LIST ZA MLADE
MATEMATIKE
OO FIZIKE
ASTRONOME
IZDAJA DMFA SRS
Slika 1 Pogled na Termoelektrarno Soštanj. Z leve proti desni hladiln i stolp četrte enote in njen dimnik,
zgradbe četrte in tretje enote in prvih dveh enot, dimnika tretje enote in prvih dveh enot ter hladilni stol-
pi druge, prve in tretie enote.
UVODNIK
Segli ste po pr vi štev il ki desetega letni ka Preseka . Z nj o je
Presek vstopil v jubile jno leto in ob priliki se bomo ozrli na -
za j in pogledali naprej.
Pričujoča številka je posvečena energ ijsk i tematiki. Upamo, da
boste z zanimanjem prebrali , "kako rešujejo svoje energijske
probleme" zvezde, posebno za nas najpomembnejša zvezda - Sonce.
Kaj pa smo naredili ljudje na Zemlji, da bi potešili čedalje
hujšo energ ijsko lakoto? Morda ji bomo kos šele ta krat, ko bomo
znali pridobivati energijo z zl i t jem lahkih jeder - podobno, kot
se dogaja na Soncu. Pogledali bomo v notranjost šoštanjske ter-
moelektrarne in jedrske ele ktrarne Krško . V prvi izkoriščajo iz-
gorevanje lignita, v drugi pa jedrsko cepitev obogatenega urana.
Tudi bralci, ki bolj cenijo naloge in logično sklepanje, bodo
v tej številki našli precej zanimivega .
Se malo neprijetna, a žal običajna novica : zaradi porasta cen
papirja in storitev , ki so potrebne, da nastane Presek, smo mo-
rali dvigniti letno naročnino za Presek na 100,00 din za skupin-
ska naročila in na 125,00 djn za posamezna naročila. Iskreno u-
pamo, da zaradi tega ne boste obrnili Prese ku hrbet. Učitelje
matematike in fizi ke lepo prosimo, da pošljejo zbrana naročila
na naš naslov do 20. septemb ra 1982. Takrat moramo namreč odda-
ti v tiskarno rokopis za drugo številko in se odločiti za nakla-
do Preseka. Naročnino pa pričakujemo do konca decembra 1982 .
Lep pozdrav!
Zvonko Tr ontel j
N A ,~...,.
P R
N T
E
E
MIS
R N I
L I
S T
~ E N
. co, G A ;jjf- P
D A
o M
c
T ~A
VAL
E S
R
",o<. R
O
A
E
V
M
š
TA
L ~Č
"",. O B J
..... MT ·_· ~S KI
.:\~ TER ILO~ D o
- E K S .- AND I
"",,,, A L AN ~P IR N
=:.>: A R A M "T:ifA RA
G A
O L
ALA N
DEC
A -.~.:. ~ F
O V I
D if!i.A
IST R
~ TOM A Ž ~-, L
.~'::' ILE K S I.:'~~...III-B-+-F""'1----+-----1- +="+-+--+--+--+=-f- f-----i1
~ A
A
~;r KIT ~~ ,~.. .".... -~~- I
R
I
T
E
V A
o K
R
ž
K
2
UVODN I K
MATEMATI KA
6
7
MATEMATI ČNO RAZVEDRI LO 12
15
16
NAROČ I LNI CA 18
FI Z I KA 19
24
KRIŽANKA 32
NALOGE 36
KNJ I ŽNI CA SI GMA 38
NALOGE BRALCEV 39
BOLJ ZA ŠALO KOT ZARES 40
TEKMOVANJA-NALOGE 41
46
PREMISLI IN REŠI 49
ASTRONOM I JA 55
NOVE KNJ I GE 60
NALOGA 61
REŠ ITV E NALOG 62
63
64
OVITEK
I I
I I I
BISTROVIDEC I V
(Zvonko Tronte lj)
Štirje dokazi (Drago ljub Mi l ošev l č )
Naloga (Aleksandar Jur l š l č)
Verižni ulomki (Peter Leql š a)
Zanimivosti o figurat ivni h štev i li h
(Danijel Bezek)
Rešitev na l oge (Aleksandar J urišic)
Vsakdanje vendar i men i t no (Karl Bajc)
Pečica za žar proucuje jederski reaktor
v Krškem (Franc Cvelbar)
Obisk v šoštanjski e lektrarni
(Janez Strnad)
Planeti
Naučimo se sklepati ( Izidor Hafner)
(Cir il Velkovrh)
(Zdenka Panker, Rudo lf Brega r , Drago ljub
Mi Iošev i č , Andreja Er d l en }
Iz zap isov i nšpektorja Craiga
(Tomaž Pisanski)
zs. repub 1i ško tekmovan j e s r edn] ešo 1cev
v matematiki (Mi l enaKož ar )
8. republ iško predtekmovanje srednješo lcev
v matematiki (Gorazd Lešn j ak )
(Peter Petek)
Energija in zvezde (Andrej Čadež)
(C i r i 1 Velkovrh)
(Dragoljub Hi l cševl č ]
Naučimo se sklepati (Izidor Hafner)
Zanimivosti o f i gur at i vni h števi lih
(Danijel Bezek)
Iz zapisov inšpektorja Craiga
Slika na naslovni st rani kaže silovit
i zbruh na površini sonca. Glej članek
Energija in zvezde na str . 55
Pog led na Termoelektrarno šoštanj
Glej članek na str. 24
Zanimivosti o pitagorejsk ih trojicah
(Danijel Bezek)
Bistrovidec
3
MATEMATIKA
STr RJE DOKAZ 1
Angleški matematik W.Sowyer je v svoj i knjigi Prel ude to Mathe-
matics (Predigra matematike) zapisal zanimivo peda goš ko misel:
"Cesto je koristneje, da rešimo eno samo nalogo na tri različne
načine , kot pa da rešimo tri naloge na en način. Ko rešujemo is-
to nalogo na različne načine, jih lahko prime rjamo, da ugotovimo ,
ka t e r i je krajši, učinkovitejši in elegantnejši. Tako si pridobi-
vamo in dograjujemo sposobnost za reševanje nalog."
Pokazali bomo štiri različne dokaze izre ka:
te s t a di a gona Li t rapeza medsebojno pravokotni , je vsota kvadra-
tov teh diagonaL enaka kvadratu vsote vzporednih stranic t rapeza .
Dokaz 1. Na sli ki 1 je trapez ABCD . Osnovni ci AB in CD sta ozna-
čeni z a in b , diagonali AC in BD sta e in f . Točki M in N sta
sredini kra kov, presečišča daljice MN z diagonalama s mo označi­
li E in F. Ke r sta daljici ME in FN srednjici tr i kotni kov ACDi n
BCD , velja ME FN t e D b / 2. Od tod pa, ker je MN = (a+b)/2,
dobimo
EF = MN - (ME + FN ) = (a + b ) / 2 - b = (a - b)/2.
Konstruiramo EG vzporedno z BD . Ke r je četverokotnik BFEG para-
lelogram, je EG = BF . In ke r MN razpolavlja diagonali trapeza,
imamo AE = e/2 in BF = f/2 in zato EG = f / 2. Hipotenuzo AG tri-
kotnika AEG izračunamo: AG = a - (a- b)/2 = (a+b)/2. Uporabimo
Pitagorov izrek v trikotniku AEG :
(e/2) 2 + (f/2) 2 = (( a+b)/2) 2
4
e 2 + f2 = (a+b)2
i n dokaz je končan.
S 11 ka S Il ka 2
B
Dokaz 2. Poglejmo sliko 2. S črkama x in y smo označili daljici
OD in OC in je zato Aa = e - y in BO = f - x, če sta e in f
diagonali. Iz podobnost i trikotnikov ABO in CDO sklepamo, da
velja sorazmerje
(e - y ) y
od koder izračunamo:
ci - x ) x = a b
( a + b ) . y = b , e
( a + b) . x : b .f
Enačbi ( 1) i n (2) kvadr iramo in sešte jemo:
( a + b )2 (x2 + y2 ) = b 2 • ( e 2 + f2 )
Za pravokotn1 trikotnik CDO vel ja Pitago rov izrek :'
x 2 + y2 = b 2
Iz (3) in (4) sledi:
e 2 + f 2 ( a + b) 2
( 1)
(2)
(3)
(4)
Dokaz 3. Diagonalo CA podaljšamo ta ko, da je daljica AE s kladna
z CO. in diagonalo DB podalj šamo do P ta ko. da je BP skladno z
Do(slika 3). Vzporedno s podal jš kom BP potegnemo še dalji co Aa.
čet verokotnik ABPG je paralelogram, zato je PG = AB = a . Trikot-
nika AEG i n OCD sta skladna: AE = OC po kons t r ukci j i,
5
EAG = COD = 900 in AEG = OCD (kota z vzporedni ma krakoma).
Skladnost nam prinese EG = CD = b . Torej je EF = a + b . Spet u-
porabimo Pitagorov izrek, tokrat za trikotnik EFO , in zahtevana
enakost je pred nami .
E
~ .....lI",B
Sli ka 4
F
B
Sli ka 3
Dokaz 4. Na sliki 4 smo konstruirali vzporednico m di agona l i
AC. Ker je AE = CD = b , imamo BE = AE + AB = b + a . Trikotnik
BDE je pravokoten in zato
Dr a go ljub M.Mi l o š e vi c
preve del Pe t er Pe t ek
Dana so števila 1, 12, 123 •... ,1234567890, 12345678901, . ..
Vsako število dobimo iz predhodnjega tako, da mu dopišemo nasle~
njo cifro, pri čemer cifri O sledi 1, za 1 pride 2, . . . , za 9 pri
de 0, itd. Do kaži, da je vsaj eno od t a ko dobljenih števil delji-
vo s 1981! (Naloga iz zveznega tekmovanja srednješolcev v matema-
tiki 1979/80.)
Al eksandar Jurišic
6
VERIZNI ULOMKI
Navadni veriž"i ulome k je izraz oblike
kj e r so a o ' . . . , an cela š t e vi l a in velja : a o ~ O,
a l> O. a2 > O, .. . , an > O. š t e vi l a a l • .. . , a n SO to rej na-
ra vna šte vi la , a o pa je l ahko tudi O. Vsak t ak ul omek l ahko
simboli čno zapišemo takole :
I z r a č u n a jm o nekaj verižnih ulomkov:
[1 • 1 , 1,IJ = 1 + 1 = 1 +
+ ..L-- 1 + t
1 + -+
2
1 + "3
5
"3
1
"2
[0 . 1 , 2 , 2J
1 + ..:.1 _
2 +
1
---2
1 + "5
5
"7
Pogle jmo si narobe, kako lahko zapišemo ulomek 33/1 7 v obliki
ve r ižnega ulo mka:
33/17 = 1 + 16/1 7 1 + _l_ I +
1 7 1 + 1
1 6 1 6
Tu je torej a o = 1, a l
33/ 17 = [1, 1 , 16J
16 . Tako j e
Ul ome k 33/17 l ahko zapišemo t udi male nkos t dr ugače :
33/1 7 = 1 + = [1 . 1 ,1 5 ,1J1 + _1 _
15 + 1.
1
Vidi mo , da velj a s plo šn o pra vilo: č e je v ve ri žnem ul om ku
la o .a l . . .. , a n š te vi l o a n > l . je
7
Ce pa je zadnji č l e n v ve r i žnem u t omx u " J I::
Vsak ve r i žni ulo mek i ma t ore j i s t o vre dnos t kot verižni ul ome k
z eni m čle no m v e č a l i manj . Pri me r:
[3 , 1 , 1,1J = [3, 1 , 2J
Pokaž imo zdaj, da lahko vsak ulomek p / q zapišemo v obliki veriž -
nega ulomka . Ce je p ~ q , delim o p s q :
p = a oq + 1"1 (O ~ 1"1 < q ) oziroma p / q
Ce j e p < q , postavi mo seveda a o = O.
Del i mo zdaj q z 1"1 :
q = a 11" 1 + 1"2 (O ~ 1"2 < 1"1 ) oziro ma
q/ l"l = a l + 1"2 / 1"1 = a l + 1"1 71"2
1
ao +~
Delim o 1"1 Z 1"2 in t ako dalje . Ke r se ostanki 1"1,1"2'" nenehno
manjšajo , s e t a proc e s prej a li sl e j k on č a . Ce do br o pogled amo ,
vi di mo, da j e to prav zaprav Evklidov algoritem za števili p in
q . Den i mo t or e j , da j e l"n za dnji od nič r a z l ič e n ostane k:
l"n_1 /l" n
Vidimo , da je
p / q = a o + -=----:------
"'+ _l_
an
Ta za pi s j e očitno enoli čen, r azen morda na repu ulomka, kje r
imamo, kot vemo, dve možnosti .
Ogle jmo si zdaj naslednjo re s n ič n o zgodbico , ki j o vem iz pr ve
ro ke. Amer iš ki mat ematik je od sv ojega s i na zve del, da j e pri
baseballu imel r e l a t i vni de le ž zade t kov 0.846. Očetu je bilo
jasno, da t o ne pome ni, da j e s i n zadel 846 žog od 1000 , pa č
pa , da j e to dec i malni prib liže k za neki ulomek p /q, kje r s ta
8
p in q dve ne preveli ki ce l i števil i . Razvil j e 0. 846 v verižni
ulome k:
+ _1 _
5 + L
z
1 + Z
1 1
1 1
1 3
zelo dober pr i bl i že k za 0. 846. Rečemo lahko tudi narobe:
0. 846 je zelo dober približek za 11/13 . Dejans ko je 11/13
0.8462 ... Matemat ik je tvegal in vprašal sina, ali to pomeni,
da je zadel enajst žog od trin ajstih . Odgovor je bil rritrdilen.
Dbstajajo problemi pra kti čne na r ave , pri kat e r i h so verižni u-
lomki prav uporabni. Denimo, da je treba izdelati zobniški me-
hanizem iz dveh zob atih koles, tako da bo prenos čim bliže raz-
merju p l q , kjer sta p in q dve vel i k i števil i. število zob na
zobnikih je omejeno . Pomagamo si tako, da razvijemo p / q v veri 2-
ni ulomek in poiščemo primeren približek. Za razmerje 988/517
bi na r e dil i takole:
1 +
= 1 + ---,------
988 /517 1. 91. .. + 1/ 1. 10 .. = 1
[ 1 , 1 , 1O,4 ,5 ,2J
+ -1.1 _
1 + ..=.1-,-- _
1 0 • 2 4
86/45.
10 + 1
~
Ena mo ž nos t zap rib 1i že kje tal e: [1, 1 , lOJ = 21/ 11. Takobi
vzel i zobnik z 10 in zob nik z 21 zobmi. Poglejmo si natančnost
približka:
988/517 = 1.911 ..
21/11 = 1.909 . ..
Druga možnost je seveda vzeti približek \ 1 , 1, 10 , 4 1
Pr imerjajmo:
988/517 = 1.9110 ..
86/45 = 1.9111..
