Σ Povzetek Dobro poznavanje okolja nam pomaga razumeti, kako se ma- tematika prepleta z različnimi področji našega življenja in kako jo lahko uporabimo za splošno korist. V prispevku predstavljam nekaj tem in dejavnosti, s katerimi učenci tretjega triletja spoznavajo povezanost matematike z naravnim okoljem. Ključne besede: povezovanje matematike, problemi iz vsak- danjega življenja Matematika se sprehaja – Matematika v okolju Evgenija Godnič Osnovna šola Šturje Ajdovščina Σ Abstract Good knowledge of the environment helps us to understand how mathematics is intertwined with different areas of our lives and how we can use it to promote general wellbeing. In the paper I present some topics and activities with which pupils of the third triad learn about the relationship of mathematics to the natural environment. Keywords: integration of mathematics, problems of everyday life Mathematics goes for a walk – Mathematics in the environment α Matematika v šoli ∞ XX. [2014] ∞ 28-38 29 a Uvod »Učiteljica,« me pokliče učenec, ravno ko poskušamo zapisati pravilo za množenje dveh dvočlenikov. Ve, da je naše delo pre- kinil ob napačnem trenutku, toda želja po razjasnitvi dvomov, ki so se mu pojavili, je močnejša in zato nadaljuje: »Ali mi lahko razložite, kje bi to pravilo lahko uporabil v vsakdanjem življenju?« Ali je matematika sploh uporabna veda? Zakaj jo sploh potrebujemo? Zanimalo me je, kaj mislijo moji učenci o uporabi matematike. Devetošolce sem prosi- la, naj navedejo primere uporabe pridoblje- nih matematičnih znanj pri drugih šolskih predmetih, pa tudi zunaj šole. Učenci so matematiko povezali z večino šolskih predmetov: • kemija (računanje koncentracije, ke- mijske enačbe), • fizika (računanje z merami, nagib pla- netov, oddaljenost galaksij), • šport (štetje korakov, kot – smer leta žoge), • slovenščina (zapis števil, opis osebe – višina, masa), • zgodovina (računanja časovnih obdo- bij, branje starih pisav), • glasbena umetnost (note), • tehnika in tehnologija (risanje v različ- nih projekcijah), • geografija (risanje grafov, določanje lege kraja na zemljevidu, računanje z merilom, računanje nagiba Zemlje, raba kompasa), • likovna umetnost (risanje likov, pro- storsko risanje, zlati rez). Navedli so nekaj primerov uporabe mate- matičnih znanj pri vsakdanjih opravilih: • v trgovini (zneski, znižanja cen), • pri opazovanju okolice (liki, večje in manjše), • pri merjenju (velikost zemljišč in stano- vanj, prostornina loncev, čas, tehtanje med kuhanjem, delitev hrane), • pri mešanju goriva za motor, • pri igranju družabnih iger. Učenci pogosto mislijo, da matematika nima velike uporabne vrednosti. Ko sem jim predstavila njihove odgovore, so bili prijetno presenečeni nad dokaj številčnim naborom primerov. Včasih je težje poiskati konkreten primer, ki bi pokazal uporabo določenih matematič- nih znanj. Učitelj mora ob takih priložnostih vložiti precej truda in iznajdljivosti, toda njegovo delo ni zaman. Vložen trud v teh si- tuacijah je vedno poplačan, saj pri učencih spodbudi večje zanimanje za učenje in razis- kovanje matematike. V osnovnošolski matematiki zasledimo težnjo po njeni uporabi v različnih situaci- jah, s katerimi se srečujemo v vsakdanjem življenju. Dobro poznavanje okolja nam po- maga razumeti, kako se matematika preple- ta z različnimi področji našega življenja in kako jo lahko uporabimo za splošno korist. Boljše poznavanje okolja in zakonitosti, ki veljajo v njem, najlažje dosežemo z izkustve- nim učen jem. Pri urah matematike ni ravno veliko časa za tovrstno raziskovanje, zato pa ga je