IZ TEORIJE ZA PRAKSO 17 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Z žepnim računalom usvajamo nove vsebine pri pouku matematike v osnovni šoli mag. Sonja Rajh Zavod RS za šolstvo Povzetek V prispevku predstavljamo primere aktivnosti, pri katerih učenci uporabijo numerično žepno računalo za usvajanje nove vsebine in za preiskovanje različnih računskih zakonitosti. Opisane aktivnosti so učitelji v okviru študijskega srečanja na daljavo preizkusili pri pouku. V prispevku so povzete njihove refleksije o delu z učenci, ko so uporabljali žepno računalo pri pouku matematike. Ključne besede: preiskovanje, numerično žepno računalo, pouk matematike Learning New Content in Primary School Mathematics Class Using a Calculator Abstract The article describes examples of activities where students use calculators to learn new content and study various mathematical principles. The activities introduced were tested in class by teachers participating in a remote study environment. The article also includes a summary of their feedback on their work with the stu- dents using calculators in mathematics class. Keywords: research, numeric calculator, mathematics class Uvod Učni načrt za matematiko v osnovni šoli spodbuja rabo informa- cijske tehnologije pri reševanju matematičnih problemov. »Teh- nologija omogoča hitro povratno informacijo, ki je nepristranska in neosebna. To lahko opogumlja učence, da sami predvidevajo in razvijajo svoje ideje, jih testirajo in spreminjajo ter popravljajo oziroma izboljšujejo.« (Učni načrt, 2011). V prispevku smo se osredotočili na uporabo numeričnega raču- nala, ki ga v osnovni šoli smiselno uvajamo pri usvajanju novih vsebin, izvajanju postopkov, reševanju problemov ter pri preis- kovalnih aktivnostih. V šolskem letu 2014/15 smo v okviru srečanja študijske skupi- ne za matematiko v osnovni šoli preko sklica na daljavo predla- gali učiteljem, da v razredu preizkusijo vsaj eno od ponujenih gradiv ali uporabijo svoj primer, ter nam posredujejo povratno informacijo o izvedbi pri pouku. Ponudili smo jim 7 različnih delovnih listov (3 od njih bomo predstavili v nadaljevanju), s ka- terimi smo spodbujali uporabo numeričnega računala pri pouku matematike in jih spomnili na gradivo o uporabi numeričnega računala, ki smo jim ga posredovali v prejšnjih letih. Delovni listi za spodbujanje uporabe numeričnega računala pri pouku matematike v osnovni šoli Na koncu tega prispevka so trije delovni listi za različne prei- skovalne aktivnosti učencev, ki smo jih ponudili učiteljem preko spletne učilnice študijskih skupin za matematiko v osnovni šoli (ŠS-Matematika študijska OŠ). Pri vseh treh opisanih dejavno- stih se kot kognitivno sredstvo uporablja numerično računalo. • Delovni list Množenje naravnih števil, ki se končujejo z ničlami Ker predvidevamo, da učitelji pri pouku matematike že izvaja- jo različne aktivnosti, v katerih učenci z uporabo numeričnega računala preiskujejo, kako množimo/delimo naravna/decimalna števila z 10, 100, 1000 … (morda tudi z 0,1 in z 0,01), smo to osnovno preiskavo nadgradili s preiskavo Množenje naravnih števil, ki se končujejo z ničlami. Namen preiskovanja: učenci ugotovijo, da lahko produkt narav- nih števil, ki se končujejo z ničlami, preprosteje izračunajo tako, da pomnožijo števila pred ničlami, nato pa pripišejo vse ničle, s katerimi se končujejo faktorji. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 18 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Pričakovano matematično predznanje: učenci pisno množijo z večkratniki števila 10 v množici naravnih števil do 10 000 je zapi- sano že med cilji 4. razreda znotraj sklopa Računske operacije in njihove lastnosti. Zato lahko delovni list uporabljajo učenci celotnega drugega vzgojno-izobraževalnega obdobja. V tej obliki je delovni list sicer namenjen učencem 6. razreda, saj v njem nastopajo števila, ve- čja od milijon. Idejo učnega lista pa lahko v obliki preiskovalnih aktivnosti uporabimo že za učence 4. in 5. razreda, če jim zmanj- šamo velikost števil oziroma odstranimo primere, v katerih na- stopajo števila, večja od 10 000 oziroma 1 000 000. S preiskovalno aktivnostjo namreč realiziramo naslednje cilje iz 4. in 5. razreda osnovne šole: • ocenijo rezultat pri računanju z velikimi števili, • razumejo vlogo števila 0 in 1 pri računskih operacijah, • berejo z razumevanjem, • matematična pravila, obrazce, definicije ubesedijo in jih upo- rabijo pri reševanju problemov, • uporabijo v konkretnih primerih zakon o zamenjavi in zakon o združevanju pri množenju, • opazujejo vzorec, prepoznajo pravilo v vzorcu in ga nadalju- jejo. Delovni list Množenje naravnih števil, ki se končujejo z ničlami (Priloga 1) je sestavljen iz uvoda, ki je namenjen vsem učencem, ter aktivnosti, ki so na štirih različnih težavnostnih stopnjah (od popolnoma vodenega dela z asistenco učitelja, ki je primerna za učence z učnimi težavami, do preiskave, ki je primerna za na- darjene učence). Učitelj posameznemu učencu fotokopira Uvod in eno od aktivnosti A, B, C ali Č, ki so diferencirane glede na učenčevo (pred)znanje, njegove sposobnosti ali želje. Predlaga- mo, da učitelj list z aktivnostjo A pri znaku  prereže, tako da učenec prejme drugi del z zapisano ugotovitvijo šele, ko reši prvi del. Tudi pomoč in nasvet, ki sta na dnu strani pri aktivnosti C zapisane na obarvani podlagi , naj učitelj učencu izreže ter ponu- di le, če učenec izrazi željo po tem. • Delovni list Končno decimalno število Tudi ta delovni list (Priloga 2) je sestavljen iz uvoda, ki je name- njen vsem učencem, ter diferenciranih aktivnosti, ki so na treh različnih težavnostnih stopnjah A, B in C. Učitelj posameznemu učencu fotokopira Uvod in eno od aktivnosti A, B ali C. Učenci, ki so že kdaj preiskovali, lahko samostojno rešujejo aktivnost C, ostalim pa ponudimo vodeno, oziroma delno vodeno preiskova- nje (A oziroma B). Namige, ideje za opazovanje in pomoč, ki so na koncu aktivnosti A in B zapisane na obarvani podlagi, učitelj izreže iz delovnega lista in jih učencu izroči le na njegovo željo. Namen preiskovanja: učenci ugotovijo, da ulomke, ki imajo v imenovalcu le faktorja 2 in 5, lahko zapišejo s končno decimalno številko, vse ostale ulomke pa lahko napišejo s periodično deci- malno številko. Pričakovano matematično predznanje: desetiški ulomek zapiše- jo z decimalno številko in obratno je cilj 6. razreda v sklopu Raci- onalna števila. Delovni list je namenjen učencem 7. razreda, saj s preiskovalno aktivnostjo realizirajo naslednje cilje iz učnega načrta: • z žepnim računalom pretvorijo ulomek v decimalno število, • nedesetiške ulomke zapišejo s periodičnim decimalnim za- pisom, • opazujejo vzorec in ugotovijo pravilo, • rešijo odprte in zaprte probleme, razčlenijo problemsko situ- acijo in postavljajo raziskovalna vprašanja. Ideje za nadaljevalne preiskovalne aktivnosti: Po tem ko učen- ci rešijo delovni list Končno decimalno število in spoznajo še periodična decimalna števila, lahko pri naslednjih urah preisku- jejo vzorce števk v periodičnih