ponceletove krivulje
MIRKO DOBO VIŠEK
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 15A63, 47A12, 51M04
V 18. stoletju so opazili, da velja naslednje: ce sta kroznici vcrtana in očrtana kro-znica nekemu trikotniku, sta vCrtana in očrtana kroZnica se neskončno mnogo trikotnikom z oglisci na zunanji kroZnici. Taki krivulji so poimenovali Ponceletovi krivulji. V clanku obravnavamo zgodovinski razvoj iskanja takih parov krivulj. Izkazalo se je, da enako velja tudi pri n-kotnikih. Ko so odkrili, da taksne krivulje niso nujno kvadrike, je raziskovanje dobilo nov zalet. Cele druzine takih krivulj so dobili kot rob numericne zaloge vrednosti matrike. V clanku je definicija numericnega zaklada, prikaz, kako dobimo Ponceletovo krivuljo kot rob numericnega zaklada, in primer, ko Ponceletova krivulja ni elipsa. Pred nekaj leti so ovrgli tudi hipotezo, da je vsaka Ponceletova krivulja rob numericnega zaklada. Klasifikacija vseh Ponceletovih krivulj je zato se vedno odprt problem.
PONCELET CURVES
In the 18th century mathematicians established the following: given two circles Ci, inscribed to a given triangle, and C2, circumscribed to the same triangle, then C1 and C2 are inscribed and circumscribed circle to an infinite number of triangles. Such a pair of curves is called Poncelet's curves. In this article the early history of Poncelet's porism is discussed. The same property occurs also in the case of an n-sided polygon. In 1998 it was proved that the boundary of the numerical range on any n x n matrix that admits unitary bordering is an (n + 1)-Poncelet's curve with respect to the unitary circle, and that such curves need not be quadrics. The example of a Poncelet's curve that is not a quadric is given in this article. It is already known that not all Poncelet's curves are boundaries of a numerical range. All Poncelet's curves with respect to a circle have not yet been classified.
Ponceletova krivulja
Znana formula iz geometrije pove naslednje:
Trditev 1. Naj ima trikotniku očrtana krožnica polmer R, istemu trikotniku vcrtana krožnica pa polmer r. Ce označimo z d razdaljo med sredi-SCema teh dveh kročnic, je
d2 = R2 - 2rR.	(1)
Slika 1
Formulo je prvi objavil William Chapple leta 1746 [1]. Chapple je bil navdušen ljubiteljski matematik. Njegov dokaz je poln napačnih logičnih razmislekov. V dokazu je brez pravilnega dokaza predpostavil, da če sta enkrat krozniči v tej legi in izberemo poljubno točko na zunanji krozniči, potem vedno lahko najdemo na zunanji krozniči se drugi dve oglisči trikotnika, da mu bosta dani krozniči očrtana in včrtana krozniča. Ta trditev je pravilna in je tema nasega članka. Povzetek in razlago Chapplovega dokaza lahko braleč najde v članku [2].
Trditev 1 pripisujejo Eulerju. Euler ni v nobenem od svojih stevilnih del omenil te formule. Je pa vsekakor dokazal naslednje:
Ce označimo z a, b in c straniče trikotnika, s P njegovo plosčino in z d razdaljo med sredisčema očrtane in včrtane krozniče, je:
d2 =
(abc)2
abc
(2)
16P2 a + b + c"
Ko upostevamo, da sta polmer trikotniku očrtane in polmer včrtane krozniče
abc	2P
R =
4P
in r =
a + b + c'
dobimo Chapellovo formulo. Formula (2) direktno ne podaja zveze med polmeroma in razdalje med sredisčema, je bil pa Eulerjev dokaz pravilen.
Ničolaus Fuss je v članku [3] leta 1797 objavil zvezo med polmeroma očrtane in včrtane krozniče stirikotniku. Zveza je naslednja:
(R2 - d2)2 = 2r2(R2 + d2).
22
B4
A3
Bi
Ao
Bo
Slika 2. Elipsi £1 in 82 imata 4-Ponceletovo lastnost.