več pri izbirnem predmetu, krožku, dnevih dejavnosti, šoli v naravi … Takrat je delo bolj sproščeno, saj nas čas ne preganja. b Matematični sprehodi V učnem načrtu za matematiko, in si- cer za zadnje triletje, so teme, ki jih lahko 30 Matematika se sprehaja – Matematika v okolju smiselno vpletamo v raziskovanje okolja. Preden se odločimo za raziskovanje, si na- denimo »matematična očala« in se tako od- pravimo na sprehod. Ob neposrednem stiku z naravnim in urbanim okoljem bomo ugo- tovili, da so nekateri pojavi vredni naše po- zornosti že zaradi pestrosti oblik, pri drugih pa bomo lahko iskali povezave z različnimi matematičnimi modeli. Osebni stik z naravo učence motivira za učenje in zato vpliva tudi na trajanje in širino pridobljenega znanja. Z učenci lahko raziskujemo pomen normal- ne porazdelitve pojavov, smisel pokrivanja ravnine s skladnimi večkotniki v domovih žuželk; napovedujemo verjetnost dogodkov, preverjamo obstoj obhodov ali sprehodov po različnih poteh in občudujemo fraktale. Lahko proučujemo težo stalnih razmerij do- ločenih pojavov, uporabo številskih zapore- dij, iščemo simetrije in ugotavljamo pomene drugih pojavov. (Godnič, 2010) Pri izvedbi dejavnosti pa ni le čas tista ovira, ki nas včasih onemogoča pri mate- matičnem raziskovanju. Pri delu lahko na- letimo na zelo različne ovire, kot so: stopnja trenutnega učenčevega znanja, zahtevnost opazovanja, vreme … Ne glede na težave lahko prilagodimo delo tako, da iz učencev izzovemo željo po raziskovanju matematike in okolja ter jim omogočimo zanimivo učen- je. Učiteljeva odločitev je, kdaj in kako po- nudi učencem matematični model za iskanje odgovorov na zastavljena vprašanja. Učenci lahko sami ob spremljanju dogajanj v nara- vi izpeljejo matematične modele ali pa jih le preverjajo na določenih pojavih. Pri tem jih navajamo na kritičen odnos do uporabe matematičnih struktur, saj marsikateri pojav nima pravega matematičnega ozadja. Učen- ce je dobro usmeriti tudi v spoznavanje re- ševanja podobnih problemov v preteklosti. Če se seznanijo z delom matematikov, ki so raziskovali obravnavana področja, lažje osmislijo uporabo teh znanj v praksi. Bolj kot poznajo prepletenost in povezanost po- javov, lažje prevzemajo odgovornost za svoje veden je v okolju. (Godnič, 2010) V nadaljevanju so predstavljena nekatera matematična znanja, ki jih lahko približamo učencem med raziskovanjem okolja. Graf V našem širšem okolju najdemo celo pale- to različnih povezav, ki jim pravimo poti. To so pešpoti, poti za motorna vozila, vlakovne poti, poti za zračni in pomorski promet in tudi selitvene poti različnih živalskih vrst. Raziskovanje selitvenih poti živali je z učenci v določenih okoljih težko izpeljati, zato išče- mo obstoj povezav med objekti kar v bližnji okolici. Za raziskovanje različnih povezav v matematiki uporabljamo teorijo grafov. V okolici doma ali bližnjega gozda lahko poiščemo vse prehodne ali prevozne poti tega področja in jih vrišemo v zemljevid. Na njem si označimo, poleg dobljenih poti, tudi mostove ali naravne prehode čez poto- ke ali reke in ugotavljamo, katere so mogoče povezave med potmi in izbranimi objekti. Določamo jim tudi matematične sprehode in obhode. Učenci raziščejo uporabne vrednosti dob- ljenih poti, kot so najkrajša ali najvarnejša pot od doma do šole, turistična krožna pot po kraju, naravoslovna učna pot po gozdu, ekonomične in hkrati za okolje manj obre- menjujoče poti poštarjev in komunalnih de- lavcev … (Primer učnega lista 1) Predstavimo jim lahko tudi delo znanega matematika Leonharda Eulerja in problem Königsberških mostov. 