        P 50 (2022/2023) 218 Z Dysonovo sfero v boj proti energetski draginji? V K̌̌ V zadnjem času se vse bolj soočamo z energet- sko draginjo. Reševanja resne težave, ki jo pred- stavlja draginja, se je država lotila na več različnih načinov, med drugim s spodbujanjem energetske samooskrbe. Pri tem finančno podpira investicije v izgradnje sistemov za uporabo alternativnih vi- rov energije, kamor spada tudi sončna energija. Sončna energija je na Zemlji prisotna v zelo velikih količinah. Količina sončne energije, ki obseva modri planet, je kar 10 000-krat večja od naših trenutnih letnih potreb po energiji, kar pomeni, da bi lahko s premišljeno izrabo tega alternativnega vira energije na čist in okolju prijazen način kaj hitro pokrili vse letne potrebe po energiji. V članku bomo proučili idejo o Dysonovi sferi kot zanimivo rešitev, s katero bi lahko človeštvo zelo do- bro izkoristilo sončno energijo. Ob nalogi o Dyso- novi sferi si je nohte grizlo tudi pet slovenskih sre- dnješolcev na teoretičnem delu 15. Mednarodne olimpijade iz astronomije in astrofizike, ki je letos avgusta potekala v Kutaisiju v Gruziji. O bolj ali manj naprednih civilizacijah in Dysonovi sferi Ruski astronom Nikolaj Kardašev je leta 1964 pred- lagal teoretično lestvico za merjenje stopnje tehno- loškega napredka civilizacije, ki se je je po svojem avtorju prijelo ime Kardaševa lestvica. Lestvica je le teoretična in hipotetična, vendar pa kljub temu po- rabo energije celotne civilizacije postavi v kozmično perspektivo. Kardaševa lestica tako na podlagi do- stopnosti in uporabe energije kot tudi stopnji kolo- nizacije vesolja razlikuje tri razvojne stopnje civili- zacij, imenovane tip I, tip II in tip III. Civilizacija tipa I naj bi bila sposobna izkoristiti vire svojega domačega planeta, kar ustreza energij- ski porabi okoli 4 · 1016 W. Civilizacija tipa II naj bi bila zmožna izkoristiti energijo, ki jo seva zvezda v njihovem osončju, kar ustreza porabi energije okoli izseva našega Sonca, to je približno 4 · 1026 W. Civi- lizacija tipa III pa naj bi izkoriščala energijo celotne galaksije Rimske ceste, kar ustreza porabi energije 4 · 1037 W. Trenutno je naša civilizacija tipa nič, saj ne porabimo niti 100 % energije, ki od Sonca prihaja na Zemljo, s tem pa ne ustrezamo niti pogoju za civi- lizacijo tipa I, ki zahteva, da bi izkoristili vso sončno energijo na Zemlji. Trenutno se naša civilizacija na Kardaševi lestvici nahaja na stopnji približno 0,7. En način, kako bi lahko postali civilizacija tipa II, je izgradnja tako imenovane Dysonove sfere. To je gromozanska sfera, zgrajena okoli Sonca, ki ima no- tranjo površino pokrito s sončnimi celicami in tako absorbira velik delež izsevane sončne energije, ki bi jo do zbiralnika na Zemlji prenašali brezžično. Ime je dobila po angleško-ameriškem fiziku Freemanu Dysonu (slika 1), ki je idejo zasnoval na podlagi ro- mana Star maker. Znanstvenofantastični roman iz- pod peresa Olafa Stapledona iz leta 1937 namreč opisuje civilizacijo, ki je svojo materinsko zvezdo zavoljo zbiranja energije obdala s posebno tančico. Ameriškemu fiziku se je zdelo, da je