i
i
“kolofon” — 2019/6/26 — 8:27 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, JANUAR 2019, letnik 66, številka 1, strani 1–40
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2017 DMFA Slovenije – 2094 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Bracic” — 2019/6/26 — 8:14 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
GENERATORJI PRAŠTEVIL
JANKO BRAČIČ
Naravoslovnotehnǐska fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 11A41
Generator praštevil je postopek, ki nam na vsakem koraku vrne praštevilo oziroma
množico praštevil. V članku predstavimo nekaj znanih in manj znanih generatorjev pra-
števil.
PRIME NUMBER GENERATORS
A prime generator is an algorithm which on each step returns a prime number or a set
of prime numbers. In this paper we present some known and less known prime generators.
Uvod
Množica naravnih števil N ima po eni strani preprosto strukturo, ki se na-
naša na seštevanje. Do vsakega naravnega števila pridemo z enostavnim
postopkom: začnemo s številom 1, prǐstejemo 1 in dobimo 2, spet prǐste-
jemo 1 in dobimo 3 itd. Rečemo lahko, da ima aditivna struktura v N en
sam osnovni gradnik, število 1. Tesno povezana z aditivno strukturo v N je
dobra urejenost te množice.
Po drugi strani je multiplikativna struktura množice N manj enostavna.
Potrebujemo veliko osnovnih gradnikov – praštevil, da lahko vsako naravno
število izrazimo kot njihov produkt. Že starogrški matematiki so vedeli, da
za vsako naravno število n ≥ 2 obstajajo takšna enolično določena praštevila
p1 < · · · < pk in naravna števila e1, . . . , ek, da je n = pe11 · · · p
ek
k . Na tem
osnovnem izreku aritmetike sloni Evklidov dokaz, da je praštevil neskončno
mnogo. Idejo njegovega dokaza lahko uporabimo za konstrukcijo generatorja
praštevil. Z generatorjem praštevil imamo v mislih postopek, ki nam ob
ustreznih začetnih podatkih da eno ali več praštevil. Iz Evklidovega dokaza
lahko izluščimo naslednji postopek za generiranje praštevil.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1 1
i
i
“Bracic” — 2019/6/26 — 8:14 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
Janko Bračič
• Naj bo {q1, . . . , ql} poljubna množica praštevil;
• produktu q1 · · · ql prǐstejemo 1, da dobimo število n = q1 · · · ql + 1 > 2;
• osnovni izrek aritmetike zagotavlja obstoj takšnih enolično določenih
praštevil p1 < · · · < pk in naravnih števil e1, . . . , ek, da je n = pe11 · · · p
ek
k ;
• dobili smo množico praštevil {p1, . . . , pk} in vsako od njih je različno
od praštevil v začetni množici.
Ker je {q1, . . . , ql} prava podmnožica v {q1, . . . , ql, p1, . . . , pk}, lahko skle-
pamo, da je praštevil neskončno mnogo.
K pravkar opisanemu generatorju praštevil se bomo vrnili pozneje, ko
bomo govorili o njegovih variantah, celi družini generatorjev praštevil, ki
jim rečemo evklidski generatorji praštevil.
Obrazci za računanje praštevil
Že Euler je opazil, da je vrednost polinoma f(n) = n2 + n + 41 praštevilo
za vse n = 0, 1, . . . , 39. Ker je f(40) = 1681 = 412, ta kvadratni polinom
ni generator praštevil. Seveda lahko z interpolacijo za vsak nabor praštevil
p1, . . . , pk najdemo takšen polinom f , da je f(n) = pn za vse n = 1, . . . , k.
Na žalost pa pri interpolaciji stopnja polinoma f narašča s k. Green in Tao
[5] sta dokazala zelo globok izrek o praštevilih. Pokazala sta, da so v mno-
žici praštevil poljubno dolga aritmetična zaporedja. Z drugimi besedami,
za vsako naravno število k obstajata takšni naravni števili uk, vk, da je vre-
dnost linearne funkcije l(n) = ukn + vk praštevilo za vse n = 1, 2, . . . , k.
Števili uk in vk sta si seveda tuji, zato je po Dirichletovem izreku o pra-
številih v aritmetičnem zaporedju l(n) neskončno mnogo praštevil. A že
zelo enostaven argument nas prepriča, da l(n) ne more biti praštevilo za vse
n ∈ N. Namreč, za n = uk + vk + 1 je l(n) = (uk + 1)(uk + vk). Prav-
zaprav ni takšnega nekonstantnega polinoma f , katerega vrednost f(n) bi
bila praštevilo za vsako naravno število n. Dokažemo lahko še več.
2 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Bracic” — 2019/6/26 — 8:14 — page 3 — #3 i
i
i
i
i
i
Generatorji praštevil
Trditev 1. Ne obstaja takšen nekonstanten polinom f , katerega vrednosti
f(n) so praštevila za vsa naravna števila n iz nekega aritmetičnega zaporedja
naravnih števil.
Dokaz. Ideja dokaza je iz [6]. Vzemimo, da obstajata takšen nekonstanten
polinom f in takšno aritmetično zaporedje A = {dk + e; k = 0, 1, 2 . . .},
da je f(n) praštevilo za vse n ∈ A. Potem je f(e) = p praštevilo. Ker je
dpj + e ∈ A za vse j ∈ N, je tudi vsako od števil f(dpj + e) praštevilo. Iz
dpj+e ≡ e (mod p) sledi (dpj+e)m ≡ em (mod p) za vsako naravno število
m, kar nam da f(dpj + e) ≡ f(e) ≡ 0 (mod p) za vse j ∈ N. To pomeni,
da je praštevilo f(dpj + e) enako p. Toda to je nemogoče, saj nekonstanten
polinom ne more zavzeti iste vrednosti neskončnokrat.
Zdaj, ko vemo, da ni takšnega polinoma f , pri katerem bi bilo f(n)
praštevilo za vsa števila n iz nekega aritmetičnega zaporedja naravnih števil,
se postavlja vprašanje, ali sploh obstaja takšna nekonstantna funkcija f ,
katere vrednosti f(n) so praštevila za vse n iz neke neskončne množice
naravnih števil. Preden odgovorimo na to vprašanje, dokažimo naslednjo
trditev.
Lema 2. Naravno število n 6= 4 je praštevilo natanko tedaj, ko n ne deli
števila (n− 1)!.
Dokaz. Če je n praštevilo, potem število (n − 1)! ni deljivo z n. Za dokaz
obrata moramo pokazati, da vsako naravno število n 6= 4, ki ni praštevilo,
deli število (n − 1)!. Ker za n = 1 to očitno velja, lahko predpostavimo,
da je n sestavljeno število. Vzemimo najprej, da obstaja razcep n = uv,
kjer sta 1 < u < v < n. Potem seveda u in v nastopata v produktu
(n − 1)! = 1 · 2 · · ·u · · · v · · · (n − 1) in zato n|(n − 1)!. Razcep n = uv z
1 < u < v < n obstaja za vsako sestavljeno število n, razen za števila
oblike n = p2, kjer je p praštevilo. Predpostavimo torej, da je n = p2
za neko praštevilo p. Ker je n 6= 4, je p liho praštevilo. Iz (p2 − 1)! =
1 · 2 · · · p · (p+ 1) · · · (2p) · (2p+ 1) · · · (p2 − 1) vidimo, da p2|(p2 − 1)!.
1–10 3
i
i
“Bracic” — 2019/6/26 — 8:14 — page 4 — #4 i
i
i
i
i
i
Janko Bračič
Za realno število x označimo z bxc največje celo število, ki ne presega x,
in z dxe najmanǰse celo število, ki ga x ne presega. Na primer, b2,4c = 2 in
d2,4e = 3. Če je x celo število, potem je bxc = dxe = x.
Poglejmo zdaj funkcijo
f(n) =
⌈
2(n− 1)!
n
−
⌊
2(n− 1)!
n
⌋⌉
(n− 2) + 2.
Izračunamo lahko, da je f(1) = 2, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 2, f(5) = 5,
f(6) = 2 itd.
Trditev 3. Funkcija f je generator praštevil. Če je n praštevilo, je f(n) =
n, za druga naravna števila n pa je f(n) = 2.
Dokaz. Če je n liho praštevilo, potem po lemi 2 število 2(n−1)!n ni celo, kar po-
meni, da je 2(n−1)!n −
⌊
2(n−1)!
n
⌋
število z intervala (0, 1) in zato⌈
2(n−1)!
n −
⌊
2(n−1)!
n
⌋⌉
= 1. Ker že vemo, da je f(2) = 2, lahko zaključimo, da
je f(n) = n, če je n praštevilo. Po drugi strani, če je n 6= 4 sestavljeno število
ali enako 1, je po lemi 2 2(n−1)!n celo število in zato
2(n−1)!
n −
⌊
2(n−1)!
n
⌋
= 0.
Ker je f(4) = 2, vidimo, da je f(n) = 2, če n ni praštevilo.
Naša konstrukcija funkcije f iz trditve 3 temelji na funkciji, ki je pred-
stavljena na spletni strani [10].
Bertrandov postulat (včasih imenovan tudi izrek Bertrand-Čebǐseva)
pravi, da za vsako število x > 1 obstaja na intervalu [x, 2x] vsaj eno prašte-
vilo. Odkar je leta 1852 Čebǐsev dokazal ta izrek, so ga matematiki precej
izbolǰsali. Tako so, na primer, leta 2001 Baker, Harman in Pintz v članku
[1] pokazali, da obstaja takšno število x0 > 0, da za vsak x ≥ x0 interval
[x, x + x21/40] vsebuje vsaj eno praštevilo. Avtorji v svojem članku trdijo,
da je mogoče število x0 efektivno izračunati, a ne navajajo nobene ocene za
velikost števila x0.
Označimo s pn n-to praštevilo. Torej, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5 itd. Iz
rezultata, ki so ga dokazali Baker, Harman in Pintz, sledi, da obstaja takšen
4 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Bracic” — 2019/6/26 — 8:14 — page 5 — #5 i
i
i
i
i
i
Generatorji praštevil
indeks n0, da je
pn < pn+1 < pn + p
21/40
n < pn + p
2/3
n za vse n ≥ n0.
Lema 4 ([7]). Če je N takšno naravno število, za katerega velja pn0 < N
3,
potem obstaja takšno praštevilo q, da je N3 < q < (N + 1)3 − 1.
Dokaz. Naj bo pn največje praštevilo, za katerega velja pn < N
3. Potem je
n ≥ n0 in torej velja N3 < pn+1 < pn + p2/3n < N3 +N2 < (N + 1)3 − 1.
Cheng [4] je pokazal, da lema 4 velja za vsako število N > ee
15
. Se pravi,
da lahko za pn0 vzamemo najmanǰse praštevilo, ki presega e
3e15 .
Naj bo zdaj q0 > e
3e15 poljubno praštevilo. S pomočjo leme 4 lahko
dobimo neskončno zaporedje praštevil q0 < q1 < q2 < . . ., za katerega velja
q3n < qn+1 < (qn + 1)
3 − 1 (n ∈ N).
Definirajmo zaporedji
un = q
3−n
n in vn = (qn + 1)
3−n (n ∈ N).
Lema 5 ([7]). Zaporedje un je monotono naraščajoče, zaporedje vn je mo-
notono padajoče in pri vsakem n je un < vn.
Dokaz. Očitno je un < vn. Pri vsakem n velja un+1 = q
3−n−1
n+1 > (q
3
n)
3−n−1 =
q3
−n
n = un in vn+1 = (qn+1+1)
3−n−1 < ((qn+1)
3−1+1)3−n−1 = (qn+1)3
−n
=
vn.
Trditev 6 ([7]). Obstaja takšno število α > 1, da je funkcija
g(n) =
⌊
α3
n⌋
(n ∈ N)
generator praštevil.
1–10 5
i
i
“Bracic” — 2019/6/26 — 8:14 — page 6 — #6 i
i
i
i
i
i
Janko Bračič
Dokaz. Naj bosta un in vn zaporedji, ki smo ju definirali prej. Ker je zapo-
redje un monotono naraščajoče in navzgor omejeno, je konvergentno. Naj
bo α = lim
n→∞
un. Ker je vn monotono padajoče zaporedje in velja un < vn,
je un < α < vn za vse n ∈ N. Od tod sledi qn = u3
n
n < α
3n < v3
n
n = qn + 1
za vse n ∈ N. Torej je
⌊
α3
n⌋
= qn.
