Elektrotehniški vestnik 87(4): 165-174, 2020 Izvirni znanstveni prispevek
Numericne metode končnih razlik za modeliranje telekomunikacijskih kanalov: pristopi in izzivi
Roman Novak
Inštitut Jožef Stefan, Odsek za komunikacijske sisteme, Jamova cesta 39, 1000 Ljubljana, Slovenija E-pošta: roman.novak@ijs.si
Povzetek. Brezžična omrežja naslednjih generacij se bodo za zagotavljanje bistveno višjih prenosnih zmogljivosti ob manjši porabi energije in bolj učinkoviti rabi radijskih virov morala natančneje zavedati radijskega okolja, v katerem bodo obratovala in se mu prilagajala. Današnje metode modeliranja radijskega okolja še niso dovolj natančne, da bi to omogočile v polni meri. Starejše empirične metode so šibke pri prostorsko-časovni karakterizaciji kanalov. Prevladujoče deterministične metode na osnovi geometrijske optike znatneje odstopajo od realnosti v primeru modeliranja uklonskega pojava in sipanja. Na drugi strani numerične metode končnih razlik, ki slonijo na temeljnih Maxwellovih parcialnih diferenčialnih enačbah elektrodinamike, zagotavljajo iskano natančnost, a so omejene na bistveno manjše računske domene. Trend večanja gostote dostopnih točk in manjšega dosega brezzičnih čelič odpira vrata numeričnim metodam končnih razlik kot alternativi metodam sledenja zšarkom. Prispevek je pregled trenutnih pristopov in izzivov na področšju numeričšnih metod končnih razlik, ko so te uporabljene za modeliranje telekomunikačijskih kanalov. Identifičiramo osnovne tezave in nakazemo potenčialne smeri njihovega reševanja. Predlagano še sprejemljivo zmanjšanje natančnosti numeričnih metod v povezavi s strojnim pospeševanjem algoritmov za njihovo večjo uporabnost pri modeliranju telekomunikačijskih kanalov je alternativa izboljševanju natančnosti trenutno bolj razširjenih determinističnih modelov.
Ključne besede: radijsko razširjanje, račun oddaljenega polja, predikčija signala, metode končnih razlik, numeričšne metode
Numerical Finite-Difference Techniques in Telecommunication Channel Modelling - Approaches and Challenges
Wireless networks of the next generation should optimally adapt themselves to the operating environment in order to meet the requirements of a significantly higher throughput at a lower energy consumption and at increased utilization of radio resources. The current methods used for the radio environment modelling are insufficiently accurate. Older empirical models can no longer be used to model channel spatial and temporal characteristics because of their inadequacy. The widespread deterministic modelling based on geometric optics significantly deviates from the radio frequency diffraction and scattering behavior. On the other hand, the numerical finite-difference techniques based on the Maxwell's partial differential equations of electrodynamics do provide the required level of details but are limited to rather small computation domains. However, the increasing number of the access points and the associated reduction in the wireless cell reach suggest to use numerical techniques as a viable alternative to the ray optical modelling of the telecommunication channels. The paper reviews the current challenges and approaches to solving the large-scale telecommunication problems by using the numerical finite-difference techniques and proposes to adapt them because of their considerable acceptability. The techniques complemented with the use of hardware accelerators can become an efficient accuracy-improved alternative of the deterministic models.
Prejet 12. februar, 2020 Odobren 22. maj, 2020
Keywords: radio wave propagation, far-field computation, signal prediction, finite-difference methods, numerical methods
1 Uvod
Modeliranje telekomunikacijskih kanalov sloni na fizikalnih zakonitostih interakcije elektromagnetnega valovanja s snovjo ter se prilagaja zahtevam današnje in prihajajoče komunikacijske tehnologije. Vsestransko razumevanje razširjenja radijskih valov je kljucnega pomena za nadaljnji razvoj brezzicnih omrezij. Ultra-zanesljiva in ultragosta omrezja kratkih prehodnih casov v viziji pete generacije (5G), masivni antenski sistemi, viso-kodinamicni mobilni scenariji, lokacijsko zavedajoce komunikacije, pospešeno vkljucevanje metod umetne inteligence in premik v višje frekvencne pasove je le nekaj dejavnikov in konceptov, ki zahtevajo natancnejše poznavanje razširjenja radijskih valov.
(Ciste empiricne metode s preslikavo meritev na podobna okolja ze dolgo ne zagotavljajo potrebne na-tancnosti za karakterizacijo telekomunikacijskega kanala, ki zahteva prostorsko-casovni opis. Na drugi strani najdemo modele, ki ze upoštevajo konkretno geometrijo prostora. V zadnjih letih se tako vse bolj uveljavljajo deterministicni modeli na osnovi geometrijske optike oziroma sledenja zarkom, ki jih ze lahko okarakteri-
166
ROMAN NOVAK
ziramo kot numerične metode pod pogojem, da algoritmi ne zahtevajo prilagajanja na meritve. Visokofrekvenčni pribliZek, pri katerem obnašanje Žarka posnema obnašanje ozkega snopa svetlobe, je problematičen pri modeliranju uklonskega pojava in sipanja. Geometrijska teorija uklona le delno reši prvo težavo. Sipanje, ki je še zlasti relevantno za modeliranje kanalov v zaprtih prostorih, nima zadovoljive resšitve. V splosšnem velja, da vsaka razsširitev algoritmov na osnovi geometrijske optike prinese hiter porast račšunske obremenitve, ki omeji uporabo take razsširitve na zelo majhne geometrije ali pa prinese dvodimenzionalne poenostavitve. Tudi čisto analitičšni modeli, ki tipičšno uposštevajo podmnozšičo faktorjev realnega okolja, so vse manj uporabni ter ne zagotavljajo večanja hitrosti in zanesljivosti komunikacij.
Pod izrazom metode končnih razlik razumemo predvsem numericne metode reševanja temeljnih Maxwello-vih enačb. Metode so osnova širokega področja računske elektrodinamike in so najbolj primerne za modeliranje interakčij električnega polja s fizičnimi objekti v problemih s karakterističšnimi dimenzijami račšunske domene nekaj valovnih dolzin. Za telekomunikačijske probleme, v katerih je valovna dolzina bistveno manjša od podrobnosti računske geometrije, še vedno velja, da je sledenje zarkom primernejši način reševanja, predvsem z vidika hitrosti oziroma izračšunljivosti v razpolozšljivem času. Zahteve za ekstremne prenosne hitrosti v kombi-načiji z zgoščevanjem čelič omrezij naslednjih generačij omenjeno pravilo postavljajo pod vprašaj. Modelirane podrobnosti geometrije so vse manjše, še posebej v zaprtih prostorih, hkrati pa se tudi manjšajo dimenzije čelič v smeri tako imenovanih pičo in femto čelič, ki tipično predstavljajo računsko domeno. Rast računske moči in zahteve po vse boljši karakterizačiji komuni-kačijskega kanala tako odpirajo potenčialne mozšnosti za uporabo metod končšnih razlik tudi na obsezšnejsših komunikačijskih problemih.
V tem prispevku naredimo pregled pomembnejsših numeričšnih metod končšnih razlik in analiziramo osnovne tezšave, do katerih pride ob uporabi teh metod na problemu radijskega razširjanja. Nakazemo potenčialne smeri reševanja teh tezav za večjo sprejemljivost nu-meričšnih metod v postopkih modeliranja, v katerih sičer prevladujejo modeli geometrijske optike. Predlagamo pristop še sprejemljivega zmanjšanja natančnosti metod, ki v osnovi uposštevajo čelotni fizikalni spekter pojavov razširjenja elektromagnetnega valovanja, ob pogojih njihove izvedljivosti in uporabo namenskih strojnih arhitektur kot alternativo izboljsševanju natančšnosti bolj razsširjenih determinističšnih modelov.
Preostanek prispevka ima naslednjo strukturo. V drugem poglavju podamo nekaj konkurenčnih metod, ki jih zelimo delno nadomestiti z numeričnimi pristopi. Osnovni pregled numeričnih metod končnih razlik je v tretjem poglavju. V četrtem poglavju analiziramo ovire, ki preprečujejo uporabo numeričnih metod na večšjih problemih, ter potenčialne smeri prilagajanja nu-
meričnih metod telekomunikacijskim problemom. Peto poglavje obravnava specifično problematiko strojnega pospeševanja računov na nivoju logičnih vrat ter uporabnosti večnamenskih grafičnih pospeševalnikov in podatkovno-pretocšnih arhitektur. Pospesšitev racšuna namreč omogoči povečanje velikostnega reda še sprejemljivih računskih domen. Prispevek zaključimo s sklepnimi ugotovitvami v šestem poglavju.
