Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 202 Povzetek V članku je predstavljen nov matematični in numerični model za analizo dvoslojnih prostorskih nosilcev s podajnim stikom. Novosti v predstavljenem matematičnem in numeričnem modelu je več. Prva novost je ta, da model omogoča analizo vpliva strižnih deformacij na togost dvoslojnih prostorskih nosilcev. Druga novost modela je v tem, da se sloja na stiku lahko zamakneta v vzdolžni in prečni smeri, medtem ko zamiki pravokotno na ravnino stika niso možni. Pomembna novost modela pa je tudi ta, da so osnovne enačbe modela konsistentno ločene v dve nepovezani skupini. S tem se med reševanjem enačb izognemo nega- tivnim vplivom singularnosti zaradi veznih enačb. V predstavljenem numeričnem modelu so enačbe rešene z metodo končnih elementov. V ta namen je bila razvita nova družina deformacijskih končnih elementov, pri katerih vse deformacijske količine modela nosilca interpoliramo z Lagrangevimi polinomi poljubne stopnje. Z vpeljavo deformacijskih končnih elementov se izog- nemo vsem vrstam blokiranj, ki so značilne za končne elemente, zasnovane na pomikih. S konvergenčnimi in parametričnimi študijami, predstavljenimi v članku, je bilo ugotovljeno: (i) da so deformacijski končni elementi zelo natančni in zato primerni za analizo dvoslojnih prostorskih nosilcev, (ii) da podajnost stika med slojema nosilca bistveno vpliva na velikosti fizikalnih količin in se jo zato pri analizi dvoslojnih prostorskih nosilcev mora upoštevati in (iii) da je vpliv strižnih deformacij na togost dvoslojnih prostorskih nosilcev s podajnim stikom manjši kot pri homogenih prostorskih nosilcih. Ključne besede: kompozitni nosilec, deformacijski končni element, podajen stik, prostorska analiza, strižne deformacije Gregor Udovč, mag. inž. grad. gregor.udovc@fgg.uni-lj.si, gregor@biroudovc.si Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova 2, 1000 Ljubljana Biro Udovč – Projektiranje, nadzor, svetovanje Stanislav Udovč, s. p., Kočevarjeva ulica 1, 8000 Novo mesto Znanstveni članek UDK 519.6:624.072.2 ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM ANALYSIS OF TWO-LAYER SPATIAL BEAMS WITH INTER-LAYER SLIP prof. dr. Tomaž Hozjan, univ. dipl. inž. grad. tomaz.hozjan@fgg.uni-lj.si prof. dr. Igor Planinc, univ. dipl. inž. grad. igor.planinc@fgg.uni-lj.si asist. dr. Anita Ogrin, univ. dipl. inž. grad. anita.ogrin@fgg.uni-lj.si Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova 2, 1000 Ljubljana Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 203 Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Summary The article presents a new mathematical and numerical model for the analysis of two-layer spatial beams with inter-layer slip. There are several novelties in the presented mathematical and numerical model. The first novelty is that the model allows the analysis of the influence of shear deformations on the stiffness of two-layer spatial beams. The second novelty of the model is that the inter-layer slip can take place in both longitudinal and transverse directions, while inter-layer slip in perpendicular di- rection is not possible. Yet another important novelty of the model is a consistent separation of the basic equations of the model into two unrelated groups. The negative effect of singularities due to the constraint equations, which would otherwise occur when solving the model equations, is thus avoided. The equations of the presented numerical model are solved by applying the finite element method. Thus, a new family of deformation based finite elements has been developed, in which all the de- formation quantities of the beam model are interpolated with Lagrange polynomials of arbitrary degree. By introducing a new deformation based finite element we are able to avoid all types of blocking typical for displacement-based finite elements. The convergence and parametric studies, presented in this article, show: (i) that the deformation based finite elements are very ac- curate and therefore suitable for the analysis of two-layer spatial beams, (ii) that the inter-layer slip significantly affects the values of physical quantities and therefore has to be considered in the analysis, and (iii) that shear deformations have smaller effect on the stiffness of the two-layer spatial beams than on the stiffness of homogeneous spatial beams. Key words: composite beam, deformation based finite element, inter-layer slip, spatial analysis, shear deformations Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 204 1 UVOD V gradbeništvu je uporaba kompozitnih konstrukcijskih ele- mentov pogosta. Kot elemente nosilne konstrukcije jih sreča- mo v mostogradnji in visokogradnji, največkrat pri montažni in polmontažni gradnji, še posebej pogosto pa pri sanacijah objektov. Najpogostejši kompozitni konstrukcijski elementi v gradbeništvu so dvo- ali večslojni nosilci, sestavljeni iz dveh ali več vodoravnih slojev iz različnih materialov. Izbira materia- lov in njihova lega v nosilcu je pogojena z njihovimi lastnost- mi. Tako pri sovprežnih nosilcih iz jekla in betona izkoristimo ugodno obnašanje betona v tlaku in ugodno natezno trdnost jekla. Seveda je kompozitno delovanje dvoslojnih oziroma večslojnih nosilcev odvisno od veznih sredstev med sloji nosil- ca. Poznamo mehanska in kemična vezna sredstva, vendar ne glede na izbiro veznih sredstev popolne, idealno toge poveza- ve med slojema ne moremo zagotoviti. Podajnost stika je odvi- sna od izbire samih veznih sredstev, ki so največkrat že v osnovi podajna, in od njihove razporeditve, lahko pa je tudi posledica napak med izvedbo oziroma posledica poškodb, ki se pojavijo v življenjski dobi konstrukcije. Kot kažejo številne raziskave, podajnost stika med sloji bi- stveno vpliva na togost, duktilnost in nosilnost dvoslojnih in večslojnih nosilcev. V znanstveni literaturi zasledimo številne raziskave o modelih za analizo tovrstnih konstrukcij. Omeni- mo le nekatere. Med prvimi se je z analizo dvoslojnih nosil- cev ukvarjal Newmark [Newmark, 1951], nekoliko pozneje pa še Goodman in Popov [Goodman, 1969]. Z razvojem računal- ništva se pojavijo tudi številni analitični in numerični mode- li za analizo dvoslojnih nosilcev, kot na primer [Čas, 2004], [Fabbrocino, 1999], [Girhammar, 1993], [Hozjan, 2013], [Kroflič, 2012] in številni drugi. Skupno vsem tem raziskavam je to, da so dvoslojne nosilce analizirali ravninsko. Raziskav o prostor- skem obnašanju dvoslojnih nosilcev je v znanstveni literaturi relativno malo. Med prvimi sta bočno zvrnitev dvoslojnih no- silcev analizirala Challamel in Girhammar [Challamel, 2013]. Analitično rešitev dvoslojnih prostorskih elastičnih nosilcev s podajnim stikom v prečni in vzdolžni smeri so prvi predstavili Čas in sodelavci [Čas, 2018], analizo vpliva strižnih deformacij in vzdolžnih zamikov med slojema na togost dvoslojnih pro- storskih nosilcev pa so nedavno predstavili Udovč in sodelavci [Udovč, 2021]. V tem članku predstavljamo nov matematični in numerič- ni model za analizo dvoslojnih prostorskih nosilcev s podaj- nim stikom (v nadaljevanju DSP-nosilcev). Opisani model predstavlja nadgradnjo raziskav, prikazanih v delih Časa ter Udovča s sodelavci ([Čas, 2018], [Udovč, 2021]). Glede na omenjene raziskave je prispevek novega matematičnega in numeričnega modela naslednji: (i) model omogoča analizo vpliva strižnih deformacij na togost DSP-nosilcev, (ii) sloja na stiku se lahko zamakneta v vzdolžni in prečni smeri, ne mo- reta pa se zamakniti pravokotno na ravnino stika in (iii) ob- našanje veznih sredstev na stiku med slojema je lahko tudi nelinearno. Posplošene ravnotežne enačbe predstavljenega modela izpeljemo z linearizacijo osnovnih enačb Reissner- Simove teorije prostorskih nosilcev [Simo, 1985]. Pri tem enačbe modela konsistentno ločimo v dve nepovezani sku- pini, s čimer se med reševanjem izognemo negativnim sin- gularnim vplivom veznih enačb. Za reševanje nelinearnega sistema posplošenih ravnotežnih enačb za analizo DSP-no- silcev uporabimo metodo končnih elementov. V ta namen smo razvili novo družino deformacijskih končnih elementov, katerih značilnost je v tem, da le deformacijske količine in- terpoliramo z Lagrangeovimi polinomi poljubne stopnje. Na ta način se v analizi izognemo vsem vrstam blokiranj, ki so značilne za končne elemente, zasnovane na pomikih [Čas, 2004]. V nadaljevanju članka najprej podrobno prikažemo posplo- šene ravnotežne enačbe DSP-nosilcev, čemur sledi podrobna predstavitev reševanja posplošenih ravnotežnih enačb z de- formacijsko metodo končnih elementov. Na dveh računskih primerih nato s parametričnimi študijami analiziramo kon- vergenčne lastnosti deformacijskih končnih elementov, vpliv podajnosti stika med slojema in vpliv strižnih deformacij na togost DSP-nosilcev. V zaključku predstavimo ugotovitve naše raziskave. 