Dokaz ni prav enostaven. Bralec ga lahko najde recimo v knjigi Heinricha Dörrieja [4]. Fuss se je kasneje ukvarjal tudi z nekaterimi drugimi mnogo-kotniki, vendar zvez ni nasel. Vedno pa se zgodi naslednje: Ce sta elipsi vCrtana in oCrtana elipsa nekemu n-kotniku in izberemo poljubno toCko Ai na zunanji elipsi, narisemo iz nje tangento na manjso elipso in oznaCimo drugo preseCisCe te tangente z zunanjo elipso z A2, spet naredimo tangento na notranjo elipso in preseCisCe z zunanjo oznaCimo z A3, in tako nadaljujemo, se izkaze, da je A1 = An+1.
To je opazil Jean-ViCtor PonCelet in se zaCel ukvarjati s tem problemom kot vojni ujetnik v Saratovem ob Volgi. Za krivulje je vzel stozniCe v ravnini. Leta 1822 je trditev in (napaCen) dokaz objavil v delu [5].
Definicija 1. Naj bosta E1 in E2 elipsi. Ce obstaja n-kotnik, oCrtan elipsi E2 in hkrati vCrtan elipsi E1, pravimo, da imata elipsi n-Ponceletovo lastnost, oziroma da sta Ponceletovi krivulji reda n.
Tako imenovani veliki PonCeletov izrek pa je:
Izrek 2. Naj bo n > 3 in naj imata elipsi E1 in E2 n-Ponceletovo lastnost. Potem za vsako točko A € E1 obstaja n-kotnik, ki je vertan elipsi E1 in očrtan elipsi E2 ter ima točko A za eno od ogličč.
Pravilen dokaz je leta 1828 objavil Carl Gustav JaCob JaCobi [6]. Ko je delal z analitiCnimi formulami za tangente in tetive med krozniCama, je opazil, da se podobne relaCije pojavljajo tudi v teoriji eliptiCnih funkCij. S pomoCjo teh funkCij je nasel analitiCen dokaz PonCeletovih izrekov in tudi
zveze med polmeroma in razdaljo med njima. Bralec si lahko v modernejšo obliko predelan dokaz in še celotno zgodovino Ponceletovega izreka za stoZernice ogleda v precej dolgem Clanku [2].
Tu navedimo še nekaj rezultatov za kroznici. Pri n-kotnikih so zveze med polmeroma vcrtane kroznice in ocrtane kroznice ter razdaljo med srediscema naslednje:
n = 4:
n = 5:
(R2 - d2)2 = 2r2(R2 + d2)

r(R - d) = (R + d)[(R - r + d)(R - r - d)]l/2 + (R + d)[(R - r - d)2R]l/2
n = 6:
n = 8:
3(R2 - d2)4 = 4r2(R2 + d2)(R2 - d2)2 + 16r4d2R^
22
22
22
C
8r2[(R2 - d2)2 - r2(R2 + d2)]{(R2 + d2)[(R2 - d2)4 + 4r4d2R2]-8r2d2R2(R2 - d2)2} = [(R2 - d2)4 - 4r4d2R2]2
V resnici lahko s pomocjo elipticnih funkcij najdemo zveze za poljuben mnogokotnik in elipsi.
Pri afini transformaciji ravnine se premice slikajo v premice, elipse pa v elipse. Zato nic ne izgubimo na splosnosti, ce predpostavimo, da je zunanja elipsa kar enotska kroznica. V knjigi [7] lahko najdemo naveden izrek:
Izrek 3. Kroznica x2 + y2 = 1 in elipsa (x - c)2/a2 + (y - d)2/b2 = 1 imata n-Ponceletovo lastnost natanko tedaj, ko je za n = 2m + 1 oziroma za n = 2m + 2
^2
04
0m+2
= 0 oziroma
0m+l 0m+2 ••• 02m
kjer so a j koeficienti razvoja funkcije
03
04
04
05
am+2 am+3
am+2 am+3
a2m+l
= 0,
f (t) =
t +-T
^ + V2 t + 1 - - 62
+ H-7 ^ +
^ ^TT +
d2
a4	a4b2 a4b2 a^b4
v formalno potenčno vrsto
f (t)^ aj tj. j=0

Izrek je dokazal Cayley. Zelo lepo napisan dokaz lahko bralec najde v članku P. Griffithsa in J. Harrisa [8].
Do tod sta bili krivulji vedno elipsi. Zato si lahko postavimo vpraSa-nji: So Ponceletove krivulje vedno elipse? Kako dobiti (klasificirati) vse Ponceletove krivulje?