31 Tematika ni vedno izvedljiva na terenu, saj je lahko ovira vreme ali pa sama okolica. V takih primerih že prej pripravimo ustre- zne zemljevide in naloge rešujemo v pro- storu. Svoje ugotovitve lahko preverimo na terenu tudi pozneje. Učenci potrebujejo za raziskovanje jasna navodila. Pogosto se izka- že, da so za učence ustna navodila boljša od pisnih. Ker je njihov čut za organizacijo dela zelo različen, je učni list vseeno dobrodošel pripomoček, saj jim predstavlja oporo pri is- kanju poti do rešitve nalog. (Godnič, 2010) Primer učnega lista 1 1. Na dogovorjenem območju poišči vse prehodne ali prevozne poti in jih vriši v zemljevid. Na njem označi tudi mostove in druge možne prehode čez potoke ali reke. 2. Na zemljevidu označi objekt A in B. Tvoja naloga je iskati različne poti med objektoma. Uporabiti smeš le obstoječe (na zem- ljevidu vrisane) poti. a) Po kolikih različnih poteh bi lahko prišli od objekta A do objekta B? Skiciraj (zapiši) potek teh poti. b) Na zemljevidu izriši najdaljšo in najkrajšo pot med objektoma A in B. c) Poišči takšno pot med objektoma A in B, da bo ustrezala spodaj naštetim pogojem: • p o t j e k r o žn a; • začet e k p o t i j e p r i o b j e k t u A, n ad a l j u j e s e mim o o b j e k t a B in s e p o dr ug i h p o t e h vrne k objektu A; • vs a k o d s e k p o t i j e u p o ra b l j en le en k ra t. Ali obstaja takšna pot? č) Če je v prejšnji nalogi odgovor ne, potem poskusi vnesti smiselne spremembe, ki bi omogočale obstoj iskane poti. 3. Poišči uporabno vrednost dobljenih poti. Slika 1 prikazuje Ajdovščino. Učenci so poiskali vse mogoče prehode čez reko Hubelj (od izvira do obvoznice) in potok Lokavšček (od izliva v Hubelj do Bajerja). Prehode – mostove so označili z modro barvo. Ugoto- vili so, da obstajajo trije bregovi, ki so jih na sliki označili z rdečo barvo. Dokazali so, da v našem mestu obstaja Eulerjev obhod. Na raziskovanje okolice se včasih odpra- vimo tudi s kolesom, ki pa ni samo prevo- zno sredstvo. Kolo je lahko primeren objekt za matematično raziskovanje. Zanimivo je opazovati obliko črte, ki jo kolo izriše ob kotaljenju na ravni podlagi. Na obod kolesa pritrdimo pisalo – konico pisala, na zid pa prilepimo papir. Kolo previdno kotalimo po [Slika 1] Ajdovščina in Eulerjev obhod (vir: http:// zemljevid.najdi.si/najdi/vipava, (10. 11. 2014) 32 tleh in dovolj blizu zida, da lahko pisalo izri- suje črto. Dobljena črta je cikloida. Če pisalo premikamo nižje po naperah, ugotovimo, da se loki umirjajo, dokler se ne končajo v ravni črti. Učenci se ob tem zabavnem raziskovan- ju srečajo z uporabo grafov v praksi. Za kotaljenje kolesa potrebujemo veliko prostora, ki ga nimamo vedno na voljo. V ta- kih primerih kolo nadomestimo s krogom iz tršega materiala (slika 2). [Slika 2] Krog namesto kolesa [Slika 3] Pozicija pisal in črte [Slika 4] Umirjanje lokov Geometrijske oblike V naravi srečamo veliko različnih oblik in vzorcev, ki nas upravičeno spominjajo na ge- ometrijske oblike. Fraktal Oblaki, snežinke, drevesa, cvetača in tudi praproti predstavljajo dobre ponazoritve fraktalov. [Slika 5] Iskanje prvega koraka Med opazovanjem fraktalov v naravi je smiselno napraviti nekaj fotografij, ki jih poz neje povečamo in analiziramo. S pomoč- jo fotografij in smiselnega nizanja geometrij- skih oblik poskušamo narisati fraktale do do- ločene stopnje razvejanosti (koraka). Vzorci, ki nastanejo, so lahko dobro izhodišče za zabavno računanje. V vsakem posamez nem koraku izračunamo obseg, ploščino ali celo prostornino vzorca. Ugotavljamo, kako se od koraka do koraka spreminjajo dobljene vrednosti. Učence usmerimo tudi v razisko- vanje razvoja tega matematičnega področja (Dürer, Koch, Julia, Mandelbrot). (Primer učnega lista 2) Matematika se sprehaja – Matematika v okolju 33 Primer učnega lista 2 1. Na spodnji sliki so narisani prvi trije koraki fraktala, ki ponazarja cvetačo. Ob nizanju geometrijskih oblik posku- šaj narisati čim več korakov. Vsak korak poskusi pobarvati z drugo barvo. 