i
i
“849-Pavsek-Fermatova” — 2010/5/28 — 10:43 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 14 (1986/1987)
Številka 4
Strani 220–221
Branko Pavšek:
FERMATOVA ŠTEVILA
Ključne besede: matematika, teorija števil.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/14/849-Pavsek.pdf
c© 1987 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
FERMATOVA STEVILA
Teorija števil je veja matematike, ki proučuje lastnosti naravnih števil. Korenine
ima v delih Fermata (P.S. de Fermat, 1601-1665), matematika francoskega
rodu. K matematiki je Fermat pristopil kot amater, saj je bil po poklicu prav-
nik. Vendar pa se je kmalu razvil v mojstra. Danes ga poznamo predvsem kot
tvorca moderne teorije števil, čeprav je bil tudi eden izmed začetnikov analiti-
čne geometrije in infinitezimalnega računa I. V tem sestavku si bomo odgledali
tako imenovana Fermatova števila, ki jih je Fermat zapustil aritmetiki.
Fermatova števila označujemo s simbolom Fn , določimo pa jih tako le:
n
Fn=2
2 +1, n=0,1,2, 3,... (1)
Vstavimo vrednosti za n = 0, 1,2,3,4 in poglejmo, kaj dobimo:
F 0= 3, FI = 5, F2 = 17, F 3 = 257, F4 = 65537
Verjetno ste tudi vi opazili, da so vsa zgoraj napisana števila praštevila. To je
opazil tudi Fermat in se je lotil raziskovanja teh števil v upanju , da bo našel
formulo, ki bi za n = 0,1,2,3, oo. dala sama praštevila. Misleč, da je Fn takšna
formula je postavil trditev, da so vsa števila oblike (1) praštevila. Vendar pa je
bil tokrat Fermat v zmoti in je pozneje Euler njegovo trditev ovrgel.
Za n = 5 je pripadajoče Fermatovo število Fs = 4294967297. Euler je leta
Pierre Fermat (1601-1665)
220
1732 število Fs razbil na faktorja Fs = 641.6700417 in tako pokazal, da Fs ni
praštevi lo. Za F 6 so leta 1880 pokazali, da ni praštevilo. Pozneje je bilo dokaza-
no, da Fn ni praštevilo za vrednosti:
n=7,8,9, 11,12,18,23,36,38,73
Verjetno si se že pred to le vrstico, dragi bralec oziroma bralka,vprašal,ali obsta-
ja končno ali neskončno praštevil oblike Fn- Vendar pa na to vprašanje žal ne
morem odgovoriti, saj je ta problem še odprt.
Fermatova števila nam dajejo lep primer povezave med teorijo števil in dru-
gimi vejami matematike. To povezavo nam pokaže Gaussovo (1777-1855)
genialno odkritje. To odkritje je bilo hkrati prelomnica v njegovem življenju, saj
se je takrat odločil, da se bo posvetil matematiki . Pa si oglejmo njegovo od-
kritje.
Evklidska konstrukcija je geometrijska konstrukcija, samo z ravni lom in
šestilom . Za mnogokotnik (poligon) , ki ima vse stranice in vse kote enake,
rečemo, da je pravilen. Že stari Grki so poznali evklidske konstrukcije za pravil-
ne poligone, ki imajo 4, 8, 16, .,. stranic, pa tudi za tiste, ki imajo 3 ali 5 stranic
- enakostranični trikotnik in pravilni petkotnik. Z upoštevanjem vsega tega jim
ni bilo težko konstruirati pravilne poligone z 2c.3 , 2c.5, 2c.3.5 stranicami, kjer
je c katerokoli pozitivno celo število. In Grki so tudi pokazali, kako se to dela.
Osemnajstletni Gauss pa je v zvezi s tem postavil naslednjo trditev in jo tudi
dokazal:
Če je število Noblike 2c ali 2 c krat produkt različnih Fermatovih praštevil
Fw tedaj obstaja evklidska konstrukcija za pravilne poligone z N stranicami.
Velja tudi nasprotno. Če za nek N obstaja evklidska konstrukcija, tedaj ima N
zgornjo obliko.
Kot zanimivost naj povem še to, da je eden izmed zagnanih algebristov po-
rabil svoja najboljša leta in kopico listov, ko je poskušal konstruirati ustrezni
pravilni mnogokotnik za F4 , ki ima 65537 stranic. Nedokončani rezultat tega
uničujočega truda se z dolžnim spoštovanjem hrani v knjižnici neke nemške
univerze. Na vso srečo evklidska konstrukcija za pravilni poligon, ki bi imel za
osnovo Fs, ni možna, saj Fs ni praštevilo .
Branko Pavšek
Literatura:
E.T .Bel\, Mathematics Gueen and Servant of Science, New York 1951,
str. 145-147
1 Več o F ermatu lah ko bralec najde na straneh 9-14 v III. letn iku Preseka.
221