Obe funkciji, ki smo ju predstavili v tem razdelku, imata le teoretični
pomen, za konkretno generiranje praštevil nista uporabni. Bolj ali manj
je tako z vsemi funkcijami, ki generirajo praštevila. Funkcija f iz trditve
3 zahteva veliko računskih operacij za izračun vrednosti f(n). Funkcija g
iz trditve 6 pa ima to dodatno pomanjkljivost, da števila α ne poznamo,
saj je definirano kot limita. V naslednjem razdelku bomo zato pogledali
generatorje praštevil, ki so bolj priročni.
Sita
Sito je postopek, ki v dani neprazni končni množici naravnih števil poǐsče
vsa praštevila. Najbolj znano je Eratostenovo sito. Postopek je naslednji.
Naj bo M končna neprazna množica naravnih števil in naj bo m največje
število v M . Množico M presejemo takole:
• naj bo M1 = M \ {1};
• za vsak n = 2, . . . , b
√
mc, naj bo Mn = Mn−1 \ {kn; k = 2, . . . , bmn c}.
Ko je postopek končan, dobimo množico Mb
√
mc, v kateri so natanko vsa
praštevila iz množice M . Verjetno tega ni treba dokazovati, saj je Eratoste-
novo sito zelo znan generator praštevil.
Indijski matematik Sundaram je leta 1934 odkril zelo zanimivo sito.
Naša predstavitev tega sita temelji na [11]. Začnimo z naslednjo tabelo
6 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Bracic” — 2019/6/26 — 8:14 — page 7 — #7 i
i
i
i
i
i
Generatorji praštevil
naravnih števil.
4 7 10 13 16 19 22 25 . . .
7 12 17 22 27 32 37 42 . . .
10 17 24 31 38 45 52 59 . . .
13 22 31 40 49 58 67 76 . . .
16 27 38 49 60 71 82 93 . . .
...
...
...
...
...
...
...
...
(1)
Kaj je na tej tabeli zanimivega? Vidimo, da je v vsaki vrstici in vsakem
stolpcu aritmetično zaporedje števil. V prvem stolpcu je v j-ti vrstici število
4 + 3(j − 1) = 3j + 1. To je prvi člen aritmetičnega zaporedja v j-ti vrstici.
Razlika aritmetičnega zaporedja v j-ti vrstici je liho število 2j+1. Se pravi,
da je v j-ti vrstici in k-tem stolpcu število 3j+1+(k−1)(2j+1) = 2jk+j+k.
Zdaj lahko razkrijemo najbolj zanimivo lastnost tabele (1).
Trditev 7. Liho število 2n + 1 je praštevilo natanko tedaj, če število n ni
v tabeli (1).
Dokaz. Videli smo, da so v tabeli (1) natanko vsa naravna števila oblike
n = 2jk+ j + k (j, k ∈ N). Za takšno število n pa velja 2n+ 1 = 4jk+ 2i+
2k + 1 = (2j + 1)(2k + 1), kar pomeni, da 2n + 1 ni praštevilo. Po drugi
strani, če 2n+ 1 ni praštevilo, je produkt dveh lihih števil 2j + 1 in 2k + 1.
Iz 2n+ 1 = (2j+ 1)(2k+ 1) sledi, da je n = jk+ j+k, torej število iz tabele
(1).
S postopkom, ki mu rečemo Sundaramovo sito, lahko poǐsčemo vsa pra-
števila v neprazni končni množici števil M . Naj bo m najmanǰse naravno
število, za katerega velja n ≤ 2m+2 za vse n ∈M . Postopek poteka takole:
• naj bo M0 = M \ ({2k; k = 2, . . . ,m+ 1} ∪ {1}),
• za vsak j = 1, . . . , b2m−16 c, naj bo Mj = Mj−1 \ {(2j + 1)(2k + 1); k =
1, . . . , j}.
1–10 7
i
i
“Bracic” — 2019/6/26 — 8:14 — page 8 — #8 i
i
i
i
i
i
Janko Bračič
Na prvem koraku smo izločili soda sestavljena števila in število 1, na
drugem koraku pa liha sestavljena števila. V množici M
b2m−16 c
so ostala le
praštevila, ki so v M . Še pojasnilo, zakaj število j teče od 1 do b2m−16 c.
Namreč, vsako sestavljeno liho število v M je oblike (2j + 1)(2k + 1), kjer
je j ≥ k. Ker je vedno 2k + 1 ≥ 3, je dovolj, da je j ≤ b2m−16 c, saj za
b2m−16 c + 1 že velja 3
(
2(b2m−16 c + 1) + 1
)
≥ 3
(
22m−16 + 1
)
= 2m + 2. V
nekaterih primerih je res potrebno, da j teče do b2m−16 c. Naj bo na primer
p = 2t+1 > 3 liho praštevilo inM poljubna množica naravnih števil, v kateri
je 3p največje število. Ni težko videti, da je m = 3p−12 = 3t + 1 najmanǰse
naravno število, pri katerem velja n ≤ 2m + 2 za vse n ∈ M . Število 3p
je liho in sestavljeno, kot produkt dveh lihih naravnih števil različnih od 1
ga lahko zapǐsemo samo na en način: 3p = (2t + 1)(2 · 1 + 1). Se pravi,
da ga z zgornjim algoritmom izločimo iz množice M šele na koraku, ko je
j = t = b2m−16 c.
Evklidski generatorji praštevil
Na koncu se vrnimo k Evklidu in njegovemu dokazu, da je praštevil ne-
skončno mnogo. Generator praštevil, ki smo ga opisali v uvodu, je Mullin
[8] nekoliko spremenil in definiral dva generatorja praštevil. Prvo Mullinovo
zaporedje praštevil dobimo takole:
• naj bo q1 = 2,
• za vsak k ∈ N naj bo qk+1 najmanǰse praštevilo, ki deli q1 · · · qk + 1,
drugo Mullinovo zaporedje pa takole:
• naj bo Q1 = 2,
• za vsak k ∈ N naj bo Qk+1 največje praštevilo, ki deli Q1 · · ·Qk + 1.
V naslednji tabeli, ki je povzeta po [2], je prvih deset členov obeh zaporedij
8 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Bracic” — 2019/6/26 — 8:14 — page 9 — #9 i
i
i
i
i
i
Generatorji praštevil
k qk Qk
1 2 2
2 3 3
3 7 7
4 43 43
5 13 139
6 53 50 207
7 5 340 999
8 6 221 671 2 365 347 734 339
9 38 709 183 810 571 4 680 225 641 471 129
10 139 1 368 845 206 580 129
Zelo malo je znanega o teh dveh zaporedjih praštevil. Tako je še vedno
nerešen problem, ali se v zaporedju qk pojavijo vsa praštevila. Za zaporedje
Qk je Booker [2] pokazal, da v njem manjka neskončno mnogo praštevil.
Za konec poglejmo nekoliko drugačen evklidski generator praštevil, ki ga
je objavil Wooley leta 2017. Potrebujemo naslednjo lemo.
Lema 8 ([9]). Za vsako naravno število n je najmanǰse praštevilo, ki deli
nn
n − 1, enako najmanǰsemu praštevilu, ki ne deli n.
Dokaz. Za n = 1 trditev očitno velja, zato predpostavimo, da je n ≥ 2. Če
je n liho število, je 2 najmanǰse praštevilo, ki ne deli n. Očitno 2 deli nn
2−1.
Tudi obratno velja, če 2 deli nn
n − 1, potem je n liho število in je torej 2
najmanǰse praštevilo, ki ne deli n. Vzemimo zdaj, da je n sodo število. Naj
bodo q1, . . . , qk vsa praštevila, ki delijo n in p najmanǰse praštevilo, ki ne
deli n. Torej je p ≥ 3 in q1 · · · qk + 1 ≤ n + 1. Evklidov argument nam
zagotavlja, da obstaja praštevilo q, ki deli q1 · · · qk + 1. To praštevilo seveda
ne deli n in je manǰse kvečjemu enako q1 · · · qk+1. Ker pa je po predpostavki
p najmanǰse praštevilo, ki ne deli n, je p ≤ q in zato p ≤ q1 · · · qk +1 ≤ n+1.
Naj bodo p1, . . . , pj praštevila, ki delijo p−1, velja naj p−1 = pe11 · · · p
ej
j .
Potem zaradi pj < p in predpostavke, da je p najmanǰse praštevilo, ki ne deli
n, sledi, da je vsako od praštevil p1, . . . , pj v množici praštevil {q1, . . . , qk},
ki delijo n.
Za vsako praštevilo qi velja q
n
i ≥ 2n ≥ n + 1 ≥ p. Med drugim to velja
tudi za vsako praštevilo pi, ki deli p− 1. Torej je peii ≤ p− 1 < n+ 1 ≤ pni
oziroma ei < n za vse i = 1, . . . , j. Od tod sklepamo, da p − 1 deli število
(p1 · · · pj)n in torej tudi število nn. Naj bo d ∈ N takšno število, da je
1–10 9
i
i
“Bracic” — 2019/6/26 — 8:14 — page 10 — #10 i
i
i
i
i
i
Janko Bračič
nn = d(p − 1). Ker p ne deli n, lahko uporabimo mali Fermatov izrek in
dobimo nn
n
= (nd)p−1 ≡ 1 (mod p). Torej p deli nnn −1. Vsako praštevilo,
ki deli nn
n − 1, seveda ne deli n in je zato večje kvečjemu enako praštevilu
p, ki je najmanǰse praštevilo, ki ne deli n. Se pravi, da je p najmanǰse
praštevilo, ki deli nn
n − 1. Isti argument nam zagotavlja, da velja tudi
obratna implikacija. Če je p najmanǰse praštevilo, ki deli nn
n − 1, potem p
ne deli n. To praštevilo je najmanǰse med tistimi, ki ne delijo n, saj smo že
videli, da najmanǰse praštevilo, ki ne deli n, deli nn
n − 1.
Wooleyev generator praštevil je naslednji postopek:
• naj bo p1 = 2;
• za k ∈ N, k ≥ 2, naj bo n = p1 · · · pk−1 in pk najmanǰse praštevilo, ki
deli nn
n − 1.
Z uporabo leme 8 vidimo, da nam algoritem na k-tem koraku vrne k-
to najmanǰse praštevilo. Se pravi, s tem postopkom dobimo natanko vsa
praštevila, urejena po velikosti.
LITERATURA
[1] R. C. Baker, G. Harman in J. Pintz, The difference between consecutive primes, II,
Proceedings of the London Mathematical Society 83 (2001), 532–562.
[2] A. R. Booker, On Mullin’s second sequence of primes, Integers 12 (2012), 1167–1177.
[3] A. R. Booker in C. Pomerance, Squarefree smooth numbers and Euclidean prime
generators, Proceedings of the American Mathematical Society 145 (2017), 5035–
5042.
[4] Y. F. Cheng, Explicit estimate on primes between consecutive cubes, Rocky Mountain
Journal of Mathematics 40 (2010), 117–153.
[5] B. Green in T. Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions,
Annals of Mathematics (2) 167 (2008), 481–547.
[6] N. Mackinnon, Prime number formulae, The Mathematical Gazette 71 (1987), 113–
114.
[7] W. H. Mills, A prime-representing function, Bulletin of the American Mathematical
Society 53 (1947), 604.
[8] A. A. Mullin, Recursive function theory. (A modern look at a Euclidean idea.), Bul-
letin of the American Mathematical Society 69 (1963), 737.
[9] T. D. Wooley, A Superpowered Euclidean prime generator, American Mathematical
Monthly 124 (2017), 351–352.
[10] Formula for primes, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes,
ogled 22. 12. 2018.
[11] Sieve of Sundaram, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Sundaram, ogled
22. 12. 2018.
10 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Simonic” — 2019/6/26 — 8:16 — page 11 — #1 i
i
i
i
i
i
BERTRANDOV POSTULAT
ALEKSANDER SIMONIČ
School of Science
The University of New South Wales (Canberra)
Math. Subj. Class. (2010): 11N05, 11A41
V članku predstavimo Ramanujanov dokaz Bertrandovega postulata. Omenimo tudi
nekatere odprte probleme v povezavi s praštevilskimi vrzelmi.
BERTRAND’S POSTULATE
We present Ramanujan’s proof of Bertrand’s postulate. We also mention some open
problems related to prime gaps.
Uvod
Leta 1845 je francoski matematik Joseph Louis François Bertrand
(1822–1900) v razpravi o permutacijah zapisal naslednje: za vsako naravno
število n ≥ 4 obstaja praštevilo p, ki je večje od n in manǰse od 2n − 2.
Trditev je preveril za n = 1, . . . , 3 · 106, dokazati pa me je ni uspelo. Do-
mneva je dobila ime Bertrandov postulat. Čeprav je že več kot 150 let znana
njena pravilnost, se je tako ime še vedno drži. Danes se pogosto navaja šib-
keǰsa različica problema: za vsako naravno število n ≥ 1 obstaja praštevilo
p ∈ (n, 2n].