2. Koliko korakov lahko narišeš? 3. V vsakem narisanem koraku določi šte- vilo kvadratov in število pravokotnih enakokrakih trikotnikov. 4. Izračunaj ploščino dobljenega lika v tretjem, četrtem in petem koraku. Opa- zuj, kako se ploščina veča. Nizanje enakih oblik Nekatere žuželke in pajki gradijo svoje domove z uporabo preprostih matematičnih oblik. Mreže nekaterih pajkov spominjajo na različne večkotnike ali celo na krog, čebelje satovje pa je sestavljeno iz samih pravilnih šestkotnikov. Učenci lahko analizirajo po- men stičnega nizanja celic na satovju. Preve- rijo, katere like bi lahko uporabili za gradnjo satovja. Izbranim likom včrtajo kroge. S pri- merjavo velikosti polmerov včrtanih krogov dokažejo smiselnost izbire osnovnega gra- dnika na satovju. Učence opozorimo na eko- nomično obnašanje živali in rastlin. (Primer učnega lista 3) Seznanimo jih z možnostmi pokrivanja ravnine z različnimi liki in s pomembnim prispevkom M. C. Escherja k razvoju tega matematičnega področja. (Godnič, 2010) Primer učnega lista 3 Tlakovanje ravnine je področje matema- tike, ki se ukvarja z vzorci, ki se ponavljajo v nekih zaporedjih v različnih smereh. 1. Razišči, iz katerih ravninskih pravil- nih likov lahko oblikujemo vzorec, ki pokriva celotno ploskev brez praznih vmesnih prostorov. (Geometrijski vzorci so sestavljeni iz likov, ki se dopolnjujejo v vzorec. Med liki ni prostih prostorov, liki se med se- boj stikajo. Začetno zaporedje se nada- ljuje skozi cel vzorec in se ne spreminja.) [Slika 6] Čebelje satovje 2. a) Oglej si čebelje satovje. Del satovja skiciraj v tlorisu. b) Katero geometrijsko obliko predstav- ljajo posamezne celice v satovju? c) Koliko celic je na eni strani satnice? č) Razmisli, zakaj so celice nanizane druga poleg druge? 3. a) Ali bi bilo lahko satovje oblikovano iz pravilnih petkotnikov? Razloži svoj odgovor. b) Poišči vse like, ki bi jih lahko upora- bili za gradnjo satovja. Skiciraj mo- žnosti in utemelji izbor likov. [Slika 7] Grafična upodobitev rešitve 4. Zakaj uporabljajo čebele le določeno obliko za gradnjo svojega doma? Odgo- vor utemelji tudi z računom. Pri tem naj ti bodo v pomoč likom včrtani krogi. 34 Računanje ploščine Količina hrane, ki jo rastline proizvajajo za svojo rast, je odvisna tudi od površine njenih listov, ki sprejemajo sončno svetlobo. Površino lista primerjamo z velikostjo lika, s katerim nam uspe pokriti izbrani list. Vpra- šanja in naloge, s katerimi usmerimo učence v rabo matematičnih modelov, se nanašajo na izračune ploščine enega lista in veliko- sti pokritja z vsemi listi, ki jih ima izbrana rastlina. Za merjenje velikosti lahko upora- bimo nabran list ali pa njegovo fotografijo. Paziti moramo na izbiro listov, kajti njihova oblika določa težavnostno stopnjo naloge. Na podlagi znanih podatkov o približni količini kisika, ki ga določene vrste dreves proizvedejo, in količini kisika, ki ga človek potrebuje, izračunamo, koliko dreves potre- bujemo, da v enem letu zadostimo potrebam enega človeka po kisiku. (Godnič, 2010) [Slike 8, 9, 10, 11 in 12] Pokrivanje lista z geome- trijskimi liki Simetrija Marsikatera rastlina ali žival