Ta pribl ižek je seveda boljši od prejšnjega.
9
o ta ki upor abi ver iž ni h ulomkov je obš irn eje pi s a l že znani
znans tvenik Christian Huygens, ki je pr i konstruk ciji planeta-
rija mor a l upoš tevati raz merja me d obho dni mi doba mi raz lič n i h
. pl ane t ov . Knj iga Descriptio automati planeta r ii ( v pre vodu:
Opi s mehanizma planetarija ), v kateri je pokazal, da na m veri ž-
ni ul om ki dajejo na j bol j še take pr i bližke, je i zšla let a 1703
na Nizozemske m.
Ne koli ko t e ž ji pro ble m j e iska nj e prib l ižkov za š t evi lo Il . Ve mo,
da je Il = 3.141592654 ... Pos kusimo ga razviti v verižni ulome k :
Il = 3 + 0 .141 59 ... = 3 + 1/7.062 .. .
Vidi mo, da j e 3 1/7 = 3 . 1428 . . kar dobe r prib liž ek za Il .
Goto vo je Il < 3 1/7 . Ke r je Il = 3 + 10/70 .6 .. , j e Il > 3 + 10/7 1.
Tor e j j e
3.lJl. < Il < 3-1.
71 7
Do te oce ne j e pr iš e l že gršk i ma te ma tik Arh i med, ko j e posk u-
ša l čim n atan č n ej e i zrač unati Il . V nj egovi h ča sih de c i ma ln i za-
pi s še ni bil v rab i, upor ablj a l i so l e ulomke . Zat o je la hko
za pi sa l l e oceno tak e oblik e, kot je zgoraj .
Nada l j uj mo z r ač u nan je m:
Il = 3 + -..1.. _
7 + ..:.1_ -.,._
1 5. 9 9 oo
I z t e ga zap isa je oč i t no, da j e 3 +
približek za Il . Dejansko se
355/ 113 3.1415 92920 .. ~ 3.14 1593
uj ema s Il na 7 mes t .
7 + L
1 6
355/ 113 zelo dober
+ _.~1-;;-;;_
1. 0 0 3 ..
Pr i naši na ta nč nos t i začetn ega prib ližka (1 0 me s t ) i n rač u na nj u
na 10 me st ver ižn ega ulomka skoraj ne mor emo na daljevat i , saj
so i z r a ču n an i čle ni zmeraj manj za nesljivi. Zapišimo še
Il = 3 + -=.1_ ---:- _
7 + ..:.1 ..,-__
15
Ker Il n i rac io na l no šte vi lo, ga pra vzaprav ne more mo zapisa ti
kot končen nava den verižni ulome k. Pomagamo si l ah ko ta kole:
10
Na 12 dec imalk je
3 . 141 59 26 5358' < JI < 3 . 141 5926 535 9
3.1 4159265 35 8 = [3 ,7 , 15.1 , 292 . 1. 1,1 , 1 •. ..J
3 .1 4 1592653 59 = [ 3 , 7 ,1 5 .1 . 292 ,1,1,1,2 ...J
Zato smo bolj al i man j up ra v ič eni za pi sati, da j e
JI = [3.7.15 , 1.292.1 , 1.1 • . oo]
(Izka že se namre č : č e se verižn a ulomka števil a i n b ujemata
v prv ih n č l e ni h. se veri žni ul ome k vs akega št e vi la c med a in
b ujema z omen j eni ma ve ri žni ma ulomkom a na pr vih n mest ih) . Ce
bi vzel i še več de cimal k. bi seveda dobil i še daljši razvoj za
JI . Angleški matem atik J ohn Walli s je v knjigi Tra ctatu8 de al -
geb ra . ki j e izš la le t a 1685, vzel š tev ilo IT na 35 decimalnih
mest in iz r a č un al
JI = [3 ,7 , 15 , 1 , 292 • 1 , 1 . 1 . 2 • 1 .3, 1 , 14 ,2 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 ,2 , 1 ,84,2 ; 1 ,1 ,
15 , 3 • 13 , 1 , 3 ,4 , 2 , 6 •6, ' 1• .J.
Le t a 1770 je nemški matemati k Lambert objav il ponovljen i zra-
č u n, ki pa j e od 26. člena nap r e j imel d rugačne vrednost i. Vse-
kakor v dobljenem ve ri žnem ulomku ni mogo če opaziti kake pra-
viln osti . Svojevrstna kontr ola Wa l l i s ave ga izračuna so odlični
pribli žki za JI . ki so jih konec osemnajstega stoletja našli ja -
pons ki matemat i ki :
541935 1 428224 59 33 49 304
17250 33 136 30812 1570 117
saj jih lah ko dobi mo i z Wall i sovega r az voj a . Ver jetno so Japon-
c i do njih prišli s pomočjo neč esa takega kot ve rižni ulomki .
Danes bi s pomočjo računalni ka in primernega programa lahko na -
pravili še mno go daljši razvoj. Vloženi t r ud bi bi l seveda ne-
pr imerno manjš i od t ruda ne kdanjih matemati kov .
Pe t er Le gi š a
11
MATEMATiČNO
RAZVEDRILO
ZANI MIVOSTI OFIGURATIVN IHSTEV ILIH
Figurativ na . t e vi l a povezujejo ~ e o m e t r i j s k o obliko z o ri tm e t ič ­
no vsebino. Kako? Pogl e jmo s i na prime r u!
š t ev i l a v zaporedju : 1 ,3 ,6,10,15,21. . . imenujemo t r-i ko t na
. t ev i l a . Tako jih ime nuj em o zato, ke r šte jejo og l išča i n točke
v s tranica h homote tičnih t r i kot ni kov. Pri tem je, kot vidimo na
s l iki, vs a k tr ikot nik vs eb ova n v s vojem nas ledni ku .
o
S l i k a 1: T riko tn a štev i l a
Igro z zapo r edj em i n pri re j e nimi fig urativ ni mi li ki lahko t ud i
obrnemo . Na r išemo homoteti čne kvadr a t e , pre št ejemo t očk e t e r
ob l ik uj emo z a p o r e dj e k v adr a t nih š t e o i l : 1, 4, 9 ,16 ...
o o
u
Sl i ka 2: Kvad r at n a š tev i l a
12
Poleg trikotnih in kvadratnih števil poznamo petkotna , š es t k o t -
na in s plošno n -kotna š t e v i l a .
Včasi h nas za nima kak poseben predsta vnik i z zapor ed ja š tev i l
določene vrst e. Na primer : petko tno šte vi lo, ki je v za por edj u
petkotn i h š t ev il na četrte m mestu.
Figurativna podoba na sliki 3 nam pomaga na jti r eš ite v.
Slika 3 : Pe t ko t no število četr tega reda
s štetjem točk homotetičnih petkot nikov na sl ik i 3 ugo to vimo,
da je v zaporedju petkotnih štev i l na četrt em mestu š t evi lo 22 .
Ta k način je pr i n - kot ni h š tevili h, ki leži jo na bol j odda lje-
ni h mestih, zelo zamuden . Zato bi radi i me l i obrazec, po kate-
rem se da brez težav pois kati pol jubno n-k ot no §te vilo na po-
l j ubnem m-t em mestu v zaporedju n-ko tni h št evil.
V Preseku (glej Presek 1977/78, št. 3, s tr . 159) smo pre d l e t i
tak obrazec že i zp e l j ali . (Primer jaj še Pr e s e k 1979/80, š t . 4,
str. 214). Zdaj ga samo zapišimo:
( n - 2 )m(m- l )
2
+ m ( 1 )
Z obrazc em (1") iz polni ta be lo , kj er v vrsti ce piše š zaporedja
n- kot ni h štev il do m- t ega me s ta .
13
l. TABELA: Zaporedja n - kot ni h števil do m- t ega mesta
~ 1 2 3 4 5 6 7 m'"
3-kotna
4-kotna
5-kotna
6-kotna
7-kotna
n-kotna
Tabela ti bo pomagala, da boš na konkretnih primerih ali
pa splošno preizkusil veljavnost naslednjih trditev o fi-
gurativnih številih.
2. š e s tko tno š t ev i l o na m-tem mestu je enako t rikotnemu
š t e vil u na ( 2m - 1) me stu.
3. Pe t k o t no š tevilo na m-tem mestu j e ena k o vsoti triko t -
nega š t e v i l a na m-tem mestu in dva kratniku tri k o tnega .
š t e v ila na (m - 1) me s t u .
4. Če kos emk ratniku tri kotnega š t e v i l a prištejemo 1 , do b i -
mo kvadr atno š tevi l o .
Zadnjo nalogo je okoli leta 250 pr.n.št . postavil grški matema-
tik Di ofant. Njegovo najbolj znano delo s področja matematike
je Aritmetika. Več o njegovem življenju pa pove v verze prelita
naloga. ki ne bo pretrd oreh. če znaš nastavljati enačbe.
14
5 . Modrec ob gr obu post oj , p očasti pepel Diofanta ,
leta njegov a preštej. odmer jen a z voljo bogov.
š e s t i del soje nih let ozarja mu sreča otroštva .
š e po l še stine mine . ko li ca poraste mu puh.
Let še s edm ino nat o i zbe r e si vdano družico.
Pet l e t že druži ju ve z . ko se rod i j i ma sin.
Le pol oč e t ov i h dni j e l jubljencu dano ž i ve t i.
ra dost oče t o va vsa v prera ni ut rne se grob .
Dva kra t dve l eti brid ko pr e to ž i nad t ež ko iz gubo.
potlej utru jen š e s am za vselej zat isne o či.
Lit e r atu r a :
DanijeL Beze k : F ig u ra ti vna š t e v il a, Prese k 1977/78 , št. 3
France Križanič : Ar itmeti ka , a1g ebra in ana1 iza 1 , DZS-Ljublja-
na 1966
Stanko Prv ano v i č : Zbi r ka matemati čnih zada taka VII, Tehnička
knj i ga, Beog rad 1967
Roman Ro jko : Tr iko t na št evi l a, Pres e k 1979 / 8 0, št. 4
Danijel Bezek
Rešitev s strani 6
Oglejmo si prvih 1981 členov zaporedja, ki se končujejo s cifro
O. in jih označimo z a l . a 2 . .. . ' a19 81 ' Pri deljenju s 1981 ima-
jo ta števila kvečjemu 1980 različnih pozitivnih ostankov. Ker
je števil 1981. imata dve števili a. in a . ( i > j ) isti ostanek.
-z. J
Odtod sledi, da je njuna razlika a. - a . deljiva s 1981. Ni tež-
-z. J
ko videti. da je
a.. - a . = a . . • 10 1 0 j
v J -z. - J
torej je število a . .• 101 0 j deljivo s 1981. Ker 1981 ni deljivo
-z. - J .
niti z 2 niti s 5, sta si števili 1981 in 10 1 0 J tuji . Zato mora
1981 deliti prvi faktor a . . . Naloga je rešena. saj smo našli
-z. -J
člen zaporedja. deljiv s 1981 .
Aleksandar Juriši6
'5
VSAKDANJE IN VENDAR IMEN ITNO
Vsi vemo , da je 7 + 5 = 5 + 7 i n 2 . 3 = 3 .2, ali splo šnejše
a + b = b + a in c i d = d :c , Pri tem so a, b , c in d pol j ubna ce -
l a , raciona lna, realna a l i celo kompleksna š t e vi l a .
Tako preprost a i n vsakdanja se nam prikaz uje ta l a s t nos t opera-
c ij + in ., ki ji pravimo komutativnost , da kar s li šimo opa zko :
"Saj drugače ni mogo če!" ali : "Saj mi to ni č ne pove ! " St a ti
dve opazki upra vičeni?
1. "D ruga če ne more biti ~" Pri ome nj e ni h št e vilih in operacijah
r e s ne, vendar s e matematik a ukvarja tudi z drug ačnim i ope rac i-
jami, za ka t e r e ta prep ro st a l ast nost ne velja vedno.
Vzemimo e n a k o s t r a n i č n i tri kotni k ABe i n si oglejmo operac iji a
i n b , kjer je a zrca ljenje čez os x, b pa zrcaljenje čez os y
(gl ej sliki 1 in 2 ) .
A
S li ka
Tr ikotnik zaporedo ma pr eslikamo naj pr ej z a in nato z b . Ta kQ
dobimo ce lotn o spreme mbo ab (slika 1) . To ponov imo, l e da v ob-
ratnem vr stnem redu: naj prej b , potem a in dobi mo ba (slika 2).
C A H
A
Sl i ka 2
16
č e p r a v smo obakrat začel i z enako razporejenimi ogl išči, je kon~
na razporeditev oglišč različna. Torej v tem primeru ab ni enako
ba .
Sele v bolezni znamo ceniti zdravje. Sele ko vidimo , da bi bili
zanjo prikrajšani, znamo ceniti to imenitno lastnost: komutativ-
nost!
2. "Ni č ne pove." Kol i kokra t smo že mora 1i požreti ta kri vi čni
očitek brezplodnosti, ki naj bi jo po pameti nevednežev imele
matematične trditve.
Vzemimo naslednji enostavni trdi tvi, ki načenjata novo temo:
vektorje.
a) Iz poljubne točke A pridemo v poljubno točko B po najkrajši
poti z enim samim vektorjem AB.
b) Seštevanje vektorjev je (po znanem paralelogramskem pravilu)
komutativno.
Preizkusimo uporabnost obeh trditev na praktičnem problemu. Na
sliki 3 sta prikazana kraja A in B , med katerima teče povsod e-
nako široka ravna reka. Kraja bi radi povezali s cesto in seve-
da z mostom (pravokotnim na reko). Katero od neštetih možnosti
izbrati, da bo celotna pot najkrajša?
H
Sli ka 3
Sli ka 4
17
Vsaka pot od A do B je sestavljena iz treh delov: priti je tre-
ba do reke, preko nje in na drugem bregu do točke B. Torej
AB = AC + CD + DB . Prehodimo v mislih najprej most! Tako pride-
mo do točke E, za katero velja AE = CD in ED = AC. To vstavimo
v izraz za AB in upoštevamo pravilo bl :
AB = ED + AE + DB = AE + ED + DB
Del poti AE oči tno ni odvi sen od tega, kam postavimo most. Zato
je celotna pot najkrajša tedaj, ko je del poti od E do B naj-
krajši. Trditeva) nam pove, da moramo od točke E do B naravnost
po enem samem vektorju EB . Točka D mora torej ležati na zvezni ci
EB. Ker leži tudi na obali reke , je njena lega natančno določena.
V dobljeni točki D postavimo pra vokotna na reko most in tako do-
bimo še točko C. Tako dobljena pot ACDB je najkrajša od vseh mož -
nih poti, saj je njena dolžina enaka dolžini poti AEB . Poleg te-
ga je pot ACDB tudi uresničljiva, kar pa pot AEB ni, saj ne mo-
remo postaviti mosta na suhem, reke pa preplavati.
