i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 15 | #1 i i i i i i NOBELOVA NAGRADA 2021 ZA FIZIKO JO ZE RAKOVEC IN TOMA Z PROSEN Fakulteta za matematiko in ziko Univerza v Ljubljani PACS: 89.75.-k, 92.60.Ry Nobelovo nagrado za ziko 2021 »za prelomne prispevke k na semu razumevanju kom- pleksnih sistemov« so prejeli { eno polovico skupaj dva meteorologa: Syukuro Manabe in Klaus Hasselmann »za zikalno modeliranje klime na Zemlji, kvanticiranje variabilnosti in zanesljivo napovedovanje globalnega segrevanja« in drugo polovico teoreti cni zik Gi- orgio Parisi »za odkritje medsebojnega delovanja nereda in uktuacij v zi cnih sistemih od atomske do planetarne skale« { in pri tej planetarni skali so se »sre cala « podro cja njihovih raziskav. V clanku opisujemo, kaj so nagrajenci odkrili in kako so pri sli do teh odkritij. NOBEL PRIZE 2021 IN PHYSICS The Nobel Prize in Physics in 2021 was awarded»for groundbreaking contributions to our understanding of complex systems« { one half jointly to two meteorologists { Syukuro Manabe and Klaus Hasselmann»for the physical modelling of Earth’s climate, quantifying variability and reliably predicting global warming« and the other half theoretical physicist Giorgio Parisi »for the discovery of the interplay of disorder and uctuations in physical systems from atomic to planetary scales« { and on this planetary scale, the areas of their research »met«. In this article we describe what the winners discovered and how they came to these discoveries. Na spletni strani Kraljeve svedske akademije znanosti o leto snjih Nobe- lovih nagrajencih iz zike ( www.nobelprize.org/prizes/physics/2021/ summary/) pi se: »Trije nagrajenci si letos delijo Nobelovo nagrado za ziko za svoje stu- dije kaoti cnih in o citno naklju cnih pojavov. Syukuro Manabe in Klaus Hasselmann sta postavila temelje na sega znanja o klimi na Zemlji in kako clove stvo vpliva nanjo. Giorgio Parisi je nagrajen za svoje revolucionarne prispevke k teoriji neurejenih materialov in naklju cnih procesov. Za kompleksne sisteme sta zna cilni naklju cnost in neurejenost in jih je te zko razumeti. Leto snja nagrada se zaveda pomembnosti novih metod za njihovo opisovanje in napovedovanje njihovega dolgoro cnega vedenja. Eden od zapletenih sistemov, ki so klju cnega pomena za clove stvo, je klima Zemlje. Syukuro Manabe je pokazal, kako pove cane ravni ogljikovega dioksida v ozra cju vodijo do povi sanja temperatur na povr sini Zemlje. V sestdesetih letih prej snjega stoletja je vodil razvoj zikalnih modelov klime in bil prvi, ki je raziskal interakcijo med sevalnim ravnovesjem in vertikal- nim transportom zra cnih mas. Njegovo delo je postavilo temelje za razvoj sedanjih klimatskih modelov. Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 15 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 16 | #2 i i i i i i Jože Rakovec in Tomaž Prosen Pribli zno deset let pozneje je Klaus Hasselmann ustvaril model, ki po- vezuje vreme in klimo, s cimer je odgovoril na vpra sanje, zakaj so klimatski modeli lahko zanesljivi, ceprav je vreme spremenljivo in kaoti cno. Razvil je tudi metode za prepoznavanje speci cnih signalov, prstnih odtisov, ki jih tako naravni pojavi kot clovekove dejavnosti vtisnejo v podnebje. Njegove metode so bile uporabljene kot dokaz, da je povi sana temperatura v ozra cju posledica clove skih emisij ogljikovega dioksida. Okoli leta 1980 je Giorgio Parisi odkril skrite vzorce v neurejenih kom- pleksnih materialih. Njegova odkritja so med najpomembnej simi prispevki k teoriji kompleksnih sistemov. Omogo cajo razumevanje in opis stevilnih razli cnih in na videz povsem naklju cnih pojavov in neurejenih sistemov, ne le v ziki, ampak tudi na drugih, zelo razli cnih podro cjih, kot so matematika, biologija, nevroznanost in strojno u cenje. « Klima Zemlje in klimatski modeli Verjetno je primerno, da najprej na kratko opi semo klimo in modele klime na Zemlji. Ti so ali konceptualni, ali pa numeri cni modeli, zelo podobni tistim za napovedovanje vremena. Za cnimo z najpreprostej sim konceptualnim modelom , glej npr. [26]: Ze- mlja kot celota v vesoljskem okolju. Energija, ki jo oddaja Sonce, se siri vse naokrog in zato je gostota toka te energije na vse ve cjih razdaljah od Sonca vse manj sa in manj sa { pri oddaljenosti do Zemlje zna sa v povpre cju j 0 = 1364 W=m 2 (kratkoro cno nekaj odstotkov, dolgoro cno pa nekaj promil). Ker je na s planet v son cni svetlobi videti prijazno lep { modra morja, zeleni gozdovi, rumen pesek, beli oblaki, vrhovi hribov in polarne kape, to pomeni, da se kar nekaj son cne svetlobe od Zemlje odbije: od- bojnost oz. albedo za son cno svetlobo je okrog a = 31 %. Preostalih 69 % Zemlja absorbira s povr sino S svojega kro znega preseka, torej je prejeta mo c P abs =S(1 a)j 0 . Ce se ne ukvarjamo s preteklimi geolo skimi obdobji ali pa s sedanjim hitrim globalnim segrevanjem, je bila pred dva tiso c leti v casu Rimskega imperija pribli zno taka klima, kot je danes. Torej velja, da je Zemlja v sevalnem ravnovesju in oddaja v vesolje toliko energije, kot je pre- jema. Oddaja jo s svoje celotne povr sine, ki je stirikrat ve cja od kro znega preseka, in to s sevanjem po Stefanovem zakonu v infrarde cem obmo cju (IR):P odd = 4ST 4 ( = 5;67 10 8 Wm 2 K 4 ). Ko to izena cimo, dobimo ena cbo 4 T 4 = (1 a)j 0 in hitro lahko izra cunamo, kolik sna bi bila po tem preprostem modelu ravnovesna temperatura Zemlje: T 20 °C. Malo!? Seveda, saj se nismo upo stevali vpliva tople grede, tega, da