2 Konkurenčne metode
Prvotni čilj modeliranja radijskega razširjanja je bil formalizirati načine razširjenja radijskega valovanja v čim širših okoljskih kategorijah. Statistični in empirični modeli so omogočili načrtovanje prvih mobilnih radijskih sistemov, niso pa zagotovili dovolj natančnega vpogleda v fizikalne mehanizme razširjenja, kot so ga omogočili poznejši modeli. V nadaljevanju naštejemo nekaj modelov, ki jih uvrščamo v omenjene skupine.
2.1	Statistični in empirični modeli
Obširen pregled modeliranja razširjanja radijskega valovanja podaja poročilo COST 273 [1]. Statistični modeli opisujejo kanal zelo približno v smislu povprečja in ne zahtevajo natančnega poznavanja okoljske geometrije. Empirični modeli so spečifični za izbrani razred geometrije [2], [3] in jih ze prištevamo med deterministične modele. Določeni so eksperimentalno s povprečjem velikega števila meritev in običajno vključujejo eksponent izgube poti [4]. Med empiričnimi modeli so bolj znani modeli Ikegami, Wallfisčh in Hata, katerih čilj je predvsem ovrednotenje izgub na poti. (Časovne karakteristike kanala v obliki časovne razpršitve RMS (angl. Root Mean Square) in kota dospetja zajemajo modeli Saleh in Valenzuela [5]. Kratek računski čas empiričnih modelov pogojuje majhno natančnost napovedi, kar pride še zlasti do izraza v heterogenih okoljih.
2.2	Geometrijsko optični modeli
V nasprotju z empiričnimi modeli, v katerih je radijski kanal opisan s pribliznimi funkčijami nekaj parametrov na osnovi meritev v spečifičšnem okolju, metoda sledenja zarkom izkorišča geometrijskooptične prinčipe za natančnejše modeliranje fizikalnih pojavov. Sledenje zarkom omogoča izračun naprednih karakteristik radijskega kanala, kot je razprsšitev zakasnitev in vpadnih kotov na račun daljšega pročesiranja. Običajno zahteva definičijo sprejemne sfere za detekčijo zarkov v blizini sprejemnika [6], [7], [8]. Algoritmi v tej skupini so v literaturi znani z različnimi imeni, kot so pošiljanje zarkov [9], streljanje in odbijanje zarkov SBR (angl. Shooting and Bounčing Rays) [10], metoda blaziniče za bučike [11] ali pa bolj dovršene zarkovne čevi [12] ter sledenje snopom zarkov [13]. Zadnja dva pristopa v enem koraku zdruzita obravnavo več zarkov, in tako kon-vergirata proti metodi slik [14], kije pogost algoritmični pristop zdruzevanja zarkov. Hibridne metode [15] in
NUMERIČNE METODE KONČNIH RAZLIK V TELEKOMUNIKACIJAH
167
pristop sledenja Gaussovim snopom [16] so razširitve metode slik.
Vsem algoritmom za sledenje Žarkom je skupen visokofrekvenčni približek razširjenja valovanja, kjer je obnašanje žarka prilagojeno obnašanju ozkega snopa svetlobe. Poenostavitev je še zlasti problematična v primeru modeliranja uklonskega pojava, ki je za optične frekvence običajno zanemarljiv [17]. Geometrijska teorija uklona GTD (angl. Geometrical Theory of Diffraction) prevede rešitev Maxwellovih enačb v zarkovni opis polja za uklon na robu dveh polravnin pri predpostavki prevodnosti uklonskega objekta [18], a prehod izračunanega električnega polja med področjem z odbitimi zarki in senčo ni zvezen. Kouyoumjian in Pathak [19] sta razširila geometrijsko teorijo uklona s prehodno funkčijo, ki delno odpravi to pomanjkljivost. Račun uklonskega pojava je bil naknadno razširjen s pribliznimi metodami za delno prevodne materiale robov [20], [21].
Uporaba sledenja zarkom v zaprtih prostorih zahteva modeliranje sipanja za nadaljnje izboljšanje natančnosti [7], [22], [23], [24], [25]. Geometrijska optika ne zagotovi zadovoljive resšitve, zato je bilo predlaganih nekaj novih pristopov [22], [24]. Skupno vsem je nadaljnje večanje računske obremenitve in daljšanje časov izvajanja [7]. Algoritme sledenja zarkom prištevamo med metode v frekvenčni domeni. Pristop v časovni domeni, ki v enem prehodu modelira razširjanje širokopasovnega sistema, je bil predlagan pod imenom TDGO (angl. Time Domain Geometričal Optičs) [26] in je trenutno še v začšetni fazi raziskovanja.
3 Numerične metode končnih razlik
Med numeričšnimi metodami je končeptualno najenostavnejša metoda končnih razlik v časovni domeni FDTD (angl. Finite-Differenče Time-Domain). Za avtorja velja Kane Yee, ki je leta 1966 predlagal numerični algoritem na osnovi čentralnih razlik drugega reda, s katerim je diskretiziral Amperov in Faradayev zakon v času in prostoru [27]. Metoda še zdaleč ni edina, a kljub častitljivi starosti še vedno najpogosteje uporabljena, saj je imela ze ob nastanku vrsto prednosti pred takratnim analitičšnimi resšitvami v zaprti obliki ali resšitvami na osnovi neskončnih vrst. Metoda v čeloti pokrije temeljne interakčije s snovjo, kot so uklon, odboj, lom in razpršitev, pri čemer je računska zahtevnost neodvisna od pojava, smeri ali števila zaporednih interakčij. Tega ne moremo trditi za druge analitične pristope, vključno za nekatere numerične metode. Tako integralne metode ne upoštevajo atmosferskih dejavnikov ali urbane arhitekture [28], [29], [30]. Uporabo paraboličnih enačb omejuje geometrijski kot s paraksialno smerjo [31]. Atmosferski pogoji prav tako niso upoštevani v ze omenjenih metodah sledenja zarkom, ki imajo še tezave z ukrivljenimi površinami, neravnim terenom in neobvladljivim večanjem števila zarkov v primeru zaporednih uklonskih interakčij.
V nasprotju z metodami v frekvenčni domeni je ena od prednosti računanja v časovni domeni neposreden izračun impulznega odziva z eno simulacijo, saj časovno modeliranje deluje nad signalom v celotnem frekvenčnem prostoru. V najenostavnejši različiči račun električnega in magnetnega polja v dani točki zahteva le poznavanje vrednosti polja v sosednjih točkah prostora. Metoda FDTD sloni na ekspličitnem pristopu reševanja Maxwellovih enačb v diferenčialnem zapisu. Vzrok velikega računskega bremena je omejitev reso-lučije vzorčenja prostora in časa CFL (angl. Courant-Friedričh-Levy). Metoda je bila zato sprva primerna le za električno manj obsezne probleme. Računsko enostavno formulačijo, ki zahteva le vrednosti polja v sosednjih točkah, poruši kompleksnejša obravnava robnih pogojev, s katero se zameji izračun v končnem prostoru. Osnovna formulačija robnih pogojev ABC (angl. Absorbing Boundary Conditions) temelji na polnem impedančnem ujemanju in vpelje nekaj slojev spečializiranih točk prostora [32], [33], [34], [35], [36]. Robni pogoji so bili v zadnjih desetletjih predmet aktivnih raziskav s številnimi predlaganimi izboljšavami [37].
Izboljšanje natančnosti FDTD z odpravo vodilnega kvadratnega člena očene napake je mogoče doseči s končnimi razlikami višjega reda [38] in/ali z menjavo prostorske geometrije točšk, kot so heksagonalne mrezše [39]. V pristopu s končnimi razlikami višjega reda se pojavijo tezave z diskontinuiteto materialov. V [40] so jih reševali z menjavo prehodov v materialih z gladkimi zveznimi funkčijami. Zasledimo tudi nekaj poskusov brezmreznih pristopov z adaptivno razporejenimi računskimi točkami [41], [42], [43], ki pa so še na nivoju dokazovanja končepta.