Ponceletove krivulje, ki niso nujno kvadrike, je nasel B. Mirman [9]. Za njihov opis pa potrebujemo numericni zaklad matrike.
Numericni zaklad matrike
S Cn, n > 1, bomo oznacili prostor n-teric kompleksnih stevil. Prostor Cn je n-razsezen vektorski prostor nad obsegom kompleksnih stevil. Skalarni produkt vektorjev x in y iz Cn bomo oznacili z {x,y). Ce je x = (xi, X2,..., ) in y = (y1, y2,..., yn), je standardni skalarni produkt vektorjev x in y
(x, y) = xiyi + x2y2 + ... + x^y^.
Normo vektorja izracunamo z
x
^ (x,x) ^ Vxixi + x2x2 +-----h x„xn
Vemo, da vsaki linearni preslikavi iz Cn v Cn pripada matrika velikosti n x n in obratno. Definirajmo sedaj numericni zaklad matrike oziroma linearne preslikave.
Definicija 2. Numericni zaklad matrike A je podmnozica kompleksnih ste-vil, definirana z
W(A) = {(Ax,x);x € Cn, ^x^ = 1}.
Preslikava, ki vektorju x priredi (Ax,x), je zvezna. Numericni zaklad je slika enotske sfere v Cn. Ker je ta kompaktna, je tudi numericni zaklad kompaktna mnozica. Numericni zaklad je torej vedno omejena in zaprta podmnozica kompleksne ravnine.
Navedimo nekaj najocitnejsih lastnosti numericnega zaklada.
Trditev 4. Numericni zaklad matrike A + al je za a premaknjeni numericni zaklad matrike A, W(A + al) = W(A) + a = {A + a; A € W(A)}.
Trditev 5. Naj bo A matrika velikosti n x n in U poljubna unitarna matrika. Potem je W(A) = W(U*AU).
Dokaz. Ceje a € W(A), obstaja x G Cn, = 1, da je a = (Ax,x}. Vsaka unitarna matrika je obrnljiva in ohranja dolžino vektorjev. Zato obstaja tak y G Cn, y^y = 1, da je x = Uy. Potem pa je a = (Ax, x} = (AUy, Uy} = (U*AUy, y} G W(U*Au). Dokaz obratne inklužije je prav takSen.	■
Očitna je tudi naslednja trditev:
Trditev 6. Spekter matrike je vsebovan v njenem numeričnemu zakladu.
Dokaz. Naj bo A lastna vrednost matrike A. Potem obstaja x G Cn, ^x^ = 1, da je Ax = Ax. Potem pa je za ta x (Ax, x} = (Ax, x} = A(x, x} = A, kar pomeni, da je A G W(A).	■
Trditev 7. Numerični zaklad diagonalne matrike je konveksna ogrinjača diagonalnih elementov.
Dokaz. Naj bo A diagonalna matrika z elementi Ai, A2,..., An na diagonali. Potem je
n	\ ( n	n
W(A) ^ (Ax,x}^xixi = ^ ^ ^ Aixixi^xixi = 1
I i=1	li=1 i=1
= \ it Ai|xil2; it lxil2 = 1 -li=1 i=1
Iž zadnje vrstice vidimo, da je W(A) konveksna ogrinjača diagonalnih elementov.	■
Ker vsako normalno matriko lahko diagonaliziramo z unitarno prehodno matriko, velja naslednje:
Izrek 8. Numerični zaklad normalne matrike je enak konveksni ogrinjači njenih lastnih vrednosti.
Posledica nam da karakterizacijo sebi adjungiranih operatorjev s pomočjo numeričnega zaklada.
Izrek 9. Matrika je sebi adjungirana natanko tedaj, ko leči njen numerični zaklad na realni osi. Ce označimo najmanjčo lastno vrednost sebi adjungirane matrike A z Am in največjo z Am, je W(A) = [Am, Am] in yAy =max{|Am|, |Am|}.
