        P 48 (2020/2021) 3 21 Kako daleč je Luna ali skupinska naloga na spletni astronomski olimpijadi V K̌̌ V letošnjem letu so zaradi še preveč znanih ra- zlogov mednarodna tekmovanja odpadla ali pa bila prestavljena v virtualni prostor. Tako je redno mednarodno olimpijado iz astronomije in astrofi- zike, 14. po vrsti, nadomestila spletna različica Ge- CAA. Dijaki slovenske ekipe so na olimpijadi dobili kar nekaj koščkov žlahtnih kovin. Domen Lisjak je osvo- jil srebrno medaljo, Vid Kavčič, Urša Mati Djuraki in Urban Razpotnik (vsi Gimnazija Bežigrad) bron, Simon Bukovšek (Gimnazija Kranj) pa pohvalo. Na GeCAA, ki so jo organizirali estonski astrono- mi, je sodelovalo več kot 300 dijakov in dijakinj iz 40 držav. Uvodnik v prispevek Tradicionalno je del astronomske olimpijade tudi t. i. tekmovanje skupin (Team Competition), v okviru ka- terega se, bolj za zabavo kot zares, z astronomskimi zagonetkami soočajo skupine naključno izbranih di- jakov iz vseh sodelujočih držav. Letos so bili zaradi tekmovanja na daljavo člani vsake ekipe razporejeni po vsem svetu, kar pa je bila dobra priložnost za izvedbo astronomskih meritev s hkratnimi opazovanji iz različnih krajev na Zemlji, katerih cilj je bil določitev razdalje do Lune. Oddaljenost Lune od Zemlje se sčasoma spremi- nja zaradi ekscentričnosti njene tirnice. Ko je Luna Zemlji najbližje (je v perigeju), je od nje oddaljena približno 360 000 km (Če je takrat Luna tudi v fazi ščipa oz. polne Lune, jo zaradi največje navidezne velikosti imenujemo kar Superluna.), največja odda- ljenost Lune od Zemlje (apogej) pa je približno 405 000 km. Naloga letošnje GeCAA je bila sledeča: Z ekipnim načrtovanjem in izvajanjem vrste opazovanj ter izračunov določite razdaljo središča Lune od središča Zemlje ob 12.00 UT 6. oktobra 2020, natančno, kot le lahko. Vsaka ekipa je tako morala pripraviti predstavitev o opazovalnem delu in meritvah ter njihovo obde- lavo. Zagotovo je bil to precejšen izziv. Poskusimo torej predstaviti nekaj idej, kako bi ta- kšno nalogo lahko teoretično rešili, prav tako pa bo- mo predstavili, kako so zadeve dejansko potekale. SLIKA 1. Polna Luna, posneta na dan reformacije.         P 48 (2020/2021) 322 SLIKA 2. Pri fotografiranju Lune nam zagodejo oblaki. Kljub zakritju lahko včasih napravimo kar dobre posnetke. Oblaki so vidni kot neobǐcajni potemnjeni deli. Teoretični poduk – metode merjenja oddaljenosti Lune od Zemlje Oddaljenost do Lune je mogoče izračunati na več raz- ličnih načinov; predstavimo nekaj različnih. Paralaksa Razdaljo do relativno bližnjih vesoljskih telesnih te- les lahko določamo s paralakso. Paralaksa je razlika v navidezni legi objekta. Objekt namreč opazujemo iz različnih smeri, opazo- vališči se tudi razlikujeta glede na ozadje in sta med seboj oddaljeni za določeno dolžino. Le-to podamo kakor kot med premicama, ki opisujeta ti dve smeri pogleda na vesoljsko telo. Razdaljo med opazovali- ščema pa imenujemo baza. Čeprav se tega redko zavemo, ja paralaksa zelo pomembna za naše življenje. Imamo dve očesi, ki sta razmaknjeni za določeno razdaljo, bazo, kar nam omogoča, da (bližnji) predmet s posameznim oče- som vidimo pod drugačnim kotom. To nam nudi ob- čutek globine. Če pogledamo npr. svinčnik, ki ga dr- žimo pred seboj, enkrat samo z levimo, drugič samo z desnim očesom, svinčnik glede na ozadje vidimo na različnih mestih. Paralakso pri Luni je opazil že starogrški astro- nom Hiparh (okoli 190–120 pr. n. št.). Ker je poznal razdaljo med obema lokacijama in imel zabeležke v zvezi z lego Lune glede na Sonce med mrkom, je lahko s pomočjo trigonometrije določil razdaljo do