O Llrttbmetica Seonien ia cr MuUca L»oetti L7 Incipiunt vuo libri ve Anthmcticaanitii manl-l le oerini Doerif viri clariMmi ? illustrissimi ex cosulis: or stinarippatkicipast patricium stmmacbum. Mvanstis accipienstisqz muneribrisita reae officia precipue intcr eos qui iele ma §ni faciunt cstimanmr 6 listuisto consta-dir ncc sb lioc aliucl quost liberalius affer rec inuencummccab illo vnH quost iocu ciius veniuolentia complecteretur acceptum. Wxc iple conlistcrans atMli non tgiiaua opu; ponstcra quibus act tacin^ nibil instructius est.cum babcncii tlris incancluir: acl meritu; nidil vilius cum castvi victor animus calcata iubiecit: sest ea quc ex grccaru opulentia lirrerarum in romanx orationis kdelau rum lumpr, conneximus.Ita enim mei quocy operis mibi rario cSstavlt:st qus ex sapientis vocrrinis elicui: sq picnrisslmiiusticiocoprobmk.Nistes igitur ur tam ms gni laboris cffecms tu» rancu cxpecret exame: necin aures Mire publicas nillvocrx lentetis s stipulatione ni-ratur.In quo nibil miru visterioebet:cS ici opus q6 sapientis inuenra pericquikmS auttoris secl alieno incum dit arbitrio. Suis quippe instrumktis res rationis ex-pmstimr:cu iusticin cogitur snbireprustenris. Scst buic munustulomon egclem qux ceteris iminct artibus munimenta constituo.Mcq; enim sere vlla stc cuncrisadlo lura partibus nullius instiga luis raru est scieris nixa pst sti>s:ut no ceterarum quoq; artium astiumcnts vellstcret Ma ineffigianstis marmore staruisralius excistenstx ino lis labo: estralia sormanstx imaginisratio: nec eiusstcm srristcis manus politi operis-nitor expecrat.Ac pickurx manibus tabulxcomissxsabrorum.csrcwstica obstrua tione veceprx:colorum fuci mercatorum lolcrtia pcrquist tistinres operosts elaborata textrinis multiplicem mare nam prxstanr.Monneistem quoq; in bellorum visitur instrumentissDicspicnIasggittis exacuit: illi valistus tborax nigra gemir incuste. Ast alius crusti vmbonis re gmina proprii laboris orbi inkigcnsta mercawr: ta mui ns artibus ars vna pcrstcimr.Llst nostri lavous avlolu tio longeast faciliorem currit euentum.lu enim iolus manu supremo operi impones: in quo nibil ve veccrn? tiu ncccffe est laborare consensu. Suamlivctcni boc-usti cium multis artibus probetur excultum vno tamc cu« niulatureramine^Experiare igimr licct quantum no/ bis in boc stustiologisrracrus ocijs laborasticcerir. LIn rerum subtilium fugas erercirarx mentis velocitas cokn prcbenstatr vrwm iciunx macies orationis ast ea qux lut caliganrivImpestita scntcrijg expesticnsta sufficiar. Sua in re mibialicni quoqueiusticij lucra quxrunmr: Lum M vkrgMlVpeririffimuslittcraru possis grais oratiois expertibus quanru ve nobis rusticare austeam: sola rant» pronunaarioneprescribcre. Arnonalrerius obnoxius institutis srctistrma mcmer ipse rrsstarionis lege pstnn go: sest paululum liberius evagatus alieno irincrims ve stjgiss inststo. Ma ? ea qux ve numeris g nicomacbo vis lust^vispurara sunr.mostcratabreuirare collegi. Te qux rran'cursa velocius angustiore intrlligentix prestabanr sstim;:mcstiocri asticctionereseraui:ucaliquansto ast evidentiam rerum nostris etiam formulis ac Descriptionibus vcercmur.Luost nobis quatis vigiliis ac sustore eonstirerir facile sobrius lector agnolcer. Lum igik qua-tuormatkeseos oisciplinaru oearitbmetica qux est prima pre!criberem:ku ranru vign^eo munere vistevare eoqs magis in enarrato opus cffe intclligeba. ML 7 st apust refacilis venixlocus essck:aliquanstotamen 'piam ior-mistsbar faciliratcnr suspecra securitas. Arbitrabar enim nibil tanrc rcuermrix oblatu iri oportererquost no elado ratum ingeniorpersccmm stustio:vignum postremora-«socio visteremr.Mon igitursmdigo quin pro tus in me bcninolcntia superuacua reseces:k,'ann'a luppleas crraca rcp:ebcnstas:comoste vitta mira animi alacritate suscipias. Tux res impulit pigram conlllif moram. Mi iniosenimibi stuct^placirura restilucnr.Moui quippe quanto stustiolms nostra H exterorum bona Diligamus IKttke crgoqll aureos cereri mimos? maturos vacvo palmites:6c ast re mstimenra noui operis transtuill-Tu kanru paterna grana nostrum prouebas munus: ira ? la boris mci primitias docristimo iusticio consecrabis:? no maiore cenicvitur aucto: merito itz probator. Incipiunt capitula primi libri. Onobemiu in quo oiuillones imtkcmatirc. Lap.l. De substantia numeri. ' Lap.r. Diffinitio ? viuillo numeri ? distlnitio paris er imparis. Lap.;. Diffinitio numeri paris a imparis scSm pilbago rsm. -Lap.4. Alia scvm antiquiorem mostum viuillo paris er imparis. Lap.5. DiMnirio paris ? imparis per alterutri! Lap .6. De principalitate vnttaris. Lap.7. Diuisto paris numcri. Lap.s. De numero pariter pari ciuiqxppricrakibus. Lgp .y. De numero parirer lpari eiulqz ppricrativ'. Lap.ro. De numero impariter pari: ciulq; propriaaribus ve queeius ast parirer parem? pariter imparem cognatione. Lap.n. Descriptionis ast in,pariter paris namram perttnen tisexpoiltio. Lap.ir De numero impari eiulq; diuillone. Lap. l;. De primo ?incopostro. Lap.iff. Desecustorcompollto. Lap, 15. De eo qui per se lecunstus-r cSpolitus: astalm pri- mus^incopostrusest. Lap.i6» Deprimi?incompostri:? lemnsti? compoilli?ast se quiste secunsti? compotiri astalreru vero primi ?incopoliti procreatione. Lap.i?. De inuerione eo? numerox qui ast k iemsti? compotiri sunr:ast alios vero relari primi ? incSpotici. Lap.ls Lllia partitio paris lcSm pcrtettos imperfectos ? vl-rra H perlatos. Lap.r?. De generatione numeri ptecki. Lap.ro De relata ast aligst quantirare. Lap.ri. De specieb^nraiorisinsqnalitatkv?minoris. Lap.rr. De multiplici cius

:okcmiu in quoviurstomatbemstiex. Laxssm.r. Islrcr omnes prilckaucrorikatis viros: qui pyrbagora vucepurlore mentis ra-rionc viguerunt: constare manilcstu est » dauci qucqua in pbilosoplnc oiscipli» nis aci cumulum perecnonis cuadci e: nisi cui talis prudentix nobilitas quo damquast quadrivio vestigat. Suod rettesolcrtiam imvenns non latebit.Est enim sapient a rerum qux sum luiG imutavilcm substantiam sorkiuii» tur conrprebcnsiovcnratis.Lsse a-tcmilla vicimus qux necincennonc crescunt: nccrctracrionc minuunrur: nec variationibus pcrmutantur.lcd in p:op:,a icmp vi suxsenarurx subsidijsniramstodiunt. Dxcaurcm sunr qualitareslquantiratesssormc.magninidincs: paluira-rcs:xqua!itares:davitudines:actus vispostriones: loca: tempora.ct quicgd adunatu quod-imodo corporibus in lienic.SuxipIaquide namra incorporea sunt? ui-Utabi lis iubstancix ronc vigentia, parricipatioc vero corporis permutantur:? tacm variabilis rei in vertibilem inconstantiam rranlcunr. Ilvxc iguur quoniam ut oictu est na lura linurabilcm instantiam vimq; sortita sunt:verc pro prieq; esse ocunt.DoHigikidest qux sum^prie:qucq; suo nomine esscnrix nominantur:scientiam sapientia ,p» strecur.Lssentixaurein gemine partes lunnvna cotima ? surs partivusiuncramcc vilis finibus vistnbura: ur estarbo::lapis:romma mildi buius corpora: qux.pprie magnitudines appelisntur.alia vciooisiuncra g se? oe tcrminara parrivus? quaii acervarim in vnu rcciacra co cttiumuit gi cx:populus.cl)orns:gcc, uus:? gcquici quo» ru parrcs propriss ertremitaribus terminantur:? ad al» tcriusstneoiscrercsiint.Disproprm nomen est mutti' rirucio.'ilxursus multitudinis alia lunlpcrscur rrcs vel quamo::vel tctragonus:vl'quilidctuumcrus qui m str nullo inciiger. Alia vero per lapsa non constant: >'cd ad quidda aliud reterunt: vt vuplu:vt vimidm:ut sesqual» keru: vel scsqnitcrtiu r quicquid raleestrquoci nisi, relatu; str ad aliudupsirm este non postit. LDagnitUdinis vero alia sum manentia moruq; carentia, alia vero qux mobi li scmper roratione vertuniurrnec vllis rcmporib^acqui- s mnt.IVoru ergo illam multitudine qux per se est: a, itb» metica lpcculamr integritas. Zllam vero qux aci aliquid musici modulaminis tcpcramenta pnotcunc. Zmmobi» »is vero magnitudinis geometrica noriciam polliccmr. LDobilis scientiam astronomicx vi sciplinc peritia vcn dicauitMuivus quattuor partibus si carear «nquistro:: verriinvenire non pomt:acsinc bac quidem speculatione veritatis nulli reccc sgplendum est. Est enim lapieris ea» ru rerum qux vere sunneognirio ? integra comprebeno Luod loec qui spcrnit:idest lias semitas «apienrixrci ve» nunciononrcckepbilosopbsndu.Siquidcpbilosopbia est ainor sgpientixmuam in dis spernendis ance conte» pserir.IlluclqusP addcndu-gMrorquod cuncta v.s multitudinis ad vnoprogressa rermliio:ad lnnmta pro» gressionis augmenta concrescit:magnitudo vero a nnira inclosans quanritaremodu in viuisione non rcciptt. M» sinuimmas enl sui corporis suscipit sectiones. !l?ac lgr» tur narure infiuirgtcindererminataqzpotentiani pdllo' sopbla sponterepudiar.Mibil enim quod insiniku est.vel scientia potest colligi vel mente coprelocndi. Sed dinc lumpnrsivl lpsargtio:in quibus posscc indagatrice vm taris exercere lolertigm.Delegit enim oe instnitx multi' mdinis pluraurare sinircrermino quantitatis:? intermi navilis maAliikddtnis lccuonc reiccta oestnira sivi ad co» Fnitionem sp^laoepoposcik. Lonstat igitur quisquis dxc prerermiseci^omne pliilosopbix perdidisse ooctrina Docigimrillud quadruum est quo vis viand» stt qui» bus excellentior anmmsa nobig cum procreatis lenstv" ad imelligencix cMlour perducitur. Sunreni; quidam gradus certxqzprogrestionu vimensionesquil us ateen di progrediqzpossrnursnimistlu octiln:qui( ut ait pla» to) multis ocuUs corporalibus saluariconstikuiqzsit vi §nio::quodeo solo luminc vestigari vel in picr veritas queat.Dunc inqua oculu oemcrmmorba:s,q; corporeis sensibus bx oiiciplinerursum illumincnr.Llux igitur ex bis prima vilccndacstrmsi caqukprincipln,nair>sq?q6 ammodoadcxtcrasobtinctpo:tioncm:Dcccstaui alub merica.Illlccenim cunctis prior cstmon modo quod bac j ille I)uius mndanx molis condito: vcus primam siix kg buir ratiocinationis exemplar:? ad banc cuncra eonstitu it quxcunqz labr cantc ratione per nmncros alugnari or dinis mnenerc concordlgmsscd boc quocp prior ai rtbme tica occlaratur:quod quxcuq;natura priora lunk:bis sub laris simul posteriora tolluntur. Suod si posteriora pii c anruiibil V staru prioris sudstantix permutatur: ur ani mal prius est boic. Mam si tollas animal statim quoqz koininis narura oelera sit. Si lrominc till luicris:animal non peribit.Erccontrarioea scmper posteriora sunt qux secu aliud quod!lbecinserunt:ea priora quxcu; victa lur nibilsccnur veposterioriblistlLbuni.utmcode; quoq; bominc.illam si boininem vixcris:stn!Ul quoq; animal nominabis, ^dem est enim bomo quod anirusl. L>i ani--mal vixeris non speciem simul dominis intulisti. Illon est eniin idem animal quod domo.Doc idc; in geometri ea vel in aritl:melica viderui-incurrerc. L>i cnirn nume ros tollas: vndc triangulu vel quadrarum vcl quicquid in geomerrica veilgrursque omnia numeroru ocnomina riua lunt. Sic vero si quadrarum triangulnq; sustuleris: oinnisqz geometrica consupta sik:rrcs? quaruo: aiiorucV numeroru non peribunt vocabula, lkurkim cu; aliqua geoinctricam sorinam oixcro:cst illi stmul numeroru no» nren implicitu. Lum numcros vixeronondu vllam lo: mam geometricanominaui.LIlvustcavcroqua prior sit numeroru visdainc maxime probari potest: qv nomo doilla natura priora suntqnx per secoir IgnrrquZ illa qux ad aliquid referuntur:sed criain caipsa Niiistca niodulano numeroru nominibus annotatur. Lr idcm m dac eucrn re pslestrqiiod in geometrica predictUm cst.Diaresssron enim ?oigpcntc:? oiapason:av gntcccdsNtis numen no mtnibus nuncupantur.Dso:uquoq;sono:u aducrius se proportio: solis nccy alijs irumcris iNueink.Suicni; sonus in oiapason ssmpbonia est:idem vuplicrs nume ri proportione colligitur. Sux viatessaron est modulatio kprcrira collatione coponimr.Sua oiapcnte sympbonia vocantrloemiolia n,edictare conlungirur. Sui in nume nsepogdous eN r ldcin tonus IN musica, rkrnc stnqula persequi laborem Ixii^ opcris sequentia quanro P:,0' sil aritbmeticasine vlla ouviratione monstrabunt. Splic ricam veroatq; astronomicam tanto prcccdit: quato vux retiquxoisciplinxdancterriaiialura p:cccdunr/Zn astro nomic'cnimclrculi:spkesa:centm:pslalclliqzcirculi me diulq; aris cst:qnx omnia gcomrrricc visciplmxcura siit. Suarccst etianrcx Ioocostende>e scn.o-e geonictricx vim quod omnls morus est post quietem:? narura scmper sta tio prior est. tDoviliuu vero astionomianmobilium geo metrica ooctrina est: vcl quod armonicis modulationis MotusipseceledratUt astroru.Suarccsnstacquom mu sicx vim astrorkcursusantiquitate prcccderc: qua supera re naturaarikbmetica ouvium nocsscu prioribus quam illa est antiquior videamr. lsbropric ranicn ipsa nume» roru natura omnis astroru cursiis: oisq; astronomica ra» rio constituta est. Sic enim ortus oc asiiiqz colligim^:sie tarditates velocitatesqzerrantiuzsideruin custodimus: sic vesccrus ? multiplices lunx variationes agnoscimus. Suare quonia prior vt claruit aritlamcticx vis est: dinc visputationis sumamus exordm. De substantia numm'. Lapimlu.r. aar AEmetiea. eDnia quxcuq; g primena > erum natura con s strucra sunrmumeroru videnmr ratione /or-mata.Doc enim suitprincipaleinanimo con dicorlsexemplar.Dineenim quaruor cicme ko:5 mulnrusto mutuaracst:bincrcmpo:um viccsstainc motus asti oru; cxliquc conucrsto. rIuc cu i a stnt cuq; oi-um starus: nuineroru colligatione «ungatur: evm quoq; nuineruni ncccssc est in.ppr-a scmpcr iclc babentcm?qua lirersubstannapermancieicum que compositum noex diucrsts. 6md enim numen stibstantiani conivngerct: cum!pli'cmnpluin cuncra iunrissct: sed cr scipso vi>le-rue esse compostcus. lid rroautn-bilcrNmillbns eom/ ponividecumec ex bisqu? nulla rat,onis.pp rrioe iun glimur:? a seomni substantia naruracy oilcrcta sunr. Lonstaccrg quoniam comuccuscstimmcmsmcqzcr stmilcvus csse coniuncrummeq; ex bis que ad sc inuicc m nulla rarione.ppo:tlonisbsrcnc. Smntcrg numeros pnm r qux coniunganr:ad substantiam qu dem qux co-gencsscmpcrqzpesmgneant.Ncqzenimcxnoncxistcn-rivus essci quicqua potest:7 sunr ipsa dissimilia 7 pote-tia componendi, lvxc autem suntgvusnumcruscostar par acq; impar. L)uk oiuina quadam potentia cum oi-spas ia «nr contranaar numerus eil qui sub ezdcm vlUi stonc porest i marima paruissimaq; vividi: ms ximsspscio pamifflma quAkltarc: scdm duo-' rum istorum gcnci um contrarias painoncs. Impar vc-ro numerus e!l:cui looc qclcmsccidcre non potest: sedcuius j„ vuas inxqualcs ssimas naturalis est sectio. Doc cstaurercmplar:vk stqniliber datus parnumerus viui-clamr: maior ostem quZtum ast oiuistonis spacia perli-ncr:non,nueniccuquam di c era medieras: qualita-e veronulla mino: str.quam in gemina lacra partitio: vrst pzrnume usquie.s.olUistarnrin^.atPalios^.nul-la erit alia oiuisto qux maiores parces efficiar. Isdorro au tem nulla erit alia o.uisto que rorum numcrum mmore viuistar qu.iritate.In duas enim partes viuistone mbil nunus est. Lnm enim torum quis iucrir trina viuillone parr>rus:spacij qdein summa minuiksscd numerus villi stonis sugetur. Suod aur dicmm est icdm vuorum §xne rum contra: ias passiones buiulmosticst.iftnkstocuimus enim quZritgtem>nistnirgsplnrslirarcs accrescere spg, cia-vcro.i.magnitustincs in instnirissimas minui parui-(ONtkA tllAlltN3NP PAsl9 VlUlllO spacioestmarims parvissima quakitae. v7Zlliasecuc!umankiqmo:cm modum vmisto pansr imparis Lapimlum. 5. Scudum antigorem vero modum sl,a c paris s numm definitio. lidar numerus est g i ouo ?qualia-.7 invuolequsliapartitionem recipit: sest vt in ncutra viuillone vel imparitati paritas: vel paritari imparitas misceatur:prctcr lolum pari raris puncipem binarium numcrn quiincqualemno re eipjr sectlorie>n:p:oprerea quod ex yuabusvnitatib co-star 7 ex prima ovorum quostamodo paritate. Auod aut vico talc est. L>i enim ponamr par numci us:p5r ln vuo equalia d,'uidi:vt denarius diuidieurm quinos.ift>o:-ro aurem 7 per inxqualiavr idenr ocnarius in.Z.-r in.7. Sed boc modovr cumvna pars suerit.diuilloispar:alia quoPparinueniamr.7 stvna impar.rcliquaabcius im panrale non oiscrepec.vt in eodcm numero qui est dena nus.Lumenimviuilus estinquinos:vclcum in.;.7 i T^vtr^q; invrraq; portione parrcs impares ertiknmr. Loi aure; ipsevcl alius numerus par oiuidarur incqua les:vr octonarius in.4.7 in.4.7 irem pcrincquslcs -e>r idem octona iusin.5.7 in.z.in illa qstem dtuisoncvrre-que parrcs pares sacre sunrnn dacvrrc^ impares errire mnr.Mcqzvnquasteripor^tcumvna pars diuillois parsucrit:glialmpgrmeniriqueat:sukcn;vnaimparsk: gliaparpossirintclligi.Impar-veronumeruscst qui ad qualibet illam oiuilloncm pcrin?qualia sempcrviuidik: vt vtrasP species numcri sempcr ostendarmccvnqusm glrcrastncalteralltssedvnapgrspgfitatirimparirari alia vepurarur. vr. 7. st d!uidasin.Z.7l.4.a!rcrapo:riopar: altera impar est. St boc idem in cucris impariv^ numeris invenitur.Mcq; vnqua in imparis Viuistone prcrer sceepossuntbcgemink speciesqucnaturaliter vi!n numeri substankigq; componunt. <17Diffinitio paris 7 imparis per alterutrum. Lapitulum. 6. Nod ll bec enam per alterutras species destni cnda sunt:viccrur impare numerum ec g vni-tare vistert a pari: vel incremeto:vel diminuri one.Item par numerus est gv nitate oistcrt ab Imparivelincremento vel oiminutione. Sienim pari vnum oempscris vel vnuli» adicecrisumparefficitur-vk stimpari idem scceiis:parcontinno.pcicatur. <17De principalitate vnitatis. Lapi. 7. LDnisquaq;numeruscircu se poMmum 7 naturali Iwimcr vispostrione iuncromm n,e-dictas est. Lr qui strpcr ouos illos sunrg me dio iungunrur ll componamur: etiam ipidrn; supradictns numerus media portio cst:7 rursus illorst qui sunc super secundo loco iuncros cum ipil quoqz stnr compositi prio: bis numerus medietatis loco est: 7 laoc erit vlcp vum occurrens vniras terminum teccrir. 'elc st ponar quis quinarium numerum altrinsecus circa ipsu; stinr supra.4.insmus ier. Dic ergo iliuncri mnt: saciunr ^ . lo.quorum.s.numcrusmedicrasest. Suiaurcm circa i, lpsosidestcirca7^.7.4.sunr.^.scilicet7.^.idem stiuncri sunr eorum quinarius numerus mcdietascst. sursus istorumqui alrrinscmspostn sunt st iunganturcriam bl qui quinarii numeri dupli lunt.Mam Mper. Z. lunt.r. super.7.sunr.s. IWicrgo st iuncti sunt fac nnr. :o quorS gnarius rurstis medietas est.Ildoc ide; in omnibmume sris cuenir: v sq; vum ad vncrans rerminu; pcmeniri que m. Sola enim vniras circst se vuos terminos non baber: atq; ideo eius qui est prope se solius est medieras. Nam iuxtavnum solusestbinarius naturalitereonstuutuscu ius enicas media pars est. Suarc constat prima,n esse -onicatemcunccoru; qui lunkin naturali oispesitionc nu merorum 7 eam rite totius quauis prolixe genitrice n' u raliraris agnosci. <17 Diuisto paris numm. Laptm § Aris aurem numeri species lunt.r' Lst enim p vna qu? vicik pariter par: alia vero pariter im par.tcma impariter par. St contraria gdc;: lo caqueoptinentia suminitzrnm videntur esse pznrerpanrparikcrimpar. -Medieras aurem quedam qux vtromP panicipat cst numerus qui vocatur impa nterpsr. L7 Denumero x-smerpari eiusq; proprietatibus. Capitulum. Artter par numer^esttg potest in vuopana vi p msti:eiusqz pars in sila vuo paria parriscr; xs in siis ouo paria: vt boc totiens stat, vsq; du; viuisto pgstium sst instiuistbilc naturaliter per umiatvnitZtc). Llt.64.numc us!>sbctmc6icrstcz.Zr. blcautmestlerstem.ist.bicvcro.s.buncquoq; quaterna nus in cqlu partikrqui binarij ouplM. sest dinsri^ vni taris mcciiersre oiuistirunqux vniras nsmraliterstngs laris non recipit lectionem. ISuic numersvicictur gcciste revc quxcuq; eius suerit pars cum nomine ipso vocabu »SB psrirer psr inucniawr:tum etiam quatirare. Scst tstco miliivistctur dic nuincr^parirer parvocatus: quocl cius omnes partes ? nomine ? quantitate pares pari--ter inumianmr. Suomosto aut r nomine? quiritate pa-res kabear parres bic numerus post oicein^. Il)o:u;au/ rem gmeratio talis est. Nvvnocnim quoscuqz in vupli/ li.ppo:tione notaveris: semp pares pariter procreantur. O>:eter dane aurem generationem vr nsscanniralirer im postlbileest.Dui^aurezreitalcvistcturpcr orstinLSscri ptionis exemplum. Slnrqz cuncti vuplices ad vno.l. 2.4.s.t6.;r.64.t:s.-56.5ir.grcpbinciistsrin>inirs.p^ srestio.-taicsmncros inucnics.sacriq; sunr abvno in ou plici proportionem omnes sunt pariter pares. Zlust aut non minima conststcrgkione vignum est: quocl css omnis pars ab vna parte quacuq; qux inn a ipsum numerum § venominatur.tantAqz summa; quatiraris iclustir:quora pars est alter numer^parircr paris illi^quieum continet quZnrstts.Ztaq; stkvt stbi partes ipkx responsteant: vr qnora pars vnaestttanram babear altera quatirarem: et quora pars ista est:ranta in priore sumin-i nccestc stt mul Ukuclmisinucniri.Lrprimumstt stparesfuerint vjspo kttones:vt oux mcstic partes livi rcsponstcant.post vero qux mper ipsas stinr libi inuicex converrantur: arcn boc iste; stat oonec vterqz termin^extremirares incurrar.-Ko narurenim pariter parisorstoabvnovlqz.iig. bocmo-sto.i.r.4.?.i6.Zr.64.irs. realit summa maxima.W boc igitur quoniam pares oisposttiones sunt: vna mestie tasnon potestinucniri.Suntigimrvuxustest 8.7.16. que conststcmnstx sunt quernzstmostum ipse libi rcsponste snr. Totius enim summe istest. i r s .octaua pars est. is. se xtastccims.s.llvursus superbas partes qucsuntupsxst-bi inuicem responstcbumnstest.; r .7.4. Mani.; r. auar-ka ps est rorius summk.4.verotri§csimgsccunsta. istur-fus super das pancs.64.secunsta pars est. r. vero strage kmaquarra.Donec exrremitarcs limitem sacianr:quas vubium non est eastem responstone gaustcre. Est em ois summa stmcl. i is. vnusvero cenrestm^vigestmus ocra- ' vus. Si autem impares terminos ponamus istest sum-masristem enim terminos quocl summas nominorlecun stum imparis naturam porestvna niestieras!ucniri:akqz vna libi ipsa est responsura. Si enim ponarur bic omo. r.7.4 §.i6.;r.64.vnaerttsolamcstietas istest. §. Sui. r.iummcrotiusparsestoccaua rstdupstast vcnomina-rioncm quantirarcq; conuenimr. Eostcmcpmosto licuc superius circa ipsum qui sunt rermini: vonamstbi mu tua nomina stsm proprias quankirares vocabulumq; pcrmurant.a^am^.serrastecima pars csttot^ summe. 16. vero quarta. Gt rursus super dos terminos.; 2. stcu sta pars est tori^summx.r.vcro trigestma sccusta: 1 stmcl tlM >u>nmg. 64.mnt: stragest maquarta vero vnitas rue mtM. Iksoc izimr est quost oicrum cst:omnes ci^ partes 4 nommc-r quantitate parirer pares lueniri.Docquom x>num iungas kisqui sequunt vuob^:stunt.Z.rstest sturno miu^qusternario castunt. Stlisuperio:iv^sststgs.4^unt.7.quigbcxkonarioscqn tesola vnikste vrncutur.^oest steosstcm.g. stipiasticsast junxcris.is.kenr.qUtpar.iL.numcricxistcrerquaMita tiniill mino: vnitas impestiret.Docautcm prima eriam numeri progenies strugtatqzcustostit. 'Mamqzvniras qux prima cst:ouov^subscqnentib''1ola cstvnirare cotra ctio::vnstenibil mirum est:totumsummxcrcmcnm;.x/ pnoconsentirep:incip>o.Dxc aurem nobis conststcra tro maxime prostent in bis numeris cognosccstis quos iuperstuosvcl imminutos pcrscctoscp nronstravim^. Illic enim coacervata quantitas partium numeri tori* termino comparatur. 'Illust quoq; nulla postuin^ob> liuione translnirtcrc:quost in boc numero rcsponstcnri-busstbi inuicem partib^multiplicarisimaiAr cxrrcmi> tas ciusstcm nnmcri suinmaq; constcimr.Erprimu; li pares fuerint oispolitiones mcstil multiplicanrur:atq; i-clequi supcripsos sum: vsqzastlupravictas cxrrcmir^ tes. L»i enim suerim pares oisposmones:iecustum na^ rmam paris vuos in mcstio terminos contincbut: vt in ea dispolitione nnnrerorum in quaextrcm'tcrmm". irs. linitur. In boceniznumeromestierarcssunt.s.sc; -r.is. quein se muiriplicarximaioris summa crestemc plurali tateconstciem.Sctiesenim.i6.vel ststecies.s.si multipli «s. ir§. stimma concrescit.LltP ki numeri qui sux coistc sumli mulriplicemuristem sgciunr.lklam.4.^. Zr m st st mulripiiccs:sup:astictglnsacicntexrremitatcm.4 .eni trigles, vis:vclquarcr.;r.ducti.irs.lmutavili ncccstt tarecomplebunt.Arqzdocvscvast exrrcmos terminos castit.istcst. 1.7. irs. Semel mim extremus termini irs. cst'Lenties viqies gtctz otticsvnitare mulriplicaramibil ve priore qualitate murabitur. Si autem impares luerit vispostrioncs: vn^mestius kermin^inmnimr: atq; ipse stbl ppria mliltipIicgttoneresponster.In eomq; orstie numerorum: vbi extremus termin'.64.pluralirate con^ clust,rur:solg inucnilurvna mcsticras:istest.s. Suam st octies istest in stmctipsg; multipliccs.64.explicadit. Llr lVistcm teststumill! qui superbam mcstikkarcm sunrvt oustum bi qui super vuas postti laciebant. lNam quarer. I6.64.lum.-1 sestccles.4 lstcm complent. iNurstis bis. Zr.facti a.64.non discestunr:7trigics bis vuo r eosstem cuniulant:4semcl.64. vclvnitas sexagies quarer muiti-pUcats:cunljem numemm stnevlla varittatc restituent. L7Dcnumcro parirer impari ekusque proprietatibus. Laplm. io. Zrirer autem impar numcr^est qui 7 ipse qui p stem paritatis naturam substantiam que sorti rnsest:iest incontrariaoiuistone: namrx nu> mxn pariter paris opponitur.Docebimr na/ qzttz longe bie vMmilt mrionc vluistatur.l^am quoni g,n par est in parres cquales recipit sectionem parres ve ro cius mox instiuilivilcsauV insecabiles permancbunr vrstmr.6. o.i4.is.rr.7bisstmiles. Mox enim bos numeros st in gemina fueris viuilione partimsnnmrris in imparem quem secare non poliis. Slccistit autem b s quost omnes panes contrarie venominatas babenr: H lunt quantitates ipsarum panium qux venominsnrur. Meq; vnqua steri porcst: vt quxlibctpsrsbui^numcri eiusstem generis oenominarioncm quantirarcm quc suscipiat. Semper enim st ocnominario stierir par: quantitas panis erit impar:? st stierir vcnominatio impar:quL tiras ertr par: vr in.ig.sccunsta eius pars est: istest mcsti» quost paritaris nomen cst.y.quc impar est quantitas. Tertia vero qux impar est vcnominakio:scx:cui psr plp, ralikascst.ilvursnsstconuertas sexta pars qux par c nominario.rrcs sunt:festternariusimparest. Et nona Pars quost impar est vocabulum. 2 .qui par uuincrus e. Lltcp istcnl in aliis mnckis qui sunt pariter impares in uenimr. Weqz vnqua stcri porcst: vr cuiustibet panis.stt eiusstem generis nomen ? numerus, /it aurem boru pro creatio numcro:um:stad vno oisponanmr quicuqz vuo-bus visterunr-istestomnib^imparib^ngrurali sequentia «P orstine constituris.Maq; bi st per binarium numc- sa Z Ak-itkmetiez. mm multiplicentur omnes pariter impares:rite plurali ras dimensa cssc,cr.i^ongturcnlp:imavniras.i.,post bunc qui ab Iroc duobus disteir:istest rrcs:, post bunc g rurstis a superiore ouob^acst.5.2 boc in instnirum: , Nt buiusiN'stioispostio.i.z.5'7.9.11.1^.15.17. iy. Di ergo naturalirer sequentes impares stinr: quos nullus in mestio par numerus dillingmr.bos ll per binarium nu-merum mulciplices:essicicskoc mosto.bis vnum iclest. qui oiuistimr quistcmssest ci^parresinstiuisibiles rcperi-unturpropr insecabilis vnitatis naruiaz.Bis.z.vls. 5.bls.7.bis.9.vis.li.-rveinccpserqu!v^ngscumurbi. 2.6.10.14. I§. r r. sruosst oiuistas: vna; recipiunt sectio nein:cereram repustiantcs:quost lccunsta dinistoab impa ris mcstierare parris erclustikur.Dis autem nume? ast fc inuicc; quaternarii sola vistanria est. UssaP inter dua , sex numcros.4.lunr.lliursus imer.s.r.io., inter. 10. <.!4-rinrcr.i4.i.is.lcIcinqu.'.ternariusvistcrcnuam sa cir. Di naq; omnes quaternaria sese numerositate rran-icenstunr. Auost istcico conringit:quoniam primi g po stri luntistest eorum sunstamenta.vinario se numcroprc-ccstevant:quos quoniam per binarium multiplicam»?: in quaternarium numerum creuit illa progressio. Duo rnim per bis multiplicarirquaternarii laciunt summa;. Igitur in mmralis numeri vilposttione: pariter impa-res numeri gnko locoa seoistantssolis. 4. sep-cceclunr. Z.inmestiorrsnscunrrspcrvinarium numerum niulci-plicatis imparibus proci cati. Lonrrarie vero ee dicun-tur bx species numrrorum:istest pariter par:, parirer im-par.quocl in numero pariter impari sola oiuiklonem reci-pir maior cxrrcmiras:in illo vero solus minor terminus sccrione solumsest., quocl in forma parirer pans nume ri:ab extremitatibus incipienti:, vsq; ac! meclia proqre strcnti quocl continetur sub extremis terminis istcm est il li quocl continetur sub inrra se politis ssummulis. SliP boc istem vsq; ast duas incstickates luerit ventui» in »-spolikionibus scilicet paribus. Si aurem suerinr impa-res viipcMones quoclab vna meclietate constcimr boc iste; sub alti inscms poliris parriv^prooearm. Lires boe viq; oum ast cxrmniraccs processio star.In eaeniz vispo sttione que cst.r.4. s. 16.iste; rcststmir.r.per. 16.multipli csti.quost.4.per ocronariuin numerum ducti, lsscroque enim mosto.Zr.stenr.Suostst impzrstto:stovtest.:.4. L. istc sgeicnr exrreini quost nicstieras. Bis enim, s. sune is.quatuor quarcr sunt. i6.qui numerus a quaternario r sevucto pcriicitm.In numcrovcropariterimpari ll liie-rit vnus in mestio rcrminus.clrcu se postkorum termino rum ll in vnum rcstigsntUt nicstietasest.Lt istem eoruz quoqz g super bos suncrerminos mesticrasest.Llcq; boc vlix sst extremos omnium terminorum vt in eo orstine qulkstparitcrimpariumnun,ero:um.r.6.io. iuncr^vi nariuscum drnario.ir.cxpler.cuius senarius mcstictas invenitur. Di vero luerim vuc mestickaccs iuncte: ipse vrrcq; xquales erunr super le terminis constimris. vtc i» boc orstine. r.6.io.i4 'Iunccicnim.r.,.i4.in.i6.cre^ scnnt:quos senarius cum oenariocopulatuscssicier.Ar q; boc ui numcrosioribusterminisinitio sumpto a mcstj is euenit vss est quj v uistirin equas partcs:cuiusqz pars in alias ^bvwistiporest:, etiam aliquansto partes psrtiu; vi !! vscpast vnitarepregrestiaturxqua vllis iila vlstiiicrio: Vt suiit. I4.,.28. Di enim possunt muisti:, eorum MI sus parres inalias me stmaces s-nealiqua vubital-one soluuntur.Sunceliam quistam alij numen' quorum parres alias recipinnr viui Iloncs sest ipsg diuisto ast Vilitatem viG non pcrucnir. Igitur in eo quost plus tz vnam sulcipit sectionem :l?a bcrslmilitustlnempgrlccrparissscstgpgrircr impari sc-gregatur.In eo vero quost vsqz astvnum sectio illa non ouurm: parirer imparcin non rclurar: lest a parirer pari villungirur. Lonringir aurem hriic numero, vrraqmba beie qux superiores non babcnt:,vtraq; qux illi recipiunt optincrc. Er babcr quistcin quost vtr.q; non loabcnt quost cum in vno solus maior rcrininns oiuistcrerur: in s!ls vcro loius mmor terminus non Diuicjctetun in neqz solus maior rcrm.n^ omistonem rccipltrneqz minor solus terminus a viuillone se iu-igirur. Mg; ? pgrrcs sol uunrur, vsqz gst vnttatem sectio illa non pcruemr s; an te vniratem inuenicur rcrminus qucm secare no possis. Dprinct aurem qux illi quoqz rccipiunr:quost quxstgin partes c!USrcsponstent:ocnom>'nanmrP lccustuiu gcn-luum astpropriam quancirarem: ast stmilirustinem scii; parirer paris nuincv.Lllix vero parres conrrsriam vcno minationem sumunt proprix quantitatis ast pai iter im paris sstl; formam.'In. r4.mim numero paressquantl tas parcis a pan numero venominara. iNam quarta.6. lecunsta vero.ir.serravero. 4.ouostecima.:.qux vocsbu la parnum a qualirirgrisparimlcuon vlicrepanr. ssorra rix vero oeiomnaurur curn cercia parsocroiocrauavero. Z. vigestma auccm quarta.1 ,quc ocnominakioncs cu; pa res lintinucniunrurimpa rcs quantiraces., cum sturp» rcs summxssunrimparcsoenominationcs. 'lllascunrur succm tales numeri ita vr substantiam naturamq; suam r'n ipszclia; propria generatione vcsignenrrcx parirerpa rivus, parirer iinparibus procreati?>1darirer enim irn paresmncti oustuni orstinstim pollris impantssnascc-bamur.paritervcro pares ex ouplicipro gressione .Di-sponancurigiruromnes in orstinem naturaliter impares , sud bis a quarmor incboames omncs oupliccs er IlmbocinoUo. I.z 1^5 7 ! 9 > n I Ig I6j rr j 64> Irs ? ums Igirur ira ponris II prunus prinil muitipilcarione concrclcat:istcst st qustcrnar» ternarius: vel st istem pri-mtzglscmnstinstcst occonarij ternarius vel st istcm prrm' terrilistest. 16. rernarius, istcm v sqzast vltimuni.vcl ll lecunstus primi, lccunsti: vel st secunstustcrtij, castcm vsq; ast cxtrcmum multiplicatio proseratur, vel st rerrius a primo inclooans vlq; in extremum transeat. Mq; ira quartus, omnes in orstinem superiores multiplicent cos qui lubipsts in oisposttioe sunromncs impariter pa res procrcsvunt.Du us aurem rei talelumamus excm-pllim:sttrcsquarcrmultiplices.ir.stcnt:vclst.5.quaru or multiplicent.: o.numerusercrcscer:vcl stirc;.7.mul tipllcent.4.rs.succresccr:arq; boc vsq;in stnez.Avursus N.8.multipIicent.Z.nascenrur.:4.Di.8.in.5.stunr. 40. st.s.in.7.colligcntur.56.21tcpast bunc mostuzst omnes interiores oupljces:» superioribus multiplicentur: vel st superiores colstcm interiores multiplicent: cunctos qui nati luerim impariter pares inuemcs. LIrq; bxc ei! zstmi radilisbuius numeri to:ms:quost cum tucr.k ipsg ossoa strio ocscripboq; perspecta numeroru;: ast latitustine; pa .....- «ulmiluainc; pa nrer lmparmm:zst longimstinem pariter parium nume rorum proprietas invenitur. Sunt mim ouzb^incstie- ratib^ xquales ouxcxtrcmirgtcs:vcl vna mestierare vux vuplices exttemltares. In longimstineni vero parirer pa nsnumen remproprictatcmcvdcstgngt Suostcni; 18 vusbus mcstiecaribUL continetur: cqualecstcr quost stiv earemioconkcilur:vcl quost ab vna mcstetarc nascitur: xquale'estillijquost sub vEp extremitatibus conrinec". Dcsmptio autem qux suppostta css looc mosto tacra est. Suantoscoq; in orstinx parirer parium numeroru; ternarius numcms MUltiplicauil: quicuqz cxco procreati Aritbmetics' «Mrprimoiiin^verki vispoilti.^msusquieoLe; mui velinptionis parte perfecimus. tVlicaiue quinario nari sunt: secundo loco constituti i'ur P>ost vero quos sepkenanus exteros mulriplicanclo pro erezuitrcosciez ccrtio conscriplimus loco: gtP iclc reliqua L7In bac formula sequenti stmilituZo pariter paris er parim imparis aci imaprirer pare ostenclirur. ; I 5 I.7 t 4 8 s s ;r s Longi H5r. luNo L 'S vi opw 'ssLor E7 Descriptionis sS iMpsriter paris in lacicustine: klo SMiLnc aa pariter paris namra; perrinemis expolitto. Lapituium. ir. . . . . Nperius igitur vigest? oescrrpttonis bxc ra, » rio e.Si aci latitusine respiciasrvbc e duorS kermino^ vna meclirrasupsosq; terminos iki > Nsrvuplos eos meclictattppria repies vt.;6. meciierasest.rs>gmecii^est mrer ros tEM conNilmus.Sk rursus.rs.v.ir.ll inngss fa cmm.^.qus? .romcci«ies.n.96. cnulriplicstis. !i5r..pcreank:vue vo co^ mEcrares ilicst.r4.r.4z.q j» femetipsasmultiplicenkrcoM.iisr.restlmcr.Likmdoc k ack imitationt cognariontq? numeii parit paris' g quo pricipatoe cracca laxc ei recognoscit i gcncraka punctas numm 5t l quo dac^p.iLtatL ce suprz jg scriptu c/iiU» De mimcroiniparieiusqzoiMone ^ Aritdmtticz. Lvpar quoctz numems est:qni a paris nume t ri namra substanliarx visiuncssest.Siquistc; ille i gemina mebra xqua oluisti porcst: bic ne secari qucarvnitatis impestir inrementus. Tres babct similiter sul, vinisiones.qus? vnaei' pars c is numerusquivocaturprim^incompMus.Sccusta vero g est secustus 7 composit^.Ertcrria is qui quadam korum mestictateconiuncr^est:7 abvtriusq; cognatione sligst nawralirer trabir qui est per se gstem sicunstus -r co positusssest acl alios comparatus pum' r incompostkus inuenimr. . L7De primo 7 incomposito. Lap. 14. T prim^gstcm 7 incompositus est g nulla ali-e am partem dsder nisi eam qux g tota nuineri quatirare oenominsta sit.vt ipsa ps no sic ni kvmtasvrsunr.Z.5.7.n.iZ.l7.iy.r?.ry.Zi. ssn bis er«o lingulis nulla vnctz alia pars inuemelur.ni N qux sv ipsis vcnominara est:-r ipsa tanru; vnitas vt sii pra iam vicmm est. 'Zn tribus enim vva pars sola c.istcst terria:quca triv^sc; venoininara est:? ipsa tertisps vni-kgs.Lociemq; mosto quinarij sola gnra ps cst.-r bcc vni tzs.atP istem in lingulis conlcqucns rcpcriaur. Dicit aurem prinis incompositus quost nulluseum alter nu-meius mcriarur.prcter solam quccuctismarcrc vnitace. 'KaqztrrnsriS.r.non numcranrustcirco qm 6 solos du os corrrra rres compares pauciores sunt. Sinvero vinarium dis lZcissrampllorem mb^cgncrescilin. Z. siderit autnumerusnumcrumrquoriens vtsimelvelbis vel tertiovel quorienstivcr.numerus ast numeru comparatus neqz oiminurg summa n«V aucta acl comparari muneri terminum vsiVpcrucnilvr duo lisst.6.comparcs:dina rius numcr^scnarium tertio maiecunpumos ergo cin> compositos nullus numerus meriemr: preker vniratcm solam.qm ex nullis alijs numeriscompositi sunr sist tm crvnitstib^in scmcripsisacvrismultiplicatisqz procrea mr.TercniniVt!'.;.7 qiiingegvnusquinm.e septies vn^.7.siM Mir.Lrslii qZxni quos supra vescripsim^co-stem mosto nascuntur. Di aur in lemcnplos muttipilca-ki laciunt alios numeros velur p:imi:eoscV primam re-rmn suvstsntiamvimB so:titos:cucto:um a sc procreatorum vclur questa elemenra reperies.q: sc; 7 incomposi ri siint: ? simplici generatione so:inari:arqz in eos omne» gcuP ex bis.piari sum numeri resoluunk: ipsi vero ncq; eralils v:ostucurur:ncq;in alia restucutttur. t^Desecunsto-r composito. Lapkm. 15. Lcustusvero7 compositu s 7 ipscgstein ipsr 5 estpprerea quost eastem imparis proprietate format^cstsscst nullam in se retinet substantia; principale compositulq; est exaliss numeris, dabekq? panes: 7 a scipio rab alieno vocabulo oenoini-nstas.sesta seipso vcnominara parrem sola lemper i Ins inueniesvnirarcm.ab alieno vero vocabulo vclvnam: -vel quoklivet slias:quati fuerinr sc; numeri qd^ ille co-poliris procrcamr.vt sunt vi.y.ts.ri.rs.r/.Zz.Zy.Do^ rum ergo singuli babenc qstem a se denominatas parres proprias scz vnitstes.vt.9 .nonam istcst. i.i5. gnrastcc, ma;:eanstem rursus vnirarem.-r in exteris quos siipra ve scripsimus iste conuenir.Daventeriaz ad alieno vocabu lottem.vr.A.tcrtism.istestternariuz.r.is.rertia iste. 5.7qtsintam:istest.;.r.i.verokerlia;:istest.7.^ptlmam. Z.-r in omnib-aliis eastem consequentia est. Lvcunstus aurem voearur bic numcr^:qm non lola vnirare metitur ke6 ettz numew g quo t(Z conmnctUse^.MeG bavz ln scqmcqua principalis inrelligentix.Msmex aliis MI mens procregtur.y.qulstcm ex rridus. 15. vero ex mb?. ^-snrivus-r.7.-r cercri costcm mosto.Lomposit' Eui porest in eosstem ipsos a q-^^""^^r>^likus:in cos scilicet qui compositu posirum kst.sist vl rcrtz necessitate compositum. L?De eo qui per sc secustus -r compositus ast alium pri musrincoposiruscst. Lsplm. is. Zs vero contra si politisnstest primo -r i ncom- b posiro: r sicnnsto -r composito -r naturali diuer siratedisiunctis:asi^in mcstiocosistcrawr. qui ipse quistcm compositus sit -r secustus: -r alrcn^ recipiens mesionc;:arqz isteo-r partis alieni vocabuli ca psx:sist cum suerit ast c lium eiusste generis numeru com paramsmulla cum eo comuni mensura coniun riturmcc bavebunrpaltcscqniuocas vr sunt.y.ast.:;. nulla bos comunis numerorum mensura mcrikmmisi sorte vnirgs qux omniu; numcrorg mcnsiira comuniscst.Ek bi qui stem nondaventxquiuocas parres. Mgm qux in.y. tertis estuy.r;. non est:r qux in. rx.qnintacstrin noucnario non est.Grgo bi per naturam vrriq; semnsti -r compositi sunrrcomparati vero ast siinuicem primi incoponriq, rest stunturrquost vtrosq; nulla alia mensura metitur nisi vni tasquxsb virisqz ocnominara est. Mam in noucnario nonaest:in.r5.vigcsimsqulnta. L7Depr,'mi-rincopositi:7 secunsti-rcopositi:-rsst siqui stem sicunsti 7 compositi ast alterutrum vero primi -r inco positi procreatione. Lap. 17. EmeratioantcziploruzakB orws buiusino- g sti inucstigarionc colligimr. quam scilicet L> a tostenescribruin nominabat: qusst cucris irn parib^in mcstiocollocaris percam qua; rracli turi sumus arrcm:qui primirquive lccnsti: quique rem, generis visteanrurcste vistinguimr.Disponanmr enim a rernario numero cuncti in orstinczimpercs.in qualrb; longissima;porrectionem.^.5.7.y. n.iz. 5.17.19.21. 2Z.r5.r7.ry.Zs.ZZ.Z5.^7.;y.4l.4?.45.47.4?.Dis igitur ira visposiris consistcranstum:p:im^ numer? qnc; coru; qui sunt in orstinc positi primu; metiri possit. S; Ouob"p:ekcriris illum qui post cos est posirus >nor meti rur.Lrsi posteunstemipsu; quem mcnsiisest: alii duo transtnissi snntrillu; qui post vuos est rursus mcrirnr. Ltincostcm mosto si duos quis reliquerit: postcog qui est g primo numero metienstusest.Eostcq;mostorcl eiis semper vuob^a primo in insinimm pergentes inerremur Sest ist non vulgo ncq; conluse.Mam primus numcr^ illum qui est post duos lecunstu si locatos per sua quari tttem metitur. Ternarius enim iiumer^ertio.9. mcrik. ^>i aurem poli novenarium vuos reliquero: qui mibi post illos incurrerir:a pruno metienstus est per sicunsti imparis quantikatcmnstcss per quinarium. 'Ua; si post, y.vuos uclinquam istest.ir.^.rz.tcrnari^ numerus 15. mtticmr per sicunsti numeri quatirarem: istcst per quina ni quonia ternarius, is.qinquics merirur. sixursiis si a quinstensrio incboansvuos intermisero: qui posterior positusestviusprimusnumems mensura est per ter ti, imparis pluralitatem. Ikam si nost. 15. intermisiro I7.7.t9.incurrik.rt.que; ternarios numerus sicustuni septenario mctirur.2i.cni numeri ternarius septima os est. Sltq; boc in insinitn laciensireperio primu; nunicm si binos intermisero omnes siqucr-tes post si ,nen>i svS stum quantate; posikvru; orstine impanuni nv,mro'S Si vero qumarrus nuinerus qui.in sicunsto loco est stltucus-vellrquls cuius prima ac veinceps sit mensura inucmrc:trans,nllsis.4..,i,par,busquinkugciqume tirl posslt occurrlt.Inrermirranturcni;.4 i,nvares istcst 7.^y.r.i-,7.i;postbosestquimus°mmu^ nanus,metimrssccunstum primi qnantzicm-lstcst rernaru.qulnqzem.ix.tcnio metinir Acvcinceps si qr tuo: mrermlttar eum qui post illos locatus est: sicustus lstest qulnarms mi quantitate metimr Plam post quin stcciminrernMs.17.7.19.7 ' 1 7 ^ postcos.r5.re perio: quos quinarius scilicet numenis Ma pluralitate metitur. Aulnqnies enim quinario multiplicato, r 5. succrestum. Sivew post kunc quilibct.4. intermittar: eastem orstinissttuataeonstanna.quicos scgtlir srcustu; kcrtii.i.septenarii numeri summam a gnario mcrietur. Llrqzhxcestinstnira.pccstio. Si veroterrins numerus qucmetiri postit erquiritur:scxin in stiore!inquenMr:r quem lcptimum orstomonstraucritrbic pcrprinri nume ti.i.tcrnarij qnatiratcm mencnstuscst.Ek post stlnm sex slijslnterposirisiquem post cos numeri scrics dabit: p quinarium i.per se bm terni eu; mensma percurret. Si vero alios rursus ier in mcstio qs relinquanille qui sequi mrpcrseptenarium nnmcru adcostem septenario mcric stus cst:istest per terris qualitatem. Drqz dicvsq; in ertre mnm rarus orsto p:ogrcstitur:L>uscipicnretgo mcriesti vicistirustincm:qucmastmostum sunrin orstinem nam ralircr impares constit«ri. sll-ericinuraut st per pares nu meros a binario inchoantes posttos inrcr st impares ra ta intermissonr transtliannvt primus ouos: scmnstus 4.ternus.6.qusrtus.s.gntus.ro.^lclst locos-uoscon stuplicent r stdm vuplicarionem rermi, os inrermittanc vr ternarius g prinms cst numerus 7 vnus. ( Sis enim p:irn*vnusest)bislocum suumultiplicenlaciatq; bis vnum.QnicSduostnk-prim^ouosmestios rranstar. astursus sccunstus iclcst qnarius:st locuin stiu; vnplicer 4 .erplicsbit:b'c qnoqz.4.intermittai/Ztem st septenari? qui tertius est locum iun duplicenicx creabit. Bis enim Z.senariu iungunt.bicergo in orstincm stx relinqc. Suar kus quoq; st locum suum vup icct.scstccrcstenr.illequo qr.s.tranllliac.atq; looc gstcm in ceteris perspiciendum > LOostum autme-stonis scbm orclincm collocator» ipsa feries dabir.lsiam primusprimu quem numerat: stcu cluni primu nunreraknstest s custum se.? sccustum prini^ quem numeral:per stSm numerat.? tertium per tertium -r quarcu irem per quartum.Lum am secustus mcnstonL susceperit primu qu m numrrat stvn» primum merirur. stvmvero quem numerat per st.iclcst per lcbm ? tertium per tertium.-r inceteriseastcmsimiluustmemmsuracon stabit. Alios ergo st respicias: vel q alios mcnst luntt vel qui ipstsv aliss mctiunrpnucniesomnium limulconm nem mensura,n este non polst.ncq; vt omnes quoquam alium stmnl nunierenk. quosstam autem cr bis sv alio poste metiri ira vrabvno rancum numcrenr. alios vero itetis a plurib^.quosstam auremvrprcrcrvnitareni cor» nulla meniura str. §)ni ergo nullam mensura; pretervni taremrcnpinnrrbos primos? incopostros iusticamns.g veroal quam mensur m prcrcrvMtaccm vel alicnigmx psrkisvocavulum fortinrnrr eos pronucicmus sccustos grq;compostros.Tmiumvcroillust genus per ststcun qi?copostti:primivcto?inc5postki astaltcrurrum copa »ari' bsc inqstro: ratione repericr. Si eni; quostib; illos nnmcros sccustum lua; in stnreripsos multiplices quari tatem:qpcresnknrastalkerurrncomparcti:nul!amcr>surx comunione iungunkur. Tres k""" 5 " ^ trcg tertio.a.iaciunt: r qnqulcs.s.reciclem.. 5. II. sg lgik nulla est cognakiocomunis mcnlvrs. l"b.. .7.quos pro creant st comparcs:bi quoq; inc^mensutablles cruk. Lmnqcs enim quinqzvr vicmm est.: -unr.49. sr^orum mensura nulla comumsest. nrst lo.te ommuin borunr.pcrealrix? mstcrvnilas. De inuenk-one eorum numerorum qui ast st iccunsti ? compviltt luntraq aliosvero relati primi? incoiupentl. Cavero ratione ralcs numeros inucnire posti q mns:st quis nobis eoistin proponat ? iinpet agnoscere vrmm aliqua meniura cSmeulurabl lcs stntran cerre lolavnitas vtrosqz metiatur: rrpmenstiars tallsest.Dsris cninr ouobus immerisin xqualib^.austrre ve msiou: minore; oportebit.? qnirelr a^tuerirrst inaio: est:aurerre ex eo rursus minorem: st ^ ro minor suerit cuz ex reliquo maiore vekrabcre. 2lrq- l^ve covsG sac>cnstu:quoaclvnirasvln'mavl'ce retractionis im pecliar:autsliqsn»mcms impL! ncccstarioli vrriq; nu meri impares.pponanrur. Sccl cuni g rclinqtur numer: stviipstviqcviscqualcm.Srgostinvm-mincurrarvicis' stlnista subtracklo:p:i,ni contra sencccllario nunicri oice tur: r nulla alia nicnsura nist solavnitateconiucri.Lnvc toacl a iquem numcm; vtsuperius vicrnest:rinis vimi nurionis incurrerit:ctirens nunicr^ qui incrictur vrras «V snmas.arGeiiclem ipsum grcmanlcrir: oicem'vrro ruqzcocm estcmcnlurgm.Agccnim vuosnnineros.p^ posttos badcamus .qllos itibca innr agnolccre: an cos ali qua mensuracomnnismttiamr. Atq;binm.y. st;.?. 7 '.bocigitur s cicmus mosto reciprocaomnnuttoneim Llulcram^ve mgiorcmiiiorcup.boccstrve.ry.noucnatist relinqucnrur.ro.Sxbiscmo.ro.rutfns minorem detta dam^.iclest.5,.7 rclinqnknc.l.rssx bis rursus occrabo.y. velicti sunt.r. -Anos st oetrabo noucnario:rclicri mnr. 7. Quost st ouo rurstis septenario dcmpstrimstupci sunr. 5. arep erbis alios dnos:trcs rursum cruberank.qnos alio binario viminuros iolavnitas superstes egrcsttt. istur susstex vuob^vnumauseramnn vnotcrmin^omactio nisbprebit:qucm duorum illoruin numcrorn iclest.y.?. ',9.lolnm ncqzaliumconstarckinensuram.bos crgocS rrs st primos vocabimus. ScU stnt alis numeri nobis ea qemconcktionepropostti.i.ri. ? .9. vt quales bi stnr in uestigenturciisibimer suciinrinuicemcomparati. IKur s»s aufero oeina ore mino:is numeri quaritatcm.isest. y.vc.ri.relinquemnr.n.Lxbis rursus vcmo. 9. super sunr.Z.Quist ex nouenarlo retrabanrurstmari^relinque rur. Quibus irem st quis ternarium oemar.Z.relinqucn rur.oe quib^rres octralii ncqunt.atcybic? stbi ipst (qua lis.Mam.z.qui detrahebamur vsPgclrcrnariu; nume rnm pcmenc, unr.a quo quoniam cquales lum: vetrabi minuiq; non poterunt. Dos igitur comeniuraviles 4» nunciavimus?cst corum qui.cst 1 cliquus tcrnari^mcnsu racomunis. Llliapartitioparissccunilum perstctos implecros? v! rraquampstccos. Lapi. »9. L ve miparibus numeris quarnz introclucrio q nis permittebat breuiras erpccluum cst. istur sus numerorum p riunr stc str >'- cuncla viuisto. Mij enim corum sunc supstui.alii oiminuri st mclumvrrssqzbaviruqines incqnaliraris. QIs quippe inequaliras:sul in maioribus anr in minoribus constcle rawr.IUienim immoclersta qnoUSmocio plcmluZine: proprii corporis moclu; partium stigp numerostrakc pre «clur.stllos anremvcliiti paupertate inopes opprcNosq; quastain narurg stix inopia minor quam ipst sunr prium siimacoponik.arq; illi quiclem quorum plesvlrra qua sa lis Z stst porrexc, unt:supcrstui noiantur. vr sunt.ir. vck 24.M enim suispartib^coparari maiore; xrium stnr, ma;Mo corpore sortiunt, rkstenim duovenarij mcstie ras.S.ps terria.4.pgquarra.Z.ps strta.r.pars duosteci ma.l.est.Qlsq;I)iccumulu'recluclatin.i6.?rot^corpo ris sui multimclinc;vincut.'lsturstis.r4.nu»icri ineclie ras est.ir.tertia.s.quarra.6.scxra.4.octana rria: vuocle lima.r.vicestmaqurrra vnum qui omnes triglnra 7stx repenstunt.D qua re maniststum cst quost summa parti um maior est:? supra propriu; corpus cxunciat. Atq; bicqniste;qusnia;composttc parrescorm^stumnanu merivincunttsuperstuusappcllamr. Dtmlnm vcioil ie cui 'coste; mosto compostrc parres totl ternum multitu stincsuperantur.vr.s.vel.9 haberem; octona? i^parte mcstis;:istest.4.habet? quarta; istest ouo. habet? octa ua; istest vnu;qukcuncremvnumrestacte.7. colligunt: minorc; lc; summa? torocorporeconclustentes/istursus i4.babcrt mcsti^rate; istest sepkenatin;.hgbenr stptima: istest.: .bavmr quartastecims; istest.k.qnc invnu; st colle axilnimenarii numeri iumacocre cit:wtosc; tcrnrino Asttdmtticz. minor. 2ltctzki'qniclem boc mosto sunt: vt prior illc que sux partes superat talis viZcamr:taq; st quis multz' lup narurani manibus nams vrccnlimanusgisas: vel m-pliclcoiuncluscorporc:vrgcrion rcigenrinus vel gcgci viiP monstruosum natura in pairinns nmltsslicatione surnpuik.Iile vcro vrst naturaliter quacla necessaria pte detracraiauc,ninus oculo nasceretur:vrcvclopcc stonris vecjecussuiirvelquoaliocurtgrusmembromaturalc totius suxplenituclinis dispmstium lortircmr. 'Zutcr bos gntcmvclurintcrcqualcsinrcmperanliasureclijrcmpe rsmemmlimiris sortltuscst ille numerus qur peitecL vicik: virtutis sc; xinulato: qui ucc supervacua.pgrcMoe porrigirurmec contractarursus diminutionc remittitur seci mcciietacis obtinens rcriniuum suis (qnus partii neccrassaturabunclantia: ucccgcrinapia: vr sex vcl.rg. Mz,nq; senarius bavcr partem mecliam iclcst.z. 7 tertia tstest.r.7 sexta;iciest.i.qux in vna sunimas,reciaerx stnr par rorum numeri corpus suis partibus mucmmr.rL. verobabetmestieratem. 4.7 scprima;.4. ncccaret cjng iciest.7.postlcletquarlsmstccimam.i.7repcrics ineo vi cellrnam octauam.i. que in vnuiu rcliactx rotui» partibus corpus xquadum.rs.enimiunctx partes cssicient. st>erstctos enim numeros raro inue nics.eosq; sacile numeravilcs:quippe qui pauci >unt:-r nimis costanri orclinc procreari: at vo ssupcrstuos acoiininutos longemnltoslstnirosqzrepericsmcc vllis orcliuid^ pgssrm inorclinatcq; vilpoNrosr-ranullo cerro line generaros.Suntaurcm pcrsccri numeri intra denarium numerum.6.intrgceutengm»n.rs.iutra niiilcna-rium numerum.496.incra occem milia.8iis.Lt scmp bi numeri ouobus paribus tcrminanmi.6.7.8. 7 semp alternarim in bos numeros summarum line perucniur. Mam ^ primu sex deinclc. rs. i>dost bos.4?6.icicm sena Nus qui primus.postque.sl:s. icicrn ocrcnsrius qui sccunclus. Eicncrario aurem procrcarioqz eoruur c nra strmaq; nec quo atro mocto fieri possinrmec vr st boc mo fiant aliust quiclstam vllo moclo valear procreari.Dispo «lros enim ab vno omnes parircr pares numeros in orcli nem quoustp voiucris.primo sc8maggregabis:7 st primus nummis incSpostms er illa coacervatione ssacrus stc:tokam summana in illum multiplicabis que postcrL aggregaveras. Si iSocoaceruarione lacta primus -r inro postrus non inuentus tuerir seci compollrus r secunclus lmnctranIgreckregtP alium qui sequitur aggregabis. Si vo ncc vum luerit primus -r incomposttus: aliu rur susacliunge 7 viclequicl stat. S6 st primum incompost-tuq; repcries:tunc in vlrimx multituclinem summk coa ccruarioncm multiplicabis. Disponamur enim omnes pariter pares numeri boc moclo.>.r.4.s.i6.;i.64.lis sactcscrgoita: pones.i.ciqzaggregabis.r. Tunc respicies ex bacgggregatlonc qui numerus sacrus stt: stint.z. qui sc; primus 7 incomposttus cst:7 post vilitatem vlri-mum'vinarium numerum aggregaveras. Si igikternarium iclest qui ex coaccruzrionecollcctus est binari um muit.plics quicstvlrimusaggregaL:pci sccrusstne vlla vuvirarione nascetur. Bis cni.Z.6. szciunr. qui bz dem vnam quidem s le denominatam partem iclest sexta kres vcro meclietatcin ssni vualltatcm. sc vo vuo ssm cog-cemarionciii iclest ss,n tc,riarium:qin coaceruari tres mul lMlcgki sunt.Qiginriocto aurcin eoclem moclo nascunt. ^ ^upcr v nuin 7 duo qui lunt tres astclas seque- ^rpareni iclcst.4.scptenariam summam sacics 'nrema-s^^^^erumqugtcrnaiium consequerer ast-'L^ur st illam coaccrugtioncm multipli ^ s procreatur. Septies enim 4.rs.iuntqui est st«s partibus par:babens vnum a se par:babens vnum a se plex subluperparriens. denominatum iclest vfgcstmuocksuu: mcstietatem ;'o ssm binarium.i4.kmquatcm3rium.7.scptima vossm septe narium.4>ssm ommumcollectionem quartumstccimuin vuorqui vocabulo meclictatis opponitur. Lrgo cum bi reperti stnt:st alios inucnire scctcris:cacicm oportcr >aroe vr vestiges.-Honescmm vnum liccbit.7 post bnnc.r. 7.4.qulin scprcnariumcumulgnkurssccldcbLc duclum cxrilir.rs.perfccrusnumerus.Iiduicigiturqui lequimr pariter par iclest. s.continens iungamraccesslo.qui prioribus supcrucnicns.i5.rcstitUlt.Scci bicprimus 7 in-rompost us non est. Daber cnim generis alterius partem stiper illam quccst g scipsa oenominats:quinrsmclc cima sc; vnuatcm. Ivuncigimr quonia secuncinscst-» coinposttus p:crcrito:7 acliulige superioribus continentem pariter parem numerum iclest. 16. Sui cum. is.iun-ctus vnnmgc.Zo.constcict.Scclbicprtmus rursus? in compostruscst.Iiouncigirurcu;cxrrcmi aggregari sum ma multiplica: vtstanr seclccics.z1.qui.4ys. explicant. Il2cc autem est intra millenarium nume? persecta s suis partibusxqua numerosttas. 'Igirur prima vnitLsVlr-rurc arq; parentia non criam acru vel re 7 iM persec a e. listamstprimsmiplazsumpscrooepropostto orclinc nu mcrorum:viclcoprimam atq; incompositam: qua ss.P seiplam muiriplico:cgstcm inibi vnitas procrcarur. Semel cnim vnum ssolam efficit vnitaccm quc parcib ' suis xqualis est potentia solum cereris criamacru stG opere p sectis, 'lkcctx igitur vniras propria vir ure pertecta est quost 7 prima est 7 incopostra:7 per seipsam multiplicata seseipsaconssemat. Seci qm deeaquanrirarc qucpcrse str sictum estropcris sequentia; aci illam qux rcscnur aci aliquicitranilcramus. L? De, clara aci aliquist quatitate. Laplin. ri D aliquicl vcro qualitatis duplex est prima di S Uisto. Smncem; aur equslc cst: sur inrquatc gc quiUsikeriuscompararionemcnme. -Lr xquale quicicm cstrquoct aci aliquicl comparamm neqz minore summa insta estmcq; maiore kransgreclimrrvt denarius venario: vel rcmanus rcrnario vcleubitucubiro:vcl pes peciirr bis stmilia.Vxcaute pars lelarxgcialiquicl quan titarjsielestxqualitasnstulalitLrinstinisa est. Illutius cnim vicere potcstrquocl kqualitaris boc quistem tale est illucl vo buiusm cii. S mnis enim (qualitas vnam lcr uarinp:op:ia,nocicrarioncmensuram.Illu6 criani qS quc er quatiras comparamrmon alio vocabulo arq; ipa cui comparatur eoicimr. llstam queaciniostu amicus ami co amnus est: vicinus vicinonta oiciturxquals cquaii Jncqualis vcro quantirstis gemina diu isto est. Sccarur enim quoci inequslc est in maius arq; minus: quc corra ris stbimct denominatione fungunrur. lsslaP maius mi norc maius cst:7 minus maiore mmus est: 7 vrraq; no cisciem vocabulis quegcimoclumssni cqualitarcm ocist est seci diucrsts vistancibusq? stgnara sunr acl moclu discc tis sc; vcl vocentz: vcl cxstcnris vel vapulantis: vel quc cuqz aci aliqmst rcisra aliter denominatis contrariis co-parantur. c7Despe^malorisinxqlitgtz'7mkno:is. Lgptm.rr. ZliorisiSo incquglitttisgNP partes sunt Lst - mtno.ls.qucacimocium ipsum maius rninon stmp op-ponltur:quc m.nor.s spectcs itastngWtm^c>cb^ v. maiorlsbis q„x supraclicrc suntopponumur: vr cistle; noibus nuncupcnkssola tantu sudp'evos>rioe °lstanrcs Dlcrkurcmm lubmultipler: sublupcrparkiculans: sub MtdmttLca i6s L? De niuMplici eiust?) speciedus caruq; genetatlonit^ Laplm.rZ. Nrsus mulriplcr est pma pars imioris inequa-k litsris:cuncris a!i,s annqnio: natnraP p.xstan tior.-vrpaulopostvcmonstravtmus.Die aurem numems buiulmocll est: vr comparatus cum alcero: illn ronrra.qu§ comparatus cstvabcarplus q»a stmck. SS prmin >n naturalis numen vispostr!one coueinct.^.iq; acl vnumcuncri qui sequunfromniumorcline multipli rinmscquentiasvafielaresqzmstocliunt. Nctpmnii en» illest vnicare.r.vnplns.Z.mplus 4. quactruplns:atB ita -n orstincin p:szrcclienrcs:omncskcrunmr mulipti ccsqu-ritarcs. Suocl amem Oicrumest:plus H stmclnci a binario numero principium capir:2 in instnirum p ternarium quarcrnsriumB-rcxterornorclinem sequeriaq; progreclimr.LsnrrabuncVooistriminams est ille qui vocarur sub mulriplex-.-r bxc quocp prima minoris qua-titatis species cst.Dicakt numems bmoiestrqui >n alte rius comparatione p:oc!ucrus:plus H stmel niaioris nu mergksu!nmZ:lur.squZtiMtecum coxqualircr inckoZs xqualir rq; oercrmmans.Mm aur vico numerat quoci nicrirur. Si igi?ur vis solun, nmiorcm immev niino: nu memsmcriatur: subclnplus vocabitur, st vorer: stibtti-plus.s,quater: suvquaclmplus:2str per vccininstiium progrelsto:acicliraq;koascmpersud prepokriane nominabis: vr ouop subclnplus: knnm subri iplus.4« snbqirzclmplus Dpcllcmr^constqntntcr. Lum sure -naruralirer mulipliciras r submultiplieiras instnira str eorum qiioqzspcciespei proprias gcncranones ininst-nira conststeratione vcrsankur.Si enim postus in naturali conkuurionc numeris stnxri!os pcr suas consequentias pares estssgs.omn umab vno partu arcymipariu; se se stquenrium vuplic s erunt:? duius spcculariocs ree minus non oestcir.ijdonakur enim naturalis numerus bocmocIo.i.r.^.4.5.67.s.y.ro.iun.iZ.i4.i5.i6.i7.is iy.ro.Dornm ergo st primu; suinas pan m iclest.r.pmi vuplusenriclest vnikaris. Si vostquktem parem iciest 4>.secunck'ckuMs est: iclest vuoruz. Si vo terrium parc sumas iciest.s.rcrrij numen mnaturaliconstirurionc vi» ptuscst istcst rernsrii. SiVoquairum pareirranspinas istest.s.quarti numeri ictcstqiurernani ouplus S.^cleqz in cxkerisin instmrum stimStibus stncaliqno impcclimL to proceclit.L ripliresaur nastunrur:k in caciem vispost-tionc naturali vuo lcmperinkermirkzmf: -r qui poch vus lunr acl naturalm, nuinerum comparentur crcepto re, na tio:qui vr vniraris riplus str solum binarium prerermit tik. Aost VN' 2 vuo.Z.stint qui rripius vncus S. ifi ursus post.4.2.5.s»Nt.6.qur stmncii nnineri istest vuornm triplus k.lkurlus post.6.su,!t.7.2.8. -r postkos.y.qni rrrtii NUM- ti iciest kcrnWl rripius est. Acq; voc rclcm n, instnimm st quis laciar stnc ostenstone.pecclir. Sua- uplorum ^oqmcrmolncipirstqvis rresnumcros iu rermirkst.iQost vnum qnippc2.r.2..