PvA /oit on Suhadolc POSPLO?ITLY FOURILR-LAPLACEOVL TRAiiSrORIuACIJE Ljubljana 1964 1092 1 SÉ & Lu.»t biJZ> tf-UU i Nastanek tega dela dclgujon ustanovi Aleksandra «ven Hunbclčita, katere štipendist sen bil od novembra 1961 do junija 1963- V ter: času sou študiral v Heidelberg pri profesorjih G. K'dtheju in H. G. Tillnannu. Sa ten nestu se najteplojo zahvaljujoč prof. H. G. Tillnannu za ideje, napotke pri delu in studiju in prof. I.Vidavu za njegovo dragocene ponoc pri dokončni izdelavi spisa, - 1 - O. UVOU Laplacocva in Fourierova transformacija sta Ž o đolL.:c prodnot študija rmc-.ih ioatenatikcv,. Klasične Fcurio-reve transfcri-acijc, definirano na Hilbartcvon prostoru loorljivih in s kvadrat er.: into, raoilnih funkcij na roalni pronici sc posticipili v imenih suoroh. Studij transferna-cij jo podžigala tudi njih uperaba v fiziki. Operatcrskonu računu so dali nato:..atiki zadovoljive osneve Šolo s peuoč-je taerijo La^laco.vo transfcri'~acijo» Uporaba transf erioacij v eperatorsko:.: računu sloni na nokatorih lastnosih Pcurio-rovo transformacijo in analognih lastnosih Laplaceevo trans-fornacij o. Naj be F(f) Fouriorrva transf emiranka funkcijo 2 -f L li in i?'(f) inverzna Fouriorova transf eruiranka ;- p(f) *^jjp j^f(t)eitx at — «o o<- Ht) =~ j f(t)e itX dt 2 Konvergenca integralov jo mišljena v smislu nomo v 1 , Za nokatoro funkcijo iz L voljajc pravila ?(tf(t)) - -i !=(*«?)) F(f'(t)) = C-ix)F{f) (2) r(oiktf) = F(f)(x+k) (3) k roalon P(fCt-k)) = oi]QCF(f) (4) Pomembna jo tudi lastnest F(f#C') = F( f). F(,-;) » tj- rErans fermaci j a priro di kenveluciji .Ivoli funkcij produkt transf crnirank - 2 - posameznih funkcij. Z f^f-g Silo označili konvelucijc funkcij f in g-s L*g = j f(t)c(x-t) dt. Zo uporabe v praksi so nezaželene cnojitvo', pri katerih formule (l) dc (4) veljajo» Npr, v formuli (2) nora 2 biti funkcija f v L , u:ra biti cdvodljiva in njen edved 2 tudi element iz L - Formula (3) pa velja sai:.e za realne k, Cilj nekaterih pesplešitov je v tori, eia bi bil prester, na katerem je posplošena transfornacija definirana, čili Širši in da bi veljale formulo (1) de (4) s čim Lian j orno j itvarni. Z družini posplošitvami Pour ier ove in Laplaceove transformacijo pa se da definirati eperatorski račun za različne razrede funkcij in operaterjev» S to smerjo se ne bene ukvarjali. Nadaljnji razvej posploŠitvam je omogočila teorija lokalno-konveksnih linearnih prostorov, ki se je razvila v zadn h 40 letih. L, Schwartz je definiral distribucije ali pcs^lcoone funkcije in razciril transfornacijo na nekatere razrede distribucij* C[4l) 2 uporabe teorije projektivnih in induktivnih liait je ;n:splooil J.3. o Silva ([3]) Lapiacecvo transformacijo na prestero analitičnih funkcij a. , ki se regularne na polravnini ^e z^ k in taro ne narašca-js: jo hitreje kot polinom stopnje k. Induktivno liroite Banacho- vih prosterev A, . A = liro ind A, , je Silvo» imenoval prostor k k S ultradistribuci j » Na njoo- je definiral Lapiacecvo transformacijo, ki preslika prest r A na nek podprostor distribucij "z nosilcem, cmejenoo: na levi:'; ta prostor je označil z E in no. njoio definiral "ebratne" Laploceevc transformacije, ki preslika prostor L nazaj na pre štor A. Formule (1) do (4) veljajo za vse elemento iz A oziroma L\ Nadaljnje razširjava se omogočil*., idejo CMCctheja in H. G* Tillmanna ([lü, [l]as [2j5 [2]a, [2lb). Študirala sta - 5 - prostore P(0) "lokalne-anali Ličnih" funkcij na odprti nnožici 0 v kcnpleksni ravnini. Studirala sta tuli prostor A(Z), kjer j g Z kcnplonent odprtë možice 0, V ta prostora sta uvedla primerni likalno-konveksni topologiji, pri čenor jo bil glavni pripomoček teorija prostorov tipa (F) in teorija induktivnih linit. Izkazalo se je, da sta si prestera A(Z) in P(0) drug drugotna, prostora zveznih linearnih funkcionalev, pri čaner je npr. izenorfizen ned prosterena A(Z)', oprer_iljenin s krepko topologijo in prostoren P(0) tudi topološki. S poricčjo teh ugotovitev sta pokazala, kako so da reprezentirati vsaka Schwartzcva distribucija kot "posplošena robna vrednost" na realni osi para analitičnih funkcija cd katerih je ena regularna za In zi.0, druga pa za In z <: 0° Za različne tipe prostorov distribucij sta pokazala izonorfizon ned izbranin prostoren distribucij in prinernin prestoren parov analitičnih