P K I- S I- K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 25 (1997/1998) Številka 4 Strani 194-201
Peter Legiša:
FOTOGRAFIJA IN MATEMATIKA, 3. del - globinska ostrina
Ključne besede: matematika, fizika, optika, fotografija, globinska ostrina. Elektronska verzija: http://www.presek.si/25/1340-Legisa.pdf
© 1998 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
FOTOGRAFIJA IN MATEMATIKA, 3. del -GLOBINSKA OSTRINA
Razmazani krožeč
Fotografski objektiv nam (načeloma) napravi ostro sliko predmetne ravnine na ravnino filma. Kako pa je s slikami točk, ki ne leže na predmetni ravnini?
Spet si bomo stvari poenostavili in objektiv nadomestili z eno samo tanko lečo (slika 1) z go riše no razdaljo /.
Denimo, da imamo objektiv naravnan tako, da ravnino, kije za a oddaljena od optičnega središča leče, ostro preslika na film. Ce je b razdalja ravnine filma od optičnega središča leče, velja
1 1
a + b~ J'
Ce je a' > a in
i. I - 1
a' + b7 ~~ / '
je b' < b. Ostra slika točke T na sliki 1 torej nastane pred filmom.
Na samem filmu pa se žarki iz točke T razmažejo po krogu s premerom U. Ce je U zelo majhen, tega tudi pri nekajkratni povečavi ne opazimo in se nam slika točke T še zmeraj zdi ostra. lJri malo s likov nem ali Leica (35 mm) formatu meri sličica na filmu 24 mm x 36 mm. Obstaja (ne povsem splošno sprejet) dogovor, da je največji dovoljeni premer
razmazanega krožca na filmu enak
Do-¿mm.
Pri petkratni povečavi sličice na filmu (to je na velikost 12 cm x 18 cm) se nam potem razmazani krožeč še zmera j zdi bolj ali manj kot točka, sa j smo ravno na meji ločljivosti človeškega očesa pri gledanju od blizu.
Podobno nam slika, manj oddaljene točke W nastane za filmom (slika 2).
	HO--"""			
				
				
Slika 2.
Vidimo torej, da v skladu z našim dogovorom preslika objektiv na film sprejemljivo "ostro" določen del prostora, ki vsebuje predmetno ravnino. Temu delu prostora pravimo območje globinske ostrine. Včasih pa s tem pojmom mislimo le na širino tega območja.
Območje globinske ostrine lahko povečamo, če zapremo zaslonko. Pri bolj zaprti zaslonki se nam bo slika točke T manj razmazala. (slika 3). zato
Slika Zaslonka prestreže robne žarke.
Tako smo zdaj ugotovili še drugo funkcijo zaslonke. Poleg uravnavanja količine svetlobe, ki prihaja skozi objektiv, vpliva še na območje globinske ostrine. Kratkovidni in daljnovidni ljudje brez očal ali z neustreznimi očali pogosto pripi-rajo oči. Z zmanjšanjem odprtine si skušajo povečati območje globinske ostrine in doseči, da bi se jim slike oddaljenih predmetov na mrežnici manj razinazale.
Poskusimo zdaj kaj izračunati, Spet se preselimo v stanje na sliki 1, le da z zaslonko. Naj bo D premer odprtine zaslonke (slika 4).
Naj bo T' ostra, slika točke T in razdalja med T' in filmom. Za.radi podobnosti trikotnikov je
Ax' i U = (b- Ax') : D.
Ker je U majhen, je Ax' majhen in tako i) — Ax' = b. Upoštevajmo, da je f/D = z, kjer je 2 zaslonsko Število, in
Slika 4.
b=f + x' = f + mf = (l+m)f, kjer je m = b/a povečava (glejte prvi in drugi članek iz te serije). Od tod
je
Ab = Ax' = (1 + m)zU, kjer je U premer razmazanega krožca. Torej je
Ax'
U =
(1 + m)z '
(1)
Ce je U = Uq = mm, je
Efektivno zaslonsko število
Spomnimo se, da smo v prejšnjem članku dokazali, da je osvetljenost, slike enaka
*L 1
4 ((1 + m)z)2
kjer je L svetlost slike in z zaslonsko število, na katero je zaprt naš objektiv.
