i
i
“1185-Grasselli-0” — 2010/7/19 — 12:02 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 21 (1993/1994)
Številka 4
Strani 216–222
Jože Grasselli:
ZAPIS ŠTEVIL V NEGATIVNI OSNOVI
Ključne besede: matematika, teorija števil.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/21/1185-Grasselli.pdf
c© 1993 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
ITI ..,-.-/" ..,-,,/..,'" 1CI" 1"-,,,
ZAPIS šTEVIL V NEGATIVNI OSNOVI
Le preberemo stavek: šolo obiskuje 307 učencev, ob številu 307 pomislimo,
da je okrajšava za
3.102 + 0 .101 + 7 .100 = 3 . 102 + 0·10 + 7.
Pravimo, da je število 307 zapisano z osnovo 10 ali v desetiškem sestavu . V
vsakdanji rabi srečujemo števila zmeraj podana na tak način . Moremo pa
namesto 10 za osnovo vzeti katero koli od 1 različno naravno število. O tem
govori naslednja ugotovitev, ki je bralcu najbrž poznana :
A. Le je b od 1 večje naravno število, se vsako naravno število a
enolično izrazi v obliki
(1)
kjer so števke (cifre) co, Cl, . . . , Ct-l, Ct vzete izmed vrednosti 0,1, ... ,
b - 1 in je Ct > O.
Podobno kot pri osnovi 10 tudi vizrazitvi (1) obdržimo le števke in
pišemo
a = CtCt-l ... C}cO(b) ' (2)
Iz 307 =2· n 2 + 5· n + 10 najdemo 307 =25(10)(11) ' števko 10 smo dali
v oklepaj , saj 2510 v osnovi n pomeni 2 ·n3 + 5 ·n2 + Ion = 3278. Tako
je treba ravnati z vsako več kot enomestno števko .
Ob ugotovitvi A se vsiljuje vprašanje: Ali smemo za osnovo izbrati
negativno celo število n? števke so potem 0,1, . . . , Ini -1 ; ker naj bodo
med njimi od nič različne vrednosti, mora biti n < -1.
Oglejmo si za začetek, kako je z osnovo n = -2. Enakosti
1 = 1
2 = 1 0( _ 2)2 + 1 . (-2) + O
3 = 1 0( _ 2)2 + 1 . (-2) + 1
-1 = 1 0 (-2) + 1
-2 = 1 0(- 2) + O
-3 = 1· (_2)3 + 1 0( _ 2)2 + O. (-2) + 1
(3)
217
povedo, da imajo 1 ,2,3 ,-1 , -2 ,-3 v osnovi -2 izrazitve
1 = 1(_2)
2 = 110(_2)
3=111(_2)
-1=11(_2)
-2 = 10(_2)
-3 = 1101(_2)
(4)
Sedaj bomo pokazali , da se da vsako od nič različno celo število enolično
zapisati z osnovo -2. Naslonili se bomo na indukcijo in izrek odeljenju.
lzhajajrno iz privzetka , da smo našli izrazit ev v osnovi -2 za števila
-a , -a + 1, . . . , -2 , -1 ,1 , 2, . . . , a - 1, a, (5)
kjer je a neko naravno število in a 2: 3.
5tevilo a + 1 delimo z -2 in dobimo za količnik od nič razli čno celo
število k, ostanek r pa je O ali 1. To pomeni, da je
in od tod
a + 1 = (-2)k + r; O::; r < 2
I k 1= Ia + 1 - rl = 1a + 1 - r 1 < a + 1 .
-2 1-21 - 2
(6)
Za a > 1 je izpolnjena ocena atI < a . Ker imamo a 2: 3 , je torej I k 1::;
::; atI < a. Vidimo, da je število k zajeto v (5) . Zato ima zapis
k = cj(-2y" + cj_I(-2y"-1 + .. .+ c~(-2)+ cb
pri števkah cb, ... , cj_l ' ki so O ali 1, in cj = 1. Ko k vnesemo v (6), je
pri števkah
'1' ,Cj+l = Cj = , Cj = Cj_l ' . . . ' CI = co' Co = r
in našli smo za število a + 1 izrazitev z osnovo -2.
Podobno daje delitev negativnega celega števila -a - 1 z -2
-a - 1 = (-2)k' + ri ; O::; r' < 2. (7)
218
Količnik k' je od nič različno celo število, ostanek r' je Oali 1. Zaradi a 2: 3
Je
I
- a - 1 - r' I a + 1 + 1 aI k' 1= < = - + 1 < a.- 2 - 2 2
Po tej oceni je k' eno od števil v (5) , zato izrazljivo z osnovo -2 in potem
po (7) tudi - a - 1 tako izrazlj iv.
