i
i
“800-Cibej-obrestno” — 2010/5/25 — 11:28 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 14 (1986/1987)
Številka 1
Strani 8–11
Jože Andrej Čibej in Ciril Velkovrh:
OBRESTNO OBRESTNI RAČUN
Ključne besede: matematika, gospodarska matematika, obrestni ra-
čun, obrestno obrestni račun, posojila.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/14/800-Cibej.pdf
c© 1986 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
OBRESTNO OBRESTNI RAČUN
V tem prispevku se bomo še enkrat lotili vračanja (do lgoroč n ih ) posojil , torej
problema, s katerim se je bralec Preseka lahko seznanil v članku Bojana Mohar-
ja O posojilih (Presek 13 (1985/86) 20-23). Oznake, ki jih bomo uporabljali
za posamezne količine, so takšne, kot jih običajno srečamo v poslovni praksi in
učbenikih finančne matematike . Upamo, da bo bralec kljub temu brez težav
primerjal rezultate omenjenega in našega članka.
Banka za krajša obdobja, katerih dolžina ne presega kapitalizacijskega ob -
dobja (to je časa, ki preteče med dvema zaporednima pr ipisoma obresti) , obra-
čunava obresti po načelih navadnega obrestnega računa: osnova za izračun
obresti je začetn i izposojeni ali vloženi znesek, ali d rugače , začetna glavnica G.
Take obresti so premo sorazmerne
a) višini glavnice G
b) času obrestovanja n
cl obrestni meri p
Če se omejimo na najpreprostejši primer, ko je kapitalizacijsko obdobje eno le-
to , lahko rečemo, da nam obrestna mera pove, ko liko dinarjev obresti dobimo
od vsakih 100 din vložene glavnice. Letn e obresti o so t ako določene z ob raz-
cem
G.p
0=---
100
(1 )
kjer G pomeni začetno glavnico, p pa obrestno mero, ki jo vedno izražamo v
odstotkih . Po dogovoru o premi sorazmernosti obresti s časom obrestovanja so
obresti za 1 dan 365-krat (ali 366-krat, če gre za prestopno leto) manjše od let-
nih, obresti za d dni pa d -krat večje kot za en dan, tako da dobimo v primeru ,
ko je čas obrestovanja izražen v dnevih, namesto (1) obrazec
Gp d
0=--'---
36500
Podobno lahko sam premisliš, kako pridemo do obrazca
_ Gp m
0 - 1200
(2)
(3)
za primer, ko se glavnica G pri obrestni me ri p% obrestuje m mesecev. S pomoč-
12
jo obrazca (3) lahko za vajo izračunamo, koliko se nam do konca leta nabere
v banki, če pri obrestni meri p% vsak mesec vložimo a dinarjev. B. Mohar je
nalogo - čeprav tega ni posebej poudaril - rešil za primer, ko te zneske vIaga-
mo ob koncu vsakega meseca :
a. p. 11
A =a+----+a+
1200
a. p. 10
+ .... +a +
1200
a. p. 1
1200
+a=
a. p a (14400 + 66p)
=12a + - - (11+10+ ...+2+1) =- - ----'---
1200 1200
(4)
Iz oblike (4), ki jo običajno srečamo v učbenikih, dobimo s krajšanjem obrazec
A = a(12 + llpl2001, ki se od Moharjevega razlikuje samo po tem, da je pri
njem obrestna mera že izražena kot pll00 in ima zato pri njem obrazec obliko
A = a(12 + llpl2). Za vajo lahko izpelješ obrazec za skupno letno vrednost
mesečnih vlog, ki jih vplačujemo na začetku meseca. Ugotovil boš, da je v tem
primeru
a (14400 + 78p)
1200
Popolnoma drugačen pa je obračun obresti za obdobja, ki so daljša od enega
leta (ali splošneje, daljša od enega kapitalizacijskega obdobja) . V tem primeru
se obresti za posamezno obdobje pripisujejo prvotni glavnici in se v naslednjem
obdobju obrestujejo poleg glavnice tudi obresti iz preteklega obdobja; rečemo,
da se obresti kapitalizirajo. Če začenmo z glavnico G, imamo po enem letu
G.p P
GI =G+--=G(l +--)
100 100
(5)
Izraz 1 +pi 1OO, ki se pojavlja v (5), je v finančni matematiki tako pogost, da si
je prislužil poseben simbol,
k=l+.-!!-
100
(6)
in posebno ime, imenujemo ga obrestovalni faktor. Tako v skladu s (5) velja
GI = G. k. V naslednjem letu se obrestuje tako povečani znesek, zato je glavni-
ca po dveh letih enaka
13
Nadaljevanje tega premisleka (glej Moharjev članek, str . 21) nas pripelje do