izgradnja ta- kšne sfere logičen korak v razvoju civilizacije tipa II − vsak planet v svojem osončju namreč prejme le trohico energije svoje matične zvezde, civilizacija pa za svoj napredek potrebuje vedno več in več ener- gije. V nadaljevanju bomo z izračuni proučili model Dysonove sfere in premislili o pomembnih dejavni- kih, ki jih moramo upoštevati pri njeni izgradnji. Kaj zmore Dysonova sfera? Z računi se prepričajmo, kaj Dysonova sfera dejan- sko zmore in kakšne bi bile njene lastnosti. Recimo, da bi za izgradnjo sfere uporabili solarne panele. Za- radi ocene predpostavimo, da solarni paneli absorbi-         P 50 (2022/2023) 2 19 SLIKA 1. Freeman John Dyson (1923−2020), teoretǐcni fizik in matema- tik ter zaslužni profesor na Inštitutu za napredne študije v Prin- cetonu, je razen po svojih zaslugah na področju astrofizike znan po svojem delu na področju naključnih matrik, kvantne teorije polja, fizike kondenzirane snovi in jedrske fizike. Po- leg Dysonove sfere se po njem imenuje tudi Dysonovo drevo, hipotetǐcna gensko spremenjena rastlina, ki je zmožna rasti v kometu. Zanimivo pa je pripomniti, da je Dyson zanikal člove- kov vpliv na podnebne spremembe. SLIKA 2. Dysonov roj je razlǐcica, ki je najbližja prvotni Dysonovi zami- sli. Sestavljen je iz velikega števila neodvisnih sončnih panelov, ki na gosto krožijo okoli zvezde. Prednost tega načina gradnje je, da je sestavne dele mogoče ustrezno dimenzionirati in kon- struirati postopoma. Najenostavnejša taka ureditev je na sliki prikazan Dysonov obroč, v katerem vsi paneli krožijo po isti orbiti. rajo in spremenijo v notranjo energijo okoli k = 30 % vpadnega sevanja, v električno energijo spremenijo okrog η = 20 % vpadnega sevanja. Upoštevali bomo, da seva Sonce kot črno telo, in zanemarili odboj na solarnih panelih ter tudi kateri SLIKA 3. Sestavni deli Dysonovega mehurčka v nasprotju z Dysonovem rojem niso v orbiti okoli zvezde, ampak so mirujoči statiti z ogromnimi svetlobnimi jadri, ki zaradi sevalnega tlaka uravno- vesijo gravitacijo zvezde. Ker je razmerje med silo sevalnega tlaka in gravitacijsko silo zvezde konstantno ne glede na raz- daljo, lahko svojo oddaljenost od zvezde poljubno spreminjajo, poleg tega pa zaradi mirovanja ne bi bili v nevarnosti trčenja. koli učinek, pri katerem se energija ne spremeni v notranjo energijo ali v električno energijo solarnega panela. Predpostavimo, da je emisivnost hrbtne stra- ni solarnih panelov ε = 0,8. Najprej poskusimo izraziti ravnovesno tempera- turo sfere Trav v odvisnosti od njenega polmera R. V notranjo energijo se pretvori energijski tok kL⊙, pri čemer smo z L⊙ označili Sončev izsev, ki ima vrednost približno L⊙ = 3,8 · 1026 W. V ravnovesju mora sfera prejeti energijski tok tudi izsevati. Po Stefanovem zakonu velja, da sfera izseva energijski tok 4πR2ǫσT 4, iz česar lahko izrazimo ravnovesno temperaturo sfere kot kL⊙ = 4πR2ǫσT 4rav, ∴ Trav = 4 √ kL⊙ 4πR2ǫσ . Po eni strani želimo, da bi bila sfera čim manjša in bi tako zmanjšali količino uporabljenega materi- ala, vendar moramo pri tem varčevanju paziti, saj sfera prav poljubno majhna vendarle ne sme biti. Iz