Omejitev CFL odpravlja ADI FDTD (angl. Alternating-Direčtion-Impličit FDTD) [44], [45], [46], [47] za spečifičen razred problemov in s tem odpira mozšnost uporabe metod končšne razlike na obseznejših problemih, a pri tem opusti lokalnost izvajanja računa. Podoben pristop je LOD-FDTD (angl. Ločally One-Direčtion FDTD) [48], [49]. Uporaba FDTD za telekomunikačijske probleme je trenutno bolj ali manj še omejena na dvodimenzionalne pristope z nekaj poskusi tridimenzionalnega modeliranja [47], [50], [51]. Eden od takih pristopov je tudi R-FDTD (angl. Redučed FDTD), ki nekoliko zmanjša pomnilne zahteve algoritma [52], a zal na račun dodatnega časa pročesiranja.
Kljub vsebovani frekvenčni analizi med metode račšuna v čšasovni domeni prisštevamo tudi psevdo-spektralni pristop PSTD (angl. Pseudo Spečtral TimeDomain), ki temelji na Fourierovi transformačiji predstavitve prostorskih odvodov [53]. Prostorski odvodi so eksaktni za vsaj dve točki na valovno dolzino, časovni pa še vedno vsebujejo napako drugega reda klasičnega algoritma. Tezava diskretne transformačije je njena periodičnost, ki zahteva polno prilagojen absorpčijski sloj na robovih področja računanja. Zaradi zahteve po zveznosti
168
ROMAN NOVAK
tangencialnih polj metoda ni primerna v scenarijih z vsebovanimi kovinskimi materiali.
Numericne metode na osnovi integralnega zapisa Maxwellovih enacb so Ze bile aplicirane na zaprta okolja zelo omejenih dimenzij [54], [55]. V tem primeru absorpcijski robni pogoji niso potrebni. Geometrije s homogenimi dielektricnimi ali prevodnimi materiali se rešujejo s površinskimi integrali [56], medtem ko nehomogeni materiali zahtevajo volumensko integriranje [57]. Enačbe so diskretizirane z uporabo metode MoM (angl. Method of Moments) [56] ali hibridne FE-BI (angl. Finite-Element Boundary-Integral) [57]. Pospešitev racuna za vecje ponavljajoce geometrije je mogoca z AD-FMM (angl. Array Decomposition-Fast Multipole Method) [58]. V tridimenzionalnih geometrijah je bila predlagana metoda VEFIE (angl. Volume Electric Field Integral Equation), ki jo je mogoce pospešiti s pribliznim algoritmom MLFMA (angl. MultiLevel Fast Multipole Algorithm) ali z eksaktnim CG-FFT (angl. Conjugate Gradient-Fast Fourier Transform) [54].
Razširitev diferencialnega zapisa enacb FDTD v prostoru z baznimi funkcijami, kot je biortogonalna funkcija sedmega reda Deslauriers-Dubuc, pripelje do vecresolucijske metode S-MRTD (angl. Scaling MultiResolution Time Domain) [59], [60], [61]. Metoda ge-nerira primerljive rezultate FDTD pri zmanjšanem prostorskem vzorcšenju, kar vodi tudi do 8-kratne pohitritve [60]. V dosedanjih raziskavah je bila metoda omejena na dve dimenziji.
Posplosšitev metode za nacšrtovanje vezij TLM (angl. Transmission Line Matrix) na modeliranje razširjenja valovanja v urbanem okolju prinese novo casovno metodo koncne razlike [62]. Modeliranje pretoka implicitno vsebuje pojava odboja in uklona. Visoko racunsko zahtevnost nekoliko zmanjša vecresolucijska frekvencna razlicšica pristopa MR-FDPF (angl. Multi-Resolution Frequency Domain Parallel Flow) [63]. Poenostavitve tridimenzionalnega racuna z odpravo dolocenih nacinov razširjenja [64] ali s kombinacijo dvodimenzionalnih racunov [65] vodijo v priblizne rešitve, ki zahtevajo kalibracijo. Resšitev je priblizšna tudi zaradi simulacij pri nizji frekvenci, s cimer se sicer zmanjša racunska zahtevnost pristopa.
Osnovna predpostavka metode parabolicne enacbe je, da ima elektromagnetno valovanje preferencno smer razširjenja, pri cemer se fizikalni pojavi razširjenja ne pojavljajo vec kot 15 stopinj od osi razširjenja. Uporaba je primerna za specializirane geometrije, kot so tuneli [66]. Siršo uporabnost omogocajo razširitve dovoljenega kota odstopanja od osi razširjenja [67], [68]. Numericna rešitev, podobno kot v FDTD, temelji na zapisu s koncšnimi razlikami in zaporednih cšasovnih premikih. V ozkih geometrijah metoda generira rezultate, primerljive algoritmom sledenja zarkom, kar pa ne velja za splošnejša okolja, kjer se po natancnosti pribliza izkustvenim modelom [69].
4 Ključne težave numeričnih metod
Numericne metode končnih razlik vsekakor niso idealne in imajo nekaj dobro poznanih slabosti, ki pomenijo resne ovire za obseZnejše telekomunikacijske probleme. Zlasti pereča problema sta numericna razpršitev in nestabilnost, ki nista posledici koncšne preciznosti računalnikov, temveč sta pogosto lastnosti algoritmov. Večja ovira je tudi porast računske zahtevnosti, ki zahteva nerealne čase izvajanja algoritmov. V nadaljevanju podrobneje obravnavamo tri ključne omejitve in mogoče smeri njihovega premagovanja.
4.1 Numericna razpršitev
Numeričšna razprsšitev in s tem povezano progresivno večanje numeričnih napak sta osnovna slabost metod ob povečevanju računske domene. Viri napak numeričnih metod končšnih razlik so sičer dobro razumljeni in matematično utemeljeni. Numerični pristop zaradi iterativne narave računa namreč vodi do akumulačije časovnih in faznih napak. Te napake privedejo do pojavov, ki jih v realnem svetu ne srečamo, kot so širitev in zvonjenje impulznih signalov, nepopolno izničenje razpršenih valovnih front, anizotropija razširjenja in navidezni ukloni. Izjema je enodimenzionalna različiča problema, kjer je pod določenimi pogoji mogoč eksaktni račun. Napake je sičer mogoče poljubno zmanjšati z zgoščevanjem mreze računanja, a hitro naletimo na časovne omejitve, ko simulačija ni večš izvedljiva v sprejemljivem čšasu. Pospešitev numeričnih izračunov in zamejitev računskih napak sta tako ključšna izziva uporabe metod končšne razlike na velikosti problemov, ki se pojavljajo ob zagotavljanju telekomunikačijskih storitev.
V preteklosti je bila predlagana vrsta resšitev za zmanjšanje problema numerične razpršitve. Na primer, povečanje dielektričnih in magnetnih konstant omogoči premik faznih hitrosti tako, da je povprečšna hitrost razširjanja blizja pravi, s čimer se problem razpršitve v primeru ozkopasovnih simulačij nekoliko zmanjša. Numeričšna razprsšitev je namrečš tudi frekvenčšno, in ne le smerno odvisna (anizotropnost) ter v osnovi le zmanjšuje fazne hitrosti. Prehod na končšne razlike čšetrtega reda za račun prvega prostorskega odvoda občutno zmanjša razpršitev, a se zato povečajo računske zahteve. Pojavijo se tudi nove tezave zaradi diskontinuitete materialov. Alternativa omenjenim pristopom je menjava prostorske geometrije točšk. Znano je, da se anizotropičšnost močno zmanjša, če račun poteka v heksagonalni mrezi v dvodimenzionalnem problemu oziroma na robovih in vozlisščših tetradekaedrov in dualnih piramid v zahtevnejši tridimenzionalni različiči problema. Heksago-nalna mrezša izničši vodilni kvadratni čšlen očene napake, kar metodo po napaki uvrsti v razred končšnih razlik čšetrtega reda, istočšasno pa ohrani odvisnost račšuna le od neposrednih sosedov in odpravi ze omenjeno tezavo diskontinuitete materialov. Uporaba heksagonalnih mrez za telekomunikačijske geometrije je eden od odprtih
NUMERIČNE METODE KONČNIH RAZLIK V TELEKOMUNIKACIJAH
169
problemov.
4.2	Nestabilnost
Nestabilnost je naslednja ovira, ki preprečuje bolj grobo časovno diskretizacijo s ciljem uporabnosti metod za velike geometrije. V praksi se nestabilna rešitev kaZe kot pojav hitrih oscilacij z eksponentno rastjo amplitude. Stabilnost klasicnega algoritma Yee je v osnovi pogojena z razmerjem med casovnim in prostorskim korakom, to je z mejo CFL. Prostorski korak doloci geometrija problema, ta pa prek meje CFL najvecji casovni korak. Stevilo simulacijskih korakov sledi iz zahtevanega casa opazovanja sistema in hitro naraste prek mej, ki bi bile še realno sprejemljive.
