i
i
“617-Rojko-Igra” — 2010/6/3 — 10:17 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 10 (1982/1983)
Številka 3
Strani 99–107
Roman Rojko:
IGRA ŽIVLJENJA
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/10/617-Rojko.pdf
c© 1983 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATIKA
IGRA 2IVLJENJA
V drugi š t e vi lki Prese ka iz l et a 1977/7 8 sem prebral članek o
ploskavcih. Tudi sam sem se z njimi ukva rjal in mis li m, da je
njihovo ži vlj enj e ta ko zani mi vo, da bi bilo o njem vredno pove -
dati še kaj več. Ploskavce je izumil ameriš ki profesor J ohn Con -
way. Zamisli l si jih je kot KOLON IJ E CE LIC, ki s e po do ločenem
pravilu ra zv ijajo iz roda v r od. Temu r azvi j anj u je rekel IGRA
· ZI VLJ ENJ A. Tudi mi bomo namesto imena plos kave c raje uporab lja-
li ime kol oni j a celic ali ka r rod.
Ro čno računanje rodov j e v večj ih primerih kar brezupno oprav i-
lo , za t o smo vanj vpregl i r ačun aln i k. Za njegovo uspešno progra -
miranje se moram zahvaliti sode lavcu šte fan u Ki r n u . Preden pred-
stavimo i zsled ke naše ga razis kovanja, pa moramo seved a obnovit i
zn anje o igri življenja .
Pred seboj imejmo kvadratno mrežo (nizki kar o ) . V vs akem kvad -
rat ku te mreže lah ko ž i vi ceZi ca . Njene sose de so tiste celi ce,
ki ž i vi j o v s osednj ih (dotik a jo č ih se) kvadr at ki h . Vs a ka ce lica
i ma ta ko največ 8 sosed . Rodove bomo več kr at hotel i šteti, začet­
ni koloniji celic bomo rek li prvi rod. Pravilu ; po katerem i z ne-
kega rodu na stane naslednji rod, pa bomo ~ek li r odo vn i zak on.
Opišem o ga t a kole :
- Ce lice se rodijo v t istih pr az nih kvadr a t k i h, k i imaj o
na tan čno 3 sos ede.
Cel ke pr ež ivijo, če imajo 2 al i 3 sosede, dr u g a č e odmre j o ,
99
ve 1 i k i s
EE
Rodovni zako n pot r e buj e doda t no r az la 90 . Ce l i ca pre ž iv i l e te -
daj, ka da r i ma r avno pra všn je š t e vi l o s osed. če jih je preveč
(4 a l i več), imamo opr a vka s prenase ljen ostjo , ce lica ni ma do-
vo l j hkr ane in odmr e . Kada r pa j e so sed pre malo (nič a l i ena),
pa l ahk o s klepa mo, da so ce l ice meds eb ojn o odv is ne in potrebuj e
vs aka za s voj obs t oj pom o č vsaj dve h s os ed, s ic e r zara di prev e-
l ike osaml j enos t i odmre .
Kako pa j e z rojs t vom nove ce lice? Zanj so potre bne tr i s osede .
Tu si bomo dovol i li š a l o. Za ro js tvo č lo v eka sta potre bna dva
odra s la človeka dve h ra z l ič n i h spo lov . Za r ojst vo ce l ic e pote m-
t akem t ri odras l e ce l i ce tr e h raz l i č n i h sp ol ov . Na j š a l o nada -
l j uj em. Ka da r j e š te vi l o sose d pre ve l iko (4 a l i ve č), pa sto pi
v veljavo zn an pre govor "Mnogo babi c , ki lavo de t e " in se ce l ica
sp lo h ne ro di .
Spre hodi mo se s eda j me d ne kater imi primer , ' 9r e ž iv lj enj a . Za
zače tek pogl ej mo ne ka t er e pos eb ne ob l i ke kol oni j ce l i c .