Pafnuciju Lvoviču Čebǐsevu (1821–1894), očetu ruske matematične
šole, je hipotezo sedem let kasneje uspelo dokazati v članku [4]. Pri tem
je uvedel posebni funkciji, ki sta postali stalnici v analitični teoriji števil.
Enostavneǰsi dokaz, obravnavan v tem prispevku, je leta 1919 objavil indij-
ski samouk Srinivasa Ramanujan (1887–1920), glej [8]. Ta matematični
genij je že v otroštvu pokazal izjemen matematični talent, vendar je bil
»odkrit« šele leta 1910. Na prigovarjanje G. H. Hardyja je leta 1914 prispel
v Cambridge, kjer so mu po dveh letih podelili doktorat. Kljub pomanj-
kanju matematične natančnosti, ki je bila posledica neformalne izobrazbe,
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1 11
i
i
“Simonic” — 2019/6/26 — 8:16 — page 12 — #2 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
je dosegel zavidljive rezultate na področju specialnih funkcij v povezavi s
teorijo števil. Kot se je izrazil Hardy, je Ramanujan do svojih odkritij prǐsel
s povezovanjem trditev, intuicije in nepojasnjenega sklepanja, sposobnost
primerljiva z Eulerjevo. Zaradi izjemno slabega zdravja se je vrnil v Indijo,
kjer je kmalu zatem tudi umrl. Leta 1932 je nov dokaz prispeval tudi slo-
viti madžarski matematik Paul Erdős (1913–1996), kar je bil njegov prvi
raziskovalni prispevek. Erdősev dokaz ne uporablja funkcij Čebǐseva in se
na številnih mestih, posebno v povezavi z binomskimi koeficienti, ujema
z Ramanujanovim dokazom. Manj znan dokaz je leta 1944 objavil še in-
dijski številski teoretik in v številnih pogledih Ramanujanov matematični
naslednik S. S. Pillai (1901–1950), ki se je proslavil z delom na področju
Waringovega problema. Kasneje je izdelal še en dokaz, ki uporablja samo
racionalna števila, vendar mu je objavo preprečila letalska nesreča, v kateri
je umrl na poti v ZDA na 11. mednarodni kongres matematikov in enoletno
izpopolnjevanje na Univerzi Princeton. Oba dokaza sta reproducirana v [7],
kjer lahko bralec izve tudi več o njegovem življenju in delu.
Upravičeno lahko rečemo, da je danes Erdősev dokaz najbolj znan, ver-
jetno tudi po zaslugi knjige [2]. Vendar je ozadje dokaza Čebǐseva, Rama-
nujana ali Pillaia bolj v sozvočju s klasičnimi metodami analitične teorije
števil, zato je tudi primerneǰsi za uvod v to področje matematike. Za razu-
mevanje članka je dovolj znanje srednješolske matematike.
Funkciji Čebǐseva
Tvorimo zaporedje naravnih števil n1, n2, . . . na naslednji način: postavimo
n1 = 4 in za k ≥ 2 naj bo nk največje praštevilo, manǰse od 2nk−1 − 2.
Nekaj prvih elementov tega zaporedja je
4, 5, 7, 11, 19, 31, 59, 113, 223, 443, 883, 1759, 3511, 7019, . . .
Očitno je Bertrandov postulat ekvivalenten trditvi, da je zgornje zaporedje
strogo naraščajoče. Označimo s π(x) število praštevil, ki ne presegajo po-
12 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Simonic” — 2019/6/26 — 8:16 — page 13 — #3 i
i
i
i
i
i
Bertrandov postulat
zitivnega realnega števila x. Opomnimo, da je kodomena funkcije π pod-
množica naravnih števil. Če je π(x) − π(x/2) > 1 za x ≥ 8, je Bertrandov
postulat dokazan. Zakaj? Če je slednje pravilno, za vsako naravno šte-
vilo n ≥ 4 interval (n, 2n] vsebuje vsaj dve praštevili. Ker 2n in 2n − 2
nista praštevili, interval (n, 2n − 2) vsebuje vsaj eno praštevilo, kar pa je
vsebina Bertrandovega postulata. Glede na prej zapisano zadošča preveriti
π(x)− π(x/2) > 1 za x ≥ 2000.
Bolj prikladno kot s praštevilsko funkcijo π(x) je delati s funkcijama
Čebǐseva. Čebǐsev je v dokazu Bertrandovega postulata uvedel funkciji
ϑ(x) =
∑
p≤x
log p
in
ψ(x) = ϑ(x) + ϑ
(
x1/2
)
+ ϑ
(
x1/3
)
+ · · · . (1)
Zgornja vsota gre po praštevilih p in za x < 2 definiramo ϑ(x) = 0. Očitno
je ϑ(x) ≤ ψ(x). Funkcijo ψ lahko izrazimo tudi drugače. Naj bo Λ(n)
funkcija, različna od nič le pri potencah praštevil, za potenco praštevila p
pa enaka log p. Potem je
ψ(x) =
∑
p≤x
log p+
∑
p2≤x
log p+
∑
p3≤x
log p+ · · · =
∑
n≤x
Λ(n). (2)
Funkcije π, ϑ in ψ so osrednje funkcije analitične teorije števil. Velikokrat
se izkaže, da je najenostavneje delati s funkcijo ψ. Začetna ideja je, da
spodnjo mejo za razliko π(x) − π(x/2) izrazimo s funkcijo ψ. Ker je izraz
ϑ(x) − ϑ(x/2) enak vsoti logaritmov praštevil na intervalu (x/2, x], velja
preprosta ocena
π(x)− π(x/2) ≥ ϑ(x)− ϑ(x/2)
log x
. (3)
Ker po (1) sledi ψ (
√
x) = ϑ
(
x1/2
)
+ ϑ
(
x1/4
)
+ · · · , imamo
ψ(x)− 2ψ
(√
x
)
= ϑ(x)− ϑ
(
x1/2
)
+ ϑ
(
x1/3
)
∓ · · · .
11–21 13
i
i
“Simonic” — 2019/6/26 — 8:16 — page 14 — #4 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
Desna stran ni večja od ϑ(x), saj je ϑ naraščajoča funkcija. Upoštevamo še
ϑ(x/2) ≤ ψ(x/2) in dobimo
ϑ(x)− ϑ
(x
2
)
≥ ψ(x)− ψ
(x
2
)
− 2ψ
(√
x
)
. (4)
Bistvo Ramanujanovega prispevka k dokazu Bertrandovega postulata je eno-
stavneǰsa ocenitev desne strani neenakosti (4).
Ramanujanova ideja
Spomnimo se, da za binomski simbol
(
n
m
)
= n!/(m!(n−m)!) velja simetrija(
n
m
)
=
(
n
n−m
)
. Binomski koeficienti
(
n
0
)
,
(
n
1
)
, . . . ,
(
n
n
)
nastopajo v binomskem
izreku
(x+ y)n =
(
n
0
)
xn +
(
n
1
)
xn−1y + · · ·+
(
n
n− 1
)
xyn−1 +
(
n
n
)
yn. (5)
Lahko je videti, da je največji binomski koeficient
(
n
bn/2c
)
, kjer je bxc oznaka
za celi del nenegativnega realnega števila x.
Ramanujan je za x > 0 uvedel funkcijo
R(x) =
bxc!
bx/2c!2
.
Po osnovnem izreku aritmetike, da lahko vsako naravno število n ≥ 2 izra-
zimo kot produkt potenc praštevil, sledi log n =
∑
d|n Λ(d). Dobimo
log bxc! =
∑
n≤x
log n =
∑
n≤x
∑
d|n
Λ(d) = ψ(x) + ψ
(x
2
)
+ ψ
(x
3
)
+ · · · ,
kjer pri dokazu tretjega enačaja poleg upoštevanja (2) naredimo še sklep,
da je vseh naravnih števil med 1 in x, deljivih z d, ravno bx/dc. Potem je
logR(x) = ψ(x)− ψ
(x
2
)
+ ψ
(x
3
)
∓ · · · . (6)
Od tod že lahko slutimo, kako bomo to enakost uporabili pri neenakosti (4).
Ker je tudi ψ naraščajoča funkcija, sklepamo
ψ(x)− ψ
(x
2
)
≤ logR(x) ≤ ψ(x)− ψ
(x
2
)
+ ψ
(x
3
)
,
14 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Simonic” — 2019/6/26 — 8:16 — page 15 — #5 i
i
i
i
i
i
Bertrandov postulat
kar pomeni ψ(x)− ψ(x/2) ≥ logR(x)− ψ(x/3) in
ψ(x) =
(
ψ(x)− ψ
(x
2
))
+
(
ψ
(x
2
)
− ψ
(x
4
))
+
(
ψ
(x
4
)
− ψ
(x
8
))
+ · · ·
≤ log
(
R(x)R
(x
2
)
R
(x
4
)
R
(x
8
)
· · ·
)
.
Označimo z R(x) produkt v oklepaju. Ko v to neenakost vstavimo x/3 in
uporabimo preǰsnjo neenakost, skupaj s (3) in (4) končno dobimo
π(x)− π
(x
2
)
≥ 1
log x
(
logR(x)− logR
(x
3
)
− 2 logR
(√
x
))
. (7)
Sedaj smo nalogo prevedli na iskanje primerne zgornje in spodnje meje za
funkcijo R(x). Ramanujan je na tem mestu uporabil zelo pomembno, toda
neelementarno aproksimacijo fakultete
1 <
n!
(n/e)n
√
2πn
< e
1
12n , (8)
ki zagotavlja logR(x) < (3/4)x in logR(x) > (2/3)x za x > 300. Neenakosti
(8) sledita iz Stirlingove formule za funkcijo gama, glej [1, str. 204]. Zaključil
je, da tedaj velja
π(x)− π
(x
2
)
>
1
log x
(x
6
− 3
√
x
)
, (9)
saj je R(x) < e3x/2. Ker je za x ≥ 400 desna stran večja od 1, je Bertran-
dov postulat nemudoma dokazan, vendar za ceno Stirlingove formule. V
članku [6] je bilo pokazano, da lahko Ramanujanovi oceni nadomestimo s
šibkeǰsima, toda elementarnima ocenama. To bomo kasneje tudi storili.
Na tem mestu je vredno omeniti, da je Ramanujan na koncu članka brez
razlage napisal π(x)−π(x/2) ≥ 1, 2, 3, 4, 5, . . . za vse x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, . . .
Ta ugotovitev je vzpodbudila matematike za naslednjo definicijo: za vsako
naravno število n naj bo Rn najmanǰse naravno število, za katerega velja
π(x) − π(x/2) ≥ n za vse x ≥ Rn. Enostavno preverimo, da prvih pet
Ramanujanovih števil ustreza tej definiciji. Opazimo še, da so vsa ta števila
tudi praštevila. Po definiciji interval (x/2, x] za vsak x < Rn vsebuje največ
11–21 15
i
i
“Simonic” — 2019/6/26 — 8:16 — page 16 — #6 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
n − 1 praštevil. Zato interval (Rn/2, Rn] vsebuje natanko n praštevil, kar
pomeni, da je Rn praštevilo. To dejstvo upravičuje izraz Ramanujanova
praštevila.
Primerjava z ocenama Čebǐseva in Pillaia
V tem razdelku bomo navedli oceni, ki ju dasta metodi Čebǐseva in Pillaia.
Dokazov zaradi obsežnosti ne moremo podati, bralec jih lahko poǐsče v [4]
in [3, str. 71–75].
Čebǐsev je namesto funkcije R(x) uporabljal
bxc! · bx/30c!
bx/2c! · bx/3c! · bx/5c!
.
Iz njegovih spodnjih mej za ϑ(x) dobimo neenakost
π(x)− π
(x
2
)
>
1
log x
(
2A
5
x− 24− 5
√
2
10
A
√
x
)
− 15
8 log 6
log x−
5
4
(
3 +
2 log 3
log 6
)
− 5
4 log x
(
4 +
log2 2
log 6
− 2 log 2
)
,
kjer je A = log
(√
2 3
√
3 5
√
5
)
− log 30
√
30 ≈ 0,9213. Desna stran je za x > 240
pozitivna, za x > 261 pa večja od 1.
Pillai je sledil Ramanujanovemu dokazu in je zato študiral funkcijoR(2n)
za naravna števila n, vendar se je želel izogniti aproksimaciji (8). Zato je
na elementaren način pokazal, da velja 22n−1/
√
n < R(2n) < 22n/
√
2n za
n ≥ 2. S skrbnim ocenjevanjem mu je za n ≥ 32 uspelo dokazati neenakost
π(2n)− π(n) > log 2
log 2n
(
2n
3
− 1
)
−
(√
2n+ 1
2
)
log n
log 2n
.