Kare l Ba jc
dop ol nil Franci Fo rs tneri č
ČLANI AKTI VA MATEMATIKO V I N FIZIKOV
š o l a .
točen naslov
NAROČAMO:
.. . ... ... izvodov 1ista za mlade matematike, fizike i n astro -
nome PRES EK - X. l e t ni k , za šolsko leto 1982/83 po ceni 100. -
din (posa mezna nar očnina 125.- din). Naročn ino bomo nakazal i
s kupa j al i v obrokih najkasneje do 198 . .
Podpis : .
18
FIZIKA
PEčICA ZA LAR PROUčUJE JEDRSKI REAKTOR V KRšKEM
Pečici za žar je po razgovoru z raziskovalnim jedrskim reaktor-
je m (glej Presek 1979, št. 4, str. 195) zrasel ponos, ko je ugg
tovil a , da bi tudi njej moral i reči reaktor, pa čeprav samo
ato ms k i. Ko je v dolgih večerih o tem ponovno razmišljala, pa
ji je lastna cena počasi plahnela, saj je spoznala, kako nebog-
ljena je ona sama in z njo vred peči vseh vrst v primerjavi z
mogočnimi jedrskimi reaktorji.
Njene misli so se neprestano vračale k veri žn i reakciji. Znova
in znova si je ponavljala: "Pri verižni reakciji v reaktorju si
uranova jedra pripojijo nevtrone, nato pa se vsako razleti na
dve manjši jedri . Pri tem nastal i nevtroni se v vodi upočasnijo
in nato laže povzročijo nove cepitve".
Nekega večera jo je spreletelo: V rudnikih urana je gotovo kdaj
tudi voda. Zakaj tam ne pride do verižne reakcije? Zakaj? Zakaj?
Pečico je prevzela globoka želja , da bi kaj več zvedela o tem .
Toda kaj, ko so jo postavili na polico v garaži, kjer mora ča­
kat i, čakati .
Letošnjo jesen je njen gospodar Janez Natančnik v garaži poprav-
ljal avto . Na tleh je pustil razgrnjen časopis. Pečica je vese-
la ugotovila, da je ena stran obrnjena proti njej . Z veliko vne-
mo se je lotila črk. (Naučila se jih je nekega nedeljskega po-
pol dneva, ko so se otroci i qna ] i z abecedo.) Iz nas lova je raz-
brala, da so v Krškem zgradili jedrsko elektrarno.
19
Le po prvem ods tavku je uqotovi la, da s tvari v zvezi z verižno
reakc ijo ni so tako prep roste, kot si ji h je predstav ljala . Pr e -
brala j e nam r e č , da v ur anu , ki ga dobi j o v na r avi , pr i prisot-
nosti nava dne vode ni m o g o č e vzdrž evati ver ižne reakcije. Nara ~
ni uran je mešanica dveh vrst ( i z ot opov ) urana: urana 235 (ozna-
č ijo ga z 2 3 S U) in urana 238 (označijo ga z 238 U). Kot jedrsko
gorivo je uporaben samo 23S U . Toda v naravi je na 140 jeder
238 U samo eno jedro 23 S U. V gor ivu j edrske elekt rarne v Krš kem
mor a biti delež 23S U povečan vsaj trikrat . Naprave za oboga ti-
te v urana so ze lo drag e in zaplete ne . Imajo jih samo velike in
te hnološko r az vi t e države. Za Krško so rea ktor kupili v ZD A.
Od tam bodo dobi va li t udi obogaten i uran.
Na 140 atomov urana
238 pride 1 atom u-
rana 2 35.
20
Pečici se je kar zavrtel o v glavi, ko je brala, da bo pri polni
moči r eakt or oddajal tol i kš en toplotni to k (1,8 gi gawat tov) kot
en milijo n istočasno priž ganih pečic za žar . Vendar je uranske-
ga gor i va le 50 ton in bi ga torej na vsako pečico odpadlo 50 g .
Teh 50 g goriva odda toliko toplote (38 megawatt ur) kot 3800 kg
oglja ali premoga.
--
V elektrarni bo gorivo izgorevalo 3 "leta v 21000 urah delovanja.
Vsako uro bo torej "iz gorelo" 2,3 kg goriva . te bi kurili z og-
ljem, bi ga pot r e bova l i 650 ton na uro.
Ta števila so pečici vlivala vse večje spoštovanje do jedrskih
reaktorjev . Spoznala je tudi, da ljudje pozabljajo na to, da
naj bi toploto vedno spremljal tudi vonj po domačem ognjišču,
kadar rabijo dovolj ene rgi je za stroje, ki namesto njih oprav-
l jajo težaš ka dela.
Ko j e pečica še naprej zlo govala besedo za besedo, je izvedela,
da s toploto iz reaktorja segrevajo dva velika parna kotla, ki
Jlma pravlJo parna ge nera t or j a . Para , ki tu nastaja , poganja
tur bi no , ta pa e l ek trični gene ra to r. Vendar je mogoče le pri-
bližno eno tretjino to plote spremeniti v električno energijo.
Dve tretjini toplote iz reaktorja ostane v savski vodi, s kate-
ro hladijo kondenzat pare ob izstopu iz turbine. trpalka prečr­
pa vsako sekundo v zaprtem krogu s kozi reaktor in parna genera -
21
torja 9 m3 posebej o č iščene vode. Njen moto r porabi skoraj 1 %
elekt rične energije, ki jo proizvaja elektrarna. Ko se bo ob
polni moči ele ktrarne s avs ka hladilna voda vrni la v strugo, bo
ce lotni vodi dv ignila te mpe rat ur o t udi za 2°C. Vsa ta top l ota
bo vr žen a stran. Stro kovnja ki se cel o boji jo, da bi uteg ni la
por uš i t i živl j en js ke ra z me r e v Sa vi .
MRHI e.~Nf~TOR
Projektanti so mora 1i . zagotovi ti, da se temperatura Save ne bo
dvig nila za več kot 2°C oz iroma da ta ne bo nikoli presegla
2SoC. Kadar bo polet i v Sav i ma lo vode, a li pa bo nje na tempe-
rat ura že blizu 2SoC, bodo vodo ohlaja li tudi v hlad ilnih stol-
pih.
Na konc u j e p e č i c a pr e br al a t udi , da je pri elektrarni dobro po-
skrb ljeno za zaš čito pred ionizirajočim s e va n j e m , venda r n i ra-
zumela, ka j to pomen i. Od vse ga skup aj s e ji je meg lilo pr ed
očmi. Pot opil a se je v globoko razmiš ljanje o vsem, kar je iz-
vedela . Iz dneva v dan si je bolj i n bolj že l e la, da bi vsaj od
daleč videl a t o čudo moderne tehni ke .
Jesen je bila lepa in N atančni k j e več krat vzel pecl co s pol i ce
ter se z družino in znan c i odpravil na izlet, povezan s peko na
žaru. Po ene m od takih izletov je peči co pozabi l v avtu. Ker je
kot s troko vnjak za reak torje sode lova l pri kontrolnih me r i t vah ,
je v e č k r at potova l v Krško . Tako se je primeri lo, da je nekega
22
dne vzel s se boj t udi njo - pečico za žar .
Avto je pustil na p ar kirišču , od koder je bi l lep razgled na
e l e kt r a r no. K sreči je imel Natančnik t~k avto, da prtljažnik
ni bil pokr it i n ta ko se je peči ci izpolnila velika želja. Sko-
z i natrgani papirnat i omot je videla mogočne zgradbe reaktorja.
Po sliki v časopisu je prepo znala pos amezne sta vbe .
Nad vsemi je gospodovala kupolasta s t avba reaktorja. Pravijo ji
reaktor ski hram , č e p r a v v njej ni cvi čka . Tudi temperatura v
njeg ovem sodu - reaktorju je veliko vi šja (300 cC), kot v sodih,
v katerih kipi jeseni cvičkov mo št, ki ga na bližnjih sončnih
pobočjih pridelu jejo marljivi Dolenjci.
Reaktorski hram je z ene strani prislonjen na razsežno stavbo,
v kateri sta parna generatorja , tu rbina , električni generator
in komandn i pult elekt r arne .
Nedaleč stran je upravna zgr adba in za njo so stolpi, po kate -
r i h bodo z vrha spu ščal i vodo in jo tako hladili , kadar bo Sava
premajhna ali pa pretopla .
Pečica se je zastrmela tudi v jez, ki so ga zgradili na Savi,
da se za njim zbira rezervna voda za hlajenje.
Nedaleč od stavb reaktorja je pečica videla pravi gozd električ­
nih žic, izolatorjev in stebrov in .. . To je transformatorska
postaja od katere se en daljnovod vije pr oti osrednji Sloveniji,
drugi pa proti Hrvaški, saj je vsaka od teh republik prispevala
polovico sredstev za gradnjo elektrarne.
"Nevidni elektroni , ki jih po daljnovodih potiska električna na -
petost , prispevajo k temu, da v tovarnah napravijo več izdelkov,
da kmetje pridelajo ve č hrane , da je v domovih svetlo in prijet~
no", je razlagal na poti domov Natančnik radovednemu šolarju, ki
se je nekaj časa peljal z njim. Pečica, ki je prisluškovala, pa
je na tihem dodala: "In da laže in hitreje naredijo novo pečico
za žar." Stisnila se je v omot in se potopila v prijetno drema-
vico.
Ilust ri ra l Bo žo Kos Fran c Cvelb ar
2 3
OBISK VšOšTANJSKI ELEKTRARNI
Ob cesti med Soštanjem i n Ti t ovi m Velen jem stoji na desni pod
grič kom skupina stavb z visokimi dimni ki i n z značilnimi širo-
kimi stolp i, iz kateri h se va li noč i n dan meg la. To je Termo-
elektra rna Soštanj (TES). Ta je l ani odda la v e lektrič no omrež -
je dobrih 3750 giqawattur električnega de la . N a j v e č j a slovens ka
e le ktr arn a je tako s ama pokril a skoraj 4 7 % potreb po el e ktrič­
nem delu v na ši republiki. Preostane k so prispevale druge top-
l ot ne e l e kt r a r ne skupaj z jedrsko e lektrarno Kršk o (10 %) in
vodne elektrarne (36 %) , nekaj pa smo dobil i iz drugih repub lik
in iz tuj ine (7 %) .
V č asu s plošne energijske l a kot e je šoštanjs ka elektrarna vred-
na vse pozornosti. Ima štiri enote, ki so jih gradil i drugo za
drugo in vs aka poznej ša je zmogljivejš a in bolj š a ( s l.l).
Enota moč lastna raba leto dograditve
1 . TES I 60 MW(2.30 MW) 6 MW 1956
2. TES I I 75 7 1960
3. TES III 275 22 1972
4. TES IV 335 30 1977
Moč mer i mo v wattih . Večje enote so kil owa t t , megawatt,
gigawatt:
1 kW = 1000 W 1 MW = 1000 kW GW = 1000 MW.
Oelo, toploto in energ ijo mer imo v jouLih. Enoto za delo
dobimo, ko pomnožimo enoto za moč z enoto za čas. Joule
je wattsekunda . Večje enote so kilowattura, megawattura,
gIgawattura.
Ws = 1 joule
kWh 10 3W 3600 s = 3,6.10 6J
GWh 10 9W 3600 s = 3,6.10 1 2J.
Naprava z močjo 1 MW odda (prejme) venem letu delo
MW . 1 leto = 1 MW .360.24 h = 8,64 GWh .
24
N
u1
5 1 ika 2 Poe notavljena shematična risba enote Te r moe l e k t r a rn e Šoštanj .
Štev i l ke se nan a š aj o na besedi l o .
V toplotni ele ktr a rni pogan j a dinamo stroj ( gen e rato r na indu k-
c i j o ) , ki oddaja ele kt ričn o del o , parn a t urbina . Parn a tur bi na
oddaj a meh ani čno delo , dovaj amo pa j i t opl ot o, V šoštanjski e-
lek tr ar ni je to t oplot a, ki se s prosti pri se ž i gu pr emoga . Lani
j e ele ktra rna porab il a v eč kot šti r i i n pol mi l i j ona t on pre mo -
ga (4 741 000 ton ) . Večj i del j e bil to l i gnit i z vele nj s kega
ru dnika, ne ka j pa je bilo t udi pr emoga iz dru gi h s lo vensk i h i n
j ugos l ovansk i h r udnik ov. Pr emog i z dru gih premogovni kov je ne -
koliko boljši od lignita, a v p ovprečju se j e pr i se ž i gu 1 ki -
l ogra ma sprostilo okoli 9,1 milijon a j oul ov t oplo t e. S se žigom
pr emoga so dobi li lani t ako 4,3.10 1 6 jo ul ov al i sk or a j natanko
12 000 GWh top lote .
S š i r oki mi potezam i, ne da bi se spušča li v tehnične nadrobnos-
ti, opiš imo največjo, to je č e t r t o enoto šoštanjske elektrarne .
Dr uge so j i precej podobne, l e da so manjše .
Iz bl ižnjega rudnika dovaja lignit tekoč i trak na ve liko odla-
ga lišče, kamor odložijo tudi premog iz železniških vagonov. Tam
na lagata vel i ka nak lada lna stroja premog na teko ča trako va, ki
ga pr eneseta do bunkerjev ob kotlih ( 1 na sl.2) . Od tam pride v
mline (2), ki ga sproti meljej o. Me šanico premogov ega prahu in
vročega zraka ( 3) vpihajo sk ozi gor i l ni ke (4) v gori Ino komoro
(5) , kjer premog zgori. Tok vr o čih dimnih pl i nov poganja velik
ventil ator (5) na vzg or. Nek ol i ko ohl a j ene dimne pli ne vodit a
nato navzdol kanala (7) s kozi gr e l ni k sve že ga z r a ka (8). V e-
le ktričnem filtru (9) odl ož i jo prah, na ka r jih ventila t or (1 0)
odčrpa skozi 230 metrov viso ki dimnik (11) . Pepel odla ga jo v
rudni ške ugreznine , ne kaj pepela iz ele ktri čnih filtr ov pa po-
rabijo za izdelavo zidakov .
Skoraj s t o metrov visoki kotel (12) vi si na štirih nosi lnih
stebrih. Ko se kotel seg r e j e , se zaradi , t empe r a t ur ne ga r az t e za-
nja razteg ne za pol metra navzdol. Skupaj z ogrodjem in pomožni-
mi napravam i te hta kotel 15 tis oč ton in vsebuje ce vi s skupna
dolžino več kot 350 tiso č metrov in sk upno površino skoraj 45
t isoč kvad ratnih metrov. Med ce vmi je 35 tisoč zvarav .
26
Slika 3 Montaža nizkotlačnega
dela turbine v šo štanjski elek -
t rarni. V parni tu rbini brizga
para na lopatice, podobno kot
brizga voda na lopat ice vodne
turbine , le da so p ri parni
turb i ni lopat i ce r a z po r e j e ne
na poseben način , ker se ma n j -
šata temperatura in tlak pare,
ko se razpenja in opravlja delo.
