Razredni pouk 2-3/2016 115 Pouk, ki navduši Nekaj iger za utrjevanje poštevanke Povzetek: V prispevku je prikazanih nekaj manj znanih iger, ki služijo utrjevanju dejstev poštevanke. Najprej je pojasnjen metodični postopek, ki vodi do priklica tistih dejstev, ki jih učenci morajo avtoma- tizirati. V nadaljevanju so podrobneje opisane igre, s katerimi lahko drilamo le eno poštevanko, tiste, ki so namenjene drilu več poštevank hkrati, in na koncu igre, ki se igrajo s časovno omejitvijo. Vse igre so preizkušene in učinkovite. Ključne besede: matematika, poštevanka, dril, igre, temeljna dejstva. A Few Games for Consolidating the Knowledge of the Multiplication Table. Abstract: The paper presents some of the less-known games that are used to consolidate the facts of the multiplication table. It begins by explaining the methodical process that leads to students developing the automatic recall of facts. Afterwards, it gives a detailed description of games which can be used for drilling a single multiplication table; of games which are intended for drilling several multiplication tables simultaneously; and, finally, games with time limits. All of the games are tried and tested. Key words: Mathematics, multiplication table, drilling, games, basic facts. Uvod Poštevanka sodi med temeljna aritmetična dejstva zgodnje matematike. Izraz »aritmetična dejstva« se v slovenski literaturi že uporablja (Kavkler, 2007). Označuje tiste številske povedi, ki jih oseba obvlada na nivoju deklarativnega znanja oz. pri- klica. V tem prispevku bomo z izrazom temeljna dejstva označevali tiste številske povedi, ki jih učni načrt pričakuje na nivoju avtomatizacije. Prime- ra številskih povedih iz prvega triletja, za kateri po učnem načrtu pričakujemo od učencev, da jih avtomatizirajo, sta npr. 7 + 8 = 15 in 18 : 3 = 6. Od učencev se pričakuje, da poštevanko in na njo vezane količnike obvladajo na nivoju avtomatizi- ranega priklica, tj. na nivoju dejstva. Učenec neko stvar obvlada na nivoju avtomatizma, ko je zmožen podati verbalni odgovor v manj kot 3 sekundah. Ko govorimo o priklicu, učenec ne more posegati po drugih (konkretnih, verbalnih ...) strategijah, kajti v tem primeru priklic ni učinkovit. Včasih rečemo, da je potrebno dejstva znati »na pamet«. Praksa večkrat pokaže, da je utrjevanje do prikli- ca časovno potratno in zahtevno. V slovenski šoli poštevanko in na njo vezane količ- nike uvajamo po vrsti, tj. poštevanki števila 2 sledi deljenje z 2, nato poštevanka števila 5 in deljenje s številom 5 itd. Podoben način uporabljajo tudi v večini nemško govorečih držav in v skandinavskih državah. Ponekod v anglosaksonskem svetu se poštevanko uvaja nekoliko drugače. Najprej se uvede poštevanka števila 2 in z njo dvakratniki, nato poštevanka števila 5 in z njo petkratniki, sledi poštevanka števila 9 in devetkratniki. Preostale zmnožke se učenci učijo enega po enega tako, da uporabljajo različne strategije povezav z že na- učenimi zmnožki. Množenje in deljenje v okviru poštevanke naj bi učenci avtomatizirali v tretjem razredu (Učni na- črt 2011). Učitelji običajno po nekaj poštevankah cikel prekinejo z vsebinami iz druge teme, npr. geometrije, vključujejo se tudi ure utrjevanja, kjer se drila vse že usvojene poštevanke. Kljub velikem trudu učiteljev pa se v 4. razredu pri vsebini pisno množenje običajno izkaže, da so učenci poštevan- ko »pozabili«. Pridobivanje poštevanke (in drugih temeljnih dejs- tev) poteka v treh stopnjah (Garnett, 1992). 