P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 3 Strani 130-133
Andrej Likar: VERIGA IN OBOK
Ključne besede: fizika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/18/1036-Likar.pdf
© 1990 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
VERIGA IN OBOK
Veriga je zanimivo tefo. Vsa je gibka, prenese !e nateznesile. Členki so namreč gibljivi v vse smeri, le pri nategu se oprejo drug na drugega in kljubujejo dokaj veliki sili. Trdnost in gibkost sta ugodni lastnosti, ki uvrSčata verigo med nepogrešljiva mehanična orodja.
Veriga, ki jo ohlapno pritrdimo med drevesi, se umiri v značilni legi. Opazujmo kos verige med najnižjim členkom A in členkom B nekje blizu pritrdišča in poiSčimo vse sile, ki na ta kos delujejo (slika 1). Najprej je tu
Slika 1. Zunanje sile na kos verige med členkoma A in B.
teža kosa, ki jo sestavljajo teže vseh členkov in deluje navpično navzdol ter je enaka produktu mase vseh členkov v opazovanem delu verige in pospeška prostega pada g:
Fg~ m g
Opazovani del verige je vpet v preostalo verigo. Členek A vieče kos verige v vodoravni smeri, to je v smeri svoje vzdolžne osi, s silo F^. Členek B vleče v smeri svoje vzdolžne osi s silo Fg, Sili , Fg in težo imenujemo zunanje sile, ker jih povzročajo telesa, ki jih ne itejemo k izbranemu kosu verige. Sile med členki opazovanega dela verige pa so notranje sile. Opazovani kos verige je sistem, vsa preostala telesa pa tvorijo okolico. Preostale zunanje site (na primer vzgon v zraku) pa zanemarimo.
Prvi Nevvtonov zakon omogoča, da zunanje sile podrobneje opredelimo. Opazovani kos verige miruje, zato mora biti vsota vseh zunanjih sil nanj
enaka nič. To pomeni, da morata biti teža in navpična komponenta sile Fg nasprotno usmerjeni in po velikosti enaki:
FGsin0 = mg	(l)
Podobno velja za vodoravno komponento sile Fg in silo F&:
FbcoSjS=Fa	(2)
Iz obeh enačb sledi
tanj3= mg/FA	(3)
kar dobimo, če delimo med seboj levi in desni strani enačb (l) in (2) in upoštevamo, da je tan (3 = sin /3/ cos f3.
Krivulji, ki se prilega prosto viseči verigi, pravimo veri/nica. Da pridemo do nje, si moramo misliti zelo tanko homogeno verigo z zelo velikim ftevilom členkov. Kot (3 je tedaj kot med tangento na verižnico in vodoravnico, izraz homogena pa pomeni, da je masa kosa verige sorazmerna z njegovo dolžino. Vse zapisane enačbe ostanejo pri tem veijavne. Tangens naklonskega kota tangente na verižnico je torej sorazmeren z dolžino I, ki jo itejemo od točke, v kateri je tangenta vodoravna (slika 2),
z doliino krivulje med točko A, v kateri je tangenta vodoravna, in izbrano točko S.
Naredimo verigo, katere členki so kamniti in povezani med seboj s kaveljčki, ki so skriti v vdolbinicah sredi kamnov (slika 3). Sosednja kamna sta tako oblikovana, da se z ravnima vzporednima ploskvama skoraj dotikata. Izbran kamen vlečeta soseda s silama, ki sta pravokotni na ravni ploskvi kamna. Postavimo zdaj to "verigo" na glavo, pa dobimo kamnit obok. Kamni
se dotikajo drug drugega, izbrani kamen sedaj sosednja dva stiskata s prav tako velikima silama, kot sta g a prej vlekla vsaksebi. Obok v obliki pokončne venifnice je zato trden in se ne zruši pod lastno težo.
Slika 3. V oboku v obliki pokončne verrfntce 50 kamni le stisnjeni, obok je trden in ne poka.
Do tega pomembnega spoznanja je prvi prišel Anglež Robert Hooke, znan po zakonu o raztezanju proznih teles. Skupaj z arhitektom Christopherjem Wrenom je pomagal graditi London poznanem velikem požaru v sedemnajstem stoletju. M nogi poznavalci arhitekture so prepričani, daje Wren uspešno uporabil misel o obrnjeni verigi pri načrtovanju velikih stavb, na primer cerkve sv. Pavla v Londonu,
Misel o obrnjeni verigi je vredno uporabiti tudi pri gradnji kupol z zidaki. Gradbeni elementi so v kupoli le stisnjeni, Če je kupola v navpičnem prerezu podobna pokončni veriinici Kupole drugačnih oblik rade pokajo. Tega
1 Prokopij iz Cezareje, Pod Justinijanovim žezlom, Cankarjeva zaloiba, Ljubljana,
1961
5 Slopi: verjetno provizorični gradbeni deli, ki sojih po dokončanju oboka odstranili
3 Antemij, Izidor sta bila vodilna arhitekta svojega iasa in vodji del pri gradnji Magie Sophie.
verjetno m poznal Michelangelo pri gradnji cerkve sv. Petra v Rimu» Z vzdrževanjem njegove kupole imajo Italijani danes precej sitnosti. Kupolo so na spodnjem koncu, kjer najbolj poka, opasali z vrsto jeklenih obroče v, ki delno preprečujejo nadaljnje poškodbe. Vprašanje pa je, če bi bila "pravilna" kupola prav tako lepa, kot je IVHchelangelova.
Danes gradijo kupole iz železobetona ali podobnih materialov. Kupole so tanke in lahke, lupina pa tako trdna, da brez težav prenese tudi velike upogibne obremenitve.
Zgodovinar Pfokopij iz Cezareje1takole hvali cesarja Justiniana ob gradnji Hrama Svete Modrosti (Hagie Sophie v Carigradu) v šestem stoletju naiega Štetja:
"Cesarje sodeloval pri gradnji ne samo z denarjem ampak tudi z napornim miselnim delom in z vsemi silami svoje bogate duševnosti, kot bom razložil v nadaljevanju. Eden od obokov, - arhitekti jih imenujejo tudi 'rebra' (loroi), je bil že na obeh straneh sezidan, le na sredini še ni bil dovršen, ampak je čakal zaključne obdelave. Slopi (pessoi) 2, na katerih je temeljila ceiotna konstrukcija, niso mogli več vzdržati gmote, ki je pritiskala nanje, nenadoma so se v njih pojavile razpoke in zdelo se je, da se bodo vsak čas sesuli. Antemij, Izidor 3 in njuni sodelavci so se ob tem prestrašili; ker si s svojo tehniko niso vedeli pomagati, so vso zadevo sporočili cesarju. In cesar je brž velel obok do kraja dovršiti. Pod Čigavim vplivom je to storil, ne vem -mislim pa, da pod božjim navdihnjenjem, saj sam nt bil izvedenec v gradbeni stroki, 'Ko bo obok počival sam na sebi', je dejal 'ne bo več pogrešal opore od spodaj.' In če ne bi bilo prič, ki lahko potrdijo resničnost te zgodbe, bi me gotovo imeli za prilizovalca, ki mu ni mogoče verjeti. Ker pa živi še mnogo ljudi, ki so na lastne oči videli, kaj se je zgodilo, lahko brez oklevanja zgodbo pripovedujem do kraja. Arhitekti so izpolnili cesarjev ukaz: svod seje brez nevarnosti lepo usločil in praksa je potrdila pravilnost cesarjeve zamisli. Tako je bil ta svod dovršen/'
Andrej Likar