# o
PRESEK LETNIK 42 (2014/2015) ŠTEVILKA 1
Enkelad
-> IGRE S KARTAMI - TROJKE TRISTO LET FAHRENHEITOVIH TERMOMETROV
NOVICE IZ VESOLJA - EKSKLUZIVNO STABILNOST FULERENOV
IN RAČUNALNIŠTVO
ISSN 0351-6652
9 7 7 035 , 6652 ,o
9770351665210
9770351665210
MATEMATIČNI TRENUTKI
K O L O F O N
N ačrtovanje urnika tekem
2
-> Ted Williams, eden od najboljših igralcev ba-seballa, je izjavil, da je zadeti žogo ena najtežjih stvari v športu. Izkaže pa se, da je morda še težje zagotoviti prisotnost ekip na stadionu. Pri nacrtovanju celotne sezone je treba upoštevati, da npr. pri base-ballu 30 ekip odigra 162 tekem v šestih mesecih. Pri tem je treba upoštevati vec omejitev. Vsaka od ekip mora odigrati enako število tekem na domaČem terenu, med tekmami pa ne sme biti niti premalo niti preveč prostih dni. Načrtovanje je veliko lažje s pomočjo uporabe teorije grafov, linearne algebre in ce-loštevilskega programiranja. Rezultati dobrih načrtov so urniki, s katerimi so zadovoljni igralci, navijači, lastniki klubov in medijske hiše.
Takšni urniki so tudi najbolj ekonomični, ker izbira primernih dni poveča izkupiček od prodaje pravic televizijskih prenosov in zmanjša potne stroške. Nekateri algoritmi najprej določijo datume domačih in gostujočih tekem, nato pa na tako določene dneve določijo pare ekip. Drugi algoritmi delujejo ravno obratno. Vsi algoritmi pa najprej razbijejo problem na manjše naloge, ki so lažje rešljive, nato pa njihove rešitve sestavijo skupaj. Takšne tehnike so del področja matematike, ki mu pravimo kombinatorična optimizacija. Z njeno pomočjo lahko počnemo tudi »resne« stvari, npr. načrtujemo učinkovite dostavne poti ali pa postavimo eksperimente za testiranje novih zdravil.
Za več informačij si lahko preberete članek Graph Theory and Sports Scheduling, ki sta ga objavila Richard Hoshino in Ken-ichi Kawarabayashi v reviji Notices of the AMS junija/julija 2013.
_ XXX
PRESEK 42 (2014/2015)1
Presek
list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 42, šolsko leto 2014/2015, številka 1
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (računalništvo), Marko Razpet, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si
Naročnina za šolsko leto 2014/2015 je za posamezne naro čnike 19,20 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila u čencev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naro čnina za tujino pa znaša 25 eur.
Transakcijski račun: 03100-1000018787.
Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI5603100100 0018 787.
List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikacij.
Založilo DMFA-založništvo
Oblikovanje Tadeja Šekoranja
Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana
Naklada 1900 izvodov
© 2014 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1942
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana.
NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem.
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si.
Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
MATEMATIČNI TRENUTKI
2 Načrtovanje urnika tekem
4-9
10-12
19-22
22
MATEMATIKA
Igre s kartami - trojke (Nada Razpet in Jurij Kovic)
FIZIKA
Tristo let Fahrenheitovih termometrov (Janez Strnad)
ASTRONOMIJA
Novice iz vesolja - ekskluzivno (Andreja Gomboc) Snemajmo planete, Luno in Sonce -Astronomska delavnica na strokovnem srečanju DMFA Slovenije
23-29
RAČUNALNIČTVO
Stabilnost fulerenov in računalništvo (Katja Breznik, Simon Brezovnik in Janez Dolšak)
I I
I
9
12,29 16-17
30
31
13-15,18 priloga
priloga
RAZVEDRILO
Barvni sudoku Križne vsote Nagradna križanka (Marko Bokalic)
Rešitev nagradne križanke Presek 41/6 (Marko Bokalic)
Naravoslovna fotografija - Strela (Aleš Mohoric)
TEKMOVANJA
Kresnička
23. šolsko tekmovanje iz razvedrilne matematike 23. državno tekmovanje iz razvedrilne matematike
Slika na naslovnici: S skromno planetarno kamero ali fotoaparatom in manjšim teleskopom je mogoče narediti atraktivne posnetke planetov in njihovih lun. S tako opremo se je mogoče lotiti tudi Lune in Sonča, o čemer boste lahko več zvedeli na strokovnem srečanju DMFA Slovenije. Fotografija: Andrej Guštin
/V
m
Igre s kartami - trojke
vU sU sU
Nada Razpet in Jurij Kovic
-> Igre s kartami so že od nekdaj priljubljene, pa naj jih igramo v družbi ali sami s seboj na računalniku. Tokrat si bomo podrobneje ogledali igro, ki jo bomo imenovali TROJKE, v tujini je znana kot The Game of Set. Njen nastanek sega v leto 1974. Genetičarka Marsha Falco je raziskovala, zakaj nekateri organizmi zbolijo za določeno boleznijo. Ker je imela veliko podatkov, jih je želela prikazati tako, da bi lahko hitro ugotovila, kaj imajo organizmi skupnega. Ustvarila je slikovne simbole, ki so ji pomagali prepoznavati značilnosti. Ko je o odkritjih govorila s sodelavci, je kartice s simboli razporejala po tabli. Kmalu so sodelavci (in domači) ugotovili, da bi iz teh kartic lahko nastala zanimiva igra. Tako je prvo različico objavila leta 1991. Sledile so izboljšave in igra je postala priljubljena. Gospa Falco je prejela številne prestižne nagrade. Igraje avtorsko zaščitena [1].
Priprava na matematično obravnavo lastnosti kart
Na začetku se najprej spomnimo, kako seštevamo in odštevamo cela števila. Zapišimo samo tiste tri la-
SLIKA1.
Igralne karte in igralne kocke
stnosti, ki jih bomo kasneje uporabili. Za seštevanje veljajo lastnosti:
■ a + b = b + a, a + 0 = a, a + (-a) = 0.
Prvi zapis pomeni, da je seštevanje komutativno (ni važen vrstni red), drugi, da je 0 nevtralni element (Ce številu prištejemo 0, je vsota enaka prejšnjemu številu), in tretji, da je (-a) nasprotni element od a (Ce seštejemo element in njegov nasprotni element, je vsota enaka nevtralnemu elementu, v našem primeru 0).
Cela števila predstavimo na številski premici. Tudi seštevanje celih števil lahko predstavimo na številski premici. Prišteti številu a število b > 0 pomeni, da gremo od toCke, ki predstavlja število a, za b enot v desno. Odšteti pa pomeni, da gremo od a za b enot v levo. Namesto vseh celih števil nas zanimajo le tista cela števila, ki so ostanki po deljenju s številom 3. Množico ostankov po deljenju s številom 3 zapišemo kot Z3 = {0,1, 2}. Naša množica ima torej le tri elemente. Tudi to množico lahko predstavimo graficno tako, da številsko premico navijemo na kro-žnico. Števila 0, 1, in 2 so predstavljena s tremi toc-kami na krožnici. In kako racunamo v množici Z3? Prišteti 1 (ali 2) pomeni pomakniti se za eno mesto (za dve mesti) v pozitivni smeri (nasprotni smeri urinega kazalca). Odšteti 1 (odšteti 2) pa pomeni pomakniti se za eno (dve) mesti v smeri urinega kazalca.
SLIKA 2.
Seštevanje in odštevanje v množici ostankov Z3
Zapišimo še tablico seštevanja v množici Z3:
+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1
Seštevanje ostankov po deljenju s številom 3 v matematični obliki zapišemo takole:
1	+ 1 = 2 (mod 3),
2	+ 2 = 1 (mod 3).
1 + 2 = 0 (mod 3),
(1)
- 1 = 2 (mod 3), -2 = 1 (mod 3).
(2)
bomo gibali v množici ostankov po deljenju s številom 3, z 0. Tudi ostalim lastnostim na enak način priredimo števila iz množice Z3. Vsako karto torej opišemo s štirimi števili. Ta štiri števila lahko pomenijo koordinate točke v štirirazsežnem prostoru oz. krajevni vektor (vektor od koordinatnega izhodišča do izbrane točke A(x1, x2, x3, x4)). Zapišemo ga kot d1 = (xi,x2,x3,x4). Oznake xt po vrsti pomenijo število, barvo, polnilo, obliko.
Oglejmo si primer:
Vsota števil 1 + 2 = 3, ostanek po deljenju s številom 3 je 0. Vsota števil 2 + 2 = 4, ko 4 delimo s 3, je ostanek 1.
Kako pa izračunamo nasprotna števila? Za nasprotna števila velja m + (-m) = 0 (mod 3). Ker je v našem primeru 1 + 2 = 0 (mod 3), sta si 1 in 2 nasprotni števili. Torej velja:
m
m»
SLIKA 3.
Simboli na karticah
Matematiki poznajo različne množiče, v katere vpeljejo matematične operačije, za katere se sprva zdi, da nimajo praktičnega pomena, a se kasneje izkaže, da nam pri nekaterih predstavitvah pridejo prav. Tudi naša množiča ostankov nam bo v nadaljevanju skrajšala zapise in pomagala pri ugotavljanju povezav med kartami.
Predstavitev kart
Igra ima 81 med seboj različnih kart (obstaja tudi različiča s kočkami, glej sliko 1). Vsaka karta ima štiri lastnosti:
■	število: 1, 2, 3 (oznake 1, 2, 0),
■	barvo: zelena (1), vijolična (2), rdeča (0),
■	polnilo: prazen (1), črtast (2) ali poln (0),
■	obliko: oval (1), piškot (2), karo (0).
Vsaki lastnosti smo priredili tri številske vrednosti 0, 1 ali 2, da bomo lahko kasneje lastnosti zapisovali v matematični obliki. Ce ima karta npr. en sam simbol, to označimo z 1; če ima dva simbola, z 2; če ima tri simbole, pa v skladu z dogovorom, da se
Za karte na sliki 3 velja: d1 = (1, 2,0,0), d2 = (2,0, 2,1) in a3 = (0,1,1, 2).
Trojko predstavljalo tri karte, na katerih so si simboli po vsaki od lastnosti bodisi enaki bodisi povsem različni
m
SLIKA 4.
Izbrali smo tri karte.
Na sliki 4 so tri izbrane karte: a1 = (2,1,1,0), a2 = (1,0, 2,1) in a3 = (0, 2,0, 2). Da bodo razlike vidnejše, jih zapišimo v tabelo:

matematika

število	barva	polnilo	oblika
2	1	1	0
1	0	2	1
0	2	0	2
m
SLIKA 5.
Število simbolov na kartah je enako.
Z vektorji jih zapišemo takole: a1 = (2, 2,0,0), a2 = (2,0, 2,1) in a3 = (2,1,1, 2). Zapis v tabeli:
število	barva	polnilo	oblika
2	2	0	0
2	0	2	1
2	1	1	2
Na vseh treh kartah je enako število simbolov, po vseh drugih lastnostih pa se razlikujejo. Torej predstavljajo trojko.
Poglejmo si še karte na sliki 6.
SLIKA 6.
Leve tri karte ne predstavljajo trojke, desne tri pa so trojka.
Leve tri karte na sliki 6 zapišemo z vektorji: b1 = (0,0,0,1), b2 = (2,0,0,2) in b3 = (1,0,0, 2), v tabeli pa takole:
Vse karte imajo različno število elementov, prav tako so različnih barv, polnil in oblik (v vsakem stol-pču so vedno vse tri možnosti: 0, 1 in 2). Te tri karte torej predstavljajo trojko.
Izberimo nove tri karte (slika 5).
število	barva	polnilo oblika
0	0	0 1
2	0	02
1	0	02
Števila v prvem stolpču so vsa različna, v drugem in tretjem stolpču so enaka (vsi simboli so rdeči in polni), v zadnjem stolpču sta dve številki enaki, ena pa je drugačna. Torej to ni trojka. Desne tri karte pa so trojka.
Zapišimo pravilo trojk natančneje
a)	Ce sta si dve karti po neki lastnosti enaki, mora imeti tudi tretja karta to lastnost enako prejšnjima dvema.
b)	Ce sta si dve karti po neki lastnosti različni, mora imeti tudi tretja karta to lastnost drugačno od prejšnjih dveh.
Označimo prvo karto v trojki z bi, drugo z b2 in tretjo z b3. Potem lahko karte v splošnem zapišemo kot vektorje
b1 = (x1, x2, x3, x4),
b3 = (Z1,Z2,Z3, Z4).
b2 = (71,72,73,74),
Karte predstavljajo trojko o takrat, ko za indekse i = 1, 2, 3,4 velja bodisi xi = yi = zi bodisi {xi, yi, zi} = {0,1, 2}. Prvi zapis pomeni, da se karte v določeni lastnosti ujemajo, drugi pa, da so si po določeni lastnosti različne.
Ker smo vse lastnosti označevali s števili, lahko preverimo, kdaj tri karte predstavljajo trojko tudi računsko. Seštejemo števila, ki določajo lastnost i: xi + yi + Zi. Kakšne so lahko vsote teh števil?
■ 0 + 1 + 2 = 3,
0 + 0 + 0 = 0, 1 + 1 + 1 = 3,	2 + 2 + 2 = 6,
0 + 0 + 1 = 1, 1 + 1 + 0 = 2,	2 + 2 + 0 = 4,
0 + 0 + 2 = 2, 1 + 1 + 2 = 4,	2 + 2 + 1 = 5.
V prvi vrstiči je zapisan primer, ko imajo karte različno izbrano lastnost, v drugi pa, ko imajo karte
enako izbrano lastnost. Vse te vsote so deljive s tri, ostanek je 0. V tretji in četrti vrstici pa imata po dve karti enako lastnost, tretja karta pa se po tej lastnosti razlikuje. Vsote niso deljive s 3. Nimamo trojk.
Trojke torej dobimo natanko takrat, kadar je vsota števil, ki določajo i-to lastnost treh kart, deljiva s tri. V matematični obliki to zapišemo takole: xi + yi + zi = 0 (mod 3).
Pri zapisu z vektorji karte predstavljajo trojko, če je vsota vektorjev ničelni vektor, torej če zanje velja: d1 + d2 + d3 = (0,0,0,0). Pri tem seveda upoštevamo pravila za seštevanje v Z3.
Za karte, ki so na sliki 4 levo, velja: d1 = (2,1,1,0), d2 = (1,0, 2,1) in d3 = (0, 2,0, 2),
■ d1 + d2 + d3 = (2,1,1,0) + (1,0, 2,1) + (0,2,0, 2) = (0,0,0,0).
Ce torej prvima dvema kartama priredimo vektorja d1 in d2, je tretja karta natanko določena z vektorjem: d3 = - d1 - d2. Torej v našem primeru:
■ - d1 =	-(2,1,1,0) = (1, 2, 2,0),
- d2 =	-(1, 0, 2, 1) = (2, 0, 1, 2),
d3 =	- d1 - d2
=	(1, 2, 2,0) + (2,0,1, 2) = (0, 2,0, 2).
To pa je ravno tretja karta. Kako pogoste so trojke?
Koliko možnosti imamo, da izberemo karto tako, da dobimo trojko (slika 7)?
O O

SLIKA 7.
Karti smo dopolnili do trojke.
O

O
SLIKA 8.
Karti smo dopolnili do trojke.
Na sliki 8 se prvi dve karti razlikujeta po vseh štirih lastnostih, torej se mora tudi tretja po vseh lastnostih razlikovati od prvih dveh, če želimo dobiti trojko. Taka karta je ena sama.
Ker ima vsaka lastnost le tri možne vrednosti, je z dvema kartama tretja natanko določena. Po izboru dveh kart ostane še 79 kart. Torej je možnost, da izvlečemo pravo karto, 79 (temu rečemo, da je verjetnost za izbiro prave karte enaka 79) ali približno 1,3 %. Pravzaprav malo, kajne?
Vsaka dvojiča kart, ki nastopa v trojki, se ujema v največ treh lastnosti (v nobeni, v eni, v dveh ali v treh lastnostih). Ce bi se namreč dvojiči ujemali v vseh štirih lastnostih, bi bili enaki.
Koliko različnih trojk lahko sestavimo iz 81-ih (med seboj različnih) kart?
Ko izberemo prvo karto (81 možnosti), imamo za izbor druge karte še 80 možnosti. Kakor koli izberemo dve različni karti, ju le ena karta dopolnjuje do trojke. Poljubni dve karti imata namreč določeno lastnost bodisi enako bodisi različno. V prvem primeru mora tudi tretja karta imeti to lastnost enako, v drugem primeru pa tudi vemo, kakšna je tretja karta. Vemo, da lahko drugo karto izberemo poljubno, tretja pa je s prvima dvema natančno določena, kar sledi tudi iz enačbe d3 = - d1 - d2 . Vseh možnosti
je torej
■ n1 = 81 ■ 80 ■ 1 = 6480.
(3)
Ker se na sliki 7 karti ujemata v barvi in številu, mora imeti tretja karta dva elementa, elementi morajo biti vijolični, polnilo mora biti drugačno, na voljo je torej le polni znak, ki mora biti drugačen tudi po obliki, torej oval. Torej smo imeli le eno možnost, da karto dopolnimo do trojke.
Pri tem smo upoštevali tudi vrstni red kart. Pri iskanju trojk pa vrstni red ni pomemben. To pa pomeni, da moramo še preveriti, koliko teh trojk je enakih.
www.dmfa.si

—^ Permutacije množice z n elementi
Tri karte a, b in c lahko razporedimo v zaporedje treh kart na vec nacinov. Taki razporeditvi recemo permutacija množice s tremi elementi. Število teh permutacij je P3 = 3! = 6 (ali splošno: Pn = n! = 1 ■ 2 ■ 3 ■ ■ ■ n, kar beremo kot n fakulteta). Zapišimo teh šest nacinov:
(a, b,c), (b, c, a),
(a, c, b), (c, a, b),
(b, a,c), (c, b, a).
Vseh razlicnih trojk iz 81 kart je torej šestkrat manj kot vseh zaporedij (permutacij) treh kart:
n =
n1 6480
= 1080.
(4)
Igra je koncana, ko je vseh 81 kart razdeljenih in na mizi ni nobene trojke vec.
Nov igro zacne nov delilec. Ko so vsi igralci že bili delilci, se tocke seštejejo. Igralec z najvec tockami je zmagovalec.
Ali se lahko zgodi, da je na mizi vec kot 15 kart in ni trojke?
Seveda. Izkaže se, da je lahko na mizi najvec 20 kart brez trojk. Eden od primerov je na sliki 9.
66 Vseh različnih trojk je 1080.
V koliko trojkah pa nastopa dolocena karta?
Izberemo eno karto, ostane jih še 80. Ker ostali dve karti nastopata v paru, je torej še 40 možnosti. Vsaka karta nastopa v 40-ih trojkah.
Kako igramo igro?
Delilec premeša karte in na mizo v pravokotnik dimenzij 3 x 4 zloži 12 kart s slikami navzgor. Igralec, ki najprej vidi trojko, vzklikne »trojka«, in pobere tri karte. Ce se ostali igralci strinjajo, da je res našel trojko, dobi eno tocko. Delilec na mizo doda k ostalim kartam nove tri karte iz kupa nerazdeljenih kart. Na mizi je torej zopet 12 kart. Trojke je potrebno pobrati takoj po klicu »trojka«, (v nekaj sekundah). Dokler igralec ne pobere kart, drugi igralci ne smejo napovedovati trojk.
Ce se je igralec zmotil, torej ce nima trojke, mora karte vrniti na kup. Igralci zopet išcejo trojke med prvotnimi 12-timi kartami. Ce nihce ne najde trojke, delilec doda nove tri karte (zdaj je na mizi 15 kart). Ce nekdo od igralcev najde trojko, pobere tri karte, ki predstavljajo trojko, in dobi tocko. Novih kart se na mizo v tem primeru ne dodaja. Igralci zopet izbirajo trojke izmed 12-ih kart, ki so ostale na mizi. Ce ne najdejo trojke, potem delilec doda nove tri karte. Ce še vedno ne najdejo trojke, doda delilec še tri nove karte.
CD CD CD
G?