je tukaj spodaj relativno toplo, tam zgoraj, kjer letajo letala, pa okrog 50 °C. Topla greda je posledica lastnosti nekaterih plinov v ozra cju, da absorbirajo IR-sevanje, ki ga oddajajo tla, a tudi sami sevajo { glede na svojo temperaturo v ozra- cju. Upo stevajmo torej se vpliv tople grede, h kateremu prispeva najve c { 16 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 17 | #3 i i i i i i Nobelova nagrada 2021 za fiziko pribli zno 60 % { vodna para H 2 O, ki je je v ozra cju veliko, pa okrog eno petino CO 2 , potem pa se metan, ozon, didu sikov oksid itd.! Ko vstavimo med tla in vesolje se ozra cje s pribli zno 70-odstotno sposobnostjo absorp- cije in oddajanja IR-sevanja, dobimo se eno dodatno ravnovesno bilanco, iz cesar sledi T tal = +9 °C in T ozr = 36 °C. Pri tleh je torej se vedno precej hladno! A ko vklju cimo se vpliv oblakov na IR-sevanje in prenose toplote s konvekcijo in izhlapevanjem iz tal, pa pridemo do poznanih povpre cnih 15 °C pri tleh. Kaj pa numeri cni klimatski modeli ? Ce preprosti 1D-konceptualni mo- deli ne zmorejo predstaviti razlik sem in tja po Zemlji, pa jih 3D-numeri cni lahko. Z modeli, podobnimi tistim za napoved vremena, ra cunajo dolgo, tako dolgo, da dogajanje v njih ze »pozabi« na razmere, od katerih so model pognali. Potem dogajanja ne dolo cajo ve c za cetni pogoji, ampak razmere skozi letne case. Model za napoved vremena si je zamislil ze Vilhelm Bjer- knes pred pribli zno sto leti [8]. A kaj, ko je model ra cunsko zelo zahteven. Dogajanje namre c opisujejo parcialne diferencialne ena cbe: za gibalno ko- li cino (Euler{Navier-Stokes{Coriolisova ena cba), termodinamska energijska ena cba (dodajanje toplote, stiskanje/razpenjanje, fazne spremembe vode), pa zakon o ohranitvi mase (kontinuitetna ena cba) in edina »lahka« ena cba je ena cba stanja. Te ena cbe so zaradi advekcije (veter prena sa koli cine sem in tja) in ker vse lastnosti zraka v njih turbulentni vrtinci razpr sujejo naokrog, tudi nelinearne. Analiti cno je sistem ena cb tako zapleten, da zanj sploh se ni bil dokazan obstoj re sitve, kaj sele ene same enotne re sitve (eksisten cni pogoj). Zato ni cudno, da je bil Bjerknes prisiljen poiskati alternativno pot { t. i. sinopti cno metodo. Tudi zelo sposobni in hitri ra cunarji namre c ne bi mogli dohitevati sprotnega razvoja vremena, kaj sele, da bi ga prehitevali in ga tako napovedovali. Po Bjerknesu je Lewis Fry Richardson sicer mu- kotrpno (ve c mesecev ra cunanja!) izra cunal eno numeri cno re sitev, a kaj, ko je bil rezultat povsem napa cen { v resnici celo nemogo c [27]. In sele leta 2000 je Peter Lynch pokazal, da se Richardson ni niti enkrat zmotil { po- kopali so ga slabi, med seboj neusklajeni za cetni podatki [17]. No, po drugi svetovni vojni pa so imeli meteorologi ze na razpolago prve elektronske ra cu- nalnike in tako so se Jule Charney, Phillip Thompson, Ragnar Fjortoft (iz Bjerknesovega gnezda), John Freeman, George Platzman, Joseph Smago- rinsky, Jerome Namias in se nekateri drugi ob pomo ci matematika in enega od utemeljiteljev ra cunalni stva Johna von Neumanna, lahko lotili ra cunanja za napoved vremena [6, 18]. Ker so bili takrat ra cunalniki sicer ogromne omare, a ra cunsko se zelo ubogi, so morali sistem ena cb poenostaviti in za preprostej se (barotropne) primere jim je uspelo dobiti nekaj 24-urnih napo- vedi vremena, ki so se zelo dobro skladale s tem, kar se je res pokazalo za naslednji dan. Pot za numeri cno simuliranje vremena in klime je bila tako odprta . . . Kak sen je torej sodoben klimatski model? Bolj ali manj tak kot model za napoved vremena, toda najpopolnej si vklju cujejo poleg dogajanja v ozra cju 15–29 17 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 18 | #4 i i i i i i Jože Rakovec in Tomaž Prosen se tista v tleh, oceanih, upo stevajo led na njih, pa bolj podrobno aerosole v ozra cju, seveda sestavo in kemijo ozra cja, pa precej podrobno izmenjave z vegetacijo, s planktonom itd. Prostorska lo cljivost po horizontali je okrog 25 km krog in krog Zemlje, imajo do 80 in ve c plasti v ozra cju oz. ra cunskih nivojev v modelu, med 30 in 60 vertikalnih ra cunskih nivojev v oceanih, pa nekaj nivojev v kopnih tleh. Od modelov za napoved vremena se razlikujejo predvsem po bolj podrobni obravnavi tokov v oceanih, prenosov toplote in vlage v tleh, bolj podrobni obravnavi vegetacijskih ciklov in sevanja ipd. (V vremenskih modelih je npr. stanje vegetacije lahko kar konstantno, saj se v dveh tednih, kolikor obsega tipi cna napoved vremena, vegetacija komaj kaj spremeni. Pri oceanih so za vreme najva znej si temperatura povr sinske vode, hrapavost povr sine zaradi valov in morda se izhlapevanje, tokovi v globinah pa niti ne ipd.). Ker klimatske modele poganjajo skozi mesece, leta, desetletja, torej { kot smo ze rekli { pozabijo svoje za cetno stanje in se obna sajo predvsem glede na kemijsko sestavo ozra cja in son cno obsevanje posameznih predelov Zemlje ter s tem glede na letne case. Ra cunanje za tako dolgo obdobje seveda pomeni tudi, da zahtevajo ogromno ra cunskega casa, ker pa imajo tudi skoraj tako lo cljivost kot modeli za napoved vremena, pa je tudi zahtevana ra cunska mo c zelo velika (ve c sto Tops) [32, 13]. Dva nagrajenca { meteorologa Syukuro Manabe je meteorolog japonskega rodu, ki je meteorologijo do stu- diral v Tokiu in se po doktoratu 1959 preselil v Zdru zene dr zave [40]. Tam ga je Joseph Smagorinsky, ki je razvijal tridimenzionalne numeri cne modele ozra cja za prou cevanje splo snega kro