Universa v izubijani
PAKüLrZTA ZA NülUVüSLOVJS li* KHirOLOGIJO VIO I-late mati ka in mehanika
Edvard Kramar
LOKALNO KONVEKSNI IOFOLOJKI V3KICRSKI PROSTORI S HIL3SRTSKIÜI FOLNORMAI-II
doktorska disertacija
r s e o f

izubijana 1977
10921
\5
l^Llubllan«!
V^- l*>*\fa
KAZALO
Fovzetek   ...........................................       4
UVOD   ...............................................       5
1. OSNOVNE DEFINICIJU IN STRNITEV ZNANIH REZULTATOV ...       7
2. ORTOGONALNI ELEMENTI ...............................     25
3. LUNARNI FUiiKCIONALI ...............................     36
4. LINEARNI OPERATORJI................................     39
4.1 Zveznost operatorjev v H-lokalno konveksnih prostorih ......................................     39
4.2 Adjungirani operatorji .........................     43
4.3 Nekatere lastnosti adjungiranih operatorjev ....     56
5. SPEKTER OPERATORJA .................................     66
6. STRUKTURA PROSTOROV ^LX) IN ^*(X) ...............     73
6.1 Topologije na algebri operatorjev \â(X)   ........     73
6.2 Topologija na algebrah Jč0(X) in #L,(X) ........     80
6.5 Algebra operatorjev #"00.....................     90
6.4 Reprezentacija algeber j/' (X) in ^ (X) s
pro jektivnimi limitami .........................     99
6.5 Pozitivni elementi algebre ić*(X) ..............   105
6.6 Omejeni elementi algeber $f (X) in JL*(X) ......   107
7. TOPOLOGIJE NA DUALKEH PROSTORU.....................   110
S. PROJEKTORJI IN SPEKTRALNA RAZČLENITEV ..............   112
I..1  Projektorji ....................................   112
8.2 Pozitivni operatorji ...........................   117
8.3 Funkcija operatorja A e 3t(x) n *xfF(X)...........   125
5.4 spektralna razčlenitev operatorja A« 3Ć(X)n *L--,(X)   129
8.5 Komutativnost in redukcija operatorjev iz ^f(X)     139
8.6 Spektralna razčlenitev operatorja A ćj{(:{) .....   142
LITERATURA.........................................   154
Iskreno se zahvaljujem mentorju prof. dr. Ivanu Yidavu, ki mi je predlagal temo, mi ob izdelavi vseskozi pomagal in me sproti opozarjal na pomanjkljivosti.
Ah3 Subject Class.(KGS)(1970): 46 A 05, 46 L 99
Fovzetek
V delu obravnavamo lokalno konveksne topološke vektorske prostore, katerih topologija se da definirati z neko družino polnorm, ki imajo še lastnost, da jih lahko izrazijo s polska-larnimi produkti.
V takih prostorih, ki jih bomo na kratko imenovali H-lokal-no konveksni prostori, vpeljemo pojem ortogonalnosti vektorjev, izražanje linearnih zveznih funkcionalov, definiramo pojem ad-jungiranega operatorja in proučimo nekatere njegove lastnosti, V naslednjih poglavjih študiramo strukturo algeber operatorjev, ki delujejo v takem prostoru. Med temi algebrami najdemo opera-torsko algebro, ki je primer tako imenovane LMC"-algebre in je posploŠitev G -algebre.
V" zadnjem poglavju dokažemo za poljuben sebiadjungiran operator v H-lokalno konveksnem prostoru njegovo spektralno razčlenitev.

UVOD
H-lokalno konveksni topoloŠki vektorski prostori so poseben rasred lokalno konveksnih prostorov in so posplošitev Hilberto-vih prostorov, podobno kot so sami lokalno konveksni topoloŠki vektorski prostori posplošitev normiranih prostorov.
Frimeri H-lokalno konveksnih prostorov so zelo pogosti, saj so na primer vsi nuklearni lokalno konveksni prostori tudi take vrste. Ker je razred nuklearnih lokalno konveksnih prostorov zelo bogat, saj vanje spadajo skoraj vsi lokalno konveksni prostori, ki niso normirani (gl. [2ll), vidino, da je njihov pomen velik. Kot najpogostejši zgled bomo vzeli prostor funkcij, ki so s kvadratom lokalno integrabilne na K (Lp° (K)), v katerega vpeljemo topologijo z družino polnorm p_(-f) ¦ C J\t(t)/ dt) ' .
H-lokalno konveksne prostore je zaenkrat obravnaval le T.Fre-cupanu v člankih [13J , [I4-] , [15] in [22] , vendar je proučeval le strukturo takega prostora samega ter linearne JTunkcionale v njem. Izkaaalo se je tudi, da se da takšne prostore deloma tudi povezati s tako imenovanimi topološkirai polobsegi, delo H. Ja. Antonovskega in njegovih sodelovcev ( [2], [jj , [4-]), vendar se saradi težko dostopne literature nismo spuščali v to teorijo.
Študij strukture K-lokalno konveksnega prostora samega in linearnih funkcionalov v njem, ki ga obravnavajo l.,2.,3. in 7. poglavje, smo v glavnem povzeli po literaturi. Fri tem smo precizirali pojem H-konveksne množice, preko katere lahko uve-
- 6 -
demo ":-lo kalno konveksno topologijo in dokazali nekaj novih izrekov,
Več smo se ukvarjali s proučevanjem operatorjev, ki delujejo v takem prostoru, ker to področje v literaturi še ni bilo obdelano. i?ako v 4. in 5« poglavju raziskujemo zveznost linearnih operatorjev, uvajamo pojem adjungiranega operatorja in opozorimo na težave, ki nastanejo ob tem. Sfa žalost se izkaže, da se za vsak operator ne da definirati adjungiranega operatorja. V petem poglavju dokažemo nekaj izrekov v zvezi s spektrom operatorja.
V šestem poglavju obravnavamo strukturo nekaterih algeber operatorjev, v katere vpeljemo primerno topologijo. Sna najvarnejših je algebra 'ättX)  vseh zveznih linearnih operatorjev, za katere obstaja adjungirani operator. Pokazali smo, da je ta algebra primer tako imenovane LMC^-algebre, ki jih je v splošnem obravnaval K. Schmüdgen v [18]. Posebna podalgebra te algebre je izomorfna neki von îleumannovi algebri.
Zadnje poglavje je posvečeno študiju projektorjev in spektralni razčlenitvi. Iri tem se nam je posrečilo dokazati spektralno razčlenitev za poljuben sebiadjungiran operator, ki deluje v H-lokalno konveksnem prostoru, katerega topologijo definira Steven sistem polnorn.
1. CSNOVNS DEFINICIJE IN STIÎNIÎEV ZNANIH REZULTATOV
Naj bo X lokalno konveksen topološki vektorski prostor nad
obsegom realnih ali kompleksnih števil, Čigar topologijo določa
/s sistem polnorm 3   = {P*}^. » kjer je A  neka delno urejena množica
indeksov. Vsaka od polnorm p^ naj ima še lastnost, da se da izraziti z nekim polskalarnim produktom
Pflt(x) = (x,x),i/2  ; XLX, otta                                 (1.1)
Besedi "polskalarni produkt" bosta pomenili tako bilinearno formo ( ,) : X « X>-"*C, ki ima vse lastnosti skalarnega produkta, le iz pogoja (x,x) = 0 ne sledi x = 0. T. Precupanu [l3J imenuje polnorme s tako lastnostjo hilbertske polnorme.
1.1 DEFINICIJA Linearni topološki vektorski prostor X imenujemo pred-H-lokalno konveksen, ce njegovo topologijo lahko definiramo z neko družino hilbertskih polnorm.
Za indeksno množico 4 bomo še predpostavili, da je usmerjena, se pravi: sa poljubna indeksa offArt« obstaja skupni naslednik ^t/j z lastnostma
Skupaj z množico A  naj bo usmerjena in delno urejena tudi družina polnorm J :
(Xi^> =? Pw(x) é   p.j(x)  ;xtX
- 8 -
..e družina polnorm {p^} ni usmerjena, lahko preidemo na ekvivalentno družino {p^.'j , ki ima to lastnost. Vzeti je treba le
družino { pA(x) = ( Ipa(x)) ' , Be Ji], kjer je J3 družina kon-
«ta
Čnih podmnoŽic ±z A  . Pri tem so tudi polnorme p-^ hilbertske (gl. [I3j).
Da bo topologija na takem prostoru separirala točke, bomo še zahtevali, da bo družina polnorm vt  zadostna, se pravi: za vsak xćX obstaja vsaj en indeks vtçu   z lastnostjo
P«(x) *  0
Topologijo nam torej definira sistem polnorm y , seveda pa imano lahko še veliko polnorm, ki ne spadajo v to družino. Rekli bomo, da je poljubna polnorma p na pred-H-lokalno konveksnem prostoru X zve zna natanko tedaj, ko obstaja Število c >o in neka polnorma p^ri z lastnostjo
p(x) i c p*(x)
za vsak x€ X. Hitro se lahko prepričamo, da lahko topologijo našega pred-H-lokalno konveksnega prostora definiramo z njegovimi zveznimi polnormami.
Zahtevali bomo tudi, da so vse polnorme put 6 netrivialne, kar pomeni: pÄ ^ 0, za vsak cttu ,
Pojavi se vprašanje, kdaj je neka polnorma p hilbertska ?
1.2 JHDITSV Polnorma p je hilbertska natanko tedaj, ko za poljubna elementa x,yL x velja
p2(x+y) + p2(x-y) = 2(p2(x) + p2(y))                             (1.2)
Če je neka polnorma p hilbertska, je z relacijo
i r p      p      p       p     i (x,y) = çU? (3c+y)-P (x-y)+ip (x+iy)-ip (x-iy)J       (1.3)
- 9 -
natančno določen polskalarni produkt v prostoru X.
Dokaz. Če je p hilbertska polnorma, se da zapisati v obliki
p (x) = (x,x)
kjer je na desni neki polskalarni produkt in (1.2) sledi direktno. če za neko polnormo p velja relacija (1.2), zanjo definiramo bilinearno formo (x,y) v obliki (1.3)» ki za y=x dobi obliko
(x,x) = |[^p2(x)+2ip2(x)-2ip2(x)J = p2(x)        (1.4)
od koder sledi najprej  (x,x) ^ 0. S krajšim računom se prepričamo, da velja tudi
(Ax + ^y»z) ¦ A(X|Z) + L(j»z) in
(x,y) = (y,x)
To pomeni ( , ) je polskalarni produkt in zveza (1.4) nam pove, da se naša polnorma p izraza z njim, torej je res hilbertska. Iz zapisa (1.3) se neposredno vidi, da je za poljubna x,yLX s polnormo p enolično določena vrednost (x,y)t C.
1.3 KOHOLAR Naj bo p hilbertska polnorma in x,ye X taka vektorja, da velja p(x) = p(y) = 1. Potem za vsak L ?o  obstaja tak c  >o, da velja trditev
p((x-y)/2)>L -> p((x+y)/2)^ 1 - S                    (1.5)
Dokaz. Upoštevajmo relacijo (1.2), ki ji lahko tudi rečemo paralelogramsko pravilo
p((x+y)/2)2 + p((x-y)/2)2 = 1
- 10 ~
Od tod dobimo
p((x+y)/2)= /l  - p((x-y)/2)2 < /l-L2 < 1 - «T
Lahko tudi rečemo, da velja za hilbertske polnorme pogoj enakomerne konveksnosti.
Če vzamemo poljubno polnormo p<t S   in poljuben L>o, je množica
uj = [xa, p(x)< L }
konveksna (x,y t Uj?, 1*1 ^ 1 => ^x+(l-^)y ć uj) in uravnovešena (xérU^, /Afš-1 ^> Xx feU|) okolica izhodišča. Velja tudi obratno, čg imamo neko konveksno, uravnovešeno in absorbirajoco (za vsak xiH obstaja število tf>o, da je — xtM) množico McX, potem z njo dobimo neko polnormo s pomočjo funkcionala Hinkovskega
p(x) = inf{A; ^>o, ixcHJ Iz [7J povzemimo
1.4 IZREK Linearni topološki vektorski prostor je natanko tedaj lokalno konveksen, ko v njem obstaja baza konveksnih in uravnovešenih okolic izhodišča.
Vprašajmo se, kakšna naj bo množica, da bo ustrezna polnorma, ki jo dobimo preko funkcionala Minkovskega, hilbertska. Vpelji-mo najprej pojem H-gladke množice, ki ga je uvedel T. Precupa-nu v [14-] in [22].
1.5 DEFINICIJA Množica M je v linearnem vektorskem prostoru X H-^ladka, če za poljubni števili oiith>o  ter vektorja X4«h in yć/M'i obstajata taki konstanti s ,t >0, da veljajo naslednji pogoji
- 11 -
1) s2 + t2 <ç   202 -t-.^2)
O      O  =                      !
2) x + y t sQM
3) x - y^yi
Hitro se lahko prepričamo, da je H-gladka množica simetrična in vsebuje izhodišče. Če hočemo, da ima njen funkcional Kinkovske-ga vse lastnosti polnorme, inorano predpostaviti še, da je uravnovešena. Vpeljimo še eno vrsto množic, ki imajo tudi to lastnost.
1.6 DEFINICIJA Množica M je v linearnem vektorskem prostoru X H-konveksna, če sa poljubni števili cX,?>>0 ter vektorja xe Qili  in yfcßM obstajata konstanti s ,t z o, da velja
D s2 + t2 ž 2(«2 + p>2)
2) x + ytsK za vsak s > s
3) x - y e tH za vsak t > t
Očitno je H-konveksna množica tudi H-gladka množica. Oglejmo si še nekaj njenih lastnosti; pri tem bomo včasih ločevali primer realnega in primer kompleksnega vektorskega prostora.
l.y TRDITEV Haj bo M H-konveksna množica v realnem linearnem vektorskem prostoru. Potem ima lastnosti (1)0« M
(2) če je XéHia-lA^l, je 3tx«M
(3) če sta x,ye.K, je tudi  (i+y)/2«H
Dokaz. Če v zadnji definiciji vzamemo y=x in<*=;i=l, dobimo 0 =
= x-x L tM za vsak t >t , od koder že sledi prva lastnost.
Fri istih elementih dobimo tudi x+x = 2x ć sM za vsak s Ls„.
o
- 12 -
2   2
Ker je sQ - 2 zaradi pogoja sQ  + t •=  4, je tudi x+x ¦ 2x e sM
za vsak s *2, kar ravno pomeni ^xtH, pri čemer je 0 ±\   =  2/s é ^ 1. Če vzamemo <*=0, j4»l, x=0€ M ter poljuben y<L K, dobimo 0+y =
= y 4 sH in 0-y = -y ć tl-i za poljubni števili s in t, ki zadoš-
2   2 čata pogojem s^ s , t > t  in s + t L 2» V posebnem je yes i-i
in -ytt M, Uporabimo Še enkrat lastnosti množice M in ugotovi-
2   2     2  2
mo, da obstajata števili s-, in t-, z lastnostjo s, t t, é ^^so+^n^
^ 4, da velja (-j)-y =  -2y L tM za t>t-,. Ker je t,^2, velja tudi -2y ć tM za t ž 2, kar ravno pomeni -JiyeM, če je le A = = 2/t t  1.
DokaŽimo še zadnjo lastnost v zgornji trditvi. Vzemimo poljubna elementa x,yćM, potem obstajata konstanti s in t , ki za-
2   2 doščata pogoju s + t é 4, da velja x+y e. sM za vsak s 2s .
Ker je s L 2, lahko vzamemo s = 2 in dobimo x+y *2H, s Čimer
smo zgornjo trditev v celoti preverili.
Iz zadnje lastnosti zgornje trditve sledi, da H-konveksni
množici K ne manjka dosti do konveksnosti, saj za x,y€M sledi
tudi tx + (l-t)ye M za vsak parameter t oblike t = k/2 , k =
= 0,1,....,2n; n< N. Da taka množica v splošnem ni konveksna,
lahko preverimo na primeru M = {(u,v)e-R , ju| L lj\ {(u,v) t H ,
|ui = 1, vL Q}.
1.8 TRDITEV Če je množica M H-konveksna, je taka tudi množica ^M, kjer je i poljubno realno število.
Dokaz. Naj bo najprej â>0. Vzemimo cć,ft > 0, xć«f(AR) = (*^)M
ter ytfb(\l'])  = (^A)M.- Ker je množica M H-konveksna, obstajata
2  ?      2 2  2 2 konstanti s ,t 4 0 z lastnostmi: 1) s^+t^ é 2(«CA + pX  ),
2) x+y t sl'i za s>s in 3) x-y é tM za t?t . Če zgoraj povsod
pišemo Sq = sQ/x , t^ = tQ/> , s'= s/^ in t'= tA, veljajo
enaki
- 13 -
pogoji za konstante s', t', s'in t,' kar pomeni, da je tudi množica AM H-konveksna.
Če je )^0, lahko pišemo AH = C-OOt-M.)» kjer je -A>0 in ker je tudi množica (-M) po trditvi 1.7 H-konveksna, preidemo na prejšnji primer. Se preprostejši je dokaz zgornje trditve, Če jeA=0.
1.9 L5MA Če je M H-konveksna in absorbirajoča množica v realnem linearnem vektorskem prostoru, je njen funkcional Kin-kovskega p« hilbertska polnorma.
Dokaz. Ker je množica M H-konveksna, je tudi H-gladka in po trditvi 1.7 tudi uravnovešena. V [14-J je pokazano, da je njen fun-cional Minkovskega p., tedaj polnorma. Preverimo še, da je hilbertska. V ta namen vzemimo poljuben t >o in pišimo of ap.,(x)+L ter ,i»pK(y) + L» se pravi x*«M, yéLM. Ker je tedaj x+y t sQM,x-yetM, je PM(x+y)^ sQ ter p^(x-y)LtQ. Od tod dobimo
pf(x+y)+P§(x-y) ž  s2+t2 - 2(o2+/i2) =, 2(p2(x)+P2(y) +
+ 2fcpIvl(x)+2LpM(y)+2É2) od tod sledi
P^O-y) + Pm<x-7) ±  2(p2Cx) + p2(y))-
Če v tej neenačbi zamenjamo x z x+y in y z x-y, dobimo še obratno neenakost, kar pomeni, da je p-, res hilbertska polnorma.
1.10 IZRSK Naj bo M H-konveksna in absorbirajoča množica v kompleksnem linearnem vektorskem prostoru X, ki ima še lastnost
to M = M                                                            (1.6)
za vsak & &c, za katerega velja fu;j = 1. Potem je funkcional
- 14 -
Minkovskega p*. hilbertska polnorma.
Dokaz. Iz trditve 1.7 in predpostavke (1.6) sledi, da je mnoŠi-ca M tudi v kompleksnem prostoru uravnovešena. Ker je tudi absorbirajoča, je pM polnorma, ki je po prejšnjem izreku tudi hübe rt ska.
Imejmo sedaj neko hilbertsko polnormo p in si oglejmo, kakšne lastnosti ima množica M = {x, p(x)i l].
1.11 IZREK Naj bo p hilbertska polnorma v realnem ali kompleksnem linearnem vektorskem prostoru. Potem je množica
M = { x, p(x)e l} K-konveksna, uravnovešena in absorbirajoča.
Dokaz. Ker je p polnorma, je množica M uravnovešena in absorbirajoča L20J. Dokažimo, da je tudi H-konveksna. Naj bo xfc«M, y*/iM in*,p, jO, potem je p(xH«, p(yH(* in p(x+y)i «i + jb ter p(x-y)^ (V + ji. Pišimo s = p(x+y) in t « p(x-y). Če je s*s in * ? "t , je očitno x+y t sM in x-y ttM. Ker je p hilbertska polnorma, dobimo še oceno
fcf+so = P2<*+y>+P2(x-y) = 2(p2(x)+p2(y)) é  2(<x2+^2)
kar pomeni, da je M H-konveksna množica.
Združimo dobljene ugotovitve v izrek, ki je analogen izreku 1.4.
1.12 IZRSK Linearen topološki vektorski prostor je H-lokal-no konveksen natanko takrat, ko obstaja v njem baza okolic izhodišča iz H-konveksnih množic. V primeru kompleksnega prostora morajo okolice zadoščati še pogoju (1.6).
- 15 -
Običajno bomo imeli več kot števno naših polnorm -j p^.^./j, ^e jih je le števno, lahko namesto njih uvedemo ekvivalentno družino IPiIjéjj* za katero velja
p{(x) i  pg(x) %  pj(x)e ---  ; x^X
Lokalno konveksen prostor s števno polnormami je pred-Fre'chetov, saj lahko definiramo v njem metriko
4<x,y) - 2. Tn Up (x-y)
Oglejmo si nekaj primerov pred-H-lokalno konveksnih prostorov,
1« Naj bo X=Lo (E) - prostor funkcij, ki so lokalno s kvadratom sumabilne. V tem prostoru imejmo družino polnorm fj = fpn» n^NJ, kjer je
Pn<*) =f/lx(t)/2dt)1/2 ; xeL^oc(E) ki se izražajo z ustreznimi polskalarnimi produkti
(x,v) = /x(t)f(t)dt
2. Naj bo X = /7fX- - produkt predhilbertovih prostorov X.., kjer je J neka indeksna množica. Za družino polnorm vzamemo y ¦ { p j,
i e j], kjer je
pi(x)  =  )ix±n±   ;  3cL(xi)i€jć X±
3.   Naj bosta X in Y poljubna lokalno konveksna prostora ter B(   ,   )   :   X x   Y *—> C bilinearna forma.  Če v prostor X vpeljemo šibko topologijo  Š(X,Y),  ki  jo določa družina polnorm § ¦ (p  '*    y oblike
PyCx)  =  f 3(x,y)| ,     xe X
-loje X pred-H-lokaIno konveksen prostor. Poseben primer je, Če vzamemo Y = X' z naravno bilinearno formo <x,x'/=x'(x).
4-, Nuklearni prostori, le-ti imajo topologijo definirano s pol-normami, ki so določene preko funkcionala Minkovskega takih okolic izhodišča U, za katere obstaja okolica Y in zaporedje line-arnih zveznih funkcionalov {f_jf z lastnostjo ^Py<; (f ) < č°, pri tem je V° polara množice V. Te polnorme se izražajo s polskaiar-nimi produkti oblike
(x,y)n ¦/i(JV°}/<xta><7vB>d|U.
kjer je « pozitivna Eadonova mera (gl.[2l] ).
Kako iz nekega pred-H-lokalno konveksnega prostora zopet dobimo prostor takega tipa, nam bo povedal izrek, ki ga dobimo v
1.1.? IZREK 1. Vsak linearni podprostor pred-K-lokalno konveksnega prostora je zopet pred-H-lokalno konveksen.
2. Naj bo Y linearen podprostor pred-E-lokalno konveksnega prostora X, potem je kvocientni prostor X/Y zopet pred-H-lokalno konveksen .
3. Direkten produkt in direktna vsota pred-H-lokalno konveksnih prostorov je pred-H-lokalno konveksen prostor.
4. Induktivna in projektivna limita pred-H-lokalno konveksnih prostorov je pred-H-lokalno konveksen prostor.
Oglejmo si sedaj še nekaj pojmov, ki jih bomo kasneje rabili. Naj bo T neka delno urejena in usmerjena množica. Knožico ; x(r}fçrc
- 17 -
ga zaporedja vzemizio iz splošnega lokalno konveksnega prostora.
1.14 DEFINICIJA  Posplošeno zaporedje (xAr^f    konvergira v lokalno konveksnem prostoru X k elementu Xf X, če za vsak L>o in poljubno polnormo p^t i   obstaja tak indeks J^f, da velja
P^Cxp- x) < f.
za vsak indeks S i <TC • Podobno rečemo, da je posplošeno zaporedje /xf}-cr Cauchyjevo, če za poljuben L p- o in poljubno polnormo pBei obstaja tak indeks <Le.r , da velja
P_(x.- - x- ) < L
za poljubna indeksa ^ii/p-^o*
Vsako konvergentno zaporedje je očitno Cauchyjevo. Lokalno konveksen prostor imenujemo poln, če je vsako Cauchyjevo zaporedje v njem konvergentno.
1.15 DEFINICIJA Poln pred-H-lokalno konveksen prostor imenujemo H-lokalno konveksen prostor.
Ker v splošnem za neko polnormo p^tJ velja p0((x)=0 tudi za nekatere neničelne elemente xeX, definirajmo množico
Ja = {x«X, pa(x) =0}
Imenujmo jo množica izotropnih elementov polnorme p^tS. Dokaži-mo nekaj lastnosti teh množic.
1.1,6 TRDITEV Če je družina polnorra /p«}«^ zadostna, velja
nj*  - {0} Dokaz je trivialen.
-  18  -
1.17   LSHA    Za poljubna elementa x& X in je 3&   velja
P«(x)  = Po<Cx - y)
Dokaz. Če je xtX in yt Ja , je pa(x-y) j p>(x)+pÄ(y) = p^(x) in še obratno pÄ(x-y)> |p*(x)-p*(y)( = |pK(x)i = pw(x).