Algoritem ADI FDTD iz 80. let prejšnjega stoletja je ponudil mogocšo smer odprave omejitve in s tem pospesšitev simulacij, a le za probleme, ki zahtevajo velikost celic precej pod velikostjo opazovane valovne dolzine. (Časovni korak sicer ni vec strogo vezan na prostorski korak oziroma na velikost detajlov prostorske geometrije, mora pa biti dovolj majhen, relativno vezan na najmanjšo periodo pomembnih spektralnih komponent. Ucinkovit pristop odprave nestabilnosti v vecjih telekomunikacijskih problemih je aktivno področje raziskovanja.
4.3	Računska zahtevnost
Racunska zahtevnost numericnih metod je ze v osnovi velika, z vecanjem racunske domene pa hitro postane neobvladljiva. V literaturi zasledimo nekaj pristopov, ki potencialno lahko zmanjšajo procesne zahteve v vecjih geometrijah.
Adaptivno razporejene racšunske tocške so alternativa pristopu reševanja diferencialnih enacb z regularnimi mrezami. Pristop s prilagodljivo mrezo omogoci zgostitev racunskih tock v področjih s kompleksno geometrijo, s cimer se izognemo nepotrebnemu racunanju v manj problematicšnih delih geometrije. Podrocšje je zelo razvito za vrsto fizikalnih simulacij, kot so simulacije konvek-cije toplote ali pa hidrodinamicnih pojavov. Metoda je ze bila poskusno aplicirana tudi na podrocšje elektromagnetnega valovanja. Osnovni koncept temelji na zapisu dane funkcije kot integrala produkta te funkcije in Dirakovega delta impulza. V priblizšku lahko nadomestimo Dirakovo delta funkcijo z jedrno funkcijo. Ce je jedrna funkcija liha, njena integralna enota v limiti konvergira proti Dirakovemu delta impulzu in je kompaktna, potem je priblizšek drugega reda natancšnosti glede na velikost po-drocšja kompaktne podpore. Prednost integralnega zapisa funkcije se pokaze pri poenostavitvi racuna prostorskega odvoda, torej ene od osnovnih operacij v izpeljavi enacb klasicnega algoritma Yee. Z zamenjavo integrala z vsoto infinitezimalni volumen zamenja diskretni volumen. Omenjeni pristop se lahko uporabi za numericni racun prostorskih razlik, medtem ko se casovne razlike še vedno racunajo s centralnimi razlikami, kot to poteka v klasicnem algoritmu. Zaradi višje racunske zahtevnosti
ovrednotenja jedrne funkcije in upoštevanja tudi bolj oddaljenih sosedov je možnost pospešitve simulacij za vecje geometrije predmet aktivnih raziskav.
Kombinacija različice brezpogojno stabilnega racuna, razlik višjega reda in drsecega okna je ze bila uporabljena za dvodimenzionalno modeliranje urbane radijske celice s polmerom 550 m [40]. Uporaba drsecega okna, pri kateri racun poteka le v podrocju elektromagnetnega vala z najvecš energije, je obetaven nacšin pospesševanja simulacij na velikih podrocšjih, s primeri uporabe v tunelih [70], pri modeliranju razširjenja valovanja nad oceanom (v treh dimenzijah, razdalja 40 m) [71] in simulaciji razširjenja Gaussovega impulza 100-kHz signala navigacijskega sistema Loran-C na razdalji 400km [72].
Kompromis med visokim racšunskim bremenom na-tancnejših metod koncne razlike in hitrejšim, a manj natancnim pristopom z geometrijsko optiko so hibridne metode, v katerih se podrocja z velikostjo detajlov blizu simuliranim valovnim dolzinam pokrijejo z numericno metodo, v preostalem delu geometrije pa se uporabi sledenje zarkom. Tezava takega pristopa so prehodi med področji razlicnega racuna, ki pogosto zahtevajo interaktivne posege [73], [74], [54]. V treh dimenzijah zasledimo le nekaj hibridnih metod [75], [76].
5 Strojne pohitritve
Numericni racun, ki je odvisen le od sosednjih vrednosti polja, je primeren za vzporedno izvajanje in odpira strojne moznosti za pohitritve. V splošnem velja, da je numericno reševanje Maxwellovih enacb primerno za vzporedne racunalniške arhitekture, pri cemer še zlasti izstopa izvajanje FDTD na graficnih pospeševalnikih GPU (angl. Graphics Processing Unit). Zaradi visoke regularnosti in lokalnosti osnovnega algoritma FDTD je bil ta veckrat implementiran tudi neposredno na nivoju logicnih vrat, kot so programirljiva logicna vezja FPGA (angl. Field-Programmable Gate Array) ali aplikacijsko specificna integrirana vezja ASIC (angl. Application-Specific Integrated Circuit). Visokim pomnilnim zahtevam in ozkemu grlu med procesnimi sredicami in pomnilnikom se poskusša izogniti z namenskimi po-datkovnopretocšnimi arhitekturami. Uporabnost graficšnih pospesševalnikov, implementacij na nivoju logicšnih vrat in podatkovno pretocšnih pristopov za sprejemljivost vecjih racunskih domen obravnavamo v nadaljevanju.
5.1 Grafični pospeševalniki
Pospesševanje metod koncšnih razlik z namensko racunalniško arhitekturo je dobilo zagon z arhitekturo CUDA (angl. Compute Unified Device Architecture) [77]. V 2009 zasledimo uporabo FDTD za problem radijskega pokritja z uporabo skupka racunalnikov s karticami CUDA [78]. GPU-hitrosti dosegajo tudi 13 G celic na sekundo za probleme do velikosti 3 G celic. Skupek 16 racunalnikov Acceleware G80 GPU je tako
170
ROMAN NOVAK
po ocenah raziskovalcev do 29-krat hitrejši od primerljivega skupka CPU (angl. Central Processing Unit). V študiji pohitritve vecresolucijske metode S-MRTD je pokazano, da je izvajanje na GPU za to metodo še zlasti primerno [61]. Doseženi faktor pospešitve je bil 30, medtem ko je referenčni FDTD dosegel le faktor 10. Kompleksnost zapisa enacb z baznimi funkcijami in omejitev na dve dimenziji sta potencialna vzroka, da metoda v literaturi ni bolj raziskana. Izboljšanje natancšnosti racšuna na GPU z optimizacijo cšasovnega koraka v blizini meje stabilnosti obravnava [79].
Med preostalimi netelekomunikacijskimi problemi, ki so bili pospesšeni z vzporednim racšunanjem, naj omenimo racun TEz-FDTD (angl. Transverse Electric FDTD) za disperzivne materiale [80], 3D FDTD obravnavo modela cloveka v biomedicinskih raziskavah [81] in pa hibridni implicitno-eksplicitni FDTD v analizi zašcite tiskanih vezij [82]. Algoritem ADI FDTD, ki odpravlja omejitev CFL in je zato izrednega pomena za obseznejše probleme, je bil prav tako prenesen na GPU
[83].	Ucinkovitost GPU-implementacije ADI-FDTD kakor tudi ze omenjenega LOD-FDTD je obravnavana v
[84].	Tudi tehnika brez uporabe regularne mreze celic za obseznejši problem ukrivljenega valovoda je bila uspešno realizirana na GPU [85].
Iz literature je tako mogocše sklepati, da GPU-hitrosti nekaj 10-krat presegajo hitrosti, ki jih dosezemo v splosšni racšunalnisški arhitekturi. Konkretne pospesšitve so odvisne od algoritma in uporabljene strojne opreme. Trenutno je le malo primerov vecjih problemov, ki bi bili simulirani v vec dimenzijah. Vzroke lahko išcemo v visokih pomnilnih zahtevah teh problemov in ozkem grlu med procesnimi sredicami in pomnilnikom. Poleg tega maksimalna pospesšitev algoritma na GPU v splosšnem zahteva precizno uskladitev parametrov za konkretno arhitekturo.
