Lehre VÜN den B-n vr. Franz Seraphin Mozhnik. Lehre von den vier Rechnungsarten, aus deren Begriffe und dem Wesen unseres Zahlensystems entwickelt, und als Lehrer der vierten Klaffe an der k. k. Normal - Hauptschule ju Kör;, und wirkl. Mitgliedc der k. k. Landwirthschafts-Gesellschaft daselbst, Itkti ,st,8astIt Ijlasittli. 2n Commisston bei Leopold Patcrnoffi. gibt wohl keinen Zweig der menschlichen Erkennt- niffe, der von so vielseitiger Anwendung im bürgerli¬ chen Leben wäre, und zugleich so wohlthätig auf die gesummte Geistesbildung wirken würde, als die Arith¬ metik. Dort mit der Fertigkeit in der Ausführung der verschiedensten Berechnungen auszurüsteu, hier richtiges Denken, Scharfsinn und schnelles Auffassen zu begrün¬ den, ist das diesem Gegenstände vorgcstcckte Ziel. Zur Erreichung dieses schönen Zieles muß man offenbar schon in dem ersten Rechuungsunterrichte den Grund legen, welcher aber eben darum nicht mecha¬ nisch, sondern gründlich und mit steter Hinsicht auf den natürlichen Entwicklungsgang der Geisteskräfte betrie¬ ben werden soll- Die Elemente alles Rechnens sollen dein Anfänger nicht als bloßes Ergebniß fremden Nachdenkens mitge- theilt werden; sondern aus dessen eigenem Innern soll man sie Hervorbolen, damit sie, aus eigener Ueberzeu- gung entsprungen, nach dem Spruche der Alten, in Saft und Blut übergehen. Sind doch die Rechnungs- kcnntniffe ein unmittelbarer Ausfluß der Verstandesge- sctze, und finden sich somit, wenn gleich noch im Keime, doch im jugendlichen Geiste schon vor; dem Unterrichte kann es also nur obliegen, diesen herrlichen Keim zweck¬ mäßig zn pflegen und zn entwickeln, damit er allgemach erblühe und Früchte trage. Die guten Folgen, die ein solcher auf Selbstden- kcn und geistige Entwicklung berechneter Nechnungsun- terricht nach sich zieht, sind nicht zu verkennen. Ver¬ gessenheit ist das gewöhnliche Loos alles bloß mecha¬ nisch Erlernten; hier aber findet das Gedächtniß an dem Verstände eine mächtige Stütze, und wenn auch das Selbstanfgefundene von der immer schwellenden Masse der nachfolgenden Vorstellungen verdrängt wer¬ den sollte, so trägt man ja das Werkzeug mit sich, rind hat es handhaben gelernt, nm das Verdrängte von Neuem zu schaffen. Während sich ferner der Schüler nur mit Widerwillen fremde, nur halb oder gar nicht verstandene Formeln aneignet, und ihm dadurch frühe Abneigung gegen alles Lernen eingeflößt wird; wird er hier, durch das Selbstfiuden ermuthiget, von leb¬ haftem Lerneifer und edler Wißbegierde erglühen. Die zweckmäßigen Uebungen eines solchen Unterrichtes be¬ gründen nicht nur Geläufigkeit im Rechnen, sondern auch allseitig einen ticfern Blick, und daher Empfäng¬ lichkeit für jeden Unterricht; die formelle Bildung, die der Schüler dadurch gewinnt, bleibt ihm und nützt ihm überall, was immer für einem Berufszweige er sich auch widmen möge. Von so unnennbar guten Folgen ist ein gründli¬ cher Elementarunterricht im Rechnen. Und doch, mit Bedauern muß man es gestehen, gibt es Pädagogen, welche die Grundlehrcn alles Rechnens geradeweg ohne alle Begründung dem Anfänger überliefern, welche ihm das Zahlensystem als einen künstlichen von den Vor- fahren an uns vererbten Mechanismus vorfuhren, in den er wie eine Maschine gedankenlos eingreifen soll, den aber näher zergliedern und untersuchen zu wollen für ein Vergehen gehalten werden könnte. Die Ta¬ bellen und Regeln für die Hauptrechnungsarten muß er als eben so viele unantastbare Formeln, von denen er weder den Geist noch den Zweck wissen soll, ins Gedächtniß aufnehmen. DieHauptursache dieser traurigen Erscheinung dürfte wohl großentheils in dem Mangel eines zweckmäßigen Leitfadens für den Elementarunterricht im Rechnen zu suchen seyn. Zwar fehlt es keineswegs an Schriften, welche unter den verschiedensten Formen den Rechnungs¬ unterricht zu fördern bestimmt sind; auch sind mehrere darunter, wie nicht zu verkennen ist, recht verdienst¬ voll und von sehr ausgebreitetem Nutzen, allein man vermißt in ihnen durchaus jenen naturgemäßen Zusam¬ menhang, jene wohlbegründcte Entwicklung, durch wel¬ che allein der Rechnungsunterricht das wird, was er vermöge seiner natürlichen Beschaffenheit werden kann und werden soll, — Anleitung zu einem geläufigen Rechnen, und Geistesgymnastik. Seien daher jene Schriften reiche Magazine von Regeln, Vortheilen und Beispielen; — ein zweckmäßiger Leitfaden für den genannten Unterricht sind sie nicht. In den hier ausgesprochenen Ansichten und Bemer¬ kungen nun liegt die Veranlassung zu dem Erscheinen vorliegender Schrift. Meine Absicht war, darin dem Lehrer und Lernenden bei dem ersten Rechnungsunter¬ richte einen Wegweiser mitzugeben, damit sie an des¬ sen Seite jene Klippen, au denen bereits so Viele ge¬ scheitert sind und noch immer scheitern, so glücklich als möglich vermeiden. Zu diesem Ende war ich bemühet, vor Allem das Wesen unseres Zahlensystems und den innigen Zusam¬ menhang der Zählen nicht minder gründlich als faßlich auseinander zu setzen. Bei den einzelnen Rechnungs¬ arten glaubte ich der Entwicklung der betreffenden Ta¬ bellen und Regeln eine besondere Aufmerksamkeit wid¬ men zu müssen; zugleich sind für jede Rechuuugsart die gewöhnlich vorkommcnden Fälle von deren Anwen¬ dung angeführt und durch Beispiele beleuchtet worden. Um den Nutzen dieser Schrift zu erhöhen, habe ich im Anhänge auch die wichtigsten Vortbcile entwickelt, deren man sich bei den vier Rechnungsarten mit uubcnannteu wie auch benannten Zahlen bedienen kann. Ich bin nun weit entfernt zu glauben, daß ich in diesen Blättern meine Aufgabe vollkommen gelöset habe; derselbe Grund, welcher mich zu deren Herausgabe ver¬ anlaßte, der Mangel nämlich an zweckmäßigen Schrif¬ ten dieser Art, wird auch die Unvollkommenheiten der gegenwärtigen entschuldigen. Es würde mich übrigens freuen, wenn eben durch diese Mängel Andere, die mehr Beruf und Geschick haben, sich aufgefordcrt fän¬ den , meinen Ansichten beipflichtend, diesen wichtigen Gegenstand der Vollkommenheit näher zu führen. Gott segne diese kleine Arbeit, daß sie als Anlei¬ tung, sowohl tüchtige Rechner auszubildcn > als auch schon den jugendlichen Geist für das Höchste, was uns angehet, für Wahrheit und Recht zu wecken > den be¬ absichtigten Nutzen stifte. Görz am tg, März 1840. Der Verfasser Inhalt. Erster Abschnitt. Von den Zahlen überhaupt. Seite Vorbegriffe i Erstes Hauptstück. Unbenannte Zahlen und ihr Zusammenhang, Die neun ersten Zahlen .... 2 Dekadisches Zahlensystem . , , . . 7 Beliebig große Zahlen ..... 10 Aussprechen der Zahlen . . . . .13 Anschreibcn der Zahlen .... 15 Zusammenhang der ein- und zweiziffrigen Zahlen . 17 Uebungen im Zählen 21 Runde Zahlen 23 Zweites Hauptstück. Benannte Zahlen und ihr Zusammenhang. Ein- und mehrnamige Zahlen .... 25 Die vorzüglichsten Verwandler .... 28 Z w e i t e r A b s ch It i t t. Von den vier Haupt - Rechnungsarten mit unbenannten und xin- namigcn Zahlen. Erstes Hauptstück. Addition. Erklärungen und Zeichen . . . , , 31 Vorübungen . 32 Entwicklung der Regeln 35 Anwendung ... .... 38 Zweites Hauptstück. Subtraktion. Erklärungen und Zeichen .... io Seite Subtrahiren mittelst deS Wegnehmens, und zwar: ») Vorübungen . 41 d) Entwicklung der Regeln .... 43 Subtrahiren mittelst des Hinzusetzens, und zwar: n) Vorübungen ...... 46 b) Entwicklung der Regeln .... 48 Anwendung . . . . . - .51 Drittes Hauptstück. Multiplikation. Erklärungen und Zeichen . 52 Vorübungen . .53 Entwicklung der Regeln: a) wenn der Multiplicator einziffrig, . . 56 d) wenn der Multiplicator mehrziffrig ist . .58 Mulciplication runder Zahlen .... 61 Anwendung . ..63 Viertes Hauvtstück. Division. Erklärungen und Zeichen . . . . . '65 Vorübungen . 68 Entwicklung der Regeln .73 Division, wenn der Divisor eine runde Zahl ist . 78 Kürzere Art des Dividirens ..... 79 Anwendung ....... 82 Dritter Abschnitt. Von den vier Haupt-Rechnungsarten mit mehrnamigcn Zahlen. Nesolviren und Reducircn ..... 86 Allgemeine Bemerkungen über das Rechnen mit mehr- namigen Zahlen . 89 Addition .. 9l) Subtraction . 93 Mulciplication . 9 6 Division . .99 A n h n n g. Rechnungsvortheile. !. Bei unbenannten Zahlen . 105 n. Bei benannten Zahlen . . . . . iio te t L z j r ! Erster Abschnitt. Von den Zahlen überhaupt. Vsrbegrikke. §. i. Einheit. Zahl. Ding, für sich betrachtet, ist eine Einheit seiner Art; z. B. ein Gulden, ein Pfund. Eine Menge gleichartiger Einheiten nennet man eine Zahl; z- B. vier Gulden, acht Pfunde. Bei jeder Zahl muß daher eine Einheit gedacht werden, welche öfters darin verkommt. Jede Einheit kann in Bezug auf ihre Theile als Zahl betrachtet werden; so ist z. B. ein Kreuzer eine Einheit von Kreuzern, aber eine Zahl von Pfennigen, weil er mehrere, nämlich vier Pfennige enthält. Umgekehrt laßt sich jede Zahl, für sich betrachtet, als Einheit annehmeu, wo sie sodann einen eigenen Namen bekommt. Z. B. vier Pfennige sind eine Zahl von Pfennigen, sie lassen sich aber für sich als eine Einheit betrachten, und erhalten den Namen ein Kreuzer. 1 2 §. 2. Benannte und unbenannte Zahlen. Eine Zahl, welche den Namen ihrer Einheit Mit sich führt, heißt eine benannte Zahl; sie kann nur eine Art von Einheiten vorstellen. Z. B. vier Gulden ist eine benannte Zahl, und kann nur Gulden vorstellen. Eine Zahl, bei welcher der Name ihrer Einheit nicht vorkommt, heißt eine unbenannte Zahl; sie kann jede Art von Einheiten vorstellen. So z. B. ist vier eine unbenannte Zahl, und kann Gulden, Pfunde oder was immer für Einheiten vorstellcn. §. 5. Bezeichnung der Zahlen im Allgemeinen. Bei der doppelten Bezeichnungsweise unserer Ge¬ danken, nämlich durch das hörbare Wort und durch sichtbare Schriftlichen muß auch bei der Bezeichnung der Zahlen darauf Rücksicht genommen, und gelehret werden, wie man die Zahlen auszusprechen und wie man sic zu schreiben habe. Die auf einander folgenden Zahlen mit Worten ausdrücken, heißt zählen. Die Schriftlichen der Zahlen nennet man Ziffern. Erstes Hauptstück. Unbenannte Zahlen und ihr Zusammenhang. 4. Die ersten Zahlen und ihre Bezeichnung. Wenn man mit der Einheit anfängt, und immer eine Einheit dazusetzt, so heißen die dadurch entstehen¬ den Zahlen: eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun. Sie werden folgcweise durch nachstehende Ziffern bezeichnet, die wir zur bessern Anschaulichkeit auch durch darunter gesetzte spuncte versinnlichen wollen: 1/2, 3, 4, 5, 6, 7, o, 9. Ehe man die weitern Zahlen vvrnimmt, ist es nothwendig, von den neun ersten und deren Zusammen¬ hänge eine recht klare Uebersicht zu bekommen. Zu diesem Ende werden nachstehende Uebungen empfohlen. §. 5. Zusammenzählen der ersten Zahlen. Es sollen je zwei der genannten Zahlen, welche zusammengenommen nicht mehr als neun ausmachen, zusammengezählt werden. Hierbei beobachte man fol¬ genden Stufengang: i.Man zähle zu i nach der Reihe i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, und gebe jedesmal die Zahl an, welche man durch das Zufammenzählen bekommt. Diese und die folgenden Uebungen sollen durch wirkliches Zusammenzählen der Puncte vorgenom¬ men werden. Daß übrigens bei Anfängern hier zur Versinnlichung der Zahlen statt der Puncte auch andere Gegenstände, als: Finger an den Händen, Kreuzer, Groschen, Aepfel, Nüsse u. dgl. angewendet werden können , bedarf kaum einer Be¬ merkung. * 1 4 2. Ferner zähle man zu 2 nach und nach alle 3 „ s, ?? ,, 4 >> r> ?? 5 ,, ,, ,, ,, ,, 6 ,, ,, ,, ,, ,, 7 ,, die Zahlen 1,2, „ L ,, die Zahl 1, und gebe jedesmal die durch das Hinzusetzen neu entstandene Zahl an. 3. Wenn man zu einer Zahl nach der Ordnung, wie es bisher geschehen ist, geläufig zu zählen weiß, so iibe man sich dann im Zusammenzählen jener Zahlen von 1 bis 7, ,, ,, 1 ,, 6, » » 1 ,, 5, ,, ,, 1 ,, 4, » 1 3, Zahlen auch äusser der Ordnung. Durch öftere Wiederholung dieser Hebungen und gehörige Versinnlichung wird nachstehende Tabelle blei¬ bendes Eigenthum des Verstandes und des Gedächtnißcs werden. i. Tabelle. §. 6. Zerlegen der ersten Zahlen. Nun übergehe man zu der gerade entgegengesetzten Uebung, indem man nämlich jede der ersten Zahlen nach und nach von allen größern wegnimmt. Dabei soll folgende Stufenfolge beobachtet werden: i. Man nehme t nach und nach von allen größern Zah¬ len, nämlich 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 weg, und gebe an, wie viel jedesmal noch übrig bleibt. Auch hier ziehe man die Verstnnlichung durch Puncte, Finger, Aepfel, Nüsse, Kreuzer, u. dgl. zu Hilfe. Bei den Puncten sollen die wegzunehmenden ausge- löfcht oder mit einem Blatte Papier bedeckt, bei Fin¬ gern zusammengebogen, bei den übrigen Versinnli- chungsmitteln wirklich weggenommen werden. 2. Man nehme eben so 2 nach und nach von allen Zahlen von 3 2 ,, ,, ,, ,, „ „ „ 4 4 ,, ,, >> „ 5 5 ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, 6 6 ,, „ „ ,, ,, ,, ,, 7 7 „ „ „ „ den Zahlen 8, 9, 8 von der Zahl y weg, und gebe das tlebriggebliebene au. bis y, „ 9, 9» >, 9 - „ y, jedesmal 3. Nachdem man früher jede Zahl von den größern, wie sie in der Ordnung auf einander folgen, hin- wcggenommen hat, weiche man nun von dieser Ordnung ab, und bestimme, wie viel übrig bleibt, wenn man eine beliebige jener Zahlen von einer beliebigen größern wegnimmt. Auf diese Weise wird man zur gründlichen Kennt- niß folgender Tabelle gelangen. tj 2. Tabelle. §. 7. Ergänzen der ersten Zahlen. Es soll bestimmt werden, wie viel man zu irgend einer der erstern Zahlen hinzuzählen müsse, um eine gegebene größere zu erhalten. i. Man gebe an, wie viel zu l noch gezählt werden muß, um nach und nach die großem Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 7, L, y zu erhalten. Wie bei den frühem Hebungen, sollen auch hier die Zahlen versinnlichet werden. 2- Eben so bestimme man, wie viel noch zu erhalten. 7 Z. Diese Uebungcn sind recht oft zu wiederholen, und dann auch außer der früher angeführten Ordnung vorzunehmen. Die Tabelle, welche die Ergebnisse dieser Hebun¬ gen enthält, stimmt mit der i> Tabelle vollkommen überein. Nur ist zu merken, baß beim Zusammenzählen jene Zahl, welche auf das Wörtchen ist folgt, gesucht wurde; hierüber, beim Ergänzen, dieselbe bekannt, und dagegen die Zahl, welche nach dem Wörtchen und stehet, anzngeben ist. Während es z. B. dort heißt: 3 und 5 ist ?, sucht man hier: 3 und ? ist 8, wo das Fragezeichen die in Frage stehende Zahl ausdrückt. Es wird nicht viel Aufmerksamkeit erfordert, um zu finden, daß hier dieselben Zahlen gesucht wurden, wie oben beim Zerlegen der Zahlen. Zn der Lhat auch ist die Frage: wie viel bleibt übrig, wenn man i von 4 weg¬ nimmt? gleichbedeutend mit der Frage: wie viel muß man zu r hinzuzählen, um 4 zu erhalten? In beiden Fällen erhält man zur Antwort: 3. Die Behandlung derselben Aufgabe unter verschie¬ denen Formen ist schon an sich ein sehr zweckmäßiges Mittel, den Scharfsinn des Anfängers zu wecken; hier aber liegt dieser Behandlung noch ein anderer Zweck zu Grunde, welcher erst später ins Helle Licht gestellt wirb. §. 8. Dekadisches Zahlensystem. Wir haben uns bisher mit neun Zahlen und deren Zusammenhänge bekannt gemacht; allein es gibt, wie Jedermann weiß, außer denselben noch mehrere Zahlen, ja cs sind ihrer unendlich viele denkbar. Wenn man nämlich zu einer beliebigen Zahl eine Einheit setzt, 8 zu der dadurch entstandene» wieder eine Einheit u. s. w., so erhält man jedesmal eine größere Zahl als die vor¬ hergehende, somit eine neue Zahl; da nun aber das Hinzuzählen einer Einheit zu der jedesmal erhaltenen Zahl ohne Ende fortgesetzt werden kann, so sind un¬ endlich viele Zahlen möglich. Wollte man jede Zahl mit einem eigenen Namen und einer eigenen Ziffer ausdrucken, so müßte man unendlich viele Namen und Ziffern haben. Da aber das Anffassen einer solchen Anzahl von Zeichen für un¬ fern beschränkten Geist unmöglich ist, fo sind wir ge- nöthiget, ein Mittel aufzusuchen, wodurch mehr Ein¬ fachheit in die Bezeichnung der Zahlen ciugeführt wird. Dabei wollen wir so zu Werke gehen. Neun und eins neunen wir zehn. Wenn wir beim Zählen der ursprünglichen Einheiten, welche auch schlechthin Einheiten heißen, bis zehn kommen, so betrachten wir diese Zahl als die nächst höhere Einheit, und nennen sie einen Zehner. Kommen wir beim Zählen der Zehner bis zehn, so nennen wir diese Zahl, nämlich zehn Zehner, ein Hundert, und nehmen wieder das Hundert als Ein¬ heit an, welche nächst höher ist, als der Zehner. 9 Wir zählen weiter: ein Hundert, zwei Hunderte, . . . neun Hunderte. Zehn Hunderte werden wieder als die nächst höhere Einheit gedacht, und erhalten den Namen Lausend. Auf die nämliche Art wird dann das Zählen weiter fortgesetzt. Eine solche Zusammenstellung der Zahlen, daß immer eine bestimmte Zahl niedrigerer Einheiten für eine Einheit der nächst höhern Ordnung angenommen wird, nennet man ein Zahle ngebäude oder Zah¬ lens y ste m. Jene Zahl, welche anzeigt, wie viele niedrigere Einheiten eine nächst höhere Einheit ausmachen, heißt die Grundzahl des Zahlengcbäudcs. Unser Zahlengcbäude, in welchem immer zehn niedrigere Einheiten als die nächsthöhere Einheit ange¬ nommen werden, hat also zehn zur Grundzahl, und wird darum das dekadische Zahlensystem genannt (vom griechischen deka, welches zehn heißt). §. 9. Benennung der verschiedenen Drdnungen von Zahleneinheiten. Um das Benennen der verschiedenen Ordnungen von Zahleucinheiten zu erleichtern, gibt man, von der niedrigsten angefangen, je drei unmittelbar auf einan¬ der folgenden Ordnungen denselben Namen, nämlich Einheiten, Zehner, Hunderte; nur erhalten ste zum Unterschiebe noch besondere Beisätze. Es heißen nämlich die drei niedrigsten Ordnungen' Einheiten, Zehner, Hunderte. 