1.18 TRDITEV Izotropne množice J<* so zaprti podprostori v X.
Dokaz. Če je x,ye J^ in^\,^eR, je p^O-x+i^y) ^ <;\ip*(x)+ i^lpaf(y) = = 0, torej jlx+uyt JÄ. Naj bo |x^ - posplošeno zaporedje iz JÄ , ki konvergira proti nekemu elementu x é X. To pomeni: za vsak L>o obstaja tak indeks ^tf, da velja p^Cx -*)<L.   za vsak ~$l^c Upoštevajmo še prejšnjo lemo in dobimo
P„U) « p^(x^-x) ^ L
za vsak /*LT^ • Ker lahko izberemo L poljubno majhen, dobimo p^(x) = 0 ali xf J„.
1.19 LEMA Če za indeksa ¦* ,/».L 4 velja oi^ç, , potem za ustrezni izotropni množici velja  Jp, C   J*.
Dokaz. Če je xé J^, je p^(x) = 0, ker pa je pK(x) L p^(x), je tudi Po((x) = 0 ali xé J*.
Imejmo torej zadosten, delno urejen in usmerjen sistem hil-bertskih polnorm {pdxéA » ki določa topologijo H-lokalno konveksnega prostora X. Za vsak *é4 je kvocientni prostor X« = X/J* predhilbertov, saj imamo v njem pravi skalami produkt
< ^*^> ¦ (x,y)<*
za L<* = (x+J*)<? X^in !¦)„, = (y+J<x)tXu<. Popolnitev prostora Xa
- 19 -
naj bo ^, ki je potem Hubertov prostor. Če naredimo iz prostorov Y^ projektivno limito in direkten produkt, lahko dokažemo zanju naslednji izrek (gl« [13J ).
1. 2p_ _X ZR5K 1. Pre d-H-loka Ino konveksen prostor X je izomor-fen nekemu podprostoru direktnega produkta Hilbertovih prostorov
ottQ
s-Prostor X je poln natanko tedaj, ko je Y zaprt.
2. Pred-H-lokalno konveksen prostor X je izomor-
fen nekemu gostemu linearnemu podprostoru projektivne limite
Hilbertovih prostorov
X * z c lim pro j Y*
H-lokalno konveksen prostor je izomorfen projektivni limiti Hilbertovih prostorov.
Lokalno konveksne prostore in v posebnem tudi H-lokalno konveksne prostore lahko obravnavamo še na en način in sicer, da jih smatramo kot topoloske vektorske prostore normirane nad nekim topološkim polobsegom. Oglejmo si le osnovne ideje v tej smeri. Zapisimo najprej definicijo topoloskega polobsega, ki so ga uvedli M.J. Antonovski, V.G. Boltjanski in T.A. Sarimsakov v [23.
1.21 DEFINICIJA Množica G je topološki polobseg, če zanjo velja
I. G je topološki kolobar
II. v njem je definirana množica K z lastnostmi 1)  K + K <-  K,  K.K C K
- 20 -
2)  K - K = G
;5) če je K c K taka množica, da velja f*~\ (X+x) p  0, potem
it ^\
obstaja element y e K  z lastnostjo   ^MK+x)  = X+y
4-)  če   je  oćjf&eK,   ina enačba «x =/i   vsaj eno rešitev v K.
5)  KHC-K) = {0}
6) če je ^ = (xtG, *x*K/, potem družina (s+P^Ati' tvori bazni sistem zaprtih množic topologije v G. Zgoraj smo s K označili zaprtje množice K.
Ce je y-x € K, pišemo x < y in x<y, Če je y-x^K. Eden osnovnih primerov topološkega polobsega je naslednji: naj bo L poljubna množica in Rd množica realnih funkcij na A. V IL vpe-ljimo običajni operaciji množenja s skalarjem in seštevanje. Označimo s Kj množico pozitivnih funkcij v HA. Če vpeljemo še šibko topologijo, je R^ topoloski polobseg, ki ga imenujejo tudi Tihonov polobseg. Da se dokazati izrek, da je poljuben topoloski polobseg povsod gosta podmnožica nekega Tihonovega polobsega ( [l] ).
Nadaljujmo se z nekaj definicijami. Množica X je linearen vektorski prostor nad tonološkim -polobsegom G, če je X topoloski prostor, v katerem je definirana vsota elementov, glede na katero je X komutativna grupa, produkt elementov množice X s skalarji iz polobsega G z  lastnostmi: A(x+y)=Ax+Ay, (A+jOx^x-r^x, %Q\ 3c)»(A >}3C| l.x=x, kjer je x,yćX, _A,u,lćG in sta zgornji operaciji zvezni preslikavi. Množica X je normiran vektorski prostor nad topološkim polobsegom G, če je X linearen vektorski prostor nad nekim podpolobsegom GcG in , če za vsak x*X obstaja iixkKc'G z lastnostmi: fi x n = C <=> x=C, a x+y ti š- '< x \t +  iiyn, 'lAxli = i^nx», pri Čemer je \%\   = (V) + (.V) vsota pozitivnega in negativnega
- 21 -
dela elementa \ LC-^
S zgoraj vpeljanimi pojmi lahko sedaj formuliramo izrek C[2])
1.22 IZR5K Realen Hausdorffov lokalno konveksen vektorski prostor lahko smatramo kot normiran vektorski prostor nad nekim lihonovim polobsegom.
Podobno lahko definiramo predhilbertov prostor nad topološ-kim polobsegom, rekli mu bomo ET- prostor. Skalarje vzamemo iz običajnega obsega realnih števil R, vrednost skalarnega produkta pa naj bo iz Tihonovega polobsega Efo * Natančneje: linearni vektorski prostor nad realnimi števili je H -prostor, Če vsakemu paru njegovih elementov x,y ustreza element (x,y)L FL z lastnostmi
1)  (x,x)i 0 ;  (x,x) ¦ Q<=?  x=0
2)  ax,y) mX(xfj)   i Aefi
3)  (x+z,y) = (x,y) + (z,y)
V [?] je bil dokazan izrek, da je vsak lokalno konveksen prostor, ki je izomorfen projektivni limiti Hilbertovih prostorov, H -prostor. Ker vemo iz izreka 1.20, da je vsak E-lokalno konveksen prostor ravno izomorfen projektivni limiti Hilbertovih prostorov, lahko zapišemo naslednji izrek, ki je analogen zgornjemu
1.2g IZREK H-lokalno konveksen prostor je H -prostor nad nekim Tinonovim polobsegom R^.
Povrnimo se k našemu H-lokalno konveksnemu prostoru X. Če vzamemo poljuben element x e X, potem je za posamezno polnormo P„.(x)ć cOj vendar se lahko zgodi, da množica {p^Cx), ,3<t4j ni omejena. Definirajmo množico
- 22 -
E = {xtX,   sup  pot(x)< co}                                       (1.73
1.24  TRDITEV    Množica E je  linearen podprostor v X.
Ta trditev sledi neposredno iz  ocene
p^CXx +tuy)<- iXl PÄU) + l/dp/y)
Za vsak x&E lahko definiramo s predpisom
if x li =  sup Po^x)  =  lim p^Cx)
pravo normo na E. Očitno je namreč tudi li ¦ u polnorma, poleg tega pa iz 0 = Ji xii = sup p^Cx)  sledi pw(x) =0 za vsak *tty
*eâ
kar pomeni x=0. Ker velja pri izbranih x,yeS za vsako polnor-mo Pa.eS paralelogramsko pravilo (1.2), velja tudi za normo taka enačba
2                      2                  2              2
II x + yn     + ux - y u     = 2(iixii     + iiyn   )
To pomeni, da lahko definiramo na podprostoru E pravi skalami
produkt
1 T          2                 2                     2                     2 1
^x,y> = 4[/ix+yil     - II x-y|i     + iiix+iyii     - iiix-iy/|   J             (1.8)
Torej lahko zapišemo
1.2 5 TRDITEV Množica E je s skalarnim produktom (1.8) pred-hilbertov prostor.
Vzemimo x,y L E, potem imamo zanju definiran skalarni produkt <x,y)> in polskalarne .produkte (x^)^ , «f^> Vprašajmo se, kakšna je zveza med njimi.
1.2 ó TBDITEV Kaj bo X H-lokalno konveksen prostor in x,y<*E,
- 23 -potem za vsak L >o obstaja tak indeks ^^4, da velja
I (x,y)Ä - ^x,y> | < L za vsak ot 1 « ••
o
Dokaz. Ker je E podprostor, so vsi elementi x+y, x-y, x+iy in x-iy tudi iz E. Ker je d x+yn = sup p^(x+y), za vsak B>o lahko dobimo tak indeks «^d, da bo
PI Cx+y)> i|x+yi|*- L
i
Podobno dobimo tudi indekse at , o^ in o(ve4, da bo
p^ (x-y)> lix-yll1- L
pj   (x+iy) > nx+iyii - L p*   (x-iy)2 Hx-iylj - L
Naj bo are   skupni naslednik indeksom o(i , *t, *} in <*4   (le-ta obstaja,  ker je 4  usmerjena množica),  potem dobimo
4j(x,y)a   - <x,y>|   =  J[p2(x+y)-ifx+yl|2]-[p2(x-y)-/,x-y«2j +
+ i[p2(x+iy)-l|x+iy/|2]-i[p2(x-iy)-fix-iyA2]| t ^L2
za vse   oi Zc(t,  kajti velja
2     2                         2     2                           2     2
BX+yii-p^Cx+y) L «x+yi   -p <Xf) (x+y) < it x+y//  -p^(x+y)   <   L
in podobno tudi pri ostalih razlikah.
Včasih bomo predpostavili, da je podprostor E gost v X, zato zapišimo definicijo, ki jo bomo kdaj pa kdaj rabili:
1.27 DEFINICIJA Podprostor Y je gost v H-lokalno konveksnem prostoru X, če pri izbranem elementu x ćX za vsak L >o in za
- 2% -
vsako končno množico indeksov ^-, c/1 obstaja element x'«Y, da velja
p^(x-x') <   L
za vse $L^Ua«
V primeru X = L2°C(E) je podprostor E = Lp(IR) gost podprostor, v kar se ni težko prepričati.
2. OPTOGONALNI ELEMENTI
Vprašajmo se, ali se da na smiselen način vpeljati v naš H-lokalno konveksen prostor pojem pravokotnosti.
Če je (xjy)^ =0 za neki Q(€U%   potem za ostale polskalarne produkte (x,yk , fi/s to ni več nujno res. Za ilustracijo vzemimo primer X = L2°C(R),A=N in elementa x(t) = 1, y(t) = cos|t Očitno je x,yLLp0C(K) in velja
f            n                 il      T        I   *M   i n=l,5,...
(x,y)„ = Jl.cos-^t dt = srsinfeg =j    0  , n=2,4,6,... n -"           4             *      d       l -Vjt , n=3,7,....
Pojem ortogonalnosti bomo poskusili vpeljati na več načinov.
2.1 DEFINICIJA Elementa x,y<=X sta
a) ortogonalna glede na neki polskalarni produkt ( , )a natanko tedaj, ko velja
(x,yk = 0                                                   (2.1)
kar označimo:  xly,
to) ortogonalna glede na vse polskalarne produkte natanko tedaj, ko velja
(x,y)^ = o , za vse oieu                                  (2.2)
kar zapišemo x]Ly,
c) ortogonalna glede na dovolj pozne polskalarne produkte natanko tedaj, ko za vsak f?o obstaja tak o^e4, da velja
|(x,y)ta. | <¦" L » sa vse * > <*„                                     (2.3)
in zapišemo: xXy.
Očitno so vse relacije _T , -Ji- in X simetrične. Nekoliko vec si bomo ogledali zadnji dve ortogonalnosti.
- 26 -
2.2 TRDITEV Za poljuben xeX velja: xiLx kot tudi xix natanko tedaj, ko je x = 0.
Dokaz. Če je x=0, je očitno xü x in xlx. Naj bo narobe xiLx, potem je (x,x)rt = 0 za vsak ać4 in zaradi zadostnosti polnorm I je x=0. Vzemimo še primer, da je xlx, se pravi za vsakL>0 obstaja <x0e4 z lastnostjo
(xjx)^ = pa(x)<:L , za <?i Z <*„
Vzemimo še poljubno drugo polnormo p/j,. Ker so po Inorine o usmerjene, obstaja za p^o in p«, skupna naslednica p^ z lastnostjo P«-„(x) 4 P«., (x) ,  P.(x) ^ p^ (x)
Toda zaradi o(A S °(0  , je pÄjj (x)<.L in dobimo, da je tudi p*(x)<L, Ker je bil ßc^ poljuben, pomeni
Pp,(x)<& , za vsak ft><t4
in ker L>o lahko izberemo poljubno majhen, dobimo p/b(x) = o za vsak fctij , kar pomeni x=0.
2.3 TRDITEV Vektor x=X je ortogonalen v smislu b) ali c) v definiciji 2,1 na vsak vektor prostora X natanko tedaj, ko je ničelni vektor.
Dokaz. Če je x=0, je očitno 0 Ä y kot tudi 0 i_ y za vsak yeX. Če je xjLy ali xly za vsak yeX, je v posebnem tudi x il x ali xix, kar po prejšnji trditvi pomeni x=0.
Vzemimo poljubno množico M<^X in označimo množice M« = {X6X ;  xjTy , za vsak yeMj
iL   f                                                                                                                     -t
M     = [ xfX   ;     x 4. y  ,   za vsak yéMj
- 27 -
M*1 - [xčX ; xj.y , za vsak y*M j Očitno velja med njimi naslednja zveza
r^ni = n*c h-*-                                            (2.4)
Oglejmo si nekaj lastnosti zgornjih množic, ki jim bomo tudi rekli ortogonalni komplementi množice M.
2.4 TRDITEV Naj bo X H-lokalno konveksen prostor, potem veljajo naslednje lastnosti:
1) če je xeX ortogonalen v smislu b) (v smisli c)) na elemente y-,, jp*   •••i yn» potem je ortogonalen v ustreznem smislu tudi na vektor .SA-V-j i
2) če posplošeno zaporedje Jx»J; p konvergira k j^cX in so vsi Xj- ortogonalni v smislu b) (v smislu c)) na neki element yeX, potem je tudi limitni vektor x ortogonalen v ustreznem smislu na vektor yeX,
j.   Ji
3) če je M poljubna množica v X, potem sta M in M zaprta linearna podprostora prostora X in velja
M"* = L(H)  ,  M = tW) kjer je «L(M) linearna ogrinjača množice M.
Dokaz. 1) Naj bo xj_y,, y2> ... » y •>  potem za vsak L>0  lahko najdemo tak skupni indeks aL . da bo veljalo |(x,y. ) | ^ L , za vse «sou in i=l,2,...,n. Tedaj dobimo
Frav podobno premislimo tudi za pravokotnost v smislu b).
2) Ker posplošeno zaporedje [xfj   konvergira k xéX, obsta-
-  28 -
ja  za vsak L ? O in a(<tu tak i''   L i  ,   da velja:   pa(x,-x)*- L.   za
r»     p                                or*
vse   e e Ce .   Sa poljuben   tf ^ cc  tedaj velja
Če   je  sedaj  Xr-Jiy  za vsaklcP,   je   zadnji   člen enak nič in velja
](x,y)^   éLpK(y)
za vsak <xć4 , ker je L>0 poljuben, je (xjy)^ = 0 za vsak tté& Če pa je x ly za vsak 7eC , lahko najdemo takj\ t4, da bo tudi zadnji člen v zgornji oceni pod L.  in imamo
|U,y)y| u  ECp*(y) * D
za vsak #>,y.   kar pomeni  ravno  xly.
3)  Dokažimo   zadnjo  lastnost najprej  za M   .   Naj  bosta torej x,ycM   ,   to  pomeni:   za vsak G>0 obstajata #t4  in oii^a-t   da velja
|(x»sV| <L ,   za d > of0 in   |(y,z)^j <: L ,   za « L0^
za vsak zeM. Naj bo oCp  skupni naslednik k V in ci-,, potem dobimo
|(Ax+fy,a^| <   Ut|(x,z)Ä|+^||(y,z)w\ L (Ul+lLl}&
v        i                                                  JL
za vsak oi >öfp ^n vsa^ zéM. Torej je J*.x+ky(=  M . Ce sta x,yL.M ,
sta v zgornji oceni oba izraza na desni enaka nič- za vsak o<t-4,
torej >x+JiyLM . Ker je M^^(M), velja očitno M o  y2(M) kot tudi «S  öC(M) . Naj bo x*M in y<sM , potem je po lastnosti 1)
xl^(H) in yJLje(M) ter po trditvi 2) tudi xl LČM) in yl&M), s čimer smo dokazali Še obratni inkluziji.
- 29 -
2.5 TRDI?SV Naj bo K poljubna množica v X, ki vsebuje vektor x=0, Fotem sa ustrezni ortogonalno komplementarni množili-    j-
ci M in h    velja
ji.
m r\  m = m n m = {o}
J.                                   X
Dokaz. Naj bo x i M n H , ker je x^Il, je ily za vsak y*I-i. Posebej za y=x dobimo x i. x in po trditvi 2.2 dobimo x=0. Na prav enak način dokažemo trditev tudi za množico MAM .
5.6 TRDITEV Kaj bo M poljubna množica in K* njen ortogonale ni komplement glede na indeks sita . Potem veljata inkluziji
M rt M« C Jw ; J*  C K«
i Dokaz. Ce je xcMnM*, je (XjVj^ = 0 za vsak yéM. Posebej za
y=x dobimo  (x,x^ = 0 ali x<J». Druga inkluzija je še očitnejša.
Preden se bomo lotili vprašanja o možnosti razcepa poljubnega elementa na del, ki pripada nekemu podprostoru X-, in na del, ki pripada njegovemu ortogonalnemu komplementu, dokažimo še naslednji pomožni izrek:
2.7 I/5KA Naj bo X H-lokalno konveksen prostor, katerega topologijo določa Steven sistem polnorm {pÄ} , M konveksna množica in CL&A  tak indeks, da je M v faktorskem prostoru Xk=X/Jv zaprta in velja H n J* = 0. Če definiramo razdaljo od izhodišča do množice M s predpisom
d- = inf p^Cx)
XtM
obstaja v množici II element x , na katerem je ta razdalja dosežena.
- jo -
Doka::. liaj bo 3*   izotropna množica polnorme p^ . Poten imamo v faktorskem prostoru 'Au =  X/J.^ pravo normo li fc II^ = p^(x) za ^=(x+J< iz X^, Ker je po predpostavki polnorm {-pji   števno, je X Fréche-tov prostor in is ("Sj povzamemo, da je tedaj X* poln. Označimo s Kj naravno preslikavo X»—»XV, potem je množica IT = KÄ(H) tudi konveksna, 0Bfc=J0( rf K in v X^ zaprta. Ker je prostor X^ Banachov, katerega norma zadošča paralelogramski enačbi, obstaja v množici N element t  z lastnostjo: K K 1/^ = inf II L Il y . Fri tem je i    = = x0+J^ in L =x+J- , kjer sta x in x iz množice H. Če se upoštevamo definicijo norme I l^ , dobimo
pK(x ) = inf prfCaO = d
x«H
kar smo želeli dokazati.
Kaj opomnimo, da v primeru, ko je množica 11  zaprta glede na topologijo, ki jo porode polnorme ^7>«1 in velja GfH, obstaja indeks heu   z lastnostjo fcfl J/* = 0. V tem primeru namreč obstaja okolica UL = Ix,Pfj(x)* L J z lastnostjo M n U^ = 0, od koder zaradi tJp, - UL že sledi naša opomba (tudi za vsak indeks *|a).
2.8 I2REK Kaj bo X H-lokalno konveksen prostor s štsvno pol-normarai in H njegov linearen podprostor. Fotem se element x € X da razcepiti v obliki
x = u + v ;  utlu, VtfM*                                         (2.5)
glede na tak indeks ttéut   za katerega je H v faktorskem prostoru X^ zaprt podprostor in velja
(x i H)fl J* = 0                                                    (2.7)
Pri tem je razcepitev enolična do množice Jy .
- 51 -
Do ka s. Očitno lahko vzamemo w ^ X in x^I-i. iinožica x + U  = = |x + y, y*i^} je tudi konveksna. Kaj bo indeks xtâ  tak, da je K v faktorskem prostoru XÄ zaprta množica in velja pogoj (2.7). Po prejšnji lemi obstaja tak element ? i x+H, na katerem je najkrajša razdalja d=inf p*.(y) dosežena
y«x+H
d = P*(v)
Ker je v fx+M, ga lahko zapišemo v obliki v = x + u', kjer je uVN. Ce vzamemo u = -u', velja
x = u + v ; utH, v ćx+K
Dokazino, da je veh^.   Velja: p>(v) é p^(x+w) za vsak wti-.. Ta pogoj lahko zamenjamo z ekvivalentnim
P* (v) ^ P*(v+y)
kjer je y«M, kajti lahko pišemo x+w = v+u+w = v+y, pri čemer je y = u+w é H. če je yéM, je tudi Ayti; za vsako realno število A. Torej velja neenačba
P»Cv) é P*(v+*y)
za vsak ytM, od koder po kratkem računi' dobimo
0 š  2>Re(v,y)^ + \2p^(y)
za vsak Ae-R. Ta neenačba je za vsak realen X  izpolnjena le v primeru
Se (v,y)Ä = 0
Z zamenjavo elementa y  z iy dobimo na prav tak način tudi: Im (v,y)ry = 0, kar pomeni:
(v,y)* = O                                             (2.3)
- 32 -
sa vsak y*ll. Torej je res v t ;.;>.
Oglejmo si še kako je z enoličnostjo zgornjega razcepa. Vzemimo, da imamo še razcep
x = u' + v'  ; u'éiI, vé K*
poten skupaj z (2.6) dobimo
0 = u-u'+v-v' od koder sledi
0 = p«2(u-u') + pf(v-v')                                   (2.9)
oziroma p0<(u-u') =0 in p^(v-v') ¦ 0, kar pomeni u-uV J^, v-v '* Z* .
Zgornji izrek velja za posamezni element x*-X in podprostor FU če vzanemo drug; element ytX, dobimo v splošnem drug indeks fbta • V posebnih primerih pa vseeno dobimo lahko za vse elemente prostora X isti indeks *t4, sa katerega velja razcep (2.6).
2.9 IZP^K Kaj bo M linearen podprostor v >I-lokalno konveksnem prostoru X s števno polnormami in *é.4 tak indeks, da je M v faktorskem prostoru XM zaprt in velja
J* c  M
iotem velja  za vsak x * X razcep
X
x = u + v   ;   util,   T*M«j
enolično do množice J* . Dokaz. Vzemimo najprej x^r:c, potem velja za zgornji indeks
(x + I-Om «J* = 0
- 33 -
Kajti, če bi bil z  = x  + y, yti«i in z^-j c I » bi to pomonilo x = a - y é Km  io prejšnjem izreku lahko zapišejo do množice J^ enoličen razcep
x = u + v  ; UfeK, v*r-lt
če je xéH, ga lahko zapišemo
x = x + 0  ; xfi-:, Ot M^
Pudi v tem primeru velja enoličnost do množice J«<. če bi namreč imeli še en zapis x = y +  v ; x,ytiv-, ve Iv, bi to pomenilo: (x,v)i)( = Cy,v)^ -t- (v,v)x = px(v), torej v é ^* in y-xéJ^.
g.10 DISKUSIJA  y© velja za neki xél in podprostor I* pogoj (2.7) pri nekem indeksu etć4 j velja tak pogoj tudi za vsak fo>9Ć* kar sledi iz inkluzije J* L¦ J^. Dobimo torej razcep oblike (2.6) tudi za vsak indeks /v ? c( , vendar dobimo v splošnem drugi minimizirajoci element v^ t M* in s tem tudi u^ć  M.
Vzemimo primer X = L^00^), x(t) = t2 in K = {L«X, f(t)=a+bt, a,bć (u). Očitno je za vsak indeks «(=ntlîi:(x + K) ft J* =0 in kaj hitro se lahko prepričamo, da je minimizirajoci element
vn(t) = -n2/3 + t2
Torej imamo razcep
t2 = n2/3 + (-n2/3 + t2)
P                                   P                  P             /     v
kjer je    n /3 L ti in (-n "/3  + t')é ti  .   Če vzamemo  še  inde k â-flî > n,   dobimo
90                    op
t~  = O /3  +   (-m /3  + t  )
kar je povsem drug razcep.
- 34 -
Y splošnem se torej ne da dobiti razcepa x = v.  + v, kjer bi bil ut;, in ve A":» = K . i";e hočemo dobiti tak razcer, moramo od podprostora M zahtevati še eno lastnost, ki jo je uvedel tudi T. Frecupanu v [l?].
2.11 DEFINICIJA Množica H iz II-lokalno konveksnega prostora X ima lastnost H glede na družino hilbertskih polnorm {'P^\vt^ če obstaja posplošeno zaporedje fyf\i-c-rc M z lastnostjo
lim p^Cyf) = inf p*(y), za vsak <*é^j
Če ina množica x + M lastnost II, potem imamo eno   samo zaporedje i&Aur*   ki v vseh polnormah pa konvergira proti  elementu VLX + H. Hinimizirajoči element, ki nastopa v lemi   2.7* je tedaj isti za vse *e4 . Torej lahko zapišemo izrek
2.12 IZREK Naj bo X H-lokalno konveksen prostor in M zaprt podprostor v njem. Če ima za dani element x«X množica x + M lastnost H, obstaja enolična razcepitev
iL
x = u + v ; u t H,  v e M
Dokaz. Lastnost množice x + M  nam zagotavlja minimizirajoČi element vć x + M, ki je isti za vse indekse <xe 4. Sedaj na isti način kot v dokazu izreka 2.8 ugotovimo ve AM* = M in imamo
x = u + v  ; ufh,  v i H
Dokazati moramo le še enoličnost razcepa. Če bi imeli še eno razcepitev x = u' + .v', v'él-i, bi iz relacije (2.9) dobili p^Cu-u') - 0 ¦ pa(v-v') za vsak 04 » kar pomeni u=u' in v=v'.