osnovnega obrazca obrestno obrestnega računa, ki nam pove, kolikšna je glav-
nica po n kapitalizacijskih obdobjih (letih):
(7)
Višino glavnice po n letih dobimo torej tako, da jo množimo z noto potenco
obrestovalnega faktorja, vrednost pred n leti pa tako, da jo delimo s to poten-
co. S tem pravilom smo opisali postopek, ki mu v finančni matematiki običaj­
no rečemo preračunavanje glavnice na kasnejš i oziroma zgodnejši trenutek (ali
s tujko "termin"). Kadar imamo opraviti z več kot eno glavnico, si dinamiko
vplačil in izplačil običajno prikažemo na številski premici, na kateri z enako
dolgimi intervali označimo posamezna kapitallzacijska obdobja in označimo ,
ob katerih trenutkih vplačujemo ali dvigamo posamezne glavnice. (Strokovno
rečemo, da označimo, kdaj te glavnice dospeveja .) Kot primer za uporabo tega
dogovora najprej izračunajmo višino letne anuitetee, ki jo moramo plačevati,
če želimo dolg D dinarjev vrniti v n let ih, pri čemer prvi obrok dospeva eno le-
to po najemu kredita.
D
A
n
A
n-l
A
3
A
2
A
~ ;-_ o oo -If----1----t--
A
Ker lahko neposredno primerjamo samo glavnici, ki dospevata v istem trenut-
ku, moramo vse te zneske preračunati na ist i trenutek, najlažje na tisti čas, ko
dospeva zadnja anuiteta . Takratna vrednost začetnega dolga D je Dk~ saj do-
speva zadnja anuiteta n let kasneje kot začetni dolg . Vrednosti posameznih
anuitet (od zadnje proti prvi) pa so A, Ak, Ak2 , "" Akn ' ) , zato je
(8)
Kot je pokazano v Moharjevem članku, lahko vsoto ni' desni poenostavimo v
A(kn-1)/(k - 1)
(9)
* Izraz "anuiteta" pride iz besede "anno", ki pomen i leto , anuiteta torej "letni obrok".
Ker pa se je izraz uveljavi l tudi za polletne, mesečne ... obroke, posebej poudarimo, da
gre za letne obroke.
14
in končno
A= Dk
li
/{( - 1)
kn -1
(10)
Strah , da takšna formula pri p = O ne velja, je odveč . Vedno se namreč lahko
vrnemo na obliko, ki sledi iz (8) ,
Dk n
A=---------
1 + k + k 2 + ,.. + kn - !
Pri p = Oje obrestoval ni faktor k enak 1 in za anuiteto A dobimo
(11)
n
DD.l
1+1+ ... + 1
A=----=:=..:....:.--
Pri brezobrestnem posojilu je torej anuiteta kar obratno sorazmerna številu
obrokov (in premo sorazmerna začetnemu dolgu) ,
Iz letne anuiteteA , določene z obrazcem (10), lahko z razrešitvijo obrazca
(4) izračunamo potrebni mesečni obrok, k i nam ob plačevanju dvanajstih takih
obrokov ob koncu posameznega meseca do konca leta zbere natanko A dinar-
. jev. Tako bi bil v obravnavanem primeru mesečni obrok enak
1200A
a= ------
14400 + 66p
1200 D k n (k - 1)
(14400 + 66p) tk" - 1)
(12)
Navadno so bile pri bančnih posojilih podane letne obrestne mere. Pri pol -
let nih anuitetah so polletne obrestne mere točno polovico manjše, pri mese-
čnih obrokih dvanajstkrat manjše, pri dvo letnih pa dvakrat večje. Prakt ič no so
banke do leta 1980 pr i mesečnih odplačevanjih dolgov polletne anuitete razde-
lile na 6 enakih mesečnih obrokov, ki pa sev tem intervalu niso obrestovali. Ali
so bile tu banke nepoštena ali pa so b ili le posojilojemalci na škod i? O nepo-
štenost i ne moremo govorit i, če se denarni zavodi držijo dogovorjenega poslo-
vanja. Rek li b i lahko le, da je za občane škoda, ker posojilne pogoje določa le
banka, To pa ne drži vedno, vsaj ne v pr imeru, ki ga Bojan Mohar navaja na
začet ku svojega članka. Pri st anovanjskih kreditih so pogoji ugodnejši : za 15-
let no posoji lo in 5% obrestno mero. Al i ni to ob 80% inf lacijsk i stopnj i skoraj
zastonj? Prav zaradi tega pa so banke pričele vplačane anuitete ob restovati
vsak mesec. Tak o je tud i pri pod atkih , ki j ih je Bojan Mohar dobil pr i znancu,
vse v najl epšem redu :
15
D.k 1
18 0
• (ki - 1)
k l
180
- 1
D = 800.000.- din
P = 5%, k = 1,05
n = 15 let oziroma ril = 180 mesečnih odplačil, pr i čemer je
PI =5/12 % = 0,00416 oziroma ki = 1,004113.