1) STALN ICE so kolo nije , ki se pri pre hodu v nas lednji rod ne
spre menijo . Celice ne odm irajo nit i se ne rojevajo. Sl ik a 1 pri -
kazuje ne kat e r e z nač il n e osnov ne sta l nice .
~92~
qpqpEtE~
s p lav pušč i c a čo l n ma 1 i s z aboj
S l ik a 1. Osnovn e st a l n ice .
Neka tere s talni ce , na pr imer s p l a v , p ušči c a , č oln i n ma l i S , i -
majo zan imivo l as t nos t , l ahko j ih n am r e č polj ubno podalj š amo,
100
pa so še ved no sta lnice. Slika 2 prikaz uje tr i poda lj šane sta l-
nice.
podalj šan
ma 1 i s
podaljšana
puš čic a
poda ljšan
hleb
S I ika 2. Nekaterep oda Ljš an e s ta l n i c e
Nekatere stalnice pa l ah ko zlagamo drugo poleg druge in z njimi
pokr ijemo vso ravnino. Pravokotna skladovnica zabojev, ki so
med seboj oddaljeni po en kvadratek, je primer take stalnice .
Pozneje jo bomo zopet srečali.
2) NIHA LA so kolon ije ce l ic , ki se s icer sprem injajo, vendar i-
majo po p s pr ememba h s pe t t ako ob liko, kakršno s o imele na za -
č etku. število p je per i oda nihala.
[IT]
se ma for s mer o k a z
S l i k a 3. Nekaj nih a l spe ri odo 2.
101
Slika 4 pa kaže samo začetne oblike treh nihal.
perioda 2
S I ika 4. Nihala
rr=§ II1§=U
'''IOd'~
perioda 8
Tudi stalnice imamo lahko za nihala, ki se ne spremlnJaJO in i-
majo zato periodo 1 (naslednji rod, po enem prehodu, ima isto
ob1i ko) .
3) POTNIKI so taka nihala, ki se pri nihanju še premikajo v do-
ločeno smer. Potnika z imenom letalo smo že spoznali v omenje-
nem prispevku o ploskavcih. Na sliki 5 so prikazani vsi znani
potniki. Zanimivo je, da imajo os i periodo 4, torej imajo po
štirih spremembah prvotno obliko, le da se nahajajo premaknjeni
za en kvadratek v smeri. ki jo nakazuje puščica.
102
raketa 1
raketa 3
raketa 2
Slika 5. Potniki
Pri potnikih se pojavi zanimivo vprašanje : Kaj se zgodi, če kam
trčijo? Z računalnikom smo si nekatere trke ogledali. Zaradi ob-
širnosti te teme povejmo le na kratko, da lahko iz "karambolira-
nih" potnikov nastane marsikaj, celo novi potniki, lahko pa tudi
po nekaj rodovih vse celice odmrejo in kolonija izgine . Za pod-
robnosti pa nimamo ne časa ne prostora.
Sedaj pa pridejo na vrsto kolonije celic, ki ne sodijo v nobeno
od zgornjih treh vrst .
4) Oglejmo si najprej črto . Ta je lahko le žeča (ali pokončna,
če papir tako obrnemo ) ali diagonalna . Diagonalna črta ni zani-
miva, saj kmalu izgine, kot se lahko sami prepričate. V vsakem
rodu namreč izgubi po dve krajni celici in jo tako pobere po
(n+1J/ 2 rodovih . Tu je n števi.lo celic v črti (dolž ina črte). Z
ležečo črto pa je drugače. Na sliki 6 si lahko ogledate~ kaj na-
stane iz pokončne črte z dolžino 60 ce l ic. Prikazani so 15 .,16.,
29 .,30.,31. in 116. rod. Zadnji rod je sestavljen iz 16 zab o -
jev , 4 panjev in dveh sema f orje v . Pri naših poskusih se je izka-
zalo, da se pri dovolj velikem številu rodov ležeča črta razvije
v POSamezne skupine, ki so stalnice, nihala (predvsem se ma f or )
in potniki (zlasti le tala ) . Dobili smo celo občutek, da se to
pripeti kakršnikoli koloniji celic, če taka kolonija sploh ne
izgine . Zelo verjetno ne obstaja kolonija celic, ki bi slej ko
prej preras la vso ravnino.