zenja ozra cja (pa tudi za napovedovanje vremena), pritegnil k raziskovanju splo snega kro zenja ozra cja pri oddelku Urada za meteorologijo imenovanega General Circulation Research, ki se je kasneje preoblikoval v Geophysical Fluid Dynamics Laboratory (GFDL) v okviru NOAA. Tam je Manabe raziskoval skoraj dvajset let { do 1997. Za stiri leta se je vrnil na Japonsko, kjer je vodil skupino za prou cevanje global- nega ogrevanja planeta, ter se 2002 vrnil v ZDA na raziskovalno Univerzo v Princetonu v New Jerseyju, kjer je vodilni meteorolog, kot gostujo ci profesor pa u ci tudi na Japonskem na Univerzi v Nagoji. Dobil je stevilne nagrade in priznanja. Med meteorologi bo morda najve c veljala raziskovalna medalja Carla-Gustava Rossbyja { eno od treh priznanj, ki jih je dobil od Ameri- skega meteorolo skega zdru zenja (AMS, American Meteorological Society) { poleg drugih ameri skih nagrad in priznanj. Evropsko zdru zenje za znanosti o Zemlji (European Geosciences Union EGS) mu je podelilo medaljo Milu- tina Milankovi ca, od doma ce Japonske je dobil dr zavni red kulture in dve priznanji Asahi, pa se in se. Nobelovo nagrado 2021 je dobil predvsem za to, ker je na fundamen- talnem nivoju razlo zil vpliv toplogrednih plinov na klimo na Zemlji. Z nu- 18 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 19 | #5 i i i i i i Nobelova nagrada 2021 za fiziko meri cnim modelom za splo sno kro zenje ozra cja (general circulation model GCM) je raziskal ne samo sevalno energijsko bilanco ozra cja in tal, ampak je v energijsko bilanco vklju cil tudi vodni cikel ( clanek leta 1965 s Sma- gorinskym in Stricklerjem, [20]), razporeditve vla znosti v ozra cju in vpliva koli cine CO 2 v ozra cju 1967 z Wetheraldom, [22], leta 1969 povezal model ozra cja z modelom oceanov (z Bryanom, [19]) in ker je 1975 s 3D GCM mo- delom z Wetheraldom [21] pokazal, kako podvojitev koli cine CO 2 v ozra cju na dogajanje in spremenljivke v modelu splo snega kro zenja ozra cja vpliva na gibalno koli cino, temperaturo, koli cino padavin, debelino sne zne odeje itd. Morda je za vtis o vplivu podvojitve CO 2 v ozra cju se najbolje poka- zati vertikalni presek skozi ozra cje od ekvatorja (na spodnji sliki 1 desno) do pola (levo) ter od tal (spodaj) do velikih vi sin (zgoraj { okrog 50 km visoko). Temperatura naj bi se po tej simulaciji pri tleh zvi sala okrog ekvatorja za kaki dve stopinji, v visokih geografskih sirinah pa tudi do 10 stopinj. Precej pa naj bi se ohladila stratosfera (spodnja slika 1). Manabe (s sodelavci) je do nadaljnjih ugotovitev o vplivih konvekcije, vla znosti ozra cja, koli cini CO 2 itd. pri sel s 3D-numeri cnim modeliranjem. Na kratko opi simo tak model. Za za cetne simulacije (1965) so on, Smago- rinsky in Strickler izpopolnili Phillipsov numeri cni kvazi-geostrofski model splo snega kro zenja ozra cja (general circulation model GCM). Norman Phil- lips je namre c desetletje prej [25] tak model uporabil za prvo numeri cno klimatsko simuliranje splo sne cirkulacije na planetu v dveh plasteh ozra cja (samo toliko so omogo cali takratni ra cunalniki) v pasu krog in krog Zemlje (tako se je tudi izognil potrebi po enem od robnih pogojev). Ob predpo- stavki o prete zno geostrofskem ravnote zju dve komponenti horizontalne hi- trosti (u,v) nadomesti vertikalna komponenta vrtin cnosti ( @v=@x @u=@y) in tako ostane za izra cunavanje ena spremenljivka manj. Model so torej pre- uredili iz kvazi-geostrofskega v model s prvotnimi (primitivnimi) ena cbami: dve ena cbi za obe komponenti horizontalne hitrosti, termodinamska ener- gijska ena cba in kontinuitetna ena cba. Vertikalni prenos gibalne koli cine (in posredno trenje pri tleh) so parametrizirali na Prandtlov na cin z dol zino me sanja. Model so raz sirili na devet plasti (takrat je ra cunalni ska mo c to ze dovoljevala) in uporabili Phillipsovo vertikalno koordinato (ra cunski nivoji bolj na gosto pri tleh, vse vi sje pa plasti vse debelej se). Predpisali so, da s tropi ni izmenjav toplote in gibalne koli cine (na jugu v modelu to- plotno izolirana vertikalna stena brez trenja). Krajevne odvode v ena cbah so nadomestili s koli cniki kon cnih razlik, razlike v casu pa so omogo cale postopno napredovanje po kon cnih korakih (seveda ob upo stevanju CFL- pogoja za numeri cno stabilnost). Tako so od diferencialnih ena cb pre sli na sistem algebrai cnih ena cb in re sitve po dalj sem casu naprej so se pribli zale klimatskim. Mre za ra cunskih to ck ni bila po vzporednikih in poldnevnikih, horizontalna lo cljivost je bila okrog 320 km ob ekvatorju, 540 km pri 45 ° g. s. in 640 km blizu pola. Ker posameznih stebrov vertikalne konvekcije taka 15–29 19 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 20 | #6 i i i i i i Jože Rakovec in Tomaž Prosen TERMODINAMSKA ENAČBA ENAČBA GIBANJA ENAČBA PARE TOPLOTNO RAVNOVESJE ZEMLJINEGA POVRŠJA HIDROLOGIJA SEVALNI PRENOS ADVEKCIJA GOSTOTA VLAGA SEGREVANJE IN OHLAJANJE ADVEKCIJA TOPLOTA KONDENZACIJE TOPLOTA SNEŽNA ODEJA PADAVINE IZHLAPEVANJE Razlika med simulacijama z dvakratno koncentracijo in standardno koncentra- cijo CO 2 ; na abscisni osi { geografska sirina, na ordinatni osi { na levi zra cni tlak normiran s tlakom pri tleh, na de- sni vi sina. Slika 1. Zgoraj: Shemati cni prikaz, kaj vse je upo steval klimatski model Manabeja in Wetharalda leta 1975. Spodaj: Kako se spremeni zonalno povpre cena tempera- tura v ozra cju, ce se v model vstavi podvojeno koli cino CO 2. Oboje iz clanka v J. Atm. Sci. 32 (1975), dostopno na journals.ametsoc.org/view/journals/atsc/32/1/1520- 0469_1975_032_0003_teodtc_2_0_co_2.xml. Published (1975) by the American Me- teorological Society. groba lo cljivost seveda ne zazna, so za to in druga podmre zna dogajanja morali eksplicitno opisanim dogajanjem dodati parametrizacije podmre znih dogajanj. Prostodu sno so npr. za konvekcijo priznali, da »In view of our ignorance in this matter, we used a very simple scheme of convective adjust- ment . . .