co co co
co co co
o
o o
o o
o
SLIKA 9.
20 kart, ni trojk.
Igro lahko igrate tudi na spletu, obstajajo tudi prosto dostopne verzije igre. Preprosto vtipkajte The set card game. Obstajajo tudi druge razlicice pravil igre.
Karte lahko predstavimo tudi s stolpci, kot na sliki 10. Na os x nanašamo lastnosti, na os y pa ustrezno vrednost za to lastnost 0, 1 ali 2.
štev. barva poln. oblika
lastnosti
SLIKA 10.
Predstavitev lastnosti s stolpci.
Kartam lahko damo tudi drugačne interpretacije. Karte lahko predstavljajo npr. štiri izbrane lastnosti, ki jih ima vsak matematik v večji ali manjši meri (merjene s tristopenjsko lestvico 2-1-0), npr.: računska spretnost, sposobnost logičnega sklepanja, sposobnost reševanja problemov, domišljija. Katera je tedaj »vaša« karta, če se sami realno ocenite po tej lestvici?
Sami poskusite najti kartam še kakšne druge interpretacije!
V razmislek: Ali lahko namesto trojk izbiramo ce-tverke (peterke, n-terke)? Koliko lastnosti bi morale imeti v teh primerih ustrezne karte?
Literatura
[1]	Copyright ©1988-2004 M. J. Falco in R. E. Falco, SET®, The family game of visual perception, www.setgame.com, dostopano 7. 8. 2014, Set is a registered trademark of SET Enterprises, Inc.
[2]	B. Coleman in K. Hartshorn, Game, Set, Math, Mathematics Magazine 85, 2, April 2012, MAA.
[3]	B. L. Davis in D. Maclang, The card game set, www.aimath.org/~kaur/mi sc/set.pdf, dostopano 7. 8. 2014.
_XXX
www.obzornik.si
www.dmfa-zaloznistvo.si
Barvni sudoku
•4/ -i' •i'
V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil.
			3		2		1
						3	
3 8 2 7							5 6
			5		1	4	
	4					6	
8		5					
		4		5	7		
O
v
O □
O
m
>
a
<
a
>
m
* £
-» a
E	8	7	5	Z	4	L	9
Z	L	9	17	L	5	E	8
L	6	S	Z	8	E	4	L
8	4	1	E	5	9	Z	L
6	Z	E	8	17 L 9 Z		L S 83	
5	L	17	L				
17 1	3 S	8	9	L	L	S	Z
		2	L	3	8	9	17
							
XXX
1
Tristo let Fahrenheitovih termometrov
Janez Strnad
-> Obletnic, povezanih z razvojem merilnih naprav, se spomnimo redkeje kot obletnic imenitnih odkritij in posrečenih poskusov. Naredimo izjemo in se tokrat posvetimo Fahrenheitu in njegovim termometrom.
Daniel Gabriel Fahrenheit je bil rojen leta 1686 v Danzigu (današnji poljski Gdansk je bil tedaj nemško mesto). Leta 1701 sta mu umrla oče in mati, poročajo, da zaradi zastrupitve z gobami oz., ker sta zaužila strup v prepričanju, da gre za zdravilo. Mestni svet je mladoletnim otrokom - trem sinovom in dvema hčerkama - določil skrbnike. Najsterejši Daniel naj bi nadaljeval družinsko dejavnost kot trgovec. Po enoletnem uku knjigovodstva so ga leta 1702 poslali v Amsterdam na štiriletno vajeništvo. Bolj kot trgovina pa ga je zanimalo naravoslovje, in še posebej izdelovanje termometrov in barometrov. Da je lahko raziskoval, si je izposodil denar. Skrbniki so morali nastale dolgove poplačati iz dediščine mladoletnika. Zato bi ga priprli in izgnali v Vzhodno Indijo, današnjo Indonezijo, če ne bi Daniel leta 1707 izginil. Odpravil se je na potovanje in obiskal Nemčijo, Švedsko in Dansko. Ves čas se je izpopolnjeval v izdelovanju termometrov in barometrov. Leta 1710 je s štiriindvajsetimi leti - po tedanjih zakonih - postal polnoleten in se je lahko vrnil v Gdansk. Še vedno je veliko potoval, dokler se ni leta 1717 ustalil v Amsterdamu. Leta 1724 je obiskal London, kjer so ga sprejeli v Kraljevo družbo, angleško akademijo znanosti. Leta 1736 se je mudil v Haagu, nenadno zbolel in umrl. Do današnjih dni se žal ni ohranila nobena upodobitev Fahrenheita.
Prizadevanja, da bi ljudje podrobno izrazili, kako toplo je kaj, so stara. Iz nekdanje jakosti (intenzitete) toplote se je razvila temperatura in iz mno-
žine toplote toplota. Galileo Galilei je očenjeval temperaturo s termoskopom (slika 1). Po njegovi smrti so njegovi nekdanji učenči s sodelavči v Firenčah v drugi poloviči 18. stoletja razvili alkoholne termometre (slika 2). Kot florentinski termometri so se prečej razširili. Nekaj časa je minilo, preden so izdelovalči termometrov spoznali, da se je treba dogovoriti o dveh osnovnih temperaturah in o številu enot med njima. Enote so imenovali stopinje. Sprva je vsak izdelovaleč termometrov uporabljal drugačen dogovor; tudi firenški izdelovalči termometrov niso sprejeli trdnega dogovora - pomagali so si z najhladnejšim in najtoplejšim dnem v Firenčah. Tako niti dva njihova termometra nista kazala enako. Tudi Fahrenheit je najprej izdeloval alkoholne termometre, prve že leta 1706 ali 1707. Zastopal je stališče, da morata biti osnovni temperaturi natančno določeni in lahko določljivi.
Leta 1713 ali 1714 je Fahrenheit izdelal prve ži-vosrebrne termometre za lastno rabo. V letih 1717 in 1718 jih je začel izdelovati za prodajo. Potrebe po termometrih so bile namreč tedaj velike. Že prej so poskušali uporabiti živo srebro, a se je lepilo na stene čevk. Fahrenheit je z destilačijo prečistil živo srebro in tako dosegel, da se ni lepilo na stene čevk. To je bil pomemben napredek. Živo srebro se z naraščajočo temperaturo bolj enakomerno razteza kot alkohol. Z alkoholnimi termometri ni bilo mogoče meriti temperatur nad vreliščem alkohola pri 78,4 °C. Fahrenheit je tudi ugotovil, da ni vseeno, iz katere vrste stekla so termometrske čevke, in da je vrelišče odvisno od zračnega tlaka.
Leta 1708 je Fahrenheit v Amsterdamu obiskal astronoma Oleja Romerja, ki je prvi ugotovil, da svetloba potuje s končno hitrostjo. Romer je izdeloval termometre, ker jih je potreboval pri meteoroloških opazovanjih, a o termometrih tedaj ni ničesar objavil. Za osnovo mu je bila lestviča s 60-imi stopinjami,
SLIKA 1.
Galileo Galilei je leta 1 592 ali 1 593 izdelal termoskop. Benedetto Castelli je opisal, kaj je videl pri Galileiju okoli leta 1603: »Vzel je stekleno posodico, približno tako veliko kot manjše kokošje jajce, z vratom, dolgim dve pedi (okoli 40 centimetrov), tankim kot pšenicna slamica. Z tokami je dobro segrel posodico. Potem jo je zasukal in ustje postavil v posodo, v kateri je bilo nekaj vode. Ko je umaknil roke s posodice, se je gladina vode v vratu takoj zacela dvigovati in se je dvignila za vec kot ped nad gladino vode v posodi. Gospod Galilei je potem uporabil ta pojav, da bi izdelal napravo za ugotavljanje stopnje toplote in mraza.«
SLIKA 2.
V florentinskem termometru so na posodico pritalili cevko s konstantnim presekom. Obarvani alkohol v bucki so segreli, daje segal do vrha cevke, in cevko zatalili. Ko se je naprava ohladila, se je gladina tekočine v cevki znižala, ker se je prostornina alkohola bolj zmanjšala kot prostornina stekla. Višina gladine je bila mera za temperaturo. Stara risba kaže, da so izdelovali tudi precej zapletene termometre.
ki jo je razdelil na osem delov s po Z1 stopinjami. Za osnovni temperaturi je vzel temperaturo talečega se ledu in telesno temperaturo, merjeno pod pazduho ali v ustih, ki so jo tedaj imenovali »temperatura krvi«. V pregledničah ni želel navajati negativnih temperatur, zato je 0 stopinj priredil temperaturi hladilne zmesi vode, ledu in kamene soli v upanju, da bo nižja temperatura le poredko dosežena. Ničla tako ali tako ni bila pomembna, saj se je za določitev lestviče treba dogovoriti le o dveh osnovnih temperaturah. Kaže, da je Romer 60 stopinj povezoval s temperaturo vrele vode, čeprav njegovi termometri niso segli tako visoko. V pismu je Fahrenheit opisal, kako je ravnal Romer: »Videl sem, da je več termometrov postavil v vodo in led ter jih pozneje potopil v toplo vodo, ki je imela temperaturo krvi. Ti dve legi je zaznamoval na termometru. Polovičo razdalje je dodal pod točko v posodi z ledom in vso razdaljo razdelil na 22^ delov, začenši z 0 na dnu, z2> za
tocko posode z ledom in 222 za temperaturo krvi.«
Fahrenheit se je zgledoval po Romerju, le da je vsako njegovo stopinjo razdelil še na štiri dele in se je tako znebil »neprijetnih ulomkov«. Mešanici vode in ledu je priredil 30 stopinj in telesni temperaturi 96 = 25 ■ 3 stopinj. Danes je Fahrenheitova lestvica določena z dogovorom, da tališču ledu ustreza 32 0F in vrelišču vode 212 0F. V uradni rabi je še v Združenih državah Amerike in nekaterih manjših državah.
V Kanadi jo uporabljajo poleg Celzijeve lestnice. Cel-zijeva lestvica ne sodi v mednarodni sistem enot SI, a jo ta dovoljuje za rabo v vsakdanjem življenju.
Fahrenheitovi termometri so se odlikovali po na-tancnosti. Leta 1714 je Fahrenheit v Halleju obiskal Christiana von Wolffa, ki je poklicno pot zacel kot matematik, a je bil bolj znan kot filozof. Izrocil mu je dva alkoholna termometra, ki ju je Wolff podrobno preizkusil. Ugotovil je, da sta oba kazala enako, ce-prav sta se po zgradbi razlikovala. To ga je mocno