funkcij, ki zadoščajo nekaterin onejitvan glede naraščanja proti neaknnčnosti in preti realni osi. Naj bo f (z) in f (z) par takih analitičnih funkcij! Punkciji f (x+iL) iri f (x-ie) sta zvezni funkciji x-a. Za linite raz- ¦f — like, tj. lin f (x+ie) - f (x-iL) , k.j gre L-*¦©, velja, da konvergira npr- v snislu topologijo prostera distribucij preti distribuciji izbranega tipa. Velja tudi obratne: vsake distribucijo takega tipa noreno dobiti na ta način. Na osnovi idej J.S. e Silve in pravkar opisanih idej je G-, Pantelidis v svoji doktorski disertaciji ([6]) posplošil idejo J.3. e Silvo v več sneri: študiral je nanesto Laplaceeve Pourierovo transfornacijo, definiral podobno kot Silva prostor ultra'istribucij in prostor "distribucij eksponentnega tipa". Na njih je definiral Pourierovo transfomaci-jo. Ker se da vsak prostor distribucij reprezentirati po zgornje n s pr ine rn in p r o s t or on parov anal i t i 5 n i h funke i j , je t'ak o Pantelidis dobil Pourierovo transf emaci j e ned dvena prosto- - 4 - roma parov analitičnih funkcij. Transformacija jo enolična in obratno enolična, v obe si.ori zvezna preslikava prostorov- Formule (1) do (4) valjajo z edino ono j i tvijc, da je k realno število. Poleg tega jo Pantelidis izpeljal teorijo za primer dveh konploksnih spremenljivko Cilj toga dola jo naslednji: prostor ultradistri-bucij A in prostor LD , distribucij eksponentnega tipa bono razširili s privzetjen novih elementov, ki jih no moremo tolmačiti kot distribucijo» V nastalem prostoru bono definirali posplošene Fourier-Laplaceovc transformacijo in v prostor vpeljali tako lokalno-konveksno topologijo, da bode v njej definirano posplošeno transfornaci je zvezne preslikave prostora H = 'e&/& nase. (H jo faktorski prostor prostora !& po podprosteru G vseh celih funkcij eksponentnega naraščanja.) Fourier-Laplacoova transfornaci-ja ina vso lastnosti cd (1) do (4), ki veljajo broz sleherne omejitve, Za transfomaeijo F in njonc inverzno F velja tudi sedaj femula PFf = FFf = t%±* Nato dokažejo, da je tako definirana transf emaci ja r^s prava razširjava klasič- 2 ne Fouriorovo transf emaci je v 1 » To napravimo v dveh kora- 2 kih: najprej pokažemo, da naš prostor vsebuje izonorfno L 2 kot svoj podprostor. Topologija, ki jo v L kot podprosteru prostora H inducira topologija iz H, je Šibkejša cd topolo- 2 gije po nemi v L » Nato pokažemo, da na funkcijah v H, ki 2 so zastopniki elementov iz L , nova in stara transfornaci ja sovpadata. Torej moreno novo Fourier-Laplaceovc transformacijo smatrati za razširjavo klasične transfornacije= Prav lahko pokaženo, da lastnost F(f^g) = = F(f).F(g), ki velja za klasično Fourierovo transformacijo, sedaj no velja več, V prostoru H je nanreč produkt dvoh elementov, definiran na običajen način, lahko enak nič, ne da bi bil eden ali drug faktor nič ! - 5 - 1. DEFINICIJA FOURILR-LAPLACDOVl; TRANSFORMACIJI, Definicija prostorov BL n in M Za vsak k3l, par nenegativnih celih števil bodi + — M, , prostor parov funkcij f(z)=(f (z),f (z)) z lastnostmi 1. f (z) je regularna za Im z>k; na premici Im z=k še zvezna^ f (z) je regularna za Im s-sr—k,, na premici Im z=-k Še zveznaj 2- za vsak par (f (z),f (z)) oksistira konstanta Yii odvisna od para taka, da velja ocena Sf+(z)|:L M,eI!ai za Im z^ t, \f~ (z)| ^ 1, e1 ,z ' za Im 5«f-fe Zadnji ne enačb i pišemo krajše simbolično if (z)[ ^IVL e , za |lm z I vk. Prostor et bo&i unija prostorov Mn _ s 9^~Um. _¦« ks i kjl Elementi f(z)€ Juso torej funkcij 3, analitične v zunanjosti nekega pasu vzdolž realne osi; ki ne naraščajo bolj kot e pri nekem naravnem številu 1, Če sta funkciji f (z) in f (z) zvezni še na realni osi, je razlika f (x+iO) - f (x-iu) funkcija realne spremenljivke. To razliko imenujemo "robno vrednost" elementa (para) f(z)Ç dv in jo označimo zopet s Črko fs f(x)=f (x+iu) -- f (x-iO) Da je ta označba smiselnaj. bomo spoznali pozneje. Izkazalo se bo, da tudi funkcija realne spremenljivke f(x) v nekem smislu določa izhodni par f(z)! - 6 - definicija Ponrier-Laplacoye transforniacile Za f(z)fcM definiramo FLI takole : Pk,l(f) - (I+(^M"(!0) = *($), *J** je I+(I) = jV A 1 Tj- I t- I >1 oziroma za Im^<-1 ter zad_qg_č~ata_^ooeni__if (? )j~_M^ e _ ^_ jim t i ^l.f(*$) je torej element prostora M , za vsak g^l-KL, ___________,____,______,___________ EhJz_____________ PLT preslika prostore !L v prostor 3c. Ugotovimo npr., da zadošča trditvam izreka del A funkcije f(*S), ki ga v (5) definira integral po poltraku I,! Bodi z=x+iys *J «l+i^, iz^=i{xJ-y^)-(Çy+x^) ! ce r -+-, v izS , -kV-ik^ C ,,+ , _ . ixt-x-tl -, J f (s)e y dz = e ' J f (x+ik)e ? ' dx :3 * Ker zadošča f oceni If (z)! -*TM. e , Im z>.k, imamo * Y nadaljnjem "bomo pisali zanjo kratico FIT» - 7 f ^., kM f lix+i ;l -xîb , >n ' ^ M. e ' j s e - cl Za volike x-e se obnaša integrand kot cxp(-(?