5.2 Programirljiva vezja
Realizacija FDTD na nivoju logicšnih vrat za enodimenzionalno razlicico problema se pojavi ze leta 2002 [86], tridimenzionalna konceptualna razlicica algoritma Yee za enostaven primer resonancne votline v velikosti nekaj celic pa leta 2003 [87]. V zadnjem primeru je bila dosezena hitrost izvajanja nizja od hitrosti osebnega racunalnika, a je raziskava nakazala nekaj specificnih omejitev implementacij na nivoju logicšnih vrat, kot sta zmanjsšana natancšnost zaradi uporabe realnih sštevil s fiksno vejico in ozko grlo pri dostopu do pomnilnika. Bolj poglobljena študija uporabe števil v zapisu s fiksno vejico zakljuci, daje potrebna vsaj 28-bitna predstavitev števil za še sprejemljivo napako [88]. Uporabo plavajoce vejice z enojno natancnostjo analizira [89]. Zagotovitev ustrezne natancšnosti terja obilo razpolozšljivih logicšnih vrat.
Zaradi omejitev velikosti integriranih vezij so konkretni predlogi vecinoma še omejeni na konceptualne implementacije in majhne probleme oziroma na poe-
nostavljene razlicšice algoritma FDTD. Uporaba realnih sštevil s fiksno vejico v programirljivih vezjih prinese zmanjšanje natancnosti, prav tako ostaja problem ozkega grla pri dostopu do pomnilnika. Raziskav nav-zkrizšnih povezav vecš integriranih vezij, ki bi omogocšile ucinkovitejšo preslikavo vecjih racunskih domen na raz-polozljive racunske vire oziroma porazdeljene pomnilne kapacitete, še ni. Obstajajo le poskusi poenostavitev kodiranja z uporabo OpenCL (angl. Open Computing Language) ali s preslikavo na vgrajena polja procesorjev. Tu se predvsem poskusša izkoristiti prednosti pristopa SIMD (angl. Single Instruction, Multiple Data).
5.3 Podatkovno pretočne arhitekture
Podatkovno pretocni pristop je predlagan v [90], [91], [92], [93] s ciljem odprave pomnilnih omejitev. Med podatkovno pretocne pristope spada še implementacija na razširitvenih karticah Maxeler [94], ki daje vec poudarka implementaciji absorpcijskih, periodicšnih in Dirichletovih robnih pogojev. OpenCL-preslikava FDTD v treh dimenzijah na arhitekturo FPGA omogocši hitrosti do 114 GFLOPS [95], [96], kar je po avtorjevih trditvah 4-krat hitreje od implementacije na GPU. V programir-ljivih vezjih vgrajeni vecjedrni procesorje bil uporabljen kot osnova za implementacijo FDTD z zmanjšano porabo energije v [97]. Na drugi strani sinhroni premiki podatkov vgrajenega polja procesorjev SIMD v nasprotju z asinhronimi prenosi arhitektur GPU poenostavijo breme prenosa podatkov in prav tako pospesšijo izvajanje racuna [98]. Iz literature lahko sklepamo, da seje tezavi ozkega grla pri dostopu do pomnilnika mogocše izogniti s podatkovno pretocšnim pristopom, a so tudi na tem podrocju raziskave v zacetni fazi.
6 Zaključek
V velikostnem razredu do nekaj deset valovnih dolzin ze dolgo prevladujejo natancne metode koncnih razlik. Metode temeljijo na Maxwellovih enacbah, ki so eden od najvidnejših fizikalnih dosezkov 19. stoletja. Poenotenje elektricšnega in magnetnega polja ter napoved obstoja elektromagnetnih valov velja za prelomno odkritje v znanosti. Numericšno resševanje enacšb je danes kljucšno orodje v razvoju elektronike, komunikacijskih naprav, racšunalnikov, laserjev, antenskih sistemov in drugih po-drocij s problemi podobnega velikostnega razreda.
Numericšne metode koncšnih razlik so v zadnjem desetletju zacšele prodirati tudi v klasicšne telekomunikacijske probleme, kot je modeliranje komunikacijskih kanalov v zaprtih in odprtih okoljih, kjer racunske geometrije dosezejo velikosti tudi vec sto valovnih dolzin. V korist uporabi metod sta vsekakor vse vecja gostota oddajnikov in s tem povezano manjše geografsko pokritje celic oziroma dostopnih tock.
Zaradi izredno velike racšunske zahtevnosti so poskusi uporabe numericšnih metod pretezšno omejeni na dvodimenzionalne prostorske geometrije s sštevilnimi poeno-
NUMERIČNE METODE KONČNIH RAZLIK V TELEKOMUNIKACIJAH
171
stavitvami. Ni pa le računska zahtevnost tista, ki omejuje uporabnost tovrstnega modeliranja v obseZnejsih telekomunikacijskih problemih. Pereča problema sta tudi progresivna numerična razpršitev in nestabilnost algoritmov. Za večjo sprejemljivost pristopa bo treba zamejiti vire napak v večjih računskih geometrijah pod napake današnjih determinističnih modelov v okviru razpoložljivega računskega časa.
V prispevku smo identifičirali nekaj mogočih smeri prilagajanja osnovnih numeričnih metod: uporabo he-ksagonalnih mrez, brezpogojno stabilne algoritme, brez-mrezni pristop in strojne pohitritve. Med moznostmi pohitritve račšuna je tudi uporaba hibridnega pristopa, v katerem večja področja homogenega prostora računamo z alternativnimi metodami, ali pa drsečega okna, kjer račšun poteka le v področšju elektromagnetnega vala z največš energije. Področšje je zanimivo za nadaljnje raziskave in je alternativa prevladujočšim determinističšnim modelom.
Zahvala
Raziskovalni program št. P2-0016 Komunikačijska omrezja in storitve je iz drzavnega proračuna sofinanči-rala Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije.
Literatura
[1]	L. M. Correia, Ur., COST Action 273, Mobile Broadband Multimedia Networks Techniques, Models and Tools for 4G. Ačademič Press, 2006.
[2]	D. Plets, W. Joseph, K. Vanhečke, E. Tanghe, in L. Martens, "Simple indoor path loss predičtion algorithm and validation in living lab setting," Wireless Personal Communications, zv. 68, št. 3, str. 535-552, 2013. doi: 10.1007/s11277-011-0467-4
[3]	V. Degli-Esposti, G. Falčiasečča, F. Fusčhini, in E. M. Vitučči, "A meaningful indoor path-loss formula," IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, zv. 12, str. 872-875, 2013. doi: 10.1109/LAWP.2013.2271532
[4]	T. S. Rappaport, Wireless communications: Principles and practice. Prentiče Hall, 2002.