10 Die nächstfolgenden Die Reihe der folgenden sechs Ordnungen erhält den Beisatz der Billionen, die noch weitere der Trillionen, u. s. w- 10. Darstellung beliebig großer Zahlen. Das dekadische Zahlensystem setzt uns in den Stand, alle noch so großen Zahlen mit einigen wenigen Namen, und mit noch wenigern Ziffern dar- zustellen. Jede Zahl nämlich, wie groß sie auch seyn mag, ist aus mehrer» Einheiten, Zehnern, Hunderten u. s. w. zusammengesetzt; sie laßt sich daher in Bestandtheile zerlegen, deren jeder eine bestimmte Zahl von Einheiten einer bestimmten Ordnung erhalt. Eine Zahl ist so¬ dann vollkommen bestimmt, wenn man alle ihre Be¬ standtheile angibt. Dazu aber werden zwei Sachen erfordert; man muß wissen, wie viele und was für Einheiten in jedem Bestandtheile Vorkommen; oder was 11 dasselbe ist, es muß erstens die Anzahl und zweitens die Ordnung der in jedem Bcstandtheile enthaltenen Einheiten ausgedrückt werden. Dieses im Auge, wollen wir zuerst zeigen, wie sich jede noch so große Zahl mit Hilfe einiger weni¬ gen Namen aussprechen läßt. Die Anzahl der Einheiten irgend einer Ordnung kann nicht großer als neun seyn, da zehn Einheiten einer Ordnung schon eine nächst höhere Einheit geben, und daher zu der folgenden Ordnung der Einheiten gehören; zur Angabe der Anzahl der Einheiten sind also die Na¬ men der ersten neun Zahlen hinreichend. Um die Ordnung der verschiedenen Einheiten anzuzeigen, dienen die oben angeführten Benennungen: Einheiten, Zehner, Hunderte u. s. w. Mit diesen Benennungen also und den Namen der ersten neun Zahlen läßt sich jede beliebige Zahl ausdrückcn- So z. B. ist eine Zahl vollkommen be¬ stimmt, wenn ich sage, daß sie fünf Einheiten, vier Zehner, drei Hunderte, zwei Einheiten von Lausenden und sieben Zehner von Lausenden enthält. §. 11. Fortsetzung. Noch einfacher und an weniger Zeichen gebunden ist die schriftliche Darstellung der Zahlen. Die Anzahl Einheiten einer joden Ordnung kann, wie früher gezeigt wurde, nicht größer seyn als neun, und läßt sich somit durch die bereits angeführten neun Ziffern ausdrücken. Um anzuzeigen, daß eine Ordnung von Einheiten in einer Zahl gar nicht vorkommt, dient das Zeichen o, welches man die Nulle nennt- Mit dieser haben wir zehn Ziffern. Die Nulle nennt man 12 eine unbedcutliche Ziffer, die übrigen neun heißen bedeutliche. Die sichtbare Darstellung der Ordnungen van Zahleneinheiten aber geschieht durch die F o l g e, in welcher jene zehn Ziffern hingeschrieben werden. Man setzt näm¬ lich, wenn man van der Rechten gegen die Linke ausgchct, die Ziffer dec Einheiten in die erste Stelle, „ ,, „ Zehner „ ,, zweite ,, „ ,, „ Hunderte „ „ dritte „ „ „ „ Einheiten i van vierte „ „ „ „ Zehner Lausen- fünfte „ „ „ ,, Hunderte) den sechste „ u- s. w. So z. B. wird die Zahl, die wir oben mit Warten ausgedrückt haben, durch Ziffern so dargcstellt ^2345. Die Aufeinanderfolge der verfchiedenen Ordnungen 13 §. 12. Stufenfolge für das Ausfprechen der Zahlen. Eine mit Ziffern angeschriebene Zahl ist eigentlich als ausgesprochen zu betrachten, wenn man die einzel¬ nen Ziffern ausspricht, und bei jeder zugleich die Ordnung von Einheiten benennt, die an derselben Stelle vor¬ kommt. So z. B. wird 3172 gelesen: zwei Einheiten, sieben Zehner, ein Hundert und drei Tausende. Da jedoch der Sprachgebrauch von dieser Art, eine Zahl zu benennen, abweicht; so wollen wir die Regeln auseinandersetzen, eine mit Ziffern geschriebene Zahl so zu lesen, wie sie im gewöhnlichen Leben aus¬ gesprochen wird. 1. Das Lesen einziffriger Zahlen besteht da¬ rin, daß man die Ziffer selbst ausspricht. 2. Bei den zweiziffrigen Zahlen merke man sich erstlich Folgendes: sprachen, wenn man zuerst die Einheiten, dann die Zehner benennt, und beide durch das Wörtchen und verbindet. Steht an der Stelle der Einheiten eine Nulle, so werden nur die Zehner ausgesprochen. So heißt 35 . . - fünf und dreißig, yi ... ein und neunzig, 4» - - - vierzig. 14 3. Um cine dreiziffrige Zahl auszusprechen, werden zuerst die Hunderte genannt, und zu diesen die Zehner und Einheiten, wie früher gesagt wurde, ausgesprochen, oder, wenn an ihrer Stelle eine Nulle stehet, übergangen. Z. B. 354 heißt dreihundert vier und fünfzig, 712 „ siebenhundert zwölf, 830 „ achthundert dreißig, 902 ,, neunhundert zwei, 700 „ siebenhundert. 4. Kann man einmal jede dreiziffrige Zahl fertig aussprechen, so sind alle andern mit beliebig viel Ziffern geschriebenen Zahlen leicht zu lesen und zwar auf folgende Art: Man theile die Zahl, von der Rechten angefangen, in Klassen zu drei Ziffern ab; die letzte Klasse kann auch weniger als drei Ziffern ha¬ ben. Hinter der ersten Klasse setze man einen Punct, hinter der zweiten einen Strich, hinter der dritten einen rpunct, hinter der vierten zwei Striche u. s. w. Sodann lese man, von der Linken angefangen, jede Klaffe für sich, als wenn sie allein da wäre, und setze beim spuncte das Wort Tausend, beim Striche das Wort Million, bei zwei Strichen Billion u. s- w. dazu, so ist die Zahl richtig ausgesprochen- So z. B. wird 39'043'673'402 gelesen: neun und dreißig Tausend, drei und vierzig Millionen, sechs¬ hundert drei und siebenzig Tausend, vierhundert zwei. Man spreche folgende Zahlen aus: 7503000476321003, 122403210305001310, 50008760 , 700001 , U. s- w. 15 5. Hat man sich auf diese Art schon einige Fer¬ tigkeit im Aussprechen mehrziffriger Zahlen erworben, so gehe man noch einen Schritt weiter, indem man nämlich die Zahl nicht wirklich, sondern nur in Ge¬ danken in Klassen eintheilt, und auch nur in Gedanken mit den betreffenden Puncten und Strichen verstehet; was bei kleinern in der Ausübung gewöhnlich vorkom¬ menden Zahlen ohnehin sehr leicht ist. 15. Stufenfolge für das Anschreiben der Zahlen. I. Die ersten neun Zahlen werden angeschrie¬ ben, wenn man die ihnen entsprechende Ziffer hinseßt- 2- Werden bloß Zehner ausgesprochen, so schreibt man sie in die zweite Stelle, in die erste kommt die Nulle zu stehen. Die neun auf einander folgenden Zehner werden demnach durch 10, 20, 30, 40, 50, ÜO, 70, 80, Y0 bezeichnet. Wenn nebst den Zehnern auch Einheiten benannt werden, so schreibt man die Zehner in die zweite, die Einheiten aber in die erste Stelle. So z. B. wird fünf und vierzig durch 45, sieben und achtzig durch 87 ausgedrückt. Wer die Bedeutung der Zahlen eilf, zwölf, dreizehn, vierzehn, fünfzehn, sechszehn, siebenzehn, achtzehn, neunzehn vor Augen hat, wird sogleich einsehen, daß sie solgeweise mit den Zeichen I1, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 1Y angeschrieben werden müssen. 3. Wenn eine Zahl anzuschreiben ist, in welcher Hunderte genannt werden, so schreibt man diese in die dritte Stelle, die zweite und erste werden, wenn 16 man keine Zehner und Einheiten ausspricht, mit Nullen ausgefüllt. Man schreibt daher die auf einander fol¬ genden Hunderte so an: 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, Loo, 900. Kommen in der Zahl nebst den Hunderten auch Zehner, oder Ei nheiten, oder Zehner und Einheiten vor, so werden die Zehner an die Stelle der zweiten, und die Einheiten an die Stelle der ersten Nulle gesetzt. Es wird daher sechshundert dreißig durch 650, dreihundert sieben „ 307, hundert fünf und zwanzig „ 125, zweihundert dreizehn „ 213, ausgedrückt. Man übe sich recht fleißig in dem Anfchreiben von Zahlen, die aus Hunderten, Zehnern und Einheiten bestehen, weil sich darauf das Anfchreiben aller übri¬ gen gründet. 4. Um größere Zahlen, welche auch Tausende, Millionen, u. s. w. enthalten, zu bezeichnen, schreibe man, von der Linken angefangen, zuerst jene Zahl an, nach welcher das erste Mal der Beisatz Tausend, Million, . . . gehört wird. Die übrigen Zahlen müssen dann, wie man sie in Abtheilungen zu drei aus- spricht, eben so auch in Klassen zu drei Ziffern, nämlich als Hunderte, Zehner und Einheiten, ange¬ schrieben werden. Auf das Wort Million müssen noch zwei Klassen, auf Tausend eine folgen. Werden in einer Klasse nicht alle drei Ordnungen, d. i. Hun¬ derte, Zehner und Einheiten angegeben, so wird das Fehlende durch Nullen ergänzt. Wenn beim Ausspre¬ chen der Zahl eine ganze Klasse nicht vorkommt, so werden alle drei Stellen derselben mit Nullen aus¬ gefüllt. 17 Nach dieser Regel schreibt man neun und vierzig Tausend, vierhundert zwölf so an: 49412. Hier wurde zuerst die Zahl bis zum ersten Beisatze Tausend, nämlich 4y angeschrieben, und dann die folgende Klasse, als wenn sie für sich vorhanden wäre- Eilf Tausend, fünf Millionen, dreihundert vier und zwanzig wird angeschrieben: 11005000324. Hier wurde die Klasse der Taufende, welche nach den Millionen Vorkommen muß, nicht ausgesprochen, daher sind ihre drei Stellen mit Nullen besetzt worden; eben so kom¬ men an der Stelle der Hunderte und Zehner der Mil¬ lionen, welche mit Stillschweigen übergangen wurden, Nullen vor. 14. Ueberblick und Zusammenhang der ein- und zweiziffrigen Zahlen. Es ist für das ganze Rechnen höchst Vortheilhast, wenn man besonders die ein- und zweiziffrigen Zahlen leicht zu überblicken im Stande ist, und eine recht klare Einsicht in deren wechselseitigen Zusammenhang gewon¬ nen hat. 2 18 Hierzu wird folgende Tafel gute Dienste leisten. 10 20 30 40 50 60 70 80 SO Zn dieser Tafel erscheint jede ein- und zweiziffrige Zahl in ihrem eigenen Fache. Gleichwie nun bei einem Kasten um so schneller und sicherer das Fach, worin ein verlangter Gegenstand sich befindet, getroffen wird, je öfters und aufmerksamer man die einzelnen Fächer und deren Anordnung untersucht; eben so muß man auch, um die jedesmal in Frage stehende Zahl obiger Tafel sogleich und mit Leichtigkeit angeben zu können, mit jenem Zahlcnkasten sich recht vertraut machen, und ihn zu diesem Ende oft, von verschiedenen Seiten, und mit steter Rücksicht auf den Zusammenhang der einzelnen Zahlen anblickcn. Die Anleitung dazu wird in nach¬ stehenden Uebungen gegeben. 7 6 4 2 3 4 17 18 19 11 12 13 15 1« 14 29 27 28 23 2« 21 22 24 25 39 37 38 31 32 36 33 34 35 49 47 48 42 43 46 41 45 44 57 58 59 5 6 54 52 53 54 55 67 68 69 62 63 65 66 64 64 76 77 78 79 74 72 73 74 75 88 89 82 83 84 87 84 85 86 97 98 92 93 94 99 94 95 8! 9 3. Tabelle. 19 Wir wollen der Betrachtung jener Zahlentafel zuerst eine Uebersichtsweise abgewinnen, mittelst welcher sich für jede ein- oder zweizissrige Zahl sogleich der Maß angeben laßt, den sie in jener Tafel einnimmt. 1. Eine von der Linken gegen die Rechte gehende Reihe, als 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, Ist heißt eine Horizontalreihe. Wir wollen die ge¬ nannte Reihe die erste, die folgende, nämlich 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 2st die zweite u. s. w. Horizontalreihe nennen. Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, y sollen nicht als Horizontalreihe betrachtet werden; schon da¬ rum, weil sie keine vollkommene Reihe bilden, wie auch, weil .durch ihre Weglassung die Uebersicht des in den Reihen obwaltenden Gesetzes begünstiget wird. Ein einfacher Blick lehret, daß in allen Zahlen derselben Horizontalreihe dieselbe Zahl der Zehner ver¬ kommt, nämlich in der ersten Reihe ein Zehner, in der zweiten zwei, in der dritten drei, u. s. w., und daß je zwei auf einander folgende Zahlen um eine Einheit von einander verschieden sind. Man nenne nun die Zahlen der dritten, fünften, sechsten, neunten Horizontalreihe. Ebenso soll umgekehrt angegeben werden, in welcher Horizontalreihe die Zahlen 17, 38, 45, 77, 85 liegen. 2. Eine von oben nach unten gehende Reihe, als 1, 11, 21, 31, 41, 51, 6l, 71, 81, stt heißt eine Vertikal reihe. Wir wollen die genannte Reihe die erste, die nachfolgende 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 die zweite, u. s. w. Vertikalreihe nennen. Auch hier werden die Zahlen 10, 20, 30, 40, so, 60, 70, 80, 90 nicht als Vertikalreihe angesehen, 2 * 20 und zwar aus denselben Gründen, aus denen r, 2, 3,.. 8, 9 nicht als Hvrizontalrcihe betrachtet wurden. Man siehet sogleich, daß in allen Zahlen dersel¬ ben Vertikalreihe dieselbe Zahl der Einheiten vorkommt, nämlich in der ersten Reihe eine Einheit, in der zwei¬ ten zwei, in der dritten drei, u- s. w., und daß je zwei auf einander folgende Zahlen um einen Zehner von einander verschieden sind. Es sollen nun die Zahlen der dritten, vierten, siebenten, achten Vertikalreihe genannt werden. Umgekehrt bestimme man die entsprechende Verti¬ kalreihe von 27, 45, 83, 91. 3. Man verbinde diese zwei Uebungen indem man zuerst die Zahl angibt, welche in einer gegebenen Horizontal- und Vertikalreihe liegt; z. B. welche Zahl liegt in der 3ten Horizontal- und der 4ten Vertikal- rcihe? —Antwort: die Zahl 34. Die Horizontalreihe bestimmt die Zehner, die Vertikalreihe aber die Ein¬ heiten der gesuchten Zahl. Umgekehrt benenne man die Horizontal- und Ver¬ tikalreihe, in welcher eine gegebene Zahl sich befindet. Die Ziffer der Zehner bestimmt hier die Horizontal-, die Ziffer der Einheiten aber die Vertikalreihe, in welcher jene Zahl zu suchen ist. So liegt 75 in der 7ten Horizontal- und in der 5ten Vertikalreihe. Es sollen noch zu den Zahlen 19, 25, 49, 6l, 88 die entsprechende Horizontal- und Vertikalreihe genannt werden. Durch die hier augedeuteten Uebungen wird man in den Stand gesetzt, jeder gegebenen ein- oder zwei- ziffrigen Zahl sogleich in Gedanken ihre gehörige Stelle unter den übrigen Zahlen anzuweisen- 21 §. 15. Hebungen im Zählen der ein- und zweiziffrigcn Zahlen. Hier wird'zugleich der schicklichste Ort seyn, einige vorteilhafte Uebungen im Zählen vorzunehmen. 1. Man zähle in natürlicher Ordnung von i bis yc> vorwärts. 2. Man zähle in verkehrter Ordnung von 99 bis 1 rückwärts. 3. Man verbinde diese zwei Uebungen, indem man angibt, zwischen welchen Zahlen irgend eine genannte ein- oder zweiziffrige Zahl liege; z. B- 34 liegt zwi¬ schen 33 und 35- Zwischen welchen Zahlen liegt 19, 31, 59, 70? 4. Nun soll zwischen 1 und 99 vor- und rück¬ wärts so gezählt werden, daß man immer eine Zahl überspringt, also jede zweite Zahl ausspricht. Dadurch erhält man die Reihen 1, 3, 5, 7, 9, I I, 13, 15, . . . 99, 97, 95, 95, 9l, 89, 87, 85. . . . 5. Man übe sich ferner im Vor- und Rückwärts¬ zählen, wo nur jede dritte, vierte, . . . neunte Zahl ausgesprochen wird. Die Uebungen 4) und 5) geschehen zuerst an der obigen Zahlcntafel. Später zähle der Anfänger ohne der Zahlentafcl so, daß er die weggelassenen Zahlen nur leise, die verlangten aber laut ausspreche; endlich soll er die wegzulasscnden Zahlen gar nicht ausspre¬ chen, sondern nur in Gedanken überspringen. 6- Znsbesonders ist folgende Uebung sehr häufig vorzunehmen, und dahin zu arbeiten, daß die dabei erhaltenen Zahlenreihen dem Gedächtnisse so tief als möglich cingcprägt werden. 22 Zahl ausspricht, und bemerke zugleich für jede Reihe (Anfangs an den Fingern der Hände, später in Ge¬ danken), die wievielte Stelle jede Zahl in ihr einnimmt. So z. B- wird man durch das Zählen von 5 bis 50 die Reihe 5, io, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 erhalten, wo¬ rin 20 die 4te, 35 die 7te, 45 die yte Stelle einnimmt. Die Ergebnisse dieser sehr wichtigen Hebung ent¬ hält folgende Tabelle. 4. Tabelle. 25 Die einzelnen Reihen der genannten Uebung kom¬ men hier von der Linken gegen die Rechte, somit als Horizontalreihen vor. Wenn man dann von einer be¬ liebigen Zahl nach aufwärts gehet, so zeigt die zu vberst stehende Ziffer an, an der wievielten Stelle ihrer Reihe jene Zahl vorkommt. So z. B. enthält die letzte Horizontalreihe die Zahlen, welche durch das Zählen von y bis 90 zum Vorschein kommen; um zu sehen, die wievielte Zahl dieser Reihe 63 ist, fahre man von 63 in gerader Richtung nach aufwärts, bis man auf die oberste Ziffer 7 kommt, welche anzeigt, daß 63 die 7te Zahl jener Reihe ist. Wir werden auf diese Tabelle, welche unter dem Namen des Pythagorischen Rech en tisch es be¬ kannt ist, später wieder zurückkommen. 16. Runde Zahlen und Ergänzungen zu denselben. Die Zahlen io, 20, 30, . . . 80, 90, so wie überhaupt alle Zahlen, welche in der Stelle der Ein¬ heiten eine Nulle haben, heißen runde Zahlen. Man übe sich zu jeder genannten Zahl sogleich die nächst folgende runde Zahl anzugeben; z. B. zu 43 ist 50, zu 76 ist 80, zu 81 ist 90 die nächst höhere runde Zahl. Die Einheiten, welche irgend einer Zahl bis zur nächsten runden Zahl fehlen, wollen wir die Ergän¬ zung derselben nennen. Man sieht sogleich aus der oben ausgestellten Zahlentafel, daß zu 1 noch 9 Ein¬ heiten bis zur nächsten runden Zahl ro fehlen; 9 ist also die Ergänzung von 1. 24 ist- Es ist von großer Wichtigkeit, für jede willkühr- liche Zahl sogleich die Ergänzung angeben zu können. Ein einfacher Blick auf die Zahlentafel genüget, um sich zu überzeugen, daß alle Zahlen einer Vertikal¬ reihe dieselbe Ergänzung haben, weil allen gleich viele Einheiten bis zur nächsten runden Zahl fehlen. So ist z. B. 7 nicht nur die Ergänzung von I, sondern auch von den übrigen Zahlen der 3ten Vertikalreihe, nämlich 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, Y3, weil man auch zu diesen Zahlen 7 Einheiten dazu zahlen muß, um folgenweise auf die nächsten runden Zahlen, nämlich 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, yo, 100 zu kommen. Jede beliebige Zahl hat also dieselbe Ergänzung als ihre erste Ziffer zur Rechten, so daß man aus den Ergänzungen der neun ersten Zahlen auch jene aller übrigen Zahlen angeben kann. So z. B. hat 47 dieselbe Ergänzung als ihre erste Ziffer zur Rechten 7, nämlich die Ergänzung 3; wirklich ist 47 und 3 gleich 50. Welche sind die Ergänzungen folgender Zahlen? 12, 33, 38, 73, 7 st, 88, Y2, U. s- w. 25 Zweites Hauptstück. Benannte Zahlen und ihr Zusammenhang. §. 