-l)x), zato integral konvergira sa vsak | in y>l tor predstavlja za ki* I Iffl%i> 1 analitično funkcijos majorizirano se ' . Za in~ fco _x TI exp(lix+ik1)e ' dx dobimo oceno CO _ -, , )0 sxp(ll x+ikl ) o " dx^s % za ^5*1+1. Podobno ocenimo lk ostalo integrale v (5)' Za Kf smemo torej vzeti kar 2M»e Podprostor G_, Z G označimo podprostor v 3ß , ki ga tvorijo vse cele funkcije, ki ne naraščajo bolj kot eksponentne. Bodi f(z) cola funkcija eksponentnega naraščanja^ |f(z)j^z ^g" "'.* Ta ima za ;| robno vrednost" funkcijo 0. f(x)=f(x+iQ)~ -f(x-i0)-0; zato bomo smatrali elementa g(z) in h(z) iz ct za enaka, če se razlikujeta le za kakšno celo funkcijo eksponentnega naraščanja. Študirali bomo namesto prostora ou kvocientni prostor H-iß/Ö prostora av po podprostoru celih funkcij eksponentnega naraščanja. Na podprostorih M, - je PLT Fv _ enolično definira-na kot preslikava iz SL, _ v ''^ « PLT pa ne moremo definirati enolično kot preslikavo prostora lit vaso. Essi Vzemimo poljuben element f(z)€ é^v ! Ta je vsebovan v nekem podprostoru M , potom pa avtomatično v vseh podprostorih M , s če je le g>.k in b> 1. V vsakem od teh podprostorov je definirana FLT F... funkcije f(z). Punkciji f(z)L Ju pripada tako i^flskončno transformirank F . (f), ki so vse v splošnem med seboj različne« Vendar moremo definirati onolicno PXT kot preslika''"o P prostora'i}L v kvocientni prostor takole s bodi f(z)L J|, f(z)€Mk x;P(f) = [f |f)] , kjer sta h in g poljubni števili s h^l in g^k. Označba JlP . (f)] pomeni ,ii - 9 - ekvivaijnčni razred elementov iz st. , ki se razlikujejo od elementa F . f le za kakšno celo funkcijo iz G, 3** 2« Jîiî_ll„^^2.rL2li.^na SEââlifeSB J?ros.i0La 3e X p.rostor Hj Treba je pokazati, da se za poljuben ft M, , Ks 1 transformiranki Fv fin y f, gjk, h^l, razlikujeta it, x g^ n "•* le za celo funkcijo eksponentnega naraščanja. F je de- iL j 1 finirana s formulo (5)- Integrirajmo tu namesto po premici Im z=k po premici Im z=g, ! Spremenita se le integrala po pol- trakih I in I „ Integral j po novem poltraku se razlikuje od integrala j =]„ po starem poltraku i k, J j le za funkcijo OCJ) = - J f (z)e " dz. Integral po pra-vokotniku z cglicči ki> gi; gi+N, ki+ii je po Cauchyjevem izreku enak 0S ker je f (z) v notranjosti pravokotnika regularna in na robu Se zvezna. Ko gre F-4 c2 5 gre del integrafi*^ + \% vfc+jy- f (z)a J cLz3 enakomerno proti 0, če je Iia%^ 1+1, kot pokaže preprosta ocena. Prav tako ugo- i -i i k r J f i t ovino ; da se integrala -, Mi in -^„^j ~ ~ ^3 razlikujeta le za isto celo funkcijo QC$). Funkcija Q(*j) je cela funkcija eksponentnega naraačanja, kot pokaže ocena jQ{^) ! ^L ^M(g-k)e Ee 'v6; %(*i) je torej element iz G. Komponenti A+ • *— f (-5) in f {%) j če jih računamo z integracijo po premici Im z=k ali po premici lin z=g? se razlikujeta le za celo funkcijo iz (J. Arialogen rezultat dobimos če integriramo tf formulah (5) namesto po premici Im z—k po premici Im z—g. To pomeni-, da je F f v istem razredu kot Fv f; ali, F je res enolična preslikava iz 9f/ v H. - 9 - 1.3« Ff € H ni odvisna od razdeliSca A ned poltrakoma I in L oziroma od razdelišca B med poltrakoma I„ in I.. Namesto poltraP:a (-^o + ik, c+ik) vzemimo za integracijsko pot poltrak (-oc+ik, a+ik), kjer je a poljubno realno število, namesto p oit raka (O-i-ikjüo +ik) poltrak (a+ik, co+ik). Integrala po novih poltrakih se v obeh primerih razlikujeta od integralov po starih poltrakih za P(^) = f -f izS i (z)e ? dz, ki je cela funkcije, eksponentnega na- ja' |p(k)| :L"&. e "' 'c'' "? . S tem je izrek dokazan. raščan 1*4* Prgs_likava__F__prealika podpróator G- v element [0] g H. Bodi res f(z) cela funkcija, |f(zjj^M.e 'Z'. f(s) je tedaj element podprostorov E, -, za vsak k^O. Po • c kjl Cauchyjevora izreku je WJ f (z)o > dz = 03 kjer je W pravo-kotnik