—^ %
bili neposredno povezani s termometri in barometri. Raziskal je vrelišče različnih tekočin v odvisnosti od tlaka. Izdelal je termometer, s katerim so po vrelišču vode ugotavljali zračni tlak. Opazoval je raztezanje stekla različnih izdelovalčev. Načrtoval je uro z živim srebrom, ki naj bi jo bilo mogoče uporabiti za ugotavljanje zemljepisne dolžine, in napravo za dviganje vode. Ob sprejemu v Kraljevo družbo je leta 1724 v Londonu imel več predavanj in je v poročilih družbe objavil pet kratkih člankov. To je bila edina njegova objava. Dopisoval si je s številnimi tedanjimi znanstveniki, med njimi z Gottfriedom Wil-helmom Leibnizem. V objavah in v pismih je mogoče spoznati podrobnosti o Fahrenheitovem življenju in delu.
Wolff je o Fahrenheitu zapisal: »Zasluži priznanje za prizadevanje pri izdelavi termometrov in barometrov, je pa premalo izkušen v znanosti matematike in v njegovih iznajdbah naključje igra večjo vlogo kot razmišljanje.«
_ XXX
Križne vsote
SLIKA 3.
Ni znano, koliko živosrebrnih termometrov je Fahrenheit izdelal na začetku. Dva hrani muzej na Nizozemskem, tretji seje leta 2012 pojavil na dražbi družbe Christie's in so ga prodali za 67 tisoč funtov (81 tisoč evrov).
presenetilo, saj si dotlej kaj takega ni bilo mogoče zamisliti. Svoje ugotovitve je objavil v Ačta Erudi-torum (Zapiskih modrih), eni od prvih znanstvenih revij. S tem je Fahrenheitov dosežek razširil med tedanjimi raziskovalči. To je razlog, da so številni spletni naslovi leto 2014 razglasili za tristoletničo Fah-renheitovega termometra in Fahrenheitove lestviče. Lestvičo je bilo mogoče vnaprej narisati na deščičo, na katero so pozneje pritrdili termometrsko čevko. Odtlej so termometre množično izdelovali. Fahren-heitovi termometri so bili natančnjši od drugih in so se močno raširili. Leta 1714 je Fahrenheit nekaj živosrebrnih termometrov razdelil znančem (slika 3).
Po letu 1718 je Fahrenheit v Amsterdamu predaval o optiki, hidrodinamiki in kemiji; zapisi teh predavanj so se ohranili. Delal je tudi poskuse, ki niso
-> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne.
	5	19					
13						3	14
9			11		8 19		
	7			14 10			
		15					
			5				
XXX
TEKMOVANJA
-i' -i' -i'
Pri Društvu matematikov, fizikov in astronomov Slovenije smo se odločili, da v šolskem letu 2014/15 prvič izvedemo naravoslovno tekmovanje Kresnička, namenjeno učencem od 1. do 7. razreda osnovne šole. Z njim bi radi spodbudili najmlajše, da bi na igriv način in s preprostimi poskusi spoznavali naravo ter naravne pojave, želeli pa bi gojiti tudi naravoslovno radovednost ter širiti znanje o sičer zapletenih temah o živem in neživem svetu.
Poskusi so sestavni del naravoslovne Kresničke. Prvo tekmovanje bo potekalo na šolah 11. februarja 2015. Poskuse pa je treba izvesti prej, saj bo veliko vprašanj na tekmovanju temeljilo prav na poskusih in opažanjih učencev.
V Preseku bomo objavili nekatere poskuse; nekateri so že bili ali še bodo objavljeni v Mojem planetu in v Naravoslovni solnici, prav vsi razpisani poskusi in še dodatne informacije o Kresnički pa so objavljeni na spletni strani http://www.dmfa. si/NaOS/ Razpi s.html.
4. in 5. razred / 3. poskus
Vodna gladina ni vedno ravna in včasih leze
Pripomočki:
■	dva plastična kozarča, stekleni kozareč, kapalka,
papirnata brisača, tempera barva ali črnilo, škarje, ura,
■	alkoholni flomaster.
SLIKA 1.
Pripomočki za poskus
Napotek. Vedno, ko opravljaš poskuse z detergen-tom za pomivanje posode, tekočim milom ali šam-ponom, moraš pred ponovitvami poskusov vse pripomočke temeljito sprati s čisto vodo. Ostanki de-tergenta vplivajo na izide poskusov.
1. Stekleni in plastični kozareč postavi tako, da je dno obrnjeno navzgor. Kozarča naj bosta čista in suha. Na dno obeh kozarčev kani kapljičo čiste vode in opazuj obliko kapljiče z vseh strani. Skičiraj obliko kapljiče.

TEKMOVANJA
—^ 2. V dva kozarca, steklenega in plastičnega, nalij cisto vodo. Opazuj obliko gladine vode v obeh kozarcih ob stenah kozarcev. Opaziš razliko med gladinama ob stenah plasticnega in steklenega kozarca?
3. V plasticni kozarec nalij vodo do vrha in jo obarvaj s tempera barvo ali s crnilom. Iz papirnate bri-sace izreži 3 cm širok trak. Trak naj bo cim daljši (npr. 30 cm). Eno krajišce traku potopi pod gladino vode v kozarcu, preostanek traku razgrni na podstavek, katerega višina naj bo približno enaka višini kozarca. Voda zacne potovati po traku. Vsako minuto ob traku oznaci lego meje med še suhim in že omoce-nim delom traku. Opazuj vsaj 10 minut, potem trak pusti še nekaj casa in pridi pogledat, do kod je omo-cen cez pol ure ali eno uro. Na sliki je voda obarvana s tempera barvo.
4. V enega od dveh plasticnih kozarcev nalij skoraj do vrha vodo in jo obarvaj s tempera barvo ali s crnilom. Drugi kozarec je prazen. Med kozarca namesti trak iz nekajkrat prepognjene papirnate bri-sace. Opazuj, kako voda potuje po traku iz prvega kozarca v drugega. Na zacetku poskusa vsake pol ure z alkoholnim flomastrom oznaci višini gladin v obeh kozarcih. Ni treba, da si ves cas zraven. Poskus naj poteka vsaj en dan.
Razmisli, preizkusi, poišci, vprašaj ...
■	Ali je oblika kapljice vode odvisna od snovi, na kateri leži kapljica? Kapljico vode opazuj na stekleni, plastični, kovinski, leseni površini in na površini posode, ki se je hrana ne oprijemlje.
Ali na obliko kapljice vode vpliva dodatek deter-genta za pomivanje posode, tekočega mila ali šam-pona, ki ga dodaš vodi?
Kakšna je oblika gladine vode ob stenah keramic-nega lončka, emajlirane posode, posode iz nerja-vecega jekla?
Razišci, kako na obliko gladine vode ob stenah kozarca vpliva detergent (ali šampon ali tekoče milo), ki ga dodaš vodi.
■	Razišci, kako na potovanje vode po traku vplivajo širina traku, debelina traku (ce papirnato brisaco prepogneš po dolžini), vrsta papirnate brisace.
Namesto papirnate brisače uporabi trak iz navadnega papirja, iz časopisnega papirja, blaga, volneno nit, bombažno nit, papirnato servieto. ■ Ali se med lončkoma pretaka obarvana voda? Kaj opaziš?
Ali se vsa voda pretoči iz prvega v drugi kozareč? Ali je hitrost pretakanja med kozarčema enaka, če poskus izvajaš s čisto vodo ali z vodo, ki je obarvana s tempera barvo?
6. in 7. razred / 2. poskus
Oblika gladine in plavanje
Pripomočki:
plastični kozareč, stekleni kozareč, kapalka,
krogliče iz stiropora, ■ risalni žebljički s plastičnimi kapičami.