17. Ein- und rnehrnamkge Zahlen. Wie bei unbenannten Zahlen, wird auch bei be¬ nannten das Auffassen und Zählen dadurch erleichtert, daß man mehrere niedrigere Einheiten in eine nächst höhere Einheit zusammenfaßt. Man pflegt nämlich, wenn beim Zählen bestimmter Dinge eine Einheit zu Grunde ge¬ legt wird, irgend eine Anzahl jener Einheiten als eine höhere Einheit zu betrachten, und mit einem besondern Namen zu bezeichnen; eine gewisse Anzahl dieser neuen Einheiten kann wieder als nächsthöhere Einheit ange¬ nommen und eigenthiimlich benannt werden. So nimmt man beim Gelde z. B. den Pfennig als die niedrigste Einheit an, 4 Pfennige zusammen betrachtet man als eine höhere Einheit, und nennet sie einen Kreuzer; 60 Kreuzer machen wieder eine nächst höhere Einheit aus, welche den Namen Gulden erhält. Wenn bei Dingen derselben Art verschiedene Ein¬ heiten angenommen werden, so heißen die größer» Ein¬ heiten von höherer Benennung, und die klei¬ nern Einheiten von niedrigerer Benennung. Diejenige Zahl, welche anzeigt, wie viele Einhei¬ ten der niedrigem Benennung eine Einheit der höhern Benennung ausmaihen, heißt der Verwandler zwi¬ schen jenen Benennungen. So ist zwischen Pfennigen und Kreuzern 4, zwischen Kreuzern und Gulden 60 dec Verwandler. Eine benannte Zahl, welche nur einen Namen führt, heißt ein namig, z. B- 5 Gulden, 27 Pfunde. 26 Eine benannte Zahl, deren Bestandthcile ver¬ schiedene Namen haben, heißt eine mehrnamige Zahl. 4 Gulden 25 Kreuzer ist eine mehrnamige Zahl; eben so 17 Pfunde 28 Loth. Die Aehnlichkeit und der Unterschied zwischen mehrziffrigen und mehrnamige» Zahlen leuchtet von selbst hervor. Beide sind aus verschiedenen Einheiten zusammengesetzt, von denen mehrere niedrigere eine höhere ausmachen. Was bei einer mehrziffrigen Zahl Einheiten von verschiedener Ordnung sind, sind bei einer mehrnamigen Zahl Einheiten von verschiedener Benennung. Der Unterschied bestehet nur darin, daß dort je zwei unmittelbar aus einander folgende Ord¬ nungen von Zahleneinheiten denselben Verwandler ha¬ ben, nämlich die Grundzahl io; hier sind die Ver¬ wandler sehr verschieden, und theils durch herkömmliche Gewohnheit, theils durch das Gesetz bestimmt. §- 18. Zusammenstellung der vorzüglichsten Verwandler. Da bei Rechnungen mit mehrnamigen Zahlen die Kenntniß der Verwandler zwischen den verschiedenen Einheiten derselben Art unentbehrlich ist, so soll hier das Vorzüglichste darüber angeführt werden. Alle Dinge, die wir uns vorstellen, und die wir daher der Rechnung unterziehen können, kommen in der Zeit oder im Raume vor; daher müssen sich auch alle im Rechnen angenommenen Einheiten auf die Be¬ stimmung der Zeit oder des Raumes beziehen. 27 i. Bestimmung der Zeit. Die Zeit wird nach Jahren, Monaten, Tagen U- s. w. und zwar nach folgender Tafel berechnet: 1 Jahr hat 12 Monate, 1 Monat „ so Tage (in der Rechnung) 1 Tag „ 24 Stunden, 1 Stunde „ 60 Minuten, 1 Minute „ 60 Sekunden- In der Rechnung wird zwar gewöhnlich der Mo¬ nat zu 30 Tagen, und somit das Jahr zu 12 mal 30 d. i. 360 Lagen angenommen; in der Wirklichkeit aber hat ein gemeines Jahr 365, ein Schaltjahr 366 Tage; eben so haben die Monate eine ungleiche Anzahl Lage, und zwar: Räumliche Dinge, welche ein Gegenstand des Verkehres unter Len Menschen sind, werden Waren genannt. Das gewöhnliche Eintauschungsmittcl von Waren ist das Geld. Die Waren selbst aber werden ent¬ weder gewogen, gemessen oder gezählt. Bei der Bestimmung räumlicher Dinge muß man also auf Münzen, Gewichte, Maße und zähl¬ bare Dinge Rücksicht nehmen- 28 Hier werden nur die in den österreichischen Kaiser- staaten üblichen Rechnungs-Münzen, Gewichte u. s- w. angeführt. 1. M ü n z e n. Für die Rechnung merke man: i Gulden (fl.) gilt 6o Kreuzer (Kr.) 1 Kreuzer „ 4 Pfennige (dl.) Im Lombardisch-Venetianischen Königreiche rech¬ net man nach Lire und Centesimi, und zwar: 1 Lira hat 100 Centesimi. Der kaiserliche Dukaten wird zu 4 fl. 30 Kr-, oder 270 Kr- gerechnet. 2. Gewichte. Die meisten Waren werden nach dem Han¬ delsgewichte gewogen. Nach diesem gilt 1 Centner (Ctr.) . . . 100 Pfunde (^ftz), 1 Pfund 32 Loth (Lth.), 1 Loth 4 Quentchen (Qtch.) 3. Maß e. a. Längenmaß. Größere Längen werden nach Meilen, kleinere nach Klaftern (»), Schuh ('), Zoll ("), Linien (/") bestimmt, und zwar nach diesem Verhältnisse: 1 Meile enthält 4000 Klafter, 1 Klafter „ 6 Schuh, 1 Schuh „ 12 Zoll, 1 Zoll „ 12 Linien. d. Flächenmaß. Die Flächen, als Länder, Wiesen, Gärten u- dgl. mißt man mit Vierecken, welche gleich große und gegen 29 einander gleich geneigte Seiten haben (fH) und -Qua¬ drate heißen. Je nachdem eine jede Seite eines solchen -Quadrates eine Meile, eine Klafter, ein Schuh, ... ist, wird es eine Quadratmeile, eine Quadratklafter, ein Quadratfchuh, . . . genannt, zwischen welchen fol¬ gende Eintheilung bestehet: i Quadratmeile (lH Meile) hat 16000000Quadrat¬ klafter (L^°), 1 Quadratklaftcr hat 36 Quadratschuh (LH'), 1 Quadratschuh „ 144 Quadratzoll (LÜ"), 1 Quadratzoll „ 144 Quadratlinien (üj'"), Ein Joch hat 1600 Quadratklafter. c. Körpermaß. Die Größe der Körper wird im Allgemeinen durch einen Würfel oder Kubus gemessen, welcher eine Kubikmeile, eine Kubikklafter, ein Kubikfchnh, . . . genannt wird, je nachdem eine Seite desselben eine Meile, eine Klafter, einen Schuh, ... beträgt. Die Verwandler erstehet man aus Folgendem: 1 Kubikmeile hat 64000000000 Kubikklaster, 1 Kubikklafter „ 216 Kubikschuh, 1 Kubikfchnh „ 1728 Kubikzoll, 1 Kubikzoll „ 172« Kubiklinien. Zum Körpermaße gehöret auch das sogenannte Hohlmaß, womit das Getreide und die Flüßigkeiten gemessen werden- Die Eintheilung des Getreidemaßes stellt fol¬ gende Tafel dar: 1 Muth hat 30 Meßen, 1 Meßen „ 8 Achtel, 1 Achtel „ 4 große Maßet 1 großes Maße! „ 2 kleine Maßel 1 kleines Maßel „ 2 Becher. 30 Fläßigkeiten, als Wein, Bier, ... werden nach Faß, Eimer, Maß, u- s. w. gemessen, und zwar: i Eimer hat 40 Maß, 1 Maß „ 4 Seidel, 1 Seidel „ 2 Pfiffe. Beim Weine enthält das Faß 10, beim Bier 2 Eimer. 4. Zählbare Dinge. 1 Schock enthält 60 Stück 1 Schilling „ 30 „ 1 Mandel „ 15 „ 1 Dutzend „ 12 „ Ein Bund Federn sind 25 „ 1 Ballen Papier hat 10 Rieß. 1 Rieß „ 20 Buch. 1 Buch Schreibpapier „ 24 Bogen. „ Druckpapier „ 25 „ Zweiter Abschnitt. Von den vier Haupt - Rechnungsarten mit unbenannten und einnamigen Zahlen. §. 19. Haupt - Rechnungsarten. Rechnen heißt, aus bekannten Zahlen unbekannte finden. Dieses geschieht durch Zusammensetzung oder Trennung, durch Vervielfältigung oder Theilung der bekannten Zahlen, daher es vier Haupt- Rechnungsarten gibt, nämlich: die Addition, Sub- traction, Multiplikation und Division- Erstes Hauptstück. Addition. §. 20. Erkläruugen und Zeichen. A d d ir e n heißt, gegebene Zahlen zusammcnzählcn. Die gegebenen Zahlen heißen P o st e n oder Addenden; 52 und die Zahl, welche beim Addiren herauskommt, die Summe. Die Summe zeigt also an, wie viel die Addenden zusammengenommen ausmachen. Z. B- 2 und 1 ist 5; hier sind r und 1 die Posten , 3 ist ihre Summe- Das Zeichen der Addition ist. ein aufrechtstehendes Kreuz, nämlich -Z- (mehr), welches anzeigt, daß die Zahlen, zwischen denen es stehet, addirt werden sollen. Noch merke man hier das Gleichheitszeichen — (gleich), welches anzeigt, daß die Zahlen oder Zahlcnverbindun- gen, zwischen denen es stehet, einander gleich sind. So wird 2 -i- 1 — Z gelesen: 2 mehr 1 ist gleich 3, oder: 2 und 1 ist 3. 21. Vorläufige Uebungen für das Addiren. Bei Ausführung dieser Rechnungsart wird vor¬ ausgesetzt, daß man zu jeder ein- oder zweiziffrigen Zahl eine einziffrige geläufig zu addiren wisse. Diese Fertigkeit wird man durch folgende Uebungen erlangen. I. Wenn zwei einziffrige Zahlen addirt werden sollen, so sind drei Fälle wohl zu unterschei¬ den : entweder ist die zweite Zahl kleiner als die Er¬ gänzung der ersten, oder ist sie dieser Ergänzung gleich, oder ist sie größer. 1. Ist die zweite Zahl kleiner als die Ergänzung der ersten, so muß die Summe klei¬ ner als 10 sevn, weil die zweite Zahl nicht so viele Einheiten enthält, als der ersten bis 10 fehlen. Die Uebungen über das Zufammenzahlen solcher einziffrigen Zahlen sind schon § s vorgenommen wor¬ den ; daher man hier nur die dort aufgestellte Tabelle recht gut zu wiederholen hat. - WM 35 2. Ist die zweite Zahl die Ergänzung der ersten, so erhält man 10 zur Summe, weil die Ergän¬ zung eben so viele Einheiten enthält, als der andern Zahl bis io fehlen. Man hat also : 5. Tabelle. 1 und » ist 10 3 „ 8 „ 10 3 v 7 ,, 10 4 UNd 6 ist 10 5 v 5 „ 10 6 „ 4 „ 10 7 UNd 3 ist 10 8 „ 2 40 S „ 1 10 8. Ist die zweite Zahl größer als die Ergänzung der ersten, so muß ihre Summe größer als io seyn, weil die zweite Zahl mehr Einheiten ent¬ hält, als der ersten bis io fehlen. Man findet hier am leichtesten die Summe, wenn man von der zweiten Zahl zuerst so viel wegnimmt, und zu der ersten ad- dirt, als dieser bis io fehlt, d. i. ihre Ergänzung; und zu dieser Summe io noch das hinzuzählt, was von der zweiten Zahl übriggeblieben ist. Hier muß da¬ her die 2. Tabelle ins Gedächniß zurückgerufen werden. Es seyen z. V. 8 und 7 zu addiren. Ich nehme von 7 zuerst 2 (Ergänzung von 8) weg, welche zu 8 addirt 10 geben, und dazu setze ich noch das von 7 Uebriggebliebene, nämlich 5, wodurch ich 15 bekomme. Daß auf diese Art die wahre Summe erhalten wird, erhellet sogleich, wenn man bedenkt, daß es gleichviel ist, ob man zu 8 auf einmal 7 addirt, oder zuerst 2 und dann 5 dazuzählt; nur ist letzteres leichter. Auf die hier angegebene Weise kann man von selbst nachstehende Tabelle entwickeln. 6. L a b e l l e. 34 §. 22. Fortsetzung. II. Durch die vorhergehenden Hebungen wird man in den Stand gesetzt, auch zu jeder zwei- ziffrigen Zahl eine einziffrige zu addiren^ Auch hier sind drei Fälle zu unterscheiden. 1. Wenn die einziffrige Zahl kleiner ist als die Ergänzung der andern, so wird sie zu den Einheiten derselben addirt, während die Zehner ungeändert bleiben. Z- B. 13 und 4 ist 17, 22 „ 6 „ 28, 51 ,, 2 ,, 53« 2. Ist die einziffrige Zahl die Ergän¬ zung der zweiziffrigcn, so erhält man die nächst höhere runde Zahl zur Summe. Z. B- 12 und 8 ist 20, 35 „ 5 „ 40, 87 ,, 3 ,, l)0. 55 3. Wenn endlich die einziffrige Zahl größer ist als die Ergänzung der andern, so wird die Summe größer seyn als die nächstfolgende runde Zahl, und zwar um eben so viel, als die ein¬ ziffrige Zahl größer ist als die Ergänzung der andern. Man addire daher zu der zweiziffrigen Zahl ihre Er¬ gänzung, wodurch die nächst höhere runde Zahl zum Vorschein kommt, und setze zu dieser noch die Einhei¬ ten, welche von der einziffrigen übrigbleiben, nachdem man jene Ergänzung weggenommen hat. Es seyen z. B. 4» und 5 zu addire». Man setze zu 48 zuerst die Ergänzung 2, wodurch man 50 er¬ hält; es bleibt sodann von 5 noch 3 übrig, daher wird man zu 50 noch 3 hinzuzählen; die Summe wird also 53 seyn, Eben so findet man 14 und 8 ist 22, 59 „ ? „ 66, 85 „ 8 „ Y3. Zu den angeführten Vorübungen ist noch hinzu zu fügen: Wenn ein Addend 0 ist, so muß die Summe dem andern Addende gleich seyn, z. B. 4 und o ist 4, 19 o „19, O ,, 8 ,, 8- Die Nullen werden daher beim Addiren über¬ sprungen. 25. Entwicklung der allgemeinen Regeln für das Addiren. Die Summe zweier oder mehrerer Zahlen muß, wenn sie richtig ist, so viele Einheiten, Zehner, Hun¬ derte, u. s. w. enthalten, als ihrer in den Addenden 5 * 36 zusammengenommcn Vorkommen. Man wird also sicher die wahre Summe finden, wenn man in allen Adden¬ den die Einheiten einer jeden Ordnung einzeln addirt, und sodann diese einzelnen Summen, deren jede Ein¬ heiten von der addirten Ordnung bedeutet, in eine Zahl zusammenziehet. Um leicht jedesmal Einheiten dersel¬ ben Ordnung zusammenzuzählen, ist es am zweckmäßig¬ sten , wenn man die Posten gleich beim Anschreiben so stellt, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner u. s. w. zu stehen kommen- Enthält irgend eine Snmme mehr als neun Ein¬ heiten, d. h. ist sie zweiziffrig; so bedeutet die Ziffer der Einheiten, Einheiten der addirten, die Ziffer der Zehner aber Einheiten der nächst Hähern Ordnung, welche dann auch zu solchen gezählt werden müssen. Weil auf diese Art die Summe der niedriger» Einheiten, wenn sie zweiziffrig ist, mittelst ihrer Zehner auf die Summe der nächst höher» Einheiten ein wirkt, so daß man die letztere erst dann genau angeben kann, wenn schon die erstere bestimmt wnrde; so ist es ganz natürlich, daß man mit der Addition der niedrigsten Ord¬ nung d. i. der Einheiten den Anfang machen, und dann immer zu der nächst höhern Ordnung hinaufsteigen müsse. 24. Fortsetzung. Beim Addiren der Zahlen sind daher folgende Regeln zu beobachten: i. Man schreibe die Posten so unter einander, das Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner, u. s. w. überhaupt Einheiten derselben Ordnung unter einander zu stehen kommen, und ziehe darunter einen Querstrich. 37 2. Man addire zuerst die Einheiten, dann die Zehner, Hunderte u. s. w. und schreibe die jedesma¬ lige Summe unter die addirten Ziffern. 3. Ist eine Summe zwciziffrig, so sehe man nur die Einheiten unter dieselbe Stelle, die Zehner aber werden zu der nächstfolgenden Stelle gezählt. Die letzte Summe wird ganz augeschrieben. Beispiele. r. Man addire die Zahlen 752t, 252, 1214. Man setzt 7521 252 1214 8y87 Dabei spricht man: 4 und 2 ist 6, und i ist 7; 1 und 5 ist 6, und 2 ist 8; 2 und 2 ist 4, und 5 ist y; 1 und 7 ist 8- 2. EH sollen die Zahlen 3085, I2l)7, 706 addirt werden- Die Rechnung stehet 3085 12Y7 706 5088 Man sagt hier: 6 und 7 ist 13, und 5 ist 18, 8 ungeschrieben, bleibt 1; 1 und y ist io, und 8 ist 18, 8 angeschrieben, bleibt 1; 1 und 7 ist 8, und 2 ist 10, 0 augeschrieben, bleibt 1; 1 und 1 ist 2, und 3 ist 5. Wenn man schon geläufig zu addiren weiß, läßt man während des Addirens das Wörtchen und, so wie die einzelnen Posten weg, und spricht sogleich nur 58 die jedesmalige Summe aus. So würde man im 2. Beispiele sprechen: 6, 13, 18; r, 10, 18; 1,8, 10; i, 2, 5. §. 25. Probe für die Richtigkeit der Addition. Um die Richtigkeit der Summe zu prüfen, ist es wohl am rathsamsten, wenn man die Addition noch einmal wiederholt, so jedoch, daß man das zweite Mal von oben hinunter addire, wenn man das erste Mal von unten hinauf addirt hat, und umgekehrt- Erhält man nun jedesmal dieselbe Summe, so kann man mei- stentheils über die Richtigkeit der Summe beruhiget scyn, da wegen der veränderten Reihenfolge der Zahlen nicht leicht in beiden Fällen derselbe Fehler möglich ist. 26. Anwendung der Addition. Die Addition wird, wie schon aus ihrem Begriffe folgt, überhaupt angewendet, wenn man erfahren will, wie viel mehrere Zahlen zufammengenommen ausmachen. Besonders häufig kommt die Anwendung dieser Rechnungsart in folgenden Fällen vor: 1. Beim Zusammenzählcn der Einnahmen und Ausgaben. Beispiel 1. Jemand nimmt in einem halben Jahre folgendes Geld ein: den ersten Monat 225 fl-, den zweiten iy4fl-, den dritten 170 fl., den vierten 209 fl., den fünften 310 fl., den sechsten 98 fl.; wie viel nahm er zusammen ein? — Antwort: 1206 fl. 59 Beispiel 2. Jemand gibt felgende Summen aus: an 1580 fl., an L 792 fl., an 6 «350 fl.; wie viel hat er im Ganzen herausgegeben? — Antwort: 4722 fl. 2. Bei der Bestimmung der Menge gekaufter, verkaufter oder vorräthiger Waren- Beispiel i. Ein Backer kauft in dem ersten Mo¬ nate 25, in dem zweiten 2y, in dem dritten 28 Metzen Mehl; wie viel Mehl hat ec überhaupt gekauft? — Antwort: 82 Meßen. Beispiel 2. Ein Eisenhändler verkauft nach und nach Folgendes an Eifenwaren: 37 Etr-, 12 Etr-, 25 Etr-, 57 Etr.; wie viel hat er zusammen ver¬ kauft? — Antwort: 131 Etr. Beispiel 3. Ein Kaufmann hat an Leinwand noch Vorräthig in seinem Gewölbe 25 Stück, auf der Bleiche 45 Stück, dazu kauft er noch 18 Stück; wie groß wird jetzt fein ganzer Vorrath seyn? — Antwort 88 Stuck. 3. Um aus dem Einkaufspreise einer Ware, und dem Gewinne, den man beim Verkaufen machen will, den Verkaufspreis zu berechnen. Beispiel? Jemand kauft mehrere Centner Zucker, das Pfund zu 19 kr.; wie theuer wird er das Pfund verkaufen, damit er bei jedem Pfunde 5 kr. gewinne? — Antwort: zu 24 kr. 4. Bei der Berechnung des gesammten Ver-. mögens oder der gesammten Schuld aus den ein¬ zelnen Posten- Beispiel 1- Jemand besitzt am barem Gelde458o fl-, an Kapitalien 8785 fl., und an liegenden Gründen 5084 fl.; wie groß ist sein ganzes Vermögen? — Antwort: 18449 fl. 40 Beispiel 2. Jemand schuldet an 584 fl., an L 1205 fl., an 0 750 fl-, und an O 1081 fl.; wie viel ist er Allen zusammen schuldig? — Antwort: 3620 fl. 5- Bei der Zeitrechnung, wenn aus dem An¬ fänge und der Dauer eines Ereignisses dessen Ende ge¬ sucht wird; hier wird die Dauer zu der Zeit des An¬ fanges dazu addirt. Beispiel: Maria Theresia war im Jahre 1717 geboren, und lebte 6.5 Jahre; in welchem Jahre starb diese große Fürstin? — Antwort im Jahre 1780. Zweites Hauptstück. S ub traetion 27. Erklärungen und Zeichen. Subtrahiren oder abziehen heißt eine Zahl von einer andern wegnehmen. Die Zahl, von welcher abgezogen wird, heißt der Minuendus; die Zahl, welche abgezogen wird, der Subtrahend ns; und die Zahl welche beim Subtra¬ hiren hcrauskommt, der Rest. Der Rest zeigt also an, um wie viel der Minuendus großer ist als der Subtrahendus; darum wird er auch der Unterschied oder die Differenz genannt- Z. B- 2 von 3 bleibt 1; hier ist 3 der Minu¬ endus, 2 der Subtrahendus, und 1 der Rest, Unter¬ schied oder die Differenz. Das Zeichen der Snbtraction ist ein liegender Strich, nämlich — (weniger), und zeigt an, daß die Zahl hinter dem Striche von der Zahl vor dem Striche 41 abgezogen werden soll. 3 — 2 — i wird gelesen: 3 weniger 2 ist gleich 1. §. 