s ogliSči (-iks -ik+!T, ik+iT, ik), Ko raste N —> oo , gre del integrala po desni vertikalni stranici proti 0 enakomerno, če je le Ve~.2. ^> 1» Integrala po zgornji in spodnji horizontalni stranici pravokotnika W gresta proti integral^ ma jT - j , od koder sledi L4 "3 ik Podobne dobimo tudi *"(<*)=- L + L =- !" f(z)eiz^ dz, ImK-1-¦Ll -2 -ik f(z)e_tJ-> dz cela funkcija eksponentnega naraščanja, torej element iz &; smemo smatrati f (%) in f (^) kot dela iste cele funkcije; P f je cela funkcija eksponentnega naraščanja, tj. element v G, ali; zastopnik - 10 - razreda [O] & H. Definicija Fjmrier-Laplace ove_ transformacij3 j na PI. S preslikavo F prostora 1& v prostor H moremo definirati tudi preslikavo 3 prostora H vase takole s naj bo [f] é H poljuben razred v ILs f nek zastopnik iz razreda LfJ. Sliko razreda [f J definiramo takole 2 ^ pf "j = [Ff J = = Pf + G-, Treba je videti; da je preslikava ?" enolična, tj. neodvisna od tega, katerega zastopnika,, f vzamemo iz razreda [f] . Vzemimo kak drug element f-, iz razreda [f j ! Po definiciji razredov je i-f, T-g,*> kjer je gtG. Iransformiranki Ff in Pf se razlikujeta le za celo funkcijo Fg iz Gh Ff-Ff =F(f-f ) = ?g„ Pf in Pf definirata torej isti razred j>f]6H. Cr" 1=5° Preslikava j ima PLa@leaa.je lagta;oBtij a. T(anf(a)) = (-i)T^ PTU(s))] v. T(i'U)u)) - (-i^)n Tue*;) o, Tl (f')~(^) = (-i^)f"(^) + (f"v-ik)e]^ -f+(i&)e"^), Im<5<-1. Y oklepaju stoji obakrat ista cela funkcija iz G, torej je P(f) v istem razredu prostora li kot (-i^)î(f), Pri dokazu lastnosti d» vzamemo namesto poltra-kov I do I poltrake 1^ do t\$ definirane takole; jL = C-Oo+i(k" +q) , p+i(k* + q)) r2 = (-»-i(k*-q)9 p~i(lr- q)) r3 = (p+i(k^+q),oo + ±(\C + q)) i* = (p-i(i^-q)soc - ±(y:- q)) Tu pomeni a= P+io., k" pa vzamemo tako velik, da je istočasne -kv+q,<-k ter k*+q^.k, tj. k>>k+|q,|, I izreku 1=2 in 1.3 se transformiranka j f ne spremeni, ce integriramo namesto po starih poltrakih I. po novih, poltrakih I\, Za integral po T* funkcije f(z-a) velja i k'y o* L t+izr-B.U1** dz = oia*l f+(z)oiz* dz 3 Lk' in podobno za, ostale tri integrale, od koder sledi lastnost d, - 12 - TOPOLOGIJA V PROSTORIH 3E IM H. V prostoru ÎSI, -, parov analitičnih funkcij defini-JLs i. raLio nonio elei..onta f(z) takole: Iff« v . = sup { |f(z)f e~lUt), ' lin zl^k Prav lahko so proprie ai:, o, da ta norna izpolnjuje vsül zahtevam,1 prostor K, n je normiran prostor. Prostor M vsebu-k,1 Ss n jo prostor M, n , co jo g-^k» h^l. Injekcija I prostora k, i M, v prostor M_ . je v norr..i zvozna preslikava, saj velja ocena IJIfU - sup |f(z)|o~h'21 ^?sup if(z)lo~hlZl ^ Gs |In z|^ g Un zl ^k i|l'*-!lfcl öup 0-U-lJlz| tcrG. |If|( /||f|j Mncžica normiranih prostorov M, n je clolno urejena K, 1 z relacije vključitve C » Je tudi usmerjena množica, saj najdeno k poljubnima prostoroma 3SL in M -, prostor M , k, i g, n p ; çl da velja JVL nCM in K , C M , če le vzamemo p>max(k,e) k5l - p,q c,h p, g* in q^nax(h,l)" Ker so injekcijo iz prostorov % , v prostore M , , G^k, h.-^l, zvezno, eksisxira induktivna limita G) h prostorov II ,. k,I lit = lin ind Mk = U Mfe . , Okolice niča v co,a to p Omani, da so h(z) na kompakt,1.! množici zvezne funkcije. Družina funkcij jh(z);h(z) = = f(z)e ° ' , f(s) é enotne krogle v Sit je na območju | Im zlrtg one j ena s konstanto i; ce uvidimo še, da je ta družina v vsaki točki množice j In zi^k enakozvozna, jo družina po izreku Ascoli-^rzela kompaktna in izrek 2.1» je s tem dófc&Tian- Naj bo sedaj vv fifcena točka v območju jim zl^g, g>fc Roteai volja h(w)-h(z)=f (w) (e"E !WI-a~ülM/' ) + (f(w) --f(z))o ~ 'J . Vzemimo sedaj jw-zi {v; I -1/2, llRt- |wj| é. !z-wi in ^"L[zlf l/2 = Preprosta ocena integrala nam da |f(w) - f(z)l e^,Z)-2 ||*ltAl«f-»1»^"k>/}1i,+ 2ß Družina funkcij [f r , af A, je v cočki z enakozvezna, če po predpisu poljubnega f>0 najdemo tak J > 0, da je lf (&)-L' |w){L L , Se je le jw-zj< t; s pri cerner je e dober za '/\ie funkcije f^iz dru.žine istočasno. _ 15 - Obe oceni združimo in dobimo |f(w) - f(s) téllf ll^z-wie"^-^^1 (g.oc/2 t 2e2g} Pri fiksnih 5-5 k in w moremo najti tak O , da ja desna stran za vse f iz enotne krogle v ftL manjša od naprej pred-pisanega t' L.