i i “Hladnik” — 2012/3/26 — 14:43 — page 34 — #4 i i i i i i Knjiga torej ni matematično delo, kakršne običajno izdaja založba DMFA – založnǐstvo, odkriva pa nam delček pozabljene preteklosti, pomembne za razvoj slovenske visokošolske matematike. S tega vidika je nemara zani- miva tudi za širšo intelektualno javnost, ki ji ni vseeno, kaj se je na duhov- nem, kulturnem in tudi političnem področju dogajalo s Slovenci od začetka 20. stoletja do druge svetovne vojne in po njej. Slovenski matematiki pa z njo vsaj deloma na simbolni ravni poravnavamo svoj dolg do moža, ki je bil še petdeset in več let po smrti zamolčan in izbrisan iz javnega spomina. Knjigo lahko naročite pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 18,38 EUR. Milan Hladnik Bojan Magajna, Osnove teorije mere, Podiplomski seminar iz ma- tematike, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana, 2011, 140 str. Knjiga je učbenik za predmet Teorija mere. Poleg snovi za standardni eno- semestrski tečaj v četrtem ali petem letniku študija matematike pa vsebuje še dodatke, tako da bo uporabna tudi za tiste, ki želijo vedeti nekaj več. Teo- rija mere je pomembna tudi za podro- čje verjetnostnega računa. Kot izbirni predmet je celo v nekaterih magistr- skih programih Ekonomske fakultete. Prvo poglavje ima naslov Merljive množice. Začne kot običajno s σ- algebro in pozitivno mero. Karateodo- rijeva konstrukcija pove, kako zunanja mera porodi σ-algebro in mero na njej. Mero na algebri lahko razširimo do zu- nanje mere. Knjiga vpelje pojem polalgebre in polmere. Vse končne unije paroma disjunktnih elementov iz polalgebre sestavljajo algebro in polmero lahko razširimo do mere na tej algebri. Naj bo f : R → R nepadajoča z leve zvezna. Če definiramo µ([a, b)) = f(b)− f(a) (tudi za b = ∞), µ(∅) = 0, µ(−∞, b) = f(b)− f(−∞), do- 34 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 i i “Hladnik” — 2012/3/23 — 12:54 — page 35 — #5 i i i i i i Osnove teorije mere bimo polmero. Po prej omenjenih konstrukcijah jo lahko razširimo do mere mf na σ-algebri, ki je porojena z obravnavanimi intervali. To je Lebesgue- Stieltjesova mera. Če je f identična funkcija, je to Lebesgueova mera. Naslednje poglavje ima naslov Merljive funkcije. Poleg standardne snovi vsebuje tudi razdelek Konvergence skoraj povsod, skoraj enakomerno in po meri ter izrek Jegorova. Sledi poglavje o integraciji – najprej za nenegativne in nato še kompleksne merljive funkcije. Na kratko je razjasnjena zveza med Riemannovim in Lebesgueovim integralom na prostoru Rn. Ta snov je na- mreč že vsebovana v knjigi Mirka Dobovǐska [1]. Obravnavana je produktna mera. Tonellijev in Fubinijev izrek govorita o zvezi med dvojnim in dvakrat- nim integralom in o zamenjavi vrstnega reda integracije. Četrto poglavje je namenjeno kompleksnim meram in Lp-prostorom. Peto poglavje je obravnava mere na lokalno kompaktnem Hausdorffovem prostoru X. Izpeljan je izrek Riesza in Markova, ki pravi, da za vsak poziti- ven linearni funkcional ρ na prostoru Cc(X) zveznih funkcij s kompaktnim nosilcem iz X v C obstaja enolično določena Radonova mera µ na X, da je ρ(f) = ∫ X f dµ za vsak f ∈ Cc(X). Nadaljnja snov sta avtomatična regularnost Radonovih mer in aproksimacija z zveznimi funkcijami. Zadnje, šesto poglavje ima naslov Odvajanje mer in funkcij. Definirani sta absolutna zveznost in variacija funkcije. Pokazano je, kako lahko absolut- no zvezno funkcijo izrazimo kot integral njenega odvoda (ki obstaja skoraj povsod). Knjiga odseva avtorjevo veliko in poglobljeno znanje. Formulacije so ja- sne, dokazi elegantni, marsikje imamo odlične dodatne komentarje, ki pove- zujejo snov z drugimi matematičnimi področji ali bralca napotijo v obsežen seznam literature. Veliko je tudi nalog. Nekatere so razmeroma enostavne ali pa imajo dobra navodila. Kot od profesorja Bojana Magajne že priča- kujemo, pa so številni problemi zahtevni. Najtežje naloge so označene z *. Knjiga je zelo dobrodošel prispevek k slovenski matematični literaturi. Knjigo lahko naročite pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 15,59 EUR. LITERATURA [1] M. Dobovǐsek, Riemannov in Lebesgueov integral v Rn, Izbrana poglavja iz mate- matike in računalnǐstva 36, DMFA–založnǐstvo, Ljubljana, 1997. Peter Legǐsa Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 1 35