Desna stran je za n ≥ 45 pozitivna, za n ≥ 74 pa večja od 1.
Obe neenakosti sta bolǰsi od Ramanujanove ocene (9), vendar dokaza v
primerjavi z njegovim pristopom nista tako enostavna in pregledna, še zlasti
ker lahko Stirlingovo formulo povsem zaobidemo. Čeprav pri tem dobimo
slabšo oceno, je ta vseeno dovolj dobra za enostaven dokaz Bertrandovega
postulata.
16 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Simonic” — 2019/6/26 — 8:16 — page 17 — #7 i
i
i
i
i
i
Bertrandov postulat
Meji za funkcijo R(x)
Funkcijo R(x) bomo za x ≥ 3 izrazili glede na sodost in lihost števila bxc.
Brez težav izračunamo R(x) =
(
2k
k
)
za bxc = 2k in R(x) =
(
2k+1
k
)
(k + 1)
za bxc = 2k + 1. Po binomski formuli za x = y = 1 sledi neenakost(
n
m
)
≤ 2n za vse 0 ≤ m ≤ n. V nadaljevanju naj bo n ≥ 2. Če je n
lih, velja
(
n
bn/2c
)
=
(
n
bn/2c+1
)
. Torej imamo v tem primeru dva največja
binomska koeficienta. Zato za lih n velja neenakost
(
n
bn/2c
)
≤ 2n−1. Ker je(
n
0
)
+
(
n
n
)
≤
(
n
bn/2c
)
in
(
n
1
)
, . . . ,
(
n
n−1
)
≤
(
n
bn/2c
)
, sledi
2n
n
≤
(
n
bn/2c
)
.
S temi elementarnimi neenakostmi dobimo 2
2k
2k ≤ R(x) ≤ 2
2k za bxc = 2k
in (k + 1)2
2k+1
2k+1 ≤ R(x) ≤ (k + 1)2
2k za bxc = 2k + 1. Po primerjanju vseh
neenakosti imamo
2bxc
bxc
= min
{
2bxc
bxc
,
bxc+ 1
2bxc
2bxc
}
≤ R(x) ≤ max
{
2bxc,
bxc+ 1
2
2bxc−1
}
= (bxc+ 1) 2bxc−2.
Če upoštevamo x− 1 < bxc ≤ x, dobimo
2x−1
x
≤ R(x) ≤ (x+ 1) 2x−2. (10)
Enostavno preverimo, da velja (x+1)2x−2 ≤ x2x−1 in x/2 < (3/2)x/2. Torej
je x2x−1 < 6x/2 in s tem R(x) < 6x/2. Od tod dobimo
R(x) < 6x/2+x/4+x/8+··· ≤ 6x. (11)
Sedaj je jasno, da bomo v (7) uporabili (11) in levo neenakost v (10).
Dokaz
Po uporabi ocen iz preǰsnjega razdelka na (7) dobimo
π(x)− π
(x
2
)
>
1
log x
(
x
3
log
4
3
− 2
√
x log 6− log 2x
)
11–21 17
i
i
“Simonic” — 2019/6/26 — 8:16 — page 18 — #8 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
za x ≥ 3. Označimo s f(x) funkcijo v oklepaju. Ker za x ≥ 2 velja
√
x ≤ x/
√
2 < 5x/7 in log x < x, s pomočjo žepnega računala dobimo
f
(
103x
)
=
(
103
3
log
4
3
)
x−
(
20
√
10 log 6
)√
x− log
(
2 · 103
)
− log x
≈ 95,894x− 113,321
√
x− 7,601− log x > 13,91x− 7,601
in s tem
π
(
103x
)
− π
(
103x
2
)
>
13,91x− 7,601
x+ 6,908
.
Torej je π(x) − π(x/2) > 1 za x ≥ 2000, kar pa že pomeni pravilnost
Bertrandovega postulata.
Verjetno je marsikoga zmotila »nerigorozna« uporaba računala v prej-
šnjih vrsticah. In prav je tako, saj mora biti matematik v strogih dokazih
neodvisen od računskih pripomočkov, čeprav nam ti velikokrat pokažejo
pravo pot. Za zaključek razdelka je podan strog dokaz, kjer privzamemo na
znanje le naslednjo potenčno vrsto
log (1 + x) = x− x
2
2
+
x3
3
− x
4
4
± · · · , (12)
veljavno za x ∈ (−1, 1].
Z uporabo substitucije x→ 1/x− 1 preoblikujemo (12) v enakost
log x =
(
1− 1
x
)
+
1
2
(
1− 1
x
)2
+
1
3
(
1− 1
x
)3
+ · · · ,
ki je veljavna za x ≥ 1/2. To vrsto uporabimo pri oceni spodnje in zgornje
meje za logaritem. Za spodnjo mejo upoštevamo prve tri člene v vrsti, za
zgornjo pa preostale člene zamenjamo z ustrezno geometrijsko vrsto. Do-
bimo
(x− 1)
(
11x2 − 7x+ 2
)
6x3
< log x <
(x− 1)
(
3x3 + 13x2 − 5x+ 1
)
12x3
.
Ti oceni nam dasta log (4/3) > 55/192, log 6 = log 2 + log 3 < 4753/2592,
log 1000 = 3 (log 2 + log 5) < 30007/4000 in log 2000 = 4 log 2 + 3 log 5 <
18 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Simonic” — 2019/6/26 — 8:16 — page 19 — #9 i
i
i
i
i
i
Bertrandov postulat
24599/3000. Kot prej naj bo x ≥ 2. Če upoštevamo še
√
10 < 16/5,
log x < x in
√
x < 5x/7, dobimo
f
(
103x
)
>
6907
648
x− 24599
3000
.
Od tod sledi
π
(
103x
)
− π
(
103x
2
)
>
4
81
863375x− 664173
4000x+ 30007
,
kar znova pomeni π(x)− π(x/2) > 1 za x ≥ 2000.
Kako naprej?
Problemi teorije števil, v katere spada Bertrandov postulat, sprašujejo po
intervalih z vsaj enim praštevilom. Veliko matematikov je zastavilo razna
vprašanja na to temo, ki jih v glavnem zaokroža Oppermannova domneva.
Kot je navada v teoriji števil, imajo vsi ti problemi enostavno formulacijo,
zares pa je znanega le malo.
Danski matematik Ludvig Henrik Ferdinand Oppermann (1817–
1883) je leta 1882 postavil domnevo, da za vsako naravno število n ≥ 2
obstajata praštevili p in q, za kateri velja n(n − 1) < p < n2 in n2 < q <
n(n+ 1). Od tod takoj sledi, da vedno obstaja praštevilo med zaporednima
popolnima kvadratoma, kar je vsebina slavne Legendrove domneve, ki jo je
zastavil francoski matematik Adrien-Marie Legendre (1752–1833).
Razliko med zaporednima prašteviloma imenujemo praštevilska vrzel. V
zvezi z Oppermannovo domnevo se lahko vprašamo po zgornjih mejah za
praštevilske vrzeli. Naj bodo p1, p2, . . . zaporedna praštevila. Bertrandov
postulat zagotavlja obstoj praštevila na intervalu (pn, 2pn−2) za vse n ≥ 3,
od koder sledi pn+1 − pn < pn − 2 za n ≥ 3. Bi veljavnost Oppermannove
domneve to oceno kaj izbolǰsala? Tvorimo množico
∞⋃
n=2
((
n(n− 1), n2
)
∪
(
n2, n(n+ 1)
))
= (2, 4) ∪ (4, 6) ∪ (6, 9) ∪ (9, 12) ∪ · · · .
11–21 19
i
i
“Simonic” — 2019/6/26 — 8:16 — page 20 — #10 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
Opazimo, da za vsak n ≥ 2 obstaja k ∈ N, da je pn ∈
(
k2 − k, k2
)
ali
pn ∈
(
k2, k2 + k
)
. Po Oppermannovi domnevi imamo v prvem primeru
pn+1 < k
2 + k, v drugem pa pn+1 < (k + 1)
2. Najprej obravnavajmo prvi
primer. Ker je tedaj (k− 1/2)2 = k2− k+ 1/4 < pn, sledi k < 1/2 +
√
pn in
s tem pn+1 − pn < 2k < 1 + 2
√
pn. V drugem primeru pa imamo k <
√
pn
in tako ponovno pn+1 − pn < 2k + 1 < 1 + 2
√
pn. Ker slednje velja tudi za
n = 1, Oppermannova domneva implicira
pn+1 − pn < 1 + 2
√
pn, n ≥ 1, (13)
kar je znano kot Andricajeva domneva (1986). Ta domneva je ekvivalentna
trditvi
√
pn+1 −
√
pn < 1, n ≥ 1. (14)
Slednje je ekvivalentno neenakosti pn+1 − pn <
√
pn+1 +
√
pn, torej iz (14)
sledi (13). Obrat pokažemo tako, da iz nepravilnosti (14) sklepamo o ne-
pravilnosti (13).
Ocena (13) je bolǰsa od tiste, ki jo da Bertrandov postulat, ni pa zadnje,
kar matematiki verjamejo, da je res. Cramérjeva domneva (1936) zagotavlja
celo pn+1 − pn ≤ C log2 pn za neko konstanto C > 0. Švedski matematik
Harald Cramér (1893–1985) je na začetku matematične kariere naredil
pionirsko delo na področju uporabe teorije verjetnosti v teoriji števil, ka-
sneje pa se je ukvarjal tudi z aktuarsko in finančno matematiko. Temelji
za domnevo so v Riemannovi hipotezi, enem izmed najslavneǰsih odprtih
problemov v matematiki, saj je Cramér leta 1920 dokazal, da njena pravil-
nost zagotavlja pn+1−pn ≤ C
√
pn log pn. Neodvisno od katerekoli domneve
so znane šibkeǰse ocene oblike pn+1 − pn ≤ Cp1/2+εn , kjer poskušajo najti
čim manǰse vrednosti ε > 0. Baker, Harman in Pintz so leta 2001 dokazali
veljavnost preǰsnje neenakosti za ε = 0,025, glej knjigo [5, str. 32].
Omenimo še, da obstajajo tudi razne domneve o porazdelitvi elemen-
tov množice {pn+1 − pn : n ∈ N}, ki so vedno soda števila, le prvi element
20 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Simonic” — 2019/6/28 — 6:55 — page 21 — #11 i
i
i
i
i
i
Bertrandov postulat
je 1. Naj bo Pk(n) število elementov množice {i < n : pi+1 − pi = k}. Defi-
nirajmo še
C2 :=
∏
p≥3
(
1− 1
(p− 1)2
)
≈ 0,66016.
Zelo splošno domnevo o asimptotiki funkcije Pk(n) za soda števila k sta
postavila Hardy in J. E. Littlewood:
Pk(n) ∼
2C2n
log2 n
∏
p|k,p≥3
p− 1
p− 2
če k ni potenca števila 2, ter Pk(n) ∼ 2C2n/ log2 n sicer. Trivialna posledica
te domneve je limn→∞ Pk(n) =∞ za vsako sodo število k. V primeru k = 2
domneva govori o porazdelitvi praštevilskih dvojčkov in še vedno ni znano,
ali jih je res neskončno. Yitang Zhang je leta 2014 dokazal obstoj števila
k0, da je limn→∞ Pk0(n) =∞, pri čemer je eksplicitno podal le precej veliko
zgornjo mejo za število k0. Matematiki poskušajo nadgraditi Zhangovo
metodo v upanju, da bi rešili domnevo o neskončnem številu praštevilskih
dvojčkov. Obetavne rezultate je dal Project Polymath, spletni forum za
reševanje pomembnih in težkih matematičnih problemov s področja teorije
števil in diskretne matematike.
LITERATURA
[1] L. V. Ahlfors, Complex analysis: An introduction to the theory of analytic functions
of one complex variable, 3rd ed., McGraw-Hill, 1979.
[2] M. Aigner in G. M. Ziegler, Proofs from The Book, 5th ed., Springer-Verlag, Berlin,
2014.
[3] K. Chandrasekharan, Introduction to analytic number theory, Die Grundlehren der
mathematischen Wissenschaften 148, Springer-Verlag, New York, 1968.
[4] P. L. Čebǐsev, Mémoire sur les nombres premiers, J. Math. Pures Appl. 17 (1852),
366–390.