^.sunr.4.riUi pmi istest vnios quaclruplus rst.tsturlus st ru tcrnu ero qna rium:stnarium:2 seprenariumiocronarius Mibl quarrus ocairrintriplug.s.inrcrmilsisiqul viusM '^est lecuij» rm mm qugqfuplugest.At vo st postoeroms rernnnos ne ternuiero >ueu.y^,ig,7,ii.vuocjenririus qui stquir ter-' mr» numeri quastmplus est. Slkcp doc iZcm m instniru progreius nec,xq euenire:stmpe> cp vns terminorum intermlil-oncq crc5czracticcrlo:o:Sinrrss re multiplicis numm vices invenire miraveris. Si enim.4. imermir kssrgncuplus menikm gnlpr sexmplus. st sex septuplus sempcrq; lpnus mullipupraris nomine vno minus in trrmimonis vocabulo procresntur.Mam ouplus vna tnrcrmitkit:rrip!US.r. quscisuplus.z. qncuplus.4. rkt dnnceps gst cuncltm orclineni sequentis est. Erocs gcie vupli km propnss sequentlas pariuin numerorum p» res Ium.Tripli vo vnus semp psrterminus impsr sli^ mucniMr.ZMitUplt vorur usscmpcr parem custoili- unr quantitate. Lostimunrurq;>i quarro numero vno ex prioribus per orstinc poliris psnvus irci misto: pmo pgri viusno.post duc.s.intermisto senario, post buc.ir. transmisto vcnario. Llrqz voc iclcm in cxrcris. Suincupli vo propostrio km rriplicis strniliruciincm slrcr naum pa rivus arcv imparibus posttis orclinanir. Is'De superpartimiarieiusq; spccicvus caruqz generationibus. Lspl'm.:4. Aperparrimiaris voest numerus aci alrcrum cS f pararus:quorlensvavcctn serorum mino:cin2 parrern eius aliqua. Sui st minorie loavcar me-ck>tstem:vocatur seiqualrcr.st votMiain partem: voca nrr scsquikki tlus.ii vo quarram: vocamr sesquiqusrws. ^rstqnram: vocamr scsquiqntus. Sirq; vis nominibus i instnittlm vuerisnn rnstiiirum quocp superparriculari» sormspVgreclkiur. rkrmaioresquiclcm numen tomo vocamurrmmores vo qui >. aveiirur rori -r eorum aliqua xars:vnus suvscsqualrcr: al e- suvlesquitcrnus:alius fuvsclquiquarmsrallus Vo suvscsquiquinlus: arq; icte; Km maiorum norma mulnnictlncniqz protenUirur. Ao roaut macores numeros ouces:minorcs comites. Svp particularium quoqz ncstnltacst mulliruUorov cani rem quocl eiusqem species interminabili proqrelstone tunga tur.Iklau» sesqualter babcvir quiclcm vuces omnes post rcrnsrmm nunici u m naturaliter triplices. Lomins vo omnes post vmarium naruralirer pares: boc moclo. vt p musp:imo:kcunctusscvo: remus tectio comparmvrcr vclnccps.Deicrldanlu>cnim longlstimi vMus rripli-eium nalis numeri arqz vupliciiim: r strkoc macto. I.i!Zl4 2!6lyii 5, Ms s Issio^ 4>r'' i 2t4i6! 8 sio! Ir p4>l6lis .io! q^rirnus igttur versus continer nuineruni namraic semnctus cius rn'plic- m:rcrrius vo oupliccm:arqz in eo st ternarius vinano: vel st senarius quaternario: vel ircue narius Icnano comparccur. vel omnes triplices superiores st Duplicibus numeris consequenrivus opponamur rmiolia kstest st squalrera proportio nafec:ur.rres etii, l nt inrra se duo 2 eorn mecliam parrcm iclcst.i. sex quoq; co-tmenrmtr^ s. 4.-reorum nicclicratcm iclest.r. 2 nouem inrra st senarium clauclunrn cius mecliam parrcnclcst.Z. «vNemqz mocjo ii, cxrcris.L iccnclum vo st quis seciincla speciem super particularis numeri constcicrare vcstctcrcl »cl-fl sesaurrcrtiammtial, ranoncr-pr-iiar: ac oistiintio q - ^em^umscomparariomstgliscU.SciquikcrtruseN-c, minori comparatus baber emn stmel - cius ternam prL secl vi inucniunrurstomnibus g quaternario numero cS tinuarim quaclruplis constituris:a rernario numcro rri^ pl cescamparcrurvmntq) vuecs quacliupli: comites tti pli. Sirenim «n orcline voc modo numer^ urruralis: vr sub eo quastrupli:2 sub eo mpli stnt. supponatur stiv pri mo quaclmplo pmus triplus sub st6o secunclus: sub rcr-tlorertlus.-r coclcm moclo cuncri eiusclc primi vcrlus tn-pli in orclincm virigarur. Z,4!;!6i7jsl Irs 16 rolr4!rSl;rs y.IrIl5slzsrNr4s^ Eb Igirur primum primosicompa^Mluirerna,Uio con incbirur.l^ain st.4.trivns comparcs:babcbvt in ste 4.tomm ternarium 2 erus ternam partem iclcst.i. -rstst-«unclum stcnnclo iclest ocrcnarmm stnario compares: iclc inueniks:babcbircn!M ocrmarinsscnsriu rorum 2 cius tertia pte iclest.r.2pcresnclc iequknZ vsctzin instniku F greclicclu est. 1^otanstuqzest:q6.^. comites sun.t:vucrs. 4.'istursus.s.comires:vn>es.x.2 > eostk orMesMi stli movocank duces sesqtertmcomitcs subsclouitcrtij:2 in t imis pm bunc msclu postra conucnitkiuare vocabula. AMvnrctlcs. L7DcanoZam Vti1isstcs§nitionem luxer p«n»cuU,sibusaccistcnke. Lapkm.rx. Scaur astmirabileprvfunstisslmuq; in isto^ d orstmivusinucnicunquost primus vux pri> musq; comes gst se inuicem nulla numcri in--rermimone copulantur.Maz primi le nullo in mestio po lltotranseunkrsccunsti intcrponunt.i.rerrij vuos: quam' veinceps vna lcmpcr minore qua ips, snntinrcrmss fione succrescunt.AtP >)oc vel in sesqualreris: vel in ses quinremjsrvclin ali,ssupcrparticulans parrivusne^ cesse est inucmri.lKa que ur quaternarius contra ccrna^ riu comparcrur.nulluin intcrmillmus: post.z.cnim mox .4.sum.Ac vcro.s.concra.s.i» stcuoo iciliccc scsquitcr^ kior vna sacca est inrerurissio. Znter.6.en>m-r.8.solus est sexcenarius qui rranimissus est numeri'isturlus uc.9. conrrra.ir.coparcmusrqui sunr in oispostioe kertijrduo^ ra mestioxest sacra transmisso. D1ter.9eniet.ir.sunr.io el.n.scstmbuncmostum quarta oispoilrio.z.quinta.4. intermittit. <17 Descriptio per M vocckc;teris in?qu,liratis fp«ie bus antiquiore esse inulriplicem. Laptin.rL. dvniaaut nacmslirer -r scSm propria; orstinis ronscqucntiSrmulliplicein incqualiraris speciL cunctis prkpoluimusrprimaP specie esse mon strauimusrlicec boc nobis posterioris operis orcline cla> rcscarrbic quoqz perstringentes ist quocl propoiuim^pla-nisslme breuiterev ooccamus. Sit eniralis vcscriptts in qua ponacur in orstincm v sq; ast venarm num ern cS tinuinumeriorstonamralis.r cmnsto versu vuplus or cio ccxarurrtcrtio triplus, quarto quastruplus:r boc v sty scl vccuplu.Sic eniincognosccnrusqncastmostu; super particulari-r super partiemur cuccis alus pnnceps eric species multiplicisr-r quxstam alis stmul inspiciemus ec «st suvtiltace renuissimarr ast scientia vtilissima: er ast exercitatione mentis iocunstissims. -< »*« r / r 4 5 s 7 s s I ts r V" 4 6 » l 6Z 70 r IS -4 4" 4S 64 - X 7» ^ - so - rs r? 4; 54 -r - - ^7? 7» V SI < 90 i» s 4« 5g 60 70 -a 50 v loa - L7N«lio arqzexpokrio vigeltz forMUlk- LONgituaa. Tetragona. . ______________________________ - tur:qui.s.s.4.gnguIun,Mckpl'mtes:in vigenos termi^ Laplm.r?. . . numpEouplcxlstestprimzspccicsmulripl-cikaris 1»- ^uo prima latera zrpostts formulx qux ostenaituruta vr primus primum iola superet vnirate: '7?unrsnMium:abvnosst.io.-r.io.Mstcnria vr.vuovnumsecunstussccunstu binario iupemastanvr »k-piaamuk:?.bis sudmiores orstinc- tomMi qu-lttMMS dlvstlulmlttnuslcumin crivus: vc iens- riusrernar,'um:qnarmsquarruin quarernarij nnmerost rare rransceclgnt:vr. s.quaternarium:? percaiMem cuncti scqucmiam lcse minoris pluralitate prerereant. Di vero renius angulus gspiciatur.q ab.y.incliosns longi tuclincm laciruclmemqztricenrs alti ilccus numeris er--kcnclit.-r lffc cum prima larituclinc ? longituclinecompa-rerurrtriplcr specieb^multiplicitans occurrit: ita vt ista comparabo pcr.r.licrcram star.Diq; se numeri suxabiir secuclum paritaris sacram naturaliter connerionem.ipn mus enim primum vuob»s,iperat: vr vnum.Z.sewclus lecunclum quaternario: vt binariuin senarius, rettius ter rium sex: vr ternarium nouenar,us.?gcieunUc; exteri mo aum progressionis augcscum. Qmm rem novis scilicet ?lpsa naturalis oviecitintegritasmivil novis cena ma-wmantid" Vt in ipfo rnoclulo vefcriprions apparer. ^i quis aurem quarri anguli terminum qui sccleci; nu-meri quantirgre norarus eii:? longitnclincm larimclmL G in quadragenos vcrerminar vciir superioribus copa rare per.r.litterx formam proportione collara quaclrupli mulrimclinem pernoravit. Ildisqzell ordinabilis super se progrestio rr primus primum tri>Miperet:vr.4. vni rarem.Sccunaus securum senario vincar: vt occo bina rium.Lcrtius tertium nouengrio transeat: vr ouovena rins ternarium:? sequentes lumnmlx triuz se lemper acli eccs quarirare transtlianr. Lr stquis suvreriores aspiciar angulos iclc; pcromncs multiplicitatis species cisq; aci decuplum vifpofitilllmaorciinarionepcruenicr.Si quis vero in bac ocscriptionc superparticularis species requirar rali mocio reperier. Si eni lecustum angulu; norcr cuius est initiu qusrernarius.ciq; supenacci binariusratq; dunc sequentem quisaccomosterorstine;: sesqualtera p-portio declarabitur, l^am Mius sccuncii versus seiqual rerest:Vt rrcs aci ouorvel lex aclquatuorrvcl.y.acl.s. vt' tt.ast.S.Itemq; in cxtcris qui sunt in caclcm serie numc ri:stmlisconiugatiomisceatur:nullavariera'isoisslntili rucio snrripicr. Laclein ramen summav supergresso est l koc quoqz qux in vuplicibus fuit, lftuimuoeni; primn ulest ternarius binariumvno superatffemnstus vero se cuncium vuo il tertius rertium tribus ? deinceps. Si vero quartusorcio rerrio comparcrur: vk. 4. aL.Z.-reocle exteros orciine consecreris: sesquitertia comparatio colligi rur:vr.4.gq.z.vcl.s.gq.6.7.tr.giZ.-?.viUesne vrinvidus dis sesquitertia comparatio con lenietur. Ipreterea eos qui sub iplls sunt: ll istem faciens sequentes-verius alttrntriscomparaueris omnes stnevllo impeclimcto spe cies superparriculans agnosces.Doc aurem in liac est oi fposttionc oiuinum quocl oiiines sngtilarcs numeri rerra goni sunt.Lerragonusaurem vicirur vr brcuissiine oi ram quocl post igtiusexplicabitur.quem vuoxqusles mi meri multiplicant. Vl in batqnoq; velcriptioncest. vn» rniin lcinel: vnus est:-r est potestate rerragonus. Ire bis vuo. 4 sunt Ter Z.y.quos in scmctipsas multiplicatio nes Primi orciinis perlccere.Lircum ipsos vero qui fur i-kst circu angularesstongilateri numeri sunt.longilatc rosauk voco quos vuo MpergrecliStes numer» multi- plicanr. Lircnm. 4.cnim.:.sunt4.6.seciduonascunk ex vno? vuov?c» v nu vis multiplicaucrisnca vnitas a binario vnitske precestimr. Ser vero a duobus ? tribus dis em tres senariu reclclunt.^oucnarinm verosex-r. l:. rlauclunk.g.1' .xx^jhynMintur ?. 4 Ter enim. 4- n-unt.li. senanusvero ex duov^? tribus. Dis enim.Z. sgciunt.6 .quiom,ixg maioriv^ lateribus procreati sunt.Mm cum.s.ex binariorernarioq) na!cumur:trcs dinanum numcruinvng supererant cunckicp alis ciulcle mocli sunkrvtprlmo 7 lecuncloorstineacl altMitru multiplicaris kermiNlSpcrcemnrntavt quocl nascitur ex vuo dus longilatms airmecus pon^g ^ meclw tcttago-no retragon^sitiLt mrlus quoq er vuob"alttinsccus tetragonis:? vno meato longilarero bis sacro nalcicur: ipc quoqs taragonM.i vt angulorum torius descriptionis ack angulares tetragonos polito^ vnss anguli str prima vn!tzs:zlrcri'vcro q contra e rcrtia.Binivci oalrrinse-ms anguli secunclasdabeant vnirares.r duoanguianu terragonor: anguli cquu laciuntquost subipllswntinck illi quocl titabvnoillorum qui cstaltrinsecusangulorr. ieDultgcnlsuntgltaquxindacoescriprioncvrlllapoM aclmirabiliaq; pcrpcncliquxinrenm propter esstigaraiir introciucencli brcuiratcn, ignora este pmnittim '. lsluc vcroacl sequentia propoilrum conuerlsmus. Oe tcrtlg incqualikaris specie qux orcitur superparri ensroeqzspccicb^e^caruqzgenerattoiiib^. Lapi. rs. Luitur post ouas primas daviluctincs mulri i piiccs r supei' xticularcs: -r eas qux sub ipsis 1'unr sub multiplices:-! sub superparticulares tcrcia incquslitatis species iucnitur:q«rx a nobis superi^supcrpartiens victa e-Dec L aur qux Iit cum numer 'acl alium compgrarusDabz eum rorum infra sc:-r ci^in snpcraliquas ptes:vcl ouas: vel.Z.vel.4. vel quot rpaatruleritcompgracio. Suxbabikucioincipit a vuab^ xrilLlcrtiss.lkgm «i VU.1S meclierstes babucritrqui illu; inrra leromin coercct:ouplus.p supcrpgrrienre compo-nilur.IVabcbir aurem vel ouas rerrias vcl ouas qukras vel ouas septimas vcl duas nonas.? ira progrestientl-bus st ouas solas parrcs minoris numeri luperdaduc-rit:per eaiclcm partes imparibus numeris niinore ma io: suniZtransccnclit.Mamsteum liadear rorum? ouas eius quarrasLuppanicularis necessario reperimr.l^am vux quarrx meclickas est:? stt sesqu-lrcra comparatio. Si vero duas smas-rursus est superparticularis.Duxeni; sexrx pars tertia est. Quocl st in coparatione ponatur sesquitertie babirucliniscstlcict formam. Oost dosualcun rur comites g sub supcrparricntes vocantur. di aure sllt qui babenrur ab alio nuniero? eorum vcl vux: vcl.;. vk 4. vcl quoriidcr alix partes. Si ergo numerus alium intra se numerum dabcns essduas partes loabuerirssu -perdiparliensnominaturstverorressuptripgrricns.qS st. 4 .supcrquaclripartims. atP ira progrcciientibus in instnitunt stngere nomim liccr. Srcjogulcmeorum na ruralis est.quoricns visponuntura rrivus omnes pares akB impares numeri naturaliter pstituri:? lub dis apra Mr ali, qui sum a quinario numero incipientes omnes impares.Dis igitur ita oispostrisrst punLprtmossccuu clus sccuciortertl^tertio:? cxrericxteris comparcnmrssup partiens bsbituclo procreatur. L?it enim oisposttio doc mocio. _______________________ ' ? '4.. s !ii I i; I 15! i?I 2 igitur gnarij numeri aci ternarium comparatio s constclei ccur: erir supparties ille g vocatur supbi ptiens.II^ab) enimgnarius rotos in sctrcs? eo rum duas ptesncZcst.r. Di vero sci IcLui orclinS speculatio rcsersiur supcitrlpartiens proportio cognoscci.atctz in sequenkiv^per omnes vilposttos numeros oksin inst Nitiim species dui^numeri convenientes orclinarasq; re spicies.Acvero qumrasturocium stnguliprocreenttir st i Mstnttum qscuretagnoscere:biciuoclusest.Dabitucjo enim supcrbipartienris:st vrristV terminis duplicetur: semper superbi partientis proportio procreatur. Di en» quis vuplicer.5.facict.io.strrcgfacier.6.qm.io. conrrq senarium coparari stiperbiparticntcm sacmnt babitucli-neni:-r bos ipsos rursus st ouplicauei »s:iclem orsto proportionis accrescit.^cjeniqz st in innmtum lacies: starum prioris babimciinis non mutabit. Di vero supcrtripar ricntcs invenire conrenciis: primos supmripgtrientes iclcst.7.cst. 4. rriplicabis -r buiustuosti nascentur. Si vero qui er bis nari suerinr tcrnan, inulriplicatione p-o cluxerivustem rurlns efficient. Quost st superquastripar klentesqukaclmoSumin instnitu progreclianuir optes vl» sddlLcre:p:lmas eorum radices >'ir quadruplu; mulnpli ces licetstdest.p.?.?.? cos qui ilia multiplicatione profer rcnmrnursum in quadmplnm:? eandem stcri proportio nem in offensa nimirum ratione repencs.Lk extere species vna scmpcr plus multiplicatione crestentib^radicibus oriuntur. Radices autem proportionum voco numeros in superiore oilpollrione vescriptos. quast quib^omnis summa supradicrx comparationis innititur.In boc quo B videndum est: quoniam mm dux parres minore plus in maioriv^sunt-tcrtii scmper vocabulum stibaudik. Ac superviparticns qui vicirur quoniam vuas minoris nu meri tertias partes bavenoicarur superbiparticns tertias. Lr cum vico supcrlriparriensffuvaudiri nccesseiltsti-xcrrripartiens quarrss: quoniam rriv^luper quartis ex, uvergt.Lr supcrquariparticti subauditur superquadri-pg, tiensquintas.?adeundcm modum incxtms vno scmper sdiecro supcrdaviras partes subaudiris facicda c. vr eorum germana conucmentiaq; bis nomina bcc stnt. -vr g vicimr lupcrbiparriens.idern vicawr stipervuerti' Eui dicimr lupcrrripartiens is stk supertriqusrt^.? qui vicirur superquadnparkiensudcmvicatur superquadri-quinms.cademqzfimllinidiue vsPiuiustNltum nomi' na producamur. t!7De multiplici superparticulan'. La. 29. Eitur relarx ad aliquid quatitatis.simplices i i primx species bx lunr. Dux vero alix ex bis velur craUgb^prineipns coponunrur vr mul tiplices supcrparriculsrcs:-r'mu'tipliccs iup-partiens.boruq; comites suvnrultiplices stipcrparticu-lares:? submultiplices supcrpartienrcs. MNP in bis vt in predictis proponionibAiimores numeri 7 eorum quod speciesomncsadditalEpreposttione v-cunrur Euorum viff, nitio talis reddi porest. M ulnplcx super patticularis est:quotiens nuiner^ad numerum cornpar» rus:babctcum plulHz semcl ?ci^vnam parlem.doc cba/ der cum aur vuplum aut rnplum:aut quadmplnm: suc quoricnstlbck: r ci^qualibet aliquam psrrem: vel media: vel rcrriam: vel quartam velquxmnq; alia parstu; cxnbe ratione contigerit. Dic ergo 7 multiplici? stiperparticu-tari conststir. Suod enim comparatum numerum plusH semel baber multiplicis est. Doc vero quocl minorem in babendaparre transcendit: supparticuIatis.Iracpervrra q? nomine sacro vocabulorst. specieiq; illi^sd illarum lei-liccr stunt imagine,n proportionum.-er quib^ipse nume rus origine trabir.Mz pma psbui^vocaduli qnx multi plicis noie poffeffa ennultiplicis numcri spkra vocabulo noianda est. §)ux vqfuxparticulsris est: eocle vocabulo nnmpabimr quo saperparricularis numeri species vocs danrur.Dicemrenim qui vuplicem babuerir alium kM merum:? ci^mediam parrm,:vuplcx sesqualter, qui vero tcrtiamrvuplcr sesquirE.qui quarram:oupicr lcla qnatt^.? oeinceps.Si vcrotereumtommconkineat cr ei^mediarn partem: vel tertiam: vel quartam: vicirur triplex sesqualtcrrtri plcx sesquirerti^triplex sesquiquarrus ? eodem modo lN tctens.DlcekuePduadmpius se^usl tcr-qusljruplussesquite-ri^quaclrupl^sesquiquattus.? quotiens torum numerum in semctiplo continuerit: per multiplicis numeri spcciesappcllarur.quam veropar> «m compar, ti numcri clauserit: lccundum superparcicu Urem comparationem babicuclinemq; vocabitur. Dorum aurcm erempla buiulmodi sunt.Duplex sesqualter cst:vt quinq; ad vuo.babmr cnim.s.binsrium numex: bis ? e^mccliam idcst.i. Duplex vero sesquitertius c se-prenar» ad ternarium comparatus. §Ir vero novenarius ad quarcrnanu; vupler scsquiquarr^.2>i vero. u. ad.5. ouplcx se.qulqnrus.Et bi scmper nascentur vispolltis in ordinemavinano numero omnib^naruraliter paribus imparibus clUkjterminis:ll contra cos omnes aquinario numerounparcs comparentur. vkp:imuinp:imo:scea cium sccusto:te,tiu tcrrio caute 7 diligenter apponas. vt s>roi!polltio.kalis.______ ^ I 7 f 3 ! 9^0 i II l . l 5. sl/l 9 > I11 i; s 15 j ITsys 2l !^2Z I I vero avuod^pgrid^ommvus dispollrrsrer- s minis: illi qui g quinario numero incboantcs: g nano nnn,ero mrsus stse transiliunt comparcn-Mr: omnes oupliccs stsqualtcros creant vt est subiccra r I 4 ^ 6 8 ! io s I: 5 I, io i 15 20 s 25 I go s se kran lmant:? acl cos gprcnrur qui g septenario incboantesffeptenario scie numero rrsnigreciiun rur:omncs vuplices sesquirertij babita viligenrcr compa _Z I 6 t 9 I Ir ! 15 IS ! 21 , 7 ! I4i! 21 s 2« ! ^5 -4:, >..49l S mr:ki qui naruralis numcri quastmpli lunnvr VNitgtis qngclrupIus:7ouo:umrrium 14 s ^ ' S ruralis numen triplices disponam'':? eis a ve-nsiio numero venaris seie supergredieres ordine comparem^omncs triplices sesquitertii in ca rcrminorS continuatione proucnienr. ________ ;o' io ro ir 40 ti? De eorum exemplis in superrorc tormula inucnicdis Laprtulum. Zo. Sorumamcm couimqzqu! sequuntur crem k pla integre planeqApoffum^pcrnoraic: st in priorem descriptionem quam scc m cum d in perparkicuiari 7 multiplici loqueremur: vvrab vnovsP in senarium inulriplicarionu; stiiums conci cmnoiliges veliinus acumen intendere. Ad primum enim versum omncsqscquunturcollgliordinacascouementesqzmul tiplicis species rcddenr. Si vero ad secundum cuncros qui tertii sunr ordinis aptaveris ordinsrasspccics sup particularis agnosces. Euod st rerrio ordini quicuqz suc »n quinro vcrst, compares: supcrparkientis nume, i species pomasconuenienteraspicies. LVultiplcr vero stip-pgrticvlsris ostenditur: cum ad secundum versum oes qui sunt quinti verius serie comparantur vel qui sunr in septi,novel qui lunt in nonoatq; irz st ,q mstmru; str ista vescripMn mstmmm bu^proportionis specics.p-creabuntur. LVanisestum autcm etiam boccst-quod bo rum comites scmper cum stib prepostrioiie dicentur, vr c suvduplcx sesqualkcrffubduplex scquitetti^. luvouplex lesqurquarr'. ?cxtcri quidem ad Imnc modum. MDc multiplici stiperparricute. Ls. Zr. Altiplcr vero suppamcus c.-quoticns nume m rus ad nume^ coparst^dz in se alist nulneruz iorum plusquZ 5emel:« ei'vel vuas vel.;, vel qusrlibz vlures xnculasssecundum numen luppamentie figura Indor quoPproprercausamsupl^oiagm non erut vux medieratesmecp oux quarrxmeq;vuc serkxsscd oux rcr-' tix:vel vuxqmnrx:vcloucseprimxadp:io.'ciit similem eonsequencia.lklon eaiik ottlicile scvm prio^ excpla po litoru:bos quocp 7prxter nostra exempla numeros inue nire.NocabururP di scoin proprias pres.dUplcx supbi partiens: vel ouplex stipnapaniens: vel ouplex supqua-driparriens.Et :urlus triplex supbiparticns: er triplex suotriparkiens:? triplex supquadriparticns: 7 fimtl.rcr. Nc.s.ad.z.comparaki laciunt vuplicc 'supbiparticntcnr v.i6.ad.6.7 omnes gcucvav.s.incipicnrcs.ocronario se le,numero transgrediunk:compargti acl cos q a ri ib'iebo antesternari, scsequ.ikiratcprctereunt.i^cccrit visscile alias ei^prcs lcdmprcdictu modum viligcntib^repire. Dic quocp illud meminisse vcbcm^quod minores 7 co/ Mites non line suv prcposrtionc nominank: vtlit ludclU plex suLvipartiensssuvdupIcr suprriparticns. EssDemonstrarioqucadmodumomnisinxqualitassv xqualirare processerit. Laplm. Zr. rkstar autjnobis profundissimam quada; tra^ t dereoisciplinsmrqueadoem naturxvimrcm B integritate maxima ratione princac. >Da-gn^gppc in bac scientia fmcsscst:sige non ne icigt quod bonitas diffrnita est 7 sub scicmiam cadens^ snrmoqz semp imitabilis 7 pceprivilis prima narursse: v suxsuvstanrix vecore ppctua.Infinitum vo masieix ve-decus cstmullis propriis principiis nirum: scci natura sp errans a boni vissnitione principiilancj; aliquost> yno optime ligurc rpressa coniponik:? er illo erroris stu-cru rerinek.Iliam nimia mpidirarcmrireqz lmodicz ess e nationem:quasi gdsm recto: anim"pura intelligentia ro dorstus astringit.7 das quodamodo inxqualitas formas tcmpara bonirste constituir.It?oc aut erit perspicuum: st intelligam^oes inxqualiratis species ab xqualiraciv^cre^ visse p:imordi,s:vr ipsa quodamodo xquitas macris cc radicis obrinensvim:ipfa oes inxqualiratis species 0: dinesqz profundar. Sint eni; nob is rres xquales termi niideil rres vnirarcsrvel.z.binirvel rreskcrni: vel crcs quaterni: vel quatos vlrra liberponcrc. Suodenim in -v nis niv^erminis eucnirudcm contingit in cereris. Ex bis igik scSm precepti nostri ordinem videas primn nasci multiplices: ? in dis vuplices p:ss:ve binc triplos: veide quadruplos:? ad eundem ordinem con sequenrcs. Ikurstis inulripltccs si conuerranrur:ex bis iupparricula res orienk:? ex vuplicid^gdcm sclqualrcrccx mplicivvs tesquiterriper quadruplis scsquiquarki: 7 ceree i in bunc modu Ex supparticulariv''vero conversis supparkienrcs nasci necessec.iravt er scsqualrero nascas sspbipanicns: luvrriparticnre ie-4tcrti'gisnat:7 ex iesquiquartossuper «luadeipgtticns.^ccrisaatposttls necx conucrsis pri» nvus ssppattimlariv"multipliccs supparucularesorta mr.istrctis vo suopartienti^mulripliccs supparrretes rssicienk.^rxccpkaaurtnabcc sunt.vtprlmu numeru; primofzqgg pgremssc6m ^0 primo 7 sccudo: tertm pmo vuob^sccundis7 tertio. Docigikcuin kerinMiS xquali dusseceris:exkigqm nasccnmr ouplices crunt. De quc busvupltcib»nidefeccris:triplices.pcrcanmr. 7 vetus quadrupuces.gkq; in istnitum ocs formas numcr» mu» tipli^wmabikugceanr igik.a.terminixqualecs. . ' rn-i^i , > 1^1 dnst uactz primo prim^quallS idest vnus. p Sttndns vero p:imo 7 sccudo idest. 1. rerri^vo pnmv vusb secundis ^ tertio par 1rt:idel1 vnl et vuod^vnis ^ vm.g lunr.4.^r^ descriptio. I 7. Mine vk vnplici proportione sequens ordo texs v tue./ac rursus idem ve vuplicib^ vr sr primus primo cqualis-idestvni.sccundus primo 7 lccun dondtst vni 7 vuob'c,ui simt.z.rcrrt^primo tdcstvni vu obus secundis idest.4.2 temo idest qnarnor. qui simul. y l>unr.7 venit bectorma.__________________________________________________________ _ ^ - j , 1 I 4 ! ^ . Erilis k! ve kripliciv^ ldc feceris: commissqu^ druplus,pc> cabik. Sit enim prm?p:imo ?qu^ idcit vn^.stt sccundus prinro 7 secundo xqualis idcst.4.sitrcrtssprimoduob^secundis 7tetkio xqualis: ! ' 1 i"s^i I I 1 : i 4 ! _ ^ ^ I I 9 ! ! ? 4 I 16 > x ceprisvtcmur.Sivoger?qnaIiv^natisStmul tipliccs cos oilponanss:? ick-m decprecepm ver kamns:lravrconuersosinto:dine:sesquglrcrcroupficlss>' creabitur, scsquitert^er triplicissesquiquar^ ex quadru plo. Sint enim.?. vuplices rermini quicr cqualitsscrea », s„m 7 ci vltinsscst pnm^ponsc buiusinodi. -------- I 4 l r l i I Er constituatur primo i boc ordine prim^par idest. 4. mndvs vcro primo 7 secndopar:idcst.si.ccrt?vo primo vuob^secundis-ncrlro idest.y. 4 ' > 4 , r I I I______ ^_______I, 4 l 6 s y s Ececkiblilla seiqnalrcra quantitas er termino vuplicira tjscxorlk.Llideam"nuncadcundcm modnccrriplici q nsscgmr.oisponank eni mpliecs supio:cs:conucrso scilz ordinc sicut ouplex dic est quocy ordo oilpostt'._ I 9 ! ^ Z- I.______ ponatur ergo prim^primo cquus idcst.y. sccundus pri ,no7 secundo idest.ir.rcttssprimoouolsssccundis 7ter rioeqnusidcst.16.______________ _________ Z IlI 9____ I ! 16 f Auriusssccuda species suppartieularis numeri idcst scss quicerk^p-ocr-A^eN.Auodsi idcm oequadrnplc, quis facere vclirssesqu-quarr^conclnuo naicrur vrinonstrabik Mbierravelcriptio. ______________________________,_____________________________ 16 16 ro -5 i' Llc stquis idcm ve cunctis i instnimm ptssss multiMad facisl:conucnicnter ordinem svxparticssaritakls muni kt.^uod 6 conucrsos suppsrkicularcs aliquis ici?m b?c prxccpta conucrlat:cominuo videar supparticures accrescere.? ex sesqualtexo quidem superbiparriens: ex sesqui tcrrio supkripartiens procrcak.7 exter,sscdm conm nes oe uominarioms spccicssinevllaordrnisinrcrpollarocnz lcenrur. Disponanc igik sic.________________ Supiorislgik vescriptionisprimo prmssxquus nume ws ascribat idest.y.fccudus vopmo? scSostdcst.^.^ ^ 9 —A— 9 -I tripanien s inucnitur.str cnun prima propositio sesqui kerktj. ^ 16 OonaNr lecunckim priorem mo6u primo par primus iclest.is.secunclus primo ? semnclo icicst.rs.rcttius pmo vuov^secuncksrtertioiclest.49. Dmniscrgo summa ! 16 'r l 9 ! s 16 rs s 49 I tinparricns ilarim quantitas procreabitur .vk est ca so:- ma quam suppositam vicics._________________ ' ro s rs s :5 I 45.,. I . si _____________________ Istestg^ qucmSmoclum ex superpartlmlaribus 7 ivper. varrienriv-mulripUccssuppartimles nascank ostcncle-re. Suorunr binas nn sacia oc^cnptioncs.WZq; si reaa -rnon conuersinn sesqualrcrum ponim^: ouplex suppar timlaris ercrescik.siteni boe moclg. ^4. .1 d l 9 I -Dongrur icvm supiorem moaum primo prim^qualis iciest.4.secul!usp:imo?scculioic1est.io.rcrt^primovuo vus secunclis -r tmio xqualis iclest.rg. "E —-s—s .--------- i 4 I Io 'II rc I Tcpb;cquEvupbefqualtcra summa prosta S «a est. Si vo sesquirerliu non pmrlum ponam" s 9 I ir '16 1 9 I ri 49 s Lvew si aci lupparrienres animu conucruimus: a eosG orstinatim scSm supiora preccpra vispona-nms:mulrip!ikcssnppamenttso:cknsri'p§em«' ros rcplm^.Olsponak mi; supparMbfl formula. > 9 1 15 l_____-5 ! Smbgnmrcrgo'primusprimoxquusistest.9. S Secuclus primo r sccucio:istest.:4.tert^ primo vuobus sccuclis -r terrio icicU.64. ----- , ^ l .'6^!. r-H-l,------------------- !_____'4_____ S ! r4' s ,, ^4 t— Istesne vtexsupbiparrimtevuplns lupbipar u ncns - Mtus iit. Llk vero 6 suptripartieurc; po- namrouplcx ime oubio ttiparrjms inucnik vt in tubieaa oescripnone pei spicuum eL. ________, " ! is I rs '' s 49 I _______________________ i 16 l 44 ! 'rk__________ ' Zc ergo vc luppanicularibus vel ve supeidaiT - nbns multiplices supparriculareo vel multipli ccs snppsi tienres ormuk. Luarc constar omniu tnequaliratum xaualitakk e? principiu. ex easte cui; inxq^ lia csicra nalcuntur.Sc ve bis auist? bacrenus visserestu; e? crcstististim^ ne vel insinirs scctcmurrvel circa res ov scurisiimas ingrcstiennum animos vcrincmesrab vrlli oribus moraremur. /mlkllberprlmus. LSKSLLL— pkio nefcriptioniscy expositio. ,,^N^"'"^^„,^^ Evostmu!tip^ex intervallum ex qmbus superpanuula-nbusmemekakc posira inkcmallis siat: emsiRMuent-endireamg. Lapirulum. De p se cosiante quatirare qu; in siguris geometricis psi stcrarnr.coisrsriooiummagnimstinu. e-SP- 4-Denumeeolincari. Lapiruluni. 5. De planis recrilineis kgurisrqvostq; carum trianzulu; xrimipium sir. Lapirulum. 6. Dispositio triangulorum numerorum. Laplm. 7. DelaterivustriangUlorumnumerorum. Lap. s. Dc gen ratione triangulorum numerorum. La. 9- Dcquaclraris numeris. Lapiiulum. w. De eorum lateribus. Lapimlum. Deqmstrarorum numerorum gcncrariolic rurlusiV ve eorum ltcribus. Lapikrilum. l:. DepentsgoniscorumBlatcribus. Lapirulum. iZ. De generatione pentagonorum. Lapirulum. l4> De lxxagoniseorumcV generationibus. Lapsin. 15-De bepragonls corumcp generationibus: r cois omni-umsiguraruminucnicnclkscncrarionis regtila oescri ptionisq; sigurarum. Lapirulum. r6. Descriptio sigurarorum numerorum in orUlne. La.!7. Lui sigmati numeri er ciuib^sigui ag numeri s sianarP qb triangul^numer^oiu; reliquo? pncipiu nr. La.is. Ipertincns acl sigmatorum numerorum vescriprionem speculario. Lapimlum. 19. Dc numeris soliclis. Lapirulum. ro^ De pyramicle quoci ca Ilt soMamm sigurarum prinno m sicut triangulus planarum. Lapimlum. ri. Dcbis pyramiUis c,m a qusclratis vclccrerrs mullian gulis siguris prosiciscnnrur. Lapirulum. :r. Soliclorum generatio nuinerorum. Lapimlum.: Dc curtis pyramicks. Lapitnium. :4. Dc cudis vel asicribus ve larcrculis.vcl cuneis vi splie ricisrvel parallelibipcclis numeris. Lapimlum. :z. De pre aira logioriv^numcriscoruq; gnarioib'.La.:6. De anrelongiortbus numeris.? oc vocabulo numeri sl cera parte longioris. Lapimlum. :7. Qtiocl er imparibus qusrlrati: cx paribus parrealtera longiorcssianr. Lapimlum. -r. De generatione laterculorum cor umq; vcsiniroc. La . r?. Decircularibusvel fpbcricis numeris. a.spimlu.zo. IOe ea nann a rcr: que Vr cinxi? nanir?:? 6 ca qu? vr alte rius namre:-r qni numeri cui na? piucti iunl.La. ;i. Luocl omnia cx eiuscieni namra ? stterius nacura conk-siant:iil:ov»rioquaclrgwsclusclcmeuenacurx. Lspim. ZS. Luvosciusclcmparticipare substanti; quocl avimparibus nascantur. Lapimlum. r?. Deproportionaliraribus. Lapimlum. 40. Lux apucl antiquos proportionaliras suerik:quas poste ' noresastcliclcrum. Lapirulum. 41. LuocI primum oe eaqu; vocamrarirknmica propor-tionalirasoicenclumest. Lapiruluni. 4r. DearirI)mcticamcstietsrc:eiuscx;.pp:ietLrld^. Lap. 4Z-De geometrica mecIietatc:ciusP.pp:,ekatidus. La. 44. Sucmeclieras quibusrerum publicamnr stativus com paremur. Lapimlum. 4Z- Luostsiipersicles vnatantun, in propo-cionailtarmus mecjietgte«ungantur.lo!icji vcronumci i vuav^mcclic tatibusinlncstiocollocanmr. Lapimlum. 46. Dearmonicameclicratecilisqz proprictativ'. 47. Luarevcaiilsrmonica meclicras ca 0 vigcsta c.La. 4s. De geometrica armonia. Lapimiuni. 49. Lmmsiimsilu psiimlis slttinsec' vuov- cermis: anrd/ merica -r annonica inter eos mestieras airernemr. srq; ve eorum generationibus. Lapitulum. 50. De tribus mesticrarivus quearmonicx? geometrice co tranxiunr. Lapitulum. 51. Dcquaruor medietatibus quas posteri aci implenciu m senarium limite astieccrunr. Capitulum. 57. Diipolltio oeccm meciicratum. Lapitulum.5^. De marima? perlecta sympkonia quxtrivus distem sttlurinreruallis. Lapimlum. 54. /iniunrcapimla. E^Incipir liber sccunstus. L Suemastmostum sci xqualirarem omnis inxqualitas rcciucarnr. Lapitulum primum. Bpcrioris libri vispuraroe oigestuzss: que astmostumroraincqusliratis substantia a s principe iui generis cqualitate.pccsterik. S; que re? elcmcra sunc:ex cisstcm principaliter omniacoponuntnr:? in eastc ru rius resolutione sacca reioluunrur.Acqirr articularis vocis elementa sunt lre.ab eis S syllaba?.pgresta coniuncrio:? in cgsclemrursusrcrminsturcxtremas.eancleqz vin, opti-netionusin mullcis.Iam vero munstum.4.corpora no ignorain^esticere. iKaqz vt air er imbri terraq; anima gignuntur -r igni.seci in dcc mrsus cius.4.elementa str po strema rcsolutio.Irg igimrqincxxqualitaris margie cultas inxqualitatis species prostciici viciemus: ols a no^ dis inxqualitas ast xqualiratcm rursus vcluk aci quost-stam elementum proprij generis resoluarnr. lk)oc aurem rrina rursus iiirparione colligik.cgq; resoluciicli ars vast quivustibet rrib^tcrminis inxquglibus quistcrs; ppo'ti onalitcrconstlrutisustcstvtcanstem mcsti" aci primum vim proportionis optincat:qua gestertrcm^ast mcstiu; in qualibet imquslitaris rone:vcl in multipliciv^ - vel k lupparticularib": vel in supparricntiv^: vel in bis que er dis procreancunboc est mulriplicib^suxparlicularib'': vt' multiplicibus luperpartientibus caclein atcp vna ratio neinstubitalaconstabir.A>:opollriscnim tribus v coi-cmm est rei m inis cquis proportionis orclinacis: vlti-mum^empcr incclio oekrabam^:? ipsum qstem vlcimum primurerminn co!Ioccn,us:quost oe mestio relinquitur: secunstum.Dercmavcrop:opo!lro:umrerminornn,su ma auferemus vnn p:imum -r vuos secunclos cos qui S mecliccaccrclicri stinr.? icl quostexrcrtig summa relinqui kur.tcrriumtmninuzconstiruemus.-Lliclcbisigiturboc facto in minorem mostum sumniasicuerti:? astprincipa liorem Iiavirustine; coinparationcs proportionesq; rcstu ci.vcsi str quastrupla p:opo:rio:primo ast triplam: incie ast yuplaminste aci squalitatem vsqz remeare. Lr st sit su prrpgrricularissesqUlquartus:primogcisesquirertiU):in lle,cj scsqualte?:postremoacltres cqualcs rcrminosre-clire. !k>oc aure nos erepli gratia in multiplici t,n propo: none voccbimus.Sollertem vo in aliis quoq; inxqua liraris specicbus ici exvicnrermeastcm ro prcceprorum iu bLdMLonstikuanmr cmm tres aci screrminiquscimpi,. . > I IrS I ^eiugitnr ex incciio minorcustcst ex trlgikaciuo S bus ocronariumuelinquuntur. r4. 7 pnmum rcrminu pones: lcLm vo quost rcli-quum merit er Meciio-.icicst. 74. vr Ilnt vi suo termini, s. ^1°-A"^^cro:istest. irz.au ter vnn prinmustest.s. 4 vuos Mmaosquis„,^ rxiiquiricl c bis. 74.? rclinqu» kvr.7r - lVls vupolitis rerminisrex quaclmplis propin qorceitatl p.opo.tiornuia^^s.i. e. Liur.n.vi rermini. I^—S,________!. ^ ",----------------------7^ s T bis aut ipsts icler, fece, is:sst duplu rursus co e parario rcmc"'"' ^ " istest.s.^erl Szerrcrtioistestcx.. . ..........— Sosustcst vis.! 6.7 erit reliqua pars.zr. Suibus polltis aci vupkas proportiones kabirnsto rcciigirur. ! s s ____________6 s_____Zi s Dem vero ex bis ii stat:rcm ocm aci xqn aliraris i summas sliquabimus.ijdone en, primu mino risquu:iclcst.§.7aulcfex.i6.octongr,n:temankr S.gbus viipoiiris.-ex tertio istcst.Z:. sumpris pmoustcst. s.7vuov^scSlSiclcstocronarijs:supcrsunt.s. Suibus oispostris prima novis cqualirascastit. vr subiscrc su m- muixooccnr. _________________ 8 I S s. S ! 'Migirurilquisastalias mcquaiuatls lpecres b sium tenciaccaciemconnenientiam intirubancer inuenier. Suarc pronunciacium est: ncc vlla rre pistatione oubitanstum quost qucastmostnm per se consta tis qualitatis vnuas principuim -t elementu cst:ua 7 ast sliquist relats qnatitgcis xquaiiras macer est. Dcmostra uimus eni quost binc -r e,us procreatio prima forer:-» iu nm rursus postrema solutio eilr <17 De inuenicnsto in vnoquaq; numero quot numeros eiustiem proportionis pol1ltproccsterc:co:unicp vesci i-pciorvcscriprionisqzexpostrio. Lapitulum. r. L>t aut questam in bac rcprofunsta 7 mirasta c speculatio r vrair nicomacdus cnnocopdaton tbcorcma prostcicns.7 ast plaronicami nmco snimx generatloncni:» ast intervalla armoni ex visciplink.Ivr cniin iubcmur prostucere arq; extcstcre rrcsvclquatuo: scsqualrcros:vclquorlib; sesquitertias proportiones:? sesgquarrascoparationcs.caiP sccustu; propostlst orstinc sepe continuas iubcmur cxrmstere. 'Ne surcm boc labore quosta semper gstcm maximo: st equen-rius inicraciligr-bac novis ratione in quot numeris qua ii postlnrce supei particulares inuestiganstum est.Scs cni multiplices tamarum NmillUin stbimet proporrionri principes eruiit.quoro ipiltocoab vnirate vlscciserunr. Snost auccur oicostviniersimilium.-talc est: vr vuplr se pcr multiplicitas vr superius ocm c lcqualtcros crccc: er rriplexstr oux fesquiterrio:u:quastruplus lesquiquMis. 'Kuim^crgo ouplex vnu solu bavebir sesquattc?.sccun-clus vuo s.tEtrcs.quartus.4.7 scLm duc orstinc; ea-stcm 6r in istnitu progrcstlo.NcP vnqua stcri poc. vt vl' super proportionu nume? vclabcostl ocminutio: equa vilis ab vnirate locatio.Duimuscrgo ouplcxk biusi ius numeius.gvnu solu scsqualtcrum iccipirustcstternsrm. Linarius, n.cotra rcrnariS eSpgrat^sclqnaltcra esticit.p porrioirc. Ternarius So quonia inestictalc nonrccu. it ii estaltcr numemsast qucin rSnc sesqualter» cooarcmr Suaternar^vonnmcrussc^usouplcrcst.biccrgoou, os sesqualleros p rkcestit. rkst enim ast ipstim quistem cS paratus icnanus numerus ast fenarium vo q,n mesttcra rem bavctrnoucnarius.? sum vuo felqua!tcri.sst.4. se; L.astscxvero.y.Mouenail-voquoiiia mestictgtccarct:ad vaccopararione lcclulusest. Terri^ vo ouplcxcst. s. bic krgo.z.fxsqualtcrosantccestir.Loinparamrcnlmsstitzm vliostcnarius numcrus.astbuostcngriu.ls.ast.is.mrfus r7.At vero. :7.mcstio carent. Istcquocp in lequeurib^ euenue nccestc est.quost nos cum propria orstinakione substistiinus.L>?p.n.boc Vinina quasta; necbumaiia cS stitulione speculationibus occurrit: vr quoncnscuq; vlti NIUS numerus iuenik:g loco vuplitisab vniratc stl par: talis stc vr in mcstictarcs viuisti iccariq; non postit. ! ^ ' r - 4 —? i an i ? I >S a? . gu j 77 ^4 'sros ia i I6r . , "S ! -4Z. " .7 .rxuuseni ici qultcmi procreantur. Ma,qni prunus triplex k bv Z Aritbmetica ternarius numems:bsbtt vnum sesquitcrtl'um:llicst.4. Luius quaternarii tertia ps non por inueniri: stP icleo bicepirrirocarcr. Secundus vero quiestnonL babzsct se ouoclcnarium numcrr scsgcertiu.Duoclensri^aut quo nism b; tertia psrre:in sesquircrcia.pportionccompsrak aci cii numer^secicciin:qni rertieptis sectione solurus est. 'Lliginuscpcc aiit quonis rrtiusc triplex:!?; »6 se sesqui rerllu r, igmmscr:-r k c rursus sci qugcltSsinkaocroeAjcm proportione coparar. Luisisexagintaquatuor gppoiiti suerint:eanc!c rursus vim proportois explebunt. Kuos sexagintaquacuo: ad nullum lclquttcrtiu rursus aptabis qin parte cereis non renentur. Atq; I?oc in runcris tripli cibus inucnirur:vrerrrem^eiusclc; proportionis nrnne rusrgnrosantescp:eccclcntcsbsbct:qusro primuscorx sbvnikareoiscesserir.Etquitotmper se ciulilL proportio nis bavuerir numeros quotus av vnirace prim'eo^ ia^ Lscimclo. ! - Z ^ 9 ! '-7 l si ! -4^ 4 ir l ^?6 I cos Z,4 an 16 ! 4S 144 4^r. gu j 64 19: <7- Ia r56l! 76S ris I 10:4 s c>l:aci quan, scz qui a prioriv^instructus secesse^ rik:nu!!a>-srionerreplc!svit:-r'vc:cxrerisquic!ern multiplicibus eandem conuenientiam pn notavit. LstitUuo. 16 l 64 >'r56 ,10:4 ! 5 ro zo s;r° irso an r5 ! loo 400 1600 su I Ir5 500 rooo la 615 2500 rrs Zlrs, i? acimoctum priusollensumcllmrimos effemul- kipiices.Sigdcm vupliccs sclqualtcrosttripli^ ces sesquitertios: r cncti multiplices cuccos in orclinc lu^ perpmtieulsres cresm.Sstctiam in bislroc quoqz mir» vile. AsH vvi prims lsrimdo suerit ouplcr: -r luv cilcle qui sunt versus continuialternarim pollri:secucilim serit lMuc1inlsonpiMsemnr.ro! vero suMnrttlpiicesir^ seriores orclines tripla se >'suis terminis mulriplicatioe superabunt. Ar in quadrupla quaclrupli.alP I?oc instni ra sucta spemlatoeno Mir. Angulares atolum multi plices rueire necesse c.Lwt at vupliciu qcle mplices: rri p licia qclmplices qcimplo? So gncupli. -r ss; caele orclls icomursvile ronc; llvimer cucca psentier.Suib^ expolis 26 scquencc operis leric coperms vispmalio conucrrak. MLuoclmultiplexintuslluerg^supparricularib^me clierare poilta inrusllis katreiusqzmenicdi regula.Ls.^ qirero sesarertioq; oponik:x ois sesqualt -r sesgter ki^uplice iugnnr.Ma ternsri^esqualrer c vuo?: qruor ?as sesquirerti^ccmanl. sed.4-vuplus ouorum. vuplus - s sesqualter sesquirertins Mgitur sesqualter -r sesquicerciusvnum vuplieS componunt. At vero 6 merinr meciieias -r oupl§ inrcr oupliccm -r meclru porcltvna mcclictas talis inueninrquxiscl alteram extremitatem sesqualter» sit: ad siceram sesquitertia. Alrrinsccuscnim poliris icnerroct ternario, idcst duplici -r nieelierare: si quarernan' in me clio colloceturrscl ternarium numerum selquircrtlSM cor» tinet roncm:scl senarcun, ^0 sesqnalkcrsm. vvplus z 4 / 6 ^ . sesquitertius kiqnalttil Tcre igitur oiccum cil: 1 oupliccm a sesquslkers r sesquitertio que coniungi: -rvas duas supparri cularis species vuplicem procreare iclell primam speciem multiplicis quariraris.ikui Ius ex prima mnlri plicis specie:ideiler vupliciu pms superparticulariuclett sesqusltera contines inul tiplicis species: iclcll rripla coi, lungltur.Maq;. ir.senarij numeri duplM: occem vera -r octo aci ouoUcnarium sesqualter :qu> aci Lucarium nr» memmlttipluselt. tNpltiS 6 ir vuplus sesqualter L polltis^iscicm.6.-r.is.novenarius in mcciiet» rcponatur.erirglj senarium sesqualrcnqntaci.is. mbciuplus k.r ad senarium.is.triplus est. triplo» 6 9' !,!§ sesqualter duplus X ouplici igitur 7 sesqusirero triplex rano pro « portionis ero:imr 7 in eas mrsus resolunonei» ctarcUocatur.Sigutem kic:iciest rriptusnume ms qui est species seccmcia multiplicis secunclsspccietlu perparticulans aptetur: quacimpli continuo sorm-con texitur:? ,n cgsck; rursus parrcs naturali parnnome >ol uetur.sccuncium mocimnqucm superius vemonllram quincuplus qusciruplus Aritdinctic., triplus sesquitertii Ivero quaciruplusstst ac stsquiqusrms agglome s rmc:quinciiplvs co-itinuo stcc. quacimplus stsquiquarms ' 'Lkl quinmpluscuin sesquignlo: mox lelcupli pr» quincuplus (esquiquintus. LcVirssecnciumbancprogrMonemcunckx mul s riplicirstis spes stne viia rati orciinis pinurariSe usstenmr/jrsvero vtvupluscum stsqualtero rri vlicem creer 7 rripluscum stsgterrio quscinrplu.qvastru oluscurn sesquiquarto quincuplu.7 exteri coste moclo vc nollusbsnc continuationem linis impestiar. »nrur.laeit:oe uncans nuinci ^ ^ langularid^vcl qurstr«is:cxteriscV quos sol» pastir pl« a vimenlionec non vcinxqusli lare^ copoiinoneconla is. De soliliismam:Mrli-.cubis: 1 spbericis vclpst» Msclarerculiseriam vel rignuus 7 cuneis quc omm« mstcm geomelricx propnc conststerscionis sunr. Se» n mina in primis numeris invenimus.planum siquist^ secimns quost omnes oisciplinss bxc ltcrempts consume rck quas minime constituta instrmarcr. Doc c, ure; cogno scnstunr est quost bxc stgna numerorum postrs qux nunc quoPbominee in lumai um beiignarionedescribut: no naturali inst-turioncsormara sunr. vrcni quinarq subic ctam notulam signsnt ve. V. vel venaris quam veicrips,-mus oe.r.7 alias bmulmostimon naturaposuirrszvsus astinrit.Auinqi enim vel oece; vcl quoilrb; alios stlis norulis.p compcnciio n rarc vo!ucrunt:nc quoric ns vni rates quis monstrare vellcntoticns ei virguleducercrur Ilios autem qnorienstuP aliquict monstrare volumus: in bis prestrtim so:mulis:o:stinstarum virgulam; mu! riruciincm non grauamur gpponcre.Lum cni; quiqzvo Lumus demonstrarestgc musquiliP Virgulas:ou«mus qzeas boc mosto.i n i i.-rcum.^rotistcm.^cum io.iii dstsminus.q: naturalius est quemlibernumemm qua rasinst rcti>!et:tot v niraribus vcstgnarc quam nolulis Est igitur vntss vicem optincspuncri:intcruall-: lou SittutiusttVprincipiumripss vero nec intcmalli ncc lon^ Killlstinis capax, queastmostum puncmm prmcipiu qcil-' Liemlincx cst grcB imci ualllupsum vero nec inrcrtiallu; necllncg.Mccsenlm punuum puncro lupcrpostmm vl ium csticirimemallum: vclur st nibil nulli iungas. M bileniestquostcxnullorum procreatione nalcamr.Lgste quippecriam circa equa'itares proportio mg»ct.'!Ks; st quorlivet luerint termini pares:tantuin quistcmcst a pri rno aci sccLZlimrquatum a sccunclo ast tertium. Desticer x:ims>7 scdm: vel sc^m-rtertiummuliacst intcmalli lo^ sitvcio vel spaciuin. Di cnim tres senarios ponas boc »uosto.6.6.6.qucastmostuittp:imuscst aci icmncium:stc «sticcuncius astrcrrmm. Sest interprimuin 7 sccunciu; nibilinte est.6.cmm.7.6.nulla spacis incerualla vistun< MNt. Ira erirm vniras in seipsa multiplicata nibst pro creac. xoemel enim m vnum nibil aliuci cx se gignit qua ipsa est.Mam quoci intemalio carer ttiam vim gignencii interualU non recipit.quoci in aliss uumcrcs non vicie^ rur eucmre. Gmnis enim numerus m seiplum mulriplr tatusralium questam esticir maiorem quam iplcest.istc ir co qusmam inrernalla multiplicata maiore scse spacijF^ lixitarevistestunr. )st vero quost stne inremallo est: plus quam ipsum cst pariensti iron kab; potestatem. Lx boc igitur p:incipio:istcstcx viiitaceprima omnium longilu «io succrescit:quc a dinari, numeri principio in cuncrss lese nucncros cxplicar.qciomam primum intcruailuin U neacst.vuo vcromrcmallsstmklonZimclo-rktirucZo i. linea 7 stipcrstcies.Lris ergo intervalla stinr: longirucio: lztikusto:alritusto:iclestlinea:lupesstcies: atcp sosiciitas. -Arerer dxc aut alia intervalla inveniri nopossunr. Slur enim vnum intervallum erit quost longiwsto estaural» quist quost vuobus intcrualiis erpolltu; cst: Vt st qua res longuustinem babcat 7 laritustinem. vcl ti rna intervalli vimenstone porrigimr-s, longitustine-altitiist ne: latitu-ciineq; cenlerur. supra quc astco nibil inucncri porcst: ve ipsorum lex motuum fornix aci intervallorum naruras 7 numerum componantur.Anum enim intervallum vu os in se continet morus. vr ln rrivus intcruailis sex st se motuum summa constciar boc moclo. Lst enim m longis tustine antc7icrro:in latitustine stnistra 7 vcxrra: in alti rustine sursum ac ocorsum/lKeceisc cst aurcm vr quicgst iuerir solistum co:pus:boc babear longimstincm latitusti nemB7altitnstinem.7qu cqcnst bcckriain stcontinek:ik lust luo nomine loticium vocetur. Dxc enim tria circa omne corpus inseparabili coniunaione mersantur: 7 in natura corporum constituta sunt. Avare quicquist vno intemaUocarct-.illnstcorpus solistum «5 cst. 'Isiam quoci ous sola incerualla Minet: illuci snpcrstcies sp pellatur. An,ms enim luperstcics sola longiruciinc ck latimstinc continetur. -r bic castcru illa conuersto rcma ver. Amne enim quoci liipcrstcics ck: longitustivem Arttlimcttcs. ? latitudinem retinet.? quodkxc retinenkllud est supkci es. Il?xc aur supstcics vnotin intervallo solidi corporis diinculione stiperak.-qux vnomrsnsinlciuallo lineam vincir.quxlongirudimsnamraretinks iZtimcjinisexpers est. Tuc linea eo quod vt?e intcrnalli lorkira natu ram a superficie vno intcruallo.a solidirare ou b^spacijs vincitur: Duncruigikaliorursusinterualloalinesvin litur.ipsg st; qnx reliqua c longitudine. Suare II pSttum vno idem intc.ualloa linea supgredimr:idcin a supstcie vincitur duob^trib^vero inrerualli oimcnst enib^a soli' lirate rclinglur:constar punctuipstim sine vlla corporis magniruciine vel inrerualli dimenstone.cum?longitudi nis? lariruclinis ? prosuncliraris expers s,r oiuin intervallo? ec principi»;:? narurainsecabilc:quodgreciakbo mon vocanr:idcstira viminurum arq; pamistimum vr ei^pars inveniri non polstt.Sst igik puncru primi irer-usi li principm. non rn intervallum.? lincx caput:std nodum linea.Sicur lines quoq; supcrliciei principis, e:std ipsa supstcics non est:? stcundiinttruallicapurcst:sc6; rs meninreruallum ipsa non retincr.Idcm quoq; ?in lup stcie ronemcadit:qlik? ipsa solidi corporis -r ttivlicis in remalli naturale sortikinitium:ipl'a vero nec trina intervalli oimmstone distcndikcnec vllacrastitndine solidak. tl7De numero lineari. Lapirulom. 5. 'Ic etia in numerovniras gdem mm ipsg line o aris numer^non sttrin longitudine tn distenti > numeri pncipiS cst.rkr Uncaris numerus cuz ipse rokt'lstiludinis erpcrs stk: in aliud rame spaciu latitudinis exkenri numeri sortis ininum. Lupst cies quoq; numerorum mm ipsg solidum corp^non stt: addira rame altitudini solidi corporis capur est.Doc au tcm planius dis crcplis liquebit. lineans numerus e g vuov^incb ans.-adiecra stmper vnitate in vnum eudecy vucmm quantitatis explicata congeries. vr est id quod sudiecimus.__________________________________________ I n ^ in i nis I nm i E, De planis rcckrlincis stguris:quodqs caruin principium Ncmangulus. lana vero stipstcics in numeris inuenir.quo p rims a triv^incboakione tacta addita oestripti onis larimdinerin sequentium se naturalium numero? mulrirudincangulivilitznkur.vr llk prim^triangulus numcr». secundus qusdrar^. icrt,' qui sub qninq; angulis continetur: quem pcnragonum grecr noiinnant.qnzrt^bcraMNlisridest qui sexangulis mciudirur.qultit' beprsgonus. sextus octogonus: idcst qui. 7. vcl. 8. anguloru; terminis oilarannir.?cctc:ico-dem modoNngillgrimpernsmralcm nuiiicru; angulos augeant in plana st; descriptione stgurarum.Di ^o idcirco a ternario numero mcdoznnquocl larimdinis -r suo stciei s lus ternarius principi» est. In geometrica quoc» idc piamus muemk. Dux enim lincx recrx spaciuin continent.? ois ttiagularis stgura:vel tetragoni: vcl,^ tagom:vcl laexsgonirvel cuiustiderg plurid^anguiis cS rinerrst a medierarep stngulosangulosiincxpducankrok eu viuidunrrrianguli:quor ipsam stgura angulos babe re otigcrit.Euadrgru cni; ira ducrx lincx in.4. pentago nu in.s.beragonu in.6.beptagonu in.7.? cxreros in s»g mm angulorum mo meniuraP per triangulos partiun wr. vt est subiects descriptio. ipsam in tria enim triangula oistipawr. DeobccNguraprlnccpseN lantudinis:vtcx a trrxocs supcrstnesin vanc, esolusnkur:ipgve ro quoniam nullis est principiis obnoxia:ne-cz abalia latitudine sumpllr inilin >n scst ips, resoluamt Idc ant 1 i numeris steri seques opis ordo monstravit. S Diiposttio triangulorum numerorum. Lap. 7. L>r igitur primus triangulus numerus q so c lis tribus vnirsnbus oilsipakrssm superstciei positione triangula st; descriptione:? post buc , quicuqzxqualicatcm larcru in rrins lstem spa lis segregant. i Ls De isrcnbus triangulorum numerorum. Lg. z, D buc modu in inlinits.psrestio e: oesq; ordine a triaguli cqivlarcri.pcreabunmr:? priuiu oium poiicc id qS ex vnirate nastik: vr Irxc vi fug r^n gulus stt: no in ct ope atP acru. I6ast cuncroro c Mgrcr numcrorum.quicquid in bis qui sd es naicunrur numeris inueniturrnecesseestvt ipsa naturali quadam norcsta teptinear.? bm"trizgulilax'cstvnitgs.Tcrnari^oaui primsts cit opere? acru ipso triangulus: creicssre vnirate ... ^ vero triangula stgura cum eZ quis ita viul-»iir.m alias stgurss non rcsoluikur nik in >'e- tcrnani oualicas:qua grecl oxadavocar Scdi vo rria guli qulopegkqzactu stdus e. i.sengrii^erescente naturali numero ln lalerib rernari^uenitur. Terrii vo.i. denarii quaremm latus pkmer.?qrti^g,^^ 15 quinari^lat^ rener.? qum senariUs.Idemvstk.«.«nnimm t!7De Senmrionc triangulorum numerorum. La. ^"kur aur rngnguli oispostra naturali quS tlratenomcrorum:slprio:ib'scmpermultltu-«v lequaium congregclur.Disponsmt enim n Aritbmetica -6L nawralis numer^boc mosto._____________________ I l! i'! ? I 4 s > ll^ l 7 ss 9 ^ T dis lgic 6 primum numerum suma istcst vn» e r«cm:bavco primum triangulu;:qurcstvi-r po restare nonstum eriam acm nec opere. Wuic «i le cunstum aggregariero g in naturali numerorum oilpostk» one vescripmsest istcst vinarium:prim^midi triangulus opere r «ru nsstit istcst rernarL. Si vo buic cerriu er na mrali nunicro astieccro: lccu ustus midi ope -r actu rriagu Ius procrea. Sup vnu enim ? ono st tertium istcst terna num aggregavero scnari^xtcnstttunsccunstuosc; rrian-gulus.llHuic vost consequentem quaternarium stippo-kicroroenari^erplicgmrrqui § rerti^actu rriangul'.qnos S latera disponens ast supioris vcscrlprionis exemplar: luncros triangulos numeros llne vllLoubirationis erro rivus pernocMs.rquantas vlrinLnuincr^in se vnira-tcs dav; quem lupior v^aggrcgabisnot ipc qui str krisn Mlus vnirakcs bavcvir in larerc. lKain rcmanun, qui est prim^aeru triangulus astiecro binario vnitari lrceram^: arbicouos baver in larcic.-r scnariiimbis gstiecra ternarii quZmarc p:ostuxim^:cu«^latus soli tres lonrinent:rt istcinaliiscuncrisquotvnitatesdzvcntem numcm; st» pcriorid^gsrcgavis:tor vniMid^larcra continedun r»r. L? De quastraris numeris. Lap. io. Castranis vo numcr'cst:qui etia ipse quistem q larimstinem pastir «est non m mvus angulis vrstiperlo: torma-sz^.Ipscquoqzxqnal» la remm oimenstone porrigitur. Snx r,-'rbmAk. > I I I I I « « I I ' ' l » » l I I' » I -I' I I I I » L7Deeorum lateribus. Lap. n. rkst in dis quocv 5cSm nsmralem numeru late t mm augmcnra succrescSr.-Orim^mivi -r po tcnria quastrar"istcst vnikas. vnum >: ab; in Ia tere. S cunstus vo qui «ru p:im^stek.4.vu vbus p latera politis conttnmir. Tertius vero istest novem qui sccnnstnsestopcrc:rriv'in larere poliris aggre-qamr.rkrast eanstcm Icquenriam mnai procestunr. L7De qusstrsroru generator rurstistv ve eorx lateribus. Lapsm. Astunk aut rales numcri er naturalis nuine-» ri vllpostkioncmo queastmostum «bpiores rri gnciulivrorstinatis ast ie lnnice numeris co-M-eacnk- k vno lcm p inrerinisto qui scqnimr «i mm luvivrevel snpcrio:i«igak:o:stmaros er stq> srarosLt.DisponarurentMlii»tural,snumer-boe mosto. __-------,— HHs i! s' 4 ^kiMim^Lvn strelpicia: p: I e restate quastrsL. Suost st vno relittopnou tcnls Astate qugstrsL. mnrcro:lemnc!us midi quastrat ekkcttur. q pno relieko dingsjg remariu appostiero:quakernatl ml-di qnaclra^erontnf. e)uost st rursus relico mcstio quat/' nano quinari» stmistrer aggregavero: quastraL Midi ter rius nlcst 7.^.7, ^.nouez colligunt. M verostkisinternnllo senario septenarium iungaz.tor»>. w.ei s»„>gconerescituclest quarriquaclrarr numerostlas.T t vt vrmuer kui^ lorma.perearionis ap vareanst cuneri «pares stbimetgpponank.eolloearo lcz na rurali numero:quaaraco^orsto teretur. Lsteriazin bis lxc namtk subtilitas i «mobilis oruinatiorquocl tot vm taresvnusquistV ^clratorurmnebir in larere:quau stierst rmmeri acl piunctionc^prts ?3rezan. Mm in xr«ms quaciraro qinervno str-vn^cst in larere.In lecunso istcst quaterna! io qiu ex vno -r trib*.pcrcak:qui vuo sunt tcr-Minublnario latus tcrir.r in noucngtio quonia triv'nu meris proci camr:!ams ternario continetur. Llkqz istem inalljsvistciillcct. E7Depenrasoniseo:uq;>alcsib^. r5g. i;. rk nragon 'vero numer^cst: q ipse quistein»la p titustinc scSn» vnltarc desq «ptis quisteni. z. angu!isconklnctur:cuccunst« vero quinarii qui est actu ipso atq; opcrc p nm^penragonuorvlni p latera stxi iunl.Lcrtius vero istcst. ir. rrivus in larus auctus est. ^uarms.rr.4 numeroru in larcrcquantitateoistcnstir. Arqzistein exteris lcom vniraris progrcffionm! in na-rurali lcilz numero lecunstum superiorum stgurarumim rrcmentarcastuntur. » 5 ir rr » nob^tb «reriec^ numeris lupior, vcl supia:,devinces kc enano cis cui iucrenst^r gggregek.lklaq; vnitari inrmiMs vuob^^rnb"st qmor ingasgq r, iv"ipsa snpcnrvnitatctgnarLpcnkagon^rca dik. lldost^.^ostinrmistognario r senario.^.sggrcges vuostcnarilr pctagonu.pcreabis.lKaq; vn^r.H.g./.m, meri.i:.crpIebut.Docctrgl',sstcr.lKast.io.vcl.i?.vel. I6.vel.;y.vel.rr.vcl.:5.fupioriv^uetisastiurcns:costc; quo mpius mopsragoni stkt:ssm st: pior? ocscriplione. — ! rr l 7osy: ! i'7 i " EI7 De dcragoniseoruq; gencrationiv^. La. ie. Exagoni aut g sex angulis^bcpngoi q.7. nrr-d sus latLtib^orinenkik'; lauc mostu earr larev ang mera luccrelcnr.lKaq;«triagisti irumm na.pcrea tionecpipsosnumcrosiugcvam^q stleinal! viipoklcoc se querenk:g lennvniraretranlircnt: esstran ^onumeri.i. retrgzoipcrcatiostcvatex numerisgvnoinsmlsto coru llaba,if:cn'1e vinario stiparer pcragoni vo na Mir er vuo dus inrpcM relittisqzg seternario vincet. quocn Mia augiura bexagonoxvel ocrogonorrvel Y. lzrev 6cil; ocscrlptos: i pro prnsorstinivuspcrnorsvis. . <17 De!>>cprsgonis commq; gencrationrv^r comunis oiumsiguraruminucnienstg generationis regula vescri- prioniscVsigurarum. Laplm. -6. Lptem vo snguloy 6gura est: cum aci mLm s orclinemprogrelsionis vnoplulquam in.6.an su'o:um sigura numero intermisso iuxiori co^ Mnxeris.lklamN quamo: imcrpMis qui le^ fe quinario vincantaggreganeris: bep^agoni continuo sigura nalcerur. vrdi numcrilinterum racliccs r vtsu^ verius vicrum i: simstaincntg. ll ii. I 16 , 21' ' Sui vero ex bis constant bi sunr. k ?4 I 55 'f n Suem veroangulorum stSm eunstcm orclinem forma procreatura vt lcSm xqualcm progrcstio nem primi quo lagono triv^in kcxzgono.4.2 in kcplagono. 5. duius' q; rei nullus est moUus.IkDocaut nossudiccrarum ior^ mammvcicriptlones oocclruur. i.r. i.:.;. i.:.;-4. 6 Io. I.5.9.IZ 6?Descriptio liguratorum numerorum in orckne. Lapirulum. 17. k!d: s -ridusa ° ^ rc. Sec prastick 'Yt"cripr:one nglrlls conrinemr:quantttgres slcrlbe q,n facili "oculis sudiccka retinent: iu rrimr formamm numerositas in subre poNaiur. ItrisnglLli 1 l al 6 > w I ir l n I 78 r, 4 l I s 5 9 s ^6 j ir 75 I ?6> 4Y >5 51 I 70 jkexagoni II 6 ^ l ?4 '45 j '66 > >i' 6s s §l! H: Ircpmgoni > ? 7 srq; quost triaguius numerus omnium reliquam; prin lipium lic. La. IS. Is igir ira seie dadctib^quist in bac re s,r conie d qucslucstigem^Sescnim tetragoni qui sub rriagulis suntnaturaliorcknatScoispositi. ex fuxio:ib^tnagulis.pcrcanr: illomV collecrioe quastrari sigura pponir.' Suamo: eni mragon nr cx v no 7tnb^:i«kst cx vuob^superiorivus triangulis, 'rlouem veroextrid^.S.secl vrriq; sunctriagul'. M. i '.ex.6/r. Io '5 ex io r.ir Isteqxin lcqucntlo:aincqua0rat07r ^im/n^^r^,nalMcrMer.:ur. ipentagonoru vcro constans atPimutavile reper-rm0 5?^!-/rvnoqm aggre> aL ^uostccl vo penkagon-ex E"-no si,x tz qua^ ^ncralm impestm. Sltvcro si dcxa^ng ^ natione perspisas: ex cisstem mangulls 7 super se posig pentagonis procreank.Mancy sex kcrggon^^x quinario ocnragono vno qui est m triangulorum orstinc oisposi rus nalcitur.Mc alia estorigo.iz.bcxagoni: mll cx vuo oenario pentagono «remai 10 mangulo. SuoU q. :z ^ur fun, bcxagonuni ex quid'' superioris liascamr aststiscas: pullosinueniesnist.ir.pmragonuinsenariumq? nian-gnlum. Arcp doc in egeris.Mcc bnnc gcnimrxorclincm bcpkagonox.pcrcatio resutadir.lNaq; cx lux le dcragois: ^ exemin"po!itz triagulisMeank. Sepre cni bepraqon' nsLie:cx Imsrio bexagono -rvno place maLUlo.is.>e, Antkmetica ro brpksgonus er.rL.bcragono 7 ternario ttiangulo con iu83tur:.7.;4.er.:9.sclllcctcragono:r senario rriangu-loiatcVbocin cuncnsinostcnsirmrepirc licer. Elicies ne igirnr vrprim^oiunr rriangnl^cuncroP mnras efficiat:? omnium prcirearonibus misceam,-: 67 ift>cmncnsacsstgurato:um numerorum ocscriptionk tz»cculatio. Lapstn. 19. Z vero omnes si aci lariruffine; stierint eompa b rsti:icjestrriangulirctragonis:velrctragoni pe rsgonis: vel pcnragoni bexagonis vcl lx mrsus depkagonis:stne aliqua subitatione triangulis sesc super adut.'iNaruy s>ternariumtriangulum quaternario vel quaternarium tetragonum quinario:vcl quinariu; pcn ragonum sena-iobcragono:vel senarium septenario de ptsgono compsrcsiprimo se triangulo iciest sola tranleut -vnitate.SIt verost scnari^conrrs noucnarium:vel bicco tra.ir.vclbic contra. 15. vcl. s.contrs.is.prsinuenien-clis viffei cntiis comparentur: sccuncio le triangu-o iciest ternario superabunt. Dcce;vcroaci.iL 7.i6.aci. acl.rs.7.rs.acl.;4.s'lomponss:tertio se triangulo vin^ rent iciest senario. Slrq; doc rirc noravirur in aliis cuncris sequcnrib^seseperspecrumromncsq; setriangulis amece clenr. 