1. Pridobivanje dejstev. Postopek, ki ga običajno pokažemo v slovenski šoli, temelji na seštevanju enakih seštevancev in lastnostih večkratnikov. Učenci skozi vajo (običajno na slikovnih predstavitvah) ugotavlja- Dr. Alenka Lipovec Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta 116 Razredni pouk 2-3/2016 jo, kako pridobiti npr. vsoto 6 + 6 + 6 + 6. Včasih se ob vizualnih oporah uporablja štetje, včasih spretno računanje, včasih povezovanje z že poiskanimi večkratniki, včasih pa zaporedno prištevanje. Postopki sodijo v skupino problemske vaje. 2. Povezovanje dejstev. Največkrat gre za zakon o zamenjavi. Učenec npr. že pozna zmnožek 8 ∙ 4 iz poštevanke števi- la 4, zato zmnožek 4 ∙ 8 pri poštevanki števila 8 le prikliče. Možne so seveda tudi druge strate- gije, npr. neznan zmnožek 8 ∙ 7 učenci pridobijo s pomočjo že znanih zmnožkov, če razmišljajo »osemkrat po sedem je petkrat po sedem in še trikrat po sedem« ali »osemkrat po sedem je dvakrat štirikrat po sedem« ali »osemkrat po sedem je za dvakrat po sedem manj od deset- krat po sedem«. Žal se te strategije pri nas vse premalo spodbujajo. Tudi ti postopki sodijo v skupino problemske vaje. 3. Avtomatizem. Priklic dosežemo največkrat z drilom. Pojas- nimo najprej, kako razumemo razliko med vajo in drilom. Dril so ponavljajoče neproblems- ko zastavljene aktivnosti, medtem ko vaja s problemsko zastavljeno aktivnostjo pripomore k razvoju pojma (Van de Walle & Lovin, 2006). Dril je primeren šele takrat, ko učenci koncept razumejo. V tem prispevku se bomo osredotočili le na ko- rak 3. Metode, kot so kartice, časovno omejena preverjanja ali dril igre, so ob premišljeni uporabi lahko zelo učinkovite. Podobno je smiselno več- kratno ponavljanje težjih zmnožkov (3 ∙ 6, 3 ∙ 7, 3 ∙ 8, 4 ∙ 7, 4 ∙ 8, 6 ∙ 7, 6 ∙ 8, 7 ∙ 8). Za dejstva, ki vključujejo število 9, je smiselno učencem po- kazati trik, kjer »preberejo« zmnožek, če le zaprejo pravilni prst. Pojasnimo trik s konkretnim primerom: iščemo zmnožek 7 ∙ 9, zato zapremo pri odprtih obeh dlaneh sedmi prst z leve proti desni; odprti prsti levo od zaprtega prsta (6) pred- stavljajo desetice zmnožka, odprti prsti desno od zaprtega prsta (3) pa enice zmnožka. Ta trik je preprost in si ga učenci zapomnijo, obstaja pa še več trikov, ki pa si jih je težje zapomniti in zato niso tako uporabni (Kolpas, 2002). Pri nas je precej razširjena igra izpadanja BUM (izgovarjanje besede BUM namesto večkratnika določenega števila). Igro lahko še nekoliko popes- trimo, če dodamo še drugo poštevanko oz. druge večkratnike in učenci izgovarjajo BUM pri prvih in BAM pri drugih. Gre za analogijo v angleškem svetu bolj znane igre Fizz buzz (Rees, 2002). Primer: Če izberemo besedo BUM za večkratnike števila 3 in BAM za večkratnike števila 5, najprej zaigramo običajno verzijo za vsako poštevanko posebej. Nato obe pravili združimo, pri večkrat- nikih števila 3 torej izgovarjamo BUM, in pri več- kratnikih števila 5 pa BAM. Štejemo torej takole: 1, 2, BUM, 4, BAM, BUM, 7, 8, BUM, BAM,11, BUM, 13, 14, BUM-BAM, 16, 17, BUM, 19, BAM, BUM, 22, 23, BUM, BAM, 26, BUM, 28, 29, BUM-BAM. Nekatere izmed iger, ki bodo predstavljene v na- daljevanju, bodo utrjevale le nekatere poštevan- ke, nekatere pa vse; nekatere bodo tekmovalce časovno omejevale, druge ne. Vse igre so bile pre- izkušene in so učinkovite. Po nekajmesečni redni uporabi so bili tretješolci sposobni v časovnem okviru 10 minut brez napak (ali z minimalnimi na- pakami) zapisati mešane zmnožke in količnike za sto računov (Kamii & Anderson, 2003). Nekatere igralne podlage smo prilagodili na osnovi izku- šenj, ki smo jih pridobili v slovenski šoli. Igre so zapisane v smiselnem vrstnem redu, in sicer v treh fazah. Ob obravnavi nove poštevanke (npr. poštevanke števila 7) je najprej smiselno igrati Rio, ki vključuje le poštevanko števila 7. Sledita igri Štiri v vrsto in Zmagovalni dotik, ki