«, a dodali, da so se vseeno uspe sno izognili morebitnemu pretira- nemu pojavu konvekcije na skali lo cljivosti modela [28]. V prvih simulacijah je sevanje opisano se relativno preprosto, potem pa vse bolj podrobno. Manabe je torej raziskoval predvsem tako, da je z modelom GCM za splo sno kro zenje ozra cja numeri cno modeliral, kako razni dejavniki v modelu (suho ozra cje/vla zno ozra cje, konvekcija da/konvekcija ne, ve c CO 2 /manj 20 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 21 | #7 i i i i i i Nobelova nagrada 2021 za fiziko CO 2 , . . . ) vplivajo na procese v modelu po dalj sem casu { na simulirano klimo. Klaus Hasselmann [38] pa je raziskoval nekoliko druga ce { po eni strani na bolj teoreti cni na cin, pa tudi s pomo cjo sklopljenega modela ozra cja in oceanov. Fiziko in matematiko je Hasselmann do studiral na Univerzi v Hamburgu in 1957 doktoriral v Gotingenu iz prou cevanja turbulence. Po- svetil se je meteorologiji, pa tudi oceanograji. Ustanovil je In stitut Maxa Plancka za meteorologijo (IMP) v Hamburgu in bil od leta 1975 do novembra 1999 njegov direktor, od 1988 do 1999 pa znanstveni direktor v Nem skem klimatskem ra cunalni skem centru. Na tem in stitutu so v 90. letih prej snjega stoletja razvili sklopljeni model: model Evropskega centra ECMWF so pove- zali z IMP-jevim modelom oceanov LSG (glej npr. intervju s Hasselmannom iz leta 2006 [36]). Tudi Hasselmann je dobil stevilne nagrade: spet se bo meteorologom morda zdela pomembna medalja Vilhelma Bjerknesa, ki mu jo je podelila EGS, pa morda Symonsova medalja, ki mu jo je podelila Royal Meteorological Society (RMS), Sverdrupova medalja AMS, oceanografom bi morda veliko pomenilo ve c medalj in nagrad iz njihovih krogov, Hasselmann je dobil se priznanja in medalje akademij, ter se in se . . . Hasselmann je raziskoval vreme in klimo kako desetletje za Manabejem. Teoreti cno je pomagal odgovoriti na vpra sanje, zakaj so klimatski modeli lahko zanesljivi kljub spremenljivemu in kaoti cnemu vremenu [10]. Teo- reti cno je razvil tudi metode za prepoznavanje speci cnih signalov, ki jih naravni pojavi in clove ske dejavnosti vtisnejo v podnebje, in dokazal, da sedanje zvi sevanje temperature zraka lahko pripi semo clovekovim emisijam ogljikovega dioksida in drugih toplogrednih plinov [9]. Na podro cju klimatskih sprememb je Hasselmann pionir matemati cnega opisa stohasti cnega vpliva klime zaradi spremenljivega vremena { clanek 1976 v Tellusu [10]. V njem razlo zi, da spremembe klime niso posledica zgolj zunanjih vzrokov (son cno obsevanje in koli cina toplogrednih plinov), ampak v dolo cenih pogojih tudi naklju cno razvijajo cih se vremenskih vzor- cev. Pravi, da je »bistvena lastnost stohasti cnosti klimatskih modelov, da se ohranijo tudi nepovpre cne »vremenske« komponente. Formalno se poja- vljajo kot cleni naklju cnega siljenja. Klimatski sistem, ki deluje kot inte- grator tega kratkotrajnega vzbujanja, ka ze podobno naklju cno sprehajanje (random-walk) kot veliki delci, na katere vpliva skupina veliko manj sih del- cev { kot v analognem problemu Brownovega gibanja.« Torej kot da te zek delec (klimo) bombardirajo naklju cno premikajo ci se majhni delci (vreme). Hasselmann je to idejo prevedel v zapleten mnogodimenzionalen nelinearni sistem. Gledal je hitra in po casna dogajanja in spektre teh dogajanj. V frekven cnem spektru se spremenljivost izra za kot inverzna vrednost kva- drata frekvenc. Tako npr. nestacionarno dogajanje predstavljajo vrednosti blizu inverzne vrednosti ni c in spektralna analiza dogajanja s kon cnim tra- janjem ima vrh pri tej inverzni ni celni frekvenci. Tako je Hasselmann enim in drugim dogajanjem priredil pripadajo ce vrednosti v spektru. S tem je 15–29 21 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 22 | #8 i i i i i i Jože Rakovec in Tomaž Prosen kvantitativno opredelil pomembnost enih in drugih dogajanj. Ko jim je priredil vrednosti, je lahko nadaljeval analizo z uporabo Fokker-Planckove ena cbe statisti cne mehanike, dobil nekatere posebne re sitve in jih uporabil za studij klime in njenih sprememb. Hasselmann je kasneje (objava 1993 v Journal of Climate, [9]) tudi te- oreti cno raziskal, kako razlo citi »prstne odtise« antropogeno povzro cenih klimatskih sprememb od naravnih, npr. od vpliva izbruhov ognjenikov { kako na optimalen na cin izlu s citi signal sistemati cnih klimatskih sprememb iz mo cne spremenljivosti klime. Za izlu s cenje od cloveka povzro cenega si- gnala je { na tem kompleksnem sistemu s stevilnimi spremenljivkami v od- visnosti od prostora in casa { uporabil svojo prej (1979) razlo zeno metodo razlikovanja signala od suma in predlagal emipiri cne ortogonalne funkcije in optimalne linearne ltre. To so potem nekaj let kasneje na dejanskih podatkih uporabili Gabriele Hegerl, Hasselmann in sod. (Climate dyna- mics 1997, [11]), za njimi pa se drugi, npr. spet Gabi Hegerl s sodelavcema Francisom Zwiersom in Claudio Tebaldi (2011 v Env. Res. Lett., [12]). Pri- kaz takega izlu s cenja so povzela tudi poro cila IPCC kot dokaz, da gre res za