i
i
“492-Hladnik-naslov” — 2010/6/2 — 10:17 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 8 (1980/1981)
Številka 3
Strani 146–150
Milan Hladnik:
NENAVADNI ULOMEK
Ključne besede: matematika, ulomki.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/8/492-Hladnik.pdf
c© 1981 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
MATEMATIKA
NENAVADN 1 ULO~lEK
V srednji šoli sem nekoč pr i re ševanju razn ih nal og nalete l na
ulome k z zanimivo lastnost jo . Treba je bilo pokazat i nas lednjo
en a kost:
10100101
11000011
101010101
1100 1OO11
Pr obl em sa m sev eda ni bil za hteve n in kaj hitr o sem ga ugna l
ob upoštevan ju dejstva, da s ta dva ulomka alb in el d enaka
natanko takra t, ko velja ad = be .
Na Zog a 1 : Tudi sami se prepričajte, da res ve lja zgornja ena-
kost!
Ko sem ulo mka mal o bo lje pogleda l, se m opa zil , da se desn i ul Q
mek od l eveg a raz likuje po t em, da i ma v števcu in imenova lcu
na s red ini vrinj en o enojko . Da kl j ub t emu ve l ja med nJlma en a -
kost , se mi j e zde l o zanim i vo, zato sem posku sil v š tev cu in
imenovalcu names to ene vrin iti dve eno j ki. Pre senečenje! Spet
se m ugo t ovi l ena kost med ulo mkoma. Potem se m r a zi s kal še pri-
me r e s t re mi , št i r i mi in ve č e nojk ami. Vedno znova s e mi j e
na koncu r a čun a nasmehn i l a en ak os t dve h ulo mkov.
Na Zog a 2: Pre p ri č a j t e se np r ., da je
10100 1O1
1100 00 11
10101 11110101
110011111001 1
Problem me je začel seveda m o č n o zan ima t i in povsem naravno
se m si zas t av i l vpraš a nj e, a l i mord a ne velj a sp lo šno:
"Vr ednos t ulomka ' 10 100101 se ne spreme ni, če št ev c u in
110000 11
131
ime noval c u v sred ini d odamo e nako mn ogo ( npr . n ) en oj k . "
Spom i njam se, da mi vpr aša nje ni da l o miru, do kl er se mi po n§
kaj neu spel ih poskusih ni p o sr e č il o d ok azati s ploš ne vel javn o-
sti zgor nje t r d i t ve, se pra v i, do kl e r n i sem ug oto v i l, kaj t ič i
za t o nenavadno lastn ost j o. Ali lah ko t o s to r i t e tudi vi ?
Nalo ga 3 : Doka žit e, da za vsak o naravn o št evil o n ve lja ena-
kost
10 1OO 1O1
11000 011
101 0~0101
1100 111 . . . 1100 11
~
n
V pomo č pri re š eva nj u naj izd am, d a j e treb a upoš t eva t i ena-
kost 1010 + 0 101 = 1100 + 00 11 = 11 11 . Kako t o dejstvo up or i.!
bi mo, pa uga n i t e s ami!
č e boste pr av i ln o re ši li nal ogo 3 , pot em boste gotovo spozna-
li, zaka j s e opi s an i ulom ek tak o nen avadn o obnaša . In č e bost e
t o ved eli, potem vam prav go t ov o ne bo težko poiskati š e druge
ul omke z ist o lastn os t j o, s a j j i h j e ze lo veliko.
Naloga 4: Napi šit e še nek aj ulom kov, ka terih vrednost se ne
sp remeni , če na dolo čen e m mestu v š t ev c u i n ime noval
c u vr i ne mo i sto š t ev i l o en ojk!
Mo r d a s e bo komu zah ot el o poiskati ~ ulomke z opis ano l a s t-
no stj o . Naj posku si ; t oda t a koj na j pristavim, da j e t ak o za-
stav ljen pr ob lem t e ž j i in za ht eva kar pr e cej spretnost i, z l a -
st i pri r e š e va nj u diofantsk ih en a čb. Je n amreč poseben pr imer
iskanja ma tematičnih nepak , o kat erih je Presek že pisa l 111.
Pač pa je pr ecej l až ji pod oben pr ob l em, č e namest o eno j k doda-
jamo ničle.
Nal o g a 5 : P o išč ite vse ulom ke obl i ke ab /c d z l a s tn os t jo
a b
n
~
aOO. . . Ob za poljubno na r a vno število n . Pr i
132
cd c~d
n
t em so a , b , c , d narav na š tev i la a l i O ( i z r a z a b
seveda pomen i l Ok a + b , če za štev ilo b , ki se l a b
t a  konec r e i r t e  ke due na leg i ,  kf p r a d s t a v l j a t a  da7sEeni pas- 
ploSitvi naloge  31  
~ a t o g a  6:V ulcmkw 'uluQIQ' nastopota saao c i f r l  O f n  1, ra- 
t 1aooo1r 
t o  s i  Ighko misllmo, da Se zapisan u ittvilskem sS- 
st#mu r pCil,j~bno osnova. PreprfCajt~ sm, tfa zanj v 
rsakem primeru v a l j a  nenavadna lastnost 42 nalage 31 
Natoga 7: H a p I S i t s  nekaj ulonkou, k a t ~ r i h  v.rrednost so me spre- 
meni. Ee na doloEsnem mestu v Stevcu f n  3manovalcu 
vrinero frto 9teviIo enakfh cffer (ne nulno e n o j k )  
a l i  skupin c t f e r  (vetnestni h Ztevi 1 ) l  
Ysbim vas ,  da twdi samf poskusite n a j t f  kakSno posploSi tev  a l i  
da sestrvfte kak9no padobno n r l a g o  o ulamkfh. P i i i t e  nam! 
