matematik William
Rowan Hamilton (1805–1865). Kompleksnim števi-
lom lahko dodamo novo komponento, označeno z
j, za katero velja j2 “ ´1. Tako dobimo tridimen-
zionalni prostor ta ` bi ` cj | a,b, c P Ru, kjer je
i2 “ j2 “ ´1. Problem, ki je mučil Hamiltona, pa
je bila smiselna definicija množenja takih števil. Kot
je produkt dveh kompleksnih števil vedno komple-
ksno število, je želel, da je produkt dveh elementov
te množice ponovno element iste množice. Vendar,
kako smiselno definirati i ¨ j? 16. oktobra leta 1843,
ko se je z ženo sprehajal po dublinskem kanalu Ro-
yal Canal, se mu je utrnila nova zamisel. Čeprav na-
čina za množenje tridimenzionalnih števil ni poznal,
pa se je spomnil definicije novih, štiridimenzional-
nih števil. Poleg komponente j je kompleksnim šte-
vilom dodal komponento k in tako dobil novo mno-
SLIKA 1.
Spominska plošča na mostu
Broom Bridge, posvečena Willi-
amu Hamiltonu.
     
P 51 (2023/2024) 46
žico števil ta`bi`cj`dk | a,b, c, d P Ru. Preko nje
lahko vstopimo v tridimenzionalni svet, če parame-
ter a nastavimo na 0. Pravila za množenje elementov
te množice i2 “ j2 “ k2 “ ´1 in ijk “ ´1 je Ha-
milton v navalu navdušenja vklesal na bližnji most
Broom Bridge. Množico je poimenoval kvaternioni,
ime, ki se je ohranilo vse do danes. Po Hamiltonu
množico kvaternionov označujemo s H.
Računske operacije s kvaternioni
Množico kvaternionov sestavljajo torej štiridimenzi-
onalni elementi oblike a ` bi ` cj ` dk, kjer so a,
b, c in d realna števila, na primer 6 `
?
2i ` 12j ´ k.
Podmnožico realnih števil iz množice kvaternionov
dobimo, če vzamemo b “ c “ d “ 0, kompleksnih
pa, če na 0 nastavimo parametra c in d. Prav zato,
ker so kvaternioni razširitev kompleksnih števil, je
tudi računanje z njimi podobno. Kvaternione sešte-
vamo in odštevamo po komponentah. Velja torej
p3 ` 7i` 2j ´ 3kq ` p5 ` 2i´ 2j ` 4kq “ 8 ` 9i` k
in
p8`2i`6j`9kq ´ p9`7i`6j`8kq “ ´1´5i`k.
Pričakovano poteka tudi množenje kvaterniona z re-
alnim skalarjem:
5p2 ´ 4i` 3j ´ 2kq “ 10 ´ 20i` 15j ´ 10k.
Bolj pazljivi moramo biti pri množenju kvaternio-
nov. V uvodu smo že definirali pravila za množenje
i2 “ j2 “ k2 “ ´1 in ijk “ ´1. S pomočjo tega lahko
izpeljemo, kako se med seboj množijo komponente
i, j, k. Začnimo z enakostjo
ijk “ ´1.
Če enakost pomnožimo s k z desne, dobimo
ijk2 “ ´k.
Ker velja k2 “ ´1, pridemo do zveze
ij “ k.
Če začetno enakost pomnožimo z i z leve, pa do-
bimo
i2jk “ ´i
oziroma
jk “ i.
Enakost zdaj pomnožimo še z j z leve. Dobimo
ji “ ´k.
Vidimo, da velja ij “ ´ji. Množenje kvaternionov
torej ni komutativno, zato moramo biti posebej paz-
ljivi glede vrstnega reda, v katerem elemente mno-
žimo. Podobno lahko izpeljemo enakosti
ij “ ´ji “ k,
jk “ ´kj “ i,
ki “ ´ik “ j.
Formule si lahko zapomnimo po shemi na sliki 2.
SLIKA 2.
Shema množenja elementov i, j, k. Produkt dveh zaporednih
elementov v smeri urnega kazalca je naslednji element, v obra-
tni smeri pa mu dodamo nasprotni predznak.
Kot primer zmnožimo 2 ` i´ k in i` 3j. Produkt
je enak
p2 ` i´ kqpi` 3jq “ 2i` 6j ` i2 ` 3ij ´ ki´ 3kj
“ 2i` 6j ´ 1 ` 3k´ j ` 3i
“ ´1 ` 5i` 5j ` 3k.
     