[5] R. K. Guy, Unsolved problems in number theory, 3rd ed., Problem Books in Mathe-
matics, Springer-Verlag, New York, 2004.
[6] J. Meher in M. Ram Murty, Ramanujan’s proof of Bertrand’s postulate, Amer. Math.
Monthly 120 (2013), 650–653.
[7] S. S. Pillai, Collected works of S. Sivasankaranarayana Pillai, Volumes I&II, Rama-
nujan Mathematical Society, Mysore, 2010.
[8] S. Ramanujan, A proof of Bertrand’s postulate, J. Indian Math. Soc. 11 (1919),
181–182.
11–21 21
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 22 — #1 i
i
i
i
i
i
O ENAČBI KORTEWEG-DE VRIES
TIMOTEJ LEMUT
Fakulteta za matematiko in fiziko,
Univerza v Ljubljani
PACS: 47.35.Fg
V članku opǐsemo izpeljavo enačbe KdV iz osnovnih hidrodinamskih enačb in prika-
žemo reševanje enačbe ob predpostavki potujočega vala, najprej za lokalizirano, nato pa
še za periodično rešitev.
ON THE KORTEWEG-DE VRIES EQUATION
We derive the KdV equation from the basic equations of hydrodynamics and solve the
equation under the assumption of a traveling wave, first in the case of localized solution
and then in the case of periodical solution.
Uvod
Enačbo Korteweg-de Vries (KdV) za neznano funkcijo u, spremenljivk x in
t, zapǐsemo kot
ut − 6uux + uxxx = 0, (1)
kjer podpisana koordinata predstavlja parcialni odvod. Zgornjo enačbo je
leta 1877 prvi zapisal Joseph Valentin Boussinesq, 1895 pa še Diederik Kor-
teweg in Gustav de Vries. Vsi trije so študirali valove v plitvi vodi, pojasniti
pa so hoteli zanimiv pojav potujočega vala na vodni površini, ki ob poto-
vanju po kanalu/rečni strugi ohranja svojo obliko, za razliko od običajnega
vala, katerega oblika se sčasoma razleze ali pa se zlomi.
Pojav je pred tem v kanalu Union med Falkirkom in Edinburghom leta
1834 prvi opazil škotski inženir John Scott Russell in ga potem tudi poustva-
ril v za to zgrajenem kanalu. Val, ki ohranja obliko, je imenoval translacijski
val, poleg tega pa je izmeril, da je hitrost vala sorazmerna njegovi vǐsini. Do-
datna presenečenja so sledila pri eksperimentih z več translacijskimi valovi.
Translacijski valovi ne interagirajo, temveč v nespremenjeni obliki zapustijo
trk. Interakcija med valovi se razkrije le z zamikom glede na položaj, ki
bi ga val imel, če bi se gibal s konstantno hitrostjo. Kasneje se je takih in
podobnih valov prijelo tudi ime solitonski valovi oziroma kraǰse solitoni.
22 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 23 — #2 i
i
i
i
i
i
O enačbi Korteweg-de Vries
Na spodnji sliki je prikazan primer trka dveh solitonskih valov v primeru,
ko hitreǰsi (večji) dohiti počasneǰsega (manǰsega), kjer lepo vidimo zamik v
položajih po trku.
x
−u
x
−u
x
−u
x
−u
x
−u
x
t
hitr
eǰsi
po
ča
sn
eǰ
si
vǐsj
i
ni
žj
i
Slika 1. Primer trka dveh solitonskih valov. Na zgornjih slikah sta prikazana solitonska
vala ob nekaj različnih časih pred trkom in po njem, na spodnjem delu pa položaj obeh
valov v odvisnosti od časa.
V članku si ogledamo izpeljavo in osnovne rešitve enačbe KdV. V dru-
gem poglavju opǐsemo izpeljavo iz osnovnih enačb hidrodinamike, v tretjem
poglavju pa izpeljemo rešitev za solitonski val in opǐsemo njemu sorodno
periodično rešitev, t. i. cnoidni val.
22–29 23
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 24 — #3 i
i
i
i
i
i
Timotej Lemut
Izpeljava enačbe KdV
Obravnavamo ravninski val z valovno dolžino λ, ki je veliko večja od globine
mirujoče tekočine h. Poleg λ  h naj velja še a  h, kjer je a amplituda
valovanja. Val z označenimi količinami in koordinatnimi osmi je prikazan
na spodnji sliki. Če majhne parametre, ki se bodo pojavili pri opisu dolgo-
valovnih valov v plitvi vodi, povsem zanemarimo, dobimo za odmik gladine
od ravnovesne vǐsine valovno enačbo. Izkaže se, da je enačba KdV naslednja
v razvoju po malih količinah, ki jih srečamo pri opisu takih valov. Začnemo
h
λ
a
z
x
y
Slika 2. Obravnavan ravninski val z označenimi osmi in relevantnimi parametri h, λ in
a.
z osnovnimi enačbami hidrodinamike. Veljata ohranitvi mase in gibalne
količine,
ρt +∇ · (ρv) = 0, (2)
ρ (vt + (v · ∇) v) = −∇p+ f , (3)
kjer je ρ gostota tekočine, v hitrost, p tlak, f pa označuje zunanje sile. Dalje
predpostavimo, da je tekočina nestisljiva in brezvrtinčna,
∇ · v = 0,
∇× v = 0.
Druga predpostavka nam dovoli, da hitrost opǐsemo s potencialom φ, tako
da je v = ∇φ. Skupaj z zahtevo po nestisljivosti iz enačbe (2) sledi
∇2φ = 0. (4)
24 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 25 — #4 i
i
i
i
i
i
O enačbi Korteweg-de Vries
V tem približku določa hitrostni potencial samo robni pogoj, hkrati pa mora
rešitev ustrezati še enačbi (3). Robni pogoj za hitrostni potencial sledi iz
zahteve, da je na meji med tekočino in dnom hitrost tekočine lahko samo
tangentna na mejo. Tako pri z = 0 velja φz = 0. Površino vala opǐsemo s
funkcijo z = h+ η(x, t), tako da na površju velja φz = ηt + ηxφx.
Enačba (3) mora veljati tudi na površju, kjer je tlak enak nič. Za zunanjo
silo f vstavimo gravitacijsko silo f = −ρgez. Upoštevamo še identiteto
(v · ∇)v = 12∇(v2)− v × (∇× v) in dobimo
φt +
1
2(φ
2
x + φ
2
z) + gη = 0, pri z = h+ η(x, t), (5)
kjer smo irelevanten konstantni člen gh kar izpustili.
Enačbi (4) in (5) torej opisujeta gibanje nestisljive tekočine na brezvr-
tinčen način. Upoštevaje, da je tako gibanje možno v dolgih plitvih valovih,
lahko problem v nadaljnjem preoblikujemo v enačbo KdV. Vpeljemo brez-
dimenzijske koordinate, čas in potencial:
x→ x
λ
, z → z
h
, t→ t
√
gh
λ
, η → η
a
, φ→ hφ
aλ
√
gh
.
Laplaceova enačba tako postane:
δφxx + φzz = 0,
robni pogoji pa so:
pri z = 1 + η : φz = δ(ηt + ηxφx) in (6)
φt +
1
2(φ
2
x +
1
δφ
2
z) + η = 0 (7)
pri z = 0 : φz = 0. (8)
V zgornjih enačbah se pojavita dva brezdimenzijska parametra
δ = (h/λ)2 in  = a/h,
ki sta po predpostavki oba majhna.
Hitrostni potencial razvijemo okoli z = 0 in ga z upoštevanjem Laplace-
ove enačbe (4) zapǐsemo v obliki:
φ(x, z, t) = f − δ z
2
2
fxx + δ
2 z
4
24
fxxxx − · · · =
∞∑
n=0
(−δ)n z
2n
(2n)!
∂2nx f, (9)
22–29 25
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 26 — #5 i
i
i
i
i
i
Timotej Lemut
kjer je f(x, t) := φ(x, 0, t) hitrostni potencial pri z = 0.
Prepričajmo se najprej, da v primeru, ko  in δ povsem zanemarimo, res
dobimo valovno enačbo. Razvoj (9) vstavimo v robna pogoja na gladini (6)
in (7) ter ohranimo količine, v katerih  in δ ne nastopata. Dobimo enačbi
fxx + ηt = 0 in ft + η = 0, ki ju lahko preoblikujemo v valovno enačbo
z enako brezdimenzijsko hitrostjo tako za fx kot tudi η. Pri razvoju do
ničtega reda v  in δ torej velja
fx = η in (10)
ηx + ηt = 0. (11)
Za odmik gladine od ravnovesne vǐsine η smo res dobili valovno enačbo
(11). Zaradi (10) pri razvoju do naslednjega reda v  oziroma δ uporabimo
nastavek
fx = η + F (x, t) + δG(x, t), (12)
za neki funkciji F in G. Iz razvoja do ničtega reda sledi še, da se odvoda po
kraju in po času funkcije η oziroma fx razlikujeta šele v prvem redu  in δ.
Tako za funkciji F in G, ki vedno nastopata skupaj z  oziroma δ, v prvem
redu velja Fx = −Ft in Gx = −Gt.
Sedaj zapǐsemo enačbi robnega pogoja na gladini (6) in (7) do prvega
reda v  in δ. Drugo enačbo robnega pogoja (7) še odvajamo po x, tako
da lahko uporabimo nastavek (12), s katerim se znebimo fx. Dobimo dve
enačbi
ηx + Fx + δGx + ηt =
δ
6
ηxxx − 2ηηx (13)
ηx + ηt + Ft + δGt =
δ
2
ηxxt − ηηx, (14)
kjer zapisujemo le člene do prvega reda v  in δ. Zgornji enačbi odštejemo in
ker parametra  in δ nastopata neodvisno, dobimo dve enačbi, eno za F in
eno za G. Upoštevamo še zvezo med odvodom po kraju in po času in tako
dobimo izraza za vsako od funkcij: F = −14η2 in G = 13ηxx, ki ju uporabimo
v eni od enačb (13) oziroma (14) in dobimo enačbo KdV za η(x, t), odmik
gladine od ravnovesne vǐsine,
ηt + ηx +
3
2
ηηx +
δ
6
ηxxx = 0.
26 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 27 — #6 i
i
i
i
i
i
O enačbi Korteweg-de Vries
Zgornjo enačbo lahko preoblikujemo v (1), tako da se z x → x − t najprej
premaknemo v drug koordinatni sistem in se s tem znebimo člena s prvim
odvodom po x, nato pa še spremenimo koeficiente pred posameznimi členi
s skaliranjem η → −2δ3η in t→ 6δ t.
Rešitve enačbe KdV
Nizozemska matematika sta v svojem članku zapisala tudi rešitev enačbe
KdV, ki opisuje solitonski val, ter periodično rešitev, ki sta jo poimenovala
cnoidni val.
Obe rešitvi dobimo z nastavkom za potujoči val, u(x, t) = f(x − ct).
Enačba KdV (1) tako postane
−cf ′ + f ′′′ − 3(f2)′ = 0,
kjer opuščaj nakazuje na odvod po spremenljivki ξ = x − ct. Po enkratni
integraciji po ξ ter nato še eni integraciji po ξ z integrirajočim faktorjem f ′
dobimo izraz
1
2
(f ′)2 = F (f), (15)
kjer smo označili F (f) = A+Bf + 12cf
2 + f3.
V primeru, da ǐsčemo lokalizirano rešitev, postavimo A in B na nič, saj
morajo f, f ′, f ′′ → 0 za |ξ| → ∞. Zgornjo enačbo nato še enkrat integriramo
po ξ in dobimo
f(ξ) = − c
2 cosh2
(√
c
2 (ξ − x0)
) , (16)
kjer je x0 poljubna integracijska konstanta, predstavlja pa položaj vala ob
času t = 0. Dobili smo izraz za solitonski val, ki ga je proučeval Russell.
Kot vidimo, ima hitreǰsi val res večjo amplitudo. S takim nastavkom lahko
opǐsemo le en lokaliziran val. Za rešitev, ki bi na primer opisala trk dveh
takih valov, bi bilo treba že pri začetnem nastavku ubrati drugačen pristop.
V primeru, da pri zgornjem nastavku ne zahtevamo lokaliziranega potu-
jočega vala, ampak le to, da je rešitev omejena, moramo natančneje proučiti
funkcijo F (f). Najprej opazimo, da vrednosti konstant A in B določata po-
ložaj ničel, neodvisno od njiju pa velja F → ±∞, ko f → ±∞. Glede na
22–29 27
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 28 — #7 i
i
i
i
i
i
Timotej Lemut
število in relativen položaj ničel imamo tako 6 različnih možnosti za F (f).