Orjaške č r pal ke (1 3), ki r abi jo moč 6 MW , t l a č i j o vodo pr ek o
pr edgrelni kov ( 14 ) v kot el . Voda gr e najprej v grelnik (15) na
vrhu kotla in nato v upar j alnik (16) . Nastala para pusti vodo v
izločevalniku (17) in se v preg revalniku (1 8) pregreje, ta ko da
doseže pri tla ku 187 barov temperaturo 545 0C . Pregreta .pa r a -
kot e l j e da ve č kot ti so č ton na uro - poganja visokotlačni del
turbine (19 ) . Na t o se vr ne v pregrevalnik (20) na pregrevanje
in poganj a še s rednjetla čni (2 1) in niz kotl ačni ( 22 ) del turbi-
ne. Naposled odteče v kondenza t or (23), v kat e r em se utekočini
in ohladi na okoli 320 C. č rpal ke jo ~o tisnejo skozi predgrel-
nik (25) v napajal no posodo (2 6) in tako sklenejo krožno pot
vode in pare .
Topl ot o , ki j o odda par a , ko se uteko čini in ohladi v kondenza-
torju, pr ev zame voda v drugem, lo čenem krog u. V njem potis kajo
č r p a l k e (27) vodo v hladilni stolp (28), v ka t e r em se ohladi od
okoli 450C na okoli 320C in se vrne v kondenzator. (Na ti tem-
peraturi vpliva temperatura zunanjega zraka.) V hladilnem stol -
pu voda izhlapev a , ko cu r lj a navzdol po kanalih in se razprši.
To se doga ja v spodnjem delu s tolpa ; preostali del stolpa po-
s krbi, da se to k vlažne ga z r ak a s kapl j ic ami hit reje dviga (da
stolp "vle če") . Izhlape lo vodo nadomesti jo i z zajetja v bliž-
njem potoku , potem ko odstranijo iz nje raztopljeni apnenec in
jo filt rirajo .
27
SI ika 4 Parna turbina četrte enote v termoelektrarni Šoštanj
z d inamostrojem za moč 335 MW. V hišic i na lev i sta visokotlač­
ni in srednjetlačni del turbine, nato s l e d I t a na skupni osi niz-
kotlačni del turbine in dinamostr oj .
V hladilnem stolpu četrte enote izhlap i okoli 140 kil ogramov
vode v sekundi. Kilogramu vode je treba za izhlapevanje pri
300C dovesti kaka 2,4 milijona joulov toplote (to je nekaj več,
kot j o je t reba dovesti za izparevan je pri 100°C) . Sam o za iz-
hlapevanje vode gre tedaj v sekundi okoli 340 milijonov joulov
toplote . Upo števati je t reba še, da se zrak v hladilnem stolpu
segreje . Tako odda četrta enot a v sekundi 670 milijonov joulov
toplote in 330 milijonov električnega del a, prejme pa oko l i
1000 milijonov joulov toplote. V ečino toplote prejme pri visoki
temperaturi v kotlu in ve čino j e odda pri nizki temperaturi v
kondenzatorju. Naposled jo prevz ame vl ažni z r ak , ki izhaja iz
hladi lnega stolpa . Nekaj prejete toplote, v e č kot desetina, gre
v izgubo s prevajanjem v okol ic o in z vročimi plini v dimniku.
Omrežje ne prejme vsega električnega dela, ki ga oddaja dinamo-
stroj, precej ga porab i elektrarna zas e . Ta lastna r ab a gre za
pogon mlinov za premog, črpalk za vodo, ventilatorjev in podob-
no. Pri računanju je treba povedati, katero doveden o delo in ka-
ter o dovedeno toploto i mamo v mislih. Ce upoštevamo električno
de lo na pragu omrežja in vso toploto, ki jo odda premog, je ter-
moelektrarna šoštanj kot celot a v obliki dela oddala slabo tret-
28
jino dovedene toplote. Enote so se pri tem odrezale ta kole : pr-
vi dve skupaj 27 %, tretja 31 % in četrta 33 %.
Izkori stimo obis k e le kt ~ arne za kr a tk o razmiš ljanje o t op l o t n i h
stro jih , na kat er i h "s lo ni na ša c i vi l i zac ija ". To so poleg par -
ne t ur bi ne i n že zast a rele ga bat neg a par nega stro j a še stroji
na notranj e zgo reva nje : benc i nsk i stroj i n diese l ski stroj. že
v času, ko so poznali samo parne stro je, se je poskušal dokopa-
ti do njihove teoretične osnove Sadi Carnot (51.5). Svoj e misli
je objavil v knjižici Ra zmišljanja o gib a lni moči ognja i n o
s tro jih za i z rabljanje te moči leta 1824 . čeprav je šlo Carnotu
bolj za izb ol jšanje del ovanja parnih strojev kot za za kone nara-
ve , ga imajo ne kat eri za z ač e t n ik a termodinami ke.
Sli ka 5 Sadi Carnot U 1796 , Pa riz - +1 832 , Pari z) . S svojo knji-
Z I C O j e ho tel p re d vsem op o z or it i franc osko gospodarstvo , ki je
tedaj za os t a j a lo z a an gl e škim , na prednos t i parnega stroja.
Umrl je mlad v e p idemiji kolere in po tedanji navadi so z njim
pokop al i več ino n je g ovi h r o k opi sov . Pre ostane k ro kopis o v je le -
ta 1878 n je go v brat i z r o č il F r an c o ski akademiji z n a n o s t i . Odlo-
me k r o kopi sa i z leta 1825 kaže , da j e S .Carn ot t e d a j že z a v r g e l
mi s el o top lot i kot sn ovi . Sod il j e , da j e top lot a v zve z i z g i-
banj e m mo lek u l i n j e ce lo s lu ti l e ne r g i j sk i za k on ( n a mig o v a l j e
n a možnos t pos ku s o v , k i jih j e po zneje nar ed i l J. P . J o ule) . Ven-
da r t e n j e go ve mi sli ni s o v p l i v a le n a nad aljnji ra zvoj. Nj ego v o
kn j i ži c o s o z a č el i pra v ce ni t i še le po let u 1850. Zasl uge z a to
ima Will iam Th om s on ( lo rd Kel vin) , ki je v pe l j a l absolutno tem-
peratur o , z a p isa l iz kor iste k Ca rn oto ve g a s t r o ja in s k u p a j z Ru-
dolf om Cla us i uso m po s t a vi 1 e n t ro p ij s k i za ko n .
29
Zamis li l Sl Je i deal ni toplotn i s t r o j , ki odda v danih okol iš či
nah n a j v e č dela. Tak zamišljeni stroj, ki ga i menuj emo danes po
Car notu , zdr užuj e glavne značilnosti vseh toplotnih st rojev . P~
riodičn o ponav lja spremembo, za katero je zna čilno dvoje . Pr v i č :
sprememba je »e ve r z ib-i l.n a , kar naj pomen i, da j o j e mogo č e ta-
kol e obrniti : če pri prvotni spremembi stroju dovedemo top l ot o
i n odvedemo od njeg a delo, odve demo pri obrn jeni spre membi prav
toli kšn o to pl ot o i n mu doved emo pr av tolik šno delo. Drugi č:
stroj prejema to pl oto sa mo pr i višji tempera tu ri Tz in j o odda-
j a s amo pri nižji tem peraturi TI'
čeprav lahko stroj del a z r a z l i č n i m i snovmi, mis limo ta hip na
vodo. V prvem koraku dovedemo vodi v kotlu toploto, da i zpari
pri temperaturi T z pri konstantne m visokem tl aku. V drugem ko-
rak u se para razširi, ne da bi ji dnva ja li t opl ot o in oprav i
de lo. V tretje m koraku se para v kondenza torj u pr i t empe raturi
TI utekočini pri konstantnem nizke m tlak u in odda to ploto . V
četrtem koraku stisne črpalka vodo v kotel, ne da bi ji pri tem
dovajali toploto. Tako s pr emembo iz š tir ih korak ov - prvega iZQ
termnega (pri konstantni tempe raturi), dru gega ad iabatnega (brez
dova janja toplote), tret jega i zotermn ega i n č e t r t e g a adiabatne-
ga - imenujemo Carnoto va k ro ž na s pr ememba . Spre memba je k ro ž na ,
ke r je del ovna snov po spremembi v enakem stanj u kot pred njo.
S. Car not je pomislil na druge delovne snovi, tudi na zrak, in
zasluti l ob t em možnos t stroje v na notranje zgo revanje .
S. Carn ot je pr i mer j al parni st r oj z mlinsk im kol e s om. Voda z
ma so m, ki pa de z vi ši ne Zz na višino ZI ' odda v ide alnem pr i -
meru kolesu kot delo spremembo potencialne energije:
- A = mg (zz - Z I .)
Delo A je negati vno, ker ga stroj odda . S Carnot je privze l, da
p r i parnem st roju ust rez a ma si toplota Q in vi šini t emperatura .
V idealnem primeru odda tedaj stroj delo, ki je s or azme r no s
prenešeno toploto i n temperaturno razl iko :
30
- A = ko nst .Q (T 2 - T I ) ( 1)
Pre mislek je bi l zanj dokaj nara ven, saJ Je v nje govem času ve-
l j a l a toplota za n e u n i čl j i v o s nov - ka lo riku m. Toplo t a t eč e v
naravi z me sta z višjo temperat uro na me sto z ni žjo te mpera turo
in naj bi v stroju mimogrede odda la de lo , kot ga odda voda, ki
teče z večje višine k manjši.
S.Carnot je dokazal, da noben st roj v enakih okoliščinah,
to je pri danih temperaturah T 2 ln T I in toploti Q, ne mo-
re oddati več dela kot idealni toplotni stroj. Denimo, da
tak stroj odda več dela A Q , ko mu dovedemo topl oto Q. Po-
vežimo ga z obrnjenim Idealnim toplotnim strojem, ki mu
dovajamo delo - A in ki odda toploto Q. Povezana stroj a bi
o ddala razi iko dela - (A a - A ) , ne da bi jima dovajall to p-
loto (ali delo). To pa bi blI perpetuum mobile, za katere -
ga vemo, da je neuresničljiv.
Carnotovo enačbo (1) s o podpirale obsež ne ekspe ri men t al ne i zk uš-
nje. Načrtova I ci strojev so namreč ugotovi li, da to p lot n i st r oj
zares ne more oddajati dela, če j e vsa oko li~ a pr i ena ki t emp e -
raturi , če je to rej T 2 = T I' To bi bi l i20termni toplotni stroj.
Zato pravzaprav ni presenetljivo, da nekateri Carno to vi s k le p;
ve ljajo še dane s , čeprav S.Carnot ni vede l, da s to plo to in z
delom sistemi le izmenjujejo energijo in da ve lja ene r gi js ki
zakon ( g l e j na primer Presek 9 (1981/82) str. 216 ) . Po ener gij -
sk em zakonu stroj, ki ponavlja krož no sprememb o, to je sistem,
ka terega energija se ne spremen i, odda de l o - A , če mu dovede mo
t op lo to Q2 in odvedemo manjšo' toploto Q l
- A = Q2 - IQ1 I (2 )
I dealnemu toplotnemu stroju dovedemo tedaj pri te mpera turi T 2
top loto Q2 in odved emo od njega pri temperaturi TI t opl ot o Q l '
ee bi stroj oddal tolikšno toploto, kot jo prej me, ne bi odda l
nič de la .
P r iv o š č im o si še nekoliko ugi banja. Al i l ahko hkra t i obvel j at a
Car notovo spoznanje, da je odda no delo sor azmerno s temp er atu r-
no razliko (1), in nas ledek energi jske ga zak ona (2)? Da, seved a ,
če pos tavimo, da je dovedena top lota sor azmern a z viš j o te mpe ra-
turo, pr i kateri jo stroj prej me, in odvedena toplot a z nižj o
te mperaturo, pri kateri jo odda:
Q2/!Q l l = T2/T l ( 3)
Nadaljeva nje na 34. strani 31
32
JASNOST
PREBIVALEC
LETOVlštE ATlKE
V SZ
VISINSKAI STR I
TOČKA
TROPSKI
DAN V CIKLON
TEDNU
KARLOVAC
REKA NA
PELOPO- DEKORA
NEZU
OKLOPNO
VOZILO
TIRNICA
GL.MESTO
BOLIVIJE
L A •• .
MOSTVO MOSKO LUNINA MATERINAI ME MEN A SESTRA
IZUMRLI
MLINSKI NOJ
2LEB EDVARD
(K RAJSEl
ODLIČNA
AMER. TE- DETEKTIV GEOMETR. BURMANSKI BORiŠČE
N ISAČICA KIRBV POJEM POLITIK BOKSARJEV
(CHRIS)
IRIDIJ
PERJE
' RI REPI
LUKA V
S. JAD
NEON
"MESTNI
NASA D
TOLST
TREBUH
RECEPT
GEOMETR.
POJEM
KASTORJEV
DVOJCEK
ORODJE
PODKOžNA ŽENSKE
MAŠČOBA TELOVADBE
3
POŽREŠNež
KAJ ETAN
KOV i Č
ELO
(LJ UBK.l
NJIVA
BURMAN
MESTOOB
R.SITTANG
DEL
DIRKE
TOVARNA
V CELJU
POPRAV-
LJALE C UR
REKA SKO-
Z' FRANK-
FURT
ENOČl!:NIK
DOLORES
IBARRURl
EDVARD
KARDELJ
33
Tedaj je oddano del o
- A = Q2(1 - Tj/T2)
V e nač bi (1) nas t opa l e t emp er at urn a razlika i n me r imo l ah ko
te mperat ur o v pol ju bni lestv ici. Za zadn jo en ačbo, v kateri se
pojavi kvoc i ent temp e r a t ur , pa to ne drži. Enačba velja le, če
me r imo t empera turo v absolutni ali Kelvinovi le stvici. Tempera-
t uro v t e j l e s t vi c i dobi mo, če temperaturi v Celzijevi lestvici
priš t eje mo 273, 15. Nova enota za tem peraturo, kelvin K, je ena-
ko ve lika kot s topinja Ce l zija, l e nič li sta v obeh lestvicah
pre maknjeni . DoC ustreza 273,15 K, absolutni ničli O K pa
- 273 , 150 C. Pr i naši natančnosti smemo računati kar z 273 .
Enačbo za Carnotovo krožno spremembo (3) uporabimo za .de >
flnicijo temperaturne lestvice. Dostaviti moramo le še do -
govor, da je temperatura trojnega stanja vode, v katerem
so v ravnovesju led, voda in vodna para 273,16 K. Ta ter-
modinamična definicija je dandanes v veljavi.
Vpe l jimo še izkoristek toplotnega stroja kot kvocient oddanega
de l a in doved en e t opl ot e
'rJ = -A/Q2
Izkoristek idealnega toplotnega stroja a li Carnotovega stroja
j e tedaj
'rJc = 1 - Tj / T 2
Tega izraza Car not ni mogel zapisati, s a j Je mis l i l, da stroj
odda prav tol ikš no top loto, kot jo dobi, in še ni poznal abso-
lu t ne te mperatu rne le s t vi ce .