decimalnih številih (za ulomke z enakim imenovalcem), nadarjeni učenci pa raziščejo, od česa je odvisna dolžina periode periodičnega decimalnega števila. • Delovni list Potence Tudi pri sestavljanju delovnega lista Potence (Priloga 3) smo iz- hajali iz predpostavke, da učitelji na večini šol že uvajajo in iz- vajajo preiskovalne aktivnosti z uporabo numeričnega računala o tem, kako množimo/delimo/kvadriramo naravna/racionalna števila in kaj se pri tem zgodi s številom decimalk racionalnega števila oziroma številom ničel, s katerimi se končuje naravno šte- vilo. V tem delovnem listu smo nadaljevali oziroma nadgradili te preiskave in se vprašali, kaj se pri potenciranju zgodi s številom decimalk racionalnega števila in s številom ničel, s katerimi se končuje naravno število. Delovni list sestavlja Uvod in dve aktivnosti: Aktivnost 1 (Števi- lo ničel) in Aktivnost 2 (Število decimalk). Pričakovano matematično predznanje: izračunajo vrednost po- tence naravnega števila (cilj v 5. razredu), uporabljajo računalo pri računskih operacijah z racionalnimi števili, zapišejo potenco in izračunajo njeno vrednost (cilja v 6. razredu). Delovni list je namenjen učencem 8. razreda, saj s preiskovalni- mi aktivnostmi realiziramo naslednje cilje iz učnega načrta: • zapišejo zmnožek enakih faktorjev kot potenco in obratno, • poznajo pojme: osnova, eksponent, potenca in vrednost po- tence, • izračunajo vrednost potence (osnova je lahko celo število, ulomek, decimalno število ali kvadratni koren števila), • uporabljajo računalo za računanje s števili, ki so zapisana kot potence, • razumejo zapise zelo velikih in zelo majhnih števil, • opazujejo in prepoznajo pravilo v vzorcu, vzorec nadaljujejo. Refleksija po izvedbi Učitelji so opisane aktivnosti preizkusili v razredu in uporabili predlagane delovne liste. Refleksijo po izvedbi učne ure, kjer so pri dejavnostih uporabili numerično računalo, nam je posredo- valo 56 učiteljev. V nadaljevanju je zapisanih nekaj njihovih raz- mišljanj in ugotovitev. IZ TEORIJE ZA PRAKSO 19 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Učni načrt predvideva uporabo numeričnega računala že v drugem vzgojno-izobraževalnem obdobju, saj je med standardi znanja za to obdobje zapisano: uporablja žepno računalo. Kljub temu se da iz odgovorov učitelje sklepati, da so tokrat učenci pri pouku prvič uporabljali žepno računalo. Nekateri učitelji so bili prijetno presenečeni nad spretnostjo učencev in njihovim poznavanjem tega orodja: Spet drugi učitelji pa so pričakovali, da bodo učenci (rojeni v in- formacijski dobi), ki spretno rokujejo z različnimi elektronskimi napravami, spretni tudi pri uporabi žepnega računala. so učenci po rešenem učnem listu zastavljali drug drugemu vprašanja in odgovarjali nanja. V razredu se je odvila diskusija med otroki. Sama sem bila opazovalec. so tudi vedenjsko težavni učenci pokazali interes za reševanje naloge. so učenci že znali uporabljati kalkulator. so učenci znali z računalom zapisati velika števila v obliki potence. so bili aktivni vsi učenci celo učno uro in jim je bilo zelo zanimivo. bodo učenci z učnimi težavami tako spretni pri uporabi žepnega računala. Dobro mi je uspelo, da ... so učenci samostojno prišli do ugotovitve, katere ulomke lahko zapišejo v obliki končnega decimalnega števila in katerih ne. bodo učenci tako zelo spretni pri uporabi žepnega računala. bodo učenci imeli toliko težav z uporabo kalkulatorjev. Zelo so nespretni in večini učencev moraš pokazati, katero tipko naj