Lune. Sledimo torej Hiparhu in razmislimo, kako bi se izziva lotili v naši nalogi. Določitev baze V splošni astronomiji poznamo dve posebej imeno- vani vrsti paralakse, ki se imenujeta na podlagi tega, kaj vzamemo za bazo ´ za telesa na večjih oddalje- nostih je za natančnost izračuna priporočljivo vzeti večjo bazo. Kot paralakse, pri katerem iz opazovanega telesa vidimo polmer Zemlje (bazo), ki stoji pravokotno na zorni smeri, imenujemo horizontska/dnevna para- laksa telesa. Uporabljamo jo pri računanju oddalje- nosti Sonca, Lune in ostalih teles v Osončju. Kot paralakse, pri katerem iz opazovanega telesa vidimo srednjo razdaljo med Zemljo in Soncem (1 astronomsko enoto; 1a.e. « 150 000 000 km), ime- nujemo letna paralaksa telesa. Uporabljamo jo pri merjenju oddaljenosti bližnjih zvezd, ki na nebesni sferi med letom opisujejo t. i. paralaktične elipse. Pri našem projektu pa se pojavi težava, saj nismo mogli izbrati nobene od zgornjih standardnih mo- žnosti. Oddaljenost med kraji opazovanja, med ma- no in posameznim kolegi v ekipi ni bila enaka pol- meru Zemlje. Našo bazo oz. baze je bilo treba izračunati. Za po- enostavitev problema predpostavimo, da je Zemlja krogla s polmerom R “ 6370 km. Koordinate opa- zovališč so T1 (ϕ1, λ1) in T2 (ϕ2, λ2). Ob predpo- stavki, da je površje Zemlje sferično, lahko uporabim         P 48 (2020/2021) 3 23 SLIKA 3. obrazce sferne trigonometrije, da dobimo kotno od- daljenost med krajema. Narišimo dovolj verno skico in poiščimo trikotnik, iz katerega bi lahko dobili ko- tno oddaljenost med krajema. Kosinusni izrek v sferični trigonometriji v splo- šnem zapišemo kot cosa “ cosα sinb sin c ` cosb cos c. (1) Poglejmo sferični trikotnik T1T2X in zanj zapišimo kosinusni izrek: cos 2θ“cospλ1 ´ λ2q sinp90 ˝ ´ϕ1q sinp90 ˝ ´ϕ2q ` cosp90˝ ´ϕ1q sinp90 ˝ ´ϕ2q cos 2θ“cospλ1 ´ λ2q cosϕ1 cosϕ2`sinϕ1 sinϕ2 2θ “ arccos rcospλ1 ´ λ2q cosϕ1 cosϕ2 ` sinϕ1 sinϕ2s . Dobili smo izraz za kotno oddaljenost med krajema na Zemlji 2θ. Iz nje moramo dobiti bazo za parala- kso. Baza je tako dolžina zveznice med krajema, ki SLIKA 4. gre skozi Zemljo in ne razdalja med krajema na po- vršju Zemlje. Označimo jo z b. Iz skice 4 izpeljemo enačbo. Velja b “ 2RC sinθ. Enostavni razmislek, zakaj je temu tako, pa prepu- ščam bralcu. Bazo b torej imamo. Določitev kota paralakse Kot paralakse dobimo tako, da vsak od opazovalcev izmeri navidezne nebesne koordinate Lune iz svo- jega kraja, še najlažje s pomočjo teleskopa. Kotna oddaljenost med izmerkoma predstavlja paralakso. Predstavimo to še računsko. Naj bodo izmerjene ko- ordinate I1pδ1, α1q in I2pδ2, α2q. Kotno oddaljenost smo, sicer na primeru Zemljinega površja, že izpe- ljali, zato se tokrat izognimo izpeljavi in kar zapi- šimo p “ arccos rcospα1 ´α2q cosδ1 cosδ2 ` sinδ1 sinδ2s         P 48 (2020/2021) 324 Določitev razdalje Lune od opazovalca Ko imamo tako bazo in kot paralakse, lahko ocenimo oddaljenost Lune: d “ b p . V enačbi je p v radianih. Kotna velikost Oddaljenost Lune lahko določimo tudi iz kotne ve- likosti Lunine ploskvice. Ta metoda je tako račun- sko kot izvedbeno enostavnejša od paralakse, ven- dar pri njej koristimo podatek po Luninem polmeru; če npr. podamo podatek o Luninem polarnem pol- meru RL “ 1736 km in kotno velikost (kotni polarni premer) Lune δ, potem njeno oddaljenost od opazo- valca v tem trenutku s pomočjo skice 3 opišemo z izrazom d “ RL tg δ2 « 2RL δ , kjer poudarimo, da v zadnjem koraku zahtevamo, da je kot δ v radianih. Paziti moramo, da pri taki nalogi razmislimo o vplivu ozračja, ki povzroča lom svetlobe (refrakcijo). Ker je refrakcija odvisna od višine nad obzorjem, je Luna (tudi Sonce, mimogrede) navidezno nekoliko sploščena, kar je najbolje vidno, ko je Luna nizko nad obzorjem. Spremembo (povečanje) kotne višine nebesnega te- lesa nad obzorjem R za telesa z višino, večjo od 15˝, lahko približno opišemo z enačbo Rph ą 15˝q “ P T ¨ 0,00452˝ coth. Spremembo (povečanje) kotne višine nebesnega te- lesa nad obzorjem R za telesa z višino, manjšo od 15˝, približamo z drugačno enačbo, saj moramo po- sebej upoštevati ukrivljenost ozračja: Rph ď 15˝q “ P T 0,1594 ` 0,0196h` 0,00002h2 1 ` 0,505h` 0,0845h2 . V enačbah zgoraj je h kotna višina v primeru od- sotnosti ozračja v kotnih stopinjah, P atmosferski tlak v milibarih (oziorma hektopaskalih) in T tempe- ratura v Kelvinih. Pri sploščenosti igra veliko vlogo razlika refrakcije na dololočenem intervalu, npr. za zgornji in spodnji del Lunine ploskvice. Razlika je na obzorju veliko opaznejša kot takrat, ko je Luna višje na nebu. V na- šem izračunu bomo razliko omenjenih refrakcij za- nemarili, saj je bila višina Lune v času fotografiranja okoli 30˝. Vrnimo se torej k izrazu za oddaljenost Lune od opazovalca v danem trenutku. Seveda pa, ker nas zanima oddaljenost med sre- diščema Lune in Zemlje, in ne oddaljenost med opa- zovalcem in Luno, moramo dobljeno razdaljo malo prilagoditi, kar pa s pomočjo skice 4 niti ni težko. Naj bo torej iskana, prava, razdalja D. Po kosinu- snem izreku za trikotnik iz skice velja D2 “ R2C ` d 2 ´ 2RCd cosp90 ˝ ` hq D “ ` R2C ` d 2 ` 2RCd sinh ˘ 1 2 , s tem pa smo izpeljavo zaključili. Ostale metode Obstaja še vrsta metod, s katerimi bi lahko izraču- nali iskano oddaljenost. V primeru Luninega mrka bi si lahko pomagali z velikostjo Zemljine sence, v pri- meru boljše opremljenosti pa bi oddaljenost lahko izračunali iz časa potovanja radarskih valov do Lu- ne in nazaj. Podobno bi lahko storili tudi z laserskim žarkom, ki bi se odbil od zrcala, ki ga je na Luni pu- stila misija Apollo v letu 1969. SLIKA 5. S to vinjeto si lahko pomagamo pri izpeljavi razdalje. Upoštevamo, da je Luna daleč stran.         P 48 (2020/2021) 3 25 SLIKA 6. Skica za pretvorbo v pravo razdaljo In kako smo rešili nalogo? Pri praktični izvedbi se je, vsaj pri naši skupini, ne- koliko zapletlo. Astronomski kolegi so namreč imeli težavo, da položaja Lune s teleskopom niso mogli izmeriti. Prav tako so se ocene kotne velikosti Lune lotili s posnetka, ki so ga napravili s svojim mobilnim telefonom, kar pa je premalo natančno. Sam sem izvedel meritev oddaljenosti Lune na dan 4. 10. 2020 ob 23.19. Podatke o fotoaparatu in objektivu prikazuje ta- bela 1. Pri fotografiranju je bil objektiv nastavljen na naj- manjšo goriščno razdaljo; fmin “ 200 mm. Kotna velikost stranice slikovne točke v radianih je ϕ0 “ x0 fmin . Iz analize posnetka ugotovimo, da na posnetku Lu- nin premer predstavlja N “ 405 slikovnih točk. Ko- tna velikost je tako ϕ “ N x0 fmin « 0,49774˝. SLIKA 7. Fotografija Lune iz Ljubljane dne 4. 10. 2020 je nastala (zaradi okoliščin) brez stojala. Največja goriščna razdalja objektiva fmax 500 mm Najmanjša goriščna razdalja objektiva fmin 200 mm Goriščno razmerje objektiva F 5,0 Premer objektiva D 86 mm Koeficient efektivne goriščne razdalje k 1,61 Velikost ene slikovne točke x0 4,29 µm Krajša stranica čipa b 14,9 mm Daljša stranica čipa a 22,3 mm EOS CANON 1200D TABELA 1. Podatki o fotoaparatu in objektivu, s katerim smo fotografirali v Ljubjani 4. 10. 2020 ob 23:19, ko je bilo to še dovoljeno. Izračunano vstavimo v enačbo za oddaljenost Lune od nas, opazovalca: d “ RL tg δ2 « 2RL δ « 399666 km. Računamo naprej, za podatke vzamemo h “ 30˝ in RC “ 6370 km: D “ ` R2C ` d 2 ` 2RCd sinh ˘ 1 2 « 402889 km. (2)         P 48 (2020/2021) 326 Rezultat je več kot zadovoljiv, saj je bila prava od- daljenost Lune dne 4. 