6uare pcrsccre vtsrdirror demonstramur S omni um formarum principium elcmentumqz este triangulu;- De numeris solistis. La. ro. ljncvero aci stguras iolicias iacilio:/via c.ist»:x b- cognito enim quiri in planis numcwru; stgu ris vis.ipsa quatiratis naturaliter operek aci soliclos numeros non erit vlla cunctatio. L>, cur enim longituciini numerorum slincl inrerugllu; iciest supe> kciem vt larikucio ostenciercmr aci-ccim^ira nue Is-kimstini iiquis aciciar cam que alias altimcloralias craM-tuclo.slias profunciitas appellatur: soliclum numeri cor pnserplebit. E7 Oe pyramicle quocl ea llk soliclamm stgura? principi um ilcurtriangulus planarum. Lap. :k. Accurant queacimosta -planis liguris trian 0 gulusnumcr'p:im^e:stcinloliciisg vocatur pyranus.psunciitarisce principio. Siuin gp peraravi numeristtgurav nec.ffe cil inuenii c primorrlis.Gst aur pyramis alias a triangula bast in alti ruciine; sese eriges-sliss a tetragona alias a peragor,a, ^ scSni scqucnriun, mnltirustines angulo? aci rnu> cacn minis vertice luvleuata.ljdoiito enisu triangulo arq; vi spostro:st p tres angulos stngulc rccrx linex stanrcs pons-rur-bcqztresinclmcnk vraci vnum meciiumpuncrum vertices iungsnt.lit pyramis. S)ux cum a triangula ba a n;c,fecta sttrkrivus triangulis per latera conciuciltnr doc m^o S c a v.c.manguinm: st buic.g» rr-angulo per tres ananios erigantur lines:? acivnu punctu pucrlank Ik sc> linec ac, ipsum crccts vertice 7 quost ammocio cacu/ men.v.tzcicr:r erir basts.s.b.c.vnu mangu!um:p lare r» vo tria triangula iclest vnum ttianguium .a.v.b.aluicl veto.b.v.c.rerrlum vo.c.v.g. »' b Tcm st s tetragona bast prcstcilcat-r:? s6vnu » vertice ciamcx virigLnk:crir pyramis quatuor triangulo:» p larcra: vno k,n rcri agono in bast posttoffup qua stgura ipsz stmciara e.? k a pcn ragonosurggnrqnqzllnccrquinqzsuriuspyramis tria gulis continebit":? stab bcragouo sextriagulis nibilomi nus:? quatoscnqs angulos bsbucrir stgura stip qua; py ramis rcstcicr-kor ,psa per latera triangulis conrinck. vr l subicais oescriplionch^palam est. L7Soliffo:um generatio numerorum. Lg. rZ. AnituraurbuiuinioUi pyramicics looc m§. 0 alsriina pyrsmis oe triangulo: Icba pyramis vejrcrraMnorrereis pyramis oc peragosto qrtS pyramis ocbcxagono gnrspyramis oe bcora gono gnta pyramis oe bcpkagono.^Ucn, in exteris pstgr numeris. «aamqm lineares numeros ce oielm^qui av vnoprofecnin instuimm currerent vtstint l 5 I 6 > 7 I § > 9 i Io > ^S aut orciinatim cSposttisrise inuicc cu oistan v rm mnctis suvstcies nascevsnk.dr stvnu? ouo „. ,i»gcres:p:im-triagulus nascereknciest.z. 7 cum visastiugerem^teniu.i.tcrnarimsenan^triangul^mrsus occurrerer.? post kos tetragoni vno intcrmillo-pStsgoni voouob^:bexggoni rriv':bcpragoni relims quaruor na iccdank.ipluc vogci soliclo? corporo,pcrcLtion?:ipsx no-vrs/npstnes naturaiir stguratc^uenict.7 aci iscicnciss g aem pyramiclas a triagulo ipst nobis rri-nguli coponen vlmnt. Llcjpcrcgncissvo pyramicias a ^erragono:tttrago ni.aci eas Vo qux ssra pentagono: pentagoni copulsncii lunt.-r illx quc sunt ab licxagono vel beplsgono no nist bersgonorii velveptagonorum copulatione nascenrur- mri'.quS st cuprimocoiui.ero.i.lu vnitgte:quarcrnari!> L7De dis pyramistig que s qclrgtis vel a meris multiL SUlls stguris prostcilMNtUt- Lsp. rr. st venariu cSsew.ro.numcroru pyramis vrniec.scPita in cuncris aliis ca^em ratio copulationisest. 'Tnanguli. ^ I ; I 6 I io j is I ii I is O>yramiclcsarri»ns ulis.______________________ si I 4^> io i ro I Ni ji:oli6zlr'-01 Mdacigiturconiunttioncnllestc:st:vt semper i qui vlumus stc coniugarorum numcro.-um: is qmst quocl ammoclo vasts str.Lunctis enim lari o: inucnirur.7 qui anre ipsum numeri coniungarurrnu nores esse nccclic cstrv sq? vum sci perueniar. que puncri quoclammoclo ^ vernus obtine^ gtlocum.Mznqsin.io.pyranuUesupcrscx aclcllt. sunc. i Nrnvnus.q senarius supcrscrernanam quannmrc. wst verones vnum pluralitate t> anscenclunt. qui vnus rrnemum terminum progressionis offenUit. Vimilis ouomrano in ccccris prospici porest:N eorum procreatio nes oitigcncins colueris perscrutari. Illx vero que stit g rerrason o p vramicjes:caclem tetragonorum mper le co politione nascuntur. Descriptis enim cunctis renago nis iclest, __________________________,_________________________,_ st s 4^ j 16 i I) l ;6 I 49 64 ! Si I loo ) vnirarem primam ex dac oisposttioe prestuna s erit Midi potestate 7 vi pyramis ipsa vnitasrno stum etiam opere atcx acru. Llt stc buic mragonu superponam iclest. 4. nascetur pyramis quinG nume rorumrqueouob^cantum numeris plarera postus con tinemr.Sinverobis sequentes,y. aUiccero:NctimM. 14 numerorum forma pyramlcilsrquc per larcra ruvus vniraridus concluclamr. LlrP duic st sequentem txnago num. 16. superponam:rriccnaria midi pycamiciis lorma proUucirur. Zn dis quoq? omnibus pyramicllsrtot erut vnitalcs per latera qusnkxin se fuerint numerorum ag gregakx quantitates, i^am vniras que prima pyramis est vnlitti solum iclest se ipsam gerit in larere. Suinqz ve ro que conllant cr vno-r. 4. vuob^ per lacera ocstgnarur 14. que ex trib" numeris compostris stt: tcrnano numero in latere polltoconllituitur.IlSancantcmpyrami 6um gcneratioiiem monstrat suviccla oclcripno. Tetragoni. ^______________ I 1 4 j 9 16 I 15 ! ?6 49 I 64 i SI i loo j Dyramicless tetragonis. z >14 i;o 1140 !ro4!^!;sS> I I ^ l " ! ' I 'I ^ L Lacicunstem mossumc«inctxa exteris multian c gulis prosecte sormx.in altioris summx spscia prociucuiitur. Lmnis enim inultorum angulo rnmsorma ex stu generis stgura vnitati superpollta ab vno ingreclientib^acl pyramidum conlliruenclas stgnras vsq; in instnita p:ogreclitur.§rex boccqmclem apparere neccsse est triangulas sornras exterarum stgurarum cc pn cipiumrquoci omnis pyramis a quacunq; bast protecta vela quaclrato vel a pentagono: vel at, kcxagono vel av beptagono vel a quomnq; stmiliumssolis mangulisvl-cn aci verticem continetur. v7Decurtis pyramiclis. Lapi; vigclimuqmrrss. Lire autem oportet qux sunrcurtx pyramiclcs f velquebiscuttxrvel que tcrmrtx:vel quater: s veinceps lecunclum numerorum allectione ildertecra enim pyramis est:quca qualiber ba profects vscn gcj primgm vi ^ potestate per uenit vnir-tem.D n veros stuslidet dsst protecta vsP s-l^nirarcmalritucioillanon vmcrit:curta vocabik.iste ttcctzkuiusmoclipyramisrali nScupationestgnarur.- st aci cxrrcmitatem puncruqznon venerit. Dxc aure; est: vtli quis.is. rerragonoalilciat. 9. atcybuic. 4. er sv vltenoris seleasiectione vnirssts suspenciat:pyrsmi ais eqmclem ligura ekstecl quoniam vlq; scl cacumk y>ri ns non ercrmit:cuns vocavitur.7 badevir summitatem non iam punctum quol vnitasestssccl superliciezrquol est quilibet numerus secunclu; basts illius angulos po: rectusratcy -vlrmms gggrcgatus.lkam li tetragona tue nlvssisuquzclrakaviminutioncsempersscenlllt.-rlipc^ lagona basls:l1milircr.-r li bcxagona:illa quoq?vlrim lu perlicies erit bcxagona. Lrgs in cutta pyramiclc ror errr anguloru; superstcics quor fuerit baiis. L>i'vero illa py ramis non solum acl vuirarem exrrcmitakemq) non per ucriitrlcci necacl primum qnoqz opere -r actu mulri angu lum eius generis cui^iucric basts:vis curra vocabitur, vr lia. 16.rerragonoprostcilcens vsqzin. 9.rcrminum po narmcqz excrescat aci. 4. -r quocuqz terragoni oesucrint: totiens eam curram esse oiecmus.Llr li vniras oeliierir primus quaclrarusrmrtam qua? grcciksoluron vocanc Li vero vuob^tetragonls vcstcitnclest vuirare -r co qui sequiturrvocaturbis curtgquazgrcci oikaoluron appcl-Iant.Suo6sttribustetragonis:tcrcuns oicirur quam greci rrikaoluron nominat:r quotcuq; recragoni fuerim minus:roticns illam pyramiciain curtam esse proponi mns. It)oc aurem non solum a tetragono pyramiclis: (ecl in omnibus gb omni multiangulo progreclicntiv^ spe^ culari licer. H7Decubi«vel asseribus vel laterculis vel cuneis vcl spdericis 7 paralellibipeUis numeris. Laplm. xxv. L oe soliciis quicicm quc pyrsmiciis formam » obtincncxqualitcr crclcemib»: 7 s ppria vclur rssticemultiangulistgura progrcclienribus oi crum est.Lst alia rursus quxclam corporv; so listorum orclinabtlis compolitioreorumrqui oicuntur cu bi ve lasseres:vellarcraili:velcunet:vcl spbere: vel pa ralellipjpecii.que sunt quotiens superstcics contra le suc: 7 oucrxm instniwm nuH concurrent. Dispostus enim inorciincmterragonis. ,____________________________ i ^1 4 I 9 i is ___________________________ rSuoniam di solam longimstincm larimclinemqz sortiri sunt -r aliiMliinccsrenr si per latera solam vnam multi plicarioncmrecipiant:cquarcmprouebunrp:osunclisar^ Piam quatuo: mragonus ouos daber in larcreir nar^ cx vis vuob^. Bis enim ouo quatuo: faciunr. Dos rigo ouos er lps-ns latere st multiplices xqmlircr: cubi for rua nslcctur.iks; st bis bi nosbis sacics:octonaria qu i uras crestiurest primus biccubus.Mouem vero mra gonusquoniam.z.bsbctinlakcre:-? facrus estermbusi se multiplicaris st enim vnam larcris multiplicationem acliunrens:rursusa'ius cubus xqusli lacerum formario ne crescit.Ter enim tres st tertio orireris.:?, cubi stgura procwcuur. rkr. 16. qui est er. 4. st quarer augelcar: se xgginra quamo: cubus pari laterum oimenstone crassa bitur.r sequentes gclem tetragoni secunclum eunae mo stum multiplicatione sacra proucdunmr - ^0^ ne cesse est vnirakes cubus bgbcak in late>v^quot l,sbu,t pn mus ille kcrragonus ex quo ipse pro-.,ucms est Ma qm. 4 rerragonus vuos nn numeros daber m larere: ouos auom I)Zverocconariuscubus.7 qm none tetragonum' bus per larus vniraribus stgursvanrssolo tmiario. -7. cubi latus vrgerur. rtr quoniam. 16. tctrggonus quam-or vniramm latusbavebatuoticlem .64. cubus in lare/ cc gestavit vnitaces. Luare criam vi 7 porestare cubi q6 cst vniras vnuseririn larere. Smnismimretragonu v na quiclem superstcics est quatuo: anguloru; rtoricleq; larerum.Smnis autem cubus qui ex tetragonorum stip stciein prostinclitatem corponscreuit: per tetragoni sc; lams multiplicatus: dabcbit quiclc; superstcics. 6 .qu, mm stngula planitnclo tetragono illi priorixqualis est. Latera vcro.ir.quornm vnumquoclq; stngulis dis que superioris tuere tetragonixquum est. ^vl superi^ vems str.mimus:totvnitawmest Singulos vem. s.quorum stngulis subtr busbuiusmoclicotinemr.-qualespriores suere rettagonl vnclecubus ipse proclucmscst. rtgo cx nawrallterprokrsonnmem.gin tlrbiects forma vescripti s-inrsubicm tcrragoniuascunwr.7exbis rerragonio g MviMkti Dm: cuviproncbuntur. Munerus naturalis. ______________. Tetragoni. m 4 s 16^ Nidi. 11s > :7 j 64^ i:x > ;i6 sZ4Z. T qnomam omnis cubus -b equilat-ris qu.idra e tis p:oncrus:(quusipseolbus parrivuscil. BlZ ? latitudini logirudo:? bis vuobus conipar citat timdo. 7 lc^m scr parrcsudcd sursum oco:sum:vcxlcra sr nilira:ante:post:llvi (quale eknccclse cit. buicoppolim; eontrariuqzccoporrevir:quinctV longimdine; larimdi ni:neGli(cyuop:osundirari gerar(qualia: sed cunctis »N(qualibusquauis solida tigura l!t ab (qualirarc cubi lsngiMinc oidare videzrnr.Di autcm sunt: vr kiquis ka eiarbisrrcsquatcr:vclterqua ergnquies.7slia duiul modi que p in(qles spacio? gradus inpquaiirerproue-dunrur.IK>(eaule; forma grcconoie scalenos vocak.ncs -So gravata polsum^oiccreiqS a minore movo vekuc gra div''crescar anreaude; figura grcci qda spcrnilcon. Ilios succuneS p Num^ vicere. ikrenim quos ad qualibet illa re con stringenda mucos sarmat: neq; laciruvinis: neq; alrirudlnisliabira ratione: qnantncomodn sucrit:ran-kuvel alrimdini minuik vclcralsimdini.pfundirarisgu gck.Arq; ideo bos ple, nqz. ncccllc cdoidns partibus m (qurliv^inueniri. rIuitlam vero bos domifcos vocanr. icl eii quasda arulas qu( in ionica grcci( regionevrairnidoo macus l?oc modo so:mat( fuerunt: vt neq; alrimclo ia / timdini:ne dipedos vocant, lamii nomen boc itavniformitercopo licum babere no poMinr. Ar ramen ioem pluribus oicru kc:e» na que boc nomine voeamr »igura:q alternarim poli tis latitudinibus continetur. lcm'solist(sigur( boc mssto strinr. Aua kiens (qualibus spacijs in longiruclinem latitu stinemqzporrectis:mlnor bis aststituraltitU-sto.Nt sunlbuiulmosti.Z.rxrbis.qui funt.rs.^ci.^.q crbis vel alio quolibet mosto.vrbis in longiwstinezls rritustineniq; cqucf mino: alrirusto vucarur.Dl ociinin-turbocmosto.Larerculisuntqui stvnt er (qualibus eq/ lirer in minus. Slssercs vcro7ips(quistez«igur( snnr so list(:ststboc mostovtcx(qustibus (qualiter ducantur in maius. Mam st (qua fuerit latituclo longirustini 7 ma io: stralrirusto:ill( stgurxa nobis asscrcs:agrccisclocistef nominanwr. vr stquis boc niosto faciar.4.qaarer. noui-Aqui inste procreantur asseres nominati lunr. Spbcni anicuneolos superius appellavimus bi lune reinxqualtteroucli perlN(quaIia crcue stucri tum ^ rquaiibus xqualicer per(qualia pro ^ De circularibus vel Ipberkcis numeris. Laprtulum zo. I rorum vero mborum quiricuq? sticrit ira » vuctr: vt a quo numero cubicr quatikalis lar? coeperit in cunstezalrittistinisextremius tcrmineturmn merus ille ciclicus vel lpbcncus appellatur: vr su»t mul ciplicacioncs que a quinario vel fenario prostciicunmr. Mamquinquies quinq; qui stt.rz.av.s.progrcssus in eosstcm.;.defmir.Lr st bos russum quinquies oucas:» eoistcm. >co:um rcrmin'venicr.Quinges cnrm.r5.stur N5.7 st bos rurstrs quinges oucas. in quinarium numerum errremiras terminabitur. Llrqs boc vsq; in inkninI istem stmpcreuenik.Auost in senario quoqz conuenircS ststersri.Di aurem numcri istcirco ciclicr vel spbcrici vo-- tus vcl st-bcra c. quotiens enim puncmnr in st mulriplc LNrerisan stipnr vnstc coeperat rcrminamr. §>« cnim f» «ar stmel vnum vnus restir.7 st iaoc russuslstmcl istem cst.sjgittirst vna stierir muluplicario iolam pianitustinc; reststitrr krcirmlus.Loi icda: ,uor stber: constcimr. enim stcunstsmulriplicanoestccrrirscmpcrestprostrnstss earis.Fx.L.igitur 7.6.paucas buiusmosti formas stib-- r I 5 j 6 l I r; s Z6 i j ir; l ri6 r I 6:'z s !:y6 ' I !Z!:; l 7776 que oicirur altcri^narurk.7 qui nnmeri cui naiurccomu^ «ifunr. Lapirulum. Zi. L oe solistis quistcm 6guris b(cast prelens , vicra lussicianr. Sui aurein ve natura rex pro pinquis inuestigantcsrariombus: quiq; in matbcstos disputatione vcr omniri; nsmrasin gennna oiuistcntes bac spe LUlatisnc vMiburmt. Dicunt cnim omnes orunium re rum stibstannasconstareex ea que proprie s»(qz stmpcr dabimstiniscst ncc vliopermucatur.7ca st; namraque variabilis momsest somca substantiam. Lr illam pm» ?mutavil6N nanrram vmus eiulsteq; Mvstamic vocar. Wancveroalrerius sczquostaprimaillaimmovilr ovce senspnmasttalrcra.Auost nimirum sst vnirarcm pertt Ner. 7 sst dualirarcm. qui numcn>s p:im^ av vno discedens alter lacrus cst.rkr quoniam cuncristcuiistumvnl, raris fpecien, namramq; 'mpsres numm ro.man qniq; er bis coacemaris tetragoni stunr onpli r m cru/ stem MvstMtil participes esseV-mEiMiost^ lime fo'msnmr rcrragonuvclEruar,s u, vnum na ^ris imparivus procreantur.Jll, vcro qul sum pares: ouomam binam numeri lo:m(sunr:quiq;ex bis coaccr u«ri eollccriq; in vnam congeriem parrealrcra longiores numen nastunmr.di stcunstum ipfssbinzrii numcri na^ mmm ab clustlem substanrix narura visce,siist oicunrur. rmramrq; alterius narur( cilepgrticipesvstcireo quon»S eum lacera tetragono:»; av (qualitate progressa in (cM Lirarem p.opri(latitustin>szmbitum tcnstanrbi astieceo ^ogd^chuslirstelstcmm dilteiimim.grcS lUes iivtislarerid^quostamosto alrerig gse coniungunrur. L)uare nobis nomm est quost ex bis ea quc lbnr m voc munstoconiunckasiMt.ZutenimpropricimmuraMlis eiusstemV fubstanticqk quost ocus vel ammavclmcs est: vel quosteuP propr,( naru, c incorporalimc vca ur sut'mur»bi!is variadilisq; narur(:quost co:p^, bitalMr Vtsten^accistere.Nnstc nunc nobtv nv-nnran Dritbmctica »«r snm cstrbac gemina numerorum nsmr» quastratorn; sci licet 2 parre alrcra longiorumrcuttas numeri species cun aasqzbaditustinesvclrelar?ast aliquiclquanriratibrvt mulr, plicium vel luperparticularium 2 c?kerorum. vel »st stipsamconllcleracxrvr formarum quas vustum >n su^ perioreoisputsrione descripstmInsormari.vtqucmscl mostummuncjuserimutadi!imutabiliq;substantia:lic omnis nunrcms ex tetragonis g imurabilikare perstcin mr:r er parte sicera longioriv^g mutabilitate participat probemr este comunc^. Er primo quiclem vistribncm clumest qui lunt k> quog promecas vocsnr: istest anreri ore parre longiores, vel qui quos beteromikcis istcst pre altera longiores. Est enim parce altera longior numerer quicucx initare tsnrum larcri crescit asticica. vt sunt' 6. Ic; dis.z.vel.;r.rrcsqusrer.?constmi!cs.Llnrcrio:eve> ro psrre longior est:g sub duob^numecisbiilusmoclico^ rinetur:quo:urn lsrcrs non postrcjct vniraris distlrcncia: secl aliorum quorucuq; numerorum, vr rer. 5. vel ter sex: vel qusrer.7. Lnoclamosto enim longituclinc in proli^-xiorem moclum porrccrs rneriro snreriorc psrre longio: vicicur.Li.ir aurem psrreaiters longiores numeri vican^ tm:iup:a iam viauin est. Suastraci va quoniam ?qua; lstitustinLlongitustinigeruntipropriclongrcustinisvct ciusstem lscituclinisaptiistme vocabuntur, vrdis.r.tcr z.quarer.4.2 ceteri. Wacre altera vero longiores: quock non caelem longimcline renclantur: alrei >iis quoclam^ niosto longiruclinisrr parte alrera longiores vocamur. <17 Susst oia exciustimr narura -r alrcri^natucg conststnt: »«jq)>kr numeris primum vicleri. Lapituluz. Zr. twneaut gcquici in propria narura lubstam a na quecstimovllcrrerminamm vcstmruqzest quippe quost nulla variatione mutek: nunH cste oestnarmuquampMteste quost non luir Atlrxc vnirss sola cst:-r que vnitstc sormsnkrcomprcliL Kdilis-r vercrmiugr^eiuAem s bstanricesteoicuntur. Ea vero iunt que vcl ab xqualib?crelcut vclur quasti ar» vel quosipg vniras tormatriclest impares. Slr vero bi-«rarius 2 cucri parccaltrra longioresrqui a stnira sub sta u tia Vistesterunt: variabilis instnitxq; substanrix nomina rur.Lonststcrgonumcrusomniserblsque longcdifig crs snnr arqz conrrana:ex impanv"sc; 2 pgrib'1 Dic cni stsvilikssrillic instabilis variatio.bic kmobilis snbstam ti? rodunillic mobilis permutatio.bicvcstnirasolistrcas dic instnM congeriis mulrimsti nis. Tu? st; cunr klnt cS rrsris.in vnsm tamen quostamosto amicitiam cognatio vemqz mistenmnr illius v nitaris iniormatione arq; re gimcnto vnum numeri corpuscMcistr. ilston ergo inuri Urer necnimprouistequi reboc mnnstoveq; baccomu> ni rerum narura rsciocinsbancundanc primam rori'n,S 6i substancic oiuston-msccciunt.Ec placo qmclcm rn ti meociusstem nsmrc 2 gireri^nominarquicqmcl in mu» clo est.arP sliucl in sua narura permanere purar instiu» eluum inconincrnG 2 rerum orum primnnr.alrerum oi> vistvilcrrnunqzinproprij stacu orclinis permanens. ^ -Kdylolaus vero imM est inquit oinnis que mnr vcl» finita vcl stnirs cc.DemonstrZre sc; volens omnis que> cu inrc. primum 2 stcunclum rettaaonu; a primum pZrte altera longiorem ponimus - sck verostveos vna proportione corii,,ngirur. In Vtvisqzmim proporstonibus dupli liiulripllciras;nue nitur.Siuvcro imer secustum trrciu^ tettagemin: stcS ec r Akitbmetitt. stam parte altera longiorem ponas sesqualcere compara tionisast vtroiq; forma coilipomtur. ivl st inter tcrriu; ? quarmmretrggonuin tertia parrealcera longiorem con-stituasffesquitcrria spes nastemr -r istcm st in cunctis stcs ris:cnctas supparriculares ipes iucnice miraveris^ Z A primus i 4 9 primus rr '44 !s Z > stcunstus .1^4 quanus.Z quartus 16 , :o 4^ 16 vuplus sesqualter' sesquitcrti' Tasteunstem moclum in csterisconucnitinrue-e n.lkurfusstponankurduoterragoni exstiperi^ defcriptisustcil prim'? stcunstus:? in vnucoilr ganmrr? mcstius eorum parte altera longior vis multi- p!icelur:tetragonusstt.Wq;vnus?.4.siiungantur. 5.saclunt.co:urn binarius parte altera longior ii vis ou carurrqusmor faciunt, qui iuncti.9.stnevlla dubiranonL constcienrqui est numerus quastrarus.Er ast mnele molium in alijs vocmostodifposttis numeris quos luprs vestripstinus istcnx constat imeiligi. Oi veroconuercas ,a L?"U"t.?gnarius post ternarium impar qui er.9.7 Aienti quoq; csst em ratio est.lM ,'iles stptemno?m^^P-oclucitur: septies enim ^ post quinarium contlnenki. ^rpncsenlm.7.49.crcaot.Llt vero vvi ouo alrrinlec-' patte altera longiores vnu meclium tetragonum claustur omnesex vis g stunt tecragoni s p.mv"p:osumntur. Mam qui er ouobus ?.6.pgrre altera longioriv' ? qua^ ternario vis mulriplicgto.i6.teu agon^facruscll.iric a q rcrnario numero ieicst pari prostucitur. Susrer cnim.4-16. stunt. Et in stqucli quoq; orciine -ovi ex ienario ? ouo stecim ? bis in stuc stuminam succo nouenar!0.Z6.stunr: ex concinenti pari senario copulantur. L>ex enim stxics. zL.rcstimunr. Kecmin^in eanclem ronem cacict cx.ir.? 70.? vis.i6.factus.64.rcttgMnus.Wiccnim ex ocrona-nocontinenci post fenarium nastirur. Scricseni; ocro. L4.rekraMnuiniun8nr.Lringliisquoqz steustum cun-stem mostu st iste sacras ronis orsto non vistrepac. -I'Suost ex quastraris ? parte altera longioriv' omnis formarum ratio conststar. Lapiruluin. '4. L lnst vero qnost ex lrls vuod'tota oium lorma rum vistek orta prolatio: non minore comistc-L ratione noranstum est.lll.iqztriangnligcun-cras alias formas stcur fupcti"ooculni^ collecti prostucmmbis iuctis velut ex gvuststa? cie mentisoriluic.iMqz er vno primo tetragono ? vinario primo parte altera longiore rcriM i"t> iangnlus copular. Lt er vinario vel quarernationstest ex stcu usto tetragono stnari^criangulus.pcrcak.Lr quaternario qnoq; -r stena-ticnocnari^triangulus nastitur.Stast eunstem orstmcm cuncra triangulorum mio constavit. Disponantur eni> gltcrnatiln inter st tetragoni ? parte alrcra longiorcs.qui vtmclius p.crilotsrenf:prlus in ouod^eos vcnlv^istpo^ fuimus post aurem eosstem perntistuimus. ?qui cxlnste trianguli nascerentur alcripstmns. Tetragoni.____________________________ I 1 4 s 9 l 16'j 7^ s ;6 s 49 ! 46^1 parce altera longiores ir rcrmgonv 20 go 1^4^ 5S I^r ! 90 I altera parte Iongio:es alternat» 6 I 9 j i: l i6 j:o 1:5 s?o s Zs 47 I ! I > r : 4 ! 6 j V > 1: ! is ! :o >>-,0 > ;s 4: -r sH6 rij:Sj' 45 j 5s s 66bl Trianguli. S Sliemastmostuin quastrari ex parte altera lcmgiorib» -pcl parrc alrcra longiores ex quastraris stant. Lapiculum. zs. iMnis vero terragonus st ei proprium latus 0 aststarur: vel eostem rurstus oematunparrc alce ra longior stt. lstlaqz.4 .tetragono st quis ouo ru ngac: vel duo derralaat. 6 .aststcnsto pcrstciet -r vno vetralicnsto.ar vtcrq; stguram conriner parce altera longiorem quc st; magna est alteritatis VlS. Smnis cniminstnira? instcterminatapotentia:avkquallrax na rurs.-ra suis sestnibus contineri stubstantra vlstcstcns: sur in mai^eruberar aur i ininorc omcstiv _____________ E7Suost principaliter eiuststem rss:secusto vo loco impaces ^ principaliteronalirasalteri strsubstant^.stcusto vo lo Lopgres numeri:rertlo pte altera longiores. Lgp. ^6. M primo qulstmi loco viiltatem p:o , prie imurgbiilkV stubstantixciusstcq; naturp: onalirarem vo primam alteritatis inurationis q; este principium. Lnunsto vo loco oinnes i «ares numeros propter vnitatis cognationem eiusstem gtEimutavilis substanti? e§ participesrparcs voov vi nani numeri confortiunr alteritatibus este permotos. Terrsgsnos quoG astcustem mostum conststerari maiu festum est. Ma; quost eorum composttio ? conic-nctio ex imparibus str.lmmurabili eos nature pronuntiabocon iuncruos. Suost vero parre altera longiores ex copu an one pariu.pcreank.-nunGab alterirarfvai lE.eta, u. <4 Llltcrnarim posttis quastraris? parce atcra long 0 rivus qui stteorum constustis in differentia ? u> po- - 0. tione- Lgxtwlum. 57« Arithmetica ,6) Llust igitmperspicimstnm est:quost 6 Mm re » tragoni -r parrealtera longiores visponanmr: ira vralrcrnakim stbi permixti stnr:ranra i bis est coniuncrio vrsilas libi in eililem proporno Nidus comunicent.-viscrcpcnt autem differentiis. Alias vero differentiis pares stntrproporrionibus vistet. Disponantur enim in orclinem iclcm illi superiores retrago ni:r parte altera longiores av vno. ________________ sI i 2 i 4 i 6 Iy s Ir s 16 's ro f r; I zo i ^ istgorn lupcrioreiornrulaboc maxime inrucclu e cst.lMquntcr vnuzquicsttctragonus ^.r.vu plap:opo:tiocst.inrcr.:.-r.4dupla.Dicer§ote tragonus cum parte altera longioremrq; biccum scquen telelrggono:egstcm proportione iunguncur: differentiis verononffclcm.ManqzOuorumarqz vnius sola vm-tas differentia est: secl iclcm vuo a quaternario solo vina-nore!inquuntur.'ikursusll.r.acl.4.spcclilcris vuplsest provortio.il quamo: gei sex IrabimUinem sesqualtera; re rognosces.Dicergoin proportionibus discrepant i dis' serenuss pares sunr. lligqz -r quamo: a vuobus -r.6.a q mo: coclcm binario distant. In scquenrib^etiam eostcm woclo stcur in primis suik:raio condar. Mam eaclc; pro portio est:diffcrenllss non cisstcm.Ma;.4.gM w 125______________________________________ iIrs 2V; ! 4 I 4 l 5 I 5 >6.1_ —'—— Differenti?. iMnimer vnumrduo ranmm vumsmtcrcce vmrati <»i cqnalis est totu c binarii vo mcmci». tlcm mocig imcr.:.x.4.ranru vuo sunt.g dmar-i — suntrqugrcrnani mcclictasInrer stumemanum vero ^ senariumiclem duo stint:act quarernanuzmecllcras.aci senarium psrerkia.Lres vogscquunr qulintcr.S^.?. constituti sunr mccliiffmir qmclcm senan, dnmclmm.ps vo rcrria noucngrii. Lr rursus ternariam novenarii rcr tia xs cstrvnoamN-ij quarra est.-r acl cunclem moclum v> ctz in dncm descriptionis geminatis buiusmocli parm dus stcur ipa quocy summav comparatio geminata en. cquas partium progressiones aspicies. L7 -probatio quam aros nusuc ce namrc. >La. - Illiciam gpertiss.muilgnumell ocs retrago'. j nosimpandusessecognar s:quoclin omni vilpolitione sv vno vel in vupliciv^ vel in tr» plicibus talis nsmr? 0:60 conseritur vt nuqusm nist se cunclum iniparc locum mragonus lnucniak. Disponamus enim in orMenumcros.-primo qmclcm ouplos: veinclerripios. ___________________________^____ sl!:4Zl7r9?:kL7 q igltnrin vtrisq; vcrilb^prlmos aspicigsffingu s los quos inuenis quonianl rerragoni luntnu un pare loco sunr conMmluquomam priim iunr. Si vero rcrrium locum respexeris.4-2. 'norabis: quo Win dica vuob? proficiscit nlluni ternarius crcar.qm mx loco impari conilirrtti. AuintUln ocinclc n vuicas locu; l6.-r.si.respicies.seci vnus a quaternas io na-nk:a!te> u; noucnari^crcat.Ltli nonulocuni ursus mpuras: rerra- gonos pnorabis.r56.6M.quo:umiupiorNra.i6.inteii orvogv.si.Jcicinirin inanitum saccrc libeat inUiscre-panterinmrrit. <17 Lubos ciuscicm participare sub llsnti? quoL ab iparr bus nascantur. Laptm. ;y. qpil vo cubi g quaqua tribus intervallis sub i lari llnt:rsmcn proptcrxquglcm multiplica lionem participant imurabllis subllattc:cius clcmqznaturc sunr socis:non aliorum qua im parium coacervatione prociunk nunqua vcro pgriu.Ws li omnes av v nitare impares disponamur: iucri figuras cubicas erplicadunr. ' 11;' 1;! 7 l iZ 1-5 j M bis igimr qui prlm^cil porellate -r virtute pri i mum cubum fzcicr.Iuncti vo ouo qui sequunt tcrnari' scii; -r quinanus lecuncium efficiurtcu-bumcquicllocronarius.Iunctiaukcm.z.quilcquuntur scprcnanusnoumariusq;-r.ti.ctibum t c unng.r?. nu mero continck qui eil terrius.Lr sequeres quattior qusr rum.-r quisequunmr.s.quinrum.-raqcumicm mocium quotus qniscx cubus efficiruntor coniunctione impares gpvonuntur.IVocautem riligcmius sublecta ocscnprio vocer. 7 ! y! ii ii> 1171^ :7 pri- secunclus ternus quan^ mus avis grcrtri g quater av > vno! vuobus buslcr quatuor dis quater «7D- proporttonsl,ratibus, Lapimlu;. 40. L oeblS qulclcm susslcienrcr oiminu est nunc e rcsaqmonctquxclam dep:apc,:nonib»'s sputantes qux nobis vcl ael muscas speculari oncs:vel acl alironomicas subtilitates: vcl gq geometrice conliclerarionis vim: vcl criam aci vctcv lecti numintelligentiarn prociffepoffm': arirbinetica inrro-lincrionecomociUttMcterimnare.Lst igik' propartiona liras vuarum vcltrium vel quotlivct proportionum assumptio acl vnum arqz collectio Llrauccm comuniter ve linmmusrproporrionalitasest ouamm vel piunum p-portionum similis dabltuclo:ctiam s> non eisclem quan ritaribus-r differentiis constiturx sinr. Differentia Vo est inkcr numeros quatiras.isbroporriocst duorum rcr-Minomni acl se invicem quxclam babirucio -r quali quocia mosto continentia. Zuorum eompolltio quoci cffitir: pro portionale est.Lxiunccis enim proportionibus propor tionslitas >ir:In tribus aurem terminis min ina pro- porrionalitaslnuenik.sircriam in plurib" scst longior. vtbinarius acl vnumquoma; duo mnt termini: vupla obriner propornonem.stn vero quamo: conrm.:. mpa res:? dic est. quos st continue conlMrcsrcx vuabus proportionibus stt pro porrionaliras.Ltestproportionalitas:vnuniacl duo:» ous acl quacuor.Gst enim proporrionglitas vt victum « z Mthmetics. est collectio proportionum in vnum que restactio. firctt gnr-r in longioribus, ikg; st quatuor illis ocko velis aci iungere:: bls.i6.-r bis.zr.-r vcinceps ouplos qui icquii tmrnrin omnib^dupla proportionaliras ex proporrio-nidus duplis. Hgik quotiens v:i"atP iclem terminat» vuob-iscitcum ieterminiscomunicarivtacl -vnum vux ststacl >ilium coinesrb^c proportionslitas cominus voca tur: vt vnus vuo quaruor.rk st cniin xqusliras in bisp portionis.^quesclmostum sunt.4- acl. r. lic strnr onoacl vnum.Lr rursus quemastmostu; vnus sci ouo:s,c ouo acl quatnor.rkr icSm quatirarcm quoq; numeri cocle mo sto est. Suarum enim rrcs supcrancvinariumrtantum binarius vnirarem.7 quarum vn^aouobus mino: est: ramum binanusa remsrio lupcrak.Lin vero alius act vnum relerrur rermin^ralius vero sci aliumrnecessec ka bitULlincin oistucram vocari.Nr acixqualitareni quiste; proportionis iunc.i.r.4 s. Sic enim stirir qu maclmo clum vuo aci vnumrstc ocro ast qusruor.-r conucrllm que «cim clum vnus aci ouorstc quaruo: aci occo, tkr pemm racim qucmaclmoclumquatuor acl vnumstcoero ast binarium. Secunciu; quarikarcin vero numeri: vr lunr.r. r.;.4.quanmm enim vnus g duobus vinciturrrsntu; rernariusa quaternario lupcramr.Lt quantu duovnS vlnmmrtantoterngri^quattrnauusrrgnlit.^ermirri eriam quanto vnus rribus mino: est ramo vinari^ quaternaria, vel qusnro ternarius vnirarem lupersc: raro vi narium lransgrcclitur quaternarius. C' Sux apucl antiquos proportionaliras sacrilrqs ps-steriaclciiclerint. Lapim nm. 4l. Lmkcssc qnicle; -r apucl antiquiores notxrqux « qz acl pyrbagorx vel Platonis vel aristotclis lcicnriaz psucner nr: bxtres meclierares iuc arirdineticg.-geomerriea.armonicg. -Host qs proportionum babiMclines tres alix unt que line nomi nequiciem lerunrur.Aoeankur aurem quarra:gnra: ve» serta.que superius vieris opp ilrx mnr.LIi veropostcri propter denarii numeri'pcrfccrionc> quost erat' pvrvago tkcomplacitus:mesticrates alias quaruo: gclciiclcmntcvr in bis proportionalirativns venarix quantitatis corp^ efficerent. Secunstum quem numerum r priores qniqz babitUliines compararionesP vest' iptc sunr. vvi quiq; maioribus prop rtionidus quos vocanimusduces.-mi norcs aptavimus alios terminos quos comites oirim" Inliettiaminsristotellcgstqzgrcbytkprius.io.prccllca-mentorum oescriptionerpytbagoricum senarium ma nisestumestinueniri. Suancloquiciem r piaro stuclio-ilssimus pytkagorx lecuncluur eam d ispurarionem oiui sit-rarckyrss pyrbagoricus ankcaristotilem l; gb»M; llrambiguum vecem dxcprcijicgmenracanstirnir. Incie etiam.lo.membrorum pgrrimlx.inclealia permulta que omnia perstqui non est neceffe. Suocl primum ve es qux vocatur sritbmetica proportio nslitate oicenclum est. Lap. 4 r. Vne vero vep opornonalitaribus vecx mestj n astibus oicenclum est. Lt primum quicl?oe ea m cclicraretractabimns.quk senmclu; q„z liransxqualitatem ncglecra propo: tionig pa-'ilitare constitutorum terminorum babiruclines sernar. 2n bis amem quatitatibus mccliaas istg versas speculancla estun quibus a seipils termini differur. «uiq amem esset Disterentia terminorum superius viffi Nltumcst.Dancamem essearubmcneam meclierarc nu merorum ipz rario declarabitrquoniam eius proporrio r numm quantirgre conllstir.Snk igitur causa est buius-moui rernnnorum babirnclinem iocstaritbnieticsm cur» ^^porrionalitatibus ante poneres primum quocl banc nobrs in principio ipsa numerorum natura 1 vis naturalis quaticaris opponit.Duiusinocli enim proportiones queqzsst terminorum differentias perti-ncnr:vr paulo post ocmoilrsbimr-in naruralispRmu numcri oisposirione cognoscinius. Deincic quocl superis re libro oispuranlibusuovis appaiuir arirbru ticavirn gcomcn-icaarcpmulicaccgnriquioretr-r quocl iUaralaas stmulinserre rsuolaravcroperimerer Suareorcliev spci rario progreclierur:!) ab ea prius ineboancluiii str meclir tarerqnc in numcri vlffcrenrra non in proportionis spc-nilarioneversgrur. L7 Dearirvmaica meclicrateeiusq; proprietatibus. Capitulum. 4Z. 'jstistoniekicam nieclicrarem vo amusrquotiirs a vel rribus rei quorlibcr rcrmmis postris: (4 lis atq; castem oistcrentia inrcromncs oispolr ros terminos tnuenirur. Zn qua neglecra pro portionis- qu.ilit.ire rcrminoru m ramum diffcmmaru ep speculatiscustoc!itur.vr.i.r.z.4.c.6.7.s.9. 0. Kbaccnim naturalis numcri oiipollrioncrli » qurs continuarim oiffcrcntias terminorum cu rec aspicere: iccunstuzantbmmcam meclierarc; xqua terminorum ime i'e vistrepant a est. §qual scni; suntvissercnrix:sccleastemp:opo:tioarq) babitusto non cst.Siigirurinttibusrmninisconstclcra ios,r: continua pwpornonalikas vicitur. SinVo bic alius vur-r ali uscomcsullic vero vrriPsinrali,: vocadir viMinaame clietas.^Si igicur in tribus ranlum terminis scun-I3 cS tinuam mcci ekgrcm conspcxcris:vel in quaruor. vel in quorlivet slijs sccuncium dilluncram:eascl m lcmp viffe renrias terminorum vist bis:ranrum solis proportionibus pcrmurans.D st m vno quis noverit reliqua cu; rario non latcb r. Sir continua mestuas .i. r.Z.Dic vn^ a vuobus r.r.a rribus solis tantum s>ngu!is'distant. er suucesclcm o>ffcrc»tic proportiones veroalix. Ittaiiq; vuo ari vnum vuplus cst.rrcs aci vuo sesqnalrer.-r in cereris iclcm vicicbis.Liin aure; pcrmisccns -r aliquos prx eeriens cimas:-! in bis aliquam spccularioncm ponas: icl- m zrorcrircumii e.lAan, N cqualcs rcrminos inrernric eas:? !c«e in priore visposltione prxrere nr.st llngulos in ecnnitrssstolius binarij notabitur disterentia, stn vero vuo p.xteressrtelnsril.st rres.qugtLi ilsrij. -r acl eunciem moclum vns pius quam imermi seris: crir illa qua; que nmlis Nsterentiamminorum. l^amP st in tribus lcrmi «us stnAill relinquantur: binarius semper iniercrit. Diffcrcntlk r intermissi Ms ne vt cu; superius in naturalis numeri oli v spoirione se termini stngulis prcterircntrprcter-mrssis ouobus 7.4. vnus acl trec rr.z.gq quina num comparati binarium solum m oistercn tia rcrinuc-nnt.Wec non etlgnr m oiliumtseguem Vkflgbitun oblek Aritdmctics ,7» kntermistl Mibus ,'gimr vestigiis insistentem nullus gb I earlcin stmilimstmeerro: avclucrr. VlZcv st duos imcrmirras.ternanus vissercnrigin conrincv r. stttes:qlrarcmasius.st qusruo: quinarius:xquc in con^ nnuis proportionibus arexossiunctis. Suslirasaurc proportionis eaclem non ertt qu-nis st nr xquis termini vistercnkijsvrstribuli.Suoclst conuerstm-ponSrur: vt noncisclcm vistcrennjscaclcin qua! iras proporroisevc niatrgcsmcttica ralis proporrionaliras non arilbmetics oominamr.Lst autem proprium Iiul^mecjictatts quoct st in rridus mminis speculario str:composttio exrrcm^ tatidns ilia summa qux lntcrertremirstcs estrnon locor» tumrveru; etiamstkquatllarenicclieras Nrstponantur I.r.z.vnus itres quaruo: reclclunt.iOuo vcoqui me-stius inrcr Vttosq? estrauar-maris meclicras inuenirur. Lusci st dis mecliergre; oucasxqms e? ircrtremirativus Bis mim suo quawo: crenr. Sin vero distuncra stl: quocl kr er vm lqz errremirarivus compofwsrkoc er ou «bus mcclicratidus recjcliwr. Si cni> sunr.i.r.;.4. vn§ -r qnsruo: quinarium creant:ou-s:st permixte facias iclcm crir. L>i enim ponantur rres termini.:.4.1.r.qucmaclmoclu^ funr.s.acl.4.ita.4. acl 2. Lltq; koc st conucrrasrqueniacjrnocjum sunr.r. acl.4. ttacrunr.4.atl.s. n Dupla Dupla Slstin quaruo: terminis vt iunr.r.er.4.8.cr V is.quemaclmoclumest primusgsttertiu.i.r. sst.s.stccritsec8cluoaclqugrru:i t ' I 4 I S I6jzr 1^64 > irs :§6 s Tcrminivupli Mi igimr dubium esse potest quo6 cum omnes n termini oupli ilntrita oiffercntic quoqz eoru; rer minorum ouplskffe viclcsniur:vr vno minus ter mino in vifferenkijs:omncs pene vilpostros subter rcr^ Minos quorum sunt iptz oiffcrcnc!(:lupcno: orao reclar clerir.ikffctigm aliucl proprium quocl omnis sa mino^ rem maior terminus cornoarams: ipsum mmorcm re/ tincr differentiam .Maqz binarius acl vnitstcmiipavm tarevifferr.? quarernari^binarioupo binario. ^octonari nsquaternarioipoquaternario.-r veinceps maiores glij iplls minorib^ab effeiem ipsts differunt quos numero lirare prercrcunk.Et doc quiclem in vnplici proportione caclit. Sin vero linr triplices proportiones:maior termi nusa minorercrinino ouplicato minore termino viffcrc Nt li linr.i.Z.y.trcs gb vno:binario viffcmnrnn quem vnitas iclest mino: terminus vuplicatus erunclar.-r.y. sirribus senario oilstruuriquem ternarius ouplicarus eclucit.Tt in alijs cuctis eiusmoclsrakio reperiemr. Sin vcro'quaclmplices llnr:rriplicgro minore termino maior tcrm mus a minore vistabir. Er s> quincpiupli queelru plicato.r»l sexmpli:quinquuplicaro.-r vnaminus mul riplicationc quam est ipsa minorum acl maiores compa ratio tcmiinornmrmin rem numerus maior cxuperar. I 1 l r ! 4 > S I 16 j tzr ! 64 irs. , l 4 si I 16 I Zr I 64 I irs Termini vupu ^ Differcnrictriple .... ^ l c; l ik j <4116:^ 4«y I, ^45s s^- 27 "! 8'^ -4Z > Tcrminimpli — Differentis auastmple I I! 4 116 I 64 I r56 I Ior4 I 4096 sl6Z«t4s Termini quaclrupli. Lc gnt proportionalitas r in alijs omnibus vs d superparricularib^vel supparticnrid'tnuenirur bumsmocli proprietate in omnibus conscroara: vt in continua p:opo:r,one:quo6 tit sub extremitatibus N tres luem tcrmini:doc a meciictate multiplicata consur 8sr.Loienimfmt.r.4.8.quoci!irerbis.s. iciem sttcrq rcr.4.'LIcl Ii s,t in quaruor terminis viliuncra proportio quoel iit sub vmsq; extremitatibus ici ouarum mecliera tum mulciplicarioe concrescar. Qr st s,nr:.4.s.i6.quocl lic er vis.iS.iclest quaccr.z .rcclclsrur. Exemplar aurem nobis > narimum certiffunumcV lic illucl- vvi ex cquaii rare oixim^omnes inxqnalitglis species lunck. Ilic cniz ;n omnibus vel multiplicibus vcl iuperparricntiv^vcl superpamcularibus vcl in cereris coniuncris geometrica p:opo:rioalltgscuii0ljimr:basomncsprop:icrarcsos supracl xiNtUs corincns.Suarta vero est propricras lau iuscc mcejicratisiquocl vcl in maioribus vcl minoribus terminis-rqualcs scmpcr proportiones sunt.lsianrq; s, ponanmr.r.4.s. i6.;r.64.rnrcr dos omnes vuplappo: tioeil.Apparetcriamdxcpropornonglitasin binis pro portionibus ad vnirarc alternarim psrre alrcra longiori vus quaclratisq;dispollris a prima multiplicitatis da ^ bitucline iclcst g ouplici per cuncras lupcrparrimlans da bituclines proportionescs oilcurrLs quocl lubiectg dlcri prione signatum est. Terragonus l ' parre al.lon. r I oupla Emagonus 4 I oupla psrre al.lon. 6 > scsqualtcra Tcrragonus 9 I sesqualrera psrre al.lon. i: ! scsqmrcrtta Terragoinis s ts ! sesquitertia pg; re al.lon 1 teiqmquinta Ter.agonus ?6 i sciquiqnints pacrc al.lon. 4: l> sesquiscxrs Tcrrsgonus 49 I sesquiscxra st bcc igitur ccmpus est: vr erpccj,gm'nunc quiclsm nimis vtilein Platonica qusclam vi^ x> spurarionerque in timeicosmopcia dauci facili cuiquam velpcnettabili ratione versatur. Smncsenim plan(stgurx que nulla alrimstinc crescunt vna ranmmmcciierategeomerricgcontinuantur: alia q' iungar non potest rnueniri. vn- virus ranrum mestitis in ea/ stem proporrioncconstitui potest. Manqrsensrins ast. 4. sesqualter est: et. 9. ast sena iunr eostcm mosto ici-' qnalrcr. Ii7oc amem istcircocuenirqnost lingula latera singulorum tetragono^ efficiunt lima! asm mesticratcin. Maq; quaternarii tetragoni la us binari^est: nvuenari) ternsri'.vi elgo multiplicati lcnari»; pcrlecciunt.Bis mim tres senarius cst. ikr quotienicuq; varis onovus te rrsgonis eorum mesticrarem voluni^inuenircststera eoP multtplicanstzsuntirquicxbis procreabunt nrestmas cst. Vi sutcin cuvi linr. vt.s.?.:7.vue ranmm inrer dos eastcm proportione meciicrates constitui qucunc. ir. scili ker?.Is.naP.i:.ast.8.?.is.ast.r7.selqna!tcraranmp:s portione iungunk.Jn bis quoqz eastcm latex ratioest. 'Kanqzcr vnocubog propingo: cst:vns mcstietasvuo larera colligic:cx alternarim vero postto virum. 'Fn alia quoqz mcstierarr iclcm cst. iponsnr eniin ouo cubi ? i ine Sifferenlkxduplk vifferentictriplc vini dis ocronarium fecerunt. Tmiarius vero,cuvi lacus est. Ter cnim rrcs cer. :7. restituunt. LVcstiecas lgik queinxra octonarium cstnstest.ir.mnmarur vuola» tcra ex propinquo lidi octonario ?sliust vnu; larus ex ak triMecus postto.r7.mvo. Gisenim viniter.!:.pacluk. Lt.is.castem rarronevuo lgrcra a propinquo libi, r7.cn-bo colligit:? vnu; ad alrrinsccus postko ocronario.Tres enim rcrvis.is.conclustunt.Woc aurem vniucrsalirev fpeculanstuni cst:ll'rcrrggonus cerragonuin multiplicer: sine ouviokcrragvn^promnik.Lin vovrc altera longio: tctrsgonu; multiplicer vel retragonus pre alrets longis rcmmunquam retragonus.sest kmp aure longis: crescit nstutsus st cuvns cubum multiplicaumncuv i forma cor» kcik. L>i vero prcalrera longior cubum: velmbus parre altera longiorrmnruquam cud^procreabrk. voc scii; lccu stum similirustincin paris grex imparis. )>dar enim patrem st mulriplicckrscmp par nalcirm.? impar imparem ii multipliccr.impar piinuo procreat. Vi vero ?mpar pa rem: vel st par imparcm niulkiplicct:par semp exoritur. Wocaurem sacili^cognostieex lectione plaronis in libris verepudlicavo loco qui nuptialis dicic':quem ex persona mularum pbilosopkus inrrostucir. Vest nunc ast tertiam mestierarcin rcstcunstuin cst L7DesmiomcaMckaake'ciulP proprietatis. Ls.47. qst monics autem mcsticrgs est: qux neq; -isste a viffercntijs neccquis proportionibus consti tuitur secl illa in qua qnemaclmoclum maxi mlis lerinin^acl paruiffmlum krrmmnm poni tnr:stcvMrentia,nsximi?mcstisconrra viffcrcnris; me lruLtc8pgsuiMmicoinparak.Ntstrint.Z.4.6.vclst.r.z. S.Venrrius enim quaternarium sua tei tis parre supar: istcst vuobug quaternarius Vo ternarium lua quarta pke fuperuenirnuest vno.Et fenarius ternarium ms ineMe tace istcst tribqg.unarius vero vinarium suaparre ter / kis ille st v nitgte kransccnstit. rAuarc in visneP eastem .p portio terminorumestmeq; suntcxstcm viffcrciitic.eau kem qucmastmostu; maximus terminus astpamistimu rermmumrstc viffcremtia maximi? mesti) ast oiffcrentis; mestu arqz postremi. Mg^qz in vac proportione qup est, Z.4-6.malo: rcrlninus iclA senarius aci paruiffimu rer minum rernanum vuplus cst: vifferencia maximi? me Sil iclcst l cnani? quaternarii vuo Wicct:ast vifferencia; mecli, ? v ltimi iciest quarernari, arq; ternarij quc Lvni ras oupla pspiclmr.Scst lasc quom sudiccta ycscripcio-nemonstrsrur. r»— 1 r i Z 4 6 r termini oupli Lver aurem proprietatem quemastinouum b cmm cst contrariam arilvmencx mcstietari.In i! la enim in niinorlbus terminis iraro: erat pro xortiorin maioribus mino: rn bac vero in msiorid^ qui stem terminis maior cst proportio: in minoribus vero mmor.lttanB>nvgcoispoqrione.x.4.6.rrcsgstquaru-c>r comparati Uquitertiam vabimciinemrsexvcrogcj qru or sesqualtcram rcstcluntstcst maior cst proportio sesqngl kcra a sesquitertia ranttim quantum r-s rcrtia inesticrare rrsnsccnstlis.^uste igik'mceliccas quxclam geometrica pro prieG cffcproportisnaliras rusticatur, scil; inccr easvdi rn maioribus rerininis mino: est proportio ? minoriv^ maior:? iiircr eam vvr m maioribus maior est minsrib'' minor.Zlla cst enim vercproportion litas quc meckers tisquoUZmostoiocum obtinens:? in maioribus? > mi no:ibus:cqualibus propornonum comparationiv^ co-tinck.Wocquoq.-i stsnnmcst ouariim exteemitamm me stiam clsc quostnnosto geometricam proportionem. 1M cp in aritdmcrica p roporuonc nrcsttterminus eastcm lua parre? minore; prccestil ? a nlaiore prxcestirur s; alis pke minoris alia vo parce maioris. Lir enim aritvmctica vi Ipolltio. r.Z.4. Ternar^igik numerus vinariurertia sua pane prcccstit istest vno:? a quaternario tcrtia sua pcc prc ccstirur istcst vno.LIt veroternaruis non eastcni ptcmlno ns minorem vincit:vel maiorisa inaiore supatur. lsla q; ininorcm istcst binarium vno superarustest ipllus me stiergre binztii.a quaretnavio vero vno rclinqiiik qi?c ps quarernari, quarra eN.Tixccrc rsirur oieruin cst nicstrn ter minlimin IxiiuNnosti lncstictare.castem iiilpartc? mina mn vincere? maiore supariffcst non cisstcm pa; rrbus vel minoris minorem transgrcstirve! maiorisa marorcrran scensti-Lontratiearnaonica inestictas proportioes badz Maq; non eastem pre sua mestius terminus in bacppor tione vel minorem vincit: vel a inaiore suparnr.sest'caste; tzte niinoris nxinoren, snprt: qua pte nraioris g inaiore supgtur.D daccnim vispostrionearmonica quxcst.r.Z. 6. rcrna ius vinarium tertia lui parre vincit: istcm terna nus a senario g tota sui quancirarc supcrakristcst tribus. 'Istcmqz ipse ternari* mcstietsre minoris vincit minore; istcst vno.? mcsticrate >naio::s a maoretermino vincilur istcst tribus. Venari) enim mesticras ternarius cst. M geometrica vero mesticrare neq; cisstcm luis partibus me stius vel vincit minorem vcl a maiore vmcimr.nea; ea liem pai te vcl minoris minorem luperat: vc! lnsioris a maiore relinquitur, lcst qua parte sua mestius tcrmil^ini norcin >upcrar:castem parre lua irrnor terminus ,nestin; vincir. iZuostestvrmestlctas arq; extremitas cquslib^ mestittatem et exercnrlMtenl reliquam suis partibus lu peruastsnr. Inbacemmvlsposttione que est. 4.6.9. kertia sui parre mestius limarius quaternarium snpe -rat: istcst ouobus:? terna luipmc rnrsus nouenarius lknarililv vlncittlste st mvus»Vader aurem aliam pro- puctatem srmonica medietas. vrmmvnasexrremit^ resin vnumreclacras medietas mutriplicaucrir oupla qustltss colligitiir quam li sc niulr-pliccnr dux enrcmu tsrcs. Sintcnlm bl tcrm»ni.Z.4.6.Si igitur ternarium , senarium iungas nonenarriim faeics:qut per quarcrna nuni ouclus.ZS.cfflcr.quoctsiscipsxcxtremicarcs mul nk>l!ccnl:-r ffanc rrcs sexies, is.conticium: quod est prio^ nssummxotmlcllum. is ^uare victa Iit snnon ira medietas ea qux vigeffa est. ^ipitulum. 4?. Sniidcrgndum io.Man viclearuncurh-mcar c monicanl m dictarem vocemus. Lu"hke ra' riocff.qnonia; aritblnerica vllpofrioxquas tum per differentias diuiclit qnsnritgses-gco metticaverorermino xquaprporkionecomungir.Zlkve to arnionica aci aliquid nuod-imodo relara eanliclcrat-oc: nc«V lotum in terminis speculationem proportionis b» der: nccv solum in oiffcrcnrug-scdinvkrlsPcomnnircr. Suerit enim vr quemadmodum sunc ad se extremi rcr-> minnilc maions acl mcdmm oiffrentia: comia differen tiam medietatis ad vltimum.Lldaliquid anr conlidcis^ tionem armonix proprie eiic in primi libri rcmni oiu; vi uiffone monfframmus.Dsgrum quoq; ,nuffcarum consonantiam; quas symphonias ncminankpropornoncs m losc pene sola medicrare srcquentcrinucnias.yNalnq; symphonia oiareisaron:qux princeps cil -r quodammo-lio vim obtinens ctcmenri-conNlMirnr k; in epirrira ^ porrione:vteff quaternarius ad ternarium: ineinsmocli grmomcismechetsnhlisiiwcnimr.Sinrcnimeiusmc^ eti armoniccmedicratis rerm m quoru; extimi oupli sink -x rursus alia hu u smocli oi 'politio quem exriini tripli. I^l4l6s s'r l z l 6 s rknsrius lgitu- ad re-narium duplus est. idcai» tem in alia oiipoilrione senarius aci vingriu; rri plUS.Dorum igi-ur li differentias collmanms r ad seinuicemcom 'aremusrepurira ppoma colligitur vndediateffaron symphonia re onavir.llnt.r tres enin, 7.6.reinar»is est:-r inrer vinarium -r senarium quarcrns l 5 I 4 s Diatcllaron ^ ^ sesqult^rtiuvr / viffcrcnlig !— n. 6 l. 'U eadem quoq; medietate r diapente sympbo, i niacompomluucMin sclqualrcra loavituao re-ffituir.Mgm m ver>>ep oispoffllorttvus vis qnx lubicctx sunt.in vupticisenarrusad qu -urnarium iciql rei effnnti iptici ternarius aci hrnariiim:cx qurv' vtrn^ qz oispcnlr symphonia coniungilur. Scsqnslrers. Diapcnce. iSesqualrcra. Diapente. . . t) mc aurenr v'apgson consonantis qux nt sx k vuplici.vrcff sudi c>a formula. Dupler D-apafon. Ili triplici quoq; diipolirionc ff mul diapente er i vlapasonsympheniacompointeir: scl^ quslteram r vuplcceni rarronem. quoet iubieetH oeseripno^cs.,^ Dupler. D-speure. Dwpaion. Triplex. . l kifferentic c ; r ^ r IN ^oii^Ane wmoi st-Mini M Ir omz tilpl-e.r rursus nuorrcrn.il; Mrbmetics «ckmeSi, contta mknoremrenni«um csmprmk viNeen mmrnplusest. Ditleremix Lcrmini. lia aurem marima s^mpbonia crux vocatur bis t vispsson:velukbis vuplum:quonisn, oiapgsoii sympkonia cx ouplici proportionecolligiturrbl» tc seiunckurxarmonics meclietalisinterseric. lsiain in oli Mi proportione mM^rermuius aci minoris suiqz vifttz imnsrn qusclmplusinucnimr. Diftermtia» Lcrmink. M triplicibus quoq; crtremitgtib^maio: oisser? j ria gcl minoxm oifterenria; quacirupla ciir-r bis vispslon fymplioniain emittir. ikiaP in oispos, rione r? scrttemornmviffercntiaestuM senarii-r bi nari,.4' mino: vero visserctia icleil ternani r binam vn» 4-aukem vno quacimpla maiorestrclsrronerquccSpar» tio dis vlgpzidn con lonanmm tencc. E7 De geometrica srmonia. Lapiwlum. 49- Scanc amem qmclam armonicam Mrulmo, ^ cli meclieratem lilcucoquoq lcmper bxc.ppor Uonsiikas geometticcarmonil cognata elt.ar-wonizm autem gcomckMRn cudu oicut. 'ZL enim ex ionZituqi„c in latimciincm vistenms c>l? in at tiMalms mmmscrmit:vkerkqusiibusp:olicisccns act rquallapetuencens^qugiircr torus liviconumiens cre-uerit-Ik^c aurern mmi^gs in omnibus cubis qne c ges mmics annonis perspir er. Smnis enim cubus ksb; latera.lr.angulosocko superlicics lex. Dic surem orcio r viipoatioaimonlcaclt.Lispo„E,scni;.6.s.i:.bic cr mne vl1»butcniobM»amo: comparati/,a», sus oc-ons nus q mcclictasell alia iua parrc miuorn prxccciir:: alia ma parre s maiore prrceUimr.egeiein aurem parre minoris minorem lupcrarrqua parce maroris s «uaiorc lupcra tur. «vurlus 5, cxkreiniratesln vnuin reM-rancurra me clierace octonario 1 ,Mi iplicenrm: dupi'er, sab eo numero quem lolc crtrcmirarcs multiplicare pcrfeccrlnr. rScs autem in kac vispolltione lvmpkonias musicas invenimus. Diareisaron quiclemcoctoacisexquoniaz propo: no lclqnitcrnacH. At oiaiicnke.tr.acl.s.quonigni cs qux selqnaltcracoinparsrio dlcimr incs diapcnteconlonZria repcrik.Oiapzson vero quc cx vnplici nalcimier.r.ael r r compoiltione proclucitur. Diapslon vero -r viapence qux triplicis optincnr rationcinMk ab cxtrcmiraruin vil' fcrenria aU viftercntiain n,inorem.'lllancpduocicnarii r senaris sexvilfercnriacll.minor veroest viftcrmtia occo-narijr senamricicst.r.ciui senarius acl binarium triplus elb-r oiapalon limul r viapcnrc consonantiam sonit.I-la vero maior conlonanria queest bis viapalon: quc er quaelmplo lrlin mccjij rcrmini iclestottonarrirr ei^oilsc-rentixcompsrsrione pcrspicikrqup inter octonarii,; lena numq; reperk. L)usreprop:ie atqz conncmcnrcr kuius. mocii proportionslitas armonica mcelieras appellatur. Sucmscimo^umconlbtutisalkrinsccus duobusrcr minisrarirbinctica-rgeoinctricaarnionicaintercos nre «littas alttrncrur.stP ve coru generationibus. Gs aurem prcstare bebem^quat n"quen?acl/ n mociu osko calamo extremis loraminiv'' ma-nmribus mullcismascst:vln,cciiu; iorame pcrmuranrcs.atq; aliuci aperientes aliuei vi-gins occlnclcntes oiucrlosemitcank lonos. Neleum oua dnsaltrinscms proreniiscorclismecli, ncmi lomim mu kcis vel aiirtngenclo renuar vel rcniirrmelo grguar: i.z quoqz satis vuod"numttis nunc gclcm aricbmcticanr: nunc vero geom' tticain:nunc aut srmonicam meclickare crpcriLMUrinstttte.vtrcctum propriuq; mcelietatis no nrcn linquoc! msnenkiv'cxkrcmirakiv'I)uc atq; ii!uc scr-npttmuraricy vicieamr. Dorcrim^autembancin rno-busslrrinscms positis terminis vc> paribus vel impa ridus permurarcrira vrcum arirbmcricam ponim' mceli tarem oiffttcntiarum ranmm rario xquabiticasq; smier. Lum vero seomctricam.raka se proportlonu», iuncru-ra cuNociisr. Sinaursemonica Nar oisseeeuriamm comparatio ab terminorum proportione non rnscreoer cademsese numerorum qua ritake termini transgredientur.? omnis superius vicra.p prictas arirbmcticc medietatis in disterminis mstodir Scdll.iz. numcmm medium ponam vtstnr.;.!,. 45. k geometricam n,edictarem termini rclabuntur: xqualib? terminorum ad k invicem proportionibus custoditis. Itionem vero st inrcr vri olq; terminos ponam: vt stnt. 5.y.45.stkarnionica medietas, vkqua summa maximus numerus parvissimum prxccdincadem maior visseren-tia minorem vistercnkiam vincat.Sua vero Disciplina duiulmodi inedietarcs reperire postimus expediendum rst.Dacis vuobus terminis:» ancbmeticam medictare; constirnere oportebit: viraqzest extremitas coniungcnda quodqr er ea copulatione colligitur oinidendum.ilqznu merus qui ex oiuillone redactus est arirbmeticam medie rarem inrcr exrremitatts locatus efficiet. vr. io.?. 40. k iuntcro:efficlunr.5o.quosll oiuidam.rs. reddunmr. Dic erit medius rermin^ secundum aritbnitticam proportionem, ole! st illum numerum quo maior minorem superat oiuidas.eumqz minori superponasrquodq; in-de cnncr scit medium ponas aritlomecicg medietas inior marur. iklam.4o.de»ariu>„ tricenario superat, que; ii 01 uidas.i5.stunl.bunc st n,inori idest vcnario superpostie ris.ro.?.5.nascenrur.quem st medium constimasrarilb-mcticx medietatis ordo formatur. eSeomerricam vero st rationem vcstigcs:ei^numeri qui sub vtriiq; cxttcmitari busrontinckur rerragonlcum lar»» inquire: ? bunc medium pone. Mamsub:4o.?venarionumcro.4oo.conri, nentur. Si enim venariun, l.4o.multipliccs: dicnume rus crescit. Dorum igirur quadringentorum require rc-ttagonrwm lams. bi sunr.:n.<.1iciescnim.ro.4oo.essi, liunkur. Repertum ergo lac^quadramin medium consti rucs.Ncl st eam propornoncm quam mrer le vari rem,i> ni custodiunt vividas:? id quod relinquetur medium ter minum ponas.MZP.4o.gd oenarium quadruplusc. DiMr quadruplum st vioidas vuplum sacies:qni k Ili-stcer.ro. Alam.ro.ad oenarium ouplus est. Dunc st me dium constiruas:mcdietatcm geometricam perseret. Zlr inonicam vero mcdieratem rali modo reperics.visscrcn-kiam terminorum in minorem rerminum multiplica.ct post ningc terminos.? iuxta eum qui inde consectus est: comrtte illum numerum qui ex Eremus ? temno minore productus est. Luius cum latitudinem inuencrie: addas eam minori rerrstino.« quod indccolligirnr medr um rerminum poncs.io.enim.?.4o.stunr.5o. Distere kia aurem intcr.io.?.4o.;osunk.quem st niulriplrcasm oenarium:idestimlno:cm:dec!es.Zo.opo:ler.;oo.cinci es. Suos.zoo.iuxra cum comirrc g ex iuncris vtriiq; c > secruo estridest iuxta.;0 sac.cnr.enim quiquagies leno -?inucnimr lacicudo senarius. Dunc igirui st muis:it:r mino addas sacicnr.16.? dic numerus medi^constimc inrcr.io.?.4o.armonicam proportionem mcdietLicn-q-seruavit. H7Delrid^mediecarib^quearmonick?qcomcrricx con rrarixsunk. Lapitulum. ;i. L quidem mntaupd antiquiores inurntc.p^ b barcq; mcdietatcs.quas idcirco lonz,' enoda tiufPtrackauimusrquodbcmarimcm anri, quorum lccrionib^nucniuncur: ? ad omne pc ne vim cognitionis eorum vcrialur vrilitas. Lxrcras aurem prctcreundorranscurrun'':idcirco quod non mn:-ru,n novis in lectionib^prosunt. sed tantum ad i iu ple» dam oenarii numeri quantitatem. Sux ne laccam ne ve stnraliquib^ignorarc ocpromim^.Aidentui enim de stl pradiccis medietatibus este conrraric cx qutd^origincm lrzbunc.Lx bisenim eriam lstx sunrconstirurx. E ii gur quarta mcdicras qux oppostca viderur armontexun qua triv^terminis posttisrquemadmodllm est maximus terminus ad paruilstmum:stcvtstcrencia minorum ad ou-ferenriam marrmorum.Nt sunt.;.5 .s.sex ad rcrnariu; vuplus.Lrsuur minores.5.?.;.maximi verobniusvi spostrionis.6.?.z.Disterentia ver o minorum quinanj sc; ? terna-ij.r. sunr maiorum quinaris ? senmj .i.qui.r. ad vnum comparati vnpium laciunt. Srgo qukadmo-dum est maxim'trrminus ad parvissimum stcniinoru; terminorum disserentia cst ad oisscrentiam maximorum, liquer aurem oppositam ? quodrimodo contrariam esse banc medietatem armonicx mcdierariudcirco.quod in illa qutadmodum est marimus kermin^ad pawissimum: stc maiorum terminorum vissrrcnria ad oisserentia; mi norum. Dic aurcni cconrrano.Lst aurem propriun > bu ius medietatis:quoniam quod continetur lub marimo termino? medio:vuplu; est eo quod continetur sub me-dtoarq; pamissinio. Series enim quinP.;o.sunt:qulir quies vero tres. i;. Dux vero ali; medietates quinta sci licet? sexra geomerrick mcdieratl contrarie sunt: ? eidem videmur opposttx.Sst aurem quinra mcdicras:quorics ju ttib^termims quemadmodum est mcdiustcrmmus ad minorem tcrminum.ira eorum visscrcnria ad oissere, tiam medi, atP maioris.Mz,,, in bac visposttione.r. 4. ;.qnaternari'ad vinanum ouplus est. icd inrcr quarerna num? binarium vuo sunt.inter quarernanu vero? ma iorcm rerminum idest quinqz. 1. ? vuo ad vnum vupll sunr. Lontranum aurem geonlcrric; medielan m vae.p. portione est: quod in illa quemadmodum maio.m m n ad minorem cssct:stc maiorum orsteeenna ad oEentlg; minorum bcc vero contrarie quemadmodum minores ad se rermini iuntssic minorum oisserenna rerminoru ad maiorum oistercnriam comparalur.Lstamem propriu; in bac quoq; oispostrione quod illud quod conrincr sub maio-c termino? medietate vnplu; est eo quod luv Vtris g. crcremirativ^conlinctur.Mam quinquies quarruor iunr ro.quinqutcs vero.r.sunt.io.?.ro.dmam oupl* est. Sexra vero medieras est quando irib^cerminis con-stimtis quemadmodum est maior terminus ad medium: stc minorum terminorum differentiagd oistrrcnriam ma rimarum.'Znvispostrioneenimqucest i 4.6.maximus rermin^ad medium sesqualtercil.visserenna rero mm» rum idest vnius?.4.ternarius est: maiorum vero idest quaternarii? senari, binarine.Lernanus aurein vinario compaearus «esqualteram bavimdincm proportionn efficiet.Lodem autem modo bxc quoq; medieras gE tticc contraria est quemadmodum r gu>nta:p:optcr pro- Drildinenca '74 portionem dissermriawmamlnorlbus Sirmaiorester-minos conmrkm. EllDe quatuor mestierstibus quas posteri sci implesti» vensrium limitem asticccrunr. Lapimlum. L bx quistem sunt sex mestiekates quam tres r a pycbagora xsq; sci plarone; aristolcmep ma semnr.Wostveroqui isecuri stint bas rrcsali - . Esvequidus iupra disseruimus suiscomcn- tariisastarsterc. Sequens autcmxtas qucmastmostum ommus gst tmplenstam vensrism quantitarem aiias q-ruo: mceilerares apposuir.quas non acico quis in verttst iwrlsmucniat.Das igirurnos,qnsm possumus Premi kme vliponsmus.D>:,ms enim que est esrum in orstinc vero ieprima mestieras boc mocjo coniungirur: cum in tnbus terminis quemastmostu; est maximus terminus «ei vitimu;: iic maximi, psruisslmirermini disterentia »st minorum oisscrennam terminorum. vt in I)sc diipo kuone.s.s. .yisloucnarius igimr sciscnariu; sesqualter est-quorum est visscrentis ternarius. LVinorum vo rer-ininorum.iljcstqcronarii rsenari, vinarius oissercnria L qui aci lupcriorcnt tcrnaiium comparatus lscir seiqual reram proportionem.Oecunsta -vero inter qustuorssest ocraua m orciine proportionaliras est: quotiens in mv^ kernunis qucmastmostum sunt extremitates sci se inuice; comparatxrlic eorum oissercnria ast maiorum remnnorn. dissrcntianr. vt sunr.6.7. .M ouc igirur ast.cr.selqual tereti., eorum disterentia ternarius estqni comparati rra maiorum oisterentiamustest seprenarij, novenarii g dnisriuo cstrreciciit stiqualteram proporrioncin. Terna veroinrer bgg sequentes quamo:. nona aurem in orstie proportio cst:qnansto rribus terminis politis qua; pro portionem meciius termilssac! parvissimum custostit.ea rcrincrertrcmorun! disserentia aci minorum disterentia tompaata.vr.4.6.7.EkM'm.6.aci.4.sclqtiaIterc.euo rumcst oissercnria vinanus.sepkenarii vero-r quaternae ru rcr arius visse, cnria est.quem li aci superiorem vinari um comparemus scsqualtrraproporrioneconiunqitur. «narra v^ro qux in orciine deeimaesteonlisteratur in tii vus rmninis.cum rati proportionemcciius rermin^ au psruimmum comparantr.quallenrcmorum disserentia eontra maiorum terminorum dissrremiam proportione coniungirur. vt iunttres quinqzocto.Suinaiius eniz mcstius terminus aci rcmaium snperbiparriens est. Extremorum vero differentia ottonar-, sc.liccr, ternarii quinarius, qui comparatus contra maiorum remiinorS vifferentism st; quinarii, ocronarij qui est rernari' :, ipe quocv superbipaitims inucnikm. E7DGoi1tioveccmme6ietatum. Lap 5;. Isponamus igimr cunctas mecnaares,n or-v stincm: vt cuiusmocli omSs linr faallime pol stnr inrcUigi. Nnrdtncrikg - -Orima I - o Licoincrric, Seeuncla I r 4 Armonica ^ ""Tertia 4 L contraria armontcc " Suarra^ Z 5 L contraria gcome.