pritisnejo. nekateri učenci, kljub temu da ogromno časa preživijo na telefonih in računalnikih, niso najbolj vešči s kalkulatorji. bodo učenci imeli težave s preprostimi tipkami, kot sta tipki za deljenje in množenje. bodo učenci držali žepno računalo kot mobitel kot mobitel ali katero od elektronskih igric. Dobila sem vtis, da se zato večkrat zatipkajo. Nisem pričakovala/a, da … Nisem pričakovala/a, da … IZ TEORIJE ZA PRAKSO 20 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Nekateri učitelji so izrazili začudenje nad sposobnostmi učencev za preiskovanje matematičnih zakonitosti in so bili nad tem pri- jetno presenečeni. Spet drugi učitelji pa so od učencev pričakovali več. Nisem pričakovala/a, da … bodo učenci s takšno željo in vnemo samostojno preiskovali in samostojno prišli do ugotovitev. da bodo navodila pazljivo brali in jih upoštevali – računali so brez in z uporabo računala. bodo učenci s takim navdušenjem opazovali svoje rezultate, čeprav množenje naravnih števil z desetiško enoto obvladajo. bodo nekateri učenci potrebovali več nalog oz. podanih primerov, iz katerih so potem sami ugotovili, kako se množi naravna števila, ki se končajo z 0. Nisem pričakovala/a, da … učenci ne bodo razumeli navodil. bodo imeli učenci toliko težav z ubeseditvijo pravil. tudi sama pripravila podoben delovni list za druge vsebine. žepno računalo začeli uporabljati pri kakšni uri matematike v 4. oz. 5. razredu. naredila kartone z namigi za reševanje za tiste učence, ki imajo težave pri reševanju. večkrat uporabila žepna računala, s pomočjo katerih bi samostojno raziskovali in odkrivali različne vzorce in pravila. Čeprav pri delu in urah dajem velik poudarek na »ocenimo rezultat«, me je presenetila velika nekritičnost učencev glede rezultatov, ki jih je ponudil kalkulator. So mu »slepo zaupali«. To kaže tudi na to, da je premnogim najbolj pomembno to, da se nalogo čim hitreje rešijo. Da pa se reši tudi pravilno, je bolj drugotnega pomena. Učitelji so po izvedbi učne ure preiskovanja s pomočjo žepnega računala zapisali tudi: Lahko bi … IZ TEORIJE ZA PRAKSO 21 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 je računalo uporabno tudi za obravnavo novih snovi. je računalo pri problemskih nalogah zelo dobrodošel pripomoček. lahko tudi učno šibkejši pridejo sami do neke ugotovitve-rešitve, ne pa da jim vse serviramo na pladnju. Pri tem sem se naučil/a, da … je dobro učencem pustiti čas in da samostojno opravijo delo. Učitelji so v anketi priznali, da premalo uporabljajo žepno ra- čunalo in to iz različnih razlogov. Ob tem, ko so v razredu pre- izkusili ponujene učne liste, so se marsikaj naučili in spremenili svoje mnenje. Na koncu smo učitelje poprosili, da zapišejo še kaj, kar želijo po- deliti z drugimi. Zaključek Raznolike strategije, ki jih učitelji uporabljajo za usvajanje novih vsebin, vključujejo med drugim tudi upo- rabo numeričnega žepnega računala. Opisane aktivnosti, ki so diferencirane in tako prilagojene raznolikim učencem, omogočajo, da učenci samostojno s preiskovanjem odkrivajo zakonitosti pri matematiki. Učitelj je le usmerjevalec, moderator učnega procesa. Viri in literatura Žakelj, A. idr. (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. MATEMATIKA. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport in Zavod RS za šolstvo. Refleksije učiteljev pri delu na daljavo v spletni učilnici za matematiko v osnovni šoli. https://skupnost.sio.si/course/view.php?id=64 Spoznala sem, da je smiselno vključevati žepno računalo pri raziskovanju matematičnih pravil, saj lahko v krajšem času preizkusijo veliko možnosti in tudi pridejo samostojno do posplošitev. Za slabše učence pa je treba pripraviti namige. Včasih razmišljam, da bi učenci računali cel čas z ŽR (zelo dosti časa porabijo za računanje – so zelo nespretni, ne obvladajo poštevanke ...) tako da bi imeli več časa za razmišljanje, sklepanje, povezovanje ... reševanje problemov. Kaj bi še želeli sporočiti? 22 PRIl OGA 1: MNOŽENJE NARAVNIH ŠTEVIl, KI SE KONČUJEJO Z NIČlAMI Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Množenje naravnih števil, ki se končujejo z ničlami Uvod Ponovi, kako množimo naravno število z 10, 100, 1000 ... Najprej izračunaj na pamet, nato preveri z uporabo žepnega računala. 7 ∙ 10 = 7008 ∙ 10000 = 1000 ∙ 60840 = 1000 ∙ 100 = Nekatera naravna števila se končujejo z ničlami. Npr. 50780, 1700, 602000. Število 50780 se končuje z eno ničlo, število 1700 se končuje z dvema ničlama, število 602000 se končuje s tremi ničlami. Še sam zapiši nekaj takih števil, ki se končujejo z ničlami. V nadaljevanju reši eno od aktivnosti A, B, C ali Č. A popolnoma vodeno delo z asistenco učitelja, primerno za učence z učnimi težavami B strukturirano delo z napotki in namigi C preiskava za učence, ki so že vajeni takšnega dela Č preiskava, primerna za nadarjene učence 23 PRIl OGA 1: MNOŽENJE NARAVNIH ŠTEVIl, KI SE KONČUJEJO Z NIČlAMI Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Aktivnost A 1. Izračunaj z uporabo žepnega računala: 160 ∙ 30 = 540 ∙ 70000 = 23000 ∙ 70 = 40200 ∙ 900 = 3900 ∙ 6000 = 7000 ∙ 72000 = 2. Pobarvaj vse ničle, s katerimi se končujejo števila. Primer: 160 ∙ 30 = 4800 Preštej število teh ničel. Izpolni preglednico, v katero vpisuješ ugotovitve iz zgornjih primerov: Uvodni primeri Število ničel, s katerimi se končuje prvi faktor Število ničel, s katerimi se končuje drugi faktor Število ničel, s katerimi se končuje produkt 160 ∙ 30 = 1 1 2 23000 ∙ 70 = 3900 ∙ 6000 = 540 ∙ 70000 = 40200 ∙ 900 = 7000 ∙ 72000 = 3. Kaj ugotoviš? Zapiši ugotovitev. 4. Svojo ugotovitev preveri na naslednjih primerih. Uporabi žepno računalo. 400 ∙ 7000 = 230 ∙ 90000 = 60000 ∙ 560 = 71000 ∙ 80 = 73900 ∙ 86000 = 70600 ∙ 200 =  Ugotovitev: Pomnožimo števili pred ničlami prvega in drugega faktorja ter prepišemo ničle prvega faktorja in ničle drugega faktorja. Primeri: 2000 ∙ 30 = 60000 400 ∙ 70000 = 28000000 500 ∙ 20 = 10000 Bodi pozoren, če se tudi produkt števil pred ničlami končuje z ničlo! 5 ∙ 2 = 10 24 PRIl OGA 1: MNOŽENJE NARAVNIH ŠTEVIl, KI SE KONČUJEJO Z NIČlAMI Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 5. Na podoben način še sam na pamet izračunaj naslednje primere. 50 ∙ 5000 = 600 ∙ 2000 = 80 ∙ 500 = 250 ∙ 2000 = 50 ∙ 6000 = 800 ∙ 9 = 50 ∙ 60 = 120 ∙ 500 = 6. Preveri z uporabo žepnega računala. Ali se tvoji izračuni ujemajo z izračuni, ki si jih naredil z uporabo žepnega računala? 7. Še sam sestavi nekaj primerov zase ali za sošolca. Najprej jih rešita na pamet, nato jih preverita z uporabo žepnega računala. 25 PRIl OGA 1: MNOŽENJE NARAVNIH ŠTEVIl, KI SE KONČUJEJO Z NIČlAMI Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Aktivnost B 1. Z uporabo žepnega računala izračunaj vrednosti naslednjih produktov. 160 ∙ 30 = 540 ∙ 70000 = 23000 ∙ 70 = 40200 ∙ 900 = 2. Opazuj, s koliko ničlami se končujeta posamezna faktorja in s koliko ničlami se končuje vrednost produkta. Kaj ugotoviš? Zapiši ugotovitev. Ugotovitev: 3. Z uporabo zapisane ugotovitve napovej vrednosti naslednjih produktov in jih zapiši. 