Definirajmo efektivno zaslonsko število ze kot 2e — (1 + m)z ,
kjer je m povečava. Potem lahko rečemo: Osvetljenost slike je odvisna le od svetlosti originala in efektivnega zaslonskega števila. Natančneje:
Osvetljenost slike je sorazmerna svetlosti originala in obratno sorazmerna kvadratu efektivnega zaslonskega števila ze.
Ravnokar smo ugotovili: Pri efektivnem zaslonskem številu z,. srne slika nastati največ
zeU0
stran od filma, daje ostra.
Za oddaljene predmete je m = 0 in se tako efektivno zaslonsko število ujema s tistim, ki smo ga naravnali na objektivu. Pri ze — 16 je recimo
16 8 zeU n = — mm = — mm. 30	15
Denimo, da ostrimo z odmikanjem objektiva od filma po vijačnici. Ugotovimo, kolikšen zasuk odgovarja odmiku za 8/15 mm. Nato na vsako stran črte, ki označuje oddaljenost, odmerimo ta zasuk in tam napišemo 16 (slika S). Na ta način smo konstruirali lestvico za globinsko ostrino pri zaslonki 16. Če je fotografirani objektiv (z goriščno razdaljo 50 mm) naravnan na oddaljenost 3 metre, sega območje globinske ostrine od neka j manj kot 2 metrov do nekaj manj kot 10 metrov.
7 10 15 30 ft 2 3 5 10 oo m
i i i iii I,I i i i
22 16 rt 8 V I 4 811 16 22
5 7 10 15 30 I.5 2 3 5 10 oo i i i_i i r i um i i 22 16 11 8 4 | K 811 16 22
Slika 5. Lestvica globinske ostrine za več zaslonskih števil
Slika 6. Takole smo objektiv naravnali na hipergorisčno razdaljo pri zaslonskem številu 16.
Hipergoriščna razdalja
l3ri danem zaslonskem številu 2 želimo objektiv naravnati na hipergoriščno razdaljo Hz, pri kateri bo globinska ostrina segala ravno do neskončnosti.
Ker gre za slikanje oddaljenih predmetov, lahko pri vzamemo, da je m = 0. Objektiv bomo naravnali tako, da bo slika neskončno oddaljene točke ravno še "ostra", se pravi, da bo nastala zli,u pred filmom. Se pravi, izteg t! objektiva bo znašal ravno dovoljenih
zU0.
Iz znane enačbe xx' = f 2 je ustrezni a; enak
.-JL
zlla
in od tod je razdalja med predmetom in filmom H = x + x' + 2/ = x + 2/.
f2
Hz = 2/ + .
z U0
Za najbližjo točko, ki bo še ostra, bo slika nastala zUq za filmom, torej 2zU(, za sliko neskončne točke. Ustrezno razdaljo izračunamo kot zgoraj:
Npr. za / = 50 mm in « = 16 je
,7 . , 2500- 30 \ f/16 & [ 100 +-—- 1 mm = |m.
Najbližja še "ostro" Upodobljena točka pa bo oddaljena
, . ( 2501) \ d= 100 +--15
V 16 J
■ 15 J mm = 2'5 m,
To seveda lahko brez računanja naravnamo, če imamo lestvico globinske ostrine kot na sliki 6.
Za z — 2'8 in f — 50 mm pa je
Območje globinske ostrine bo torej segalo od 13'5 m do oo. Za z — 1"4 in / = 50 mm bo H = 54 m in območje globinske ostrine bo segalo od 27 m do oo.
Število H se pri danem 2 povečuje približno s kvadratom goriščne razdalje.
Za / = 300 mm in s — 2'8 je H = 960 m. Globinska ostrina bo segala le od 480 m do oo.
Objektiv z odprtino 1 : 2'8 in goriščno razdaljo 300 mm tehta 2-3 kg in stane toliko kot motorno kolo. Velika svetlobna jakost omogoča kratke osvetlitve. Zato lahko fotoreporterji z njim na športnih tekmovanjih posnamejo slike, na katerih je gibanje tekmovalca "zamrznjeno". Ozadje pa je zaradi majhnega območja globinske ostrine zabrisano.