I 11 A, Suhadolc. iUsitemat2dne ~ o p u k o ,  Presek 5 (1976/77) ,  s t r .  
4 f n  67. 
v
RESITVE NALOG
NE NAVADN I ULOMEK- REŠ ITVE NA LOG S STRA NI 131
1. -
2. - n
3. Pišimo 101 011 1. .. 110101
n
10 10.10 n+ 4 + 111. .. 11. 10 4 + 101
n +Lt
1010( 10 n+ 4 - 1) + 11 1. . . 11 1010(10 n+ 4-1 ) + ~(10 n+ 4_1 )
9091. ~( 10 n + 4 _1) Pod obno d ob i mo 110011 1. .. 110011
n
990 1. ~( 10n+ 4 _ 1) Tor e j za vs a ko nar avn o š t ev i lo n vel j a
n
101 0111. . . 110101 9091
110 0111. .. 110011 9901
n
ab4. Op is ano l a stn os t imaj o npr. vsi ul om ki cd ' kj er je
a +b = c +d = š t e v i l o , se s ta vljen o i z t oli ko e no j k, ko t s mo
za b a l i d r ez erv ir a l i mes t (za ob e š te vi l i ena ko) . V pr il o-
g i 3 j e talo a = 1010 , b = 010 1 (4 mest a) , c = 1100 .
d = 0011 (4 mes ta) i n a +b = c +d = 1111. Po zgorn j i me to -
d i l ah ko p oi ščemo po l ju bno mn og o ulom kov z dan o lastn os t jo ,
803 73 038npr . 7u4 ( a =8, b =00 3 , c =7 , d =0 4 ) , bTII""5" ( a= 7 3 , b =0 38 , c =6 ,
d = 105 ) itd. Pr i s t av i t i pa j e t r eb a , da ni ka kor niso vsi
ul om ki take vr s te. Ul om e k ~ ( a= 2 , b =28 , c =3 , d =36 ) npr .
z a do šča vsem za hte vam naloge 4 , vendar ga ne mo remo do biti
po zgor nj i met od i .
5. Na lo go re š i jo u l omki ~~ . pr i ka te r i h vel j a 10Pad = l 0 qb c ,
kj e r j e P (q ) š t ev i l o mes t pri b (d ) . Ta pogo j ta koj
s le d i i z z a ht eva ne e na kost i
177
0 10n +q + d
a l 0P + b
0 10q + d
( prav za pra v j e nj e j ekvi va l ent en) . Pogo j 10Pad = l 0q bo
l ah ko krajše i zrazi mo t ud i t a ko l e a ( O,d ) = o ( O,b ) ; c i f r e
š t evil b in d piš emo ta koj za decima l no vej i c o. Pr imeri
ulomkov z iskan o l a stnost jo so ~~ ( a= 2 , b =3 , 0=6 , d =9 ) ,
30 9 451 057IT ( a =3, b =09 , c =7 , d =2 1) , 2"4050 ( a=45 , b = 10 5 , 0=240 ,
d =56 ) i td .
6 . Do ka z j e pov se m a nal ogen doka zu na lo ge 3 , 1e na me s t o 10 vz ~
memo novo os novo b ( b > 1) Tak o do bi mo
n bn+ 4 _1
10 1O11 1. . . 110 1O1 ( 10 10 ( b - l ) + 1 )
~
in
n bn+ 4 _1
11 00 111 . . . 11 00 11 ( 1100 (b - 1 ) + 1)
~
7. Sl edimo is t i idej i kot v na l oga h 3 in 4 s t o raz l iko , da se
da j nam e sto e no j ke vriv amo m- me s t no šte vi lo x . Za b i n d do
pus ti mo mk mest i n za ht evaj mo a +b = xxx . .. xx ( k x - ov ) ,
pa l a hko pišem o
ax x ... x b = a l 0m(n +k ) + xx .~ . x . l 0mk + b = a ( 10n (n +k ) _1) +
n
+ x x ... x = a( 10m( n +k) _1) + x 10
m
( n+ k) _1
ni-k 10m - 1
( a( 10m- l) + x ) ( 10m(n +k ) - 1 ) : ( 10m-l) i n pod obno
ox :c•• •x d = ( 0 ( 10m- l)+x)( 10m( n +k)- 1) :( 10m- l) . Prim er ta kega
n
ulom ka je 50 7
~
( a=5 , b =07 , 0 =9 , d =0 3 , x =12 , m=2 ) . Nada l j -
ne pr imere s i la hko i zmi sli t e s ami .
Milan Hladnik
178