[5]	A. A. M. Saleh in R. Valenzuela, "A statističal model for indoor multipath propagation," IEEE Journal on Selected Areas in Communications, zv. 5, št. 2, str. 128-137, februar 1987. doi: 10.1109/JSAC.1987.1146527
[6]	G. Durgin, N. Patwari, in T. S. Rappaport, "An advančed 3D ray launčhing method for wireless propagation predičtion," IEEE 47th Vehicular Technology Conference, Technology in Motion, zv. 2, Phoenix, AZ, USA, 1997, str. 785-789. doi: 10.1109/VETEC.1997.600436
[7]	F. Fusčhini, E. M. Vitučči, M. Barbiroli, G. Falčiasečča, in V. Degli-Esposti, "Ray tračing propagation modeling for future small-čell and indoor appličations: A review of čurrent tečhniques," Radio Science, zv. 50, št. 6, str. 469-485, junij 2015. doi: 10.1002/2015RS005659
[8]	R. Novak, "Bloom filter for double-čounting avoidanče in radio frequenčy ray tračing," IEEE Transactions on Antennas and Propagation, zv. 67, št. 4, str. 2176-2190, april 2019. doi: 10.1109/TAP.2019.2905780
[9]	N. Noori, A. A. Shishegar, in E. Jedari, "A new double čounting čančellation tečhnique for three-dimensional ray launčhing method," IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, Albuquerque, NM, 2006, str. 2185-2188. doi: 10.1109/APS.2006.1711020
[10]	Y. Tao, H. Lin, in H. Bao, "GPU-based shooting and bouncing ray method for fast RČS prediction," IEEE Transactions on Antennas and Propagation, zv. 58, št. 2, str. 494-502, februar 2010. doi: 10.1109/TAP.2009.2037694
[11]	Z. Chen, H. L. Bertoni, in A. Delis, "Progressive and approximate techniques in ray-tracing-based radio wave propagation prediction models," IEEE Transactions on Antennas and Propagation, zv. 52, št. 1, str. 240-251, januar 2004. doi: 10.1109/TAP.2003.822446
[12]	H. Suzuki in A. S. Mohan, "Ray tube tracing method for predicting indoor channel characteristics map," Electronics Letters, zv. 33, št. 17, str. 1495-1496, avgust 1997. doi: 10.1049/el:19970962
[13]	A. Schmitz, T. Rick, T. Karolski, T. Kuhlen, in L. Kobbelt, "Efficient rasterization for outdoor radio wave propagation," IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, zv. 17, št. 2, str. 159-170, februar 2011. doi: 10.1109/TVCG.2010.96
[14]	J. W. McKown in R. L. Hamilton, "Ray tracing as a design tool for radio networks," IEEE Network, zv. 5, št. 6, str. 27-30, november 1991. doi: 10.1109/65.103807
[15]	F. Villanese, W. G. Scanlon, N. E. Evans, in E. Gambi, "Hybrid image/ray-shooting UHF radio propagation predictor for populated indoor environments," Electronics Letters, zv. 35, št. 21, str. 1804-1805, oktober 1999. doi: 10.1049/el:19991247
[16]	R. Tahri, D. Fournier, S. Čollonge, G. Zaharia, in G. E. Zein, "Efficient and fast Gaussian beam-tracking approach for indoor-propagation modeling," Microwave and Optical Technology Letters, zv. 45, št. 5, str. 378-381, 2005. doi: 10.1002/mop.20829
[17]	K. A. Remley, H. R. Anderson, in A. Weisshar, "Improving the accuracy of ray-tracing techniques for indoor propagation modeling," IEEE Transactions on Vehicular Technology, zv. 49, št. 6, str. 2350-2358, november 2000. doi: 10.1109/25.901903
[18]	J. B. Keller, "Geometrical theory of diffraction," J. Opt. Soc. Am., zv. 52, str. 116-130, 1962. doi: 10.1364/J0SA.52.000116
[19]	R. G. Kouyoumjian in P. H. Pathak, "A uniform geometrical theory of diffraction for an edge in a perfectly conducting surface," Proceedings of the IEEE, zv. 62, st. 11, november 1974, str. 1448-1461. doi: 10.1109/PR0C.1974.9651
[20]	R. Luebbers, "Finite conductivity uniform GTD versus knife edge diffraction in prediction of propagation path loss," IEEE Transactions on Antennas and Propagation, zv. 32, sšt. 1, str. 70-76, januar 1984. doi: 10.1109/TAP.1984.1143189
[21]	R. J. Luebbers, "Comparison of lossy wedge diffraction coefficients with application to mixed path propagation loss prediction," IEEE Transactions on Antennas and Propagation, zv. 36, št. 7, str. 1031-1034, julij 1988. doi: 10.1109/8.7210
[22]	V. Degli-Esposti, F. Fuschini, E. M. Vitucci, in G. Falciasecca, "Measurement and modelling of scattering from buildings," IEEE Transactions on Antennas and Propagation, zv. 55, sšt. 1, str. 143-153, januar 2007. doi: 10.1109/TAP.2006.888422
[23]	J. Jurveluinen in K. Haneda, "Sixty gigahertz indoor radio wave propagation prediction method based on full scattering model," Radio Science, zv. 49, št. 4, str. 293-305, april 2014. doi: 10.1002/2013RS005290
[24]	J. Pascual-García, J. Molina-García-Pardo, M. Martínez-Ingles, J. Rodríguez, in N. Saurín-Serrano, "On the importance of diffuse scattering model parameterization in indoor wireless channels at mm-wave frequencies," IEEE Access, zv. 4, str. 688-701, 2016. doi: 10.1109/AČČESS.2016.2526600
[25]	L. Azpilicueta, F. Falcone, in R. Janaswamy, "A hybrid ray launching-diffusion equation approach for propagation prediction in complex indoor environments," IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, zv. 16, str. 214-217, 2017. doi: 10.1109/LAWP.2016.2570126
[26]	P. Lyu, X. Xu, S. Yan, in Z. Ren, "60 GHz indoor propagation with time-domain geometric-optics," IEEE Transactions on Magnetics, zv. 52, št. 3, str. 1-4, marec 2016. doi: 10.1109/TMAG.2015.2491858
[27]	K. Yee, "Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media," IEEE Transactions on Antennas and Propagation, zv. 14, sšt. 3, str. 302-307, maj 1966. doi: 10.1109/TAP.1966.1138693
172
ROMAN NOVAK
[28]	R. F. Harrington, Field computation by moment methods. Wiley, 1993.
[29]	K. R. Umashankar, "Numerical analysis of electromagnetic wave scattering and interaction based on frequency-domain integral equation and method of moments techniques," Wave Motion, zv. 10, st. 6, str. 493-525, 1988. doi: 10.1016/0165-2125(88)90010-8
[30]	C. G. Batista in C. G. Rego, "An integral equation model for radiowave propagation over inhomogeneous smoothly irregular terrain," Microwave and Optical Technology Letters, zv. 54, st. 1, str. 26-31, 2012. doi: 10.1002/mop.26473
[31]	O. Ozgun, G. Apaydin, M. Kuzuoglu, in L. Sevgi, "Two-way Fourier split step algorithm over variable terrain with narrow and wide angle propagators," IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, Toronto, ON, 2010, str. 1-4. doi: 10.1109/APS.2010.5560904
[32]	J. Zhou in W. Hong, "Construction of the absorbing boundary conditions for the FDTD method with transfer functions," IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, zv. 46, st. 11, str. 1807-1809, november 1998. doi: 10.1109/22.734591
[33]	V. Betz in R. Mittra, "Comparison and evaluation of boundary conditions for the absorption of guided waves in an FDTD simulation," IEEE Microw. Guided Wave Lett., zv. MGWL-2, st. 12, str. 499-501, 1992. doi: 10.1109/75.173408
[34]	B. Wei, S. Zhang, F. Wang, in G. D, "A novel UPML FDTD absorbing boundary condition for dispersive media," Waves in Random and Complex Media, zv. 20, st. 3, str. 511-527, 2010. doi: 10.1080/17455030.2010.496005
[35]	B. Abdulkareem, J. Berenger, F. Costen, R. Himeno, in H. Yokota, "An operator absorbing boundary condition for the absorption of electromagnetic waves in dispersive media," IEEE Transactions on Antennas and Propagation, zv. 66, sst. 4, str. 2147-2150, april 2018. doi: 10.1109/TAP.2018.2796386
[36]	J. P. Berenger, "A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves," Journal of Computational Physics, zv. 114, st. 2, str. 185-200, 1994. doi: 10.1006/jcph.1994.1159
[37]	A. J. Roden in S. D. Gedney, "Convolution PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media," Microwave and Optical Technology Letters, zv. 27, st. 5, str. 334-339, 2000. doi: 10.1002/1098-2760(20001205)27:5 <334::AID-M0P14>3.0.C0;2-A
[38]	A. Taflove, Advances in Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, A. Taflove, Ur. Norwood, MA: Artech House, 1998.