^— ccimranageome? Suinca r 4 5 Scxra ! I 4 6 imcr.4.pnma Sevtima l 6 I ° y mter.4.lLcuncja l-Acraua l 6 7 tnrer.4.renta -V?na 4 r, 7 »nler.4.quarta Dcrtma Z 5 l S «7 Demaxima, pesfccta,ssmplroniz qucrribus vistcn MrvrmlerarlUs. Lapitulum. 54. E stat ergo de m arin,a persectacy srmoma vss t serere.que rribus mteruallis costikura magna vim ovriner in mullei moci»laminis tempera mentis:, in specu'ationcnaruialiu,u questionum.Ekenim pcrtectiusbuinlmosti mestiergre nidii poterit inucniriiquerrid^nteruallis pstucm ptectiistmi cor poris narura substariaq; sortts c IlSoceni mo euvii quo-«V rrina oimcstonecrassatumrplcnam srmoniam ccmS-strsuunus.Dxc aurem duiustnoclt inveniemr: st ouob* terminis constitutivam ipst trtbus crcum nt inrciuaklis wngitustinestarimstine:, profunelttatc: ouc, buiusmosti termini meclijfukrintconstimtirrlpsttribusrntkmsllis noratirqut vclabxqualivusxcr (quales (qualiter s»r p:ostucrr: vel ab inxqualivus ast in(quatia (qualitcrrvs av lnxquallbus act (qualia (qlirer vel quolivctalio mo sto ari vero inter quaruo: qui est rcrtius terminus xqua parte quarti quarrum terminum superer:, xqua primi aprimo superetur: armonica ^porrio meciieras perspiurur. ss k quocl eo ^SSrcgarione, multiplicatione meciieratis vuplcx est eo quoci lud vtrscp extremitate concitur. Sll aurem quoclclambuius dlspolirionis crcm plar l)oemosto.s'.8.y.lr.Dgsigituromnesso!ic!gL qua times esse non vubium est. Sex emmn astuntur ex vno bis tcr.l r.aulciu er bis duo ter. Dorum aurem mcciie-tarcs:octonarius str scmel vuo quater.Mouenarius vero semel trcsrcr.vmncs igitur rmnini cocmslilwi:, tri pustmeruallorum vimcnstonidusnotatl sunr. 'jn bis «gttur geometrica p:opo:tionslirssinucnitur:st. tr.scl. , ^"^"nrparcmus.Utracxi enimcom p^.io sefqus rcra propornoei^.^ quocj continetur parte octonarius superamr. Sualuorenim quid^ ocronanus a ouoclenano vicimr: duocjcnari> tertia pars eir.rr r i, extrem-taces iirngas.6. icikrct,. 1 r. essq; pocto nanum mcclium multiplices. 144. sunr. Suoclilscexrre muatcs inultiplicentsser scilicet,.ir.!acicnr.7i.quo nu mcro.l44.dupluscst. ^imeniemus bic quoqzomnes muilcascon!onannas.Manqz.s.slj.6.,.y. gtj." parati sesquitertiam proportionem reclSunt:, stmui tcstawnconsonaiiriam.Sexvcroacl.y.vel.s xq r, psrakircqstunrstsqualteram p:oporkloncm:sest viaventr lxmpkoniam. Diioelecim vcro scl senanum conststerati duplicem propornonemsscci viapskn lympboniEca-nunr. Scw vero ,.Y.,pl contra se mesti Lcastcpoesto ummnsunr.qui m muacomockrlamine wnos Ek- 4S qukomniUMmMarumknorUinnienIirmcomunis?. Smniuin cnim est lonus islc psmiiumns. dnlZcnorS estquorl oiarcilaron r viapenteconidnannaruronos oif tircnttsest. sillrrinterselquirertianiTsesquslrersm pro portionem solacii cpoc^ous oikrtcnlis. rkius aurem oe-knxnvms IlivterqxmMsckecimus. H>rox>ottionslitss geomerric»-Lesqualcerx proportiones- Txttemoruw me«Zio:umP multipliisliones. Itdroportionalirss antbmetics. Disserencix. r z Scsqittrz Dravc-e Dnpls Disxsson. cxttcmirglcs multiplicare 7r finis 2!nrbmrlltk 144 Iunax extremirstes rpcr mcUium mulriplicsrx. Lonsonsnnxriruilck. ' Lcsquircrria Sclquirertig Lpixroemlum Mu sicam narurslircr novis esse coniunctamir mores velbo nestsxLrvLlLuerrcre. Lapirulum. r. LDnium quistem pccptio lcniu um lca sponre ac nscuralircr qui busstam viuenrib^astest: vtsme o bisaial non possit inrclligi. S; non cqueeorsistern cognitio:ac sir ma pccptio animi inucstigskione colligirnr.Illabo^tir est enim:g? scnsumpnpicnstisscnsidilib^rc-dus gstbkbemns. Zux vero sir ipsorum sensuumssecustsi quosagimus:nstura:7 qucrenim sensibili» .ppricras: ici non obnisi neq; cuilibet explicabile ck potuiisi que con veniens investigatio veritatis contemplatione direxerit Astcst enim mneris mortalibus vims:c,ui vmimvenie tibus ast vilum stg,iris:an ast sensibilia rastijs emims essiciamninter oocros quistem oubitavtlxcst: vulgsiquo G ips subiratis prcterir. assurlns cum quis trianzvluz reipicic vel qnaoramssacile icl quocl omlis icuctur: agno st, r: Scst qucnam trianguli vel qusclrsti Ut narura:a ma tvcmatico nccessec perar.Istcqzve cxtens sensiv^ vici po rcst:marimcq; vearbirrioau!ium:qusrumvisita sonos captat: vt non mo ve bis iusticium cgpigr:dissercntiascV cognoscar: veru m en sm delectetur sxp,':si sulces coapta nq; mosti sinr:angarurvero:st dissipari atqzincobcreccs feriant sensum.Anste sit: vl cum sint quamor marbelcos sisciplinc:ccrc x quistem aci inuestigarionem veritatis la borenr: LDusica vero non mosto speculationi: verum eri gm moralirariconiuncra sit. 'Mbilcstemm tam propri um bumsniraris.H remitti sulcivus m sciis: astringi-q; conttarijs/Z6q; non mocio se ein lingulis vel stucliss vel elativus rener: verum per cuncta distunstimr ilustis: -r i!isantes:aciuuenes:n-cnon ttia; senes i:a naturaliter affectu quostam spontaneo mociis musicis astiungun-tu:vr nulla oio sit ctas:qux a camsterix vulcis delectatis ne se iuncrasit.Ildinc criam internosci potest: q> non frustra gMrrone dictum est munsti animan musica conue nicnki a suisse comunctam. Lnm enim ex eo.quost in no-dis est iuncrsi conucnicnrerq; eoaptstumrillust excipi, cp in sonis aprc conuenicntcriV conmnctumestrcoqs ve lccramur.nos quoqz ipsos caste; limilimstine compactos esserognosciinus.Ainica est enim similitusto:Dlsstm,ii/ rusts vero ostiosa arqZ contraria.Mnc etiam morsi quo-cymarim? permutationes sinnc.lasciuus quippe ani mus vel ipselalciuioribus delectatur mostis:vcl sxpe eos sten, austicns cito cmoliimrrac trangimr. Avursns asperior mens vel incitatioribus gaustcr: vel incirstiouvus aMeramr Ivinc est etiam m mosti mulici gcnrium vocabulo dcsigmtisnnt:vci>stiusm°stus:rp,r:vsms.Suo enim ii «st vnacmka; gens ganstct: eostcn, mostus ipe vocabulo nsicuparur. Sauciet enim gens mostrs inorsi kmilitustine.McP enim sim potest: vt mollm suns:su ra mollioribus gstiiccrantur:aut ^ustcanr.^xstamorc; velectationcmq;(vcoiclumcst) siimliru sto conciliat. -Miste ildlgro eciam maxiine caucnstum existmiar: ne ve nemorars musica aliquic! pcnuurciur.iklegatennncc vl lam rantan, morum in repu. labem: quam paulstvn ve pustenkiac mostesta musica inucrterc.Statimenimistc; auoqzaustientlum animos patupaulacimq; dilcestere nullumq; bonesti ac cccti renncre vestigium:» vel per la/ Li uiores mdstos inucrecunstum aliquist vel per asperiores seror atq? immane mentibus rUavacur. Mulla enim maccis ast animu; oisppiinls uia:P aurcbus parer. Ln ergo pereas lssitlimi mosti»; astanimum vsq; desccstc-rint dubirari non porcstrqnin equo inosto menten, alE ipsa sunr c'si'lcisnt:arq; conwrmenr.^stvero 7 incelligi in cribus.HG ist boc tempore pene nullum est. Suost ve / ro lascivum ac molle est gcnus bumanumsist comur s«ui cis ac tbcarrslibus mostrs tcnccur./uir vero pustens sc mastcstaLVuilca:dumstinpIic!o:i!?uso:§antsag-.mur Nvi vero vaste pcrnmceP tractam est: amisit grarmslis a q; virwtis mostum:-r pene in rurpirustimm prolapsa minimum antiquam speciem sirust.Tlnstc jldisro preci prrminimeoporterepueros ast omnes mostos crustiri: scst porius ast valcnres:acsimpliccs.Atq; bic marimc it lust recinenstum est:q> si quoquo moclo per pam-.ssimas mutationes binc aliquist permurarck-rccens quistem mi nime scntiri:post vero magliam sacerc oMcrcnriain: -r p auresast animum vsBvclavi/Istcirco magnam cc cu-stostiam rcipu.istijatoZrvitrgtur Musicam opnme mo rstam:pustcntcrq;coniunctgmita:vr sitmostcstaac sim- plex:e masculamcc esseminaramec seramcc varra. Guost lscestcmonu maxima ope simaucre-oumapust eos Tba letas Lmensis go:tin?maguo precio accitus pueros vi-sciplina musickartisimbucict./ultenlniistantiquisin niorcmwiuqz pcr mansic.Euoniam vero eis tbimotbe us LVilclius supcrcas:quas ante repere, ac: vnuni ast-stistit ncruuur:ac multipliciorem eDusicam fccit:cxcge re ve laconica. Lon!ultum qz occo sacrum est. Liuost insi gneelt spartiararun, liNZua.s.litterg; in.M.vcrrentimu ipsum oeco consultum cssstcm verbis grxsts apposui. C7 Auost consultum ist scilicet conrinet.Istcirco Tbimo lves Milesio Lparriataslucccnsuiste: cp multiplicem LOusicam reststens puerorum animis-.quos accepar em sticnstos:ossiccret:r a vmutis mostestia preoestiM. ct cx srmoniam:quanrmostests; sulccperatstn genus cliroma ticum:quost mollius cstunuertmct.Lata igitur si-rapS eos musicx viltgcntiarvt eam animos quoq; obtmerear dltrarcnrur: cIuIgarum quippccst: qz scpc iracrmstias eannlena rcpreitciarrHniulrs vct in corporun,-veli animorum sssecrionibns mrransta pcrssceur. Lu>. enim est il lust ignorum:cp pytbagoras ebrium gstolctcmrc-n mn-rominiranum snvpbrygu mostr sonoinciraru; sponsteo succ-ncnte reststisteur miriorem 7 sui comporcm. Mam m scortum in rivalis oomoesscrclausum: ara; illeImcns pbrlgu mosti incitarum nruitis anricorum astmonirioni vus a facinore noluisse oesisterermurari mostum prccepit mqzitalnremis animum astolcsccnris ast stamm mcn-nspgcarissimgtcmpcrauir.Suost lcsticet. LV.Tullius comcmor. t in eo livrcuqucm oc consiliis suis compos» UMerquistcmsscstboc nrosto. Scst vk aliqua «mililu-stine aststuctus maximis minima conseram: vr cum vi-volenti astolesicures Ubiarum eriam canmsvt sit) instin ctl mulieris pusticc rores siangci c»t:astnronliilie stbicina vr lponstcum canerer: ipyrbagoras vicimr. Suost cum illa tecisscrnarstitate niostorum 7 grauirate canentis rilo-nim surenrcn, pcmlanr-gm consistasse. Scst vtsinnlia brcuitercxemplaconquira:TcrpanstcuZtq; Aston Me tkimncus lcsbios:atq; rones gravissimis morsi,s canr^ eripuere prcsistto.blimcnias 'vero Tkcvan^ Vocriorv; jpluribus.quos lcianci volor-.s tormenta vexabant: mo stis cuncrss serknr abstersisse molestias. Scst csta c5mpc stocies crilt, ems dolpitem quista glastis sin lbunstus in- »zc!erct:q'el'»i;!epatrem accusatione oamnastitunsterisi-siemodumviciturcancdi:itaq;ado!elccutisiracundiarc-pcraile.In tancum veropriscxpbilosiopbik studijs vis musicc artis innomit:vrpvtbago:ici cum dinrnasii som no rcsoluercnt curas.-quivusda; cantilenis vterenmr: vc eis lenis 7 quic-us sopor irreper. Itaq; ttp>crecti slijs g bulliam modis stuporem somni consinsionemq; purga -banrr^d nimirum siciencesup rora nostrcanimc corpori q; compago musica conumcra sik. 'lsiiam vr lesicco.-poris alimus baberssra etiam pulms cordis motibus inc ta-tur. duocl sclliccr Dcmocrims IVypocrati medico rra-didisse siermrvum eum quasi insanum cunctis Democriti cmibusid opinanrious in custodia mcelcncli causia -visierer. Sed quorsiuni illas Suia non porest oubitan: quin nostrxammx? corporis status cisidem quodamo-do proportionibus videatur eccomposttus:quib»srmo ancas modulationes posterior oispurario coniungi co- xulariiV monstrabit. Fnde est enim: cp insisnrcs quotV Cantilena Dulcis oblcctar. Aliquid vero asperum: ar-q; immite ab audiendi voluptate siusipcnclir. Mmirum ici criam omnis cras patitur.omnisq; sicxus. Suclic; st ris acribus distributa sinr:vna tamen Mustcc oclecraki oncconiuncra siint.Suid cninr str.cum in steribus luet» lpsios modulanturoolenrcssSuod marime muliebre k: vecum cantico quodam oulcior stat causia stcndi.Id veto etiam stiirantiquis in mo:em:vtcanrusribixluctiv» preircr. Testis est Dapimu s Lorarius doc versi». Lor-nu graue mugit adunco tidiarcni reneros siuemm produ ccre manes.2 qui liiauikcr canere non porest: stbi rame» atiqnid canit: non quocimni aliqua voluptaressticiar id quod canit:sicst q- qnanciam instrain oulccdincm ciani-nio prosiercnrcs quoquo niodo proferant: delectantur. 'Nonnecriam illud manitestum cst:in bellum pugnanti uni animos rudarum carmine accendi.-' rZS si, vcristmije est av animi pacaro stam qucinH aci siurorem atq; iracuni Mamposseprosierrullston cst oubium. q> conturbare mZ ris iracunciiam: vel nimiam cupiditatem modcstio: msd^ postit astringere. Suid excum aliquis cantilenam live» tiusauribusarqzanimocapic ad stlud cciam non sipo» ree nuerrirur: vr morum quocx aliquem similem auditg canrilene corpus effngat:? cp omninoaliqrrod mclos au ciirum stbi memor aninssipsie dcccrpar.Akcxbisomni-dus pcrsipicucmcc oubitantcr apparear ita quide novis musteam naturaliter esse coniimctsm: vt cg ne st velim» quidcm:carercpossi,nus. Suo circa intendenda vis me tis est: vr ist quod naruia cst insttuzlScienna qiioqz posi stt colnprebcnsinni teneri. Sicut enim in visin quocy na msticit erucliris colores siormasiqz consipiceremist ena qux nrborum proprictasunnest^aumni : Sic non sufficit cantilenis mustcis oelccrarimisi criam quali lntersecon-mnctx sin: vomm Proportione vstcarur. KI Tres esse 2Nustcas:in quove vi Musice narrarur' Lapitulum. r. Ikincipio igitur de Mnstcs disserenti illud p interim dicendum viclcrur: quot Mnsicx ge neraabelnsstucliosts comprebensia esse noue rimus. Suntautcmrria. Lrprima quidem munclana cst. L»ecuncja vero bumana. Tertia que in qur busiclam constituta est instrumentis; vr in iLvrkara vel tibiig:ccrerlsqi:qukcattt'lenksiamulantur.Lrp:i^^, es que cst mnnstangun bis maximsiperspicienda est: qux in ipso cxio compage elementorum-vel temporu; va rictare vstlmnu. Sui enim stcri potest: Vttam velor cxli rnacvlna rsciro silemiq; cursiu moucsmr. Lt stast nostras "Ius ille non pcrucnit. Suost multis stcri oe cau «s necestc cst: non porcrir ramcn motus rsm velocissim» vt! magnorum corporum nullos omnino sonos ciere: cu presiemm tanrgsinrst.llarum cursius coaptatione conig m: vt mdllxquc compsZinstumrnibil tta comirtum in- teUigi psstlt.Oamcg ali» cxcelsto:cs:slisinsierio:cs strun kur.arqziraomncsequaliincitacione voluurur: vr pcr visipares rncqualitstes rat»mrsuu,u orsto oucatur. Muste non potest ab bac cxlesti vertigine 1 ams orsto mostula-tronis absistere. Dm vero quamo: elementorum oiuerst tates contrarialcy potcnkiasrnist qucstam armonia con-iungc, crrqui stcri possa: vr in vnum corpus ac macbina Lonuenirenr.Scst bccomnisviucrsitas ita 2 rcmporum variemtem parir2iructnum:vr ramen vnum anni cor-Nuscmciar. csilnstc stquist borum.quc tantani variclarcm rebus Miniltrancraninio 2 cogirsrione diicerpas: cuncrs jperesnk:n^ illam incorpoream rationis viuacirrrcm corpori misce sr.-nist qucstam coaptatio:? vcluti gi auium lcuiumqzvo cum quasi vnam consonantiam efficiens tcmperarios Suist cst autem aliust q» ipsius imer sic partes animccS-mngat:quc (vr Aristoteli placer) er rationabili irratio-mbiliqzconiunctsestsSuist veroq> corporis elementa permisicegr.aur partes sibimcr rata coaptatione corinears Scst debacquoq; posterius dicam.Tsicrtia est LDustca quxin quibnsistam consistereoicimrinstrumentis. Dcc vero astministralurauc incentione: vc nauis:aur sipiriru vc rivijs: vel >,is qux acl aqua moucnmnam pcrmffio-ne quaclam vrin kis:qux in concava qucstam virga xrca feriunmr:arqz iste diuc, si eff>ciunrur sioni.Dc bacigimr mstnimcncorum LDusica primum Iioc opere oisiputastu viclcmr. Seci procmij siatis cst.Nunc oc ipsis M usicc elementis cst disserendum. EI7Dc vocibus:ac oe Musice clementis. La. z. Anlonantia:que omnem musice mostukario-k nem regitrprc er sionum stcri non porest. So- nus veropreter qucdam pulsium perculsiionc G non redditur, ij-ullus atq; pci mssio nullo modo esse porest.nist prcccilerit motus. Si en i; cuucra knrimobilia. non poterit alterum alreri concurrere: vr al kerum impeilamrab altero.Sed mncris stancib motu cx carentibus nullum stcri necesse sionum 'Idcirco oiffini turldnuspcussio acris indissoluta vsiq;sstaudltum. alDomiim vero alii sium velocio:es:slU tgrstio:es:com deq; moruum alii snntiarioresralu sipissiorcs. Mam st quis in continuum morum rcipiciambi aut velocitatem uut tarditate; necesse cst comprcbendar. Lcoin vero quis niouegt manum:aut stcqucnti eam movebit MotU:aur m eo.Lr st rarstus qnide; siueric ac rario: motus: graves nc cesse cst sionos effici ipsa tarditate:? raritate pciledl. Sin vew sinc motus celeres ac sipiffl:acutos necessccrcddi sio-nos.Idcirco enim idc ncruus si intendatur ampli»:scu mm sionak:Si remittatur graue. Qugimo enim rensto: cst: velocio:c,n pullum reddit:cclcr,usiq; rcuertilur:? frequentius ac sipiffius aerem sie, it. Sui vero lario: cstsso-Lutos ac rardos pulsius cffcrt.-ramsiq; imbecillitate ffrien di nec diutius rremit.sisleq; enim quotiens pellitur cor-sta: vnus cdl rantum putandus cst sionus: auc vnam m biseffe pcrcussionezsscd totiens aer smtur:quotlcns en corda tremebunda percusserit. Scd quoniam iuncre sionr velocitates sono:um:nullo intercapedo auribus simtirur Emlica l?L Trvnus sonus stnsum pellit vclgrauis: vel armus: quauis vtercp expluribus constet.grgtiis quideerrar, diorib'? rariorib^aculus verocxcelerib^ac spilsts. velu ri 6 conmmquem mrbonem vocanrrquis oiligcnrcr ex^ rornet.eiq; vnam virgulam colorisrubrivclatcrius vu rat:? eum qua psrest celcrirarc convertat: ivncaoms co^ nus rubro coloreviderurinstcmsMon quo toms it» stt. Sed q> parres puras rubrx virgx velocitas compre> bendar.5 apparere non stnac. Sed ve dis posterius. Zgimrquouiam acurx voces spi Moribus? velocioris moriv^ineitanrur.Vraues vcro tardiorib^ac raris. quctadditionc motuum ex gravitate acumen intencli: oe tinctione vero momnm laxari ex acumine gravitatem, cp pluribus enim moribus acumen G grsuiras constar.Zn quibus amem pluralitas visteremiam facit.eam neceste est in quadam numerositate conlistere.smnis vero pau ritssad pluralitatem ira stst baber: vt nummis aci nu^ memm comparatus. Lorum vero qux stcundu; nume mmconferunrur.partim sivi sunkxqualiarpartim kxqua lis. Suocirca soni quoq; parrim sunt co.ualesrpartiin ve ro sunr inxquslirare vistantes.Sed in dis vocib^: que nulla inxquMstc viscordantmulla omnino coiisoiiLtia est.ec enim consonantia est vissunilium inter se vocum i vnum redacta concordia. L7Despeciebusinxquz!itakis. Lap. 4. 'Llc vero sunr inxqualia:quin>V inter se modis q tnxqualiraris momentacustocliunr. Slur cni; alterum ab altero multiplicitate rranstendimr aur «lngulis parkibus.am pluribusram mul nplicitgte^arrerauc multiplicitate? partibus. Erpri mum quicle inxaualiraris gen^multiplcx appellatur. Lst vero multiplex: vbi inaior numerus minore;' nume rum babetin st torum vel dis: velrer: vel quatcr:ac oein cepsrnrbilq; vecstmidil exuberat: appellatura; vel vu^ plum vel triplum vel quadruplumiatqs ad bunc ordine in instnita progreditur. Semndum vcro inxqualikaris genM:quodsppcllarur supcrparticulareudestcum ma io: nunrecus minorem numerum bavet in st totu:? vnZi eius aliquam parrcmreamqzvc! vimicliam: vt tres ouo mn»:?vvcarurstsquglterapropo:tio:velkcrtigm:vtqua tuo: ad tres:-: vocatur stsquicertia.Llddnnc etiam inodir in posteriorib^nuineris pars aliqua a maioriv us super minores numeros continetur. Tertium vcro genus im cqualitstis estrquoticns maior nunierus torum intra st minorem continet:? eius aliquantas insuper partes, ce st ouas quidem supra concinetrvocabitur proportio lu verbipattiens: Vt est quinq; acl ms. Sin vero crcs sup se continet:vocavimr svpcrtripsrtiens': vt sunt stptcm sdavatuo' Lt in exteris quiclcm cadcm stmilimclo ce votest Svartumveroincqualitarisest genus: quod ex LLLSLSML» qmterrius^t sunt stplcm acl ttes. Sm ^ttomnocontl nebitur:? cius oilniciia pars: vocabulir mplexstqual-rcr:vc sum stpremad cluo. SltP ad eundem modumn cxteris ? multipiici^tis:? supcrparricularitatls vocavu la variantur. Tuintutn est genus incqualitatis: quoa gppellamr multiplex superparricns:quanclo maio:uu> mems minorem numerum davtt in strot-lm st-' mcl:? cius plulD vnam aliquam parte' a. Lr si vis ma ior numerus mmorem numemm conrinebit:vuasq;ti insuper partes:vocabitur oupicx supervipartiens: vr sunt t, es gZocro.? mrsus rriplxx luperbipatties: vtlnr rresad v ndeclm.Ac oc bis idcirco nunc striccim acvre-' uiler explicamus:quoniamiulidris:quosvc Zlrirbme rica institutione conkripllmus.oiligemius enodsulm . MLucinsqualitatls species con sonantiis aptenrur. Lapirulnm. L bis igitur inxqualirans generibus postre e ma vuo quoniam ex superioribus mixta sunr: relinquamus. De tribus vcro prioribus spe eulstio iaciencla est. Llptincre igitur maiorem »6 conlonantias porestate; videtur mulriplcx:constquc ter aurem supcrparticularis:Supcrparticns vcro ab ar monixconcinentia stparalurrvtquibusdamprcrer L>co lomcumviclcmr. L°Lur multiplicitas:? superpameularitas consonatiis vcputcnwr. Capitulum. 6. A naqzprobanturcomparstioni conknkanea c quxsuntnaturs.limpiicia:Lrquonismgrani tas ? acumen in quantitate conststunnea ma^ xinie v iclebuntur struare naturam concineris qus distrets proprietatem quantitatis porcmnt msto>Zl re. MamcumilraliaquiUcmoiscretaquatitas:alia ve^ ro continug:cg qux viscrcta estun minimo quiclcm linita cstuecl in instnitum per maiora procedit. Manq; i ea mi ninia vnltascaclcmq;stniracst.Ininstnitum vcro mo-clus pluralitatisaugerur. vr numerus qui cum astnita incipiar vnitate.-crelccncli non Irabcr stncz. istursus qux est continuarrora quicle; stnira cstrlccl per iiistnira minui lur.linea enim qux continuacstunstnita fcmpcr pgrri> tionc viuiclirur:Lum s/t cius lama vel pedalis vel que cuq; alia vestnira niensura.Quocirca numerus stmpcr k instnita crescit:continua vcro quantitas in istnirs nunui rur. LVulriplicitas igimr quoniam crestcncli stncin >,S babetmumcrimaximesemgtmmram.SuperpLlriculL riras autem: quoniam in instnitum minorem minuit proprieratcm lcruat continue qustitgris.M>«iU!tam5 rninorenucum sempcrcumco»nncr:?cius velviinidis parrcm:veltcrtiam:velqugrtam:vclqulnram. iKam le perparsamsiorenumcrooenominaraipsa vecrestir. . 'lkam cum rmia a tnbus venominata stt: quarta vcro a quatuo::cnm quaruor tres lupcrcm:quarra pon^ qz tcr kia minurior inuenitur.Supctparticns vers ia; quoclL «nodo a stmplicicace oisteclic. Duas enim vel rrcs vel cd ruorloaver insuperparres:? a simplicitate oistcLs exu^ bcrar acl quanclam partium pluralitatem.isturstis muitt pliciras omnis in integritate se conrincl.Mam vuplu; bis babcl rorum minorem.Triplum item rcrtiocotiner torum minorem.arqz aci eundem modum cxtera.^roup' parriculanras vcro nibil integrum 5eruar:scd vel vimi^ dio superar:veltcrtia:velquartg:velqu!Nta. ScdramL Divisionem lingulis ac simplicibus partibus operatur Supcrpartiens aurem inxqualitas ucc struat intcgru: ncc lingulis adimit partes. Slrqz ideo secundum rbagoricos minime musteis consonantiis addibek.Wro lomcus tamen etiani bgnc proportionem inter consona lias ponitr vt posterius ostendam. E7Lnx proportiones quibuscosonanriss mustcissplL wr. Lapiwlum. 7. ' Llud ramen ce cognirum ocb;:g' omnes must i cx constnantix aur in vuplici: aut in triplici: aut in quadmpla:auc in stsqualrera: aur i sts quikcrkia proportione comitiant. Tt vocabik quide qux in numeris fcstluircrtia est. oiarestaron. Tux in numeris stsquastem: Diapente appellatur in vocid». L!u? in proportionibus vupla cst:viapast>n in constna njs.Tripla verooiapenre:acdigpason.Suadrupla au tem bisdigpaiov.Ex nunc quidem v>lluersslirer:atcviu discrete vicrumiil. M«stcrius vero omnis raciopropo:^ tionum lucebit. «rsuidlit lonusrqmd mtemallun!: quid concinentia. Opimium. g. dd; Snusigiturcvociscasusemmeles.i.gpkus s mcloin vnam inreniloncm.Sonu; verr?non generale nuc volum^oissinire: VecI mm qui grcce dicirur plRbongus mcc'' a similirustic Io questi.cps k V-/sc7d cts.-Inrerusllu vo est soni acutt gra u iiP vistanm.Lonsonatia est acuti soni grauil«V mixtu ra suaviter vnikormiterqz auribus accistcns. Dissonan tia vero cst duoru sono? liviincr pcrinirto? aci aurezve nicnsgsperaratqzimocunstapcussio. ip.azvumsibimec misceri nolum:7 quostamosto integer vrerP nitirur uemrexumq; altcr alteri oMcit:ast senium vrciP «niua-uirerrransmimmr. , . ^ . C7Mon oe iusticium oanstu ce senstbusssest 3>npiff rom ee crestcnstumst quo vc sensuum sallacia. xLap. 9. Est ve bis ira proponimus: vt non oe iustici s um lenliv^ocm^HH g sensu aurium kuiuicc qrri sumaruromnc principiu. Mam st nullus esset austirus: nulla oino oispucstio oevoeib^ exlilisser.Scst principiu quostamosto: 7 quali astmonici onis vicem tener austuus.'ildostrema vero pfcerio: agni rionisq; vis in ratione coniistit.qux certis regulis lcle re nens nullo vaq; more proiabimr.llstam quist oiurius viccnstuestoe errore scnsuum:quanstonecommbus ca^ stem scntiensti vis.ncc cistem boinini scmper squalis e. strustraaurem vario liisticioquisHcomitterrquost veraciter affectat iquirrre.Istcirco 'jkdytlizgorici mestio quo stamscrunturirincrc.lklzmnecomne iusticium vesturau ridus:7 qnxstam ramcn abcis non niliam ibusexpiorsn tur.slpsas 7 enim consonantias aure metiuntur. Luiv^ vero inter 1c oistantiss consonantis viffcrgnt: ist ism no surivus:quarumsuntobmsaiuclicia:scstrcgulisrst!on5 cx permittunt: vc quast obcciicns quistamssamulus q; kc lenlus:'Iustcr vero arq; impane rano. Mam licet or-uni pei:e artium arqzipstus vi-xmomeuta sensuum oc calionc prostucra st nrrnullum taincn in bis i usticium cer rummulla veri comp:ebcnlro:starbitriu; rationis absce stat.Ipse enim seissuscque marinus minimisqzcorrum pitur.lklain ncq; mininia sentire propter ipsorum scnft biliu; paruiratem potestrr maioribus lcpc coniunairur ^lliii voclvusrqukliminimxstnrroifflciliuscapkargu^ stirusrli stntmaximsnpstus sonims intcnrionc iurste-scir. <17 Suemastmostum istivtbzgorgs proportiones conso-nantia-um inucstigsumr. Lap. ro. xc igitur maxime causa suitrcur relicro auriuin b ilisticio.ijdykl)zgo.'gszstregu!aiummomen ta migraueritrqui nullis bumanisaurib^cre-stensrqux partim naruraiparrim etiam exrrin secusFccistenribus pcrniuramunpsrrim ipsis variant statibus: nullis criam vestitus instrumentis:pencsqux sxpe multa varietas akcx inconstantia ualcerctur:du nne quistcz st neruos velis aspicere: vel aer Immistior pulsus obtusterenvel liccio: exciearcnvcr magnirusto rorste gra uiorcm rcststerer sonum: vel acumen subtilior tenuarer: vel alio qusstg mosto statuni p rioris constantis mutarer: v cum istcm esset in excen s instmmcncis: omnia bcc inco wlta minimkqzcstimansststciviukstuans inquirebat: stuana rarionc strmitcr 7 constanter consonantiarum mo wentgperstiscerer. Lnni interca viuino quostsm nuru pmeriens sadrorum officinas pulsos malleoseraustiuit Absonis vnam qnostamosto concinentiam pcr> igitur zst ist quost oiu inquirebat, attonitus strarcm c^"b.Diuq; consiste, ans arbitratus cst viuer g«L^''°ru,i,fcricnriuin vires efficere. Lltcy vrist nir sL Aiqucrcr:,i'ura,cnr inrcr se malleos rmpcra > rcvat-scst p-opnckas non in bolum lacerns ke ucrr r-msu^ malleos comi rabar. Avi igu 'staiast. examinar. Ercu quinqzecnr 'cperri iunc ponstere: qui libi sccunstn vmpa.on consonantiam rcsponstebanr. Eunstcm etiam qui vupl'essct aliossesquiterrium alteri^comprebenstit gst quem scilicet viaccisaron sonabat. List alium vero que stam:qut eistcm diapcnre consonantia iungebarur:cun-stem superioris oiipluni reperir esse sesqualter»;. Duo ve ro bi:sst quos superior vuplex sesquitertius 7 sesqualter ce provslus cst:ast se inmcem sclquiocrauam proporlio-ncm pcrpenst lunt custostire. Sumtus vero cst rcieaus: qui cunctiscrar inconsonans. Lum igitur anre -K^rda goram consonanlixmuacx partim viapLsompartim via-pcutc.partimo:gtcss ron:quxcst conionanua nunrma: vocarcntur:iss>:imUL jjdvrliags: -s boc mosto rcpcnc: qua proportione llbiiner bcc sonorum corstz mngcrcmr. Er vcllc clarius:quost vicrn cst: L0iNt vcrbl crraria itial lcorum qustnor ponstcra:qu( mbrer sc, ipris numeris eo tineanrur.i:.9.s.c'.Diigimrmsl!ci:qui.ti.7.6.ponste nbus verscvsnt:oiapasonin vuplo concinentiam per tonabant. LOalleus vcro.ir.ponsterum ast malleum. 9. Lr malleiis.s.pousterum ast mailenm.s.ponstcru secu-stum epitritam proportionem oiaressaron consonantis in gebatur.^loucm vero ponstuu ast.6.7. lr.ast. s.oiapen' te consonantiam pclmisccbant.stsloucm vcroast.s.m lcs quiocrau» proportione resonabant ronum. Dupla Diapason scsstocrz sessttertig vjgtessaro oiareffaro lt-onus lesqualte^ <17Suibus mostis varix a ijdstbagora proportiones consonantiarum perpense stnc. La. «- Znc igitur oomum reucrsu s variacxsmrng, b tioncpeipcnstit.an in propor^n-b rar,o srmpboniarumcota conststorel.Wune quistc kM!Lponstersncru:saprans:rko:uq; consona nassure viiusticsnsillstunc vero in longitustmecalamo piedar. Sene 7 pro mensuram mosto cMbosxquorum ponsteiiim acetabulis immircns: Vepe ipsa quoq? acera bula viuersts sormaca ponsteridus virga ^cg scrreaue pcrcutiens nibilee viuerlum itruenilsc lxtatus est. st?ic §r oucrus longimstine crassitustlii?qz corstaru; vtexamr narer aggrelsus cst.Zraq; rnucnit reaulsm:oe qua p-^ nus loqucmunquxexrc vocabuluni sumpstr: ss re- gula tit lines: per quamiitzgnitustincscc-rstarum sona q; meriturnest cx regula quxstg; ,-,x buiulmosti lnipemo lira strmacV: vt nulln inqmrkmcm vuvio lallat u-oicio. <^De viuMone voca.cg^ explanatione.^' Lst oeblsbactcnus.iNnnc vocum oittclenri s as colligamus. Smnis enim -cox sui cdes eff:quseonn'nua:sur viaffematkcequx dicimrcu; in rerualio suspensa.? continua quide c.qua loqucnrcs: vel prolam orarionk lcgenrcs verba percurrimus. Minar enim rnnc vor no bererei acutis 7 grauib^sonists; Pve lociffimc verba pmrrcrc expediendisq; senlib^: erprim? dilq; sermonibus continue vocis iinpcr^opctak.Diaffe mgriccauremcffea:quam canendo suspendimus:! qua non vonusser>nonibus:scd modulis inscrniM.rkffP vorhila tardior:? per modulandas varietates quodda; faciens inkcmZllu> no taciturnitatis:s; luspcnix acrar^ dcpot!Uscanrilrnc.Dis(vraIvin^aurumat)addiktcr rig O:ia:qux medias voces.polfic inclndercrcu sc; beroS poemata Icgim^meq; ptinuo cursu: vrproia:ncq; liispcn solegnronP niodo vocis: vrcanricu. 6uod inlinitatcm voek bumana na ffnierit. La. i;. §"d ouc continua vor?:? ea mrsus qua vecur s rim^cankilena:ngtur4ite>quid§inffnltxsunr Lonsidcrationccni; acccpra liull^ modus vel euoluendis icrm nib^ffr.vel acuminiv^attol Iendi's:granitmibus q; larandis.S; vkrisP iistura bu mana ffcit.pp w 6nc. Lontinux eni voci rermino duma nus spus secir: vlrra que nulla cone valcr crccderc. Tata enim vnusquisGloquiwfptinuc:quatu naturalis spus ffnat. iffnrsus oisffcmalicevoci na beiumcerminu facir quc amta; corr voce graiikqz oetcmcinZr.^in eni vnuk quiscv vel acumcn valet errollcrc:vcl deprimere graui/ tsrcm:quacu vocis ei^ngturalilcrpalik modus. L7 Suismodusfftaudicndl. La. 14. N nc quis modus audiendi lindifferam'. Ta N le eni qnidda fferi psuenit in vocib'': quale cS paludib^vcl quieris aquis lacrn emii^mergi wr saru. O>:iMi i pamissmiu orbe vnda Migit.Deir» de niaiorib^orbib'vndaru globos spargit atqz eo vlqz: vn fan^a^mcmsav cbciedis fluctivMqcscat. Lvpq; pofferio: -r inaio: vndirla pulsu debiliore viffundimr. g> si quid llr:qd cresceres vnclas polfit offcndcrcrffari ille mor^rcucrkimr:? qll ad centrum: vndc^>fccr^sucrat:cis-dem v,idulis rotudamr.^lra igirurcu aer pulsus teccrit sonmpclliraliu pximu:? quodamodo romndu ffucruae> ris eirt.I mqz diffunditur: r olu m circulianti» ilinul ferit auditum,atq; illi cff obscurior vox:quilongiMrcrir qin ad cu vcvilior pulli aeris vnda puenit. Is igitur ita ppoliris oicendu videtur: quor ,) aenenlMscsmilcna rexamr.ocquid' armo nicc luentionis visciMaconNderak.Lmrau tem beciDiaronicS: Lrornaticu enarmonicu. De quii? ita vcnmcrpiicandu c:ff vri'dctcrracordlS omeram?: ee qucadmoduni auct^nernorii nnmer^ad rd quo nue plu> ralirsseffivfq; puenerit.ldauk net: Si p:l'ce>memore. mus:qu»bus proportionibus ssmpvonik muncx mrs« snrur. L7 De consonanriss proportionum:? tono:? semitonio Apssn e2na!3cff:quc fft! ouplo vtkkt 0 en.i::.DkpcEVo qux pffalbis numms.r. veroc:qucin bac.pportioe con , ^ eEark.v«AL'So sesqusoctgUZppornoneco l!udrtur:Sedrbocnodux>5oEig-vt -- y.Dispalove ro 7 diapente rrmla conapa^tione colligitur boc modo. r.4.6.Bisdispalon quadrupla collatione pcrffcimr. r. 4.z .DiarcffarS vero ac diapLte vnum perffciunt oiaps konbocmodo.r.;.4. Mukar. Maclmpls DiSpalon DiSVsilon Diatclsgronrge Disxenle L>csgkerll-i Sc/quioctsvA r 4 lV Diapente Vl/v L>latesiaron / ^'Nam ^ voxvoci vuplosic acuta velgrauis: viap,^ konsonamissier.Sivox voci fesqllgltera proportione nc vel sesquitertia: vel sesquiocrausacunor grauiorctz.Dig penre:vclojaresiaron:vcl tonum consonantiam resiclet. 9remn.vt.r.?.4.2diapmre:vt.4.^-l?n>nn gantur:triplam:qux esi oiapalon -r oigpente:emciat ilnr pboniam.P sivis viapalvn siar: vr vuoaclqugmor: 7 q ruor ack oaorqusampla sier consonantia: que csivMa' xalon.L'nsesquslcerair sesWirMta.i.vigpence:roiares gron:vrvuoaStrcs:7tresackquaMor coniungantur: Dupla.i.viapgson nimimm nMturconcmcnrsa. Sua ruor enim aci tres sesquitertiam opiment proportionem. Tres vero aci binarium sciqualcera collatione-iungmi-tur.riclem quaternarius aci binariumappolltis dupla ei comparatione copulatur. Lecj scsqu irertta oiatesia -ron: -r>eiqualccra proportio Viapcntc coii!onantia crcsr Dupla vero viapalon eisicir sfmpdoniain. Digtcsisro lglmrac vlgpcnre vnam oigpason concinenriani iungur gurius ronus rn xqua viuicii non porcsi.curautez: po simus ltqucvlt.-Nnnc Ixx-ranrum nosic fcifficiar.L' nu> q; tonus in gemma equa oiuiclirur. ZltV vr ici li-Muuc comprobetur:Sir iesquiocraua proportio.z.9 lioo-uin nullus naruralirer mcclins numerus inciler. Dos imc bingnomultipIicemus-fmntGdis.Z.rs.bis.y.iS.im ter.iS.gulem.r.is.vnlls numerus namrsiitcr inciclir qui esi scilicet.!?. Sui Visponanmrinorciinem.k6.i7. is.Mtur.lS.ac.is.collari sc-quiocrsttam rctiitenr.ppo: tionemratP ickircotonum.Lccl^auc proporrionez. 17. nummis meclins non in xqualia partitur. Lomparar" enim aci. r6.babct in se rorum.i6.-r cius sertam clecima? parrcm leiliccr vnicarcm. Si vero aci cum iclesi.i7.rcrti uslaesi.is.numcruscomparclunbabetcum torum: -r cius occtmamseplimam partem. Mon igitur ij ibc; par tivus-7 minorem superat:-? a maiore superatur. Lsieni minor pars septima vccima.-maior sexraUccima. S; vcra qz semitonia nuncupamur. Mon omnino semitonia exkquo lint mccliaucci quocl semum vici soler:quocl acl in tegritarem vsq; non perucnit. roecl inrcr bccvnum --naius semitonium nuncuparur:aliucl minus. L7Zn quibus primis numeris semitonium conster. LMtulnm. l?. No-Zvcro sir lnrcg, um seniitonium: auc qui-q bus primis numerisconsietmunccu-cjcnn' us explicabo. Icl enim quocl de divisione toni vicrurn csi.non acl boc pertmck: vt semitoniorum moclos voluerimus osicn clere: ^occi acl ici pori^ g> ronum in gemina xqua oiccrelnus non polle oisiungr Diarellaron:qux esi consonantia: vocum quiclcm e qua-tuornnremallorummum.Lonsiar aurem ex ouobusro nis:-?non lNkcgro lcmitonio.Sircnim subiccts oeicri- ptio. i6r.ri6.:4Z.r56,2i igitur.i-r.numerus.rzs.com varcmr:sesquitcrliaproporriosict.gcvigtessgronconcinL riam re sonabit. Sccl ».ri6.acj.i9r.comparcmus: lciqui-octaua proportio csi.esi enim eorum oiffci cncig. r 4.qux§ ocraua par s oe. 19: .eil igimr tonus, iivursus ll. ?4;. , ri6.cSparetur: erit altera sisquiocraua p: oporrio. Mg,7, eoruin vifferctia.r7.pars.ri6.p:obgruroctaua. illesizr compargtio.rs6.aci.r4z. Tnoruz vistcrcnriacsi.i;. Tui ocues sacti mecjietgte1n.r4z.non viclenrur implere, kigiksemitonia: s;mtN"ascmironio.ruccmi„rcLru eele initoniuiurcputgrek. Sieo^ oisiercnria: qurcsi.^. siz otticsmcsiicrgtc.r4Z.numerorSpomMcsquarc.^siev veru semironiu inin^. r^-Z-^. rzs. comparatio. ^0NUg> Dsg^^/1 Drz Dra !>? MDiatelsaronaviapencetonosistare. Sap. i§. Arstis oizpenrc consonantia vocuni quisteni r est qumq; intcruallorum quatuor: triu; tono rum. v minore sem-ronio. 'Dronarur iste nume nis.t-r.i el^sesqualrcr sumatur: qui ast eum vlgpmrefacizrconsonantiam.Sitigikur numer^.rss. Igitur boruin r superius dep:cdcnso?.ic>r. ponanmr i Niestio numeri l)r:i6.:4;.:;6.?str!)oemo soumcs oe^ kriplio. i?:.ri6.:4Z.:z6.rg §. Lesqualcsra crronru ronus L7In superiore igitur vcleriptione.lsr.v. 256. vuosro-nos r semitonium continere monstrari 1unt:1Kcstar igik eomparatio.rzs.ast.rss.quxeltsestquiocraus isteii ronus coruP ora cst.zr.qux eii ocrsua pars.rzs.Irsq; mostra-taestv!gpeurcpsonantiaexrrib'tonis semitonioq; con ttare.crxest vuvium oiarcstaron -> onankia accntu nona-x»ms ouob-'numerisvsqz ast.:;6. venerat. Mac verso ia xmreabcisstem.iyr.nuincrisvsPast.rss. vistenstirur. Superatur igirur viarcstaron planaria ast viapere es,p-pottione.qux ltcr.r;6.-r.r8S.numeros prinelur.LIc e bic ton'.oistel1aro igik symphonia r vyapetc lono crascestE L7 Dtgpzssn quinqzronisri ouod^lemitoniss «ungi. iLspitulum. Ispgson psoiisntis constat er quinP tonis: -r * vuob"kmit niis:qnx ram? vnu no ipleaurro nu. Sm em monstratu c oiapason ex viapen te -r visrcstaron ?Nstcre:oiarestai on vcroovg / ra est ex vnobns tonis -r semitonio constare: oiapente cx MdUStonlL«scmitonio:finmlmncrsMciunr quiiiP tonos Lest qln illa 0 0 semitonia nocrZt inkcgre mcstie rgsts:co? piuncriosst plcnu vsq; nopucnitrScst mcstie tace quicie kupat:ad ltegrirate rcliuqnirur.Lst q? viapa son iccustum loancroncm er quinqz tonis: -r lemstoniis ouov ": drcstcutast ineegru ronu no aspiratura virsa ln regm seiniremuzprocicunt.L'; quxboru sitio: vel que sstmocluipsk psonanrix mustes repiank: postea liquisti-' kxplanabicur.Intcrea pnki oisputarioni lnv incstiocri in rclligctianestttUrasgstbibcstae.tunc vcro strma ois stries luinestg c.cn propria vnnquostqz VcmSstrZtlSe claruerit Dis igik ua vilpostlis paulstp ve citbarx ncmlsr ac ve eo? norbus:quoqz niS kunr astciituvisscram'': Sux q; eo? c.i str nominn.ItDrs cni primu sst noricia ven:err-bus lacilccrit stienna qux lcquunrur:aMplccti. iLap. ro. Implicc iuisteprincipio musicam i efcrt nicloo s luacus astco:vt qustuo: nemistotaconstaret Istq; vsq; ast orpdcu vtirauir: Vtprim^quistE nem^r quarr^oiapailon psonancis resonaret VDesti, vcro ast seinuick arq; ast extremos diapcte ac ora rcstaron.ac ronu:Mil vcroicis cstcrincosonu: List imita lionc stilicer LVustcx munstanxrquxcrqtuor constarcle mentis. Lu^qugstrico:stiLDercuri''dlciturinuentor. Lruiuta verocorsta post claorcb^arbis stli^astiunxit: qui 1'uit lystoru rcx.Dyagnis vero pbrix scxru liis appostr it neruu.Lacst ieptim^ncrn'arcrpanstw lcidio gstiuncst' cst seunstum si; planctarum stimiitustmem. Inqzbts: qux graurMnra qnistem crar: vocata e bvpare qusst maior srq; donorabilior. A uste Mie er bypacon vocant. Loniulem costcm quoq; nuncupant uornine.ppter cxcel-icmiam vignstatis. rkaPszmrno estarrriburapropter tarstirarc mor?:-r grsuirarem soni, ipardypate vero seca sta qusst mxrs'bypgrmpostta? collocata, ^iclasnos tertia istcii co:q,n licbanos vigirus dicir: que nos mstrccm vocain^.FZrxcus s lingksto iicvanon sppcllar. rkr q,sr i„ canensto ast ea corstarqux erat rcrlia ab vypare-.instcr vi/ git^rqui cst iichanos:inuenicdatur:istcirco ipsg quoq; Ii Manos appellata e. Snana vicitur me!c:qin inter stprc sempcr cst mcstis. SuiNts c paramese qusst iims mestia; collocara. septima aut vr nere.quast ncake istcst insterio: Jiltcr quam nctcn:-r paramesen cst scrrarquc voegiur pa rancrcrquast luxra nercn locata. Dai ainckc vcro qm tertia est s ncrcreostcm quoq; vocabulo lritcnunmpzmr: vr str vescripriobxc. Dypgrc ^ qkdarbvpsre I ^icbanos a psramesevl'trite H Darancte E7Dis sctiua Samius l^ckagn stliunxir: at» Sstiacus wlopbonius vecimam in graviorem xrcm ^ptauit corda;. Timotbcus vero LDllesiusvndecima quoniam super byparen.atcp paiDypacen sunr ad quicicm kypaton vocatx suntrquaii msximx riiim Skauilsimkgrguilmirgutcxcellenres crcellen ron-E^- "v^rscstprima imervndccimbypgkebypa .' i^cuclg vcroparbvparebyparonrqm iuxta Irypa--v!, ' kNvn coNocara est.Lcrtia qux vudu in cnncaco:-," vocsb«mr:1ickgnosl)vpatonest nuncu '^'prikc anktquS rcnuir nom?. Suinrg Mvypake.^crta licbanosantiquu.s.dkns vocabulu; XXptlina mcse.Saaua psramcse.Wona lritt. Decima ramciesMie igitur mcsatanmm quidem nommobtl^ nuir. H-1on enim est media polirionc.q: in ottcxordo ouc quidem scinpcr medix reperiunwr.Scd vna media non porcstinveniri. Oropkrastusaurcmxcriorcs sdgrs uiorcm partem vnam addidit cordam: vtfgcercr rotu en-nescordum. Sux quoniam super bxparen est addita:b? peri) spare est nuncupata. Suxpri^quidem dvm noue cordarum ranmin cdctcitbars Iiypcrbypatc vocabatur. Mune aurem licbsnos dypaton vicimr alijs superaddi-' tis.Znquo.ordine.atqzlnstmcrlone.quoniamsdidtce; vigitum vcnit.L icdanos appellata est. Sed boc poste- rius apparebit. Mune vero Lnneaeordi ordo lic leoa-bet. z llZvpcrbvpale Dypsce Z Darbypare Lickanos H tDele OarameL Lrire -L-arancke ^^c.Nndccima nere.Tst igik vnum tttracordu b7 vare bvpato.parbsparc bykStonrLicdgnos bypato-.bv L. Mmd vo I)vpacc:pa,bvpM.-1,ckaos: LDcse. Lt bcc quidL piuncra sunt, -"ttiu vo c parauiesc-crire para ncte:Metc.L>; qm inrcr mplus tctracordumrquod L kv pgtcbyMorpardxpatcbxpatomLicbanos loypako: b^ pare mesonri inter innmmqd e psraincse:trire:psrancre nete-stt politione medm rettato:du:q6 e byparc: pari)?, parerL icbanos:mcsc:totum boc mcdium lerrscordu me' son vocsruMiE quast mcdizru:vocamiq;cumaddttsmL ro IZ bypatc nicio.parkypate melorlicbaos melS: meic. Lm vo iter boc melon rermordun itcn^qS eMarum: Mukicq dlilunttioest meles sc; rpsr» mesesrinserius omne retiacor cium diliunaaru istcst'oie;wg menon vocatum est co aclstits mento scilicet I,oc. iparsme^ kckoiezeugmenS.trire diezmg menon.paranele oiezeugme nonmerc oiezmgmcinon: vk Ntdcscriptio.bocmoijo. L7Sstigirur dic inter pars' mesem sc mekn oistuncrio at^ cx io oiezcugmenon tenscor-clum boc vocatum L. Suost st paramese aufcramr.-? str mese trite.psrsnae. nere: runc con «uncta iclest synemens emnr tria recracorcla: vocabicmP vltimum recracorclum s^ne / meirondocinoclo. Vypakebypaton lidgrbyparebyparon Ticbanos bypaton , Dyparemeson ' Ozrbypare melon Ticbanos mclon kVese paramese oiezeugme non Trire diezeugmenon ildamnerc oiezeugme non ^ttc oiezcugmenon L7 Acci quoniam in bac vel« superiore enci ecacorsti vispost-tionc mese:qux propter meclia collocationem ita vocati crne te proxima scccUir -r lsnge ad dapalis vltimisoiststrncc^» prium vMnrix retinet locn; nliulj vnum teirscorclumaU^ iuncru est luper netenviczcug mmonrqut quoma; supcma «levant acumine netas lupen us collocaras: omne illd recra corctumbypcrboleon vocat» est.bocmoclo. Wypgrebyparon Darkv-pate kypgto Licbanosbrpaton Dypstcmeson 1 lst>srbMtemeson Licbanos melon ^ LDelesynemenon ^ Trite synemenon isdsranete synemeno I Meres^ncmenon Dypsredypgkvn ^ 'Ildarliypgtcbypgrs ^ Licbanosbypstoni ^ Dvparcmeson l^ardyparemcson lickanosmcsons LVeie Osramcse ^ Trice oiezcugmenon H ipsracre diezeugmena metediezeugmenon Trite byperboleon Daranete Kypcrvolco Vetelrisperbolcon Tonus Tonus LmttsniL Tonus Tonus lemitoiu Tonus Tonus Lonu» "Tonus Tonus Lnntonlu Tonus Mulics. A°Ses qusniamrurstis mefe non erar iocs mesia:tz ma gis byparis accesevar: Iccirco super dyparrs byparon sssiraest vnacorsa.qux oicimr prostamvanomenos.av aliquibus amem prosmrlosos oicicur. rono integro vi-stans anea que estl-yparebMaron: St ips» quisem isestprostambanomenosamescoctaua est resonans cu; « oi^pason fLMkdoWM.SsU?tv ssManon byprron resonadviattssaronas qmrrsm scilicet.qux lkcsnos b^pa ton sci ineson resonar viapenrc lympbonism 7 est ad ea quinra.'ikmlus mcsca paramck vistar tono:qux esciem meseacincrem oiezeugmenon quintam lacit vtaprteco sonanriam:Sux nere oiczmgmenon s6 nctL kyperbo^ ieonqtts sacit oiarestaron sonana.rproilamkanomenos as ncre; vytz doleS resciit bissiaxalon?sonatia.Iooc mS. A -Arostam banome^ ,nos i lDypate bypaton ^lidarb^. parelo^-paron I licdanos b^psron , Dypate mcion 'Ildarb^ paremelS - licdsnot ^melon I ist>arsne' ie I Trire vie zcugme -non i Darane tc viczeu-mmon Ikere vie zcugme -inenon i Trite d^, xboleon O>arZcte bixboico °Kctcb?- pdoleon i^DesmrribusMtilmsmm. Laplmlum. ri. Is iginir expe>us: Lbrom, vero en kam quast ab illa namrali inttnnone veicmciens -rm, rno'iius vmciens.Lnarmoniumveroopklmeatctz gp^e romunaum. Lum stnt igirurquincytetratorsa kypgrs melon sfnemmenon. oiczmgmenon. liypcrvoleon. In b«s omnibus semnsum viarona cantilcn? procesit vox per semitonium.tonumacronum.Invnotckracomo. "lk unus >n alio per semitonium ronum «tvnumur vcin vocatur viaronicvm quast quos per ronum reps.IscoM c:imaest igitur p;g stmirdanomenosqueeaclc; vicirur prosmclo Sas: Secuncis b^ssre bypsron.'Lmia psrd>-p«c dypa ron. Susrm vero vniurrsqlirer quistem licdsnosappcl tsmr. Secl st in viacono genere gprekur.vicrtur lrcbanos byparon vigkonos.L»i vero incbromsre: orcimr viaro-nos ebromalice. vel licbanos bypaton cb.vmgticr: Li »mem in ensi monio.-oicttur liebanos Ii^paron cnsrmo «ias vel oiaronos bypaton enarmonios.Wost bancvo^ ttMrbypztemeson:Debincparbyparemc!on.Llt>Vb>c liebanos mcson Nmplratcr.Jn viaronico quiclern gene / re o aronos mcson. In cbromate liclianos mcson cdroma rice velvistonosmeioncdromancc. In enarmonio oig/ ksnos meion enarmonios, vel liebanos mcson cnarnro mos bas sequitur mcst. ijdost banc stitit ouo retraco.-els varrim synemmenon:parcim viezcugmmon.St syncin rnenon est quost post melen ponimriUest rrice syncm-menon Dedine Aelianos synemmcnon.esclcm rnclia ronico visronss hncmmenon: Ineb-omarovero vck viatonos synemmenon cbromsrice. vel liebanos synrm menon cbromsticc.In cnarnionio vero ve i Diatonos sy^ nemmcnon enarmonios: vel lrcbanos syncmmcnb cnsr monios.ift>ost das nere lyncrmnon. Sr vero mclcner^ uo non f-r synemmeno» terracorelum acliunclum. L. st str viczcugmcnon.cll post mcsen paramese. De binc rri-ke viezcugmcnon. Juste liebanos oie-euemenon. Sux »n oimono. Diatonos oiezeugnenoi,. In < v:ori,ate. rum vlatonosoiczcugincnoncbromatice.rum liebanos Diezeugmenon ebromatlcc.In enarmonio vrrokvnr dia konos vi zcugmenon cnarmorilos.rum liebanos orcze/ ugmenon ena monios.§gelem vero dreimr ? paranere. cumgilstrlione vel viatonivelcbromaris vel cnarmo^ ni,.superbas neteviezeuginenonstrite bypcrvolccn: paranere l)ypcrboleon:paranercl)yperboleon. rssrqux c paranere byperbolcon:castem in diatono oiaronos 1)^ perdoleor,. A, cbtomatevcrLcbrolnsrrcebypcrvoleon. ^ n enarmonio vero enarmonios bvpcrbolcon. balum vrrrma ea est quc est nere Ia ype rdoleon. Lt str ocscrivtio ciuimost, vkkrmin gcneiumconttncat orspositioncm. n quibus -r stmilimstinem nominum -r oisterenti-rm per norabrs. vtil nem. Nmilcs.rn omnibus cum cis nui sunt OltumrlesMUlggntmjigntlimul omnes octo-r V» ginri.Voc sutcm monstrar subiccra vescripkio. LI)romj»rimm Ensimonium Diaronicum -^roNamvanomenos_________ Dypacevypaion ' DariMscedy paron_________ liclianosdyparS enarmonios Dypale meion_____________ Warvypskc meion 2. tcl)W0L mclon enarmonios LDeic______________ E?7 ZUk llNt intcrvoces in lingulis generibus proportio nes. Lapiruiu;. rz. Se igirur mo p lingula tecracorcis»generu; p b p:icratcs iacrs parritiok.vr oiz quiclc Viacom ei generis gNP tctracorUa vuob'ranis aclcmi tonioptircmur. Dicimrqzin boc genere ron' incopolit'icicirco qmintcger pomrur.-neczUquo-Zeiali »6 i'ntM>ai!,imiung>mr:Seci in kngulisinrcruallls i tegri ssunrtoni.in cbromake vero lcmiwnioac semitonio incom vosroqz rricmikonio poma omilio ell:'Incirco aut incompofitu; boc rriemironiu appellam': qm in -vnocol locaruin ea lnrernallo.psrcasutem appellari triemitoni nm in clistono genere icmitvniu ac rom. L>; no ea incom pollen m.ouobus enim ici perficitur inrerualiis:Lr lcnar monio gcncre iilcm e. Lonstst aut ex vicli.^ oicli -r 0N0 nomcompo-iko:c>uoZ fcilicer.pprer eancic cam mcopolitn VVMus:qin in vnocollocmum c inrcmallo. <1, ^LUlLsitssngpke. Lapimium r4> in I)!S ita viipolitis conftiMliiclZ tetracor ois lynapixest.Lwam piunmonenr vicere la> s tlns llgnif.catione pofsumusrouotiens vuo te traco.'6gvni'mcck»ctas termini continuskatqz conlUNZitrrtlN bocrerracorclo.' lupare bipatS licbs-nos toi psron Dyp, reincio ^ P>ar dypare meion licbz^ nos me son Melie L7lstoc igimrcst vnum tcrracorcium bypare.pgtliypL-ec.liclianos bypare meion. Aliuci vo dypare meion. PN bypalemeion.Ucsnos meion.mcic.^n vmicpiglrurtta ,lst>:oilgmbanomenos Dypacelayparon ijLarbypstedypaton Licbsnosbypgton viatonos Nypare meion ^arbyMemelon' mcson viaron^ M cie ' TrWZnemnDiZn----------- WMa -te!'y n ^ncnon oi, r. Mere iyneinmenon Harainele Lrire o.czengmcnon -,8>aranet: v:e;eu.oi«onos Mere viczeugmrnon L^relaypcriioieon liSaraaere bygboleo siaronos Maeoyperooleon Oroilambanomenos Dypatel)ypaton_______________ kdarbyparc byparon Licbanos kyparoncbromatice Dypare mesau _______ -Kgsbyparc meion_____________ Licbsnoo meion cbromaricc Mele__________________________________________________ Trirclyncmmenon_____________ lidaranere iynSmenon ebro. Mtte syncmn.cnon -'nLarameie Lrnc vlezcugmcnsn l^arancle oiezcu.cbroms. ^cleviczcugmcnon Lritcliypervolcon Oarancle bypboleon cbrom». Wcrcbyperbolcon_____________ Lrlce ly nemmcnon Waranecci! mmenon cnarin Mere iyneminenon____________ Marameie ' T-rtreoiezenginenon l^zranLle vlezcu. enarmonioo MeceoiezcuZmcnon Lrikevypeivolcon____________ Istaranete dypervo-con cnaiiii Meredypervoleon Eullcg kracorssis bypate melon aclnumerara 5. Superiorisa; ke trscorcj! cg es» amtiMma. ift-oliek ioris vero gravissima -Cliqziiia conuinctio vnaxaclemq; corclabypate melon-vuc> rctracorcla coniungcns: v- eaclem byparon ac meson «etrscorcio in superiore descripkioneaMm:L,l igimr sv nspbc.-qukconiunc-lodilttunouorutctraco^ommvor mccksu Superioris quiclcm acurissimarpoiierioris -pero L^jSuicilitoiezcuKs. Lspitnlum ,c Zezculls vero appellatur: quc oilluncriodict v lt PMkii.-quotiens vuo terracorclg toni meclie. tale lcparsntur.vtin bisvuob^ecracorUis. ZDypgrcmcson 1 lk>arbypateme ion ^ilbgnos me^ lon LDtle ^ O>arsmese Trite oiezeug-menon 'Ldarancrc die zeugmenon Mere viezcug--rmcno!» L7Dus igitur terracor^acc miclenter apparer quonia; quiclcmoecosunlco.L.E>ecioie; usiscu.i.oismnttlo » tcrme!en?pzramLsen:qucinrerleplcns oisserrc tono, ve qu.bus curclentrus explicsv truncum vnuiu quociq; iluaiosiusexplananciuin pollerio: rracrams assvmpserrr rL»ecl diligcnriusinlucnn quincp nonsmpUriStctra-corLlarepcriunrurbypacon.mcson.sxncmenon.vlczcuZ men n.dvverdolron. L?Suldus nonui!ivus'nernos gppcllaueric albinus. Lapirrrium. rs. Ivinus sar carun, noinrna lanna orarSe it» g irirerprerstuservcbyi-Esprincipslcsvocs ». rer. Mclas mcc>igs.!^nemcngs cvniuncras. diezcugmeiias viliuiicrss.byperboless cxccl. kmcs Sccl nobis in alieno opere non cnr inrmorZZuz E7Tui nerui quivus Mnvus comparentur. Lammlum. :7. . Lluli tameanreri demperiorwns tetracor^rs i gctikncwni viclcmr:-r gbbyprre m^son vlqz «cl ncrcn quas, quo^a 0^'MS--.Mmmonucx . celeilis exemplar cli. iliamq; b spare meion ia turnoearrribukg.pgnE vcroismali cuculo conkm»-lis cst.Llibgnon mclon mam'trackc!ere.Sol meion ob-tinuir.krlrcn lsncmcnonvenus kabcr.parsnerem.sne menon ure, cunus rczil.nere surcm lunaris cirwli renet exemplum, ^z nisrcu» rullius comrsriu orclinmi facit Ikkmm icxro lidroderepubiicgsicglr.LrngmrAfMvr excrema ex -Ms psrre «^Errcx altera sure acure lonct Su mobcam mnim^iiestxno'xs(^,svs:mmsconncr^ koctrconclcmo-.: ^cuto rcxcitgromouelursono. Lrs' uissmo ancen» b»c 'mnans glP inkmus. nam terra no^ na imovilis manens rna s>Ue semperderct bic igitur ml uscerrain quali friencium ponir.s. i^mob IL. poli bZc Iu» prorim'a blenno eli:var iunx gravissimum lonu; vcktiuna prcliMvanomenos. mercurms pipare bs/ paron. venus parbypare bvparon.Sol!ic,10« byparo mars Iiypare melon.mppirer pcrbypgtc mcion.sLlmn" licanos meson.celnm vlrimum melc. L)uc vcro lmr bsru immobiles, que vero inrolltm mobiles: qux surcm imo biles mobilcsq; conliliant.cum oc monocorm regularis oiliilionerrackauero erir locus aptior expiicancii na:io co!»pai at'':mi,!o: cli ou plicstuscxccciir.Jrcrn bis quinariocSpgfarus- mino' c-tertio vero!'UMe alti us scire quoci quistq; taciar:'ch iplum illuci csticere.g, sciar renimarnkciu corporale quan serviens famulatur. ista> tio vero quaffona impar:? nist ingn^stccaclum ici quoci i a tio sancit.efficiat.frustra stt. Luaro igirurpreclarior st sci entis mustcx in cognitione i onrsrquam in ope cfficicnsti arq; acm ranrum.s.Hmm corpus mcnre stipatur: Luost *5.roniservs lemitis veglcnllrlvero lMM srqzgcj declucit g> nM paream^ ei^mpeno.erpefs rarionis op^ titulabit. Ancie stc vc speculario roms opcrancl, acrums egear. LDanuum vero opera nulla stnt nist rone vucan tur.Igm vero quanra llt gloria merirumP rarionig^^ uikelligi potest. cp ceteris Vkira dicam) corporales gstist ces non ex disciplina icci ex ipsts potius instrumentis ce pere vocabuIa:Ma; citbarecius ex cirdara: velribicenex tlvia.cctcriq; suorum istrumentorum vocabulis nuncu panturus vero est mustcusrqur rarioneperpensa Lanen cll scientiam non icmicio operis:L>; impio lpcculatois aliumir.Luocl.s. in estistciorum bclloruP opa viciemus -r in contraria lcilz nuncupatione vocabuli:Eo:um naq; nolbusvelestistcia lnscribunnirvcl ducuntur rriumpbi: quorum impio ac roncm instituta sunrnon quoru; ope re scruicioq; pfecra.Tria igitur suntgcnera:quc circa ar rem muticam verianturrNnum genus cst qno-j instru^ mcntisggitur:gliust stngirLarmina: tertium quoci instrumento:» op^carmcq; ouuciicat.Scci illuci quiste quoci i lstrumcmcs positum cstnviq; coram opamconstr mir:vtsunt citbarcc!i:qniq; organo ceteniq; mustcc lstru mentis grtistcium.pbanr:a nmstcc lcimrix intellectu se in ctisunt.qmfgmulgntur(vcdiccumcst)necquicqu^affe runt ronis. Secl stmr totius spcc»larionisexptks. vacca clum vero musteam agentium genus est pocrarc: Luoci non poti^speculationc ac ratione qua naturali quoclam i stinctu stmir acl carmc». Llrqz iccn co boc quoq; genus a mustea segregancium cst. Lertium ell quoci iusticancli xi liamsumit.'vtritbmos:cantilenasq;co:umc8 «carmen possit pcrpcnciere-Luocl.s.qii rotnm in rarione ac specu lsrionc postrumeststaoc proprie mustcc oeputavik. ststy mustcusestvui aciest faculras secunstum speculationem xonem ve propostrainac mustcc conucnicntem vcmo/ 6 is ac rirbmis. Dcqi generibus cantilenarum: ac oc mixtionibus ac veoinnibus:vequib^posterius explica^ cium cst.ac de poclanini carminibus iuciicancii. L75iusciem Boetis oc LDustca.liber sanncius. Drocmium. La. i. Npius volumc cucra digessit: quc nSc viligent^explicansta ce proposui.iraq; s priissHacl ea veniklin:quepropriisra-' tionibus peteiocencia sunr:pauca prc^ mittam:Lu>vus clumvrarioranimns auditoris acl ea qux vicencia sunt accipi kn6aperuenist. . . E? Ltllci pvtbagoras cssepbilosopbiam constimerir. Lapimluin. i. «Kimns oium pxrbago-as sapicnkicstuciium p pvilosopbiam nucupauir. Luam 1c> eius rei notitiam ac disciplinam poncbgt.ciux proprie vcreqzec dicemur. Lsscautcm lila putabar: qux nec intentione crelcerentruccoiminurionc occresce-rent:ncc vllis accicicntibus murarentui:Dxc autcnr esse so:mas:magnituclincc-:qualitatcs.babiturvago:a; o vel continua vel discreta cst: nua estnnagnitucio appc>larur:Lucoiscrcta cst multituclo. Luo:um lacccstomersg 7 con- tfAklAlient prOvuetAS. l^Vultitudoenun^ nlkg ans mtirate crescens in instnira progi estime. vr nullus 2nst stnis«currar. ikstq;ae1 m.mmuz terininara i-kcrminabil^astmaius.ciusq?p:u'c,pmmvnirasc:qna minus cst nibil. Lrcicir vero pcr numcros arq; m instm ta vrorcnciimrmcc vllus nu,ncrus:quo min^c, cscac.rer ininum sacit. Scci magnituclo stmtam rursus sue nicnsu re recipit quatitatem:2>cci in instnita occrescit- 'Illam st «lc pcssalis linea vel cuiussivet alterius mocii: potest '» vuoeqns oiuisti:ciusqz meciicras in meciicrarc secari eius qi rursus meciicras in aliam niestictarc: vc nuaH vllus sccancii magnitudinem terminus star.ira magniluelo H cum aci maiorem mocium terminata cst: stc vero cum ve crescere ceperit instnira. At contra numcrus.Htii; aci m« ^orem mocium:stniws est:inst,«itus aurem incipit ce cu crcscitvum igitur bec ira stnr instnira.m quast de rcvus stnicispbilosopbigpcrtractat:inq; rebus instnitis repe- Liber' u speculationis adbibere. Maq; magnitudinis alia sut im mobilis: vr teri a vr quadrarum vel triangulum: vel cir culus.alia stmc mobilia:v- splacra mundurouicquid in eo rsra celeritate conuertimr. Dilcretx vcro Hriratis alia suncperse: vr tres vel quamor.velcereri numen. Alia vera aci aliud. vr vuplum rriplum:Alt3P:quc ex comparatione nalcumr. Lediinmobilts inagnirudinis geo nimia speculationem rener. SNobilis vero -cientia astro nomis pcricquitur.-per Ic vero vi-crete qualitatis aritkme rica aucto: est.ad aliquid vero relatxmustca probat obti nere peritiam. L7De relate p:o quatitatis viffercntiis. Lap. 4. L ve ea quiclcin Htirare viscrcra quc per se est s m arithmetica sumcienter Viximus: istclstx vero aci atiquicl itztttstis llmplicia qvidem ge nerasunttria.Mnum quidem mulciplcx. Sili ua vero super particulare. Tertium stiperparriens: Lum vero multiplex stiper particulari stippartientiq; miscet: kutslix oux ex bis.i.multiplex supcrpartimlaris: 7 mul tiplcx superpartiens.bsrS igimr oium ralis est regula, ii vnitsrcm cuncris in naturali numero volueris compara rmsms multiplicis ordo texetur. Duo enim ad v nu du plus est.rres ad eundem mplus.quatuor quadruplus.7 in cereris eodem modo: vt sudiects descriptio vscer. ii > m il i « i il ilii s y s yls vli i vili > Ix vero superpsrricularem proportionem quxras na kurslcm st vi roinpgxa numern octracra. s. vnicatc vr rrcs ouobus sesqualter est: quawo: lribus.qm sesquitertius est:quinarius quaternario lelquiqusrtus est:-r in cereris eoclcm mo No quocl monllrar sudiccra oclcriptio. si- Snverparticnles aurem talimoclo rcperies. vilpo-nas naturalem numerum a ternario scilicet incboanrem. Sivnuigltur intermiseris: Superb.pamcntcmestrc» ^notavis.q' stvuo:supermparllcnlcm:L>lrres:super qusclripzrtiencem.idemP m rcreno. supMlptics lupdiptE suptriprieS v7Mbunc vero ordinem ixeaans , copostras er mul» tiplici? superpsrrim!sri:rcxniultlplici 7 suprrpsrricn-ti proportiones lcttor diligms speculabitur. Sed S bis tamen omnibus in gritbmcricis expeditius vicmm est. L7Lurmulr>plicirssc(rcrisgntecellar. La. 5. Sci in bis illud est constdcrandum: q> multi-s plex incquMaris genus.longe ouobus re-liquis viclctur antiquius.Matuiglis cniz nu meri visposmo.m multiplicibus vnitgriqug prma est:compsrgnmr. Superparricularis vero novni taris comparatione pcrstcirur-L?ed ipsorum qui postvni tatemsunrvispolltk numerorum: vrrernsxiiastbinariS nuaterngsijgq ternarium. Tt in cereris adbunc inocium ^nperpartienlium vew longe rctto fo:matiok:qux nec continuisnumcriscomparamr.LieclinrcrmlstlSmcese perxquali inrcrmiMonerScck nunc quidem vna nucve ro ouabusmunc vero tubus.nuc vero quaruor: grcp ita l lstnita succrescit Amplius multiplicitas ab vnitgtc in l>pir:superpsrticularitasgbinario:supcrparticnsp:o-portio g ternario mitium cgp. L>ed de bis bactcn^:Muc quxdsm qux quail axiomata gi cci vocat prxmittcre opor tcbit:qucrum ocmnm quo spectare videantur inrellige mus: Lum ve vniuscuiusqz rci tractabimus demonstratione. L7 Sui stnr quadrati numm:vcqz bis spemlatio. -Capitulum. 