pritegne našo pozornost zaradi lepih barv in oblike. Občutek imamo, da so vzorci in oblika sime- trični. Šele natančen pogled nam pokaže, da je popolna simetrija skoraj nemogoča. Na sprehodu ugotavljajo učenci somer- nost celih rastlin ali njihovih delov. Za na- tančno ugotavljanje simetrije je treba nabrati različne rastlinske vzorce (liste, cvetove, plo- dove …) ali jih fotografirati. Z merjenjem, prepogibanjem ali odtisom jim določimo osno, središčno, rotacijsko simetrijo ali pre- mik. Ugotavljamo tudi število simetrijskih osi. Na vzorcih raziščemo, kaj vpliva na šte- vilo osi simetrije. (Primer učnega lista 4) Z uporabo različnih preslikav v isti risbi ali s postopki oblikovanja ravninskih krista- lografskih grup oblikujemo nove vzorce in oblike. (Godnič, 2010) Primer učnega lista 4 1. Ali je slika na fotografiji simetrična? 2. Ali je glava hišnega ljubljenčka popol- noma simetrična? 3. Ali je naš obraz simetričen? Odgovorov na zgornja vprašanja ni težko podpreti še z dokazom. Že skromno znanje uporabe osnovnih računalniških programov učencu omogoča oblikovanje odgovorov na zastavljena vprašanja. [Slika 13] Prvotna slika [Slika 14] Dve desni polovici Matematika se sprehaja – Matematika v okolju 35 [Slika 15] Dve levi polovici Sorazmerja in podobnost Merjenje višine V zgodovini si je človek pri merjenju po- magal s preprostimi pripomočki. Razdalje med opazovanimi objekti je meril s stopali, koraki, s polaganjem palice … Za merjenje višine je moral pokazati več iznajdljivosti. Med najbolj znane načine merjenja višine sodi merjenje z rotacijo. Merjenje višine z uporabo podobnih trikotnikov (merjenje dolžine sence opazovanega objekta) je prav Primer učnega lista 5 1. Tabelo izpolni s svojimi merami, ki naj bodo zaokrožene na centimeter. Deli telesa odraslega človeka Albrecht Dürer Leonardo Da Vinci tvoja razmerja dolžina nog proti višini telesa 1 : 2 - višina glave proti višini telesa 1 : 8 - dolžina dlani proti višini telesa 1 : 10 - dolžina dlani proti dolžini cele roke 1 : 4 - višina obraza proti višini glave 4 : 5 - višina noge do kolena proti višino celotne noge - 0,618 : 1 višino telesa do popka proti višini celega telesa - 0,618 : 1 2. V tabeli so zapisana nekatera idealna razmerja med deli odraslega človekovega telesa po Leonardu da Vinciju in Albrechtu Dürerju. Tabelo dopolni s tvojimi že poenostavljenimi razmerji. Telesna višina Telesna višina do popka Višina noge do kolena Višina celotne noge Razdalja razprtih rok Višina glave Dolžina celotne roke Dolžina dlani Dolžina roke do drugega ramena 3. Ali veljajo njuna merila tudi zate? 4. V katerih primerih si se najbolj približal/-a znanim razmerjem? 5. Zakaj prihaja do odstopanj med razmerji? 6. Zakaj je smiselno zbirati in analizirati te podatke? 36 tako dobro znan postopek, ki ga je uporabljal že Tales. Če nam vreme dopušča, je smiselno izmeriti višino izbranega drevesa na oba na- čina. Dobljene rezultate lahko primerjamo med seboj in ugotavljamo razloge za morebi- tna odstopanja. (Primer učnega lista 5) Na podlagi izmerjene višine opazovanega drevesa in pridobitve drugih potrebnih po- datkov (obseg debla – premer debla) oceni- mo tudi volumen debla. (Godnič, 2010) Razmerja V naravi srečamo različna stalna razmerja. Preučevanje marsikaterega znanega razmer- ja je za učence prezahtevno delo (razmerja med telesno površino in prostornino orga- nizma, Mendelova razmerja …). Poznamo nekaj razmerij, ki jih dokaj hitro preverimo z enostavnimi matematičnimi operacijami. To so razmerja med velikostjo posameznih delov človekovega telesa. Učenci zberejo