>0, če jo le |z-w|<5,in g Seveda smemo vzeti, da je konstanta C^l, Norma v M, je definirana takole: k Itf IL = sup |f(z)l e"kial |Iin z|^k definirajmo v M, Se drugo nomo s predpisom fllflll = sup [L(&)] e"k,zl z& C Vzemimo, da smo izrek 2,3= že dokazali. Tolmačimo ga takole: normi llf II, in|||f ll( sta za funkcije iz G., ckvivalnetni, saj velja ||f )!, ^ Hlf IIL^C ||f H-, Konvergentne zaporedje v eni normi konvergira tudi v drugi. Konvergenca v normi Ifff HL pa pomeni enakomerno konvergenco zaporedja celih funkcij na vsaki c. .ejeni množici v kor. loksni ravnini,, ss velja npr« za krog s polmerom R okoli točko O ocena sup |(f (z) - f(z))| é. >:elcE; îi,melî(e). Znano je, da je limita takega zaporedja celih funkcij zopet cela funkcija, ki no narašča holj kot e" ' , torej element iz Gn « Množica G, jo res zaprta v IL in G zato zaprt podpros- k k .k tor v at * Dokažimo sedaj izrek 2. 3» ! V ta namen tvorimo najprej novo funkcijo F(z) = f(z)o * Naj ho -k^ry^k; v tem pasu vzdolž realne osi velja po predpostavki izreka ocena jF t-z Fornula definira par analitičnih funkcij, od katerih je ena analitična vsaj za In z>0, druga pa vsaj za In z<0. Za |Im z|>0 velja ocena CO r- 00 -jVj. ft.>i--ir J tM « - a llf»Ji r-J:- « L .«> (x-t)N-y tog i —1/2 torej If (z)| ^ IJf li jvj . Ko narašča [y|_»ccj gre f(z) proti O? f(z) je res element iz fp* Znano je tudi, ([2ja) da konvertirajo razlike f n 1 -kizl fCCf (t)-f(t) i ||fn(z) - f(z)||k -Ajw> (• .i -*Ttrr- atl^ !Im z |äK r-° ^ i sup 0-*r*J llf _ f „ nvttV) || ^ G-* u f _ f y I Im z i Me L 1 L Gornji izraz gre z n —* co proti 0, saj je sup !jl/(t +y )|I = Vk ^7r za kel. L 3.2. Transformacija F(f), fL Bj^j sovpada na elementih, ki so zastopniki trans formac i j o ¦ 2 so zastopniki funkcij iz IT (-op? o." ) s klasično Fcurierovo 1 2 Podprostor funkcij, ki so istočasno v L in L , 2 2 je gost podprostor v Ij . Ker je topologija, ki jo v 1 in- 2 ducira topologija iz H šibkejša od topologije v L , je 2.12 k „ « L (i I gost v L tudi v smislu topologije v H. Ce pokažemo, 2 1 da da sovpada PIT s klasično na L f! L , sovpada zaradi zvez- 2 nosti PLT na vsem prostoru L . Dokazino torej izrek 3« 2 2- 1 za funkcije iz I D L ! Indikatrika take funkcijo je regularna za jim zl~^ ^ 0 in za |Im zi rti enakomerno omejena; lf(z)]^[ ] îf;t)i2 at j —-p-" r^l1/2 - 22 - tj. |f (z)\*f\/%' ||fl] 5 lim zl'_,l. Zato ja f(z) element vsakega prostora IA s te> 1. Poiscimo sedaj Pourior-Laplaceovo transformiranko P -,f(s) elementa f(z) C M ! (a je celo Število-^ 1) F ,f(z) je par analitičnih funkcij, ki ga označimo z (f (z),f (z))$ f jo definiran takole s t+/ \ ( 3+/ s izw a f 3r> i izw a f (w) - J f (z)e dz - J f (z)e dz 3 * kjer je poltrak I definiran z (O+ia,oo+ia), I pa J A T" (0-ia,co -ia). Podobno jo definiran f « Če v tej formuli upoštevamo definicijo funk-cije f(z), dobimo CIO (CO f .-t+-, s 1 ixw -aw . f(t) ,, f (w) = =—r e e dx \ -r--4— dt -2:ri i / t-ai-x 9 -co CO oo I T ixw aw , f f(t) - *=—r e e dx rr":— dt 2Ti J j t+ai-x Vrstni red integracije smt:."0 zamenjati, ker eci dvojni integrali absolutno konvergentni pri !Im z)>0. *+ ''— Tvorili homo razliko f (u+i>) - f (u-iL) in poiskali limito, ko gre fe, —; 0+. Pri tam se bo izkazalo, da je limita zgornjega izraza enaka klasični Pourierovi transformiranki funkcije f(x)¦ A+ *— Od razlike f (u+ii) - f (u-i-;} vzemimo le en del, integrala po poltrakih I in I . Ta del razlike označimo s C9 .. ( • r\ t*® t"0 IXU ~--X Q - «=SET*-e ft ( -------dx ) dt 2-i\ i J J t+ia-x Razliko moreno pisati tudi v obliki - 23 - i /..,.,» ,» *» ixu -i iX) -, ,¦*> ,ci ixu ex 1 au, -ii Ü < f ~,,\ / o o , , ., - S3EÎ-* (e - o ) J f (t) ( l -t----- QX ) dt ^.ki .ja -j t+ia—x Prvi notranji integral označirio z A(t,u,é ), drugega z B(t,uj c). Drugoga ocenimo takole % -co -' (t-x) +a ¦ Če upoštevano še, da stoji pred Členom 3 faktor e -e dobimo sa ves drugi člen izraza C , ko gre i — -> 0+s C. j C naslednjo oceno au co , ,------ <# e__ 2 T ,-A-' . . . t— . j f(t)(e~1^eltl)B(tfuîC-) dt | L e5"^ j |f(t)| dt-*0, m - CU ko gre L proti 0+o Pri ten je Pilo u fiksno realno število. Prvi del izraza C„ „ se da direktno izračunati, npr. po metodi odvajanja na parancter določena/a integrala. Kratek račun nan da ,* _ixu_-d i xl (_ .^\„ r (a-it)z 2 , ,2 J** ixu -L|xl /.¦ ..^ /• «/a. *s fee t ._. -(a-itju A(t,u,L) --i j --=I^-- dx = -i2 0+ ¦co pod znak integrala, kot nam pove Lebesguesov izrek. Ta zahteva, da je f(t)€L , kar smo predpostavili, in da je družina funkcij A(t,u,S.) omejena, ko gre L -4 0+. To je res, kot nam pokaže ocena u ( a- i t ) w J30 au ,.