60 ∙ 7 = 4 ∙ 800 = 600 ∙ 7000 = 4000 ∙ 800 = 60 ∙ 700 = 200 ∙ 50000 = 60 ∙ 7000000 = 25000 ∙ 80 = Preveri z uporabo žepnega računala. Izpiši primere produktov, pri katerih si se zmotil. V primeru, da si se zmotil, ugotovi, zakaj si se zmotil. Preveri, ali tvoja zgoraj zapisana ugotovitev velja za vse primere, ali pa jo moraš še dopolniti. 4. Z uporabo žepnega računala izračunaj: 500 ∙ 20 = 80 ∙ 5000 = 120 ∙ 2500 = 1250 ∙ 80 = Ali tudi za te štiri primere velja tvoja ugotovitev o številu ničel, s katerimi se končuje vrednost produkta dveh števil? Zakaj? Zapiši še sam podoben primer. 26 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 PRIl OGA 1: MNOŽENJE NARAVNIH ŠTEVIl, KI SE KONČUJEJO Z NIČlAMI Če tvoja ugotovitev ni bila napisana dovolj natančno, jo dopolni in zapiši v spodnji okvir. Dopolnjena ugotovitev: 5. Spoznaj še novo strategijo. Števila, ki se končujejo z ničlami, lahko zapišemo kot produkt z 10, 100, 1000 ... Npr.: 70000 = 7 ∙ 10000 230 = 23 ∙ 10 Tako množimo: 70000 ∙ 230 = (7 ∙ 10000) ∙ (23 ∙ 10) = (7 ∙ 23) ∙ (10000 ∙ 10) = 161 ∙ 100000 = 16100000 Katere računske zakone smo pri tem uporabili? Na podoben način pomnoži še naslednje primere. 300 ∙ 90 = ( ∙ 100) ∙ ( ∙ 10) = ( ∙ ) ∙ (100 ∙ 10) = ∙ 1000 = 1300 ∙ 800 = 20 ∙ 50 = Kaj ugotoviš? 6. Pridobljeno znanje uporabi še na produktu več števil. Napovej vrednost naslednjih produktov. Zapiši jih. 2 ∙ 3 ∙ 4 = 2 ∙ 7 ∙ 5 = 20 ∙ 3 ∙ 40 = 20 ∙ 70 ∙ 50 = 2 ∙ 3000 ∙ 400 = 2000 ∙ 700 ∙ 50 = 20 ∙ 30 ∙ 40 = 2 ∙ 70 ∙ 50000 = 200 ∙ 30 ∙ 400 = 200 ∙ 700 ∙ 500 = 200 ∙ 300 ∙ 4 = 2 ∙ 7 ∙ 5 ∙ 3 = 2000 ∙ 300 ∙ 40 = 2000 ∙ 70 ∙ 500 ∙ 30 = Preveri z uporabo žepnega računala. 27 PRIl OGA 1: MNOŽENJE NARAVNIH ŠTEVIl, KI SE KONČUJEJO Z NIČlAMI Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Aktivnost C V uvodu si se srečal z naravnimi števili, ki se končujejo z ničlami. Razišči, ali se tudi produkt dveh takih števil končuje z ničlami. Od česa je odvisno število ničel v dobljenem produktu? Zapiši ugotovitev: Razišči še produkt več faktorjev, ki se končujejo z ničlami. Zapiši ugotovitev:  Pomoč: Pomnoži prvi dve števili, ki si ju zapisal pri zadnji aktivnosti v uvodu. Kaj opaziš? Nasvet: Zapiši čim več različnih primerov. Sistematično zapisuj. Če potrebuješ pomoč ali nasvet, prosi učitelja zanju. 28 PRIl OGA 1: MNOŽENJE NARAVNIH ŠTEVIl, KI SE KONČUJEJO Z NIČlAMI Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Aktivnost Č Nekatera naravna števila se končujejo z ničlami. Samostojno razišči, ali se vsota/razlika/produkt/količnik dveh/treh/štirih takih števil končuje z ničlami. Od česa je odvisno število teh ničel? Zapiši ugotovitve: Kaj bi še lahko raziskal? Izdelaj učni list za svojega sošolca. 29 PRIl OGA 2: KONČNO DECIMAlNO ŠTEVIl O Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Končno decimalno število Uvod Naslednje ulomke zapiši v obliki decimalne številke. Pomagaj si z žepnim računalom. = 0,5 = = = = = Kaj si opazil? Zapiši vse ugotovitve: V nadaljevanju reši eno od nalog: A vodeno preiskovanje B delno vodeno preiskovanje C samostojno preiskovanje 30 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Aktivnost A Razišči, katere ulomke lahko zapišemo v obliki končne decimalne številke in katerih ne. Naslednje okrajšane ulomke z uporabo žepnega računala pretvori v decimalno številko. = 0,75 = = = = = = = = = = = Obkroži ulomke, ki si jih zapisal s končno decimalno številko. Zgornje ulomke razvrsti v spodnjo preglednico. V preglednico razvrsti tudi ulomke iz uvoda. Ulomki, ki jih lahko zapišemo