določene mere svojega telesa in izračuna- jo razmerja. Dobljene rezultate primerjajo z da Vincijevimi ali Dürerjevimi razmerji. Le onardo da Vinci in Albrecht Dürer sta v svojih delih uporabljala različna razmerja za upodabljanje idealnega človekovega telesa. Učence lahko seznanimo tudi s posebnim razmerjem, to je z zlatim rezom. (Godnič, 2010) Normalna ali gaussova porazdelitev Dolžina cvetnih listov, masa plodov, viši- na rastlin in drugi podatki o rastlinah pred- stavljajo lepe primere normalne porazdelitve podatkov. Prav tako so za obdelavo zanimivi različni podatki o živalih in tudi o človeku. Večina pojavov v naravi je normalno poraz- deljenih, to je v obliki normalne ali Gaussove krivulje. Naloge, s katerimi opozorimo na to po- razdelitev, so lahko zelo preproste. Za opa- zovanje si lahko izberemo kar ivanjščico, ki je ena najpogostejših slovenskih travniških rož. Sistematično izvajamo štetje belih cvet- nih listov oziroma meritve dolžin cvetnih listov. Podatke smiselno urejamo v tabele in upodobimo v koordinatnem sistemu. Ure- jene in upodobljene podatke analiziramo in primerjamo z normalno krivuljo. Poiščemo uporabno vrednost tako dobljenih podatkov (primer: prepoznavanje sprememb v naravi, Primer učnega lista 6). Ker ima krivulja ime po Carlu Friderichu Gaussu, lahko predstavimo učencem znane- ga matematika. (Godnič, 2010) Zaporedja naravnih števil Narava je včasih nepredvidljiva, zato je oblikovanje pravil, ki jih zasledimo pri opazo- vanju nekaterih pojavov, zahtevno in odgovor- no delo. Če zmoremo med dobljenimi podatki zanemariti določene nepomembne podrobno- sti, lahko najdemo zanimive splošno veljavne zakonitosti. Tako je tudi z zaporedji naravnih števil, ki jih včasih srečamo v naravi. Potence Pri bakterijah obstaja posebna oblika raz- množevanja. Celica se samo predeli – cepi, in to v zelo kratkem času. V optimalnih po- gojih se ena bakterija množi po zaporednih vrednostih potence števila dve. Učencem ponudimo vse potrebne po- drobnosti, s katerimi opazujejo bohotenje števila bakterij v različnih časovnih interva- lih in ob tem si zapisujejo člene tega zapo- redja. Izračunajo tudi, kako veliko površino ali prostornino bi bakterije zapolnile v izbra- nem času. Razmislimo, kje uporabljamo ta znanja. (Godnič, 2010) Matematika se sprehaja – Matematika v okolju 37 Fibonaccijevo zaporedje Zaporedje naravnih števil, ki se pojavlja v najrazličnejših situacijah in povezavah z drugimi vedami, je Fibonaccijevo zaporedje. To zaporedje je zanimivo, saj se večkrat po- javlja v naravi (v razporeditvi semen sončni- ce in luskah storžev, v številu cvetnih listov …). Včasih je težko dobiti primerne vzorce, da bi lahko dokazali obstoj Fibonaccijevega zaporedja. Ta primanjkljaj lahko nadomesti- mo z dobrimi fotografijami vzorcev. Na njih lahko občudujemo zanimivost naveze med naravo in matematiko. [Slika 16] Trot in 6 generacij prednikov Med zelo prepričljive primere obstoja Fi- bonaccijevega zaporedja števil v naravi nale- timo v čebeljih družinah, pri številu trotovih Primer učnega lista 6 1. Na travniku naberi deset cvetov ivanjščice. Izbiraj nepoškodovane cvetove, saj bo treba šteti bele cvetne liste in meriti njihovo dolžino. 2. V tem razdelku obravnavaj vsako ivanjščico posebej. Podatke zapisuj v tabele. a) Preštej število belih cvetnih listov posamezne ivanjščice. b) Na milimeter natančno izmeri dolžino vsakega belega cvetnega lista. c) Izračunaj povprečno dolžino cvetnega lista posamezne ivanjščice. 