Izkor iste k top lot ni h strojev, ki so praktično v rabi, je nekako
dvakrat manj ši od 'rJC' Pr i nj i h so na mreč spre membe tako hi tr e,
da nis o r e ve r z i bi l ne, pol eg t e ga prej me delovna snov de l t opl o-
t e pri te mpe r aturah pod T 2 in je de l odda pri te mperaturah nad
Tj. S poda t ki za naj vi šjo t empe r a t ur o par e (v kotlu po vrsti
515 , 530 , 540 i n 5450 C) in za najniž jo te mper a t ur o vo de (v kon-
denzator j u 320C ) z a š tir i enote šoštanjske e lektrarne bi dobil i
z a iz kori stek i de a l ne ga t opl ot ne ga stroja po vrsti 61,3%, 62,0%,
62, 5% in 62 , 7%.
34
Nazadnje t vegajmo še kr atek premislek . Ene rgijski zako n al i pr-
vi z ak on termodinamike prepoveduje toplotni stroj, ki bi ponav-
ljal krožno spremembo in oddajal delo , ne da bi mu dovajali de-
l o ali toploto. To bi bil perpetuum mob i l e prve vrste . Zakon pa
ne nasprotuje izotermnemu toplotnemu stroju , ki bi oddajal samo
delo, ko bi mu dova j a l i toploto : kar post avimo v ena čbo (2)
Ql = O. Za i zku šnjami, da takega str oja ni mogoče uresni čiti ,
s e skriva nov zakon narave, ki je nad ene rgijskim zakonom. To
je entropijski za kon ali drugi z akon termodinamike.
V orjaški tovarni - naravi - sedi entropijski zakon na mes-
tu direktorja, ki določa vrsto poslovanja in njegov potek.
Energijski zakon ima samo vlogo knjigovodje, ki izravnava
prej emke ini zdatke .
Po J .Meixnerju, Physikalisahe Blatter 16 (1960) 506
Ta zakon prepoveduje izotermni toplotni stroj, ki mu pravimo
tudi perpe tuum mobi l e dr uge vrste. Kdaj drugič bi kazalo spre -
govoriti o tem zakonu naravnost, ne pa se vrteti okoli njega
kot mačka okoli vrele kaše. Tedaj bi bilo treba skrbneje vpe-
ljati pojma r e verz i bi l n os t in i re ve r zibilno s t. Za zdaj pa se
zadovoljimo s spoznanjem , da toplotni stroj potrebuje tempera-
turno razliko in da mora poleg dela oddajati tudi toploto pr i
nižji temperaturi. To spoznanje smo zgradili na praktičn ih iz-
kušnjah , tud i na izkušnjah, ki s mo jih dobili pr i obisku elek-
trarne .
J an ez St r nad
Zahvaljujem se dipl .inž.Marjanu Jerneju iz Termoelektrarne Soš-
tanj za vse podatke in pojasnila ter za fotografije.
35
NALOGE
NAUCIMO SE SKLEPATI
V tej številki Preseka in še v nekaterih od prihodnjih številk
smo vam pripravili nekaj nalog , ki so namenjene razvijanju 10-
9ičnega sklepanja. Sposobnost logičnega sklepanja ni prirojena,
temveč jo je treba razviti in negovati. Tako kot še noben špor!
nik ali glasbenik ni uspel brez vaj, tako noben matematik ne mo
re brez nenehneqa utrjevanja svoje sposobnosti sklepanja. Mdte-
~atik najprej formulira trditev, ki se mora skladati s spreje-
timi predpostavkami, nato pa sledi dolqotrajno iskanje dokaza.
Delo je usoešno zaključeno le, če postavljeni trditvi sledi pr~
vilen dokaz. Matematik znanstvenik si zastavi precej več probl~
mav, kot mu jih na koncu uspe rešiti. Veliko krat mu namesto pr-
votno zastavljene trditve uspe dokazati kakšno drugo, poqosto
pa pri sklepanju zaide v slepo ulico. Vse te poti pa so nUJnl
del utrjevanja sklepanja. Na koncu j e celoletno delo strnjeno v
nekaj dokazov.
Problemov, ki so zastavljeni tu, ni treba reševati z naglico.
Nalogo je treba najprej prebrati in razumeti. če rešitve ne naj
demo prvi dan, jo bomo morda našli drugič . Prvim št irim nalogam
orilaqamo v tej številki Preseka tudi rešitev v pomoč , če kakšne
naloge ne boste znali rešiti. Dobro proučimo točko, kjer se nam
bo zata knilo . Ne pozabimo pa, da moramo odqovor na zastavljeno
vpraša nje utemeljiti - dokazati.
Za največ tu zastavljenih problemov qre zahvala ameriškemu 10-
qiku R. Smullyanu . Pa začnimo!
x x x
36
Ko je Al i ca vs topi la v gozd poza blj ivosti, ni pozabi la vsega,
pač pa le nekatere reči. Pogos t o j e poza bi la svo je ime , skoraj
vedno pa, kateri dan v te dnu j e. Le v i n enorožec sta bi la če s ta
gosta v gozdu . Bi la pa sta t udi prece j ču d n i ž iva l i. Le v je l a-
ga l vsak pone de lj ek, torek i n sre do, druge dnev e pa je govor i l
resnico. Po drugi s tra ni pa je enorožec l agal vsak če trtek, pe-
tek in so boto, in govori l r esn ic o druge dni . Be s e da "lag a l " nam
pome ni, da je t isti da n govo r i l sa me l až i , če je l e ka j sprego-
vor i l.
1. Nekega dne je Al ica s reča la l e va i n enorožca, ki sta poč iv a­
l a pod dr ev e s om. Izja vi la s ta nas led nje :
Lev: Včeraj .je bi l moj da n l aganj a .
Enor ožec: Tudi jaz sem včera j l a gal .
Iz teh dveh i z j av j e Ali ca (ki je bil a ze lo pame t na de kli ca ) iz-
pe l ja la, kat er i dan v tednu je bil . Tore j?
2 . Ne k o č je Al i ca sreča la sa mo l ev a , ki j e i z ja vi l t ol e :
(1 ) V č e ra j se m laga l.
(2 ) Ponovno bom l agal še le č ez t r i dni.
Kater i dan v te dnu j e bi l ?
3. V kater i h dne vih v tednu l e v l ah ko i z r eče na slednji dve t r -
d it vi :
(1) V če raj se m la gal .
( 2) Ponovno bom la gal jutri .
4. Ka t e r i dan v tednu j e lev l ahko izjavil naslednje :
" Vč e ra j se m lagal, pa tudi jutri bom 1agal!"
(P oz or : nal ogi 3 in 4 s t a r a zli čni!)
Gotov o boš s edaj s am brez na še po moč i re š i l t udi naslednj e š t i -
ri nalo ge. Ke r s pad ajo te nalo ge i st o č a sno v rubri ko Pr emi sli
in r eš i , l ah ko pošlj e š reš itve ur edništvu Pr e se ka .
V goz du pozab l j iv os t i st a se več k r at spre ha j a l a tudi dvoj č k a
Peter in Pa vel . Eden od nji ju je bil podobe n l evu, sa j je l agal
ob ponede l jk i h, t orkih in sreda h, dru gi pa j e t ako kot enorožec
l agal ob č e t r tk i h, petk i h in s obota h . Druge dneve pa s ta govo-
37
rila resnico. Toda po videzu sta si bila brata ta ko podobna,
da ju Alica ni mogla razločevati.
1. Nekega dne je Alica srečala oba brata, ki sta izjavila nasled
nje:
Prvi: Jaz sem Peter.
Drugi: Jaz sem Pavel.
Kateri je bi 1 zares Peter in kat e r i Pavel?
2. Nekega drugega dne v istem tednu sta brata re kla naslednje:
Prvi: Jaz sem Peter.
Drugi: če je to res, potem sem jaz Pavel!
Kdo je kdo?
3. Ob neki drugi priložnosti je Alica spet srečala oba brata in
enega vprašala: "Ali lažeš ob nedeljah?" Pritrdil je. Potem
je tudi drugega vprašala isto. Kaj je odgovoril?
4. Nekega dne sta brata izjavi la naslednje:
Prvi: (1) Lažem ob sobotah.
(2) Lažem ob nedeljah .
Drugi: Jutri bom 1aga l .
Kateri dan v tednu se je to zgodilo?
Izido r Ha fne r
38
NALOGE BRALCEV
NALO GE BRALCEV
1. P o i š č i vrednos t cife r v kript aritmu - ista črk a pomen i i sto
I
cifro, raz l ič ni črk i pomenita različni ci fr i!
abe + be ade
+ +
ad - c = a j
ag f + be aeg
Zde nk a Panke r
2 . Reš i ena č bo~ - x + 3 = O
3 . Za ko liko proc en tov se spreme ni si la te že na viš i ni 1000 m
nad površin o Zemlje? Radij Zeml je je 5400 km.
Rudo l f EY'ega r
4 . Doka ži , da z a nobeno cel o š te vi l o z i zr az z2 + Z + 2 ni de -
lj iv s 3.
Dr agoljub U. Miloševi6
5 . V š katli s o modre , rde č e in bel e kro gli ce . Vsota mod rih in
be l ih ,k r oq l ic j e e naka dva k rat ne mu š tev i l u r de čih k r o q l I c .
šti r ikratna razlika med rd ečimi i n bel i mi kr og licami da šte-
vi l o modrih kr ogl i c . Pr odukt š t e vi l a modr i h i n rdeči h kro q-
lic pa na m da 30-k rat no š t e vi l o bel i h krogl ic. Ko l i ko je
krogli c vsa ke ba rve ?
An dreja Er dl e n
39
BOLJ ZA ŠALO KOT ZARES
IZ ZAPISKOV INšPE KTORJA CRAI GA
Znan i ame r išk i l ogi k R. Smullyan v knjig i What is the Name o f
this Book zastavlja nas lednjo log ično ugan ko . Glavne osebe so
obtože nec , to ži l ec in br an ilec obtože nega . Ve se , da e den i zm ed
njih vedno govori resni co (re cimo mu re s nič n i k ) , drugi je l až -
nivec - ve dno l až e, tre tji pa včasih govor i r e sni c o, vč a s i h l a -
že ( r e ci mo mu običajnik ) . Ne ve se pa, kaj j e ka t er i. Sodi š č e
ve tu di , da č e obto ženi ni kri v , da je kr i v a li bran i lec a li
t ožil ec . Ve s e t udi , da tisti , ki j e kriv , ni lažni vec. Omen j e-
ni trije s o i zjavili naslednje:
Obto ženi : Nedolžen sem.
Branilec obto ženega : Moj var ovane c je res ne dol žen.
To žile c : Ni re s , obt oženi j e kr i v .
Por ota se na osn ovi teh treh lZJav ni mo gla odločiti. Zato so
pos l a l i po in šp e ktorj a Crai ga iz Sco t l and Yard a. Crai g se j e
o d loč i l, da p oi š če kr i vca, pa tudi, da ugoto vi , kaj je kdo, in
t o s či m man j vpra š anji . Vpra š al j e tož i lca, če je morda on kr i -
vec. Tožile c mu j e odgovoril . Inšpektor j e malo pomi s l i l in
vprašal obto ženega, če je tožilec kriv . Obtoženi je odgovoril
in in špe ktor je vedel vse. Kdo je kriv, kdo je r e sni čnik, kdo
o bičaj n~k in kdo l až n i vec?
Tomaž Pi sansk i
40
TEKMOVANJA-NALOGE
26. REPUBLIšKO TEKMOVANJE SREDNJEšOLCEV VMATEMATIKI
Sončni Koper je 3. aprila 1982 pozdravil 161 navdušenih mladih
matematikov (46 učencev prvih razredov. 49 učencev drugih raz-
redov. 40 učencev tretjih razredov in 26 učencev četrtih razre-
dov). ki so pripotovali z vseh koncev Slovenije, da bi na S red-
nji pedagošk i i n nara voslo vno-mate mati čni š o li Koper preverili
svoje znanje ob reševanju nalog, ki jih je pripravila republiš-
ka komisija za tekmovanja srednješolcev v matematiki pri DMFA
SR Slovenije.
Tekmovanje se je po svečani otvoritvi pričelo ob 10 . uri. dija-
ki pa so imeli za reševanje nalog na voljo dve uri in pol časa .
Naloge so bile ta kšne:
1. razred
1. Naj bo x iracionalno število. V k a k š ni zvezi morajo biti od
nič različna racionalna štev ila a , b , c in d, da bo
a .x + b
c . x + d
spet racionalno število?
2 . Določi tiste vrednosti s p r e me n l j i v ke x , za katere doseže
funkcija
f( xl = lx - 11 + lx - 91 + lx - 81 + lx - 21
najmanjšo vrednost!
3. Nad premerom polkroga je
načrtan enakostranični tri-
kotnik kot kaže risba.
Izra čunaj ploščino osen-
čenega dela!
41
4. Raztopino do bim o ta ko , da zme š a mo d ve tekoč ini . Eni pra v i mo
topljenec , d r ug i pa topilo . Koncentracija ra ztop in e je r a z -
merje med ma so t o p l j e n ca v r a z top in i i n ma s o r a z to pi ne . Ko -
l ikšna je gostota praztopine s ko n c e n t r a c i j o c , če ima to -
pilo g o s t o t o 5'0' to~ljenec pa gostoto 5'?
2 o razred
1. Za katere m so to čke A(3,2), B ( m, - l ) ln C( - 2,m ) ogllšča pra-
vokotnega trikotnika?
2. Pokažl, da je funkcija
f (x ) = l o q f z + I x 2 + 1
1 i ha!
3 0 Polš či vse -realne r eš i tv e e n a č be
lx + l'2""X--=--T +~2x - 1 12
4 . Krajišči premera krožnic e K sta to čki (0 ,1) in (p, q) . Dokaži,
da sta preseči š č i x l ln x2 krožnice K z abscisno osjo korena
kvadratne ena čbe
x 2 - px + q = O
P ri tem velja : p 2 ~ 4qo
3 . razred
1. V kro žni odsek je včrtan krog. ki i ma enak obseg kot je dol-
žina tetive . l z r a č un a ] sredi š čni ko t !
2. V k a k š n i z vezi mo rat a biti ko e fic i e n t a p i n q venačb l
x 3 - x 2 + px + q = O
da bo za korene x l . x2 in x3 veljalo
x l x2 + x2 x 3 = t ·X l X 3
3. Izrazi v obliki produkta
sin 2n a + sin 2nS + sin 2n y
če je n E 7L . a + S + y = 11 .
4. Na rišl graf funkc ije
f (x ) = arc sin IX + arc s i n~
40 razred
1 . Ko li ko š tev il med 1 ln 1 000 000 (vključno)
z enim od š tev I 1 6. 7 ln lO?