2.Ig KOHOLAR Kaj bo X H-lokalno konveksen prostor in M njegov zaprt podprostor. Potem velja
- 35 -
X m     M (S H *" natanko tedaj, ko ima množica x + M sa vsak xtX lastnost H.
če vzamemo tak zaprt podprostor H, da ima množica x + K za za vsak vektor xéX lastnost K, imamo enolično razcepitev x = = u + v ;  uéM, veÎ'I in lahko definiramo operatorja
PH : X»-*Mj  Pnjl : X-»-M
s predpisom Pvx = u, P:..-jlx = v. Očitno je FwX = x za vsak ac*H.
2.14- ?RDIi?5V Operator P = P« (kot tudi P = P«*) ima lastnosti:
1)  P2 = P
2)  (Fx,y)^ = (x,Fy)Ä
za vsak «t4 in poljubna elementa x,y ć X.
¦
Dokaz. Naj bo P ¦ P.. in x poljuben element iz X. Potem je Pxeî*: in velja P x = P(Px) = x. Za poljubna elementa xjtl imamo razcepa
x = PHx + Phjlx ,  y = FMy + P.^y in pri poljubnem indeksu «e4 la^ko zapišemo
(?lt«ty^ - (P^x^y + Pj.^y)^ = C%x,PMr^ = = (PMx + PHiLX,PHy)^ = (x,PHy)^
Prav podobno dokažemo izrek tudi za operator P = Fvjl. Operator, ki ima zgornji dve lastnosti, bomo imenovali projektor.
3. KEKSAHKI FUirKCIOICALI
Linearen funkcional, ki deluje na našem H-lokalno konveksnen prostoru X, je linearna preslikava f : X *-» C (ali (R). Za zveznost takega funkcionala vzemimo definicijo iz splošnih lokalno konveksnih prostorov.
5.1 D5FIEICIJA Linearen funkcional f, ki deluje na H-lokalno konveksnem prostoru X, je zvezen, Če obstaja tak indeks tea   in število c>0, da velja ocena
l*(*)l t  e P^Cx)                                      (5.1)
za vsak xéX, kjer je polnorma p9  iz družine^ .
Množico zveznih funkcionalov na prostoru X bomo označevali kot običajno z X'.
Za zvezen linearen funkcional v H-lokalno konveksnem prostoru bomo dokazali naslednjo posplošitev znanega Eiessovega izreka:
3.2 IZPJ5K Kaj bo X K-lokalno konveksen prostor s števno pol-normami in f zvezen linearen funkcional v njem. Potem za vsak indeks * to   obstaja tak vektor yw € X, da velja zapis
f(x) = (x,y* )*
kjer je iteu indeks iz pogoja zveznosti funkcionala f v (3.1). Element y* je enolično določen do množice J<*.
Velja tudi obratno: linearen funkcional oblike g(x)=(x,y)^ je pri izbranem <ć&Q   in y t X zvezen.
Dokaz. Kaj bo N = lXLX, f(x)=Oj; to je linearen podprostor, ki
- 37 -
je zaprt v faktorskem prostoru X^, kjer je 7e  indeks iz (3.1). Ses, naj bo IT=K/J^ in {|^Jt,- c N^ posplošeno zaporedje, ki glede na normo H /ir konvergira k elementu ^LZr. Za poljuben L>0 obstaja i^éf   z lastnostjo ii^-^H(.<t  za a i eg *   Če pišemo ^-=xr + +Jjf in ^=x+J^, je Xj*:T za vsak fef. Za ??J0 velja: pf(x-x)*'L, od koder sledi
¦
|f(x)| L |f(x-x;u )l * fr(x^)J ž c p^(x-x/( )<c.L-
kjer je L>0 poljubno majhen in zato f(x) = 0. Torej je x^T in teITr. Očitno je IT zaprta tudi v vsakem prostoru X^ «S/J* za * ž a*. Vzemimo poljuben indeks *>lf , potem iz (3.1) dobimo: lf(x)|* ^ cp^(x) é cp^tx) = 0, kar pomeni xeK. Torej velja: JBCIi  za vsak indeks *?3f . Fo izreku 2.9 lahko tedaj vsak x«S razcepimo
x x = u +  v ;  utii, vć H^
enolično do množice J^ . Če je N = X, je funkcional f trivialen in lahko vzamemo y„t=0. Kaj bo torej K L X. Ker je J^ c H, po trditvi 2.6 in izreku 2.9 lahko zapišemo
X = K + nJ",     BaAÎ =  J*
i
Ce ne bi obstajal element etR4vJM   bi bil vsak xeX oblike:   x=
=u+v ; utK, vćH/J^, se pravi x e IT. Vzemimo torej element e e-€ K/JÄ in poljuben xfX. Če izberemo X= f(x)/f(e), je vektor y=x-.ie t IT.   Torej velja za vektor x tudi razcep
x = y + ^Xe
kjer je y é K, » € H^vJ^ in X« f(x)/f(e). Pomnošimo to enačbo v skalarnem produktu ( , )  z vektorjem e in dobimo
- 58 -
(xie)„ = &(.«,«)«
Funkcional L ima torej obliko
f(x) = Af(e) = Cx^^fCeVCe^)^ - txtf*)*
kjer smo pisali yu  = e.f(sj/(e,e)^. Vzemimo, da imamo še zapis
f(x) = (x,v)^
potem je (x^-v)^ = 0 za vsak xtX, v posebnem za x=yot-v dobimo :  v-y^ ^ Jot,
Da je funkcional g(x) = (x,y)^ pri izbranem eit4 in y*X zvezen, sledi iz Cauchyjeve neenačbe
|g(x)l = |(x,y)^| é  P;)((y) Po,(x)
Za linearne zvezne funkcionale, ki delujejo v nekem lokalno konveksnem prostoru, velja znani Hahn-3anachov izrek, ki ga v geometrijski obliki včasih zapišemo takole ([l9l):
^.^ IZREK Naj bo X lokalno konveksen prostor in M zaprta, konveksna in uravnovešena množica v njem. Potem obstaja za
vsak element x a. M linearen zvezen funkcional f z lastnost-
o ~
jo
f(xo) > 1 in  lf(x)| É 1  za xffM
4. LIN3AHKI OPERATORJI
4.1. Zveznost operatorjev v H-lokalno konveksnih prostorih
Vzemimo naš H-lokalno konveksen prostor X in si oglejmo linearne operatorje, ki delujejo v njem. Kdaj je linearen operator T : X»—»X v splošnem lokalno konveksnem prostoru zvezen, nam bo povedal izrek iz L20]:
4.1.1 IZREK Linearen operator T : X«-*-X, kjer je X lokalno konveksen prostor, Čigar topologijo definira družina polnorm {p^Ätd , je zvezen natanko tedaj, ko za vsak <xtA obstaja tak indeks fbtA   in konstanta C«>0, da velja
P.(Tx) i   CäP/s(x)                                     (4.1.1)
za vsak xtX.

Zaradi linearnosti je očitno, da je T zvezen v vsaki točki prostora X natanko tedaj, ko je zvezen v točki x = 0. Označimo z ^L(X) množico vseh. linearnih zveznih operatorjev iz X v X, ki so definirani na vsem prostoru X. Včasih bo za operator T veljal malo ostrejši pogoj :
pÄ(Tx) L C^Cx) , *ćL                     (4.1.2)
za vsak x*X. Tako bomo z );f 00  označili množico operatorjev Te^ßx), za katere velja ocena (4.1.2). Imeli pa bomo tudi operatorje, za katere konstanta C* ne bo odvisna od <**&
pÄ(Tx) ^ C Pj,(x)                                        (4.1.3)
Množico   takih operatorjev iz at(X)  bomo označili z «L»(X).
- 40 -
Operatorjem iz aC™(.X) bomo včasih tudi rekli -d-končni operatorji. Kadar bomo govorili o zveznem operatorju, bomo imeli v mislih linearen operator, ki zadošča najbolj splošni zahtevi (4.1.1).
Definirajmo še zaprte operatorje in sicer analogno kot v normiranih prostorih.
4.1.2 D5PINI01JA Linearen operator T : X t-*X je zaprt natanko tedaj, ko ima lastnost : čim imamo neko posplošeno zaporedje ^xfh"tr » ki konvergira k elementu xeX z lastnostjo, da tudi zaporedje f^X«-||^r konvergira k nekemu elementu y ć X, potem velja
Tx = y
Naj opomnimo, da smo zgoraj zahtevali tudi konvergenco slik i^xr}^r , ki ni treba, da v splošnem konvergira. Če je operator T zvezen, potem iz konvergence zaporedja {xr} sledi tudi konvergenca zaporedja |Txf} in velja tudi zgornja zveza. Torej lahko zapišemo
4.1.3 TRDITSV Vsak zvezen operator, ki deluje V H-lokalno konveksnem prostoru, je zaprt.
Kadar imamo H-lokalno konveksen prostor s števno polnormami, torej îréchetov prostor, v katerem so polnorme hilbertske, velja tudi obraten izrek ([19]), ki mu rečemo tudi izrek o zaprtem grafu.
4.1.4 TRDITEV Linearen operator T, ki deluje v H-lokalno konveksnem prostoru s Števno polnormami, je zvezen natanko tedaj, ko je zaprt.
- 41 -
V lokalno konveksnem prostoru je neka množica H    omejene, če za vsako polnormo p«-L 3 obstaja konstanta De > 0, da velja
sup pÄ(x) < 1W < 0°
Linearen operator T, ki deluje v nekem lokalno konveksnem prostoru, je omejen, če preslika omejene množice v omejene množice. V normiranih prostorih sta pojma zveznost operatorja in omejenost operatorja ekvivalentna.  V lokalno konveksnih prostorih pa velja le, da je vsak zvezen operator tudi omejen, obratno pa ni nujno res. Tak sklep je dovoljen v tako imenovanih bornoloških prostorih (definirani so kot lokalno konveksni prostori, v katerih je vsaka konveksna in uravnovešena množica, ki ima lastnost, da absorbira poljubno omejeno množico, okoli-ca izhodišča).
Kasneje bomo rabili kdaj pa kdaj tudi eksistenco ter zveznost inverznega operatorja, zato dokažimo naslednji pomožni izrek :
4.1.5 L5HA Naj bo T linearen operator z zalogo vrednosti (k(T)  = X, potem je operator T- iz oC(X)  natanko tedaj, ko za vsak indeks xtA  obstaja indeks {b*A  ter konstanta D*>0, da velja
D^PoU) %  p^Tx)                                        (4.1.4)
za vsak element xeX.
- 42 -
Dokaz. Naj bo operator T-1e ^(X), ker je L (T-1) = (Ä.(T), za poljuben ycX obstaja element x«X z lastnostjo Tx = y, Ker je operator T~ zvezen, velja
P«(T_1y) e C^P^Cy)
kar je ravno pogoj (4.1.4-) za D* = l/C«, če je le CD(>0. Če pa je C« = 0, je omenjeni pogoj izpolnjen za vsak fie4  in Df*>0.
Vzemimo še obratno, da velja pogoj (4.1.4) in naj bo xeX tak element, da je Tx = 0. Za poljuben indeks ft*4 obstaja tak «tjü, da velja
D^P^x) t P*(Tx) = 0
Ker je ^,*4 poljuben in D^>C, je p^(x) = 0 za vsak f*e4, kar pomeni x = 0. Operator T~ torej obstaja, je povsod definiran in ocena (4.1.4-) ravno pomeni, da je tudi zvezen.
V prvem poglavju smo našli v našem H-lokalno konveksnem prostoru X predhilbertov prostor E. Čeprav predpostavimo, da je prostor X poln, Še ni rečeno, da je tudi podprostor E poln v smislu metrike, ki jo inducira normall U * Imamo lahko namreč zaporedje {xj-}, ki je Cauchyjevo za normo H H in potem tako tudi za vse po Inorine pÄ in tedaj konvergira glede na posamezne polnorme p^, vendar ni rečeno, da konvergira tudi glede na normo li It . Zato bomo morali včasih, še posebej predpostavljati tudi polnost podprostora E, ki bo tedaj Hubertov prostor.
Vzemimo linearen zvezen operator T, ki naj ima lastnost, da podprostor S preslika nazaj v E. Množico takih operatorjev iz đć(X) bomo označevali z ^,-,(X). Pojavi se naslednje vprašanje:
Če je linearen operator T, ki elemente iz E preslika nazaj v E, zvezen kot operator T : X*-»X (v smislu polnorm p«), ali
- 43 -
je tedaj tudi zvezen kot operator is E v Z (glede na normo na E) in obratno. Delen odgovor je
4. 1 ; 6 TRDI TSV Če je podprostor S poln potem je operator T ć ^^(X) zvezen tudi v podprostoru E (glede na normo ö n ) •
Dokaz. Ker je operator T zvezen, je tudi zaprt, se pravi, če imamo tako zaporedje /xr}, da velja x^. -^ x in Tx^ -** y, sledi Tx = y. Vzemimo neko zaporedje |xj iz E, za katerega velja
i/l x -x||-»o in //Tx^-y/I-* o . Od tod sledi konvergenca tudi v smislu polnorm p,, in ker je T zaprt v X, je Tjl = yt   Torej je opera-itor T zaprt tudi v Hilbertovem prostoru E. Ker je % (T) = X^E, je T zvezen na E.
4.2. Adjunpirani operatorji
Vzemimo sedaj linearen operator T : X*—*X in se vprašajmo, ali se da vedno in na kakšen način zanj definirati adjungirani operator. Imamo nekako dve možnosti.
Za operator T, ki podprostor E preslika nazaj vase, lahko postavimo naslednjo definicijo :
4.2.1 DEFINICIJA Kaj bo X H-lokalno konveksen prostor in E Hubertov podprostor v njem. Potem za zvezen linearen operator T : X>—*X, ki vektorje is E preslika nazaj v E, imenuje-mo a-a.e jungirani operator T , ki je definiran na podprostoru E in je v običajnem smislu adjungiran k operatorju TL v Hilbertovem prostoru E
<'Tx,y> = <x,T*y>  ; x,ye-E Torej je operator T definiran le na podprostoru E,  preslika
_ 44 -
elemente iz S nazaj v E in je tam zvezen. Nastane vprašanje, ali se ga da razširiti na ves prostor X ? Odgovor je v splošnem negativen, četudi predpostavimo, da je podprostor E gost v X, se pravi, da je T gosto definiran.
Vzemimo zopet primer X = Lp  (R) in E = Lp(R), ki je gost podprostor. Omejimo se na integralske operatorje v tem prostoru z nenegativnirn jedrom K(s,t)> 0. Najprej si oglejmo, kakšnim pogojem mora to jedro zadoščati, da je ustrezni operator v prostoru Lp  (R) zvezen.
l-o
4.2.2 TRDITEV Integralski operator (Tx)(s) = J'K(s,t)x(t)dt z nenegativnim jedrom K(s,t), za katerega velja ocena
ti    TO
JdsjK(s,t) dt-ćco za poljubna a,m«R =/\ , je zvezen natanko tedaj, ko obstaja dovolj veliko Število R >0 in dovolj majhno število r > 0, da velja
K(s,t) =0  za s,t z lastnostjo is| L §lt|-r   (4-,2.1)
Dokaz. Vzemimo x é Lp  ((R) in izračuna jmo
y(s)=(Tx)(s) = J"K(s,t)x(t)dt = jK(s,t)x(t)dt
-¦ß./ist*-r) r
¦p
Za poljuben ntN obstaja meN z lastnostjo —.( mi +r) ^ m in ima-
p2(Tx) i /ds/K(s,t)2dt. /lx(t)i 2dt ^ JdsjK(s,t)2. .j|x(t)/2dt = Cnpm(x)2
-tut
Torej, če velja pogoj (4.2.1), je T res zvezen. Dokažimo še obratno smer. Predpostavimo, da zgornji pogoj ni izpolnjen, se pravi za vsak še tako velik iti in še tako majhen Isl obstaja realno število k in množica McRp z lastnostjo
- 45 -K(s,t)  >   k  > O   ;    (s,t)* M
kjer  je Lebesqova nip-mera množice  M pozitivna.  Potem za vsak n^N in' še  tako velik mtîT velja
/ds jK(s,t)dt  > 0
-•*      Wit
Če "bi bil ustrezni operator T zvezen, bi tudi za tak indeks ncK obstajal indeks m'tN z lastnostjo
Pn(Tx^ *<>A-<*) za vsak x t Lp (H). Pri dobljenem številu m't K si izberemo fun-
kcijo
1 1 \     it| > m'
«oo . / ° *  »*»*»:
Očitno je z € Lp (li) in zanjo velja p '(z) = 0 ter po zgornji oceni tudi p (Tz) = 0. Če to vrednost izračunamo direktno, dobimo
P„(Tz)2 = /ds /K(s,t)z(t)dt L /ds/K(s,t)dt > 0
kot smo ugotovili zgoraj, čeprav je indeks m' še tako velik. Torej operator T ni zvezen.
Vzemimo sedaj zvezen operator T, ki preslika prostor Lp0C(!R) vase, vektorje iz podprostora Lp(E)  vrača nazaj v lp(R) ter naj ima nenegativno jedro K(s,t), Potem po prejšnji trditvi to jedro zadošča pogoju (4,2.1), Njegov a-adjungirani operator T ima očitno za svoje jedro K(t,s), ki je sicer tudi pozitivno, v sploš-nem pa ne zadošča več takemu pogoju. Operator T je torej lahko na podprostoru S = Lp(R) zvezen, vendar ga ne moremo razširiti na ves prostor X =  Lp  (H) do zveznega operatorja.
_ 45 -
Ker imamo za vektorje iz množice S definirane polskalarne produkte ( t )<* in skalami produkt < , > , dobimo preko trditve 1.26 še eno ekvivalentno definicijo a-adjungiranega operatorja.
4.2.5 TRDITEV Kaj bo operator TcJfg(X), kjer je E Hubertov podprostor K-lokalno konveksnega prostora X, potem je
if
T    a-adjungiran operator k operatorju T natanko tedaj,  ko
za vsak L>0 obstaja tak c<0ć4 ,  da velja
|(Tx,y)«   -  U9T*7Xt I   * fc                              (4.2.2)
za vsak <* Zot9 , pri čemer sta x,yeE.
Dokaz. Naj bo T a-adjungiran operator k operatorju T, se pravi velja : ^Tx^/1 = <x,T y> za poljubna x,yeE. Izberimo si poljuben L> o, potem po trditvi 1.26 obstajata taka indeksa tf, in oćp iz 4, da velja
|(Tx.y>« - <2x,y>l < L » *§*i                             (4.2.3)
ICxtT*yi, - (xi<2*y>i<€   ,*3«2                           (4.2.4)
za poljubna x,yeE. Naj bo oc c4 skupni naslednik indeksoma o1, in Oi2i   potem velja
|(!Er,y3w - (x,T*y)*l= /(Tx,y)* - <'lx,y> + ćxt?!*y>  -
- <x,T*y)J <¦    2 L
če je le <X > oć . Torej^ velja res pogoj (4.2.2). Vzemimo še ob-ratno, da za operator T velja ta pogoj pri poljubnem L ~>0. Za izbrani f?0 zopet po trditvi 1.26 najdemo taka indeksa a-, in/Xp, da veljata oceni (4.2.3) in (4.2.4). Pri poljubnih x,y^S
- 47 -
potera lahko zapišemo
za vsak OX > y,, kjer je oćz zopet skupni naslednik indeksom oć , ei, in ot^« Ker 3e L>G lahko poljubno majhen, velja
<^Tx,y> = <x,T*y>
za vsaka x,yé E in je T res a-adjungiran operator k T.
S prvo definicijo adjungiranega operatorja nismo preveč zadovoljni. Najprej jo lahko uporabimo le za operatorje iz *LV(X), a-adjungirani operator T pa je definiran le na podprostoru 3 in se ga v splošnem ne da razširiti na ves prostor X. Zato bomo poskusili še na en način definirati adjjungirani operator k operatorju Tt^rf(Z). Kaj bo torej T..é«L('x) in vzemimo poljubne elemente x,y é X in <*ć4 . Potem je za fiksen yeX funkcional (Tx,y)„; linearen in ker velja
l(T3t*y)*| LP*(y) p*(Tx) é P*(y) ^p^(x)
tudi zvezen. Vprašajmo se, kdaj obstaja element yQéX, da velja
($x»y>o< = O»y0)*
za vsak xeX in vsak *éâ.   Če K-lokalno konveksen prostor določa Steven sistem polnorm, po izreku 3.2 dobimo zđ vsak <**L  element y^feX z lastnostjo: ('üxjy)^ = (x,y„)„ » Lahko se zgodi, da je element y«, neodvisen od-indeksa ^'^d in je enolično določen. Iz izrekov 2.12 in 5:«2 sledi, da se to zagotovo zgodi v splošnem K-I0-kalno konveksnem prostoru, Če ima za vsak xtX in -ve4 množica x + {zç&, (Tz,7)^=0j lastnost H.
- 4-8 -
Xadar je torej z nekim elementom ytX preko zgornje zveze določen natanko en element y t  X, ga bomo smatrali za sliko elementa y z nekim operatorjem T . Postavimo definicijo:
4.?.4 D"J7iriCIJA I"aj bo Tć*L(X). če obstaja tak operator T , da velja za vsak olé  in polj^bra x,ye X zveza
(Tx,y)* = (y,T°y^                                       (4.2.5)
ga imenujemo b-adjungirani operator operatorja T.
Iz definicije je očitno, da je T definiran na vsem X in je linearen operator. Delava je v tem, da za vsak operator ne obstaja nujno b-adjungirani operator, kot bomo videli pozneje.
če vzamemo za X splošen H-lokalno konveksen prostor in operator T iz if(X), ne moremo niti dokazati zveznosti operatorja T0. Dobimo le, da za vsak xtA  obstaja indeks p»*4, da velja
P*(?°x)2 ^ C^(x) pp(T°x)                             (4.2.6)
Zares, ker je I iz ié(X), velja: p^CTx) L: GÄpw(x) za vsak x^X in če v relaciji (4.2.5) postavimo x = T y, dobimo
pf(.:°y) = (TT°y,y)^ f Pw(TT0y)Pot(y) - Cj^y^fy)
Zveznost operatorja  i?    bomo  lahko dokazali v dveh primerih. Frvi  je,   če   je operator T1 iz   ^f   (X),   se pravi velja
pjrx) ^ C^Pot(x) za vsak xt.(.   Tedaj  zgornja ocena preide  v
vlU°7) t qtPu(y)p,(L1°y) Ce   je yeX tak element,   da  je  paC(ilry)>öj   je  očitno  pobem
- 49 -P^0?) t cwP(.<y)
će pa je element y tak, da je p« (T y) = 0, je ta ocena trivialno izpolnjena. Torej smo dokazali
4.2.5 PRDI DSV Če je operator T L LAX)  in zanj obstaja b-ad-jungirani operator T°, je tudi T0L j^f (X).
Zveznost operatorja T bomo lahko dokazali še v primeru, da topologijo našega H-lokalno konveksnega prostora definira le Steven sistem polnorm. Ker je po predpostavki naš prostor poln, imamo v tem primeru Fréchetov prostor, v katerem so polnorme definirane preko polskalarnih produktov. Takemu prostoru bomo rekli tudi H-Fréchetov -prostor. DokaSimo najprej naslednji ponosni izrek, ki je sicer znan za Hilbertove prostore.
^.2.6 LEMA Naj bo X H-?ré*chetov prostor in A linearen in povsod definiran operator v njem. Naj obstaja še povsod definiran operator 3 z lastnostjo
(Ax,y)* = (XjBy)*                                         (4.2.7)
za poljubne x,y^X in &.G-U»  Fotem je operator B zvezen v smislu
p*(Bx) < %vj^)                                            (4.2.S)
Dokaz. Vzemimo poljuben indeks *.e$.  Kot vemo iz trditve 1.18, je izotropna množica 3vt   zaprt podprostor v X in ker je le-ta po predpostavki Fréchetov prostor, je tudi faktorski prostor Xrf = X/J* Fréchetov prostor ([s]). Kaj bo xéJ^   iu y = Ax, potem iz zveze (4.2.7) dobimo
p^(Ax) = (x,BAx)w- ^ p*(x)p«(3AsO - 0
- 50 -
torej je tudi Ax*'J* . Vzemimo še yfu\ in x = By. Ka analogen način dobimo tudi 3yeJ^. Tako lahko na faktorskem prostoru XÄ definiramo operatorja AÄ in B« : X^t-^X^, ki elementa Ç = x + J^ oziroma **? = y + J* preslika v elementa A^fc = Ax + Jx  in B^ = = Bx + J* » Očitno sta operatorja A* in 3« linearna in definirana na vsem XÄ. V tem prostoru imamo tudi pravi skalami produkt
<^ i\h   =   (xfy)tf
kajti iz ^»V>w ¦ O sledi (xjx)^ = O ali xéJ^ oziroma % =  O. Relacijo (4.2.7) v prostoru X^ zapišemo v obliki
Ker je X^ Frechetov, torej poln s skalarnim produktom ^ , >^ , je Hubertov prostor, v katerem pa tak izrek velja (gl.[l]). Operator B,* je potem omejen
Če to oceno zapišemo v prvotnem prostoru, to pomeni
kar smo želeli pokazati. Sedaj ne bo več težko dokazati zveznost operatorja T°.