[39]	Y. Liu, "Fourier analysis of numerical algorithms for the Maxwell equations," Journal of Computational Physics, zv. 124, st. 2, str. 396-416, 1996. doi: 10.1006/jcph.1996.0068
[40]	C. G. Batista, C. G. do Rego, M. L. Nunes, in F. F. Neves, "Improved high-order FDTD parallel propagator for realistic urban scenarios and atmospheric conditions," IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, zv. 15, str. 1779-1782, 2016. doi: 10.1109/LAWP.2016.2535177
[41]	G. Ala, E. Francomano, A. Tortorici, E. Toscano, in F. Viola, "Smoothed particle electromagnetics: A mesh-free solver for transients," Journal of Computational and Applied Mathematics, zv. 191, st. 2, str. 194-205, 2006. doi: 10.1016/j.cam.2005.06.036
[42]	-, "A smoothed particle interpolation scheme for
transient electromagnetic simulation," IEEE Transactions on Magnetics, zv. 42, sst. 4, str. 647-650, april 2006. doi: 10.1109/TMAG.2006.871387
[43]	-, "A mesh-free particle method for transient full-wave
simulation," IEEE Transactions on Magnetics, zv. 43, st. 4, str. 1333-1336, april 2007. doi: 10.1109/TMAG.2007.892411
[44]	T. Namiki, "A new FDTD algorithm based on alternating-direction implicit method," IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, zv. 47, st. 10, str. 2003-2007, 1999. doi: 10.1109/22.795075
[45]	F. Zhen, Z. Chen, in J. Zhang, "Toward the development of a three-dimensional unconditionally stable finite-difference time-domain method," IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, zv. 48, st. 9, str. 1550-1558, september 2000. doi: 10.1109/22.869007
[46]	F. Zheng in Z. Chen, "Numerical dispersion analysis of the unconditionally stable 3-D ADI-FDTD method," IEEE
Transactions on Microwave Theory and Techniques, zv. 49, st. 5, str. 1006-1009, maj 2001. doi: 10.1109/22.920165
[47]	M. L. Zhai, W. Y. Yin, Z. Chen, H. Nie, in X. H. Wan, "Modeling of ultra-wideband indoor channels with the modified leapfrog ADI-FDTD method," International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, zv. 28, st. 1, str. 50-64, 2015. doi: 10.1002/jnm.1983
[48]	J. Shibayama, M. Muraki, J. Yamauchi, in H. Nakano, "Efficient implicit FDTD algorithm based on locally one-dimensional scheme," Electronics Letters, zv. 41, st. 19, str. 1046-1047, september 2005. doi: 10.1049/el:20052381
[49]	E. L. Tan, "Unconditionally stable LOD-FDTD method for 3-D Maxwell's equations," IEEE Microwave and Wireless Components Letters, zv. 17, sst. 2, str. 85-87, februar 2007. doi: 10.1109/LMWC.2006.890166
[50]	A. C. M. Austin, M. J. Neve, in G. B. Rowe, "Modeling propagation in multifloor buildings using the FDTD method," IEEE Transactions on Antennas and Propagation, zv. 59, sst. 11, str. 4239-4246, november 2011. doi: 10.1109/TAP.2011.2164181
[51]	L. R. Harris, T. Hikage, in T. Nojima, "Using large-scale FDTD method to obtain precise numerical estimation of indoor wireless local area network office environment," IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, zv. E92.A, st. 9, str. 2177-2183, 2009. doi: 10.1587/transfun.E92.A.2177
[52]	G. D. Kondylis, F. D. Flaviis, G. J. Pottie, in T. Itoh, "A memory-efficient formulation of the finite-difference timedomain method for the solution of Maxwell equations," IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, zv. 49, st. 7, str. 1310-1320, julij 2001. doi: 10.1109/22.932252
[53]	Q. H. Liu, "Finite-difference and pseudospectral timedomain methods for subsurface radar applications," IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, zv. 2, Montreal, Quebec, Canada, 1997, str. 990-993. doi: 10.1109/APS.1997.631694
[54]	C. C. Lu, "Indoor radio-wave propagation modeling by multilevel fast multipole algorithm," Microwave and Optical Technology Letters, zv. 29, st. 3, str. 168-175, 2001. doi: 10.1002/mop.1119
[55]	G. Y. Delisle in L. Talbi, "Multipath impulse response modelling for indoor channel using TD-BEM," Canadian Journal of Electrical and Computer Engineering, zv. 22, sst. 2, str. 55-61, april 1997. doi: 10.1109/CJECE.1997.7101979
[56]	B. D. Backer, F. Olyslager, in D. D. Zutter, "An integral equation approach to the prediction of indoor wave propagation," Radio Science, zv. 32, st. 5, str. 1833-1850, september-oktober 1997. doi: 10.1029/97RS01400
[57]	C. P. Lim, J. L. Volakis, K. Sertel, R. W. Kindt, in A. Anastasopoulos, "Indoor propagation models based on rigorous methods for site-specific multipath environments," IEEE Transactions on Antennas and Propagation, zv. 54, st. 6, str. 1718-1725, junij 2006. doi: 10.1109/TAP.2006.875493
[58]	R. W. Kindt in J. L. Volakis, "Array decomposition-fast multipole method for finite array analysis," Radio Science, zv. 39, st. 2, str. 1-9, april 2004. doi: 10.1029/2003RS002887
[59]	M. Krumpholz in L. P. B. Katehi, "MRTD: new time-domain schemes based on multiresolution analysis," IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, zv. 44, sst. 4, str. 555-571, april 1996. doi: 10.1109/22.491023
[60]	A. Alighanbari in C. D. Sarris, "Rigorous and efficient time-domain modeling of electromagnetic wave propagation and fading statistics in indoor wireless channels," IEEE Transactions on Antennas and Propagation, zv. 55, st. 8, str. 2373-2381, avgust 2007. doi: 10.1109/TAP.2007.901992
[61]	G. S. Baron, E. Fiume, in C. D. Sarris, "Graphics hardware accelerated multiresolution time-domain technique: Development, evaluation and applications," IET Microwaves, Antennas & Propagation, zv. 2, st. 3, str. 288-301, april 2008. doi: 10.1049/iet-map:20070118
[62]	B. Chopard, P. O. Luthi, in J. Wagen, "Lattice Boltzmann method for wave propagation in urban microcells," IEE Proceedings - Microwaves, Antennas and Propagation, zv. 144, st. 4, 1997, str. 251-255. doi: 10.1049/ip-map:19971197
[63]	J. Gorce, K. Jaffres-Runser, in G. de la Roche, "Deterministic approach for fast simulations of indoor radio wave propagation,"
NUMERIČNE METODE KONČNIH RAZLIK V TELEKOMUNIKACIJAH
173
IEEE Transactions on Antennas and Propagation, zv. 55, St. 3, str. 938-948, marec 2007. doi: 10.1109/TAP.2007.891811
[64]	G. de la Roche, J. Gorcey, in J. Zhang, "Optimized implementation of the 3D MR-FDPF method for indoor radio propagation predictions," 3rd European Conference on Antennas and Propagation, Berlin, 2009, str. 2241-2245.
[65]	G. de la Roche, X. Gallon, J. Gorce, in G. Villemaud, "2.5D extensions of the frequency domain ParFlow algorithm for simulating 802.11b/g radio coverage in multifloored buildings," IEEE Vehicular Technology Conference, Montreal, Quebec, Canada, 2006, str. 1-5. doi: 10.1109/VTCF.2006.25
[66]	N. Noori in H. Oraizi, "Evaluation of MIMO channel capacity in indoor environments using vector parabolic equation method," Progress in Electromagnetics Research B, zv. 4, str. 13-25,
2008.	doi: 10.2528/PIERB07121903
[67]	A. Hrovat, G. Kandus, in T. Javornik, "A survey of radio propagation modeling for tunnels," IEEE Communications Surveys and Tutorials, zv. 16, St. 2, str. 658-669, 2014. doi: 10.1109/SURV.2013.091213.00175
[68]	G. R. Hadley, "Wide-angle beam propagation using Pade approximant operators," Opt. Lett., zv. 17, St. 20, str. 14261428, 1992. doi: 10.1364/0L.17.001426
[69]	F. N. B. Magno, J. F. de Souza, K. Cozzolino, J. C. Costa, in G. P. d. S. Cavalcante, "A model for radio propagation loss prediction in buildings using wide-angle parabolic equations," SBMO/IEEE MTT-S International Microwave and Optoelectronics Conference (IMOC), Belem, 2009, str. 491-495. doi: 10.1109/IM0C.2009.5427538
[70]	X. Yang, C. Bin, Z. Bihua, X. Run, in Y. Qin, "Application of MW-FDTD to simulate the electromagnetic pulse (EMP) propagation in tunnel," 5th Asia-Pacific Conference on Environmental Electromagnetics, Xian, 2009, str. 200-203. doi: 10.1109/CEEM.2009.5305407