Pri 20 mm (širokokotnem) objektivu in ^ = 16 pa je
Globinska ostrina pri zaslonki 16 sega od 0'4 m do neskončnosti! S širokokotnim objektivom torej ni problem ostro upodobiti vse od zelo bližnjih predmetov do neskončnosti. Seveda pa bodo oddaljeni predmeti na sliki zelo majhni.
Globinska ostrina pri slikanju iz bližine
Privzeli bomo, da je izt.eg x' tako velik, da je Aj:' majhen v primerjavi z x'.
Ce se x' poveča, se zaradi enačbe
zmanjša x. Vel ja:
(x - Ax)(x' + Ax') = f . Odštejmo prejšnjo enačbo od zadnje, pa je
xAx/ - O' -I- A®') A® - 0 . Po privzetku je x' + Ax' = x' in od tod
Ax = - As' . x'
Celotno območje globinske ostrine ima širino
2Ax - 2~Ax'. x'
Upoštevajmo, da je x = m-1/. x' — mf, pa je celotno območje globinske ostrine široko
2
—^(1 + m)zU0 = m1
2 TT
= —5 ■ zeU0 ■ m*
Vidimo, da je v tej formuli izginil f. Torej:
Pri slikanju iz bližine je območje globinske ostrine neodvisno od goriščne razdalje f.
Pri rn= 1 (slika na filmu je naravne velikosti) znaša območje globinske ostrine:
a)	pri z = 16 (ze = 32) približno 2 mm;
b)	pri z = 4 (ze = 8) približno ^ mm;
c)	pri z = 32 (ze = fi4) približno 4 mm.
Hrošča, ki je debelejši kot 4 mm, torej pri razmerju 1 : 1 ne moremo v celoti ostrega spraviti na. film. Nekateri objektivi sicer omogočajo nastavitev še večjih zaslonskih števil kot 32. Toda pri večanju efektivnih zaslonskih števil nad 50 pride zmeraj bolj do izraza uklon svetlobe, ki kvari kakovost, celotne slike.
Ker je pri m — 1 efektivno zaslonsko število ze — 2zy to pomeni, da osvetljenost slike znaša le četrtino tiste pri slikanju v neskončnosti. Pri zrcalno refleksnih aparatih gledamo skozi objektiv, zato je tudi slika v iskalu pri m — 1 občutno temnejša (kar povzroča težave pri ostrenju).
Pri m = 4 je z? = 5z. Osvetljenost slike je le še 1/25 tiste pri slikanju v neskončnosti. Območje globinske ostrine pa meri za z = 16 {ze = 80):
Hkrati lahko ostre dobimo le zelo ploščate detajle na slikovnem polju, ki znaša 6 mm x 9 mm. Fotografiranje pri tako veliki povečavi je težavno celo s specialno opremo, na terenu pa je komajda še mogoče.
Denimo, da slikamo z objektivom z daljšo goriščnico v razmerju m = = 0 05 = 1 : 20. To je lahko portret ali slika lepega grma kot na zadnji strani ovitka. Območje globinske ostrine pri z = 2*8 znaša
To ni več dovolj, da bi pri portretiranju bil oster ves obraz od nosu do ušes. Mimogrede, običajno izostrimo oči, saj so najpomembnejši del portreta.
Slike, narejene z raznimi objektivi, pa vseeno niso enake. Pri / = = 100 mm je ustrezni izteg x* — mf — 5 mm. Slika zelo oddaljenega ozadja nastane 5 mm od filma. Pri / = 300 mm je izteg xf — 45 mm. Slika zelo oddaljenega ozadja nastane 45 mm stran od filma. Ker je po (1) premer razmazanega krožca sorazmeren Axr> je ozadje pri slikanju z daljšo goriščnico neprimerno bolj zabrisano.
2_ 80 16 ' 30
1
mm = - mm »
2*8
800 ■ 1"05--mm = 8 cm.
30
Peter Legiša