Complete regular dessins and skew-morphisms of cyclic groups - Feng, Yan-Quan (Ars mathematica contemporanea, 2020)
Risba je 2-celična vložitev povezanega 2-barvnega dvodelnega grafa na orientabilno sklenjeno ploskev. Risba je pravilna, če njena grupa avtomorfizmov, ki ohranjajo orientacijo in barve, deluje pravilno na povezavah. V tem članku preučujemo pravilne risbe, katerih osnovni graf je polni dvodelni graf ?$K_{m,n}$?, imenovane ?$(m,n)$?-polne pravilne risbe. Na ta način vzpostavimo precej presenetljivo korespondenco med ?$(m,n)$?-polnimi pravilnimi risbami in pari poševnih morfizmov cikličnih grup. Poševni morfizem končne grupe ?$A$? je bijekcija ?$φ\colon A→ A$?, ki zadošča identiteti ?$φ(xy)=φ(x)φ^{π(x)}(y)$? za neko funkcijo ?$π\colon A→\mathbb{Z}$? in fiksira nevtralni element grupe ?$A$?. Dokažemo, da vsaka ?$(m,n)$?-polna pravilna risba ?$\mathcal{D}$? določa par recipročnih poševnih morfizmov cikličnih grup ?$\mathbb{Z}_n$? in ?$\mathbb{Z}_m$?. Velja tudi obratno, ?$\mathcal{D}$? lahko rekonstruiramo iz takšnega recipročnega para. Na podlagi tega dokažemo, da so polne pravilne risbe, eksaktne biciklične grupe z izbranim parom generatorjev, ter pari recipročnih poševnih morfizmov cikličnih grup vsi v povratno enolični korespondenci. Nazadnje pa uporabimo naš glavni rezultat še za določitev vseh parov celih števil ?$m$? in ?$n$?, za katere obstaja, do zamenjave barv natančno, samo en izomorfnostni razred $(m,n)$-polnih regularnih risb. Dokažemo, da se to zgodi natanko takrat, ko je vsaka grupa, izrazljiva kot produkt cikličnih grup reda ?$m$? in ?$n$?, abelska, kar se naposled prevede na pogoj ?$\gcd(m,φ(n))=\gcd(φ(m),n)=1$?, kjer je ?$φ$? Eulerjeva funkcija.
Keywords: biciklična grupa; bicyclic group; graph embedding; poševni morfizem; pravilna risba; regular dessin; skew-morphism; vložitev grafa