2 OSNOVNE ENAČBE 2.1 Osnovne predpostavke in deforma- cijska preslikava Opazujemo prostorski kompozitni nosilec, ki ga sestavlja- ta dva sloja, sloj a in sloj b; v nadaljevanju ga imenujemo dvoslojni prostorski nosilec (DSP-nosilec). Osnovne predpo- stavke, ki jih upoštevamo pri izpeljavi osnovnih enačb DSP- nosilca, razdelimo v tri skupine. V prvo skupino spadajo predpostavke, ki določajo obliko in velikost deformirane lege nosilca. Predpostavke o načinu povezave med slojema nosil- ca uvrstimo v drugo skupino. V zadnji skupini predpostavk pa so predpostavke o materialnih lastnostih obeh slojev nosilca in lastnostih veznih sredstev med slojema. Osnovne predpostavke so: A. Geometrijske predpostavke: • spremembe oblike in velikosti vsakega sloja obravna- vanega nosilca zaradi zunanjih mehanskih vplivov so 'majhne'; pri izpeljavi osnovnih posplošenih ravnotežnih enačb upoštevamo linearno teorijo prostorskih nosilcev; • referenčni osi vsakega sloja nosilca sta v nedeformirani legi ravni in med seboj vzporedni; brez izgube na sploš- nosti za referenčni osi obeh slojev nosilca izberemo te- žiščni osi slojev; • oblike in velikosti prečnih prerezov vsakega sloja nosilca so v nedeformirani legi poljubne, vendar so vzdolž osi nosilca konstantne in se med deformiranjem nosilca ne spreminjajo; • prečni prerezi vsakega sloja, ki so v nedeformirani legi ravni in pravokotni na težiščno os sloja, po deformiranju ostanejo ravni, toda ne več pravokotni na deformirano težiščno os sloja. S tem v analizi DSP-nosilcev upošteva- mo tudi strižne deformacije obravnavanega nosilca; • stična ploskev med slojema nosilca je v nedeformirani legi del ravnine, ki je vzporedna s težiščnima osema slo- jev. Premica, ki povezuje težišči prečnih prerezov slojev nosilca, je v nedeformirani legi pravokotna na stično rav- nino med slojema nosilca. B. Predpostavke o stiku: • na stiku se sloja lahko zamakneta v vzdolžni in prečni smeri; Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 205 • pravokotno na stično ploskev slojev nosilca je povezava med slojema toga; • vzdolžni in prečni zamiki med slojema nosilca so »majhni«; vezne enačbe med slojema upoštevamo v li- nearni obliki; • zasuki prečnih prerezov slojev nosilca so za oba sloja enaki. C. Predpostavke o materialih: • vsak sloj nosilca se obnaša linearno elastično skladno s Hookovim zakonom; pri tem so lahko materialni para- metri modela vsakega sloja različni; • za vsak sloj nosilca je materialni model lahko različen, vendar v vseh delcih sloja enak; • materialni model obnašanja veznih sredstev na stiku nosilca je nelinearen in nehomogen ter v vzdolžni in prečni smeri nepovezan. Skladno z geometrijskimi predpostavkami v nadaljevanju predstavimo deformacijsko preslikavo DSP-nosilca. Kot vemo, ta predstavlja preslikavo DSP-nosilca iz nedeformirane lege v deformirano lego. Deformacijsko preslikavo opišemo v toč- kovnem evklidskem prostoru, ki ga označimo z E. Koordinate globalnega kartezijevega koordinatnega sistema v E označimo z X, Y, Z, pripadajoče bazne vektorje pa z EX, EY in EZ=EX×EY. Za koordinate opazovališča izberemo O≡(O,O,O), krajevni vektor do poljubne točke v E pa označimo z R. Tudi lokalna koordinatna sistema v nedeformirani legi vsakega sloja prostorskega nosil- ca sta kartezijeva. Lokalne koordinate sloja a označimo z xa, ya in za, pripadajoče bazne vektorje pa z exa, eya in eza=exa×eya. Lokalne koordinate sloja a (O,O,O) identificiramo v E s točko Oa, ki je za ht EZ oddaljena od opazovališča O. Pri tem je ht razdalja med težiščema slojev. Za koordinatno os xa izberemo težiščno os sloja a, koordinatna os ya je vzporedna z ravnino stika, os za pa je pravokotna na ravnino stika. Koordinatni osi ya in za ležita v rav- nini prečnega prereza sloja a. Podobno izberemo tudi lokalni koordinatni sistem sloja b. Lokalne koordinate označimo z xb, yb in zb, pripadajoče bazne vektorje pa z exb, eyb in ezb=exb×eyb. V nede- formirani legi nosilca lokalne koordinate sloja b (O,O,O) identi- ficiramo s točko Ob, ki sovpada z globalnim opazovališčem O. V deformirani legi pa lokalna koordinatna sistema izberemo tako, da so lokalne koordinate delcev v nedeformirani in defor- mirani legi enake. Tako izbrana lokalna koordinatna sistema sta krivočrtna, koordinatam pa pravimo konvektivne koordina- te. Nedeformirano in deformirano lego DSP-nosilca z oznaka- mi značilnih geometrijskih količin prikazujemo na sliki 1. Deformirani legi sloja a in sloja b DSP-nosilca opišemo v E s krajevnima vektorjema Ra in Rb: (1) Pri tem vektorja ri (i=a,b) skladno z geometrijskimi predpo- stavkami izrazimo s poljem pomikov vzdolž težiščnih osi vsa- kega sloja nosilca ui (xi) in poljem zasukov prečnih prerezov φi (xi). (2) Ker so bazni vektorji globalnega in lokalnih koordinatnih siste- mov v nedeformirani legi nosilca identični, lahko lego DSP-no- silca v deformirani ravnotežni legi zapišemo v obliki: (3) Enačbe (1) oziroma (3) opisujejo deformacijsko preslikavo DSP- nosilca. Kot vidimo, preslikavo določa polje pomikov težiščnih osi ui (xi) in polje zasukov prečnih prerezov φi (xi), ločeno za vsak i-ti sloj nosilca (i=a,b). Deformacijsko preslikavo pogosto izrazi- mo tudi s poljem pomikov U oziroma v primeru DSP-nosilca s poljema Ui (i=a,b). V globalni bazi ju izrazimo z enačbama (4) oziroma, ko upoštevamo enačbi (1) in (3), v obliki (5) kjer smo koordinatna vektorja v prečnem prerezu za posame- zni sloj označili z ρi (i=a,b). (6) Komponentna oblika deformacijske preslikave, izražena s po- ljem pomikov, pa ima obliko: (7) V skladu z izbiro lokalnih koordinatnih sistemov v nedeformi- rani legi nosilca velja: (8) in posledično deformacijsko preslikavo (7) lahko izrazimo v obliki: Slika 1. Dvoslojni prostorski nosilec z oznakami značilnih geo- metrijskih količin v (a) nedeformirani in (b) deformirani legi. Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 206 (9) V enačbah (7) do (9) smo z u, v in w označili komponente pomi- kov težiščnih osi v smereh x, y in z ter z φx, φy in φz zasuke preč- nih prerezov okoli osi x, y in z. Zgornja indeksa a in b označujeta posamezni sloj nosilca. 2.2 Osnovne enačbe homogenih slojev prostorskih nosilcev Del osnovnih enačb DSP-nosilcev s podajnim stikom sestav- ljajo linearizirane posplošene ravnotežne enačbe homogenih prostorskih nosilcev. Ker so te dobro znane, jih povzamemo po literaturi (Hjelmstad, 2005). Sestavljajo jih kinematične, ravno- težne in konstitucijske enačbe z ustreznimi statičnimi in kine- matičnimi robnimi pogoji (i=a,b). (10) (11) (12) + robni pogoji. Deformacijske količine smo označili z εx i, γy i, γz i, κx i, κy i in κz i, kjer smo z εx i označili osni deformaciji, z γy i in γz i strižne deformaci- je, s κx i torzijski deformaciji, s κy i in κz i pa upogibne deformacije vsakega sloja nosilca. Z Nx i, Ny i, Nz i, Mx i, My i in Mz i smo označili dobro znane notranje statične količine, z Nx,c i , Ny,c i , Nz,c i , Mx,c i , My,c i in Mz,c i pa pripadajoče konstitucijske količine. Te so skladno s Hookovim zakonom določene z enačbami (i=a,b): (13) kjer smo z Ei in Gi označili elastični in strižni modul sloja a in sloja b obravnavanega nosilca, z Ax i ploščini prečnih prerezov slojev, z Ix i polarna vztrajnostna momenta ter z Iy i, Iy i z in Iz i vztraj- nostne momente prečnih prerezov slojev nosilca. S predsta- vljenim materialnim modelom, podobno kot pri homogenih prostorskih nosilcih, precenimo strižno in torzijsko togost vsakega sloja nosilca. To pomanjkljivost odpravimo z uporabo t. i. strižnih prečnih prerezov vsakega sloja nosilca Ay i in Az i, kot to predlaga Cowper [Cowper, 1966], ter z zamenjavo polarnih vztrajnostnih momentov prečnih prerezov slojev s torzijskima vztrajnostnima momentoma slojev, ki vsebujeta tudi vpliv iz- bočitve prečnih prerezov slojev (Ix i ≡ Iti) [Hjelmstad, 2005]. S pxi, py i in pz i smo v enačbah (13) označili komponente linijske obtež- be vsakega sloja nosilca, z mx i, my i in mz i pa linijske momentne obtežbe. Poudarimo pa, da so te komponente sestavljene iz zunanjih vplivov in sovprežnih vplivov na stiku med slojema nosilca. 