Dokaz. Ce je matrika A sebi adjungirana, lezijo njene lastne vrednosti na realni osi. Vsaka sebi adjungirana matrika je tudi normalna. Konveksna ogrinjača realnih stevil lezi na realni osi. Naj sedaj lezi numerični zaklad
matrike A na realni osi. Potem je (Ax, x) G R za vsak x G Cn oziroma {AX'X) = (AX'X) = (X'Ax) = (A*X'X). Sledi ((A - A*)X'X) = 0 za vsak x G Cn. Matrika A — A* ima v numeričnem zakladu samo stevilo 0. Ker je matrika A — A* normalna matrika, jo lahko diagonaliziramo in v spektru ima samo vrednost 0. Zato je A — A* =0 oziroma A = A*. Pokazati moramo le se, da je ^A^ = max{|Am|' |Am|}. Za A = 0 je
4yAxy2 = (A(Ax + A-1Ax)' Ax + A-1Ax) — (A(Ax — A-1 Ax), Ax — A-1 Ax) < max{|Am|' |Am|} [||Ax + A-1Axy2 + ^Axc — A-1Axy2; = 2max{|Am|' |Am|} [A2|x|2 + A-2|Ax|2; .
Ce vstavimo A2 = |Ax|/|x| in krajsamo, dobimo
|Ax| < max{|Am|' |Am|}|x|.
Sledi |A| < max{|Am|' |AM|}. Očena v drugo smer je trivialna.	■
Naslednja lema bo pomembna pri dokazu konveksnosti numeričnega zaklada.
Lema 10. Naj bo A linearna preslikava dvodimenzionalnega kompleksnega vektorskega prostora vase, A : C2 ^ C2. Potem je W(A) polna elipsa, ki ima za gorišči lastni vrednosti preslikave.
Lemo dokazemo tako, da numerični zaklad izračunamo. Najprej uporabimo Sčhurov izrek, ki pove, da je vsaka matrika unitarno podobna zgornjetriko-tni matriki. Numeričnega zaklada zgornjetrikotne matrike pa ni več tezko izračunati.
Zgornja lema nam bo pomagala dokazati eno najpomembnejsih lastnosti numeričnega zaklada.
Izrek 11. Numerični zaklad matrike je konveksna mnošica.
Dokaz. Naj bosta a in ß različna elementa numeričnega zaklada matrike A. Pokazati moramo, da je daljiča med a in ß čela v W(A). Naj bosta x in y vektorja z normo 1, za katera velja (Ax'x) = a in (Ay'y) = ß. Ker je a = ß, sta vektorja x in y linearno neodvisna. Označimo z V dvorazsezen podprostor, ki ga razpenjata, in s P ortogonalni projektor prostora Cn na V. Ce Cn zapisemo kot ortogonalno vsoto Cn = V © V^, sta matriki preslikav A in PAP glede na izbrani razčep prostora bločni matriki oblik:
A=
A11 A12 A21 A22
PAP =
A11 0 00
Matrika An je sedaj 2 x 2 matrika in očitno je W(An) C W(A). Ker je a = {Ax,x) = {APx,Px) = {PAPx,x), je a € W(An). Enako dobimo tudi ß € W(An). Numerični zaklad 2 x 2 matrike An je elipsa, zato vsebuje tudi daljico med a in ß. Ker je W(An) C W(A), daljico vsebuje tudi W(A).	■
Numerični zaklad matrike nam lahko pomaga locirati spekter matrike in dobiti ocene za napake pri računanju lastnih vrednosti.
Numerični zaklad matrike so posplosili ze v veliko smeri. Precej so raziskane tudi lastnosti numeričnega zaklada operatorja na neskončnorazseznem Hilbertovem prostoru. Numerični zakladi neomejenih operatorjev (bilinear-nih form) so uporabni pri dokazovanju obstoja zaprtih razsiritev neomejenih operatorjev.
NumeriCni zaklad in Ponceletove krivulje
B. Mirman je leta 1998 objavil rezultat [9], ki pove, da je rob numeričnega zaklada določenih matrik Ponceletova krivulja. Ponceletove krivulje, ki jih je dobil, niso nujno kvadrike (elipse). Oglejmo si del njegovih rezultatov.
Definicija 3. Matrika B velikosti m xm je dilacija nxn matrike A, m > n, kadar obstaja izometrija V : Cn ^ Cm, za katero velja A = V*BV.
Trditev 12. Naj bo B dilacija matrike A. Potem je W(A) C W(B).
Dokaz. Ker je B dilacija matrike A, obstaja taka izometrija V, da je A = V*BV. Naj bo a € W(A). Potem obstaja enotski vektor x, ^x^ = 1, da je a = {Ax,x). Pisemo lahko:
a = {Ax, x) = {V*BVx, x) = {BVx, Vx) = {By, y).