, .o
o;,!' ~~
liiI~~~~
-=;" ,p I~ .:. • •~ ~I
~
.,
rod 15 rod 16
103
r od 2 9 r od 30
~.
:: ::
-:) .,.
r o d 31 rod 11 6
S I i ka 6 . Ra zv o j pokonč ne č r te d o l ž in e 60
5 ) Pos ebno za nimi ve kolo nije celic so PUSKE. Te po do ločenem
št ev ilu r odov " i zst r e lijo" ene ga al i več potnikov . Na s l i ki 7
so tr i puške. Dve " izstrel it a " po dve l e t a l i , iz ene pa nas ta -
nej o ce l o štir i l etala .
2 1e t a 1 i
4 l e t a l a
2 1e ta 1 i
S l ika 7 . P u š k e
104
6) Se bolj zani mivi pa s o MITRALJ EZI. To so n a m r e č niha la , ki
so hkra t i tudi pušk e . Na žal ost poznam o s amo en mitra l je z, ki
i zstr e l j uje Leta La . Tega prikaz uj e s l ika 8 . Tu bomo ' ome nil i še
e no kolon ijo ce l i c z imenom poži raLnik . če ga postavimo na pra-
vo mest o k mi tr aljezu, po "pož r l " vs a Le t a La , ki i z mit ra l j eza
pr ihajaj o. Ta požira lnik j e tudi nih al o ( CJlej s li ko 4 ), prik a-
zan pa j e na s l iki 8 /b .
a )
•
b)
•
S l i ka 8 . Mit ral j ez • . mi t r a l j e z s po ž i ra 1n i k om
7) Na s liki 2 s mo vide li , kak o l ahko poda ljšamo ma Li s . če se-
da j zamenjam o spodnji konec s t i m dru gim ( kot na sli ki gia),
dobimo kol onijo celic, ki ni več s ta lni ea, ima pa ze lo zab av en
ra z voj. V nas ledn jih rodovi h se n a mr e č novi s podn ji kone c v ob-
l i ki motn je pom i ka pr ot i zgorn j emu in pr i tem pod ira bi vš i ma-
Li s . Nek ate r e mot nj e pu š ča j o za sebo j s t a l ni ce . Kolo ni j e s ta-
ko motnj o se imenuj e jo kosiLn i c e . Tr i si l ahko ogledate na s li -
ki 9.
a) b )
S l i ka 9 . Ko sil nje e
105
8) Vem o že , da j e pravoko t na sk la dovn ica za boje v , ki so med se -
boj oddaljen i za en kvadratek , s t al ni ca . Med dva zaboja posta -
vi mo no vo ce l ic o i n i z gubi l i smo staln ico . Nova ce l ica, rečemo
ji virus , povz r oc t motn j o ( okužb o) , ki se š i r i na vse s t r an i in
n a čen j a bivšo sk la dovnico . Za tako ko lon ijo se kar ponuja ime
virusna okužba .
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::......ii.
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::;!;:::::::::::::::::::::•••••••••.••••••...•••.••••••..•••••••••••••.••••••••••••••••=.= I I ~.I••••II ••• I ••••
:::::::::::::::::i~:"~'RJ~=::::::::::::::::::::::::::::::::1;.;& '1::'~~:: : : : : : : : : : : : :
I ; ; : ::: : : : :::: : : : ~.~ ~ ~ >~.~ : :: : : : : :: : :: : : : : ::::::i:::::::~~-v. :" r. .~-~I~ ::::::::::::::
•• ••••••••••••••• '-~~ .,:I" · i" A t:lI ~r- It. "i ..
