i
i
“1406-Likar-Merjenje” — 2010/7/1 — 8:38 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 27 (1999/2000)
Številka 4
Strani 210–213, XIV, XV
Andrej Likar:
MERJENJE GOSTOTE Z URO
Ključne besede: fizika, gravitacijska sila, satelit, orbita, gostota.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/27/1406-Likar.pdf
c© 2000 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Fizika I
MERJENJE GOSTOTE Z URO
Na urn iku za naslednji dan, ki ga je dobi l Miš, so bile sp et eksp erimentalne
vaj e iz fizike . F iziko je ime l rad , bila je ed ini predmet, kjer so občasno
odšli iz šole v naravo in tam opazovali vse mogoče po jave, brez motečega
zraka, trenja, teže in kar je še takih stvari, ki so nekdaj gren ile življenje
srednješolc em pri fiziki. Vremenska nap oved je bila ugod na : sončna
aktivnost bo na minimurnu, ni se bilo bati zahrbt nega sevanja, ki je
včasih prekinilo vaj e na prostem in primoralo nji hovega profesorja, da
je godrnjaje ukazal povratek v šolo .
To po t je vaj a imela pr eprost naslov: Merj enj e gost ote. Nenavadno
je bilo , da so za to vajo šli v naravo, saj so gos toto br ez te žav že meri li v
laboratoriju v šoli. Dobili so kocko iz neznane snovi t er ji najprej natančno
izm eri li stranico a in nato izračunali njeno prostorni no V = a3 . Potem so
kocko še st eht ali, da so določil i njeno maso in izračunali gostoto po enačbi
(! = V. Kar se da pr eprosta vaj a , nekoliko si moral bit i pazljiv , da si dobil
rezultat, ki je smel biti le za tisočinko različen od pravega.
Preden so se odpravi li v naravo, so vedno natančno pregledali seznam
naprav, s katerimi bodo de la li poskuse. Ni se bilo prijetno vračati, saj je
pot kljub hit rim raketnim čolnom včasih trajala več ur. Anikakršnih
naprav ni bi lo v seznamu. "Saj imate ure na roki ?" je vprašal profesor
začudene dijake. "No, potem imate vse, kar potrebujet e," je dejal profe-
sor. "Komur je potekla naročnina na VSEVED, naj vzame s sabo še kak
predpotopni kalkuIator." VSEVED je bi la d ru žba , ki je skrbela za pove-
zavo z globalno zakladnico podatkov GL ODAT in globalnim računskim
vozlom GLORAČ , ki je skr be l za računanje . Dijaki navadno niso plačevali
naročnine , saj so računali dom a ali v šoli, v naravi pa so le mer ili in zb irali
pod at ke.
Mišev raket ni čoln je bil zadnje čudo t ehnike, dobil ga je za ro jstni
dan. Iz baze na Zemlji je dosegel geostacionarno orbito v pičle po l ur e,
od t u pa je lahko dos egel kat erikoli planet Osončja prej kot venem
mesecu . Koordinat e mesta, kjer naj bi se zbrali nas lednji dan , je profesor
že vpisal v Vsevedov sist em. Miš je zvedel, da je to blizu planetoida,
krogle s po lmerom kakega kilom etra , drugih pod atkov pa iz Vseveda
ni mogel izbrskat i. Očitno je profesor podrobne podatke o planetoidu
dijakom zastrl. Od hod Miševega čolna je bil predviden pozno popoldne,
v petnajsturnem po letu je Miš obvezno moral devet ur preživet i v povsem
zatemnjeni not ranj ost i, da se je do cilja povsem spočil. P reostali čas je
prebi l v veso lju in se poganjal z raketnikom od čolna in nazaj . Leb denje
v t ej veliki prazni ni ga je ved no navduševalo , nekatere njegove sošolce
pa je navdajalo z nepopisno grozo. Ti so potovali v veliki ladj i, ki jo je
I Fizika
profesor najel za dijake brez lastnih raketnih čolnov. Na prvi pogled zelo
tvegano dejanje je bilo v resnici povsem varno, saj je čoln s svojo pametjo
in biosenzorj em vedno vedel, kje je Miš in bi ga šel iskat , [;e bi razdalja
med njima postala prevelika. O vsem pa je bil seznanjen tudi Vseved, ki
je v skrajni sili posredoval s svojo reševalno ekipo.
Na površini planet oid a so se ob dogovorj enem času zbrali dijaki in
se s pr ofesorjem pogovarj ali o nalogi , kako izmeriti gostoto tega telesa .