Mesečni obrok al izračunamo takole
'180 •
800.000 . 1,00416 .0,00416
1,0041618 0 - 1
800.000 .2,1137014.0,00416
1,1137014
= 6326,25
Razlika do 6327 .- din pa nastane zato , ker banka vsekončne zneske zaokroži
navzgor.
Zanimivo je ševedeti , kakšne so letne anuitete za ta primer.
a=
D.k 15 • (k - 1)
k l 5 - 1
800.000. 1,051 5 .0,05
1,05 1 5 - 1
800.000 . 2,0789282 0,05
1,0789282
= 77073,83
kar je za 1159.- din več kot 12 mesečnih anuitet.
Za konec bomo skušali odgovoriti še na tri zastavljena vprašanja v omenje-
nem članku iz P-XIII/l.
(1) Ali so možne take obrest i, da bo (mesečni) obrok pri odplačevanju na
pet let manjši kot obrok pri odplačevanju na 10 let? Pri tej nalogi upoštevamo,
da so v obeh primerih obrestne mere enake. Zato lahko zapišemo
D.k 5 • (k - 1)
k 5 - 1
<
D. k lo. (k - 1)
klO - 1
Ker so D> O, P > O, k - 1 > O in k > 1, lahko obe strani enačbe kraj -
šamo z D, k 5 , (k - 1) in (kS - 1) t er dobimo
kar pa ni možno.
16
(2) Kolikšna je dejanska vrednost odplačanega denarja v primerjavi z višino
posojila, če upoštevaš ,da sevrednost zmanjšuje z inflacijo, ki je, recimo, vsa
leta odplačevanja enaka 80%? Kako se spreminja vrednost denarja pri inflaciji,
si oglejmo, kar bo lažje, pri 100%? To pomeni, da bo današnji znesek 200 .- din
čez leto dni vreden le še 100.- din. Če zaznamujemo inflacijsko stopnjo zr =
= 100 %, je inflacijski faktor' = 1 + r/100 = 2. Današnjo vrednost zneska ao
dobimo tako, da vrednost čez eno leto al pomnožimo z inflacijskim faktorjem,
kar lahko zapišemo tudi obratno
(13)
Če upoštevamo, da z enim letom znesek ne samo izgubi na vrednosti, pač pa
tudi pridobi zaradi obresti, moramo ta znesek pomnožiti še z obrestovalnim
faktorjem k . Obrazec
1 k
al = ao . -,- . k = ao . -,-
lahko zapišemo tudi takole
(14)
1+p
1 + r
k". kJerJe m =-,- =--:::~--
(15)
Vsi drugi obrazci z upoštevanjem inflacije so enaki obrazcem za obrestno obre -
stni račun, le da je obrestoval ni faktor zapisan malo bolj komplicirano:
m" -1
Gn = Gim" in An = a----m -1
(3) Ali se lahko zgodi, da bo pri posojilu na n let mesečni obrok višji od
celotnega posojila? Kaj hitro lahko opazimo, da so lahko obroki (ne le me-
sečni) večji od celotnega posojila. V tem primeru je vrednost ulomka
a
O
s» (k - 1) >1
kar smo dobili iz formule (5). Oglejmo si to neenačbo za različna obdobja.
a) Za enoletna posojila (n = 1) se neenačba
> 1 glasi
ki . (ki - 1)
ki - 1
>1
17