SLIKA 2.
Pripomočki za poskus
Napotek. Vedno, ko opravljaš poskuse z detergen-tom za pomivanje posode, tekočim milom ali šam-ponom, moraš pred ponovitvami poskusov vse pripomočke temeljito sprati s čisto vodo. Ostanki de-tergenta vplivajo na izide poskusov.
1. Stekleni in plastični kozareč postavi tako, da je dno obrnjeno navzgor. Kozarča naj bosta čista in suha. Na dno steklenega in plastičnega kozarča kani kapljičo čiste vode in opazuj obliko kapljiče z vseh strani. Skičiraj obliko kapljiče.
2. V dva kozarča, steklenega in plastičnega, nalij čisto vodo. Opazuj obliko gladine vode,
■ ko sta kozarča napolnjena do poloviče;
ko sta kozarča napolnjena povsem do vrha, s kupčkom, tako da se voda ne prelije čez rob.
Skičiraj obliko gladine, ko jo pogledaš od strani.
3. Razstavi en risalni žebljiček na dva dela tako, da z njega snameš plastično kapičo. Oba dela potrebuješ za nadaljevanje poskusa.
18
m__
> s= .cd ra
T3 U1
ca in

Presek 42 (2014/2015) 1
15
■is ■i' ■i'
Nagradna križanka
NARAtUN. ZASLONU
FORDOV MALČEK
IVAN MINATTI
PREDLOG
MESTO OB NAJVEČ. JEZERU V ŠVICI
OHMSKI ELEMENT VTOKO-
19
ČLOVEK, KI VSE VE
MESTU NA CIPRU
ČLOVEKOV DUŠEVNI JAZ
ZABAVNO ODRSKO DELO SATIRIČNE VSEBINE
STARO-TURŠKI POVELJNIK
PRENOČEVANJE
DRUGA PLESNA SUKA PRI ČETVORKI
10
1.SOLMI-ZACLSKI ZLOG
KAZALKI ZAIMEK
ENAKA SOGLASNO«
SEČNICA (TELESNI ORGAN)
ALFRED NOBEL
NEPRAVILNOSTI V DELOVANJU
11
PRISLOV KRAJA
SIR Z VELIKIMI LUKNJAMI
16
PREDUJEM, NAPLAČILO
PRIMORSKA ENOLONČNICA
KOREJSKA VALUTA
KRAJ PRI RAKEKU
RIMSKI GRADITELJ
REKA NASZ. NEMČUE
IZPRANA SNQ.V, IZLUZEK
21
SLAVKO AVSENIK
TOPEL VETER NA ZAVETRNI STRANI GORA
NELLY FURTADO
NICOLE HDSP
20
NEMŠKO MESTO OB MEJI ZBELGUO INNIZOZ.
NAGRADNI RAZPIS
-> Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani
www.presek.si/krizanka
ter ga oddajte do 15. oktobra 2014, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado.
_ XXX
TEKMOVANJA
4. Stekleni kozareč do polovice napolni z vodo in daj vanjo plavat, previdno, da ne potonejo (glej opombo na konču),
krogličo iz stiropora, risalni žebljiček s plastično kapičo, samo plastično kapičo risalnega žebljička, samo kovinski del žebljička (brez kapiče).
Opazuj obliko gladine in ravnovesno lego plavajočega predmeta (kje predmet obmiruje). Razišči tudi, kako delujeta eden na drugega dva predmeta (dve krogliči, dva risalna žebljička, krogliča in žebljiček, kapiča risalnega žebljička in krogliča), ki plavata sočasno na vodni gladini. Plavajoče predmete lahko premikaš po gladini vode, če narahlo pihaš vanje.
5. Stekleni kozareč povsem do vrha napolni z vodo (vodna gladina naj sega čez rob kozarča) in daj vanjo plavat, previdno, da ne potonejo (glej opombo na konču),
krogličo iz stiropora, risalni žebljiček s plastično kapičo, samo plastično kapičo risalnega žebljička, samo kovinski del žebljička (brez kapiče).
Opazuj obliko gladine in ravnovesno lego plavajo-cega predmeta (kje predmet obmiruje). Razišci tudi, kako delujeta eden na drugega dva predmeta, ki plavata socasno na vodni gladini.
Opomba. Ce se ti ne posreci na gladino vode postaviti risalnega žebljicka tako, da plava, poglej še navodila za 4. poskus za 2. in 3. razred.
Razmisli, preizkusi, poišci, vprašaj . . .
Ali je oblika kapljice vode odvisna od snovi, iz katere je površina, na kateri leži kapljica? Kapljico opazuj na stekleni, plasticni, leseni, kovinski površini in na površini posode, ki se je hrana ne opri-jemlje.
Ali na obliko kapljice vode vpliva dodatek deter-genta za pomivanje posode, tekocega mila ali šam-pona, ki ga dodaš vodi?
Kakšna je oblika gladine vode ob stenah kerami c-nega loncka, emajlirane posode, posode iz nerja-vecega jekla?
Razišci, kako na obliko gladine ob stenah kozarca vpliva detergent, ki ga dodaš vodi.
■	Razišci, kako na plavanje in ravnovesno lego raz-licnih predmetov vpliva detergent, ki ga dodaš vodi.
■	Razišci, kako na medsebojno delovanje dveh predmetov, plavajocih na vodni gladini, vpliva detergent, ki ga dodaš vodi.
■	Ali lahko na osnovi svojih opažanj oblikuješ pravilo (ali vec pravil), ki velja za plavanje razlicnih predmetov na vodni gladini?
■	Ali lahko na osnovi svojih opažanj oblikuješ pravilo (ali vec pravil), ki velja za medsebojno delovanje predmetov, plavajocih na vodni gladini?
■	Svoja pravila lahko preveriš še z opazovanjem drugih (majhnih) plavajocih predmetov.
_ XXX
Novice iz vesolja - ekskluzivno
novice iz
VESOLJA
	ekskluzivno • «
•	V *
	• 7
	
t '	
	i *
prevod in priredba
Andreja Gomboc
UNlVEKSe ■ N
"is Vp
Andreja Gomboc
Živimo v času, ko vsak dan prinese nekaj novega. Tako je tudi v znanosti, pri čemer astronomija ni nobena izjema. Vedno večji teleskopi, sateliti in druge visoko tehnološke naprave, nove opazovalne metode in vedno bolj kompleksne računalniške simulačije nenehno prinašajo nova odkritja. Naše znanje o vesolju in razumevanje pojavov v njem se iz dneva v dan izboljšujeta. A kako predstaviti najnovejša odkritja o vesolju osnovno-šolčem, ki nimajo posebnega astronomskega predznanja, na čimbolj zanimiv in razumljiv način?
Ta izziv so si zadali sodelavci mednarodnega projekta Zavedanje vesolja (Universe Awareness -UNAWE) in se lotili priprave kratkih novic pod skupnim nazivom Space Scoop, kar smo v slovenščino prevedli kot Iz vesolja - ekskluzivno. Namen novic je približati vesolje mladim in spremeniti pogosto dojemanje znanosti kot nekaj zastarelega in dolgo-casnega. Tako, da z mladimi delimo najnovejša odkritja o vesolju, lahko v njih zbudimo zanimanje za znanost in tehnologijo, ki sta v današnjem svetu vsepovsod prisotni in je zato njuno spoznavanje nujno.
Novice Iz vesolja - ekskluzivno porocajo o svežih astronomskih odkritjih z vseh koncev sveta in so pripravljene v sodelovanju z Evropskim južnim observatorijem, Nasinim rentgenskim observatorijem Chandra, Evropsko vesoljsko agencijo, Japonskim nacionalnim astronomskim observatorijem, Nizozemskim inštitutom za radijsko astronomijo, Europlanetom, Južno-afriškim astronomskim observatorijem, Kraljevo astronomsko družbo, Globalno mrežo teleskopov observatorija Las Cumbres in Nasinim/ Esinim vesoljskim teleskopom Hubble.
SLIKA 1.
Naslovnica publikacije Iz vesolja - ekskluzivno, št. 1.
Novice objavljajo tedensko na spletni strani projekta UNAWE (podpisana poskrbim za slovenski prevod): http://www.unawe.org/kids/archive/-lang/sl/. Od pricetka objavljanja novic leta 2011 do danes se jih je nabralo že cez dvesto. V letošnjem letu smo nekatere predstavili tudi v tiskani obliki v brezplačni publikaciji (slika 1), ki smo jo poslali po slovenskih in zamejskih šolah. Vse posamezne novice pa si lahko tudi sami natisnete v privlacni obliki, saj je vsaka dostopna tudi kot pdf datoteka (slika 2).

