i
i
“Zalar-magicni” — 2010/6/14 — 8:05 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 16 (1988/1989)
Številka 1
Strani 8–11
Borut Zalar:
O LIHIH MAGIČNIH KVADRATIH
Ključne besede: matematika, kombinatorika, magǐcni kvadrati.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/16/923-Zalar.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
o LIHIH MAGICNIH KVADRATIH
Magični kvadrat s stranico n je kvadrat z n x n polji, v katera razporedimo šte-
vila od 1 do n 2 tako, da je vsota v vseh stolpcih, vrsticah in glavnih diagonalah
enaka. Pokazali bomo, da je mogoče magične kvadrate z l iho stran ico sestaviti
s prep rosto (in za računaln ik primerno) formulo.
Naj bo n velikost kvadrata (torej Iiho število). N pa množica ostankov pri
deljenju z n, torej števila od O do n - 1. Števila od 1 do n2 , ki jih moramo
razmestiti v kvadrat, bomo opisovali s parametroma r in s po formuli
m = nr + s + 1 (1)
pri čemer bosta r in s elementa množice N. Vpeljimo še zapis y = osttxl, ki
pomeni ostanek pri deljenju x z našim fiksnim številom n, Na pr imer 1 =
= osttn + 1). Našo definicijo razširimo še za negativne x. Koliko je ost(-1)?
-1=0.n-1
Ali naj vzamem o ost(-1) = -1? Ne, saj v množici ostankov števila -1 ni. Iz
zadrege si bomo pomagali na naslednji način:
- 1 = -1. n + (n - 1)
Torej je ostt-s l) = n - 1 in podobno lahko določimo ostanke tudi ostalim ne-
gativnim številom.
Oglejmo si formuli:
x = ost(-r + 2s) (2)
y = ostlr + 2s + 1) (3)
Če si izberemo par števil (r, s) iz množice N, lahko izračunamo par (x, V), ki je
ponovno par dveh števil iz N . Kako bomo zdaj prišli do magičnega kvadrata?
Našim spremenljivkam moramo dati pomen . S formulo (1) smo opredelili po -
men r in s, x in Y pa naj pomenita vodoravno oziroma navpično koordinato
kvadrata s tem , da začnemo z O in ne z 1. Zgornje levo polje ima torej koordi-
nate (O, O).
Do magičnega kvadrata pridemo tako, da jemljemo po vrsti vse pare (r~ s)
in po formulah (2). (3) izračunamo položaj v kvadratu, po formuli (1) pa,
Po dolgem, dolgem pogovoru se skušaj spomniti vsega, kar se je govorilo, in za-
čudil se boš, kako nepotrebno, prazno in pogosto tudi slabo je bilo vse, kar se
je govorilo.
L.N. Tolstoj
8
katero število moramo tja zapisati. Naredimo zgled za n = 3:
r s x y m
--------------
O O O 1 1
O 1 2 O 2
O 2 1 2 3
1 O 2 2 4
1 1 1 1 5
1 2 O O 6
2 O 1 O 7
2 1 O 2 8
2 2 2 1 9
6 7 2
1 5 9
8 3 4
Kdor je zadovoljen s tem , da zna konstruirati magične kvadrate lihe stopnje,
lahko preneha brati. Za tiste, ki jih matematika resneje zanima, pa sledi dokaz,
da je opisani postopek zares dober za vsak lihi n.
Bralcu prepuščam, da se prepriča o pravilnosti trditev:
ostls) = ost(b) =? ostI-al = ostI-bl
o51(2a) = 20st(a) za lihe n
osttal = ost(b) } =? ostla + c) = ost(b + d)
osttc) = ostto'l
(4)
(5)
(6)
V prvem koraku bomo pokazali, da se ne more zgoditi, da bi postavili dve
različni števili na isto mesto . Pa denimo, da bi do navšečnosti prišlo pri parih
(', s) in (,', s') . Tedaj bi veljalo: x = x' in y = y' oziroma
ost]-, + 2s) =ost( -,' + 2s')
ostlr + 2s + 1) = osttr" + 2s' + 1)
Dobimo:
ostlr - 2s) = ostv: - 2s')
ost(2, + 1) = ost(2,' + 1)
osttžr) = ostlžr")
osttr) =ostlr")
po(4)
po(6)
po (6)
po (5)
Toda' in ,'sta iz množice ostankov, zato velja ost(r) = r in ost(r') = r', torej
tudi, = r'. Z upoštevanjem tega in (6) dobimo iz druge enakosti
osttžs) =osttžs")
9
in seveda s = s'.
Domneva, da bi se dva para preslikala v ist o po lje kvad rat a, nas je pripe lja-
la do zaključka, da sta ta dva para pravzap rav enaka. S te m smo dokazali , da
na m naša formula porazdel i števila od 1 do n 2 v kvad rat, in to ta ko, da dve
različn i štev ili vedno prideta v dve raz l i č n i pol ji . Ali je mogoče , da bi kako
po lje os talo prazno? Polj kvad rat a je toliko kot števi l. Če bi ostalo kako pol je
prazno, bi morali vsaj venem polju st ati dve št evili, kar pa vemo , da ni res.