zgornje enačbe je jasno razvidno, da manjša kot je sfera, višja je njena efektivna temperatura. To pa lahko predstavlja težavo, saj je najvišja tempe- ratura delovanja modernih solarnih panelov okoli Tmax = 105 °C, pri višji temperaturi pa učinkovitost znatno upade. Da bi zmanjšali količino uporablje-         P 50 (2022/2023) 220 nega materiala, nam je v interesu, da je sfera čim manjša, kljub temu pa želimo, da je kar najbolj učin- kovita. Iz teh dveh pogojev lahko izračunamo naj- manjši možni polmer sfere, da bodo solarni paneli še vedno učinkovito delovali, kot kL⊙ = 4πR2ǫσT 4max, R = √ kL⊙ 4πǫσT 4max , ∴ R ≈ 1,0 · 1011 m = 0,665 ae. To pomeni, da bi optimalna Dysonova sfera ležala znotraj Zemljine orbite okoli Sonca, ki je približno krožna s polmerom 150 milijonov kilometrov, kar ustreza eni astronomski enoti (ae). Poleg tega pa lahko izračunamo še energijski tok, ki bi ga Dysonova sfera dejansko pretvarjala v ele- ktrično energijo za potrebe človeštva. Ta preprosto znaša P = ηL⊙, ∴ P = 7,65 · 1025 W. Kaj to v resnici pomeni? Za predstavo napravimo primerjavo: danes je povprečna moč, ki jo koristi celotno človeštvo, okoli 17 teravatov. Če bi ta Dyso- nova sfera energijo zbirala le eno samo sekundo, bi s to energijo lahko zadovoljila naše energijske potrebe za kar τ = 7,65 · 10 25 W · 1 s 17 · 1012 W = 4,5 · 10 12 s ≈ 143 000 let, kar je nepredstavljivo veliko. Pa vendar ni vse tako sončno lepo. Če bi namreč v skladu s tem modelom Dysonova sfera prestregla de- lež Sončeve svetlobe, bi se temperatura Zemlje zna- tno znižala. Izračunajmo, kolikšna bi bila povprečna temperatura površine Zemlje v tem primeru. Pri tem lahko predpostavimo, da je Zemlja krogla z albedom A = 0,3, kar pomeni, da A prejetega energijskega toka odbije, absorbira pa le 1 − A prejetega energij- skega toka, poleg tega pa zaradi ocene zanemarimo učinke Zemljine atmosfere. Če z R⊕ označimo pol- mer Zemlje in z a⊕ srednjo oddaljenost Zemlje od Sonca (eno astronomsko enoto), lahko zapišemo sle- dečo enačbo, iz katere izrazimo povprečno tempera- turo na Zemlji v primeru postavitve Dysonove sfere: (1−A)kL⊙ πR2⊕ 4πa2⊕ = 4πR2⊕σT 4nova, Tnova = 4 √ (1−A)kL⊙ 16πσa2⊕ , ∴ Tnova = 188 K = −85 °C. Trenutna povprečna temperatura Zemlje je okoli 15 °C. Če bi v Osončju namestili Dydsonovo sfero, bi se povprečna temperatura Zemlje zmanjšala za 100 °C, in sicer na −85 °C, kar pa najbrž ne bi bilo najbolj prijetno. Za primerjavo, najnižja tempera- tura na Zemlji je bila namerjena leta 2018 na An- tarktiki, in sicer −98,6 °C. Kljub vsemu bi imeli v tem primeru prav gotovo dovolj električne energije, da nas tudi pozimi ne bi zeblo, pojavi pa se na primer vprašanje, kaj bi je- dli, saj bi cene živil, čeprav morda iz osnovne koša- rice, pobegnile v nebo. Poleg tega pa bralec najbrž povsem upravičeno mršči obrvi z mislijo, da je iz- gradnja trdnega sferičnega objekta takih dimenzij, kot je Dysonova sfera v našem modelu, v današnjih časih in s trenutno tehnologijo praktično nemogoča, hkrati pa bi izdelava take količine panelov z dana- šnjimi postopki vseeno terjala precej onesnaženja, solarna energija pa bi se sprevrgla