3. Na podlagi podatkov iz 2. a in 2. b naloge reši še naslednje naloge: a) Izpiši najmanjše in največje število cvetnih listov. b) Ali je število cvetnih listov večinoma liho ali sodo? c) Katero število cvetnih listov se je največkrat pojavilo? č) Izračunaj povprečno število cvetnih listov na ivanjščici. d) Katera dolžina cvetnega lista je bila najpogosteje zapisana? e) Izpiši najkrajšo in najdaljšo mero cvetnega lista. f) Izračunaj povprečno dolžino cvetnega lista ivanjščice. g) V koordinatnem sistemu upodobi odvisnost med številom ivanjščic in številom cve- tnih listov na ivanjščici. h) V drugem koordinatnem sistemu upodobi odvisnost med dolžino cvetnega lista in številom cvetnih listov. 4. Ali poznaš igro ljubi – ne ljubi? Ivanjščica je v njej uporabljena kot napovedovalka ljube- zenske usode. Ali lahko napovemo izid igre brez trganja cvetnih listov? Razišči možne zaključke igre. Mogoče ti bosta naslednja namiga v pomoč. a) Obstajata dva izida, dobljena po več poteh. b) Uporabi 3. b nalogo. 38 prednikov v vsaki generaciji. (http://uc.fmf. uni-lj.si/mi/arhivpoletih/fibo.pdf) S pomočjo drevesnega prikaza lahko šte- jemo trotove prednike v posamezni genera- ciji ali pa oblikujemo pravilo za izračun šte- vila prednikov. (Primer učnega lista 7) Učence seznanimo tudi z delom matema- tika Leonarda Fibonaccija. (Godnič, 2010) Primer učnega lista 7 1. Čebeljo družino sestavljajo matica, de- lavke in troti. Matica in delavke se raz- vijejo iz oplojenega jajčeca, troti pa iz neoplojenega. a) Koliko staršev imata matica in delav- ka? b) Koliko staršev ima trot? c) Koliko starih staršev ima matica in koliko trot? 2. a) Nadaljuj iskanje števila prednikov čebeljega trota in nariši njegovo dru- žinsko drevo do osme generacije. b) Izpiši število trotovih prednikov v vsaki pretekli generaciji. 3. a) Trot in število njegovih prednikov v vsaki generaciji tvorijo zaporedje, ki mu pravimo Fibonaccijevo zapored- je. Razišči ga. b) S pomočjo matematičnega modela izračunaj število trotovih prednikov v dvanajsti generaciji. g Za konec V naštetih primerih sem poskušala pri- kazati nekatere možnosti povezovanja ma- tematike s pojavi v okolju. Temu primerno sem oblikovala tudi učne liste, ki večinoma le nakazujejo smer opazovanja pojavov, vendar pa redkeje vodijo do samostojne- ga raziskovanja. Vodeno opazovanje poja- vov je zaželeno čim večkrat preoblikovati v ustvarjalno in raziskovalno delovanje, ki pri učencu spodbuja radovednost in večjo zavzetost za učenje. V našem okolju najde- mo še veliko situacij, ki jih lahko povežemo z matematiko. Učence je treba spodbujati k takemu raziskovanju, da bodo povezanost pojavov znali tudi sami poiskati in da bodo znali oceniti pomen matematike. Morda bodo osmislili matematiko kot poljski ma- tematik Jan Sniadecki, ki je zapisal: » Mate- matika je kraljica vseh znanosti. Zaljubljena je v resnico, oblečena pa preprosto in jasno. Dvorec te vladarice obdaja gosto trnje in kdor bi ga rad dosegel, mora skozi goščavo. Slučajni popotnik ne opazi na dvorcu nič privlačnega. Lepota se odpira samo razumu, ki ljubi resnico in je prekaljen v boju s teža- vami, kaže izredno nepremagljivo težnjo po navadno zapletenih, vendar neizčrpanih in vzvišenih razumskih užitkih, lastnih samo človeški naravi.« d Viri in literatura: 1. Godnič, E. (2010). On a Walk with Mathematics. 10 th annual EOE Conference. Rateče. Ljubljana: Center šolskih in obšolskih dejavnosti. 2. http://uc.fmf.uni-lj.si/mi/arhivpoletih/fibo.pdf (5. 7. 2014) 3. https://sites.google.com/site/marijahlastan2/matematika (5. 7. 2014) 4. http://zemljevid.najdi.si/najdi/vipava (10. 11. 2014) Matematika se sprehaja – Matematika v okolju