[71]	H. Duan, Z. S. Y. Zhao, in T. Jiang, "Application of MW-FDTD to simulate the EM wave propagation over ocean with OpenCL," IEEE/ACES International Conference on Wireless Information Technology and Systems (ICWITS) and Applied Computational Electromagnetics (ACES), Honolulu, HI, 2016, str. 1-2. doi: 10.1109/ROPACES.2016.7465400
[72]	L. Zhou, Z. Mu, Y. Pu, in X. Xi, "Long-range Loran-C ground-wave propagation prediction based on adaptive moving window finite-difference time-domain method with compute unified device architecture parallel computing techniques," IET Microwaves, Antennas & Propagation, zv. 9, St. 5, str. 413-422, 2015. doi: 10.1049/iet-map.2014.0312
[73]	M. Thiel in K. Sarabandi, "A hybrid method for indoor wave propagation modeling," IEEE Transactions on Antennas and Propagation, zv. 56, sSt. 8, str. 2703-2709, avgust 2008. doi: 10.1109/TAP.2008.927548
[74]	J. Leung in C. D. Sarris, "Hybrid FDTD/waveguide theory for indoor hallway propagation modeling," IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, Charleston, SC,
2009,	str. 1-4. doi: 10.1109/APS.2009.5172259
[75]	Y. Wang, S. Safavi-Naeini, in S. K. Chaudhuri, "A hybrid technique based on combining ray tracing and FDTD methods for site-specific modeling of indoor radio wave propagation," IEEE Transactions on Antennas and Propagation, zv. 48, sSt. 5, str. 743-754, maj 2000. doi: 10.1109/8.855493
[76]	M. Porebska, T. Kayser, in W. Wiesbeck, "Verification of a hybrid ray-tracing/FDTD model for indoor ultra-wideband channels," European Conference on Wireless Technologies, Munich, 2007, str. 169-172. doi: 10.1109/ECWT.2007.4403973
[77]	A. Valcarce, G. D. L. Roche, in J. Zhang, "A GPU approach to FDTD for radio coverage prediction," 11th IEEE International Conference on Communication Systems, Guangzhou, 2008, str. 1585-1590. doi: 10.1109/ICCS.2008.4737450
[78]	C. Ong, M. Weldon, D. Cyca, in M. Okoniewski, "Acceleration of large-scale FDTD simulations on high performance GPU clusters," IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, Charleston, SC, 2009, str. 1-4. doi: 10.1109/APS.2009.5171722
[79]	T. T. Zygiridis, N. V. Kantartzis, in T. D. Tsiboukis, "GPU-accelerated efficient implementation of FDTD methods with optimum time-step selection," IEEE Transactions on
Magnetics, zv. 50, st. 2, str. 477-480, februar 2014. doi: 10.1109/TMAG.2013.2282531
[80]	M. R. Zunoubi, J. Payne, in W. P. Roach, "CUDA implementation of TEz-FDTD solution of Maxwell's equations in dispersive media," IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, zv. 9, str. 756-759, 2010. doi: 10.1109/LAWP.2010.2060181
[81]	T. Nagaoka in S. Watanabe, "Multi-GPU accelerated three-dimensional FDTD method for electromagnetic simulation," Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society, Boston, MA, 2011, str. 401^04. doi: 10.1109/IEMBS.2011.6090128
[82]	M. Unno, S. Aono, in H. Asai, "GPU-based massively parallel 3-D HIE-FDTD method for high-speed electromagnetic field simulation," IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, zv. 54, st. 4, str. 912-921, avgust 2012. doi: 10.1109/TEMC.2011.2173938
[83]	Y. Inoue, M. Unno, S. Aono, in H. Asai, "GPGPU-based ADE-FDTD method for fast electromagnetic field simulation and its estimation," Asia-Pacific Microwave Conference, Melbourne, VIC, 2011, str. 733-736.
[84]	D. Y. Heh, E. L. Tan, in W. C. Tay, "Some recent developments in fundamental implicit FDTD schemes," Asia-Pacific Symposium on Electromagnetic Compatibility, Singapore, 2012, str. 153-156. doi: 10.1109/APEMC.2012.6237920
[85]	S. Ikuno, Y. Fujita, Y. Hirokawa, T. Itoh, S. Nakata, in A. Kamitani, "Large-scale simulation of electromagnetic wave propagation using meshless time domain method with parallel processing," IEEE Transactions on Magnetics, zv. 49, st. 5, str. 1613-1616, maj 2013. doi: 10.1109/TMAG.2013.2245410
[86]	R. N. Schneider, L. E. Turner, in M. M. Okoniewski, "Application of FPGA technology to accelerate the finite-difference time-domain (FDTD) method," Proceedings of the ACM/SIGDA 1(fh international symposium on Field-programmable gate arrays (FPGA'(2), ACM, New York, NY, USA, 2002, str. 97-105. doi: 10.1145/503048.503063
[87]	J. P. Durbano, F. E. Ortiz, J. R. Humphrey, M. S. Mirotznik, in D. W. Prather, "Hardware implementation of a three-dimensional finite-difference time-domain algorithm," IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, zv. 2, st. 1, str. 54-57, 2003. doi: 10.1109/LAWP.2003.812245
[88]	H. Suzuki, Y. Takagi, R. Yamaguchi, in S. Uebayashi, "FPGA implementation of FDTD algorithm," Asia-Pacific Microwave Conference Proceedings, 2005, str. 1^. doi: 0.1109/APMC.2005.1607106
[89]	R. Culley, A. Desai, S. Gandhi, S. Wu, in K. Tomko, "A prototype FPGA finite-difference time-domain engine for electromagnetics simulation," 48th Midwest Symposium on Circuits and Systems, zv. 1, 2005, str. 663-666. doi: 10.1109/MWSCAS.2005.1594188
[90]	H. Kawaguchi in S. S. Matsuoka, "Conceptual design of 3-D FDTD dedicated computer with dataflow architecture for high performance microwave simulation," IEEE Transactions on Magnetics, zv. 51, st. 3, str. 1^, marec 2015. doi: 10.1109/TMAG.2014.2355251
[91]	H. Kawaguchi, "Improved architecture of FDTD dataflow machine for higher performance electromagnetic wave simulation," IEEE Transactions on Magnetics, zv. 52, st. 3, str. 1-4, marec 2016. doi: 10.1109/TMAG.2015.2483200
[92]	Y. Fujita in H. Kawaguchi, "Full-custom PCB implementation of the FDTD/FIT dedicated computer," IEEE Transactions on Magnetics, zv. 45, st. 3, str. 1100-1103, marec 2009. doi: 10.1109/TMAG.2009.2012633
[93]	S. Matsuoka in H. Kawaguchi, "FPGA implementation of the FDTD data flow machine," IEEE Topical Conference on Wireless Communication Technology, 2003, str. 418-419. doi: 10.1109/WCT.2003.1321585
[94]	H. Giefers, C. Plessl, in J. Forstner, "Accelerating finite difference time domain simulations with reconfigurable dataflow computers," SIGARCH Comput. Archit. News, zv. 41, st. 5, str. 65-70, 2014. doi: 10.1145/2641361.2641372
[95]	H. M. Waidyasooriya, M. Hariyama, in Y. Ohtera, "FPGA architecture for 3-D FDTD acceleration using open CL," Progress in Electromagnetic Research Symposium (PIERS), Shanghai, 2016, str. 4719^719. doi: 10.1109/PIERS.2016.7735734
174	ROMAN NOVAK
[96]	H. M. Waidyasooriya in M. Hariyama, "FPGA-based deep-pipelined architecture for FDTD acceleration using OpenCL," IEEE/ACIS 15th International Conference on Computer and Information Science (ICIS), Okayama, 2016, str. 1-6. doi: 10.1109/ICIS.2016.7550742
[97]	K. Hayakawa in R. Yamano, "Multi-core FPGA execution for electromagnetic simulation by FDTD," 2nd International Conference on Information Science and Control Engineering, Shanghai, 2015, str. 829-833. doi: 10.1109/ICISCE.2015.189
[98]	Y. Ishigaki, Y. Tomioka, T. Shibata, in H. Kitazawa, "An FPGA implementation of 3D numerical simulations on a 2D SIMD array processor," IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), Lisbon, 2015, str. 938-941. doi: 10.1109/ISCAS.2015.7168789
Roman Novak je na Odseku za komunikacijske sisteme Instituta Jožef Stefan zaposlen od leta 1992, v zadnjih letih na mestu višjega znanstvenega sodelavca. Na Mednarodni podiplomski šoli Jozefa Stefana je bil izvoljen v naziv docenta za področje telekomunikacij. V letih 1992 in 1995 je diplomiral in magistriral na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v Ljubljani, doktoriral pa je leta 1998 na Fakulteti za racunalništvo in informatiko Univerze v Ljubljani. Kot gostujoci znanstvenik je deloval na inštitutu Joanneum Research in tehnicni univerzi v avstrijskem Gradcu. V preteklem obdobju je sodeloval pri sštevilnih znanstveno-raziskovalnih in aplikativnih projektih, tudi v vodstveni funkciji, na podrocšjih razvoja telekomunikacijskih omrezšij, varnosti v komunikacijskih omrezšjih in obdelave signalov v jedrski instrumentaciji. V zadnjih letih se raziskovalno ukvarja z razširjanjem radijskih valov in modeliranjem komunikacijskih kanalov.