28. Doppelte Art des Subtrahireus. Am den Unterschied zweier Zahlen zu erhalten, wird man entweder die kleinere von der größern weg- nehmen, und angeben wie viel noch übrigbleibt; oder man wird suchen, wie viel zu der kleinern Zahl hinzu- geseßt werden müsse, um die größere zu erhalten. In beiden Fällen erhält man einerlei Zahl. Es sey z. B. der Unterschied zwischen 8 und 3 zu bestimmen; entweder nehme ich 3 von 8 weg, wo mir sodann noch 5 bleibt; oder ich suche, wie viel noch zu 3 hinzukommen müsse, um 8 zu erhalten, und finde wieder 5- Auf beide Arten kommt also 5 als Unterschied heraus. Diesem zu Folge kann das Subtrahiren auf eine doppelte Art verrichtet werden: entweder durch das wirkliche Weg nehm en des Snbtrahendns vom Mi- nuendus, oder durch Auffindung einer Zahl, welche zum Subtrahcndus hinzu gesetzt den Minuendus gibt. 29. Vorübungen für das Subtrahiren mittelst des Wegnehmens. Beim Subtrahiren mittelst des Wegnehmens wird vorausgesetzt, daß man geläufig abzuziehen wisse, wenn der Snbtrahendns einziffrig, und der Rest nicht größer als 9 ist. In Beziehung des Minuendus sind hier drei Falle möglich : der Minuendus ist nämlich auch eine ein- «Mrige Zahl, oder 10 selbst, oder größer als 10, je- 42 doch nicht um so viele Einheiten, als ihrer der Sub¬ trahend enthält. 1. Die Ucbungen über das Wegnehmen einer cinziffrigen Zahl von einer andern einziffrigen sind schon §. 6 vorgenommen worden; daher man hier nur die dort entwickelte Tabelle recht gut zu wiederholen hat. 2. Eine einziffrige Zahl von io wegge¬ nommen laßt ihre Ergänzung zurück. Daraus folgt 7. Tabelle. 5. Wird eine einziffrige Zahl von einer zweiziffrigen, welche um einige Einheiten größer als io ist, weggcnommen, so bleibt einmal bis io die Ergänzung der ersten Zahl, und von io bis zur zweiten Zahl bleiben noch die Einheiten dieser letzter». Man denke sich daher zuerst die Ergänzung der ersten Zahl, und zähle dazu die Einheiten der zweiten, so hat man den gesuchten Rest. Es sey z. B. 8 von 14 abzuzichen. 8 von 10 bleibt 2, und 10 von 14 bleibt 4; 8 von 14 bleibt daher 2 und 4 d. i. 6. Der Rest ist also 2 d. i. die Ergänzung der ersten Zahl, vermehrt um 4 d. i. die Einheiten der zweiten Zahl. Auf diese Weise wird man von selbst folgende Tabelle entwickeln können, welche recht gut dem Ge- dächnisse eingeprägt werden soll. 43 «. Tabelle. Zu diesen Vorübungen sind noch folgende zwei Sätze zu bemerken, deren Wahrheit von selbst einleuch¬ tend ist: Wenn man von einer Zahl o (nichts) wegnimmt, so erscheint die Zahl selbst als Rest; z. B. o von 7 bleibt 7. Wenn man eine Zahl von sich selbst wegnimmt, so bleibt o zum Reste; z. B- 7 von 7 bleibt o. §. 50. Entwicklung der Regeln für das Subtrahiren mittelst des Wegnehmens. Da nur Einheiten derselben Ordnung unmittelbar von einander weggenommen werden können, so wird man, um den wahren Rest zweier Zahlen zu erhalten, am sichersten verfahren, wenn man die Einheiten jeder Ord¬ nung im Subtrahendus von den Einheiten derselben Ord¬ nung im Minuendus einzeln abziehet, und dann diese 44 einzelnen Reste, deren jeder Einheiten von der subtra- hirten Ordnung bedeutet, in eine Zahl zusammenziehct. Um leicht jedesmal Einheiten derselben Ordnung von einander wegzunchmen, ist es am zweckmäßigsten, wenn man gleich beim Anschreibcn den Subtrahendus so unter den Minuendus setzt, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner u- s. w. zu stehen kommen. Wenn eine Ziffer des Subtrahendus größer ist als die darüberstehende des Minuendus, so kann die Sub- traction nicht unmittelbar geschehen; man borge aber von der nächst höhern Ordnung im Minuendus eine Einheit, welche 10 Einheiten der zu subtrahircnden Ordnung gibt. Die Ziffer, von welcher man abziehen soll, wird daher um 10 Einheiten vermehrt, und dann davon die darunter stehende Ziffer des Subtrahendus abgezogen. Zum Zeichen, daß die Ziffer im Minuen¬ dus, von welcher man geborgt hat, um i weniger gilt, bemerkt man sie mit einem lpuncte. Wenn eine Ziffer des Subtrahendus größer ist als die darüber stehende des Minuendus, und wenn in den nächst höhern Stellen des letztem eine oder mehrere Nullen vorkommen, so kann man natürlich von diesen keine Einheit borgen. In diesem Falle übergehe man alle Nullen und borge von der nächsten bedeutlichen Ziffer eine Einheit; diese gibt 10 Einheiten von der Ordnung der nächst vorhergehenden Nulle, eine davon geborgt bleiben an der Stelle dieser Nulle noch y Ein¬ heiten; die geborgte Einheit gibt wieder 10 Einheiten von der Ordnung der vorhergehenden Nulle, und eine davon geborgt bleiben wieder an dieser Stelle noch y Einheiten u. s w. Zu jener Ziffer endlich, von wel¬ cher man abziehen soll, werden io Einheiten addirt, und davon wird die darunter stehende Ziffer des Sub¬ trahendus subtrahirt. Sowohl die bcdeutliche Ziffer, 45 von welcher man geborgt hat, als auch die übersprun¬ genen Nullen werden mit Puucten bemerkt, zum Zei¬ chen, daß die bedeutende Ziffer um i weniger gilt, die Nullen aber sämmtlich y bedeuten- Weil auf diese Art das Abziehen der niedrigem Einheiten mittelst des Borgens die Hähern Einheiten des Minuendus ändert, so daß der Nest in den Ein¬ heiten irgend einer Ordnung erst dann genau angegeben werden kann, wenn schon der Rest in der nächst niedri¬ gem Ordnung bestimmt wurde; so ist es ganz natürlich, daß man mit der Subtraction der niedrigsten Ordnung d. i. der Einheiten den Anfang machen, und dann immer zu der nächst Hähern Ordnung hinaufsteigen müsse. §. ZI. Fortsetzung. Beim Subtrahiren zweier Zahlen mittelst des Wegnehmens sind daher folgende Regeln zu beobachten: 1. Mau schreibe den Subtrahendus so unter den Minuendus, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner u. s- w., überhaupt Einheiten derselben Ordnung unter einander zu stehen kommen, und ziehe darunter einen Querstrich. 2. Man subtrahire zuerst die Einheiten, dann die Zehner, Hunderte u- s. w-, und schreibe den Rest jedesmal unter die subtrahirten Ziffern. 3. Ist eine Ziffer des Subtrahendus größer als die darüber stehende des Minuendus, so borge man eine Einheit von der nächst Hähern Ziffer, oder wenn sie eine Nulle ist, von der ersten bedeutlichen Ziffer im Minuendus, bemerke diese Ziffer so wie die etwa über¬ sprungenen Nullen mit einem Puncte, und vermehre die Ziffer, von welcher man abziehm soll, um io 46 Einheiten. Eine bedeutende Ziffer mit dem Puncte gilt um i weniger, eine Nulle mit dem Puncte aber bedeutet y. Beispiele. 1. Es soll die Zahl 2375 von 74Y8 abgezo¬ gen werden. Die Rechnung stehet 7äy8 2375 5123 Man spricht dabei: 5 von 8 bleibt 3; 7 von y bleibt 2; 3 von 4 bleibt 1; 2 von 7 bleibt 5. 2. Es sey 183305 von 230165 zu subtrahiren. Man schreibe 2'3'0'165 1 8 3 305 4 6 860 Hier sagt man: 5 von 5 bleibt 0; 0 von 6 bleibt 6; 3 von 11 bleibt 8; 3 von 9 bleibt 6; 8 von 12 bleibt 4; 1 von 1 bleibt 0. Die letzte Nulle zur Linken wird, da sie nichts bedeutet, und auch deu Werth der übrigen Stellen nicht ändert, weggelassen. 52. Vorübungen für das Subtrahiren mittelst des Hinzusetzens. Bei dieser Art des Subtrahirens wird vorausge¬ setzt, daß man sogleich anzugebcn wisse, wie viel zu jeder einziffrigen Zahl addirt werden muß, um entwe¬ der eine andere einziffrige, oder 10, oder eine Zahl 47 zu erhalten, welche um einige Einheiten größer ist als 10, jedoch nicht um so viele, als ihrer die einziffrige Zahl enthält. 1. Die Bestimmung der Zahl, welche zu jeder einziffrigen Zahl addirt werden muß, um eine größere ebenfalls einziffrige zu erhalten, ist bereits nach der Anleitung des §. 7 eingeübt worden. 2. Die Zahl, welche zu einer einziffrigen Zahl addirt werden muß, damit io herauskommt, ist immer deren Ergänzung; wie schon aus der Erklä¬ rung der Ergänzung hervorgchet. So z. B- muß zu 7 die Ergänzung 3 addirt werden, damit io heraus kommt. 3. Um zu bestimmen, wie viel zu einer ein¬ ziffrigen Zahl addirt werden muß, um eine zwei- ziffrige zu erhalten, in welcher nebst einem Zehner auch noch Einheiten vorkommen, untersuche man zuerst, wie viel jener Zahl bis io fehlt, und dann wie viel noch von io bis zur zweiten Zahl abgehet. Das erste wird durch die Ergänzung der einziffrigen, das andere durch die Einheiten der zweiziffrigen Zahl angezeigt; man braucht also nur jene Ergänzung und diese Ein¬ heiten zu addiren, und man hat die gesuchte Zahl. Z. B. Wollte man finden, wie viel zu 8 addirt werden muß, um 15 zu erhalten, so weiß man: von 8 bis io fehlt 2, von io bis 15 aber 5; also fehlt von 8 bis 15 die Zahl 7 d. i. die Summe aus der Ergänzung 2 der einziffrigen, und den Einheiten 5 der zweiziffrigen Zahl. Die Tabellen, auf welche man im 2. und 3. Falle dieser Vorübungen geführt wird, stimmen vollkommen mit der bei der Addition entwickelten 5. und 6. Tabelle überein; nur wird hier immer die nach dem Wörtchen und stehende Zahl gesucht. 48 Bei diesen Vorübungen sind noch zwei Süße zu bemerken, die sich von selbst ergeben: Zu o muß, um irgend eine Zahl zu erhalten, immer diese Zahl selbst addirt werden. Z. L. o und ? ist 4; hier ist 4 die gesuchte Zahl. Wenn die Zahl, welche man erhalten will, so groß ist als diejenige, zu der man zu addiren hat, so braucht man natürlich nichts dazu zu setzen, oder die zu addirende Zahl ist o. Z. B. 8 und ? ist 8; hier ist 0 die gesuchte Zahl. 35. Entwicklung der Regeln für das Subtrahiren mittelst des Hinzusetzens. Um mittelst des Hinzusetzens den Unterschied zweier Zahlen sicher zu erhalten, wird man einzeln bestimmen, wie viel zu den Einheiten einer jeden Ordnung im Subtrahendus addirt werden muß, um die Einheiten derselben Ordnung im Minuendus zu erhalten, und sodann diese einzelnen Zahlen, deren jede Einheiten von der ergänzten Ordnung bedeutet, in eine Zahl zusammenzichen. Zu diesem Ende wird es auch hier am zweckmäßigsten seyn, gleich beim Anschrciben den Subtrahendus so unter den Minuendus zu setzen, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner u. s. w. zu stehen kommen. Ist eine Ziffer im Subtrahendus größer als die darüber stehende im Minuendus, so kann durch Hin¬ zusetzen zu der untern unmöglich die obere herauskom¬ men; wohl aber kann man dadurch diese obere Zahl um 10 vermehrt erhalten. Da man weiß, daß der Unterschied zweier Zahlen nicht geändert wird, wenn man beide um gleich viel vermehrt; so kann auch 49 wirklich jene Stelle des Minuendus um 10 d. k. um eine Einheit der nächst Hetzern Ordnung vermehrt wer¬ den , nur muß man dann auch zu dem Subtrahcndus eine solche Einheit dazuseßen, welches geschieht, wenn die nächst höhere Stelle des Subtrahcndus um i ver¬ mehrt wird. Weil aus diese Art das Subtrahiren der niedri¬ gem Stellen auf die nächst höhere Stelle im Subtra- hendus, mittelst der Vermehrung um eine Einheit einwirkt; so daß der Unterschied der Einheiten von irgend einer Ordnung erst dann genau angegeben wer¬ den kann, wenn schon der Unterschied in der nächst niedrigem Ordnung bestimmt wurde: so folgt, daß man auch hier mit der Subtraction der niedrigsten Ordnung d. i. der Einheiten den Anfang machen, und dann immer zu der nächst hohem Ordnung hinauf steigen mässe. §. 34. Fortsetzung. Beim Subtrahiren zweier Zahlen mittelst des Hin- zufehens sind daher folgende Regeln zu beobachten: 1- Man schreibe den Subtrahcndus so unter den Minuendus, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner u. s. w. zu stehen kommen, und ziehe darunter einen Querstrich. 2. Man subtrahire nach und nach die Einhei¬ ten, Zehner, Hunderte u. s. w., indem man jedesmal die Zahl angibt, welche zu der Ziffer des Subtrahen- dus addirt werden muß, um die darüber stehende Ziffer des Minuendus zu erhalten; diese Zahl schreibt man unter jene Stelle, wo die Subtraction verrichtet wurde. 4 50 3. Ist eine Ziffer des Subtrahendus größer als die darüber stehende des Minuendus, so vermehre man diese letztere um 10, und zugleich die nächst höhere Stelle des Subtrahendus um i; wo dann weiter subtrahirt werden kann. Beispiele. 1. Es sey die Zahl 3182 von 7995 abzuziehen. Man schreibt 7995 3182 4813 und spricht: 2 und 3 ist 5; 8 und 1 ist 9; 1 und 8 ist 9; 3 und 4 ist 7. Die in Frage stehende Zahl, welche man nach dem Wörtchen und ausspricht, wird während des Aussprechens zugleich auch angeschrieben. 2. Man subtrahire 31247 von 52107. Man setzt 52107 31247 20860 und spricht dabei: 7 und 0 ist 7; 4 und 6 ist 10; 3 und 8 ist 11; 2 und 0 ist 2; 3 und 2 ist 5. §. 55. Probe für die Richtigkeit der Subtraction. Die beste Probe siir die Richtigkeit des Restes bestehet darin, wenn man die Subtraction auf beide Arten, einmal mittelst des Wegnehmens und dann mittelst des Hinzusetzens verrichtet, und jedesmal die¬ selbe Zahl erhält. 51 Wer nur auf eine Art zu subtrahiren weiß, kann sich von der Richtigkeit des Restes dadurch überzeugen, daß er diesen von dem Minuendus abziehet, wo dann der Subtrahendus herauskommen muß. §. 56. Anwendung der Subtraktion. Die Subtraction wird, wie schon aus ihrem Be¬ griffe folgt, überhaupt angcwendet, wenn man erfah¬ ren will, um wie viel eine Zahl größer sei als eine andere. Besonders häufig kommt ihre Anwendung in fol¬ genden Fällen vor: 1. Um den Uebcrfchuß der Einnahme über die Auslage, oder umgekehrt zu berechnen. Beispiel : Jemand beziehet in einem Jahre 1200 ff., und gibt davon nur 745 ff. aus; wie viel erspart er? — Antwort: 455 ff. 2. Um den Ueberschuß des Vorrathes über die Ausgabe zu berechnen. Beispiel: Ein Getreidehändler hat Y5 Metzen Weizen vorräkhig, und verkauft 38 Metzen; wie viel , wird ihm noch bleiben? Antwort: 57 Metzen. 3. Bei der Bestimmung des Schuldrestes nach einer geschehenen Abschlagszahlung. Beispiel. Ich habe eine Schuld von 1470 ff. zu fordern; darauf zahlt man mir 785 ff-; wie viel bleibt man mir noch schuldig? — Antwort: 685 ff- 4. Um den Gewinn beim Kaufen und Ver- 's kaufen zu berechnen; hier wird der Einkaufspreis von ee dem Verkaufspreise abgezogen. w Beispiel. Ein Weinhändler kauft um 270 ff. e- Weine, die er dann um 353 ff. verkauft; wie viel hat er dabei gewonnen? — Antwort: 83 ff. 4 * 52 5. Bei der Zeitrechnung, wenn aus dem Anfänge und dem Ende eines Ereignisses die Dauer desselben gesucht wird; hier subtrahirt man die Zeit des Anfanges von der Zeit des Endes. Beispiel i. Jemand ist geboren im Jahre 1814, und jetzt schreibt man 1840; wie alt ist er? — Antwort: 26 Jahre. Beispiel 2. An einem alten Gebäude findet man die Aufschrift 1737; wie alt ist das Gebäude, wenn man gegenwärtig die Jahreszahl 1840 schreibt? — Antwort: 103 Jahre. Drittes Hauptstück. Multiplication. §. 57. Erklärungen und Zeichen. Multipliciren heißt eine Zahl so vftmal neh¬ men, als eine andere Einheiten enthält. Die Zahl, welche man mehrmal nimmt, heißt der Multiplicandus; die Zahl, welche anzeigt, wie oft der Multiplicandus genommen werden soll, der Multiplicator; beide zusammen nennet man Fac- toren- Die Zahl, welche bei der Multiplication heraus- kommt, heißt das Product. Z. B. 8 mit 4 multipliciren heißt 8 4>ual nehmen, wodurch man 32 erhält; hier sind 8 und 4 die Fak¬ toren, und zwar 8 der Multiplicandus, 4 der Multi- plicator; 32 ist das Product- Aus der Erklärung der Multiplication gehet her¬ vor, daß sie nichts anderes ist, als eine wiederholte Addition. Anstatt z, B. zu sagen: 8 und 8 ist 16, und 8 ist 24, und 8 ist 32; sagt man kürzer: 4 Mal 8 ist 32. Das Zeichen der Multiplikation ist ein liegendes Kreuz, nämlich x, welches zwischen die Factoren ge¬ setzt wird; z. B. 8 X 4 — 32 wird gelesen: 8 multiplicirt mit 4 ist gleich 32. §. 58. Vorübungen für das Multipliciren. Beim Multipliciren wird vorausgesetzt, daß man je zwei einziffrige Zahlen geläufig zu multipliciren wisse, was in der Kenntniß des sogenannten Ein mal Eins bestehet. Um das Ein mal Eins gründlich und überzeugend zu erlernen, beobachte man folgenden Stufengang: 1. Man zähle zu 1 noch 1 dazu, so erhält man 2 zur Summe, 2 mal r ist also 2; addirt man zu 2 wieder 1, so ist die Summe 3, somit hat man: 3 mal 1 ist 3, addirt man zu 3 noch 1, zu dieser Summe wieder 1, u. s. w-, so wird man dadurch offenbar 4 mal 1, 5 mal t, u- s. w. erhalten. Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y sind also das 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y fache von 1. Diese Vielfachen von i sind leicht zu merken, da jede einziffrige Zahl das Sovielfache von 1 ist, alS ihre Ziffer es anzeigt. 2. Man addire zu 2 noch 2, so ist die Summe 4, 2 mal 2 ist also 4; wenn zu 4 wieder 2 addirt wird, so kommt 6 heraus, und man hat: 3 mal 2 ist 6; addirt man weiter zu 6 noch 2, zu dieser Summe wieder 2, u. s. w-, so erhält man auch 4 mal 2, 5 mal 2, u- si w- Man wird dadurch die Zahlen 54 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 als das i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y fache von 2 bekommen. Um sich diese Vielfachen besser einzuprägen, gebe man sie auch in verkehrter Ordnung, und später außer aller Ordnung an. Wer die im ersten Abschnitte §. 15 angeführten Ucbungen gehörig vorgenommen hat, wird sich sogleich erinnern, daß er die Zahlen, welche die Vielfachen von 2 vorstellen, schon dort auf einem andern Wege erhal¬ ten habe. Die Zahl, welche dort angibt, die wievielte in der Reihe jede Zahl vorkommt, zeigt hier an, das Wievielfache von 2 jene Zahl sei. Diese Entwicklung derselben Zahlen auf verschiedenem Wege wird nicht wenig beitragen, daß sie sich um so tiefer ins Gedächt- niß des Anfängers einprägen, und dann nach Willkühr in dessen Bewußtsein gebracht werden können. Diese Bemerkung gilt auch für die Vielfachen der übrigen einziffrigen Zahlen, die gleichfalls schon bei den Uebungen im Zählen §. 15 entwickelt wurden. 