2. Naj bo b ,;. c in x 3 Bx 3 Ax 3f (x ) = + x+lj + --x +a x+c
je delj ivih vsaj
Določi A in B tako, da bo obstajala l imita
1 Im f (x )
X 4- cc
ln to limito tudi Izračunaj !
42
3. Pok aži, da števila 12, !3 in IS ne morejo b it i hkrati č l e n i
nekega geometrijskega zapo re dja!
4. V ra vnini l e ž i n kr ogo v z e nak im polmerom tako, d a s e ne se-
k ajo. Načrtamo vse premice . k i so ta nge nte vsaj dveh kro gov .
Kol i k o n a j v e č p r e s e č i š č dobi mo?
Po te km ovanj u so imeli dijaki kos i lo, naka r so si skup no ogle-
dal i zan imive hrastoveljske fre ske i n pa Pi r an . V tem času so
č lani te kmovalne komisije ob p o m o č i številn ih spremljevalcev
ek ip pregleda li in ocenili njihove izdelke, kar zaradi veli ke-
ga števi la sodelujočih dijakov sp loh ni bila lahka naloga. Tek-
mova lci so pri reševanju nalog pokazali veli ko znanja, delovne
vneme in vztrajnosti, o čemer p r i č a tudi ve liko število nagrad
(27 ) in pohval ( 22 ) , podeljenih na sveča nos ti ob koncu tekmova -
nja .
Naj usp eš ne jš i so bi li n ~sl ednji u čen ci:
1. raz red
T. nagrada: Ton-i s i ae i z eo , Sred . nar. -mat. i n kov.str.šo la Pos-
t ojn a; Roman Drnovšek , Ma rko Gašperšič i n Dušan
Gorše , vsi s S red n je n ar a v os lo v no-ma t e ma ti č ne š o le
Ljub l j ana .
2 . na grad a : Dejan Šemrov , S re d. nar.- ma t. šola Id r i ja.
3 . nag r a da: Ma rtin Juvan , Sred . n a r. -m at. š o l a L. jub lj a na; Sa šo
St r~e , S re d.š o l a z a elek troniko Ljubl jan a.
Po h vala: A~e š Amb ro žič , Sred. š o1 a z a zd r. i n dru žboslo vje
Nov a Gorica; S~avko Dobnikar , Sandi Kodri č l n Tomaž
Kran j e c , v si s Sred.nar .-mat . šol e Ljubljana; Benko
Ig or, Gimn.M.Zidanška, Mar ibor ; Al e š Podgornik, Sr e d .
p e d . in nar.-mat. š o l a Kope r .
2. r azre d
1 . nagrada: J ure Škarab ot , Gim n . M.Z ldan ška , Ma r ibor .
2. na gra da: Mat ja ž Menoej , Sred.n ar.- mat. š o l a Lj ubl jana; Vlado
Robav , Gimn . M. Z i d an š k a , Mari bo r ; Uro š Sel jak , Gl mn .
NOJ a Gor ica.
3 . nag rada: Mitja Doma , S re d.nar.-ma t. š o l a Ljubljana ; Stanko
Grude n, Gi mn. Id r ija; Adam Kar-a i i d , Gimn . šent v id ;
Mirosl av Re par , Gimn . Sež a n a; Pr i mož Vi ndšnurer i n
Mi ~ oš Že f ran , Gimn. No va Gorica .
Pohvala: Dar j a Grah , Gimn. Ravne na Koro š kem; Samo Haj dinj ak,
šC R.Maistra, Kamnik ; Boštjan Jak~ič, Sred .nar .-mat .
š o l a Ljubljana; Matjaž Ko vače o , Gimn.M .Zidan ška Ma-
r ibor ; Aleksande r Zidan šek , Gimn. Celje.
43
3 . razred
1. nagrada: Robert Bak.u l a , Sred.nar .-mat. šola Ljubljana.
2. nagrada: Ivan Pep e l n j ak , Sred .nar .- mat. šola Ljubljana;
Roman š op e r , Gimn. Novo mesto.
3 . nagrada: Polona Blaznik , Sred.nar .-mat . šola Ljubljana ;
Aleksej Tu rnšek , Gimn. I.Cankarja, Ljubljana .
Pohvala: Marjeta Cedilnik in Ana Pribakovič, Sred .nar . -mat .
šola Ljubljana; Juš Kocjan , ETŠ Lj ubljana; Dean Mo -
zetič , Sred .ped . in nar .-mat. šola Koper; Robert
Rodo š e k, Gimn . M.Zidanška, Maribor; I rena Ši frar ,
Gimn.M.Zidanška, Maribor .
4 . r azre d
1 . nagrada: Miran Če rne in Mo jca Tavčar , Sred .nar.-mat . šola
Ljubljana.
3. nagrada : Goran Filipovic, ETš Ljubljana; Bok o Mandrino in
Igo r Močnik , Sred.nar .-mat. šola Ljubljana.
Pohvala : Veronika An der l uh, Sred.šola za elektroniko Ljub-
ljana; Peter Antunovi c , Gimn. I.Cankarja Ljubljana;
Ma t e j Br e š ar ;: Gimn. M.Zidanška Maribor; Jan k o K ok o-:
ša l', 2elezarska in metalurška sred.šola Jesenice;
I gor Kuka vica , Sred.nar .-mat . šola Ljubljana .
44
V sode l ovanju z DMFA SR Sl ovenije j e t ekmovanj e organizi rala
podružni ca DMFA Kope r , pokroviteljstvo nad nji m pa je prevz ela
LB - Splo šna banka Koper , ki je prispevala večino denarnih sre ~
stev in vsem prvona grajencem izročila tudi s voj e hranilne knj i-
žice z lepo denarno na~rado . Sodelovale so tudi številne druge
delovne organizacije, skupnosti in ustanove z Obale in na raz-
lične načine podprle tekmovanje. Tako je k dobremu počutju tek-
movalcev pripomogel tudi kolektiv Doma u čencev He r o j a Tita v
Kopru, kj e r so prenočili dijaki iz oddaljenih krajev in ki je
za vse te kmovalce pri pravil kosila te r odstopi l svojo dvora no
za svečano z a kl j u č n o sl ovesnost z razglasitvijo rezultat ov te k-
movanja.
Vsi tekm ovalci so pre jeli v s pomin na to te kmovanje še knj i ge
i z zbi rk e S i gma , zna č ke LB - Spl ošne banke Koper in posebne
Presekove značke, ki j i h dobijo le udeleženci republiš kih te k-
movanj , Bilten o te kmov anju in še nekaj malenkosti. V Biltenu,
ki ' ga je pripravila pri zadevna skupina organizatorjev, najdemo
pol eg nagovorov ob otvoritvi še se zname sodelujo čih , nal oge s
45
tekmovanja , seznam nagrajen ce v in p o ro čilo t e km ovalne komis ije.
Vt isi s tekmovanja govo rijo , da imamo Slo venc i spo soben , zagna n
in uspešen mladi rod matemat i kov , nad katerim bdi j o požrtv oval -
ni mentorji po š olah in DMFA SR Slovenije .
Republi ška komi s i j a za tekmovanja sred nješo lce v v ma temat ik i j e
v Kopru tudi določila ekipo št i rinaj stih dija kov za zvez no tek-
mo vanje mladih matemati kov , ki je bilo v Sarajev u od 22 . do 25 .
a prila . Poročilo o tem tekmovanju in o uspehu naših dijak ov pa
boste našli v naslednj i številk i Presek a .
Milena Kožar
8, REPUBLIšKO PREDTEKMOVANJE SREDNJEšOLCEV VMATEMATIK I
š ol s ki aktivi profesorjev matematike so v soboto, 13 . marca
1982 , pod vodstvom republiške komisije za tekmovanj a srednje -
š ol ce v v matemat iki izvedli šolska tekmovanja, na katerih je
sodelovalo preko 1200 dijakov s 36 srednjih šol iz vse Slove -
nije . Naloge predvsem v prvem in drugem razredu niso bile tež -
ke , o č e m e r priča š t e vi l o di jako v , ki so jih šole predlagale za
r epubl iš ko tekmovanje v Kopru (1 . r az r ed : 128 , 2 . razred: 11 8,
3 . razred: 67 ,4. r azre d: 50) in števil o dijakov , ki so pravil -
no rešili vse naloqe (1. raz red: 23, 2. razred : 40 , 3. razred :
14,4 . razred: 8 ) . Sicer pa o tem presodite sami!
Naloge s predtek movanja:
1 . r a z r e d
1. P r i kak šnem a ve 1j a:
a + 2 1a l = 12a - 41
2. Poen ost avi i z r a z :
1 1 2
+
4
+
8
+
1 6
+ + l+X 2 l+X 4 l+X 8 l+X 1 6l-x l +X
46
3. v petmestnem številu 3 2 x 1 y d 0loči cifri x in y tako, da
bo to š t e v i l o deljivo z 12! Po išči vse rešitve!
4. V nedelj o je prišlo na smu čiš če 624 smučarje v . Zmoglji vo st
vlečni ce ie 720 oseb na uro, vož nj a pa traj a 10 minut. Smu-
č a r pot rebuje za spust (upoštevaje padce, postanke v okrepče ­
va l n i c i , son čenje l t d . ) 15 minut . Kako dolg o je treba č a k a t i
na vo ž njo z vlečnico? Koliko smučarjev čaka v vrsti pred vleč
ni co? -
2 . 1'az1'ed
1 . Doka ž i , da v pra vo kotne m t r ik ot n i ku s katetama a in b , h i po -
t en uz o c i n p l o šči no p ve lja:
C 4 = a 4 + 8p 2 + b 4
2. Po i š č i v se re š it ve ena čbe
x l +l og x = 0,001- 2 / 3
3. V krožni izsek zradijem R je vč r t a n krog zrad i jem 1' . Izra-
ČU na j , kol i ko meri sr edi š čni kot izseka i n kakšno je ra zme r-
j e ploščin izseka in včrtanega kroga , č e j e
R : l' = 3 : 1
4. Od doma do šo l e imata brata 400 m. Starejši brat, k i dela ,l.dm
da ljše ko r ak e, naredi na tej poti 2 0 0 kor ak ov ma nj ko t ml a j -
š i brat. Kak o do lge ko r a ke delata brata?
3 . 1'az1'ed
1 . Reš i e n ač b o:
3 .l x +~2
2 . Re š i e nač bo :
4s in 2x + 4c o s 2x
+
5
= a
3. Ga n a j e f unk c i j a
t ( x) rx 2 - 4x + 6 , z a x < 2= ~\
l. 4 - x , za x > 2
Dol o či i nver zno fun kcijo in na riš i njen graf!
4 . Enak a naloga kot 4. naloga za 1. raz red.
47
4 . razred
1. Poišči v s e f unkcije ob 1 i k e
F (x ) = ax + bx + o
za kater e i d e n t i čn o velja: F(F( x ) ) = x
2. I z računaj r--l
1 i m (n . ( 1 - 3; 1 - 1 )
n - oo • n
3 . Ce so števila a 2 , b 2 , 0 2 z aporedni členi ar itmetičnega zapo -
re dja, dokaži, da so števila
1 1 1
b+"C ' a+a ' iJ"+Ci"
tudi zapore dni členi aritmetičnega zaporedja!
4. Dokaži, da je n a j v e č j l koef icient v razvoju poten ce binoma
( a+ b) 2n sodo število!
Gora z d Le šn jak
10. Nobena od spodnjih enačb ne drži, vendar lahko vsako popra-
viš tako, da prestaviš eno samo vžigalico.*
~ • • • Il •
I I1I i
I
}.. "'....-=$ ~ ~
il~• i.,
+ U b. _ ' ,.•
* V tretji števi lki devetega letnika smo zač eli po delih objav -
ljati to zbirko nalog, ki jo je za Pres ek nap isa l Roman Rojko.
Se nadaljuje . (Op.ur .)
48
v
PREMISLI IN RESI
Za nalogo o reza nju šaha vnice s mo dobi l i l e šest reš it ev . Posla
li so nam jih Aloj z Barlič iz Zaqorja, Zoran Grom z Vrhnike, Juš
Kocijan iz Ljubljane, Tomaž Leban z Je senic, Gordana Miletič iz
Tito vega Velenja in Fr an c Jerala iz Kranja .
Zora n Grom se j e ze lo sis t ematično l otil nal oge , zat o njegovo
reši t ev tudi obj a vl j amo i n mu poši l j amo knj i ž i co N. Prij ate l j a
Osnove matematične logike , ki je ra vnokar izš la v knji žnici
Sigma .
Najprej sem vse možne ploskve (like), ki jih dobimo z rezan jem
šah avnice s 4x4 polji (kvadratki), razdelil v 6 skupin .
,1 . V prvi skupin i sta ploskvi s po enim sami m kvadr a t kom.
Možni sta le dve : be l a in čr n a (glej pr ilogo s lika 1).
- ID .S1 i k a 1
II . S po dvema kva dratkoma je možna l e ena ploskev , saj v vsa-
kem primeru t z r e ž emo en be l in en čr n kvad r atek, ki se dr-
žita s kupaj ( slika 2).
C. SI ika 2
III. štiri var ian te pa so možne s tremi kvadr at ki : dve "rav ni"
in dve "zl oml jen i " , ki s e med seboj 1oči j o po drugačnem
razporedu črni h in belih kvadratko v ( sl i ka 3).
49
IV. Tudi s 4 kvadratki še ni bilo nobenih te~ av in kmalu seM
ugotovi l, da več kot 10 možnih ploskev v našem prime ru ni
( s 1ik a 4) .
~illltJl~i~,& j1 ••i
&:J,~,~,d Slik a 4
V. Pr i 910skva h s 5 kvadratki pa sem naletel na pr ve težave.
Poleg tega, da li ka s s like 5 ~ista možna, ker imamo šah oy
nic o veliko l e 4x4 polja, so se pojavile težave predvse m v
iskanju novih l i kov. Poskuš al s em priti do reš itve po mate-
matični poti, po vzoru na loge KO LIKO J E KOMBI~ACIJ? iz l an-
ske 4. števi lke Pr e s e ka, pa mi ni uspelo. Zato sem se i s -
kanja novi h likov l ot il r a je s s i s temom dodajanja, t ako da
sem s i na šahov nic i i zbra l zač e t no pol je (i z ho d iščn i kvad -
ra t ek ) i n mu sist e m a t ično doda j al še dr uga , kot je pr ika-
za no na s l iki 5. Nastal pa j e nov prob le m, ke r se m dobil
pol no i dent ičn i h ploske v, ki so bile npr. le mal o d ru g a če
zasukane ali pa s o imele s pr emenj en položaj i pd . (kot npr.
l ik i E, L in G a l i pa A in K). Ko sem pote m s sistemom e l i
minacije izloč il vse odvečne ploskve, mi j ih je še vedno
osta lo 32, ki pa bi ji h bilo t r e ba ne kako urediti . Najprej
mi j c na mise l prišla klasif ikacija po raz merju be l i h i n
črnih kvadratkov na posa meznih ploskvah . Vendar ta uredi-
t ev ne bi da la rav no dobrega pre gle da na d vse mi ploskva mi .