Presek 42 (2014/2015) 1
19
ASTRONOMIJA
->
SLIKA 2.
Primer novice Iz vesolja - ekskluzivno v pdf obliki.
Novice Iz vesolja - ekskluzivno so cudovito orodje, ki ga lahko uporabimo za samostojno branje, za poucevanje in razpravo v ucilnici, kot gradivo za priprave na tekmovanje iz astronomije, osnovo za pripovedovanje zgodb, ustvarjalno pisanje, risanje.
V slovenskem jeziku so novice dostopne tudi na Portalu v vesolje (www.portalvvesolje.si/-izvesolja/), kjer caka radovedneže še veliko drugih astronomskih novic o svetovnih odkritjih, obvestil o astronomskih dogodkih v Sloveniji in koristnih povezav. V zavihku »Za šole« najdete tudi obvestila o tekmovanju v znanju astronomije, o izobraževanjih za ucitelje in kakovostno gradivo za razlago tako osnovnih astronomskih konceptov kot tudi zahtevnejših vsebin, pa tudi predloge za samostojno delo ucencev. Na Portalu v vesolje z veseljem objavimo tudi porocila o astronomskem dogajanju na posameznih šolah, raziskovalne naloge, astronomske fotografije, zato nam jih pošljite na e-naslov: i nfo@ portalvvesolje.si.
In ker smo glede novic Iz vesolja - ekskluzivno dobili že kar nekaj pozitivnih komentarjev tudi od odraslih bralcev, še pojasnilo: seveda je branje teh novic (in brskanje po Portalu v vesolje) dovoljeno tudi odraslim - namenjene so namrec vsem otrokom tega sveta, zato ste vsi, ki še imate v srcu kancek radovednosti, vabljeni k branju in odkrivanju vesolja!
Dve nedavni novici Iz vesolja - ekskluzivno:
Z dežja pod kap... na Soncu
30. junij 2014
Prav tako kot na Zemlji so tudi na Soncu obdobja slabega vremena z mocnimi vetrovi in dežnimi plohami. Toda za razliko od pogostih neviht na Zemlji, dež na Soncu ni iz vode ampak iz elektricno nabitega, super vrocega plina, ki mu pravimo plazma. Ta pada z okrog 200.000 km/h iz Sonceve zgornje atmosfere, imenovane korona, v obliki tisocev gigantskih kapelj - po velikosti se le-te lahko kosajo z državami na Zemlji.
Ta osupljiv pojav so prvic odkrili pred skoraj 40-imi leti. Zahvaljujoc najmodernejšim satelitom pa ga lahko sedaj solarni fiziki (ljudje, ki proucujejo Sonce) zelo podrobno opazujejo in pricenjajo zares razumeti, kako pride do teh neverjetnih neviht.
Izkaže se, da dež na Soncu nastane na zelo podoben nacin kot dež na Zemlji. Ce so pogoji v Soncevi atmosferi ravno pravšnji, plazma izpari s površine in nastanejo oblaki vroce plazme. Oblaki se nato ohladijo in scasoma padejo nazaj na Soncevo površino v obliki kapelj izjemno vrocega dežja iz plazme.
Vendar pa je razlog, zaradi katerega se sproži nastajanje dežnih oblakov, na Soncu zelo drugacen od tistega na Zemlji. Soncevi blišci so najmocnejše eksplozije v Osoncju, pomagajo segreti Soncevo atmosfero in, kot kaže najnovešja raziskava, sprožijo tudi izparevanje plazme ter nastanek oblakov.
Cool dejstvo
Sonceva korona ima žgocih 2 milijona °C in je tako mnogo bolj vroca kot zvezdina površina, ki je s »samo« 6000 °C prav hladna v primerjavi s korono. Težava pa je, da nihce ni zares preprican, zakaj je Sonceva atmosfera tako zelo vroca.
To je otroška verzija novice Kraljeve astronomske družbe.
ASTRONOMIJA
SLIKA 3.
Slika k novici Z dežja pod kap... na Soncu.
Rentgenski vid razkriva notranjost zvezd
22. julij 2014
Morda ste že slišali, da je bil velik del snovi, iz katerih je zgrajen svet okoli nas, skovan v vročih trebuhih masivnih zvezd. Toda kako to vemo? V središča zvezd vendarle ne moremo poslati raziskovat vesoljskih sond, ker na Zemlji ne poznamo nobenega materiala, ki bi prenesel neznansko vročino v zvezdi in ne bi izparel.
Na našo srečo (a nesrečo zvezd) vsaka zvezda, ki ima več kot 8-krat višjo maso od Sonča, prej ali slej eksplodira kot supernova. Ko se to zgodi, zvezdino notranjost raznese v vesolje, kjer jo lahko vidi kdorkoli. V eksploziji supernove nastanejo med drugim tudi redki kemijski elementi, kot so zlato, titan in uran. Supernove so tako močne, da so nekaj časa svetlejše od čelotne galaksije!
Vsaka od gornjih štirih izjemnih fotografij prikazuje ostanek ene od eksplodiranih zvezd - imenovanega tudi ostanek supernove. Slike je objavil Nasin rentgenski observatorij Chandra ob praznovanju svojega 15. rojstnega dneva. Teleskop Chandra je
posebej načrtovan za sprejemanje rentgenske svetlobe, ki prihaja iz zelo vročih krajev in teles v vesolju - tudi iz eksplodiranih zvezd. Ker eksplozije super segrejejo razbitine svojih zvezd, le-te močno žarijo v rentgenski svetlobi.
Zemljino ozračje ne prepušča rentgenske svetlobe iz vesolja, zato se mora Chandra nahajati v tirniči visoko nad Zemljo. Trenutno gleda v vesolje z višine 140.000 km nad Zemljo. S tega idealnega položaja snema rentgenske slike, na katerih je videti izredne podrobnosti, kar nam omogoča proučevanje oblike, gibanja in kemijske sestave ostankov supernov.
Cool dejstvo
Ostanki supernov sami ne ustvarjajo nobene energije, kar pomeni, da bo njihova zaloga energije prej ali slej pošla in vsa ta lepa vesoljska telesa bodo postajala bolj in bolj temna, dokler ne bodo postala za nas nevidna. Toda ne skrbite, to se bo zgodilo šele čez mnoga tisočletja.
To je otroška verzija noviče rentgenskega observatorija Chandra.
ASTRONOMIJA
SLIKA 4.
Slika k novici Rentgenski vid razkriva notranjost zvezd. Od leve proti desni so na sliki: meglica Rakovica, G292.0+1.8, Tychova supernova in na dnu 3C58.
_XXX
Snemajmo planete, Luno in Sonce
ASTRONOMSKA DELAVNICA NA STROKOVNEM SREČANJU D M F A SLOVENIJE
-> V okviru strokovnega srečanja in 66. občnega zbora DMFA Slovenije, ki bosta 24. in 25. oktobra 2014 v Hotelu Cerkno v Cerknem, bo potekala astronomska delavnica Snemajmo planete, Luno in Sonče.
Večina šol ima teleskope, ki jih učitelji morda uporabijo le nekajkrat na leto za vizualna opazovanja. Potrebni pa so le majhen korak, ščepec poguma in nekaj znanja, da astronomska opazovanja postanejo zanimivejša. Z uporabo enostavnih kamer in fotoaparatov namreč lahko že po nekaj poskusih naredimo solidne posnetke planetov, Lune in Sonca. Uporaba digitalnih kamer in računalniških programov za obdelavo astronomskih slik pa je zelo privlačna tudi za učence oz. dijake.
Na delavničo so vabljeni učitelji in mentorji astronomskih krožkov, ki bi radi spoznali in preskusili metode snemanja planetov, Lune in Sonča. Udele-ženči morajo s seboj prinesti prenosne računalnike.
Delavničo bo vodil Andrej Guštin.
Na strokovno srečanje in astronomsko delavničo se prijavite na www. dmfa .si.
0MFA
_ XXX
Stabilnost fulerenov in računalništvo
•is ■i' ■i'
Katja Breznik, Simon Brezovnik in Janez Dolšak
Uvod
Ste že slišali za kemijsko spojino fuleren? Ali veste, da lahko iz njega izdelamo material, ki je tudi do 200-krat trdnejši od jekla? Ali pa, da lahko fuleren zavira širjenje virusa HIV po telesu?
Fulereni so poleg grafita in diamanta ena izmed oblik ogljikovih molekul. Pojavljajo se v obliki sfere, elipsoida ali čevi. Imajo veliko koristnih lastnosti: so protivirusno aktivni, sposobni prenosa elektronov, prenosa zdravil v našem telesu in so potenči-alna orodja za ugotavljanje malignosti tumorjev. Prisotni so tudi v povsem vsakdanjih predmetih, npr. v oblačilih, teniških loparjih in v premazu krogel za bowling. Na sliki 1 vidimo primer v naravi najbolj pogostega fulerena, znanega pod imenom Bučkmin-sterfuleren (krajše Bučkyball). Odkrili so ga v 80-ih letih prejšnjega stoletja. Tvori ga 60 ogljikovih atomov, ki se povezujejo v obliko prisekanega ikozae-dra, ki spominja na nogometno žogo. Ime je dobil po arhitektu in izumitelju Bučkminsterju Fullerju, ki je v kupolo ene izmed svojih slavnih konstrukčij vključil heksagonske in pentagonske oblike.
SLIKA 1.
Buckyball
SLIKA 2.
Ogljikove nanocevke
V splošnem obstaja vec fulerenov, ki imajo raz-licne lastnosti in dajejo razlicne možnosti uporabe. Buckminsterfuleren npr. zavira encim HIV-1 prote-aza, kar lahko zaustavi širjenje virusa HIV po telesu. Ogljikove nanocevke (slika 2) zaradi velike stabilnosti in nereaktivnosti omogocajo shranjevanje mocno reaktivnega elementa vodika, hkrati pa jih zaradi dobre elektricne prevodnosti uporabljajo tudi v elektroniki. Ker so mocnejše in lažje od jekla, jih uporabljajo tudi v vesoljskih plovilih.
Kemija fulerenov doživlja vzpon in ob tem je zra-stlo tudi zanimanje za raziskovanje matematicnih modelov, ki so v pomoc pri dolocanju stabilnosti fulerenov. To raziskovanje povezuje kemijo s teorijo grafov in z računalništvom.
Pojasnimo najprej, kaj pojem kemijske stabilnosti sploh pomeni. Kemijska stabilnost je kriterij, ki doloca, kakšna je težnja snovi k ohranitvi kemijske