6. Tladrams numerus est:qui gemina vimenst q oncincqusconcrcuerrr:vtbisvuo:terrres.Li ter quaruor quinquies quinctz.sexics sex. quo rum est ista velcriplio. ____________________ n7in!mil v s viIvii s viii! ix I r I--n- ir xvi I rrvsrrrviTxlviiifflMHMscl 'u nr. Idemm in ccrens. Suoci N nonstnt continui quadrari. Sed vnus inrec cos reanNuiNus M: licei^ qS relinquimr medietas, id quod ex vrriusq; larcnbus eMci tur.vt st quaternarium ve.xvi.quadrato auscramr'. ri, xelinquutur.quorum.xii.medietas est is numerus qui' er vrroruqz lateribus convenit. Sunr autem vtroruqz larera.duo 7 quamor:qux senarium iunctapcrstciunr. Arq; in cereris idem modus est. Sin vero vuo inrcrniir ranmr:tercia pars erit eius quod relinquimr id qS vtro rumqz latera conlungunt:vr st quaruor S.xxv.suseram! rcrmissis ouovus quadratis-reliqui.xxi.sunr.Gorunrve rolarerasunt.n.7.v.quiefficiunr.vij.quisuntparstcr tia numeri.xxi. SItq; bxc regula est: vrst tres inrcrnnstl llnt:pars quarta stt id quod ex vtroruP lateribus emcik eius quod subtracto minore a maiore relinquitur. L>in qusmo: kxgnsmittanmr:cfli»nta:ArlVvno plus vocabu lo numeri partes venienr: quam str intermimo numerorum. E7Smneminequaiitaremerkqual»tare procedere eius-demonstratio. Lspikulum. 7. At autem queadmodum vniras pluralitatis r numericV principiu-.ita (qualitas proportio, num.rridus. n.precepris (vrin arithmetica rtttnm est)mulripll«s proportiones ex xqua ee ; llrare p:ocluclmus:ex conucrstsvero mulriplicibus kr> perparciculare s dabimstines procreamus. Irem ex con uerlls supparticulariv^suppartientes ppawescssicnnul ponantur cni; rrcs vcutates vel tres binam.vel cres ter nari», vcl quorlivct equi termini:? >ir prim primo rauus m sequenti scilicet orstine constimtus. ^ecunausvero primo ac lecunsto.tertius primo vuovus secunstis ac r» riouta enim numero progresso stt ouplex multlpkciksns prima proportio, vt oescriprio moner^. ---------- I - vussatPNMkac7cunst?:Jce;c,uatcrnm tari v'iwcgcOuab"vnikst>vus sccustlsatP vnuatl rcr tic -rcst i 'ii mi. vupla proportio:cx ll ve dis iste; feceris rrinla comb»rakioa?creavitur:ac oc tripla quastmpls: ve oirastrtwla quincupla:2lc vcinceps talis currit dsbiru/ Sinum procreatio.issursus ijsstem tribus preceptisstap varcicularcs fiunt: vt vno prodamus exemplo. Lonuer xgmus nunc? priorem maior? numerum visponam^. nij.ij.i.ponatU! igitur primus primo xquus istest. itij. secunstus primo scil; rlecusto.istest. vi.rertssprimo vuo dus sccustis 7 tertio tclest.ir. Suibus vilpostkis scsqual- Ull I II > IIII l vt ^ -r ^ j ^ I Lesqualtcra I Lesqualtcra ! E7 Slrqz ist k oc triplis lrstssesquitcrtta. Si ve quastru -pllsselquiqmrra.constmiltvufqzingltcmtrs parce vo^ ravulis proportionaliras ex multiplicitate naicmir. Lx superparricularitare vero conversa oucitur superparties dadimclo.Oisponarurenimconumim sesqualter» com paratio.ix.vi.iiii.-Oonaturenlm primus primoequus t.ix.sccunstus primo? secunsto.i.xv.Lerki^primo vuo-dus sccunstis ac tertio.i xx v. ac visponancur in orcline; docmosto.____________________________________________ I vi l rm I Ii xv I ix ir I ry Snperbivarkics. r, ir rrv , Supvwarncns j L' Superdiparricns igimr ex conucrsts scfqualteris da bimstoprostucraest.ssst quisacl banc speculationem vili gens scruraro: acccstar:ex sesquitertiis conversis superrri partientem proclucir.Leterisqz similibus vocabulisac! cqiigriseunltascr superparticularirate supcrpartienris spes procreari miravitur:Lx non conuerlls ant suppar^ Ncularibussscst ira vr ex multiplici procreari 1unt:msnc kibus nccclsc est multiplices mperparticulares creari.§r manentibus vero superpanientivus ira vt ex lupcrpar ticularibus prostierunt.non ali» nill multiplices suppar tienres procreabuntur, ac ve bis quistem bscrcnus.vili-gcntius enim in arirbmcticislibris vcbac compararioe estvilputamm. V7lkcguls quotllbcr continuas proportiones superpgx titulares inucniencli. -Lapilulum. 8. Lpe aut accistlt: vr tres vel quaruor vel quorli s ver equas superpamcularium proportiones ve mustea oilpntgtor inquirar: Scst ne ist casu arcy inscitia sacicnres:crro: vllns diffieulrgss »mpestiat:dac regula quorliver xquasproporrlocsexmui riplicirateducemus.vnusquisP multiplexav vnirgtc. sczcomputarusrotsupcrparticulares bavimmnes pre> ccclir su? scilieek.incontrarigni partem oenominanonis: quorusipsczdvniratcviscesterit doc inosto: vt vupicx fcsqualtcras sntccestzt.Lriplex sesquitertias. Luastrn-plex sesquiqusrtas.ac veinccx»s in bunc mostvm.stt igik ouplarum terminorum subiccra vescriptio. E7D superiore igitur vclcriptione vinarius prun mul- kiplcr vnum acl se rei narium liaberrqui possit facere sel> qualccrampropomonem.Tenarius vero non d; alm qui cius possit esse sesqualter quoniam mestietstevencir. issurstis quaternarius secunstus est ouplex dic ouos iet qualreros ankeccstir senariuin? noucnariumrquimestie rate caret. AtP iccirco nullus ei babimstine lesqualtcra comparatur.c3c in ceteris iclcm est n ipti vero coston mo sto sexquikcrrioo creant. Iit enim llmilts in triplo oescrr- ptio. >r xrvu lrrri j l iiii xu rrx^l cviii—I rvi xlvin crliiu! j lxitii i I cclxi In superiore igimr vcscriptione sesquitertias .pportr ones ica naras vistcinusrvc primus triplex vnum ieig rertiuin anrecestat. Secunstus duos.rernus rrcsssemp-q; pars rertia in vlttmo numero namrali quostamssne clauststur.cp «l quastruplum starums costern mosto scsq-quarros invenies.si quincuplum scsqlnqutntos. Lcc ocr Lps stnguli vcnominationis niultiplicis ror iupc> parti culares p:ecestunt:qnoko loco ipil gscvnitate vjsccsscrmr. vnam vero tsnmm quastmpli vilposttioncm poneinus vrin ea Ilcut incereris lector acum mcnris oiligens exerceat. ________ s iili I rvi Ixuii I cclvi I v s xr lxcr cccrr > rrv l c cccc > > cxrv ,6 , ^Dcc igitur speculatio ast banc vtilitatem vistemrin-UMta.vt quotienscuqz.ii ij.vcl quinPvcl quotlivec ses qnalteros vel sesquitertios vel sesquioctavos vel quocl» der alias proportiones quis investigare volucri k: nullo errore labatun vtP non ei numero primo ralcs .ppor/ tioncs qncrat aptare:qui quanti ilnt propollti:ror prece> stere:? post se daberc non possit. Sest oiip^nar porc inu. tiplices: vistearq; qnanros superparticulares tcqvim: eumq; multiplicein respiciat:qui eo l«oavv'ma^ scnrrvtcstin superioribus vescription.^-st ms 'csquat teros fortasse qucllerirmon a quarcrnarioS- » «cst.gationcm. d,c enim qnr ta.v.ast jiiveinccps in instnirum r quxcnqzse proportiones vnirare prcccsserint.lproporitu; igimrstr vuas telqnal teras proportiones conrinnz comparatione prsstucere. sumo rasticcm sesqualteravamq; oispono.i> 7 -v - «A» riplico igimrbinannm per binarium liunt.uu.M, rcr Libe,- rr i s r narius per binarium crc1cst:erunk. vi.ikursus ternari» in seincr ipsum ducemus.stunr.ir.qui oisponancur lior modo» T' - . lil I vi"l ir I trinominius igitur ouas p»posttas sesquattcras pro portiones. vi.gd.ilif.?.ix.gd.vi.L>itnuncpropostrum Ms iniienircrDispono eosdem numeros quos supraziN erquirend-s duobus scsqnalrcrisdabitudlnivus propo sueram: iplasq; sesqurlkeras proportiones. «Vulti / plico vingrioqnaternarium.stunrocto.llvussus senariu binario stunr.ru.lstursus noucnariu; vinartostuc.rviu. stivursusnoiicnariumccmario:stunr.xxv>j.visponanlur i 'i Nl "li s vi ir i ^ viii I xii> rviii j rvii I portiones velis exrcnderc:ponas lexquiterrioruni tacti ces:qnc sunt quaternarius arq; ternarius ad l'e invicem, «ii ^ M xvi "ix s xii r l rrvu ! rrxvt lxlviii i lxi,,s?" «7Atcvscibunc moduin multiplices:^ li sesquiquar kassesquiquarrorum dispones radices eadem multipli carione sesquiquarkos quorliber extendes. Suanmm su tcm'nobis dx pstdergtioncs prostnr: Sequens ordo mo strabir. De proportione numerorum qui abalijs metiuntur. Lapitulum 9. I ouos numeros corn; oisterentia integre sue s nc permensa: in eadem iunrproportionenu mcn: quos sua o iffcrentis men sg cst.- in qua erunt ^portionecr di numeri: secundu quos cos sus mensa est viffercnkia. Sint enim numeri, l. Iv.r ergoadseinuicem sesquidecima bavitudinecopsrsntur r est eorum oistcrentia quinari^.qui.s.k pars oeeima nlr meri.l.dic igitur metietur quictem.l.numcrum vectes, vi.vcrovndmes lccudum igitur occem arq;. xi. nume-' ros.lv.-r.l.propriadifferentia.i.quinarius permetitur. ? sunt.xi.ad.x.sesquideciina comparatione conipoilti. in eaclcm igilnr sunt proportione numeri .quos propria vis terentia ircgra pcrmesa est:in qua lumbi: quos ros pro pria oistcrentia e pmcnsa:q> il qua olstcrcnrig nnmcror: ita cos numeros quoru est Disterentia metiatur: vr cade> mciuram numcroru pluralitas ercedat: iclecp in vtristx sttercelsus:?llc viminmior diffcrenrix mensura: quam 8 pluralitas numcrormmaior? obrinebur proportionem aci se inuiccm nnmen:st'eis illucl quod relinqiur post me lioncmuerractum llt.quani sucrunr ircgrirru eospp:,» diffcrccia merievak. Sint enim numcri ouo. ii, j. lviii. bos igitur quinarius qui est eorum oistcrentia: metiar nreritur igirur.litj.quinsrins vecies. viq; ad.l. ilvelige vcrokcrnarin.AeUrsus.lviij.numerwn merimridL vrr decies vsqzad.lv.acq; in eo item rernariS relingr.Sluie rarur igitur ex vlrisq; ternarius stut.l.r.lv.qui oispon» turboimodo. ____________ l viii I l > lv^ E Wkoclgnur manMucst maioris Mploportiors inter se.l.r.lv.quzm.liil.r.lvui.In minoribus eninu mens maror semper proportio repentur.(p paulo poste nus venronstrsdin,us. Sin vero illa oisscrentie perm8 Ko numerorum mnltikudjnc mnugdaticaqemqzvrrosP numen pluralitate P-etercaruninores crunt proporroes numm superius mcnllcu additione eius sumerquavrros B metiens oMrcmia.snpesuzE:qui>,ii suerunrante:ca cos propria oistcrentia nukichgtm.Sint enim numcri. xlvtii.r.lt».I)o:um quinarius visterenria est- «Venatur lgttur.xlviil.numerum quinarius vecies fiunr.l.Sup UaolirigitUt. k.nummis. rivi,'/, numerum binario. 9dem quinarius.Iiij.vndccics metiarursiunr.lv.qui cis dem rursus vuobus.liij numerum supervadit. Llddak VtrisPbinarius? disponantur boc modo, l rlvni Ini ,l. lv L? «Vinores iglmriuntproporcioncs.i.gd.lv. comps rati mm additione, s.binarij ouo oistcrcnriz cos meticns iupem.idir:qusm.rlvi>j.e.liii .numcri quos cade;: quc tamen in eis supercrcuit.quinsrif oistcrentia pci mcnla est: «Vaiorcs vero ? minores proportiones boc modo in tclliguntur.Dimidia pars maior est:P tertia. Lenia pars est maio::quam quarta. Quarta pars mai^r e.quZ quinta, ac ocinceps eodem modo.^lnde str vk lclqualte ra proportio, maior ilr sesquitertia.? sesquitertia scsqqusr ran, vincar. Slcq; idem in ccrcris.binc euenir vtm nu^ mens mglondus in NNNON^S MAlor videatur proportio superpai ticularium numerorum. Kuod apparet in numera namrali. disponatur enim nu merus nsturalis.i.u.iij.iiil.Binariusigituradvnits^ tein ouplus est.Ternarius ad binarium sesqualter cst. Quaternarius vero ad ternarium sesquitertius. «Vaio^ res vero innr nnmcnkres r.iiii.LVino:es:binarius? vnirasun maioribus igirur minor:? in minoribus ma ior propo:tioconrinerur:binc apparet . Is illnd adcicn dum? ouos p?imos stipemar v particulares primam cMccre mulriplic--; p-o portionem. Vtst sesqualter ? scsquircrriu s con iunganrur vupliccm creanr. Sint mim nume ri.il.iil.iiil.iii.ad.ij. sesqnalrcrest.iij.ad.ii,.sesquitertii quamo: ad vuo duplus, 'lsturius primus multiplex pri mo additus superparticulari icSm multiplicem creat. ^Nt enim numeri.ij.iiij.vi.iiij.naPad.ij.vupler cst. primus ic; mnlnpler.vi:ad.iiij.scsqualrer.qui?primi ^ De gritbmenca gesmcrrics srmoica medietate. La.ir. Aonia vero ve.ppo:riomvus quc erant inte-st rim tractanda predirim^: nunc ve mccliergri-bus est dicendum.-Proportio eniin cst vuoru terminorum ad se quxda m comparatio' rcrmi nss -St voco numerorum sumasr-Proportionslius cst squrru m proportionum collectio:-Proportionzlirasve ro in tribus terminis minima constat: Lonstat amem plerumM >n pluribus, vr in quawor vel in sex terminis Lum eniiuiprlmus.sd lecundunl terminus eandem Adukiccs minet p:oportroncm:qua scmnstnsasttertiumrviciwr bxc proportionalitas. Lstq; inter rrcs terminos inesti?: qui lccunstus est.bas igimrproportiones mcciij termini roninngentis:trina partitio est.Slut enim xqua est oiffe-rcnria minoris termini aci mcstium:-! meciij gst maximu Sest no xqua proportio vr in bis nnmeris.i.ii.its. iter vnum quippe ac vuo 7 mtcr vuo 7rrcs tantum vniras differentiam tencr. Ikon est aut xqm proportio. Duo gp pe gst vnum oupli sunr. Ternarius ac! vuo sesqualter. LlM est xqua proportio m vrnsq?: non vero cqualivus vlffcrcntijsconstituta.vcin bisnumeris.i.ii.iltj. Mg; duoast vnum ita sunroupli:quemastmostum quaternarius aci binarium.L>cst inrcr quatemarium binariuq; binariusrintct binarium arq; vnirarem vnitas differcn tiam sgcir.Est vero rcrrium mccketatis genus quost ne-cyeisstem propo:kionib?,ieqz eisstem differentijs constat Lest queastmostum sc babet maxim?terminus ast mini-lnum:ila>c k bader maiorum terminorum vistercria aci minorpni vlffcrcntiam terminorum vr in bis numeris iiii.iiu.vi. lsiam sex ast.iij.vuplusest.intersex vero 7. «ii.vinarlusest.^nrcr.iiij.veroac.iif.vnitas.^cstbi-nanus comparams ast vnikarcmrmrsnsouplusclr.ergo vrest maximus terminus in numeris aci minimum ita malorum orsterentiasst minorum differentiam rer-wmorum.docamr. igitur illa meciierasrin quacqueiut ; aci preientem tractatum bx stint intcrim necessarie. Scst inrer bas rres meciietares proportionalitas quistcm pro prie.r niaxime geometrica nuncuparur icicirco quoniam xquis proportionibus rota contexitur. ScU ramcn eocie vremur promiscue vocabulo propornonalilarescriam ce teras nuncupantes. L7 De continuis meclietstivus 7 vistu nctis. Eg. I;. s Lst in bis alia continua est proportionalitas. LIIiavistunltg.Lonlinua quiclem vk superi? disposuimus.'Nnuscnim istrinq; numerus niestius: nunc quiciem maiori Lupponilur: nunc quiciem minori prcponik: Suoticns vero vuo sgr mesti) tunc distuncta proportionalitas nuncuparur: vr in geometrica boc moststo.i.i,.ii,.vi. Ikam vtest binarius aclvnitalem.ira senarius ast ternarium. 7 vocatur bxcvistuncra proportionalitas. vnclc intelligipor conti nuam qmste proportionaliratein. Zn tribus 7 minimis terminis inuenm.Dlstuncta vero.in.iiif. porest aurem tn.iii>.7 in pluribus continua esse proportionalitas. stq. stembocmostostr.i. i>.iui. vm.xvi.Seq bicnon crunc duo proportiones sccl plures, semperctz vna min?: quz stnl termini constimti. . in numero valer v ni kas-.Istcm in proportionibus cqualirarc vale rc.Lr stem numeri caput est vniras: ira proportionum xquslitstem ce principiu. Suo circa boc mosto arirvrne tica mestietasab xqualiratc nascetur:posttis enim tribus xquiStcrminis.Mouomosti lmir-.quibus bcc propor tionaiitas prostmstur. -Oonacurenim primus primo xquus.Lrecunstns primo-r sccumlo.Tertius primo sc-cunclo ac tertio. Suost boc monstratur cxcmplo.Sit v n» tatestres. ijLongrutigimr primus pnmocquus iclcst vnus.Gccunstus primo ac lecunsto.istest vuorTertius prinro sccunsto ac temo istest ms.cricqz vispostrio talis. 'IU! l. II III cptenarius collacgtur. Suost st ternarius cquali ratis principium stkMct ternarius vifferencia verbi gra riz,.Sinrterm»nlrresgst xegulas luperisrum stibms. Livci- n r sz in Hi vi ii. IU Vk est sublecta dclcciptio. rii Znbrs ergosemarr^eli o-sscrentiz -r suo numeri inrcr-miffi.icjcstvnominus H stt disterentis lemp numeris r-tcrmisslS.AtBiclem -r :n stuatmiariorquiiiarioB pcr-5picimr.Lt quc nos propter vrcuitstem taccmusr Jicic rcguliscx lemcriplo diligens lecco: inuenicr: Geometri ea vero propornonalitas mc queacimociu inucniri ab ccs lirare postitosteuim^qn ciucinaclmoctu st» cqualirace ois incquaiitas prostuitunonstrabamus. 'lilM camcn tssti-stium eir nunc quoP breviter repctcnstnm e. Lonstiru tis enim tnb^uisreriimils ponarurprini^primocqu' Decuclus primo ac secuclo. Tertio primo duov''5eclicl>s ac restio. 7 ciecy stat prinue srq; ira ex xqualirate: scome-rrica.pportions!rcas principi» sumat. L>; vc bam.ppo: rionu.pprietstlv^iH diligentiis mc c arirbmericis oixuu' gr stast b^c illis instructus lmor acceclat:nullo dubitatio nrscrrorerurbablk.Llrmonicavcro mcciicras veq nnL paulo rarius tracranclu; est: bac rone.xcrcatur. Lousti tuae eni slgciez duplices curam^effingere: tribus xgs rcr minispostriLprim^primogcvuobussccunstisxqualis L^cuclus duobus priinis 7 vuob^sccuiZis. Lerti^leincl primo: vis ko:? W tertio. Llrq;bocmo stntvnitates. i. i.i.Lonsticuatur igitur prim^primo ac duov^iccustis xqualrs.i.te, nari^. Lecustus vo duov^prunis r vuov^ iecustis.i.qtcrngri^.tcrri^vcro pmoacvuov'5cdis 7 tribus tcrtijs. i.lex.Lr H in binanjs cqusliras pstmamn vel internariss eaclc ro medietatis apparet ouplo a 5c rer minisdisscrcnrijsPvillauub^rvrsubiccte oelcripriSes rnoncnr. I ^I i - ni i! v! "ii ii 'j I! im ! v> xl. m ! i.i I I' i , ""vi I ix s xvm l i i I i l i. in mi I vi II ii ii VI VI i III I III ni vim l xii xvill tribuscgsccrmisostituris.ift>:iin^gcictacicnclus Lex primo ac 5ecuclo.Gccunclum vero exprimo ac vuobus lLUUclis.rcrti^gutex primo vuod^Iccnstis ac knb^ mrijs L- S;igrM armonica disputatione quc 6 cadlligck.us vici poliurtacice ptercv^a ck no a! buror. Collocet igitur armonica proporcionalitas incxea vcscrlptoc supiorc or clinc terminorum iter lc distcrcnue disponantur.—. IDistc I i I" " ! rmrix,j_____ > n'i iili_____s vi !______________ 1 Aiclcs ne igir.vr.ms.'acl ires diaiblUo^l^uMM prostat.vi.ast.ii!j.vizpctepcorclcr.vi.veroacl.til.visps son nulce.it 5unpbonia:ipsxq; caru vistcrcntie rUiiUL caste stsluanrpsonalia.Brnsr^cniacl vnimtc vupnem diapa5o ->5onakia?stirur".cp st . LDecil' vcroccr-minusstmgximinumcrosttgtcauseak:M.xxiii>. ilvur-lus nnnlm^tcimm^st 5c ipo x,crclcgr:stSr.ix.LoUcmocIo si meck"stent.xvi. Lcnsrl^vo g msxim^cst st le ipin inlii-slplicct.xxrvi.rccistek.vxciZiklorclinedllponarur.rxxvi rriiis xviij.xvi.xii.ix.lunt igimr oiaiclsaron conlona^ lia sesonances.xmij.gst.rvui.r.xii.aci.ix.olapcme vcro xviii.acl.ri.7.wiu.ac!.xvi.-r.m VI. aci. xxiist. Tripla amem qux est diapente -r oigpsson.xxxvi. acl.xi, . Sus- clrupla vero quccst bis viapalon.MX'i.aci. lx.cpoc-Mus vero qui conus e.xviij.zst.xvi.coparacione icruatur. x>iapalon-rDlspcnx, ^i»cesttiro„ To/rus DlaUuawn Diapente Diaveiire Di-prson Bilciiapaion Ll>Mccs' <17 Sukadinodil inter vuosterminos lupradicre medietates viciffimcolloccnmr. Lap. 16. Dlentaut ouo rmnini vari proponiq; vt in-s rer eos nuc quidc ant!?metic.i:nunc vero goo - metricamunc armonffain mcdictarL ponM,^ Deqb^inalitbmcricisquoqzoixinff.Idta-mcn ipm nuncetia brcuitcr explicem''. Siaritbmetica mcdieias qr:ogto:um tcrnrinorn videnda vifferemia c: cademP dividenda ac minori rcrminoZdiicicnda. Si nr enim vrce.-r.xl.altrinsec''tcrminr constiMti:bornq; me dictas secudum sritkmetica proportionalitare qucrak. differentia prffvtroruqz relpicioqiix elr.xxr.i)gf,c vinito 6unk.x v.ksnc minori tcrmino.rd c oece apponorliut xxv.Si igirurl^circr.r.^.rl.mcdi^ollocek.stt aritkme tica proporrionaliras boc mo.x.xx v.xl. It? inrer eosdem terminos medierarc geometrica collocem^. Extrcmos.p-xrtannmcrostrare multiplico, vt.x.in.xl.stunr.cccc.boy retragonalc larus aliumomum viginri.Tlicics eni vigi-tistunt.cccc.Dosigitur.xx.mediosintcr.x.ac.rl.stcollo ck:str gcomettica medietas subiecta vescripttone formata x.xr.xl. Si vero armonicam medierarc queramus: stbi-met ipllscopulam^exttcmos. vr.x.7.rl.stcnr.l. Loruin differentia qnx cst.xxx.In minorem rerminu multipli ccmus.scz.in.x.vrstantoccics.xxx.gsunr.ccc.bossccun clum.l.partimur stunr.vi. Suos cum mino» rcrmina addiderim^:stent.xvt.bunc igitur numeru il inrcr.x. ac. xl.mediu collocem^armonicapportionalitas expecliiur. x.rvr.xl. ) pgson consonantia quc cnncrmum optima e i multiplici inxqualirakis genere -r in vuplick racis kabitudine repiri.Ac priinugde illud ocmonstra du qucadmodu i multiplicitatis genere oiapalon conso nantis poiNr sgnosti. 'lldrecurrencluin cil igitur adbre ue quiddam quoprius cogniro iaci io: oemonstrstio st gt.Llv ol siipparticulgri:st continuam ei super particula rc qsanserac.ppo:tio!ic quxc scilicet minor icl quod reli quum minus est ei^mediaare quc vctrscra c.pportionis vtin sesquslterssc>'esquitertis: Suonia; scsqualrerama io:c:sesquitcrtis;vescsquMtSvetraI>smus./i>clinqi>i rur lesqocr ua.pporriorquc vuplicata nS efficit imegiaz sesquitertia.pporlionk tz cg oistanria minor c ej i seniiro nio repir.q> st ouplicsts sesgoctsus comparatio non est in rcgrg scsgrcrtig:stmplcx selstocraua non est sesquitertie pro portSis plca medietas, q'st sesstqusrru scsgrcrtio sulcrss jcl qS rclinqk medietate sesqquai ki noesticir.ideq; i ceris. <17 DcmSstrario p impoistvilc oiapalon i inuiriplici ge ncrceste. Larirulum. :i. FZenucacl oiapaso psonatia rcclcani'. q> st'es » noe i multiplici gencic iequsliracis.cacicr lst, ppsl riculsi e incqiimrs gcn'. Vit iMf super Mliculsnsxportisoispasen-sonstis. SIusersrsvcs Mnus psommig.i.digpenttncliuquitur visrcstsron. Bis iairur oisrestsion minus est vnooispeiite ei ipw viamsaron non iplek eispmrc consonslie mcclictstc g>e lpostldile.LVostravik em vMattsssron ronosc semito nioconsonalia oisperc tralcenclere: Suocircs nec oispa lon quE in sup pticularsincquslitacis genere poni poc rclxpvtu cclvi I ecrim cxcii < Lkulks» L7Demonstrgtio per impossibile oiapente diatcssaroll erronum insuper particularicffe. Lap. rr. Lstar igitur vt oiapente Zc diaressaron 7 roiig r di iupcr particulari ponens esse inonstremT Mam 7 st ici in prima quoq; probarioc ea qua diapgson in superparticnlari genere non re po ne,istam monstrauimus.ist quoq; quociam rationis nio lio perclaruit:' Sigillarim tum oeeoacoiligentius pcr tractemus:1lsta>n st m superparticulair quis!?ag liabitu liincs ponenstas esse non vixerit in inultiplici genere sz^ tcditur collocandas, illam in mpcrpartienti vel exteris mixtis cur poni nonpossinrstupcriussvtgrbitror) explanatum est.ponanrm igitur 5, sicri potest in multiplici genere.Lt quoniam viatcssaron consonantia mino: est. diapenremsio: oi rcilarori duplici.viapenre vero tripli ci p:opo:kioni multiplicitatis gpterur.Amstmile est eni vccst consonsmm oiatessaron psonanric diapente conti-nua.ira II diaressaron in duplici staruimr.oiapente in cS kiiiuavuplic-sponi.i.triplici.Tvnusautcm quoniam in badimclinidns musteis,post oiatessaron loeaturmimi-mniinea proportione ponamnque cstmior vuplici. dee aurem in multiplicitatis genere non potest inueniri. Ikestar igitur in superparucularis babirustiucm caciar. Lit igirnr prinia.i. sclqualrcra coni proportio. Mani st duplicem gusersn,us triplici:quoc! relinquitur sesqualter est. Suoci st diaressaron quieicm dupler est. diapente vero triplum: sublato viarcssaron a viapencc ronns reliquus stcmullo moUo vubitai i porest: quiit tonus in ics-qnaltera vebegt proportionecoiistitui.Sest vuc sesqnaltc re proportiones vuplicem vineum. Sucmastmoclum ex arirbnicticis instrucms Di potest quisq; colligere. Duo igimr toni viatessaron superabunt: q-est inconuenicns. Diaressaron enim ouos tonos icniitonii spario tranlcc liir.Mon igitur steri porest:vt non diapente ac diatessa-ron insuperparticulan incqualitttis genere colloccrnr.m st qnisronumquoqzin multiplici sencreessc pcnlndtc quoniam quicicm ronns mino: quam Uiarcaarou.Dia/ tessaron vero minus est quam diapenre.oiapente qumc ponarurin quacitiipls.diareissron in tripla.tonus in ou plici: SecI oiapente constat ex viatestaron 7 tono. Sna-cirupluin igimr lccuncium danc rationem constabit ex trivio ac vuplo.quoci steri nequit.'issursus stsmamr via tessaron quiciem in triplici ei diapente in quastruplo.Si igimran,'eramus tripllim a qiiacirllplo.-iesquirenius relinquetur.'ilvussus st oiamlaron oiapente consonakie sub lradas:str reliquus tonus: Tomis igirur sccunstunr bac rationem in sesquitertia proportione constabit. Scst tres iesquiterrij vno rriplici minores iiunt.Tresigicnr toni vnum viatestaron nulla ratione supplevunt.quoci est sal Kstmium.lDuocniz toni aclemiconium minus oiaressa ron consonantiam Mpplcnr. Sx bis igimr vcmon strsk viatessaron consonantiam non esse multiplicem. Dico surem quoniam nec oiapenre consonancia.in inultipiici generepoteritcollocari.Msm st in eo stamamr: quoniaz est ei minor continua iiZest vlgtcstaron.no locabitur vig-pcnrcrin mulnplici mimmon.duplici sczvr iltloc": quo viamlaron consonantia possiraplan. Sm viatessaron consonantia multiplicis generis non e st. ^uocitcg nec diapente, in maiore babituciine multiplicis quam est vu vk quc minima est aptari porest. Sl igitur vlgpeme in minima sc; oupla oiatessaron vero quenunor est-, lmul kipiicc quiclem aptari non potest. Mon est emm minus quicq; vuplici. Si igitur scsqualccra.Tonus vero scsqui tertia, Iln continua enim proportione locabitur. Sest ouo sesquiterrir smvliores liint vno scsqualtero. Duo igi rurronivnam viarcssaron consonantiamvnlcentrqmnl ia ratione conkinger.Dr dis igikUr aprobatur v-apcte gc viatestaron in multiplici genere collocari non poste. quo circain luperpstriculari genere inequalttatis iure ponm eur. L7Demonstratio diapente 7 oiatclfaron in maximis lu/ perpaiticulsribus collocari. Lap. r;. * Llust quoq; aststenstum necessario cst:quonia; i st viapcnlc ac viaressxron supcrpaniculares.p-portiones rencnrun maximis superparricuia ridus proportionibus collocantur. L>unt au tcni maxime sesqualeera 7 sesquitertia. IWoc veroappro dabitur boc moclo.Mam k in minoribus proportionib^ quan, tziqualrcra vel sesquitertia.viapcnre ac viatessaro consonsnligcolloccntur. non est vubium qum stcur alie proportiones superparticnlarcs prcrc,- Lsqualterain cc sesquitertiam iunctknoncsttciunr vnu vuplum: ira via penreac oiatcilaron vnuiii diapgson nulla rarione cou-cluclunt.Suonia; cnini oiapason in vuplici proportio ne esse monstratum est.duplcx vero proportio ex icsqual rero scsqniccrtioq; componitur.Diapgson vero ex viares isron ac oiapente copulatur: non est ouvinin quin st ro tum viapgsonin vuplici staruawr: oiapente 7 viakcsta ron in lcsqualrcra iesquirerliaq) proportione stnc locan ste.Lliitcrenim non porcmnr oiapason iuncrc pcrstccre: que consonantia in vuplici proportione conststir. I^ist m duabus proportionibus steterint iciqcalterg. !c; ac sesquitertia.'Me eni proportiones supc, particulares dane nulla ratione coniungcnr SlDiapente in sesqnalrers oiatess-ron in Icsqrcrtia este toiiuinin sesquioctava. Lapimlum. :4- Ico autem quoniam proprie diapente in sel-0 qualcera.7 viarestawn.in sesquitertia propor tione conststit.Lluoniaincnim inccr vtrasq; proportiones scsqualtcrani sc; ? scfquircniam Desquaitera maior cst: r scsquttcrtia niino:: quoniaq; i consonantiis vtgpcnkc mai ^rroiatclsaroii minoriapparz maiorein proportionem maiori.x minorem minori ce co sonankieaptancluin.Erit igitur quistem oiapente in ses-quaitera.viatcllaronvero in proportionc sesquireltiacoi locancta. Suoci st oiatessaron a diapente consonantiam iubtradam^: religtur lpacimquoe! oicir ronus. Secqui terriu vero!s, proportioni lesqualtere minuamus rrelin quik 1'esqmoctaua proportio. Suo stt Ut ronus.Inscsqui octaua Ucbcar r arionc costitui. k? Diapgson ac diapente In tripla proportioe esse, bis ViapalonInquacjrupla. LapttulS. :Z. Lci quonian, ocmostram est vig^son quiste kionem procrcarercx dis etiam apparet oiapen te ac oiapason in rriplici proportione consticui. reaest s, gs t iplici propottivnl sesquitertiam babicuciinem lungar: ouastruplam saeit:IsiturSv.apcnreacvlzpason conso-mnM^ diaressaron ssmpboma.unggkunstr quaclrupla spatium vocumrquoci visv»apason stipraesse «nostra- ^Diatessaron ac diapason non este consonantiam: lecn qumpstbagorlcos. Capitulum. 26. Eq in bis illuc! diliges lector agnoscar: quost S conionsntikMnlONLntiss stam consonantias efficere. Mam oiapente sc visrcssaron iunckx viapasonsvroictum est) >ic vero oiapason rursus st viapenrc sympi^ l.ibep » ststur.sttbis viapasonmue quastruplam proportionem renet. Luist igir st oiareffaron ac viapgson consonantias mngamusrvllam nesccunstumpytkagoricosesticiet co ionantiam.Minime.aDoxcnim in luperparriens in / kqualitaris genus castir.ncc leruat vel multiplicitatis or clinem: vclsupetpatticulatitarisllmplicirarem. SI gemi statuatur numeri quibus ici facilius gpxbemus. Sit cnl rernarius:cuius llr senarius vuplus.scilicct in oiapason conllstens proporrione.buic aptetur sesquitertia qua via rcffgroneffep:estjximus:vtoctonarius.Iscnim astiena num Oiareffaron proportionem tenet. Lui octonarius aci ternarium comparatus babet eum bis.Lo; ne Ntmul ripler Iiaberetia cius aliquas parreineq; eas limplices. Duavusenim eu supervenit vnitgribns:quxsunrvue tertie prcs ternaripquez primum terminum minimum q; locam^.Simigitur rcrmini Iri.iii. vi. viii.Zluclqno Giccnim viapa-son quistez.iii.-r.ui. Diateffaron. vi. r.viii.Ton^. viis. :.>r. Diapente. vi>:.ix. Diapgson ac oiapcte.iis. ac. ix. Lril igitur ilct,ip!a proporrio.iij.vi.viis.ix.Scstqua-qua de loismulra nicbomacusmos came qua potuimus brevitate partiin es ipsa quc pxtkagorici affirmant pro mmtcs:p3ttimex cisstein questam consequentia argunce ranres probavimus: Lioisteffaronconionantie viapa-son aststakurconsonantiam ex bisconiungi non poffc.gst vero sentiar ve bis ptolomcusrpostcrius apponam. Sz ve bis kacrcnus.Muncve sen,iconis conllsteranstum c. <17Oe semitonio in gbus minimis nunicris constet. Lapitulum. r/. Astentur enim semitonia nuncupata non q-ve v retonoru llnr uicsttctatcsffcst quost stnr no in tegrironirbuiustv spari, quost nunc quistem scmiloniu; nuncupamus: Llpustanriquiorcs autem limma vel melis vocabatur: dic mostus est. Lucui», ex sesquitertia proportione qux oiatessaron est: oue sesquioccsucbabitustines:quetonisunt:anferuntur:rcli quitur spatiumrquost semitonium nuncupatur. Lucra mus igitur ouos tonos cotinua oispostuone oescripros Scq quonia dffvt oictum cst)in sesquioctava proporti one consistunt. duasP iesstbioctauas promones conci nuas aai-iberenon poffumus . nili multiplex ille: aquo bx stcriuari poffint:reperistur.s,t vnitas prrma ciq; octo narius ocrupius primus.av boc igitur vnu; lclquiocta uum porero ocriuare. L>cst quia duos qucrimus: stenr octies ocrmAq; cxxc, lxuil.erplicentur.Lric igitur sccu-stus ocruplus.g quo' possunffonas sesqoctauas propo: rioncsestucere.Mz^g^gquccstoctauapgrs.lxius.vnl tatnmeisstelngamnkotgmsumma.lxxu.perstcinnt.kls vcrost sua octaua ilmilirer opponamr:quccst nonenarff lxrxi.rcststunc.Truntltz Ki ouo toni continui principali visposttE ^lcnplnlxiuf.txxq ^j -^unc igik.lxiiii. -vmkatu lcsqrcrrm conquiramus. L>est quoniam, lxms. probantur rcrtia parre no babererst oes bi numeri rcrna rio multiplicentUt.moxcrs pars rerria contingit:-: oes m rastem p:opo:tione durabunrrqug suerunt antcL bis cer nannsmultiplicatoraccesteret.stgntjqEtcr lciiii.cxci, borumtertia.lxiii,.cisstcm «ststtta.eclvi.rcstacc Lricigik bcc sesquitertia proportio oiarcffzron consonantia cenes Muncigiturvnas sesquioaauas proportiones ast.crcis. duobus senumeris continentes raro orstine collocemus stant igiturter.lxxu.i.ccxvi.lknrlus rcr.lsxxi.qui stint. ccrliis. Lui i nter vuos suprastriptos terminos collocentur boc mosto.cxcii.ccxn.ccxlln.cclvi. / ^onuS /i Tonns / X sccronin X I crctt s ccrvi' l ccxliii I cclvr Diateffaron <17 Inkac oisposttioneproporkionuin.ljdrimusnumc rus acl postremu oiareffaron consonantiam constituit. Iste vero primus ast secunstuiir-r sccunstus ast tcrtiu ge minosconstituunrronos.Lonffacigitur spacium quost relinquirurcx. ccrliu .gst.cclvf.in quibus minimus semitonii iorma consistit. <17Demonstrationes non cffe.ccxliis.ast. cclvi.toni me sticlacem. Lapitulum. rs. dprobo igitur.ccxliij.ast.cclvi.distantia; nS a ec integra roni mcsti, oimenstonem. §t enim l vucentorum quastragintatrinm -r ducenlorn lvi. differentia rrestecim tantum vniratlv^ continetur. Lui trestecim minus quistem qua; minoris octauain oecima:p!us vero qua nonastecimam optinct partcm.Li enim ocrics oecics rrestecim vucas efficies, ccxrxilii.qui.ccxlin.nullo mo xquabir. Lai occics nomes multipliccsrsupiiastcnt.cuoporteatonine feinikoniu; st tn in intcgx: toni oimistiu; rcnct:intcr scxlastccima par rem ac scptimastccima collocari. Luost posterius vcmon strabiwt.Munc illust liquebit talem semitonii distanti am stbimer geminaram, vnu roni spatium non poffe co / plerc.Slgeenim vt scse.cclvi.ast.ccxliu.kentlalcs ocias stbimer continuas proportiones sccunstum superius de scriprain regulam ojsponamus.cc.enim.l.:. vi. iicmet »p>os multiplicemus.: stt maxim'kcrmin^.lxv.stxxxvi. Item.ccxliis.propria numerostlare concrescant.: sttmi-Niinustermin^.lir.aclvni,. iivursus.cclvi.gststucenroru xliii.nruiritustincmconcrescaiir.Lnr igitur nu„icius licu. ccvuibicigi ur nicstius collocrm, mosto. ^ I Irv. clrrcvi I lni.ccvui j Nr.clvir j <51I7M caste», igitur stuit proportione duccnn.lvi.^ ccxliii. Inqua. lxv.st.xxxvi.ast.Ixii.ccvin.rktitcm. lrii.ccviii.sst.lix. rlviiii. Sest maximus eorum rcrmc-nus qmest. lxv.stxxxvi.ast minimum quiest. lviiii. xlvini. Anu», integrum non efficit tonum. g' llprimi sst secunstum proportio qux est xqua sccunsti ast tertium proportioniuntcgri csse semitonii probaretur: duo dimi stia cuncra vnum neceffarioefficerent tonum. Munc aur cum non lltertrcmorum rernnnorum sesquiocraua pro-po:tio:manlsestum est dec vuo spacia proprie tonoru; di mistia nonvistcri. Suicquist enim cuiuscuq; est dimisti um ist st duplicetur illust effcit:cuius oiccrur cffc dimisti um.Si vero iliust implere nSpoffitAcniinatg particula minus est parte oimistia.Si vero lupcrstuatac superug-stat:plus estparte Oimlstlg.prctercg probabuntur. Dcp. non tacere sesquiocranam proportionem. L>, lviiii.xlvuii. vnitglibus comparentur:lloctauavs lir rlviiii. cisstem sccvnstun, eas quc in arikkmcticis dicrc lunt regulas aggeram:. Lux qm in integris numeris non conlMnMrcocanstem octavam parrcm rclingn^ lectorum viligentiscompntanstam.Ilqucrigikui ea p-o- porrioncm quc in.cclvi.-r. cc xliii.est constirvtamon ccin regrum vimistium.toni. Luo circa ist quost vere semito nium nuncvxmunpgrs toni minor est quam vimistia. ss L"Demaiorepartetoni in quibus minimis numeris conster. Lapirulum. ry. Eliqua igimr pars qux maior?npotomc nu r cuparur s grxcis a nobis vero por vocari vc^ cillo. )st enim narurasernvl quotiens aliquick secatur ira vr non equis partiv^viulstatur.qua ta mino: pars vimistio mino: §: ta v maior ps eastc qux suetior est.-oimistium vincat. duanrum igirur1> mitoni UNI minus integro vimiciio roni minus est:ranto zpoko incroni integrum superat vimistium r vincit. Ecquo- riiam vocuimus semitonium in cclvi.r.ccxliis.principa liter itare: nunc ea qux aporome vicirur: ^n qnibuspos-llt minimis conitare numeris approbemus. St igirur ccxliii .parrein recipere occanam pollent cum aci eum sesg ocranuo numerus eomparctumunc. cclvi. babimstoast sesquioccauam sum ma minimi numeri comparata: apo ronic neceilaria ratione monitrarcc.Htunc vero ci quoniam pars ocraua ve este monstratur: vrriq; numeri octies 6ant.Etcx.ccxIii,.qriistc; octies multiplicatis strnume nts.M.stccccxliiis. duibus il propria conteratur ocra/ ua qni sunt.ccxlitj.stcnt.li. clxxxvis. sursus, cclvi. per octonarium crescant, lient igitur.ii.rl viij. Llrcy bic supra scriptorum terminorum in mestio collocetur. feirotu min^ «Mone- m. stccccxlun ^ n.xlvm _ _r._ H.clxxxvli ———^^ i C"Tertius igitur terminus aci p:imu toni retinet.ppor^ tioncm. ^o^cunstus act primu semitonii minoris. Mpo-romes vero rcrrius aci sccuclum.Arq; in loisuciupnmis Uporomcs vistMirconstarep:opo:rio:cnm ttmicon>,.in. cclvi -r ccrliij.numcns spatium commeatur. Mircogut LD.stccccrliiis.-r.u.rlvui.in eaclcm proportione Iut:qua «wii.gst dnccntos.lvi.quonia.cclvi.-r.ccxliii.ocrona-no multiplicati sunt.Sicni vnus numerus vuos quos liber numeros mulcipltcetrqui erea inultiplicarionc nas cuntur: In caste; erunt proporkionerqua fuerunt Iiinu meri.-quos prior numerus multiplicauic. Suibus proportionibus oiapeteoiapason constet r qm viapason sex ronis non constet. Ea. ;o. Est qin ve viakestaron consonantis lgti^ vlxr s musrvreui^-r pene puris numeris ve viapa-son ac viapente consonsntissvilscramus. oi» penrc enim constat ec rriv^tonis ac semitonio, istest er diarestaroir -r rqno. Disponanturcnim numeri quas superior ocscriptio comprebcnqit.crcii.ecrvi.ccxlijs cclvi stn bac igitur vispositionc primus rerminis ac se-mustum 2 sccnnstusast tertium ronornm reriner ^portiones Sest terti'ast quartum scuntoni, rninons: vr lu pra monstratum est. Si isirur.cclvi.°ctat» eisclcm quo-tu;octauacstapponatur:iicnr.cclrttvui.s)ulbus.crcll. ksmparart sesquaktcruin spatiuin ^-^°',^"^estieiur. duo circa rres quicicm toni lunt.st ^ lLuncius aci rcrriummuinlus con ^tmast quarrum. semitonium vero minus kertij ast quarkuin terminu; comparatio tcncr.w s, oiarcstaron quicicm ovorum tonorum est ac semitonii mino:is:viapente vcrotnumtono-vu; ac semitonii minoris.iunctc vero diatenaron ac ora penrc vnum viapalon vistcntur csticerc: erunt qulnq; ro tii^ ouo spatia semitoniorunr mmora:quc vnum tonu non vistcanrur implere. Mon est igitur viapalon consonantia constans ler tonis vtaristorenus arbitrat . quoci tnmMerisquocvvisposttum euicienter apparck. Sex eNim koniin orcknem disponantur, s. in scsquioctauis.p portionibus constituti. Sex vero sesquioctaux proporri ones a serro octuplo prccreanrur. Disponantur igtk ser ocrupii.kocmosto. gctupti.doc mosto. I l ! vlii Ilriiil^MssMUcvii > xxrl.ljcclrviti > cclxii. l cxliiii s L. Ad boc igirur vlkuno numero sex roni in fclquiocrsua propornonc constituti locentur boc mesto. DilpM pri rnum octuplis rerminis: vtocraux terminorum preipso rum terminorum lateribus astiungancur. Sit aurem oe scriptio rats._____________________ I octupli I t^viilll lxM j stxir l " I Sesquioctaru ^ ijSarrcs-xraux I cclrii.crllUt j xxxil.stcclrvlii ccrcim.stccccrli. xxrvi.stccclxn i cccrxri.stcclxxvi. 1 rli.cccclrxii. ccclrxni.ccrlvi i. s rlvr.stclvtl. ccccxir.stccccint. I ln.cccclrrrvill. I clrxri.ccccrli. Il?i»us igitur oispolirionisbccro est. Lcntinu^cni; versug:qni limes vicirur:ockuplos numeros rener. 21L xto vcro ocmplo sesquioctaux proporri nes oumnt. vbi vero octanas partes scrisllmugrottaux sunt eoru; nume rorum pattes.quiv^acliacmr. duc s, eiiclem quibus aclia ccntapponantunpostcriorcs numeros creant: vrin primo quiest.cclvis.ciltiis.buiusocram.rrrti.stcclrviil.bi stvimcr st coiungantunpostcriorem esticiunr nunrcrum qui cst.ccxeiiij.stccccrii. Zstemq; in cerci is invenitur. Si igirur vlkimus numcr^quiest.strrxi.cccccli.ouplnsell; prioris numcri.qni est.cctrii.crliiis.recte oiapgfon ser ro nisconNare vicicrcmr.islunc aurem st minimi numeri.i. prioris duplicem conquiramus minor erit eo numero 4 cst maxim^ac supremus.^am.cclrii.crlitii.numeri duplus est qui ast en; sc; oiapasonconsonatia tenet, stniiii. cclrrrviii.biclgiturmlno: est eo numero qui sexmm re rinct ronum eo ?'cil;quicst.stxrri.ccccrli. Minor cst igic Diapason cosonanria ser ronis.Lltq; ist quo serram via pgson consonantiam supernastunt:vocv c§ma.q> constat in minimis nnmcris.stxxiiii.cclrrrviii.-r.stxrri. ccccrli. Scst ve bis quist aristoxenus sentiat: dui auribus ve-M omne iusticium:alias eomemoravo.lflunc volumls Kricm fastistis vitator astringam. C'ikmsstcm BoetisOe Mustca Liber rertius. Zlstucr-sus aristoxcmumdeinonstratio superparticularem pro-polionem vsuisti in xqua non poise.atq; «steo ncc tonu; -Lapituluin. primum. Tlpcnorevolumine oenionstrara cst d iatcsta^on con sonantia ex duo bus ronis copulari ac semitonio. « diapente vo ex rrid^ronio ac semi- tonio constare. S; ea semitonia oimistiumroniintegtum nopos sc pstcerc: Si sigillat, conststcrars tractentur, atcp jsteo oiapason ast ier ronos n ullo mosto pe, nenire. Scst quoniam aristo / renus mustcus iusticio qu, ium cuncra pcrnnrrens bxc se mironia non a, birramr este srcunstum pyrbagmicoscon tractiora vimistiostest stcntsemitonia vicunturntacc oi tuistietares tonorum. De cisstcm mrsus paulispcr est vi spuranstum demonstrznstiicn p:i^ nulla superpamcula rem babrkustinem noto numero poste viuisti in integra; inestictatem.Inrer ovoseninunicros superpamcularc xuoportionem continemesstme illi ilnr principalcsrqus Tonus Liekssronl Sramcstietas ^srparsroni SesgoMM^ 6ecin>»^^ rvi rvN A. ——r .B. -nsinonism vcrosst.rvi.numerum rvii Mincr^com vniras.atE vnitgt,gpars.rv'.bgnc st ci^em. rvn - «»Em°2rsesbM nreroconmngamus.stunt.xvlu.7 pars sextaclecima-S' k ciaW.xvii.numeri lcxrsmckcimsm requiramus: erir igimr.xvnl. ^ pars stxrg^mma.xvt.numcro ^ ^ ^ rum est vniras vlffercntia:siue posteriores: nullus ita p o tcricmestssnumer^collocari.vrquaminimusproportio nem tener ast meciiuimeam nicclius renear aci ciri emum st; "vtin geometrica proportione: lecl aur viffcrcliss xqs faccre potest: vtsit equaliras secnciumarirbmcticam me stictatemraurarmonicam inter eosstem terminos mcclius numerus collocatus iacicr mestiekatc;:gut quamlibet ali sm.quaruin aritbmcticis fecimus menrionc. q> si ist oe monstrabiturrnec illucl quiclcm stare porerir: sesquiocra uam proportione; quxronuscst in oimicliaposscvisccr ii i. Suansto quicicm stlquioctsuaoisin supparciculari inequalitaris genere consistit. Ici vero meliu s inciucrioe monstrabitur.Ma st pcr singulas proportiones consiclc-ratione vee quo queritur orciiamurr Icl ve ro est ton^in ouo xqua postisparriri nec ne. Munc igik ve tono cstpcrtrgctarstum:? queacimoclu; non possit i ouo cqus viuistidemonstranclumest: LZuam vcmonstracio-ncm si quis aci reliquas superparticulares conipsratioes rrgnsscrarrsimilircr vcmonllrabimr siiperparrilutaicm in xqua norosrq; integro numero separari non poste, -jpn mi igitur tonum continentes numeri lunr.viii. arqz. >r. L>cclquoniamstMi ita nsmralitcrconsequium:vrme stius inrer cos numerus non iit:co!ilc binario quo. s. ni i nimo possum multiplico.stunr igilur.rv i.ac.xvin.inter bos vero naturaliter numci us caclit qui cst.r v 11. rg i tur.xviii.glj.xvi.ronusest.Sccl.x.-r.viii.g^.x.-t.vii.co parat^babeteum rotmr cius septimastecim. m parrcm. ^cpriinastccima vero pars minor esi lexraclccima naru raliter. LDaior est igirurproportio quc suv.xvl.gc.rvii. numcris conrmcturrqua ea qux sud.r^u.sc.xvm. Dui visponanturbocnioclo.-rstt.xvi.Ll.xvu.c.svm.B. -rDcstietas igitur integra toniintcr.c. ac. B. nullo mo-> clocacler.LDtno: cstenim.c.b.propo:tio.c.s.propo:tio-ne.List maioremigilnrparrcm mcclicrss rara poncncia cst.Sicveromcqictgs.ci.rZuoiiiginigirur.ci.b.quicle; proportio.quocl est integrum vimiciiu toni maior est c' b.proportione:que.est minor pars toni.g.c.gutcm vpo' tioqux est maior pars roni a.ci.proportione maior est cv est oimiciiumroni.estaurema.c.proporrio lesquiicus-cleci,na.c.v.aurem scsquifcplimaciccima.nonest vuviuz quin integra mcciictasintcr scsquiscxtamclccima. ac sesg stprimamclccima caclar.Lcci boc in integro numero nul lomoclopormtinucniri. recte roni mmlbram istdearnr qmSere. Lum admm 5o> tus.xriii. numerus sesquiocraua custodiar proportionL >Llndcstr vr qm snrerscsquiscxradccima proportio. ronS disaucrgrtanscendir.nonstrinrcgrum roni vimldium. Eu-cquidemn, dis vucrum tranlccndirgliquidudvllra vlinidlum iliius- lle vid blMr:c>.uod transcendit. Suo-circa superscsquiscxtadelimg.noneiittonioilnidiS. Sic perdoc necalis vlia maior sesquisextadecirna proportio nc:rom porerireS oimidlumrmin i^a sesquilexradeci-mg integro toiri oimidio stc maior. L»ed quonia sesqui-' scxcamdccimain proportio ne continua sequitur scsquisc ptlmzdcclma. videa »>u c- giieatonum bis multiplicat» implcsr.xvij.igirur numeri scsqliiscptimamdcc ma par temrenec tcrmlnus.xviii.I» eadem igitur proportione Ii ad.xviu.numerum abum compare mus enc.lx vlli.? septimadecuna pars.cpstgd. xxii. terminum in scsgocra uapropootione poliruni numerum compgremusrkent. xvilii-i pars octava.LVaiorvcroest pare ocuua prcte prima decima. LVaior igitur est proporio numerorum xvij.sc.x vuij.? ocrauarqusm ea qux in.xvii.sc.rvmi.r parkc seprimadecima continetur.quxsunk.s.bis scsquisc prunedeciule proportiones. Dux igirur elquilcptinik decunx vnum ronum nonvidcnturrmplere. Moncstigr »ur sci. uiicpkima decinis roni vim>dluir>:quonlgm nux vlipi,cata non implctinrcgrummon cotiner omudium. Seinper enim vrmidiuni vuplicslum ci cuius est cimi «iiumcoxquamr. ? sexta decima Ivi» lpsvm raris ^scsg-cpc/^ Lonu« ^onue lvvsvrk^ Lonus ^nonrnresc. Am vero st eos numeros yisponan? qui ^ ses t quircrtia proportione vuod'conio reti acris re iinquiimr:in >)is constderarx possumus: veru ea proportio qux post ouos tpnos rclinquic: integri loco scmironij censegrur.P st ira repertum str:ill6 quoqzcst coprobatum viarelsaron consonantia ouobus tonis arqz incecro stmironiocopulari. Lrar igitur lupe rmsrcrmin'p:i,nus. ere. viio.Sldbunc sesquitertia.p^ portionem rcnebanr.ccivi. Sed ad primum rerminum ccxvl.laciunrtonum.LId.ccxvi.rursug.ccxliij.roniodri nenr locum.rkst igirur relinquirurerroraviatessarSpro portione ca.s.babltusto qucin.ccriiii.-r.cclvi. vnitarib^ eonstar.bcc igirur I, probarur integri roni ee oimidiui c" vudikari non por viarelsaron ex ouovus ronis semiconi oqz constare. Siu igirur oemonstraru est roni oimidia irer scsgsexradccima r sesgsepriniadcciina.pporrSezlse» tl:avb»c comparatione eriam loxcproportlo metienda c. 'Ne enim longius progrediamurssumoex.ccliij.octaua-decima parccm:ea str.xill.-r scmis.banc steilde-apposue ro stunr. cci vi. -r semis. Apparet igitur minorem Fpor-rioncm.cclvi.ad.ccxlii,.sesqu!octaugdecimababitudine. q,st oimld» ronus maior quidem ern sesqui sextadeciura mino: vcro.in sclquiscptimadccima proportione r2es^ quioctsuadccima vero mino: est sesquiscprimadccims da ditudincrvuccnrorum vero.lvl.addncentos.xlni. L»-parariorqux sczrclinquimrcx viarestaroviiod^ retractis tonis.Mlnorkli sesquioctauadecima.-' Uon est onbium quin dxcvuorum numerorumproposttioscmironiolon gissime viminuliorstr. Liduerstim aristoxcnu; vcmonstmtiones viatcssrron conionannamcx vuob^ronis7 scmironi» non conilsrc: mcoi»pgsonscx tonis. Lapirulum. Ll od st (vrait aristoxcnus) viarcssaron con so q nantia cx vuobustonis scmikonioq; coniun gilurrvux viarestaron consonanrix necessario nuinq; cono- cff:ciunr:r viapcntc ac viarcssa roniunaxstcur vnum viapalon iugrinr:ita scx mnis cS tlNus^portione coxquantur.Lt quoniam paulo an lcr visposuimus ronos.quorum minimus crar numerus cclxii.crliill.LId dunc vcro vlrimus in scxrocoiiocavak tono numerus, dxrxi.ccccxli.quintu vero retinebar r»' tium.cccclxxii.r.cccxcli.oisponanturtxxmodo. ^s-priaScl» / > ^ o^/gseplUM ' Fpor. ^Lrsesquirmiap Mportione sublans ouovus tonis Ssm viMldlvm^non relinqui. ILapitulvm. r. Aer roni ron,' cclrii. rxliiii uxxxi.ccccxli. L7Munc igitur ve minoribus Mimeris.i.qumM wnis loquamur.Li crso viaressaroo vuob^tonis ac semitonio bisvrro viarelsaron quinqz conststercr ronis-w cx.cclm cristis viarestaron intenderem Liicn de.cccclMl.cccxc,,. aliud viatessaron rcmirrcrcIdem inter vrraP intentio^ nem remissionem uc numerus imicniretur.Jd aurem stc bocmodo-a numero qui kst.cclxi,.crlii'i.v'sce,l»ron,m tendo.idest scsquitcrnu m qui str in. cccclvii». d x> .er triente. ^Ursus.vc.cttctMi.cttxiii.numcrlS rcmikto les Uber in quitekksam propornonem:qve>lt ln.calM.ttxciiir. das tglwr proportiones oisponamus bcc mocio.2 kt prim^ qui6em numcrus.a.kcuncius vcro.b. Mtius. l. quar/ rus.D. SuMBkoni relisa rsr.i4,.a ;4S-»or5..v I.c.z54.r?4 47r.M 0 I nii.ciccixviii. B»!e tffSmiImrs.rmmnusgb.cl.ttrminoquioPtcn^ tusrsNonisquomSGdmrMwn invuobus ronisac scmitt>nio iungttur: vr A? ffoxenus arbitrarur. v numcs via'c!ssroir.tnrLr.s.stqr.b.sliucr vero intcr.c.atP.cl.po kw; cst.b.v.e.remrinos non vporket effc vincrsos: kcci vnos atcp eoseicz. vt integre quinq; roni cr ouabus oia teffzronconsonamissconstsrevicieairruriMiic^cio qm eil viffcrcnria.iiii. eicclxvili. ?,biffe arsuitur viareffaron minime tonis ouokus ac semiton ro coniungi. C7Diapason consonantiam vi.ronrs comare ercecrir-r g kr minimus numerus comaris. La. 4. rsscl l,Zc si querimns in integris numeris dis fercntiam collocare:qm in ea parte que cbiffe s pars rerria ii arl6gmr:plenam efficit vnrtatc; quc pars rcrtia eiuscicm biffc vuiriolum crt. n totius viffcrcnrie oimielium ciclcm aciicccro q: 06 est. is^ ecclxxxiiii.-r tticns Nr omnis snma>'>ic.Uii. L)uc ouciu coinatis proportionem tenebar. Loim cni; est quo lex to ni superant oiapgson con1onantia;:quo6 in primis, vis. clvii.vnikatibus conrinemr. Agitur vr differenti? vimi ckum proprium sckccimus.vti.vii.cUii.excrcsccrcr: ira ttiammnctis.a.b.c.ll.terminismeclictares proprias sci iungamus:? eaci-m erit >'n omnibus qnx supra propo:^ tio: ticrqz eaUcm inter quintua ' i1,cca- "'c ^ arcurc v,.- - ^ L-cviu- v, L chxri.ccccrli. cccrciu.cctvr. clxriin.cclxxxvnr. ! b.cccrlviu ^rrv.55. uui.clni /i.. 6ccviii.cHxrsvi',i .^.ecaim.ccrciin. cccclrni.cccxcii.v D.iii lkclxvii»»55 A.cclxU.GU». , cxrxi.ffrll. ii.cccircxiii. 55. chrvffi.cxlviil. eMiiii.ciccfflt ccx^vr.cxcvi L»em»s-r serras copient biffe et vlffecu triere co iuckvsreicegrsl vnltsrcn, Wcckcrgs.D ^tliietgsvr^ LDeclietaS Dilolaus vero p'rbaM'ims alio moclo tvriki canclcm mnam oifferennam smians. ternarius enim, x viuilieretMtamt.Stamens.s.primorium xriiii.su>rin^«tauaparsea^ ^'1"^ mo,mpan:(a'marimeanuqpvrdago-.ic°ovo lausouasefficitpancs^-namquc dimiciiosu maior: *m»bilc iuir:)eKcem.^sm mm ternarius numeri. ramP -potome uocar. sffeliquani qux vimniio nr mlor: xamqzwrsus Viestm vicitrquam posteri lemitoniu m» nusappellauere:darum vero vifferetiain coma.LIc pri mnm oiesun in.xili.vnirgtivusconstareardittgtur:co q> boc inrcr.ccl vi. xxcelili.peruisa str oiffcrcnria: Suostq; istem nunmus.i.ruj.ernouenario tcrnsno.arq; vnlta» re confiilsr.Suc vnitas puncti obtinear locum. Terna nus vcropriurc impsrcs linex.MoucnariUSpriMlipa» ns qugstrati.Exvisisiturcauilscum.xlis.vic»; ponat quost semironiuin nuncupatur reliquam. rrrn. numen vartcm.quc.rlili.vnirattvusconnnetunapotomeecco stiiUlt.E>cst quoirism inter.xni.x.rlltl.vniras vistereu rorum vero to-m ni.rr vii. vmtatibus locat, eo 4' inter ccxvi.sc.ccrlm.qut inrcr lc vistanr lono.n vu. iit vifterc MTonuin ex vuobus scmitonij s ac comate constare. LgpltUlUM. 6. L quibus faci c apparet tonum vuobus senii e roniis minoribus -r comare constare.Msm st torus conus ex apotomc constat ac semitonio semitonium vero ab aporonic vistcn coinsre: mbilcaliustapotoiiienill lemi-oiiium minuo-r coma. L>i lgirur vuo semitonia minora ve tono quis aulcranco mastr reliquum. C? Demonstratio tonum vuobus'leniitonijs comare vi stare. Lapuulum. 7. Dem vero boc quoqz probabimr mosto.lllsz t st orapason qutuProius ac vuodus minor» bus sciniroinjsconrinerur.supcrantcV sexto» nr orapason consonantiam vnocomare.non c vubmm qut,: tonis quinrs ab vrroq; spatio sublatis:!» a»l reliqua ce viapalon quiciem ouo lcmironlg minora: ve ser vero ronrs tonus.Arqz I)»c tonus bcc vuo s miro-nia:qux relinquuntur: vincit comare: Zuocl N onovus eiscicu, scimroims coma rcponarur:kquavunr ronum.cS statlgittir: viiuiii ivnuin vuobus feiiUconus minori» vus 1 comaruq> ln.vq.clui.primis vnitativus inucni tur:cqusri. n» quirelt spacium.quo maior 5 sesquitertia pro portio ouobus ronis.iLoma vero e spaciunr stuomaio: cst sesquioctava proporliovuabus oicfbus. i.vuobusicmitomis minoribus: Scbilinaest omiistiu roniaris. Oiascblsinaivcrodunistiuz vicicos.i.semitonis M!Nor«s.rSxquivnsilluclcollisimr:qm tonus quiclem viuiclilnr principaliter m seniiconium minus arq; g,io komen:vlulcjltur ctlsm in vuo semitonia-r coina Hus stc vr vlUiaarur in quaruor visebismara -r coma, intege vero viinicitun, ron» quocl est scmironiu;:conllar er vuo busvisedilmatidusiEest vnum ^mironium minus -r scbismace ep est vimicilum comaris, Suonism cum roc? tonus ex vuobus semitoniis minoribus-r comare con» tunecus cll.fi quis ici integre olUlcicrc velitffacicrvnum semltonlun» mlNliscomallsq) ouuiciium. Lcst vnum scinitonium mlnus oiuiciiturin ouo visscloismarz. Di nnclium vero comans vnum scdlsmacst.ikeaeiglk v» uuin cst inregre vlmistuim ronum in vuo oisscbismgtz: «rqz vnum icdlima polle partiri. Suo stt vl intcgru; se Milonium minore scinitono vno scbismare vlffcrre vi» cieatur: aporomc aurem s nrinore semitonio vuod^ icbis maubus vtffcrr.Differt enim comare. Sest ouo sclrist maca vnum perstciunt coma. Ii. De toni parkld^ sumcnetis per consonantias. Lspuulum. 9. Est ve dis quistez bscrenus.Muncvkro i lust s visterurcffev censtuln: qucmastmoclinn per consonantias ncusicasipcrarapossimus spa» cia nuncexrcstcremunc vero remittere: ist aure llneaiircrffarstineaqzquas vescrebimus vocisaccipiun rur loco. Dest ram fele rario ipsa ocmonllrck. Dir propo sttum roni spariumpcr consonantiam sumcrcnn acurum se; arqz srsuem. Sic lonus.b.ab looc inrensto almm >0» nnm q»i viapcnre spacio ab eo q, cst.Boistct ast eu qu» cll.c.avdoc rcmirco viareffaron consonantia; ast ist auost cst.st.Erquoniam inter oiapente ac viareffaron ron^vis» fcrentiam l'sc> k.st.D.spaiiun, tonus repenus est. ' Vi^eMe inrcnsg ^ 2^^turo / viLesssorciM <17 List graviorem v ero partem ira mostulabimur tonu; av cog.cst.Io.oigkcUarvnlNkcnstogst.f.i -b. t. viapcnre 'cmino gst.k.rkririgilur.k.b.tonus.Slniingstmrretig» rur viligcns lccro: ast.st.b.quistcin ast scuram pamm ct> teerum lonum.ast.k.v.auccm sstgrsucm. I'-1 ! B j ! s ' ^ ^ /i. ' -> // vrateWit^is / no: ve rotoni parsell spacium:qno ouos tonos vialcffsron c5 sonantia tranlccnstir. Sir enim sonus a.inccnsto.av a. visrcffaronast.b.rursus inrensto ab b viareffaron ast. c. «v remirro viapeurcast. st.Tonusestigirnr.v.st. durius ab st.lnrcnsto viareffaron ast.e. ^ciniico imum av e.oispente ast.s.Tonus cst iqitur.st.t. DM lSstur sut ro ni.v.st.st-/-Ecerat.b.g.inlegrum viareffaron. r. nng» tM/.a.minor toni parsrcp kmitoniir nuncupsrui. Tonus f l V ^ D B L DisteMon ^ke,e»,M ^'apcnrerem^* bis suMuf.a.x. Viatkss!>wn:TrirWur.e.c.kmitcmi-«M minus aporomeisrurcsl.c.Z. ^ronlintenK L'-!,! srmiarem veto p«ttml)ocmocko.L,tlonus.,. tnrmtlo ouos tonos perconionsnusm sck.A.v igrcstsrS veroad.g.rcmino ss.lr.erirlgirm.lr.s.minor semik»-M) paro^oporkcbateffurte. L7Dsnc iMs sipokomc si ^ comcxlum 6c fumemus rLSLMM; NL7MLL rs«vlu rekqu». Htm en,m rrestoni, g. v. v.c.c.s.ad ronk>NAMlamrmunorkt.c.s.zpotoniercliGm. x)iate^aron Tonus S7ckurliis sck gmuem panemHoc mocro.inttniio sb. g. tono semitonium minus icj quoU ell.s.ct.av. ci. vero re» mitto gvoromen.iljquockest.v.e.LritigiMsLSmz.e.g. ^srsniitenS L7SS llick? fxLiS aorome. _____ /^Mvr^e x X Latome rernii^ ^StemilNls gcma pgstc sumerecoms.llt Ion', «ucoogjiotomen.g.d.tcmitto semitonia min'd.c.ra «Mttomv.sMome min'L comare. Loms em.c.s. SVMes Liber »z Dl-k-mere D gkEz- ^skst4s0,evn«» Dl-ipenkLttnM Epercin-cia mwrvri» Es' Sed qrst paululum oec5makisr3nepredlittm':nS est vistugiendu -r in quali proportione idem ipiv; coma contineatur ostendere. Lstcmm coma quod vlrimu com prehendere postitaudilus:vic^duq; est semitonii» min' »c semitoniu niaius quaris sigillarim comaris constare vidcantur.iple quocx tonus quatis rursus comandus coniunqimr.Acprimublncconucniessumstinikium. El? Demostratioarcbirc super particulare in xqus v,ui-Lnonposte:e>u'Psep:cdensto. Lav. xi. Vpcrpjlrnmlaris proportio scindi irrxq me ^ « dio pportionalner iurerpostro numero no po ttst Id veropostmusstrmircr vemonstrabit Suamenivrmonstrakionc ponirarcdirao: ni «ivm stura est:bcc verobuiulmodi est. i^ir inquit super psmmiaris proporrio.a.v. Sunio in eadem propoma ne minimos c e Suoniam igiMssunrnnninnin cade xroporrionc.cH sunt superpamcu'»ces.c.numcms.c. numcrup,n^„g ^^usqzttanscendit.Vttautem vee rl.Dlto qin.lj.^g^ erit numerus. 2>ed vnitas. 2ien» est numerus.q., qni est.c.nmiekur.cl.nnme ros.e.numcmm.c)uo circa r.e. numerum metietur. Luonrvt.c.quoctzmetiak vtruViS>k.c.-r.e. numeros mer»emt.c«.nvmeru8.s)uod cst impostibste. Sui enim lunk mmimnn eadem proportione quivustibck alijs »u meris:v, pum: ad scinu.ccm sunt:, solam oisserentiam recinent vnr aE.vnltasigm„est^, Mure. numerus, c.numemm vnuarc trimscenclir. Quocirca nustus inci^ dcmedi*numcrus:qui ea proporriouL cqualitcr scidae Suo ; bcc g aritbmericos nros vitigeni isperencuac ilt'icelliger. SIddedu vo c id ira eue Nire: vtarcbitasputgtu sola supparriculari proporkionc inon aut vniuersalircr est vicendum. Kuncautem ad sc Hucntlg convertamur. In q numero?.ppo:toe llrcoma.rc,mreaq mgio' a, ^ ly:v.,d.lcM.mmo:tz.IMui.ad.l^ii. 1ir.imSidis vico qmklnucng coma?tin?rma p iorkinilcrettnct^portione.qua.lxxv ^ niinorL G.lrxmi.ad.Irriii.id ^o ira oem5str?k wr.,epmocMilludremisc^ marc transcendunr.Sitlgif.a gdc.ccltli.cxliiii D m rc viapaion ad en contincarconsonantiam in v M.Z c°nstimtam.dxx.t.l.cclMvi!>.c.vcrosctton,^,t'annmt rqvistedat r lll.d.i^l.ccecxll. Sue omnis er secundi -poiv A B "l^mer^minor ^-rim.cclrcrv-i'- stxrxt.ccccxii Differenti» clin- vxxnrl. strr>r.cccxxtt clxrxvi.cccstrxv stxxin-.cclrxxviii stprri.cceir» .Mmor.G 6xkvtt'l«.cccxxu 67 Istem aiite^erpsicznstu.illo pri^prcsumpto gr st cur' proportion-propria numeror»; oiffcrentia cqualiccr gu geaturrmino: inter eos qui post aststitioncm siuutppo: rioconrincviturquamintcrpriorcsrquiantcaststirione illam quadam proportione oistavant. Vt lex r quaruo: fi vtnlqz vinarius que est disterentia lua apponaturrstke viu.-r.vi.^ocstinrcr.vi.-r.iiij.lesqualtcra: iurcr. viis, -x vi.sesquirertia proportio concinetur: mino: veo est pro portio continetur: mino: -vero est proportio sesquitertia silqualccra proportionc.boc igirur rts presticto vispona-tuc superiores numeri qui proportione comariscominc bar.i.stxrxi.ccccrli.-r sit.a. L>it ena; v strum .cclrrr eri,. Iioru; oiffcrentia stt.c. vii.cliij.c.lgimr numerus maio rem nuincrum eo qui est.a septuagies qurnquics mena tur. Si igitur c numerum septuagies quinquies multiplice lia mtbi ei qmest.stxxxvi.cccclxxv.Igltur.st.numc rus eum qui est a numero eo qui estearmcestlt istest. v. xrxiii,. istursiis c numerus eum qui est v mcciarur lepcu agies qrcr multipliccturq;:stet igirur numerus t strr viu» cccxxij. Sui s eo qu i cll b maior est eostem c numero qui est. vxrxinj.Ergo st numerus cum qui est a rranicencirr e numero b aurem numerus av eo quiest s-vincitur coste; c nunrero. Si igirura numero cunstcm e apponaiuns^st ec.st. coivero d numero cunstcm e apponainus ster f. st.numerus septuagies quinquies auccus est per.c. sial; multiplicatum tautemseptu agies quarer inuluplicaro ccreuic obtinent igicurincerle proportionem stalcp.s. quam dabent. xxv.ast lrriui. Sest st acqz ssmira arq; b.vno eis aststiroc maiorem igirur nccestaneest proporti onem concineri incer a arq; b quam inter st arq; f.lttaq; a arq; v numerus vnoe aststito effecti sunt st arq; f. Lvr-nor igitur proportio est iiltcr st arq; f quam incer a arq; o. Sest inter st arq; s csste>n proportiocst que inccr.lrx v -r.lxririi.inrer a igirur arq; v maior.prsportio cst quain inter.irxv.