10. 2020 ob 23.19 od središča Zemlje 402307 km, kar je izjemno blizu našemu iz- računu. Razlog za odstopanje bi lahko bila refrak- cija, vendar ima tu verjetno večji vpliv nenatančnost pri fotografiranju (odsotnost stojala, za objektiv bi lahko uporabil teleskop) in obdelava posnetka. Določevanje razdalje na točno določeni trenutek Vrnimo se k prvotni nalogi. Ta je zahtevala, da izra- čunamo oddaljenost Lune na točno določen datum in uro, to je 6. 10. 2020 ob 12.00 UT. Že po teore- tičnem razmisleku je stvar težko dosegljiva. Ob tej uri iz naših krajev Lune sploh ne bi mogli opazovati, spet druga težava pa je vreme v naših krajih in prav tako vreme v kraju, v katerem prebiva naš astronom- ski kolega (če se odločimo za metodo paralakse). Torej moramo iz več opazovanj konstruirati Lu- nino orbito, iz katere lahko s spodnjo enačbo do- bimo razdaljo v poljubnem trenutku: r pθq “ ap1 ´ e2q 1 ´ e cosθ . (3) Enačba podaja odvisnost razdalje od kota θ med zve- znico perigej-Zemlja in zveznico Luna-Zemlja. Kot θ lahko prav tako dobimo iz Lunine faze. Ekscentrič- nost e pa dobimo iz ocene orbite, ki jo dobimo iz opazovanj. Veliko polos a pa poznamo, saj je kon- stanta. Na tak način lahko predvidimo oddaljenost Lune 6. 10. 2020 ob 12.00 UT. Naloge za bralce Iz podatkov, ki jih lahko najdeš v članku, izraču- naj srednjo horizontsko paralakso Lune. Izračunaj, kako daleč je Soncu najbližja zvezda Proksima Kentavra, če je njena letna paralaksa 768,5 ˘ 0,2 mas. Rezultat podaj v svetlobnih le- tih z napako. Opomba. Oznaka mas pomeni mili ločna sekun- da; torej tisočinka kotne sekunde. Eden od načinov, ki jih astronomi uporabljajo za merjenje oddaljenost Lune, je merjenje s pulzom laserske svetlobe, ki ga proti Luni pošljejo skozi teleskop. Svetloba se odbije od posebnih zrcal, ki so jih astronavti postavili na Luni, in se po od- boju vrne v teleskop. Astronomi izmerijo čas med trenutkom, ko laserski pulz zapusti teleskop, in trenutkom, ko s teleskopom zaznajo vrnjeni pulz. Kolikšna je razdalja med teleskopom in zrcali na Luni, če so astronomi ugotovili, da je bil čas med oddajo pulza in sprejetjem odboja 2,5 sekunde? Za hitrost svetlobe vzemi vrednost 300 000 km/s. Kolikšna pa je razdalja med središčema Zemlje in Lune? Zgodila se je čarovnija! Luna se zmanjša v kro- glo s polovico svoje prvotne prostornine. Na nebu opazimo, da je njen kotni premer prav tako prepo- lovil. Izračunaj, za koliko je čarovnija spremenila oddaljenost Lune od Zemlje. S fotoaparatom, opisanim v članku, in z Newtono- vim reflektorskim teleskopom z goriščno razdaljo f “ 1000 mm in premerom zrcala D “ 20 cm smo fotografirali Mars dne 13. 10. 2020, ko je bil v opo- ziciji s Soncem. Izmerili smo, da njegov premer na posnetku 20 slikovnih točk. Na podlagi teh me- ritev izračunaj premer Marsa. Predpostavi, da Ze- mlja in Mars krožita okoli Sonca po krožnih orbi- tah. Vzemi, da polmer Marsove tirnice dM “ 1,52 a.e. Pokaži, da kosinusni izrek za sferični trikotnik preide v običajnega, ki ga poznamo iz gimnazij- ske trigonometrije, če upoštevamo, da so stranice trikotnika izrazito majhne. V skrajnem primeru velja zveza sinx “ x. *Izpelji enačbo elipse v polarni obliki (3) iz defini- cije elipse. Izpelji podobni enačbi še za parabolo in hiperbolo iz njunih definicij. Literatura [1] F. Avsec in M. Prosen, Astronomija, DMFA – za- ložništvo, Ljubljana, 1969. [2] H. Karttunen in drugi, Fundamental astronomy, Springer, Berlin; New York, 2007. ˆ ˆ ˆ www.dmfa-zaloznistvo.si www.presek.si