4.2,7 KOHOLS   Ce je X H-Frechetov prostor in za operator TeaÉ(X) obstaja b-adjungirani operator T , potem je ta zvezen v smislu
p^CT^é C^(x) , x*X
Zares, ker je T b-adjungiran operator k operatorju T, velja : (ix,y),x ¦ (x,T y)^ in po zgornji lemi je operator T res zvezen
- 51 -
v smislu (4.2.3).
Haj pripomnimo, da v zadnjem primeru nismo zahtevali, da je že operator T zvezen v takem smislu. Toda hitro se lahko prepričamo, da je v resnici tudi T zvezen v smislu (4.2.8). V definiciji operatorja T vzemimo v = Tx in dobimo
p2(Tx) = (x,T0rx)^ L p^x^p^Tx)
in zopet po enakem sklepu kot v dokazu trditve 4.2.5 dobimo
px(Tx) L- C^x)
Ugotovili smo torej
4.2.8 KOROLAR Če je X H-Prechetov prostor, operator Té%(X) in zanj obstaja b-adj ungi rani operator T , potem je tudi operator Te^CX).
Da res za vsak operator T&^Cx) ne obstaja b-adjungirani operator, bomo videli na naslednjem primeru.
4.2.9 FRIKSR Kaj bo X = l|oô(E) in T integralski operator
oblike
s
e~sie_tx(t)dt  ,  8t0
-Ie
i   0
(Tx)(s)
, s <0
potem je T zvezen, povsod definiran operator, za katerega b-adjungirani operator ne obstaja.
Naj bo x(t)eJ*jjpa(E)# potem je
pf(Tx) = Jdse-2s'/e-tx(t)dt/2 U  ./e_2sds JV2tdt.
«       ó                     0                                           e                    Q
,/|x(t)f cit = C.p^Cx)^
- 52 -
Torej je operator L definiran na vsem prostoru in je zvezen celo v smislu (4.2.3). Vzemimo elementa x,yLLp  (K) in izračunaj-mo
(Tx,yL = /e"sy(s)ds/e"tx(t)dt =/e_t:x(t)dt / e~sy(s)ds =
w                                     0                                                                                        3C
= /e"sx(s)ds/e~ty(t)dt = (*,&*)*
kjer je
/ e~s /e_ty(t)dt  ,  t% 0 y * = 1
[ o                          , t<0
Če vzamemo drug indeks p>*4=IT, dobimo ustrezni element yft . Pri tem je vsak element y določen le do množice J^ za poljuben X. Če bi obstajal b-adjungirani operator T°, bi pri istem ye Lp  (E) morali dobiti en sam element y kot skupen presek vseh množic oblike y * + J^:
Toda za si < f*  imata taki dve množici v splošnem prazen presek. Vzemimo y(t) = e  € Lp  (?-), potem je zgornji element
y,
:¦(
e"se^-l  ,  s>0
s   [0       ,  s< 0
v kar se ni te"ko prepričati. Če bi množici y^ + J^ in y^ + Zp imeli nepraaen presek, bi obstajala elementa zÄ(s)*J^ in z^Cs)*" L Ja z lastnostjo
Pri tem je zaradi
»«L*<»-**? é P*(z<*) + P* (O ž  P^(2/») = ° Lo drugi strani pa bi bilo
- 53 -
p2(vO = pf<y*-yj) = (eft-e0<Kl-c-2>)/2 >0
kar je v nasprotju z zgornjim.
Videli smo : ce je operator Jt^ (X) in operator T obstaja, je tudi T°e gf_(X), če pa je T splošneje zvezen - Tt^CX) in operator T obstaja, lahko njegovo zveznost dokažemo le v primeru H-Fre'chetovega prostora. Tedaj je T kot tudi T iz^ (X). Zato označimo z dC(X) množico operatorjev iZjf0(X), za katere obstaja b-adjungirani operator. Naj še enkrat poudarimo, da lahko obstaja tudi za operator Tt-^(X)\^Q(X) b-adjungirani operator T°, vendar ni nujno zvezen.
Na oba načina kot smo uvedli adjungirani operator, lahko definiramo tudi sebiadjungirane operatorje.
4.2.10 DEFINICIJA Operator A*#V(X) je a-sebiadjun^-iran, če velja
<Ax,y> = <x,Ay>
za poljubna x,ytS. Hnožico a-sebiadjungiranih operatorjev bomo označili s^7/(X).
4.2.11 DEFINICIJA Zvezen linearen operator A, ki deluje v H-lokalno konveksnem prostoru X, je b-sebiadjungiran, če velja
Ux,y)w = (x^Ay)^
za vsak otéu  in za poljubna x,v<±X.
V primeru, da je prostor X H-Fréchetov, je po izreku 4.2,5 vsak b-sebiadjungiran operator A iz množice ^(X), v splošnem E-lo-kalnem prostoru pa to ni nujno res. Označimo s,5((X) množico
_ 54 -b-sebiadjungiranih operatorjev iz S^f (X). Tedaj velja inkluzija
Oglejmo si, v koliki meri sta si v zvezi a-sebiadjungirs.ni in b-sebiadjungirani operator.
4.2.12 TIID1TEV Naj bo XjH-lokalno konveksen prostor in E Hilbertov podprostor v njem. Če je operator Te^.,(X) b-sebi-adjungiran, potem je tudi a-sebiadjungiran.
Dokaa. Naj bo torej Tć^ (X) b-sebiadjungiran operator. Vzemimo poljuben xL5 in upoštevajmo zvezo (1.8)
4<:?x,x>-4<x,Tx> = 2i/|Tx+ixj2-2il|Tx-ixfl2 = = 2isup[(Tx,ix)(i-i(Tx,x)^+i(x,?x)^+(x,x)J -- 2isup[(Tx,Tx)(X+i(?x,x)p(-i(x,Tx)rt +(x,x)j = 0
Torej je vrednost skalarnega produkta <^Tx,x^ za vsak xO realna. Ker je E Hilbertov prostor, je Tir, sebiadjur.giran operator v njem, kar pomeni T ć ^-^(X).
±j
Oglejmo si nekaj primerov operatorjev v prostoru X = Lp  (F.)
4.2.15 FHIKER Naj bo T integralski operator v prostoru X =
L2°°(R) z jedrom
f  e"se"t  , 0 é s/2 ž t ž 2s K(s,t) =
L O      ,  drugod
Tedaj je T zvezen, preslika vektorje iz E = Lp(P) nazaj in . je a-sebiadjungiran, ni pa b-sebiadjungiran operator.
Hitro se lahko prepričamo, da velja za poljuben zitfl= A. Torej je operator T res zvezen in iz zgornje ocene sledi, da
-55-
preslika  elemente   iz  Lp(3)  vase.   Za poljubna x,ytLp(R)  velja
<Tx,y)=j7Cs)dse"St/e"txCt)dt=yx(s)e~sdsye"ty(t)dt = <x,?y>
torej je operator T a-sebiadjungiran. Ta operator pa ni b-sebi-adjungiran, kajti če vzamemo recimo elementa x(t) = e in y(t)= = te iz Lp0C(î:;)» imamo
»t       iS
(Ix,y)n = Jsese sdsje~tetdt = n5/2 medtem ko dobimo
VI                             ti
(x,îy)n  = J'ese"sdsye~ttetdt  = 5n5/S
4.2.14- PRIMER Naj bo T integralski operator v prostoru X = = L2°C(R) z jedrom
j eset ; (s,t)*M = (J ( [i,i+l] * [i»i + 1J ) K(s,t) =/                                       -o
t- 0   ; drugod
Potem je operator T zvezen in b-sebiadjungiran.
Ker velja ocena
-M                                                                                                         *    ¦*      ¦»
p^(Tx)=/e2sdsiJetx(t)dt|2 L Je2sdsje2tdt. jx(t)|2dt - Cnp2(x)
kjer smo z R označili množico točk L(s,t), s=konst.j, je operator Te^ (X). Hitro se lahko prepričamo, da zanj velja
(Tx,v)n = (x,Ty)n
za vsako naravno število in je torej primer b-sebiadjungiranega operatorja. Če vzamemo x(t) = e~ t Lp(R), je
s
(*><«>-{ g   ;  L;o
- 56 -
ki pa očitno ni več iz podprostora Lp(R). Zato tudi ne more biti a-sebiadjungiran operator.
4.3 Nekatere lastnosti ad .jun^i ranih operatorjev
Ogledali si bomo nekaj lastnosti adjungiranih operatorjev, pri tem bomo obravnavali kar vzporedno a-adjungirane operatorje, ki jih lahko definiramo za operatorje iz jLE,(X) in b-adjun-
_ ji
girane operatorje, ki obstajajo za operatorje iz LL(X).
Dokažimo najprej tri pomožne izreke, ki jih bomo kasneje rabili.
4.3.1 LEMA Če za operator TL^(X) velja
(Tx,x)* = 0 za vsak x&X  in za vsak indeks ottu  , je T = 0.
Zares, ker je tudi (T(x+y),x+y)0( = 0 za vsak ocć^ , dobimo
Cttx,y)« + (TyjxX, = 0
in če v tej relaciji element y zamenjamo z iy, dobimo še
-i(Tx,y)„ + i(Ty,x)rf = 0
kar nam oboje skupaj da : 2(Tx,y)Ä = 0, Od tod pri y = Tx dobimo
p^CTx) = 0
za vsak tftA ali Tx = 0. Ker je bil element xtX poljuben, je T res ničelen operator.
4.3.2 K020LAR Če sta operatorja S,rLiL(X) in velja
- 57 -
za vsak xeX in za poljuben indeks v<LU,   je S = T.
Dokažimo še podoben izrek za operatorje iz ^-.7(X).
4-.g.3 L»iA če je podprostor 3 v H-lokalno konveksnem prostoru X gost in za operator T4^?(X) velja
<^Tx,x) = 0
za vsak element x^E, potem je  T = 0.
Dokaz. Na prav enak način kot zgoraj dobimo /l Tx H = 0 za poljuben vektor x<=3, kar pomeni Tx = 0 za vsak xe3. Ker je 2 gost podprostor prostora X in operator T zvezen, je X = 0.
Dokažimo sedaj nekaj lastnosti adjungiranih operatorjev.
4.?.4 TRDITT/ Naj bosta operatorja S,Tć^E(x), potem je tudi \S  + ^Tc JLE(X) za poljubna A,aL C (ali R) in velja
za vsak xt3.
Zares, ker sta operatorja S in T zvezna, velja pri poljubnih, elementih x,yeX
Pot(a3+^T)x) ^ IA(ClP^(x) + I^IC2p^(x) é ('At Cx+ /<k!C2)P/(x)
kjer je Jć-4 skupni naslednik indeksoma p> in ^ . Iz te ocene sledi, da je tudi operator %$ + M,3! zvezen» Če vzamemo vektor x e 3, je očitno tudi element ASx + a*-Tx iz 3. Izračunaj-Cio še
- ss -
<f(Aâ^T)±,y> - <x,}o*y> + i^x.p y> = <x/AS%>v*)7>
od koder uvidimo veljavnost zgornje trditve.
Podoben izrek dobimo tudi za b-adjungirane operatorje:
4.3.5 TRDIT5V ¦ Naj bosta operatorja S in T iz ^*(X), potem je tudi operator \S + «LI iz $L*(3t3 in velja
(A3 + UT)° =^S° + *T°
Dokaz. Ker sta S in T zvezna operatorja in iz množice Lf (X), imamo v zgornji oceni o< ¦&=$;
p^cas+^x) ž cm c^+i^te^) P(X(x)
kar pomeni, da je tudi operator Xs  + alT iz a? (X). Ker za poljuben indeks «e*Q velja
((^3^T)x,y)Ä = (x,ls°y). +(x,p°y)u( = (x, (ÂS0+^T0)y)^
tudi za operatorja +^T obstaja b-adjungirani operator in je enak operatorju Xs°  + «-T0.
Videli smo, da za operator T L af^CX) ni več nujno, da je T definiran na vsem prostoru X, Očitno pa je, da elemente iz pod-prostora E preslika nazaj v E in da je tam zvezen celo po normi Il II. To vidimo, če v definiciji a-adjungiranega operatorja
<?x,y> = <x,T*y>
m* vzamemo x=T y m ocenimo
- 59 -
<T*yfl2 = Oe'V.'i'V) i il öVwi L¦ ti :*y||.C/|y|l
Za operator T lahko definiramo adjungirani operator na običajen način v Hilbertovera prostoru E. bastane vprašanje, kakšna je zveza med operatorjem T      = (T ) in prvotnim operatorjem T.
4.5.6 TRDITEV Naj bo operator T iz JdVOO, X H-lokalno konveksen prostor in podprostor E, ki smo ga definirali z (1.7), poln. Potem velja
41* T x = Tx
za vsak xfS. Če je podprostor S tudi gost v X, je operator T edina zvezna razširitev operatorja TA na ves prostor X.
Dokaz. Iz definicije operatorja T  sledi
kar pomeni, da je <"(T -T)y,x) = 0 za poljubna x,y*3, torej je za vsak xčE T* x = Tx. Če obstaja zvezna razširitev operatorja T** na ves prostor X, se na podprostoru E ujema z operatorjem T, kar po lemi 4.3.3 pomeni, da se z njim ujema na vsem prostoru X.
4.3.? TRDITEV Naj bo operator T iz iL*(X) in T° njegov b-ad-jungirani operator. Potem velja
Too = j
Dokaz. Ker je operator T iz iL (X), pomeni, da njegov b-adjungi-rani operator T obstaja. Za operator T° očitno tudi obstaja b-adjungirani operator, kar sledi iz zapisa
-  60  -
(T°x,y)^   =   (x,Ty)^ in  je  enak  (T0)0  =  T.
4.3.ž  TRDITEV    Če   sta operatorja S,T«^(X),   potem  je  tudi aWjJgCX)  in velja
(ST)  x =  T Sx za vsak x*E.
Dokaz. Ker sta operatorja S in T zvezna, velja
Pa!(STx) * ^P[l,(Tx)i CxCfp3.(x)
Torej   je  tudi  operator ST zvezen in Če  vzamemo xtE,   je  Tx^E in tedaj  tudi  STxtE,   torej   je  STejL (x).   Vzemimo poljubna x,y*E, potem  je
<STx,y> = <Tx,S*y> = <x,tVj)
*   *¦ ¦* od koder sledi (ST) = T S . Podobno dobimo :
4.3.9 TRDITEV Če sta operatorja S,Tt^*(X), potem je tudi operator S5?*"<€ (X) in velja
(ST)° = T°S0
Zares, iz relacije
(STxtf)j   = ('Tx,S°y^ = (x,T°S°y)c,
sledi trditev neposredno.
4.3 .10 p;': DI TE V Identični operator I je iz množice jLT(X) kot tudi iz množice «L, (X) in je hkrati a-sebiadjungiran in b-sebiadjungiran operator.
- SI -
Dokaz je trivialen in ga opustimo.
4.5.11 TR DI TSV Na;j bo podprostor E poln in naj bo operator Te^,(X) tak, da obstaja njegov inverzni operator T- in je tudi 9T tfflfgCî)« potem velja
(T_1)*x = (T*)-^
za vsak x*E.
Zares, ta trditev je prevedena na Hilbertov prostor E, za katerega velja tak izrek. Naj le še opomnimo, da iz pogoja, da operator T preslika elemente iz podprostora S nazaj v E, ne sledi taka lastnost tudi za operator T- .
4.5.12 TRDITEV Naj bo operator T*L*(X) obrnljiv in če je tudi T_1^^\X), velja
(Torl m   (,rl)0
-i                                 j
Zares,   če   sta operatorja  T in T~     iz îjL (X),   po  trditvi  4.3.9 sledi
I   =   1°   =   (TT"1)0   =   (T"1)0!0
od koder sledi naša trditev.
4.3.15 KOROLAE Naj bo operator T^^X), potem je üTV^ (X) natanko tedaj, ko je (T°)~ čL  (X).
Dokaz. Operator T je iz ^L*(X) in če je üT^^X), je tudi (T"1)0^ e t.  (X) in po prejšnji trditvi sledi
d0)-1 = or1)0« iftx)
Če je (T )-1 §f (X) in ker je očitno T LjL(X), po zgornji trdit-
-  62 -
vi   za operator  r° razberemo
T-l u (Toori = (cfyi^tXv
Za a-adjungirane operatorje dobimo :
4.5.14 T1DIISV Naj bo E poln podprostor v H-lokalno konveksnem prostoru X in operator ']>jfn(X), potem velja
— 1                           * —1
a) če je T ^eJf^(X), je (T ) ' na E zvezen (glede na
normo * H)
* —1                                                                         —1
b) če je (T )  na E zvezen, je tudi operator (Ti-,)"
zvezen na E.
Dokaz. Če je T eL[r(X), je tudi (i" )  zvezen na podprostoru S in po trditvi 4.3,11 je tudi operator (T*)~ = (T" )  zvezen na E, Vzemimo še obratno, da je (T*)~  zvezen na E, potem po isti trditvi za operator T*dobimo: L[ ¦ (T**)" = ((T*)-1)* in je potem tudi operator TT  zvezen na podprostoru E, Fri tem smo pisali T-, = Tj-, in upoštevali T L = T
Oglejmo si sedaj še nekaj lastnosti a-sebiadjungiranih operatorjev, ki smo jih označili s %^(X)  in množico b-sebiadjun-giranih operatorjev iz prostora ^f (X), ki smo jih označili z
4.5*15 TRDITEV Množici^LE(X) in #(X) sta realna vektorska prostora.
Dokaz. Vzemimo A,3 0ćv(X) in X,A*E. Iz trditve 4.5,4 vemo, da je AA+.^Sef.,(x) in za poljubna x,y&3 lahko zapišemo
<(AA+^3)x,y> = ^x,Uy> + (x,L3y> = (x, (AA+^3)y) kar pomeni ^A+fc3LJL-,(X). Prav podobno se prepričamo tudi za
množico XCO •
4.3.16 rRDIJZV  Ce sta operatorja &.yB«3Lp,(]jL) (oziroma A,Be é^(X)) in komutirata med seboj, je tudi A30L,(x) (oziroma
AB^(X)).
Ta lastnost sledi neposredno iz trditve 4.3.8.
4.3.17 KOROLAH Naj bo P(A.) polinom z realnimi koeficienti, potem velja
a) če je A^F(X), je tudi P(A>* X«(X)
b) če je A^(X), je tudi P(A)*X(X).
Ti trditvi sta neposredni posledici prejšnje trditve, saj so potence Am ustrezno sebiadjungirani operatorji. Dokazimo Še pomožni izrek, ki govori, kdaj je neki operator A b-sebiadjungiran.
4.g.18 LZMA Naj bo X kompleksen E-lokalno konveksen prostor in operator At^(X). Potem je A b-sebiadjungiran operator natanko tedaj, ko je vrednost
(Ax,x)y
realna za poljuben x«X in &t& «
Dokaz. Vzemimo poljuben x*X in %čA   ter zapišimo identiteti
*(Ax,y)Ä = (AujU^-CAv^^ +i(Aw,w)ut-i(Az,z)a(
kjer smo zaradi krajšega zapisa pisali u = x+y, v = x-y, w = = x+iy in z = x-iy. Vsi oklepaji na desni strani so po predpostavki realni, zato na primer velja
- 64 -
(UjAu)^ = (Au,u.\< = (Au,u)^
in tako tuđi za ostale vrednosti. Torej sta tudi levi strani enaki
UaciT^ - (xiAy)^
za vsak indeks&cOi  kar pomeni ravno, da je A b-sebiadjungiran operator. Obratna trditev je očitna.
Oglejmo si še nekaj posebnih operatorjev, ki delujejo v našem H-lokalno konveksnem prostoru X.
4.3.19 DEFINICIJA Operator T iz kfE<X) imenujemo a-izometrljo, če velja
<Tx,Ty> = <x,y>                                                   (4.3.1)
za poljubna x,ye:E. a-izometrijo, katere zaloga vrednosti vsebuje množico E, imenujemo a-unitaren operator.
4.3.20 LSMA Za operator T iz ,^(X) je pogoj (4.3.1) ekviva-lenten pogoju
JI Tx" = H x|f ,  xtE
Dokaz. Naj velja zadnja relacija, potem je
4Re<Tx,Ty> = f!T(x+y)|/2-HT(x-y)|l2 = n x+y!/2-l|x-y/f2 = 4Re(x,y>
Če v tej relaciji zamenjano y z iy, dobimo tako enakost tudi za imaginarni del. Obratna smer je očitna.
4.3.21 DEFINICIJA Operator T iz ^(X) imenujemo b-izometri-jo, če velja
- 65 -
če je poleg tega se zaloga vrednosti operatorja T ves prostor X, imenujemo T b-tmitaren operator.
Podobno kot zgoraj lahko sapiseno Še ekvivalentno definicijo:
4.5.2? L JU Za operator T is $&(%)   je pogoj (4.3.2) ekvivalenten pogoju
p^IbO = Po((x) ; xeX,   oi€&
Ekvivalentnost  tega pogoja preverimo na enak način kot  zgoraj. Iz  zadnje  relacije   sledi neposredno,   da  za b-izometrijo velja T C %&(t) r\ seyCx) A |^(X).
5. SPEKiSR OPERATORJA
Spekter operatorja v H-lokalno konveksnem prostoru definiramo podobno kot v normiranih prostorih.
5.1 DEFINICIJA Število !X*Ç (ali E) je is resolventne množice operatorja T (J\LÇ>(i)) natanko tedaj, ko obstaja operator (T-il)- , ki je gosto definiran in zvezen. Spekter operatorja T je komplement resolventne množice (G"(T)=(ji(ll)c).
Dokažimo takoj naslednji pomožni izrek:
5.2 Llfl-IA Če je operator T zaprt in število A iz (^(i), je zaloga vrednosti operatorja (T-Al) ves prostor X.
Dokaz. Vzemimo ^é(S(i) in pokažimo, da za vsak yéX obstaja element x«X z lastnostjo (T-î\I)x=y. Ker je >é(C(T), je po definiciji <L.( i1-XIJ = X, od koder sledi, da za dani element yLX obstaja posplošeno zaporedje {x^-J^r , za katerega konvergira zaporedje ¦(TXj.-Ax^ k elementu y & X. Če označimo yf = ix -Axr in upoštevamo, da je operator (i'-.al)- zvezen, dobimo tudi konvergenco zaporedja /xf}:
lim xr = lim (p-AirV- = x jer     r*r        *
Ker je operator T zaprt, dobimo  (T-^I)x=y, kar smo želeli dokazati .
¦Sedaj lahko zapišemo:
5.5 L^I;A Za operator T iz ^(X) so naslednje tri trditve e'rvi-
valentne
(a) A*f(i)
- 6? -
(b)   (?-Al)  X obstaja, ST^ÖoT = X,   C^-AI)  -1
je zvezen
(c) CP-^i)-1^ ,^co
če je AtJ^J?), tedaj operator (T1-Al) ni iz -x,'(X), kar pomeni, da operator (T-AI)--' sploh ne obstaja, ni definiran na vsem X ali ni zvezen. Zato bomo ločili spekter na več podnnočic.
5.^ DEFINICIJA Množico točk \t€,   za katere operator (?-Al)~ ne obstaja, imenujemo točkast spekter in označimo s (Ti(I). Množico točk A<X, za katere operator (T-AI)-" sicer obstaja, je gosto definiran, ni pa zvezen, imenujemo zvezen spekter in označimo s Q"(T).  Množico točk A^C, za katere operator (T-AI)- obstaja, definiran pa je le na pravem podprostoru, kjer je sicer lahko zvezen, imenujemo residualni spekter in označimo s L7l(T).
Jasno je, da zaloga vrednosti operatorja T-Al ni nujno ves prostor X, čeprav vseskozi obravnavamo le operatorje, ki so povsod definirani.
5.3 LSMA Preslikava T-AI : X h» fL(I-AI)c X je natanko tedaj injektivna, ko A ni lastna vrednost operatorja T (AiLT (T))»
Dokaz. Če operator T-Al za neki ALC ni injektivna preslikava iz X v Ä(T-AI), obstajata elementa x-, ć  x2 2 lastnostjo
Od tod dobimo Tx = Ax, kjer je x=x-,-Xp/0, torej je A lastna vrednost. Yserair.o še obratno, naj bo A lastna vrednost operatorja T; se pravi obstaja x/0, da velja Tx = Ax. Če bi T-Al bila injektivna preslikava, bi za x-, in xP=x-,+x veljalo z-, =Tx-, -Ax-,/1'
- 68 -
p -XP-^x0 = z0. Joda razlika tali elenentov je z-,-s5 = i1x-Ax = = 0, kar pe protislovje.