3. Nach dem bei dem Vielfachen von 2 beobach¬ teten Verfahren können auch die Vielfachen von 3, 4, 5, ... y abgeleitet, und zum bleibenden Eigenthume des Lernenden gemacht werden. Hier habe man ja stets den Grundsatz vor Augen, daß zu den Vielfachen einer folgenden Zahl nicht eher der Uebcrgang geschehe, als bis man durch oftmaliges Wiederholen und verschiedenseitiges Auffasscn die Viel¬ fachen der vorhergehenden Zahlen sich recht gut eigen gemacht hat. Durch Beobachtung dieses Stufcnganges wird matt in den Stand gesetzt, nachstehende Lasel nicht nur me¬ chanisch herzusagen, sondern auch von deren Richtigkeit Rechenschaft abzulegen. 55 y. Tabelle. Das Ein mal Eins. Die Products der einziffrigen Zahlen findet man kürzer aufgestellt in dem schon oben angeführten Pytha- gorischen Rechentische. Der Gebrauch ist folgender: man sucht den einen Factor in der ersten Reihe zur Linken, und den andern in der obersten Reihe; dann fahre man 56 mit dem Finger von dem ersten Factor aus gegen die Rechte, und von dem andern nach unten; dort, wo beide zusammentrcffcn, findet man das Product. Man präge diese Tabelle dem Gedächtnisse so ein, daß man zu jeder Zahl sogleich die ganze Reihe ihrer Vielfachen in Gedanken überblickt, und bei jedem der¬ selben sich zugleich vorstellt, das Wievielsache von der angenommenen Zahl es ist. Zu diesen Vorübungen ist noch der Saß hinzu zu fügen: Wenn ein Factor o ist, so ist auch das Product o. Die Richtigkeit dieses Satzes erhellet aus dem Begriffe der Multiplication. Denn, ist der Mnltipli- candus o, so hat man o (nichts) öfters zu nehmen, wodurch gewiß auch o herauskommt; ist aber der Multiplikator o, so hat! man den Multiplicandus o Mal (kein Mal) zu nehmen, wodurch man sicher auch nichts d, i. o erhält. Z. B. 3 mal o ist o; o mal 5 ist o. §. 59. Entwicklung der Regeln für das Multipliciren, wenn der Multiplikator einziffrig ist. Bei der Multiplication sind überhaupt zwei Fälle zu unterscheiden: entweder ist der Multiplikator einziffrig, oder ist er mehrziffrig. I. Ist der Multiplikator einziffrig, so sind dabei, da Multipliciren nichts als wiederholtes Addiren ist, dieselben Regeln wie beim Addiren zu beobachten. Man nehme nämlich zuerst die Einheiten, dann die Zehner, Hunderte, u- s. w. so oftmal, als dec Multiplikator Einheiten enthält, wodurch man wieder folgeweise Einheiten, Zehner, Hunderte, u. s. w. er- 57 hält; oder, was dasselbe ist, man multiplicire alle Ziffern des Multiplicandus, von der niedrigsten ange- sangen, mit dem cinziffrigen Mnltiplicator, und setze das jedesmalige Product an diejenige Stelle, welche man multiplicirt hat. Ist irgend ein Product zweiziffrig, so bedeutet die Zif¬ fer der Einheiten Einheiten derjenigen Ordnung, welche man multiplicirt hat, die Ziffer der Zehner aber Ein¬ heiten der nächst Hähern Ordnung, welche daher auch zu dein nächst folgenden Produkte gezählt werden müssen- 40. Fortsetzung. Wenn also der Multiplikator einziffrig ist, so sind beim Multipliciren folgende Regeln zu beobachten: i. Man schreibe den Multiplikator unter die Ein¬ heiten des Multiplicandus, und ziehe darunter einen Querstrich. Gewöhnlich pflegt man den Multiplikator auch gar nicht anzuschreiben, sondern sogleich das Pro¬ duct hinzuseßen. 2- Man multiplicire mit dem cinziffrigen Mul¬ tiplikator nach und nach die Einheiten, Zehner, - - des Multiplicandus, und schreibe das jedesmalige Pro¬ duct, wenn es einziffrig ist, unter diejenige Stelle, welche man multiplicirt hat; ist aber das Product zwnziffrig, so werden nur die Einheiten davon an jene Stelle gesetzt, die Zehner aber zu dem Produkte der nächst Hähern Stelle hinzugezählt. Das letzte Product wird ganz angcfchrieben. 58 Beispiele. 1. Man multiplicire die Zahl 8213 mit 3. Die Rechnung stehet 8213 oder 8213 24639 24639 Man spricht dabei: 3 mal 3 ist 9, 3 mal 1 ist 3, 5 mal 2 ist 6, 3 mal 8 ist 24. 2. Es soll 370813 mit 7 multiplicirt werden. Man schreibt 370813 oder 370813 2595691 2595691 und sagt: 7 mal 3 ist 21, 1 angeschrieben, bleibt 2; 7 mal 1 ist 7, und 2 ist 9; 7 mal 8 ist 56, 6 an¬ geschrieben, bleibt 5; 7 mal 0 ist 0, und 5 ist 5; 7 mal 7 ist 49, 9 angeschrieben, bleibt 4; 7 mal 3 ist 21, und 4 ist 25- 41. Entwicklung der Regeln für das Multipliciren, wenn der Multiplicator nrehrziffrig ist. II. Ist der Multiplicator mehrziffrig, so muß man den Multiplicand so oftmal nehmen als in den einzelnen Bestandtheilen, d. st Einheiten, Zehnern, Hunderten, ...des Multiplikators Einheiten vorkom¬ men, und die dadurch erhaltenen Zahlen addiren. Man wird also zuerst den Multiplicand so oftmal nehmen, als es die Ziffer der Einheiten im Multi¬ plikator anzeigt, d. i. den Multiplicand mit der Ziffer der Einheiten multipliciren. — Dann muß man den Multiplicand so oft nehmen, als die Zehner des Mul- 59 tiplicators Einheiten enthalten; diese enthalten 10 mal so viel Einheiten, als die Ziffer der Zehner es anzeigt; also wird man den Multiplicand zuerst mit der Ziffer der Zehner multipliciren, und dieses Product noch 10 mal nehmen, welches geschieht, wenn man ihm rechts eine Nulle anhängt; denn dadurch werden alle Ziffern des Productes um eine Stelle weiter gegen die Linke gerückt, es erscheinen also die frühem Einheiten als Zehner, die frühem Zehner als Hunderte u. s. w., oder das neue Product ist wirklich 10 mal so groß als das frühere, — Ebenso muß man dann den Mul¬ tiplicand so ostmal nehmen, als Einheiten in den Hun¬ derten des Multiplicators vorkommen; diese aber ent¬ halten 100 mal so viel Einheiten als die Ziffer der Hunderte es anzeigt; der Multiplicandus wird daher zuerst mit der Ziffer der Hunderte multiplicirt, und dieses Product loomal genommen, indem man ihm rechts 2 Nullen anhängt; denn dadurch werden alle Ziffern um 2 Stellen weiter gegen die Linke gerückt, es erscheinen also die frühem Einheiten als Hunderte, die frühem Zehner als Lausende, u. s. w., oder das neue Product ist wirklich loomal so groß als das frühere. — Auf dieselbe Art wird mit den weitern Ziffern des Multiplicators multiplicirt. Diese einzelnen Produkte sind dann Lestandtheile des Hauptproductes, und werden zusammenaddirt. Weil die in den einzelnen Produkten rechts stehenden Nullen beim Addiren ohnehin keinen Einfluß ausüben, so können sie auch weggelassen werden, nur müssen die übrigen Ziffern an der gehörigen Stelle Vorkommen, welches geschieht, wenn man den Multiplikator so unter den Multiplicand setzt, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner, u. s. w. zu stehen kommen, und dann die einzelnen Produkte immer unter diejenige 60 Stelle des Multiplikators zu schreiben anfängt, mit welcher man multiplicirt. §. 42. Fortsetzung. Wenn also der Multiplicator mehrziffrig ist, so sind beim Multipliciren folgende Regeln zu beobachten: 1. Man schreibe den Multiplicator so unter den Multiplicandus, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner, u. s- w- zu stehen kommen, und ziehe darunter einen Querstrich. 2. Man multiplicire nun den ganzen Multipli¬ kand zuerst mit den Einheiten, dann mit den Zehnern, Hunderten, u. s. w. des Multiplikators, und fange das jedesmalige Product unter diejenige Ziffer des Multipli¬ kators zu schreiben an, mit welcher man multiplicirt hat. Kommt im Multiplicator nach der ersten bcdeut- lichen Ziffer eine Nulle vor, so wird diese Stelle beim Multipliciren übergangen, da im Products ohne¬ hin lauter Nullen vorkämen. 3. Man addire die einzelnen Products, so wie sie eingeschrieben sind, so erhält man das gesuchte Product. Beispiele. i. Es sey 2385 mit 137 zu multipliciren. Man schreibt Vollständig stände es: 2385 2385 137 137 l66g5 16695 7155 71550 2385 238500 526745 526745 61 Hier wurde der Multiplicand zuerst mit 7, dann mit 8, und endlich mit i multiplicirt; das erste Pro¬ duct wurde unter 7, das zweite unter 3, das dritte unter i zu schreiben angefangen. 2. Man multiplicire 72185 mit 806. Die Rechnung stehet 72185 eigentlich 72183 806 806 433098 453098 577464 00000 58179498 -^ ^64 58179498 §. 43. MulLiplication, wenn einer oder beide Factoren rechts Nullen haben. 1. Hat der Multiplicand rechts Nullen, so werden diese auch im Produ cte erscheinen, weil 0 mit was immer für einer Zahl multiplicirt 0 zum Pro- ducte gibt. Z. B. 57250 23 171690 II446O 1316290 2. Hat der Multiplicator rechts Nullen, so wird die erste bedeutliche Ziffer des Produktes an jene Stelle zu stehen kommen, an welcher sich die erste be¬ deutliche Ziffer im Multiplicator befindet; d. h. es wird auch das Product rechts so viele Nullen erhalten , nls ihrer der Mvltiplicator hat- 62 Z. B- 3712 300 0000 0000 11136 1113600 3. Haben endlich beide Faktoren rechts Nullen, so werden im Produkte außer den Nullen des Multi- plicandus auch jene des Multiplikators Vorkommen; d. h. im Produkte werden so viele Nullen rechts er¬ scheinen, als ihrer beide Faktoren haben. Z. B. 305200 i8o oooooo 2441600 305200 54936000 Daraus ergibt sich folgende Regelt Kommen in einem oder in beiden Faktoren rechts Nullen vor, so wird die Multiplikation verrichtet, wenn man jene Nullen wegläßt, die dann übriggebliebenen Zahlen mit einander multiplicirt, und dem Produkte rechts so viele Nullen anhängt, als ihrer in beiden Faktoren vorkommen. In den vorigen Beispielen würde die Rechnung so stehen: 5723 3712 3052 23 3 18 17169 1113600 24416 11446 3052 I0I629O 54936000 65 Wenn der Multiplikator eine runde Zahl ist, welche nur eine bedeutliche Ziffer hat, so pflegt man ihn gewöhnlich gar nicht anzuschrciben: cs wird näm¬ lich sogleich das Product aus dem Multiplikand und jener Ziffer hingesetzt, mit so vielen Nullen rechts, als ihrer die runde Zahl hat. Beispiel. 30782 x Loo 24625600 Die Probe für die Richtigkeit der Multiplikation wird bei der Division vorgenommen werden. §. 44. Anwendung der Multiplikation. Die Multiplikation wird überhaupt angewendet, wenn man wissen will, wie viel eine Zahl öfters ge¬ nommen ausmacht. — Der Multiplikator wird wäh¬ rend der Rechnung als unbenannt betrachtet, und das Product erhält gleichen Namen mit dem Multiplican- dus. Besonders häufig aber kommt ihre Anwendung in folgenden Fällen vor: 1. Um aus dem Betrage, den eine Person be¬ zieht oder zahlt, unter denselben Umständen die Ein¬ nahme oder Auslage mehrerer Personen zu berechnen; hier wird jener Betrag mit der Anzahl der Personen multiplicirt. Beispiel. Von 24 Arbeitern bekommt jeder mo¬ natlich 15 fl., wie viel erhalten alle zusammen? — Antwort: 360 fl. 2. Um aus der Einnahme oder Ausgabe eines Tages, Monates, Jahres, unter denselben Umständen die Einnahme oder Ausgabe für mehrere Lage, 64 Monate, Jahre zn bestimmen; hier wird die täg¬ liche, monatliche, jährliche Einnahme oder Ausgabe mit der Anzahl der Tage, Monate, Jahre mnltiplieirt. Beispiel i. Ein Beamte beziehet schon durch 6 Jahre den Gehalt von Loo ff.; wie viel hat er zu¬ sammen schon bezogen? — Antwort: 4800 fl. Beispiel 2. Ein studierender Jüngling zahlt mo¬ natlich 18 fl. Kost- und Quartiergeld; wie viel be¬ tragt dieses für 10 Monate? Antwort: 180 fl. Beispiel 3. Ein Kapital gibt jährlich 257 fl. Interesse; wie groß ist das Interesse für 3 Jahre? — Antwort: 77t fl- 3. Um aus dem Werthe der Einheit den Werth für eine Mehrheit derselben Art zu berechnen; hier wird der Werth der Einheit mit der Mehrheit mul- tiplicirt. Beispiel 1. r kostet 16 kr.z wie viel ko¬ sten 3 ^ ? — Antwort: 48 kr. Beispiel r. 1 Ctr. kostet 42 fl.; wie viel ko¬ sten 23 Ctr.? Antwort: 966 fl. 4. Beim Resolviren. Resolviren oder auflosen heißt Einheiten einer hohern Benennung in Einheiten einer kleinern Benennung verwandeln, z. B. Gulden in Kreuzer, Monate in Tage. Das Resolviren in eine niedrigere Benennung geschieht, wenn man die Einheiten der hohern Be¬ nennung mit dem betreffenden Verwandler multiplicirt. Beispiel 1. Wie viel Kreuzer geben 4 Gulden? Rechnung: 4 fl. 60 240 kr. 65 Beispiel 2. Wie viel Bogen enthalten 45 Buch Schreibpapier? Rechnung: 45 Buch 24 180 yo 1080 Viertes Hauptstück. Division. §. 45. Erklärungen. Dividiren heißt eine Zahl in so viele gleiche Theile theilen, als eine andere Einheiten enthält. Die Zahl welche gctheilt wird, heißt Dividen- dus; die Zahl, welche anzeigt, in wie viele gleiche Theile der Dividendus gethestt werden soll, der Di¬ visor; und die Zahl, welche beim Dividiren hcraus- kommt, der Quotient. Der Quotient zeigt also an, wie groß ein Theil ist. Z. B. 6 durch 2 dividiren heißt 6 in 2 gleiche Theile theilen, wodurch 3 als ein solcher Lheil heraus- kommt; 6 ist der Dividendus, 2 der Divisor, und 3 der Quotient. Ist eine Zahl in mehrere gleiche Theile gctheilt worden, und mau nimmt wieder alle zusammen, oder was dasselbe ist, man nimmt einen Theil so oft, als Theile da sind, d. h. man multiplicirt einen Lheil mit der Anzahl der Theile, so muß die getheilte Zahl herauskommen. Daraus folgt, daß der Quotient (ein 5 66 Theil) mit dem Divisor (der Anzahl der Theilc) mul- tiplicirt, den Dividend (die getheilte Zahl) geben muß. Zm obigen Beispiele ist wirklich 3 X 2 6. 46. Fortsetzung. Nach dem früher Gesagten sind Divisor und Quotient Factoren, der Dividend aber ist ihr Product. Da bei der Multiplication jeder Factor anzeigt, wie oft der andere im Produkte enthalten ist; so zeigt auch bei der Division der Quotient an, wie oft der Divisor im Dividende enthalten ist. Man kann daher auch sagen: Dividiren heißt untersuchen, wie oft eine Zahl in einer andern enthalten ist. Z. B- 6 durch 2 dividiren heißt untersuchen, wie oft 2 in 6 enthalten ist; 2 ist in 6 3 mal ent¬ halten, 3 ist also der Quotient. Dieser Erklärung zu Folge ist die Division nichts anders als eine wiederholte Subtraktion. Denn um zu sehen, wie oft der Divisor im Dividendus ent¬ halten ist, wird man den Divisor so ost von dem Dividendus abzichen, bis letzterer ganz erschöpft, oder doch der Rest kleiner wird, als der Divisor, so daß sich dieser nicht mehr abziehen läßt- Die Zahl, welche anzeigt, wie oft sich der Divisor vom Dividendus ab¬ ziehen läßt, ist dann der Quotient. Um z. B. 6 durch 2 zu dividiren, müßte man eigentlich 2 so oft von 6 abziehen, als dieses möglich ist; man hätte 67 6 2 4 2 2 O Da sich 2 von 6 3 mal abziehen läßt, so ist 2 in 6 3 mal enthalten, oder 5 ist der -Quotient. §. 47. Zeichen der Division. Das Zeichen der Division bestehet in zwei über einander stehenden Puncten , nämlich :, und zeigt an, daß die Zahl vor den Puncten durch die Zahl hinter den Puncten zu dividiren ist. Z. V. 6:2^3 wird gelesen: 6 dividirt durch 2 ist gleich 3. In der Ausübung schreibt man gewöhnlich den Dividendus zwischen zwei Strichen, und setzt links den Divisor; der -Quotient kommt rechts vom Dividendus zu stehen. So würde man obiges Beispiel schreiben: 2 I 6 I 3- Ost wird die Division bloß angezeigt, besonders dann, wenn der Dividend kleiner ist als der Divisor. Dieses geschieht, indem man den Divisor unter den Dividend, und zwischen beide einen Strich setzt. Ist z. B- 3 durch 4 zu dividiren, so wird man dieses so anzcigcn : 4 , welches gelesen wird: 3 dividirt durch 4. Ein so angezeigter -Quotient wird ein Bruch genannt. 5 * 68 §. 48. Vorbereitende Sätze und Uebnngen. Bei der Division wird vorausgesetzt, daß man den Quotienten sogleich anzugebcn wisse, wenn der Dividend kleiner ist als das Zehnfache des Divisors. Diese Geläufigkeit bestehet in der Kcuntniß des soge¬ nannten Eins in Eins. Ehe wir dieses ableiten, müssen noch einige Be¬ merkungen vorausgeschickt werden. Wenn man Dividendus und Divisor mit einander vergleicht, so findet man, daß der Dividendus entwe¬ der ein Vielfaches des Divisors ist, oder nicht; im letzten Falle ist er wieder entweder kleiner oder größer als der Divisor. Diese drei Fälle sollen einzeln be¬ trachtet werden: 1. Ist der Dividend ein Vielfaches des Divisors, so gilt der Schluß: das Sovielfache des Divisors der Dividend ist, so oft ist der erstere im letzter» enthalten. Z. B. io ist das öfache von 2, also ist 2 in io 5mal enthalten. 2. Ist der Dividend kleiner als derDi- visor, so ist der Divisor im Dividende gar nicht oder omal enthalten. Z. B. 5 in 2 ist omal enthalten. Man zeigt in diesem Falle, da man nicht wirklich dividiren kann, wie früher gesagt wurde, die Division nur an, indem man schreibt: f-. 3. Ist der Dividend größer als der Di¬ visor, aber kein Vielfaches von ihm; so denke man sich sogleich das nächst kleinere Vielfache, und es wird der Divisor so ost in dem Dividende enthalten ftvn, als in dem nächst kleinern Vielfachen. Daß er 69 wenigstens so oft enthalten seyn müsse, folgt daraus, weil der Dividendus größer ist als jenes nächst kleinere Vielfache; daß aber der Divisor auch nicht öfters ent¬ halten seyn könne, folgt daraus, weil der Dividend kleiner ist als das nächst folgende Vielfache des Divi¬ sors, in welchem erst, dieser imal mehr als in dem frühern enthalten ist. Z. B. 6 in 46 ist 7mal enthalten; denkt man sich 46, so ist das nächst kleinere Vielfache von 7 die Zahl 42; aber 6 in 42 ist 7mal enthalten, daher ist auch 6 in 46 7>nal enthalten. 49. Fortsetzung. Auf die vorhergehenden Sätze gestützt kann der Anfänger das Eins in Eins von selbst entwickeln. r. Da jede einziffrige Zahl so viele Einheiten enthält, als die Ziffer selbst es anzeigt, so hat man: 1 in 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y ist 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ymal enthalten. Ferner ist 1 in 0 omal enthalten. 2. Man bestimme, wie oft 2 in den Zahlen unter 20 enthalten ist. Man wiederhole zuerst die Vielfachen von 2. Weil die Zahlen 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 das 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, yfache von 2 sind, so ist 2 in 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ymal enthalten. 2 in 0 oder 1 ist omal enthalten. Um endlich den Quotienten für jene Fälle anzu¬ geben, wo der Dividend größer als 2, aber kein Viel- 70 faches davon ist, denke man sich zu jenem Dividende sogleich das nächst kleinere Vielfache von 2, und gebe an, wie oft 2 darin enthalten ist, so hat man den gesuchten Quotienten. So findet man: 2 in 3, 5, 7, Y, 11, 15, 15, 17, 1Y ist i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ymal enthalten. 