-¦•¦¦¦ U f e _ r\ i UŽ CpaU ( gW i" j 2"2" I*-6* J 2 2 ~* W+L -os W +L Za vsak realen ü jo torej lin [f (t)A(t,u,L ) dt = j f (t)(lin A(t,u50) dt _ 24 - Izračunati moramo še limito A(t,u,.L), ko gre t ¦¦—i O+i r (a-it)w » ^(a-it)Lw lim } —-—-— dw = lin j -—¦=-----dw L —*0+ -«? w +8 L-i C+ -« w + 1 ¦30 Integral pišemo y obliki —5—g (w) dw, kjer je -to w +1 e (a-it)Lw / , W^-U/L 0, w>u/L Pri računanju limito se skličeno ponovn.o na Lebesguosov 2 1 izrek, ker je l/(w +1) funkcija iz L , družina funkcij g A vi) pa je pri i—» 0+ omejena s funkcijo e . Limito smerne torej vzeti pod integralski znak in dobimo 1 (a-it)«w lim E _4Ü * -«o w +1 f ~s— d\7 = u> 0 J w +1 To upoštevamo pri izrazu A(t,u,L) in dobimo [ 0 u<0 lim A(t j u,L) = 4 u>0 Sedaj pa že moremo določiti limito izraza C , ; fO, uiö lim C = 1 Z-10+ ^'c r«,, itu ... v [J f{t)e dt, u^-0 rt .a Podobno izračunamo v razliki f (u+iL) - f (u-is) integrale po poltrakih I in I , ko gre t—»0+s f^ii-ble11** at, u-^o lim C 0+ ±5C u>0 To pa pomeni j da Fourier-Laplaceova transformacija res - 25 - 1 2 sovpadr: na funkcijah, ki e o V % OL , s klasično Fourier- 2 ovo transfornaci jo, definirano na L t z00 f+{u+ie) - f""(tt-±fc)l = l f(t)e L _ _ rt", lin L.—i 0+ za vsako fiksno realno število u. Vidino torej, da velja .00 i tu dt konvergenca po točkah. Dokazati pa moremo še več; razlika 2 konvergira tudi v smislu norne v L ? co cC lini j |(f+(u+iL) - f~(u-iO) - $ f(t)eitU dt|2 du = 0 t —)Q+ *«• -CO Za dokaz tega dejstva se poslužimo znanega Titchmarshovega izreka ( [7] s Theoren 93): Bodi f(x+iy) analitična funkcija za y;>0,° pri 2 vsakem fiksnem y:>0 "bodi f{x+iy) funkcija iz L , tj. j |f(x+iy)| *' dx = M(y)< co. Če ostanejo števila M(y) c- — CO o mejena, ko gre y->0+, eksistira taka funkcija (f(x)6L » 2 da velja f (x+iy)—^ (p(x), ko gre y->0+j v smislu norme v L . Če dokažemo, da razlika f (u+iL) - f (u-iL) 2 konvergira v I , kc gre L. —¦»()+, peten konvergira skoraj povsod proti funkciji \ f(x)e dx? proti kateri kon- vergira pc točkah. Na osnovi pravkar citiranega Titchmarsh- A /V ovega izreka zadošča, da so funkcije f (u+iL) - f (u-iL ) 2 v L in da so njihove norme pri L —}0+ navzgor omejene. To pokažimo le za en del razlike, npr, za integral po poltraku I . Ta integral označimo z G(u+iL); .co . t , , . . co -ce 1 ea(u+i*) j eix(u+iO( j'_fiSL dt ) dx 2% ' ^l a+i(x-t) <*> ~t» Najprej zamenjamo vrstni red integracij in izračunamo dobljeni integral podobno kot na strani 2 3; - 26 - ., Y (a-it)dw -p hin I *V 1 * ,,/ .,, 1 iać f „/. v i bu ( Videli sno žes da gre notranji integral proti vrednosti ?f/2j ko gre i—>0+, Za dovolj majhno I je notranji integral gotovo manjši x^° absolutni vrednosti ocl îf | isto velja za njegov realni in imaginarni dol, npr. ftó awč . &*> y\ e cos wtL , , Ar» _ ^ . , G , _ .. v -;0+ proti noki funkciji iz L * Isto velja za drugi del funkcijo f in za dole funkcije f . Tako jo izrek 3.2. dokazan. - 27 - 4. INVERZNA FOURIER-IAPLACSOVA TRANSFORMACIJA - Klasična Fourierova transformacija je podana s formulo Ff = J f(x)e J dx. Njoj obratna trans f ormaci ja — o^ je Ff = S f(x)e dx. Znane jo, &ö sta si transformaciji ~ao p __ _ druga drugi obratni s za vsak f éL volja FFf = FFf = 25Cf. Doslej smo posplošili lo transformacije, v kateri nas t o-pa ped integralom faktor e . Podobno moremo posplošiti transformacijo, pri kateri nastopa faktor e Za funkcijo f(z) = (f+(z) ,f~ (z) ), f(z)çlJ _ P» 4. definiramo posplošeno FLT F takole: i f = (f+(z)sr(z)) p î y. f+(<$) = L f+(z)o~iZ^ dz - J f~(z)e"iS^ a», lmt5>q 1 2 F(*J) =~ L f+Cz)e-iZ^ :iz * J f~(z)-pi,-pi) i i (-pi,-pi + ao) Na podoben način kot v prvem poglavju za transformacije F, pokažemo, kako pcsplcŠimo zgornjo definicije naj-prej na prostor đC in nate še na preslikavo 3 prostora H vase. Nate pokažemo neomejene veljavnost pravil a. ^(znf(z)) = in JU f(f(z)) (D n = 1 2 . » b. T(f(n)U)) - U<$)n?(fU)) (r) 0. ?(f(z)eaZ) = T(f(z))(^+ai) (T) _ a L C d. Ç(f(z-a)) = o~ia^^(f(z)) (4*3 - 28 - Nadalje veljajo izreki; 2•4." Preslikava Y prostora H vaso ja v kvecientni tc-pclc^iji zvezna. 3.2.