Ker je V izometrija, je tudi y = Vx enotski vektor in zato a € W(B). ■
Izrek 13. Naj bo n > 1, U unitarna matrika velikosti (n + 1) x (n + 1) s samimi različnimi lastnimi vrednostmi in w € C^+^ enotski vektor, ki ni pravokoten na nobenega od lastnih vektorjev matrike U. Nadalje naj bo
L = {x € C^+^ : {x,w) = 0}
in Q ortogonalni projektor Q = In+i - ww* prostora C^+^ na L. Potem je rob numeričnega zaklada matrike QUQ kot preslikave L ^ L Ponceletova krivulja reda n + 1 glede na enotsko kročnico.
Opomba 1. Naj bodo e1, e2,..., en baza prostora L. Matrika QUQ, zapisana v bazi {e1, eo,..., en, w}, je potem oblike
T G' 0 G
Rob numeriCnega zaklada n x n matrike T je PonCeletova krivulja glede na enotsko krozniCo.
Dokaz. Matrika U je normalna matrika. Njen numeriCni zaklad je zato konveksni (n+1)-kotnik M z oglisCi na enotski krozniCi, natanCneje v lastnih vrednostih matrike U. Matrika U je dilaCija matrike T, zato ta (n+1)-kotnik vsebuje numeriCni zaklad matrike T. OznaCimo lastne vrednosti matrike U z e^^fc, k = 1,2,...,n + 1.
Vsaka straniCa S (n + 1)-kotnika povezuje dve lastni vrednosti. Naj bosta to e^^1 in e^^2. PripadajoCa lastna vektorja naj bosta v1 in v2. OznaCimo z M vektorski prostor, razpet s tema vektorjema. Ta prostor je dvodimenzionalen. NumeriCni zaklad zozitve operatorja U na podprostor M je ravno straniCa S. Vsota dimenzij prostorov M in L je n + 2. To pomeni, da imata prostora netrivialen presek. V preseku je torej vsaj en neniCeln vektor. Naj bo to f. Predpostavimo lahko, daje y = 1. Ker je f € M, je { = {Uf, f) na straniCi S. Po drugi strani pa je Qf = f, saj je f € L. Zato je
e = {T/,/ ) = {U/,/ ).
ToCka e je torej tudi v W(T). StraniCa S in W(T) imata torej skupno vsaj eno toCko. Dokazimo, da je v S n W(T) natanko ena toCka. ReCimo, da bi bili skupni dve toCki. Potem bi obstajala dva enotska neodvisna vektorja /1 € M n L in /2 € M n L in M bi bil vsebovan v L. To pa je protislovje, saj M vsebuje lastne vektorje matrike U, L pa ne. To seveda velja za vse straniCe (n + 1)-kotnika M. Zato je rob numeriCnega zaklada krivulja, vCrtana mnogokotniku M, ta pa ima enotski krog za oCrtan krog.
Dokazati moramo se to, da Ce iz poljubne toCke A1 enotske krozniCe potegnemo tangento na rob W(T), drugo preseCisCe te tangente z enotsko krozniCo oznaCimo z A2 in potem tako nadaljujemo, dobimo An+1 = A1. Matrika U je dilaCija matrike T. Definirajmo
Uy = U(/ - ww* + eiYww*).
OCitno je U*UY = I in QUYQ = T. Torej je tudi UY unitarna dilaCija matrike T. NumeriCni zaklad matrike UY je (n + 1)-kotnik MY in rob W(T) je vCrtan mnogokotniku MY. Ce bi imel manj oglisC, bi unitarna matrika UY imela vsaj eno veCkratno lastno vrednost. Podprostor L bi moral vsebovati lastni vektor matrike UY (dimenzija L je n) in rob W(T) bi se dotaknil krozniCe, kar pa vemo, da ni res.