3. Eben so wird bestimmt, wie oft 3 in den verschiedenen Zahlen unter 30 enthalten ist. Man erinnere sich an die Vielfachen von 3- Weil nun 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 das 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9fache von 3 ist, so folgt: 3 in 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 27 ist 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>ual enthalten- Ferner ist klar, daß 3 in o, i oder 2 omal enthalten ist. Um die übrigen Zahlen unter 50 durch 3 zu dividiren, denke man sich zu jeder sogleich das nächst kleinere Vielfache von 3, und gebe an, wie oft 3 darin enthalten ist; dieß ist der in Frage stehende Quotient. Äuf diese Art überzeugt man sich, daß 3 in 4,5, 7,8, 10,11, 13,14, 16,17, 19,20, 1, 2, 3, 4, 5, 6mal 3 in 22,23, 25,26, 28,29 7, 8, 9mal enthalten ist. 4. Auf die nämliche Weife können die Quotien¬ ten bestimmt werden, wenn der Divisor 4, 5, 6, 7, 9, und der Dividend kleiner als das Zehnfache des Divisors ist. 71 Die Ergebnisse aller dieser Hebungen findet man in nachstehender Lasel zusammengcfaßt. io- Tabelle. Das Eins in Eins. 72 Wie man sieht, kommt es bei der Kenntnis; des Eins in Eins hauptsächlich darauf an, sogleich anzu¬ geben, ob der Dividendus ein Vielfaches des Divisors ist, und zwar das Wievielfache; oder wenn dieß nicht ist, das nächst kleinere Vielfache zu bestimmen. Darum sollen sich Anfänger hierin recht viel Geläufigkeit zu verschaffen suchen. Auch hier kann der oben angeführte Pythagorische Rechentisch mit Vortheil gebraucht werden- Wenn man mit einer Zahl zu dividiren hat, so suche man diese in der ersten Reihe zur Linken, gehe von da gegen die Rechte hin, bis man auf den Dividend , oder wenn er nicht zu finden ist, auf die nächst kleinere Zahl kommt, und fahre dann von dieser nach aufwärts bis zur obersten Ziffer; diese ist daun der Quotient. 75 §. 50. Entwicklung der Regeln für das Dividiren. Um eine Zahl durch eine andere zu dividiren, wird mau am sichersten verfahren, wenn man unter¬ sucht, wie oft der Divisor in den einzelnen Bestand- theilen d. i. Einheiten, Zehnern, Hunderten, ... des Dividendus enthalten ist. Man zerlege also den Dividend in so viele Theile, Theildividende, als er Zistern hat, und dividire sie alle durch den Divisor; so bekommt man eben so viele Theile im Quotienten, Lheilquvtienteu, deren jeder Einheiten derselben Ordnung enthält, als der entsprechende Lheildividend. Häufig, ja meistens wird es geschehen , daß der Divisor in einem Theildividende nicht genau enthalten ist. Um dieses zu erfahren, so wie auch zu sehen, ob der angenommene Theilquotient richtig ist, wird man, da die Division eigentlich eine wiederholte Subtraction ist, den Divisor hinter einander so oft von dem Theil¬ dividende wegnchmcn, als der Theilquotient es anzeigt; oder, was dasselbe ist, man wird, das Gesagte auf einmal verrichtend, den Divisor so oft nehmen, als der Quotient es anzeigt, d. i. den Divisor mit dem Theil- quoticnten multiplieircn, und dieses Product von dem Theildividende abziehen. Läßt sich dieses Product gar nicht abziehen, so ist dieß ein Beweis, daß sich der Divisor nicht so ost abzichen läßt, als der Theilquotient cs anzeigt, daß also dieser zu groß genommen wurde. Bleibt ein Rest, welcher gleich oder größer als der Divisor ist, so läßt sich letzterer öfters abzichen, als der Theilquotient cs "»Zeigt; der Quotient ist also zu klein genommen worden- 74 Vleibt aber gar kein Rest, oder bleibt zwar ein Rest, der jedoch kleiner ist als der Divisor, so hat man den Quotienten richtig genommen. Im ersten Falle ist der Divisor in dem Theildividende genau ent- Z^e halten, und man schreitet sogleich zur Division des fol- genden Lheildividendes. Im zweiten Falle aber ist der Divisor nicht genau enthalten, da wird der Rest in die Einheiten der nächst niedrigem Ordnung aufgclöset, wenn man ihn mit 10 multiplicirt, d. i. ihm rechts eine Nulle anhängt; dazu werden die im Dividende bereits vorhandenen Einheiten dieser Ordnung addirt, welches geschieht, wenn man sie an die Stelle jener h^chi Nulle schreibt, oder kürzer: es wird zu dem vorigen Reste die nächst niedrigere Stelle des Dividendus hin- zugesetzt, und dieß ist der nächst niedrigere Lheildividend. Ist der Divisor omal enthalten, so setzt man zu dem Theildividende sogleich die folgende Stelle des Dividendes hinzu, um den nächst niedrigem Lhcildivi- dend zu erhalten; denn der Divisor mit dem Lheil- quotienten o multiplicirt gibt o zum Produkte; und ^lc o vom Theildividende abgezogen gibt diesen selbst zuni ^d Reste, wozu daun die nächst folgende Ziffer des Divi- dendus hinzukommen muß. den Aus dem Umstande, daß sich erst, nachdem die hohem Einheiten dividirt wurden, aus dein übrigge- bliebenen Reste der nächst niedrigere Lheildividend be- divil stimmen läßt, folgt, daß man die Division von der höchsten Stelle an beginnen muß. Wenn man dann die einzelnen Lheilquotienten nach einander hinschrcibt, so wird durch dieses Anschreibtt. selbst nach vollendeter Division jede Ziffer des Quo¬ tienten so gestellt erscheinen, daß sie Einheiten dersel¬ ben Ordnung bedeutet, als ihr zugehöriger Thcildivi- dend. Denn da jedesmal, wenn zu dem Reste eiu< bevl 75 ? ein „E Ziffer des Dividendus hinzugesetzt wird, auch in ' Quotienten eine Ziffer hinzukommt, so werden ersten ^nf ieden Lheilquotienten so viele Ziffern folgen, als Ziffern des Dividendus nach und nach zu den übrig- ' fol-geriebenen Resten hinzugesetzt werden; also so viele i der Ziffern, als auf den entsprechenden Lheildividend fol- n die gen. Zeder Theilguoticnt wird daher auf der sovielten leset, Stelle, von der Rechten an, erscheinen, als der dazu 'echts gehörige Lheildividend, oder, was dasselbe ist, er dende n)ird mit letzterem Einheiten derselben Ordnung bedeuten, dirt, Wenn der Divisor in der höchsten oder in einigen 1^'kr höchsten Stellen nicht enthalten ist, so wird so lange rige" jeder Lheilquotient Null scyn, und somit so lange zu hi"- dem jedesmaligen Theildividende die folgende Ziffer des dend. Dividendus hinzugesetzt werden müslen, bis man einen man lheildividend erhält, in welchem der Divisor enthalten ' des ist; welches eintretcn wird, wenn der Lheildividend so divi- »jele Ziffern oder eine mehr hat, als der Divisor, cheil- Da erhält man den ersten bedcutlichcn Theilguoticnten, und welcher Einheiten derselben Ordnung ausdrückt, als die zum niedrigste vom Dividende genommene Ziffer. Da die Dwi- Jollen links im Quotienten nichts bedeuten und so auch den Werth der folgenden Stellen nicht ändern, so kann " dir wan, um alle unnütze Arbeit zu beseitigen, die Division igge- damit anfangen, daß mau gleich als den ersten Lheil- > be- dividend so viele höchste Stellen des Dividendus an- > nimmt, als ihrer nöthig sind, damit der Divisor we¬ nigstens imal enthalten ist. nach 'eibtt §. 51. Fortsetzung. ersel- " > divi- Beim Dividiren sind also folgende Regeln zu effk beobachten: 76 r> Man setze den Dividend zwischen zwei auf¬ rechten Strichen, links schreibt man den Divisor, rechts kommt nach und nach der -Quotient zu stehen. 2. Die Division wird von der höchsten Stelle des Dividcndus angefangen. Man schneide nämlich im Dividende so viele höchste Ziffern ab, als im Divisor Ziffern Vorkommen, oder um eine mehr, wenn jene Ziffern kleiner sind, als der Divisor. Dich ist der erste Lheildividend. Man pflegt, besonders wenn der Divisor mehr- ziffrig ist, die im Dividende abgeschnittenen Ziffern von den folgenden durch einen Punct abzusondern. Z. Man untersucht, wie oft der Divifor in dem ersten Lheildividende enthalten ist, und schreibt die Zahl, welche dieses anzeigt, in den Quotienten. Wenn der Divisor mehrziffrig ist, lo erleichtert man sich die Arbeit, wenn man versucht, wie oft die Höchste Stelle des Divisors in der höchsten oder in den zwei höchsten Stellen des Lheildividends enthalten ist- I. Man multiplicire den Divisor mit der gefun¬ denen Ziffer des Quotienten, schreibe das Product unter den Lheildividend, und ziehe es von diesem ab. Ist jenes Product größer als der Lheildividend, so daß es sich nicht abziehen läßt; so ist der Quotient zu groß genommen worden, man muß ihn also kleiner nehmen. Bleibt aber ein Rest, der gleich oder größer ist als der Divisor, so ist der Quotient zu klein ge¬ nommen worden, man muß ihn größer nehmen. 4. Zum Reste wird die nächste Ziffer des Di- videndus herabgesetzt und dieß als der neue Lheildi¬ vidend angesehen. Man untersucht wieder, wie oft dec Divisor in dem neuen Lheildividende enthalten ist; die Zahl, welche dieses anzcigt, ist die zweite Ziffer des Quotienten- 77 5. Mit dieser neuen Ziffer des Duotienten wird nun der Divisor multiplicirt, und das Product von dem letzten Lheildividende abgezogen. Zu dem Reste wird wieder die nächste Stelle des Dividendus herab¬ gesetzt, und dieser neue Lhcüdividend durch den Divisor dividirt, um die dritte Ziffer des Duotienten zu erhalten. 6. Diese Arbeit wird so lange fortgesetzt, bis man nach und nach alle Ziffern des Dividendus herabgesetzt hat. Wenn der Divisor größer ist als irgend ein Lheil- dividend, so schreibt man in den Duotienten eine Nulle, und setzt sogleich die nächstfolgende Ziffer des Dividendus herab. 7. Bleibt zuletzt kein Rest übrig, so ist der Di¬ visor im Dividende genau enthalten; man schreibt hier das Zeichen — an die Stelle des letzten Restes. Bleibt aber ein Nest, so ist dieser noch durch den Divisor zu dividiren, was man dadurch anzcigt, daß unter den Rest der Divisor, und zwischen beide ein Strich gesetzt wird; dieser Bruch wird mit etwas kleinern Ziffern an den Duotienten angchängt, zum Zeichen, daß der Quotient noch um etwas, was aber kleiner als i ist, vermehrt werden muß. Beispiele. i. Es sey 14070 durch 6 zu dividiren. Man schreibt 6 I 14.070 j 2345 12 20 itt 27 24 30 30 78 und sagt: 6 in 14, 2Mal; smal 6 ist 12, von 14 bleibt 2; 0 herab, 6 in 20, 3mal; 3>nal 6 ist 1», von 20 bleibt 2; 7 herab, 6 in 27, 4mal; 4mal 6 ist 24, von 27 bleibt 3; 0 herab, 6 in 30, 5mal; 5mal 6 ist 30, von 30 bleibt 0. 2. Man dividire 1650566 durch L051. Die Rechnung stehet Lo5i I 16504.66 I 205^1- 16102 40266 40255 11 52. Division, wenn der Divisor rechts Nullen hat. Wenn der Divisor rechts Nullen hat, so wird auch das Product aus ihm und dem jedesmaligen Lheil- quotienten rechts so viele Nullen haben, und daher von dem betreffenden Theildividende abgezogen, eben so viele letzte Ziffern desselben ungeändert lassen. Der jedesmalige Theilquotient würde daher eben so richtig herauskommen, wenn man im Divisor die Nullen, und in jedem Lheil- dividende eben so viele Ziffern rechts unberücksichtiget lassen würde; nur in dem letzten Reste, der nicht mehr dividirt werden kann, müssen auch die letzten Ziffer» uothwendig Vorkommen- Daraus folgt: Wenn im Divisor rechts Nullen vorkommen, st lasse man während der Division diese Nullen, und zu¬ gleich auch im Divideudus eben so viele Stellen zur Rech¬ ten außer Acht, zum letzten Reste setze man dann diese Ziffern herab, und schreibe den ganzen Divisor darunter 7 n d g st u 7 LH -- 79 Esscy z. B. 37834789 durch 5700 zu dividiren. Die Rechnung steht 36347 57(oo I 378.347(89 I 6637MK Bequemere und kürzere Art des Dividireus. i. Ist der Divisor cinziffrig, so Pflegt Man die Division gewöhnlich so zu verrichten, daß inan das Product aus jedem Lheilquotientcn und dem Divisor gleich in Gedanken von dem entsprechenden Lheildividende abziehet, auch den Rest nur im Kopfe behält und den Duotienten gehörig unter den Dividen¬ de schreibt, nachdem man einen Querstrich darunter gezogen hat- Beispiel. Man dividire 4576 durch 8. Dabei schreibt man 4576 572 und spricht: 8 in 45, 5mal, bleibt 5: 8 in 57, 7mal, bleibt 1; 8 in 16, 2mal. 80 2. sehnliches gilt auch, wenn der Divisor eine runde Zahl ist, welche bloß eine bcdent- liche Ziffer hat. Man schneidet zuerst rechts so viele Ziffern ab, als der Divisor Nullen hat, ziehe unter den übrigen einen Querstrich, dividire sie durch die bedeutliche Ziffer des Divisors, und schreibe den Quotienten darunter. Zu dem letzten Reste setze man die abgeschnittenen Ziffern herab, schreibe darunter den Divisor, und hänge diesen Bruch dem erhaltenen Quotienten an. Beispiel. Es sey 57823 durch 70v zu dividiren- Rechnung: 578(23 " - QO Ist der Divisor mehrziffrig, so pflegt man auch da die Arbeit zu vereinfachen, wenn man das Product aus jedem Theilquotienten und dem Divi¬ sor gleich während der Mnltiplication mittelst des Hin- zuseßens abziehet, und bloß den Rest anschreibt. — Es werden nämlich zu jedem Products so viele Ein¬ heiten hinzugcseßt, und dann als Rest ungeschrieben, daß man die nächste Zahl erhält, welche in der Stelle der Einheiten die entsprechende Ziffer des Theildividen- des hat. Enthält diese Zahl auch Zehner, so ist die Ziffer des Lheildividendes, als Minuend, um diese Zehner vermehrt worden; man muß daher, um den wahren Rest zu erhalten, auch den Subtrahend um eben so viele Zehner, oder was einerlei ist, die nächst höhere Stelle desselben um so viele Einheiten vermehren, d. i. man muß diese Einheiten zu dem Prodncte mit der nächst folgenden Ziffer des Divisors dazu zählen, und dann auf die nämliche Act weiter subtrahiren. 81 Beispiel. CS soll 57852.3 durch 7928 dividl'rt werden. Man schreibt 7928 I 37852.5 I 47^4^ 6140 3 590 7 und sagt dabei: 7 in 37, 4Mal; 4mal 8 ist 32, und 0 ist 32, bleibt 3; 2iual 4 ist 8 und 3 ist 11, und 4 ist 15, bleibt 1; 4>nal 9 ist 36 und 1 ist 37, und 1 ist 38, bleibt 3; 4>nal 7 ist 28 und 3 ist 31, und 6 ist 37- — 7 in 59, 7iual; 7mal 8 ist 56, und 7 ist 63, bleibt 6; 2Mal 7 ist 14 und 6 ist 20, und 0 ist 20, bleibt 2; 7mal 9 ist 63 und 2 ist 65, und 9 ist 74, bleibt 7; 7>nal 7 ist 49 und 7 ist 56, und 5 ist 6i. §. 54. Probe für die Richtigkeit der Division, wie auch der Multiplikation. Da der Quotient und der Divisor Factoren, der Dividend aber ihr Product ist; so bestehet die beste Probe für die Richtigkeit der Division darin, daß man den Quotienten mit dem Divisor multiplicirt, und. den etwa gebliebenen Rest zum Producte addirt; er¬ halt man dadurch den Dividend, so ist richtig divi- dirt worden. Eben so kann man die Nichtigkeit der Multipli¬ kation durch das Dividiren prüfen. Wenn man näm¬ lich das Product durch den einen Factor dividirt, so >»uß, wenn richtig multiplicirt worden ist, der andere Factor als Quotient herauskommen. 6 82 §. 55. Anwendung der Division. Die Division wird, wie schon aus ihrem Begriffe hervorgehet, überhaupt angewendet: I. Als LHeilung, wenn man eine Zahl in mehrere gleiche Theile zu thcilen hat- In diesem Falle wird der Divisor als unbenannt betrachtet, und der Quotient bekommt denselben Namen, welchen der Di¬ vidend hat. Besondere Fälle davon sind: 1. Wenn eine Einnahme oder Auslage un¬ ter mehrere Personen zu gleichen Theilen zu ver- theilen ist; hier wird die gesammte Einnahme oder Auslage durch die Anzahl der Personen dividirt. Beispiel i. s Kinder theilen sich um die väter¬ liche Erbschaft von 2560 fl.; wie viel bekommt jedes Kind? — Antwort: 512 fl. Beispiel 2. Eine Steuer von 22k! fl. ist unter 19 Häuser zu gleichen Theilen zu vertheilen; wie viel muß jedes Haus bezahlen? — Antwort: 12 fl. 2. Um aus der Einnahme oder Ausgabe für mehrere Tage, Monate, Jahre, die tägliche, mo¬ natliche, jährliche Einnahme ober Ausgabe zu berechnen; hier wird die erstere Einnahme oder Aus¬ gabe durch die Anzahl Tage, Monate, Jahre dividirt. Beispiel 1. Ein Beamte hat eine jährliche (12 monatliche) Besoldung von 600 fl.; wie viel bezieht er monatlich? — Antwort: 50 fl. Beispiel 2. Jemand gibt in 24 Tagen 72 ff aus; wie vielkommtaufeinen Tag? — Antwort: 3 ff Beispiel 3. Das jährliche Interesse eines Kapi¬ tals beläuft sich auf 420 fl.; wie groß ist das mo¬ natliche Interesse? — Antwort: 35 fl. 83 Wenn aus dein Werthe einer Mehrheit der Werth für die gleichnamige Einheit zu berechnen ist; hier wird der Werth der Mehrheit durch die Mehr¬ heit dividirt. Beispiel i. 65 Eimer Wein kosten 325 si.; wie hoch kommt davon i Eimer? — Antwort: 5- si. Beispiel 2. Jemand verkauft i Ct. (100 Honig um 25 fl. (1500 kr-); wie hoch rechnet er i an? —- Antwort: 15 kr. 4. Das Reduciren. Reduciren heißt Einheiten einer niedriger» Be¬ nennung in Einheiten einer Hähern Benennung ver¬ wandeln, z- B. Kreuzer in Gulden, Tage in Monate. Das Reduciren auf eine höhere Benennung ge¬ schieht, wenn man die Einheiten der niedriger» Be¬ nennung durch den betreffenden Verwandler dividirt. Beispiel 1. Wie viel Gulden geben 720 Kreuzer? Rechnung: 6(0 j 72(0 I 12 Gulden. 6 12 12 o Beispiel 2. Wie viel -K geben 2080 Lvth? Rechnung: 32 > 2080 j 65 1Y2 160 160 o chcn H. Als Vergleichung, wenn man untersu- will, wie oft eine Zahl in einer anderen enthal- 84 ten ist. In diesem Falle müssen Dividend und Divi¬ sor, wenn sie nicht schon gleichnamig sind, auf gleiche Benennung gebracht werden. Der Duotient erscheint durch die Rechnung selbst als unbenannt, erhält aber dann den Namen nach den Umstanden der Aufgabe. Besondere Fälle davon sind: 1. Um aus der Einnahme oder Auslage mehre¬ rer Personen und jener einer einzigen Person die An¬ zahl der Personen zu berechnen; hier wird erstere Einnahme oder Auslage durch letztere dividirt. Beispiel i. Eine Handlungsgcsellschaft gewinnt 8000 fl.; wenn nun davon auf jeden Lheilnehmer 500 fl. entfallen, wie viele Personen waren wohl in der Gesellschaft? — Antwort: 16 Personen. Beispiel 2. Für ein Unternehmen müssen 1204 fl. ausgelegt werden; wie viel Personen müssen daran Lheil nehmen, damit auf eiue Person die Auslage von 14 fl. kommt? — Antwort: 86 Personen. 