^ Transformacija i sc vpada na elementih iz H5 ki 2 so zastepniki funkcij iz 1 (-oo;Oo), s klasično inverzne Fouriorovo transformacijo. Nasa transformacija j jo pesplešitov klasično inverano transformacije. Tudi našo transformacijo t smono imenovati inverzno Fc.urier-Laplacecvo transformacijo, kot nam pekažo naslednji izrek: 4.1. Trensfermaciji h in T sta si druga drugi v bistvu inverzni : T T f = T T f = 2Tf za vsak f 6 H. Dokazali bomo lo prvo polovico izreka: T T f = = 29^ . Vsak element f(z} = (f ,f ) moreno pisati kot vsoto elementov, ki imata pc ono kompenento enako 0: + — f(z) = (f (z)jO) + (0,f (z)). Zato so smomc pri dokaz o- vanju omejiti na prinor, da jo npr. druga komponenta enaka Os f(z) - {f(z),0). Funkcija f(z) jo vsebovana v nekem M . Co po petrobi k pevočanc za 1, sneno vzeti, da volja celo a. f(z) analitična za In z^k-L b. volja ocena |f (z)| ^ A. o^k_É ' |z' , Ei z^k-t, kjor jo L. neke pozitivna število- ¦t Najprej poiščemo Fourier-Laplacuovo transferni^ ranko funkcije f(z): Tf = U >L*)* f+(z) = S f(t)eit3 at, L(e) «- Sj f(t) Integrala pc pcltrakih I in I sta seveda 0, ker jo spodnja kenpenento, elementa f(z) enaka 0. Peltraka I - 29 - in I sneno vzeti v razdalji k od realno osi. Krai.ek račun nam da f+(z) = e~kZ ) f(t+ik)oitz dt o ;-/ \ -kz \%i +.-M -li« ,+ (4ol) i (z) = -e J f(-t+ik)e dt o Par (f ,f ) preslikano sedaj z inverzno FLT, i . Treba _ A rt je videtis da je tako dobljeni par ? ( T f) = (f ,f ) kot element iz H enak elementu 29[ (f,0), to je, da se para razlikujeta la za kakšno funkcijo iz G. A . rt Ker sta f in f analitični za |Im z|^kf smemo pri računanju inverzne PLT vzeti integracijske poti zopet v razdalji k od realne osi. dt 4+/ v kz ( *+j . . ., s itz ... -kz f t,-, , ...i f (z) = e J f (-t+ik)e dt - e J f (-t-ik)e F(z) = -ekz i f+(t+ik)c-its dt + e~kz f ^(t-ik)e-it2 dt ° o rt A V ti formuli vstavimo za f in f izraze iz formule (4.1), V vseh nastopajočih dvojnih integralih smemo zamenjati vrstni red integracije,, ker sta prva dva integrala absolutno konvergentna za In z>ks druga dva za Im z k, druga za In z<;k. Y prvi integral prve in druge formule vpeljemo kompleksno spremenljivko w=ik+t, v druga dva pa w=ik-t. >, . kz f f(w)e"lOT , . .-te \ f(w)elw . T f (z) = -le )_ --------dw - îe }_ -------dw, Im z>k I _, w - z I^w-z - 50 --lew f (a) = -ig L------- dw - is —1--i---dw, In zk. Regularna pa jo so na osi In z = k. 0 ton so prepričane takele; na.j se tečka z od zroraj približuje točki x+ik, x>0! Ker jo funkcija f(w) pc predpostavki regularna še de prenice In w = k-L, suono integracijsko pot def emirat i, N" aine s te pel traira I vzane-no pot, sestavljeno iz daljice (ik,x-S+ik), spodnjo polovico krega s polnercn S , 0< ^ <;L, dk-L , lo v točki ik "bi utognila i\ieti izc- —+ liranc singularnest. P-..kažint , da je f (z) regularna tudi v točki ik! Poltraka I in I dsforniranno v okolici točke ik take, ket kaže slika. Pri ton j^ število a vočjo od -7+ ; k-L in nanjse od k. V" definiciji funkcijo f (z) 3nonc nadenestiti poltraka I in I s lonljonina črtana A,, A , A in B , B in B . Integrali, ki so nanašajo na dole poti po A.., A , Bp in B so v točki ik regularni. Dokazati $ X fCw)e^ta . . -ka [ f(w)olOT , g(z) = -ic \ ------ dw - i, i* -irf-r đ kw TT- analitična v točki z-ik. Funkcije g(z) transfcrnirar.10 na obliko * -k(z-it) k(z-it) f n — a iz) = i f(it) 2--- — _^-----dt gi it - z -k(z-it) _ ck(z-it) Punkcija--------:t™------ je analitična tudi sa z - it vse a=it, a^tirk, zato je g(z) analitična v ckelici —+ tečke z=ik. To penoni, da nicrojoc funkcije f (s) nadaljevati analitično tudi preko točke z=ik. Funkciji f in f sta obo regularni v pasu k-É 0! Tedaj je razlika integralov -+ "ft- v f ezirena f pc pcltraku I enaka 0. V integralu po —+ I v f (z) defomiraoic pot take, kot kaže slika. V razliki so odštejeta integrala po tistih delih pcltraka I,, ki so skupni tudi novi peti I»*« Ostane Ig še integral po zaključeni poti okoli točko z, ki ga norano preteči v pc-zitivn.on s:.:islu; ik f+(z) - f (z) = -kw ii x 1 -A f(-)~ = -ic dp _iii_----k-L, funkcija f (s) pa se da analitične nadaljevati na vse pclravnine II. z;>k-L. Tudi enačba (4.2) velja ne sane v pasu, tenveč v celi pnlravnini —+ In zJ>k-L. Ker sta funkciji f(a) in f (z) na pclravnini In z>k-t eksponentnega naraščanja, je taka tudi funkcija f (z), ki je torej cela funkcija eksponentnega naraščanja. Dosedanje ugotovitve penenije