Če si jih narǐsemo, lahko sklepamo, da mora imeti za periodično rešitev
funkcija F (f) tri realne ničle, ki jih označimo od največje do najmanǰse s
f1 > f2 > f3. Zgornja enačba (15) je tako enaka
1
2
(f ′)2 = (f − f1)(f − f2)(f − f3). (17)
Za f uporabimo nastavek f = f3 + (f2 − f3) sin2 θ, enačba pa postane
(θ′)2 =
f1 − f3
2
(
1− f2 − f3
f1 − f3
sin2 θ
)
.
Sedaj ločimo spremenljivki in pointegriramo obe strani enačbe∫ ξ
ξ3
dξ =
1√
l
∫ θ
0
dθ′√
1−m sin2 θ′
,
kjer smo označili l = f1−f32 in m =
f2−f3
f1−f3 , število ξ3 pa je določeno prek
f(ξ = ξ3) = f(θ = 0) = f3. Zgornji izraz po definiciji Jacobijeve elip-
tične funkcije sinus amplitudinis implicira, da je sn
(
(ξ − ξ3)
√
l,m
)
= sin θ,
oziroma, končna rešitev je
f(ξ) = f3 + (f2 − f3) sn2
(
(ξ − ξ3)
√
l, m
)
.
Ker je sn(u,m) ∈ [0, 1] za poljuben u, se rešitev giblje med f3 in f2, tako da
bi lahko za amplitudo vala vzeli količino f2−f32 , za ravnovesno globino pa h =
f2+f3
2 . S primerjavo enačb (15) in (17) lahko izluščimo še hitrost valovanja
c v odvisnosti od ničel funkcije F , in sicer dobimo c = −2(f1 + f2 + f3).
Na spodnji sliki so prikazane tri rešitve za različne m, pri istem l in isti
globini h, kjer za m → 1 dobimo ravno lokalizirano rešitev (16), medtem
ko limita m→ 0 (oziroma f3 → f2) predstavlja rešitev linearizirane enačbe
KdV
ut − 6f2ux + uxxx = 0.
S pomočjo nastavka potujočega vala smo poiskali omejeno periodično
rešitev in v posebnem tudi lokaliziran solitonski val, ki ohranja obliko pri
28 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Lemut” — 2019/6/26 — 8:19 — page 29 — #8 i
i
i
i
i
i
O enačbi Korteweg-de Vries
ξ
−f
Slika 3. Periodične rešitve enačbe KdV izražene s funkcijo sn, pri isti globini h in istem
l za vrednosti m = 0,1, 0,6 in 0,99 označene s pikčasto, črtkano in polno črto. Na grafu
prikazujemo vrednost −f .
potovanju in katerega hitrost je res sorazmerna vǐsini. Ostane nam le še
pokazati, da dva taka vala ohranita obliko tudi po trku. Rešitev, ki opisuje
trk dveh solitonov, pa ne ustreza nastavku potujočega vala, zato moramo za
iskanje novih rešitev uporabiti kakšno bolj splošno metodo reševanja enačbe
KdV.
LITERATURA
[1] J. S. Russell, Report on Waves: Made to the Meetings of the British Association in
1842-+43, R. and J. Taylor, 1845.
[2] R. S. Johnson, A modern introduction to the mathematical theory of water waves,
Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
[3] P. G. Drazin in R. S. Johnson, Solitons: An introduction, Cambridge university press,
Cambridge, 1989.
22–29 29
i
i
“Kovic” — 2019/6/26 — 8:24 — page 30 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Mario Livio, The Equation That Couldn’t Be Solved, Simon &
Schuster Paperbacks, 2005, 353 strani.
Privlačno napisana knjiga poljudno-
znanstvene narave o pojmu simetrije
obravnava razne konkretne aspekte te-
ga sicer abstraktnega pojma in bralcu
predstavi zgodovinski razvoj ustrezne
matematične formulacije preko iskanja
rešitev polinomskih enačb. Ker se bolj
osredotoča na zgodovinsko-biografski
vidik kot pa na matematično vsebino,
je zelo dostopna tudi humanistično us-
merjenim bralcem, ki bi radi posegli
po idejah iz matematičnega sveta, ne
zanimajo pa jih tehnične podrobnosti.
Po drugi strani pa je namenjena tudi
naravoslovno usmerjenim bralcem, ki
samo matematično vsebino knjige sicer
že dobro poznajo, radi pa bi izvedeli
več o širšem zgodovinskem ozadju nastanka s pojmom simetrije povezanih
matematičnih idej in teorij.
Knjiga je posvečena enemu od mejnikov v zgodovini matematike, od-
kritju in hkrati že tudi prvi uporabi pojma grupe, ki predstavlja eno naj-
pomembneǰsih matematičnih struktur. Teorija grup je danes nepogrešljiva
ne samo v matematiki, temveč tudi v drugih znanostih, npr. fiziki in kemiji.
Na grupe naletimo tudi v umetnosti (npr. grupe periodičnih tlakovanj rav-
nine), praktično povsod, kjer tako ali drugače nastopajo simetrije. Grupe
so »naravni jezik« za proučevanje simetrij.
Do odkritja tako pomembnih in široko uporabnih struktur pa ni prǐslo
tako, da bi se matematiki zavestno trudili iznajti neko novo in čim širše
uporabno matematično teorijo, temveč nekako mimogrede, ko so se ubadali
s problemom iskanja splošne algebraične formule za enačbe 5. stopnje, kar
je bil dolgo eden izmed velikih nerešenih problemov matematike.
30 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Kovic” — 2019/6/26 — 8:24 — page 31 — #2 i
i
i
i
i
i
The Equation That Couldn’t Be Solved
Potem ko je matematikom v renesansi z bistroumnimi ad hoc metodami
uspelo najti splošne algebraične formule za rešitve enačbe 3. in 4. stopnje, ki
so bile prvič objavljene leta 1545 v slavni Cardanovi knjigi »Ars Magna«, je
bil naslednji cilj matematikov jasen: najti podobno algebraično formulo za
rešitve splošne enačbe 5. stopnje ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f = 0, ki naj bi
iz realnih koeficientov a, b, c, d, e, f takšne enačbe samo z osnovnimi operaci-
jami – seštevanjem, odštevanjem, množenjem, deljenjem in korenjenjem –
pripeljala do vsaj ene rešitve x take enačbe.
Ker tega oreha dolgo nikomur ni uspelo streti, so nekateri matematiki
začeli dvomiti, ali je sploh mogoče najti splošno rešitev za enačbe pete in
vǐsjih stopenj. Tako je npr. Gauss istega leta 1799, ko je v svoji doktorski
disertaciji objavil svoj prvi (in nepopolni) dokaz osnovnega izreka algebre
(po katerem ima vsaka enačba n-te stopnje natanko n rešitev, ki so realna
ali kompleksna števila), zapisal: »Potem ko so napori mnogih geometrov
pustili le malo upanja, da bi lahko rešili splošno enačbo algebraično, se zdi
bolj in bolj verjetno, da je takšna rešitev nemogoča in protislovna.« Dodal
je še: »Morda ne bo tako težko dokazati, z vso strogostjo, nemogočost za
peto stopnjo.« Potem pa o tem nikoli ni objavil ničesar več.
Da splošna enačba 5. stopnje dejansko ni rešljiva algebraično, sta neod-
visno drug od drugega pokazala norveški matematik Abel in francoski mate-
matik Galois. V knjigi sta predstavljeni njuni tragični življenjski zgodbi
(oba sta umrla mlada, Abel reven, Galois pa nerazumljen od sodobnikov),
pa tudi bistvo njunih matematičnih odkritij v zvezi s tem problemom. Ga-
lois je prodrl globlje v njegovo razumevanje, saj je odkril in pojasnil razlog,
zakaj problem ni rešljiv.1 Vsaki enačbi je priredil neko permutacijsko grupo,
pokazal, da je rešljivost enačbe z algebraično formulo odvisna od strukturnih
lastnosti te grupe, pokazal pa je tudi, da obstajajo enačbe pete in vǐsjih
stopenj, katerih grupe ne dopuščajo take rešitve. To so tri ključne sestavine
1Problem nerešljivosti enačb pete in vǐsjih stopenj s preprosto algebraično formulo je
še eden od številnih slavnih problemov iz zgodovine matematike, ki jih ni bilo mogoče
rešiti s predpisanimi sredstvi (spomnite se samo na tri slavne nerešene probleme staro-
grške matematike: podvojitev kocke, tretjinjenje kota in kvadratura kroga, ali pa na brez-
plodne poskuse dokazati peti Evklidov postulat). Takšni problemi praviloma dolgo osta-
jajo nerešeni, po določenem času pa matematiki začnejo iskati rešitve zunaj predpisanega
okvira. Morda tudi sami poznate kakšen odprt matematičen problem, ki ga skoraj zago-
tovo ni mogoče rešiti z danimi sredstvi; vztrajanje, da ne smete ali ne morete uporabiti
drugih orodij, vam v bistvu zveže roke. Morda pa vam ga uspe rešiti na kakšen drug način
– tako da iznajdete neka druga sredstva za njegovo rešitev; tako je npr. Aleksander Veliki
z mečem presekal gordijski vozel.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1 31
i
i
“Kovic” — 2019/6/26 — 8:24 — page 32 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Galoisovega preboja pri reševanju problema, ki je dolgo ostajal nerešen.
Čeprav je bistvo Galoisovega dokaza mogoče opisati tudi na tako she-
matičen način, brez tehničnih podrobnosti, bo bolj matematično in zgodovin-
sko radovedni bralec zagotovo pogrešal natančneǰso razlago. V tem primeru
lahko poseže npr. po Rotmanovi knjigi Galois’ Theory, kjer bo poleg moder-
ne različice Galoisove teorije v dodatku našel tudi njeno izvorno formulacijo
ter dovolj natančen opis tega, kako je Galois prǐsel do svojega odkritja z
navezavo na dela svojih predhodnikov in sodobnikov. So pa po drugi strani
v knjigi lepo in s primeri razumljivo prikazane osnovne ideje, ki so pripeljale
do začetkov teorije grup. Prav tako so dobro popisane dramatične podrob-
nosti iz življenja Galoisa in Abela; tako npr. bralec lahko izve, kako je Galois
svojo teorijo v grobih obrisih skiciral v pismu prijatelju v noči pred usodnim
dvobojem. Teorija grup danes dobiva nove in nove uporabe na najrazličnej-
ših področjih, pa čeprav tega njen tvorec Galois niti najmanj ni pričakoval.
Po njegovi smrti so matematiki potrebovali kar nekaj let, da so njegove
zapiske iz tega pisma razvozlali in prepoznali njihovo vrednost.
Knjigo, katere jedro predstavlja prav Galoisovo odkritje grup, uvajajo
poglavja o simetriji na splošno, npr. v naravi in umetnosti, zaključujejo pa
poglavja o uporabi simetrije (in teorije grup) v moderni znanosti (npr. fiziki).
V tem zadnjem delu knjiga bralca popelje razmeroma daleč proti obzorju
moderne znanosti, ko npr. govori, do kako velikih odkritij so prǐsli fiziki z
upoštevanjem načela, da morajo enačbe njihovih teorij ustrezati takšnim
ali drugačnim simetrijam. Tako je npr. Einstein, ko je razvijal posebno
teorijo relativnosti, odkril, da iz zahteve po simetriji fizikalnih zakonov za
enakomerno gibajoče se opazovalce in iz invariantnosti svetlobne hitrosti
sledi, da prostora in časa ni mogoče obravnavati kot ločenih entitet (str.
202).
Od knjige, katere cilj je predstavitev odkritja pojma grupe in njegove
uporabe, seveda ne moremo zahtevati, da bi bralcu predstavila fizikalne
teorije, ki v zadnjih desetletjih ǐsčejo »veliko poenotenje« fizike in temeljijo
na načelu, da morajo enačbe teorij biti simetrične. Kako zelo so te teorije
zapletene, se lahko zainteresirani bralec prepriča npr. ob knjigi Michael Dine,
Supersymmetries and String Theory, Cambridge University Press 2015. Po
drugi strani pa nekateri fiziki že dopuščajo tudi možnost, da narava ni tako
popolno simetrična, kot bi si to želeli. O tem lahko zainteresirani bralec izve
več npr. v članku What Does Beauty Have To Do With Physics? www.pbs.
org/wgbh/nova/article/beauty-in-physics/, datum ogleda 17. 3. 2019.
Pojem simetrije je veliko prebogat, da bi bilo v eni sami knjigi mogoče
32 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Kovic” — 2019/6/26 — 8:24 — page 33 — #4 i
i
i
i
i
i
Euler’s Pioneering equation
zajeti vse njegove različne pojavne oblike v naravi, umetnosti in matematiki.