2. Um aus der Einnahme oder Auslage für mehrere Tage, Monate, Jahre und aus der täglichen, monatlichen, jährlichen Einnahme oder Auslage die Anzahl der Lage, Monate, Jahre zu bestim¬ men; auch hier wird erstere Einnahme oder Auslage durch letztere dividirt. Beispiel 1. Ein Taglohner, welcher täglich 35 Kreuzer verdient, bezieht am Ende der Arbeit 7 Gul¬ den (420 kr.); wie viele Lage hat er wohl gearbei¬ tet? — Antwort: 12 Lage. Beispiel 2. Ein Studirender zahlt monatlich 18 fl. für Kost und Duartier; durch wie viele Monate wird er mit 144 fl. ausreichen? — Antwort: 8 Monate. 3. Wenn man aus dem Werthe der Mehrheit und jenem der gleichnamigen Einheit die Mehrheit 85 selbst finden will; hier wird dec Werth der Mehrheit durch den Werth der Einheit dividict. Beispiel Wie viele Ellen Luch bekommt man um 84 fl., wenn eine Elle derselben Gattung 6 fl. kostet? — Antwort: 14 Ellen. Beispiel 2. Wie viel Zucker bekommt man um 6 fl. (süo kc.) , wenn man ein -U. mit 24 kr. bezahlen muß? — Antwort: 15 Dritter Abschnitt Von den vier Haupt-Rechnungsarten mit mehrnamigen Zahlen. §. 56. Resolviren und Reduciren mehrnamiger Zahlen. Vor allem ist nothwendig, über das Resolviren und Reduciren mehrnamiger Zahlen das Nöthige vor¬ auszuschicken. l. Ist eine mehrnamige Zahl in die niedrigste Benennung zu resolviren, so multiplicire man die Einheiten der höchsten Benennung mit dem Verwand¬ ler für die nächst niedrigere, und addire zu dem Pro¬ ducts die bereits vorhandenen Einheiten jener Ordnung, welches meistens gleich während des Multiplicirens ge¬ schieht. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis man auf die niedrigste Benennung kommt. Beispiel i. Wie viel Kreuzer betragen 15- fl. 32 kr. 87 Rechnung: kürze».': 15 fl. 32 kr. i5 fi. 32 kr. 6o 6o yoo Y32 32 Y32 Man sagt bei der zweiten Art: o und 2 ist 2 ; 5»nal 6 ist 30, und 5 ist 33, bleibt 3; iiual 6 ist 6, und 3 ist y. Beispiel 2. Man verwandle 23 Jahre 4 Mo¬ nate 25 Tage in Lage- Rechnung : 23 I. 4 M. 25 T- 12 23 280 M. 30 8425 Lage. II. Sind die Einheiten einer niedrigern Benen¬ nung in eine mehrnamige Zahl, worin auch höhere Benennungen vorkommen, zu reduciren, so dividire wan die gegebenen Einheiten mit dem Verwandler für die nächst höhere Benennung. Der Quotient bedeutet Einheiten der nächst höheren, der Rest aber die übrig¬ gebliebenen Einheiten der niedrigern Benennung. Der Quotient wird, wenn es angehet, auf die nämliche Art auf die nächst höhere Benennung reducirt. Beispiel 1. Man reducire 2325 dl- auf die höhcrn Benennungen. 88 Rechnung- 4 I 2325 I 581 kr. 1 dl. 6(o I 58(i I 9 fl. 41 kr. 20 54 32 41 kr. 32 S 4 1 dl- 2325 dl- betragen alfo 9 fl- 41 kr- 1. dl. Beispiel 2. Wie viel Klafter , Fuß, Zoll, Lienen machen 45233 Linien aus? Rechnung: 12 j 45233 I 37Ü9"5'" 36 92 «4 83 72 113 108 l'" Antwort: 5 2" 2' 1" 5'" Das Resolviren und Reduciren dienen sich gegen¬ seitig zur Probe. 89 §. 57. Allgemeine Bemerkungen über das Rechnen mit mehrnamigen Zahlen. Für das Rechnen mit mehrnamigen Zahlen brauchte man eigentlich gar keine besondern Regeln aufzustel¬ len, da es sich auf jenes mit einnamigen zurückführen läßt, Man braucht nämlich nur die mehrnamigen Zah¬ len auf die niedrigste Benennung zu bringen, und sie als einnamige zu behandeln; dann aber das, was her¬ auskommt, wenn es eine benannte Zahl ist, wieder auf die höheren Benennungen zu reduciren. Es lassen sich jedoch Regeln aufstellen, durch deren Beobachtung man schneller zum Zwecke kommt, als durch das eben angezeigte Verfahren. Diese Regeln sind ein unmittelbares Ergebniß des bereits bei den einzel¬ nen Rechnungsarten mit mehrziffrigen Zahlen entwickel¬ ten Verfahrens. Man erinnere sich hier an das, was §. 17 über die Ähnlichkeit und den Unterschied zwischen mehrziff¬ rigen und mehrnamigen Zahlen gesagt wurde; und wiederhole zugleich die für die verschiedenen Rechnungs¬ arten mit unbenannten oder einnamigen Zahlen in 2. Ab¬ schnitte aufgestellten Regeln. Es kann dem Anfänger als eine sehr nützliche Uebung angeralhen werden, ganz selbstständig durch eigenes Nachdenken die Regeln für die Rechnungsar¬ ten mit mehrnamigen Zahlen aus denen für einna- migc und mehrziffrige abzuleitcn. Damit er sich aber von der Richtigkeit seiner Entwicklung überzeugen könne, so wollen wir auch hier die Ableitung der Regeln für jede Rechnungsart mit mehrnamigen Zahlen einzeln vor¬ nehmen , und diese Regeln durch Beispiele beleuchten. so Es wird nicht unzweckmäßig seyn, selbst das We¬ sentliche von dem im vorigen Abschnitte entwickelten, für jede Rechnungsart zu beobachtenden Verfahren hier noch einmal zu wiederholen. Denn dort war man dar¬ auf bedacht, die Regeln so aufzustellen, wie sie am leichtesten verstanden und angewcndet werden können. Hier aber sollen sie unter jener Form erscheinen, wel¬ che in den Zusammenhang zwischen dem Verfahren, welches beim Rechnen mit mehrziffrigen Zahlen beobach¬ tet werden soll, und jenem, das beim Rechnen mit mehrnamigen Zahlen in Anwendung kommt, am mei¬ sten Einsicht gewähret. §. 58. Addition. Für das Addiren mehrziffriger Zahlen sind fol¬ gende Regeln abgeleitet worden: Man schreibe die Einheiten derselben Ordnung un¬ ter einander. — Man fange bei der niedrigsten Ord¬ nung zu addiren an, und addire Ordnung für Ord¬ nung, bis man zur höchsten kommt, die jedesmalige Summe wird unter die addirten Einheiten geschrieben.— Ist diese Summe zweiziffrig d. h. enthält sie auch Ein¬ heiten der nächst höheren Ordnung, so werden die Zeh¬ ner als nächst höhere Einheiten zu diesen weiter gezahlt, die Einheiten aber als übriggebliebene Einheiten dersel¬ ben Ordnung an die gehörige Stelle geschrieben; die letzte Summe schreibt man ganz an. Daraus folgen für die Addition mehrnami- ger Zahlen folgende Regeln: i . Man schreibe die Addenden so untereinander, daß Zahlen derselben Benennung unter einander zu stehen kommen, und ziehe darunter einen Querstrich. 91 2. Man fange bei der niedrigsten Benennung zu addiren an, addire Benennung für Benennung, bis man zur höchsten kommt, und schreibe die jedesmalige Summe unter die addirten Zahlen. 3. Zst die erhaltene Summe so groß, daß sie Einheiten der nächst höhern Benennung enthalt, so reducirt man sie auf diese höhere Benennung ; die übrig¬ gebliebenen Einheiten werden an die gehörige Stelle geschrieben, die erhaltenen höhern Einheiten aber zu ihrer Benennung weiter gezählt. Die letzte Summe wird ganz ungeschrieben. Zn die Stelle, wo eine Benennung fehlt, kommt ein Querstrich. Beispiele. i. Man addire folgende Zahlen: 523 si. 15 kr- i dl. 4 j 6 j ikr. 6(o j 8(8 j i fl. 6 . 2(8 kr. 82 ,, 4^ 3 ,, 120 ,, 3 ,, „ 4- 2 dl. 14 „ 21 „ 2 „ ?45 ,, 28 ,, 2 ,, In diesem Beispiele erhält man bei den Pfenni¬ gen 6 zur Summe; diese wird, da sie auch Kreuzer enthält, auf Kreuzer reducirt, indem man sie durch 4 dividirt; der Rest 2 dl- wird angeschrieben, der Quo¬ tient 1 kr- aber zu den Kreuzern weiter gezählt. Die gefundene Summe von 88 kr. dividirt man, da sie Gulden enthält, durch 60 ; schreibt den Rest 28 kr. unter die Kreuzer, der Quotient 1 fl. aber wird zu den Gulden weiter gezählt. 92 2. Man addire folgende Zahlen : 25 Ct. 27 21 Lth. 3> 15 ,, 183Y „ 11 „ 20 ,, In der Zeitrechnung wird immer die Jahreszahl als Anzahl Jahre, die Zahl, welche anzeigt, der wie¬ vielte im Jahre der gegebene Monat ist, als Anzahl Monate, und der Monatstag als Anzahl Tage be¬ trachtet. Bei diesen Aufgaben wurde die bei der Anwen¬ dung der Addition §. 26 beobachtete Ordnung berück¬ sichtiget. Eine ähnliche Bemerkung gilt auch für die Ausgaben der folgenden Rechnungsarten. §. 69. Subtraction. Die Regeln, die für das Subtrahiren mehrziff- n'ger Zahlen sowohl mittelst des Wegnehmens als mit- 94 telft des Hinzusetzens abgeleitet wurden, lassen sich so ausdrücken. Man schreibe die Einheiten derselben Ordnung unter einander. — Man fange bei der niedrigsten Ord¬ nung zu subtrahiren an, und subtrahire Ordnung für Ordnung, bis man zur höchsten kommt; der jedesma¬ lige Rest wird unter die fubtrahirten Einheiten geschrie¬ ben. — Wenn eine Ziffer des Subtrahendus größer ist, als die darüber stehende des Minuendus, so wird letztere um 10 d. i. um eine nächst höhere Einheit vermehrt, und deßwegen die nächst höhere Stelle im Minuendus um i vermindert, oder die nächst höhere Stelle im Subtrahendus um i vermehrt. Daraus folgen für die Subtraktion mehr- namiger Zahlen folgende Regeln: 1. Man schreibe den Subtrahend so unter den Minuend, daß Zahlen derselben Benennung unter ein¬ ander zu stehen kommen, und ziehe darunter einen Querstrich. 2. Man fange bei der niedrigsten Benennung zu subtrahiren an, subtrahire Benennung für Benennung, bis man zur höchsten kommt, und schreibe den jedes¬ maligen Rest unter die fubtrahirten Zahlen. Die Subtraktion der einzelnen Zahlen geschieht entweder mittelst des Wegnehmens oder Hinzufetzens. 3. Ist bei einer Benennung die Zahl des Sub¬ trahendus größer als jene des Minuendus, so wird letztere um so viele Einheiten vermehrt, als ihrer eine nächst höhere Einheit enthält, und dann die Subtrak¬ tion verrichtet. Dafür wird dann in der nächst höhern Benennung entweder der Minuendus um i vermindert, oder der Subtrahendus um i vermehrt. 95 Beispiele. Hier kennen 12 Loth von 4 Loth nicht abgezo¬ gen werden, man muß daher letztere um 32 Llh- d. i. um i ssA. vermehren, wodurch man 36 Lth. erhalt, 12 davon bleiben 24 Lth. Die 17 sstz. im Minuend müssen um 1 vermindert werden; nun kann man 27 von 16 wieder nicht abziehen, daher muß man letz¬ tere um 1 Ct. oder 100 vermehren, wodurch 116 sstz. herauskommen, 27 davon abgezogen bleiben Li) Dafür müssen die >2 Ct. um 1 vermindert werden, man hat also 11 Ct., und 5 von 11 blei¬ ben 6 Ct. 3. Man subtrahire 4 Jahre 7 Monate 25 Tage von 8 Jahren. Rechnung: 8' J. H M. T. 4 ?? 'k ,, 25 ,, 3 ,, 4 5 „ Hier wurden die Tage um 30, die Monate um 12 vermehrt, und dafür sowohl die Monate als Jahre um 1 vermindert. 96 Dasselbe würde man erhalten, wenn man in den letzten zwei Beispielen, statt die Einheiten des Minu- endus um i zu vermindern, jene des Subtrahendus um i vermehrt hätte. §. 60. Aufgaben über die Subtraction. 1. Ein Beamte bezieht durch ein Quartal 237 fl. 36 kr.; wie viel bleibt ihm davon übrig, wenn er 185 fl. 52 kr. ausgegeben hat? — Antwort; 5i fl. 44 kr. 2. Ein Kaufmann hatte i Ballen und 8 Rieß Papier vorräthig, wovon er bereits 8 Rieß 17 Buch verkauft hat; wie groß ist noch fein Papiervorralh? — Antwort: y Rieß 3 Buch. 3. Jemand zahlt an Hauszins jährlich 75 fl. 30 kr.; wie viel bleibt er noch schuldig, wenn er auf die diesjährige Rechnung schon 35 fl. 45 kr. berichti¬ get hat? — Antwort: 3Y fl- 45 kr. 4. Ein Kaufmann kauft die Elle Tuch zu 3 fl. 45 kr., wenn er sie dann zu 4 fl. 20 kr. verkauft; wie viel gewinnt er dabei? — Antwort: 35 kr. 5. Jemand ist am 2. April 1787 geboren, und starb am 3. October 1835; wie alt ist er geworden? — Antwort: 48 Jahre 6 Monate 1 Tag. Jemand ist am 25. Jänner 1823 geboren; wie alt ist er, wenn man heute den iy. Marz 1840 schreibt? — Antwort- 17 Jahre 1 Monat 24 Tage. §. 61. Multiplikation. Bei der Anwendung der Multiplication 44 ist gesagt worden, daß der Multiplikator während der 97 Rechnung als unbenannt angesehen wird; ist er also in der Aufgabe als benannte Zahl angegeben , so muß diese als einnamig vorausgesetzt, und dann der Name wcggelasfen werden. Daher brauchen wir uns hier nur auf jenen Fall der Multixlication zurück zu beziehen , wo der Multiplicand mehrziffrig, der Multiplicator aber einziffrig ist. Wenn eine mehrziffrigc Zahl mit einer einziffri- gen z» multipliciren ist, so hat man, wie §. §. Iy 40 entwickelt wurde, folgende Regeln zu beobachten: Man schreibe den emziffrigen Multiplicator un¬ ter die Einheiten des Multiplicandus. — Man fange bei der niedrigsten Ordnung zu multipliciren an, und multiplicire Ordnung für Ordnung bis man zur höch¬ sten kommt; das jedesmalige Product wird unter die multiplicirte Stelle geschrieben. — Ist dieses Product zweiziffrig, d. h. enthält es auch Einheiten der nächst höher» Ordnung, so werden die Zehner als nächst höhere Einheiten zu dem Producte dieser letzter» wei¬ ter gezählt, die Einheiten aber als übriggebliebene Ein¬ heiten derselben Ordnung an die gehörige Stelle ge¬ schrieben ; das letzte Product schreibt man ganz an.- Ist al so cin e m c h rn a mig e Zahl mit einer un benannten zu multipliciren, so hat man Fol¬ gendes zu beobachten : j. Man schreibe de» Multiplicator unter die niedrigste Benennung des Multiplicandus, und ziehe darunter eine» Querstrich. 2. Man fange bei der niedrigsten Benennung zu multipliciren an, multiplicire Benennung für Be¬ nennung, bis man zur höchsten kommt, und schreibe das jedesmalige Product unter die multiplicirte Be¬ nennung. 7 98 Z. Ist das erhaltene Product so groß, daß es Einheiten der nächst höhern Benennung enthält, so reducirt man es auf diese höhere Benennung ; die übrig¬ gebliebenen Einheiten werden an die gehörige Stelle ge¬ schrieben, die erhaltenen höhern Einheiten aber zu dem Produkte dieser letztem und zwar sogleich während des Multiplicirens weiter gezählt. Das letzte Product wird ganz angeschrieben. Beispiele. 1. Man multiplicire s fl. 24 kr. 3 dl. mit 7. Rechnung: 3 fl. 24 kr. 3 dl. 3 7 7 37 „ 53 „ 1 „ 4^1 ^5 kr. 20 24 r dl. 6(0)17(3)2 fl. 12 5(3 kr- Hier erhält man: 3 mal 7 sind 2t dl., welche auf Kreuzer reducirt 5 kr. 1 dl. geben; man setzt 1 dl. an die Stelle der Pfennige, die 5 kr. werden weiter gezählt; ferner 4>nal 7 ist 28 und 5 ist 33, 3 unge¬ schrieben , bleibt 3, 2inal 7 ist 14 und 3 ist 17, die 173 kr geben 2 fl. 53 kr.; man setzt die 53 kr. an die Stelle der Kreuzer, die 2 ff. werden weiter gezählt; 5>nal 7 ist 35 und 2 ist 37. 2. Man multiplicire 14° 4' y" 5'" mit 27. Die Rechnung stehet:- 14° 4' y" 5"' 27 3yyo 3' 2" 3"' 99 Aufgabe» über die Multiplikation« 1. Bei einem Mittagmale waren 14 Personen; wie groß war wohl die Rechnung, wenn jede Person 1 fl. 36 kr. zahlen muß? —> Antwort: 22 ft. 24 kr. 2. Ein Tagiohner verdient täglich 48 kr.; wieviel macht dieses in 27 Lagen? — Antwort: 2» fl. 36 kr. In einer H.sishaltung gibt man im Durchschnitte monatlich 88 fl.^'45 kr. aus; wie hoch beläuft sich die Ausgabe für 1 1 Monate? — Antwort: 97Ü ff. 15 kr. 3. Wenn ein Ct. Eisen 27 ff- 24 kr. kostet, wie hoch kommen 14 Et- ? — Antwort: 383 ff. 36 kr. 1 Ct. Heu wird mit 1 fl. 12 kr. bezahlt; wie hoch kommen davon 92 Ct. ? — Antwort: tio fl. 24 kr. Wie viel kosten 25 Metzen Weizen, wenn der Metzen auf 1 fl. 35 kr- zu stehen kommt? — Ant¬ wort: 39 fl. 35 kr. - §. 64. Division. l- A l s T h e ilung. Die Division wird, wie §. 55 gesagt wurde, entweder als Lheilung oder als Vergleichung anaewendet- 100 Am ersten Falle ist der Dividend in so viele glei¬ che Lheile zu theilen, als der Divisor Einheiten ent¬ hält; dabei wird der Divisor als unbenannt angesehen. Für die Division einer mchrziffrigen Zahl durch was immer für eine andere Zahl haben wir nun im Wesentlichen folgende Regeln anfgestellt: Man fange bei den Einheiten der höchsten Ord¬ nung zu dividiren an, dividire Ordnung für Ordnung, bis man zur niedrigsten kommt; der jedesmalige Quo¬ tient bedeutet Einheiten derselben Ordnung als die dividirte Zahl. — Bleibt bei der Division einer Ord¬ nung von Einheiten ein Rest, so verwandle man den¬ selben in Einheiten der nächst niedrigern Ordnung , und addire dazu die im Dividend bereits vorhandenen Ein¬ heiten dieser Ordnung ; dieses wird als der neue Theil- dividend betrachtet, und dann weiter dividirt. Ist also eine mehr na ms-»e Zahl durch eine un benannte zu dividiren, so beobachte man folgende Regeln: 1. Man schreibe den Dividendus zwischen zwei aufrechten Strichen, und links vor denselben den Di¬ visor; der Quotient kommt nach und nach rechts nach dem Dividende zu stehen. 2. Man fange bei der höchsten Benennung zu dividiren an, dividire Benennung für Benennung, bis man zur niedrigsten kommt, und gebe dem jedesmali¬ gen Quotienten jenen Namen, den die dividirte Zahl hat. I. Bleibt bei der Division einer Benennung ein Rest, so verwandle man ihn in die nächst niedrigere Benennung, und addire dazu die im Dividend bereits vorhandenen Einheiten dieser Benennung. Dann wird weiter dividirt. 101 Beispiele. i. Man dividire 38 fl. 45 kr. 5 dl. durch 7. Rechnung: 7,38 fl. 45 kr. 3 dl. > 5 fl. 32 kr. 1 dl- 35 60 225 kr. 2t 15 14 1 4 7dl. 7 Man hat hier: 7 in 38 ist 5inal enthalten, blei¬ ben noch 3 fl.; diese zu Kreuzern gemacht, und die vorhan¬ denen 45 kr. dazu addirt, hat man 225 kr., welche durch 7 dividirt 32 kr. zum Quotienten und 1 le. zum Reste ge¬ ben; 1 kr. zu Pfennigen gemacht, und die 3 dl. dazu addirt, hat man 7 dl.; 7 in 7 ist i mal enthalten. 2- Es seien 228 Et. durch 25 zu dividiren. Rechnung: 25 > 228 Et. I 9 Et. 12 225 100 300 25 50 50 102 65. n. Als Vergleichung. Wird die Division als Vergleichung angewen¬ det, so wird vorausgesetzt, daß Divisor und Dividend gleichnamig sind. Man verwandle daher die beiden mehrnamigen Zahlen in eine gleiche, und zwar die nie¬ drigste Benennung; dann hat man es mit der Divi¬ sion zweier einnamigcr Zahlen zu thun, wofür die Regeln schon im 2- Abschnitte entwickelt wurden- Beispiele. i. Wie ost sind 12 fl. 23 kr. in 185 fl. 45 kr. enthalten? Rechnung: i2fl. 23 kr, i85fl. 45 kr. 60 60 743 kr. 11145 kr. 743 I 11145 I 15 745 3715 3715 u 2- Wie oft sind 1'5 Stunden 16 Minuten in 22 Tagen 21 Stunden 36 Minuten enthalten? Rechnung: i5St-i6M. 22 T. 21 St. 36 M. 60 24 916 M. 88 44 54y St. 60 32976 103 9'6 I 3297.6 j '-6 2748 5496 5496 §. 