-r.lxxlui.Llc a acq; v coma continent. LDa-ior,»s>mr proportio est comniacis quam, lxxv.ast. txxnn. minis tonorum vispositionesuntrolligesta. ltcr'b igitur acqz.c.comatis proportio cocmetui : Slufcro igirur b nu merum oenumero.c.rrclinquieur.st. in vii. cliit. vuira rivus collocatus. Sui numerus inino: est quam sit septuagesima tertia pars b numernmaio: vero est qua eiul stem sepruageil,na quarta sir.Ma; st custem. D numcrn qui est in. vii.cliii.lcpcuagies ter multiplicem: stet mibi c numerus in.stxxii.crlviiii.vnirarlbus pstitutus. rcai cum septuagies quarer multip!icc:sttnumcr's.strxv,ii, cccxm.Quorum quistem.e.qui per septuagintacres au clus est:minor est v nume, o.saut qm per. lrxiii, .maio: cst dnumcro.lstecrc igirur oicrum est. st.eiusquostcst v minorem nuicle esle qus septuagclimgm tertiam pgi tem maiorem vero q; septuagesimam quartam. Suo circa r c.numerus v numcrn minore quistem parte eius quostL d.cunstemv superatkiH septuagesima rertiarmaiore^ero xs septuagesima quarta. Eius igirur g>cst.c. .pportioast jstquostcstvmaior quistem est:qua.lxxv.ast. lxriiij. mi nor vero qua.lrxiii, .ast.lrrii,. Nam in priorevnitas septuagesima quarta est minoris: in posteriore vero castc vnitas leptuagestma tertia. sxrUn.ttUrrvin ll.crviiu j O'»i?2rtto KMcsnij mmz.is «tNvNii K>:S?ortl0.t?.;.,Z.tr.5. j «A. 5. Lkdcr ^Slniglkmssken^un^cZmskis proportionem maiorem cc ches; H.lerv.contincncrcl.Iwtti.cSpzrati.Htsic osten^enciu S:qu?s6n,ociu minorem inrcr hproportis ncmcorineanknumcri spariumeSinaris concineres H. lrxiiii.aci.triiii.compsrsri. Ici rersmoffrabitur bocino ^0 H^cminiicencjuin pri^rquici sccuncio volumine oiccri musrcnm oc mensum viffcrenne loquebamur: S- enim er qualibet proportioni! diffcrcntisin eorum numcroru: quies conrinennguscramusrvi qui relinquunturmsio/ rem ovrinevur p:opo:cioncm:bis nun,cns:qui eram an re viffermcic eiininurion?. Dimenl. viii.r. vi. Lbbis propriam au iero oiffcrenrism Mett. ii. kunr. vi. r. iu!. -Seri ln superioribus sesquitertisun dac scsquslrerz proportio coniinctur. Msis: vcrocil sesqualcersproportto sesquircms prsporrione. Sim izicur uclcm. g. scq;. r>. Sui lunt superius oescripN-quorum cK oiffemina.c. L" Suocilcmitoninm min^niauis quiUcm llrH.xx.g<1 kviiii.MlNUSP.tvlili aci.xviii. Lz. 1;. Noci ii s6 semitonium minus rslis speculis « rio conucrrstur.cius quoP proportione m is cillimc rcpericmus.Sueconffar inter cclvi.-r ccrliii. Sitisitur.cclvi.s.ccxliii. W.doru v»' lerrnkia.riiirt.Dicoq,s,.g.au.v.minorem retinet pro-rorcionem:H.r^l>u-s.2ci.rviii.5. M enacur enim.iL. rviiii fcmisulquoijcli. ».Iiunr.ccliii.z.SuoUilr.lI.qi>i t;komp«swb«i'a.cocU psulo ante monffrswm eli cacicin comaris proportione maioreeffcsb.lxxv.gci.lttiiii.^^^lltatl siUittgiiur nu meri. Sui coms continenr maiorem quicicni incerle dere proportionem qugm.lrrv a^- Pill-. Minore; ve ro H.lxxini.sci.lxxiui.quocjo^rtcvsr ostcncierc. tt.cxvUlt 1 nium minus maius quissem ee comarib^rri^ bus minavero quatuor. Suossbincsgcillime ... . possis agnosce,e.Sintrrcs numeri ira vispost kt. Vt mterleproportionem continegntvlgpAldn^ esm qucviclrurscxtonorum.Sintcncm.g.cclrii.cxliiii.intc ssanrur igiturass.d. quissemquinqztonicontinui »str d.cccclxxii.cccxLli.aa.c.autemoigpgsonconsonantiare> fcramrrnr c.stxxil.l.Mxviii.Liq.q.gurcm scxtoni im kenstantur.sitB.chrxi.ccccxii.bisits vispcMs -rconsti, tutis manisestum est «nrer.c.atP.ss.cSmg constitui.eo-st G differentian, esse, vu.cllll.^ss aurez lit.k.rcmitrankur igitur vuo toni ab eoquoss est. D. ass.iss quossest. e. Lc str.e. ccclxxiii. ccxl viii. issursus ab eo quoss cst.e. mien^ clo diaressaron aci ici quoss eissf.ccccxcvii.ssclxiiii.quoniam igitur inrer.e.gtqz.b.vuo sunt coni.lnker.e.arqz.s. teffaron unter.v.igitur.atiV. r.minus semitonium rcpe> e>Mr. Sublatis enim a diaressaron consonantia vuobus stt reliquum semitonium minus: quoss in primis constare pressixi.ccl vi. «xilii. Suos eosssc nu^ milies nonageriesquaciragies quarcrqzmulti-p"^s.v.arq;.s.numeros explicabis.Suos necessarie e eanacm proportionem superius dictis numeris conri/ nere.qulvno ar^xg^m numero istest. LV.ccccxliii.pa sircr multiplicati crcuerc. 7 rem ad eo quoss cst.s.ilitcm sso diaressaron.s.aci.g.-r iit.g.cklrili.cilij.-istursugab eo sse.g.rcnntto gss.p. ouos tonos.-r kr.p.ssxxi,l,.cclrrxvin -p-^tessarie est-^t eussem sonumrquem.c.nume ruscrblbcat.Licipqualitarcmnaq;eiusralrrarionc pro grcssusest.Srenimcaqucest.g.c.vlgpgsonconsonanria qux constat qulncx. tonis ac vuobus lcmironijs minori bus.ab. vi.tonis comare superatur. Slv eossem igimr.a. termino numerus.p.quinq; ronisac semitoniis dnob!' recessit boc mssso.abeoquossest.a. vsqaassissquoss est. b.quinq; nimirum colligunrurroni.av eo aurem quoci c b. vsqy ass ,ss quoci est.f. minus esse semitonium pcrno^ rarur.s.veroacqz.p.iclemrursussemitonium minus in rlussunr.a.igirurvscygq.p.qurnGtonosacouo semi^ tonia minora prossuxir.lureigitur.p.atqz.c. eistiem nu" meris conscribuntur. Seci quornain lntcr.f.akm.c. scmi tonium minus est. visseamus bccque s>r eorum oisseren ria: vr eam commi comparemus. st aurem eorum oisse renria.xxvi.licxrini.-rlitkkc.m. Mur.k.comaris vis' ferentia est. LD.aurem semitonii niinorig Si igirur. k. numerumtertioauxcrimusrstctnumerus rri cccclpiiii. Srsttbic.I.Sivcroqugtcr euciem numerm.k.multipli carevolucrimMc rrviu.licri,.rs!kboc. Migik. LB. maiorquicicm estab.I.Mmaurem. LV.minorestav. '/g.Sz.n.quarerauckocomatesuccrmir.l.autcrnrerrio. LV.vcro semitonii minoris obtinet oisserennam. Jure igirur dicrum est minus semitonium mirius quissem cc qz quaruor tomgta.maiusl vero H tria. Tonus Lvin«roni x>iskclitsk'/? ^/iru»nnN l-iber,» ;:om« ircnlr L.P> Di '59r 4976^4. 1:4-s r L Apokome maiore esse H.iiii.cS ma» minore H.v.t nvm maior? H.viij.minoremH.iM. La. 15. Acie bac cone r semiconm mai^P apocome imi? c supracjici reculim':quor comnii lic possum^ iuc- nire bse mZ. Slc.a.cc!ci'.crM. Smqs ^2 av eo vistas conis «ic.v.cccc xx-i.cccrcii. Ser vo vtllas conis »v eo aS L.r.tir.ci.s.clrcn.cccccll.lkec.d.lgie zrcV.ci. ron^ k.v.^o,!, eo qS e.c.vular g iciconiu min^r llc.c.ccccrcvu. Sctr»ir.lkelliigker3oittr.c.setV.^.sporo!nc.pporrlo.nz rglilkon^n.lj.crcoNsuleess.v.c.lemironiS min^c.U. «'igk mri':qS aporome cc lup eemlim^.ilei-.ci.lglc arqz r ^ oria.xcriii.clcclrrvii.iDic sue ilc.e.i';ecarcoma^ ori, vu.cUti.vielit.f. -oi is>?.s.icl P?com»Lngcs multipli ccrlicr MlI)l.rrrv.6«Irv.^6r doc. rS. Si vo ilZc.,.qn, rcr mull^4rcL6rU:mncr^:g c.xxvitt.ckcxil. M.igicurav eo qS e.e.mu-c.I:.min''. Sz.g.qmqmcsaucm ccSma lr.vo qrcrc auc aoocomes d?s.c.iuc: igir vak e: apoco^ men mino:? gclL ee ana qniB cSmanimio:? vo quam qmo:.Lr!)or igikcoprovak conu maior? quE eequaz Mcocco comara mino:? §squa nonL.Ma simin^Lmiro nin mai'quic!e cMa rm.cSmNr min' vo qua qrno: ax>o rome aurm-»o: quicie ? quZ qmor eo nata mino: vo quL qulBnucru lemitonia lnin'semironionuio:i:qSe spors m:ericoemai^qm4eoccoeSmarivus insn^v^oqua no ue>n.L>z aporomearcV semitouil» mii^vnLcsslciuc ronir ^on"«3ir inaio: quiNc 0. Vlii.comaciti^uilo: vcro.u. SS » leiromu mina Lxxcon» s V> I D ' ^ D I Li s^47r;sr I Z!4rss l 5;i44t 1^4)77 i 57::4 Di,x,-dn H7Superius vicro um ver «umeros oemonstrario. ^ Lapirulum. ls. EA quaqua per banc rationem oemonstramz lirrquesilmocluin unus comarivus coinpa-cur: non eiltainen quali fegnrvus oelallan- tecurmon —--- Uu,n:qus nunus per sc >^nc«nrrs comata psrstioncm minere rsnus ipse monumur. L>lt igitur. s.quiAein.ttltti.crUtti. b. au cm quu"v vmans roms. eccclruucccrcn. L. vera o-zpr acl>a q> elt.s.contrncs sxwxbonum lcz. innu>neris.clrriul.cc'rrrrm.cl. siuL «d eo cx est.a.serkonis totos vistLrens.Arrri.ccccik.cl.kSt rur »v.co quoA cll.c.oillac comare icrroni.s.sb viapason lonsonantiaiU aurcm lir.e. vil.cliii.A.aumn av eo quou ell.v.rono inrcgcrimo villat. vi.f.roni quinq, ronis.ia «uremilr.s.cllrrrr.rlir.Siigimr.e.nouiesaurero:licr midi.I).>rnti.«clrxvi>. Sin vctoockies:st§r.lvii. ccrriiu IA lir.S. SeA.b.quiclcm.s.numcrocoparsms liipak: S. vero supcramr.? cll.s.kni vtstcrcnria.b.surcm no uies niuikiplicarum coms.g. vcrooccies ocmonilrsws est igimr tonus mino: quicle;. viiii.cL cSmatibusrocro comativus maior. ^''Knrsus demonstraMim propono tonum vuod^ke mtronijs minoribus iolo comate cile maiorem. Sir. a. numems.cttclrrii.ccer.cu. Ab boc intmAsmr ron^.Uxrri tcccxli.-r f,r Iioc.cl.sb eo vero quocl est.s inrecjamr «cmi^ tomum. Minus quost cst.b.acilr v cacrevii. Uelriiii. Irem ab eo quocl eil.b. semitonium sliucl inrmAalur mr nus quocl cil.c.^ str.c.clxrriii.ccixxrvlii. Quoniam «Zic «.ci.ronus cll.s.c.vcro ruo continent mino:» lcnnromL Vicleamus qux «it oisscrentis intcr.c arcx.A. mimeros ca stilUta.tkstau cm.c.sc; vniramm.vli.clni. «Ocmoltr»^ mn» eil i^rur ronvin ou. bus krnironls mrnonvus es msrc cc maiorem. Sec! quoniam ownEN que probs A» p:omif.mus:propria rariovc lvprreli muKtr mMwtionimesulsctS m«noVo:Al iac». A» est partitio. Quam rem qvonmm wnglo: tractatus ex renclttnmpostenorisiomcnur», vripmsttoijrm ccnlur muslrastcrcnciam. dls vremlMs licet makus lemironMm minore Ii miton-o cSinste villare moniirsrum MnammiAc quo-cy per L » per iuvlcctts numeros rslirsnone probsbik. Kr.s.numcruo.c«crcvii.clclniij.abeo vero lcmiromum minus oi st msUt.b.mnnerus. qui ism supraquoqz ve lmpnis est.Airiiil.cclrrrvili. apo ome verovistetabeo quocl est. a.Is numcms:qui coliigtturvniratld^.clrrri. «crli.-r li rboc.c. Quoniam isimc.a.b.minus scmironi Um.a.c. maiuo:oistercnria elus quocl cst.c.abco quocl k. d.perqmrcncla eil.Esest.vn.cliii.iclllr.ll.Sccililcnu/ m erus ornlumcSma monstravat.inrer maius igitllrse^ Mitonium sc minns coma visterennam facit. nidn!«r mcomunirn!» § 47.'z9: i -;r44> «m. Lilamem quadruplus quarernarkue vnirstis er binario mulliplicatamedieras quod est inleruallu;.d.<. 27onnoimen^ <17 Siulckm Boeti- ve LOullca liverquarms» VocumvistcrcntiaLictztitstcconiistere. La. r. L ii omnia qux vemonstranda crkit superior,slibrr tractatione vigelsi" musrnonpcnitttrgmcn rursus ea e dem mcmorix recolligenda prcsta/ re mm quadam oiucrilcatc rractacus vk dis rursus sci memoriam redea tivusadrcguleviuilloncmrquoto ts rendit inrmrlo: veniamus. Si soret rcmin omnium quiesrnullusaudimn» sonus terirer.IdautLkerctquo nia; crisantibus moribus cunctis nullximerscrespul sum cierem, vc igitur sic rox:pul(u est opus. Deci ve lir pullusrmot^ necelsarie est anreccdac.Atcrgo lic vox: mo rum ee necesse cstrScd omnis moms brbcl in se mm ve lociratemrtum etiam tarditatem. Si igitur lic cardu s in pellendo motusrgrauior redditur lonus. li^am vt tardi rss proxima stacion i esi:ita grauiras contigua taciturni-rsri.Uclox vero moms scursm voculam prestat. >p»re-kercarqu? grauis eiluncenllonc crescic ad medium. Sux vero acurarremiMonc occrescit ad medium. cNndc lic vr omnls lonus quali exquivusdampambus compoMus este vidcacur. dmnis auccm partium coniunccio ppor tione comiccemr. Sonorum tgirur coniunccio proporri onivus constituta est.Wroporiioncs auccm principali, rcrin numeris conllderanmr.proportio vero stmplex nu ruerorun» velinmulriplicid^ velin stiperparticularib^ vcl iu superoarliencivus inuenicur. Sccnudu vero mu! ripliccsproportiones vel superparciculares conlonx vel vUiduc voces eraudiuncur.Lonsonx quidem lunirquc vmul pultz suaucm permixrumq; inter se coniungunr so num Oistonx vero quc Ilmul pulsernon reddunt suauc necyperininuinlonum.Iiisigtturilaprcdicris ocpro-portionibus pauca vicanius. H7 Diucrss oe uiteruallis speculationes. La. r. Zinrcruallum multiplex vinario multiplice-currid quodsttexbac mulrip'icatloe: incerual « lum multiplex est. Sic multiplex interuallu; b.c.-k.b.mulriplerciusEest.c.-rstatvtest.c. ad.v.cta.b.ad.d.Tuoniamigicur.v.multlplexest ems quod est.c.metikur.c cernimus id quod est. v. vel bis vel tacio vel octnceps.E ^ c.gd.v.ira.b.ad.d. Metis iMr.v.tcrmlnusidquod est.d. Suocirca quia.c.cermi nusld quod est.b.mctikurrmctltur eris;.d. LVulriplex cstlgitUr.d.eiUSquodeq.c.-rest.c.d.Inmuallum este-emm ex coinpoilco bls cspulatoq; livimec -r per v, nari» multiplicato.b.c.mcemallo. in numeris quoq; ide; pro bicur.Sir emm.v.ad.c.vuplum: vc binarius ad vni rarcm -r stat vc.c.ad.b.ira.b.gu.u.Lsi^gitur.d.quarcr narius, wultiplcx est.b. ad. c. 'dcst vinarius ad vnlts rem. Lvultiplexest isitur.d.qusternanusad. c.vnita- ^Dn/ciples triplex ireruallg <17 Siimmiallum binariomultiplicamin multiplexef secericinlcrualSumripsum quoq; multiplex cnt. Sic in. tcrnavum.v.r.-rstac vt.c.ad.v.ira.v.ad.d.r.d.lltad.c. multiplex.Dicorquia.b.eius quod est.c. mulriplcx est Quoniam enim.d.cius quod cst.c.mulrrplexcst: mcrie tur.c.id quodcst.d.mericrurr.v. Silentum vero kqm fi Ilnr termini proportionalicer constimrircumprim^fue rit vlrimocomparamsrst primus vlrimnw ruerirmen-susrmeticrur-c medium.c. igitur mckitU! id quodc.d. eDuIripler est igltur.v.cl^cp e.c.^ q rurms c x numeris klc.c.vnitas.d.veroexouplicata.pporti ne. b.c.llrqccr nariusrr e multiplex ecquod cst.c.Lst cnim quadrupl'^ §)migikurb>c quadruplus exouplicgta.v.c..pporrioe 8cnemmr.b.c.proportiovin,idiumei^eiit.lgitur.b.c..p porrio vupla e. Sed ouplurn ttiulbpler eil.L rir igitur b.c.proportio muinplcx. "'muttis ^Nrnlrvp^ ^<^/qusl ler«xV^>^ .u->^rL.^po. Disterentia ^SuperparriculariginteruMmecli^nummis necy vnus nccv pln res proporrionalirer inlerucnicnr.sir eni d.c.proporriosiupesparrimlarlsr inesclcm proportioe Mlnimtsinr.cj.s.?.°i. Quoniam-cl-si-^-S niinimi sium in eacicn, proportioncrilrntciusiclem proportionis pr:mi. Quo circa cos vnitas metiecur. Llurerarurisitur. § .ad cl.si.r rclinquakur.ci.b»c est igikurvtroru«V mensirra eo / munis.bxc igitur erit v nuas. Quo circa nullus intcr.si. cl.atqz.g.incistct numer^rq sir sb.f.cl.quicicm minor m» ior vero ab.S. Sola enim inrer cil v mras qusntr vero in siuperparticulsrivus proportionibus proportionslrtcr Inrer elusiciem proportionis minimos inrerciclcntitol etiam inrer cercros erusicicm proportionis mcicleur. L>; nui lus inrer.f.ci.ztcv S.n">>>mos ciuscIcm proportionis i tcrucmrc porcst.Mullus igitur uircr.b.arqz.c.proporli onalitcr cacler.r i numeris iit qiiLliveksiupcrpart cularis proporno: vr siesiqualcrs.!)! vcrosiunr.r.?.r v. in eaclcz -vcropraporrioncmintmi.il.-r.iii.imlcrooe.iri.bmarm fir reliqua vnirasrcacic vrrosiq; me imi: imulius erir cgi tnr inter binsrium reinariunrq; numerus:qui lit binario maiori minor vcio remano. Sllioqum vnuas viui-clerur quoci est inconucmens. Quare nec inrer.r.quicicm atqz.rv quisiqua nuenleturrnuincrusrqul talem ast.x. odllnearpropornoncin qualem aci cuni tenenr.xv. Si intervallum non mn/ripler binario multiplicet icl quocl iit ex bac multiplicatione nec muliiplcx ell nec fupcrpartlculsrc.Sit enim inrernallum non mnlripicr b.c.? liat Vt.c.aci.v.sic.d.gci.cl.Dicoquonisz.cl.ciusg' rst.c. necx mutiplcxcll neqz siuperparrimlgris.Sit cni; silreriporcstprimum.v.eiusquostest.c.multiplcr. r5r quoniam cognimm est. acoiiutcmaUum vinario multi plicarum sit.-r multiplex inrcruallucrearu. icl quocl mul tiplicamm est vis intervallum ec mulriplex.E nr ig,,,^. d.c.mulriplcx. sicci iion est positu;. Ilion igirur crir. ii.ec^ yuov est.c.multlplcx.nec verosiupcrpanicuiare. mperpacl cularis proportionis mecims proporrionali-kcr terminus nullus inrerucnit.inrer.ci. vero.? .c.est korriouEcrrerminusconstltutus.iclest.v.Mgm vr.c. «a.v.ltg.b.gxj ^ impoMbileigikurcrit.cl.eiusqnoclest multiplicem este vel siupci particularem^quoci oportebat ostenucre.Lrrn numeris str non nrvltiplcx intcr-uallum.v>.acl.iiii.sigrt quoci relinquitur serqniocrmmm. Sil cntmL quidem cius quod est.b. r squalrer. Ac -ce ro.c.cius quodcil.b.sesqulterrius.Dicoquonism.a.c^ quodcst.c.sesqmoctauuscst.L)uonigm enim.g.ei^q6§ b.scsqusltcrM.g.igimrbsber.d.-r cms dimidiam par^ rem.Gttoigimr.a.cquisuncad onodccim.b. ikmius quonism.c.erus quod ell.b.sesquitcrrius eii.c.igimr >?s ver in ic.b.-r ce, riam eius parrem.lkoucm igirur.c.equi sunc sci vuo-dcciM.V.Ouodccimsumn.b.cqui mmrsd «ro.a.Lkocroigimra equi inntsdnoucm.c.Wmr. r>. rquuseU e, quod cft.c.7 ocrauxeius parti. Si. lgimeci-' quod est.c. sesquioctavuscst.Lrin numeris scsquslrci u; quidmr intervallum s,t novenarius ad sensrium. Scsq rcccium vcrooctonsrius ad senarium. Isiouem i§imr sci occo sesquioctava proportio eil. mlMae.li.ewsqaictt.c.rknInllmms. Sirenim sesqualter .xii.ad.viii. Scsqkcruus vero.vui.Ld.vi.ikr/ vi. Duplices sunr. Duplex Se!qusirc, Seigcerr^ ScsquaU" L7Sex proportiSes sesquioctaUxinaiores ilmt vno vu plici intervallo. Sit enim quidem numcms.s. bui' su remkl scsquiocrauus.v buius scsquioccauus. c. -r kui^ iesqmottsuus.ci.-r buius sesquioctavus/, ciuscy sesqui^ octavus.g.akq; kuius sesquioctavus, lr. Id aurem nar secunciuin veicriprum in Llrirbmctica moauz.-riim nu meri.g.b.k.d.s.g.k.-r lit.a.cclrii.cxiiiii. kumssuccm ses qui-xtanus qui ell.b.ccxciiii.dccccrii.bmusaurez rciqui ocesuusqui ell.c cccrrri.dcclrxv-.buius aurem sesgocra Uvsquiell ci tttirrill.ccxlviu.buiusautemscsqnrocca-- uus qui eir f ccccrir.dcccciiii bu us aurem lctquiocr^ uus qui ell.Ucclrrii- ecere». yums amem sesquiocra^ uusqui eil.ir.clrrri.ccrcrli.Tc unt.dcrri.cccelxi. cpelt. ir-klusL ooMtsacl vucenta.lx.ouomll,s.c.rl!iii.qS est.g. Sexlgimr sesquiocraux proportiones. Amplio^ ses sunt vns intem-Uo. Eesquckrcr ^srintemalumeilack ftsLoa"^ X' tcsquioch r-4SU lwukicsmm per grecss ac I annas littterss noraru; nuncupatio. .- Lapirullim. » ?- ssilar quoniam sum''nemum sccunilu; pre> r clicras consonantias per regulam oiulilm.-quo niamcp necessarios sonos mb^generib^an-tilenkcxbibebiriila p»rrltio:muilcasinterim nofgsgpponcrc:vtcumviuisam lineam iiiAem norulis signauerimus.quocivnicuiP Nrnomen.ssacillimcpossit sgnoici.^lercres enim mullcipprerconipenclium Icripci onismcinregra semper nomina necessarie esset gpponc/ re:ercogiraucrc nomlas quascjz,n:quibusl>eruorun,^s rabula norarentur.cssqz per genera moUositz oiMre-Hi mu! etiam dac prenirare captantesrvtN quanclo meios aliquocl mullcus -voluissetascribere super versum Rlid mica mem compolrrioneoiiltntnmrkas lonsrvm lioru las gsriberet.ita mira mockorcperlcnres:vrnoii ranknz carminum verba:quc litrcrisctpycarenku! :ScSmel0x, qnocn ipsumrquoq bis notnl>sllgnarcru>: in metNoiiL pollcriraremq; duraret. bisoibns mosls VM interim lrckium riu^nc/uvtzper ma Zencra diGsna-mnsnn reliquis mo6:s ie!e tacere in rempusaimq^j^ rcnres.SaneN qnancid 6lGsitl'oncm no»mm Mera-ruin Fragium niinmpgrione bcsqipscso:kessorM>M'Nc) uitatc Mrbemr. Sexcis cnimlitttns nunt rn cMmW; panem imminurismunc eria in ve ssrprio conUuutg cst. Wos Vero canemus AlmiNNab annquiraris aunontarc rranluertere: Srunt igitur p: io resac mperioresnoulxoictlonis.i. verborum: lrcuntix veroatP inferiores percussionis x:c>,lamvanomei,os qma^quIlltUssiklpotest.r.inon integrum r rsu isc5s. ^.Dypstel>Mkonqukeilpuncipaiisp:lneipsliUiss ^ .c nucrsum.r. k'. rccnim. 1- . Mbvpare bspzcoA. ,qcllNw principalis PrincipgilviN. st.Mtinresruin. r. r.supiuum^.k->.birp»ronenZrmouios:qucc!lprinct7'a liunn enarmonios. A.supmum.-r v.conuersumrerrobz dens virgulam.1 ^.bvparoncromaricequg cil principalium exrcnka.Sl.suptnum.dabcnslinea;-r. r.couer sum ouasdavens linea s.-ss ^.dyparon oiaronos quc z principalium crrcnra. cx.grxmln oigamon. ssss- bypaex nicson qu? cil principalis mecliarum.c.-r.c. c - pardvpa te melon qux est sub principalis mccliarum.^.r.c. supinum .v/. «Melon enarmonios quc cil inecliamm cnarnio Nlos.rr.greclim.-r.c.conuerllm. n). LOesoncroniarice quxell meciiarum cromarica.rr.grcmmbabens virgula -r.c.conucrillm per meclium babcns virgulam, u-^-. LDeson oiaronos qu; eil mccliamm cxrenrg.^t..grccum -r.li.grecum vMucrnm.ri^Mcie queeil mcclta.i.r.^..^ cens. 7^.'.Trite ivnemenouque eil rertiz conuincraium. v.Tc. lupinv.m.L'. SyncniLnon cnarnwnios qux cil cS iunclaruMenarmonios.n.K-cmm.-r.^.izccrrsconucrsn permcclium bavms virgulam. X» Eiyneinciion cro ' msticcrquxeil comunctarumcromarica « grccu"» babes virgi'!am-r A.conuerlunr dabensvirgulas. pcmcnon oiaronosqueellconiunctarum crrenla. r.r.u Mtesyncmcnon que cil v^imz oniunccarum.^. gua sramm supinum.-r. 2. paramese quc cil suv meciia. rr.r n.grcmm Mns-. §. Trire vle;cugmeiion:quk ssrua Oiussamm est k.cluaZrawm.?. n.gcecum lupmu. ^ . Liber rs4 viezmgmcrron marmonkasrquc est oluiismn enarmoni os.^..2.77.gs.mm iacensconuersum.^.viezcugmcnS rromacrccqux-.st vivisiriimcromati a.^.bavens virgu lam i.rr.gremm lacensconucisum dabcnslmeazangu ls> em. ^ 2e. O czeugmenon digronss qucest oiuisai S viaronos.w.quaqcatum -r iupinuz .2. ^.^.Mcrc oie zeugmeiron qucest vlrima diuisamm.L> iaccilg.r.rr.in uersirm oiclucmm.n inee losperbolcon qux est mus excellentium. v-veorMin respiciens ocxtruin r lcmi.«. sinistrum sursntnicspici?s.i.,x.bypcrbo?eon enarm» niosquxeftexccllcntiummarilionios.-r.supinum -rse-mii A Teprum supinuz. va. .dyperbolcon cromMce que esteicellknriumcsonmis^-.lupinlim badcnslincsm r lemi. S. dercrum supinum ludens, erro lincaz. 0 a.. pefvslconsjgronosqucestcrceUemirrmerrcmg.^L.gi-e^ cumbadensgciiram.^.rr.vicluttumbabensacurz.rr.u. Mere dMrvolcon.i.dadenL aculam.r.Tx.iaccnsdcns 2 KlrLstamoanomcnos j au>. >. iicvanos mcson kiswnos 5 > l Dsran.ojczcus.marm. I " j s - I , , 7 D^pacc b''p.!ton I > r ! I Tc. I eDele L. ^ Daisn.viezcug.cbroa- i^> > -D.»vspaccl)vp.lton i o l. i I V I TrlkelVncmenon w 2 D^ean.viczcug.oisconos V j liMaosiop-pstocnarin. 's i 'itbaraiieressnc.cnarm. o- ! i^« 'ME viczcugnrcno r-L 2.icdanosvspacocv:oa. « ?x Daiancrcs^nc.cdroma.-s. s ^ s l v ! LriUbypcrbolcon ? Ircbaos vspsto visw. r rr DsrLNktedsnc.vtslonoi , a. ^ IParzii.b^j^I^^m^ c c ? Dspmcmcion « Mete s^iicmenon .1^1 Darau. Io I ^ ^ i Dardsparcmcson ^ ^ I Dsiamclc l ar. ^ sioaran.i^pdoleooiakoii. rr i iicvanosmcsocnatm. Lrireoiczeugmeno ! r j Mctcdspcrdolcon e I ^ ! s! Iccds os meson cdroma. -v ^ i ! L7 LVonocorsti rcgalaris pattittom genere disromco Lapimlum. 4 L5cl iam .cmpus est aci regularis monocorcii oi » visionem venire. De qua re iliuci eli preUiccn qu>:quocl line in mensura ncruusiuc m numc risratPin corum proportione statuatur vllii densta diuistormaius spariu corster-r maior numm ,nul ritucio lonos grauioresesticret. Ar si tuc, it nerm longiru lio concractiorrr in numeris non xque inullaplursiicas scu l0'cs vocesc.linccclsgi-iecst.SIrqzerdsccom^aratio neauantum vnaqucPsticrit vel longior vel plurm; nu nrroum LlliaB vel contractio: vel paucioribus signa »a nnincristsnto vel gravior vel aeutic: inucnirur iicc !cno'cm res illa contu- det: quocl incenclcntcs lxpe spa-ti!provorlionu,n numero macore signau.musrrcmtttm «s^ommore:cum ircnsto acumen laciatuemils.ogra vitalem. Illic cmm tantum proportionum sparia ligna damus. MM ve grsmkstis aur acummis proprietate lavor,mesEiLo r.n acumen maro-rvus numcrrs. kcncliinus.- 2 minoribus in gravitatem sepe remisimus dic vero vg, corstaruin spari, so.iolP mercemu r: naturam rerum lequ, ncccllcestrmacorilv longuuaini co narum ex qua graurras cxistin ampliores inlnorl v. ro ex q -vocisacumcn nascuur dare Vrcviorrs. Siccorclainteu sa.s.v.dulcxquakitrcgulz.quk propositis partmomv? viuiNamrrrsltca regula corcleapposirarexclem viucsioncs in ncrui longimstinc signcmrrquas ance astignaueram in,regula. Mos vero nunc ira oiuiclnnusrquasi ipiam cor ijam 2 non regulam paruzniur. Oiuistsrur igirur. a .v. in quaruo: partes per cri, puncra que sunt.c.cl.e. rkrur igimr cokzquiclcm.a.v.ouplz ad Kis quxsunt.ci.v.au. sigillarim vero.a.ci.st.b.duo c lum addis que sunr.a.c. c.L^.e.e.d< Lruiguur.a. b-quiciemgramstunalM» ii- l prMtnd^noinenos.^.b.guteinmcse.Silmunoimiclig rollus.r sicuc.a.d.adca qucest.b-a.Ouplacst lpauoira v.ci.ad ca que cst.s.d.vuplaest acumine. Vs; vtsupm us victum est lpadj r acunrttlis seinper orcio conversus L Mam ranro est corcla maior in acuminerquanro suerit mi nor in spacio.quo circa erit -r.e.v.Meted^pcrbolcon quo nigin c.d.ei^que est. q.v. vimiclia qrriclcm -n «tztitalc du pia vero in acuininc. iiviisrus qisi cgqem.c.b.el^quc est n.b.ciuarra pa- scN.ln Marior^ciaLr^iiotZ ci ir ab cavem m acmimic.Lnc igicur(vr dicrum c,y crc kyverdoics vupla in acunrinc ad ea quccst inesc. LDese aurcm ou, ia in acumine ad ea quecst prostamvanomcnos. Merc -o-ro dspcrvoleon quacjruplain acumineabea qux estp:5 stamdanomenos confonsbirigitur prostamvanomenos scimelen vtgpzson.mescgclnctcdypcidoleon diapgsou prostamdanomenos aci nercd^pervolcon vis vispalon. Murius quoniam pquepgucs iunc.ac.c.ci.lt.c.Ld.L ronos consonabit aci ncrembypcsbolcon.diapgsoMdja pciike.ilvursiis n oc cots.ad.nonam pteni aulciain cam quxest.a.s.cmntPgskcsocto.f.d.EriciZimr.s.b.dvpz re byparon.acl ch lesqnloctauam conti near proportione; s«v,rMli?roi^mhLNomclios. )lrlnuli(A vcrs tonum. LDrMceA LMll, 'l^saslsmdgnomenos C7Supm'or velcripno Mors Isgus qux «Mtinareius sum oeimktlonis:^blcor°ls nowusspposuim^ qua nismesmm nomius ionsunnmaiciibere. Irem li.a.b. ttibus Wonibus psmsminem psrs tertta.s.8. Due iglMselusljemcrunl.G.b.Lonsongblkigiwr.s.b.pra llsinbsnomcncs.sck.g.b. que est bypsre melon vispe», te ronsonsnnsm in prcyortione sesquslteraconttikuram c.b.sukemscj.g.v.mr Tonus L^iarc^»^. bisdrapalv ll. Sritigik.g.gdeMlbanoinkcs o.aur nick'. ll. Nkt-'kv'pdorco.f)zr>el>it igirur-g. 4dE- ip. «xvl.o.w torSdimidm.l.iiii.ci^ljj vrmcseadM> lanoincnSoiapafopfonZriapueniar rssa vo uucc. tt.oi midiu meses:vr MMabanomenosad eanrrce »cre dvp dolcon:quadr»pla.7 dis viapasob aci cz consonet svm-kboniallllP.ll.ii.ccc.iiij. V.ccxVi. uli.dcviik. j ii.ecciui. ^ Si igik cr.ii.ccciiii.ocranZ adllulero pte.k.cclrrrvkk ielfdePadieccre:liern»Di.ii.4rcii.cr,r4Z.n.n.i>.ljrc» i? nr parancre dvpvolcoad nrrk b> pbolcS obtines d,as, tia tonu.Hlorfus e>'4 e.n1' d- cii.suferoocrE nere Dvpvolco.vtzronuvoav ea 4 e nctc bvobo'c5 e-E do.f.s.cnk, cdroanco snctt.tc b vpd.crSar c» k marmSio do psr-m, DMv.enarmoios.qS sac,!i'aanosccs:curmki sc cn lrui genc> rria^ing rcr! acorcla z nere dvpbolco icdo anklsvfcrpscrlm. din voiiz lcigterliaproportoe vuas Irlgocttuss adstuleroreling5 mibi seironiu min^lum o rmiaci^quec.l.l.i.nercli^pboleonsur.cjcclrviii. Dos eisclcm sctlcio.lrenr mtloi.lls.ixcii. Tuorue.ci.ct nece oie xeuginmo concinens aci rrile bypbolcS scmikoniu min^ M.i qm nere vieieugmenoact nere bypvolco oiaccisaron prinec psonaria:'trite aur vypvoleo oiaronos ali ea vico-nu oistai.-ielingk spariii quocleincer nere oiezcugnienS >r trtre d^pdoicon lcmironii minoris. Lm igik tccrsco:> ^um laMoteondiaconici generis cxplcuinl^.Wciccbro marici >r enarmonii tetracorcia suppiecis sunt koc mocio. Lr,n kN! parancrcdypboicS aci nere dypbolco in oiaroni eo gcic genere rono oiiiac.i cliromanco vo trib^semironi -is:i enarmonio vo ouov^conis:n oilianciaparaiicccs dv xboieo r neres bypvolcS oiatonici generis supserimus crusP vimictiu paranctcbypdoleo que e oiatonici gcnc^ risapponam^:daveviin nurnerutriv^cmironiss ab dv xboico nere oiMrc.r erit kcc k cromacico genere paranere b^pdolcon.Liniero igitur, cie. >i. circii. iUciiveparanere d^boicon oiatonici gcncris.it.ccciiii.icielincrcb^pdo- leSrreliquuk mibi.ccixrrviil. Iios vinlcjocrur.crluii.cos cie «cilicia, ii.cixcti.c.paracrc ia^pdoleo oiarSici gnis^emt nitki. ii.Uccxrxvj. laccerrrparaerelifpboieo cromarica. rursus qru rrite layvdoleo vlviatoica vci cbroacrca orcos tonos oMaranecebyxvoleo'? lncnarmSiogiccparsne te kypbolco ouov^tonrs viiiat ad ea qe nere bypvolcon: cacte erit r enarmonio genere Mgncre kypvolcorqucc ^ viatonico vel cbromacicotrircbyperdoleon. Oeci qintri tebyxbolcon viaronici generis rciaromanci aci nete oie MgmenSminMroinussuar:psracaur rerracorciu cnar/ montj grus ex vuod^ccgris rSis:-r vieli.ac oieii.quc sunc oimtcira spatia seiconi, mroriscoistariaea auee lccr uctL viczeugmeno -r pargnctciaypbolcoenarmoniu lumo.lz qm netcviezcugnienoe.iii.Ixxii.psrantresuc dvpvoieo enarmonios.ti.ciccccrvi.born oiliaciacrir.ctvi.lx>:u sU' mo oimiciia piS.g su>ic.lxrviti.I!)oo aciicio.ii.ciccccrrl. tlet.ii.ciccccxcijii.bcccrit.ee.tritcdyLvoleo enarmonios. vcicripmm cii igitur sccuclum tria genera ren acorctu s> c brLbotcoi,:cui"to:ma subter aciiccimus. ia re nn jl.accaxclui ii. cilcicx-xi n ii.lcliiii. L7HvSnosupaiusvigrstk vefcnprionls. La.' «. ilstiaigitnr rarscorciarali nobis rsttonevescrr c prs lum. Laracorcjum enim omne oisrestarS Mina consonsnllam.Mwr nere bypervo-lcon r nctt oiezwgmenon in lridus genaid^ iaest vel m oiarono vcl in cromste vel in enarmonio di» restaron conrmcnr s^mpboniam. Diatclszron aurem con sonantia- onstat ouovustonis-r semitonio minore. Ici ooc mocio per tria genera in supraciiais terracorilis v iui min est.In diatonico enim genere primum pamnereb? pervolconiciest.ii.cixcii.acinetcnbvpcrbolcon.icicst.ii. aciiii.odraicr distantiam ronumrquscl rsli norul c instn pstmus.^' .durius rme byperbolco vigronici generis qukest.n.ckcaxvi.aci parsnccen bypadoleon oiaronici Scncnsqukest.ii.cixcii.rursus obrina disterentia; qua; iimili nota iniignsuinius. °.Mereaute;oie^ugmenS sci trite bsperboleon icicst.iij.lrxli.aci.il.ciccccxvi.scmi' koniumrcscttq? tali notula stgnsuimus.^.bcxcst rora kpscium nae diezeugmenon -r nere bspcrvolcon ouoru; l onorum se lcmiromi. Sci icle vuo coni -c lcmironm in cromarico canere bacrationc viuist sunt. Secuncium en! Senus quock est cromsncum doc mocio oclcriprum est.p» mnae enim cromskicc bspaboleon que est.ii. ciccxxx vi. «a netcmbypervolconquk est.ii.ccrilii.comparstacon-nner sparium planetes bypavolcon oiaronici generis aS necem bvpcrvol- onrqucxi est vnus ronus iclcst vuo semiionig.mzing geminus.^ oiuisumrurstis lpsrium xsrsnereskypx^^^z oiaronici -r nacs byperboleon. (Ira enim sacrum est) qmest dimiciius ronus: scci non inccgrc:q:(vk lrrprg vbcrrime monstrsrum est) non pot conus in duo xqu,pg„^ ^g,^gusvimus jgjmr boc spsrium cnum lemironiorum iciest toni ac semitonii boc mocio. wv. livnribs paranereb vperbolo cromarica a» triten dypcrvoicon rcrincr pzeren, toni iciest lcmironm quoci reliquum mir ex ouc>b- roms qui continentur irer kriren bypcrvoteon ocatonicam -r naendypervoleon. Suvrracris veroquaruor scm>toni,s:reliquumcx roto retracorcio spatium semitonii cst:cpkominemr inrer nttS viezeug»nenon? trite dypcrvoleon.Lonstar.girur -r boc rerrsrorclum ex vuovus conis « femirynio: yruisum in vns spatio quistemtlib^femttoniss.Zn vuobusaurem^ spuriis ouobus semironijs.Ttts vo spacia ncruis qua-> tuor conrinenmr. Zn enarmonio vero genere summa est Ici pernoscencii facilitas.ab e» mim qux est nere bypcrbo lcon iciest.ij.ccciiii.parancrc byperboleon enarmonios iciest.ii.clccccxvl.ouosronos inrcgros vistar.Suos boc mocio nctabim". istrUquirur igirurer tortus re rrsco:ck'ouobus',koms -c semitonio: vnuin quiciem se-mironium quost conrinemr inter nae viezcugmmon er paranerckyperboleon enarnroniS' Suoci.s.viuistmus in ouas oieses aire bypaboieon cnarmonion. LDcM lntcriecta:spZtinP vicscoo boc mosto stgnsuimus ci.ita lglMr nodis bypcrboleon rcrraco:cium oe!cripruin est Suo peracro aci oiezeugmenon raracorctum veniam^ Mec mwranaum est eisctem comemorarionivus in ccre' ris: Lumabbacoeimptioncaiam in aliis sumi vc»i!e exemplum. ^ L7 oDonocorstinaarurn oiezcugmenon per ma genera partitio. Lapiwlum. 7. Eres igitur diezeugmenon q e.iii.Ixrii.st n miciistni mma:aut. eD cirervi. Sui eisclez acicilti nunr.iiii.licviii.quscst mcserqusm. 0. littrrs destgnsuimus.cp st ciuscicm nacs oie-zcngmenon.i.ci.a.scz.iii.irrii.anfcrsm rariam parrem: erunt. LV.xxiiij. Sui eisclc coinncri sgcitt. iiii.xcvi.que vocabirur psramcse.x.lirtcra iubnorsu. Mae igirur die zeugmcno.istest.iij.lrxii.ast incien icicst.iiii.cicviii.qlic» niam m sesqualtera cSpsrarionceonststitcoiripentc conio/ navit s^mpbsniam.rkacimr vero nere diczcugmenon ici est.ni.lxxii.gu paramesen iliest.inl.ecvi.quk ac! can, i ses bUltertiap:opo7None copostra cst:oiztkstai on rctina con sonanriam.SilSiruravesqucest nae diezeugmenon «l.irxii.auscraittocranamparccmistcst.cccirxrm, «s ' ociiciam:stcnt.iii.cc«lv>.erlkcvbxcpgmn«te diezeugme non oiaronos.cc.iittcrispcrnorakaacinac diezename nor. ovrinensronum.Slb bsc vaost oaauain gus^zm pasrcm.i.cle.lu.cccclvi.Slic^ ^ ,u,M-crunt.nl. q«e^ inenon OUtonos. Scci quoinam nere diezeugmenon aci paramclen k-squirmiam odwreb-it proportionem: krircautem diezeugmenon diatonos antte viezeugme> non vuosronos avcst.cStrnevirurinterrriteviezengme non-r paramesen semitonium minu^. Diaronimmigi mr genus.In Iioc quoq; mracorcio ac penracorsto ira ec x>iaumest:vkttrrsco:6i quistem eius qnocl est neres vie zeugmcnonastparamesemtvistcstaronconsonantrM. -L»entacs:cli vcro eius quost est naes oiezcugmcnon au me!Ln:vi,xcnrc»lcon!onsmls. .. - - iiii.ctcrn» s^iiii.xcvi. atPtromatimm genus kgcrSne neres-rparaneresviezet-g vlMfenlla.c clrr>un.bgnc vmiuo.rmkit.cml.bcmc6 lu mar ei queestpgrancteviezcugmenondigtonos.aUiu^ Lam.l.iij.cccclvi.stcnr.ii>.cjcxlviii.kccerirpsranctco,e zcugmenon cloroniarics.v.b.geminatls lineris annota ra distans a ncre diezeugmenon tonor semitonio.rri^ dus s mironns continens aci rritem viezmgmenon du Uum quistcm viaronicam.Munc verocromaricam istest «i.stcceixxrviii. Semitonium reliquum ab eo.kono: qS vlUlsum est inrcrpsranctcoiatono viezmgmenon,rri> ^.°^konon oiezeugmenon:? str aliucl reliquum er tara lcmltonwin-Mkci- ttirc oiezcugmenon croniaricaz ..^.^"'^n^quost.seroiarestsronconsonantia re inani E-inrer ntten olczcugmmr n 7 paramese st b ^»'b tonis:quos nere, diezeugmenon r trite tmzeuzinenon cronmica concinebam. Nuc ammi.in viaronico genere trire diezeugmenon oiaronics est. M cro.natico sutem trire oiezmgincnon cromanca: eg i cnar monio genere psrancre vienugmenon enarmonias vici tur.integrosenim vuosronos vistarsd e r que e nere oie zeugmenon r noratur.a.s.ikrinrcr ncren diczeugn;cn9 -r paraneten enarmonion diezeugmenon nuiia rurer est corsta.atG lcleo paranercs vocabulo nuncupatur. Seni toniu vero quostest interparancren-eiiarmoniS oie cuse mcnon? paramesen istst ima.a. r.r.bac rone partimur -vc stanr oue oielcs.Sumo orffcrcncrsni paanctco ensr monij olc;cugmenon,-r,parrnncseLi!t!cst.,ii.c;.cclrrrviii. -r.ini.xcvi.ea est.ccvil.bancoiuiclo.stcnr c.mi. bosap-' pono.iii.ciccclrrrviii.stcnt.il,.stccccnil r5a erir rrire oie^ zeugmenon enarmonios.;.! itcra pcrnorara.Vuius igi rurrenacorsti per tua genera vescriptio^ni! i>mrcr ast-eci lbperiusck oispostrum bspeibolcon censcor^um aggre/ gaui: Vtlessct vtrorumctz vns oeic, iptio: ^ paularun ir» lta oilpostrionis tocius lorma bnsurgcrct. LDer M» mi.xcr,. , K.Mlxrrvili j A.ic«t*i. nekrv/«L Atteole^ l>rxviij iii.Scxlviiti ! ui.lxxls ^M»n^ Vnirevkn>.^xzLre ^ . tt'.4«etrH. til.ckttlxrrviil ^ / " dv Ul ertt. ! it.^acxvi. I ll.Lccxxvt " lccjiu^ ii.6«ccrcl»i s i,.! ^ / nn ! / / 4^-r X X j Ll. X Lorom«ic,,m Nl.rrN. Eulicer 87 Monocorsti neranim fynkmmm per ttia Zencra par ticrv. Lapiwlum. s. No quiclem tetracorsta qnx stvimer quistem rS o umcts sunc:a inrlc vero viklunttanr um gene ncru; superior velcripno quemacir» ocium!o caremur ostenstic. Mune aci attusttcrracorqu; vmienstumestrg' hncmcnon vocsmr: quocliunaum c ei quxest mcsc.Suonismcniminrerncrcndtezeuglne- non:r mele» Viapenrcconsonanriani cffcp:cclix,mu^:L amem viapente consonantis rrium tonorum ac stmito-nii.Lres vero sunr rom m Ioocpentacorqo:quo:u; vn^ quiclem neres vie cugrnenon aci p rsnerem viezcugnre-non oiatonon: Mrer vc o paranctes viezcugmenon via tonon sci crircm viezcugmenon viaronon. T emus aur§ psramcscsaci mclen: rcliquumqz einironimir rives vie zcugmenon diatoni aci psramcscnrquoniamP nckcs die zeugincnon 7 paramelcs rcrcacorcium sb es que est mrlc: ertonooisuncminest: cpcst interparamesen ac melen. Li er eo pciitaco:sto:quocl est a nere diezeugmenon M mestn: vullm abstulerimus tonum cum. icilicer qui on tlnettrr -ncer neten orezmgrnenon -r paranecen vtezeug-mmon oiaronorpoterimus aiiuci tetracorcium st mele iungcre: ve stgc s^nemcnon:quocl est coniuncrum Ix>c,no 60. Wamquoniaparsnetcs diezeugmenon vialom:qux est.e.c.numcrus cst.iii.eccclvi.boruin tertia eilcicin aci-elir» sacrer melen.dic ergo nume, us in viezmgmenon re-lracorcio.c.c.Uams annorarus rono vitiabat a nete oie-zeugmcnon in genere viakonieo.r paranete diezeugmenon oaconos vocavamr.in sz nkmenon autem retracor-«jo.l.coniunaammkt nere syneinenon inmbus generi dus constttura.y. line a pernorara: 7 av es ocrsus pars au-eramr que estccccxrrii. crstVappen«ur:iient. m. clccclxrrviu.quk est parancre lynemcnon 7. m-lincra per norara.louius pars iumamr seraria ea qux en.cccclrrxvi dxc summa ii erlcicmrquorum ocrana ettraggresenir^fier vu.ueixuur.que est mre lynemenon orgtsnos.i.e. L»cg quoniam mre hn?mensn sst mestn istest.ui.eecci vl. ast iiii.licvjn.scsqincrrriam obtinet proportionem: ous est viarestaromtrirc aurem syncrnenon aci neten iynkmcno ic>est.i'.ii.ccclwiti.ast.rii.cccclv.vuorum tonorum obn ncrproportionem: rckrnqrnmrMtes lynemenon omto ni aci mcicn proportio seniilonij:7 coniuncrum est koc re kracorUumMM mesc:srq;icjeosyncmcr>on quali coutinu vm 7 coniuncrum vvcslur.Et diatonici qurcicm boc mo qs est sacra proportio. rr.rom-nc! vero ralis vrurstok. L»u mo neres lynkmenon 7 parancres lynemenon oraronicl iSest.iii.cccclv!.7.iir.llccclxi:xv>ii.vist'crcnrlam. ea est. eccermi. dane diuiclo vr lcmironnim 6sr: stunt. ccrvi. kancgU»>ciozcz.itt.Uccclr.xvlii.vrrriasemikonlakat:ctSt iill.cml.qu? est parancre s> ncmenon crowarica. cur i-rre ra.s.stipera- postrsest.Dv dsc igimviciest paranerely- nemenon cromslica acl cricen lvnemcnon pruis qmUcm viaconicam: nunc v no cromanca 1 <«lcinironiu; est. Liqua rme sy knrenon cromanca vkP melen sliust lclnrtoniu; repitur.Stst quoniam ancte lyncnrenou v stp aci rriken syncmcnon diaronicam velci onlaricam suo kom sunt.' qux est m diatonico vel ciomauco gennibris rrirc svnc-mcnon visroiMS vel romarica.caciem in genere cnaimo nio parancre s^ncnlenon enarmonios est babens tuni-mam.nit.ccclmui.qux lir.^. Llqu-vl^ s6 melen scmi tonium est.bocpartior m ovas vicies doc mocio. L>u / ,no Differentiam parsimcs s^nenienon enarmonii 7 me iieslSeft.ii?l.MxMi.7.iiii.cicviii.;aar.cc.rxx:t,!.dsnc viuicko.stenk.cx vii.banc aclii io parancre lvnSmenS enar rnonios.r iiii.clllxriiu stent.tttt.cccexci.que.p bmra x norarur.7 strearnte synEmmon enarmonios. Lrirq? >e mitonium quocl conrincrurinrcr psraneten lvueiu nen enarnronion r mele icieit intcr.liil.ccclxriir.7.i!ii.cicvm dlUistmr pe,- mrm stenSmenon cnarnronion.eaz. s.qne est. ilii.ccccrei. cuca buius quo«V rerracborcn erpe- ciirarLNocst.Muncaurem laerenciaest veimptio >uncra rrmen cum ccrcnsrcrrseorclis iclcst dypcrboico» ac ore- zcugmcnonrvcpaularim star ocimpttoms r^ea xrsgrcs sts. l-iber m, ^ 4S0z A 4)74 K ;ss« 8 2» -F R 0 Z' 0 r' 8 ^ ? ^ 3 545« S A 4LSS ^ i Z 4)74 Z r K 4104 3' r r S H I" «» E Z45-§ S i 2 8 4S0S Z 3> V >4 A 449« C Z' L ° ' "v I 4574 2^ - - / A, k> K ^ 7-7- S ;456 3 3 "7 O Sk A:^v , K- O4096 Z.;4/s > ^ ' Z> 2, « -s/r D G Hi ^ A A ee. ^ s s :;o4 ?. ° >L 0 A - t>3 i s b b r «7LSonocordi melo» pcrttia genm partiris. Lapimium. -> xbisigimrquk predicra sunt: ini c? teri» non arbino: oiutius laborandum. Ad borucniz e crcmplar crism reliqua rctrscorda meson ai' «Vbyparon rcxcnda sunt. Ac primum quide; Diswnicr generis meson retra ordon boc ordine ocscri-demus. eVeles enim que cst.o.iiis.dcviii.sumotmisz parkem.esest.i.drxxvi.bznccidecopulo.lienr.vi.cxli>i» ea llr.D. dispare meion viarmaron admeim continSsco sonanriam. Ixc ouovus roms ac semitonio ira viuidi-tur. Liumoenirn mcics lum.iui.dcviii.octauam par temrqukeit.d.lxxvi.banccidcsdlungo.fienk.v.clxxrliiii es ed ltcvanos meson viatonos idest. Llb. Luiuo inre^ rim pars sum mrocraua ea ed.dcrlviii.banc'eidem ad-» tunsoUmt.v.dcccrxxit.rkasit.i.parbypgre meson oia-tonos ronum obtinens ad licbanZ meson viaronon:vus vus aurem ronis didans a mcse. delinquitur igirurse^ mtroniumintcrdypzrc meion oiaronon 7 parbyparon meson viakononconilinttum.i.inrer. vi.crlni». 7. v. dcccrzxn. Idem vero rctracorduin meles arq; bypares meion »n ci-omsrico genere tali rarionc partimur. L>umo mesesorftrrenr,amadlicanon m ion biatonon.i.iiii. devitt.sd.v.clMiiu.rksest.dirxvi.banc oimldiampar rior.klent.ttlxcxviu.eadeili adiicio numeis maiori, r.^. clxrriiu. ticnr. v. ccccl.xii. qncstr. M. licbanos meion eromance. delinquuntur igikmvuo lemironia vnvm inter licbanon meicn.croinariccn 7 parbypatcn meion rwmmiccn.i.tntcr.v.cccdrril.-r.v.dcccrrril. 7 aliud in-ter parbyparen melon cromaciccn -r byparon meson idelr inrcr.v.dcccrrxii.7. vi.cxiiui. Gnarmoniurn vero gc-nus boc inodo viuidimus quoniam cg quxcrar parbr-pste meion vigronos. v l ea que >!rar parb^pate meson cromaticcvuos tonos vi itabar s mele obtinens nurris-m m. v.deccxxxii:ca rn ens, monio genere mr liebanos meion enarmonios. 1.littera pernorara ouos mvilowi nus ai mcsen ob inens ronos. Deliquum igirurse-mikoniuin cp cit inrcr Urbanos melon marmonion -r vir pare melon.idcii inrer. v.dcccxrrii.-r.vl. crliiii. in vua» viescs boc modo viuid'mus. Aufero viNrcnriam. v. dcecrrrii. ad.vi.cxliiii.es est. cccrii. banc vimidiam partior trenr.dv-.banc gd.v.vccc>xri,.iungo.iimk.x'. dcccc-lxrrviii.7 bct llr.lr.parbypare melon enarmonias. Du? verosunrviciis imer licbanon meson enarmoni/ on 7 parbvpste» meson cnarmonion idcll. inter, v. dece-xrxiii.^.v.dcccclrrrviii.Linkcr parbypgrc melonenar monion 7 byparen meson idcit inrcr. v. dcccclrrxviii. 7 -vi.crliili.DiNtmm clt igiNirmcson rctraeordon. Tuod itain oelcriptioncponarurivrsuperius vcscriprisrcrra cordis aggrcgemr. Lwcr in? LV ^ 6144 S » » ^ 5SZr ^7' L» ^ 0 O* « rr 8 ^4 L» 7, er 3 ° k ^ Z ^ i 7' >4 3 4Z74 Z -2 5 sszrss Z 0 » 7 F « L144 ?! Z Z- ' » °r L ?rzr rs Z ^ 7) s § 547r O 2 m rr 4-°- ^ i i >4 Z4Z74 Z A l 3 'L Z. 4 04 n» 2> i s ^ ^ ^ FL» ^ -j^ Z Z §v l O-T » ro 8-« 3' Z ° Z> > -r - A 5§;r r» 2 8 ^ 3 ° ° ^606 Z s §'v Z i A 4574 2 0 § 0 ff. 75 7 s F- ^ 4296 2 3 r 7 ;8ss l 2 ' L ;4s§ er ?7 O « 0 0 Z « 1- v, b v r> 7 V4096 3 Z rp l 'N O ;ss» ' Z ;64L i 8 T < 7 c- ^ 2 ;o?r 6r 'r> 3 2 .! Ztli «7-77 § i -r v> 8 0x ^ -Z Z s rr 2 O -» , s v 2 . A » « onincr.sea quoni«n»!ittrlmprimj non porcr«:lic post» ett. B Z r7;§ ^ r ,» 27-7-5 0» 2 2504 S.iitkrrsm «ibz Mulicez V-— ronta.stct.ccclirr,iii. kac acjij clo.vi.clccccrii.vr rria semitonia stat.erut vii.ccrcvi.kec erit.s.licanos dypato ero matice aveaq Sdiparemeioriid' semitoniis oilias.Avellnqunrur ergo duo le mironia. v nu gcic iter licano biparo cro-niarice r paidlparc klpato cromaricc. i. iter.vii.ccrcvi.-r.vu.cicclrrvi.Llliuclvo iter parb pate dipato cromaricc -r dyparc iiipLton.i.ltcr.vli.clcctrrvi.-r.viti.crcii. 'ilv-cstatcnarmoniugcn^:cums acl supcri uscxemplsrralis oiuistocst. Sin enim xarbipgre biparon oiaronos vc! pgrb» pace l)lparScromatlce:qux. vii.clcclpvi vuirariv^gnita L suob^ronis sistar ab es quckbipare meson: eacieerikin gcncre enarmonio licanos liiparo enarmonios: quc ad bipace mesqouov^regris oifferat ronls.Aeiiarigik exoiarestaro psonaris temironiuqi) irireriicano Iiiparon enarmonio -rbipatcIiiparo.i. inrer.vii ckc-Ixxvi.-r lter.viii.crcli. boc i suas viests ira oiuistin^. Sumo oraz ei^.q c licaos byparocnarmonios: r kipares diparon ».vn.ckclrxvi.-r. viii.creii.ea cst.ccccrvi.! ou^olMlUi.i/umo.sut.cc.vi,i-bacgcli!-! co.vlr.ckchriti.stent.vii.ci ccclxrxiiii. q LZtfF?'p^e^I?St0Nensrmoni06. ^urrgicouevlesto.-vnagcie-quceintcr ^^yiiscoii enarmonio r parbipatc ^f^^^mou>s.i.iter.vil.c!ccIrxvl.-r parbipqtL qux e inrcr diparon > ^^.enarinoniS:^ diparen i excii. ? '/ -^cccclcxxilil.-r. -piri. nS7b pgrcbipg^!'?, '^.Pstadanome perdoleo vic;mgmenon stncmenon me^on r , ruristtiregraperiecraPoescriptio viuistperomm nionocorcii regularis. - N V Oisronicum. I l — Hrostabanomcnosl 'Z IDlpsrekiparon ! B viiii. lcr^ viii. crcn.^ Darbipareliiparon liebanosdipacon 1 Ll vu.clcclrxvn E i vi. clccccru.,,. Diparemeion Lliroinaricuin s vi.cxilim lviparcliiparon V l vm.cxclu^. 'r-r^ liLardipareliiparo L vii.cicclrrv^.: Z.icvanosliipston > l' ! vu.ccccvr^ lDipare mcion IL vi.cxliuT^ i Enarmonium 1 vi Wtparcdlpscon V viii.clcll^^ d, 'K>arlitpacebliiaro O vu.ciccccirVll' Ticbsnosbiparon -t vu.ciccirrl^ Dlpare nielon L vl.cMUl.^- Diaromcum , ^ "r» jDiparcmcson IIS vl.crlilu. 7 -Darliipare melon v.cicccxrril-^ N' Licdanosmeson «D ! v.llxrrruu.^ seVese S I uil.ckviu. l Lliromaticum ! Vipatemelon D / vi.cxliiii. ^ 7" j 'lidailnparc meson ' 1 v.licccrrrii.^. Ii! v.cccclr u. ! eL>eie ^ L) Ml.crcvuu^ s Enarmoninni I d, jDiparc mcion D vi.crlulu^ v. cicccclrrrLl! o, Darlnpare mcion! l: ! ircbanos mcion v.UcccrrrU' nu.clcvitt.^ sMese S i Olateancum ILVcse ^ i iui.ckvili^ ^crlrestnLmenon tiil.cccixrttm Ilpamiiclclincincnc ! 'lickre stncmenon 'i Ul.clcccirrrru ! ili.cccclv^ Liver rm I «-bromstlcum / / / TeVcst L> iiiiclcv'!,. -r» ITurcstnkmcncm v,v>v>s pargneresin?menor L S iiil.cccclrxilli. iili.cilii. j Mere lmemcnou X! uii.cccclvi. jrdnarmomum j ! o- j Mele s L>! iiii.cicvll».^ vi Tricelinemenon »d llii.ccccxci ^ 'p'^'1' j Waranere lincmcnoj liii.ccclrriiii . Aterennemeno X ! ul.cccctvi Distonicum l iDaramest L uu.tcvi. Trite Diezeugmena ui. clccclrrrvrij -r" . Daraneteviezeug. iii.ccccivt ! 1 tt-iecc oiezeu^me n e> > L)D ui.lxxii. l ^-vromslimm >r' j Dsismeic j L lin.rcvi. Ture Diezeugmena! > , lli.Ucccixxxvu,. 1 Darancre oiezcug.iWB iii.clcxlvlii. IMeccvie;eugmcne> L)Dj iil.krll. I Enaniioniu; I vi j iparaurcle llU.pcvi. L ure Diezeugmenon ; ! iii. ciccccrcll. Wgrancteoiczcug. LiA lii.ciccclrrevlli , Wcre viczeuqmcnS DD ! ili.ixi.ii. I Dlgronlcum ve > Mece oiezcugmcnS T>Dl iii.lrr». ii o > ittlevipcrvoleon il.Uccccrvl. «2 War«nere v^pvolco Mlf>! u.axcn. I Mere orpervolen ILbromaiimm 'j «l-ccuill. Mere Diezeugmena L?L?! «i.irr». > Tl itedypvoieon i.r- l ii.uccccrvl Wgrsncledlpdoleoi l:l: tMelcvyxvoleon > Enarmonium iir. li.ciccxrrvi tt.cccml. ^,v> Mere 0l^eus,nkno„,LdI U,n,i— . °.^!Tritek.perbolcon IE§, ii.ciccccrcM -r>' ist>grai,cre IxedolrLllKiM -------"---' tt.Uccccrv,. ^iKetevipervoicoi, jz.il it.cEl ^zstgtioldpcr^oispositkoescriprionis- Lg. --M superioreigirur forma ovkmcr quiricm con i ionsnnsm ocapsion prostsmdsnomenos ast mEmelc suc sci nere bipcrvoleon.Bis ois, pgsonsurprostgmvsnomcnosgci nere' biocr bolcon.Dmttllmon surem confonsnrism scmsr biosre kipslon sci blpgtLineson.dlpgce melon sci mcscn mese sci nttenlinemenon. psrsmesesci nete Diezeugmenon nere Diezeugmenon su nere bipcrboican.ArcVkocits fir vlindisconfonsnllisinlegts kcrrgcorstg numeremus Arqz vc cUri omnis ibsctormaxespicigrur orcioneruo rum.Scvmms genera,v.lsmu norarur estererrscor-il, -I>rimn stPSlsvmlMUm vipgron:cuiusL princeps b» vgkedipslon.vlrimasurcm Iiiparc melon. ^>ewciu; ve ro melo cuius est princeps kipgrc meion.SMema vero mcse.Lcrlium tinemcnon:wlus est princeps mele lina lis ncre stnkmenon. Susnum viczcugmenonrcuius est prima psramclc: nere vero diezeugmenon exrrema.Lui wmuero est iiipklvoicon: cuius est stuickm princeps LlduNccs neteoiezeugmcnomastnaem vero bipcrboleon terini nacurcxrrema. LsDe stantibus r mobilibus vocivi Lg. i:. Llru vero oium vocu parrim Irnt in rorum im i) moviles:partim m roru mobiles-parrimve ro r,ec in roru imoviles:nec in roruui mobiles sonant. 7n rorii imobUes sunr.pstambanomc-nos.byparebyparou.bypacemcion.mes. ncreiyneme uon.paramese, ncre diezeugmenon. nete byperbolcon.ici lirco qin in omnibus cr.v generib^xste 5unr: n c nomia nec loca permurarcs:stue penracorcla stucretracorclacon tineam. ift>cnraco:sta gclem vr.pstibanonicnos aci ky / paren meson.7 mcse aci nere oiezeugmenon.Tcrra orclz vero: Vt bypare loyparon aci bivaro melon. 7 liyparc me fon aci mesen. Mobiles vero luntquxsecunclum Ungula genera permuranr boc mo. vr parancre 7 lcernes oia tome, 7 croncatic' .crire 7 parkypzre cnarinonici. Silia eit em paranercbyperbolcon oiaronos.glia para nete byp-bolcon eromarica.rlia ture enarnconcos. Oiuerse sunt eriam parancre oiezcugineno viaronos: arqr cromarcea. Wec e eacierquc i gencrcb^cxreris ttire viezeugmeno ensr monios:neq; ecstem 5unr parancrc imem-.non diaconos 7eromrr>cz:7 triec srnemenon enarmonios bis:quc sue i reliqszencrib^rrite.Distanlerlicbanosmcsoi, viaro/ nos 7 iicanos meson cromarice.7 parbyparc melon cnar moniosnulli aliorun generumparkypa ciimilis me, NlMr.Meceo5lc»i locosacnumeros scruanc licanos by paron diaconos 7 licanos bypaton cronigrice. Nam par bvpare bivaro,1 enarmonios astoru gene^ parbipar-s ec repicur dimmilis-No in rorii veroimobilco aur inobi les sunr:que in,vuod^qcicgeneriv'manenr.i.cromati-eo 7 viaroutco.Sz in enarmonio pcnnurane. Zcl aur nc pllclcratur.crice bypvolcon. viatonos.'7 rrirc loypvolcon rromaricecacic in supiori konua vescripra eUbiMem nu meris.li.ciccccyvi.Llt vcrocuensrmomu gen^gspicim^ trite alia rcpim^.i.ii.ciccececiiis. Sux igirur vox vuodus 5uic gener 1 vus cois.-cacie in rerrio permutata c. Zclcm e in diezeugmenon teri acorcio:'Nam trite diezeugmenon viaronos 7 rrtre oiezeugmenon cromatica eeclem iunt: li -biq;conscntiunt:rmegl7tol'ezeugi»enon enarmonios a luxiore distar. In linemenis er istein c. Trireeni syncm menon viaronos > trite lincmenocromariecccciein lunc. L>; rrice llnnemenoenarmonios e diuerla. Ireparbypa re meson viaronos 7 pa, bypare meson croniarica cecicm norsnk.Scci > cnarnioiiio genere licur supi^trireuta bic parbipare iuxra byparos meson gclem inueniunk: vi aue ac soni acumine oiuersx sunrcyrcris. lstursus parbipare b,paron maronos 7 parbipare cromatica eaciem e.L; no eacie e cu in enarmonio gcnei e querik. Sccl vr barii non plena niutabilirgsclgri^eolliclucscgr.gcjbypdoleo rcrra-corciu recjcamus.i boc iKrur genere in diatonicoarep ero- manco genere.trrtekyxbolcon eegcie.mlirgk in enarmo- » p^^"ktc.Ircm crux rrire viezeugmeno in diaro ncco vel cromanco genere vocabakrpaiancte in cnarmo- ?^stUktritestneineno' "omstico vel viaronico suir: meson > paranete cranstr. 6uc vero parbypare Meson in^^o^l vratonico visebat -eaciem licanos ^e, rn ' ^^ur. ^ue aur parbipare virato ton i cwmarico dicevsksticanoe bipa .pilabanomenoaSur igirur gciclmoviles. re siNemcnonvLmni-e ^ ^^lau.bipztc nieson.melc ne Mobiles rero-o ^ Ezcugmcno.neke bipbolco Nicas.vcl cromMNs -n«^ vel viator "Micas, vel enarmomcas nominamus. Mon in romm mobiles aur imobiies:qvas parbiparas tricas in viaron ico vel cromare-licanss aurvcl paranccas in enarmomco gmere dicimus. i^Deconsonamiarumspeciebus. Lapimlu. iZ- c^luc de spcciebus primarum consonanriarum n rracrancium e.primk siit colonarie sunr diapa son:oiapenrc:oiatci1aron. Species aurem est questam politio propriam babcns formam secuncluz vnu quoclq; genus m vni 'cuiuiq; proportionis consonari, riam lacientis terminis conilirurs: vr in diacono genere ika N oiczcugnienon tcrrrcorciu inrer bipbolcon rccraco: cluin-mkseq; ponam^subtracto. s.sincmenou tckracdorcio crunr.ev.nerui.LIcliab I)is.pstavanomenosderra!)ac: crunr qualuorciccim.bi ergo oisponanruc boc mocio.Lnt g.dipgccbiparon.N.pcrbipatediparon.c.llcanosbipsco cl.vipare meson.L.parbrpgtemelon.s.iicbanos meson. 8.mese.Ii.paramese.i.rritc oiezcugmcno.lr.pargncre oie zcugmenon.l.nere oiezeugmenon. M.triteliiperboleei n.pargiicrcblpvolcon. 0. ncrebipcrvolcon. Llbbipacc igirur aci paramesen viapason consonantia est. LI niclc vero aci bipare meson oiarcstaron.ab eaciem vero niele ast licanobiparon diapente. Srit igitur quiclcm viapa-son octocorclarum.Diatcisaron veroquamo:. oigpcnre aurem quinqz.LIcperbocbavebit viarestaron qiilciein species rrcs.vupciiteaurem spes quaruor. oiapaloic ve ro species scprcm.)L>cinpq; vna minus species crcc. qua; suerim voces: vrcnim a mele ccrcras o:cir»gmus:diales-iaron conloiiantic species cres sunrvoc mocio.Llna qui- cicm species cru av.g.aci.ci.^ecunciavcrosb.s.aci.c.Tcr tia vero ab.e.aci.b.7 buc vlq? digrelsaron epccics progrc ciiunrur.^ciclrco quiabuc vtepspcciesvtnos connccner uos.eiuscicm oigrclsaroii.vr.g.U.quicicm cos qui Mnr. e.s.conrlncnr.s c.cos qui ium.e.cl.7.e.b. cos concinet: qui sunr.c.ci. L>, vero vici acilccero oiatestaron. ci. a. diversa non critgvegqupcst.g.cl.vuumcnlmsoluni. g.ci. consonantis neruum conrimblr.i.ci.solum.Licciiic rgr ttir.g.ci.consonantiam.arqzrcico oiatestaron rrcs specu es babci e perbibetur.rkc in ceteris quiclcm consonanti is iclcmest. Diapenceaurem erunt species quamor boc mouo. Una quiclcm cst.b.acl.cl. Lllia vero ab co g' cst.g. ast.c.Alia ad co g, cst.s.aci.v. Lilia amem av co g' est c.aci a. Oiapalon vero consonanvc. vii.erunt species boc mo cio.prima ab ea g> cst.o.aci.g.iccuncia ab eo cx est. iri .ast s. Tertia ab co cx est. M.ast.c. Euarra ab co P est.l.au. cs Suinra ab co cpcst.lr.aci.c. Sexra ab co q, est.l.au.v. L>cplima ad co q, cst.b.acl.a.liqucr igitur ex bis que dicta lunr.oiarcssaron consonantiam semel ramum mim mobilibus ac staturis vocivus contineri. ll»am u gp bc patcbiparon incipiam:erit.a.ci. i. gvblparcblparon m meson biparcn ea qux est in orcline pnma . Diam ccrerx non statutis vocivus terminantur vc.v c.c. l. Diam er parbipare biparon 7 parbipate melon-ucatios brparon 7 licanos meson mobiles elienioiistrarx lunr. TluoU >i rursus ab bipare meson oiarclsaron conlonanliam ubo-cmus erir species viateiiaron llatutls vocibus rerrmna ta.g.st.caqukestpnma.i.abbipate meson inmescn)ste liquxmlnlme.vl.e.b.7.s.i.)^oparipatemeson rlicaos melo 7 rrirc viezeugmeno,no.pbak imobiics. rudus ii ea cie oiaccstaro pamcsc suscipiar orcliecla cr>r quocx q coerceatur sonis diatcllarospcs.n.l.rcleikapaiamcselne te oiezeugmcno.quk c prima. Na cxrcrx qux sunr.l.m.r I:.n.movillb^erm,nsnr' lonis.Na truc viezeugmeno 7 paranere oic;cugmeno:7 trite bypvolcon: 7 parancrc bypdoleo mobiles voccs ce prcclixim^.irc v«ap cnlc co» ionanki» vms rMmo spks rener: que stamus vocibus tnciuciunmr.vnaquiclcmcst.cj.lo.iclcstab bypare me-ton i paramcsen:ea que c prima. Altem vera.g.I.i.a me-Liri neten vlezeugmeno.lokc verae quarra. stvcliquevc-ro.i.e.t.-r f.l:.miincstamtls vociv^claulxliinc. '!z?aprr byparc -r licanx.r rrire:? parancrc istabiles approvanwr Srmlis aSt ro erit st a nere vicgeugmcnon in g, auiorc; tztc.i.aclmcseNipfongntikbui^spLspstcjercnk.e-.sciLenim imobiliv'vocib':cj supcri^vicrxsunt:Lorincbuns. L>i-«'aut avi) vpate niclon: seu a mele: seu a paramele: stuc ct s nere lospbolcon consonarias aci grauiore xrem vuca mus.ous!» qux staturis vociv'. Lsocrceank non pore> ir revestmcrio. Oiapalon vero psonanc stue ab vypare ds paro iparamesenuiuca nere bspboleSk mescn orcis stima mr:rres tin mocio.Lopcs obtinebit qux imobiliv" vo-riv^coerceanmr.illa gv liyparc byparo orciicnrib^vna c s.d.ea quxe pma.ab b spare loypato i paramesen. Alte ra.ci.l.ksqueeqmrraab locate mcson i nete bi zmgme non.De binc.g.o.bcc scprimaL.i.a meieinete bypbole on ilveliquav vosp^ru voces mimx nullo moimobiii bus voav^coliimrx lur. Ma parloypare:? l:cane:r rrirc:r paranere(vrsupL>quoch victu c)imobilcs no sunt. Si militer aut r p easciSvoces st ab bipvoleon nere orciiamur Spe? orcio prcxik. Suoru oium intclligentis luviccra Srabilrs l A Diparcbiparon ! Wobiles sB lk>arbipateloipsr5^ «Doviles ! L l licbanos loipsron s iStavites T> Dipare meson LDobilcs S 'Loarbipare meson Mobiles t liclianos meson Stabiles G rDelc > Stabiles VI ildaramese Mobiles 1 't.mco!e;euqmenoi eDodiles >lr lParaercvtLzcug., > Stabiles Vereviezcugnicno l tllbobiles eo Trtrebvpbolcon ss— «Dobilcs lill ^sr-nccckvpboleo Stabiles S Mctedspvoleon Oe Mostorucrorckiisuqno vilhosttlo notatu p lingulas mos ac voces. Ls. i4. r oiapgso igitur psonZtix spcb^cxistutqappcl e lankinocii quoscoiciem tropos vcltonos no minat. Sunt aut tropi -MturSes itatis vo -co o:cjinid"vcl granirstevel acumine vistei en kes.cZstikutio verae plenii vcluri moclularoiscorp^cxcL sonatlsruco!unctioepl'istcns:qlec viapgson vel viapen te r viatessaron vel bis vispglo.Lst em viapaton pstiru rw:a.p, iadanomcno i meson cererio:q suk meciix: vocid" annumeraris: vel a melc.lkuflus i nere bypboieo cu vo cib^rcrieclis: vel ad dvpzre melo i nere viczeugmeno cu kis:quas errrinc voces mccliasclZuclur. Diapalo -r via tcnaro vo piliturio ca cstrqnx a Iliada nomen o in net§ st nenicno.cubis qucmeciixfuritericcl; pstsr.Blsoiapa lon aur a.pstavanomcno i ncrc bixbolco cu dis que ui me Ulo lur ircrposttc -Mcrak. Das igir pstituroc? 6 go roras taciar acutiores vel igraui^torasrcinircar.scvm iupracli cras oiapason psonarix spLs.estrcicr mos lcprL quov no Mi na Icit bcc. Iiipocjorl^.bipostlgi^. dipoliM» oo.-i-irigi^ listc^.nuwlisti^. boru vero steorcio^ccciir. Vir i vigroni-co genere vocu orcio dispostt^a.pstabsnomeno in ncrc bi-pcrdoieon.arqz dic silbipocjori^nrocl^. Si gs.pstabano menoiammc lteclatrono.'bip2t^qzloipatococierono gk renuencecerosq; tonoxoes laciar acutiorcs.amrior rorus orclo.xuenlet:qua luic pri'' qua toni sulcipet intcllonem. Trir igimr rora coilimtto acurior estccta.bipol, igius mo lius.cx st i loiposriglo toni rurlus intenstonc voces aece-penm.-bypoliciij mociulario nalcmir. Ar st bipoliciiu gs semiconuim lnrcnciat:oo:ium sacier.r in aliis quistcm stmrlis cit in » unien intcnstonemq; proccstlis. Suomm non rrintelligentiasolum ronecomprcbenciatur: verri «ni,s quocx forma poMr agnosci av antiquis traciira musteis vcscriptio supponencia cst.scci quoniam per Nn gulosmociosa veteribusmustcs vnaqukvvo vuier sts noculis instgnita est:vcscriprio prius norulai um vi-lierureisc ponencia: vt dis primuiu per se cognitis i m» ljomm oescriprione sacliispoiNcec velpecrio. s 'D «> v» s s vr rs -Z 8 » s -8 .L s Z o .3" Z -L Q Q. L o Z ^L>:ostamvanomenos Dlparcblvaron °r>dacblpakeblpacon ssiebanasbiparon ll0rpare0lpgron -Wrloipsrcmeiom Licoanosineion Trircstncmenon Waranttestncmenon isietcstnemenon Iparamele Trrrc vic;c>MncHW— °^virankrcvlezcugn!cnon l^ereviEMnon 1rircvip5tboleon MaelMvoleon 67 Descripuo conrinks mocloruM orclincm ac differenti ,s. Lapimlum. iz. "Llpio! igirur oelcripriocorciarum nolarener s alcripta.norulas vero iuxra ponras.-r qux m, iu«P »>t moclirkue lMiissiue pbrigiissiue oo.if r vocabulorum llgnataclieclio. Sec! quoniam bos mo> clos oirimus in spebus oiapcfon consonancix reperiri: agecoMin oiaconico tanrum genere ocscr!vsmus: vc g corunr oreZs krssuv alxcau cgqens inrelligentiam no ms ttwr. 67 Lmpcr^oiipcMc moZorum descriptionis. La. 16. Sptcquic1eprcckxim'cffe mo6os:f; nibllvi s clcarurincongruS^octsu^lupannerusc.ku-tuseni aliiectionisroncm paulo posteri^ el0' quemut. tk^uc illucl cconliclcrgnciu:^, >)e pggi uulxrquas inrcr ierccrus lineam orclo viNinguir.glixq, ciem baber „oculas mullcas.a lix vero minime: vclur in eomorquiscrlvimrbypinlMciiusIisdriniaqniejxmpg Nlsuls.co.mna.w.litceris annotatur. Semela nocula ^cac.inbac igirur intcrcgpcciinenctulaium ron^nrcr^ esse niSNrgrur. Suoel vero.w.rettiktsrcb. V^uarr? pz> §>nxnoram nopanigula viutUir. L»z venus recroorqi ne vlaucrus:Icmironiucas oiffcrrc prcnuriat.g' probes voc moclo.i^m si.vr.proilambanomenos cll.ch. bvpa rc v v pawnbyparc layparonrneccssc? intcr.pilam banomcnou q- eil.co.-r viter bifpsle bypsron:g> c.P. to m cu. OlitannZunkcrbypgrcn auc bypaton g> c.Q.