Tako na primer v knjigi ni omenjena slavna Heronova formula za ploščino
trikotnika, v kateri stranice a, b, c, nastopajo »simetrično«. Podobno vrsto
simetrije najdemo tudi pri formuli x1,2 =
−b±
√
b2−4ac
2a za rešitev kvadratne
enačbe ax2 + bx+ c = 0; to formulo lahko izrazimo kot simetrično funkcijo
vsote x1+x2 in produkta x1x2 rešitev x1 in x2, in sicer takole:
1
2 [(x1 + x2)±√
(x1 + x2)2 − 4x1x2
]
. Francoz Alexandre-Théophile Vandermonde (1733–
96) in Anglež Edward Waring (1736–98) sta se prva domislila vprašanja,
ali je tudi enačbe pete stopnje in na splošno vseh stopenj mogoče izraziti s
podobnimi simetričnimi izrazi, o tej ideji pa je razmǐsljal tudi Joseph-Louis
Lagrange (1736–1813), ki ga je Napoleon Bonaparte imenoval »vzvǐsena
piramida matematičnih znanosti« (str. 83). Potreben pa je bil genij Ga-
loisovega kova, ki je od tega preprostega uvida zmogel storiti velikanski
korak naprej v neznano.
Čeprav je knjiga slogovno nekoliko heterogena – vsa poglavja niso napisa-
na v enotnem stilu – se jo vsekakor splača prebrati, saj lepo predstavi za-
četke razvoja teorije grup. Ta prikaz je lahko vsakemu dijaku ali študentu
matematike dobra začetna motivacija, da se resneje posveti temu pomem-
bnemu področju matematike. Dostopna bo tudi humanistično usmerjenemu
bralcu, ki bolj matematično zahtevnega dela ne bi mogel razumeti. Učitelj
matematike pa bo ob njenem prebiranju dobil bolǰso predstavo o tem, kje
utegnejo dijaki ali študenti imeti težave z določenimi matematičnimi kon-
cepti – te so po navadi podobne, kot so jih imeli matematiki v zgodovini,
ko so te koncepte šele uvajali.
Jurij Kovič
Robin Wilson, Euler’s Pioneering Equation, Oxford University
Press, Oxford, 2018, 162 str.
»Eulerjeva pionirska enačba«
eiπ + 1 = 0
je zaradi svoje lepote in uporabnosti na številnih področjih matematike u-
pravičeno deležna velike pozornosti matematikov vseh profilov, tako zgodovi-
narjev in popularizatorjev matematike kot tudi učiteljev in raziskovalcev.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1 33
i
i
“Kovic” — 2019/6/26 — 8:24 — page 34 — #5 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Ker je o njej težko povedati kaj novega,
mora vsakdo, ki želi danes pritegniti
bralce s pisanjem o njej, toliko več po-
zornosti posvetiti izvirni kompoziciji
knjige in zanimivemu slogu pisanja ter
pregledni sintezi znanih dejstev. To je
avtorju odlično uspelo. Odločil se je za
bolj poljudno predstavitev Eulerjeve
enačbe, v kateri je vsakemu od njenih
»elementov« 1, 0, π, e in i namenjeno
posebno poglavje. Ker so bili ti »ele-
menti« deležni posebne pozornosti v ra-
zličnih obdobjih, je knjiga, ki jih bralcu
predstavi v širšem matematičnem in kul-
turno-zgodovinskem kontekstu, privlač-
na tudi kot kratek pregled izbranih tem
iz zgodovine matematike.
Zadnje, matematično najzanimiveǰse poglavje v knjigi je posvečeno sami
Eulerjevi enačbi. Začne se z Eulerjevo identiteto
eix = cosx+ i sinx
iz leta 1748, ki povezuje eksponentno funkcijo in trigonometrijske funkcije.
Ta identiteta je v knjigi izpeljana iz De Moivrovega izreka o potenciranju
kompleksnih števil, ki pove, da je za vsak n ∈ N
(cosϕ+ i sinϕ)n = cosnϕ+ i sinnϕ.
Iz Eulerjeve enačbe hitro sledi, da je vsota korenov enote, tj. rešitev enačbe
zn = 1,
enaka nič za vsako naravno število n ≥ 2. Poglavje se konča z razlago, kaj
sploh pomeni, da imajo ln i, ii in i
√
i »neskončno mnogo vrednosti«.
Avtor pojasni tudi, zakaj je za Eulerja primerno ime pionir (angl.
»pioneer«) – ker se v črkah te besede skrivajo vse konstante iz Eulerjeve
enačbe!
Jurij Kovič
34 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Legisa” — 2019/6/26 — 8:26 — page 35 — #1 i
i
i
i
i
i
IZ ZGODOVINE
Zanimiva knjiga o mehaniki in nekaj spominov na profesorja
Kuhlja
Knjiga J. E. Gordon, Structures or Why things don’t fall down [1]
je bila prvič izdana leta 1978 v Londonu, zadnjič ponatisnjena leta 2003, a je
še vedno aktualna. Je tudi cenovno dostopna. Prevedena je bila v številne
jezike. V njej je na razumljiv in večkrat humoren način prikazanih ogromno
zanimivih dejstev o razvoju in uporabi mehanike. Njen avtor James Edward
Gordon (1913–1998) je bil eden od pionirjev znanosti o mehaniki materialov.
Na Univerzi v Glagowu je diplomiral s področja ladjedelnǐstva in bil sprva
zaposlen kot ladijski konstruktor. Med drugo svetovno vojno je delal na
področju letalstva, kjer je pomagal razvijati kompozitne materiale. Od leta
1968 je bil profesor na Univerzi v Readingu.
Ob branju sem se spomnil na svoja študijska leta. Kot slušatelj Teh-
nične matematike sem v letih 1969–71 imel dva obširna celoletna predmeta:
Mehaniko in Vǐsjo tehnično mehaniko. Predaval je akademik Anton Kuhelj
(1902–1980); vaje je imel prijazni Peter Vencelj (1939–2017). Že v osnovni
šoli sem bral Kuhljevi poljudno napisani knjigi Tehnika v vsakdanjem ži-
vljenju I in II, ki sta izšli pri Mohorjevi družbi 1960 in 1962. Deli sta bili
zanimivi, razumljivi in lepo napisani.
V drugem letu mojega študija je profesor Kuhelj dvakrat na teden ma-
tematikom in fizikom predaval Mehaniko. Ni si vzel odmora med šolskima
urama, kar je bilo večkrat preveč zanj, naporno pa je bilo tudi za nas, še
posebej pozimi v (s pečjo na premog) slabo ogrevanih prostorih na Stari
tehniki na Aškerčevi (zdaj so tam prostori Fakultete za farmacijo). Po pre-
davanjih (ki so se večkrat zavlekla) smo hiteli na Jadransko. Ko je nekoč
zaradi zavlačevanja spet grozilo, da bomo zamudili naslednja predavanja,
so študenti fizike začeli godrnjati. Profesor Kuhelj se je močno razjezil. Ko
smo pa naslednjič prǐsli na predavanja, je bil prostor prijetno ogret in pro-
fesor je spravljivo dejal, da zaradi mraza res ne bi bilo treba delati takega
cirkusa.
Kontrast s Fiziko I, pri kateri nas je preǰsnje leto profesor Janez Strnad
odlično usposobil, da s preprosto matematiko izračunamo ali ocenimo mar-
sikaj, je bil velik. Izpeljave formul pri profesorju Kuhlju so bile dolge in
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1 35
i
i
“Legisa” — 2019/6/26 — 8:26 — page 36 — #2 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Slika 1. Zgrešen prototip letala.
zapletene, še posebej, ker nismo uporabljali vektorjev. Res pa smo znali po-
tem izračunati stvari, ki so bile zunaj dosega Fizike I: upogib grede, torzijo
nosilca in še veliko drugega.
Posebnost so bili Kuhljevi izpiti. Delali smo jih matematiki in fiziki
skupaj s strojniki. Kuhelj je imel pred sabo naenkrat kar več kandidatov:
če eden ni znal odgovora, se je profesor obrnil na drugega. Sam nikoli nisem
kot učitelj poskušal kaj podobnega: tudi če si beležǐs vse sproti, je težko
narediti na koncu bilanco za vsakega posameznika.
Ker smo imeli celoletne predmete, sem prǐsel na idejo, da bi Vǐsjo teh-
nično mehaniko delal predčasno, aprila, in tako malo zmanǰsal pritisk izpitov
v juniju. Krasne zapiske mi je posodil kar asistent Peter Vencelj. Profesor
Kuhelj razumljivo nad mojo odločitvijo ni bil zadovoljen in je dejal: »Dosti
si drznete, kolega Legǐsa.« Našel je šibko točko v mojem znanju in mi dal 8
ali 9, kar je bila še zmeraj lepa ocena. Gledano nazaj, nisem ravnal prav.
Predavanja (če niso ravno katastrofalna) so najceneǰsi način usvajanja snovi.
Večkrat ko si v stiku s snovjo, bolje se ti vtisne v spomin. V svojo obrambo
naj rečem, da nisem izpustil praktično nobenega matematičnega predavanja
(razen, kadar sem bil bolan).
Posebno zanimive pa so bile zgodbe iz prakse, ki jih je profesor Kuhelj
sem in tja vključil v tok predavanj. Prva zgodba zadeva letalstvo. Leta 1949
so ga premestili v Zemun, na Vazduhoplovni inštitut. Pokazali so mu načrt
letala, ki je bil videti približno kot na sliki 1. Kuhelj (ki je že v tridesetih
letih konstruiral več uspešnih letal) jim je povedal, da je konstrukcija povsem
zgrešena. Vsakdo, ki je kdaj uporabljal lomilko, ve, da bodo napetosti ob
kratkem stiku dolgega krila s trupom izredno velike. Vendar mu niso verjeli.
Izdelali so model, ki je v vetrovniku seveda razpadel.
Kot podpredsednik SAZU (1962–1980) je Kuhelj veliko potoval. V ta-
krat sovjetski Osrednji Aziji je na potresnem območju izvedel za preprost
predpis: pri zidanju stavbe mora biti razmik med dvema sosednima oknoma
36 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Legisa” — 2019/6/26 — 8:26 — page 37 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimiva knjiga o mehaniki in nekaj spominov na profesorja Kuhlja
vsaj tolikšen, kot je vǐsina oken. (Predpostavka je, da dimenzije oken niso
velike, kar je v ostrem podnebju tako in tako nujnost.) Ko je Kuhelj to
povedal na nekem zborovanju slovenskih arhitektov, bi ga po njegovih bese-
dah skoraj ubili. Ampak za preproste opečne hǐse, pa tudi za številne druge
stavbe je tak, vsakemu razumljiv predpis še kako smiseln, kot smo deset let
po Kuhljevih predavanjih spoznali v neposredni bližini. Pri potresu v Črni
gori leta 1979 se je sesulo več hotelov z železobetonskim ogrodjem – ker so le
ozki stebri podpirali težke vmesne plošče. Nekdaj visoke zgradbe je potres
zreduciral na le nekaj metrov vǐsine. Kot ponesrečena torta skupaj zložene
plošče so bile videti grozljivo. (Poǐsčite recimo na internetu slike pod »Hotel
Slavija Budva«.) Na srečo je bil potres zunaj sezone, torej ko so bili hoteli
prazni. Modernistična arhitektura teh hotelov je sledila Le Corbusierovemu
programu »Pet točk moderne arhitekture« in zgledu več njegovih stavb na
stebričkih, kot je recimo Villa Savoye. Statika takih stavb ni problematična.
Horizontalni pospeški pa so zanje hitro uničevalni. Ti obmorski hoteli so
bili po vsej verjetnosti projektirani pred katastrofalnim potresom v Skopju
(1963). Dodaten problem je bil, da so te stavbe bile zgrajene v ustjih po-
tokov ali hudournikov, na naplavinah. Na takem terenu pa se, kot nam je
razložil Kuhelj, širijo površinsko t. i. Rayleighevi valovi, ki izgubljajo ampli-
tudo počasneje kot valovi, ki se širijo tudi v globino. Tresenje lahko muljasta
tla celo utekočini.
Gordonova knjiga je polna podobnih zgodb. Avtor je bil široko raz-
gledan, z odlično klasično izobrazbo, imel je dar za pripovedovanje in za
razlago. Konstrukcijo klasičnih grških templjev s stebri, težkimi vodorav-
nimi kamnitimi prekladami in težkimi strehami (ki je gotovo navdihnila Le
Corbusiera in številne druge arhitekte) imenuje »intelektualna nečednost«.