zunanje lice
vzporedni povezavi
SLIKA 3.
Primer grafa z označenimi osnovnimi elementi
strukture, ko je snovi dodana neka druga (reaktivna) snov ali pa je ta izpostavljena visokemu tlaku, temperaturi ali svetlobi. Dejstvo je, da vecja kot je notranja energija snovi, bolj je snov reaktivna in zato manj stabilna. Vec o stabilnosti fulerena si lahko bralec ogleda v [5].
Osnovni pojmi teorije grafov
O grafih je bilo v Preseku že veliko napisanega (npr. [2]). Ponovimo osnovne pojme.
Graf G tvori urejen par (V(G),E(G)), pri cemer je V (G) množica vozlišc, E(G) pa množica neurejenih parov vozlišc, ki jih imenujemo povezave grafa. Graf G je koncni graf, ce ima koncno mnogo vozlišc in povezav. Obmocja grafa G, ki so omejena s povezavami, vkljucno z zunanjim neomejenim obmocjem, imenujemo lica.
Povezavo v grafu, ki ima obe krajišci enaki, imenujemo zanka. Povezavi, ki imata enaki krajišci, pa imenujemo vzporedni povezavi. Ce v grafu ni ne zank in ne vzporednih povezav, pravimo, da je graf enostaven. Na sliki 3 je prikazan graf z oznacenim licem, zunanjim licem, zanko in vzporednima povezavama.
Ravninski graf je graf, ki ga lahko narišemo v ravnini, tako da se poljubni par povezav seka le v skupnem vozlišcu ali pa se ne seka.
Graf G je regularen, ce gre iz vsakega njegovega vozlišca enako število povezav. Natancneje grafu, pri katerem iz vsakega vozlišca izhaja natanko k povezav, pravimo k-regularen graf. 3-regularnemu grafu pravimo tudi kubicni graf. Primer kubicnega grafa vidimo na sliki 4.
Graf G je dvodelen, ce lahko množico njegovih vozlišc V (G) razdelimo v dve disjunktni množici V1(G) in V2(G), tako da vsaka povezava e iz E(G) poteka iz vozlišca v1 iz V1(G) v vozlišce v2 iz V2(G). Na sliki 4 lahko vidimo, da je prikazani graf dvodelen (bela in crna vozlišca predstavljajo disjunktni množici).
Graf H je podgraf grafa G, ce velja, da je množica vozlišc V (H) grafa H podmnožica vozlišc V (G) grafa G in da je množica povezav E(H) grafa H podmnožica povezav E(G) grafa G.
SLIKA 4.
Kubicni graf
SLIKA 5.
Levo graf in desno njegovvpet podgraf
Graf H je vpeti podgraf grafa G, če je H podgraf grafa G in velja V(G) = V(H) (slika 5).
Predstavljajmo si, da imamo ravninsko risbo povezanega ravninskega grafa G. Potem v tem grafu v notranjosti vsakega liča narišemo po eno točko. Za vsako povezavo e grafa G narišemo črto, ki povezuje točki, ki ležita v ličih grafa G, ki si delita povezavo e. Ta črta bo predstavljala povezave, prej določene točke pa vozlišča grafa, ki ga bomo imenovali dualni graf grafa G [4]. Na sliki 6 lahko vidimo, kako iz grafa skonstruiramo njegov dual.
Graf K je polni graf, kadar med poljubnim parom različnih vozlišč obstaja povezava. Polni graf, ki ga sestavlja n vozlišč, označimo z Kn. Na sliki Z vidimo polni graf na dvanajstih vozliščih.
Naj bo M podmnožiča množiče povezav grafa G. Množiči M pravimo prirejanje, če za poljubni različni povezavi iz te množiče velja, da nimata skupnega krajišča. Prirejanje M, v katerem je vsako vozlišče grafa krajišče neke povezave iz M, imenujemo popolno prirejanje. Na sliki 8 je primer tega: levo graf in desno njegovo popolno prirejanje (povezave prirejanja so modre in odebeljene).
Naj bo A podmnožiča množiče vseh povezav grafa G. Ce je podgraf (V(G),
E(G)\A) grafa G dvodelen, potem pravimo, da je A množiča nedvodelnih povezav. Moč najmanjše mno-žiče nedvodelnih povezav imenujemo nedvodelnost grafa G.
Potrebovali bomo še pojem poti. Pred tem ponovimo, kaj je sprehod med poljubnima vozliščema v1 in vn grafa G. Sprehod je zaporedje vozlišč v1,v2, ...,vn, kjer sta vi in vi+1 krajišči neke povezave iz E(G) , za i = 1, 2,..., n-1. Ce imamo sprehod,
v katerem so vozlišča paroma različna, govorimo o poti v grafu G in njeno dolžino merimo s številom povezav na tej poti.
Predstavitev problema
Vsakemu fulerenu je mogoče prirediti graf, katerega vozlišča predstavljajo ogljikove atome, povezave pa kovalentne vezi med njimi. Takšen fulerenski graf je ravninski, kubični graf, ki ima 12 pentagonskih lič, vsa ostala pa so heksagonska. Vsi fulerenski grafi so tudi končni in enostavni. Na sliki 9 je prikazana ravninska vložitev fulerena C60.
Preko ugotavljanja nedvodelnosti grafa je mogoče ovrednotiti stabilnost grafu pripadajočega fulerena. Manjša kot je nedvodelnost fulerenskega grafa, večja je njegova stabilnost.
Načinov, kako bi ovrednotili nedvodelnost grafa, je več. Naraven način je štetje povezav, ki kvarijo dvodelnost. Predstavili bomo postopek, ki za fule-renski graf izračuna najmanjše število povezav, ki bi jih bilo potrebno odstraniti, da bi graf postal dvodelen.
SLIKA 6.
Konstrukcija dualnega grafa

Presek 42 (2014/2015) 1
25

SLIKA 7.
Polni graf K12
Zakaj fulerenski graf ni dvodelen? Ključen kriterij dvodelnosti grafa je odsotnost lihih čiklov, kar pomeni, da fulerenski graf ne more biti dvodelen, saj vsebuje točno 12 pentagonskih lič. Ker so vsi ostali gradniki fulerenskih grafov heksagonska liča, to obenem pomeni, da so pentagonska liča edina ovira do dvodelnosti teh grafov. Pentagonska liča bodo tako ključni objekti v tem postopku.
Imamo fulerenski graf G. Želimo poiskati (fi(G) - najmanjše število povezav, ki kvarijo dvodelnost grafa G.
V nadaljevanju bomo postopek iskanja (p(G) prikazali na primeru fulerenskega grafa C20 (glej sliko 10). Fuleren C20 je najmanjši izmed fulerenov in kot vsi fulereni ima natanko 12 pentagonskih lič. Posebnost grafa je, da so to tudi edina liča, ki jih premore, saj C20 ne vsebuje nobenega heksagonskega liča.
Naj bo graf G' dual grafa G.
Spomnimo se, da vsako liče grafa G' ustreza vozlišču grafa G in obratno, kar pomeni, da ima dual fulerenskega grafa vsa vozlišča stopnje 5 ali 6. Ponovimo: Lice je neko območje ravninske vložitve grafa in velikost lica merimo s številom povezav, ki ga omejujejo.
Vozlišče grafa G' stopnje 5 leži v pentagonskem liču grafa G. Tako lahko z iskanjem vozlišč stopnje 5 v G', poiščemo vsa pentagonska liča grafa G (glej sliko 11).
SLIKA 9.
Fuleren C60
SLIKA 8.
Primer grafa in njegovega popolnega prirejanja
SLIKA 10.
Fuleren C2q.
■ Označimo nekatere povezave grafa G'.
Želimo označiti nekatere povezave grafa G' tako, da bodo preostale povezave tvorile vpeti podgraf s samimi vozlišči sode stopnje. Opazimo lahko, da če pentagonsko liče kvari dvo-delnost grafa G, potem pripadajoče vozlišče grafa G' stopnje 5 kvari vpeti podgraf s samimi vozlišči sode stopnje.
Imenujmo množičo označenih povezav grafa G' ovira. Najmanjša takšna množiča je naša rešitev. Kako jo poiščemo, bomo izvedeli v naslednjem koraku. Lahko pa povzamemo, da v kolikor tako množičo povezav grafa G' odstranimo, graf G postane dvodelen. Potem je namreč vsako vozlišče grafa G' sode stopnje in tako vozlišče tvori pripadajoči čikel sode stopnje v grafu G, kar ustreza definičiji dvodelnosti.
■ Poiščimo ovire.
Poljubno izberemo dve izmed dvanajstih penta-gonskih lič v grafu G. Ce želimo, da ta del grafa G ne kvari njegove dvodelnosti, moramo odstraniti nekatere povezave tako, da bosta izbrani liči postali skupno liče sode stopnje (glej sliko 12). V splošnem to storimo tako, da v izbranih pen-tagonskih ličih grafa G označimo vozlišči grafa G'. Razdaljo med njima definiramo kot najmanjše število povezav, ki jih prečkamo, da pridemo od enega do drugega po povezavah grafa G' (glej sliko 13).
Ce sedaj odstranimo vse povezave grafa G, ki jih ta pot seka, dobimo skupno liče teh dveh penta-gonskih lič. Skupno liče je seveda sode stopnje, saj ga sestavljata dve pentagonski liči in morebitna heksagonska liča (glej sliko 13). Postopek ponovimo še za preostale poljubno izbrane pare pentagonskih lič. To pomeni, da smo v grafu G' izbrali šest medseboj nepovezanih poti
SLIKA 11.	SLIKA 12.
Dual fulerena C20	Združevanje dveh pentagonskih lic v fulerenu C2q