Dokazimo se, da imata mnogokotnika MY1 in MY2 razlicna oglisca, ce je
0	< |7i - 72| < 2n. Ni tezko videti, da je det UY = eiY det U. Zato sta determinanti matrik UY1 in UY2 razlicni. Ker je determinanta produkt lastnih vrednosti matrike, matriki UY1 in UY2 nimata istih lastnih vrednosti. Se vec, vse lastne vrednosti oziroma oglisca morajo biti razlicna. Ce bi mnogokotnika imela skupno oglisce, bi bila po konstrukciji enaka. Ko 7 pretece 2n dolg interval, mnogokotniki MY pretecejo vse mozne (n+1)-kotnike, vcrtane v enotsko kroznico in ocrtane robu W(T) in to brez ponavljanja. Lastne vrednosti matrike UY oziroma oglisca (n + 1)-kotnika MY se z 7 zvezno spreminjajo. Ker sta MY1 in MY2 razlicna, ce se 7i in y2 razlikujeta za manj kot 2n, in je M = Mo = M2n, potuje vsako oglisce mnogokotnika MY ravno do sosednjega oglisca mnogokotnika M, ko tece 7 od 0 do 2n.	■
Da smo prisli do (n + 1)-Ponceletove krivulje, smo morali imeti matriko T, ki ima unitarno dilacijo. Take matrike imenujemo UB matrike. V clanku [9] je dokazan naslednji izrek:
Izrek 14. Matrika T ima unitarno dilacijo natanko tedaj, ko je TT * =
1	- uu*, kjer je u nenicelni vektor, ^u^ < 1.
Dokaz izreka, se mnogo zanimivih lastnosti in tudi relativno enostaven dokaz velikega Ponceletovega izreka za kroznice najdemo v istem clanku [9].
Vprasamo se lahko, ali so vse Ponceletove krivulje, dobljene kot rob numericnega zaklada UB matrike, kvadrike. Odgovor je negativen. Brez dokaza napisimo, da rob W(A) za matriko
A=
a 1 - |a|2 -a(1 - |a|2)' 0 a	1 - | a| 2
0 0	a
|a| < 1,	(3)
ni kvadrika, je pa 4-Ponceletova krivulja glede na enotsko kroznico. Na sliki 3 je numericni zaklad matrike (3) pri a = (2 + 3i)/5.
Naslednje vprasanje, ki so si ga postavili matematiki, je, ali so vse Pon-celetove krivulje rob numericnega zaklada kaksne UB matrike. Tudi tu je odgovor negativen. B. Mirman in P. Shukla [10] sta dokazala kriterij, ki pove, kdaj je Ponceletova krivulja rob numericnega zaklada matrike, in tudi nasla Ponceletove krivulje, ki niso rob numericnega zaklada UB matrike. V clanku je tudi posplositev definicije Ponceletove krivulje iz realne ravnine v kompleksno ravnino. V obsirnem seznamu literature v [10], [11] lahko najdemo clanke, ki obravnavajo vse mogoce posplositve Ponceletovih krivulj.
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
A4 B3
Slika 3. Ponceletova krivulja, ki ni kvadrika.
LITERATURA
[1]	W. Chapple, An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles, Mischellanea Curiosa Mathematica 4 (1746), 117-124.
[2]	H. J. M. Bos, C. Kers, F. Oort in D. W. Raven, Poncelet's closure theorem, Expo. Math. 5 (1987), 289-364.
[3]	N. Fuss, De quadrilateris quibus circulum tam inscribere quam circumscribere licet, Nova acta acad. sci. Petrop. 10 (St Petersburg 1797), 103-125.
[4]	H. Dörrie, 100 great problems of elementary mathematics, their history and solutions, New York (Dover), 1965.
[5]	J. V. Poncelet, Traite des proprietes projectives des figures, Paris 1822.
[6]	C. G. J. Jacobi, Uber die Anwendungen der eliptischen Transcendenten auf ein bekanntes Problem der Elementargeometrie, Journal för die reine und angewandte Mathematik 3 (1828), 376-389.
[7]	M. Berger, Geometry II, Springer, 1987.
[8]	P. A. Griffiths in J. Harris, On Cayley's explicit solution of Poncelet porism, l'Enseinement Math. 24 (1978), 31-40.
[9]	B. Mirman, Numerical ranges and Poncelet curves, Linear algebra Appl. 281 (1998), 59-85.
[10]	B. Mirman in P. Shukla, A characterisation of complex plane Poncelet curves, Linear algebra Appl. 408 (2005), 86-119.
[11]	B. Mirman, Poncelet's porism in the finite real plane, Linear and Multilinear Algebra 57 (2009) 5, 439-458.