MATEMATIKA
Pravokotne ure
Miha Mihovilovič
-> V nedeljo mi je Janez zastavil zanimivo nalogo, ki se je spominja še iz mladosti. Zanimalo ga je, kolikokrat na dan ter ob katerih casih kazalca na uri oklepata pravi kot. Takoj sem zacel razmišljati o rešitvi.
Urni kazalec za en obhod potrebuje dvanajst ur, kar pomeni, da se giblje s kotno hitrostjo uoU = 1fh-1- Minutni kazalec za isto pot potrebuje le eno uro in ima zatorej kotno hitrost uoM = h-1-Denimo, da kroženje kazalcev začnemo opazovati tocno opolnoci, ko sta kazalca poravnana v navpicni legi- Ker se kazalca gibljeta enakomerno, njuna trenutna odklona od navpicnice pu, (M izracunamo tako, da njuni kotni hitrosti pomnožimo s trenutnim casom t- Kot med kazalcema A p potemtakem do-loca razlika med njunima odklonoma:
Ap = \pM(t) - pu(t)\ ,
pM = ^m t, pu = Wu t. (1)
Case tn, pri katerih kazalca oklepata pravi kot, poi-šcemo tako, da rešimo enacbo:
Periodo nn potrebujemo zato, da poleg kota Ap = n/2 upoštevamo tudi kot A p = 3n /2, ko se minutni kazalec nahaja na nasprotni strani ure, ter vse nadaljne kote, ko minutni kazalec zacne prehitevati urnega (glej sliko 1). Uporabimo izraz (1) v enacbi (2):
11n
■ |^M - u>H| tn = —;— tn = n/2 + nn,
6h
n = 0,1, 2,...
Ce od tod izrazimo tn, dobimo koncno formulo, po kateri izracunamo case, ko kazalca na uri oklepata pravi kot:
3
tn = (2n + 1) 11 h,
n = 0,1, 2,...
(3)
Kolikokrat na dan pride do omenjenega pojava, izra-cunamo tako, da iz enacbe (3) izrazimo n in dobljeni izraz izracunamo za t = 24 h:
11 1
n = t + TT 6h 2
= 44,5.
t=24 h
Ap(tn) = n/2 + nn, n = 0,1, 2,...
(2)
Ker je n nenegativno celo število, vzamemo le celi del rezultata- Urina kazalca tako 44-krat na dan oklepata pravi kot. Tocni casi, ob katerih se to zgodi, pa so zbrani v tabeli na naslednji strani.
12
PRESEK 41 (2013/2014) 5	13
MATEMATIKA
zap. št.	cas
1	00:16:22
2	00:49:05
3	01:21:49
4	01:54:33
5	02:27:16
6	03:00:00
7	03:32:44
8	04:05:27
9	04:38:11
10	05:10:55
11	05:43:38
12	06:16:22
13	06:49:05
14	07:21:49
15	07:54:33
16	08:27:16
17	09:00:00
18	09:32:44
19	10:05:27
20	10:38:11
21	11:10:55
22	11:43:38
zap. št.	cas
23	12:16:22
24	12:49:05
25	13:21:49
26	13:54:33
27	14:27:16
28	15:00:00
29	15:32:44
30	16:05:27
31	16:38:11
32	17:10:55
33	17:43:38
34	18:16:22
35	18:49:05
36	19:21:49
37	19:54:33
38	20:27:16
39	21:00:00
40	21:32:44
41	22:05:27
42	22:38:11
43	23:10:55
44	23:43:38
Križne vsote
-i' -i' -i'
-> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne.
	8	6			
5			15		
6					
					
					
			14		
TABELA 1.
Točni časi, ob katerih kazalca na uri oklepata pravi kot.
_XXX
-i' -i' -i'
Resitev testa
iz prejsnje stevilke preseka
-> V prejšnji številka Preseka smo vam v clanku »Ful drgacen test iz mate« zastavili nekaj vprašanj in možnih odgovorov nanje. Edini pravilni odgovori so:
■ 1f, 3e, 5b, 7c, 8b, 9d, 10b, 11a,b.
_XXX
www.presek.si
•is •i' nU
reSitev kriZne vsote
8	9	H			
E	L	>			
	17	8	>		
		L	17	s	
		*	Z	E	s
			6	8	
XXX
PRESEK 41 (2013/2014) 5
13