i
i
“KuzmanUros” — 2019/1/11 — 8:07 — page 151 — #1 i
i
i
i
i
i
ZANIMIVOSTI
ZLOBNI TEST MATEMATIČNE INTUICIJE
Beseda intuicija pomeni neposredno dojemanje, zaznavanje bistva brez ra-
zumskega razčlenjevanja (SSKJ). Matematiki jo uporabimo, kadar želimo
poudariti, da ima nekdo »nos za rešitev« oziroma neke vrste šesti čut, ki ga
vodi v pravilno smer tudi takrat, ko so argumenti še neznani. Skratka, gre
za prvino, ki si jo poskuša okrepiti vsak naravoslovec, čeravno ga, obilici
treninga navkljub, še vedno lahko pusti na cedilu. Da se to lahko zgodi
že pri zelo enostavnih problemih, naj bi razkril naslednji test, pripravljen
po vzoru trač revij. Za kvalitetno meritev je bistveno, da se pri nobenem
od vprašanj ne ustavite za več kot pol minute. Na koncu število pravilnih
odgovorov seštejte in prepričan sem, da mi boste pritrdili, da v matematiki
ni »skoraj očitnih« stvari. So le očitne in neočitne!
1. Okoli ekvatorja napeljemo vrv, jo podalǰsamo za en meter, nato pa
enakomerno odmaknemo od površja Zemlje. Katera je največja žival,
ki še lahko zleze pod njo?
a) mǐs
b) mravlja
c) nič od navedenega
2. Ob šestih zvon bije šestkrat, med prvim in zadnjim udarcem pa je 6
sekund. Ob enajstih bije enajstkrat. Koliko sekund je med prvim in
zadnjim udarcem?
a) 10
b) 11
c) 12
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4 151
i
i
“KuzmanUros” — 2019/1/11 — 8:07 — page 152 — #2 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
3. Na zabavo pride deset oseb. Tisti, ki se ne poznajo, se rokujejo. Koli-
kšna je verjetnost, da sta se dve osebi rokovali z enakim številom ljudi?
a) 100 %
b) 67 %
c) 10 %
4. V rokah držimo tetraeder in štiristrano piramido z robovi enake dolžine.
Koliko ploskev ima telo, ki ga dobimo, če staknemo dve trikotni ploskvi?
a) 9
b) 7
c) 5
5. Polno zajemalko vode zlijemo v sod vina in tekočino v njem premešamo.
Nato zajamemo še polno zajemalko mešanice in jo zlijemo v vrč vode.
Česa je več:
a) vode v sodu
b) vina v vrču
c) obojega je enako
6. Na Trojanah po novem opravljajo sekcijsko meritev – voznik dobi kazen,
če njegova povprečna hitrost preseže 100 km/h. Prvo polovico odseka
prevozimo s hitrostjo 50 km/h. S kakšno povprečno hitrostjo smemo
peljati v drugem delu, če ne želimo prejeti kazni?
a) 150 km/h
b) 220 km/h
c) kakor hitro želimo
7. Kovanec enotskega polmera zakotalimo okoli drugega s trikrat večjim
obsegom. Koliko obratov okoli svoje osi napravi?
152 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“KuzmanUros” — 2019/1/11 — 8:07 — page 153 — #3 i
i
i
i
i
i
Zlobni test matematične intuicije
a) 3
b) 4
c) 9
8. Po 40. letu se pri 1 % žensk pojavijo maligne tvorbe. Mamografija jih
odkrije v 90 %, vendar pa je test pozitiven tudi pri 10 % zdravih žensk.
Kolikšna je verjetnost, da je pacientka s pozitivnim testom res bolna?
a) okoli 8 %
b) okoli 72 %
c) natančno 90 %
9. Trije tekači z enakomerno hitrostjo pretečejo 100 metrov. Prvi drugega
prehiti za 20 metrov, drugi pa tretjega za prav toliko. Za koliko metrov
je prvi tekač prehitel tretjega?
a) 30
b) 36
c) 40
10. Eifflov stolp je visok 321 metrov, zanj pa so porabili 7 milijonov kilo-
gramov jekla. Kako visoka bi bila njegova 1 kilogram težka maketa,
narejena iz enakega materiala?
a) manj kot milimeter
b) nekaj centimetrov
c) dober meter in pol
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4 153
i
i
“KuzmanUros” — 2019/1/11 — 8:07 — page 154 — #4 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
Rešitve
Odgovori: 1 c), 2 a), 3 a), 4c), 5c), 6c), 7b), 8a), 9b), 10c).
Utemeljitve:
1. Intuicijo lahko prevara veliko razmerje med obsegom ekvatorja in po-
dalǰskom vrvi, čeprav je odgovor neodvisen od polmera sfere. Res, iz
primerjave originalnega in podalǰsanega obsega dobimo, da je
2πR′ = 2πR+ 1 m =⇒ R′ −R = 1
2π
m ∼= 16 cm.
Dobljena razlika polmerov je enaka oddaljenosti vrvi od površja.