Prišl i smo do ugotovitve:
B. Če so števila v (5) izrazljiva z osnovo - 2, sta tudi števili a + 1,
-a - 1 tako izrazljivi.
Le je a = 3, so v (5) števila -3, -2, -1 , 1,2,3 in zanja imamo v (3)
oz. (4) izrazitev v osnovi -2. Po ugotovitvi B potem 4 in -4 lahko zapišemo
z osnovo - 2 . V (5) smemo to rej vzeti a = 4 in po ugotovitvi B sledi, da je
mogoče t ud i 5 in -5 izrazit i z osnovo -2 . Ko tako nadaljujemo , vidimo, da
premore vsako od nič raz lično celo število izrazitev z osnovo -2.
Prepričajmo se še o enoli čnosti zapisa . Recimo , da se o d nič različno
celo število m izra za
m = cs( -2Y + ...+ Cl(- 2) + Co ln m = c~(_2)t + .. .+ c~ (-2) + cb
in je s :S: t . Po odštetju dob imo
c ~ ( -2 ) t + .. .+ c~(- 2) - cs( - 2)S _ . . , - CI(-2) = Co - cb . (8)
Na levi je sodo število , saj so vsi sumandi sodi. Zato je tudi število na desni
Co - cb sodo. Ker sta za co, cb mogo či le vrednosti O, 1, je Co - cb lahko
le -1, 0 ,1. Od teh števil je edino O sodo število . Torej je Co - cb = O in
Co = cb . V (8) stoji tako na desni O. Krajšamo z -2 in imamo
c~(_ 2/ - 1 + ...+ c~( -2) - cs(-2y-1 - . . . - C2( -2) = CI - c~ .
Spet je na levi sodo število , zato število CI - c~ sodo in kot prej nujno CI = ci .
Ravno tako do že nerno c2 = c~ , ... , Cs = c~ . Pri t > s bi veljalo
' ( 2)t-s-1 'Oc t - + ...+ cs+1 = . (9)
To pa ne gre . Ker je c~ = 1, je pri sodem eksponentu t - s - 1 število na
levi v (9) pozitivno, pri lihem t - 5- 1 pa negativno . Mora torej bit! t = s
in izrazitev je enolična.
219
Strni mo naj den o v ugot ov it ev:
C. Vsak o od n i č razl i čno celo število a se izrazi z osnovo - 2
enolično na na čin
a = cs(- 2Y + Cs-1(_ 2)S-1 + . .. + C1(-2) + Co , (10)
pri čemer so št ev ke Co, . . . , Cs vzete izmed vrednosti 0,1 in je Cs = 1.
Na kratko (10) za piše mo
a = CsCs-1' " C1CO(_2)' (11)
Iz zgornj e izpeljave po vze m amo, da vod i k izrazitvi (10) izrek o delj enju z
-2 , nav ed en v (6) in (7). Ra zvij mo za zgled št evilo - 35. Ra čunamo
- 35 = (-2) · 18 + 1
18 = (-2) . (-9) + O
- 9 = (-2) . 5 + 1
5 = (-2) . (-2) + 1 = (_2)2 + 1
Za dnja ena kost daj e za 5 izrazit ev v osnovi - 2. Ko jo upoštevamo v predzad-
nji enakost i, do bimo - 9 zap isan v osn ovi - 2. Ko tako napredujemo navzgor,
dobi mo
- 9 = (_2)3 + (-2) + 1
18 = (_2)4 + (_2 )2 + (-2)
- 35 = (_2)5 + (_2)3 + (_2)2 + 1
al i - 35 = 101101(_2)'
Kak o se števamo št evila , podan a v obli ki (lI)? Vemo, ka ko ravnamo
v dese t iš kem za pis u: ~tevil a pišemo drugo pod drugim in seštevamo števke
po st o lpcih, za čen ši na sk rajn i desni . Ko dosežemo v stolp cu števk vsoto
10, štej emo en a "na prej", torej v nas lednjem stolp cu. V primeru osnove - 2
upo števamo, da j e
(-2y + (-2y =-(_2y+1 za j =O, 1, 2, . . . (12)
Za vsaki dve števki 1 v j -te m stolpcu je po (12) treba š t evilo števk , enakih 1
v stol pcu j + 1, zmanjšati za ena . D rugače povedano : Po dve števki 1 v j-tem
stol pcu "u n i č i t e " eno števko 1 v st olp cu j + 1. Le v stolpcu j + 1 ni števk 1,
a li pa so se vse števke 1 že un ičile, upo št eva mo, da iz 2 = (_2)2+ (-2) sledi
(- 2y + (- 2y = 2(- 2y = (_2y+2 + (-2y+1 za j = O, 1,2 , . . . (13)
220
Po dve števki 1 v j-tem stolpcu zdaj zaradi (13) nadomestimo s številom
110 . . . O, ki ima j ničel, in to število zapišemo ot nad aljnj i seštevanec k
prejšnj im seštevancem . V zgledu
1 1 O O O O O O
1 1 O 1 O 1 J 1 O 1 O 1
+ 1 O 1 1 1 1 J O 1 1 1 1
1 1 O 1 O O O O
se enako podčrtane števke uničijo, namesto prečrtanih števk smo glede na
(13) dod a li seštevanec 11000000.