2.3 Kinematične in deformacijske vezne enačbe DSP-nosilca Povezano delovanje slojev DSP-nosilca zagotavljajo vezna sredstva. Ker pa je popolnoma togo povezavo med slojema nosilca z veznimi sredstvi praktično nemogoče zagotoviti, se sloja nosilca med deformiranjem razslojita. Oblika razslojeva- nja slojev med deformiranjem dvoslojnih nosilcev je v največji meri odvisna od izbire veznih sredstev in oblike zunanje ob- težbe in s tem obremenitve veznih sredstev. Tu bomo pred- postavili, da je prevladujoče le razslojevanje slojev v prečni in vzdolžni smeri, razslojevanje pravokotno na ravnino stika pa je zanemarljivo. Enačbe, s katerimi opišemo tako razslojevanje slojev obravnavanega nosilca, v nadaljevanju imenujemo kine- matične vezne enačbe. Glede na opisane predpostavke so kinematične vezne enačbe DSP-nosilca določene z zahtevo o soležnosti delcev slojev no- silca na stiku v deformirani legi. Skladno s to zahtevo v defor- mirani legi nosilca velja: (14) kjer smo z x* in y* označili tisti lokalni koordinati delcev sloja b na stiku nosilca v nedeformirani legi, ki sta v deformirani legi soležni z delci na stiku sloja a. Seveda pa delci s koordinatami (x, y, ) in (x*, y*, ) v nedeformirani legi nosilca niso soležni. Kinematične vezne enačbe (14) v komponentni obliki so: (15) kjer smo z zgornjim indeksom(∙)b* označili vrednost količine (∙)b za delec na težiščni osi sloja b z vzdolžno lokalno koordina- to x*, na primer ub*=ub (x*). Ker v analizi DSP-nosilcev upoštevamo tudi strižno deformira- nje nosilca, zasuki prečnih prerezov slojev niso pogojeni z de- formiranima težiščnima osema slojev obravnavanega nosilca. Zveze med zasuki prečnih prerezov slojev zato predpostavimo kot dodatne kinematične vezne enačbe: (16) Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 207 Pri opisu deformirane lege DSP-nosilca smo predpostavili, da so pomiki in zasuki prečnih prerezov, ki jo določajo, 'majhni', zato so posledično 'majhni' tudi zamiki med slojema. Ob teh predpostavkah je smiselno, da nelinearne vezne enačbe (15) in (16) nadomestimo z linearnimi, te pa določimo z lineariza- cijo veznih enačb (15) in (16) okoli začetne nedeformirane lege DSP-nosilca. Po kratkem računu dobimo z uporabo smernega odvoda linearizirane kinematične vezne enačbe: (17) Zdaj definirajmo še vektor zamikov med slojema nosilca Δ. Tega potrebujemo v formulaciji konstitucijskih enačb na stiku med slojema nosilca oziroma za določitev mehanskih lastnos- ti veznih sredstev na stiku med slojema nosilca. Kot je dobro znano, z vektorjem zamikov določimo zamaknjeni legi delcev na stiku med slojema, ki sta v nedeformirani legi nosilca isto- ležni. Tako dobimo: (18) S pomočjo kinematičnih veznih enačb (17) lahko komponente vektorja zamikov zapišemo v obliki: (19) oziroma v obliki: (20) S pomočjo kinematičnih veznih enačb (17) in kinematičnih enačb DSP-nosilca (10) izpeljemo tudi t. i. deformacijske vezne enačbe obravnavanega nosilca. Po kratkem računu te dobijo obliko: (21) skupaj z (22) 2.4 Kinematične enačbe DSP-nosilca S pomočjo kinematičnih veznih enačb (17) lahko preoblikuje- mo tudi kinematične enačbe DSP-nosilca (10). S preprostim računom dobimo zelo prepoznavne zveze: (23) (24) V nadaljevanju enačbe (23) imenujemo kinematične enačbe DSP-nosilca s podajno povezavo med sloji, enačbe (24) pa do- ločajo oziroma omejujejo neodvisnost kinematičnih robnih pogojev. Tako velja, če smo na robu nosilca predpisali wa, smo dejansko predpisali tudi wb. Podobna je seveda tudi relacija glede predpisanih zasukov prečnih prerezov slojev nosilca. Tako smo zaradi veznih enačb število kinematičnih robnih po- gojev zmanjšali s 24 na 16. Zadnjo skupino veznih enačb v teoriji DSP-nosilcev s podaj- nim stikom med slojema predstavljajo t. i. konstitucijske vezne enačbe. S temi enačbami opišemo podajnost oziroma togost stika in upoštevamo mehanske lastnosti veznih sredstev. Te enačbe predstavljajo zveze med napetostnimi vektorji in vek- torji zamikov na stiku med slojema. Zveze in pripadajoče ma- terialne parametre določimo z meritvami. Ravnotežni pogoj na stiku med slojema nosilca določa enačba: (25) kjer smo z qka označili napetostni vektor sloja a, z qkb napetostni vektor sloja b, z dpa in dpb pa smo označili diferenciala ploščin na stiku med slojema nosilca. Ker sta diferenciala ploščine enaka, velja: (26) oziroma v komponentni obliki: (27) Konstitucijski zvezi predpostavimo le za komponenti v smeri koordinate x in koordinate y, saj se sloja v ravnini stika lahko zamakneta le v vzdolžni in prečni smeri. Relativno splošno ob- liko konstitucijskih veznih enačb na stiku med slojema nosilca lahko zapišemo v obliki: (28) kjer smo predpostavili, da je zveza neodvisna od y. Pri linijskih konstrukcijah brez velike izgube na splošnosti predpostavimo tudi, da sta konstitucijski zvezi v prečni in vzdolžni smeri ne- povezani, torej: (29) Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 208 Najpreprostejši konstitucijski zakon stika, ki pa se v analizi DSP-nosilcev tudi najpogosteje uporablja, je linearna konsti- tucijska zveza na stiku med slojema. V primeru, če se ta vzdolž osi nosilca ne spreminja, dobi konstitucijska vezna enačba na stiku med slojema prepoznavno preprosto obliko: (30) kjer materialna parametra kx in ky predstavljata togost veznih sredstev na stiku med slojema DSP-nosilca. 2.5 Ravnotežne enačbe DSP-nosilca Ravnotežne enačbe in pripadajoče statične robne pogo- je DSP-nosilca bomo izpeljali s pomočjo izreka o virtualnem delu za linijske konstrukcije in s pomočjo kinematičnih veznih enačb (17). Izhodišče izpeljave predstavlja izrek o virtualnem delu. Virtualno delo DSP-nosilca je vsota virtualnega dela po- sameznega sloja tega nosilca, torej je i=(a,b): (31) kjer je: (32) (33) S pomočjo variacij kinematičnih enačb DSP-nosilca (23) in (24) (34) in variacij dela deformacijskih veznih enačb (22) (35) najprej preoblikujemo virtualno delo notranjih sil DSP-nosilca (32). Ko variacije (34) in (35) vstavimo v izraz za δWn in ko z inte- gracijo po delih integriramo člene z δua', δva', δwa', δφx a', δφy a', δφz a', δu b' in δv b', dobimo: (36) kjer smo vsoto komponent statičnih količin slojev a in b obrav- navanega nosilca označili z: (37) Kot smo že povedali, sta linijska obtežba in linijska momentna obtežba sestavljeni iz zunanjih vplivov in sovprežnega vpliva slojev na stiku nosilca. Te vplive v težiščih slojev a in b zapišemo v obliki (i=a,b): (38) V enačbah (38) smo vplive okolice na obravnavani nosilec označili z indeksom (∙),z, sovprežne vplive med slojema na stiku nosilca pa z indeksom (∙),k. Ko v izrazu za virtualno delo zuna- njih sil δWz upoštevamo variacije kinematičnih enačb DSP-no- silca (34), za δWz dobimo izraz: (39) Tako preoblikovane izraze za δWn in δWz upoštevamo v izreku o virtualnih pomikih za DSP-nosilce (31). Ob upoštevanju vari- acij kot poljubnih in neodvisnih količin, dobimo skladno s po- stopki variacijskega računa ravnotežne enačbe DSP-nosilcev in statične robne pogoje. Poudarimo pa, da smo na tak način v izpeljavi ravnotežnih enačb konsistentno upoštevali, kot pravi- mo, kinematične vezne enačbe (17). Ravnotežne enačbe DSP- nosilca s podajnim stikom med slojema so: Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 209 (40) Pripadajoči statični robni pogoji pa so: (41) Tudi v izrazih (41) smo vsote zunanjih točkovnih sil in mo- mentov na robovih slojev obravnavanega nosilca izrazili z novo oznako, na primer Fz,0=Fz, a 0+Fz, b 0, kar je seveda skladno s pripada- jočimi kinematičnimi robnimi pogoji DSP-nosilcev. 