2. Uganka je zelo podobna vprašanju: »Koliko kolov potrebujemo za 11 m
ograje, če naj bodo razporejeni na en meter?« Ključno je torej, da ne
razmǐsljamo o številu udarcev, temveč o dolžini intervalov med njimi.
Iz podatkov o prvem zvonjenju izvemo, da je med dvema udarcema 65
s. Drugo bitje je sestavljeno iz 10 intervalov, zato traja 12 s.
3. Če je na zabavi deset oseb, se lahko vsaka izmed njih načeloma rokuje z
0 do 9 ljudmi. Vendar pa se prva in zadnja možnost ne moreta zgoditi
hkrati. Torej se mora vsaj eno število rokovanj zgoditi dvakrat.
4. Naloga izvira iz amerǐskega testiranja PSAT 1980, pravilni odgovor pa je
bil objavljen šele po protestu 17-letnega Daniela Lowena. Ta je opa-
zil, da se ob staknitvi trikotnih ploskev združita tudi dva para stranskih
154 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“KuzmanUros” — 2019/1/11 — 8:07 — page 155 — #5 i
i
i
i
i
i
Zlobni test matematične intuicije
ploskev, kar je, vsaj na podlagi skice, precej neočitno. Matematično to
najlažje preverimo tako, da staknemo robova osnovnih ploskev dveh ko-
pij štiristrane piramide in povežemo njuna vrhova (glej sliko). Sedaj
premislimo, da je dolžina vezne daljice enaka dolžini roba piramide.
Telo, ki nastane med piramidama, je torej enako tetraedru.
5. Z odgovorom na to vprašanje imajo še najmanj težav otroci, eksaktno
pa rešitev najlažje ilustriramo s sliko. Na njej je (nezmešana) vsebina
zajemalke pri drugem zajemanju. Ključen je razmislek, da smo pred
tem v sod zlili polno zajemalko vode, sedaj pa nazaj nesemo manǰsi,
s svetlo barvo označen del. To pomeni, da je v sodu ostalo natanko
toliko vode, kot je trenutna količina vina v zajemalki.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4 155
i
i
“KuzmanUros” — 2019/1/11 — 8:07 — page 156 — #6 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
6. Uganka ni po meri cestnoprometnih predpisov, a takšna so dejstva. Če
voznik polovico poti s prevozi s polovično hitrostjo v/2, je že porabil
enako količino časa, kot bi jo za celotno pot pri hitrosti v = 100 km/h:
t =
s/2
v/2
=
s
v
.
Vsaka nadaljnja sekunda na poti torej kvečjemu zmanǰsa njegovo pov-
prečno hitrost.
7. Tudi ta naloga izvira iz amerǐskega preverjanja, SAT 1982. Zmeda je
bila tokrat še večja, saj pravilni odgovor sploh ni bil ponujen v obkroža-
nje. Najbolǰsi način za preverjanje rešitve je empiričen, potrdi pa, da je
na splošno število obratov enako seštevku obeh radijev. Manǰsi kovanec
namreč, poleg obratov, ki izvirajo iz razmerja v obsegih, naredi še en
dodaten obrat zaradi kroženja okoli osi celotnega vrtenja. Kakorkoli, če
še vedno niste prepričani in imate težave z iskanjem kovancev ustrezne
oblike, lahko preizkus izvedete tudi z dvema kovancema enake oblike
(na sliki).
8. Gre za nalogo, ki jo v prvem letniku slǐsijo študenti medicine. Opozori
jih na to, da morajo biti pri interpretaciji testiranj previdni. Oglejmo
si primer 1000 pacientk. Zares bolnih je 10, zdravih pa 990. Skupno
dobimo torej 108 pozitivnih testov, med katerimi pa je kar 99 lažnih.
Ustrezno razmerje je torej enako 9108 ≈ 8 %.
156 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“KuzmanUros” — 2019/1/11 — 8:07 — page 157 — #7 i
i
i
i
i
i
Zlobni test matematične intuicije
9. Ključen je razmislek, da ob prihodu prvega tekača v cilj razdalja med
drugim in tretjim tekačem še ni enaka 20 m. Tolikšna bo šele, ko bo v
cilj prǐsel tudi drugi tekač. Ker pa zaradi enakomernih hitrosti enako-
merno narašča, je v opazovanem trenutku enaka štirim petinam končne
vrednosti – drugi tekač se namreč nahaja na štirih petinah svoje poti.
10. Stolp je tridimenzionalni objekt, zato je njegova masa sorazmerna s
kubom njegove vǐsine H. Za ilustracijo, upoštevajoč dejansko obliko
stolpa bi zanj potrebovali pravokotno škatlo vǐsine H, širina in dolžina
pa bi morali znašati približno 13H. Volumen te škatle V =
1
9H
3 je
torej sorazmeren s 7 milijoni kilogrami, kar pomeni, da bi morala vǐsina
kilogramske makete znašati
h =
H
3
√
7 · 106
≈ 1,68 m.
Uroš Kuzman
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4 157