v obliki končne decimalne številke. Ulomki, ki jih ne moremo zapisati o obliki končne decimalne številke. Razišči, kaj imajo skupnega ulomki, ki jih lahko zapišemo v obliki končne decimalne številke. Če imaš težave, prosi učitelja za namig. Zapiši ugotovitev, v katerih primerih lahko ulomek zapišemo v obliki končne decimalne številke: Preverimo, zakaj. Pri učitelju dobiš njegov zapis ugotovitve. Ali si zapisal pravilno? PRIl OGA 2: KONČNO DECIMAlNO ŠTEVIl O 31 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 PRIl OGA 2: KONČNO DECIMAlNO ŠTEVIl O Sedaj si oglej ulomke, ki so zapisani v desnem stolpcu preglednice. Kaj ugotoviš? Če potrebuješ pomoč, prosi učitelja za idejo za opazovanje. Zapiši ugotovitve: Če ne ugotoviš ničesar, prosi učitelja za pomoč. Zapiši povzetek: Katere okrajšane ulomke lahko zapišemo s končno decimalno številko in pri katerih ulomkih tega ne moremo storiti?  Namig 1: Opazuj njihove imenovalce. Izpiši imenovalce ulomkov, ki si jih zapisal v obliki končne decimalne številke. Kaj imajo skupnega ti imenovalci? Namig 2: Razcepi te imenovalce na prafaktorje. Npr: 20 = 2 ∙ 2 ∙ 5 25 = 8 = … Zapiši ugotovitev, kaj imajo skupnega imenovalci ulomkov, ki jih lahko zapišemo v obliki končne decimalne številke. Namig 3: Koliko različnih in kateri faktorji so navzoči v teh imenovalcih? 32 PRIl OGA 2: KONČNO DECIMAlNO ŠTEVIl O Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Preverimo, zakaj. Ulomke z imenovalci, ki so sestavljeni le iz faktorjev 2 in 5, lahko razširimo do desetiškega ulomka, ki ga lahko zapišemo s končno decimalno številko. Npr.: Na podoben način še sam nekaj ulomkov (ki si jih vpisal v levi stolpec preglednice) brez uporabe računala razširi na desetiški ulomek in jih zapiši v obliki decimalne številke. Ideja za opazovanje. Opazuj njihove imenovalce. Izpiši imenovalce ulomkov, ki jih ne moremo zapisati v obliki končne decimalne številke. Tudi te imenovalce razcepi na prafaktorje. Pomoč: Ali lahko ulomek z imenovalcem 3 razširimo z nekim naravnim številom do desetiškega ulomka (ulomka, ki ima v imenovalcu poljubno desetiško enoto, npr. do 10, 100, 1000 …)? Oziroma, ali je katera desetiška enota 10, 100, 1000 … deljiva s 3? Torej ulomka ne moremo razširiti na desetiški ulomek, ki bi ga zapisali kot decimalno število. = Podobno ugotovitev zapiši še za ostale ulomke iz desnega stolpca preglednice. 33 PRIl OGA 2: KONČNO DECIMAlNO ŠTEVIl O Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Aktivnost B Razišči, katere ulomke lahko zapišemo v obliki končne decimalne številke in katerih ne. Sistematično izberi vsaj 20 okrajšanih ulomkov in jih z uporabo žepnega računala pretvori v decimalno številko. Razvrsti jih v spodnjo preglednico. Ulomki, ki jih lahko zapišemo v obliki končne decimalne številke. Ulomki, ki jih ne moremo zapisati o obliki končne decimalne številke. Kaj imajo skupnega ulomki, ki jih lahko zapišeš v obliki končne decimalne številke? Če potrebuješ namig, prosi zanj učitelja. Zapiši ugotovitev, v katerih primerih lahko ulomek zapišemo v obliki končne decimalne številke in pri katerih ulomkih tega ne moremo storiti.  Namig: Opazuj njihove imenovalce. 34 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 PRIl OGA 2: KONČNO DECIMAlNO ŠTEVIl O Aktivnost C Nekatere ulomke lahko zapišemo v obliki končne decimalne številke, npr: = 0,75. Pri nekaterih ulomkih pa dobimo neskončno decimalno število, npr. = 0,6666666666 … Samostojno razišči, katere okrajšane ulomke lahko zapišemo v obliki končne decimalne številke. Kaj jim je skupno? Zapiši svoje ugotovitve. Kaj bi še lahko raziskal? PRIl OGA 3: POTENCE 35 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Potence Uvod Naslednje produkte zapiši v obliki potence. 