v nekaj ne tako zelo čistega. Seveda se je tudi Dyson zavedal, da bi takšna toga struktura zahtevala nepredstavljivo trden material, poleg tega pa je tudi v svojem izvirnem članku za- pisal, da je tovrstna trdna lupina mehansko nemo- goča tvorba. Dysonova sfera je mogoča le v primeru, če je sestavljena iz roja manjših predmetov, ki okoli zvezde potujejo po neodvisnih orbitah. Zaradi tega je razmišljal o možnih alternativnih različicah Dyso- nove sfere, kot so, denimo, Dysonov roj (v najeno- stavnejši obliki Dysonov prstan, slika 2), Dysonov mehurček (slika 3), Dysonova mreža in druge. Kako in iz česa zgraditi Dysonovo sfero? Zato bi vsekakor treba razmisliti o drugih načinih iz- gradnje Dysonove sfere. Eden obetavnejših je vseka- kor Dysonov roj (slika 2). Ideja o Dysonovem roju predvideva, da se posamične solarne panele pošlje v orbite z različnim naklonom okoli Sonca na razdaljo R. Obhodni čas T katerega koli objekta v orbiti okrog         P 50 (2022/2023) 2 21 Sonca na tej razdalji izračunamo po III. Keplerjevem zakonu. Pri tem predpostavimo, da je masa Sonca veliko večja od mase sfere. Velja R3 T 2 = GM⊙ 4π2 , T = 2π √ R3 GM⊙ , ∴ T = 0,542 leta = 198 dni. Zelo pomembno vprašanje pa je tudi vprašanje ma- teriala, iz katerega bi zgradili solarne panele. Že- leli bi namreč porabiti kar najmanj materiala, saj go- vorimo o izgradnji gromozanske megastrukture, pri kateri vsaka varčnost ni odveč. Najtanjši in hkrati najlažji material, ki so ga do zdaj izdelali na Zemlji, je iz ultralahkih ogljikovih nanocevk s površinsko gostoto 1,4 g/m2, kar pa ne bi bil najbolj primeren material za proizvodnjo panelov, ki jih danes izdelu- jemo predvsem iz silicija, nekaj malega mu dodamo tudi fosforja in bora. Zaradi ocene predpostavimo, da bodo paneli tanki listi silicija s površinsko gostoto ρ = 1 kg/m2. Vendar se v primeru rabe materiala z relativno majhno površinsko gostoto pojavi kočljivo vpraša- nje, v kolikšni meri na orbito panela učinkuje sve- tlobni tlak Sonca. Pa poglejmo in ocenimo razmerje α med gravitacijsko in sevalno silo na enoto povr- šine na razdalji R. Pri tem predpostavimo, da je vsa vpadna svetloba absorbirana. Primerjajmo ti dve sili na primeru panela s povr- šino S. Upoštevamo, da velikost svetlobnega tlaka za telesa, ki absorbirajo vso vpadno sevanje, izra- čunamo po formuli ps = jc , kjer je j gostota sve- tlobnega toka in c velikost svetlobne hitrosti v va- kuumu. Preprosto zapišemo izraza tako za silo se- valnega tlaka kot tudi za silo gravitacije in izrazimo razmerje α med njima: Fs = psS = jS c = L⊙S 4πR2c , Fg = GM⊙Sρ R2 , α = Fs Fg = L⊙ 4πcGM⊙ρ , ∴ α = 7,65 · 10−4. Tako se na prvi pogled morda zdi, da je učinek sve- tlobnega tlaka povsem zanemarljiv. Vendar si za vsak primer oglejmo spremembo obhodnega časa zaradi tega učinka. Hkrati pa ne pozabimo na varč- nost, zato pri oceni upoštevajmo optimalni polmer R = 0,665 ae. Če upoštevamo, da je α ≪ 1, lahko uporabimo formulo za računanje z relativno majh- nimi količinami (1+α)n ≈ 1+nα. Velja: (1−α)Fg =mω21R, ω1 = √ GM⊙(1−α) R3 , T1 = 2π √ R3 GM⊙ (1−α)− 1 2 T1 T = (1−α)− 1 2 ≈ 1+ α 2 , ∆T = αT 2 , ∴ ∆T = 