pomemben clovekov vpliv, pa tudi Nobelov odbor v svoji utemeljitvi za nagrado. Gra na sliki 2 so si na pogled podobni, prikazujejo pa razli cne stvari. Zgornja slika iz [9] ka ze, da prakti cno vsa informacija o casovni spremembi temperature pri tleh pripada prvi empiri cni ortogonalni funkciji za 2D-polje sprememb pri numeri cni simulaciji klime, ki upo steva tako vpliv toplogre- dnih plinov kot tudi vpliv sulfatnih aerosolov v ozra cju. Spodnja slika, ki jo je Nobelov odbor za ziko ( www.nobelprize.org/prizes/physics/ 2021/summary/) povzel iz clanka Hegerl, Zwiers in Tebaldi, 2011 [12], pa ka ze, da nara s canje temperature v obdobju od 1960 dalje lahko pripi semo clove skemu vplivu (rde ca crta), saj naravni vzroki (modra crta) vzdr zujejo temperaturo ves cas na pribli zno istem nivoju, pri cemer glavne uktuacije lahko pripi semo vulkanskim izbruhom. Hasselmann je torej raziskoval precej teoreti cno, s sodelavci pa seveda teoreti cno pridobljene metode tudi preskusil na podatkih o klimi skozi raz- li cna obdobja. Nagrajeni teoreti cni zik Polovico zikalne nagrade 2021 je dobil italijanski teoreti cni zik Giorgio Parisi [35] za »odkritje medsebojnega delovanja nereda in uktuacij v zi c- nih sistemih od atomske do planetarne skale« (pri planetarni skali se sre cajo raziskave Manabeja, Hasselmanna in Parisia). Parisi se je solal na La Sa- pienzi v Rimu, raziskuje pa na podro cjih kvantne teorije polja, statisti cne mehanike in kompleksnih sistemov. Raziskoval je v Laboratori Nazionali di Frascati (1971{1981), bil gostujo ci raziskovalec na Columbia University 22 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 23 | #9 i i i i i i Nobelova nagrada 2021 za fiziko Empiri cne ortogonalne funkcije za simulacijo ovrednotenja sprememb klime v obdobju 160 let. Na abscisni osi je pomotoma povsod zapisan cas 2000 let (2 10 3 Years); v resnici gre za celotno obdobje simulacije od leta 1880 do 2049. Na ordina- tni osi so prikazane vrednosti empiri cnih ortogonalnih funkcij. Spremembe temperature v obdobju 1900 do 2010 glede na predindustrij- sko obdobje; crna crta { izmerjene spremembe temperature, rde ca crta { simulirane spremembe temperature zaradi clo- ve skih in naravnih vpli- vov, modra crta { si- mulirane posledice samo naravnih vplivov. Pri- kazani so tudi casi naj- mo cnej sih izbruhov vul- kanov. Slika 2. Zgoraj: Prve tri empiri cne ortogonalne funkcije iz clanka Gabriele Hegerl, Klausa Hasselmanna in sod. iz Climate Dynamics 1997 [11] link.springer.com/article/10.1007/s003820050186. ©CCC Ri- ghtsLink. Spodaj: Slika iz obrazlo zitve Nobelovega odbora za ziko www.nobelprize.org/prizes/physics/2021/summary/, povzeta iz clanka Hegerl, Zwiers in Tebaldi, Env. Res. Let. 2011 [12]. ©Johan Jarnestad/The Royal Swedish Academy of Sciences. (1973{1974), na Institut des Hautes Etudes Scientiques (1976{1977) in Ecole Normale Sup erieure (1977{1978). Bil je profesor za teoreti cno ziko na rimski univerzi Tor Vergata ter predsednik znamenite rimske akademije znanosti Academia dei Lincei, sedaj pa je profesor kvantne mehanike na 15–29 23 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 24 | #10 i i i i i i Jože Rakovec in Tomaž Prosen rimski La Sapienzi. Tudi on je ze pred Nobelovo nagrado dobil cel kup priznanj, npr. Boltzmannovo, Diracovo, Fermijevo, Lagrangevo, Planckovo, Onsagerjevo medaljo, pa se druge. Okoli leta 1980 je Giorgio Parisi predstavil svoja odkritja o tem, kako navidezno naklju cne pojave urejajo skrita pravila. Posebej temeljno po- memben je njegov prispevek [23, 24] k razumevanju obna sanja spinskih ste- kel na osnovi re sitve problema spontanega zloma simetrije med replikami. Parisijevo delo danes velja za enega najpomembnej sih prispevkov k teoriji kompleksnih sistemov. Sodobne studije kompleksnih sistemov temeljijo na statisti cni mehaniki, ki so jo v drugi polovici 19. stoletja razvili James C. Maxwell, Ludwig Boltzmann in J. Willard Gibbs, ki so to podro cje tako poimenovali leta 1884. Statisti cna mehanika se je razvila iz spoznanja, da je za obravnavo plinov ali teko cin, ki so sestavljeni iz velikega stevila delcev, potrebna nova metoda za opis teh sistemov. Ta metoda je morala upo stevati naklju cne premike delcev, zato je bila osnovna ideja izra cunati povpre cne u cinke delcev. Statisti cna mehanika zagotavlja mikroskopsko razlago za makroskopske lastnosti plinov in teko cin, kot sta temperatura in tlak. Preprost primer iz stohasti cnosti in kompleksnosti: delce plina obrav- navamo kot kroglice in ko temperatura pade ali se tlak pove ca, se kroglice najprej kondenzirajo v teko cino in nato v trdno snov. Ta trdna snov je pogosto kristal, kjer so kroglice organizirane v pravilnem vzorcu. Ce pa se ta sprememba zgodi hitro, se lahko kroglice zdru zijo v nepravilen oziroma neurejen vzorec, ki se ne spremeni, tudi ce se teko cina dodatno ohladi ali dodatno stisne skupaj. Pri ponovljenem poskusu bodo kroglice prevzele spet nov, malce druga cen vzorec, kljub temu da se sprememba (zni zanje temperature) zgodi na popolnoma enak na cin. Te stisnjene kroglice so eden od preprostih modelov za navadno steklo ali za zrnate materiale, kot sta pesek ali gramoz. Vendar je bil predmet Parisijevega prvotnega dela druga cen sistem { spinsko steklo. To je teoreti- cen model, ki opisuje posebno vrsto kovinske zlitine, v kateri so npr. atomi zeleza naklju cno pome sani v mre zo atomov bakra. Ceprav je v mre zi le nekaj atomov zeleza, spremenijo magnetne lastnosti materiala na radikalen in zelo