• • • I • • I S lika 5
I
Nato pa sem opaz i l , da se nekateri l i ki spremenlJa, če j ih
prezrcali~ preko premice , dru gi pa šele, če jih orezrcalim
preko točke, tretji spet pa s e v obeh primerih sploh ne
spremenijo . Tako sem j i h po zgornjem kopi t u razvrst il v
tr i podsk upi ne :
V.a) ploskve, ki se ne s pr emenl J o , če ji h prez rcalimo pre -
ko premice al i preko točke. Taki h ploskev v sk upini s
po petim i kvadratki ni , pra v tako jih ni tudi v vsak i
50
s kup ini z li hi m številom kv~d r a tk ov . To pa verjet no
zato, ker lih o število kvadratk ov o n e m o g oč a , da bi
pl osk e v imel a vsaj dve tel esni si met r i j ;, kar pa j e
v tej s kupi ni pogoj ;
0DB[]~D
1 5 1 1 14 145 1
234 ,23~ , 2 3 4 5 , 23 ,23 ,2~ 5
ABe O E F
DDDU2 W2 [J223 2 25 43 3 35 4 • 3 4 . 5 ~ 3 4 • 5 , 5 4 ,4 5 l td.
G H I J K L
V.b ) pl os kve , ki s e ne spr emenij o pr i z r caljenju pre ko pr ~
mi ce , sp remenij o pa pr i zrc a l j enj u pre ko točke. Naha-
jaj o se v sk upi nah po dve i n imajo najm an j eno te les-
no simetrijo (sr~di ščn o točk o a l i pa tel esn o simetra -
l o) . Tu i ma mo šes t ta ki h s kupin , t or e j 12 pl osk ev
(sli ka 7 ) ;
-:-'~i.&l~ig&-==lcJ i
Ml~i~l~ Slik,)
V. c) pl osk ve , ki se spremenijo na oba na č in a z r ca l j en j a .
~ a h a ja jo se v skupinah po 4 in nimajo telesn e simet-
r ij e. Opaz i l sem , da je teh pl os kev procentualno več,
če je š t ev i l o kvad ra t kov liho, in manj, č e je število
kvad ra tko v s odo, Teh li kov j e 4'5 , t or ej 20 (s l i ka 8 );
5 1
~1~iYI~I~I~iCl&ln ,
& I&. Slika8
VI. Na podobne težave, kot pri ploskvah s 5 kvadrat ki, s em lo-
gično naletel tudi pri ploskvah s 6 kvadratki , le s to r a ~
liko, da je bilo tu likov še več in zato tu tudi nisem pov
sem prepričan , da sem našel prav vse. Sic er pa sem jih tu-
di tu r a zde l i l v tri podskupine:
a) li k , ki se ne sp remeni na oba nači na pr e j om enje nih z r -
caljen j , je samo eden (slika 9);
Sli ka 9
b) pr i li kih , ki se spremen l Jo, č e jih prezr calimo pre ko
to č ke , imamo tu 10 s kupin , tore j 20 li kov ( s l i ka 10);
c) v t retji s kupin i pl os kev s po 6 kvadr atki pa i mamo 4. 18,
torej 72 likov (ploskev) ( slika 11) .
52
M'mINJ'~i&'~1
~1~i~I~I.B. I~ i
MJIWICMI-oiMI~'
MI~i~I~INlcW i
--=1~1=--'~i~I~'
~'e&i~,rg'~'~ i
~g-'~~iff
"~i~IB.::. Ic.::CI~i
AU&.'&I~i~ ~,
-=,'~i'~ '~i~1
-=&.'~1cC-u. S lik a 11
53
Vseh raz ličn ih plo s ke v z naj več 6 kvadratki , ki jih lahko
dob imo z re zanjem šahavn ice s 4x4 polji j e
2+1+4+10+12+20+1+20+72 142 .
Zoran Grom
Tokrat vam pred laga mo logič no nalogo. Pre berite si č lanek "Na u-
čimo se s kl e pat i " 1. Haf nerja na strani 36 in posku site rešiti
vsa j eno od š t i r i h na l og o dv o j č k i h Pe t ru in Pavl u. Rešitev ka -
tereko l i te h nal og - se ve da pa l ahk o t udi reš itev dveh, t re h a -
li vse h štiri h - nam pošlji te do 25. sep tembra 1982.
Pete r Pe t ek
Reš it ev s strani 48 !
• • • • • •, mt ;.
I
• ,. • •
\I I •
54
ASTRONOMIJA
ENERGIJA IN ZVEZDE
V 4 . š t e vi l ki lans keg a Preseka smo videl i , kak o kor i st e n poj em
je energija. Tudi v ast r onomiji nam pojem ener gi je pomaga , da
r e š i mo ma rsi ka te r o uga nko .
Sonce se dan za dnem vsako jutro dvigne na d obzo r j e in na s og-
reva . Tudi zvezde na vide z nes pr emenljiv o svetijo vs ako noč .
Od kod jim to lik šna energija, da v tisoč letj ih , kolikor jih
ljudje gl e damo , nism o opa zili , da bi z vez de uga š ale ? Za Sonce
vemo še ce lo v eč - arh eo logi so odkrili ostanke živ l jenja , ki
so stari milijardo let. Gotovo je mora l o Sonce svetiti tudi v
tako da vni h časih , s a j si d rugače ne znamo pre dst avlj at i , da
bi ž i vl j enj e lahko obstaj a lo brez tega.
S ka kš ni m gor i vom s e napa ja " s o n č n a cent rala " , da lah ko del uj e
tako do l~o? Pa pos kusi mo z nekaj sk lep i . Svetloba, ki , j o Sonce
seva, odna ša z njega ener gi jo, ki j o morajo pre s kr be t i izvo ri
v nj em. Kol i ko ener~ij e odnese s vetlob a s Sonca v sekundi, l ah-
ko ocen imo . Astronom i so izmeri l i, da je Zemlja oddal j ena od
Sonc a 150 milij onov ki l ome t r ov , na vsa k kvadr a t ni meter na Zem-
l ji pa pride v sekundi okrog 1300 J energ ij e. Vse kaž e, da s e va
Sonce v vs e smeri enako, zato bi kateri koli kvadr a t ni meter, ki
je obrnjen proti Sonc u in je odda l je n od njega to l iko kot Zem-
l j a , prestre ge l ena k ener gijski to k . Ener gija, ki jo sev a Sonce
v sekundi - to mo č imenujemo tudi 1:z s e v Sonca (Lo) - j e torej
enaka ener giji , ki pade na kvadra tn i me t e r v sekundi, pomn o ž en i
s površino kr ogl e , ki i ma r ad i j 150 mili jon ov kilome tr ov . Kratek
55
račun nam pokaže, da je izs ev Sonc a skoraj 4 x 102 6 W. ( če bi
hoteli na Zeml ji pro izve s t i toli kšno moč, bi morali na vsa k kva9
ratni meter celotne Zemljine površin e postaviti okrog 20 tolikš-
nih el e kt r arn, kot j e nuk l ear ka v Kršk em.) To j e vse ka kor g igan ~
ska mo č, venda l' nam š tevi lka ne pove vel iko , če ne vemo , kol ikš-
na ~e masa ~oriva, ki daje to moč.
Tudi maso Sonca l ahko izračunamo , ker vemo, da se Zemlj a gibl je
okoli Sonc a pri bližno po krožnici zradijem (r) 150 milijonov
ki lometrov. Gibanje Zemlje je torej pospešeno v smeri proti Son-
cu s pos peškom
Tu pomeni v krožilno hitrost. Ker poznamo obhodni čas Zemlje o-
koli Sonca ( to)' lahko takoj izračunamo:
v = 2nr/ t o'
Zemljo pospešuje proti Soncu gravitacijska sila
Tukaj je G aravitaci jska konstanta, MZ in MO pa sta masi Zemlje
in Sonca. Pospe šek Zemlje a je pot em ena k
Iz izr azov za a in v l ahko konč n o iz r ač unamo MO '
Ko vstavimo numerične Dodatke, dobimo za maso Sonca pr i bl i žno
2 . 10 3 0k g.
Končno poznamo moč, ki jo Sonce seva, in njegovo ma s o . če si
predstavljamo, da je ~sa Sončeva masa gorivo, ki napa j a "sončno
centralo", lahko izračunamo moč, ki jo proizvaja vsak kilogr am
goriva - to količino ponavadi označimo zB . Očitno je
56
Moč, ki jo v povprečju proizvaja kilogram s novi na Soncu, je
izreono majhna. Kolesnrska žarnica troši pri normalnem gorenju
okro g 3 W - če bi jo poganjali s tako baterijo, kot je na Son-
c u , bi rabi 1i 15 tonsko bate ri jo - prav neprimerno. Ob tako ne-
navadni š tevi lki pa se moramo spomniti dru gega ekstrema; "sonč­
na baterija" sveti že vsaj milijardo let, pravzaprav cenijo, da
sveti že š t iri i n pol milijarde let in še nič ne kaže, da bo kma -
lu ugasnila. Izračunajmo energijo, ki jo j e do danes že oddal
p o v p r eč n i ki l ogr am snovi na Soncu - to je mo č , pomnožena s ča­
SOI11, v katerem se ta moč proizvaja (T
0
:::::: 4 , 5 x 10 9 1e t ::::::
1.4 x 10 1 7 se kund )
S T = 2.8 x 10 1 3 J / kg
o
Se pr e d slabimi sto leti je tako i z rač u n ana štev il ka močno be-
gala fizike in astronome, ker je tako velika . če npr. zažgemo
kilogram pr emoga , se sprosti stotisočkrat manj energije. Ener-
gi j sk i za kon nam potemtakem zagotavlja, da na Soncu ne gori pre-
mog, ne ben c in in gotovo prav noben o kemijsko gor i vo , sa j je ka-
terokoli kemi j s ko gorenje energijsko veliko premalo izdatno, da
bi se l ahko kosalo s pot r ebam i "son čne centrale".
V za čet ku te ga stoletja še niso slutili, da lahko potekajo v
naravi tudi jedr ske r e a k c i j e, katerih izda tn os t je r avno prav š-
nja za energijske potreb e zvezd. Zato so v okviru ted~ njega z n ~
nja i sk ali druge mo !ne energijske izvore. Posebno zani miva se
je zdela gravi t ac ijska po te nc i aZna ene r gij a .
Vzemimo, da je zvezda najprej zelo velika plinasta krogla, nato
pa se polagoma krči pod vplivom lastne teže. Ke r del uje s ila te -
že s t al no proti sredini zvezde, to pa je tudi v smeri k r č e n j a ,
opr a vl j a delo na pl aste h z ve zde . To delo se por abi za se greva -
nj e zve zde. Seve da pa se zvezda ne sme preve č s eg r e ti, saj so
zvezde plin aste in vemo, da v pl inu r aste tl ak z n a r a šč aj o čo
t enp e raturo . če bi se pl in preveč se grel , bi tla k v njem t ak o
m o čno narasel , da bi se zvezda nap i hnila, ne pa sk r č ila . K rče­
nj e z ve zde zaradi lastne gravi t ac i je torej natan ko nadzira tl ak
pl ina. č e zvezda s se grevan jem i zgubi ne kaj energi j e , se la hko
s k r či l e to l i ko , da opra vi s ila t e fe na pl inu v zvezdi dva krat
57
toliko del~ , kolikor ener gIJ e je odnes~o sevanje . Z~kaj pa dva-
krat toliko? Ce bi teža lah ko or ra vi l a delo, ne da bi se zvez-
da spremenila , bi bilo nadomeš čanje izgub ravno zados t no . Ven-
dar pa se je zvezda ob kr čenju zmanj šala, zat o t e ža mo čneje
stiska pline, ki morajo bi ti sed aj pod višji~ tlakom in zat o
pr i viš j i te mperaturi. Polovica dela, ki ga je op r avil a te ža,
se mora porabiti za s egrevanje plina v zvezdi , drugo polovic o
pa je zvezda i zs e va l a . (Da s e dokazati, da mora bi ti pri nor-
malnih zvezdah delitev energije ravno pol na pol, vendar doka -
za tu kaj ne bomo navaj ali, ke r je malo dalj ši.) Proti koncu
prejšnjega stoletja je t ako an g l e~ k i fizik Eddington izračunal ,
da bi moglo Sonce na t a n ačin sev at i okro g trideset milijonov
let . Ker takrat geolo ški doka zi o s taros ti Zemlje še niso bi li
tako prep~ičljivi kot danes , se mu je ta številka zde la zadovo-
ljiva in veliko fizi kov je verjelo, da je gravitacijska poten -
cialna energija res tisti energijs ki izvo r, ki preskrbuje zvez-
de.
šele v začetku tega stoletja so se z a čele kaz ati pomanjkljivos-
ti te teorije. Dokazi, da je Zemlja v resni ci precej starejša
od 30 milijonov let, so pos t a j a l i vse bolj prepričljivi, odkri-
li pa so tudi jedrske reakcije, ki so energi j s ko milijon krat
izdatnejše od kemi jskih in so zato takoj postale najresnejši
kandi dat za ener gij ski izvo r v zvezd ah.
Eddingtonovo delo pa je kljub napačnemu zaključku igralo pomemb-
no vlo go pri odkrivanju resničnega izvora energije v zve Zdah.
Eddington in drugi so namreč izračunali, kolikšna morata biti
temperatura in gos to ta v notran josti Sonca, da prit isk plina
ravno zadržuje krčenje Sonca zaradi teže . Ugotovili so, da mo-
ra biti gostota nekaj desetkr a t ve čja od gostote vode, tempe ra-
tura v središču Sonca pa naj bi bila okrog 15 milijonov stopinj.
K o n č n o je Bethe 1938 leta ored postavil, da v Soncu teče jedrska
r ea k c ija, pri kateri s e jedra atomov vodika zlivajo v jed ra a -
tomov helija. Ko so na osnovi podatko v , ki so jih izmerili na
Zemlji, preračunali, kol i kšna bi morala biti moč, ki se sprošča
pri taki reakciji na kilogram snovi pri razmerah v notranjosti
Sonca, so dobili rezultat, ki se je presenetljivo dob ro ujemal
58
z malo prej izračunanim . To je krepko podp rl o Bethejevo domne-
vo. En dokaz sam po sebi seveda ni dovolj, da bi domnevo priv-
zeli kot resnico, venda r je bilo mogoče z nj o poj a s ni t i tudi
vrsto podatkov o zvezdah. Tako smo danes prepričani, da vendar-
le poz namo izvor energi je v zvezdah, kakršna j e Sonce .