1,8 h, kar pa pomeni, da bi v tem modelu svetlobni tlak dejansko imel nezanemarljiv oziroma merljiv učinek na orbito panelov, in bi ga pri izgradnji morali pose- bej upoštevati. Možnost materialne škode? Ideja o Dysonovi sferi trči tudi ob številne druge te- žave. Naše Osončje namreč ni prazen prostor − v njem namreč kratkomalo mrgoli raznoraznega ve- soljskega kamenja, od asteroidov do kometov, ki bi utegnili našo megastrukturo pogosto nevarno poško- dovati. Zato bi jo bilo smiselno zgraditi tako, da bi ponekod v njej pustili luknje na tak način, da bi vsaj periodična telesa lahko sfero prečkala, ne da bi se zaletela in s tem povzročila materialno škodo. Na konkretnem primeru nekega asteroida poglej- mo, kako bi lahko materialno škodo preprečili. Za oceno predpostavimo, da je Dysonova sfera trdno telo s polmerom R = 0,665 ae in z obhodnim časom T = 0,542 leta, kot smo izračunali v prejšnjih razdel- kih. Astronomi so odkrili asteroid v orbiti, ki se gi- blje v ekliptični ravnini, in sicer v isti smeri kot Dyso- nova sfera. Napovedi kažejo, da bo asteroid vstopil v sfero 24. novembra in izstopil 31. decembra is- tega leta. Izračunajmo kotno razdaljo med obema luknjama v sferi, ki ju je treba narediti, da bo aste- roid varno prečkal sfero.         P 50 (2022/2023) 222 SLIKA 4. Shematski prehod asteroida skozi Dysonovo sfero. V heliocentričnih cilindričnih koordinatah naj gi- banje asteroida po parabolični orbiti opisuje enačba r = a 1− cosθ , ker je a = 1,00 ae. SLIKA 5. Tirnica asteroida in Dysonova sfera v preseku. Preprosto lahko določimo kota vstopa v sfero in izstopa asteroida iz nje, to je v točkah, ko je asteroid na razdalji R od Sonca. V skladu z zgornjo enačbo velja R = a 1− cosθ , R − R cosθ = a, cosθ = 1− a R , cosθ = −0,5046, ∴ θ1 = 120,2°, ∴ θ2 = 239,8°, iz česar izračunamo kotno razliko 2ϕ med pozici- jama lukenj: 2φ = θ2 − θ1 = 119,5°. Vemo, da bo asteroid znotraj sfere približno τ0 = 37 dni. V tem času se bo sfera zavrtela za kot ∆γωτ0 = 2πτ0 T , ∴ ∆γ = 67,0°. Potrebna kotna razdalja med luknjama β, da bo aste- roid varno vstopil v sfero in jo prav tako varno zapu- stil, je tako 2φ = ∆γ + β, β = 2φ−∆γ, ∴ β ≈ 52,3°. S podobnimi izračuni bi tudi na primerih drugih asteroidov in kometov ugotovili, kje v sferi bi mo- rali pustiti luknje, da bi ti nemoteno potovali skozi sfero. Seveda pa se pri tem ne bi mogli izogniti vsaj nekolikšni materialni škodi zaradi nepredvidljivega gibanja teles v Osončju. Kako pa bi sfero videli v drugih galaksijah? V katerem območju valovnih dolžin pa bi morali opa- zovati Dysonovo sfero, ki jo je ustvarila neka civili- zacija tipa II v zelo oddaljeni galaksiji? Recimo, da je njena oddaljenost do Zemlje d in lahko sfera deluje med temperaturama T1 in T2, za kateri velja T1 < T2. V nadaljevanju bomo privzeli samo nerelativistične učinke. Po Wienovem zakonu velja, da je valovna dolžina, pri kateri črno telo, v našem primeru sfera, seva naj- močneje, obratno sorazmerna z njegovo efektivno         P 50 (2022/2023) 2 23 temperaturo. Za naši robni valovni dolžini tako velja: λ1 = kw T1 , λ2 = kw T2 , kjer smo s kw označili Wienovo