i
i
“5-2-Pisanski-naslov” — 2009/6/18 — 8:26 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 5 (1977/1978)
Številka 2
Strani 116–124
Tomaž Pisanski:
BALISTIKA, II. Del – Zunanja balistika
Ključne besede: fizika, mehanika, zunanja balistika, topništvo, do-
met, parabola zanesljivosti,paraboloid zanesljivosti.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/5/5-2-Pisanski.pdf
c© 1977 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
BALI STI KA
2,DEL
ZUNANJA BALISTIKA
\1
1/2 = 4,9 m in je v točki A.
51 .10 Let izstrelka, če zanemarimo
težo .
Zunanja bal istika pr eu cu j e let izstrelka od trenutka, ko za-
pusti cev, do trenutka, ko zadene cilj ali se v zraku razleti. O-
menili smo že, da delujejo izgoreli plini na izstrelek tudi še
zunaj cevi. To malenkostno povečanje hitrosti za 1 do 2% v zuna-
nji balistiki navadno zanemarimo.
Pot izstrelka je odvisna od začetne hitrosti, naklonskega kota
cevi, teže, zračnega upora, oblike izstrelka, vrtenja izstrelka
in še česa (temperatura, vlažnost, vetrovi itd.). Računanje poti
izstrelka je težavna naloga, saj bi pri natančnem računu morali
upoštevati še spreminjanje težnega pospeška z vi šino, vrtenje
Zemlje . . . Napraviti moramo precej poenostavitev, če želimo pre-
prost račun. Opazujmo le gibanje težišča. Najprej zanemarimo
zračni upor. Izstrelek bi se
gibal premo enakomerno z za-
četno hitrostjo v o ' če bi
nanj ne delovala teža. Zara-
di delovanja teže si lahko
gibanje izstrelka mislimo
sestavl jeno iz dveh gibanj :
enakomernega gibanja, za ka-
t erega velja s = v ot v smeri
začetne hitrosti pod naklon-
skim kotom a prot i vodoravni-
c i , in iz proste ga padan ja
navpično navzdol h = (g/2) t 2 •
Izstrelek z začetno hitrostjo Vo = 500 mis pod naklonskim ko-
tom a bi po prvi sekundi priletel v točko c , ki je za 500 m odda-
ljena od ustja cevi, če ne bi bilo teže. Zaradi teže pa pade v
tem času š e za h I :
h 1 = ( g / 2) t
2 = 9 , 8
Enako določimo točko, v kateri je izstrelek v ča su t . če ne bi
bilo teže, bi priletel v toč ko x , zaradi nje pa pade za (g/2) t 2
in je v re sni ci v točki X . Krivulja , ki po njej leti izstrele k,
116
Sl .ll Let izstrel ka, pri ka t er em upoštevamo težo .
se imenu je parabola. Tisti, ki poznajo trigonometrijo , napi šejo
njeno enačbo ta kole :
y = x t ga - gx2 / ( 2 v ~c o sa
Razdaljo od orožja do t o č k e , kjer pro je kti l pade s pet v vi š i no
ust ja cev i, . s e prav i, da se ka vod orav nico x , i me nuj emo domet
pr i nak ~onskem kotu a .
Račun pokaže, da je domet d :
d = ( v ~s in( 2 a))/g
Maks ima~ni d omet ali pa kar domet or ozJa i me nujemo n a jve č j i 0. 0 -
met . Domet oro žja D je dose žen pr i a ~ 45 0
D = v~ /g
Za Vo = 500 mis je domet oro zJa pribli žno 25 km.
Zanimiv je t ud i aas l.e t:a izstr elka T . če je c i lj v ist i vodor av-
ni ravnini kot or ožj e, je
T = 2v osi na/g
Pri dometu oro ž ja j~ za naš pr imer č as l e t a
T 2 .500 sin 45 0 /9, 81 = 72 s
čepabi str e 1ja 1inav pi čno navzgor, bi dob ili najdal j š i ča s' po-
leta:
T 102 s = 1 min 42 s
117
y
51 .12 Parabola zanesljivosti .
V tem času je m o g o č e preteči s koraj pol kilometra .
Vpra šamo se , kam vse lah ko stre ljamo iz izbrane toč ke. ~e bi
narisa1 i vse možne tire izstrelka, ki je vsa kič i z s t r e l j en pod
drugim na klonsk im kot om, a ved no z isto začetno hitrostjo, bi
zmazek črt ome jeva la krivulja ( s l. 12). Z računom lahko poka žemo,
da je ta krivu lja spet parabola . Balistiki ji rečejo parabola
zan e s ljivos t i . Nobene to č ke zuna j te parabole ne moremo zadet i .