Za sebiadjun^irane operatorje bono povedali kaj več o spektru. l:ri ten nam bo v pomoč naslednji izrek.
-¦. 6 IZ?3K    l\aj bo Y podprostor v ^I-ITrechetovero prostoru X. Fotem je Y gost v X  natanko tedaj, ko za vsak tea,   vsak sc-^Jj in vsak y*Y velja
Dokaz. Dokažimo najprej zadostnost zgornjega pogoja, Kaj Y ne bo gost v prostoru JÇ, potem obstaja element 2é XxY, različen od 0. Ker je T zaprt podprostor, obstaja po izreku 3.3 netri-vialen fukcional t  z lastnostjo
f(y) =0  za y L Y in  f(z) > 1
Ker je funkcional L zvezen, obstaja konstanta C >0 in indeks tf   L 4 z lastnostjo
Fo posplošenem Pdeszovem izreku 3-2 se ta funkcional da zapisati v obliki:  f(x) a (xt^X , xtY, Pri tem je indeks ^^^o in x . <L Jr . Od tod dobimo
(y,xf)f = f(y) = 0
sa vsak y<?Y,  medtem ko  je
(z,xr)f  = f (s) ->1
Tašli smo torej element x . 4 Cs- , ki je pravokoten r-lede na indeks -f na ves podprostor -'. ITaj se poudarimo, da indeks T ni en sam,
- 69 -
ampak to velja za vsak indeks ^>^" . Dokašimo So potrebnost agornjega pogoja, -rivzemimo torej, da Je T = X. Vzemimo, da obstaja tak indeks iiL<Lin element xfi Jv, da Je (x»*y)> ¦ 0 sa vsak y>Y. Ce Je x,tY, pri y = x * dobimo (XyjX^)^ = 0, kar pomeni x tJj . l'ore J more biti le x^<L Y. Ker Je Y gost v g, za poljuben L > D in naš f"^ obstaja elenent xVr, da velja
P^Cx^-x') <¦ L
Od tod dobimo
PYC%)  = (xy,xy-:Os* + (xtiX*)r  ^ P (xr)p^(xf-x')
Ker Je xy*Jr , sledi p (xr)<: L. Tri tem lahko pri istem xv izberemo s   poljubno majhen, kar pomeni
ali x ćJj-, kar Je v nasprotju s predpostavko. Kot posledico tega izreka dobimo:
5»? KOROLAg če Je Y gost podprostor v E-Fréchetoven prostora I, potem Je Y = {o}.
Dokaz. Če bi obstajal element x é Xj x é  0, za katerega bi veljalo
te&*\  = o
za vsak y*%  in vsak *t4 » bi zaradi pogoja H J« = (ö/ obstajal indeks Î, da bi bil x é Jr in tudi zanj bi dobili
(x0,y)^ = 0
kar Je v protislovju s trditvijo prejšnjega izreka.
Povezava med spektrom operatorja T in spektron njegovega
- 70 -
adjungirane^a operatorja ni tako tesna kot na primer v Hilber-tovem prostoru.
3*8 IZRZK Kaj D0 X H-Freche tov prostor in operator Tt^*(X), potem veljata trditvi :
1) če je V<j3(T) in je operator (T-Jll) e ^f (X), potem obstaja b-adjungirani operator ((T-A1)- )° in je^(=^(T°)t
2) Če jeleni?0) in je operator (T°-Äj )"i SföOO » po-tem obstaja b-adjungirani operator ( (I°-ÂJ)~" )° in je JjjfcÇCT)«
Do ka a. Naj bo JU^(T). Ker je operator Tt^X), je tudi T~XL4 e^(X). Operator (T-Al)  obstaja, je gosto definiran in zvezen. Iz leme 5*2 sledi celo $.(T-AI) = X. Za operator T-Al obstaja b-adjungirani operator, ki je po korolarju 4.2.7 zvezen, torej (T-Al) <f^f (X). DokaSimo, da tudi zanj obstaja inverzni operator. Vzemimo tak element yQ€X, da je (r-Al)°y = O, potem velja
((T-ADx,^^ = (x, ($-*!)%)* - O
za vsak x*X in j(t4. Ker je zaloga vrednosti operatorja T-Al ves X, izberimo x = (T-Al)- y in v zgornji relaciji dobimo : (y0»y0)oi = °* Ker to velja pri poljubnem dtk, sledi yQ = O, kar pomeni, da operator ((T-Al)0)" res obstaja. Dokažimo, da
je tudi gosto definiran. Če bi bilo&((T-AI) ) L  C, bi po izreku 5.S obstajal tak indeks itrča » da bi za vsak fZ^o   obstajal element x$4 fy   z lastnostjo
(x^,y)^ = O, y^((T-\:)°) se pravi
O = (x^,(T-H)°x^. = ((T-Al)x^,x)^
- 71 -
G© pišemo x = (T-XOx^, dobilo
pfC(T-AI)x-jO = 0
Ker je operator (T-Al)" definiran na vsem X in po predpostavki iz j (X), za poljuben dia  velja
pxCCT-^)_1x) g  C^p^fx)  , xcX
kar lahko pišemo tudi v obliki
P*(y) i C,Po/(T-AI)y)     ,  yfex V posebnem za « = T in y = x^- dobimo
kar je v protislovju z xy 4-Jf.   Torej   je  tudi dU(r-ai)0) gosta množica v X in ker je  operator  (T-Al)0  zvezen,   zopet po  lemi 5.2 sledi &((T-AI)°)  =  X.   V relaciji
((T-M)x,y)^    =   (x,(r-XI)°y)^   ;   x,yeX,
tedaj smemo pisati (T-^I)x = v, (i-^l)°y = u pa dobimo
(v.cct-ai)0)-^ = (Caj-Äirxvfu)w
za vsak oLcA  in poljubna u,veX. To pa ravno pomeni, da za operator (.!&-%L)" obstaja b-adjuna'irani operator in velja
C(T-XI)"1)0 = ((T-AI)0)-1 = (T°-*l)_1
Ker je prostor X H-Frechetov, zopet iz eksistence b-adjungira-nega operatorja ((T-AI)" )° sledi njegova zveznost. Torej tudi operator (T -XI)       obstaja, je definiran na vsem X in je zve-
tiO
zen, se pravi AL^(f ).
- 72 -
Vzemimo še , da je .U^(li0), se pravi operator (i°-âl)  obstaja, je gosto definiran in zvezen. Ker je tudi operator T° zvezen, je T°LeL*(X) in tudi 3p-3l« L*(X). Sedaj na isti način kot zgoraj ugotovimo, da je A,=Ać<<p(r  ) = (Ç(r), s čimer smo dokazali izrek.
Vzemimo še operator TéLfT(X). če je AćCCT), operator (T-XI)" obstaja, je definiran na vsem X in je zvezen, če je podprostor
E poln, je po trditvi 4.1.6 operator (T-AI)-  zvezen tudi v
smislu norme na E. Ni pa nujno, da podprostor E preslika nazaj
v E. Kaj bo E poln podprostor, torej Hilbertov in z <P,r(S) osna-
' -tj
čimo resolventno množico operatorja S v njem, definirano na običajen način. Če je operator 3?*«L-p(X), AcÇ(T) in operator {T-XL)"    preslika podprostor E nazaj v E, je očitno tudi ,\4
eÇE(T|E).
5.9 TRDITEV Naj bo E poln podprostor v H-lokalno konveksnem prostoru X in operator TéL7(X), potem velja
Dokaz. Naj bo ^e^-,( t|f) , se pravi za operator 8 = TU velja : (S-ll)" obstaja (na S), preslika E nazaj v E, je na E po normi zvezen in je gosto definiran. Adjungirani operator v običajnem smislu C(S-ll)*" )  je tudi definiran na vsem E, preslika podprostor E nazaj vase in je tam zvezen. Fo trditvi 4.3.11 je
za vsak xéi, torej JUÇJ^CS*) = Ç^(T*).
Naj bo še JU'CL3? )« potem po istem sklepu kot zgoraj za operator 0?* dobimo ItpE(i**) * f gOPlg)-
-75 -
Oglejrao si malo pobliže spekter sebiadjungiranih operatorjev.
5.10 IZREK Kaj bo operator Ać-;LT(X) a-sebiadjungiran, potem so lastne vrednosti, ki pripadajo lastnim vektorjem iz podprostora E( realne. Za dva lastna vektorja x,y«E, ki pripadata različnima lastnima vrednostma, velja
<x,y> = 0
Dokaz. r;aj bo torej Az = A z in ztE, potem velja
;x^z,z> =<az,z> = <Az,z\>tE
Vzemimo še dve različni lastni vrednosti Ä /a z lastnima vektorjema x,yeE :
Ax m Xx   , Ay =Lj   ; x,y*E
potem velja
(4-<u)<x,y> = <Ax,yWx,fy) = < Ax,y)-(x,Ay> = 0
kar smo želeli pokazati.
5.11 DISKUSIJA .Operator At^:(X) ima lahko tudi lastne vektorje izven množice S, za take primere ne moremo ničesar re-ci.
5.12 IZREK Naj bo A« L(X) b-sebiadjungiran operator, potem so njegove lastne vrednosti realne. Za lastna vektorja x in y, ki pripadata različnima lastnima vrednostma X /,M- , velja
x JL y
Dokaz.   I-rav tako  kot  zgoraj ugotovimo  X(z,z) ćH,   za vsak   &LÄ
_ 74 -
in tudi (A-k)(x,y)^ = O pri vsaken \t4, kar poneni xi y.
Ker imajo b-adjungirani in b-seoiadjungirani operatorji nekako lepše lastnosti kot a-adjungirani operatorji, bono odslej v glavnem obravnavali le prve.
/.l'y  I--^-A I"aj bo operator A iz SĆ(X) b-sebiadjungiran in X H-?re'chetov prostor. Foteia veljata trditvi:
a) če je X  lastna vrednost operatorja A, tedaj množica &.(A-Al) ni gosta v X,
b) če množica ÓL(A-Al) ni gosta v X, obstaja indeks $ eâi da za vsak "L">•L    obstaja element x^ f Jy s lastnostjo
pf(AxT-Axy) ¦ O
Dokaz. Če je X   lastna vrednost, obstaja element z ^ 0, da velja Az =\z.  Po prejšnjem izreku je .A realno število in ker je
(zjAx-Ax)^ = (Az-Az,*)^ = 0
za vsak x e X, je element zJL^(A-Al), kar po korolarju 5*7 pomeni: množica <&(A-A-) ni gosta v X.
Dokažimo še drugo trditev, naj &.(A-JiI) ne bo gosta množica v a, potem po izreku 5«i obstaja indeks tj*%  da za vsak ^ > f dobimo element x 4 J*, z lastnostjo (xT,y). = 0 za vsak y iz &(A-AI). Torej je  (x4,Ax-Ax)^ = 0 za vsak x LX, kar pomeni (Ax -Ax,,x)o. = 0. če vzamemo x ¦ Ax -Ax., dobimo
Pf(Axr-AxY) = 0
kar sno želeli dokazati.
Sedaj lahko dokažemo lepo lastnost b-sebiadjungiranih operatorjev.
- 75 -
S. 14- IZR.SK Spekter zveznega b-sebiadjungiranega operatorja, ki deluje v H-Tréchetovem prostoru, je realen.
Dokaz. Naj bo At^E(X) b-sebiadjungiran operator in naj bo X = = I +in)  ( 1J é  0) poljubno Število iz spektra. Iz izreka 5.12 vemo, da tedaj X  ni lastna vrednost, kar pomeni, da operator (A-Ji)" obstaja na &(A->I). Vzemimo poljuben element y*A(A--Jl), ustrezni x = (A-JI)" y in izračunajmo
P*(y) = P^(Ax-Ax) = p^bc-fx) - 2Im(Ax-^x,x)K + ^2p^(x) =
= pf(Ax-|x) +^2p|(x)
2      2 2 Iz te relacije sledi najprej ocena p^Cy)^ <*]  p (x), iz katere
dobimo
kar pomeni, da je operator (A-Al)-  zvezen na Ä(A-M). Doka-žimo še, da je zaklad vrednosti A(A-M) gost v X. Če ne bi bil gost, bi po drugi trditvi prejšnje leme obstajal indeks ~tfčL in element X*4šg   z  lastnostjo
p (Axt-Axf) - 0
Po drugi strani pa iz zgornje relacije pri ot = T  in x = x^ sledi
0   =   pf(AXY-*X, )    =   Pt(Axr-Lxf )    +   «2  PyCXy)
kar pomeni p (x^) = 0, kar je v nasprotju s pogojem x^Jf. Za nerealno vrednost J operator (A-JI)- obstaja, je zvezen in gosto definiran, torej število !\ ni is spektra.
- 76 -
5.1-3 TK3IJ5V laj bo operator ALj{(X) in X H-Pre'chetov prostor, potem je_Ać^(A) natanko tedaj, ko je A(A-AI) = X.
Dokaz. Naj bo torej operator AL^(X), se pravi je tudi iz prostora Sf (X). Sé je A^^Ca), to pomeni <ft.(A-Äl) = X in po lemi 5.2 Ä.(A-Jl) = X. Nekoliko več dela imamo z obratno smerjo. Kaj bo torej &(A-}I) = X. Če a ni realno število, je zaradi izreka 5»14-Aé?(A) in je trditev dokazana. Število \  tudi ni lastna vrednost, ker bi po lemi 5*15 v tem primeru bilo L(A--il) / X. Torej obstaja operator (A-3I)" , ki jo definiran na vsem X. Za poljubna x,ye:X obstajata elementa u,veX z lastnostjo (A-J\I)~ x = u, (A-XL)~  y = v in imamo
C(A->I)"1x,y)^=(u,CA-5»I)v)oL= ( (A-}I)u, v\ =(x, ( A-ÄI)"1?>*
To pomeni, da je tudi operator (A-Al)~ b-sebiadjungiran. Torej zanj obstaja b-adjungiran operator, ker je X po predpostavki H-Frechetov, dobimo iz leme 4,2.6 zveznost operatorja (A-Ai)"1 (velja celo (A-Jil)"1^ jf0(X) ), torej je JUf(A),
5.16 DISKUSIJA Poznano je, da v primeru Hilbertovega prostora sebiadjungiran operator nima residualnega spektra.
V" našem primeru se v tej smeri ne da nič reči, ker nam lema 5.13 ne da dovolj močnih zaključkov.
5.17 IZREK Naj bo X H-Frechetov prostor, potem je spekter b-sebiadjungiranega operatorja zaprta množica.
Dokaz. Dokazali bomo, da je resolventna množica Ç(A) odprta množica v ravnini kompleksnih števil. Vzemimo poljuben ^ L<Ç(A), potem obstaja zvezen operator (A-A.I)"" , definiran na vsem X. V dokazu izreka 5.15 smo videli, da je tedaj ta operator tudi
- Ti -
b-sebiadjungiran in iz .^(X), torej
za vsak xeX in oft4. Če je za neki x&/\   G,y = C, to pomeni p^((A-Vl)~ x) = 0 za vsak xeX, oziroma  (A-Al)^ = X. Ker pa je A-VI é ;^f0(X), velja (A-Xl)J^ C Ju, bi bilo to mogoče le v primeru J^ m  X, oziroma polnorma p^ identično enaka nič: px = 0. Torej je Cw> 0 za vsak o*t4 . če pišemo Dx = l/C* in y=(A~>I)- x, lahko zgornjo oceno prepišemo v obliko
Vzemimo sedaj tako točko AfeC, da velja /A -\j ir Fi D.y/2 in ocenimo
P(yCCA-^)y)^px((A-^ol)y)-U-^olpJy) ^ (Dc-D,J,/2)p^(y)=DxpL,(y)/2
Iz te ocene najprej dobimo, da je <&(A-JM) gosta množica v X. Kajti v nasprotnem primeru bi zopet po lemi 5.13 obstajal indeks $€&  in element Xj-^J^ z lastnostjo p^(Ax^.-\x,<-) = 0, kar je v protislovju z zgornjo oceno priot=S in y = x,*. Prav tako y, ne more biti lastna vrednost operatorja A, kajti tedaj bi obstajal element x ^ 0, se pravi pfc(x ) L  0 vsaj za en indeks {*>td in bi bilo p«(Ax -\x ) = 0 za vsak «.^4 ) kar zopet ni mogoče 2aradi zgornje ocene pri y = x in otwd« Obstaja torej inverzni operator (A-AI)- , definiran na gosti množici &(A-Al). Če v zgornji oceni zopet pišemo x = (A->I)y, dobimo
p^CU-XD^x) é K<p„(x)
kjer je K^ = 2/D«. Torej je operator (A-J\I)~ tudi zvezen, kar nazadnje pomeni Aép(A). Fino žica G'(A) je tako res zaprta.
6. STRUKTURA PROSTOROV gAX.)   IN JĆ*(X)
x. o
6.1. Topologije na algebri jL(X)
Vzemimo množico linearnih zveznih operatorjev v E-lokalno konveksnem prostoru X, ki smo jo označili z JL(X) in ugotovili, da je linearen prostor. Vpeljimo vanj topologijo preko omejenih množic prostora X, ki smo jih definirali v četrtem poglavju.
Označimo z Ji.   družino vseh omejenih množic našega H-lokalno konveksnega prostora X. Množica Jt  je z inklusijo delno urejena in usmerjena. Naj bo vir   neka poddružina družine ^.  Rekli bomo, da je družina t/zadostna, če velja
L/ M = X
Iz [l9J po vzemimo
6.1.1 IZREK Vsaka usmerjena in zadostna družina omejenih množic ^fc'ty  definira s sistemom polnorm
€f - {<ČW   = sup Poi(Tx);  Mftc/, 0164}
na prostoru eL(X) lokalno konveksno topologijo. ^L(X) je glede na to topologijo Hausdorffov prostor.
Če vzamemo za J*   družino končnih množic prostora X, dobimo tako imenovano šibko topologijo in prostor $L-(.&) s to topologijo označimo z ^_(X). Druga skrajnost je, da za ^V vzamemo dru-žino vseh omejenih množic prostora X in dobimo krepko topologijo. Prostor X s to topologijo označimo z ^^(X).
Za dano polnormo q ~e '\    in dana oneratorja S»I?é Jc(X) lahko
- 79 -
f.'                     V                           M
izračunamo vrednosti qÄ(S), q^C?) in q,ST), vendar ned njimi Se dobino v splošnem lepe povezave, kot je to primer v normiranih prostorih.
5.1.2 TTPr^V Maj bosta operatorja S,Tt^(X) in q» t f^ poljubna polnorma. Potem je tudi q~  ^ ^ ter obstajata nenega-tivni števili C^ , D, in polnormi q„% qj. eQ., da veljajo zveze
(1)  q^(ST) = q^°(3)
¦¦«
(2)  q^(S?) $ C„qL(S)
(3)  <^«3 i D^(?)
Dokaz. Ker je T zvezen operator, je tudi omejen in za Vit Ji  je tudi množica E(i*i) iz,^. Dobimo
q^(3T) = sup p^CSfe) = sup pv(Sy) = q^(H)(S)
Zveznost operatorja S nam da tudi oceno
q^ST) = sup pw(STx) t C,, sup p„(Tx) i CÄqli(?)
in prav podobno preverimo tudi zadnjo relacijo. Podobne relaci-
je dobimo tudi za vsako drugo družino polnorm Q/, kjer je Y ne-
ka usmerjena in zadostna poddružina družine-V.
Če za operator E iz LÜ(X) obstaja b-adjungirani operator T , prav tako ne dobimo kakšne dobre povezave med polnormami na njem in na operatorju T.
če sta S,P^-if(X), je tudi operator 3PL^(X). Hitro se lahko prepričano, da je <SC(X) algebra. Ker veljata v njej lastnosti (2) in (3), sta preslikavi S«-* ST in Č *-»: S3! ( eL (X) ^ .jL (x) ) zvezni. Množica -^(X) je z zgornjo topologijo primer tako imenovane lokalno konveksne algebre.
-  80  -
Če   se   borao  omejili  na  operatorje   Tt ^0(X)   in izbrali  primernejše   polriome   na  prostoru   V   (X),   bomo  dobili  ugodnejše rezultate.
6.g. Topologija na algebrah ^Q(X) in oC^jX)
Vzemimo najprej prostor operatorjev V (X), to je operatorje, ki so definirani na vsem X in so zvezni v smislu
PÄ(Tx) e C^PttCx) ;  SC«!, (Xe4                           (6.2.1)
V tem prostoru definirajmo topologijo s sistemom polnorm
P«(Tx)
qjT) = sup    nn                                              (6.2.2)
Očitno je zaradi (6.2.1) qÄ(T)^Cd(<oo in takoj se prepričamo, da je qÄ res polnorma. Prava norma seveda ni, ker iz q^(i) = 0 sledi le pw(Tx) = 0 za vsak x*X\J,y, za xcJ* pa iz (6.2.1) sledi Ex t 3U . Torej velja tedaj za operator T le ugotovitev &(?)C<Trfi Očitno velja tudi narobe, Če je &(T)c Ja , je q^Cr) = 0.
6.2.1 LEMA Ce je družina polnorm *P na prostoru X zadostna, je zadostna tudi družina polnorm Q na prostoru ktJLX)*
Dokaz. Naj bo operator TtJJfc(X) neničelen : i / 0, Potem obstaja vsaj en element xtX, da je Tx / 0. Ker je družina \J zadostna, potem obstaja vsaj ena polnorma pft f ^ z lastnostjo Pao (Tx ) >0. Pri tem je tudi Pa0(x )¦> 0, ker v nasprotnem primeru ne velja pogoj (6.2.1). Torej je x & X^C^     in imamo
- 81 -
. s      P*e(ftO  p^o(Px ) ***('r) = *%  T7Tx7 - Px (xnj > °
Torej nan družina polnorm Q definira na prostoru *L (X) neko lokalno konveksno topologijo, za katero je â?_(X) Hausdorffov prostor.
Dokažimo nekaj lastnosti dobljenih polnorm na prostoru $" (X)
6.?..2 L:,'[¦!A Za operatorje Te^f (X) in družini polnorm J in Q velja
p«(Tx) ^ q,(?)p,(x)  ; xtX, <**4                    (6.2.3)
Zares, najprej sledi ta ocena iz definicije polnorme qix(T) za vsak x*XNJ«, vendar velja zaradi pogoja zveznosti operatorja T (6.2.1) tudi za x'^.
6.2.g L2)MA Za operatorje TeLf (X) imamo dve ekvivalentni
o
definiciji polnorme q<jt(T) :
P*(Tx)       l(Tx.y)J
Dokaz. Očitno je q'(f) = sup i^ËM^L ^ q„(T), po drugi strani pa je najprej
KTx.y^l e qi(-i)pot(x)pQ((y)  ; x.ycXvJ,
in ta ocena očitno velja tudi za x,ye J. » Ce vzamemo y ¦ Tx, dobimo
P^CTx)"^ q^ (?)p*(x)p*(Tx}
Vrednost q^t'I1) se nič ne spremeni, če definicijo (6.2.2) popravimo tako, da izvzamemo tiste vektorje XéX, za katere je
- 82 -p^CTx) = O, torej
V kolikor je p^Cix) = O za vsak xtX, je qw(T) = 0 in gotovo velja q'^(T)2: q^C?). Smemo se torej omejiti na tiste xeX, za katere je p^C-Dx) ^ O. Iz zgornje ocene tedaj dobimo
od koder dobimo še obratno neenacbo
q^(T) * q; (?)
6.2.4- LEMA Za operatorja S,Tt ^ (X) in poljubno polnormo q* e Q velja
q^CST) é q*(S)q„(?)
Dokaz. Iz nenenačbe (6.2.5) dobimo najprej
p*(Sx) ^ q«(8)p«(x) P«(Tx) <  q^ClWx)
za vsak x*X,   od koder sledi  ocena
foÇSiEx) i   qv(S)p«(lx) §   qot(S)q„(l)pi,(x)
iz katere sledi potem naša trditev neposredno.
6.2.5 L.5MA Za identični operator I velja
q*(D = 1 za vsak ote^ .
Dokaz je trivialen.
- S3 -
o.2.5 I/.REK Množica operatorjev *3LAX)   te Slede na družino polnorm Q polna lokalno m-konveksna algebra.
Dokaz. Lokalno m-konveksna algebra je splošna algebra, v kateri Je definirana lokalno konveksna topologija z nekim sistemom polnorm [q),   za katere velja multiplikativni aksiom
q(ab) L q(a)q(b)
za poljubna elementa a,b iz take algebre.
Dokažimo, da naša množica ^ (X) izpolnjuje te pogoje. Če sta operatorja S,TL^ (X), potem velja
P«(STx) é C^p^C'Px) L 0ÄC; PqL(x)
torej je tudi STé ^0(X) in je ač-00 očitno algebra. Ker družina polnorm 0 definira na %L  (X) lokalno konveksno topologijo in za vsako polnormo velja lema 6.2.4-, je J^J (X) res lokalno m-konveksna algebra.
