i
i
“731-Drnovsek-naslov” — 2009/6/22 — 14:09 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 12 (1984/1985)
Številka 4
Strani 182–184
Roman Drnovšek:
NADOMESTNI UPOR VERIGE UPORNIKOV
Ključne besede: fizika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/12/731-Drnovsek.pdf
c© 1985 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
NADOMESTNI UPOR
VERIGE UPORNIKOV
Rešil i bomo naslednjo nalogo o električnih vezjih: Izračunaj nadomestni upor
verige enak ih upornikov (glej sliko)! Vseh upornikov je 3n. upo r vsakega izmed
njih pa je enak R.
R
~-----~v~-----------'
n - kr at
Rešitev:
1. Iskan i nadome stni upor označimo z Rn . Naša naloga je določ iti Rn vodv is-
nosti od R in n. Oč itno je Rl = 3R. Rn+1 dobimo iz R n » če le temu dodamo še
tri upornike:
1
Rn+ 1 = R + 1 + _1_
+R
R R n
Rn+ 1 = 2R +
R.Rn (2R + 3Rn)R
(1 )
R + Rn R + s;
Po tej rekurzivni formul i izračunamo : R 2 =~ R in R 3 = 14~ R .
2. Defin irajmo zaporedji Xn in Yn (n EN U {O}):
X o = 1. YO = O
Xn+l = 3xn + 2Yn
Yn+l = Xn + Yn
(a)
(b)
(2)
Prvih nekaj členov zaporedja Xn je : 1. 3. 11. 41 ..... zaporedja Yn pa O. 1. 4.
15 . ...
182
3. Dokažimo s popolno indukcijo, da je
XnRn = R -- (n E N)
Yn
(3)
X n + Yn
Xn
X n + YnR + R.!..ILYn
R n+1 = 2R +
Za n = 1 je Rl = R~ = 3R, kar res velja.
YI
Predpostavimo, da (3) velja za n in pokažimo, da tedaj velja tudi za (n + 1). S
tem namenom vstavi mo (3) v (1) :
Xn
R.R y;;-
Xn+l
Upoštevamo definiciji (2), pa dobimo: Rn+ 1 = R Tako je dokaz ena-
Yn+l
kosti (3) končan .
4. Z uporabo računalnika, na katerem lahko programiramo, je mogoče izraču ­
nati poljuben X n in Yn (s pomočjo (2)), medtem ko na običajnem žepnem ra-
čunalniku pri velikih n to ni mogoče. Zato bi želeli določiti formule za X n in
Yn samo v odvisnosti od n.
Iz (Zb) izpelj emo X n = Yn+1 - Yn, kar vstavimo v (2a) in dobimo:
Yn+2 - Yn+l = 3Yn+l - 3Yn + 2Yn
oziroma
Yn+2 - 4Yn+1 + Yn = O (4)
Kako se v splošnem rešuje diferenčne enačbe oblike Yn+2 + aYn+l + bYn = O
(a, bE R), piše na str . 116 v knjigi Alojzija Vadnala OSNOVE DIFERENČNE­
GA RAČUNA, Knjižnica Sigma. V našem primeru bomo to opravili na kratko.
Rešitev diferenčne enačbe (4) i šč emo v obliki Yn = t", To vstavimo v (4) in do -
bimo:
oziroma
t 2 - 4t + 1 = O
t 1 ,2 =2± y'3
183
Ker ti ni enako fa, je splotna rditev enaEbe (4) enaka: 
R d i t e u  sistema teh dveh enaCb z d v m  neanankama je: 
. Torej je : 
5. Pogiejrno 3e primere, ka je verig upornikov nesbnEna. Po krwkem premi- 
sleku mgotovimo: ko n taste Cea vse meje, se kvocient xn/yn prihliiujr vradna- 
s t i ( l + d a . ~ o r e j j e : ~ ~ = ~  (1 +&). 
Romn DmoJek