y
x
y
z
x
118
51.14 Parabo lo id zanes l j ivos t i .
Te t očke s o zu naj d om et a . T o č k e na par ab oli d os ez amo pri ene m
sa mem na klons kem kotu , t oč ke zn ot r a j pa rabo le pa pr idd ve h . Za
točk e , ki l e ži j o v i st i vi šin i z or ožjem i n so znotra j pa ra bo le
zanesljivosti, velja to le : a l + a 2 = 90 0 , če označimo z al pr vi,
z a 2 drugi naklonski kot, pod katerim dosežemo točko. V resnici
bi mora li govor it i o p a r ab o l o i.du z anee l i iv o e t i , ki ga dobi mo z
vrte njem pa rabo l e zanes lj ivost i okro g os i y , saj l ah ko pri or ož-
ju pol eg na kl ons kega kota menj amo tudi smer cev i v v od or avni
1/
T
51. 15 Bal ist ična kr ivu l ja leta i zs tr e l ka v ozr ačju .
smer i . Parabol oid zanes ljivosti je za ni miv predv sem pri pr oti -
l e t al s ki h orožj i h, ki tu di p rakt i čno s t re lja jo na vs e c i lje v
nj egov i notra njosti .
Toli ko o pr imer u , ko zane marimo zračn i u por. V ozračju so
ra zmer e do sti bolj zamot ane . Balist iki z najo pri določenih
pr ed pos t av kah o uporu zraka i zr a ču n a ti bo ljš i pr ibližek za de-
ja nsko ba listično kr iv u ljo . Pomaga jo s i t ud i z r a ču n al n i ki . Ve n-
d ar noben račun ne more predvidevat i vseh sil v ozr ačj u (gost o-
ta zra ka, tem peratura, vl ažn os t, veter , dež itd.) . Zato omenimo
l e ne kaj osnovnih lastn osti b alistične kr i vu l j e:
- t očka na j ma nj š e hit rost i izstrelka leži na padajo čem krak u
t akoj za t emenom;
hitrost iz stre l ka v točki na dvigajo čem se kraku j e večja od
hi t rost i v to čk i is te vi ši ne na padajočem kr a ku;
- čas , ki ga izs t r e le k potrebuje do temena, j e manj ši od časa,
ki g a izstr e l e k potr ebu je od t emena do ta 1 ;
- domet je kraj ši od d om e t a pod ist i m koto m v b r e z z r a čn em pro-
storu ;
- vi š in a j e " v sa kem trenutku ma nj ša od v iš ine, ki bi j o i z s t r e -
1 1 9
51.16 Razvoj oblike. izstrelka od krogle do današnje .
lek dosegel v brezzračnem prostoru;
- dvigajoči se krak je daljši od padajočega ;
- padni kot je večji od naklonskega kota.
če želimo zmanjšati upor zraka, moramo izbrati izstrelku
"pametno" obliko. Ker pa se dandanašnji izstrelki v letu zaradi
stabilnosti vrtijo, je toliko teže izbrati najboljšo obliko .
Zanimivo je tudi opazovati, kako se menja kot maksimalnega
dometa. V brezzračnem prostoru je za vse izstrelke in vse začet­
ne hitrosti kot maksimalnega dometa 450. V ozračju pa se kot
s pr em i nja v odvi s nost i od zač e t ne hit r os ti.
Omenili smo že, da so bili sprva izstrelki okrogli in zato
ni bilo pomembno, ali se v letu vrtijo ali ne . Ker pa so želeli
zmanjšati upor zraka, so dali izstrelkom podolgovato obliko.
"O·<>- ---::::p _ - ._.;;;;;:::__ srednji kalibri - 100 mm
!J0
0
kalibri > 200 mm
4'0.~-~==-- =".-..~---+--=--'-- -
d =:::::="""'__.j- """'~miVhnt kalibri - 15 mm
30°0-
o 1000 m is
51.17 Odvisnost kota maksimalnega dometa od začetne hitrosti i zs t r e l ka pri
različnih kal ibrih . če zračni upor zanemarimo, je Qmax vedno 45°.
120
Zdaj pa se pojavi problem stabilnosti. Brž ko vzdolžna os iz-
strelka ni v smeri tangente na krivuljo leta, se poveča površi-
na, na katero deluje zračni upor . Tako se sila upora poveča. Ce
pa prijemališče sile ni v težišču, pride do prečnega vrtenja.
Odstopanje lege vzdolžne osi izstrelka od tangente na krivuljo
je škodljivo. Poveča se zračni upor . S tem se zmanjša domet,
zmanjša pa se tudi zanesljivost zadetka. Moderni izstrelki ima-
SI. 1B Nestabilnost v letu , če pr ijemališče P s ile zračnega upora F ni v teži-
šču T izstrelka.
x
51.19 Let izstrelka z veliko kotno hitrostjo. Os vrtenja izstrelka ohranja
svojo smer .
jo v konici nameščene posebne vžigalnike, ki poskrbijo, da pri-
de do eksplozije . če pa izstrelek zadene cilj z napačnim delom,
ne pride do e ksplozije .
Za izstrel ek, ki se vrti okol i svoje osi , velja izrek o o-
hranitvi vrtilne količine: vrtilna os ohranja svojo smer v pro-
storu. To velja tem bolj, čim hitreje se vrti. To seveda ni do-
bro. Izstrelku moramo dati ravno pravo kotno hitrost, tako da
je smer osi vrtenja kar se le da "uglašena" s smerjo tangente
na krivuljo leta.