6 ∙ 6 ∙ 6 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 5,7 ∙ 5,7 = 0,32 ∙ 0,32 ∙ 0,32 = ∙ ∙ = 2 ∙ 2 = Njihove vrednosti izračunaj z uporabo žepnega računala (uporabi tudi tipko za ulomke). Aktivnost 1 (Število ničel) Z uporabo žepnega računala izračunaj vrednosti naslednjih potenc: 5000 2 = 70000 2 = 30 4 = 400 3 = 900 3 = 60 5 = 30000 2 = 1000 3 = 200 4 = 110 4 = Primerjaj število ničel, s katerimi se končuje število, in število ničel, s katerimi se končuje vrednost potence tega števila. Kaj ugotoviš? Zapiši svojo ugotovitev: Svojo ugotovitev preveri na naslednjih primerih. Najprej vrednost potenc poskusi napovedati oz. izračunaj na pamet, nato pa vrednost potenc izračunaj še z uporabo žepnega računala in po potrebi popravi svojo napoved. 2 3 = 3 4 = 20 3 = 30 4 = 200 3 = 300 4 = 2000 3 = 3000 4 = 20000 3 = 30000 4 = 200000 3 = 300000 4 = 36 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 PRIl OGA 3: POTENCE Ali si na zaslonu žepnega računala zasledil drugačen zapis, kot si ga napovedal sam? Torej lahko velika števila zapišemo v obliki potence, npr.: 8000000000000000000 = 8 ∙ 10 18 . Zapiši še sam nekaj podobnih primerov in jih preveri z žepnim računalom. Utrjuj različne zapise velikih števil: Izračunaj vrednosti naslednjih produktov. 5 ∙ 10 4 = 8,3 ∙ 10 5 = 7 ∙ 10 11 = 1,23 ∙ 10 8 = 4 ∙ 10 15 = 3,0045 ∙ 10 12 = Zapiši kot produkt števila (med 1 in 10) z desetiško potenco. 40000000000 = 95000000000 = 300000000000000000 = 60870000000000000 = 700000000000000 = 63500000000000000000 = *Če ti ostane še kaj časa Z uporabo žepnega računala izračunaj vrednosti naslednjih potenc. Nato vrednost še primerno zaokroži. Primer: 23 9 Ñ 1,8 ∙ 10 12 9 13 Ñ 73,6 7 Ñ 15 22 Ñ 7,9 15 Ñ PRIl OGA 3: POTENCE 37 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 Aktivnost 2 (Število decimalk) Z uporabo žepnega računala izračunaj vrednosti naslednjih potenc: 0,4 3 = 3,007 2 = 1,02 4 = 0,9 5 = 7,2 5 = 6,0008 2 = 0,423 3 = 0,71 4 = Sistematično zbiraj podatke o številu decimalk, ki jih ima dano število, in številu decimalk, ki jih ima vrednost potence tega števila. Kaj ugotoviš? Svojo ugotovitev preveri na naslednjih primerih. Najprej vrednost potenc poskusi napovedati oz. izračunaj na pamet, nato pa vrednost potenc izračunaj še z uporabo žepnega računala in po potrebi popravi svojo napoved. 5 3 = 9 4 = 0,5 3 = 0,9 4 = 0,05 3 = 0,09 4 = 0,005 3 = 0,009 4 = 0,0005 3 = 0,0009 4 = 0,00005 3 = 0,00009 4 = 38 Matematika v šoli, št. 2., letnik 24, 2018 PRIl OGA 3: POTENCE Ali si na zaslonu žepnega računala zasledil drugačen zapis kot si ga predvideval sam? Torej lahko majhna števila zapišemo v obliki potence, npr.: 0,000000000125 = 1,25 ∙ 10 -10 . Zapiši še sam nekaj podobnih primerov in jih preveri z žepnim računalom. Utrjuj različne zapise majhnih števil: Izračunaj vrednosti naslednjih produktov. 5 ∙ 10 -4 = 4,8 ∙ 10 -5 = 7 ∙ 10 -9 = 1,203 ∙ 10 -8 = 4 ∙ 10 -15 = 7,45 ∙ 10 -12 = Zapiši kot produkt števila (med 1 in 10) z desetiško potenco. 0,00000009 = 0,00000000098 = 0,00000000003 = 0,00000000000013022 = 0,000000000000007 = 0,000000000000004030201 = *Če ti ostane še kaj časa Z uporabo žepnega računala izračunaj vrednosti naslednjih potenc. Nato vrednost še primerno zaokroži. Primer: 0,023 9 Ñ 1,8 ∙ 10 -15 0,3 13 Ñ 0,00006 7 Ñ 0,15 22 Ñ 0,00904 15 Ñ