Ker imamo samo števki 0,1 in je O· O = O, 0 ·1 = 1 . O= O, 1 · 1 = 1,
preide množenje števil (11) na seštevanje. Zgled :
IlOlxIOlI
11 O 1
1 1 O 1
1101111
Odštevanje dveh števi l (11) teče običajno, če sta v istem sto lpcu enaki
števki , ali pa ima zmanjševa nec števko 1, odštevanec števko O. Je pač O-O =
= 0, 1- O = 1,1- 1 = O. Kadar im a zmanjševanec števko O in odštevan ec
v istem st o lpcu števko 1, si pomagamo po (12) takole
-(-2y = (_2y+l + (-2y za j = O, 1,2 , . .. (1 4)
Nam est o da bi odšteli število 10 . . . O, kjer za 1 stoji j - 1 niče l, lahko glede
na (14 ) prištejemo 110 . . . O, kjer za 11 pride j - 1 ničel. Po tej opazki je
mogoče o dš t evanj e prevesti kar na seštevanje . Hitreje pridemo do cilja, če v
stolpcih, kjer se gladko o dšt eva , to napravimo , nato po potrebi uporabimo
(14) . Zgled:
(i)'ilo(i'(oYilo
-\J()1~1
1001000 { 1001000
100 01 ~ + 11
110000
1111011
Obkrožili smo stolpce, v katerih j e bilo mogoče takoj odštevati . Namesto da
bi odšteli 1, smo po (14) prišteli 11, nam est o da bi odšte li 10000, smo po
(14) prišteli 110000 .
221
Še pripomba o negativni osnovi n , manjši od - 2. Enakosti
1 = 1
2 = 2
Ini -1 = Inl-1
ln 1= t . n2 + (1 n I -l)n + O
Ini + 1 = 1 . n2 + (1 n I -1)n + 1
-1 = 1 . n + (1 ni -1)
-2 = l · n + (1 n I -2)
n=l ·n+O
n - 1 = 2 · n + (1 n I -1)
kažejo, da se števila n-1,n, . . . ,-2,-1,1,2, . .. ,1 n 1, 1 n I +1 izrazijo v
osnovi n . Z indukcijo in izrekom o deljenju čisto podobno kot pri n = -2
izpeljemo ugotovitev:
D. Naj bo n izbrano negativno celo število. manjše od -1. Vsako
od nič različno celo število a enolično izrazimo v obliki
(15)
Stevke Co , . . . , Ct so vzete izmed vrednosti 0,1 , . . . , Ini -1 in Ct > O.
Namesto (15) pišemo krajše
a = CtCt-1 . . . qCO(n) ' (16)
Do izrazitve (15), (16) pripelje zaporedno deljenje z n . Razvoj števila
-3841 v osnovi -12 dobimo iz
-3841 = (-12) · 321 + 11
321 = (-12) . (-26) + 9
- 26 = (-12) · 3 + 10
Velja torej -3841 = 3(10)9(11)(_12)'
Videli smo, kako seštevamo in množimo števila, zapisana s števkami v
osnovi -2. Podobna pravila veljajo za seštevanje in množenje števil , danih v
obliki (16) . Množenje lahko izvršimo tudi le prek seštevanja.
1. V desetigkem rapisu imamo Mevila 500,1021, -2035. lzrazi jih z 
osnwo -2. 
2. V astrovi -2 so dana ELtwila 11011010,11OP11012,1001110101. 
SeZtej jih in izid prtvtri z rarunom v desetiskem sestavu. 
3. Strvila 1101,1110, 1lOtO so xapisana v osnovi -2. Zmndi jih in izid 
prcvcri r rarunern v destti8kern scstavu. 
4. Stevila 591, -1025,2141, dana v desetizkem sestavu, izrazi v osnovi 
-12. 
5. PoiJEi zapis %tevila a v osnovi -7 in -12, 1Se jc  a = 1011011011-2). 
6. PoiSEi zapis Ktevita a v osnovi -13 in -20, Ee j e  a = 214021-5). 
pri j = 0,1,2,.  . .. Kaka od tod dobimo pravilo za sdtevanjc gtcvil oblike 
(le)? 
JoZe Grasselli