vključujeta poštevanke, ki jih učenci že poznajo, in novo obravnavano poštevanko. V zadnji fazi sledi igra Dama s poštevanko, ki zahteva hitrost. Rio Igra vključuje le eno poštevanko. Igrajo jo trije igralci. Potrebujemo podlago z napisanimi več- kratniki, 15 zamaškov v treh barvah (pet v vsaki od treh barv) ter igralne/številske karte od 1 do 10. Na podlago pomešano zapišemo večkratni- ke izbrane poštevanke (npr. poštevanke števila 4). Vsak igralec dobi pet zamaškov v svoji barvi. Številske karte premešamo in položimo na mizo, obrnjene z licem navzdol. Igralec, ki je na potezi, obrne karto in položi svoj zamašek na ustrezno mesto na igralni podlagi. Če obrne npr. število 5, pokrije 5kratnik števila 4 (število 20), pri čemer izgovori dejstvo »pet krat štiri je dvajset«. Nato je na vrsti naslednji igralec. Če se v nadaljevanju igre ponovno pojavi število 20, igralec, ki je na potezi, zamašek, ki ni njegov, s polja vzame in ga Razredni pouk 2-3/2016 117 vrne lastniku. Če je zamašek njegov, ga pusti na podlagi. Zmaga tisti igralec, ki prvi porabi vse svoje zamaške. Štiri v vrsto s poštevanko Igra vključuje poštevanke različnih števil in je namenjena dvema igralcema. Potrebujemo po 18 ploščic v vsaki od dveh barv, dve sponki za papir in posebej oblikovano tabelo večkratnikov. Vsak igralec dobi zamaške svoje barve. Prvi igralec položi sponki za papir na katerikoli števili ob robu tabele (npr. na 4 in 5), ter svoj zamašek na njun produkt (20). Če se na podlagi večkrat pojavi isti zmnožek, namesti zamaške na vsa polja, ki ta zmnožek vsebujejo. S tem je njegova poteza zaključena. Drugi igralec premakne eno sponko na novo število (npr. s 4 na 6) in položi svoj zama- šek na polja s svojim zmnožkom (30). V vsakem koraku, ko je igralec na potezi, mora prestaviti eno sponko na novo število. Sponki sta lahko hkrati na istem številu (npr. 6 ∙ 6). Tisti igralec, ki mu prvemu uspe oblikovati vrsto štirih zamaškov svoje barve vodoravno, navpično ali diagonalno, je zmagovalec. Na sliki 1 je primer igralne podla- ge za poštevanke 3, 4, 5 in 6. Če želimo vključiti druge poštevanke, je treba ustrezno prilagoditi podlago. 24 9 20 15 30 18 12 30 25 36 24 16 36 15 9 18 20 36 16 36 30 25 12 30 12 20 25 15 24 36 24 16 30 9 25 18 3 4 5 6 24 9 20 15 30 18 12 30 25 36 24 16 36 15 9 18 20 36 16 36 30 25 12 30 12 20 25 15 24 36 24 16 30 9 25 18 3 4 5 6 24 9 20 15 30 18 12 30 25 36 24 16 36 15 9 18 20 36 16 36 30 25 12 30 12 20 25 15 24 36 24 16 30 9 25 18 3 4 5 6 24 9 20 15 30 18 12 30 25 36 24 16 36 15 9 18 20 36 16 36 30 25 12 30 12 20 25 15 24 36 24 16 30 9 25 18 3 4 5 6 Slika 1. Štiri v vrsto s poštevanko – nekaj začetnih potez. 118 Razredni pouk 2-3/2016 Zmagovalni dotik Igra vključuje poštevanke različnih števil. Igrata jo lahko dva ali trije igralci. Potrebujemo igralno podlago s kvadratno mrežo in ustrezno število kvadratnih ploščic, na katerih so zapisani ustrezni večkratniki. Če npr. igramo igro s štirimi pošte- vankami, npr. 3, 4, 5 in 6, potrebujemo mrežo 4 x 4 in 16 kvadratkov (slika 2). Vsako polje v mreži določa eno kvadratno ploščico z večkratnikom, npr. polje (4, 6) ustreza ploščici z večkratnikom 24. Kvadratke obrnemo tako, da zmnožki niso vidni, in jih pomešamo. Vsak igralec na začetku igre izbere dve ploščici tako, da nihče ne vidi, kaj je napisano na njiju. Prvi igralec izbere eno izmed ploščic in jo položi na ustrezno mesto v mreži. Če je npr. izbral ploščico z večkratnikom 24, jo lahko položi na polje (4, 6) ali na polje (6, 4). Ko je igralec na potezi, lahko položi le eno ploščico. Nato na slepo vzame novo ploščico s kupa na sredi. Ploščico lahko položi le v primeru, da se s s celotno stranico (tj. ne le z ogliščem) dotika vsaj ene že položene ploščice. Če je npr. prvi igralec svojo ploščico položil na polje (4, 6) (prim. sliko 2) ima drugi igralec na razpolago le polja (3, 6), (4, 5) in (5, 6). Če igralec, ki je na vrsti, nima us- trezne ploščice, vzame s kupa na sredi novo ploščico in jo obdrži. Zmaga tisti igralec, ki prvi porabi vse ploščice. 