RACUNALNI STVO
—^ in unija teh predstavlja oviro. Ce sedaj odstranimo vse povezave grafa G, ki jih ta ovira seka, dobimo dvodelni graf G (glej sliko 14).
■ Najmanjša izmed ovir
V prejšnjem koraku smo poiskali eno izmed ovir. Naš namen je poiskati najmanjšo med njimi. Tukaj si pomagamo s polnim grafom na 12 vozli-šcih K12(G), v katerem vsako vozlišce predstavlja pentagonsko lice grafa G in vsaka povezava pot med pripadajocima vozlišcema stopnje 5 v grafu G'. Povezavam grafa K12(G) dodamo uteži tako, da teža povezave med dvema vozlišcema ustreza dolžini najkrajše poti v grafu G' med njima (glej sliko 15).
Sedaj grafu K12(G) poišcemo popolno prirejanje z najmanjšo vsoto uteži.
Ponovimo: Prirejanje je popolno, ce se vsako vozlišče grafa v množici prirejanja pojavi natanko enkrat. In najmanjše prirejanje je tako, da ne obstaja prirejanje, katerega vsota uteži poti bi bila manjša. Tako dobimo unijo šestih povezav grafa K12(G), katerih vsota uteži je najmanjša možna, kar je prikazano na sliki 15.
Izbrane povezave grafa K12(G) pomenijo izbrane poti grafa G'. Ce seštejemo povezave grafa G, ki jih te poti sekajo, dobimo taisto vsoto. To je torej najmanjše število povezav v grafu G, ki bi jih bilo potrebno odstraniti, da bi G postal dvodelen. Tako smo izracunali oceno stabilnosti fulerena, ki ga predstavlja graf G.
SLIKA 13.
Primeri poti različnih dolžin v dualu. Izberemo najkrajšo pot ter odstranimo povezave fulerena C20, ki jih ta seka.
SLIKA 14.
Izberemo šest medsebojno nepovezanih poti duala in odstranimo povezave osnovnega grafa, ki jih ta pot seka. Dobimo dvodelni vpeti podgraf fulerena C20.
RACUNALNlS TVO
V računalniškem svetu je ta postopek možno rešiti v polinomskem času. Najzahtevnejši del postopka je poiskati uteži v grafu K12(G), ki so razdalje med vozlišči stopnje 5 v G'. Ta del je možno rešiti v linearnem času O(n). Potrebno je le še poiskati najmanjše popolno prirejanje, česar časovna zahtevnost je v splošnem O(n3), a ker ima naš graf K12(G) vedno 12 vozlišč, je časovna zahtevnost konstantna O(123) ne glede na velikost grafa G. Torej je skupna časovna zahtevnost postopka O(n).
Izjemna in vsestranska uporabnost molekule fule-rena motivira in navdušuje mnoge raziskovalče, zato verjamemo, da boste o njej spoznali še veliko zanimivega.
SLIKA15.
Grafu K\2(C2o) dodamo uteži. Zaradi simetrije so povezave vsakega vozlišča enako obtežene, in sicer v zaporedju: 1,2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 2. Če sedaj poiščemo najmanjše popolno prirejanje, dobimo unijo šestih disjunktnih povezav, katerih vsota uteži je 6.
www.dmfa.si www.presek.si
Literatura
[1]	T. Došlič in W. D. Vukičevič, Computing the bipartite edge frustration of fullerene graphs, Department of Informatičs and Mathematičs, Fa-čulty of Agričulture, University of Zagreb, 2006.
[2]	M. Kren, Prirejanja grafov in maturantski ples, Presek 39 5, Ljubljana, 2011-2012.
[3]	R. Wilson in W. J. Watkins, Uvod v teorijo grafov, DMFA - založništvo, Ljubljana, 1997.
[4]	T. Maleč, Ravninski grafi (seminarska naloga), Fakulteta za matematiko in fiziko, str. 12, Ljubljana, 2007.
[5]	M. S. Dresselhaus, G. Dresselhaus in P. C. Eklund, Science ofFullerenes and Carbon Nano-tubes, Ačademič Press, San Diego, 1996.
_XXX
Križne vsote
Rešitev s strani 12
-i' -i' -i'
	5	19					
3	4	9				3	14
9	1	8	11		8 19	2	6
	7	2	5	14 10	5	1	8
		15	6	1	8		
			15	9	6		
XXX
www.dmfa-zaloznistvo.si www.obzornik.si
Astronomska literatura
Ob mednarodnem letu astronomije 2009 smo na enem mestu zbrali vse publikacije s podrocja astronomije, ki so na voljo pri DMFA-založništvu.
Dintinjana, Fabjan, Kostic, Mikuž, Zwitter, Žerjal
NAŠE NEBO 2014 Astronomske efemeride
84 strani
format 16 x 23 cm mehka vezava
10,00 EUR
Poleg omenjenih dveh ponujamo še veliko drugih astronomskih del. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naroČite:
http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ast ro/
Individualni naročniki revije Presek, Člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naroČilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553.
Pavla Ranzinger:
PRESEKOVA ZVEZDNA KARTA 2000,0
format 54 x 58 cm plastificirana, zložena
4,00 EUR
NAŠE NEBO 21
vU nU sU
RESITEV NAGRADNE KRlS ANKE
PRESEK 41/6
-> Pravilna rešitev nagradne križanke iz šeste številke 41. letnika Preseka je Zabavno učenje logike. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Predrag Gru-jic iz Zagorja ob Savi, Franc Tompa iz Odran-cev in Ana Strgar iz Ljubljane, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti.
_ XXX
Strela
nU vU NU
Aleš Mohoriš
Strela je pojav razelektritve atmosfere. Preskoči med oblaki ali pa med oblaki in tlemi, ker se med njimi zaradi ločevanja električnega naboja pojavijo napetosti, ki lahko dosežejo sto milijonov voltov.
Med strelo teče skozi ionizirani zrak tok nekaj de-settisoč amperov. Energija, ki se sprosti med udarom strele, bi lahko sijalko napajala približno eno leto. Zrak okoli strele se segreje na temperaturo nekajkrat večjo od temperature Sonča - nekaj deset-tisoč stopinj čelzija. Tako segret zrak se hitro in močno razširi, kot pri eksploziji bombe, in zato nastane grom - zvok, ki spremlja strelo. Vroč zrak in atomi, ki jih električni tok vzbudi ter ionizira, oddajajo svetlobo, ki jo opazimo kot blisk. Blisk nas doseže s svetlobno hitrostjo (300 000 km/s), grom pa z zvočno (330 m/s). Od tod sledi pravilo, daje za vsake tri sekunde zamika med bliskom in gromom, razdalja med opazovalčem in strelo večja za 1 km.
Za opazovalče je varna razdalja nad 10 km. Strela lahko udari tudi tja, kjer dež še ne pada. Pred nevihto se umaknemo v stavbo, stran od prevodnikov (vodovodnih čevi, električne napeljave). Dobro zaščito kot kovinska kletka nudi tudi avtomobil.
Ker ne moremo točno napovedati, kdaj in kje bo udarila strela, in ker je zadrževanje na prostem med nevihto nevarno, je strele težko fotografirati. Predvsem je pomembno, da pazimo na svojo varnost. Zato bodisi fotografiramo iz notranjosti stavbe bodisi uporabimo daljinski sprožileč. Fotoaparat postavimo na stojalo. Pred fotografiranjem si ogledamo nevihto, da približno ugotovimo vzoreč udarčev strel in primerno izberemo kader. Izberemo široko-kotni objektiv, da bomo zajeli več neba, zanimive dele lahko obrežemo naknadno. Kamero usmerimo bolj kot običajno proti nebu. Ceprav je nebo brez strele dokaj dolgočasno, bo posnetek, ko bo na njem strela, lepši. Nebo je med nevihto dokaj temno, zato običajno izberemo dolgo ekspozičijo (nekaj 10 s), ali pa odpremo zaklop za toliko časa, da udari strela, in ga potem takoj zapremo. Pri ostalih nastavitvah moramo upoštevati, da želimo posnetek s strelo in ne brez nje. Posnetki neba brez strele bodo tipično podosvetljeni. Kar je svetlobe malo, zaslonko čimbolj odpremo (zaslonsko število od 2 do 7). Občutljivost filma nastavimo tako, da bomo s posnetki zadovoljni. Izberemo ročno ostrenje in kamero izostrimo na primerno razdaljo. Strele lahko posnamemo tudi podnevi, tako da snemamo z digitalno videokamero in kasneje uporabimo sličiče filma, na katere se je ujela strela, ali pa s programsko opremo, ki v hipu odpre zaklop fotoaparata, ko svetlobni senzor zazna blisk.
_ XXX

i 5
Matematični kenguru
Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizačija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv način zastavljanja matematičnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vključevali tudi otroči in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematični kenguru z več kot 6 milijoni tekmovalčev iz 47 držav sveta v letu 2011. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za učenče od prvega razreda osnovne šole do četrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih pokličnih šol ter za študente.
Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralča vodi v logično mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, ki je sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematični izziv.
EVROPSKI
MATEMATIČNI
KENGURU

m/\ i c m« i xwinx KENGURU
-<LN0V0STJ>-
2002-2004
10,99 EUR
18,74 EUR
14,50 EUR
Pri DMFA-založništvo so v Presekovi knjižniči izšle že 4 knjige Matematičnega kenguruja.
•	Evropski matematični kenguru 1996-2001 (pošlo),
•	Evropski matematični kenguru 2002-2004,
•	Mednarodni matematični kenguru 2005-2008,
•	Mednarodni matematični kenguru 2009-2011 (novost).
Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikačije tudi naročite:
http://www.dmfa-zalozni stvo.si/
Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene - izkoristite ga! Dodatne informačije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553.