neurejen na cin. Vsak atom zeleza se obna sa kot majhen magnet oz. ima magnetni moment, na katerega vplivajo drugi atomi zeleza v bli zini. Pri navadnem magnetu so vsi magnetni momenti ob prisotnosti zunanjega polja usmerjeni v isto smer, v spinskem steklu pa so frustrirani: nekateri pari se usmerijo v isto smer, drugi pa v nasprotno smer { kako torej naj- dejo optimalno orientacijo? Giorgio Parisi je odkril skrito strukturo v tako zapletenih neurejenih sistemih in na sel na cin, kako jih matemati cno opi- sati. Tako je na sel pomemben klju c za obravnavo kompleksnih sistemov. V sedemdesetih letih prej snjega stoletja so stevilni ziki, vklju cno z ve c No- belovimi nagrajenci, iskali na cin, kako opisati skrivnostna in frustrirajo ca spinska stekla. Ena od metod, ki so jo uporabili, je bil trik replike, to je ma- 24 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 25 | #11 i i i i i i Nobelova nagrada 2021 za fiziko temati cna tehnika, pri kateri se hkrati obravnava ansambel identi cnih kopij sistema [3]. Vendar pa so bili v zikalnem smislu rezultati prvotnih izra cu- nov napa cni. Fizikalno zelo smiselna predpostavka permutacijske simetrije med replikami je npr. vodila do nesmiselnih rezultatov, kot je negativna en- tropija. Tudi prve sugestije spontanega zloma simetrije med replikami [3, 4] niso dale smiselnih rezultatov. Leta 1979 pa je Parisi torej naredil odlo cilen preboj, ko je z genialnim sve zim pristopom pokazal, kako je mogo ce trik replike uporabiti za re seva- nje problema spinskih stekel. V replikah je odkril skrito strukturo in na sel matemati cno smiseln na cin, kako popisati fazni prehod zloma simetrije re- plik s pomo cjo neskon cno-dimenzionalnega parametra ureditve, nekak snega tenzorja v abstraktnem vektorskem prostoru, katerega dimenzijo n dolo ca stevilo replik. Klju cna ideja metode je korektno izvesti limito, ko gre n proti 0, ki na koncu omogo ca konkreten izra cun proste energije in drugih termodinamskih koli cin. Morda ni presenetljivo, da so v za cetku matematiki in bolj strogo misle ci matemati cni ziki ob tej metodi zmajevali z glavo. Trajalo je kar nekaj let, da se je Parisijeva re sitev izkazala za matemati cno pravilno in dokazljivo. Tallagrand jo je tako leta 2006 utemeljil v najpresti znej si matemati cni reviji Annals of Mathematics [29] kot »temeljni izrek matemati cne analize «. Od takrat naprej oziroma ze prej pa je bila Parisijeva metoda uporabljena v ste- vilnih neurejenih sistemih in je postala temelj teorije kompleksnih sistemov. V zadnjem casu so poro cali celo o nazornih eksperimentalnih realizacijah Parisijevega mehanizma, npr. v neurejenih laserjih [7]. Poleg prispevka k teoriji spinskih stekel je treba spomniti na stevilne druge temeljne Parisijeve prispevke v statisti cni ziki, ki danes navdihujejo na tiso ce raziskovalcev. Posebej je treba omeniti vsaj se Kardar-Parisi- Zhangovo (KPZ) ena cbo, to je stohasti cna parcialna diferencialna ena cba, ki opisuje rast neurejenih povr sin [14]. Sele v zadnjih letih postaja jasno, kako splo sna je vloga KPZ ena cbe v neravnovesni statisti cni ziki, ki se pojavlja v zikalno zelo razli cnih kontekstih, od rasti povr sin ob depoziciji snovi, modeliranja prometa na avtocestah, do anomalnega transporta snovi, ki je u cinkovitej si od difuzije. Zato se nanjo ve ckrat sklicujemo tudi kot na KPZ univerzalnostni razred, ki v neravnovesni ziki igra podobno vlogo kot npr. Isingov model v ravnovesni statisti cni mehaniki. V zadnjih letih smo npr. v Ljubljani na sli novo in povsem nepri cakovano manifestacijo KPZ ena cbe v kvantnem magnetizmu v modelih z netrivialnimi simetrijami [15]. Parisijevi prispevki k razumevanju dinami cnih procesov v kompleksnih sistemih in dinami cnih sistemov na splo sno ga tematsko tudi pribli zajo delu meteorologov Manapeja in Hasselmanna. Za potrditev te teze samo ome- nimo Parisijev prispevek k clanku o stohasti cni resonanci v klimatologiji [2]. 15–29 25 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 26 | #12 i i i i i i Jože Rakovec in Tomaž Prosen Zakaj prav te nagrade? Seveda ne vemo, kak sne predloge so dobili in kaj so premlevali v Nobelovem odboru za ziko. Videti pa je, da so predlagatelji in odbor zeleli opozoriti na pomembnost raziskav o klimi in o podnebnih spremembah. Tako so s podro cja prou cevanja klime in njenih sprememb izbrali Manabeja in Hassel- manna, pridru zili pa jima se Parisija kot teoretika na podobnem podro cju { kompleksni, stohasti cni sistemi s stevilnimi spremenljivkami. Ob nagradi za prou cevanje klime in podnebnih sprememb moramo spo- mniti na matematika Josepha Fourierja, ki je ze pred dvesto leti (1827, [37]) opozoril na vpliv plinov v ozra cju { IR-absorberjev { na sevalno bilanco Zemlje. Vsekakor je treba omeniti se Svanteja Arrheniusa, svedskega - zika in zikalnega kemika, ki je 1896 uporabil na cela zikalne kemije, da bi ocenil, v kolik sni meri bi bilo pove canje atmosferskega ogljikovega dioksida odgovorno za nara s cajo co temperaturo povr sine Zemlje, [39]. (Leta 1903 je dobil Nobelovo nagrado za kemijo. Menda pa je pri teh nagradah kot clan odbora tudi prote ziral svoje prijatelje in sodelavce, druge pa zaviral { vsaj tako pravi Wikipedija [39]). Ve cinoma sicer ve c beremo o Arrheniusu kot o Tyndallu, a treba je povedati, da je John Tyndall o topli gredi imel predavanje ze januarja 1863 [31], torej pred Arrheniusovimi objavami. Naj si na koncu dovolimo se vpra sanje, ali bi si morda se kak meteorolog zaslu zil tako ali podobno visoko