Zgodba o energijskem izvoru zvezd je le en primer, kako je raz-
mislek o energijski bilanci pomagal ast ronomom razjasniti ne ko
t eme l j no vprašanje . V vesolju najdemo še celo vrsto pojav ov,
kje r nam podobni razmisleki pomagajo od l oč a t i pri pres ojanju
posameznih domnev. Za kone c omenimo samo še en primer, ki še
vedno ni povse m pojasnj en , ~ o t o v o pa bo pr i njego vem pojasnje-
vanju ene rgi js ka bilanca i grala pomembno vlogo.
V letu 1963 so odkrili naravo kvazarjev. To so objekti, ki so
v velikem teleskopu videti kot zvezde , vendar se po svet~obnem
spe kt r u močno razlikujejo od zveZd. Predvsem je v njihovih
s pektrih močno poudar jen Do p p l.e r j e u p oiav - ti ste črte, ki se
v spe ktrih no rmal nih zvezd vid ijo npr . pr; modri barvi , so pri
kvazarjih lahko pri rdeči . Verjetno je, da pride do takega pre-
mika zato, ke r se kvazarji zelo hitro odda lj ujejo od nas . Po
moderni kozmološk i t eoriji pa to pomeni , da mor a j o bi t i kva zar -
ji od nas zelo zelo oddaljeni. Sedaj pa se pojavi problem: če
so kvazarji res tako daleč, kot nam dokazujejo premiki njihovih
spektralnih črt v rdeče in naša kozmološka teor ija, je nj ihov
izsev ogromen, do stokrat večji od izseva največjih znanih ga-
laksij. Po drugi strani pa nam govore mnogi podatki o tem, da
so kvazarji mnogo manjši celo od po v prečnih ga lak sij. Ali je
mogoče, da obstajajo še izda t nejš i energijski izvori, kot sc
jedrske reakcije? Fizikalni z ak oni , kot smo jib spoznali na
Zemlji, nam prav ijo, da lahko pri sistemih z zelo veliko maso
gravitacijs ka potencialna energija, o ka t e r i je govoril že
Eddington, tekmuje z jedrsko energijo ali jo ce l o nekoli ko pr e -
kosi po izdatnosti. Vendar pa danes š e ne vemo prav dosti o tem,
kako naj bi se ta energija sproščala v kvazarjih. Na osnovi e-
nergijske bilance lahko samo sklepamo, da kvazarji ne bi mogl i
zelo do lgo tak o potratno razsipati energ ije.
An dr e j Čadež
59
NOVE KNJIGE
NAš E NEBO - astronomske efemeride 1982
Astronomsko -geofizika1ni observatorij v Ljubljani že petintri-
deset let izdaja letno brošuro, ki vsebuje mnogo zanimivih po-
datkov iz astronomije in geofizike. Iz vsebine efemerid lahko
ugoto vi mo, da je brošura namenj ena predvsem mladim, ki se zani-
majo za astronomijo . Prav bo prišla vodjem astronomskih krožkov
na osnovnih in srednjih šolah, kakor tudi udeležencem astronom-
skih t abor ov v Sloveniji. Večina objavljenih podat kov velja za
geografsko širino in dolžino slovenskega glavnega mesta . Poglav -
ja oziroma razde1ki v delu si sledijo takole:
Najvažnejše astronomske konstante. Sončevi in Lunini mrki. Vzi-
di, ku1minac ije in zaid i Sonca in Lune. Koordinate ter drugi po-
datki planetov . Kometi. Pregled nebesnih pojavov. Lege in tre-
nutki nekaterih pojavov pri velikih Jupitrovih satelitih. Umet-
ni Zem1jini sateliti in potresi v času od 1.7.1980 do 30 . 6 . 1981.
Med temi poglavji vsebuje brošura še vrsto drugih drobnih podat-
kov.
Brošura je dolga leta izhajala kot priloga Proteusa - revije, ki
jo i zdaj a Slovensko prirodoslovno društvo. V zadnjih nekaj letih
pa izhaja kot samostojna publikacija. Interesenti jo lahko dobi-
jo v knjigarnah (cena 125.- din), naročniki Prese ka pa na AGO
ali pri Komisiji za tisk DMFA SRS za 100.- din.
Ci ril VeZ k o vrh
60
Niko Prijatelj , OSNOVE MATE MATI ~ NE LOGI KE , 1 . d el -
Si mboli za ci ja , Knj iž nica S igma - 33, DMFA SRS , Lj ub l ja na 19 82 .
Ko t i zvemo iz avtorjeve ga uvod a , je po dobr i h dvajse tih leti h
pr iš el č a s , da s voj UVOD V MAT E MA T IčN O LOGI KO, ki je doživel
t ri iz da j e (1 960, 1969 in 1973 ), nadome s t i s celovi te j š im de lom
OS NOVE MAT E MAT IčN E LOGI KE . Letos j e v knjižnici Sigma i z šel pr-
vi del OS NOV s podnaslovom SIMBOLIZACIJA , v prip ravi pa je še
dru gi de l , ki nos i podnaslov FORMALIZACIJA . Namen OS NOV j e se z-
na nit i bralca s teor i jam i prvega re da , ki predstavljajo jedro
matema t i č ne l og ik e in obenem njen, v matemat i ki najbolj uporab-
1je ni del .
SIMBOLI ZACIJA j e neka kšen nasl ednik UVODA . V njej naj bi se b r~
lec postopoma se znanil z os novni mi prvinami jezi kov prvega reda
(izjave, i zjavne povezave, notranja zgradba izjav) , pa tudi z
zgodovino logike in ne katerimi vprašanj i bolj filozofske nara-
ve. Večina pojmov je podrobno r az l ožena in podprta s številnimi
zg l e di .
SIMBOLIZACIJA je prijetno napi san a in , za matematično knjigo,
lah ko be rl j iva. Ker v zadn jem času posamezni deli matematične
lo gi ke pr odir a j o tudi v osemlet ko , v s rednji šoli pa se uporab-
lja že dobr šen del snovi, za jete v SIMBOLIZACIJI , bo knj ig a ne-
dvomno dobrodo šla š ir šemu kr ogu bral cev .
VLa di mir BatageLj
61
v
RESITVE NALOG
NAUCIMO SE SKLEPATI (Rešitve s strani 36
1. Edi na dneva, ko lev lah ko r eč e "Včeraj sem lagal " , s ta pone-
deljek in četrtek. Za enorožca pa sta t ak a dneva četrte k i n
nede lja. Tor e j je edi ni dan, ko lahko oba to izrečeta , četr­
tek.
2. Iz prve le vove i zjave s ledi, da gre za ponedeljek ali če trtek.
Iz druge izjave s ledi, da ne gr e za četrtek. Torej je ponede-
l j e k .
3 . V nobenem dnevu v tednu to ni mogoče . Prva izjava je mo goča
le v ponedel jek ali čet rte k, drugo pa j e mogoče i z r e č i le v
sredo ali nedeljo . Presek j e torej pr azen .
4 . Ta naloqa dobro kaže razl i ko med tem , da venem s t a vku izra-
zimo dve mis li ali pa da ti misli izreče mo vsako posebej . če
sta namreč dani izjavi X ,Y in je trditev "X in Y" resni čna,
pot em s ledi, da sta obe izjavi X i n Y resni čni. Toda če je
izjava "x in Y" neresnična, je neresnična vsaj ena izmed teh
dveh izjav.
Edi ni dan v tednu , ko je l ah ko res, da je l e v l aga l prejšnj i
dan in da bo naslednji dan spet lagal, j e tore k. Toda ta dan
ne more biti torek, saj lev takrat laže, za trdit ev pa smo
predpostav il i , da je resnična . Se pra vi, da j e levova trdi-
t e v neres nična . Toda obe mis li ne mor e t a biti neresnični . To
s mo imel i v prejšnj i na l oqi. če je izjava "Včeraj se m l a ga l"
r esn ič na, "Ju t r i bom spet l agal" pa neresnič na, je iskani dan
sre da, če pa je obrat no, je i s k3ni dan ponede ljek .
62
I z i dor Ha f ne r
"Zanimivosti o figurativnih številih" (rešitev s strani 12)
1. TABELA: Zapor edja n - k o t n i h števil do poljubnega mesta m
~ 1 2 3 4 5 6 7 ... m
lI!.lm !l +
3-kotna 1 3 6 10 15 21 28 ... ~ m
4-kotna 1 4 9 16 25 36 49 ... m2
~5 51 70
3m (m-l) + m
5-kotna 1 5 12 22 ... 2
6- kotna 1 6 15 28 45 66 91 ... 2m(m- l ) + m
34 81
Sm(m-l )
+ m7-kotna 1 7 18 55 112 ... --2--
n-kotna I n 3n-3 n-8 IOn-Ic 'Sn-2 21 n-3 .. (n- 2)m(m-l) -tm2
2. V pr v i trditv i o fi g u r a ti v ni h števi lih moramo pokazati, da
je: 2m (m - l ) +m enako: ( 2m-l)«2m-l)-1)/2+(2m-l)
Pre ver i !
3 " . V drug i tr d itv i mo r a mo pokazati , du j e 3m(m-l)/2 + menako
m( m- l) / 2 + m + 2 « m-l)«m-l) -1 )/2 + (m- l)
Pre ver i !
4 . V Oiofantovi nal ogi je treba pokazat i, da je
8 - (m( m-I )/2 + m ) +l popoln k v a d r a t. Pokaž i, da j e to res !
5. V nalog i o Oiofantovem ž ivljenju se re šitev glasi takole .
Do 14 . let a p r e ži vlja Oiofant mladost. Pri 21 l e t i h dob i
brado , kar l a h ko pomeni , da se začne ukvarjati z matemat i-
ko in filozofi jo. Ko mu je 33 l et se poroč i in pri 38 le -
tih dobi si na . S i n umr e s ta r 42 let , ko j e o četu Diofan tu
že 80 l et . Nato ž i v i še 4 leta, nakar umre star · 8 4 let.
Dani jd Be ze k
63
Iz z~pisov i nš pe kt or j a Craiga ( rešitev s st rani 40)
Kaj vemo pred inšpektorjevim prihodom?
Obtoženec ne more biti lažnivec. Ce bi namreč bil, bi bila nje-
gova trditev neresnična, bil bi kriv in še lažnivec, kar pa je
v nasprotju s pogojem, da krivi ni lažnivec. Obtoženi je torej
resničnik ali običajnik.
Prva možnost: Obtoženi je resničnik. Njegova izjava je resnična,
je nedolžen. Izjava branilca je tudi resnična, branilec je res-
ničnik ali običajnik. Toda, ker je obtoženi resničnik, je brani -
lec običajnik. Tožilec je potem lažnivec. Ker lažnivec ni kriv,
je kriv branilec.
Druga možno~t: Obtoženi je običajnik in nedolžen. Izjava branil-
ca je resnična, torej je branilec resničnik. Ker je obtoženi ne-
dolžen in ker lažnivec ni kriv, je kriv branilec obtoženega .
Tretja možnost: Obtoženi je običajnik in kriv. Trditev tožilca
je resnična, tožilec je resničnik (zakaj?). Branilec je lažnivec.
Po Craigovem prihodu: Tožilec ni kriv v nobenem primeru. Ce bi
na Craigovo vprašanje od~ovoril "Ne", bi nastopila tretja mož-
nost in Craigu ne bi bilo treba zastavljati drugega vprašanja.
Torej je tožilec odgovoril pritrdilno. Nastopata prva ali druga
možnost. V obeh primerih je tožilec lažnivec, branilec obtožene-
ga pa krivec . Ne vemo pa, kateri je resničnik in kateri običaj­
nik. Toda ko je inšpektor vprašal obtoženega, ali je tožilec
kriv, je vedel vse. če bi obtoženi odgovoril "Ne", potem Craig
še vedno ne bi vedel vsega, torej je bil odgovor "Da", kar seve-
da ni res. Obtoženi je običajnik, branilec pa resničnik.
KOMENTAR
S koliko vprašanji je nameraval inšpektor ugotoviti stanje? če
bi bil zadnji odgovor nikalen, bi moral postaviti še eno vpra-
šanje, vsega skupaj vsaj tri. Pa se morda da rešiti proble m z
dvema vprašanjema? Z vprašanjem tožilcu "Ali je 1 + 1 = 2?" ugo-
tovimo, ali je tožilec resničnik ali lažnivec. Nato tožilca
vprašamo, ali je obtoženi resničnik. Katere možnosti nastopijo?
Izidor Hafner
64
......
ZANIMIVOST OPITAGOREJSKIH TROJICAH
Ce najd emo naravna štev~la za x . y in z . ki rešijo enačbo
x 2 = y2 + z2 . pravimo. da smo našli pi tagore j sko trojico . Tedaj
so x; y in z celoštevilske stranice pravo kotnega tri kotnika.
Za pitagore jske troj ice velja vrsta zanimivosti. Med njimi sta
tudi naslednji dve:
a) Zapiš emo dvojice za por edn i h lihih števil:
(1.3). (3.5). (5.7). (7.9) •. .. • (2 n-l.2n+l)
Seštejemo obratni vrednosti števil v dvojicah:
1/1 + 1/3 = 4/3. 1/3 + 1/5 = 8/15 ••..• 1/(2n-l)+1/(2n+l)
= 4n/(4 n2-1)
Trdite v : Vs ota obratnih vrednosti je ulomek. katerega števec.
imenovalec in za 2 povečani imenovalec predstavljajo števila
pitagorejskih trojic:
(4.3.5). (8.15.17) ..... (4 n. 4n 2 - 1. 4n 2 + 1)
Preveri veljavnost trditve!
b) Podobno zanimivost lahko sestavimo z dvojicami sodih števil.
Zapišemo dvojice za por edn i h sodih števil :
(2.4). (4.6). (6.8) ••.•• (2 n. 2n+2)
Seštejemo obratni vrednosti števil v dvojicah :
1/2+1/4 = 3/ 4 . 1/4+1/6 = 5/12 •. .. • 1/(2n)+1/(2n+2)
= (2 n+l)/ (2 n 2+2 n)
Trdit ev : Vsota obratnih vr ednosti je ulomek. katerega števec.
imenovalec i n za 1 . p o v e č a n i imenovalec predstavljajo števila
pitagorejs ke trojice :
(3.4.5). (5.12.13) •.. •• (2 n+1, 2n 2 +2 n. 2n 2+2n+l)
Preveri veljavnost trditve!
Premisli. č e obstaja kakšna pit agorejs ka trojica. ki je ne do-
bimo na nobenega od obeh načinov !
DanijeZ Bezek
BISTROVIDEC
BIK SE PASE, TRAVA RASE
Leta 1707 je Newton objavil delo "Splošna aritmetika", v kate-
rem je a lgebrajski pristop dobil ob liko, kakršne smo danes va -
jeni. V tem de lu najdemo tudi naslednjo nalogo:
Dvanajst bikov je v štirih tednih popas lo tri in še tretjino
jutra pašnika; enaindvajset bikov pa popase deset juter takega
pašnika v devet ih tedn ih . Ko liko bikov bi popas lo štiriindvaj -
set juter pašnika v ose mnajstih te dn i h?
Vladi mi r Batagel j
..