Vzemimo neko posplošeno Cauchyjevo zaporedje {Tri;c r    operatorjev iz Lf (X), se pravi: za poljuben L > C in poljubno polnormo q^e l  obstaja indeks S*QLf z lastnostjo
za cT , Ć" "2 ^ . To oceno lahko zapišemo v obliki
p^dVx - r,x)<LPa,(x)                                       (6.2.4)
za vsak x ć X \ J* in ëf | >#_• Ta ocena vel ja tudi za xL J», ker so vsi operatorji I^t ^ (X). Torej je pri poljubnem vektorju xćX posplošeno zaporedje {T^x} _ Cauchyjevo v prostoru X in ker je ta poln, obstaja limita. Definirajmo operator T s predpisom
- 84 -
Tx = lira T-x 7c C
Operator T je očitno linearen. Vzemimo poljuben element x^J,, , izberimo L > 0 in pišimo g* = ffpÄ(x)>ü. Totem za g' obstaja tak indeks eir  , da velja:  p (?.x - Tx) <l L* = <Tp^(x)  za vsak indeks f' > J '. Od tod dobimo za poljuben cil'  oceno
P*<Tx) U  Pol(2jX-rx)+p0((Tfx) e L P*(x)+ofPot(x) = C^p^Cx)
Za xt J^ je g^lx) = 0 za vsak $&T $  od koder sledi, da je tudi p^CTx) = 0. Torej lahko za vsak xeX zapišemo
Pot(Tx) é c; p«(x)
kar pomeni ravno Tć^f (X). Dokazati moramo le še , da zaporedje l^fiifC    konvergira proti operatorju T tudi v smislu polnorm q*. Vzemimo poljuben L,>0 in *L/]. Ker pri vsakem xeX zaporedje {T x| konvergira k Tx, obstaja indeks L¦,&(*,  da velja
Po,(T5x - Tx) < e1
za vsak Tg $V* S pomočjo ocene (6,2.4), ki velja za vsak x*X, dobimo za poljubni skupni naslednik 5" k indeksoma $    in S"-, :
pet(Tr,x-Tx)4pe<(i^,x-T,x) + pc,(T„x-Tx)<Lpot(x) + S1
Če je le tudi !'>j_* Ker je L-, poljuben, velja za vsak x« X : Po<( I,.x-Tx) L LPx(x), od koder sledi tudi za supremum
qa(Ty - T) - L
kar pomeni ravno konvergenco glede na polnorme qÄ,
Omejimo se še na posebno podmnožico operatorjev iz algebre SEL*001 to Ôe na razred operatorjev âCp(X), ki sno ga omenili v poglavju 4, 3a operatorje Tc-af-n(X) velja
- 65 -
P*XT3c) 4 S P*'x)                                       (6.2.5)
Torej je konstanta 0 neodvisna od indeksa oct4 . Kaj opomnimo, da je take operatorje, ki delujejo v splošnem lokalno konveksnem prostoru, omenjal T. Hoore v [12] in jih imenoval 4-končne operatorje.
Neposredno se lahko prepričamo, da je vsak ^-končen operator tudi omejen in preslika naš predhilbertov podprostor Z  nazaj vase. Za take operatorje lahko definiramo celo pravo normo
IIP// = sup {p*(Tx) i  ae«Xt*&ft, p*(x) - l)       (6.2.6)
kar sledi iz zveze
II T It = sup n«(T)                                            (6.2.7)
««ua
ki je ni težko preveriti.
Iz zveze (6.2.7) in leme 6.2.4 sedaj sledi:
6.2.7 131-IA    Za operatorje 3,T t ^„(X) in normo H H velja
(1ST« i  V.BIIXI                                                    (6.2.8)
4-končni operatorji tvorijo celo normirano algebro.
6.2.8 IZREK Množica 4-končnih operatorjev jL«(2C) je 3ana-chova algebra.
Dokaz. Očitno je množica Jjf«(X) algebra, v kateri imamo normo, za katero velja lastnost (6.2.8). Dokazati je treba le še njeno polnost. Naj bo ii/jytfr zopet neko posplošeno Cauchyjevo zaporedje operatorjev iz XV(X), potem je to zaporedje zaradi zveze (6.2.7) Cauchyjevo tudi za vsako polnormo qa:
- 86 -
Ker ja ^ (X) po izreku 6.2.6 poln prostor, obstaja limitni operator T, proti kateremu konvergira zaporedje {??}   glede na polnorme q^. Ce torej v zgornji oceni vzamemo dovolj "pozen" indeks S " i   dobimo
za vsak indeks J> J  in vsako polnormo 3*:LQ« Taka ocena potem velja tudi za supremum po vseh o<ć^:
Il îj - T II L L
kar pomeni, da je |Lj,(X) poln prostor.
Dokažimo sedaj se dva izreka v zvezi z<d-konenimi operatorji, ker ju bomo kasneje še rabili.
6.2.9 IZREK Naj bo X H-lokalno konveksen prostor in operator Téli^Cx) tak, da je I?IT<1, Potem operator (I-T)-1 ob-
30  k staja, je definiran na vsem X, je tudi d-končen, vrsta X.~
»¦<>
konvergira glede na operatorsko normo f it k operatorju (I-I1)" in velja ocena
/I (I - Tr1!! i 1/(1- ITII)
Bokaz. Oglejmo si zaporedje operatorjev
S =I+T+i2+...+în
n
Očitno je tudi 3 iz aÇ^ÇX) in ker velja
n+p   n    -k«    ^ je zaporedje f*3 } Cauchyjevo v normi prostora jL„(Z). Ker je
- 87 -
le-ta po prejšnjem izreku poln, obstaja limita
S = I + T + T2 +___
pri Semer je tudi &*^™(X3. Ker velja
ST = TS = T + T2 + ___
in
(I - T)S = 3 - TS = I
operator (I-T)" obstaja, je enak operatorju S in je definiran na vsem X. Tudi oceno za njegovo normo dobimo neposredno
llCl-T)_1ll ^ L;imik = 1/Cl-iTi)
Dodajmo še izrek o razsežnosti spektra operatorja Té^fX).
6.2.10 IZREK Naj bo operator T^ifF(X), potem je vsako Število X e  C, za katerega je Ili > It Tli, iz resolventne množice operatorja T.
Dokaz. Smemo se omejiti na netrivialen operator T ^ 0, tedaj
¦i
je tudi X r-  0. Tudi operator S = ¦=¦  T je tudi 4-končen in velja
fl S || = i, il T H ć  1
če zapišemo
WI-T)"1 = (I-kr1 = (I-S)"1
lahko po prejšnjem izreku sedaj ugotovimo, da je A*(©(T).
V" poglavju k-  smo imenovali b-unitaren operator tak operator JtJjfCx), za katerega sta veljala pogoja
CUx^.'y)^ = (x,y^ ;  x,y*X, xtu
- 38 -
in
&(ü)  = X
Če velja le prvi pogoj, srao govorili o b-izonetriji. Cglejmo si še nekaj lastnosti takih operatorjev.
6.2.11 TPD1TSV Vsaka b-izometrija U je 4-končen operator s normo JI U il = 1.
Dokaz. Uporabimo lemo 4.J.22
q<x(U) = sup  Cpot(Ux)/p0((x)) = sup  (p^(x)/p.x(x) = 1
kar pomeni: I) TJ II = sup q,x(U) = 1.
6.2.12 TRDIT3V Lastne vrednosti b-izometrije so po absolut-ni vrednosti enake 1.
Dokaz. Če je Ux = Xxy   imamo
(x,x)« = (Ux,üaLX< = C^i^oc)« = Ul2(x,xX,
o ali   (1- IX\   )(x,x)oi =0 za vsak aita , kar pomeni \X\   = 1.
6.2.13 TRDIT5V Za lastna vektorja x,y é X, ki pripadata različnima lastnima vrednostima b-izometrije, velja
x iL J Dokaz. Maj bo :  Ux = \x,  Uy = ^y in \ ć ^, potem je
in
(l-^Xx.y)^ = 0
- 89 -
za vsak indeks .*t<4, kar pomeni
oziroma  x JI y.
Seveda ni nujno, da ima unitaren operator b-adjungirani operator. Za tiste, ki imajo to lastnost, dpkažiao se dva izreka.
6.2.14- IZHA Operator Ufc^f (Z) je unitaren natanko tedaj, ko velja
Ü°ü = 1  ,  UU° = I
Dokaz, če je operator !JLisL*(X) unitaren, sledi
(U°bx,y)^ = (Ux,Uy)^ = (x,y)w
kar pomeni  U ü = I. Ker je tudi &(ü) = X, za vsak element x*X obstaja y«X z lastnostjo x = Uy in velja tudi druga relacija
UU°x = UU°Uy = Uy = x
Obraten sklep je še bolj preprost.
6.2.15 IZ~.h:k Spekter unitarnega operatorja tj€^*(X) leži na enotni krožnici.
Dokaz. Ker je tt U il = 1 in po lemi 6,2.3 tudi u U il = supqw(U )= = sup q„CTJ) = 1, po izreku 6.2.10 za vsako število JI , ki je
let
po  absolutni vrednosti nad  1,   velja XttyC^)  in tudi M^(ü   ). Ker U"     obstaja,   je  0L<p(u).   Naj  bo  0<'|Ä|<1,   potem  je -r.>l  in de r*fCti   )*   Da  je  tudi   tedaj   AL(^(b),   sledi  iz   zveze
ai-or1 = [aucu^Dj-1 = ktf-ferV
~ 90 -
e.-"-. ;-.} ;ebra operatorjev jL*C"Q
V razdelku 4.2 smo videli, da za vsak operator ne obstaja nujno njegov b-adjungirani operator in smo zato z iL*(X) označili množico operatorjev iz }/ (X), za katere tak operator obstaja. Kot vemo, je tedaj b-adjungirani operator tudi is množice LQ(x).
Ireden bomo povedali kaj več" o množici operatorjev ^*(X), si oglejmo nekaj zgledov takih operatorjev na prostoru X = - Io0C(R).
5.3.1 FRIMEK Kaj bo K(#,t) /O za O i  s,t H in K(s,t) = O drugod ter K(s,t)L L^( Cu,l]*' [0,l] ), potem za integralski operator s tem jedrom vedno obstaja b-adjungirani operator.
Zares, pišimo
y(s) = (ix)(s) = J*K(s,t)x(t)dt ; O^s^l
9
in y(s) = O za 1< s. Očitno operator T preslika prostor L? c(iR) vase in je zvezen
1                                                  t
Pn(-nx)2e  JiK(s,t)i2dt.J|x('c)|2dt ± C2PlCx)2
Za poljubna  elementa x,yL L?  C(îi)  in«=nć K velja
Cix»y)n  =Jy(s)ds/K(G,t)xCt)dt  =/x(t)dt/x(s,t)y(s)ds=(xfTyV
pri  čemer je
(?°y)(s)  =/K(t,s)yCt)dt
za Q.i s.l 1 in  (r°y)(s)  = 0 za s > 1.
Vzeirlno   še  naslednji   zgled,  ki   je  podoben primeru  '4-,2.14.
- 91 -
Ö.5.2  1->IIIER     NftJ   bo   K(s,t)   /Oza   (s,*)*H   =   UCCUi*l3* X-fifl+lJ3  in X(s,t)   = Ü drugod ter JI t K(s,t )l 2dsdfc <roo za vsak mL'.,  Potem  za operator  s  tem  jedrom vedno  obstaja b-adjungirani  operator.
Za  s >0 velja
(Tx)(s)   =   J"K(s,t)x(t)dt
«7
medtem ko je za s <; 0 (Tx)(s) = 0. Iz predpostavk se hitro vidi, da je T zvezen operator iz Lp (R) vase. Zopet izračunajmo
(Tx,y)n =/y(s)ds JK(s,t)x(t)dt = X/y(s)dsJk(s,t)x(t)dt = = 2jx(s)ds/x(t,s)y(t)dt = (x,T0y)n kjer smo definirali operator
(T°y)Cs) - /ifrETi7y(t)dt en
za si C in (T°y)(s) = O za s<0. Če je K(s,t) = K(.t,s), je
operator T b-sebiadjungiran.
Ker je množica operatorjev !L*(X) vsebovana v algebri #" (X), bomo tudi v njej vzeli topologijo, ki jo inducira družina polno rm Q.
će sta operatorja 8,T iz «d*LX)j potem tudi za operator ST obstaja b-adjungiran operator (ST)  = T 3 L)L*(X).   Tako ima tudi množica |L*(X) strukturo algebre. Dokazali bomo Še nekaj njenih lastnosti.
b p. 5 LZMA. Za vsak operator T^ (X) in poljubno polnormo q^fc'v valjata relaciji CD  q*(T) - q*(i°)
- 92 -
(2)  q*(-^) = z^mž
Dokaz. Prva relacija sledi iz leme 5.2.3:
nakar lahko po lemi 6,2.4- še ocenimo
Medtem ko imamo po dru^i strani
Pd<(Tx)2 = (x^Tx), é 5kWp,(I0^) i PDl(x)2q(((T0T)
za vsak x;«3t\ «T* t  kar sledi is ocene   (5.2,3)«   Če delimo to ne-enačbo  s p^Cx)  in naredimo  supremum po vseh x<sX\ J^ ,   dobimo
<U(T)24 q,(T°-r)
kar nara skupaj z zgornjo neenačbo da ravno relacijo (2). Dodajmo Še izrek o polnosti:
6.3.4 I^NA Naj bo X H-lokalno konveksen prostor. Potem je !SČ*(X) tudi poln prostor.
Dokaz. 1'aj bo torej X H-lokalno konveksen prostor, ki je po predpostavki poln. Vzemimo posplošeno Cauchyjevo zaporedje operatorjev {"SfJrer    ^z    ^*00 • Ker je po izreku 6.2.6 prostor jL (X) poln, to zaporedje konvergira proti nekemu operatorju Te^f (X). K temu zaporedju tvorimo še zaporedje b-adjungiranih operatorjev (TgJtef   , ki je zaradi lastnosti (1) v zadnji lemi tudi Cauchyjevo in zato konvergira k nekemu operatorju Se^l(X). Zapi-Simo sedaj razliko in ocenimo
- 93 -
ž 1atO^)p^(x)pet(7) + q(XC^°-S)p^(x)px(y)
Če za poljubno majhen L>0 vzamemo dovolj "pozen" indeks JćP, dobimo
\Ux,7)u  -  (x,Sy)aJ i 2LPrf(x)py(y)
za poljubna x,yeX. Ker je L. > C poljubno majhen, dobimo sa vsak wt4 in x,y ć X
kar pomeni, da za operator T obstaja b-adjungirani operator T° = S.
Algebra lf*(X) z zgoraj definirano lokalno konveksno topologijo je primer tako imenovane LMC - algebre, ki je posploši-tev C*"- algeber in jih je obravnaval K. Schiidgen v [lSJ. LKC* - algebra je multiplikativna topološka*- algebra, v kateri je topologija definirana s sistemom polnorm {q}, za katere veljata aksioma: q(ab) 4 q(a)q(b) in q(a*a) = q(a)  za poljubna elementa a in b iz algebre. Kot smo videli v pomožnem izreku 6.3«3» algebra *C (X) zadošča tema pogojema in dobljene ugotovitve lahko strnemo v izrek:
6.3.g IZR5K Naj bo X H-lokalno konveksen prostor. Potem je <L*(X) polna LMC*- algebra.
Kasneje bo ugodno, če bo algebra $L  (X) sodčasta, se pravi vsaka konveksna, uravnovešena, zaprta in absorbirajoča množica v <L*(X) je okolica izhodišča (D-9])*
- 94 -
o.7';.6 TRDITEV 5« je X H-irechetov prostor, je îL'*(x) sodčasta LiiC - algebra.
Dokaz. Če je družina polnorm j" na prostoru X Števna, je tudi družina polnorm ^ na 5{ (X) števna. I-o prejšnjem izreku je ^f*(X) poln prostor in je torej Frechetov, kar pomeni, da je 2. kategorije. Vsak lokalno konveksen prostor 2. kategorije ca je sodčasfc (Cl9l).
Podobno kot se dajo splošne C*-algebre reprezentirati z operatorji, se dajo tudi splošne LKC*-algebre reprezentirati z operatorji, vendar ne bodo le-ti imeli,kot lahko pričakujemo^ splošnem tako lepih lastnosti kot v primeru C*-algeber. G. Lassner je v [lO] pokazal, da je vsaka sodčasta IMU -algebra topolosko in algebrajsko +- izomorfna neki lokalno konveksni algebri v splošnem neomejenih operatorjev, ki delujejo na nekem predhilbertovem prostoru 3 z lastnostjo, da za vsak A*cL obstaja operator At04 tako, da je
(Ax,y) = (x,A+y) ;  x,y^3
Topologijo naa  določa  sistem polnorm
SM(A)  = sup I (Ax,y) l
VftM
kjer je M taka množica na ^ , da je qf,(A)<:c3 za vsak operator keâ. Algebro operatorjev z omenjenimi lastnostmi imenuje G. Lassner Op*-algebro. Z <SL.(3f ) označimo maksimalno lokalno konveksno algebro na predhilbertovem prostoru %   z zgornjimi lastnostmi .
5e je prostor X H-Frechetov, je po prejšnjem izreku ^t*(X) sodčasta IMG ~ algebra in iz [loj povzemimo :
- 95 -
S.?. 7 I2^;:EK Če je X H-Freche tov prostor, je algebra ^*(X) algebrajsko in topološko*- izomorfna neki Op*- algebri Ji z lastnostma
qH(AB) i qH(A)qH(3)
qH(A+) = qH(A)
za vsak operator A* Je  .
Torej se dajo operatorji iz ,S^*(X), ki delujejo na H-Freche tove m prostoru X reprezentirati z nekimi neomejenimi operatorji, ki delujejo na predhilbertovem prostoru. Oglejmo si nekoliko bolj natančno to reprezentacijo za naše operatorje. Vzemimo polnormo qaf 5 in definirajmo množico
VCx) = La?*šL*<x), qÄC?) = 0}
Če je qx(T) = 0, je »kot smo videli (R.(T)<r 3*   in narobe, ce je P^(Tx) = 0 za vsak xtX, je potem tudi q^CT) = 0 zaradi zveznosti operatorja T. Tako, da imamo tudi naslednjo karakteriza-cijo množice IÄ(X)
1*00 = Li^*(t) ,  P<*(Tx) = O sa vsak x*x}
Pokažimo nekaj lastnosti te množice.
6.5.8 LE1:;A Množica I*(X) je zaprt dvostranski ideal v algebri tf*(X).
Dokaz, če je T ć I,„(X) in S*^*(X), velja
q«(ST) t  ä*.(S)q*(T) = O
q«(T3) é q^(T)q,(S) = O
- 96 -
üoka^imo še zaprtost. i;aj bo f'%fjćr^ ^ofOÔ posplošeno zaporedje , ki konvertira proti operatorju I1 iz iL*(X). Cd tod slodi, da za poljubno nejnen t?0  obstaja indeks §  eT z lastnostjo
za vsak Si SQ*   Q&  tod za poljuben ćicj'Q  dobimo
ker je L? 0 poljubno majhen, je q«(_) = 0.
6.3.9 LISIA Če je *4f>>> velja I^(X) <-  I^ÇX),
Zares, če je j?&I^(X), pomeni pp,(j?x) = 0 za vsak x«X. Potem
je tudi p^Cix) é p-(/2x) = C za vsak x&X, oziroma velja T ^ I* ( X ).
6.3.IO LEMA  Ideal I^(X) je tudi zaprt za adjun^iranje:
Te I^(X) => T° t IrfCX)
Spomniti se je treba le lastnosti  q«.(T) = qÄ('J? ). Definirajmo sedaj kvocientne prostore
JCÎCX) -    JC*txV!*(x)
Za operator r ć .^ (X) pišimo
T* = T + IX(X)
kot element kvocientne^a prostora ^X(X). Zanj imamo pravo normo
Adjungirani operator je "j?^ = T + I^OO in velja
- 97 -
Kl1* U« = q>(T°) = q/T) = HT^IU
Ker je   T* ^ = C'0 + I*(X))(T + I*(X)) = T°T + I*(x}, velja tudi
Če se iz [lOJ privzamemo polnost algebre jf^CX), lahko zapišemo:
6.3.11 TKDITSV Za vsak indeks *7 4 je {^(X),l l4^  C*-algebra.
y
Dobili smo torej C - algebro operatorjev, ki delujejo na H-Fre'chetovem prostoru X. Po drugi strani je ^ (X) kot C*-algebra *- izomorfna neki C -algebri $(H*) omejenih operatorjev, ki delujejo na nekem Hilbertovem prostoru H*. Simbolično to prireditev zapišimo v obliki
Pri tem se velja : II 0*iJA = I^C&cXt , kjer je t   it/ operator-ska norma v ftÇHw)«
Iz Hilbertovih prostorov H* naredimo direktno vsoto $i = = Ž@H* ter algebrajsko vsoto â = L H* in za vsak L = ^x.tQ! definirajmo operator
Označimo z j,r množico vseh operatorjev, ki jih dobimo na tak nacin. Če vzamemo enotsko kroglo K* v Hilbertovem prostoru H*, lahko za vsak operator v(2î)*vi definiramo polnormo
&&('!))   =     sup     |(Y<T>&?)I   = IS«1-
pri tem je q^* ty(L))•L¦ w  za vsak NPC^)*"^ • Lahko se prepričamo,
- 98 -
da Je opisana prireditev T •-» ^C J?) res algebraJski in topolo^ki izonorfizem ([13]).
Naj bo sedaj X spet splošen H-lokalno konveksen prostor in si oglejmo množico ^p(X) /IJçPC)» se pravi tiste <d-končne operatorje, za katere obstaja b-adjungirani operator.
6.5.12 PRDIIZV Za operator T&^W *L*(%)  veljata lastnosti
U t D = il r°i
IIT°T|I = HTIl2
Zares, ker Je operator P 4-končen, lahko v lemi 6,5.3 naredijo supremum po vseh octA   in dobimo taki lastnosti tudi za normo.
6.5.13 IZR5K   Če Je  X H-lokalno konveksen prostor, Je [r(X)n J^pCO, i/ i/}  C*-algebra.
Dokaz. Očitno Je tudi !^-,(X)/i SĆ (X) algebra, v kateri imamo normo z zgornjima lastnostma. Dokazimo še, da Je polna. Ker Je to podalgebra polne algebre âfj»CX)f zadošča pokazati, da Je zaprta. Vzemimo neko posplošeno zaporedje l^j-j^r   iz podalgebre, ki konvergira k operatorju T po normi. Očitno Je tudi Tc^-pCX). Naj bo {^JVć-r zaporedje ustreznih b-adjungiranih operatorjev, ki Je zaradi prve lastnosti v prejšnji trditvi tudi Cauchyjevo in ker Je prostor ^--,(X) poln, konvergira proti nekemu operatorju SeSfr(X). Vzemimo poljubna x,yćX, poljuben atta  in ocenimo
|(iW;A.-(x,oy;g e K^y^-C^x^J+KV^y^-Cx^Sy^j ^
če le vzamemo dovolj "pozen" indeks ^e-' . Ker lahko izberemo
L>ö poljubno majhen, sledi, da za operator T obstaja b-adjungi-
ran operator rö = S, kar pomeni T*^*(X) A ^„(X).
- 99 -
5.4 iteprezantaci.ja algeber ,Vf (Xj in ^00 3 projektivnimi limitami
V prvem poglavju smo spoznali, da je vsak poln lokalno konveksen prostor isomorJfen projektivni limiti Banachovih prostorov in da je vsak H-lokalno konveksen prostor izomorfen projektivni limiti Hilbertovih prostorov, Sedaj imamo podobno situacijo: algebra kL 00 je po izreku 6.2.6 lokalno m-konveksna algebra, medtem ko je od (X) po izreku 6.5.4 LMC^-algebra. zastane vprašanje, ali imata ti algebri kakšno zvezo s projektivnimi limitami lepših algeber ?
V prostoru ^ 00 imamo sistem polnorm J» ki zadošča pogoju
q„(ST) é q^CS) q^'î)                                   (6.4.1)
Sistem polnorm 9 na prostoru X je po predpostavki delno urejen in usmerjen, medtem ko sistem polnorm Q na prostoru ^ (X) ni več nujno tak. Označimo s Q ' družino vseh polnorm na aLn(X), ki so glede na polnorme Q zvezne in ustrezajo pogoju (o.-f-.l). Družina ^ x, ki vsebuje družino Q, je očitno usmerje-na, saj za poljubni polnormi q', q "é Q   obstaja polnorma q iz Qaax z lastnostma q'(-) é q(-)» q" CO é qCU) za poljuben operator i Eaf_(X) (vzeti moramo le  q(-) = max{q'(0)q" (Oj). Zopet definirajmo množice
IaCX) = ^e^o00, q(T) - 0}
q
ki so zaprti dvostranski ideali, v kar se prav tako prepričano, kot smo se za množice 1*00 v prejšnjem razdelku. Cznačimo z
- 100 -
faktorske algebre s elementi  i1 = T + 3LCX) za vsak ?L*/ (X). Označimo s K naravno upodobitev algebre i/ (X) v j (X), to-rej   L = K (I). Na algebri Jjf (X) imamo zopet pravo normo
H.     t.                                                     HI
» Vq = q(r) Vzemimo dve polnormi q', q "e Q ax z lastnostjo
q'(T) ^ q" (T)  ,  B«îf0CX)
potem za ustrezna ideala velja
l   *  (X) c.  I >(X)                                         (6.4.2)
v kar se zopet tako prepričamo kot v prejnjem razdelku. Za ustrezni kvocientni algebri potem velja
Označimo s K *„ « : Jsr. « (X)i—* *r ,(X)  naravno uuodobitev prve algebre v drugo. V primeru, da je q' = q" » je K = Iv'  . Tore j lahko sapi šemo
*       t*        —
oziroma
K   ,   „ (T   « )   =  T   ,
q q       q                 q
q q       q               q
Ker velja   še  ocena
Il Vq" (lq" >V     =   "W   =   q'(T)  -  *" W   =  "VU"
30 linearne preslikave K * « zvezne in zaradi inkluzije (6.4-,2) do oro definirane.