^r par byparm o vparomg, lemiroin) oiffcrencia concine - ti.iZG boc regulariter icuncris c pliUleranUu: vr N vocu; nor:- las integra pagina oilgregaucnr.-rom inrcr eas lcca nius cc o»lancia:L?lN versus norulas: ac no pagina di «linguit- semitonii no ignoreni^ee oilt nciaz.bis igicur ira pn,iffls:s, ouoorclines in vis viapalon conlon-mna conibtvti iibiinuicecSparcntur.vrqm occlo ilt gravior possit agnoici^ prollabanomenosp uabanomcno iucrit grauiorrvel quxlivctalia voxeiusclcm loci voce gravior xnorcmrrin coUcm ss.genere conllltuca: rorum quoqz or liinem necessckcc graviorem. 'L.aMeillmcliue sumetur acl nieUia quxc mele. Duorum eni orclmu vis vispalon psonantiurcui^mcse fucrir grcuiorrciuscik locus orclo quo q, grauior crir. WS cxcerc singulx lingulis comparat? ni bilominus graviores lnucnicntur.lkaqz li mcci^av alia mcelia cono aur acutior vicicak auk grguio::on>es quolV nerui 6 ico^e genere lint.liiiguliswimcr cowp-raci rono acu ciorcs aut 8rauio:c8csscvi6cvZk. Lluaruo: autem me cliis se prima ael quarram viaressaron oiilanriam scruer: prima vcro s lccuncla rono differaruecuncia quoqz a ter-' tiaeostem stiffcmrrono tertis ast quartam semitonii lkci-ct viifrrentist lior mosto Sinr.ksj.mestie.a.b.c.st.cr.a. ci quc cst.st. Lomp^ara ierucrasteam Llquircreiam pro^ portionemrquscst viaressaron.Aml.s.a.d.vistct tono.d .a.c.oustcrono.rclinquuur.m.c.zst.st.lcmttsmioistsn asm Lnrct. onus L7 §r st quincx stnt mestis eostem mosto. St em; prima » quinta st qualtera sisterent proporiok,e;:primaqz a st-runsta.acstcunstaa reniarquartacp a quinra stngulis vi/ Ncrerinr ronisucrria ast quartam stmironu sacier vister?-rism.1remquccnnq>mestiealiovmostov proilamdano me nos accestunnloegrauioresniostos opcranttn-.Snc / netis.illcsmtiorcs efficiunt. Suoniam igstur. qn mpr^ riore pagina vestripris mostis partem stnistrsm legentis prostambanomem primi tenent.Oc teravero legentis errreinisclaustitur nctisreric omnibus quistmi amno: mostis:quiin serenciam:vestgnabimus. Iklamqzin dvpostorio mosto mest queest. or. ab ea que est in mosto bvpostiglo tono viflsvit.>Atwst in boe facile perspicietur: llquis melem dyposrigif.queeq.cp.eiusstem kypo!rigii. w. aLompare tnnqux est bypostorq quistem mest in bypolngio autem licanosmeson.Mam.ch.arq;.L).tonoviffewnt:q'pg/ qinainreriecta vcmonstrat.lkemmcseloypolistijgbca q est mele bvposnglj toni viftercmiam lacir. illaqz. c. que est mest dvpolisti, rono vistar a .^. que est bvpolisti, Z«m licanos meson.in bypotrigiosutem mest.lccm me se krvolistijqueest. c.av esquc estmestclori, semitonio vistar S)oost bink porertt agnosci quama oxkne smlum prostem,tem cius meses quc est bypolistu-arq; cum orst, nem insurium prosteneem cius mests-que est vom: vn» vc7flus"^pggma vist.ttguic.Suo 6r vr mcstby/ postou, avea inest que est stonj.inrcgra omessaronco-ionanria vistcr.istG prsbsrur.kcx mosto. Piam quc est mese.^O. Pvvostorio.egstcm.-L-In vono bypgke me son est ab ezmuc est mele: 'In quo vis mosto vel genere viarcllsron consonantia vistcrcns.item mest voni que e rr.sd ea mest que est pbrigil -istcst- LV .oistat rono.Wa; qu;mesein vorio.rr easteminpdrigio licanos mestn. sursus mest pkr.g.i qur' est. M.av ca mest que est l,^ stil.istcll.i.vistar tono Mam quc in pdriglo. LO.mee c listio etl licanos mcson. istui sus mest llstil mostr av e» mest queest mirolistij.j',-^ stmironio vistak.Etenim n o:sto:qui rccms listi, contincr mestn:ei orstini qui recms Mixolistil mestn daber: comparatus non paginula stst versu villnngiNir.Es ouocy mest que est miwlistq. in. «st eam inestn que est bypermiroiistis.i. r. roni vistcren' tia lacirnstcirco q>n.Hl .quei mirolistiomest est: eastcm, kypmirolistiolicanos mcion est. U„stestc vtmcstvo^ rij ad es mest que est mixolistil diarestaron consonatis v, ster.Ist probarurdoc mosto. Illam mest quc cst vorr rreastem e mirolistij istest.tr.bfpste mclon: que ast cu tustiber mosti mestn viskestsron consonannam sttuar.irk mest vorif.i.rr.astesm mestn quecstbypermirolistij que est. r.viapente consonantiam scruar.Lacnl mest qucc vo:>,' istest.rr.1n orstinedypmixolistil lickanosbypacon est.licanos aut bvpaton ast mestn in oiaronico genere in Mioliber mosto ll coparctursoispckc sonantia vlstac.cur sutoctan^mostus:qui?kfpmixc>iistiut-:astiectuscst:kl< piaret. Sit bis viapslon cFsoNankia I)?c. ISI -As est.b.vestucrs linea rccros circa st angulos reststar ncsb ca qus cst.s.mmstur, astist q, est. c. punctu vestm ccs iinca rcaos circu st angulos esticiar. Sint vero bs eq liter vnstiq; perpolire: -r ast eostlem vius llnr cisstem alie squales parare. Supcr das incenstamr ncruus equalis vnstiqz is qui k.a.c.f.st. Si igicur viarellaran consonan ria qualis st repire vo!uero:Iooc mosto sacia.ab.c.pvcro: quo nm^stinispcriukangittvscpast.s.puncru.-quonls, itis ad alia vte ncm^stmiqlio iungitur-vivisto spaciu; q, ell.e.s.stprkpndus:r ast parrk seprimarun, quarra; appono punctS quost r.Ir.cstis>mr.e.l:.ast eam qukc.Ir.f. sesquitertia.Siigirurast.i-.kqu» superioribus stmispe nss apposuero iuq? alce, urra vic-Mni.c.l: .-r.lr. f.plearo astbibiro pellaturroiaecstaron vistanria psonsbir. Sin vrsosmnilvtrasq?pcrcnstcro:visrestgroncou5>nantiam nosto.g' st oiapSrc esticere volum^quiq; parrib» rota co: stam.i.spgtiu.ad.e.ast.s.oiuistoactrcs >ni portioni ou as vero relique vabo.atq; ira pollro stmisterio stS; suo,-us viccil moau osonanriss distonanriasq; perpesto irem st diapalo colonanlia reprarc volnero:totn rrib^rib^fc-co:gkq; ivna oualP oistnbucs easstc kmul vel alcerurra puis-m-qui6 consoner: vel quist vissonek vrmqs: cogno Lvrrllce» Lo.Lripla veroquxec perml'm'sconionsnki'fsnsicitur trarcststrturrvrkiroramtnquatuo: partium viuistom, dus partiamu«:gtqz m ttcs r vnsm lota ncrui prolixi- ttsviuistarutnkacVfcmiipmum tnbus sppollrum krt-pix proportionis oilfonsntiam, r conionanliam rcst/ «1«. Tiulijem Bottij ve Lvustcs liber quinms. Sstmonocorsti regularis diuillsne; astiscim p arbitro: c? ca:i quibus vercres mustee vo aoresimtcnric omerstrarc viicorstznt:vaveN clunuV ve omnibus subtile iusticium: atq; ist quost propostro ocest operi:mcstiocris ooctrinc viipost-rione lupplcnstumest. lporcstmim alis quocp este oiui-sto.in qua non vnus rsnrnmostoncruusastumiturrqui politis proportionibus omistor ur:verum ocro: arq; ci^ mosti cirbara stat:sur in pluribus:? qnsnt! nccestarii strt ncruntoraproporkionumrario quali oculis iubtecraccr namr. . , ^ ..... <17 Dc vi armonicc:? quc stnr eius instmmenta lUstieq r quonam vicysenstpusoporrear cresti. il.a. I. rkst ve bis paulo post loquemur. Munc vicen stum quc str vis darmoniee:ve qua tractare i-s stlmenres.uii.livrosiplenimus. Maturam vero eius vnoqzet-primenstam in duius qui" ti voluminis imem oistulimus.SlrmoniKcst iaculras vistcrenrias acutorum 7 grsuium ssnorum ieniu ac ratio neperpenstens.§»insusenimacrarioqus!l questam ia/ miraris armonice instrunicnta stinr. Senius namP con fnstim quiststam ac proxime ralc:qualecll illust quost icn kit.astncrrir.ilvsrio aurem oiiusticar inregrirarc:arq;vnss perscquimr vistercnnas.WP senius inucnir qniste; eo suia ac prorima veritati: Zlccipir vero ratione integritate HKario vero ipia quistcm inucnir imegrirarem-accipir ve ro icniu coniuiam scprorimam vcriNmilitUstincm.ML B ienius nibit concipit integritatis: lcst vsq; gst proxi-mu; venir. ikatio vcro diusticat: velur st quis inanu cir culum icrivakriortsste cum vcrc circulum «ulusarbirre tur.qstatio vcro nullo mosto este >st cp stmularurnnrelli-Sik:boc vero iccirco estrquonism ienius crrcg materiam 'verriturripeci iqzin ca compredcnstit: quc ira stmr stui clc.srcVimperfecre.ncq; vetermlnstcrrvlq; ast vnguem exvoiirerlimrest ipia msreria.rZuarelpium quoqz coniu sto iequuur: mcnreni vero arq; rationem quontsm mate via non morar anL>pcries quas pemistcr:p:etcr iudiccri comunioncm inmerur. arq; istco cam integritas coniis rarur ac veriras.potiuicy inienium quost pcccak: aur mi nns eilrautemenstaksurcomplek.iortgsteautc) istq-icn sus non integre: iest coniuiersrq;a vcrirsre minus qugst quistam incallistus xstimaroragnoicit in imoulis minus baveat crrgti.collectgvcro multiplicamur in sumam: atq; ist circo magnam iaciunr vilfcrentiam.Mam st vuss va culasrono ienius oillsrc arditierur.neq; oistent: ruriui-qzab vna carum rono purcr villare rcmammcq; integra ac rom vera stk oistsnria.Zrcni tertie quarrcq; toni icniui vissercntiam pultt:atqz in castcz quoq; errermeG i,c vi serentia toni.av loacerram quarta quintii villare iemiro-niS pulctmcqz vcrcmcP integre estimcr: in lingulis io: tsste minus vistcs urcrramm: quost vero in primo rono ienius reliquir:atqz ist quost in sccnncro r tertio atq; «n quarto stinironiopcccskumcstnn vnum congregatu; stq» collecru «Mctct: vk prima vox ast quintam voce v»a penrc non continear coiiionanriam. 41 oportebat stcn st tonos tres ac iemironium ienius inregrc iusticailcr. S6 igitur in lingulis tonis min'peruistkbacur: ist collectum inconlonantiameuistcnrerapparuir.arqz vr peruisteai ienium quistcin -onluis coiligerc.nullo mosto autem ast integritatem sationisaiccnstcrc:stcconiistcrcmus. Date emi» lincx maiorcnr minoro» ne aliam reperirc ml.nl est oifficileicniui.propoi!ta vero mcniurarvt tanto ma iorcm.trnroueminoremreperiar: ist non iaeicr lenius, 'lftirima conceptio: icst iolcrs rationis inuenrio. vel st rur sus varam lineam propostmm lir vel vuplicarc: vel vr-Mlstiam leeare.ist iortalic liccr psulo visticilius H coniu-se maiorem minorem ue rcpcrire:pokcrir tarncn icn us m ventione constitui.Sivero impcrctunvc proponrc unex tripla poarur: vel ab ca pars rcrria rccistamr: ver quaciru pla constituatur: vel pars quarta rciccaur. non ne impos nvilc iitieniuimik! inrcgritasrationis acccstsr: boc istco quia procclius, quistcm rationi locus accrelcit,: oclicir seniu,. Si enim «ranam pmrcm p-aponre lincx aulcrre sliqms lmpLfttUf: ve! erusciLM (ogruus- tortusquistcm iumerc oimistiam compellitur: viruistis-«k vimistiam: vr Ii qua: r-rquanecp vunistiu;: vtlit orta ua.lsturiuiq; roriusvuplamrvupleq; vuplsm.vrkrq stmpla:quastruplcq; ouplam: vt 6t ocmpla.Iraq; in ra ta rerum numeroiitate nibil enicir ienius: Luius omne iustikium iubitum arq; iriiupcrlicie poirwm integritate pei iecrioneniq; non crpIicgt.Zcclrco non est surmm icn sui vanstumomneiusticiumucstcxdibcnstacstttiam ratio quc errantem imium regar gc kcmpcrer:qua ie ius vcstcicniq; vcluri dgmlo innitalur.lAam vtnngu lc arrcs babenk instmmenra questam: quibus parrnn co iuieastquist iniormcnr.vtaiciculunnpsrtim vcro quoa est intcsmm:veprcbcnstsnr:vrc:rcinum.-sct!s; arm^ nics vis babcl vuss iustinj parrcs:vnsm c.mstcm m.lu moSl:per'huam senstiseompredenclir stubiettorum vksse rmrigs vocum. Llliam vcro.per quam ipsgmm differL Arum inkegmm moclum menstiramq; constclcrgr. C7 Suicl str armonica regula: vel quam intentionem ar nronici pytdagorici: vel aristoxenus: vel ptolomms ce vixere. Lapirulum. r. Niustnocli igitur instrumentum in quo ratio d nis aclbibiro mosto lono:um differenti? per-quimnmr: vocarurarmonica regula.in qua re multorum ooctorum senrenric oistorclia suit. Sumam enr qm pytbagoricis disciplinis maxime cre-cliclerunt:banc intentionem armonicc ce oicebannvt cun «a rariom ccnsentanez sequerentur. Senstim enim dare queclam quoclam nioclo semina cognitionis: rationem vero perficere. Slristoxenus vero ccontrario rationem q-stc comite ac scdariam esse vicebancuncra vero senius iu-Siciorerminari.raclciusmociulstionc; conlcnlumqz e? tmcnllum.Sl prolomeo aurem quoclan, moclo alio armo mccvestnimrimentio.ea scilicet vtnibil auribus rario-nicy poMr esse contrarium. Ist enim sccunclum prolome-um srmonicus visterur intenckere: vt icl cp sensus iuclicar ratio quoB perpcnclar:r ita rario proportiones inveniar vt ne senius reclamet: ouorumP boruni concorclis omis armonicc inrenno miiceamr. Lltq; i» eo maxime arists, penum ac pyrbagoricos rcprcbcnciitrquoci aristoxcn^ ni-bilrarionr: ^>ccl canrum sensibus crcUit: pxrbggoricos »urem:quoci minimum senstbus-plurimum tamen zr-portionibus rationis invigilent. L7 In quo aristoxenus vel pytloagorici vel ptolomeum LrauitatematPacumeconilareposucrunt. La. z. Nomam vero sonum omnes esseconlcmiunr q aerispercussloncm:grauiratis atq; acuminis viffcrenriam viuersaratione ponebam aristo renum secuti:? pxtbagonci.Aristoxenus gp pe sonorum differentias sccunclum gravitatem atP acu men arbitratur in qualitate conststcre pytdag-orici vero »n quantitate poncvanr.iprolomeus autczpitagorlcis propior viclemr. 'Fccirco quoniam ipse quoq; grauira-remarq; acumen noninqualitatcpuratssecl in quamira-teconilirui. Lrenim spissiora ac subtiliora corpora acu-men:rsrio:a 7 vagiora cclere gravitatem: vt nidil nunc ve incensionis rclgxationistP moclo oicamr. Suamch ttiam cum relaxamr aliquis qua» llt rarius arcp crassius LumveroMtenclitur: spissus reclclitur:stivt:llusqz tcnu E^>e sonorum vifferentiss ptolomei sententia. Capitulum. 4. -Is igirur itgerpeclitis differentias sonorum I- ptolomeus oiuiclit boc moclo. Nocum alie sunt vnisone:alie minime, vnisone ssttrquaxr vnus sonusL vel in graui vel in acmo. Mon vnisone vcro:quanclo alia est grauiormlia acutior . Da runr panim ira sunlrvr carum inrcr se differentia como nistneiungakur Mon enim viscrera cstffcst a grauci acutum ira vucirunvt continua viclermr.Slli? veromnt no vnisone:qi,arum differentia stlentio inrcrucnimte vcstr guirur: vr v^ro voces comuni stne iungawrssr boc mo clo. Lncur enim cum in nubibus arcus aspicikurura colo res lidlmct sunr proxlini: vt non stc cerms stnis:mm al/ ter av altero oisgregctur.Secl ita verbi grana a mb:o di sccctir ar:vu ror-quemr vero vox illa renuetur: continuicr. stant grauis vocis soniti acute. ^7Lue voces armonix sunc apre. ZLa. 5. Ltdkf V ro- Vm igimr non vni ion mrm vocu alicstnr co t rinuc:aiie oisgrcgare: Lontinue quielcm rales sunt:vtinrer se carum differentia comuni stne iungarurmecbaveat losum oestgnatu vor acu ka grauisqz:quem reneant.Discrete vero bsbenr propri os locos: veluti colores impcrmirri quorum differentia vistrur suo quoclanr lococonstirura. Lontinuc quistcznS vnssone voces avarmonica facultate scparanmr.Lr>unt enim stbiiplls dissimiles: ncc vnum sliquiclpersonan-res.Discrerc vero voces armonice suvijciuniur arti. Ift>otcst enim distantium sibiq) oifflmiiium vocu differentia vepreloencli. in quibus quc imicre esscere mclos poMnr.kLLtzXxic? dicumur.Ll<^L>>Licr. aut qui bus iuncris effici non potest. L Suem numerum proportionum p vtlragorici statuunt. Lapikulum. 6. Snionx aiir vocantur: qnccapulate mixtos c lusucsq; efficiunt loiros. Drffonc vero q mi- nime.rkr boc gcirm est prolomei 5e sonorum differentia iuclicium.Mum aurem quicl a cctc tismullcis in consonantiarum politione distercric.oiccn clum viclekur:pytloagorici enim consonantias diapente ac oiatessgron llmpliccsarbitranmr.atqzerbis vna oia palon consonantiam iungunr. § ssceria mapentesc v:a palon:? bis diapason:Illam triplicis banc qnsclmpli. Diapason vero ac oiarcisaron consonantiam esse no cili-manrncicirco qm non instiperparr culari vel multiplici castffcompgrarionc:Sccjin multiplici supparticre. Sst enim bcc proportio vocum: vr octo gst.iij. st quis cnim domni in meclio quamo: ponar efficit tem-ias loos.v iif. iiis.iii.§r.uo:um octo sst.iiri.vispssoncsstciunr consona tiam.iii i.acl.iii.sisressaron octo vero aci iis. m multipli ci superpartienrecsnstimimr.Suk.aul str multiplex lup patticnscompgrstio:exgritbmeticislivriscognoscccluz est:r ex bis que secunclo buffiristirukionis libro oigessi-Mus.-Oytloagoricisarconsonantias in multiplicibus ac luperparricuiaribus pommnstcut in coclem ltbrosccu storquarcoq; preclicrum est«Ll strpcxparticnrivus vero ac multiplicibus superpartientibus consonantiam sepa ranr. Suibus autcm mostis diapason qurcle; vupiici via ressaron vero sesquitertio:ac oigpentc lcsqualtcro iunguc pyrbago:ici:ex secunclobuius instimrionismustcx libro -r quarto petenclumest. <17 Suocl reprcbenclarprolonicuspvtbasoricos l NUML to proportionum. Lapirulum. 7. Sprebcnclik aurem pyrbagoricos prolomcus x roramB ea quam preclicris libris cxpoluim » demonstrationem pluribus moclis. in quo ro tum illuclcriam quocldiareffaronac oiapcnrc ksqualtero -r sesquitertio coniungunr.in reliquis vero st, perparricularivus cum eiulciez stntgmerismullasomn,' no applicent consonantias. <17 Demonstrans lecoffum ptolomeum diapason r vis, tessaron consonanti?. La. s. istobatsutex diaressaron ^ oiapsson quastam p steri stmpbonia bocmoclo. Quoniam cninr diapason consonantia ralcm vocis eMcir con-iunckioncm:vr vn^atcy ioc neruns esse vicies tur.Iclq; pyrbagoriciquoq; coffciunt.Suo crrca st qua ei consonantia suerit acl-iita-mregra iuiolaraE servatur. Ita enim oiapason consonancix aclcliturtsnH vni ner-uo. Sit ignur viapaton consonantia: qux contineatur inter bvpgron meion r nere diezeugmenon. Nkraq; bec ika stbi con senrir.-atP comungnur sono: vr vna voxqus st vnius neruimon quast vuorum mrxts pellar auclirum Suacucx? igitur >>uic oiapason consonanti? consonantiam iunxerimus.-seruacur inrcgra:quia ita iugirur ranT vni vocnl? ac nemo. Siigimrdyparc mclon 7 nere oie zeugmcnon oue in amtn diaressaron fuerint iuncre:» co-iungicur nere qviclcm dieMgmeiion ea que ck nere bv- i» pe, boleon:b vpate autem nreson es quc est nrese: vtr-G sci vcraq; consonabit.? mele aci nere vle;eugmcnS:?cg-clem mclc ast bypatc melon. Irem nere bvperboicon aff ncrc oiezcugmenon? acl byparc melon.Zrem llaff gra ^ Uiorem partem y rriu lix viareffaron con lonantix relaren kur:e,icacl nieles gcicm Vyvgron oiatestaron rektnenscS sonantia; !);'pgredyparon:gci ner§ aurem diezeugmeno paramese. LouloiiaditP?bvparebxparon aci bxpatcn melon. ? aci neten diezeugmenon. ml paramesen nete diezeugmenon:? acl bvpatc mclomvxst eo moclo vrgra uio: que cst.-ac! l-bi quiclcni proximam diarestaron rettne at consonanriam:a^ vlterioren, veiooiatcstaron acoia> palon:vt byparekypaton acivyparcn meson diatestaro aci nece diezeugmenon viatcstaron ac viapgson. Ice; ne reDyperboleon queestacutior.gilllviproximam netevie zcugmmon oiarcstaron consonantia,n:acl bypareir melo viatestaron ac oiapalon. Sux Ilt proprietas oiapalon conlonantic. Lspitulum. 9. Lc vero ici circo euenire contencllt:qin viaps d ion pene vna vocula cst: calilep conlonantia vr vnum quoffammosto effingat sonum:?ff cut oenano numero qui fuerit a^ffrms inrra eum polir^ inrcacr inuiolatulP lei uarur:cuib in ccteris aci ita mini me mmiatmacriam in!oac consonantia.illam s> vuo tri bus aff>icias:quinqz continuo rcclclis: ? numeri species imumtaest.Si vero colciem senario acicias.ouoljeci; lc> ceris:? binarius iunctus denario conservatus eff.Ircm ternarius cxreriqs eoclcm mS. 'Ira igirur ffmpbonta via pgson quScuq; aliam sulccperir plonanrismucruai nec i^ inurat: nec ex coniona vistona rcclciitWam sicur viapcntc limpbonia iuncta oiapalon conlonamiein tripla, l.pro--portioue oiapalon ac diapente consonantiam leruar: ita etianr oiatMron cum ffrcon.bnankiz iuncta cum oiapa lon:a?iam consonantiam rcciclit:? strlccuclum prolome um alte? ^conlonanrix aclclilioiciulq; cst oiapalon ac oia rcilaron in «nultiplici super parrienrc conNirnca. ENq; ea proportio oupla luperviparriens: vr occo au rrcs.va benrenim ternarium occodisrvualcscius partes lcielt vuas vnirarcs. k7Lu:bus moffis prolomeus consonantias statuat. Lavimlum. to. T ve pyrbagoricorum quickm opinione pto e lomeus ita oiiuciicat.Suiv^ vero inocks ipse plonantiarum proportiones numeroscp vesti ger-bincorclienclumest. voces inquit inrcr se vel vniloue lunr: vel non vnilone. Illon vnilonarum autem vocum alix quiffein lunt cquilone: alie emmelis: alicoistoneralicecmelis. ^t vnilonequiclcmlunt: qug vnum atP eunclem llgillakim pulle rcclffunt sonuz.Eg sne vcro:qu?stmulpulscvnumex ouovusatq; stmpli eemquostammosto efficiunt lonum: vtest oiapaloncg quc ouplicakarqup est dis oiapalon. Lon Ione autez/unx q?:x composttum permlxtumqz manem tamen efficiunt sonumrvtdiapenre sc visrestgron.Lmmclissuteni lunr qr ccSa; cmrclem conlone non lunr:possunt aptari tamen recregclmc!os:vtluntl)k quc consonantias iungunt. Drssoncvero stmt:quc non permucenr lonos:«B inlua uirer leriunt sensum. Lcmclis vero que non recipiurur 'nconsonsntiarum coniuncnonc:veq8lvus paulo poste nusin stiiMoneretmcorclorumdicemus. ^-uonia,§i> tur vniuocis quiclcm comparationibus proxime lunt squinoccmccessarieest vt equis nummsca numerorum iNkqnMasacliungarur:qukcst prorimacqulS. bitant iurra xqualira rem numerorum ea qux est oupla. mam r prima multiplicitatis species est: -xmaior numerus cu; Nlinorem numerum lupcruenit.m; equo ipst Minori lr» lcenclit: vt ouo vnum vnoMnHrcchuntiir:qul Liaevru tatipqualis est.iurc igirur rupler proportio equisonis apramr.i. viapgson.Wis oiapalon vero dis suplici. i. quaclmplo.queaurcin propornoiics viuiclunr duplrcc; proportionem prime ac maximc:dis aptancle lunr conls nantijs que oiuiclunk viapalon equi consonantiam, cle str: vr diapente quiciem scsqua!tcre:dia!effaron vcrs lesquirertie comparationi copulentur. Wncre vero conio nanlic cum equi lonis' alias esticiunk consonantias: vt vispente ac oiapalon in triplo: Oiareffaron ac oiapalon in ea proportione quc cst octo.? a n es. rssmmclis aurem sunr.qux oispcnre ae oiarcffaron oiuiciunr: vt ronus cste rxccl quomoclo quiciem liorum omnium p:opo:riocolligi postir:cx eo loco lumc clum cst:quem quarto volumine in stnc oelcripstmns: vbi numerus luper sernispcrigkenstcvatur.Zbleni; ve^ predenstitur equilonauria oiapalon ac dis viapalon:? co sonankie ffmptrces viapcnrcac viareffarou:? conlonannc compoffre oiapalon se viapcncc:? oiapalon ac oiatessarS ?qui lunr emmelis lonuvrin roni oistercnria conlstcn^ tes. <17 Suemaclmoclum aristorenns intcl ualla conlistercr. Lapitulum. lr. l > Me! vero oe bis sristoxenus sentiat: breviter q aperienffum cst.'Illeenim quoniam minime rracratum ranoni csnstirult.L»ecI aurium iu -clicio permittit:'Mircv voces ipas nullis nu meris notat: vr earum colligat proportiones: rracc! eam, in mcciio vifferenriam lumit: vr speculationem no t lpns vocibus. Scci in eo quost inter sc differunt: collocer: mis imp rouicjc:qui vifferentiam lc lcirc arbttrecur caru; vocum:quarum magniruffinem nullammienmramve csnstituar.bic igitur? vigtcstaron plonantram ouorum tonorum ac semitonii este proponit:? viapcntc mum to norum ac lemironis:? oiapalon sex tonorum: quocl nerr nonpstlesuperioribus voluminibus ocmonlqarum <17 Descriptio octocorffnqua ostenstitur oiapalon plonau lis minore ec sex ronis. Lapi ulum. Gcer aurem ptolorneus per cuiulclam octo / o corffi viuillonem diapalonintra sexconosca^ ffcrcbocmoclo. Wtcncjgnrurcnimocrscorclc. .i.g.b.c.ff.e.s.g.b.ffgtctzscsquioctgua.a.k.ct qukest.b.l.?.b.l.eiusquccst.c.m. ?. c. m.ciusquectt. cl.n.-r.ff.n.eius quxest.e.r.?.e.x.eius: qucest.t. o. ?.t. o.eius queest.g.p.rkrunr igirur lex ronr. i-umus mcer f.o.?.g.p.I).vucarnrmeciiug neruus acj.iix.LriNgl.ur a.k. vupla ab eo quocl cst.b.',st.pulle iguur ffmm.a.i:. b.ist.diapasoneqnisonanriamconlonabunr. sliquis. S.p.pelcutiat:semperm'rpsuloMtior qua >» LVw V est.b.ir. Slcperboc rrsnscencluntkx ronl dispasoncon fongnriam.Sientm.a.lr.?.s.p.vigpgso» pulsati rcso narmvtonorum sexesseroiapalon consonantis: Sive ro bis non consonantibus. a.lr.r.b.Hx.vigpalon con / sonarcnt:r.b.ik.amtior essttquam.g.p. dispasoncon sonantis Lx konss excestercr. M unc vero quia conlona/ tibus.».lr.?.b.r.ab ea qvkest.g.p.grsuiorinueniss: no potest vnbitsn.-gn sexrvnivlLpgsonconIonsntlLM ex, ccqgnr.Arqz ita sensu quc>G pomi coiligi viapsion c§ konankismlnrer lex tonos cacicre. Sicigituraristoxeni error line subitatione conuincimr. L7Vi«cssaron consonantiam «krawrsto contineri. Lapimlum. i>4. Llncve retrscorclorum viuistsne dtcenstum § v Er enim viatessaron consonantia quamor ef kcimrneruis.Ickircocriam viatessaron nun cupatur: ct igiror vuobus neruis alrnnsccus xostrisast viatessaron stmpstoniam consonantibus rena eorciumSar: vuosneccssariccststMii inmcaioncmos: qui aci se inuicem:Srq; aci extremos tres proportiones ef kiciant. «7SuomoSo sristoxenus vel tonum viuistst: vel gene rr:eiulcp viuiklonis vilpolltio. La- 15. L)c rgirur viatessaron aristoxenus per «enrra d rali «miostc parcitur. Diuiclic enim tonum in vuasparrcs:arq; ,u semitonium vocat. Di^ uistirin ms.cuitzs rcrriam oirstn vocat cromatis mollis DiuiSttin.iiis.mius quartam mm propria meclittare. .i.cumocrmia lotius toni appellat viefin cromaus be/ miollj. 'Russus iolam quartani cius vocatviestn ensr moniosrLumisiwrbcc iraflnr:cumcxgmemm viuisto tecunstnm eum kit duplex-.vnurn quiclcm genus est mol Hius-Miustvero incitSlUS.Ltmollius quiSem est cnar monium.incikatiusvero viaroniwm.Inrcr kec vero cS> listitcromsticum incitatione molliricq; participans. st-unr iqimr lecuncluin bunc orclinem oissercntix permirro nrmgenemmsex.Nna q,iistcm>narmon!j.iu.autc- cro-malicl.i. cromaritiNiollis. ? cro>nancibcmioiii:rcbro, manci roniaci. Due vero relique viawnicr mollis gtq; k citati. Suorum omnium calis fecuncium aristorenum viuisto est. Suoniam cni; quarta pars roni oicslsenar monios nuncupari pvckcka cst:quoniamG aristsrenus non voccsiplgg st comparatsscstoiffcrenliam vo kuminkcmsllumq;metitur:c: lccunciumcum ton^L vuo Secim vnitarun,: buius crit igitur pars quarta oirlls enarmonios rres. Suonism vero ex vuobus ronis ac >e mironio oiaressaron consonantia iungitur:crrc rota via tessaron er bis ouostccim ac lcr vnirattbus constimka. Seci qaomain lepckt:-vrn -ysqzacl ocrauas veiim^vc-quccre panes: non in inregrsg numeros, ^roest in anqs parrtmlas incurramusuccirco quiclcm isciencla est rora viatessaron consonsnria.lx.Ar vero rxiiu.ronus. Milonium vuociecim.pars quarra:quc viests cnsrmoni os oiciiurssex.octaua smcm krcs.iuncta vero octsua eu; quarta, lex scilicet mm rribus: vt faciat viclin cromsris cmiolij:cmnt nouem. Vis igimr ita constitutis tria ge nera cnarmonimm:cromaucum:viaronicum: bas aristo-xcno vicientur dabcreproprittsresrvtslia eorum vican kur lpissarslia minime. Spissa sunr:quo:um vue grsuio rcsproportiones.Anam cam:quegclamrum oppostta est magnituciine non vincunt.Ilion spissa vero: quora vue proportiones vnam reliquam poterunt luperare.est aurcm enarmonium -r cromaucum spissum: oisronicum vero non spissum. Aaq; enarmonium lccuinZum aristo-xcnumviuiljitur.vi.vi.xlviii.vrinrergraucmneruu;: ac xpe grauc f,t quarra pars ronuquc vimur vicstscnsr monios.cum stc ronus.rxiiii.vnikgtidus constiturus. Zrem sccunstum interuallum a grani ncruo acl rcrtiuz stc castcm quarra pars toni.Aeliqui vero qui restant cx Lxa ginka qui toriusproportionis iunr inter tettium s grati! neruoarcvacutissimum quarlnmpcnunrur.xlviu.? dueproporrionesastgraucmpositc.i.vi.gc. vi.vnam reiiquan» aUacumm locatam.i.rlviii.non vincunt. Lro Matis veco mollis kgnc tscir viuiNonc;. vili, viii.xliiis vr occo arqz ocrostnt rercie parrcs tonorum: cst enim ro-nus(vk victuni est) .rxiiii.vnilaruz: -r orciturtom pars tertia vicstscronigtis mollis.^rezcromarisbriniolii via rcssaronir2partirur.viiii.Vtits.xtil.Lstgutc; viests cro maris bcmiolii pars ocraua toni m;.Luarta.i.kr.xxiiil. sex cum tribus.'ltcm rroinakis toniaci. Talis fecuncium aristoxenum psrrino cst.rii.xii.xxxvi. Lxiticet vt i dus dusmtemallisstngula semiroma constituar:? quocireli quum est in vlrimo.Atq; in bis omnibus vue propor rioncsiquc grauiori ncruo sunr proxime, reliquam: qvx aci smmm posttacstrmagnltustincminime superant. Lunr emnssvt vicrum est) spissorum generum. Spissa quippe genera tunc enarmoniuni arep cromaticum.Dia tonica vero viussro ipsa quo«V est vuplex.Tt mollis g. cicm viaronici viurstokstbscmocko.xrl.xviuxxx.vryuo cicci,n scinironium sit: occem? ocroscmiromunt? quart, pars toni.xxxii vcro quocl rcliquu >1- est. Su omm vecc; ?ocro? duostcct^css-c-unrtttginka: nccsuperansur ad ea parte que rcttqua est. Irem viaronici incitati talis par tirio est vr scmironium acvuos babear integros tonos, .«.xii.rriiii.xxuii. ex qmvus.rriil!.?.xii.i.rrrvl. non su pcranrur a reliqua parre qucaci acnrun, est. Sccl potius vincunr.Lst igirur fecuncium aristoxenum tetracorclo/ mm precliaa parritiorqux subims vekriptionr monstra dimr.. ii r Diulllo vlstonkr incitati. Diuillovisronia mollis. Diuiikckromskls Loniaci :4- r4. SnkonlL L-iuissocdromatis demtolij Diuikocdromatis mollis. / SritonjS ^ sZs" ^ Diuissomarmonij L),akessaron -^Llclisio/, D-ms 4LSko„t 1 r.occsua pstoni «r octava pstoni 67 ^uomosso arcbiras tctracorssa viuissat eoruinP oslcri puo, Lapitulum. i6. 'isscbiras vero cuncta in ronc conttimens nZ a mo lenium suriu i prmrisconlonantlisobler uaie ucgtexir: verum kr maxime in terracorclo rum viuiHone rSnem secutuselt.rveclira: vr neqzea quam querevarefficacirer expediret: ncq; 1'esui propossra gbcoroconscntirer.^lle enim tria esse genera grditrar.enUmonium.vlaromcum.ctomaricum/In^ buscolssegrauissrmosssatultgtB acutissimos sonos, in oid'gae gencrivus gravissimos sonos iscicns.ii.xvl saitissinios vo.LD.clxij.inter dos in triv^gencrid^ncr uum grauissrnio prorim» collocat eu.s.g llt> i.Uccccxlliij. vrac!cum.tt.xvl.i'esquiuiccllmamlcptimsm ovcincanc proportionem.iPoss vec vero intra acutu neruuz.Lmi um xcro a graunNmoeu collocat in enarmonio gencrerg Lnarmoninm Draronicum I.i.clxii. I.i.ckccxc. ^ .r.ckttcxluu. ^ .u.xvi. Nk.l.ssccexc.aci quem, i.clccccxliiu. fclquirriccUmsqninta propo-lionemnganrui-.Mmqz.i.cicc rc.assaculnssnim i.LV.clxil.Zn leiquiquarla proportione ssr eonssiM^ 2tcmin oiatonicogenerctertiuni quEagraunsimo n r uoriMin vcrosd acumsimo cum ponirrqur l!t.i.clici. acj quos.i.cilcccxluu.lclquiiepttmg proportione conini-cri luirr.Zpss aurcm.r.c!cc!.acj acutilslinu.i.clxii.scfqllioctg / ua.in cromstico vero genere tertium a grauissimo.-r tec» clumsvacutlMmscnim pomtrqul ao.i.ciccl.qulciircr. tiu s a grsmssrmo in oiaronico gcncrerca odlincsr Lpo: tloncmrquaobrlnet.cclVl.aU.ccxrril.dic aurem e. i. occ-xcii.gcss secuncius ad acurisslmo appossms:dadclq;.p' portionem. L>ccunclus sv acutlsstmo m vigronico genere .i.i.sscci.ael secunssum ad acutissimo in cbrommico gene re iljess.i.cjccrcii.cam qua dadeiit.cqlui.ael.cclri.coriiq; Mracorclorum fecussum arcvirc scnrcnriam oiuiioruz so> n am momtrac subiccrs vclcripiio. a?,vomar,cum. I .i.ssrii- I.l.ssxii. ^ .i. cicci. I.i.ciccccNiiii. l.ii.xvi. .r.ssawi. -l.cjccccxlii,l. 67 Suemassmoclum prolomeus rarissoxeni ^ arcbite te tracorgorum oiuissoncsrcprcdLn^sr. La. !?. Tss vrraiP retracorciorum viuissones ptolo S mcusira repredenssit. Arcbiram c>ui6empri morquomsm sswncjus ad sculissimo iieru' 17! .'i.rvi. incromatico genere iclest.i.cjccm, colloeams: vr necsss amtissimum.i.clxii.nccass pvrnnum grau-ori. i. ^ecccrliiii.vllam suveroame»,-^'. ^-^acuroportione dusdavuit vignitarcm: vreas criam —-- ratione suiceperit.Dc binc z> primam s graun inno pro Livcr V portionem in cromatice» quissem maiorem sensus depre bcnssstrquam fecit arcbiras.bic nZq; in cromarico gene-re.i.ss ccecxlilii.gss.ii.xvi.orstare fecit iesquiuicestma; se primam proportionem: cum securum coniuera; croma ticigenens mossulstionem fesquiuicestma prima esse vc-dueric.Dcm enarmonium genus eaproportro: qua pri mam a grauiMmo secunssum arcbtte retinet viuiilonem rslis est: vr longe mino: esse vcvear: quam in exteris genendus inucmtur.btc aurem xquam eam cxrcris generibus staluir.vum primas a graui proportiones in rriv' gmcrivus seiquiuicestnias septimas ponit. Llristoxenu; veroculparrquoniam in cronrarc molli r cromarcbemio lio tales poiucritprimss fecunssasqzsgraui nemo pro/ porkioncs.qux a lea minimo - quarum sensus non pos-sttlNttrnosccremiksrent.Est quippe proportio prima i cromaris mollis viuillonc secunssum anstoxcnum ocro. at in cwmare bcmiolio nouem.Gess cxro acl nouem vni talis oiffermris oistanr.Lst aurem ronus roms.xxiiij. vnicativus secunssum postrioncnnquoru; vnitas.xxiiij. cst.-K>rimc igitur a graui imrr se ^portiones cromatis mollis:? croniatisbemiolij.xxiiij.parte toni oistsnt:qS propter vrcuikarcm oifferenrie nullo moclo scnrir aussii^. Ilicmerisn, aristoxcnum rcprcbenssit: cur vigronici generis ouasranrum fecerit oiuistones.vti molleincira-rumq; viuicleeetrcum possint alie quoP viaronici generis species inueniri. 67 Suemassmossum pkolomcus rcrracorssorum viuillo nemstertvicatoportcre. La. >s- Lolomcus tetracorssa oiucria rarione parrik p illuss in principio stawcns: vk inrcr suos al- trinsecus sonos tales v ocule aprcnrur: que sc superparrimlarivus proportionibus cxcessar inxqualibus:ramen:quonis superparricularis proportio non porest inxqus oiuicli. De bine vr omnis comps / ratio:quxsttasscum neruum qui est gravissimus in tri dusrminor llt cxreris:qux amris vocivus coniungunk.-Scss in drs ea que spissa nominamus talia esse vcbet: vc vue proporkionesrquc gravitati lunr prorimerminores llnt ea propo.rioncrqux relinquitur aclacurum.in no spis sts vero vr inlviatonicis generrvus nusquam vna. 67 Nicolaus Hussecus Llcncms: Donaro Liuslcllo vi roilvecrorro.S. Ecognssccns snpmsrib^ oie-bus Donare «Dusarum cultor elcganrissime quosssamvi ui Boerii ve E-eomerna li-r bros consulto Lucliclisgrcco exemplari: Lupille compluscula Tbeorcniara acl verbum latina fccit:animassuerti cmi-nenrisstmum geometram eu-clissem a nostris r menssofe acl mossumlegi:?(vrmcaquissc serropmwZnon sans rmeexponi. Loccl prius illuc! iere trgssuctoris culpa accississe vissetur.Is cninstquicuq; ta-clem fuerirre barbara lingua grxca volumina transscrens scmilztina.reclcliclir.Mzm vocabula quessamits: vtia -ccntrbarvara oimittitrcumtamen larini iualaabeant? g ssem optima ac probatissima. Suam enim qusssrilstcra ^ i stguram. Issbombum?grxci? ncstri appellant: ille ver / ^ boquossazsvkira vicarn)cxotico^eliMLw vocsr:?bu ic affinkrquam grxci ikdomboissen dicunr: Simile bcl musim.Sunt? alix quxssam quaclrilatcrx stgurx: quas ^ / - grxci trapezia:nostri LVeniulas nominant. Das nasscr -i dic interpres lanni acq; grxci vocabuli perxque ignarus Delmuarifas vicere non veretur. SccI lint sane Irxc lenia ? no inulta animaclucrilone vigna.Zlluss certe (ni fallor) vesencli nulla excusatione potest: g? rerum vcstniriones: quibus Vt principiss totius lcicntix Vtimur: ? contun-clenclo falsas facit:? quas Suclisses minime somniavit in cawm locnnuquc illius erant: temerario quossam au su stipponir.istam stari; in initio operis lineam buiuice mossi oestnitionis terminoclaussit. Linea est kongituclo line latimssine.cuins quiclem extremitates sunt ouo pun . cta.lldxc vero stnirioci linex accomossari minime pottst: ^ quam pcripberiam grxci noininantrcn illa extremis nul -lis liniatur.HH quiciam ex recentioribus falsa transtari one occepti banc rsnH Lucliclis vcram ocstnirionc; ve fenclerecongnwrryiccntcs pcripberiam quissem exrre, mis? stnibus acm carere:aptikussinevero(vl eoruzvrsr vocabulo) stncs? terminos agnoscere. Suoss prissiculll est:S»iqulsscm cossem exemplo lineam ipse vclinism lo» gikussincm citra latimssin em.quc quissem extremis care at.cp N reclamsbis.r Uncam obi,c,es Eam stnitaz- Isse fponssebo eam stnivns babilirare potcurigq? pocaee - lana supcrlicics e ab vna linea aci aliam excensto in extremitates Mas r.cipiciis.Seci bxcarq;alia buiusccmocli plu^ ra parrim inlcire ? inclocce rranstata.-pgtttm etiam imu-rara? inucria: ^>i vrruq; viligeritcr legere aliquancio ri bi comigcrittper re ipse facillime vcprcdcnstes.Muc qus »n cxpoMoreLampanoin primum elementorum livru; noraul.explicareriviaggrecjior.In quaquiclcm rcadoi^ dus viris voctis:quivus bsc nostra legere ociu; erirrpe tirum iperrarumP este velim:ne eos viri auccorira s ma gis mouear:>H ratio ipsa ? vcrilas.Leguturttaqz(Vt aci rem ipsam iam veniam)apust Sucliclcz in primo cleme rorum libro ouoTbeoremata.quorum alterum recipro lar.akcV re currit aci alterum. Ambo vero vecluctione ast incomoclum a Lampsno oemonstrara sunt. Lcst vr gcl orckarrplanius intelligas: accipe primum Tbcoremaca ipsg cum eo? vecluctionibus ira: vt illa legit: arq; astru »l Lampanus:Deiciequist kortaste peccaverit ille: quicl qz nos sentiamus: dreuitcrauclics. LbeoreMars igitur bxcsunr. El7Smnis rrisn3Mi Iongi§lstus maiori angulo oppo ilmmest. It vttriagulo.a.b.c.angulus.a. Ntmsio: an s gulo.c. Dico: i enim ilr n b c ^.^ualls:kunc per.6.lstus.g.v.est'squgle lsre/ k°du?stcstm^ b. ltMM. bypolbcfirn.rInareastruiturpropo / d tl?Siccampanus. S; vr m quo nobis minus recte l? iilse viljcgc:facili^pciplgs:paucsquxcia cr oialectica sa-cultstepgrriprsnokarc.pgitim immiscere oporrct.Sut igimrin oi quxiiionefvtpbilopono in poilrcmis Lina lxricisplscer)vuo:quo:umaltcru oawcst: quxstru; at terum.vr st polim in qusilionc tucrir: Ln cxlu; rorunclk 6t:csium vanimM:skUanrocuneiuM stkqusiitur. LIt campanus propolim 'tbcoremaca m Varu atevonsstru; nequaqz rectc soluisti: viclctur.Dla i n priore T bcorcma te maiorcm angulum sibi oari postulare lubinste qnxrit: an illi maius iamsM e regione constirurum: Lonrra qz in posteriore mai^quicle; larus oari vulrran vero str ma iori angulo ovuerst!!n:qucrir.Suocl contra facienstum § Iklam quiuis ln oialectica mea quiclem lententia vel me stiocrirereruclitus facile vicicrc potest ineo Tbecremsce: quo omnis Trianguli longius larus maiori angulocS tra responclcre propontturrlongiu» quiclem lacus trianguli vari substei qz opo:rere:an vero maiori angMo stre regione postruin:quxr> ac prsclicari: L onrraqz in coueeso Tlxorcmatc maiorcm quiclem angulum concccii: longius vero isms inquiri. Sd boc vero peccatum confccu-mm est ? aliucl longe maius, isslulinm enim er propoli^ ris llieorematisalsettoria ocmoullratioecampan^astm xir:lecl vtriiq; gci incemostuin oncenteollenstit. Suocl m geometria: vbi keri porest: vel maxime virancium est: iquasolenroemonstrritioncsastcrrlex prioribus nocio-nbusPnsturx:no nobis mocio: duales sunt:qucaster ro:is:rectsP appellantur. Dtilus vero errari origo arq; initium kuiusmocjjstiit. Illam campsuuspriorilbiore nisri prccjicarioncmprsker naturam vecjir.^!>aio. pSt: vt ei qb accistirrci^cui accillitrgppia ca ce staruacur. Wlc coacc^c capan^l priore tbeoremstc.qb i ^acu arcp qu ru mite sccuistcr:vcmSstrgroe vri aci incomoci» oucere.? qr illust putabar p:incipgle:poileri^:quoci aci ipm come gret:no alis collecroc:q; aci incoinocjn vucente S! LItqz ira nulla ocmSstrarioue rccra aiscrtorlaqzaaca.qm vixim^rbeoremata coliigecla capan"aclb!bult:qZ> m s-l -ruit:cu ips str ast icSinociu vucete potior- Dse >»» nate.-q Hro aci ppoiita tbeoremata attiner.in cFpano rcp beci§ciacesuim'.s;dkc:q ilricn oispmauim':illos nocr acte sudtilikB irellecmros cerro scio.g poilr^os Slnalyrr cosarillorekno viligcrissime legerit, ikeliquu lgik c: vr illa ips» rbco:§arg (queacimo; polliciti sum') Smolirem' rraaucra tn p:i':vttracjucccjg crar.Solucm'igik r sepa dim'rdeo:ema pricipale i darmarq; ejsuu.vt o;c>r aci ipz aiimcUu alierroria ocmollratoevteniur: -Kolleri'vo tdeo rem» :qS aci pricipale rccurrit:cu pciication§prcsna;so: tiak vemoliracione aci icomo6u pclucecc brmiter collige mns.Demoilrariones igitur ipsas aggrcclimur: ircclc. M Olsrriaguli mai'lat'sud niaiorcgngulo.xtcnciirur. ^lenitriagulu.a.v.c.lmslat^rcrve.a.c.mai^eo s laceqSe.s.b.aioaguluquoP.a.v.c. snvquolg tus.g.c. MSikrmaiorLce.gngulo.b.c.g.mi p m ciet lst'.a.v.na q: mai'e lLt'.a.c.q;.g.b.?s1imak^pli.a d.cqleipso. a.ci.^prrsloak lpsu.v.cl.lal^ qinrriaguli: qSc.d.c1.c.exsio:ansul'cis:ge.a.a.v.msior vtiPeric ircriore 7 ex aciucrlo plliruca agulo.ci.c.v.eglisvo e agri lus.a.ci.b.ipi.s.v.S.agulo.nalal^z.g.v.lStt.a.cl.squu crar. oVaio: iraP? agui'.a.v.ci.ipso.g,c.v.agulo. mul coigikmaiorcrirgngul'.a.v.c.gn§uko.g.c.b. Smnis igicur triaguli mai'lai'sub maiore angulo prorcnckmr. Liuoci oportevat oemonstrare. » «7L»istriZguU suv msioreangulo mai'lat'^tkciik. ZkkriasulS.a.v-c.maiorcbns.a.v.c.gguISco: g s E.v.c.s.Lliolsr^qz.a.c.lpso.a.v.lgicmsi^ee.nL ll,nnl'n lik.aul (cjlceritipsn.g.c.ipy.a.v.gurmi n'.?qle sane n e ipsn.a.c.ipsi.g.b.Mlis enk forct kt angu lus.a.v.c.Zguio.a.c.v.arg nocrar.i^oigik ?qleeip;.g. l.lal'ipsi.a.d.lsri.MeG vo min'eipiu.a.c.ipo.a.v. mi nor eni sorec angul'.a.b.c.agulo.a.c.v.arg n crar.no igr mii.'e ipsa.a.c.lar'ipo.a. b.laie.SmSilratu ar e neq; ca. leuliee.mai'itaq)cricip;.a.c.lgr'ipo.a.v.larc.^isigik rnaguli suv maiore agulo m»i'lat'FtLciik. quoci oporre dakveinoniltare. ^ MiV? sutigik kuiusceniocli rbeorematS veEratioes eufacilesttu^imme-rqnrexlcq^M. LoZanq; reoimll ta: volo -Uliias/r aliuci q^Sciz kui'i)ois crrstk Icuiulculu sorrssse:rurpe tn^vrro ploiiosopbo n negiigeSu. lirent leE elemcoLprio.xdlemaiiliusmocli.aS vara, rects.i» nea-.vamPi ea pucru: varo angulo remlmco cquul angu lS reaUincS -ltimcre.kocvero m legir: r SSucU camxm" MV?cSscriptio pnrore gspcan sgtz cr» v>.l; il muolc gttkteq; leclitcs.iuenies ca n» pbo.pvarl n vccre.na cu ane na? emula ce opo:tcat ipa ch na iupuacsneisn avnciet:» grttlacioscSscrivereiuckca ciusc:^ plura i viirivLcio pgerit q; gb' aS Lmoilraroe; "Vki ncom lir.qv cgpan^nclcioquo ii 8uitSt:s!gplillime icurrik.gU en, nvi vuir ing vuo? cinculo? SNqnakio r aci tllarorcacie cirruscelmeg^rasollicira oucrioriKSncpo rcrar.acmarie dbevat:vsky anMlo:g.a.7.b.llncis?ne ,er:r vM.c.Meccargnriergteills:? csll morolitgtcdscripri omsprermi!la:stall sEptzkrid'lineis:q cem vcllgnstz xqualcsrki iangulu pllitucreEL lieri licere ex supiore.p vlcingtesvucje-Mvar.TuategistiusmocZi^blema vi U3entl'prxss>us licis r.a.-r.c.e.puaa(kluv;).ci.-t.e.7Mgl)ak.S.e.-rcxtv'rE MDararccraliea sup rerminu ei'cuunllber ggunlopro-' pollro cquiim angulum velignsre. , , vara linea.s.e.r sint linex^v.a. Mnctes angu s lu vaku cui suvtccia vsliz.c.VUp puclu.l.Uncx.e f.iuvere lacere?3lc agulu agulo varo.aci linca.r. f.acimga. f.cj.cqlclinec.a.-rcx.t.c.sumo.s.g.xM.b.': ex g.e.sSo.F.Ii.xM.c.-riuppucra.t.r.g.vscrivoduoscmu los.ci.lr.-r.l: .b.ss>quatirM vua^ llnes^.s.cj.^.g.K.^ i terlecates se i pucro.lr.llc vocuir Pcccles.ducrcP lineis, rr.f.r.lr.g.cruckciliavuolacs.lr.t.-r.s.s.ciiaguli.lr.f.g. vuov'lateriv'.a.r.b.kriaguU.a.v.c.^vasls.g.l:.xqua lisbail.c.ergo oocrauazangulus.lr.l.s.cgualis crirsn Mlo pte nto av.a' v. quoS ell p rop olic um. veomettlse lineis.s.k.?.a.g.?.f.g.quk iunr datis recris lineis mi,» k.st.?.c.c.?.ci.e.cqus!es.Trian8Ulumconstimatur.a.f. g.ira.Vtkquslis lit ipia.c.st.linea ipsi.a.s.ipla vero. c. c.ipst.a.g.postrcmolpsz.cl.e.ipll.s.g. Suoniamigimr vu? linckreetx.st.c.r.c.e.vuavus rectis lineis.k. a. ?.a. g-xquales lunr altera alteri:? Vast8.st.e.vast.f.g.?qua I), vcmr.-angnlus quoqz.st.c.e.angulo.s.a.g. xquslis erir. Llcl oakam irsctz recram lineam.a.v.varum q; in ea pun ctum.a.vatognsuloreaillneo.S.c.e.xqualls angulus re lrillneus.f.a.§.constirutusest.Suocloportcbar facere. LlUclistissemquoPalia plura longe eriam graviora emi ka: niii me epistolam smvcre meminissem. Sest euclickem ipsum aliquanclo fortasse vnapcrlegemus:annokabim' qz omniaun quibus nostri a recra ranone oistesterc vicle buntur. Znkcrim kxc pauca rivi mi Donare icripstmus: vr essenr spustrecins veniuolentixatP obicruantix pj gnus:qua tcprolequebsr(-r nunc quoGprosequor)cum nostrx ift»arauinx pbilosopborum acaclemix issccrer. bic agcres. Ualecx, jldskauins pbilosopborum palestra. L7O>lana superstcies: viciturquttquMer i» rraib Lr >s lineis coimnemr. ^uperstcies plana L7 De generibus angulorum. lanus angulus est suarum linearum iupla p no inuiecm se se tangentium:? non in oircct» «acentium acl alrcrutrs» conclukio. MIncipitlibcrprimus FZeometticc kucliclis aBoe tiotniatinumttanstakk. Via vero mi patrici FZeometra ^ mm exercitati,Nme rkucliclisve arris geommicx stguns obscure prolata re aclkortancecxponensta < ? lucicliore astitu cxpoliensta susce- pi. Imprimis quicl llr rnmlur» vennienclumoptnor. - . E7De mensura, tknmr» vero est quirquist ponsttte.capacitate iqj ^Zimulnc:glriruciine:lgkikustine:gloqz stnik °M>:iiicipium autem mensurx punctum voca rur.Omncrum estrcuius pars nulla est.linea vero stue laritustine longicusto estcknex vero stnes puua ^Degeneribus linearum. Scra linea est.quxkqualiterinsuks prorcnsti r . wr punctis. Luperstcies vero estrquost longi vmstneslimx7uE""^^^r.SuperstlieiM- ikectallnea 6" Suansto amem qux sngnlum eomin?t.linecncrtM tunc, recnlinrus rngulu» nominatur. Liber prlmus L"Lom vero recr» linea snpsr rectam lineam stans eircS 5e xquostidiinuicemseceric angulos:rccttis estvrerqz xquslium angulsrum.Etlliiea super recra; lineam stSs pcrpensticuiansoicirur. Gbmlusangulus maiora rroest. 4!7LamrsEm anZvIusrccrominmcst. L" Zluastrklatcka »Mem:qux fub qusmor. M /mirimavers mensuraliseil linca.qugaurpr» sliqr» obserugponumraut aliquo ccrminorumovicruAur. K7 LDulti larera irsVstguraeli:qux subotmibus qua; quamor lateribus conrincmr. L7De.lrignguIis. Gustarem m igitur triangulum rst:quost tri-e dvsxquisiarenvusconlmerur. obrustts E7Demostisstgummm. - Mra est:qvost sub aliquo vel aliquibus ter-s minis commerue. L7 Le minus vero quost cuiulqz est linis. E7Lirwlus vere est «igura questam plana-rcircusturta: sub vna lmKxonrcnrs: qu; circuierenria vocatur ast quam a puncro:quost intra ngursnr pollkum cstromnes qusineistum. rstecrx linee stdi inudem sunkLquales.hot vcropuncmmcenrri! circuli nominamr. - - Lquilatem.i, L7Isosceles aurem est:quost vuc> lanmmmcrstolaterada» bear xqualia. Isosceles tz^Dismervus amem circuli est recra questam linea per lknrwmvucra.r ad vkraqzpsrrein circufercnria circuli tcrminsta.qux in vvss xquasparres circulum viuistie. 6"^emicirw!us vero est plana stgura. qucsubdiame rro: Lreaqll-moiaMtmsapprcbcnstil: ciMNlrreuri-Mnnnerur. L7 S«le«mm v«obi»l«MNilu». «7Monlvmd.i.«MisMsumrlr:inGomslm MdsM«vtr. Susckam» L7 §>Lstt »lters longius vero est: quos recriansolu ^ ckmeS.KS xqmlaremm non ek. IkdmesirmMNvs L7iKombus vewek:quoSxquilattrM qvickemek-kck ktttUNMWMNSNktt» C"komboickes-urem est:quo6 inconmuimn cckloca», liness slG angulos kabllrquslcs.non aurem rea»s an Mlismecxquislslenbus eonrinemr. v— X ikvomboicies E7-K>raerbrcamemo5squacktlatM!.rigvfk rrape;^. iijest mmlulx nominantur. Lider primus r'ss srslellkiclest s VernxrerkelinekNucupsntur.qrik m eaclem plana supcrstcie collocare stP vtriP proijucrc in nemra parrc concurrant. Ijdarzllcle.. L7Dc pttttionidus qux ium in gcomerrico. Slirioncs vcrolrue postulata (praeteribas p plscuir)oicunrnr:quinqz iunr. <17 isdnmavtab omni puncto in omne pun^ ctumiccta line» oucskur postulor. qrp:oljucstur.!iljmonet. <17 Terris omni centro r oinni spario circulum vellgn^ reprecipit. <^Surrts omnes rectos angulos s.bt inuicem (quosD >vnlr. <17Luintg gutem:ki in voss rccras lineas lines'rccra in^ ciclens interiores ouos anguios-r in csclcm parce vuod^ rectis fecerit minores:rccrss iinkasm,nstntcumprcs vusbus rccrisltncls:que rectum ambiunrangulum vi ritur conrincri. <17 Omnis vcropsrslellogrami fpsttjvnum quoZcxeo rum qux circa canciem viametwm funrrparalclio grams rvm cum vuodus lupplememis gnomon nnncupsrm. L7 Lirwlt sunexquslesiquorum viamctri llinkkqnales inxquaies vero sunt: gllescnonbabent. 67llvecrs lines circulum contingere dicitur: quxcnm cir mlum rsnMun versPeiella pane noniecar circulum. <17 Lirculi se inukccm contingere dicuntur: gtangcnres fele inuicein non iccsnr. L7 ^ecrelinex l circulo a cktw SistsreMirer vicnkrqst s ckcro l ipsas vucte PpMculsres iuice tibi lutxqusles. ^ Olus^cro s cerro oistsre oicimr linea: inquZ PPM, chMlaxis longior csckr. . 7- ' r L7-K>ortb ckrluliestliAU»: qux fubreev, 7tlrmlictreuke renria continetur. L7In portione circuli angulus esse dicimr: quansto m rircuscrenua portionis lumirur «liquoci puncrum:? ad eouempumo-aunckmminosvuerecrciilikxlubiun-guntw. C7Angulus circuli oiclwr qui sub ouodus a rctro burris lineis comincrur. Quamlo linee qux acliungunkur: «liausmcirmnferenlie comprekencium paniculam in ea angulus mMcre perbibetur. 6esmerrl- C7/i'gura intra kguiZ vkcitur in scribi quansto ea qux in kriblturreius inquaminscrioiturrlalcra vno quoq; lus angulo ab imenore parte comingic. L7 /igurz vero stgurkkircunscribiperliibemr: quotiens ea quc circulcrcvttur suis omnibus Isrcridus omnes, an Mlos eiusrcui circulcrivitur tangit. u> libi invicem v!lt:r quc lineis slix ouxrecrx imexxqualessuer, alteri! !vuo,na MisIlvussnMllS iudmrcjmmr iatevv.idi iilUicc; eiul «u»n.U kEseosckiNNncsjiiMiSlMtvKircis e-ajULnreg. kk Geometri? L7 Si vuovianguli vuo lsrera vuobus lateribus equa pofficleant alterum sltm.r vskm vati baveaur xqusm-^SUlumanMlobSbcbunr kquslemrqui tubKMiidusrcclls lineis coqtmekur. V7 Darsm rectM Unesm terminaram in VMS xquslc» vrviciere partes. tz7 Nara recra Une» av coquos in ea est p»aa.ikm»;lt vesm.s«unaumrcclos snMlos elevare. e L7 SuecScx super rectam Uncam reas consistens anM los 5ecerit:am ovos recws laciek.-sm ouovus recrrs tletxquales. — b M S» acl aliquam rectam Imeamarq?^ clus puncrurn vnc recrrlineknon incanZcm partem °ucanmr.^ j e snMos rmsbus renis fecerint xquosun vircaumnv' ess lineas i«ercnecrsse est. 6" Supra'oakam rcctsm linesm instnitam ab clare pun rro.quo^ ei nsn inest:pcrpcnijicular«n rectam linea vu «re oportet. Lider primus rto t Amnium triangulorum maiuslar' lub angulo maiore lubttnckrm. L7Sivue reae linee felL viuitlanr: scluerliE angulos llviinuitcmlRimrequos. b a L7AlumtrianguIsru vno lztercplluetoexrmoragu^ vmiqz irenorid^r er sU io agul pstirug maior ertstit. v Angulorum ouo anMvuobus recNsan- gulis Hnrmlnor-somnifariam lumen. b b L7Smnmm triangulorum'maior angulus luti latere maiore protenUimr.^ L7Amninm triangulorum duo latera exlcro maiora i»r in omnem partem luicepra. L7 Sun dno quolibet trianguli latere a 6n,Wg lateris kk r G'cometn§ VuerecrellNttlNkekiusconstimLNMangulum fscEtes.quecSstituunrur reliquis qvlstem trianguli vuobuslsrer,'b"mi^ A n»res erunr: Mnorem vero angulum conrinebunr. varo recrsttnco angulo xqualem reailineum angulum collocare ncccste est. r L7Zlcl varam reoam lineam: Er varum in ea puncwm » <7^ Slvustnanguli vuos angulos duobus angulis babuerint kquos alrcmm alcen: vnnq; lar''vm lareri ilrcqle raric quoclcqursacliaccrzngulis.aurquod luo vuocqualium suoceuluur angulorum, r reliqua larcra reliquis lateris i)adc< dumrquaalrersm alteris reliqun angulum xqualem reliquo angulo kostitjcvum. v k b <^ Si in vuas rccras lineas linea incistcs recra alternari ai gulos fcrerir equos: recras lineas alrernas este neces/ lcest. s <17Si in vuas recras lineas linea incidens recra exrcno rcm anguium immoruLrex ad^ld angulo constimro reclciatequa E.aurircriorcs-r aci csidcxrcsangulos ruo bus reckis xqualcs taciatrrccras lineas libi alternas ee conucnier. <17 servarum punttumvare recte linee alternam ree ^ l: inei^ln Alternis lineis luerint (Onl^ltutA^vAtAltl lo grammumtrianguto vuplexcsse conuenict. k l- z L7Smnium triangulorum exterior angulus vuobus ^ teriusr cxaclnerso collitutis a ngulis e xquaiisrinrerio res vero trianguli tres anguli ouov^rectis angulis iunr equsles. 2 e b es § nuntiantia Mnr. L7 Tuc xquas e alrerna s rectas lineas as eaise; panes recte ltneeconiungunr.ipfx quocs alterne Mnr -rxqles. « o c <17Lorum fpaciorum.que alterius lateribus continenk queparalcllograma nominantur: i exasuerfo latera: ar cVanguIiconllilutilldiliiulccm xqualesfnnt: esquoqs vtamcrrus in ouo xqua partitur. L7Smnia p»alello gramarqux in eiltlem bsiib': Lr in eissem.siternis lineis Merinc constimra: kibiinuice pr» banturxquzlla. <17Zkequa ttiangula in xquis arq; in virectum pokr' ba kvus coniluurs.-r in cisciem parcibus: -r in cissem quo<-E alternis esse neccsse eii. L73uxtadskam recram lineam vstorkiansulomvsloreckaincoanguloMgleltosrZmumkqugl recrum linea recra iungamr: quocl sub tota cum acliecra. Etca quc acliectacst.remangulumcontincrurrcuzeo qS vescribcmr a climiclia quaclrato xquum est et quaclrato: quocl selcridirur ab ea que constat ex sckecta arq- vimi-cks. c v X I m E7 Si recra linea per xqualia seceturrekcV inclirecru; qux «jam lines recta iunggrurrquastrslum: quocl oelcribitur g tora crnnesrqux acliecra eii:r quastrswm quocl vekri^ bilursvca queauiccraest. s e S t lr L7In bsc trianguli stgura:qux ob mlvm babetangulu; tanroamplmsea qux obtusos obtenstum angulos late ra postunc: Suam ea que obruium obtinent anguium: quantum cst:quost continetur bis sub vno eorum: qux circa obkusuin angulum l'unt:in quost protractum ppcn stlcutgriscastlt:sktVcs:qux aci obnisum angulum a per pcnsticulari ettrs oeprcdcnstilm. S L7Dato rcckilmeo xquum ncceste est collocare quastra/ rum. b c 87 Datam circumserentiam in ouoxquaviuistcrepo/ itscst. 87 In circulo quistcm angulus g in semicirculo est: recck existil:qui vero in maiore portione est angulus: minor est recto: Suiaurin minore portione estsUgulusmaro: est emo.- ? maioris quiclem portionis angulus: A^ccts maiorAistimmnoris -pero angulus recco uiinor. §7 Lx tertio libro Luclistis. Iinclrculopcenrrum linea questam oirigg-s mr:ac quastam lrnesm rccram non in ccnreo politaz in ouas xquas panes secec: per rectos eam angulos lecgt:Lr st per rectos eam angu los lecatun ouas csm xquss oiuistet psrrcs. 87Zn xc»,is circulis: qui in eircunkerentiis xeMlivus «nguki couststuut.'stbl inuicen, lnnk xquales: scu ast cen -rmMcostcltculefcntiasconstimanmr. s ck C' Si cuculum Imea recta ptingarapracm vero inc r / Merentis questam circulum secans tinca recta oucarur: quoknP angulosfgcil:ouo anguli qui lunrin alm u:s circuli portionivus:suntequalcs. L7Sx doc igum maniststg c:qm st a puncto circuli yne Unce reae ie ie contingam: Lr stvi inuiccm stnt xqua^g-fupcr varas cccras tineas circuli ocscrivcre partcg cou'. venir. Sx quarto libro Luclistis. Wnttsvgtum circulum Dste recte linee ^ vm mctro minime ",aio: existgkrxquam rma; Ii> neam c^ptgte oportet. ' cukum'q!i!nqu5gulnm:quoc1 est xquk larcrum arq; xquiangulum: deSgnarc non biscomicmr. S L7°Nsm oia quccncx sunr.numerorn rationesva costant LrprsportionabilitcsalilkralstsMtulinmrcircgsere--tiecquslirstemulcipticarionibussuisquictemexcesten^ tes:slG alternstim portionibu s luis terminum tacien E7 De stguris geometricis. Vpra pokrarum igirm speculationib^stgura-' s mm ab cuclicle succictc odscureq; prolaris:er s nobis verbum visteliccr vc verbo exprimenti bus strictim transtatis qucciam iterancla repe kenstactz:vr snkm^leaoris nossovscnritate oererrearur: FSest a nobis pori^licuius exempli luce inkusz velccrek: vicienrur. Su nt cnim s nobis questam kuieoperi in te^ rensts buic srri vslste ne«csssria:r suprasticris reiponstcn tiarGt svbsequcntivusconucnicmia.gst qux intclligrn-sta quieSB in nostrornm sritbmericorum rbeorcmstlb^ iustructusaccesscritrexpestitiori inrclligcnna vucimr. L7L»uprgstictnml8ikurest:fupraststIrccrgm Mearer/' minaram triangulum xquilarcmm constituere oportere .Scst minis iuolute. Suasterc bu ius exempli nota lubic eimus.Sitvata reas linea terminara.a.b.oporm igik super eam quxest.a.b.trisngulumxquilakcrum consti> tuerercenrroqn!stcm.s.spacio vero.a.b.circulus scriba tur. b.c.e.st. Se rurlus cenrro.b.fpatio svtcnl.s.b.cirm bis scridamr.a.c.f.v.7 ab eo puncto qnost cst.c.quo lc cir mli oinistnnr:ab eapuncra qux sunr.a.b.astiunganmr. Ikccrklinex.c.a.c.b.Sinigimr.a.punctumcenrrumesti d c.e«st.circuli:xqvsest.a.b.eiqnecst.a.c.rursusquon> sm.v.puncmm cstcenrrum.s.c.f.st.circuli.xqua est.a.b ciqncest.v.c.Scst.r.a.b.etquxcst.c.a.xquacssemSstrs ra est:?.a.c.Igimr ei quxcst.b.c.erir xqualis. Tres igik qux sunt.c.a.a.d.v.xqux kvi invicem sunt, xquilarcrum iZlMrk.c.s.b.mgngulum.Srconstirutumcststipra vastam recram lineam terminatam esm qux est.a. b. quos oportebat Aere. L §17In superioribus vero victruii est gst dattini pvircruz oatx rccrx linrx xqnalem rectam lineam collocare oportere L>ec! bmus artiserpertiv"obsmre vMMrcrq;. G; animrrm lestons quali intiostucensto oblccranrcs buius snbsequenasksurrcxplsnsnonrm poktis iirrersmm li nesrumB norulis pgkctacimns. Sit quickm vsru; pu-cwm.s.vLta vero rccca kincg.b.c.oporretiMturgc! pun^ L!tnn.a.'i!>cctcliiic;.b.c.kcruLM recram linAm collocare -rlliungarurxnim sv.s.puncroLst.v.xunccum recra linea ea qux est.a. p.Lr constimalursnpcr.a.v.Rccram line-' anltrianMlumxquilakerum qnost cst.st.a.b.Etekscig!, turin rccwm.v.a.v.b.rccrelincesst.a.a.N^.b.m.rce^ ero qujcicm.d.spgtioaurem.b.c.circirlus vcscnbarur.c. t.e.^mrsuscenkroquistcnr.st.spsrissukkm.st.f.circulus vescrlbslur.k.ir.l.Luonismigirm.b.pvnaumccnrruz Lst.c.f.c.cirmlixquscst.c.b.ci^qlrxcst.v.f.lstUtsusqm. st.punclumccnlwmest.f.l.l:.Lirculi:xquacst.st.l.e riori cquam rectam lineam avlcinsterc convenire. Lvst ni mis strictim: Tt ob ici confuse inuolutccx.Mos vero vr Mimus lecroris acl enoststioris inrclligcnrix accessum: quali quibulstam grastibus oucswr:buius veicriplione sormulx subiecimus.Sinr varxvux recrxlinex. E7Inxqmlcs.a.b.c.v.r str maior.a.b.oportet igika ma iore.a.v.mins:i.c.li. xquam lineam abscinstcre.colloce / eur enim sst.a.puncrumeiqux cst.c.st.xqua ea que est.a. c.Tt centro, a. spatio vero.a.c.circulisvcscribarur.e.cl.s. quoniam igiwr.a.poncmm centrum est.e.g.s.ctrculircq est.a.e.ei:cmx est.a.L.Sest r.c.st.ei qux est.a.e.erat cqus lis.r.c.o.ei qux est.a. g rritxqualis.Duabus igitur va risrecris linetsinxqvalivuscisqucsunr.s.b.c.o.a ma^ iore que cst.s.v.minou qux cst.c.cl. xqualis abscisa § ea qux cst.a.s.quocl cPortebSt tacere. <7Dis ttkain compcn6iosis:7 tamen buius artis rucli" bus per necessariis introcluctionivus lecror initiatus: st in aliquibus supcri^propositis vacillansto abborreat: per se similes ngiiramni vcscripriancs ii»e ois impcclimL ri reclamatione aclinu nircporest7componere. <7Deci iam ipsus est acl geometricalis inen^x traclitio-nemadarcbiranon lorsticlobuius olsctplinx aucrore Ia tio accomoclaran, vcnircrsi prl^prcmiscro: quorsinege nera angulo:um:Et lincarum.Er paucaoixcro de luim tanbus 7 crttcmirgtibus. <7 liritionabilium Ergo angulorn genera lumtriaboc est ikecrum.bebes. acurum 7 bav ns species Mouein: Tr!-gfcnzrnm'l!neamm:rrcs aurem rectarum 7 clicuic rentium.Ertresbcvetisrcimiicrcnriuin. <7'i!xcckusangu!uscsto:t!:igrLn!0s. iclcstrccrisUncis comprckensusstartne normalis appcllarus. Suoriens verorecra linea superrccmm iincsin Nans, paresangu los fcccrik.7 linea pcrpcUlcuia'is runcta mcrrt: essicicc re cnrnFrilum triagulum. E7D besangu!nscstplusnorma'!'s boccstrccriangu li posistonev'. crceilens.qr 7 k mangrillis sim banc positi one; constirurus suerir:perpcncjicuiaris extra sinitimss lineas babebirur. <7 Acurusautein angulus est compresso: istccts:qnist a recra l nea.