P 51 (2023/2024) 4 7
Podobno kot konjugiranje kompleksnih števil lahko
definiramo tudi konjugiranje kvaternionov. Če vza-
memo kvaternion h “ a`bi`cj`dk, je konjugiran
kvaternion h̄ enak a ´ bi ´ cj ´ dk. Račun pokaže,
da velja
hh̄ “ h̄h “ a2 ` b2 ` c2 ` d2,
kar lahko, podobno kot pri kompleksnih številih, in-
terpretiramo kot kvadrat dolžine kvaterniona |h|2.
Za konec poglejmo še deljenje kvaternionov. Da
poenostavimo kvocient kvaternionov uv , lahko podo-
bno kot pri kompleksnih številih števec in imenova-
lec pomnožimo z v̄ . V imenovalcu bomo dobili kva-
drat dolžine |v|2, v števcu pa produkt uv̄ . Velja torej
u
v
“ uv̄
vv̄
“ uv̄|v|2 .
Deljenje si oglejmo na primeru:
7i` 5k
2 ` i` 3j ` k “
p7i` 5kqp2 ´ i´ 3j ´ kq
22 ` 12 ` 32 ` 12
“ 12 ` 29i` 2j ´ 11k
15
.
Uporaba kvaternionov v geometriji
Hamilton je pričakoval, da se bodo kvaternioni uve-
ljavili kot učinkovito orodje za opis operacij v triraz-
sežni geometriji, toda sčasoma jih je izrinil običajni
vektorski zapis z operacijama skalarnega in vektor-
skega produkta. Kljub temu kvaternioni danes igrajo
pomembno vlogo v računalniški grafiki, robotiki in
astronomiji, kot je predstavljeno v tem razdelku.
Denimo, da imamo podano točko A “ px,y, zq, ki
bi jo radi zavrteli okoli neke osi za kot φ.
Pri rotiranju si lahko pomagamo s kvaternioni.
Točko A lahko predstavimo kot kvaternion v “ xi`
yj ` zk. Definiramo še enotski vektor ~u “ pu1, u2,
u3q, ki kaže v smer osi vrtenja in mu priredimo kva-
ternion h “ cos φ2 `pu1i`u2j`u3kq sin
φ
2 , pri čemer
je φ želen kot rotacije. Komponente točke A, zavr-
tene za kot φ v smeri urnega kazalca (gledano iz ko-
ordinatnega izhodišča vzdolž osi) okoli osi, dane z
vektorjem ~u, lahko preberemo iz produkta
h ¨ v ¨ h̄.
Oglejmo si še primer. Denimo, da želimo zavrteti
SLIKA 3.
Rotacija točke A za kot φ
okoli dane osi.
     
P 51 (2023/2024) 48
točko A “ p1,0,0q za kot φ “ 2π3 okoli osi v smeri
vektorja p1,1,1q. Najprej definiramo enotski vektor
~u v smeri osi vrtenja. Ta je enak ~u “ 1?
3
p1,1,1q.
Pripadajoč kvaternion h je enak
cos
ˆ
1
2
¨ 2π
3
˙
` 1?
3
pi` j ` kq sin
ˆ
1
2
¨ 2π
3
˙
“
“ 1
2
` 1?
3
pi` j ` kq
?
3
2
“
“ 1
2
p1 ` i` j ` kq.
Točko A “ p1,0,0q lahko identificiramo s kvaterni-
onom v “ i. Da dobimo novo lego točke po vrtenju,
moramo izračunati produkt
h ¨ v ¨ h̄ “ 1
2
p1 ` i` j ` kq ¨ i ¨ 1
2
p1 ´ i´ j ´ kq.
Če upoštevamo pravila za množenje kvaternionov
in pazimo na njihovo nekomutativnost, račun po-
kaže, da je zgornji produkt enak j. Podobno kot prej
lahko ta kvaternion identificiramo s točko p0,1,0q.
Če torej točko p1,0,0q zavrtimo za kot 2π3 okoli osi v
smeri vektorja p1,1,1q, dobimo novo točko s koordi-
natami p0,1,0q.
Da bi lažje razumeli ozadje formule za rotacijo,
poglejmo geometrijsko interpretacijo množenja kva-
ternionov. Najprej množimo poljuben kvaternion
a` bi` cj ` dk s kvaternionom i z leve. Dobimo
ipa` bi` cj ` dkq “ ´b ` ai´ dj ` ck.
Štiridimenzionalni prostor lahko razdelimo na dve
ravnini. Prvo sestavljata realna os in os i, drugo pa
osi j in k. Komponenti pa,bq po množenju posta-
neta p´b,aq, kar ustreza rotaciji za 90˝ v prvi rav-
nini. Hkrati komponenti pc,dq postaneta p´d, cq, kar
prav tako ustreza rotaciji za 90˝ v drugi, jk ravnini.
Kaj pa, če kvaternion množimo z ´i z desne? Do-
bimo
pa` bi` cj ` dkqp´iq “ b ´ ai´ dj ` ck.
V ravnini jk dobimo popolnoma enako rotacijo
kot prej, v prvi ravnini pa dobimo rotacijo za 90˝
v nasprotni smeri kot pri množenju z i z leve. Zdaj
lahko brez računanja ugotovimo, čemu je enak pro-
dukt ipa`bi` cj `dkqp´iq. V prvi ravnini pride do
SLIKA 4.
Rotacija v prvi ravnini pri množenju z i z leve.
SLIKA 5.
Rotacija v drugi ravnini pri množenju z i z leve.
dveh nasprotno izključujočih se rotacij, zato kompo-
nenti pa,bq ostaneta nespremenjeni, v drugi pa dva-
krat rotiramo za 90˝ v isti smeri, kar ustreza rotaciji
za 180˝. Tako komponenta pc,dq postane p´c,´dq.
     