Prostori 3^ (X) v splošnem niso polni, zato jih razširimo
Mr
-   101 -
do polnih prostorov $Ć (X). Tudi ustrezne kanonske preslikave zvezno razširimo na K ,   „  : ^L   *,  (X) ^> X q '00 • Sedaj lahko tvorimo projektivno limito prostorov Jfef (X)
t/2 = pro j lim ŽL<X)
qt Q       q M  ^max
Ker so množice I (X) dvostranski ideali, zopet velja
T Sn = (T + I fX))(3 + T(X))   = TS + I (X) q q   *     qs ' ' s     g                           Q
in lahko ocenimo normo
Torej so j^ (X) 3anachove algebre. Topologijo na projektivni limiti definirajo polnorme
g(cyq) -ivu- = q'(T)
kjer je q'c^   poljubna polnorma in (T ) L¦ Jt .  Fri tem zgor-nja definicija polnorme g ravno pomeni, da je preslikava T>—> h> ('^a)G zvezna iz algebre ^ (X) na neki podprostor ^^4, Ker so po konstrukciji vsi prostori ^fa(X) gosti v Jfa(X), je tudi podrrostor 4, .-ost v A.   Če predpostavimo, da je X H-lo-kalno konveksen prostor s Števno polnormami, je prostor ^ (X) poln, polni so tudi vsi prostori L  (X) (gl.fSj) in podprostor ,/i-, zaprt v M  . To pomeni JI-.   = Ju.   Kaše ugotovitve lahko združimo v izrek:
6.'{-.l IZX.^K Kaj bo X H-lokalno konveksen prostor, potem je algebra "sč   00  topološko izomorfna nekemu gostemu pod-prostoru projektivne limite Banachovih algeber. Se je X E-Frechetov prostor, je hćo00 izomorfna projektivni limi-
- 102 -ti Sana elio vi h algeber.
Vzemimo sedaj še algebro |L (X)* V njej polnorme qatQ zadoščajo     še pogojema
q*(?°) = q«(*3                                         (s.4.3)
q^CT0!) = q.x(T)2                                       C&.4-.4)
Podobno kot zgoraj zopet označimo s Q   množico polnorm na ^^(X), ki so zvezne glede na polnorme q„t Q in zadoščajo zgornjima pogojema.
Analogno definiramo tudi dvostranske ideale
I*(X) = iS«**«. qCO = O} ; qcQmax -in faktorske algebre
V njih imamo norme II T JI  = q(T) za vsak T = T + I (X). Zara-
qq                                q     q
di  lastnosti   (6.4,5)   je  I_(X) *-  ideal  in veljata  tudi  za norme  ti  lastnosti
*.                _rmOmx          _/mv2          ,1T,    ,2
in
11 rqTqflq     =   ^([   T)   =   ^(T)     =   " V q
"?q"q   *   «(T0)   =   q(r)   =  I iqBq
r*/tr
kjer smo  pisali  T* =  I    +  I   (X).   V  ClOj   je  pokazano,  da  so   za
H.                      H
splošne LT-IC - algebre ustrezne faktorske algebre^ , qt.;
max
q:
vedno polne. Po pomeni, da so naše algebre ^L   (X)  G - algebre in podobno kot v prejšnjem izreku imamo :
6.4.2 IZHl^K če je X H-lokalno konveksen prostor, je LH C -algebra sL*(X)  topološko izomorfna projektivni limiti C*-algeber,
- 103 -
V poglavju 5 smo definirali spekter operatorja Ttaf(X) in videli, da Je Jtfcf(T) natanko tedaj, ko je (T-AI) ć^(X). Za operator Te^*(X) bi analogno definirali : %t®1k(T)  natanko tedaj, ko je (0?~AI)  ć ^*(X). Spekter operatorja Tć^(x) je potem množica ü^C'i1) = &.($) . Lahko tudi rečemo : Število A je iz ^(T) natanko tedaj, ko je iz (a(T) in za operator (T-Jll)~ obstaja b-adjungiran operator. Veljata torej inkluziji
za vsak 3? *$L*(!)»
Pojavi se vprašanje, kdaj se za operator 3?*SL*(X) C "L (X) obe definiciji ujemata. Če je X splošen H-lokalno konveksen prostor in tudi operator Tt^*(x) splošen, ne dobimo pozitivnega odgovora. Dobili ga bomo v dveh posebnih primerih.
6.4.5 TRDITEV Kaj bo X H-Fre'chetov prostor, operator T t **f*(X), Jkf(T) in operator (T-ftl)-1* 5L0(X), potem je
Dokaz. Videti je treba, da za operator (T->l)~ obstaja b-ad-jungirani operator. Če je A*^(T) in Té-Lt*(X), potem na enak način, kot v dokazu trditve 5*3 vidimo, da operator ((T-Xr)~ )° obstaja in je zvezen.
6.4.4 JRDITEV Če je X H-Frechetov prostor in A b-sebiadjun-giran operator v njem, velja
CT(A)  = ffV(A)
Dokaz. Vzemimo ^\e<Ç(A), se pravi operator (A-M)" obstaja, je ; zvezen in po lemi 5.2 celo velja &(A-VO = X. Od tod sledi, da
- 104 -
velja tudi L(A-4l) = X. Če bi se shodilo, da je L(A-SI J L X za neko število \ = f + in, •v L O, bi po lemi 5.13 obstajal element x^L Z     z  lastnostjo
Pr(A-îl)xf) = O
Na enak način kot v dokazu izreka 5«14- pa bi dobili
PoL«A-ÎI)x ) %  ^Po((x)
za vsak x*X in <xta . Če pišemo v zadnji neenačbi x ¦ x^ in
ot = t, dobimo p ((A-M)xtf ) > G, kar je v nasprotju z  zgornjim.
1
Tudi operator (A->I)~ obstaja. V to se moramo prepričati le še v primeru, da JI ni realen. Toda tudi tedaj ta operator obstaja, ker po izreku 5*14- -^ ni lastna vrednost operatorja A. Zapišimo identiteto
((A-iDx.y)^ = CxfU-lDy),,
in jo prepišimo v obliko
kjer sta u,v^X poljubna. Iz te zveze ugotovimo, da ima operator (A->I)~ b-adjungiranega ((A-M)" )° = (A-3kl)~ in po izreku 4.2.8 sledi (A->I)_1é L0(X). Torej je At^(A).
Iz izreka 6.4.2 sledi naslednji izrek o povezavi spektra operatorja TtiL*(X) s spektri operatorjev T iz C - algeber
Sé
%  (X), ki velja za splošne IMG - algebre ([18.]).
6,4.^ IZREK    Naj bo X poljuben H-lokalno konveksen prostor in operator Pt ^f*(X), potem veljata relaciji
¦ ¦      d)  r»(<) . urq(T )
ita""
- 105 -
(2)  r (::) = sup r (r ) *¦     Lk»*   q  q
kjer sta G"a in ra spekter oziroma spektralni radij operator-ja T v G*- algebri S?a(X).
Iz zgornjih trditev je očitno, da čeprav je lahko (Jl'(i ) omejena množica in ra(^a)<,7î za vsak qt Q ax, se prav lahko zgodi, da je 5* (T) neomejena množica in tudi r^ = o°.
6.5* Pozitivni elementi algebre jL*(X)
Kasneje bomo delali s posebnim razredom b-sebiadjungiranih operatorjev, s tako imenovanimi pozitivnimi operatorji. Postavimo definicijo :
6.5.1 DEFINICIJA b-sebiadjungiran operator A je pozitiven natanko tedaj, ko velja
(Ax,x)^ ž O                                             (6,5.1)
za vsak x*X in«*4.
Včasih bomo za pozitiven operator A pisali AS O. Če je X H-Fre-chetov prostor, dobimo še eno karakterizacijo pozitivnih operatorjev.
6.5*5 TRDITEV Naj bo X H-Frechetov prostor in operator A b-sebiadjungiran, potem je A pozitiven natanko tedaj, ko je . njegov spekter Ö"(A) nenegativen.
Dokaz. Naj bo operator A pozitiven in A<0 poljubno število. Najprej hitro ugotovimo, da X  ni lastna vrednost operatorja A, ._ kajti v nasprotnem primeru bi obstajal element x / O z lastnostjo Ax = !\x . Ker je x f  O, bi obstajal indeks « t4, da
- 106 -
bi bilo p^ (x )> O. Tedaj bi veljala ocena
0 > )p,((xo;2 = KxorX0\     = (Axo,xo),o > 0
kar ni mogoče. Ker A ni lastna vrednost, obstaja operator (A-Al J. Dokažimo, da je množica &(A->I) gosta v X. Če ne bi bila, bi po lemi 5*13 obstajal indeks fć4 in element x^t J^ z lastnostjo p (Ax -Ax^) = 0, kar pomeni  (Ax -Ax^x)  = 0 za vsak x*X. Sedaj bi sledilo
0>A(xr,xr)^ = (Ax^-Axv,xf )rf + (Ax^,x3)^ 1 0
kar zopet ni mogoče in je res &.(a-.M) = X. Ker je A zvezen, po lemi 5.2 zopet sledi <k(A-M)  = X. Dokažimo še, da je inverzni operator (A-^i)~ tudi zvezen. V  ta namen pri poljubnem &&L naredimo oceno
p^(Ax-*x) = p2(Ax) - 2A(Ax,x)a + >2pÄCx)2> X2p^(x)2
in Če v njej pišemo Ax-Ax = y, dobimo
P.CCA-M)-1^)^ ^(P,(y)
Torej je resAt^(A).
Dokažimo še obratno smer. Naj bo spekter operatorja At^(X) nenegativen. Po trditvi 6,4„4- je tudi spekter G"*(A) = 6"(A) ne-negativen in po izreku 6.4,5 je nato tudi spekter LJ1(A ) v alge-bri iL_CX) za vsak qt Q ax nenegativen. To pa pomeni, da je vsak operator A pozitiven, torej tudi za q = q^ sledi
H.
(AaX.x), ž 0
za vsak xéX  in vsak ^ta . Če upoštevamo A,- = A + 1^(1), dobimo (Ax,x)  = (A x,x) - (Cx,x)  = (A x,x) > 0
- 107 -
y
za vsak xc-X in óLt4 . iri tem je bil C fcl^(X) poljuben element. Operator A je torej res pozitiven.
Kaj opomnimo, da nam zgornji izrek pove, da so preko definicije 6.5.1 vpeljani pozitivni operatorji ravno pozitivni elementi EHC- algebre ^f*(X).
Kot zanimivo posledico dobimo :
6.5•? KGROLAR Naj bo X H-Fre'chetov prostor in A pozitiven operator v njem, katerega spekter sestoji le iz točke O, potem je A nicelen operator.
Zares, ker je LT*(A) = G"(A) » {o}, je po izreku 6.4.5 tudi 6"n(An) = {0} za vsak qtQmax, torej tudi za q t Q. To pomeni G"(A*t) = -t O Y oziroma q^CA) = O za vsaktft^ . Ker je družina polno rm Q zadostna, je A = O.
Dodajmo še izrek o kvadratnem korenu pozitivnega operatorja, ki velja za splošne LKC - algebre ( [l8] ) :
6.5.4 IZREK Naj bo X H-lokalno konveksen prostor. Potem za vsak pozitiven operator A obstaja tak pozitiven operator B, da velja
A = B^
Fri tem je operator 3 enolično določen in komutira z vsemi operatorji, s katerimi komutira operator A.
6.6 Omejeni elementi algeber -^ (X) in -Sf' (X)
V algebri .Sjf (X) lahko definiramo množico omejenih elementov (omajeni del algebre ^C 00)   '•
&(X) ={AéÇc (X) ,  sup q^(A) < #>  >
oLéu
- 108 -
toda hitro se lahko prepričamo, da je to že znana množica.
6.6.1 TRDITEV Omejeni del lokalno ra-konveksne algebre $L0(X) je ravno množica d-končnih operatorjev ^.(X).
Zares, če je Tć^(x), je px(Tx) | C p*(x) za vsak x*X in je tedaj tudi q*(T) <  C, se pravi Tt ft(X). Če je obratno T*fi(X), obstaja konstanta C>0, da velja q^CT) i C <¦ *> za vsak xeć ali
sup C(p^(Tx)/px(x)) i C
oziroma
PM(Tx) é  C pu(x)
za vsak xt X\J* , toda ker je TćV (X), lahko tudi za xt J* pišemo pyC'Tx) L C p^(x). Torej je zgornja ocena izpolnjena pri nekem G | O za vsak xt X, kar pomeni Te^F(X).
Če se omejimo na množico |L*{X) f)  ^p(X), imamo opravka z omejenimi elementi LKC - algebre W*(X). Ta množica je z nor-mo /IT || = sup q„(T) ,kot vemo iz izreka 6.5.12, prava C - alge-bra.
Iz teorije splošnih LHC - algeber povzemimo sedaj naslednje tri izreke (gl, [18]).
6.6.2 IZREK Za vsak operator Tć^ć*(X) so naslednje trdi-
i
tve ekvivalentne
(i)   l*ifrCx)
»
(2)     T =  Tx  + iT2
(3)     T  =  T1  +  i'T2
(4)     T  =  Tx  +  iT2
Kalje
,2
yLF(x)/i#CX)f  5-1,
T.é^(X) in GTT.) orni -Al i T é Al     za neki   AeR
T,ć^€(X)  in 5"(T.)  omejena,   j = l,2
- 109 -
6.6.3IZB^K  če je operator ké ^*(X) H ^DOfl^CX), so naslednje trditve ekvivalentne
(1) Il A« = sup q^(A) é 1
(2)  ^(A)C [-1,1]
(3)  -I i A ž I
Dodajmo še nazadnje izrek o karakterizaciji omejenih operatorjev z njegovimi reprezentacijami.
6.6.4 IZREK Operator Teaf*(X) je 4-končen natanko tedaj, ko je vsaka njegova representaci ja V^i), ki smo jo omenili v izreku 6.3.6, omejen operator v predhilbertovem prostoru 3 .
7. TOFOLOGIJE KA DUALNEM PROSTORU
Označimo z X' množico zveznih linearnih funkcionalov, ki delujejo na našem H-lokalno konveksnem prostoru X. Fodobno kot v razdelku 6.1 lahko ugotovimo, da nam vsaka zadostna družina omejenih množic na X definira na X' neko lokalno konveksno topologijo. Vzemimo dva najbolj pogosta primera.
Če vzamemo družino vseh omejenih množic na X, dobimo preko polnorm
qf,(f) = sup |f(x)l,  M* Kth
kjer je M neka omejena množica iz X, krepko topologijo in
prostor X' s to topologijo označimo z X/.
Če vzamemo na X le končne množice, dobimo s polnormami
qy   _ (f) = sup |f(x.) l
tako imenovano Šibko topologijo in prostor X' s to topologijo
označimo z X'. s
Na podoben način tvorimo potem topologije tudi na drugih dualih prostora X. Pri tem rečemo, da je prostor X semirefle-ksiven, če velja  (xk)' = X in je refleksiven, če je (X/)-,' = (X,?). Pri tem smo z (X,'i ) označili naš H-lokalno konveksen prostor X s topologijo, ki jo inducira družina polnorm'J .
Ker je teorija linearnih funkcionalov na H-lokalno konveksnem prostoru že precej obdelana v [15]» jo kaj več tu ne bomo obravnavali. Zapišimo iz L15J Ie nekaj zanimivejših rezultatov.
7.1 IZREK Kaj bo X H-lokalno konveksen prostor, potem veljajo naslednje trditve :
-Ill -
(1)  X je semirefleksiven,
(2)  X je refleksiven natanko tedaj, ko je sodčast,
(3)  X^ je enak induktivni limiti Hilbertovih prostorov.
Kot smo ugotovili že v razdelku 6.3 je vsak IJréchetov prostor sodčast, kar pomeni iz zgornjega, da je H-Frechetov prostor vedno refleksiven.
Kot zanimivost naj dodamo še, da lahko tudi na prostoru X' dobimo hilbertske polnorme.
7.2 TRDITEV Če je K K-gladka, uravnovešena, omejena in zaprta množica v H-lokalno konveksnem prostoru X, je
pM(f) = sup |f(x) |
hilbertska polnorma na X'.
8. PROJEKTORJI IN SPEKTRALNA RAZČLENITEV
8.1. Projektorji
Naj bo Še naprej X H-lokalno konveksen prostor, kdaj pa kdaj pa bomo še zahtevali, da je tudi Frechetov. V prostoru ^*(X) definirajmo projektorje :
8.1.1 DEFINICIJA Operator ?tSć*(X) imenujemo projektor, če zanj veljata relaciji
(1)  P2 = P
(2)  P° = P
Zgoraj smo s P označili b-adjungirani operator operatorja F. Identični in ničelni operator sta očitno projektorja, vprašanje pa je, če je razred projektorjev še kaj bogatejši. Oglejmo si zopet kakšen primer iz prostora L? C(R).
8.1.2 FRIMER Operator oblike
f   Jx(t)dt  , slO
(fx)(s) = / m
L   0      , s<: 0
kjer je x(t)fc Lp  (R), je projektor v smislu zgornje definicije. :
Zares, preverimo zgornja pcgoja
(P2x)(r) = /(Px)(s)ds =/ds/x(t)dt =/x(t)dt/ds = (Px)(r)
za ?2  0, medtem ko je za ?< O : (P2x)(r) = (Fx)(r) = O. Izračuna jmo Še       m             . , J
u                                  ¦*!       H7M        ,., *ri       trt
(Px,y) =J y(s)dsjx(t)dt =Z,JyCs)ds/x(t)dt =
Q                           Ci]                                   **U   <                             «t
- 113 -
>n-i **¦¦(     «.*¦< = L'J'x(t)dt.fy(s)ds = (x,iry)
Oglejmo si nekaJ lastnosti projektorjev.
6.1.3 LIlHA Za poljuben projektor P v H-lokalno konveksnem prostoru X in poljubno polnormo qttfrQ velja alternativa : ali Je  q<*(P) = 0 natanko tedaj, ko Je (ü(F)c J„ ali Je  q*(P) = 1 natanko tedaj, ko Je Ä(P)AJ,f / 0.
Dokaz. Kaj bo xtX poljuben element, poten: velja identiteta
x = Px + (x-Px)
pri  tem  Je   za poljuben   <xeu.
(Fx.x-Fx),,   =  (Px.x)^  -   (Fx,Fx)*   =   (Px,x)^ -   (F2x,x)K   = 0
Zato  Je
Ptf(x)2 = P*(Px)2 + p„(x-Fx)2
od koder sledi
P*(Px)2a p„(x)2 oziroma
q^CF) = sup Cp^(Px)/pot(x)) t  1
Že v začetku razdelka 6.2 smo videli, da Je <&(P)c J* natanko tedaj, ko Je q^CF) = 0, zato vzemimo Še tak indeks veâf   da Je ÄCP)0Jj ć  0, potem Je q*(P) / 0 in v oceni
q^CP) = q«'p2) i q*(P)q*(F) lahko krajšamo s q^CP) in imamo k zgornji Še obratno neenacbo
q«(P) l   1 'Vzemimo,polJuben neničelen projektor P, potem Je tudi
- 114 -
Il PII = sup qÄ(F) %   1
toda, ker je sistem polnorm 1  zadosten, obstaj'a vsaj ena poi-norma q.ÉT^i da velja qot(P) / O in po prejšnji lemi sledi q*(P) = = 1, kar pomeni II p |[ = 1. Zapi Širno torej
8.1.4- TRDITEV Vsak neničelen projektor je 4-končen z normo 1.
Do projektorjev lahko pridemo še na drug način. Najprej se spomnimo definicije 2.11, v kateri smo zapisali, da ima množica M^X lastnost H, če obstaja posplošeno zaporedje {yf\  cM z lastnostjo
lim pä(yt) = inf p.(y) Ur                   y«H
za vsak ntu . Torej obstaja minimizirajoce zaporedje za vse indekse o. hkrati.
Vzemimo tak podprostor X-, našega H-lokalno konveksnega prostora X, da ima za vsak xéX množica x + X-, lastnost H. Potem po korolarju 2.13 velja enolična razcepitev
V taki situaciji lahko definiramo operator
:                                               P : Xe-»X1
s predpisom Px = X-,.
8.1.3 TRDITEV Zgoraj definirani operator P je projektor v smislu definicije 8.1.1.
v Dokaz. Očitno je F linearen in zvezen operator. Vzemimo polju-
- 115 -
ben element xfeX in ga razcepimo x = x-, + x2, potem velja
P2x = P(Px) = Fx±  = xx = Px Zapišimo še razcepa za poljubna elementa x,ytX :
JL
X — a-| + Xp  ]    Xi t A-* f ^O ^   ~l     * ^M = JrX
iL
y = yi + y2   ; yi4Xi» y2tXi » yi = py
potem velja
= Cx1+x2,y1)a^ = (x,y1)0< = (x,By)«
Pojavi se povsem upravičeno vprašanje : če imamo dan projektor P, ali ima tedaj množica x + &(P) za vsak xt-X lastnost H? DokaŽimo najprej izrek :
8.1.6 IZREK Naj bo X H-lokalno konveksen prostor in Pć^Y(X) projektor v njem, potem je tudi I-P projektor in če definiramo množici FL = Ä(F) in fU = &(I-P), sta to zaprta podprostora v X. Vsak element xtX se da enolično pisati v obliki
x ¦ u + v ;  utM-, , veMp
pri čemer je r^iLM
Dokaz. Najprej velja (I-P)2 = I-P-P+P2 = I-P in tudi (I-P)° = = I-F = I-P. Linearnost in zveznost operatorja I-P je tudi očitna, potem sta množici M-, in M- res zaprta podprostora. Vzemimo xeM-, in yel'lp, potem je
Cx,yV = (Px\(I-P)y')* = (Px',y')^ - (Px',Py'X< =
- 115 -
- Ca*V'li - <P2x\y'),* - o
za vsak oitL  , kar por.eni M-.jLwp.
Za poljuben xtX lahko zapišemo razčlenitev
x = Fx + (I-F)x
kjer je u = Px e H, in v = x-Fx t-Mp. Če bi imeli še eno razcepitev
x = u' + v' \     u'ćti, v'ć.Hp bi to pomenilo : u' = Px', v' = (I-P)y' in bi veljalo
0 = F(x-x') + (I-P)(x-y') od koder bi dobili
O = p2(P(x-x')) + P^((I-P)(x-y'))
za vse UćC  j kar pomeni P(x-x') = 0 in (I-P)(x-y') = 0 ali u' = Px' = Px = u , v' = (I-F)y' = (I-P)x = v.
8.1.7 KOFOLAF Naj bo F projektor v H-lokalno konveksnem prostoru X in M = &(P), potem ima za vsak xeX množica x + H lastnost H.
Dokaz. Smemo se omejiti na primer X / 0. Vzemimo torej poljuben nenicelen element x*X in poiscimo najkrajšo razdaljo od izhodišča do množice x + M. Naj bo z poljuben element iz M in izrazimo
pÄ(x-z) = pwC(x-Px) - (z-Fx)) = p^Cx-Fx) + p*(z-Fx)
kjer smo upoštevali, da je x-Px L i-U = &(I-P), z-Pxén. Naj-
- 117 -
manjšo vrednost dobimo ravno za z = Fx in element, na katerem je infirnum dosežen, je y = x-rx, ki je neodvisen od indeksa »*ć4.
8.2. Pozitivni operatorji
Oglejmo si Še nekaj lastnosti pozitivnih operatorjev, ki smo jih definirali v razdelku 6.5- Tedaj srao imenovali pozitiven operator tak b-sebiadjungiran operator A, za katerega je
(Ax,x)ö ä O                                               (8.2.1)
za vsak xeX inočć^. Za tak operator smo tudi uvedli zapis A = 0.  Dodajmo še nekaj izrekov v zvezi s pozitivnimi operatorji.
8.2.1 L^HA Za pozitiven operator A velja
l(Ax,y)ttl2i (Ax^/Ay,^ ; x,y*X, *éu                  (8.2.2)
Dokaz je prav tak kot v primeru Hilbertovega prostora. Vzamemo z = x + ^(Ax,y)e(y , kjer je î\ poljubno realno število in izračunamo
0 t (Az.z)^ = (Ax,x)^ + 2Al(Ax,y;j 2 + ^(Ax,y^ (Ayf-y^
od koder sledi ravno zgornja neenacba.
V izreku 6.5.4 smo tudi že spoznali, da za pozitivni operator A obstaja operator A - kvadratni koren, ki je spet pozitiven in komutira z vsemi operatorji, s katerimi komutira operator A. Iz te lastnosti bomo dokazali naslednji pomožni izrek.