•••••••••••••••• • •• ••••••••••••••••••••••••• . y y . • • • • • • • • • • • • •
•••••••••••••••• I I .............................. •~~ ~ ..••••••••••••••••i.~~ ,~ ~ V""~ .:. v(:~•••••••..•...
:::::::::::::!i::Fl~ ~ ~",ti: ::: : : :: : : : : :::: " ::::::::::::::i_~':. ~·A. ~::::::::::::::
:::::::::::::::::••~~•••::::::::::::::::' ::::::::::::::~,:,,~. :-"I ·rN~~J::: :: :: : :: :: : : :•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••:~ :....~ -:Y'....:: :ili:••••••••••••••
.............................................. , ••••••••••••••••• I I ••••••••••••••••• •............................................ , ............................................. ., :.: :.: ~ , .
: !:~~::~~:::::::::::::::::::::::::::::::: *En::a:~: : :: : : : : :: : : : :: : : : ::: :: : :: ::::::::
S li ka 1 0 . V i r u sn a ok už ba
Se ved a lahko na z a čet k u vne s emo tu di v e č ce l ic, a l i pa kak za boj
odn esemo, v vsa kem' pr i me r u dobim o viru sn o okuž bo . Izjema je l e
ena . Skladov ni ca zabojev je n amre č i muna za viru s, ki ga post a -
vi š na sr edo med š t i r i so se dnj e zaboje, t a ko da s e dotik a nj i ho -
vih og l iŠč . Sam ugot ovi, zakaj. Na slik i 11 j e pr ikaza nih nekaj
ro dq v ž i vlje nj a virusne okuž be , ki se je za če l a z odv ze mom pe t i h
za boje v.
Pos e ben čar i gre ži vlje nja je l ep ot a vzo rc ev , ki j i h ses t a vl j a j o
ce li ce. Včasih so pres enet lj i vo podobni ornamen tom z or ie nt a l -
skih pre pr og . Tu moramo omeniti še pre cej o čitno l a s t nos t : pri
pre hodu iz ene ga v nas l ed nji rod s e ohran i s i metrija. če s o na m-
re č v neki ko lo ni j i ce l ic t e r az vr š če n e s imet r ičn o , velja i s t o
,t udi za ce l i ce na slednj ega r odu.
Ko opazuje mo ži vl jenj e kake ko lon ij e cel ic , nam pr i de neh ot e na
mise l , da bi bilo zanimivo obrni ti živ ljenje v nasprot no smer -
naza j. Zal tu nal e timo na nep re maglj ivo ovi r o, pot nazaj ni e no -
l i č n a . Do d o l o čene ko l oni je ce l ic l ahko pr idem o na v eč n a čin o v .
106
- - --............... ......... ............ ........ - .....
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 1
.......................................................................................... ,•••• I •• I •• II••••••••••••••• !! •••••••••••••••••
U •••••••••••• l a __ ............................ 11•••• 11 •••••• 11 ••••••••••••••••••••••••••• "11
•••••••••••••••••••••••••••••• 11•••••••••••• • 11.11 •••••••••• 111•••••••••••••••••••••••••
..................1.1.1.1••••1.1. II .11••••••• 11••••••••••••••• 1111••••••••••••••••••••••••............................................ ••••••••••••••••••••• 11••••••••••••••••••••• ,
~•• I •••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••• ............................................1............................................ ............................................,............................................ ......................., ,.............................................................. ••••••••••••••••••••••• 111 ••••••••••••••••••............................................
~:::::::::::::::::::::~V...f::::::::::::::::................................................................. .......................................... ..................... ::::::::::::i:::i::~? ~ ~:::i:::: ii::::..................... .................................................................. ::::::::::::::::::::::~A~::::::::::::::::........................................................................................
I:::::::::::::::::::::::l·~::::::::::::::::::.......................................................................................... Ji:::::i:i:::::::::::::::::::::::::::::::::::....................................................................................................................................... .......................................................................................... ......................................................................................... a••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.............................................