2.6 Konstitucijske enačbe DSP-nosilca V tem poglavju s pomočjo kinematičnih veznih enačb (17) preoblikujemo tudi konstitucijske enačbe DSP-nosilca (13), pri čemer uporabimo del deformacijskih veznih enačb (22). Te so: (42) Ko enačbe (42) vstavimo v izraze za konstitucijske količine (13), dobimo: (43) V ravnotežnih enačbah DSP-nosilca (40) nastopajo vsota preč- ne sile slojev a in b v smeri z, Nz=Nz a+Nz b, vsota torzijskih momen- tov Mx in vsota upogibnih momentov My in Mz. Skladno s tem preoblikujemo tudi konstitucijske zveze (43). Po kratkem ra- čunu dobimo: (44) Sistem enačb (44) sestavlja osem linearnih enačb, ki povezu- jejo osem konstitucijskih količin (Nx, a c, Ny a ,c, Nz,c, Mx,c, My,c, Mz,c, Nx b ,c in Ny b ,c) z osmimi deformacijskimi količinami (εx a, γy a, γz a, κx a, κy a, κz a, εx b in γy b). Ko konstitucijske količine DSP-nosilca izenačimo z ravno- težnimi oziroma statičnimi količinami nosilca (Nx a, Ny a, Nz, Mx, My, Mz, Nx b in Ny b), dobimo konstitucijske enačbe DSP-nosilca (45) Podobno, kot smo s pomočjo Hookovega zakona izpeljali kon- stitucijske enačbe DSP-nosilcev, izpeljemo tudi vezne konsti- tucijske enačbe obravnavanega nosilca. Izhodišče izpeljave predstavljata konstitucijski zvezi med slojema nosilca na stiku v prečni in vzdolžni smeri (29). (46) Z qx in qy smo označili ravnotežni komponenti ploskovne obre- menitve na stiku med slojema prostorskega nosilca, z qx,c in qy,c pa njuna konstitucijska izraza. V nadaljevanju obremenitvi qx in qy po znanih postopkih statično enakovredno prenesemo v te- žiščno os sloja a in sloja b obravnavanega nosilca. Tako dobimo kontaktno linijsko in kontaktno momentno linijsko obtežbo slojev a in b DSP-nosilca. (47) Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 210 Izraz qz v enačbi (47) označuje ravnotežno komponento ploskovne obremenitve na stiku med slojema prostorskega nosilca v smeri koordinate z, z y in z smo označili razdalji med lego delovanja vektorja komponentne ploskovne obremenitve in težiščem posameznega sloja, z bk pa smo označili širino kon- takta v prečnem prerezu. px a ,k, px b ,k, py a ,k, py b ,k, pz a ,k in pz b ,k so linijske kontaktne obremenitve, mx a ,k, mx b ,k, my a ,k, my b ,k, mz a ,k in mz b ,k pa mo- mentne linijske kontaktne obremenitve nosilca zaradi sovpre- žnega delovanja slojev. V ravnotežnih enačbah DSP-nosilca (40) ne potrebujemo vseh komponent kontaktne linijske obremenitve in kontakt- ne momentne linijske obremenitve, saj so zaradi ravnotežja na stiku določene vsote teh enake nič. Tako v analizi dejansko potrebujemo le komponenti: (48) Ker smo za konstitucijski količini qx,c in qy,c, ki sta odvisni od za- mikov na stiku med slojema obravnavanega nosilca, izbrali ne- linearni zvezi (29), sta tudi konstitucijski zvezi (48) nelinearni. (49) Posledično so nelinearne konstitucijske zveze za vse linijske kontaktne obremenitve in momentne linijske kontaktne obre- menitve. Na koncu predstavimo še najpreprostejši linearni zvezi, ki se tudi največkrat uporabljata: (50) 2.7 Posplošene ravnotežne enačbe DSP-nosilca Posplošene ravnotežne enačbe DSP-nosilca smo izpeljali z uporabo posplošenih ravnotežnih enačb za prostorski nosilec (10) do (12) in z uporabo veznih enačb (17). Glavna značilnost tako izpeljanih posplošenih ravnotežnih enačb DSP-nosilca je v tem, da ga sestavljata dva povsem nepovezana sistema enačb. Prvi sistem enačb sestavlja 24 algebrajskih in diferen- cialnih enačb, drugega pa 16 enačb. Enačb v obeh sistemih skupaj je sicer več, kot je izhodiščnih enačb (36 enačb), vendar to povečanje števila enačb ni bistveno, saj je to le posledica dodatnih količin. Te so Nz, Mx, My in Mz, ki predstavljajo vsote ustreznih statičnih količin slojev nosilca, na primer Nz=Nz a+Nz b. Le prvo skupino enačb v nadaljevanju imenujemo posplošene ravnotežne enačbe DSP-nosilca (enačbe (51) do (53)). Sestavlje- ne so iz kinematičnih, ravnotežnih in konstitucijskih enačb ter iz ustreznih kinematičnih in statičnih robnih pogojev. Zaradi veznih enačb je tudi robnih pogojev manj, le šestnajst. Posplo- šene ravnotežne enačbe DSP-nosilca s podajnim stikom v vzdolžni in prečni smeri so: (51) (52) (53) Posplošene ravnotežne enačbe DSP-nosilca tako sestavlja le 24 diferencialnih in algebrajskih enačb za prav toliko neznanih količin: εx a, γy a, γz a, κx a, κy a, κz a, εx b, γy b, Nx a, Ny a, Nz, Mx, My, Mz, Nx b, Ny b, ua, va, wa, φx a, φy a, φz a, ub in vb. Vse neznane količine DSP-nosilca so neodvi- sne od koordinat y in z. V enačbah (52) so komponente linijske kontaktne obremenitve odvisne od zamikov: (54) Pripadajoči robni pogoji navadnih diferencialnih enačb, ki ses- tavljajo posplošene ravnotežne enačbe DSP-nosilca, so sesta- vljeni iz kinematičnih in statičnih. Velja pa, da tam, kjer pred- pišemo kinematične robne pogoje, ne moremo predpisati statičnih. Statične robne pogoje posledično lahko izberemo le tam, kjer niso predpisani kinematični. Robni pogoji k enač- bam (51) do (53) so: (55) Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 211 (56) Preostale neznane količine, ki so del napetostnega in defor- macijskega stanja DSP-nosilca, izračunamo s t. i. postopkom »postprocesiranja« potem, ko smo rešili posplošene ravno- težne enačbe (51) do (53). Z zaporednim in nepovezanim re- ševanjem posplošenih ravnotežnih enačb (51) do (53) in doda- tnih posplošenih ravnotežnih enačb smo se izognili vplivom singularnosti oziroma slabe pogojenosti enačb, ki so posledica veznih enačb (17). Dodatne posplošene ravnotežne enačbe DSP-nosilca so: (57) (58) (59) (60) Dodatni sistem posplošenih ravnotežnih enačb (57) do (60) sestavlja 16 algebrajskih enačb za določitev prav toliko nezna- nih količin: γz b, κx b, κy b, κz b, Nz a, Mx a, My a, Mz a, Nz b, Mx b, My b, Mz b, wb, φx b, φy b in φz b. S pomočjo ravnotežnih enačb v fazi »postprocesiranja« izraču- namo tudi komponenti linijske kontaktne obtežbe: (61) po potrebi pa lahko v fazi »postprocesiranja« izračunamo tudi koordinati sloja b DSP-nosilca, ki določata istoležne delce no- silca v deformirani legi: (62) 3 DEFORMACIJSKA METODA KONČNIH ELEMENTOV 3.1 Modificiran izrek o virtualnem delu Posplošene ravnotežne enačbe DSP-nosilca (51) do (53) so neli- nearne in jih zato ne znamo rešiti točno. V tem delu jih bomo rešili z deformacijsko metodo končnih elementov. To je za analizo dvoslojnih ravninskih nosilcev v svoji doktorski nalogi natančno predstavil Čas [Čas, 2004]. Osnovna ideja reševanja posplošenih ravnotežnih enačb z de- formacijsko metodo končnih elementov je v tem, da skuša- mo relativno preprosto strukturo kinematičnih in ravnotežnih enačb za analizo DSP-nosilcev izkoristiti v postopku reševanja. V nadaljevanju postopek reševanja podrobno predstavimo. Ko predpostavimo, da poznamo deformacijske količine DSP-no- silca, postanejo kinematične in ravnotežne enačbe nepoveza- ne. Ker so kinematične enačbe navadne diferencialne enačbe prvega reda s konstantnimi koeficienti, je rešitev teh enačb preprosta. (63) Tudi ravnotežne enačbe DSP-nosilca so navadne diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti. Ker sta komponenti kon- taktne linijske obtežbe px a ,k in py a ,k odvisni od Δx in Δy, s tem pa tudi od pomikov in zasukov, ki so odvisni od deformacij, lahko tudi ravnotežne enačbe rešimo neodvisno od kinematičnih enačb. Rešitve teh enačb so: (64) Rešitve kinematičnih in ravnotežnih enačb DSP-nosilca poz- namo, ko določimo šestnajst integracijskih konstant: ua (0), va (0), wa (0), φxa (0), φya (0), φza (0), ub (0), vb (0), Nxa (0), Nya (0), Nz (0), Mx (0), Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 212 My (0), Mz (0), Nxb (0) in Nyb (0). Te določimo skladno s predpisanimi robnimi pogoji pri x=0 in x=L, kjer smo z L označili dolžino DSP- nosilca. Robni pogoji pri x=0 so: (65) Da lahko zadostimo tudi robnim pogojem pri x=L, najprej s pomočjo enačb (63) in (64) določimo pomike, zasuke, sile in momente pri x=L. Robni pogoji pri x=L so torej: (66) (67) Še enkrat poudarimo, da tudi za robne pogoje (66) in (67) pri x=L velja, da tam, kjer smo predpisali kinematične robne pogo- je, ne moremo predpisati statičnih. Deformacijske količine DSP-nosilca izrazimo v odvisnosti od notranjih statičnih količin s pomočjo konstitucijskih enačb. Skladno z deformacijsko metodo končnih elementov mora- mo konstitucijske enačbe izraziti v obliki funkcionala oziroma v obliki modificiranega izreka o virtualnem delu [Čas, 2004]. Izpeljava modificiranega izreka o virtualnem delu je preprosta. Opazujemo izrek o virtualnem delu DSP-nosilca in pripadajo- če kinematične enačbe. Slednje predstavljajo vezne enačbe k funkcionalu. Pri izpeljavi modificiranega izreka o virtualnem delu vezne enačbe v funkcionalu upoštevamo skladno z meto- do Lagrangeovih množiteljev pri vezanih nalogah variacijskega računa. Skladno s tem postopkom kinematične enačbe, ki smo jih pomnožili s poljubnimi funkcijami, variramo in v variacijski obliki prištejemo k izreku o virtualnem delu. Po kratkem računu lahko izrek o virtualnem delu zapišemo v prepoznavni obliki: (68) V funkcionalu (68) upoštevamo, da so variacije poljubne koli- čine in da smo kinematičnim ter ravnotežnim enačbam DSP- nosilca točno zadostili. Pri tem pa kinematični in statični robni pogoji (65) do (67) predstavljajo vezne enačbe k funkcionalu (68), ki ga imenujemo modificiran izrek o virtualnem delu za DSP-nosilce s podajno povezavo med slojema. 