Knjiga pravi, da so te – zelo lepe – zgradbe nastale na podlagi stareǰsih
konstrukcij iz materiala s povsem drugačnimi lastnostmi – lesa. Dejansko
so od teh stavb po potresih in drugih ujmah večinoma ostali le prafaktorji v
obliki delov stebrov. Ti namreč zaradi okrogle oblike niso bili zanimivi kot
gradbeni material. Veliko stareǰse mikenske trikotne preklade nad (redkimi)
vratnimi odprtinami pa so bile dobra rešitev.
Knjiga nas pouči o energiji, potrebni za prelom nosilca, o nastanku in
širjenju razpok. Izvemo, da je obok težko podreti: prelom na enem mestu
ni dovolj, biti morata vsaj dva. Rimski akvadukti z množico obokov so
preživeli dve tisočletji, čeprav delujejo gracilno. Loki mostov imajo lahko
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1 37
i
i
“Legisa” — 2019/6/26 — 8:26 — page 38 — #4 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
kar tri gibljive povezave: eno na sredini in dve tam, kjer je lok naslonjen na
breg. To je pomembno zaradi raztezkov ob spreminjanju temperature.
Mostovom je v knjigi posvečeno posebno poglavje. Amerǐski železnǐski
viadukti iz lesenega paličja so resnično obstajali – ne le v filmih. Konstruk-
cija je bila po knjigi taka zaradi pomanjkanja kvalificirane delovne sile in
kapitala, bolǰsih plač kot v Angliji, pripravljenosti na velika tveganja in se-
veda pohlepa. Cenena konstrukcija je pomenila velike dobičke, ko je promet
stekel. Lesene viadukte so pozneje enostavno zasuli z gramozom iz vagonov
in tako naredili nasipe.
Zunanji oporniki gotskih katedral imajo večkrat na vrhu težke kipe: ti
niso samo okras: prispevajo k stabilizaciji stavbe. Gotske katedrale so čudež
tehnike (in lepote), a tudi izredno drage.
V knjigi je tudi veliko informacij o lokih, katapultih, bioloških materia-
lih . . . Knjiga pravi, da narava ne mara torzije. Varnostne smučarske vezi
so bile konstruirane najprej za to, da preprečijo večjo torzijsko obremenitev
nog zaradi dolge ročice smuči.
Eksplozije parnih kotlov so spodbudile analizo napetosti v takih poso-
dah, pa tudi v krvnih žilah, krilih jadrnic, prhutih netopirjev itd. V potnǐski
kabini letala na velikih vǐsinah vzdržujemo precej večji tlak, kot je v okolici.
Ob pristanku pa se zunanji in notranji tlak izenačita. Ciklično obremenje-
vanje utruja material in povzroča nastanek mikrorazpok in njihovo širjenje,
kar na koncu privede do loma. Utrujenost materiala je v letih 1953 in 1954
privedla do več letalskih katastrof.
Tudi rezanje pravokotnih lukenj v ladijskih konstrukcijah je privedlo do
prelomov in potopitev. Napetosti v vogalih teh lukenj so namreč lahko
izredno visoke in iz njih se širijo razpoke. Tudi krpanje lukenj je večkrat
problematično: če je recimo krpa manj raztegljiva od okolice, bo na meji
znova prǐslo do trganja. Nesrečam je sicer posvečeno posebno poglavje.
Dalǰsi nosilci, obremenjeni na stisk med obema koncema, bodo večinoma
odpovedali zaradi upogiba. Kritično obremenitev je prvi izračunal Leonhard
Euler, po knjigi z uporabo variacijskega računa.
Tradicionalna kitajska jadra z raztegljivo konstrukcijo so se ob hudem
vetru avtomatično skrčila, obenem pa so se posamezni segmenti izbočili.
Vse skupaj je bilo iz enostavnih naravnih materialov, a vseeno dovolj za-
nesljivo. Avtor, sam navdušen jadralec, je bil skeptičen do novih, lahkih
in močnih, a slabo raztegljivih materialov za jadra. Pred desetletji je hudo
38 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Legisa” — 2019/6/26 — 8:26 — page 39 — #5 i
i
i
i
i
i
Zanimiva knjiga o mehaniki in nekaj spominov na profesorja Kuhlja
neurje povzročilo pravi pokol med udeleženci britanske regate. Vzrok so
bila poleg že pravkar omenjenega lahka krmila iz ogljikovih vlaken, ki so se
polomila. Kovinska krmila bi se v takih razmerah verjetno le upognila.
Med drugo svetovno vojno je avtorja obiskal lastnik cirkusa George May.
Pokazal mu je, kako lahko iz skladovnice papirjev, zlepljenih v trakovih, z
zamikom od kosa do kosa, ustvarimo satovje. Avtor pravi, da bi inženirji
izumitelja najraje objeli. Inovacijo so takoj uporabili v letalstvu.
Nemogoče je na kratko predstaviti vso bogato vsebino Gordonove knjige.
Tudi tehnično razgledan bralec bo v njej našel veliko zanimivega. Nekateri
deli so tudi danes zelo aktualni. Imamo recimo tabelo s količinami energije,
potrebnimi za izdelavo tone najbolj uporabljanih materialov.
V knjigi imamo tudi poglavje o filozofiji struktur. Avtor razloži, zakaj
lahke strukture z najmanj truda naredimo z mnogo vrvmi in s kar se da malo
na stisk obremenjenimi nosilci. Primer je recimo klasični šotor. Moderni
šotori pa uporabljajo še bolǰso rešitev z dvema ali več povezanimi lahkimi
oboki. Prav tako se avtor pritožuje nad pomanjkanjem estetike v gradnji,
čeprav inženirje že dovolj obremenjuje odgovornost za varnost in brezhibno
delovanje njihovih izdelkov.
Ko običajni tekstil iz slabo raztegljvih nitk vlečemo v smeri nitk, bodo
raztegi in deformacije minimalni. Če mokro brisačo obesite za vogal, pa se
bo deformirala, ker nitke v tekstilu zdrsnejo druga ob drugi: iz pravokotne
mreže nitk nastane paralelogramska. Blago se bo podalǰsalo v navpični
smeri in skrčilo v vodoravni. Knjiga pripoveduje, kako je v času, ko so
korzeti prǐsli iz mode, modna kreatorka Madeleine Vionnet v Parizu začela
rezati blago pod kotom 45◦ glede na potek niti. Tako je dosegla, da se je
večerna obleka na osebi avtomatično podalǰsala v navpični smeri in skrčila
v prečni.
Na koncu knjige je dodatek s formulami. V delu je veliko risb in nekaj
fotografij, ki so zanimive, a ne ravno kakovostne.
LITERATURA
[1] J. E. Gordon, Structures or Why things don’t fall down, Da Capo Press, Cambridge
2003, 395 str.
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1 39
i
i
“Novica” — 2019/6/14 — 8:14 — page 40 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
Vabilo za predloge priznanj DMFA Slovenije za leto 2019
Spoštovane članice in člani DMFA Slovenije.
Komisija za društvena priznanja vabi k vložitvi predlogov za podelitev
priznanj DMFA Slovenije za leto 2019. Priznanje lahko prejme posameznik
ali posameznica za uspešno delo z mladimi ali za strokovno dejavnost, posa-
meznice oz. posamezniki ali ustanove pa tudi za uspešno sodelovanje z
Društvom.
Predloge s pisnimi utemeljitvami pošljite po e-pošti na naslov tajnik@
dmfa.si ali po običajni pošti na naslov DMFA Slovenije, Komisija za druš-
tvena priznanja, Jadranska 19, 1000 Ljubljana, do četrtka, 5. septembra
2019. Predlogi naj bodo pripravljeni v skladu z veljavnim pravilnikom, ki
je objavljen na društveni spletni strani (http://www.dmfa.si/ODrustvu/
DrustvenaPriznanja.aspx?id=DP) in v Obzorniku za matematiko in fiziko,
letnik 65, št. 5, str. 191–192 (september 2018).
Priznanja bodo podeljena na letošnjem Občnem zboru DMFA Slovenije,
ki bo predvidoma potekal 27. ali 28. septembra 2019 na Bledu. Predlagatelji
in prejemniki priznanj bodo o odločitvi komisije obveščeni najkasneje 14 dni
pred podelitvijo.
Boštjan Kuzman
Obvestilo
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije je stanovska organi-
zacija, ki združuje pedagoge, raziskovalce in študente. Ustanovljeno je bilo
leta 1949 in tako letos proslavlja svojo 70. obletnico. Ob tej priložnosti bo
v petek, 27., in v soboto, 28. septembra 2019, v hotelu Bled Rose (nekdaj
Jelovica) organizirano srečanje s slavnostnim občnim zborom.
Predlog dnevnega reda 72. občnega zbora DMFA, ki bo 27. septembra
2019 ob 17.30:
• Otvoritev
• Izvolitev delovnega predsedstva
• Društvena priznanja
• Poročila o delu društva
40 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1
i
i
“Novica” — 2019/6/14 — 8:14 — page 41 — #2 i
i
i
i
i
i
Obvestilo
• Razprava o poročilih
• Vprašanja in pobude
• Računovodsko in poslovno poročilo DMFA Slovenije za leto 2018
V okviru srečanja bo potekala tudi 1. mednarodna Konferenca o pouče-
vanju matematike, fizike in astronomije. Več informacij o programu kon-
ference in vabilo za prispevke z roki za oddajo povzetkov in registracijo bo
objavljeno na povezavi, ki bo na spletni strani DMFA (www.dmfa.si). Med
najpomembneǰsimi tradicionalnimi dejavnostmi društva je izvedba in orga-
nizacija različnih tekmovanj v znanju in temu ustrezno smo izbrali vodilno
temo konference: delo z nadarjenimi učenci (tekmovanja, krožki, tabori,
raziskovalne naloge . . . ). Poleg prispevkov o različnih metodah dela z nadar-
jenimi bodo na konferenci dobili čas in prostor tudi prispevki o sodobnih vse-
binah in pristopih k poučevanju matematike, fizike in astronomije. Učiteljice
in učitelje na osnovnih in srednjih šolah vabimo, da se konference udeležite
s svojimi prispevki.
Društvo matematikov, fizikov in astronomov združuje tudi raziskovalce
s teh področij, ki delujejo na vseh slovenskih univerzah in drugih razisko-
valnih institucijah. To povezovalno funkcijo društva želimo okrepiti, zato
letos začenjamo z matematičnim področjem in v okviru letnega društvenega
srečanja pripravljamo še dva dogodka. Prvi je srečanje Women of mathemat-
ics on the Mediterranean shores. Predavateljice zastopajo različna področja
matematike in njihova predavanja bodo namenjena širši strokovni javnosti,
razumljiva študentom matematike na 2. stopnji študija oziroma strokovni
javnosti. Srečanje je namenjeno popularizaciji raziskovalne matematike med
mladimi, s poudarkom na prikazu različnih uspešnih kariernih poti izbranih
žensk. Vzporedno bo potekalo tudi Srečanje mladih raziskovalcev v matema-
tiki. Na srečanju bodo doktorski študentje in mlaǰsi doktorandi matematike
vseh slovenskih univerz na kratko predstavili svoje delo in se med sabo spoz-
nali.
Za informacije o teh in drugih spremljevalnih dogodkih ob obletnici
društva spremljajte spletno stran DMFA (www.dmfa.si). Vljudno vabljeni
k udeležbi!
Aleš Mohorič
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 1 III
i
i
“kolofon” — 2019/6/27 — 11:11 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JANUAR 2019
Letnik 66, številka 1
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Generatorji praštevil (Janko Bračič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–10
Bertrandov postulat (Aleksander Simonič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11–21
O enačbi Korteweg-de Vries (Timotej Lemut) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22–29
Nove knjige
Mario Livio, The Equation That Couldn’t Be Solved (Jurij Kovič) . . . . . . . 30–33
Robin Wilson, Euler’s Pioneering equation (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . 33–34
Iz zgodovine
Zanimiva knjiga o mehaniki in nekaj spominov na profesorja Kuhlja
(Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35–39
Vesti
Vabilo za predloge priznanj DMFA Slovenije za leto 2019
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Obvestilo (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40–III
CONTENTS
Articles Pages
Prime number generators (Janko Bračič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–10
Bertrand’s postulate (Aleksander Simonič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11–21
On the Korteweg-de Vries equation (Timotej Lemut) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22–29
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30–34
Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35–39
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40–III
Na naslovnici: Odkritje spomenika Josipu Plemlju na Bledu ob 25. občnem zboru,
ki je potekal 7. in 8. decembra 1973.