ravne te, da sta para (L5TL(z) ,0) in (f (z), f (z) ) kot olenonta prostora H enaka, saj se njuni kenpenenti zaradi enačbe (4.2) razlikujeta lo za f (z), ki pa je cela funkcija eksponentnega naraščanja. S tun jo izrek 4.1- dokazan. V prostoru. H nerenc t oru j definirati FIT in njej invorsn; transfernacije take, da veljajo lastnosti (1), (2), (l* ) in (2"1 ) za vse cloo.ontc iz H in za vsako naravne, število n, lastnosti (3)s(4), (j*) in (4*) pa za vse f ÉH in za vsako kcnploksnc število a. Obe transferna--ciji sta zvezni preslikavi prostora H nase. Končno si še sastavino vprašanje, če prostor 2 H ni preobširna razširjava prostora L . H vsebuje iz;norr 2 fnc prostor L , tj. prestar razredov, ki jih določajo in- 2 dikatrike funkcij is I . Poleg tega vsebuje še vse alenante, ki jih debino iz indikatrik s končnin številen naslednjih operacij: z odvajanj en, nnožonjen s faktorji obliko z in &*" (n je naravno Število, a poljubno kon-pleksnc število) in paralelnimi preniki za poljubna kon-pleksno število. Prostor H bi bil preobširna razširjava, Če bi H vseboval pel eg opisanih ol onori tov |*j kakšne druge. - 33 - Pokažinc, da t e:, vu ni take! Vzeioinc poljuben el orient f(z) = - (f+(z),f~(z)) 6 H! Toga pjeeioo v cbliki f(z) = Lf+jQ) + + (0,f ). Punkcija f (z) je analitična sa Ir, z >k in na premici In z = k se zvezna tor zadešča peoni \f (z)| -Ss SSTAa za Ir_i z ^k„ Punkcija g (s) = f (z+ik) je analitična do realne osi, na rjalni osi še zvezna in zadošča cceni |gx(z)|^Co ' za In z^O. Iz [6J vonc, da par (g ,0) deleča neko distribucijo "eksponentnega tipa"s u(x) = Ersr li(x) , kjer je p cele število, večje od 1, siiobol IK pomeni p-ti odvod v snislu teorije distribucij, 2 h(x) pa je enoj ona funkcija iz L . Nadalje ven:;, da se indikatrika (u (s) ,*u (z) ) distribucije u(x), kjer je indikatrika definirana s f emulo oo "^i s 1 fcä) Ps f h(x) . _? -pz f h(x) . , u(z) = sas De1 \ —i—s dx * Dx o ± \ —--- dx 29Ti L J x-z _,J X-S J razlikuje od (g ,0) le za neko cel- funkcijo eksponentnega naraščanja. Ker s-fca integrala, v zgornji formuli indi-katriki funkcij iz r, je u(z) linearna kombinacija cd-ved' v indiloatrik, perji'.ženin s faktorji oblike c1 c-zir ona e . Elementa {g ,0) in (uT,u ) sta v prestera H enaka, saj so razlikujeta lo za calo funkcijo okspe-nentnega naraščanja, kot slio že omenili. Potei;: pa. za o-lament (f jO) velja, da je v H enak elementu (u (z-ik), u (z-ik))s ki je linearna kombinacija odvodov indikat- 2 rik funkcij iz L , pomnoženih z ekspcnencialnini faktorji, premaknjena za k v sneri pozitivnega dela imaginarno osi. Podobno velja seveda za (0,f ). Prostir H teroj ros ni prevelik. Z akl j ucn o op o;„ o o. Prav lahke pokažemo, da je našo. p-urior-Lapla-cecva transfermacija tudi razširjava Pourier-Laplacec-vih trojnofermacij, ki jih je definiral Pantolidie v [6j - 3-'4 - na prest orih. " ul t r rici i s tri bue i j " in listribucij "okspe-n an t n o ga ti p a ". V obeh p r : a t : r i li j o narir o i L ' va o b c van ¦ izenorfne ket podpr^ster, ki jo v -odgvvar jaj oči topologiji col; gost v vsoti presteru, Na olonontih, ki so 2 z as t c pni ki funke i j iz L , se vpada j c Pant oli cl i s < vo p cs- plcšenc FLT s klasičnima. Pantolidiseva prestera nero-no smatrati za pedprostora v nasor: gresteru H. Tcpclc-gija, ki jo v Pantclidisevih prostorih inducira topologija našega prostora H, je Šibkejša od topologij, ki jih. jo definiral Pantolidis. Od ted sklepane, da sovpadaj c Pan t e li elisovi in naše trans f emaci j o na elenentih iz H, ki se zastopniki Pantclidisevih. prestorcv. 2 Zdi so verjetno, da jo L kot pedproster v H 2 ji gost v H v snislu topologije v L . Ce jj to res, snono anatrati našo PLT k; t razširjave pe zveznosti klasične Fcuriorovo transf crnac i j ; v smislu topologij o v H iz 2 podprestera 1 na ves prostor H. Tedaj H geteve ni "pro- 2 velik"j saj jo le zaprta lupina prestera L . Iz goste- 2 te 1 v H sledi tudi neposredne dejstvo, da sta si tran- sfornaci j i f in T inverzni do konstantnega faktorja 2%, Drug'- nerešeno vprašanje je v zv^zi s podpre-storeo: îc'Jf. Toga sne definirali krt prost r cjlih funkcij eksponentnega naraščanja. Vzeioino, äa za cele funkcije f(z) vene, da za j In z|^k no narašča bolj kot eksponentno, ničesar pa no veno gljde naraščanja, kc gre z—» qqy pasu |lr.. zj