nagrado? No, zaslu zil bi jo Vilhelm Bjerknes, a takrat, v za cetku 20. stoletja je bilo v ziki toliko epohalnih odkritij, da niti Einstein ni pri sel na vrsto za nagrado za relativnost, temve c za fotoefekt. Pa tudi: Bjerknes je sicer pre- dlagal sistem ena cb za opis dogajanj v ozra cju, a tedaj { v predra cunalni ski dobi { ga ni mogel zares uporabiti. Da pa je zares zaslu zen, pa pri ca npr. Symonsova medalja RMS in to, da EGS podeljuje medaljo, poimenovano po njem. Potem bi visoke nagrade zaslu zil Jule Charney skupaj z Johnom von Neumannom { prvi za res inovativne ideje okrog numeri cne napovedi vre- mena, drugi pa za izjemno matemati cno pomo c pri numeri cni napovedi, saj je ravno von Neumann zasnoval koncept v ra cunalnik shranjenega ra cunal- ni skega programa. (Ne edini, z Alanom Turingom in Claudom Shannonom. A kot vemo, za matematiko Nobelove nagrade ni). Bjerknes je ravno se do- zivel to prvo uspe sno ra cunanje Charneya in sodelavcev po svojem sistemu ena cb { a tudi ce bi nagrado za to podelili zelo hitro, je Bjerknes zal ne bi do cakal, saj je umrl pet mesecev po objavi o tem novembra 1950 v Tellusu. Jule Charney bi visoko nagrado zaslu zil tudi za kvazi-geostrofsko teorijo in odkritje barokline nestabilnosti, kajti prva uspe sna numeri cna napoved je bila izra cunana z barotropno vrtin cno ena cbo, ki pa ne zmore napovedati »tistega, cesar se ni «. Tisto, » cesar se ni «, namre c nastaja v obmo cjih ba- rokline nestabilnosti [5]. Ali bi jo za to odkritje Charney zaslu zil sam, ali pa morda za baroklinost z njim se Eric Eady, ki je v svoji disertaciji pri- 26 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 27 | #13 i i i i i i Nobelova nagrada 2021 za fiziko kazal pojav barokline nestabilnosti na druga cen, morda se la zje razumljiv na cin [33]. Za kvazi-geostrofsko teorijo pa morda se Phill Thompson, ki je v dopisovanju s Charneyem le-tega mo cno motiviral z vpra sanji in dilemami, ko se je sam mu cil s tem, kako naj bi ra cunal divergenco v ozra cju [30]? Je pa Charney seveda dobil veliko nagrad in medalj, med njimi Symonsovo medaljo RMS, Rosbyjevo medaljo AMS, nagrado Svetovne meteorolo ske or- ganizacije (WMO), medaljo Smithsonian Institution, posebna cast pa je tudi, da AMS od leta 1983 podeljuje medaljo, s katero casti tudi njega { medaljo Jula Charneya. Kaj pa Carl Gustav Rossby { saj je vendar on odkril, zakaj se ozki trans- verzalni valovi toka v ozra cju v zmernih geografskih sirinah hitro premikajo proti vzhodu, siroki pa po casi, ali se morda ne premikajo, ali pa gredo celo malce»nazaj«. To lastnost, pomembno za napoved vremena, so prognostiki ze prej opazili npr. na zaporednih vremenskih kartah tokovnic na 500 mbar, Rossby pa je odkril preprosto, a zelo prepri cljivo razlago za to. Rossby je dobil ve c nagrad od aeronavti cnih institucij in iz meteorolo skih krogov, npr. Symonsovo zlato medaljo RMS, nagrado WMO, nagrado AMS, po njem pa se imenuje tudi medalja, ki jo podeljuje AMS. Namesto Crafoordove medalje bi lahko Svedska kraljeva akademija Ed- wardu Lorenzu [34] podelila tudi Nobelovo nagrado (nekateri ju ocenjujejo za precej enakovredni, a je seveda Nobelova precej bolj znana). Njegovo odkritje deterministi cnega kaosa bi jo zaslu zilo. Do deterministi cnega kaosa je pri sel, ko je prou ceval dokaj preprost, a nelinearen problem konvekcije med toplo povr sino spodaj in hladnej so zgoraj, s cimer sta se ukvarjala pred njim ze lord Rayleigh in Henri B enard [16]. No, seveda je Lorenz do- bil veliko drugih presti znih nagrad in odlikovanj { Rossbyjevo, Symonsovo, Buys-Ballotovo medaljo, medaljo Lomonosova, pa nagrado WMO, Kyoto Prize . . . , AMS pa je nagrade za pedago sko odli cnost leta 2013 preimeno- vala v Lorenzove nagrade za tovrstno odli cnost. Morda se kdo? Pri tem moramo za Nobelove nagrade upo stevati, da jih dobivajo le zive ci znanstveniki { posthumnih Nobelovih nagrad ni. Se ve c o leto snjih nagrajencih je objavljeno tudi v Proteusu. LITERATURA [1] S. Arrhenius, On the inuence of carbonic acid in the air upon the temperature of the ground, Phil. Mag. and J. of Sci. 41 (1896), 237{276. [2] R. Benzi, G. Parisi, A. Sutera in A. Vulpiani, Stohastic resonance in climatic change, Tellus 34 (1982), 10. [3] A. Blandin, Theories versus experiments in the spin glass systems, J. Phys. Coll. 39 (1978), C6{1499. [4] A. J. Bray in M. A. Moore, Replica symmetry-breaking in spin-glass theories, Phys. Rev. Lett. 41 (1978), 1068. [5] J. G. Charney, The dynamics of long waves in a baroclinic westerly current, J. Atmos. Sci. 4 (1947), 136{162, dostopno na doi.org/10.1175/1520-0469(1947)004<0136: TDOLWI>2.0.CO;2, ogled 3. marca 2022. 15–29 27 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 28 | #14 i i i i i i Jože Rakovec in Tomaž Prosen [6] J. G. Charney, R. Fjortoft in J. Von Neumann, Numerical Integration of the Barotro- pic Vorticity Equation, Tellus 2:4 (1950), 237{254, DOI: 10.3402/tellusa.v2i4.8607, dostopno na www.tandfonline.com/doi/abs/10.3402/tellusa.v2i4.8607, ogled 3. marca 2022. [7] N. Ghofraniha, I. Viola, F. Di Maria, G. Barbarella, G. Gigli, L. Leuzzi in C. Conti, Experimental evidence of replica symmetry breaking in random lasers, Nature Com- mun. 6 (2015), 6058. [8] E. Gold, Vilhelm Friman Koren Bjerknes 1862{1985, Obituary Notices of Fellows of the Royal Society 7 (20): 302{326. doi:10.1098/rsbm.1951.0002, 1951, dostopno na royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsbm.1951.0002, ogled 3. marec 2022. [9] K. Hasselmann, Optimal Fingerprints for the Detection of Time-dependent Cli- mate Change, J. of Climate 6 (1993), 1957{1971, dostopno na doi.org/10.1175/ 1520-0442(1993)006<1957:OFFTDO>2.0.CO;2, ogled 3. marca 2022. [10] K. Hasselmann, Stochastic climate models Part I. Theory, Tellus 28 (1976), 473{485, DOI: 10.3402/tellusa.v28i6.11316, dostopno na doi.org/10.3402/tellusa.v28i6. 