3.2 Diskretne posplošene ravnotežne enačbe Modificiran izrek o virtualnem delu (68) s statičnimi in kinema- tičnimi robnimi pogoji (65) do (67) uporabimo kot izhodišče za izpeljavo deformacijske metode končnih elementov DSP- nosilcev. Skladno z metodo končnih elementov DSP-nosilec razdelimo na ne končnih elementov z dolžino končnega ele- menta Le (e=1,2,…,ne). Z nv označimo število vozlišč, z nr pa število kinematičnih robnih pogojev. Kot vemo, s kinematičnimi rob- nimi pogoji zagotovimo mirovanje obravnavanega DSP-nosil- ca. Ob tem velja poudariti, da zaradi podajne povezave med slojema obravnavanega nosilca ni nujno, da s kinematičnimi robnimi pogoji zagotovimo mirovanje vsakega sloja posebej. Za interpolacijske nastavke deformacijskih količin obravnava- nega nosilca izberemo Lagrangeove interpolacijske polinome stopnje n-1, ki jih označimo s Pi (x) (i=1,2,…,n). Tako deformacijske količine zapišemo z izrazi: (69) Podobno interpolacijske nastavke izberemo tudi za variacije deformacijskih količin: Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 213 (70) Ko variacije (70) vstavimo v modificiran izrek o virtualnem delu (68) in ko upoštevamo, da so variacije deformacijskih količin v interpolacijskih točkah poljubne, dobimo po znanih postop- kih variacijskega računa za določitev deformacijskih količin v interpolacijskih točkah končnega elementa naslednji sistem enačb (i=1,2,…,n): (71) Sistem enačb (71) predstavlja 8 n enačb za določitev prav to- liko neznanih deformacijskih količin v interpolacijskih točkah vsakega končnega elementa (i=1,2,…,n): εx a ,i, γy a ,i, γz a ,i, κx a ,i, κy a ,i, κz a ,i, εx b ,i in γy b ,i. Enačbe (65) do (67), ki predstavljajo kinematične in sta- tične robne pogoje, prilagodimo mreži končnih elementov. Za vsak končni element enačbe (66) zapišemo v obliki: (72) S pomočjo enačb (72) v vsakem končnem elementu zados- timo predpisanim kinematičnim robnim pogojem oziroma povežemo končne elemente v konstrukcijo. Pri tem seveda ki- nematične količine na začetku in koncu končnega elementa nadomestimo z ustreznimi kinematičnimi količinami vozlišč, ki omejujejo končni element, če pa so v vozliščih predpisani kinematični robni pogoji, pa s predpisanimi kinematičnimi vrednostmi. Teh enačb je 8 za vsak končni element, oziroma 8 ne za celoten obravnavan DSP-nosilec, neznanih kinematič- nih količin pa 8 nv–nr. Ker statični robni pogoji omogočajo ravnotežje na robovih končnega elementa, to v primeru mreže končnih elementov pomeni zagotavljanje ravnotežja v vseh vozliščih mreže konč- nih elementov. Na robovih nosilca pa seveda ravnotežje med notranjimi statičnimi količinami in predpisanimi zunanjimi statičnimi količinami. Za ponazoritev opazujmo vozlišče mre- že končnih elementov, v katerem se stikata končna elementa z oznakama e–1 in e. Ravnotežje vozlišča določajo enačbe: (73) kjer smo s Si (i=1,2,…,8) označili posplošene zunanje točkovne sile v vozlišču v. Če je vozlišče v zunanji rob DSP-nosilca, te sile predstavljajo sile v statičnih robnih pogojih. Teh enačb je 8 nv–nr, neznanih fizikalnih količin pa 8 ne. Neznane količine so začetne vrednosti notranjih statičnih količin končnega elementa. Sis- tem enačb (71) do (73) imenujemo diskretni posplošeni sistem ravnotežnih enačb DSP-nosilca. Sestavlja jih (8 n) ne+8 ne+ 8 nv–nr algebrajskih enačb za prav toliko neznanih količin. Te so defor- macijske količine v vseh interpolacijskih točkah končnih ele- mentov, posplošeni pomiki in zasuki v vozliščih mreže končnih elementov in začetne vrednosti posplošenih notranjih statič- nih količin vsakega končnega elementa. 3.3 Newton-Raphsonova metoda Diskretni posplošeni sistem ravnotežnih enačb DSP-nosilca s podajnim stikom formalno zapišemo v obliki Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 214 (74) kjer smo v vektorju x združili vse neznane količine sistema, z λ pa smo označili obtežni parameter. Sistem nelinearnih enačb (74) rešimo z Newton-Raphsonovo iteracijsko shemo. Za dani obtežni faktor oziroma za dano obtežbo DSP-nosilca enač- be (74) lineariziramo in linearni sistem rešujemo iterativno za (i=0,1,2,…) (75) do izbrane natančnosti, torej do takrat, dokler ni zadoščeno enemu izmed pogojev: (76) (77) V enačbi (75) smo s K(xi,λ) označili tangentno matriko. Določi- mo jo z uporabo smernega odvoda (78) Newton-Raphsonova metoda odpove, če postane tangentna matrika K singularna. To se lahko zgodi v primerih globalne geo- metrijske nestabilnosti konstrukcije ali materialne nestabil- nosti posameznega prereza. V takih primerih moramo sistem enačb (74) reševati z drugimi metodami. 4 RAČUNSKA PRIMERA Z dvema računskima primeroma analiziramo primernost pri- kazane numerične metode za analizo DSP-nosilcev s podaj- nim stikom med slojema. V prvem računskem primeru analizi- ramo dvoslojni leseni kontinuirni prostorski nosilec. Vsebinsko ta primer razdelimo na štiri dele. V prvem delu s krajšo kon- vergenčno študijo ocenimo natančnost prikazanega numerič- nega modela, nato v drugem delu podrobno prikažemo vpliv značilne prostorske zunanje obtežbe na potek fizikalnih koli- čin v oseh slojev obravnavanega dvoslojnega kontinuiranega nosilca. V tretjem in četrtem delu pa z natančno parametrično študijo ocenimo vpliv strižnih deformacij in vpliv števila jekle- nih vijakov na stiku med slojema na poteke značilnih fizikalnih količin obravnavanih nosilcev. V drugem računskem primeru analiziramo sovprežni prostoležeči prostorski nosilec iz jekla in betona. V tem primeru bomo podrobno analizirali vpliv neli- nearnega modela povezave med slojema obravnavanih nosil- cev na poteke povesov. 4.1 Kontinuirni nosilec Osnovni podatki. Opazujemo kontinuirni DSP-nosilec z dve- ma poljema dolžine L/2. Dimenzije prečnega prereza slo- ja a obravnavanega nosilca so ba/ha=20/20 cm, sloja b pa bb/hb=20/20 cm (slika 2). Predpostavimo, da podpore preprečujejo le posamezne po- mike oziroma zasuke v težiščni osi sloja a. Pripadajoče robne pogoje obravnavanega nosilca prikazujemo v preglednici 1. V analizi predpostavimo tudi, da zunanja obtežba deluje le na težiščno os sloja b obravnavanega nosilca in da jo predstavljajo komponenti enakomerne linijske obtežbe pz b ,z in py b ,z, ter kom- ponenta linijske momentne obtežbe mx b ,z=py b ,z , kot je prika- zano na sliki 2. Pri tem je mx b ,z posledica prestavitve delovanja zunanje obtežbe py b ,z v težiščno os sloja b. Oba sloja obravnava- nega kontinuirnega DSP-nosilca sta iz smrekovega lesa, za sloj a smo izbrali razred C30, za sloj b pa C24. Pripadajoče mate- rialne parametre linearnega konstitucijskega modela za posa- mezni sloj prikazujemo v preglednici 2. Povezano delovanje slojev obravnavanega kontinuirnega DSP- nosilca zagotovimo z jeklenimi vijaki premera d=24 mm. Te raz- poredimo na enakomerni razdalji e vzdolž stične ravnine med slojema. Ker smo predpostavili, da je nivo zunanje obtežbe obravnavanega kontinuirnega DSP-nosilca relativno majhen, predpostavimo tudi linearno obnašanje veznih sredstev. Ma- terialne parametre linearnega konstitucijskega modela stika določimo skladno s standardom SIST EN 1995-1-1 [SIST, 2005], kjer Kx in Ky, ki predstavljata modula pomikov veznega sredstva za eno priključno ravnino, izračunamo z enačbo (79) Brez izgube na splošnosti smo v enačbi (79) predpostavili, da sta materialna parametra modela v vzdolžni in prečni smeri enaka. Slika 2. Računski model obravnavanega dvoslojnega konti- nuirnega nosilca. Preglednica 1. Kontinuirni nosilec. Kinematični in statični robni pogoji. A ua=0, Nxb=0, B w=0. C Nxa=0, Nxb=0, va=0, Nyb=0, va=0, Nyb=0, w=0, φx=0, w=0, φx=0, My=0, Mz=0. My=0, Mz=0. material Ei [kN/cm2] Gi [kN/cm2] ρmi [kg/m3] sloj a les C30 1200 75 460 sloj b les C24 1100 69 420 Preglednica 2. Materialni parametri konstitucijskega mo- dela slojev a in b. Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 215 V preglednici 3 prikazujemo še geometrijske karakteristike prečnih prerezov obeh slojev obravnavanega kontinuirnega DSP-nosilca. Skladno z navodili Cowperja [Cowper, 1966] smo t. i. strižna prečna prereza slojev korigirali s faktorjem 5/6. Podobno smo po navodilih Hjelmstada [Hjelmstad, 2005] polarna vztraj- nostna momenta nadomestili s torzijskima vztrajnostnima momentoma i-tega sloja (i=a,b) skladno z enačbo [Hearn, 1997] (80) Konvergenčna študija. Konvergenčne lastnosti deformacij- skih končnih elementov za analizo homogenih in dvoslojnih ravninskih nosilcev s podajnim stikom med slojema so v znan- stveni literaturi dobro dokumentirane ([Čas, 2004], [Hozjan, 2009]). S konvergenčnimi študijami so raziskovalci ugotovili, da je za analizo homogenih in dvoslojnih ravninskih nosilcev optimalen deformacijski končni element, pri katerem defor- macijske količine interpoliramo z Lagrangeovimi interpolacij- skimi polinomi četrte stopnje, kot integracijsko shemo vzdolž osi končnega elementa pa izberemo pettočkovno Gaussovo integracijsko shemo. Tak deformacijski končni element skla- dno z prej omenjeno literaturo označimo z oznako E4-5. Konver- genčne študije pri DSP-nosilcih s podajnim stikom med slo- jema so pokazale, da so konvergenčne lastnosti teh končnih elementov v celoti enake konvergenčnim lastnostim defor- macijskih končnih elementov za analizo dvoslojnih ravninskih nosilcev. Tako z le nekaj deformacijskimi končnimi elementi tipa E4-5 izredno natančno izračunamo vse fizikalne količine obravnavanega kontinuirnega DSP-nosilca. V potrditev tega v preglednici 4 prikazujemo značilne fizikalne količine obravna- vanega kontinuirnega DSP-nosilca v odvisnosti od števila de- formacijskih končnih elementov tipa E4-5. Pri tem smo v analizi izbrali: L=8 m, e=30 cm, pz b ,z=10 kN/m, py b ,z=1 kN/m, mx b ,z=0,1 kNm/m. Kot lahko vidimo v preglednici 4, lahko že s 4 deformacijski- mi KE E4-5 izračunamo značilne fizikalne količine na desetinko promila natančno. V nadaljnjih analizah kontinuirnega DSP- nosilca kljub temu uporabimo 16 deformacijskih KE E4-5, saj lahko na ta način bolj gladko grafično predstavimo rezultate analiz, računski čas pa se pri tem bistveno ne poveča. Prostorski odziv nosilca. V znanstveni literaturi je večina ra- ziskav o numeričnih modelih za analizo dvoslojnih nosilcev s podajnim stikom omejena na ravninske primere. Zato v tem delu računskega primera predstavimo tudi potek fizikalnih količin pri prostorskem odzivu dvoslojnih nosilcev s podaj- nim stikom. Poleg osnovnih računskih podatkov, ki smo jih predstavili na začetku tega računskega primera, v analizi do- datno upoštevamo še obtežbo, dolžino kontinuirnega nosilca in razmak med jeklenimi vijaki na stiku med slojema v ena- kih vrednostih kot pri konvergenčni študiji. Na sliki 3 vidimo, da so poteki komponent vzdolžnih pomi- kov sloja a in sloja b kot tudi komponent prečnega pomika in zasuka okoli osi pričakovani in podobni kot pri ravninski analizi. Zaradi prostorskega odziva obravnavanega dvosloj- nega kontinuirnega nosilca na sliki 3 prikazujemo tudi po- teke komponent pomikov va in vb ter poteke komponent zasukov φx in φz. Preglednica 3. Geometrijske karakteristike prečnih prerezov sloja a in sloja b. Ax i [cm2] Ayi [cm2] Azi [cm2] Iyi [cm4] Izi [cm4] Iti [cm4] sloj a 400 333,33 333,33 13333,33 13333,33 22560 sloj b 400 333,33 333,33 13333,33 13333,33 22560 Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Število KE E4-5 w [cm] Nxa [kN] My [kNm] 4 0,389 16,325 7,839 8 0,389 16,325 7,839 16 0,389 16,325 7,839 Preglednica 4. Velikost značilnih fizikalnih količin nosilca v odvisnosti od števila KE E4-5. Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 216 Potek zamikov med slojema v vzdolžni in prečni smeri, Δx in Δy, prikazujemo na sliki 4, kjer opazimo značilen potek vzdolžnih zamikov Δx za kontinuirne nosilce. Tudi potek preč- nih zamikov Δy je značilen za izbrane kinematične robne po- goje. Ker sta komponenti pomikov va pri x=0 in x=L enaki nič, pomiki vb pa tu niso preprečeni, so največji zamiki Δy opaže- ni ravno ob krajnih podporah obravnavanega kontinuirnega DSP-nosilca. Na sliki 5 prikazujemo potek notranjih statičnih količin v osi slojev obravnavanega kontinuirnega DSP-nosilca. Potek osnih sil Nx a, Nx b ter prečne sile Nz in upogibnega momenta My je priča- kovan in skladen s »kontinuirnim« obnašanjem obravnavane- ga nosilca. Pričakovana sta tudi poteka torzijskega momenta Mx in upogibnega momenta Mz, saj je obravnavani nosilec v prečni smeri dejansko prostoležeč. Zanimiv pa je potek preč- nih sil Ny a in Ny b. Na sliki 5 vidimo, kako se zunanja prečna linij- ska obtežba preko sloja b na robovih nosilca, kjer ta prečno ni podprt, preko veznih sredstev prenese v podprt sloj a obrav- navanega nosilca. Vpliv podajnosti stika. V tem delu računskega primera anali- ziramo vpliv podajnosti stika med slojema na potek fizikalnih količin obravnavanega kontinuirnega DSP-nosilca. Podajnost stika med slojema nosilca med posameznimi primeri spremi- njamo s spreminjanjem razdalje med jeklenimi vijaki, s kate- rimi sta sloja obravnavanega nosilca povezana. Obravnavamo tri primere, v katerih nosilce označimo z V1, V2 in V3. Razdalje med jeklenimi vijaki na stiku med slojema obravnavanih no- silcev in pripadajoče togosti veznih sredstev so podane v pre- glednici 5. Na sliki 6 za vse tri analizirane kontinuirne DSP-nosilce prika- zujemo poteke komponent vzdolžnih in prečnih pomikov v osi sloja a in v osi sloja b. Pričakovano se s povečanjem razdalje med jeklenimi vijaki na stiku med slojema povečujejo tudi ve- likosti komponent pomikov ua, ub, va in vb. Pričakovano so tudi poteki zamikov Δx in Δy največji pri najbolj podajnem stiku kontinuirnega DSP-nosilca (slika 7). Največji Slika 4. Potek zamikov med slojema v vzdolžni in prečni smeri Δx in Δy. Oznaka nosilca e [cm] Kx=Ky V1 50 1,923 V2 30 3,205 V3 10 9,616 Preglednica 5. Oznake nosilcev s pripadajočimi razdaljami med jeklenimi vijaki na stiku med slojema in upoštevano to- gostjo veznih sredstev. Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Slika 3. Potek komponent pomikov in zasukov v oseh slojev (ua, ub, va, vb, w, φx, φy, φz). Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 217 vzdolžni zamik Δx, pri x=L, znaša 0,0646 cm za primer V1, 0,0548 cm za primer V2 in 0,0318 za primer V3. Na sliki 8 prikazujemo potek povesov w ter potek zasukov φx, φy in φz obravnavanega nosilca v odvisnosti od podajnosti stika med slojema. Tudi tu opazimo, da so vrednosti količin w, φx in φy pri nosilcih z bolj podajnim stikom večje kot pri nosilcih z manj podajnim stikom. Izpostaviti velja opažanje, da podaj- nost stika med slojema nima nobenega vpliva na potek zasu- ka φz, kar je posledica tega, da v predstavljeni teoriji podajnost stika med slojema nima vpliva na upogibno togost nosilca okoli osi z. Tudi potek osnih sil, Nx a in Nx b, ter prečnih sil v smeri y, Ny a in Ny b, vzdolž obravnavanih nosilcev je glede na izbrane razdalje med jeklenimi vijaki pričakovan (slika 9). Na sliki 10 prikazujemo še potek preostalih notranjih statič- nih količin obravnavanih nosilcev v odvisnosti od podajnosti stika med sloji. Dodatno na sliki 10 prikazujemo upogibni moment My+Nx a ht, ki predstavlja upogibni moment obravna- vanih nosilcev v težiščni osi homogenih nosilcev. Torej gre za upogibni moment, ki bi ga izračunali pri enoslojnem homo- genem nosilcu, izpostavljenem enaki obtežbi in enakim rob- nim pogojem. Slika 5. Potek notranjih statičnih količin v oseh slojev (Nxa, Nxb, Nya, Nyb, Nz, Mx, My, Mz). Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Slika 6. Potek pomikov ua, ub, va in vb v odvisnosti od razdalje med jeklenimi vijaki na stiku. Slika 7. Potek zamikov Δx in Δy v odvisnosti od podajnosti sti- ka med slojema. Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 218 tek upogibnega momenta Mz, saj podajnost stika med slojema nanj nima vpliva. Vpliv strižnih deformacij. V zadnjem delu prvega računskega primera analiziramo vpliv strižnih deformacij na potek zna- čilnih fizikalnih količin obravnavanih kontinuirnih DSP-no- silcev. Podrobno bomo ta vpliv prikazali na velikosti povesov na četrtini razpona obravnavanih kontinuirnih DSP-nosilcev w (L/4). V parametrični študiji bomo primerjali velikosti povesov w (L/4) med šestnajstimi različnimi kontinuirnimi DSP-nosilci, ki se med seboj razlikujejo glede na: (i) dolžino L, (ii) razdaljo med jeklenimi vijaki na stiku med slojema e in (iii) upoštevano strižno togostjo. Za primer strižno podajnih slojev nosilca se upošteva Ga=75 [kN/cm2] in Gb=69 [kN/cm2], za primer strižno togih slojev pa se vrednosti Ga in Gb poenostavljeno poveča za faktor 1000, s čimer zanemarimo strižno podajnost slojev nosilca. Ozna- ke obravnavanih kontinuirnih DSP-nosilcev s pripadajočimi materialnimi in geometrijskimi parametri prikazujemo v pre- glednici 6. Na sliki 10 lahko opazimo, da se notranje statične količine spreminjajo glede na razmake med jeklenimi vijaki med slo- jema obravnavanih nosilcev. Praviloma se vrednosti notranjih statičnih količin s podajnostjo stika povečujejo, izjema je le po- Slika 9. Potek komponent Nxa, Nxb, Nya in Nyb v odvisnosti od po- dajnosti stika med slojema. Slika 8. Potek komponent w, φx, φy in φz v odvisnosti od podaj- nosti stika med slojema. Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 219 Rezultate parametrične študije prikazujemo v preglednici 7. S pomočjo preglednice 7 ugotovimo, da imata dolžina no- silca L in strižna togost slojev nosilca opazen vpliv na veli- kost pomika w , medtem ko je vpliv rastra strižnih vijakov e manj izrazit. To potrjuje tudi slika 11, na kateri prikazujemo potek povesov za vseh šestnajst obravnavanih kontinuirnih DSP-nosilcev. Prikazani rezultati potrjujejo, da je vpliv strižne podajnosti slojev nosilca na komponento w velik pri kratkih nosilcih oziroma pri nosilcih z nizkim razmerjem L/h. Bolj kot je toga povezava med slojema, večji je vpliv strižne podajnosti, a je ta vpliv vseeno manjši, kot je ta vpliv pri homogenih prostorskih nosilcih. Na sliki 12 prikazujemo razmerje med wM+V in wM v odvisnosti od dolžine nosilca L, pri različnem rastru strižnih vijakov e. Pri tem smo z wM+V označili maksimalne povese na sredini polja nosilca z upoštevanjem strižne podajnosti slojev, z wM pa maksimalne povese na sredini polja nosilca s strižno togimi sloji. Slika 10. Potek Nz, Mx, My, Mz, Nxa ht in My+Nxa ht v odvisnosti od podajnosti stika med sloji. Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Primer L [cm] e [cm] Strižno podajna sloja a in b S1-1/30 400 30 DA S1-2/30 400 30 NE S2-1/30 800 30 DA S2-2/30 800 30 NE S3-1/30 1200 30 DA S3-2/30 1200 30 NE S4-1/30 1600 30 DA S4-2/30 1600 30 NE S1-1/15 400 15 DA S1-2/15 400 15 NE S2-1/15 800 15 DA S2-2/15 800 15 NE S3-1/15 1200 15 DA S3-2/15 1200 15 NE S4-1/15 1600 15 DA S4-2/15 1600 15 NE Preglednica 6. Oznake nosilcev s pripadajočimi parametri. Preglednica 7. Povesi w obravnavanih nosilcev. Primer w [cm] Primer w [cm] S1-1/30 0,0370 S1-1/15 0,0353 S1-2/30 0,0258 S1-2/15 0,0242 S2-1/30 0,3913 S2-1/15 0,3391 S2-2/30 0,3470 S2-2/15 0,2949 S3-1/30 1,5444 S3-1/15 1,2670 S3-2/30 1,4446 S3-2/15 1,1668 S4-1/30 4,0083 S4-1/15 3,2475 S4-2/30 3,8301 S4-2/15 3,0681 Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 220 4.2 Prostoležeči nosilec Osnovni podatki. V tem računskem primeru analiziramo so- vprežni prostoležeči prostorski nosilec dolžine L=600 cm. No- silec sestavljata dva sloja. Za spodnji sloj a izberemo jeklen nosilec IPE 200, za zgornji sloj b pa armiranobetonsko ploščo debeline 14 cm. Jekleni nosilec in armiranobetonska plošča sta na stiku povezana s 16 enakomerno razporejenimi strižnimi čepi tipa Nelson M19, višine 100 mm. Značilno pozicijo sovpre- žnega nosilca v konstrukcijskem sklopu objekta z geometrij- skimi podatki prikazujemo na sliki 13. Efektivno širino armiranobetonske plošče določimo skladno s standardom Evrokod z enačbo (81) Slika 11. Potek povesov w v odvisnosti od L, Ga, Gb in e. Slika 12. Vpliv strižne podajnosti slojev na pomik w v od- visnosti od L in e. Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 221 Tudi obtežbo obravnavanega dvoslojnega nosilca iz jekla in betona določimo skladno s standardom SIST EN 1990 [SIST, 2004]. Obtežbo, ki jo sestavljajo lastna teža ter stalna in ko- ristna obtežba, v analizi upoštevamo kot enakomerno linijsko obtežbo v težiščni osi armiranobetonske plošče. Računski mo- del z geometrijskimi podatki obravnavanega sovprežnega no- silca skupaj s podatki o obtežbi prikazujemo na sliki 14. V nadaljnjih analizah tega računskega primera upoštevamo vpliv stalne in koristne obtežbe na obnašanje sovprežnega no- silca s karakteristično obtežno kombinacijo (82) Robne pogoje obravnavanega sovprežnega prostorskega no- silca prikazujemo v preglednici 8. Kot smo že omenili, je sloj b armiranobetonska plošča. Izbra- ni trdnostni razred betona je C25/30, armatura pa je kakovosti B-500B. Kot sloj a obravnavanega sovprežnega nosilca pa izbe- remo jekleni nosilec IPE 200 trdnostnega razreda S235. Skla- dno z izbranimi materiali obravnavanega sovprežnega nosilca smo v analizi upoštevali karakteristično tlačno trdnost betona fck=25 MPa in karakteristično natezno trdnost jekla fy=235 MPa. Materialne parametre privzetega linearno elastičnega modela slojev a in b sovprežnega nosilca prikazujemo v preglednici 9. Jekleni nosilec in armiranobetonska plošča sta na stiku po- vezana s strižnimi čepi tipa Nelson. Za ta tip povezave med slojema sovprežnega nosilca praviloma upoštevamo konstitu- cijski zakon stika skladno s priporočili Huanga [Huang, 1999], ki predlaga nelinearno enačbo oblike (83) V analizi sovprežnega nosilca smo za parametre A in B v enač- bi (83) izbrali vrednosti 1 in 12,789 , za število čepov tipa Nelson pa n=16. Nosilnost enega strižnega čepa tipa Nelson smo v enačbi (83) označili z PRd. Določimo jo z enačbo (84) kjer smo za delni varnostni faktor izbrali vrednost γv=1,25, za premer čepa d=19 mm, za karakteristično tlačno trdnost beto- na fck=25 MPa, za elastični modul betona Ecm=31000 MPa, za na- tezno trdnost jeklenega čepa fu,č=420 MPa, za višino strižnega trna hsc=100 mm in za α=1, saj velja hsc⁄d=5,26>4. Glede na to, da smo armiranobetonsko ploščo in jekleni no- silec na polovici razpona sovprežnega nosilca povezali z 8 strižnimi čepi tipa Nelson, za celotno nosilnost stika dobimo PRd,skup=8 PRd=589,84 kN. Ker pa je natezna nosilnost jeklenega nosilca IPE 200 enaka PRd,IPE200=Ax a fy=669,75 kN in torej večja od nosilnosti stika (PRd,IPE200>PRd,skup), lahko z osmimi strižnimi čepi tipa Nelson dosežemo le delno povezavo med armiranobe- tonsko ploščo in jeklenim nosilcem obravnavanega sovprežne- ga prostoležečega nosilca. Nelinearni konstitucijski zakon stika skladno s priporočili Huanga (enačba (83)) glede na predsta- vljene materialne parametre na stiku med slojema sovprežne- ga nosilca prikazujemo na sliki 15. Na koncu predstavitve računskih parametrov v preglednici 10 predstavimo še geometrijske karakteristike sloja a in sloja b obravnavanega sovprežnega nosilca. Tudi tu smo, enako kot v primeru 4.1, skladno s priporočili Cowperja [Cowper, 1966] in Hjelmstada [Hjelmstad, 2005] prilagodili strižne in torzijske geometrijske karakteristike prečnih prerezov sloja a in sloja b. Slika 13. Položaj sovprežnega nosilca v konstrukcijskem sklo- pu objekta in geometrijski podatki. Slika 14. Geometrijski podatki ter podatki o obtežbi. Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM A: ua=0, Nxb=0, B: Nxa=0, Nxb=0, va=0, Nyb=0, va=0, Nyb=0, w=0, φx=0, w=0, φx=0, My=0, Mz=0. My=0, Mz=0. Preglednica 8. Kinematični in statični robni pogoji. Preglednica 9. Materialni parametri linearno elastičnega modela slojev a in b. material Ei [kN/cm2] νi Gi [kN/cm2] sloj a jeklo S235 21000 ≈ 0,296 8100 sloj b beton C25/30 3100 ≈ 0,165 1330 Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 222 Vpliv konstitucijskega zakona stika. V nadaljevanju s pred- stavljenimi računskimi podatki analiziramo vpliv nelinearnega konstitucijskega zakona stika med armiranobetonsko ploščo in jeklenim nosilcem na togost sovprežnega prostoležečega nosilca. Ker projektanti pri dokazovanju varnosti sovprežnih nosilcev iz jekla in betona najpogosteje predpostavijo, da je povezava med slojema sovprežnih nosilcev popolnoma toga, najprej s predstavljenim numeričnim modelom analiziramo pravilnost te predpostavke. To bomo ocenili s primerjavo potekov pove- sov med sovprežnima nosilcema s togo povezavo med sloje- ma in podajno povezavo, ki jo določa šestnajst strižnih čepov tipa Nelson (slika 16) Kot lahko vidimo na sliki 16, ima podajnost stika med slojema sovprežnega nosilca izrazit vpliv na njegovo togost. Za nosilec s togo povezavo med slojema je največji poves na sredini razpo- na wmax,TOGO=1,098 cm, za nosilec s podajno povezavo med sloje- ma pa wmax,PODAJNO=1,423 cm. Razlika med največjima povesoma je kar 30 %. Na koncu računskega primera podrobno analiziramo še vpliv števila strižnih čepov tipa Nelson na togost sovprežnih nosilcev. Analizirali bomo sedem sovprežnih nosilcev. Ti se bodo razlikovali izključno glede na število izvedenih striž- nih čepov tipa Nelson na stiku med slojema. V preglednici 11 prikazujemo oznake obravnavanih sovprežnih nosilcev s pripadajočimi razmaki med čepi tipa Nelson, e in številom čepov n. Rezultate parametrične študije prikazujemo v preglednici 12. Tu poleg največjih povesov obravnavanih sovprežnih nosilcev prikazujemo tudi odstopanja teh glede na največji poves so- vprežnega nosilca s togo povezavo med slojema. Rezultati v preglednici 12 dokazujejo, da s strižnimi čepi tipa Nelson zelo težko zagotovimo togo povezavo med slojema sovprežnega nosilca, saj je razlika med največjima povesoma nosilca s togo povezavo in nosilca s kar šestdesetimi strižni- mi čepi tipa Nelson (e=10 cm) še vedno 8 %. S primerjanjem največjih povesov obravnavanih sovprežnih nosilcev R1 in R2 v preglednici 12 pa opazimo še, da že z dvanajstimi strižnimi čepi tipa Nelson (e=50 cm) zagotovimo dobro povezano delo- vanje armiranobetonske plošče in jeklenega nosilca. To nazor- no dokazuje tudi slika 17, na kateri prikazujemo poteke pove- sov vseh sedmih obravnavanih sovprežnih nosilcev. Preglednica 10. Geometrijske karakteristike sloja a in sloja b. Slika 15. Nelinearni konstitucijski zakon stika med armira- nobetonsko ploščo in jeklenim nosilcem skladno s priporočili Huanga (16 strižnih čepov tipa Nelson M19, višine 100 mm). Preglednica 11. Oznake analiziranih sovprežnih nosilcev s pripadajočimi razmaki med čepi tipa Nelson, e in številom strižnih čepov tipa Nelson n. Preglednica 12. Odvisnost največjih povesov od števila striž- nih čepov tipa Nelson ter odstopanja teh glede na največji poves sovprežnega nosilca s togo povezavo. Slika 16. Primerjava poteka komponent prečnih pomikov w med nosilcema s togo in podajno povezavo med slojema. Ax i [cm2] Ayi [cm2] Azi [cm2] Iyi [cm4] Izi [cm4] Iti [cm4] sloj a 28,5 17 14 1940 142 6,98 sloj b 2100 2100 2100 34300 3937500 3971800 oznaka e [cm] n R1 popolnoma podajen stik R2 50 12 R3 40 15 R4 30 20 R5 20 30 R6 10 60 R7 tog stik oznaka wmax,Ri [cm] R1 2,277 2,07 R2 1,515 1,38 R3 1,442 1,31 R4 1,362 1,24 R5 1,276 1,16 R6 1,187 1,08 R7 1,098 1,00 Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM Gradbeni vestnik letnik 71 avgust 2022 223 5 ZAKLJUČEK V članku smo predstavili nov matematični in numerični mo- del za analizo DSP-nosilcev s podajnim stikom. Pri izpeljavi osnovnih enačb modela smo upoštevali, da se sloja na stiku lahko zamakneta v vzdolžni in prečni smeri, ne moreta pa se zamakniti pravokotno na ravnino stika. V modelu smo tudi upoštevali, da strižne deformacije vplivajo na togost DSP-no- silcev. V izogib negativnim vplivom singularnosti zaradi veznih enačb med reševanjem, smo osnovne enačbe konsistentno ločili na dva nepovezana sistema. Osnovne enačbe mate- matičnega modela smo rešili z metodo končnih elementov. S tem namenom smo razvili novo družino deformacijskih končnih elementov, pri kateri smo za interpolacijske nastavke deformacijskih količin izbrali Lagrangeve polinome poljubne stopnje. S konvergenčnimi in parametričnimi študijami smo ugotovili: • da so deformacijski končni elementi zelo natančni, saj v obravnavanem primeru že s štirimi končnimi elementi tipa E4-5 (pri katerih deformacijske količine interpoliramo z Lagrangeovimi polinomi četrte stopnje, kot integracijsko shemo vzdolž osi končnega elementa pa izberemo pettoč- kovno Gaussovo shemo) izračunamo fizikalne količine kon- tinuirnih DSP-nosilcev na stotinko promila natančno, in so tako primerni za analizo DSP-nosilcev; • da podajnost stika med slojema DSP-nosilcev bistveno vpliva na njihovo togost in jo zato moramo v analizi DSP- nosilcev upoštevati; • da je vpliv strižnih deformacij na togost DSP-nosilcev naj- manjši pri nosilcih s podajnimi stiki; posledično je vpliv strižnih deformacij na togost DSP-nosilcev s podajnim sti- kom manjši kot pri homogenih prostorskih nosilcih. V nadaljnjih raziskavah bomo linearno elastična modela slojev nosilca nadgradili z nelinearnima modeloma ter predstavljeni in razširjeni model nadgradili tudi za analizo DSP-nosilcev, ki so izpostavljeni požaru. 6 ZAHVALA Zahvaljujemo se Javni agenciji za raziskovalno dejavnost Re- publike Slovenije, ki je s projektoma P2-0260 in Z2-3203 fi- nančno podprla to delo. 7 LITERATURA Challamel, N., Girhammar, U. A., Lateral-torsional buckling of partially composite horizontally layered or sandwich-type be- ams under uniform moment, Journal of Engineering Mecha- nics, 139:1047-1064, 2013. Cowper, G. R., The Shear Coefficient in Timoshenko's Beam Theory, Journal of Applied Mechanics, 33(2):335-340, 1966. Čas, B., Nelinearna analiza kompozitnih nosilcev z upošteva- njem zdrsa med sloji, Doktorska disertacija, Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, 2004. Čas, B., Planinc, I., Schnabl, S., Analytical solution of three-di- mensional two-layer composite beam with interlayer slips, En- gineering Structures, 173:269-282, 2018. Fabbrocino, G., Manfredi, G., Cosenza, E., Non-linear analysis of composite beams under positive bending, Computers and Structures, 70:77-89, 1999. Girhammar, U. A., Gopu, V. K. A., Composite beam-columns with inter-layer slip-exact analysis, Journal of Structural Engi- neering ASCE, 199(4):1265-1282, 1993. Goodman, J. R., Popov, E. P., Layered wood systems with inter- layer slip, Wood Science, 1(3):148-158, 1969. Hearn, E. J., Mechanics Of Materials 2, Third Edition, Oxford: Butterworth-Heinemann, 1997. Hjelmstad, K. D., Fundamentals of Structural Mechanics, Second Edition, Illinois: Springer, 2005. Hozjan, T., Nelinearna analiza vpliva požara na sovprežne linij- ske konstrukcije, Doktorska disertacija, Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, 2009. Hozjan, T., Saje, M., Srpčič, S., Planinc, I., Geometrically and ma- terially non-linear analysis of planar composite structures with an interlayer slip, Computers and Structures, 114-115:1–17, 2013. Huang, Z., Burgess, I. W., Plank, R. J., The influence of shear con- nectors on the behaviour of composite steel-framed buildings in fire, Journal of Constructional Steel Research, 51:219–237, 1999. Kroflič, A., Nelinearna analiza večslojnih kompozitnih linijskih konstrukcij, Doktorska disertacija, Ljubljana: Univerza v Ljublja- ni, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, 2012. Newmark, N. M., Siest, C. P., Viest, C. P., Test and analysis of composite beams with incomplete interaction, Proceedings of the Society for Experimental Stress Analysis, 1:75-92, 1951. Reissner, E., On one-dimensional finite-strain beam theory: The plane problem, Journal of Applied Mechanics and Physics (ZAMP), 23:795-804, 1972. Simo, J. C., A finite strain beam formulation. The three-dimen- sional dynamic problem. Part I, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 49:55-70, 1985. SIST, SIST EN 1990: 2004, Evrokod – Osnove projektiranje kon- strukcij, Slovenski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, 2004. SIST, SIST EN 1995-1-1: 2005, Evrokod 5: Projektiranje lesenih konstrukcij – 1-1. del: Splošna pravila in pravila za stavbe, Slo- venski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, 2005. Udovč, G., Planinc, I., Hozjan, T., Analiza dvoslojnih prostorskih kompozitnih nosilcev z upoštevanjem strižnih deformacij in vzdolžnih zamikov med slojema, Kuhljevi dnevi 2021, Sloven- sko društvo za mehaniko, Bohinjska Bistrica, 23.-24. September 2021, 209-218, 2021. Slika 17. Poteki komponent povesov za obravnavane sovpre- žne nosilce. Gregor Udovč, prof. dr. Tomaž Hozjan, prof. dr. Igor Planinc, asist. dr. Anita Ogrin ANALIZA DVOSLOJNIH PROSTORSKIH NOSILCEV S PODAJNIM STIKOM