3 4 5 6 3 4 5 6 3 3 4 24 4 20 24 5 5 6 6 3 4 5 6 3 4 5 6 3 3 4 20 24 4 16 20 24 5 25 5 25 6 6 Slika 2. Zmagovalni dotik s poštevankami 3, 4, 5 in 6 za dva igralca – nekaj začetnih potez. Razredni pouk 2-3/2016 119 Dama s poštevanko Igro igrajo trije igralci na podlagi, ko jo predstavlja mreža 9 x 9 z oznako X na sredini. Potrebujemo tudi 80 kvadratnih ploščic z zapisanimi računi (npr. 6 ∙ 7). Ker je računov s faktorji od dve do devet manj kot 80, se nekateri težji računi pojavijo dvakrat. Ploščice položimo na mrežo, obrnjene na hrbtno stran tako, da računi niso vidni. Prvi igralec mora izbrati ploščico, s katere lahko »sko- či« na polje X, pri čemer »skok« opredelimo kot premik v poljubni smeri, ki preskoči eno ploščico. Igralec obrne ploščico, ki jo je preskočil, in pove zmnožek. Če se soigralca strinjata s pravilnostjo odgovora, prvi igralec obdrži ploščico in na vrsti je naslednji. Če je zmnožek napačen, dobi ploščico prvi, ki je povedal pravilni zmnožek. Po prvi potezi je polje z oznako X zapolnjeno. Naslednji igralec izbere ploščico, ki mu omogoča skok na izpraz- njeno polje. Igra se nadaljuje na ta način, podobno kot pri igri dama. Tisti, ki zbere največ ploščic, je zmagovalec. Podobno kot pri dami je možno izvesti več skokov naenkrat in v eni potezi dobiti več ploščic. Na sliki 3 vidimo začetno postavitev igre in možnosti potez sredi igre. Opazimo, da lah- ko igralec s primerno izbiro ploščice (in znanjem poštevanke) pridobi več ploščic v eni sami potezi. Sklep Prikazane igre so igre v pravem pomenu besede, imajo pravila, zmagovalca; nekatere so delo- ma odvisne od naključja. Skoraj vse vključujejo strateško izbiranje potez, ki lahko igralcu pomaga do zmage. Vključevanje igre v pouk matematike je učinkovito tako z motivacijskih vidikov kot z vidikov trajnosti znanja. Tudi v Sloveniji že imamo empi- rične dokaze, da je vključevanje družabnih iger dvignilo nivo avtomatizacije poštevanke. V okviru diplomske naloge (Farič, 2015) so bile vključene različne tradicionalne družabne igre (npr. črni Pe- ter, Domino ...) in druge igre v pouk in v družinsko okolje. Rezultati so zelo spodbudni, zato upamo, da bo čim več učiteljev sledilo tem primerom dobre prakse. Literatura 1. Farič, M. (2015). Učenje poštevanke s pomočjo družabnih iger. Diplomsko delo. Ljubljana: Pedagoška fakulteta Univerza v Ljub- ljani. 2. Garnett, K. (1992). Developing fluency with basic number facts: Intervention for students with learning disabilities. Learning Disa- bilities Research and Practice, 7(4), str. 210–216. 3. Kamii, C., & Anderson, C. (2003). Multiplication Games: How we made and used them. Teaching Children Mathematics, 10(3), str. 135–141. 4. Kavkler, M. (2007). Specifične učne težave pri matematiki. V G. Reid, M. Kavkler, S. G. Viola, M. Košak Babuder, & L. Magajna, Učenci s specifičnimi učnimi težavami: skriti primanjkljaji – skriti zakladi (str. 77–112). Ljubljana: Društvo Bravo. 5. Kolpas, S. J. (2002). Let your fingers do the multiplying. Mathe- matics Teacher, 95(4), str. 246–251. 6. Rees, J. (2002). Fizz Buzz:101 Spoken Numeracy Games – Ideal for Mental Maths. Hyde : VB: Lda. 7. Van de Walle, J. A., & Lovin, L. H. (2006). Teaching Students-Cen- tred Mathematics Grades K-3. Boston: Pearson. Slika 3. Začetna postavitev Dama s poštevanko (levo) in možne poteze sredi igre (desno).