66. Aufgaben über die Division. i. 1. Unter 52 durch Feuer verunglückte Einwoh¬ ner sind 925 fl. 36 kr. zu gleichen Theilen vertheilt worden; wie viel bekam ein jeder? — Antwort : 17 fl. 48 kr. 2. Ein Beamte bezieht monatlich 37 fl. 30 kr.; wie viel kommt auf einen Tag? — Antwort: i fl. 15 kr. Ein Student zahlt monatlich für Kost und Duar- ticr 14 fl. 30 kr.; wie viel kommt aus einen Lag ? — Antwort: 29 kr. 8. Jemand kauft 27 K. Wolle um 10 fl. 48 kr.; wie theuer bezahlte er das Pfund davon'? — Antwort: zu 24 kr. Ein Gärtner gibt 65 Stück junger Bäumchen um 19 fl. 30 kr.; wie theuer hat er das Stück ver¬ kauft? — Antwort: um 18 kr. H. 1. Die Kosten einer Unterhaltung belaufen sich auf 51 fl. 50 kr.; wenn nun auf jede Person 3 fl. 26 kr. zu bezahlen kommt: wie viel Personen waren wohl bei der Unterhaltung? — Antwort 15 Personen. 104 2. Ein Knecht hat monatlich 2 fl. 30 kr.; wie viele Monate wird er dienen müssen, um 22 fl- 30 kr. zu verdienen? — Antwort: y Monate. Ein Kapital gibt jährlich 125 fl. 20 kr. Inte¬ resse; durch wie viele Jahre wird wohl das Kapital anliegen müssen, damit das Interesse auf 752 fl. anwachse? — Antwort: durch 6 Jahre. 3. 1 Kerzen kostet 16 kr.; wie viel bekommt man um 4 fl. 4kl. kr- ? — Antwort: 18 Ein Kaufmann verkauft um yo fl. Tuch, die Elle zu 5 fl. 20 kr.; wie viel Ellen hat er verkauft? — Antwort: 27 Ellen. Anhang einiger Wortheile bei den vier Rechnungs¬ arten. i. Rechnungsvortheile bei unbenannten Zahlen. Da man bei der Addition die Summe, und bei der Subtraktion den Unterschied unmittelbar aus dem Kopfe hinsetzt, somit schon nach den allge¬ meinen Regeln nur die nothwendigen Ziffern anschreibt, so kann bei diesen beiden Rechnungsarten von keinem eigentlichen Vortheile die Rede sein. Vortheile bei der Multiplication. Wenn der Multiplikator aus zwei Zif¬ fern besteht, deren eine i ist, so läßt man den Multiplikand als einen Theil des Produktes stehen, und fetzt bas Product mit der andern Ziffer des Mul¬ tiplikators gehörig darunter, d. i. um eine Stelle weiter gegen die Rechte, oder gegen die Linke, je nach¬ dem diese zweite Ziffer rechts oder links vor i stehet; diese zwei Zahlen werden addirt. — Man kann noch kurzer verfahren, wenn man das zweite Product gleich während des Multiplicirens zu dem Multiplikand ge- 106 hörig addirt, und so unmittelbar das Hauptproduct hinschreibt. Beispiel i. 827 X 17 oder 827'X 17 14059 Man spricht bei der zweiten Art: 7mal 7 ist 4y, bleibt 4; 2mal 7 ist 14 und 4 ist 18 und 7 ist 25, bleibt 2; 7>nal 8 ist 56 und 2 ist 58 und 2 ist 60, bleibt 6; 6 und 8 ist 14. Beispiel 2. 57823 X 91 57823 X 91 581893 581893 2- Wenn eine Zahl mit n zu multi- pliciren ist, so schreibt man sie noch einmal dar¬ unter, aber um eine Stelle weiter gegen die Linke, und addirt beides zusammen; oder kürzer, man ver¬ richtet diese Addition unmittelbar an dem gegebenen Multiplicand, indem man die erste Ziffer rechts un¬ verändert hinschreibt, und dann nach und nach zu je¬ der Stelle die nächst höhere dazu addirt. Beispiel: 7813 X 11 oder 7813 X 11 859ä3 Bei der zweiten Art sagt man: 3 ist 3 ; 3 und 1 ist 4 : 1 und 8 ist 9; 8 und 7 ist 15, bleibt 1; I und 7 ist 8. 3. Ist der Multiplikator ein Product zweier Factoren, mit denen leicht zu multipliciren ist, so multiplicire man zuerst mit dem einen, und dann bas Product mit dem anderen Factor: 107 Beispiel 1. 57368 X 35 -X 5 286840 —--X 7 2007880 Da 35 —3 X 5 ist, so wurde zuerst der Mul- tiplicand mit 5, und dieses Product noch mit 7 mul- tixlicirt; wenn man nämlich das 5fache einer Zahl noch 7mal nimmt, so erhält man gewiß das 35fache jener Zahl. Beispiel 2. 9715 X 480 582YO üX8s 4663200 Beispiel 3. 378y X 33 11367 3^'^ 125037 Beispiel 4. 71305 X 7700 499135 549048500 4. Mit 25 wird m ultiplicirt, wenn man dem Multixlicand 2 Nullen anhängt, und dieses dann durch 4 dividirt. Denn durch Anhängung von 2 Nul¬ len wird die Zahl mit 100 multiplicirt,. und weil 100 — 4 X 25 ist,-so wird dieses Product 4mal zu groß seyn; um daher das wahre Product zu erhalten, wird man jenes noch durch 4 dividiren. — Weil 1000^-8 X 125 ist, so solgt ebenso, daß mit 125 inultiplicirt wird, wenn man den Mulnplicand 3 Nullen anhängt, und dieses dann durch 8 dividirt. Beispiel 1. 37280° X 25 --- 4 93200 108 und addirt diese 1000, 10000 2, 3,4.. Beispiel 2. 13423ooo X 125 —8 1Ü77875 5- Ist der Multiplicator um einige Ein¬ heiten größer als 100, 1000, 10000, . . . so multiplicirt man zuerst mit 100, . . . indem man dem Multiplicand Nullen anhängt; dann multiplicirt man den Multu plicand noch mit dem Ueberschuße, zwei Zahlen zusammen. — Man verfährt kürzer, wenn man das zweite Product gleich während des Multi- plicirens zu dem ersten addirt. Beispiel. 917200 X 103 oder Yi72<>o X 103 944716 944716 Man sagt bei der zweiten Art; 2mal 3 ist 6; 3mal 7 ist 21 , bleibt -r; imal 3 ist 3 und 2 ist 5 und 2 ist 7; 3inal 9 ist 27 uffd 7 ist 34, bleibt 3; 3 und 1 ist 4; 9 ist 9. 6. Ist der Multiplicator um einige Ein¬ heiten kleiner als 1 00, 1000, 10000, . . . also eine Zahl, welche mit Ausnahme der ersten Zif¬ fer rechts aus lauter Neunern besteht; so hänge man dem Multiplicand so viele Nullen an, als der Mul¬ tiplicator Ziffern hat, multiplicire dann den Multi-- plicand mit der Ergänzung des Multiplikators und ziehe die zweite Zahl von der ersten ab, was mittelst des Hinzusetzens sogleich während der Multiplication geschehen kann. — Durch das Anhängen von 2, 3, 4 . . . Nullen erhält man das lOo, 1000, 10000 . . . fache des Multiplicandus, also das Soviclfache zu viel, als die Ergänzung 'des Multiplikators es anzeigt; dieses Vielfache muß daher noch abgezogen werden. 109 Beispiel. 37!5<,go x YY3 oder 37i5ooo 993 26005 ,000-7- 3688995 5688995 Hier sagt man: 5mal 7 ist 35, und 5 ist 40, bleibt 4; imal 7 ist 7 und 4 ist 11, und 9 ist 20, bleibt 2; 7mal 7 ist 49 und 2 ist 51, und y ist 60, bleibt 6; 3mal 7 ist 21 und 6 ist 27, und 8 ist 35, bleibt 3; 3 und 8 ist 11, bleibt 1; 1 und 6 ist 7; 3 ist 3. §. 2. Vortheile bei der Division. 1. Ist der Divisor ein Product zweier Factoren, so dividire man zuerst den Dividendus durch den einen, und dann den Duotienten durch den andern Factor. Beispiel. 3305790 : 45 661158 * --; s 75462 Dieser und der folgende Vortheil sind besonders anwendbar, wenn bei der Division nicht nach dem Reste gefragt wird, sondern wenn man nur den Duotient wissen will. 2. Durch 25 wird eine Zahl dividirt, wenn man sie zuerst mit 4 multiplicirt, und dann das Product durch 100 dividirt, indem man rechts 2 Ziffern abfchneidet; denn dadurch wird sowohl der Dividendus als der Divisor 4mal großer genommen, und folglich der Duolient derselbe bleiben. — Eben so folgt, daß eine Zahl durch 125 dividirt wi rd, wenn man sie mit 8 multiplicirt, und dann das Pro- 110 duct durch 1000 dividirt, indem man rechts 3 Zif¬ fern abfchneidet. Beispiel 1. 7842375 : 25 -1—ii- 01^690(20 Beispiel 2- 43728 : 25 -X4 174Y(., Beispiel 3. 23456786 : 125 ---xg 187654^88 ii. Rechnungsvortheile bei benannten Zahlen. Unter den vielen Vortheilen, deren man sich beim Rechnen mit benannten Zahlen bedienen kann, sollen hier nur die wichtigsten und am häufigsten anwendba¬ ren angeführt werden. §.3. Vortheile beim Resolviren und Neduciren. a. Verwandlung der Centner in Pfunde und umgekehrt. 1. Um Centner in Pfunde zu resolviren, multiplicirt man sie durch 100, indem man ihnen 2 Nullen anhängt, und addirt dazu die bereits vorhan¬ denen Pfunde, welche eben an die Stelle jener 2 Nul¬ len zu stehen kommen. Man verfährt also kürzer, wenn man die ange¬ gebenen Pfunde als Einheiten und Zehner stehen läßt, und die Centner als Hunderte vorausfchreibt. Ist die Zahl der Pfunde einziffrig, so wird an die Stelle der Zehner eine Nulle gesetzt. Beispiele. 3 Ct. 62'ftz-— 362 27 Ct. 8^.--:27O8^tz. 111 Dieser Vortheil findet Anwendung beim Subtra- hiren und Dividiren der Centner und Pfunde. Wenn beim Subtrahiren der Pfunde i Ct. ge¬ borgt werden soll, so denke man sich den Pfunden im Minuendus an der Stelle der Hunderte i vorausge¬ setzt, und subtrahire. Beispiel. 34 Ct. 28 1» „ 4"? „ Io,, 81,, Man sagt: 7 und 1 ist 8; 4 und 8 ist 12 , bleibt 1; 1 und 8 ist 9, und 5 ist 14, bleibt 1; 1 und 1 ist 2 , und 1 ist 3. Wenn beim Dividiren der Centner ein Rest bleibt, so denkt man sich denselben als Hunderte den vorhandenen Pfunden vorangesetzt, und dividirt. Beispiel. Man dividire 58 Ct. 75 durch 5. Man schreibt: 58 Ct. 75 K. -..5 11,, 75 ,, und sagt: 5 in 5, rmal; 5 in 8 , imal, bleibt 3; 5 in 37, 7mal, bleibt 2; 5 in 25 , 5mal. 2. Um Pfunde in Centner zu verwandeln, dividirt man sie durch roo, indem man rechts 2 Zif¬ fern abschneidet; der Quotient, d. i. die links blei¬ bende Zahl, bedeutet Centner; der Rest aber, d. i. die aus den rechts abgeschnittenen 2 Ziffern bestehende Zahl bedeutet Pfunde. Beispiele- 5(72 — 5 Ct. 72 fftz. I7(oy fftz. — 17 Ct. 9 "ftz. Dieser Vortheil findet Anwendung beim Addi- ren und M u l tip l ic i r c n der Centner und Pfunde.—- Man wird nämlich in der Summe oder im Produkte 112 die Einheiten und Zehner der Pfunde sogleich anschrei¬ ben, die Hunderte aber als Centner weiter zählen. Die nämlichen Vorlheile gelten auch bei der Ver¬ wandlung der Istra in Oentosiruo, und umgekehrt. §. 4. d. Verwandlung der Gulden in Kreu¬ zer und umgekehrt. 1. Um Gulden in Kreuzer zu verwandeln, multiplicirt man sie mit 6c>, zu welchem Producte dann die schon vorhandenen Kreuzer addirt werden. Eine Zahl wird mit 6o multiplicirt, wenn man sie mit 6 multiplicirt, und diesem Producte eine Nulle anhängt. Werden nun die Kreuzer dazu gezählt, so kommen die Einheiten derselben an die Stelle der Nulle, die Zehner aber werden zu dem Producte der Gulden mit 6 ad¬ dirt. — Man erhält daher sogleich die Kreuzer, wenn man die Gulden mit 6 multiplicirt, dazu die Zehner der Kreuzer addirt, und die Einheiten der letztern als solche stehen laßt. Beispiel- 4 fl. 32 kr. — 272 kr. Man sagt: 4mal 6 ist 24 und 3 sind 27 Zeh¬ ner, und 2 sind 272. Wenn daher beim Subtrahiren der Kreuzer 1 fl. geborgt werden soll, so subtrahire man, wie sonst, die Einheiten der Kreuzer, die Zehner aber im Minu- endus denkt man sich um 6 vermehrt, wo dann sub¬ trahier werden kann. Beispiel. 27 fl. 28 kr. 18 ,, 45 kl ,, 43 ,, 113 Dabei sagt man: 5 und Z ist 8; 4 und 4 ist 8, bleibt ist.; 1 und 8 ist y, und8isti7, bleibt 1; 1 und 1 ist 2, und 0 ist 2. Wenn ferner beim Dividiren der Gulden ein Rest bleibt, so multiplicirt man ihn mit 6, und denkt sich dieses Product zu den Zehnern der Kreuzer addirt. Beispiel 1. Man dividire 15 ff. 48 kr. durch 12. Rechnung: i5fl. 48kr. -: i» 1 ,, „ Hier spricht man: 12 in 15, imal, bleibt 3; 3mal 6 ist r.8 und 4 ist 22, 12 in 22, imal, bleibt 10; 12 in 108, ymal. Beispiel 2. Es seien 392 st. in 5 Lheile zu theilen. Man schreibt: 392 fl. --- f 78 fl. 24 kr. und sagt: 5 in 39, 7>nal, bleibt 4; 5 in 42, 8mal, bleibt 2; 2mal 6 ist 12 (folglich 120 kr.), 5 in 12, 2mal, bleibt 2; 5 in 20 , 4mal. 2. Um Kreuzer in Gulden zu verwandeln, dividirt man sie durch 60, indem man eine Ziffer zur Rechten abfchneidet, und die übrigen durch 6 divi¬ dirt; der erhaltene Quotient bedeutet Gulden. Zudem letzten Reste wird dann die abgeschnittene Ziffer hinzu¬ gefetzt, und diese Zahl bedeutet Kreuzer. Die Ein¬ heiten der Kreuzer erscheinen auf diese Art auch nach der Verwandlung noch an ihrer Stelle. — Man kann daher Kreuzer in Gulden verwandeln, wenn man die Einheiten derselben als solche beibehält, die Zehner aber durch 6 dividirt, und den dabei gebliebenen Rest als Zehner der Kreuzer annimmt, den Quotienten aber als Gulden betrachtet- Beispiel. 37(5 kr. — 6 fl. 15 kr. 8 114 Beim Addiren und Multipliciren mehrna- miger Zahlen, worin Kreuzer vorkommen, wird man daher die Einheiten der Kreuzer gleich anschreiben, und nur die Zehner durch 6 dividiren, den Rest als Zehner bei den Kreuzern ansetzen, den Quotienten aber als Gulden weiter zählen. Die nämlichen Vortheile gelten auch bei der Ver¬ wandlung der Stunden in Minuten, der Minuten in Sekunden, und umgekehrt. 5. Besondere Vortheile bei der Multiplication von Gulden und Kreuzern. Sehr häufig ist die Anwendung der Multiplica¬ tion, wann aus dem Wert he der Einheit, welcher in Kreuzern, oder Gulden und Kreuzern gege¬ ben ist, derWerth einer gleichnamigen Mehr¬ heit berechnet werden soll; daher sie hier eine ausführlichere Behandlung verdient. Wenn eine Zahl in einer andern ohne Rest ent¬ halten ist, so heißt sie ein aliquoter Lheil der andern. Z. B. 3 ist ein aliquoter Lheil von 12, und zwar der 4te Lheil, weil 3 in 12 ejmal enthal¬ ten ist, und kein Rest übrig bleibt; so sind 12 Kreu¬ zer ein aliquoter Lheil von 60 Kreuzern oder einem Gulden, und zwar der 5te Lheil, weil sie darin 5mal enthalten sind, und auch kein Rest übrig bleibt. Ein Gulden hat folgende aliquote Lheile: 30 kr- sind die Hälfte von einem Gulden, 20 ,, „ der 5te Lheil ,, ,, ,, 1„ 1? ,, 4ke ,, „ „ ,, 12 „ ,, „ 5te ,, ,, „ ,, 115 i o kr. sind der 6te Theil von einem Gulden. 6 ,, ,, ,, lote ,, ,, ,, ,, 5 „ „ „ I2te ,, ,, „ „ 4 >5 l5te ,, ,, s, r, 3 „ „ ,, 2Oste ,, ,, „ „ 2 ,, ,, Zosie ,, „ ,, ,s i ,, ist ,, 0oste ,, ,, ,, ,, Aus dem Begriffe der Division folgt, daß man, um aus einer Zahl die Hälfte, den dritten, vierten, . . . Lheil herauszuziehen, diese Zahl durch 2, 3, 4, . . . dividiren muß. 6. Fortsetzung. Ist der Werth der Einheit in Kreuzern , oder in Gulden und Kreuzern gegeben, so sind drei Haupt¬ fälle zu unterscheiden: entweder sind die Kreuzer im Preise der Einheit ein aliquoter Theil von einem Gul¬ den, oder fehlt ihnen ein aliquoter Theil des Guldens bis zu diesem, oder findet keines von beiden Statt. 1. Wenn die Kreuzer im Preise der Einheit ein aliq uoter Lheil von einemGul- den sind, so betrachtet man die Mehrheit, deren Werth zu berechnen ist, als Gulden, und ziehet den betreffenden aliquoten Theil heraus. — Denn würde die Einheit 1 fl- kosten, so wäre die Mehrheit selbst als Gulden betrachtet, der Werth der Mehrheit; wenn aber die Einheit nur einen aliquoten Lheil von einem Gulden kostet, so wird man, um den Werth der Mehrheit zu erhalten , auch nur denselben alrquoten Lheil von der als Gulden betrachteten Mehrheit nehmen. Beispiel. 1 Käse kostet 15 kr- ; wie viel kosten 72 -jtz- 8 * 116 Rechnung: i K. 15 kr.; 72-ftz. --4 18 fl. Weil nämlich 15 kr. der §te Theil eines Gul¬ dens sind, so betrachtet man die Mehrheit 72 als Gulden, und ziehet daraus den 4ten Lheil d. i. divi- dirt sie durch 4, wodurch man 18 fl. erhält. Kommen in diesem Falle außer den Kreuzern auch Gulden im Preise der Einheit vor, so wird der Werth siir die Gulden durch die Multiplikation, und der Werth siir die Kreuzer auf die vorige Art berech¬ net, und beides zusammen addirt. Beispiel. 1 Et- Eisen kostet 30 fl. 12 kr.; was kosten 65 Ct.? Rechnung : 1 Ct. — 30 fl. 12 kr-; 65 Ct. 1Y50 fl. 1H63 fl. Hier wurde 65 zuerst mit 30 multiplicirt, und dann durch 5 dividirt, weil 12 kr. der 5te Theil eines Guldens sind; beides hat man dann addirt. 2. Wenn den Kreuzern im Preise der Einheit ein aliquoter Lheil desGuldens bis zu diesem fehlt, so betrachte man die Mehrheit als Gulden, und ziehet davon den Werth für den feh¬ lenden aliquoten Theil ab. — Denkt man sich 1 fl. als Preis der Einheit, so wäre der Werth für die Mehrheit, diese Mehrheit selbst als Gulden betrachtet; da nun aber der Preis der Einheit um einen aliquo¬ ten Theil des Guldens kleiner ist als 1 fl-, so muß auch der Werth der Mehrheit um den eben sovielten Thell vermindert werden. 117 Beispiel, i Metzen Erdäpfel kostet 48 kr.; wie viel kosten 25 Metzen? Rechnung: 1 Metz. — 48 kr.; 25 Metz. 5 20 fl. , Da dem Preise der Einheit noch 12 kr. d. i. der 5te Thcil des Guldens bis zu diesem fehlen, so wird die Mehrheit 25 als Gulden betrachtet, daraus der 5te Lheil genommen, und davon abgezogen. Kommen in diesem Falle im Preise der Einheit außer den Kreuzern auch Gulden vor, so wird die Anzahl Gulden um 1 vermehrt, der Werth dafür durch die Multiplication berechnet, und davon der Werth für den fehlenden aliquoten Lheil abgezogen. — Denn vermehrt man die Anzahl Gulden um 1, und berech¬ net dafür den Werth der Mehrheit, so fällt dieser zu groß aus, und zwar nm den Werth des fehlenden ali¬ quoten Theiles, welcher Werth daher noch zu subtra- hiren ist. Beispiel. 1 Elle Tuch kostet 4 st. 50 kr.; was kosten 24 Ellen? Rechnung : 1 Elle — 4 fl. 50 kr ; 24 Ellen 120 fl. 4^, 116 fl. Hier wurde zuerst der Werth zu 5 fl. berechnet, indem man 24 mit 5 multiplicirte, dann der Werth für die fehlenden 10 kr. oder den 6- Lheil des Gul¬ dens, indem man 24 durch 6 dividirte; und der letz¬ tere Werth von dem erster» abgezogen. 8. Wenn keiner von jenen Fällen Statt findet, so zerlege man die Kreuzer in lauter aliquote 118 Thei'le des Guldens, berechne die Werthe dafür einzeln, und addire sie zusammen. Man zerlege, wenn es mög¬ lich ist, die Kreuzer in solche aliquote Lheile , daß die nachfolgenden wieder aliquote Theile von den vor¬ hergehenden sind, weil dadurch die Division erleich¬ tert wird. Beispiel I. I -K. Zucker kostet 24 kr. , was kosten 84 Rechnung : L K- 24 kr. ; 84 20 „ . . 28 fl. 4 „ - - 5 „ 36 kr. 33 ,, 06 ,, Hier ist 4 kr. der I5te Theil von einem Gul¬ den, oder der 5te von 20 kr.; man wird also ent¬ weder den Werth zu 1 fl. d. i. 84 fl- durch 15, oder den Werth zu 20 kr., d. i. 28 fl. durch 5 dividiren ; letzteres ist bequemer. Beispiel 2. 1 Ct. Kaffee kostet 40 fl. 42 kr- ; was kosten yo Ct. Rechnung: 1 Ct- — 40 fl. 42 kr. ; yo Ct. 40 „ ... 3üoofl- 30 „ 45 ,, 1O„ 15,, 2 „ 3 „ 3663 fl. Verbesserungen Seite 75 Zeile 11 von unten lasse man so weg. „ 81 ,, 10 „ oben, statt 5y lese man 6i. „ 83 Das Reduciren, welches aus Versehen auf diese Seite gesetzt wurde, hat am Schlüsse der Seite 85 vorzukommen. „ 9y in der letzten Aufgabe lese man Hafer statt Weizen. „ 106 Beispiel 2- soll heißen: 57823 X 91 520407 5261893 57823 X 91 5261893 L08ISS M 0^IV^K^I7C7^6