-qug seclis loco fuerit: si^ettam lineam scciicln suam inclinationemciritscrtr: simil-Bcobivuione iste-eram linenn in occursum cxepcnr: efficiet triangulum: emi verpcn-liculrcem intra trcs lineas babcbtt. <1. imearum vcro genera sunt tria rectnm .circufercns: flexuosum. IKecra linea iracp est que xqualiter in suis signis postla rst:que xqnalirer lplanirie postra non concurrit. <7 islrcufcrens vero linea cst:cuius ligna er vtrsq; par te cnrua:s.7 gseinnicemdistamiz non concurrunt: quo signa liconuencrint:circullis non circus rens linea vcb; appellari. /Icruosaautem linea est. multitorms vcluc arbomm aut stinninum:cctelumqz signorum: ni qu rn simstimffine 7 arersiniorum agrorum sinitur extremitas Et multorum que similiter in equa linea mnr to:m?.ra naturaliter. <7 Ssimitarium igimr genera sunt vuo. summitas er plana summitas. Dum rasest se unclun» gcomctrica; gupcllarioncm: qux lon gimclinc latitustincP prorenstr- kUt. <7Dummitetisaurem sines linec sunt. <7Manaveiosiimm tasest.quclqualircr.lstectisu / neis vncliq; versum finirur. <7 Dmniuruaucin summiram; in vinriunclo vue sut obseruationesenorinis.Er Uqms enormis vcroc: qux per omne larus rccr s lineis conrinerur. :u-mcri.Duist multiplicatores.qrucl vcoiursorcs: acidu^ ius iorme spccu!arionem:qua; sumus crasticurr: opo:^ ter. <7Digitos vero quslcunq; mira primum irmileni icl c omnesquos ab vutratc vsqzaci dcnarlans summam numctzmus:vctcrcsLppcllgreconi'ucuerunr. <7 Slrticuli autem oinncs a occeno in orci- ne positi'Et! msinirninprogrcffinuircupanturtomposlri qurppi nu meri suntromncsa primo limircicicst. s occem vlcp ast lecunclum limitem.i.rx.cxtcriqz le se in orclinc scquenres crceptis llm kivus.iiicompof! r surcin sunr viguiomcs annumeratis 7 omnibus limitibus. <7 LDulriplica ores igitur numcri mutus in sc met plicakiooevoliiimrur.iclest iurcrciu maior mluorisrinree Uunr aurem mino: rusioris niulrlplicaro: crillir. Inrcr clum vcro nume. uo in sc excrescens miilriMatois aug menta lulc pir. Dimiorcsaurcm msioruin iciupe, mi nores constituuntur numcri. <7 De ratione abaci. Ikilce igitur prnZenric viri pvtvagoricil vog p ma secuti: 'jsblatonicxcp auctoritatis investi- garorcs: Dpccularorcsq; curiosi toruni pdilo-iopbicenlmcin numerorum vi constimerunt Duiseninl Muscarum iiiociulamtiia sy» pboniarum numerorum cxpcst>gccnsenljopcinoscat:L!uisipsl'Nt mamenti sycier- a corpora stellis conipaera naturc nume rorum ignarus oep:cbcnclat:o:rllscx signorum- Etocca sirscolligar. t7Dcaritbmctica vcro geometrica quist attinet vicere: eum si vis numerorum perearmccin nommancloappare at. De qua quia in aritbmcticiS7 in musicis igt victum eist.acloicenclarcucrramnr. ....... .. ^7 vero ne in multipnestlombus r pgrAti onibus 7 in poc>limis.aliquan»lo ia!lcrenkur:vtin onmr buscignkingeniosilsimigsuvrllliilmioescripscruntsi'' biquanljgmfo:mulgm:qugmodbonore;suip:kcepto:is menlam pxrdagrrcam nominabant: Duia kocquoa v pilwranc magistro prcmonstrante cognou rant. a poste rioribus appellabatur Lvacus. vr quoci alra mcnrc con ceperant: clius si qnasi vicicnsto ostenclcrenr in norin am omnium tianssunijereposscnrrEamq; subterius va bira sar niira vcscriptione formabant. Livcr pnmus L7 Superius vero digeste descriptionis formula IM mS vrriignk. DZdcbZr cni vrmrse so:mg'c>s gpices: vci uraclcrcs.SuiUami buiuicemoUi spicii notas fidi co> scripserant:vrvccnotula rcspSclcrervnitati.l. Msvc binario . .rcrria vero r, Mus. ^ duarrs surc quater nario.(. «2 .Dccat"^ MV ascnbe/ retur./l Mrvo .L? senario. I^L?epnmast septe l ngnocSuemrck.^ .IDcc vessocrona rio. 8.'Ista veronouensrio iungcrernr. si) ljgzveroinbni^ormc oepictoecculrasalfa ^ octrai sumcbanr stbi boc pacto: vr Iittera:que cstcc prima vnlta ki.L>ecucia binario. Tertia kernario:ccterscq; i o.cline na mrsli numero insignitas 7 mscripras.risr mo sortUl mt Dog7enkapiccs.ita variecenpulucrem vlspergere »n multiplicgnsto:etinstiuillenstaconsuerunr:vrlisuvvn^ rare naturalis numeri orlline iam siccos caracreres acliu gcnuo locgrenr.lllo a'ij H vigiri nasccrcnlur.M>:unu; auc numeru.i.binariu.Nnitas eni (vr m anrbinttlcls k vicru)numemsnon est:G; sons 7 orlgo numerorum x.in seriora ponentcs.xx.7 ternariu.xxx. 't quarernarm xl.cetcroscVinorljinesese sequcnrcs propvas lecuau se nominationes assignare constituerunt» icaub lineavero centeno inllgnita «umero eosstc apicesponeres binarm. lc.rcrnarium.«c.q«zternarium.cccc.Lcterosq; cettls ve nominationib^rrspon^x^vccreuerunt. In sequentio-' vero paginularu lineis E facientes nullo erroris nubi loovrenevranrur. tz7 Scire aut op; 7 oiiigenri examinatae oiscurereimul tiplicZst0 7partiencjocui paginulc vigitr: 7 cui articull slnrallmgenllt.lpla stngularis mulliolicator oece vigi / ros in llecenis:articulos.in cenrenis?Mm vero singula ris multiplicator ccnru vigitos in cencenisrarriculos iu millenis. Gr multiplicator milleni vigiros in millcn is: r articulos in vecennis millenis. 7 multiplicator ccnre^ «i milleni vigiros inMtcnis tVill.aniculos surem ur LDill.millrb^babcvum. tz? Deccnus aut sumet ipsus lnulliplicaror digitos in pagina. L.inl'cripta:amcnlos in millcnis.Lr multipli caror ccnru digitos in Mils.7 atticulosi.x. 7 muitipk'. LDill. digitos i.x.7 articulis in.c.7 multips. Lenti! mil leni. LDillia badev. Lentes vero xque lumer ipst^mul tiplicato: vigiros i.x.7 arcic uNn.c.7 milleni multipli cans vigiros i.c.7a,ticul'i.x.c.7eemenu mNlenu multi plicansviSlrosk.x.LO.c.-rgericni-s.m.c.Lo', l rorer- nii. vDillenu multiplicans vigiros i. -M.i.-r articulis r x. LD.i.suvrcnllet. 20 iI!en'i»Ne se ipsum multiplicas vigitos!. x.c.7 articulis i. c. 7 cenren l mi lleni multipli, caro: vigitos in.c.M.i.7 articulis i.LD.i. 7vccenum milleno excrescere facicns vigitos i.x.LV. milia.Lrsr ticul.l.c.M.i.Iagbcieoinoscck.Dccenusaulmillcnus multiplicato: centum milleniroigitos i.M.LD.miIia: 7arricut i.x.eD.i.feqzipsuacl augens vigitosk.c. LV. i.7grticulisl.eV.lD.l.bzverevcprcI>Aek.Lcntcnus auc millcn^se ipsu multiplicas digitos i.x. LO.i.Lr ar ncur.c.LD.i.supponit. M De viuistomVrubrica. Iuilioncsigic quatalidz ia crpre lectoris ani 0 mus itrolluctus iacilevaler vinoscere.Breui ter.7 eni de bis 7 tumorcnus oicturissiqnx ov scurainkcruencrint.viligcnrtlcctoru exercitio sstinuestiganstacomimm^. Sivccenusp scvel centenus p se: vel vltcriorcs p stmetipsos viuicleniZi proponant: Lvinoresamaioridusquo aclvsqz viuistsnk: lur sudtrab§cii:stngularc auc viuilorS vcce 7 ccnrcnirauk mil leni aut vlterioru: vel occenu viulsore; se icquentin iuin pra vlftcrentia cos diuillere opz. Lopolit^gur vcccn^cum Nngularjxfecunciasvclrertigs.rktvcinccpssccucluve- nominationem parriu occcnS velllmplicS: vcl compoliri! viuisurus est. Lcntenu vero imllcnn vel vltcriorcs p ve emuni copolltuimll viligens inuestigaro: acceifent-sum l i -Momttne pta visscrentia r p rimis articulis oiuiaenclo: ve! semn liaris appotins auctis aur Viurclcuclo suppositis viuiai polle pnosccc: Lentcnusaur. LV.llnguliscopollr"ccte-nuvcl millcnssdoc pacto viuiacre cognoscit. Supro igi rurvnoolUiaenio:nqSrctla»utucrlr:viuiso:iccocqua clu:7 qS supavunaauerir: scpolltis relemanclu. L>rngu laris aur vel vr alii volunt' munitu p coequsrionc ma-ioruc multiplicanclu.Lr vigiris qclc protecta disteretis supponcnljg:articulls aur ipertecra c p:cponccla:r pri^ lc morointegrsaclillscUa.Erloekorflercntis-rll torte ali quis lecluius lit: scgnlstcauit qS retlcjuu tir er viuicleclis. ; postis,noru noricia dic liber q llc)ldonari^ oium postismaliu quetlionu lcm pulolltaresincutantcravsoluct cuoclanclc verercs r enl ggrmrLsores ocii, mcsure quastraturZ vimiclio logiorcz rarior? ve sacereconsuerut.Llquost ilatirustinc logi^fue rit:scanu.Et qS in logimstine logi'appellare voluemr vl lubiecta vocer formula. Scanum <17De mensuris rubrica. Hxisci igimrpostismaticicauMmi vispccro-p rcs vuostcci menluram gcn ra pstituerur.qni buscuvcllcnrrformaru ggrorstG cmerircrur ^ areas: §)uorudcctunr nomina miitarm ns-am:act^dec?pestg:quk cacte i pcmca grgstlisgri birus:pcs:scmipes:palm^vncls:oigirus.miliarlu vero v.milis pcstu prorcsioiics badcrc sancitu?. Srgstiu auc ve.xxv.pcstesbavcrcpstzt.act^tnlanZoiuistiriminimS m qstracn.in duplicatu act^miniin^quatuor tin pestib^ >n Iatstuaine.7.c.xx.pestid^ilonqltustlnc protestitacl^ vcro^rar^roilatere.c.xx.pecjio^clulllk: act^aut vu-plica^.cc.rl.pccks explicat. Z rps ell acl ici quost inllltUim^cccstcre. De mmsura 7 lrrb "oimesionibrubrica. ^lauis ?r in lupioris libri pncipiorgst tir me q sura vestgnarem': libct tu spalirer dui^sms speculatoribus smissscienstoscdmiulin fron rinu; geomerricc artis isprcror? promstistimS quist llr mensura definire. Enlura gppeestcoplurim-rinrcr sexqualiu; M intervallorum longitustostnils.gcomcrricear arris meniuralis specu lanorrinc vimcnllois. isest longituclinis.larituZinis craMustinis konllclerationecoHkgimr.§tvtenuclesti'ilxesoluamr: Hkcctoplanosolicloq) vinoscitur. Svectucll quocllogi' kuciinesolu mensursnclo c?sckur:vtllnccpo:t!l^. tlaclia miliaria, /luminu latimclincs. -r alia qua; plura longa prorcnlloncoifcccarvliincxlns-gokpicte vcscriplio no-tar. ilvecrum <17 'lplenu ell quocl a grccis d r cpipeclonra nobis aure; pstracti pccles:quocl p longiruclin? latiruclincq; conliclc rsrur:vragro:u planities: , ccliticioru arcc absqz tectoriis operibus 7 laqucarid^ac ravularis 7 dis limilidus: vesuvicuatormula vocer. -Klanum <17 Solidum ?t ?:quoc! greci tlercon vocSt nos aut qua 6raros peclcs:quocl 7 longiruclin? 7 lariruclinc crsisiru / clmeq; davere coprobarur:l7lt cMcio:n:pilsru:pirgint- ciuqzmcc no cr macerie lapiclS:gl>aq; multa: vrmviccre norancsormulx. Soliclum ^EI7Depodismis rubrica. «ra ia repus e proaismaliu notttia quelliono vr proinislrn^ng^Ztjoacclgcrcrr oc inuetliga s aa peaarurespttulatione.prorin'' oicerc. De mgoms vcfo q ticur ternan^naruralircr pce-«lrt quarernanu;.-lra sunr vrcponencli tetragonis: r pe ragcmiscetcrtsqiimpriNits viccnau ecccnlco. LTDctsigonisruvrica. ont aut triAonorum genera principalia ter. s isopleumm.Isosccles scalcnu ortbogomu.am bligoniu.oxigoniurquoru oium in scernttbus lormas 7 pcclaturss explanabimus. i gngenm 7.x. subtrabanrur. relinquutur.cccxc.ror pcclcs km^rrigoni isopleuri cinda clum colligic.lpla cardcrum pcclibuslxxvi.conllat proten lltrSuiilevn^larcrisdlmiam.i.p.xv.muirlplicaricx crcuerint:cntbaclsi complcnt.aut si vni^ larciis ps terris p tcmarium:7 denarium augcbirur.ccc.nalcemr. Si ve ro summa larcris vnius pcrmclem ternarium multiplicabunt nonaginta rcaclcnr.qui superioribus, ccc.innctl. cccrc.sacicnt.iclcil aream snpraclci criMni.llraurpreaco? Mira sacra oepictio. Liber i, cccrc G Mleclvr«buiulmodi luestigatoib^aliquo n errorisrlscitlxnuviloppediak.Tiusd? iguur mgoni Zsoplcurl.t.panv^larerid^solidi mani sestatoiscxeplsrsuviicixm^.cstoaZeiioplmr' Itulus larem stnsula.xxviii.pedcscolliganr. Suorum k vnuper st augmentatircrcreuerlr.D.cc.lxrxuli.sum > ma psurger. kLul stvn^lareris numerum aggregaveris. D.ccmi.nad-nk.koru suprastripra. Medretare aream tupradei itopieuri per norsdis: vr liibiectx vestriprSis sormula vocet. cli'aokia; tzpe dicti rrkgoni.vt larerisvni p ustuiustV melura ingstt^ gs investigare vale gr:^ viccre.apett stlmu vabim^ronisexperim rk>. O»roponak itacvk area.ccccvi.pedib^ten Si -st irent.quor pedu planitudines lat^vnuquodq; col ligerepernoscak.Ducak ergo suprastripra area ocrics: er inu.ccrlviii.numem -stirgir. IlSuicst vnu addat stur. iii ccrlvim.bu^lume larus st supstrorcrir quiquagin r» v,i Luiffvniras sudducrasuerir.lvi.ilvktincluunk: SuorS st media ad luestigaucro.xxviii.stSr.Lor ttacv l» rus quoclaz Isopleuri pedidusMndltur. , L7Zsosteles aurc;:qui ab cuclide geometrice peritimmo vuo rm larera bustualia est oererminarus-lecuncius i ordinerrigonoru constituit. Luius st latera dtns impa ndusnnmerts.i.rxv. prendant pedrv^rqruordeci peda iia sparia vastsbgberx^emorak.^estatigiturvrquor pe Ses arealis carber'colligat:regramus. st vero medietas daks.boce.vii.persemullipllctk.xlviiii.nascenk.LN^ suramaurcm vnius ig^cr lsslpcrseidest.xxv.mulcipli r,ueris.D.c.xrv.ilvecicies:er quivus st.xlvuti. stpotue ris' D.lxr Vl.rcltnquunrur. Suorum st larus acceperis xxiiii.emnt ror pedibus carbcrum buius mgoni constat prorcndi.Llrea aurem quor pccles bavcarrstcest sacieda -vt inueniarur. Mcdiccas rursum vssts sumenda c idcst vii.quos.vil.st per cstbcrum iclest per.xxiiti. multipli-ces.clxviii. cstlcies'..rot pedum est lupracticri rrtgoni rea. - //'^ V // ckr viii XX xiiii t^De staleno. istubica. . Lalen^git ad enclkde tna kens larera r?qoa-s lia oerermingl?c.L>ed nos numero ci^ngure apra oabim^excplaria^pponak iraB stalenon trigonusrga lstinis cune^appellancui^mro rislarensoccliue.xv.pcdcslcollisar.bastsaur.rrv.peda lia pnorek dabere lineamcra. Suor vcro pedib^but^kriM ni caclietus.Ltcmvaduptendar: Istestat: vtquxrsrur. Ducamrergo minoris lateris sunia multiplicando i se stunr.ccrxv.De dasts Npse muitiplicck.dcxxv. crcrestur quid^in vnu copacris.llcccl.nsscenk.Dacigikse moucn doleclusz maioris lateris sums; i st multiplicari concie cer.Sux nrulciplicatio.cccc.numerS adducit. Suevidet; cccc. numcru st ve pri^st postra suma.i.oe.dcccl.avstuleris ccccl.rclinquurur.Doru st mecliu; sumpstris.ccrxv. Lr plicavis:quib^st summa dastsvcl.txv.mara ps auferat 'Moucnari^erit.torpeciid^loui^trigoni concinet pcilura: veleiecrura minor.lkcstsr vt carl?ct'.quotbabcat.pcdes regrak.Lhulriplicetur ergo min^lat^x st stcur lupra.cc-xrv-.pclcur.lsturslis -r augumerara minoris pciiurx plst sumula.lxxxi. pciucit.Dos st aufers ex in st vucro larcre. cxliiii. super lunr.Suox vuodenari^ec oinostiturlams totpeclcs bui^rrigonicarbe^colligcrepbrber.Zikck vero podisn?tali mo repitur. Metiar ergo carber^dastm vel. xii.rrv.ccc.consurgenr. Suoru medietate stpe vicri rrigo ni stalcni cmbadum podismatur: vrinfudmta.stMrs norawr. re dicreautp medicraccm carberis sumc adauct?. st vnum addakreruc pedes yporcm ist.x vii. Wcr eade ire tunsam ldestx.xvi.emvaduMinueiilcnduz. vncaccrgo buius ll r Gcometch MMkmeckuspercgtbemmv.lriiis.confurgentigarcxcS plcnrfuppllrarionem.quost parenter in subiccta lorma veclaramr. rv LOeeostcm rubrica. L>ncmur itgq; buius orkkogonl aperra; 7 ra c ram 7 per paris -r imparis numeri qusntika- re instituere Ascriptione afcribarur ergo in pri misparnume^catbeto.i.vi.cui^niestietatcin te sugumerara. viiis.Mcniut. Lui st ssm nostri prccepki normula; supi'dstgnats;vnu austrac. octonarius erit vasts buius ttic-ont.cui'mesti cras, s.cjtcrnari^ p catbttu multiplicata ssnr cp suprsstcin est:aresm cSpier. p calbe-rum -r basts c byprte mile pestsrura; line vll^reclama-rionemquistrus vicere facillimum 7aperrum nostresu-ttoritsris excplnm vsdimus.mul.iplicctur 7enimper suam quam>rakem mcstiecas bui^rrigonl calbe ki.-r sumx quc er ksc mulciplicanonc provenerit: vnitas aggreger erir yporbt miste pestalur»:eiste sur st sufcrarur v nutrit bssts stiP I>mus rci bxc lacta oeimpko. c per catb ctu vasts esticere pestatura; in lioc mgo-no pstecet.Liitmo supra carbctus.v.vicveroi se vucr. xrv.pstnuir.Duicst astc abstulero.rriiu.pgrcstier.quo ru mcstiu bast; csticir. isturfu; aut st vasts Htitsri eanstc. sstiecero vt!irat?:ypotcmisa; crplicsbo.st auc p carveuim bssts multiplicetstx.^grcstit suma.Do^niestieras e>n basto coplcr. xii L7W ve costem ikubrics. « lia in iup bac vestigia grastict» norma buius trigoi obis cicsto^ppocrecuram^:qtinus baccaute istagares rautists ma gst ist ast quost veststerat accestere.itcritaris neaabsPvubioxstucat..pponaturigik ciuistc ortkogo' vis vesmptio bifstL quatitgribus:gbusecircustgnat3.l. kStbct^viii.ypotcmifa.xvii.bastsat.xv.pcstib^SstSnck. Duc vcro q ronc p ypotcmife postismn; csrkcri:§tbElis suma pestal'repirivsleat:6mostrarc stustcani^.muttiplicc m^crgo fuma yporcmilep sc.7.cclxxrvi!ii.numer restun stat. Lui st qrer ebalistis Pkitas ivrrabak.rt viui.tcl-.qua tur.bo? terragoicu larus st igsteris.vi-.cc cxmcns. qd.st vii.stcopulaticatbcko.7 bast aggreges.xxr.cmcics.quo? vimistiu vasts pstirulr spgtiu guclccl atst d aggrcgat-i.a-xxiii.avstalcris.viii.sux cL carberu stnc oudio cSprovav. d7 Ztcm oe csstem rubrica. Liigncmus ire? iam victi orthogonii forma; v ? alus numeiox Htiraribus.vtcum aliquis ^vel z; maiore vel per minore mnucx hums tti gcnsapmarrastereviscjplinaincdgzturrnulo errore lsbak.Esto aseriigonuso:rhogonius?qnccirrun stsnr parvnus r ouoiparcs nunieri parbast.ucl.xx.im par vnnscatlreroboccst.xv alrcrucr vporemise.i.xrv ascrivatur.Smvastalis Zr pclusto ssin luprastltti nostri p cepri regula ingrensts est boc c per niultiplicarioni: oimi stievastsrrodus summe carberipriner.n.grex sepruz.cl.-pstractos pestes. Laibems at7 baststali limrinstigansti rone oucak ergo yporcmiszs summa in le.-r m.stcxl v.-^e stunstar.c istejruo:astiicigntcmbasts.M.ccc'V.ngscc tur.quo?rerragona!cl3ms.i.xxrv.iicrcepis: summas. UrrasP basts7 carbeei coprodabis. Lcire arop; 7 inne stigare:quo numero s seinuicecarbems 7 basts oistcnt Nic vero quis str.maniscstcmus. L>i igiruryparcmise nise multiplicare qluo::queasticci luxius cmbasta: !'ub> rrgdain.rxv.sulnmaregrcsti.Do^gntaxs oistercnna tener.i.v.quastrursusouabus uillec lu,nisv!'.rr.7.rv xUpernotado'll)oruni medium coplerbastm. L7 E>i auce cast m oiffcrenria hoce.v.bast suseraicarbe-' rumpstiruam vrcerniporin luviecra stguis' -v CIOe orthogonio circulo inscripto rubrica. Illum Lr qb arcbir? iuclicio in looc coste ortbo v gouio approbam; c:7 cuctistis oiligenrilsma perscruraroe prius e ronadiliter astinucntum: opcreprium ou- inius noccprerermirrcnstu; Est er fcpe.vr ollpuraco: in gcomcbica: circulus st boc orthogonio in lmbsnquot pestes viamtcruscolltgsr:re grzr qS ne vicius ignoraris restitet aligs le dicere: vreui ter instnusmus rc huiusmosti.inlcribar irgP circulus or kbogonio ocs lineas eius ragens.boc nimi? lacro carbo tus 7 balis aggregent in vnum er eurus stumnk eopula rione st vporemise exceperis quarirsrez-diamerx emcres iuncli.n.xlr.x.viii.i.carhetus7basts- xx. reststunr»>-x gvusst ypokemila svstulero.docest.xv.oiamerrum. v. obttnerr constiruam quost luvcus sacra vcstgnar stgurs- d7Deambligonio rubrica. Minius in orstine triaguloyambligonius av q mclistc insertus obwsuxsngulu;bsts oictus est:que nos iuccinke axrcP explieaiisto aggre-ckmur. Ma st viligens lector superioris nostri ooamrcri preeeptis 7 formulis istrumrs accesterir: mininie in hoc lababit. Lonstiruak mosmbligoniusrcurnsbasts.xviii numero ypotemila at maior.x.mino: ucro.ix.inscridsn kur.catbcrus smc.iiu.lumma instgniarur. d7 Ducatur crgo balls per carbcri dtmistiu;. boc c.xvils per binsriu;7.xxxvi.p:ostcunk.qux lumina cmbastslis lpgciiplsnimstintastuupicr.L;atcbilas!mncrisvrcs rone alto 11,0 huius ambligonil area rexur Biruirn bac quklumprg e summa in dac arceplanitust-nc.Li; mino rL poste contineri enstim as sstrunt n.cast- mm pcc le 7perb!narium:'vcl per lc7 0ltonariuin ouplo leluperan tcs multiplicari oportckc.Lr quatirarc: quc >:ac er musti plicarionc proucnlrcr arca pstirucremon vr. rxx vi. E est. xxxii.in ee colligerer an alis illa prcplatio.quis gs aurem buius ia oicri trigonii formas in plano dcstgngrc oisxo> nans dansquatirarcbuiusmostire iiiMcstiLk.tali rone: vtrcnninus minoris ac maio.is xporemile copulams psmoviircakrcrniinnmbssls.hoccsibass.xr.mmmet pcstibus.maioryporcmisa.ri.iiiinoraurc.r.m.sgmskur. Lo; melius boc qb numeris du- iniusrostestcmus.st ali cuius exempli tormain subi/ciemus. rvii. d7 De oxigonro rubrica. Lstar vr oicamus deorigoni spemlerioneqni r lexrus in trigono? oelcriptione sb eucliste no scgni gcomcreg ponirur acuti angulus vermi nalus.estoigirut origoniusmulus minoris la teris rcrminus.i.mino: yporeuiisa.xiij.pestibus rcrmi> ncrur.mNsr Me.xv.7 basts.ruii.mmsunk:m!uscarbe ri.7 ernvasti summa st ignorar tali ronc colliMrr. d7 Ducat crgo lsrcris minoris Hrikas per se.clxir. restu stsr.bgststtcrii.iniisstx 'ccxcrme it.cxcvi.nascent:6s v; summas e, iunxcris.ccclx v.excies, quo fco multipli rekcrrcrmlus vporcmm,,'^! e. -, cru,Mr.ccx) v nr mc^ rus. que st ve super i'.s copulara summa im cvci c.: iiunr reststui.cxl.ks^mcstietas.lrx.ce pcrnorak.qd pe, bastm visperlnm qngcsipsain se miner. Di anome vciobu^ ius suinma mmo: obliner preciiura: que per ic astsucta. xrv.---i.Mir.IlDos 6 oc minoris lateris summa x sc mul ripicacs abltulcris.cxliiij. supci sunr. quo^ teri agoalc ls rustquost.xii.ccathcri summa cxplcdir.Arecpclustoncm koc ino iucstigarc curaro vastsmcstiu; ouciropcrcakhe^ rum.i. vii.per.rti.7 proumienr.ixrpiii,. lle>ancsumma coplercareale buius trigoni paulmcnruni no ignora 0^ stribarur ergobuiulinosti ve boc stguia. ll z ^comerne §7 Secl quis ve trigonorum poilismali contlclerarione i superioribus diligentium lector» inclagini explanaui> m^:superest.l7lcacl tetragonorum speculanonen, tranll-wm saciam^succ inmm ve bis babiluri rraccamm. L7 Luacirgtoru.n.kkteris kicilior est collecrio.Sk pri^g, clem ve normali tetragono rglimocloorcliamur.Gmis igirur retragon^normalirer ronstitut^atiruclinem longi rucl inc multiplica nre arcslem constituit planituciinem: St poclismu stne vubio abloluit. °L>onak inocio tetrago nus pari numero constgnat^clest. viii.quos per se lari-kuclinem per longituclinem multipllcans.lxiiij. esticiaz rmvaijum viaelicct sub^oekriprl tcrragoni. u vii/. vir,. ogu tem in aritbmrcicis similiter appellatur. <17De parce alcera longiori, wvrica. Scragon^aulen, parte slrera longior ab eucli t cie quiclem rectiangulum. Loccl non xquilare^ tum velmiturg nicbomacbo aurem ereromeres vicitur. Luius quiclem longttuUo latiruclinL multiplicans cmbastsl lumme peciamramrlluc llnt pares seu impares rcrminuvcmonst rar.ilrmoclo pane altera lS gior tcrragonlls.culus longiruclo pccles.viii. lariruclo autem.iili. vel longituclo.ix.latitncio amem. vi. vel. v. vel.iiii.colligar. ^iij. M E> ultiplicet ergo lstituclo longimclinem iclest. iii/. vm.rrxii. nascentur, vocest arca parte altera longioris tetragoni provenient que bx stguramm oesormstione» pan numero «cp impari conilsnsre. L7L>crombo rubrica. Zs vero ia vicH paralellogramis -Micclos b rumbos.Stromboicles terragonos arbitra^ mur.quavis eni; sur angularirerraur lareral» ter a supraclcis paralellogramis viisiclcsntrm dis lunt aci numcranUi. Lstoageromb^quacirilater^n gulis latLrib^occcnxpeclatiirk lumma conscripti oiago niaul boc est angularis lincx virectis vis sena numerer quatiralc.cui^.vi.st p leaugumenravik.rrrvi. erurgcc-quosil erbasts termino p se multiplicaro subtraxeris. Iruis. Ovemanet. Doru recragonalc lams.i. viii.bui^ro dicarberum?stituir.Diagon'aur per cakkcru vucl^cm baclalis sume spatium ostcnclir.Vic aut sb cuclicle equa vadens latera:Lccl non angulos xquor nec recros ven^ nirur.Ilt vero ve.boc bui^formx procestio. vi. L7Derombon rubrica. Lsclicles vero necsngulos xquos:ne>V lars xq c kcns romvoiclcs oererminaclo.pposuir: Sue nos quocypatentiori aclim sormanclo nume^ rosP aicridcclo rcssavim^.Ssto age romboiclet lUi^vnulgt^.viii.pccjcs lcbmaurqkvar.Tettluvero.v» quartuvcro.ii.baruvero summam maximos terminos longituclinem oprinenresstpiungas.niu.cmcics.quo ^ rum meclierarcm seprenari^constirutt. tvinores amem tumulxin vnurcciactx senariam quanritarcrstciur:LUi mecliu tcruari^alllpler.que viclelicct meclierates. vi». ec ris-ll p se multiplicavunmr:l.rri. cosurgcnt icleil peclco areales tetragoni buius:vtinfraspparer. Viis. <^Disrmima cdscrc.x.restiruunr.boru.s.x.tetragonalc iskus l» sumpsero.c.pnorabo.boc est vigMnum buiusparatel lo grammi.orliiogonis: vr insraliripra perspici porci? ssrma. lxcc. v». M Oe exagono lubrica. Fggonus aurem orciinein sub sequenti vicen e «Ius inscrak.oelcrkdgk r cniin cxggon^. viii.ls lcralircr tnilgnit^Suem videlicet ocronartuz per se multiplicans.Inii).efficiam bcclumms S.lxiiil.quatcrducta in.cclvi.rcdundat.i)is videliccr. cclvi.li lateris vnius quantitas iclest.viii.visoucra adi,' cratur.cclxxi, .apparent. Suorum mediiuii L)l lumple rrs aream binus eragoni erplicabis. vus. L7 Dc MlllnanFuUg figuris mbrica. rkdq: sufficienrervrcuiterq; ve rerrsgono? oi s xim^ronid»-n^qarvrvepenrg5onis.-rer^ Zonis: LxrerlsP viffcrsm". Sis uaq; penra^ gonusxqs kadttis lare, iv^larcris vnttn se s>r ma excrelceme ac lerouc-a-^l^susqz cade subducrs: me «kcrareP bu^iumx mmpra embzidalis sparis panciit su perffcicin.LstomopcnraZon^slnguliobcnslaccriv^pe cies senos: Suosviclelicct.vi.il p sey^cro.rrrvi. ikeffi kuam.bos rcr ouctos in.cviii.numcnun perstringam cursi abstulero laceris vni^summamiclestscnsrinm.c.is. explicabo quorum virmdium Ii acceperoraresm M oe-stripti penrazom adimplebo. L7DccpkgMnolstub:ica. Est bcc vt expediamus veepragonl fubscqu p kis rone oporcec. Sui videlicet cpragonus ter tio bicinlerirm loco seprenari^quemadmodu; in imparium numerorum rcrt^iiaruralilcr or ffineapparek.collocemr.-rcnimepraZonns senaria quan rirare circii scriptus: cui ii lateris vntus sununam per se multiplicaveris, xxxvi. pernotabis, que scilicet quanti> ras voc est.rrx vi.quinquies oucra.clrrx.aci esse conducit- Suib^il senariequatitaris summamter ductam sub Surcris.clrii.Uvelinquami.bo? meciicras siipca.lxxxi. pccleemvaclum bu^eptagoni babcrc conducit. 48»eonietrlx MViq 5. u E7 Decnnagonoistudrtca. Mnagon^ aurem lingula per latera, vi. circu> e scnvsrur.quem vicle rccr senarium st leeuciu; stiper^oicram nostrc institucioms regulam p ir mulrjpricgucris.rrtvi.efflcies:qui septies vucn.c. viu,.summam prociucenr. Dis st lateris vni§ quanti-arem quinquies subrrguris.lxxviiii. Istcclcles borum mcUters c.ccpra st fucril:bui'^ennaMNi eiiibaclii xxx p-lj.leinispeuidus comineri manisestac. , MIstem vero oe enstecagano cxreristV plunlaterisstg»» rarum oe criprionivus st stcerismulliuserroris00"acu lolavavis-kocpacko vtin naruraliorstinein mulripn» eia vniuslateris summa:? in laac quantitate: que exos» latcrqli multiplicatione nalcirurmaruralltcr augum ransta-LaqemP laterali ligcuralicersuvstueenstaFccass emvacluinv tali ratione ex meilicraetvus lci iccr a» nias. Lider L7De circulo 'ikubnca. Sci quia ve s.igularib^ liguris stu-.Iioso lecrs-s ri sumcieurer visputtuiuius/ilvcstat veb:em rer ve circustucrioespere vel circuiiexpiicent^. isdonarur circulus ltgqz.xiliii pccitvns l cir^ custtMioncvestgnams.Diaincrrlis aurem.riiu.pestum prorer stonidus vescribatnr. Lnjus lermma «i pe^ ic cxcre uerir.crcvi.nascenrur.bospei.ri.mulkiplicMs.!;.clvi. estlcies.qn rum qugrrasteelmapars.lstest.cliltt. arcani buius cicli panstit:rkinfra polcst cerni:Fst allg bui?cic!i mueniensti cmbastalis sparis raris sumatur r cmin cercu stucriue qualitatis mcstieras. vcl.rpis.quecst nrcstieras Et per me^icrar? oiamcm istr st per. v u. multlp!icemr:r qnost er dzc mult-plicarionc prouenerir: enwastunl pan-Sit. LDt emiciclo. mv.'ica. 'Is vero v:cuib^inirismenn'svc circularibus d tbeorcmarivusoicemMmeccensuimusSemi cicloprorin^vicrmi. Lonlcnbarurage emici^ tlus vxriii.kN ball ? in semistiamctts.n-ii. pestes lasbe^ ss-cuius S arce psc!ls,n"lgno:ctur:cgli ranone ast inuesti geror, evulliplicemr ergo summa bs>is per rmestisme^ ni summam.? i.cccrcij.perucnitnr.? boc suinma in vcci es iin.ccxi.vrostucir.quorun' lumpra quarrastccima par re istest.cccrii.arealis complecm supcrkLirs:n proprer ag p«tt. Ec deepipestamm postismarronibus stzura d ruinast p:eiens vicra sustacignk.rcstsr vr vc montusss luccinrius astquist I Snc ti acrcnius. inscribatur cnain monsin veiticis circultu ccc.pestibuspostllmsms.a pestcaurcin vsq;i„ summi--larem.st.ccc.pcstivus prorcntus.pes vero montis ciu!'-stem in c-rcuim pestibus mil!en>s consignetur, Hbropoa Mr mosto tnquislMM.guor ingcra in vcc moiirc' bavean tur. Susst rsli cum raboneorsticnstummingamur-r cni pestis -rcamminis vuo ilii circuitus istcst.iccc.quorun, per niestiumst alcensusboc cst.stccc.pcr.stc l.muiripl,cz Vrtur.vrr.pccics bsbcrcmontis buius spatium comp o bavltliv.i^nl igitur summam !> in.trviis. stccc. vispcrle ns.cvni.in boc eSmonce csmprodadis.rekaiiridusrZ rum M!ilcnls:7 sexcenrispesttbus» c«. St aurem mons in pestis clrcuiku.u.6.? mestieraris lirmikione.i.st.c.in cacuminis aurem circustucrione cera ? lna ceru-L?.x>c«lcs kst-eas Ment. koc pacto iticerg siit sstlnuenieusta. lungantU! MUIN !upr^utcco-um liccui mu; Summx 7.liis.cc.naicunrur:quo:um rertta pgcre. istest.l.cccc.monris ssceniioncm boccst.o.muiripltcsnrc. v.cc.prosteunr:quos per iugera vlspztcicns.ruiij.efficlcs noy plusquam oucerms pestibus relistms. c-eomem» MMsnssmem strabWest inkqualis ll suerit in pedis circunserentjz.i.cccc.7 inverttcis oecliuo.cc. -r in verrere parggscenstone. D.ccrl.inleuilsreris aurem suspectu. D.cc.l.pcdcs badens iugeralis vero lira planiwdo koc modo est indaganda. Sumatur? eni; vuarum medietas circuserenriamm in vnumcollecrarumidest. Dccc. ? ascensuum compositorum pars media boc est. O. ccc. Lr bx medicrares per se mulliplicare.vcxl.producunr po dilmum scilicet monris lupradicri. Lrpedirura autem iugeralem facile iummsm secundum qusdoicrumelu-Vrs invenies. .i.cccc A LIL i! D t EsF »1 v L>I D ii i 9 l K !W Lr > L1 r L l r L r D r L r ^'IE rl r D 1 l: lr !r 1 x. L MIA I l' B c sD I L E DII cs c^c I: c lr r s tDLl ? i B.j L j D ii ii r QD >1 ! r 'Z 1 Lv r, r 1 '7 E. r D O l^ l: 'i stl) bv c L c . c c L. D V rc B rc il. xc D xc xcl xc >t2 'i lr 1 M l Ai ccs rz cc L' cc O'L «i cc L S Di I lr 1 Ll mc L mc L nrc D . I mc D l E>f >S D i lr ' M L! sre LS rc L rc LIDlL > ! / L> IS i 'i M LzB ccl cc BILID S / !L> l D > > l: ^ ml Ll Ai E7Luis kgirur veomnin buicarrimscrendamm specula tionumrationib''breultcrcnodaleq; sar visseruim^-r^e Itquu e vr oe vncisli 7 vigiraliinienlura. Lr vepuncro- mm rminurorumccrcrisqzmuiurlisslmr prommmus vicam^: Lvrravilcm 7 arti Iiulc.cxrerisP matbefers vrlcl plinis necessariam stZuram:quam arckita premonstiM-reoidicimus:cdrruri. L7Deminnrifsmb:,ca. Lrercs igirur geometrice ars indagatores sub-v tilissimiinarimeq; pytbagorici:cu omnia ccr tis nMrra? viuidentco rSnibus ad ca: q natura renuerer oiuidi 7 secari: vsP puenirkt: in genio pstgnanre ea qnalirer erant indiuistbilia posif nog noid^que varis visparriere. Lui^o agros peractus: xpcrncis.i.per radios:perpassus.per grad^: per cubi ros:per pcdcs:pcr semipedes:? per palmos vispcrlisscnr non laabcnrcs palmunr per quod viuidcrent: id qS palmo ccr min?oigitoautmai^:Uncia vocare maluerunr. ^n secundo vcro loco vigitum sudlcripssunr.in rcnio sta terem.idest semiuncia.in quarro quadrarem, in quinro vragma.in scrto scrupulum.in icpriinoobolum.i olla-uo semiobolum: quem grcci cerarem nunmxanr.in no / nostliquam.in.x.puncrum.ln.ri.minuruw.in.ril.mo mmru nomi nando posuerunt. IlDis ergo minuri, s adi n uenrisrnoiv^lVcdj^mulriiormcseisnorasind.dere.q V parum grecx:parrim cramvarbaremovis non videba mr larinc orationi sdiungcndc. Ena.pprcr nos rem ov scnrain obscuris ignorisqz noram sgnis involucre nolcn resrloco carudemnorarularinoruni elementorum noras ordine ponim^.ira-vr.s.vncixrespondeat.b.vigito.c.sta tere.D.quadranti.e.Dragme./.scrapulo.g. obolo, b. semiobolo.r.Silique.ir.puncro.l. LDinuro. LV.mo-menroascribarur.Dcicrivak iraqzbis lris:quan» dixi-musstMsm vncMvmrbocmodo. L Liusdem.Voeris ve geometria liber. Lomcrnaest oisciplina magnirudt nis imovtUsttormaructz Slcripkil» S conlcplarcuarperquavnlukmuscv rcrrntni occlargrisolenr: oocumeta cr viib-lc pdilosopdo?: quod larie vercrrc duncsto. Sin per diucrsas formas rpsi^oilciplinx primu cgy pt§ serk suisse psrtira.p ncccstirare rcrminoru ccrrc: quos nilusstuuiusinundarionisrpcinfundcbgr. (ussdlsci-pline magistri mciores an o.ccbank.La; varro pitlssinss latino? dussnolscaMexririssccomcmoraroiccns pri^ quide oinicstcnes rcrra? rcrmis polic vagarib^ac vrfcor danriv^popuspacis vrilia prcstirisse. Deinde tori^anni circulum misuali numcro fuisse parrirum. Tunc?ipst mesesquod annu mcrinnk:oci lunr.Tuc? vimesione; orbis rcrrc probabili rcici r ronc collectam: io sscru; c vr vtsciplina ipa georncrrie nome accipcr: quod per secula longa constarer. <17 De vtilirarc gcomerrie issubrica Tiliras gconrcrrix rripler est ad falcurarem:aa u fanitarc: Llda-am.sd falcurarc: vrmocclaani ci? arcdirccri.ad sanirarem:vr medici, ad ani mmvt pbilosopbi.SuZ arre ssarcrc? viligcri cura arcx moderara mercpquirim':bocquod pdicr vmistoniv' ma niscstu essenstis nostros magna clarirarc Vilucidar: 7 «liv supra: Sualc § cclu aio suvire.wrSP ilia machina supn» indagabilironcst Viscuterc.Etsspttttua ineris ioblimi tarceealiq parre colligere? agnoscere mudi facrorciq ran rs 7 ralisarcana velsuir.lM mndus ipse splacrica icrrur rorudirate collecr^vr oiucrsas re? formas sinbtt^sur crr cuiroe concluderer.vmdc livru senecapscnranca plailoso plais disputatione fo:mariir:cui ruuluse oelo.mamun di.Mam in geometria vriq; parte faremur cssc rcrle rene n 7 acrib^agirari l oiv^prodelse ea existimam- . iflec une c» sstmi viri eriam rpenism kuic lcicnricoperam oedemnr: cum lir gcomcrria siussa l numeros atq; formas numero rum.nora non tin orarori: led culex primis lsUem i«l» emckito necessaria est.qnostgst subtilitatem pstatkenuissi ma:? sci lclam vtililNn»:? zst excrcirarioncm valde ioci! Uissima.')» causts vero lrequcnrissime qucrirur:qr pmi» orcloest geomerrie necessarius. Ilionne -r cloqusrie.ex po rld'geomerria probat ln sequentia r cerris in cerra.pptcr quocl plures inuenias:ci viaierici stmilirer -r rcrborici i» greclianrurbrncarrem.Dialetico naqzsillogiimost res poscit vmm -r qui 1'unc potenrissimi gram3t-ci:qui apo, «rixis § xce mcucuniclem probanr -r «cire curdiiiicinarc:^ reroricus est lillogism':quocl latineinterprerak mcn r co reprio.Suem imperlcctum solent arrigrast nucuparc. er ipe vemqz prodar: cuius stt korme circii it': qnoc linns rertzconrince.Tulv'mostisstnitur:qucillacircucurres lines st essicigt ordem:qux sorma est i planis max pcrlccra iqua totspariacompiectik.Lr st quastraru panv bo:»s esskciar rursus qustlrsts rriangul' triangula ipa pl' xgs lakeriv'quam in xqualib'.? alia sorstta obscuriora: quost Lt operis seq oportet expi,nentu:I!^ec in planisma i mS xib^r collib' er impikopz.c,: per sol cursun, ? vmbrarum «notu comprcdenciirur:? per diucrgia aqua^r segregas. Vucast cpillolam Iulij cesaris veniam': quoer acl vm' arris originein pertinet: vr nec ipst' auctoris gloria pere> «: vr novis plenissime rei veritas acl uorinam veniar, quis^s ille ramen dane epistolam stucliosc large volue^ rirquivustlam copenckjs lnrroclucl'lueisti'maiorum vi er» in dreni percipiet. L^Diu^ulius ccfar issubrica. Iracerrim'? multarum gentium oominsro: u rrequenna belli milirem exercuit ampliori»; bellorum opcrib'»ugenilrrer ca illustrium vi rorum vrdes ingressus estrgentium populos rogantes recxpir txranos glastio interemit. §k post qua bostilem rerram odrinuirrveleris vostrum ciuiratid' oe nuonouas vrdes constituit.varo itcruz eolonie nomure ciues ampliavit. s interustuos noiaurm. o mcstisg limiru lic; diueria stc.ln et oiststa se ali'ad avo i nccles.c.i pcclcs.c.I.i pccles.ccxl. »n pestcs.cce.in veclcs.ccclxl.t pecles.ccccxx.in pestes.cccclxxx.in pcclcs.u.c.in pecies.stcc.ipcclcs.cl.cce xl.i pecics.st.cccclxli.i pccles.i.xx.i pecies.i.cc.in pcaes.» ccccxl.l pecics.i.stc.in pecles.i.stcc.i pccies.i.clccc.i pcms u.lk.in con spectu m longo:quo stgnis limitem aglm . 'Z fuerit tcrmin'cr,stus angustas? av aUa pre « longa crassus gcmina^.bi ouo limires niaxi-mi occimau' r carsto nomiari sunt. Oer mul ea milia pe6um concurrunt r nist in alpes stniairt. v-ui-clnnragros ocxrralcuacxrecraruin lincamm lnrcr se co «nentium. LDmncm menstiram dui^cultine mestia Ion o giorem stuelariore; 'acere dedes:? qliost lati" rustinelongi^suerinscanuni cst:q!!ou vcroin longituclinem longi't'ucrit striga. Ant tuncii pene mmorum:? pro estimovdcr s rax angustiores assignari sunt. Sca macra? aricia ampiic:i rermino concius-, k sunt. Liuntloca sudstcciua qnc acl ins orciina rium nonpertincnr:S; st pucnerir inrcrpos PAestati ^orcs.possicleanc. k non convenerit: reinacc Tia loca perfectiora aci m s publicum pertine, st.rotlstem s, posscssoriv'conuenit possicicnr. cssnr ailtlocspudlicsdcc:qux!crivun!urlilu» s ? pastua publica augustinorn;: qncvllo mS alienari nequeur: ? possistentkurcla aucrem" ploruin pudlicorum-aut balnearum.auc loca cslliuaappcllaiit. E»cr cxrra elusus e:qui intra stnirima linea; a ? centurias interiacet.lo extra clustis: q: vlrra stnikkinos limires clauciitut. A7 Dc conrrouenlis rubrica. aAnrrouerstar» marerix sunt vuelinis? loc'. c darum alrcra concinetur:quicqcl er agro visco ucnit. S; qin bis quoq; pgrtiv'lignsrc prro uerstx oiuersas kadent conclltioncs: vlpolut egocop:cvenstere:p:op:iesunlnominanste. rbnerasunr controversiarum.riiis. depollrioc S terminoro. Oe regione, vc tine, vc loco. De vomo proprietas. De possessione. De alluvio ne.Deiureterritoril.Desudstcciuisggfis.S «ocis publicis.velocis relictz -r crtraclml s. De locis la-cris ac religiosis. De a qux pluuie accessu: ? ve itineri" bus. ^nkrouersta c inter vnos pluresq; vicinos.» t ter vuosan in rigore strcetcrorullneronis.in rcr plures trifinia freir aligv'locis r ciclristni um ssm proximas possessiones:vu boc ncsciuruio eis puc aure orclinano litigas.-Ar^m in iuclicio iup poist,,^ qo nnlak:? tuc agrimcsor acl loca ire pcipmk: vc parestacta vericare buiusmocli litigium terminetur. Lnera ptrou rstar? ex stumine-bcc sunt:nS qS g occupatz agris agss:i;qS vw squxadstulcrit rcpttirionc no vedic.quc res accessitare ripe muniestc iutllnealtcri'vanogsquis illeiaciarqui npa; sua munier.g, st stuminis rorrcsaiiqn ra violent' Scui" serit: vc alum mutet suS.multo? agros tras ripan, occu par: sepe kr insulas cMcier:S; cassius logir.'pruclsrtssl mus turis auctor -r ist ex boc starult: vr gcqcl aq ladensto sbstulerit:posscssor aclmittat.qin.s.ripa suastnc alterius Dano rueri debet: Si vo maior vis decurrerit r in stncs slreri'alueu murat Iui»:? iiarinsulaun quo pcurrerit vn' «sG mosta stuminis maioris agnoscere vebcr: -ream in" eulam ipe s,bi vinckcavir:mi'terram tcpestaciue preoc, cupauit.qin non posscssons negligcnria:Seci renwcsta ris violentia apparet arreptum. ^ "" ^stivstcciss-ssm suas vercrminatiSes asm. « pt' clnstnlv' smsrabistanocksarislnsk? m? r qS bnstcio pcessa am ass-gnara colalc stimnt stuein p:ox.mo stucintcr alias ciuitates.-Iib.-os biisteio» gscribim'? gcqn»L aliucl acl stmnicru; mensoru vrimU astsolgcol°nlk:^zac,ravulariu.,»cesaUsnES ris subscriptum baberc vedeblt. ' QromeMar Der c smilis stidstcciuus pffitoisertracluliis a 7,1 Mnnams.q st rei publice populo romao guripstuscolonix: cuius line cucunclat: aur acl populum romanum pcrrincr varus no est in eiuorgaffignare poruc, >t.rcnianck porestace. Isgna limimz liiul u; i oiuerlis regiones stue s vocabula vicos uct posscstiocsbcc iunr inrcr urrosq; poffelsorestcstioniaagralia viuiclccla i moribus loca arriffa 1 ?>' agosz pctralstgna tasinuenimT Tlnuna monn rmios aguffcos.i. rotunckos s i est'igE columnc aliquos lis stgnavs arcloai stnales in partibus grumos.i. ogcric perr xr: arbores gstmiffas itacrasa lcrro Egerie nrscerie. 1 .ubi sors collccra avvtrisq; pamvus limirc laciunt. ite pcrrss la-cristcales arasu gbus locis arbores itacre starevlclenk.in quo loco veteres errares sacristcium faciebant. Sliioloco vix militares line l'aciunk:q termino muniunt.Llliave^ ro yexkcra morium.i.piolare inonsripx eurrcnres line; taciut.aliqn sepnlcbrastnctaciur.iS sepulcbra icqncla lstc q errreis stnib^mrretlbns plnrcs pcnrius ggro^r expellat.Ma.n.momnnema vo ninos restamur. Unr terminicursori, in effigie muli pstitnti s ccrra loca riui linalxs cuirabulx ucl noucrcc: qv rcgul ostruit. scorpiones vbi stncs vuoe»^ neatiseiungunr.S,ldrteicipcstrialoca-rv-^-' nikic Iumpstirutiiiugerrbus astignam irer uoraros rupis arvsrivus iminsm racris u..s >. c xi sacnstcales rumc>: rerrcm effigie lmig pstltUtoS. pe> rras mo'ares soueas ncl meras lacus 7 legonalus:? labri riss pstructoscalamones. Alkstuorics.n. pctrasqffra^ kas 7 /criptas:,! lfficanaiius agri qs Diius:quol spaciu; tneank. Mo.n.ois titulus i scriproi bus e i oucrus: qm gligbus locis no stmrlapicles scripri:L>; in effigiem rcr minop postri suntrqnoscurlorios vocamus. Usta; 7 ipff mores 01,io loca octerminLt.rcrml vero no vna mestira; inter se princnt inv nre augusto cciarx balbo mctorc: qui oium proninciav urentu! as vistinrir ac veclarsuir perci; rcstimoma stiprascripta stncs loco^ terminentur. Tknc.n.rerminlgbns ststesno caclbibcncla. S ist, onritiucrari. rAes.n.limires itincripn> blico knirc oebebnntrgdertraac llnistra stncs priuavs Diuiclunr 7 in incctw irer publicnm.bi ralcs no sunroivus locis, vricv!»b ocsrcrminos stgrium inuc« niri op; quoff ergo inuenrum pro loco termini obssnck 7custockrivcbe3t:urav unoaclunum virig>!tuk:7llno^ crestueanoraast notam. . Ic. n.sunr ccrrcleglS pluelncimcs, obstuatio s no.stper stgrmin oibus ccrmiiis poNuiin L aur aliquos cineres aur carbSes.m^ttstg:g,ir offaam vir? aur maffas terri: anr acs:aut ca?ce:anr gipsst gut vas sterile lnuenimus:q>5 er quivustla taro-' tragmi nibus pculcabanr arqz ira diligenti cur - pstrmavam: vt strmius starer.talesergo stgnn; int dnos inr quos stncs rcrminabankfaciebankstminiucron sunroibus locis.s; inliNits fnnr mulra alia testimonia lege feliciter 7 inrelli gere curabis, qui irclligct qst visteragio^inteloc; 7ccr tamen tolere por.prustentia tn bi mensores ba" cre bbet qmiusticaturisunt7quoLaclnocastt:urp:ellaro:es in iu clicanclo at mesore bonu; uirr 7 iustu; ager c ur nulla am dicione aur sorstlbus moveaturr eruarc opinione merr-.s 7 moribus o;:est.n.arristci ucruascustoclieclae. crclun Ium illi qui lklla.p ucris opponnnt.qclI p impuelcriam gcia per imperitia peccat.ai!>urans crgo m pfeff oe qUk gualirer.p ucris acliiciuumr per prroucrlla argumcnra.l/ ter 7 oiccrnralitcr er stiperstue meriri arristccs cogunk. l; turumbociuclicancli bomincin arristc. m oportebit. Eliiiomina agrimensorum mbrica. Igtni LDarci Lcsaris ncronis inffu Inii, Iun,, Llaufficx^arisiuffu /ronrini Siculi . flacci Hivpst Igmimeliclis Lau>. Sgcni Balbi Tiberi, cxsaris iustu drbici ffOensoris Tongini sTstmperaroris. Scuerini:7 Zlnronini iustu imperatoris vcspsstani imperatoris aclriani lunn imperatoris rraiani imperatorrsaugnstmi cxsans iinrv^c^rsrid 'Mercrnis * ^ imperatoris Valentini',,,' luffu imperatoris Tbeoffolij iussu imperatoris LIrcbarji, «ustu imperatoris bonori, iuffn imperatoris Lonstanrini iustu f7liiomina lapiffu; stnalinm:7 arcbav politScs rubrica istrogonins rectus recmm angulum mittit Isopleuros rccrus sub constitutus, isosceles Tcrminylinc ry rkrmlcnns stue exagincus Spatula cursoria S rcnlrclams lateribus Tcrnnn)! inueriu; pollt9 Lumbus stue trapiclens item spsrula cursoria ilosceles quaclnstnins Lolusttlgonusalig iacrat. item qclristnius ildaralclVgram'' pecagon''. TerminygamZty . Sragrneus rminy lincarp.i. qannn,- Lcpkagcnns itcqstristni^ Linagoniff Moucrca Termin^grcca littera lcript' Limmarus Terminus i summo acutus Lenruststy Lircular^pam^ite acuro stlff Triuorrmb ite perram"uitepcise llmik Zlmicrrculy Lopleffromby anrpligincs rIaroberin-Llmicirculus qnastrarus Truffeus Terminus agustcus rminsaugustep, mo acuV Terminycursorius Tapis molaris Termin?kristni? , LDonnmcntUM Lcpulkura eu; offiby stnalc LVauspley Termino in latercul' Slrca ffnat Tcrmin quaffristnius Tippus Terminyromnclus ikalastones Termins mi subiaccrangulA Terminsqua^ristnis Lives ur ns N quiuis piectuse? geometricus lege ista oia k que capitulata sunt suvtcrius.Ma in primis scire op; aritdmerica attcm: qux continet numero? eas ac oiuistones. i. qualis cst oiff, nitioac oimsto veparibus iparibus numeris. Sualis cst copostt'numerus: rqlis in copostrns. Sualisestperscct-'numerus: -r qualis ipersccrus Sualis est oiuistbilisnumer':-: qualis inciluistblt' Sualis estpricularis numcr':r qual'supra psrricns. Sual' est iupst u'nnmer': -r qualis viminuriu' Sualis est multiplex numerer qualis strb multiplex Sualis cst sol>ci'nuinetus: rqualspdericus. Suomo innenta est geometria. Suicistr geometria. Sualis est rectus angulus Suevtstiras. Sualis estacut'angul' Sui orclo prescriptionis. qualis partita mSlura str. Sue lit ro preposttionis quanmin tradit stacii' Suevispostrionis quiststracus Sue oistridurionis qnicl stnc climate Sue descriptionis qutstcenlua Sue demonstrationis quici leuua Sue conclustonis quici arrapcnis Quakest recta linea quici iUMnm Suascst supstcies linee quici centuria Suat'est viuitrica linea quici puncrum Suor sunt errremitatu gnL quici cst diamcrrns Susr genera Mmirarum quici paralello g, amum Suor genera angulorum quici stgura Sualis cil planus angul' quici circulus Sualis cst obtusus angul' quoc lpartes lit diuillo Sualis est debes angulus I scis ista oia aci plenirncknernosti loco? legre s garione. llia g ignorat regula dui'artio:mui ta oppouur i'alla.p veris. D Suomo iventa est geometria. M> Inucnta ce geomerria aegyptis vicut ,p necessitate termino? krc:qnos niMunciatoistpe infunciedat. D Nnckc vocara strgeomerria. LV LZeomerria nominata L aciimestone ccrrx:p quavnt ustuiusq; rerrx termini declarari solent. D Suicistrgeomcma. LV L>eomcrria 5 oilciplina msgnituciinis? stgurxrq ssm magnituciincm contcnrplatur. D Ocuxstr intentio. zM Intentio eucliciis duplexeaci oiscipulu respiciens^ Lacl naturas reruaci oiicipuiu respicies: q: opzeu svdis vtl isagogicis icipe.p taciliratep brcuitaterr eo qS in qSnib'ov doc nulla sttdiffc ulras. p re? mmra eo qS pl)istcc scierix:r rimci liuc piarois vo-crrina plurima geomecncx oemostrare noscuntur. D Sucvtiliras ^ ..... LI) Nrilitassvts hsacttsum')gcomcmetnplexc.gi proprius coster. , . ^ ^ .. FD Loclex iste ss; diipZne; cvcliciis ce sr: l>m vemostrs, tionc vel inuetivnc alio? plemcx ce oiciwr. O Inquotparresoinluikur. ... Lv Diuiciik cocier iste i qmor vres! cpipcciis: marilv meticisun ronalrv'-r irrgriSalib^iineis:? in/olistls D O.uesuntinvemostsgtSegeometrica. . LV qidropositio oisporvistribulto velcriptio oemonrs kio.g conclusto. Lstaraut nobispsunclissima quacis; traciere r vilcipUnsz:q acioiuz nsMsx-tS re? mteM^ te Nisrime wneprincat. Magnus gppci dac scca s, nct^ L:st gs no nesciar:qv donilss Vistmira i lub scia caciens aiocV spilnitadil^ pceptibilprnua naturae:^ su? substa tix decore ppctuaustnitnvc, o maliric occicc? nullis pro prijs pncipiis nixiiis; na sxcrransad oi dcstnirocprinci pij tanH aliquo stgnooprimcstgure iprcssa coponirur:r erilloerroris stucruretinck.Ma; nimia; cupiciitare irxq; imociica;effrenationeqlrqcia;rcctoraius puraintklllgc ria roborar^astringit. Nos tn q de numeris a nicbom a> co oilffistus visputara sunt vel a varrone de mciuris on ia luk moclersra drcuikate collcgim'. !kt qux nanscurla veloci"ansustio.'cinrel!igctispstabantacliru: mcstiocri aclicctoc resariin,': vt aiiqii sci curcicnna; re? nris etism iounulac vescriprionib^vtcremur. qd nobis Gtis vigi^ lissac suciorepstiteritifacile/obri^lector agnoscit. Lt das quociaiittnSixqlirstisformastcpgra bonitate lgbo:sn> cio coltegint^:ipse leck r.pbablt:qux nos ex g> ccax opule ria lrs? in romanu o:atois tl?c!auru ptrabim^: Si q er Dvttnms emitieint ^silentissimi lucjrcro p N06 t§ provms.Micies igik: vr ra; magni laboris cffccffkuu rm lectorerpeltercramcn.Meciauiesprocjire pnvliess nlst oocrx inixaci stipulstSenilak.qLnidilmiru vicimbber eu rci op^quoci laplc inneca xscgk.-no auctoris. S; alico incubat arbirrio.est.n.Sapsa numero? casr oiuistoncf Eu:qux vera 5 cogni-io/r integra coprckcsto. qv bcc g spWt.i.scmlM; saplc.ci ocnulio no recte pbilosopdsncig DKautegricI,mctica.bec.n.cuctis prior cmomoquoci ksnc stlc bui^nuncians molis ocino: oe^prims; sux ba-duitrocinatoiscreplgl:? gst banccuctg ostituit:cium'a; rabricara ratione p nume? assignati orciinis in vcn ere cS corciiaz.sz boc quoq; prior giitdmetica dcclarak:q6 que-cuqzna prroraMibis sublae? stmul postcrio:a tolluntur qv st posteriora percanr nidi! oe stam prioris sudstanrie xinurat: vt alal prius k dole. -Mz st tollas ara! stari quo- nostri o:sinevicieas pmu ngsci multiplices st ouerrZ tur.-rin dis ouplices pri':S dincmplos incieqclruplos ^aaeucieorcknLpscqntes.lstutsus multiplices stpuer tanercr dis suppartimlares orienk. Ex duolicibus ocie: scsqualteri.Extriplicib-scsgrti,exqcituplissesqqug1ti^ rcrerc ln duc mcM.Er suppatticulariv'vcro oucrsts stu, partieres nalcineccssce iravter sesqltero nacac slwbioae rics suptriparEsesqterti'gignarvtex sesqqrto sswer qcitlpsrtiens.istec^-utposttz ncqzpuersts p:io'ib' parriculatib'multiplicessupparticularcs oriunk nascent.ouplices erunt r Deabus duplicibus sticiein Leometrl» fecerisrrrlplices procreantur. Tt'oe bis quastmplices acqz >n instnimmoes »o:ims numcri multiplicessexpli cavis.Il i qstem quoro parresvllra qua bris e seepexc kinc:lupstui nominantur: vr sunr.ri,.vcl.cxiiii. Di eni iicqulstccui"compost rexres rori" termini multirustine lupantur: vt.vii». vel xiiis.b; cnl octonarius pte mest-.a istcst.iiis.b; 7 quarta; quocl cst.is.k;-roctanam.i.Sukcunrxin vnu;restucre seprecoUksut minore, s.luma^ toto corpore pclustcntes. 'ilvmstis quatuorstecim bab; mestierate istest. vi,. babcc septima istelt.n.b; quartamstecima istcst.i.Suest ivnuz collccrx nnrocnan, numcri lunis succrcscik:roto.s.termi-noininor.ar.i, qui bocmosto sunt vt prio: ille quc; lux prcs llrxanrrtsles visteantuntanitz stgs multis iup na-rura msnid"natus: sur oupliciconiunctus corpore vel quist vnqua nionstruolum namrx in parriu multiplica rimeluv-ipmr. L7I!le vcro mino:es:vt st naturaliter quasta necestaria xre vetracrarsur min"oculo na lcerek: ve> alio currar"me bromamrale toriVu? pleniruclinls dilpenstium sortire rur.intcr bos a^t vclur inter (quales inrkpantias me-stn rempamer» linnris so:tir"e ille numcr"g periccr" vr ec virtn is. s.cmularor.Llui nec iupuacua progrcstrone vi> igitur, nec prracta rurlus oiminurione remittis. S; mestictarts'odtinet:g luisxquis parkiv"nec grassas ab» stantia.necegetin opiarvt.vi.vel.xrviii.Maq; senarius b; prcm mecliam iclest.iii.-r rmia istcst.ii.7 serram istcst.i.Suein vna suma strestacte.stntistest.iij.ii.t.par rotu nmncri corpus luis xtib"inucnik.xxviii.vcro babcc mestietste.xiii.7 quata.vi,'.? septima.iui^-^""' ii.vigestmZockguam.i. Sue i» vnu rcc,s«srom privus korpus (qiiabunk.in vno.n.iuncre xrcs.xx Vlll.emciut Tst anc in bis quoq; magna Nmilikuclo vutiltis:? vitii pcrfectos.n.numeros rare inueniesrcosq; facile numera biles: quippe qui pauci sum:7 nimis constanti orcline procreati. At vero luperstuos instnitos repxies necvl / Iisorstinibus pass; iorstinateq; vilposttos:? a nulloccr ro stn e generatos. Sunr aut plecti numeri irra stenariuz numerum.vi.intra ccntcnarium.xxviil. Inna mille-narinm.ccccxvi.Intra oeccnr milia.stiii>7.cxrviii.Fc semp bi numcri vuob"parivus terminantur.vi.7.v,i». Er scmpcr alternarim i bos numeros lummaru stncs.p venient. Mam 7 primum.vi.incle.rxriii.post bos.cccc xcvr Istem senarius qui prim":post quatstiii.cxxviii. Istem octonarius qui iecunclus. Llioris vero inxqualitscis numeri quncx sur m partcs.est.n.vna quc vocatur mulnpler.-alia superparricularis.Lmig sup partiens, quarta multiplex suxpanicularis.Suinta multi-plerluperpgsilens.Mslgitur gncp maioris partibus opvosttc sunt alie quinq; parttsrqux minoris stgi lgrim spebus bilstcm noivns nuncupemur ioia rssr prepostri onc vistsntes.Dn.n.snb multiplcx.md mppawtularis sub suvpgrries.sub multiplex lupparticularisssub mul ripicx suppgrtiens.in prima pte st multiplicatur nume rus mnlriplcr vicik.In ssa parte supparticulans dicik. In kcrria suxparties.i quarramultiplex supparticulans In quira multiplex supparriens minoresvo numcri ali qua pre vn"subsens atP iclkp parres k; maioru norma multikiMinkq; protenstik. De puribus 7 iparr'bus'numerl's.ikub:lca. v L lcriprio aur quc luppokcse bocmo facta c: qua toscucx in orstine pariter pariss numerorss rernari"»»-' merus multiplicavit: quicucV ex eo.proceeaii sunt pmo sunt veriu orspostri.lkursusg eoclem multiplicare qur nano nari sunr.secuclo loco sunrcostiluti.isLost vo quos septenarius cxrcros mu!k!pl>cans.pcreamr:coiclcm ter / tio pstituimus lococarq; icic in reliqua oescriprtois M xstcimus:supcri"igis vigcstx oestriptionis bxc ro cll: st gst latitnclinem relpicias: vtnest vuoru terminor»; vna meclietasnpsosq; rcrminos iungas: vuploscos.ppna nieclierarc reperiesrr.rxx vi.7.xx.laciunr.lvi.quox me-qierascst.rrviii.7.rii.li iungas laciunt.cl. quorum.rr. meclictan mesti"corum tcrmin"inucnik. De vero vbi ou as mcciictares dadet:vlrcqz exmmitaresiuncte vlrisqz meciietariv^qualesstunt-vt.xii^.xxxvi.ouconiunxc-risstunt.rlviii.bo? ll iii-Mratcs stbim^tapplicaneris. iqest.rr.7.xrv:i!.icie crir.rllrqzinala parte larituclinis coste orcline qui stunt numeri notari sunt: ncqz vlla i re ra:io vtnusq; latirustinis vilcrepauit. Isteq; eost em 0: stineicxterisnumerispnorabis.-Ccboclcomforma pa riter kparis numeri stt:l quo banc.ppriecarem ec supra ia victum est.llvur^us ll ast longirustln§ respic ias: vbi ouo termini vnamestietsrebsbennquoststter multiplicaris cnremirariv":boc str st mestius rermin^sux capier plura litaris augumcra.lM ouostccies.xlviii.saciunr.st.tjixvi LDesti"vcro corn kermin"istcst.xxiiij.ll multiplicet eoi' e!e;mrsus.st.lrxvi..pcregbir.Lrruri'usll.rriilj.i.lxlvi. mulliplicemrfeciuk ii.ccciiii. Suox mcstl"eermin"istcst. xlviii.st in semeripsu oucamr:ist§.ii.ccciiii.p:ocreanrur. vbi aut duo termini vuas mestierates inclustunc:quoa stk multiplicatis kxkrcmicatjb":I?oc iste rcststimr in alte-rutra; suma mcstictariv"ouckis.Ducstc ics.n.lrlvi.ml kiplicatis.i.c.lii.procrcank.duxvcro corn rncsticrskcs.i. xxiiii.7.rlviii.st in scincripsasmnlripliccnruneomcm. k.clii.restitucnt.atq; boc ast imitatione cogriarioneq; nu meri pariter parisra quo participatione rracra bcc cr reco gnostiru, in8enerat,.pp:ietas.Lrlai,o velaverelon / gimcbnis caciem ro ocicripkroq? notata c. Sua l re manifesti, estroru numern.er suaio:iv"ouob"eexcregtu: q6 corn renner^pricrares. Sin aut naturaliter 7 ssm.ppria orstinis psequckiam multiplice ixqualltaris spem cun-rrisp:cposuim":p.'imaq; spem ce monstrauin^rlic; boc nobisposterioris opis orstine clarescat. Dicqueqzpcr.-stngentcs ist quost.pposuim"planistlme brcuiterq; do-ceamns-llt.n.ralis oestriptiol qua ponatur in orstincm vicy ast denariu numerum cotinui numeri orsto narura-lis:7 secusto verst, duplus orsto terarur.rertio vero rnpl" Suarto aut quastruplus r dsc v iq? ast vccuplu. Dic en r cognoscemus qneastmostu superparticulart 7 luperpa: n enri:7 cucns aliss princeps crir spes multiplicis:? que clam alia stmul.spiciemus:? ast subtilitatem tenu"stma 7 ast scientiam vtiliistma:? ast exerciranone valste,ocun vuo ftna latera prsposttt s ciurangulSabvnoastve^ Wup^vM^^ rio super vastat vt quaternan"vmarlm Lern lernu bus: vr scnari"ccrnariu quarrus quarta stlernarunume rostrate rranstestar vt octo qrernarin r per canstc cuncn it quenlia se se minoris pluralitate procreant. Ivero tertius angulus insplclamrmui ab no s ucm incboans longimstinclatilustinccpttt cenis airrin secus numeris errenstir: 7 oic cum prima latimstine 7 longimstinc coparctur: m plexspecies multiplicitatisoccurnt ira vr 'stacompara rio per oecima littera stak.bi cx se numen lupabor ss; l a rilirag' sacra Nal'r-Menone:lsd:imus.n.p:>muduoblu perar: vr vnuttrs:kcostus km quarernano: vr drnanum rro Lirari": Lerri^ertiu-n lex: vr remariu; noucnarssr ad eu dc exteri modii pgrcssionis gemimur. Sn Z r? nodis sc; ripla namralisoviccik iregrirasmibil nodis cma ma-cdinantiv^:vk in ipso mcxlnlo descriptionis apparer. Igsgurqrriangulircrminum:g Ldeci nnine s ri gditatc notat"E:7 longiruclinc: que in qua dragenos terminat: velir lnpiond^ompara, re p.x.lirccre fo:ina.ppo:kione collgra qdrupli n'multitudine pnotabit:bisetzS ordinabilis iup lc progressio: vtv:im^primurriv^supet:vrqtuo: vnikarc. L-cudus scSm lcnario vincar:vt octo vinariuiu-rerri^em vm noucnsrio transeat vr duovcnariusrcrnariu: 7 se-qukrcs stimule rriu Lsemp gdicctaqualiraretranMrant. Ltstgssuvrerio:csaspiciatanMos:IdcmpoLsmultt plicicarrs spes vseitd oecuplum dispoiirisstmaordinat; oncproucnicr. ^ . Igsveroibac descriptione mpparticularcs s regratuali mo rcppikt.Gi.n.scbm angulum noter:mi"est initi» quatcrnarl^: eiq? stip lacer binarius arq; aci duc sequente; gs accomoder ordincssesqualterapportio vcclarak. MI terti? secundi verius sesqualter k:vr tres ad vuo:vclscrad.iiii. vel no ucm aci sex. vel.rij.ad. vus.lrc -ri exteris qui sunt i ea, cie serie numeris talis coniugario muceatur: nulla varie tttis'-Mmi!imcio suvripict.cadcmtamLsamaru super gremo e in boc quocx:qux in vuplicid^sutnipuiinus.n. primn idest ternarius binariu vno supar.secundusvcro scSm vuov?.terri?cerriu rrivusrr oeinceps. L»l vo qrr? ordsrcrriocoparek.vr.riil.gd.iii.7 eode;cxrcros ordine pscctcris: scsgrcrtig cSparario colligik: vt.uis.ad.iii. vel vi» aci vi.v?I.ril.ad.viiii.didcsnevrioib'k!ssesq, terris coparatio osemmir.Wrcrcrea eosg suv ipsis stir-. kiilic szcrens sequeres versus alrcri?coparaueris. Sks line vllo ipedimcnto spes supparricularis agnoices.koc aurkbacL dispone oiuinmquodocs angulares numeri kMSgoni lllt. Lettagon^aut or:vt>rmissimevica:quocj A Aniris mZii» perge qucso »5 mediocri B xzocenim Mia'erant tionabilirare a Amtif malq que quomo viffcrenrie vr ipsum v rve indiui mortalis.bxc rir:cx ali nuurri; r accidens est r Sinitis mZlis nomen quod zramarica in viciua: qux a riarib?vicens lam quxstr cunrurqux mo argumen e nibilenim mas funr in passibili caloris arcy qin aurem inueniri non 8 CiusdcBoe ici quocv d est aurem sssir.vlis quoniam i gunmr.nam Suocirca igitur rcrrio^ proposttionu k nullus, kere sunr igitur vrvelocrare l nomina km nacy vicere inquit non m numerum ve lacia.cxwc pamculariv? n nam quod vmime nccnon crir ld'lsseglstmm. o auripa cadat sto-rnSiusto batur.iic de verltacem sliucivero possenrcssc q secontincr cc aster» q> icieo cicmquoct r becest stimris-r s eiusdem ve oppostlioc fucmulla r ciusciemboe. strmariones veritas u Linitis malis tionuquidj probabiles uu malest' venientia do.sc or cr lati?exp!icabimr:quxm vno cqualss numcri multipli cat:vribacquoq; vescriptionccst.vn''.n.scniclvn?est: i eporestace retrggon?1stcbls duo.iiis.sut.rcrtfr-s. ix. quos in scmctipsos mulriplicaroes p:!„!o:c1iio ptccemr Lircu ipsos vero glur vclcstcircu angulares longilulcri numeri sunt.logilarcrossur voco.quos vno ie iupgrc, Meres numeri multiplicant. ircu.mi.Mvuo mnr-r sce: s; vuongscunk exvno-rvuod^cuvnu vismnlriplicaue ris.L»; vnttasa binario vuirarc prcccoic. vi. vero cx vuob^ trib^.dis.n.kres sensi iil fcclcjum.Mmeiiarium vero sex -r vuoclccl clauoc vrilia polirnt aci miradiliaq; ppedi:qnx lterim.ppccr castigata; irrociuccn sti brmitarc ignota ce xmirrimvs.Uunc vcro sst scquL riapropostrum converramus. E7 ^lenetiss Impressum Vocris opus p IoZnc; 7 Gre goriu de gregoujs ssarres sxlici eiam aci stuL vsq; vclucku accurakissltncqz emeciaru Lnno bumsne rcstaui srrokus. i4yr.oic.lS.Augusti.AugustinoBarbgcstcsSttc!M mo Llencriarum pruicipe Lvcm pu.rcnere. S<9 riusrernariu totumpluiH mckica mm K aguntur 6 enim tas visus uuuu quastxprio rravibus^ quastaznae v TiuMm est lucer Est enim stomuscst x Liustlem ve rarcmrtribus ipse wnrraia vel cerre ve aliquo enim ista 'rkurlusw essepostlnr quocx; rali quoniam I)S aa Arirbmekica probcmiuM pariter par bv cc nsrueglirer clumctl illuciigikur stcl portionem Boeris ve Lrvnus cc viaronicum rracorstis^ speculativis ststurrstr rumest quirmiam 88 quinqzroni semitonium critisitur bb ncreviczeug. DIL0S ii modi: per cst.b.lr portionem kk vuob^ linei» koue.rcue per varum ll tux>r»^vero Ikcsurcm Sed quia Dcocrogq