konstanto, ki ima vrednost kw = 2,9 · 10−3 mK. Zdi se, da smo na tej točki prišli do končnega od- govora na zastavljeno vprašanje, vendar moramo pri izračunu intervala valovnih dolžin upoštevati še dej- stvo, da se pogovarjamo o Dysonovi sferi v zelo od- daljeni galaksiji. Na velikih razdaljah namreč zaradi raztezanja vesolja pride do tako imenovanega koz- mološkega rdečega premika. Do ugotovitve, da se vesolje razteza, je s svojim pomembnim kozmološkim odkritjem v letih 1928−1929 prišel ameriški astronom Edwin Hubble. Šarmantni prežvekovalec pipe je z merjenjem pre- mika spektralnih črt ugotovil, da se galaksije (veči- noma) oddaljujejo od nas. Zaključil je, da je izmer- jeni rdeči premik spektralnih črt z sorazmeren z od- daljenostjo galaksij d, kar zapišemo kot z = H0d c , kjer je H0 ≈ 70 km/sMPc Hubblova konstanta danes. Zvezi danes pravimo Hubblov-Lemaîtrejev zakon, saj se je pozneje razvedelo, da je do istega odkritja že leta 1927 prišel tudi belgijski astronom Georges Lemaître. Zaradi kozmološkega rdečega premika, ki ga opi- suje Hubble-Lemaîtrejev zakon, je opazovana valov- na dolžina v resnici nekoliko večja od izsevane. Zaradi tega za robni valovni dolžini, med katerima lahko opazujemo Dysonovo sfero, v resnici velja λ′1 = λ1 ( 1+ H0d c ) , λ′2 = λ2 ( 1+ H0d c ) , iz česar zaključimo, da bi Dysonovo sfero v oddaljeni galaksiji zaznali v pasu valovnih dolžin kw T2 ( 1+ H0d c ) < λopazovana < kw T1 ( 1+ H0d c ) . Zaključek Kljub temu da se na koncu članka zdi boj proti ener- getski draginji z Dysonovo sfero vse manj učinko- vita rešitev, izkušnje astronomov kažejo, da je bila hipoteza od Dysonovi sferi pred nekaj leti posebno aktualna. Pred leti so ugotovili, da je Tabbyjeva zvezda povsem neperiodično zamanjšala svojo svetlost za vse do 22 %. Po odkritju se je med astronomi razši- rila ideja, da je vzrok za to zelo verjetno ravno me- gastruktura, kot je Dysonova sfera, ki jo je za svoje potrebe okoli matične zvezde namestila inteligentna oblika življenja. Vendar so nadaljnje raziskave po- kazale, da je najverjetnejši vzrok za te spremembe v resnici le prah . . . pa vendar! Morda pa vseeno nekje v vesolju vendarle obstaja civilizacija, ki je uspešno postavila megastrukturo, podobno Dysonovi sferi . . . in ki morda zato nima težav z energetsko draginjo, še manj pa skrbi, da bi jo prihodnjo zimo zeblo. Sicer pa bi se na samem koncu članka za kon- struktivne komentarje in nasvete zelo rad zahvalil Simonu Bukovšku, Urbanu Razpotniku in Jakobu Ju- riju Snoju. Literatura [1] Dyson sphere, Wikipedia, dostopno na: https:// en.wikipedia.org/wiki/Dyson_sphere, ogled: 26. 9. 2022. [2] Dysonova sfera sphere, Wikipedija, dostopno na: https://sl.wikipedia.org/wiki/Dysonova_ sfera, ogled: 26. 9. 2022. [3] Freeman Dyson, Wikipedia, dostopno na: https: //en.wikipedia.org/wiki/Freeman_Dyson, ogled: 26. 9. 2022. [4] Kardaševa skala, Wikipedia, dostopno na: https://hr.wikipedia.org/wiki/ KardaŽevaskala, ogled: 26. 9. 2022. [5] Teoretične naloge na Mednarodni olimpijadi iz astronomije in astrofizike 2022, IOAA 2022, dosto- pno na: https://ioaa2022.ge/problems, ogled: 26. 9. 2022. ×××