P 51 (2023/2024) 4 9
SLIKA 6.
Rotacija v prvi ravnini pri množenju z ´i z desne.
Velja torej
ipa` bi` cj ` dkqp´iq “ a` bi´ cj ´ dk.
Pri množenju točke ai ` bj ` cj s kvaternionom
h “ cos φ2 ` pu1i ` u2j ` u3kq sin
φ
2 z leve in h̄ “
cos φ2 ` p´u1i´u2j ´u3kq sin
φ
2 z desne lahko pro-
stor razdelimo na prvo ravnino, ki jo določata realna
os in os v smeri vektorja u “ pu1, u2, u3q, drugo rav-
nino pa predstavlja njen ortogonalni komplement.
Rotaciji v prvi ravnini se izničita, torej realna kom-
ponenta točke, ki jo rotiramo, ostane 0, nespreme-
njena pa ostane tudi njena lega vzdolž osi u. Hkrati
poteka rotacija v drugi ravnini, ki pa ustreza ravno
dvakratni rotaciji za kot φ2 okoli osi pu1, u2, u3q.
Ko je Hamilton pred približno dvesto leti prvič
definiral kvaternione, si ni mogel predstavljati, ka-
kšno vlogo bodo danes igrali v vsakdanjem življe-
nju. S tehnološkim napredkom so kvaternioni po-
stali pomembno orodje na številnih področjih, pred-
SLIKA 7.
Z modro barvo je označena ravnina, v kateri poteka ro-
tacija. Njena normala je ravno os u.
         
P 51 (2023/2024) 410
vsem znotraj računalništva, kljub temu da gre za šti-
ridimenzionalne objekte, kar se na prvi pogled ne
sklada z našim tridimenzionalnim svetom. Nobeno
presenečenje ne bi bilo, če bi v prihodnosti podoben
razcvet doživeli še drugi manj znani večdimenzio-
nalni številski sistemi, kot na primer oktonioni. Raz-
iskovanje takih objektov je torej še kako pomembno,
saj lahko kakršno koli novo spoznanje znotraj njiho-
vega sveta še dodatno poenostavi svet okoli nas.
Literatura
[1] Spominska plošča na mostu Broom Bridge, po-
svečena Williamu Hamiltonu, [ogled 12. 1. 2024],
dostopno na https://en.m.wikipedia.org/
wiki/File:Inscription_on_Broom_Bridge_
%28Dublin%29_regarding_the_discovery_
of_Quaternions_multiplication_by_Sir_
William_Rowan_Hamilton.jpg.
[2] M. Brešar, Uvod v algebro, DMFA - založništvo,
Ljubljana, 2018.
[3] G. Günaştı, Quaternions Algebra, Their Appli-
cations in Rotations and Beyond Quaternions,
[ogled 8. 10. 2023], dostopno na https:
//www.diva-portal.org/smash/get/diva2:
535712/FULLTEXT02.
[4] Yan-Bin Jia, Quaternions and Rotations,
[ogled 8. 10. 2023], dostopno na https:
//graphics.stanford.edu/courses/
cs348a-20-winter/Papers/quaternion.pdf.
[5] N. Reed, Why do Quaternions Double-Cover?,
[ogled 8. 10. 2023], dostopno na
https://www.reedbeta.com/blog/
why-quaternions-double-cover/.
ˆ ˆ ˆ
Popravek
V članku Rešitve matematičnih nalog s Plemljeve
mature v 3. številki 51. letnika Preseka na strani
12 v levem stolpcu spodaj je napaka. Namesto
n “ loga{ logA “ n “ 92,64 mora biti n “
logpa{Aq{ log r “ 92,64 let. Za neljubo napako
se bralcem iskreno opravičujemo.
Križne vsote
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s
števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za-
porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih
enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na
začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem
morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu)
različne.
16 18
14
5
20
5
̌ ̌ 
1618
14
95
5
20
794
5
41
ˆ ˆ ˆ