Nekdo je pred lagal, da bi kos s površine odnesli na Zemljo in tam izmeri li
gostoto po že znani metodi. To bi se skladalo s pičlo opremo, ki so jo dij ak i
prinesli s seb oj. Seveda to ni bila rešit ev naloge, saj so morali izmerit i
povprečno gostoto planetoid a , ki je zno traj lahko povsem drugačen kot
na površini . Merj enj e teže kake znane uteži tudi ni prišlo v poštev, saj
niso imeli vzmetnih te htnic, še posebno pa ne kake zelo občutlj ive. Dij aki
so vide li, da je te žni pospešek zelo majhen , "saj so vseskozi uporabljali
raketnike , da so se obdržali na površini . Vsak še t ako rah el poskok je
zadoščal , da so se odlepili od tal in se začeli dviga ti v vesolje. Pospešek bi
lahko izmerili z merjenjem časa, ki ga porabi kamen, da pade na t la, ali
še bolje, z merjenjem časa, ki ga porab i kamen , ki ga vr žemo s površine
navzgor , da pad e nazaj na t la . Hitro pa so ugot ovili, da , tudi če bi po znali
pospešek prostega pada na plan etoidu, vod i pot do poznavanja gostote še
pr eko meritve njegovega po lmera, za to pa niso imeli nikakršne oprem e.
Velja namreč , da je teža uteži z maso m enaka gravitacijski sili
mM
mg= fi,-2- '
r
torej imamo za gostoto
M 3M 3g
t2 = 11 = 41lT3 = 47rfi,r .
Janez je razmišljal takole: če izmerim višino h, do katere pride kamen ,
s koraki in izmerim obseg planetoida s prav tako do lgimi koraki , mi nj ihove
dolžine ni potrebno poznati , saj velja
gt 2
-= h
2
in zato
6h
(J = 47rfi,rt2 '
kjer je t polovični čas, ki ga potrebuje kamen , da se dvi gne s t al lil
sp et pade nan je. Poznati moramo torej le razmerje ~ ' pr i t em pa se
Fizika I
dolžina korakov pokrajša . Profesor je pohvalil J aneza , a meri t ev višine s
korakanjem ni bila kar tako izved lji va. Poskušali so vse mogoče , poskušali
so celo postavit i živo piramido z izdat no pomočjo raketnikov, a meri t ev
se nikakor ni posrečila .
Nak, samo z ur o pa že ne bo šlo, so sklenili dij aki . Miš se je začel
zabavati s skokom v daljino. Vsak skok je bil zelo dolg, kljub komaj
zaznavne mu odrivu od tal. Nen ad om a se je domi slil rešitve naloge. Kaj
pa , če bi se kot satelit vt iril v orbito , ki je tik nad površino plan etoid a? Na
krožeče te lo mora delovati centripetaIna sila mw2r , njeno vlogo prevzame
gravitacijs ka sila K n~~I , torej velja
2 mM mg47fr3
mw T = K -- = K ---==------::-
r 2 3r 2
Iz tega pa takoj sledi
2 47f
W = -Kg3 .
P oznati moramo le w = ~: ' to pa gre le z meri t vijo časa ob ho da takega
satelita to, kar se da opraviti le z ur o. Profesor je prikimal , Petru pa
nekaj ni bilo všeč . "To pomeni " , je ugovarj al , "da je obhod na doba takih
satelitov neodvisna od polm era telesa . Tudi če bi ime li frn ukulo, bi jo
droben prašek obkrožil v enakem času kot to veliko kro glo. To je pa
čudno !" P rofesor je še do dal: "Morda se sliši nenavadno, a je le res.
Krogli morata seveda imeti enaki gostot i."
P ripravili so tekm ovanj e. Vsak do naj bi se pazljivo od rinil od st ar t ne
črte in zaplaval okro g planetoida . Zmagovalec bo t ist i, ki bo pri šel prvi
okrog plan etoida . Vsem je bilo jasn o, da bo zmagal ti sti, ki se bo ravno
pr av od rinil in to t ako , da bo plaval ves čas tik nad povr šino. Prehit re bo
preveč odneslo od planeto ida, prepočasni pa se bod o morali dot aknili t al
in se od njih rahlo odrinit i, kar podalj ša čas obho da. Uporaba raketnika
je bila med di rko seveda prep ovedana . Dij aki so začeli mrzlično oce njevati
primern o hi trost . Go stote niso poznali , prav t ako ne polm er a planetoid a.
Miš je privzel za gostoto Q = 3000 kg/m3 in za polmer T = 1 km te r
izračunal čas to = 6900 s. Nato je i zračunal začetno hit rost iz enačbe
27fT
v= - -o
to
Za hi trost v je dobil oce no 1 mi s, kar je hitrost sprehajalca na Zem lji .
Startali so z vzp etinice vsi hkrati . Miševa ocen a krožiIne hitrosti je bi la
preni zka , saj se je km alu moral dotakniti tal. Zmagal je Lovr o , ki je pri sp el