Zdaj moramo še izračunati vsote vrstic , stolpcev in diagonal in se pre-
pričati, da so enake . Vsota, ki jo potrebujemo v vsaki vrstici , stolpcu al i diago-
nal i, je o = n(n 2 + 1)/2. Vsota vseh števil v kva dratu je nam reč
1 + 2 + ... + n 2 = n 2(n2 + 1)/2
ker pa je vrstic n in je vsota v vseh vrsticah enaka, mora ta biti (skupna vsota) / n.
Najprej izračunajmo vsoto za posamezno vrstico v našem kvadratu. V rsti -
ca je določena z enačbo y = Yo, kje r je yo zaporedna številka vrstice . Če je
S vsota v vrstici Yo, velja :
S> (nrl +SI + 1) + (nr 2 +S 2 + 1) + .. . + (nrn +sn + 1) =
= n (r 1 + r 2 + ... + rn) + (s1 + S2 + ... + Sn) + n
kjer smo z ri' si označili ti ste pare, za katere velja:
osttr, + Zs, + 1) =Yo i = 1, 2, ...r n
Ali imata lahko dva izmed teh parov isti r , to je ri = rj' za neki par i , j? Tedaj
bi bilo ostlr + Zs, + 1) = osttr + 2sj + 1). Iz tega bi dobili ost(2si) = ost(2sj)
in od tod si = Sj ' To bi pomenilo , da st a para enaka, kar zanika našo predpostav-
ko, da imata dva para ist i r. Na povsem podoben način uvidimo, da nobena
dva para ne moreta imeti isti s. Potem je
rl + r 2 + ... + rn =O+ 1 + .. . + (n - 1) =n (n - 1)/2
in
SI + S2 + .. . + sn = O+ 1 + ... + (n - 1) = nIn - 1)/2
Seveda ni res O = rl, 1 = r 2 itd, toda to nas ne sme motiti, saj je pomembno
samo, katera števila seštevamo, nič pa njihov vrstni red . Zdaj že lahko izraču­
namo:
S = n 2(n - 1)/ 2 + nin - 1) /2 + n = o
Vrstice im ajo potrebno vsoto, saj je bil Yo poljuben . Enako vidimo, da imajo vsi
stolpci potrebno vsoto, le da moramo tokrat vzeti x = xo. Poskusite!
Da bo magični kvadrat čisto pravi, morate imeti tudi obe diagonali pravo
vsoto. Prva je določena z enačbo x = y oziroma ost(-r + 2s) = ostf r + 2s + 1) .
Od tod, s pomočjo (4) in (6), dobimo ost(2r + 1) = ost(O) = O. Ker je 2r + 1
10
liho, ne negativno in od 2n manjše število , nam ostane samo možnost 2r + 1 = n
oziroma r = (n - 1)/2. To pomeni , da se na prvo d iagonalo preslikajo t ist i pa-
ri, ki imajo fiksen r in poljuben s. Če uporabimo kar prejšnje oznake , lahko
zapi šemo:
r\ + r2 + ... + rn = (n -1) /2 + ... + (n -1)/2 = nin -1)/2
t er
s\ + S2 + ... + sn = 0+ 1 + ... + (n - 1) =nin - 1)/ 2
od kode r spet dobimo: S = a.
Druga diagonala je določena z enačbo x + y = n - 1 oziroma
osti -r + 25) + ostt r + 2s + 1) =n - 1 = ostln - 1)
Od tod, s pomočjo (4) in (6), dobimo:
ost(-r + 2s) = osti-v - 2s - 1 + n - 1)
in od tod
ost(4s - n + 2) =ost(O) =O
Število 4s - n + 2 je liho. Ker je s ostanek, imamo oceno
-n < 4s - n + 2 < 3n
Števili O in 2n sta sodi, zato nam ostane edina možnost
45 - n + 2 =n oz iroma s = (n - 1)/2
Na drugo diagonalo se preslikajo pari s fiksn im s in vsemi mogočimi r, kar nam
da
r \ + r 2 + ... + rn =0+1 + oo. + (n - 1) =nin - 1)/2
s\ + S2 + ' oo + sn = (n - 1)/2 + oo . + (n - 1)/2 = n (n - 1)/2
in ponovno S = a. Dokaz je s tem končan.
Če boste malo pobrskali po starih letnikih Preseka, boste našli podoben čla­
nek, ki je podal konstrukcijo magičnih kvadratov, katerih stranica je delj iva s
4 . Ostali so torej še tisti sodi kvadrati, katerih stranica ni delj iva s 4. Tudi take
kvadrate je mogoče konstru irati , z izjemo kvadrata 2 x 2, o njih pa bomo spre-
govorili kdaj drugič. Bralcem v premislek:
1) Zakaj za sode n ni mogoče konstruirati podobne formule z ostanki?
2) Kaj se skriva za izbiro koeficientov -1 ,2, O ter 1,2 , 1 v formulah :
x = ost (ar + bs + c)
y = ost (dr +es + f)
Ali je morebiti vseeno kakšni so? Ali pa sta to edini trojici koeficientov,
ki nam dasta magični kvadrat?
Borut Zalar
11