121
II
zadetek
z
c il j
51.20 Derivacija CI je posledica vrtenja izstrelka . 51.21
žal prinese vrtenje novo nev šečnost . Zarad i nje pride do za-
vijanja izstrelka v smeri letenja . če se izst relek vrti v smeri
desnega vijaka, se odkloni v desno . Na srečo kot odklona (d er i-
v aai ja ) ni prevelik. Navadno meri manj kot 10 .
NAPAKE
Izkušnje ka že j o , da z dvema streloma ne zadenemo iste točke,
pa če še ta ko pazimo, da bi bili pogoji streljanja obakrat isti.
Pri strel janju pride do napak. Napako lahko opredelimo kot raz-
daljo med zadeto toč ko in ciljem. Razlogov za napako je več.
Razvrstimo jih lahko v tri skupine .
Sistema t ska n ap aka. To napako navadno povzroči orožje in merilne
naprave na njem. Vsak, ki je že streljal z zračno puško, se je
sam prepričal, da lahko puška "nese" v levo ali desno.
Sistematsko napako odpravimo tako, da postopoma popravljamo na-
merjanje. Pri puški, ki "nese" desno, moramo meriti levo od ci-
1 ja .
Gro ba napaka . Vzro k zanjo je navadno nepazljivost ali pomota
strelca pri upravljanju z orožjem in merilnimi napravami, v do-
ločevanju razdalje do cilja in podobno. Lahko pa je tudi rezul-
tat pokvarjenega naboja. Tudi to napako zlahka odkrijemo, saj
je zadetek daleč proč od cilja.
Najtrdovratnejša pa je s Lu ča j na nap aka . Ne moremo je odpraviti.
Lahko jo samo zmanjšamo, npr. tako, da izboljšamo kvaliteto
smodnika in tako zmanjšamo variacije začetne hitrosti izstrelka,
ali ta ko, da bolje izvežbamo strelca . Slučajne napake pa imajo
122
o o o o
o o o n.O~ OOo \J 00 O
O O 000 8 ePi} Oo O
00 O O O
OeD o o Oo
O O
O O : O O
O
o o
O
o
o
S1.22 Rezultat streljanja v c i l j .
SI.23 C je ci lj, Z zadetek. Središče S el ipse je srednj i zadetek . CZ je na-
paka . Sestavl~na j e iz s istematske napake (+groba napaka) SC in slu-
čajne na pake SZ.
SI .24 Grafično določevanje srednje-
ga zadetka S. Zaporedoma poi-
ščemo točke A, B,C, .. . Zadnja
točka je sred nj i zadetek .
2
36
lepo lastnost , da s e pokoravajo zak onom. Sli ka 22 kaže , da so
zade tk i ra zporejeni v nekakšno elipso , v sredini so bolj gosto
posejani kot na robu . Orodju , s ka t er i m se balistik spopr ime s
ta kol e sliko zadetk ov, pravijo matematiki verjetnostni raču n
s statistiko . Obravna vanje s tatisti ke bi nas predale č zavedlo.
Za t o si ogle jmo l e okvirno ne katere stvar i , ki zanimajo bali-
s t ika . S r ed i šč e elipse ustreza povprečnemu a l i srednjemu zadet -
ku . Slu č ajno napako lah ko zdaj dol očimo kot r azdal jo med zad et -
kom i n sred nj im zadetkom. S sli ke 23 je razvidno, da potrebuje -
mo za dol~čit ev s istemats ke napa ke srednji zadetek. č e imamo na
vol jo malo zade tk ov , dolo čimo srednji zad e t ek t a kole: mislimo
s i , da us tre za vsakemu zade t ku to č kasto telo z maso enot e .
Srednji zade te k je težišče t e -
ga sistema. D o l o č i mo ga gra-
fi čno. Zade t ke označimo s š t e-
vil kami 1, 2, .. . Točk i in 2
spojimo z zve znico in jo raz-
polovimo . Središče označimo z
A . Zvežemo t očk i A in 3 . Da-
ljico ra zde limo na tri del e in
o značimo z B točko , ki leži na
1/3 poti od A do B . Potem zve-
znico od B do 4 razdelimo na 4
dele in tako naprej do konca.
Zadnja točka, ki jo dob imo po
123
tar pestopku, J e  srednjf zadetek. 
Za konec omenlno re razltko asd toZmua*$a In prcloCxrrcstdo 
prl 3tralJanju.  Za tirofjtr, oz%roma strelca pravimo, da str l l ja  
toeno, Ee j e  o r d n j i  zadetek b l l x u  c i l i a .  Stre l  jenje 3s practz- 
no, Ee so radetkf zbrani tesno ob srednjem z a d e t b  - Ea j e  el4p- 
sn zadetkov majhna. 
lallstika jr tanftaiva stara Interdiscfpllnarna v a a .  Y njej 
se s t t k a j o  sratenmtlka, f i z i k a ,  kesl ja t n  strojniltvo. Zal je 
njena uporaba uniEujota in srrtonosna. UskladfStena v p r a v t h  
glrvah. pa zagotavlja n a l o  svobodo Tn neodvlsnost.