1I· ;~~·l~i5~··················· ··· ··········:t~!Qn:t:::::::::::::::::::::::::::::::::i;
..... ... .................................
'r.n - ::: • :::.....................:::::::::,
.:•....•.•................................... .:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::............................................;••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••1:....................., ,....................••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••1~:::::::::::::::::i~-~::::::::::::::::............................................,.........................................................................................' '::i::::::::::::=.v:;r:. .7,:~ii:::::::H::.....................:.......................,...............~ ,....................................... .................... ............~. . ~~ ..~~............................ . ................... ••••••••••••• It"~ • "1' •••••••••"
::Hi:Hi::i::::'· .oJ'Jo~'.... ·~=ii::ii:::::::i: ;:::::::::::: 1'" \ J .. , ::::::::::
••••••••••••••-1 . • 1"···••••••••••• ::::::::::::"c '. ol f::::::::1
::::::::::::::~~ . ~ ,,> ':~::: : :: : : ::: : :::: ::::::::::m~~ .~ f.' ~~::::::::::
1.................. .(; . • .. . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ( .. .........,.................... . ... ................. ~............. I~ ' • • ..~I •••••••••• '
::::::::::::::::::~n...It::::::::::::::::::: :iHii:::::::::i:}"J • . ... .. ~ : : ::i::i :: ::~......................':'................................................................... ,................. .- ..-' .......................................................... 111••••••••••••••••1- L - l ............................................................ : : : : : : :: : :: : : :: : : : :~-~::: : :: : :: : : : : : :............................................. ,
;rJi;r.::i ~::i::ii:iii:;i::::::;::::::::~~~~: :HtiE::~*:i:iiiii:::::ii::i::::i:::::iiii.............................................
~:::::::::::::::::i:ii::::::::::ii:::::::iii::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
,.............................................
II •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••............................................. ............................................. ,
••••••••••••••••••••• 1' •••••••••••••••••••••• • :::::::::::::::::::::~::::::::::::::::::: I...................~~...................................... ..................
::::::::ii:::::::ii~ ~:iiiiiii::ii::::i:::::::::::::::::: ~:. ~ ::.:.1 ~ : : : : : ::: :: : :::::
::::::iiiii::i:~: ..' j.~ 1 ~:!~ : i : ::: iii::::i l •••••••••••••• ••~.......i'JI ;.~•••••••••••••••::::::::::::::;~~" I~} ..... ifj:::::::::::::
.............~' ,,*. " . ' '.~ ............ ..................."'::1 -.:::--., ...........................~ ',' ., ........... ::ii::::i::::~:~ ~): t~::::::ii:::............. _ 10•• • • •• • •• ••11............... 1.'1~............"............. ). .. - ............ .............. ~~• •0 .. .. .• ..............••••• ;:. . . . . . . . i ,. • •••••••••••• ••••••••••••••• .<.. .',. ~~•.••••••••••••••.................:., ... :................ ::::::::::::::::. .:"~'~...:~':::::::::::::::'.................. . . I "lo • • " •••••••••••••••
::::::::::::::::::~i.yj:::::::::::::::::
.................. ~ ~••• I •••••••••••••,................... .................., ::::::::::::::::::::' .:::::::::::::::::.................... . . ...................
1 ::::::::::::::::::::::l:f::::::::::::::::::::..............................................
·· ;!a~······································
1•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
~~. ::!i;i!i:i::::::::::::::::::::ii:::::::1 r*l ;~!~~~r.................................n :: .. ::::::::::::::::::::::::::::::::: Sl i ka 1 1 .
Slika 12 pr ikazuj e štiri kolon jce ce lic, ki vse buj e j o po tri ce -
l i ce . iz nj ih pa nastane v vsakem primeru ena ce li ca (na sli ki
je oz načena s piko ) .
CD
o
O
Sli ka 12 .
D O
o
O
Roman Rojko
107