11316, ogled 3. marca 2022. [11] G. C. Hegerl, K. Hasselmann, U. Cubasch, J. F. B. Mitchell, E. Roeckner, R. Voss in J. Waszkewitz, Multi-ngerprint detection and attribution analysis of gre- enhouse gas, greenhouse gas-plus-aerosol and solar forced climate change, Climate Dynamics 13 (1993), 613{634, dostopno na link.springer.com/article/10.1007/ s003820050186, ogled 3. marca 2022. [12] G. Hegerl, F. Zwiers in C. Tebaldi, Patterns of change: whose ngerprint is seen in global warming?, Environ. Res. Lett. 6 (2011), 044025 (6pp) doi:10.1088/1748- 9326/6/4/044025, dostopno na iopscience.iop.org/article/10.1088/1748-9326/ 6/4/044025, ogled 3. marca 2022. [13] T. J. Johns et al. (25 avtorjev), The new Hadley Centre Climate Model (HAD- GEM1), Evaluation of coupled simulations, J. of Climate 19:7 (2006), 1327{1353, DOI:10.1175/JCLI3712.1, dostopno na journals.ametsoc.org/view/journals/ clim/19/7/jcli3712.1.xml, ogled 3. marca 2022. [14] M. Kardar, G. Parisi in Y-C. Zhang, Dynamical scaling of growing interfaces, Phys. Rev. Lett. 56 (1986), 889. [15] M. Ljubotina, M. Znidari c in T. Prosen, Kardar-Parisi-Zhang physics in the quantum Heisenberg magnet, Phys. Rev. Lett. 122 (2019), 210602. [16] E. N. Lorenz, Atmospheric predictability as revealed by naturally occurring analogues, J. Atmos. Sci. 26 (1969), 636{646, dostopno na doi.org/10.1175/1520-0469(1969) 26<636:APARBN>2.0.CO;2, ogled 3. marca 2022. [17] P. Lynch, The emergence of numerical weather prediction, Richardson’s Dream, Cam- bridge Univ. Press, 2006, xi+280 pp. [18] P. Lynch, The ENIAC Forecasts: A re-creation, Bull. Am. Meteorol. Soc. 89 (2008), 45{56, DOI: doi.org/10.1175/BAMS-89-1-45, ogled 3. marca 2022. [19] S. Manabe in K. Bryan, Climate calculations with a combined ocean-atmosphere mo- del, J. Atmos. Sci. 26 (1969), 786{789. [20] S. Manabe, J. Smagorinsky in R. F. Strickler, Simulated climatology of general cir- culation with a hydrologic cycle, Monthly Weather Rev. 93 (1965), 769{798. [21] S. Manabe in R. T. Wetherald, The eects of doubling the CO 2 concentration on the climate of a general circulation model, J. Atmos. Sci. 32 (1975), 3{5, dostopno na doi.org/10.1175/1520-0469(1975)032<0003:TEODTC>2.0.CO;2, ogled 3. marca 2022. 28 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Rakovec" | 2022/3/25 | 7:05 | page 29 | #15 i i i i i i Nobelova nagrada 2021 za fiziko [22] S. Manabe in R. Wetherald, Thermal equilibrium of the atmosphere with a given distribution of relative humidity, J. Atmos. Sci. 24 (1967), 241{259. [23] G. Parisi, Innite number of order parameters for spin-glasses , Phys. Rev. Lett. 43 (1979), 1754. [24] G. Parisi, Toward a mean eld theory for spin glasses , Phys. Lett. 73 (1979), 203. [25] N. A. Phillips, The general circulation of the atmosphere: A numerical experiment, Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 82 (1956), 123{164, dostopno na doi.org/10.1002/ qj.49708235202, ogled 3. marca 2022. [26] J. Rakovec in T. Vrhovec, Osnove meteorologije za naravoslovce in tehnike, 3. izdaja, DMFA { zalo zni stvo, Ljubljana, 2017. [27] L. F. Richardson, Weather prediction by numerical process, Cambridge Univ. Press, xii+240 pp, 1922, dostopno na archive.org/details/ weatherpredictio00richrich/, ogled 3. marca 2022. [28] J. Smagorinsky, S. Manabe in J. L. Holloway, Numerical results from a nine-level general circulation model of the atmosphere, Monthly Weather Rev. 93 (1965), 727{ 768, dostopno na doi.org/10.1175/1520-0493(1965)093<0727:NRFANL>2.3.CO;2, ogled 3. marca 2022. [29] M. Talagrand, The Parisi Formula, Annals of Mathematics 163 (2006), 221. [30] P. Thompson, Interview of Philip D. Thompson, 1987, dostopno na opensky.ucar. edu/islandora/object/archives%3A7649/datastream/OBJ/view, ogled 3. marca 2022. [31] J. Tyndall, On radiation through the earth’s atmosphere, javno predavanje, 1863, dostopno na www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/14786446308643443, ogled 3. marca 2022. [32] Climate model, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Climate_model, ogled 3. marca 2022. [33] Eady Model, dostopno naen.wikipedia.org/wiki/Eady_Model, ogled 3. marca 2022. [34] Edward Norton Lorenz, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Edward_Norton_ Lorenz, ogled 3. marca 2022. [35] Giorgio Parisi, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Giorgio_Parisi, ogled 3. marca 2022. [36] Intervju s Hasselmannom v Die Welt (1976), omenjen na doma ci strani Max-Planck-Gesellschaft, dostopno na www.mpg.de/17673145/ klaus-hasselmann-nobel-prize-physics-2021-background, ogled 3. marca 2022. [37] Irish Times 2012: How Joseph Fourier discovered the green- house eect , dostopno na www.irishtimes.com/news/science/ how-joseph-fourier-discovered-the-greenhouse-effect-1.3824189, ogled 3. marca 2022. [38] Klaus Hasselmann, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Klaus_Hasselmann, ogled 3. marca 2022. [39] Svante Arrhenius, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Svante_Arrhenius, ogled 3. marca 2022. [40] Syukuro Manabe, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Syukuro_Manabe, ogled 3. marca 2022. 15–29 29