- HS -
3.2.2 L5NA Produkt dveh pozitivnih operatorjev, ki konuti-rata, je spet pozitiven operator.
Dokaz. Kaj bo torej A %  0, 3 Z  0 in velja  A3 = BA. Ker za ope-rator 3 obstaja pozitiven kvadratni koren 3  , ki komutira z operatorjem A, velja
(A3x,x)a = (AB^B^x.x^ = (B*-ABV* x,x)Ä = (AS* x, 3Vt x)Ä %   0
V množico b-sebiadjungiranih operatorjev %(X)  uvedimo naslednjo relacijo
A i Bć=> (Ax,x)^ i (3x,x)K  za vsak x*X in *é/\         (8.2.3)
Ta relacija je očitno tranzitivna, refleksivna in tudi anti-simetricna je. Če je namreč A = B in 3 ~  A, to pomeni : (Ax^)^ = (Bxjx)^ ali  ((A-B)x,x)^ =0  za vsak xeX in <xć-^, kar po korolarju 4.3.2 pomeni A = B. Dokažimo sedaj trditev :
8.2.3 THDIT5V Naj bo operator A b-sebiadjungiran, potem za vsak indeks otet  velja
inf (c : J(Ax,x)J i C p*(x), xtx} = qw(A)
Dokaz.   Označimo     D^ =  inf i. C   :   l(Ax,x)^|   4 Cp„<(x),   xćXj.  Ker je  AfcJ^ (X),   po  lemi  6.2.2 velja
l(Ax,x)J   é   p*(Ax)prf(x) é   q„(A)  p^Cx)
od koder sledi
D* i  q*(A)
jv  Ta ocena velja seveda  za poljuben operator Afe^L  (X).   Za dokaz
- 119 -
obratne ocene bomo upoštevali, da j*e A&>t(X}. V ta namen vzemimo poljubno število X>0 in zapišimo
p2(Ax) = I[(A(Ax4ax),Ax+^Ax)o< - CAax-IAx),^-^^] i i  $$f(A*4**> + p2(>x-±Ax)] = |*[\2p2(x) + I P2(Ax)]
Pri tem smo upoštevali, da za polnorme pft velja paralelogram-sko pravilo (1.2). Naj bo sedaj xeX tak element, da je p^(Ax)/
^0, tedaj je tudi p*(x) /  0, ker je AéV (X), Zgornji oklepaj
p doseže najmanjšo vrednost za "A = po<.(Ax)/p^(x) in tedaj dobimo oceno
Prf(Ax)2^ D„p„(Ax)p*(x)
oziroma
p«(Ax) L Aap^U)
Ta ocena velja očitno tudi za tiste xtX, za katere je p^(Ax)=0. če naredimo supremum po vseh xeX, za katere je p*(x) / 0, dobimo
q*(A) i   Dw
kar smo želeli dokazati.
6.2.4- KOROLAR Za operator At^t(X)n ^p(X) obstajata realni konstanti m in M z lastnostjo
ml ^ A i  MI pri čemer velja
max{im| , |N|} = K A II
Zares, ker je A*!H(X)fpo prejšnjem izreku za vsak n14 posebej • obstajata konstanti m* in M^ z lastnostjo
- 120 -
Ö*(3t»X.i, L (Ax,x)^ e -:-^(^»x)a
Pri tem je
max l !mÄ* , iH«l } = 1«U)
Toda, ker je naš operator A tudi A-končen, obstaja
sup q-(A) » lAR * V° ded
in zaradi zgornjega je tudi M = sup M _,¦*¦&  in m = ini" m^ t o°
ter velja
max { imi , |H[} = II A ||
Oglejmo si še eno posledico zgornjega izreka.
8.2.3 KOROLAR Za poljubna operatorja A,B *3Č(X}, za katera velja O 4 a L 3, sledi
q*U) ^ q„(B)
za vsak <*<-4 .
¦g
Zares, ker je O ^ (Bx^x)^  * t-l^Cxjx)^ , po zgornji posledici velja H* =  q*(3), torej
(Ax,x)^ %   (3x,x)^ 4 q^CBXxjX)*
Upoštevajmo še oceno 8.2.2 in dobimo
! l(Ax,y)J2^ (Ax.x^CAy.y), t  q«(B)p^(y)pf(x)
V tej oceni po korenjenju in deljenju s p^Cx) .po,(y) naredimo supremum po vseh parih x,y t X\J,* in dobimo
q*U) é q/B)
- 121 -
Pojdimo sedaj k pomembnemu izreku o monotonem zaporedju pozitivnih operatorjev.
8.2.6 I2KEK  Naj bo X   H-lokalno konveksen prostor in l&liiit    posplošeno zaporedje pozitivnih operatorjev, za katere pri J 4^' velja
V - V' Kaj obstaja Še operator Cé^.(X) z lastnostjo
A ^ C . ié P
Fotem obstaja pozitiven operator At^(X) h kateremu konvergiraju operatorji A_ v "krepkem smislu"
Ax = lim AF x
Frav tako tudi monotono padajoče zaporedje navzdol omejenih operatorjev "krepko" konvergira k nekemu b-sebiadjungirane-mu operatorju.
Dokaz. Vzemimo poljuben element x«X, indeks <x<M in označimo s
¦i^(x) = (Aj-Xjx)^
posplošeno zaporedje nenegativnih realnih števil, ki je monotono naraščajoče in navzgor omejeno :
qJ(jO = (A;x,x)^ é (Cx,x)^ | q„(C)Po,(x)2 Torej obstaja limita
lim qtCxO = Q.'fcO ;- Vzemimo sedaj dva indeksa Î" * f f P z lastnostjo J > J , potem
- 122 -
je operator D  ~  A;f, - A , tudi pozitiven in omejen od zgoraj
(Dx,x)^ - (A^irSÇ-yX)^  - (A^ X,x)^ L (ä *X,x)   i (GXjX)^
po prejšnjem korolarju potem velja
q*(3) e q/G) za vsak >eâ.   Iš neenačbe (8.2,2) sedaj sledi ocena
iz katere pri y = üx dobimo
P*Ox)44 (Dx,x)„(D\,x)y é (jJx,x)6(qu,(D)3po(Cx)2 t i  (Dx^q^CO^Cx)2
Izpišimo to oceno na daljši način
pÄ(AJ/x-Af,x)44 [CA#,ac*r)w - (Af/ x,x)J q^C^Cx)2
Indeks c*4 je bil do sedaj poljuben, sedaj pa moramo ločiti dva primera. Če je qu(C) = 0 ali je x e J^ , je
za poljubna <Lt$%p*   V nasprotnem primeru izberimo poljubno majhen L>0. Ker je posplošeno zaporedje Q*(x) konvergentno, obstaja tak indeks J_ = J (^,Oe^5 da velja
'  /CA|/XfX^ - (Afl-x,x)J 4 L/(q^(C)p^(x))
za poljubna indeksa J, | ^  in dobimo
Po^V'X - Aj„ x)4 s L Torej je zaporedje {A xj Cauchyjevo in ker je prostor X poln,
- 125 -je konvergentno. Fi šino
Ax = lim ArX ur    *
in dokažimo, da je tako definirani operator A zopet b-sebiad-jungiran. Vzemimo poljuben L>0, poljuben ytt\  in poljubna elementa x,yéX, potem obstaja tak indeks Lčl, da veljata neenač-bi
pK(Ax - Afx)< L ,  p^(Ay - ksj)  <   e
sa vsak Sii  »  Pri teh elementih lahko  ocenimo
f(iac,yi-Cat,A7)Ä|    ë    I (Ax,y^-(Ayx,y)M +(x)A/y)Ä-(x,AyX( |   é i  ppC(Ax-A/x)p^(y)   + P^(x)p*(/Vy-Ay) . L L(p*(x)+p«(y))
Ker je L> 0 poljubno majhen in leva stran ni odvisna od [, velja
U^y)^ = (x»Ay)«
Ker je tudi indeks o<ć-4 čisto poljuben, je operator A res b-se-biadjungiran.
Poseben primer b-sebiadjungiranih operatorjev so projektorji, katerih nekaj lastnosti smo še zapisali. Hed drugim smo ugotovili, da je vsak projektor 4-končen (Ft3E(X) /** *ČpCX)) in ima normo 1. Dodajmo še dv" pomosna izreka.
8.2.7 I-5KA Za vsak projektor P velja
0 ž P é I
Zares, najprej velja
(Px.aO^ = (A,*)* = CPxJx)^ = p^CFx)3     (8.2.4)
- 124 -
Od tod najprej sledi
(Fx,x)^ = px(Px)2 > C
kar poneni P > 0. Po drugi strani pa je
(Px,x)^ = p^CPx)2^ qB<CP)2po,(x)24 p^Cx)2 = (x,x)„
torej velja še P ^ I.
8.2.8 LaHA Maj bosta P-, in P~ poljubna projektorja. Potem veljata trditvi
(1)  F^ = P2 =>  PlP2 = P2P1
(2)  P^ = P2<=>P! ž P2
Do kas. Če je P-^ = P-, velja:  F^ » f|f° = (F^o)0 = ?2 = = P2 = P-|P2. Iz zveze P-|F2 = P2 dobimo tudi
(P1-F2)2 = pf-p1P2~P2Pl+P2 = P1'2P2+P2 = Pl " P2
Ker je tudi  CPi-P2)° = pt~p?' ^e °Pera'tor Pi-P2 Pro^e^or. Po zadnji lemi tedaj sledi P-i-Pp = 0 ali P-> L P?.
Kaj bo obratno Pi-P2 Z, 0» potem je I-P, gj I-Po« Upoštevajmo, da sta tudi I-Pi in I-?2 projektorja ter relacijo (8.2.4-)
p^CCl-P-L^x)2 = ((I-F-^PgX^x),, e ((I-P^P^F^ = 0
¦
ker to velja za vsak indeks «td in vsak element x t Z, sledi ali Pp = P-jPp» s čimer smo v celoti dokazali zgornjo lemo.
- 125 -S. 5. Funkcija operatorja  A^ 5t( X)f\ SL-(X)
Vzemimo 4-končen in b-sebiadjungiran operator A, potem po korolarju 8.2.4 zanj obstajata konstanti m in M z lastnostjo
Naj bo p(t) polinom z realnimi koeficienti
p(t) = a + eut + a~t + .... + at
in definirajmo operator
2                           n
p(A) = al + a-, A + a0A + .... + a A
Očitno je tudi p(A) linearen operator.
8. g. 1 TMDirEY če je operator A b-sebiadjungiran in 4-kon-čen, je tak tudi operator p(A), kjer je p(t) poljuben polinom z realnimi koeficienti.
Dokaz. Izračunajmo : Cp(A)x,y)^ = CŠ«jA x,y)Ä = Çak(x,AKy)* = (x,XakA y)rf = (x,p(A)y)Ä , torej je p(A)frlK(X). Če še upoštevamo lastnosti polnorme qÄ, dobimo
q*(p(A)) e ÜlaJq^A)*
od koder sledi
sup   q„(p(A))4   Z laki sup   q„(A)k L Z | aj llAßk <  «
6.3.2  IZREK    Prireditev p(t)t—>p(A),   ki  poljubnemu polinomu p(t)   z  realnimi  koeficienti  priredi  operator p(A)  iz ajf-p(X) rt J€(X),   je   linearna,   multiplikativna  in pozitivna   :
c^pCt)   +   c2q(t)  i—?>  Cj^pCA)   +   c2q(A)
- 126 -
pCt).q(t) «--* p(A).q(A)
p(t)i u, mete M i—* p(A) > 0
Dokaa. Prvi dve lastnosti hitro preverimo s kratkim računom, nekoliko več dela imamo le z zadnjo. Naj bo torej p(t) ^ 0 sa tfc[m,M], potem se v tem intervalu ta polinom da zapisati v obliki
pet) = c nct-v ncf*rt) rifct-^)2 * j§]
Pri  tem  je   c > 0,   tf- L m in fb . % M.   Tretji produkt vsebuje  vse
morebitne  dvojne  realne  ničle  med m in M ter vse  kompleksne
korene  polinoma.   Ustrezni  operator  je 1rs
p(a) = c nu-rfiD.n^H-A) ru(A-*ki)2 + si?] »»<      *=•      mi
V zgornjem produktu so vsi faktorji pozitivni, na primer
((A-o^Dxjx)^ = (Ax,x)^ -^(Xjx)^ g   (m-d^Xx^)^ > o
in prav podobno se prepričamo za vse ostale. Ti faktorji očitno tudi med seboj komutirajo in po lemi S.2.2 je tedaj tudi njihov produkt pozitiven, se pravi p(A) Z  ©«
6.3.? KOROLAR če je operator At^CX) f\  Lfp(X), velja ml i   A L MI in če sta p(t) in q(t) taka polinoma z realnimi koeficienti, da zanju velja
!                        p(t) i  q(t) ,  tL[m,H]
potem za ustrezna operatorja p(A) in q(A) velja
p(A) i   q(A)
V
? -Zares, uporabiti moramo le zgornji izrek za polinom q(t)-p(t)? G.
- 127 -
Isto kot smo naredili za polinome, lahko naredimo tudi za širši razred funkcij. Vzemimo najprej funkcije, ki so definirane na intervalu [m,lij, so od zgoraj polzvezne in so na tem intervalu nenegativne. Vsako tako funkcijo u(t) lahko aproksimirano s padajočim zaporedjem polinomov p (t), ki v intervalu [m,M] konvergiraju k funkciji u(t). Po prejšnjem izreku je potem tudi zaporedje pozitivnih operatorjev Pn(A) monotono padajoče in navzdol omejeno z operatorjem 0. To zaporedje po koro-larju 8.2.5 "krepko'' konvergira proti nekemu b-s e bi ad j ungi ranemu operatorju, ki ga označimo z u(A). Fri tem je operator u(A) enolično določen z zaporedjem polinomov {p (t)} , v kar se prav tako prepričamo, kot v primeru običajnega Hilbertove-ga prostora (gl.[15]).
Zgornji razred funkcij nato še razširimo na poljubne od zgoraj polzvezne funkcije, definirane na intervalu [m,MJ. Vsako tako funkcijo lahko pišemo v obliki
u(t) = u1(t) - u2(t)
pri Čemer sta u-,(t) in Up(t) spet od zgoraj polzvezni in nene-gativni funkciji. Ustrezni operator zapišemo
u(A) = u-jC-A.) -u2(A)
,     8.3.4 IZREK Za vsak operator Afr^(X) n tf-(X) in za vsako na intervalu [m,ij'l] od zgoraj polzvezno funkcijo u(t) dobimo operator
u(A)ćX(X)A SĆpCO
Prireditev u(t) i—* u(A) je linearna, muItiplikativna in
homogena :
- 128 -
CnU-|(t) + CpUpCt) t—» c-,u,(a) + CpUp(A) Uj^CtJ.UpCfc) \—* u1(A).u2(a) ux(t) e «g<i&, téÇoi.M] >-* u1(A) L u2(A)
Dokaz tega izreka je prav tak kot v primeru Hilbertovega prostora in ga tu ne bomo ponavljali. Treba je le vzeti k funkcijam u.(t) dovolj dobre polinomske aproksimacije, za katere pa že velja podoben izrek.
Če vedno imejmo operator AéX(-:0 /1 aLi?(X) i-n  vzemimo konkretno funkcijo
f 1   , ti  s ejCt) = -/                                                          (8.5.1)
f i     .   H to  , t>
s
pri Čemer je tt[m,M]. Pravzaprav imamo družino funkcij -[e (t)}, sć[m,H] , ki so vse očitno od zgoraj polzvezne in nenegativne . Fo prejšnjem izreku dobimo zanje družino operatorjev, ki jih pišimo v obliki
3s = es(A)
Ti operatorji so b-sebiadjungirani in .4-končni. Pri tem pa velja še
E2 = e=(A)2 = e fA) = Eo s   s       s      s
zaradi zveze e (t) = e (t). /iL] je torej družina projektor-
o                      o                     S
jev, nekaj njihovih lastnosti ho opisal naslednji izrek.
8.3.3 L EH J  Za družino projektorjev ['L \   veljajo lastnosti
a)     SE     =   E E     = E       za  str '       S r        rs        s
b)      E     =0     zas<m
s
e)     E     =1     za  s > M
d)     E     Ä   =  E '       s+o         s
- 129 -
Dokaz. Če je s*r, je  es(t)er(t) = 6s(t) in po prejšnjem izreku sledi trditev a). Če je s«; m, je e (t) = O za vsak tt[m, I-i] , torej E = O. V kolikor je S>.:M, je e (t) = 1 za vsak tč[mtH] , torej Eg = I.
Dokazimo še, da je funkcija s*-*E z desne zvezna. Vzemimo fiksen st [m,Hi in naj bo {p (t); zaporedje polinomov, ki konvergira k funkciji e (t) v intervalu [m,M]. Pri tem naj Še ve-
S3
lja
P (t) > e  , j  (t) *xu   J  - s+l/n^ J
Po izreku 8*3.4 za ustrezne operatorje velja
P„(A) >   E  ,/ > E
*n   *  s+l/n ~ s
pri tem smo upoštevali še lemo 8.2.S, ki nam za s+l/n>s da
Es+l/nEs = Es **  Es+l/n * Es
Ker gre zaporedje operatorjev p (A) proti operatorju E , gre tudi zaporedje operatorjev E -, ,  proti operatorju E , kar pomeni zveznost z desne.
Družino operatorjev {S }, ki ima lastnosti a) - d) bomo imenovali tudi spektralna druSina projektorjev.
8.4- Spektralna razčlenitev operatorja A^^-(X) f) *Z%(X)
V prejšnjem razdelku smo za operator AfcX(X) r\  SL«(X') dobili spektralno familijo /E Jr. Vzemimo neko zvezno funkcijo f(t), definirano na intervalu [m,M] , ki ga določa operator A. V tem intervalu vzemimo neko razdelitev
so < m <  sl <   ..... < sn-l <   Li * sn
- 130 -
in naj bo V-^fs^^s^], k=l,2,...,n , poljubna točka, le za prvo in zadnjo še zahtevajmo : y.^o, V LM. Definirajmo funkcijo
kjer so funkcije e  (t) oblike (8.3-1). */*(L) je stopničasta
ö^                                                                    ¦ n
funkcija, ki je od zgoraj polzvezna. Zanjo po izreku 3.3.4 dobimo operator
Vn(A) =Zf(Vk)(Es  - E    )
Tudi za zvezno funkcijo f(t) dobimo ustrezni operator f(A). Ker je f(t) zvezna funkcija, lahko na vsakem podintervalu zapišemo
Če pišemo Co  =  max C^v-aO» dobimo oceno
iv
-co t ret) - <enw š w
Po izreku 8«3>4 zopet sledi, da tudi za ustrezne operatorje velja
-vi e   f(A) - ^f (A) L «I
kar lahko zapišemo tudi v obliki
|((f(A) - tfn(A))x,x)e(|^ W(x,x)«
ki velja za vsak xeX in a^4. Ker je tudi f(A) - ^.(A) b-sebi-adjungiran operator, po trditvi 8.2.3 sledi
q,(f(A) - ^n(A))4^ , Ke4 , Če število delišč večamo tako, da gredo dolžine vseh podinter-
t,
valov proti nič, zaporedje operatorjev "enakomerno" (glede na
_ 151 -
polnorme q^) konvergira k operatorju f(A).  Zapiširno
f(A) = /f(s)dE  = lira ITf(* ,)(E  - E   )   (8.4.1)
kjer imamo limito na desni v smislu topologije, ki jo v prostoru X C.X) inducirajo polnorme { qÄ| .
Iz zgornjega sledi še
H
(f(A)x,y)  = Jf(s)d(E x,yL , <*t4        (8.4.2)
kjer je sedaj na desni strani Stielfcjesov integral v običajnem smislu.
Ugotovljene izsledke združimo v izrek :
8.4.1 IZREK Kaj bo operator kt^i (X) f\ *L^(X), potem zanj
obstaja v intervalu ÇmtMJ spektralna družina projektorjev
/ E  j z lastnostmi a) do d) v lemi 8.3.5. Pri tem za vsako
zvezno funkcijo f(t) velja
H f(A) = jTf(*>d®t                                       (8.4.3)
V posebnem za f(t) = t dobimo
A = / tdS.                                              (8.4.4)
Za vsak fiksen sé[m,i-i] je operator E limita v ''krepkem" smislu polinomov operatorja A.
V segmentu Lm,Mj obstaja le ena spektralna familija,za katero velja zveza (8.4.4).
Dokaz. Preveriti moramo le Še zadnjo trditev. Če bi imeli še eno spektralno družino / F \, za katero bi veljalo (3.4.4), bi to pomenilo, da velja tudi
H
A1 = Js1dFH  ;  i=0,l,...
-  152 -
kar  sledi   za  i=0  direktno,   za  i=l,2,...   pa  iz   zveze
i Z  9V(F„     -   F       )ii   = Zvf(F       -  F       )
kajti za k/j velja : (F -P   )(Fe -F   ) = 0. Od tod sledi, da velja tudi za polinome
H
p(A) = /p(t)dF
ali tudi
H
(p(A)x,y)w   =   /p(t)d(?tx,y)<x    ;     x,yeX,   *U in po  Vieierstrassovem izreku tudi   za vsako  zvezno  funkcijo
fCt)                                                H
(f(A)x,y)ti(   =   /f(t)d(Ftx,y)^
/Ht-0
Če dobljeno zvezo primerjamo z (8.4.2), dobimo
H
/f(t)d((Et-Ft)x,y)  = O
za vsak cte41 poljubna elementa x,yćX in vsako zvezno funkcijo f(t). Po izreku, kdaj je Stieltjesov integral enak nič za vsako zve zno funkci jo, sledi
E(t) = ((VV^^ot = c
za t = m-o, t = H in za vse točke t, kjer je g(t) zvezna ali vsaj z ene strani zvezna. Toda v točki t = M je g(M) = E,.j-FI,= =1-1=0, torej c = 0. Ker sta F, in E. zvezni z desne, je
:     '                ccvV*»*^ = °
za vsak  tfeLm,Hj   in vsak indeks dtU   ter poljubna x,ytX,   torej velja
- 133 -
6.4.2  rOliOIAK     Za  operator    At^(i)/1 ^T:(X)   in  zvezno  fun-kcijo  f(t)  v intervalu  LmtMj   je   tudi
f(A)eK(X)n rfyCXj
pri  cerner velja ocena
Il fU)||  -  max { |f(t)| ,   m i te M }
Doksz. 7 e od prej verno, da je f(A)ć>t(X). Ker je f(t) zvezna funkcija, obstajata konstanti c-,,Cp z lastnostjo
c1 t f(t) é c2 ,  $*Lp,M3
če to oceno upoštevamo v Stieltjesovih vsotah, dobimo
0,1 = c±f(Z    ~E   ) if f(V )(E -B  )^c2f(3 -S  ) = c2I
kar nam v limiti da
c1I ^ f(A) ^ c2I oziroma
c1Cx,x)e( ^ (f(A)x,x)^ é c2(x,x)a(
in po  izreku 8,2.3  tedaj  sledi
q«((f(A))   =  max { |c1( ,\c?\  )
3naka ocena potem velja tudi za supremum
; llf(A)tl - sup qÄ(f(A)) = max { jc-^ , |c2 ( } < #>
s Čimer smo zgornji korolar dokazali. Dokažimo še naslednji izrek :
8.4.5 IZREK Naj bo Afe^F(X)n^(X) in {E^ njegova spektralna družina. Fotem velja : točka tt[ra,Ii], v kateri funkcija
- 134 -
tV**--E. ni zvezna, je lastna vrednost operatorja A. Množica tii; J.-E,_ ) je prostor ustreznih lastnih vektorjev.
Do kas. Vzemimo poljubna s,rć[.m,Kl in najprej dokazimo trditev
s^=> s(Lr-2s) * A(Er-Ss) ^ r(3r-Ss)                     (8.4.5)
V ta namen  zopet vzemimo  neko  delitev intervala   Qrri,M]   :
so <   ffi  * sl^    .....   ^sn-l C  K  ž   sn
in naj bodo zopet vmestne točke y^efs, -, ,Sjl , k=l,2,...,n, poljubne, le za prvo in zadnjo naj bo : V-,> m, 5? L?<« Označimo Stieltjesovo vsoto
Kaj za vrednosti s in r velja : s - L s L   si+i »  s-i f r = si+l' vzemimo še neko število TfcCni,M3 in si oglejmo vsoto
(S -?I)(E-EJ = ZC^k-7)(E -2   )(E_-L_)
razbijmo jo na več delov in upoštevajmo lastnosti družine LE i
(S-H)CE -S J = L (/k-?) [(Ea -S    ) - (E -I   )] +
+
1
Io   limitnem prehodu dobimo
r
(a -ri)(Er - O - X(t-r)dEt
- 135 -
Le v tej relaciji pišemo T  = s in nato % « r, dobimo
(A - sI)(Er - Es) = J(t-s)dLt ^ 0
(A - rI)(Zr - Es) = J(t-r)dEt % 0
kar nam da ravno oceno (§#4.5)«
Kaj sedaj funkcija t *—* E, naredi v točki t  skok, se pravi
P+. = s. - s.   /o tđ    tö    t0 -o
Operator F.  je zopet projektor in iz ocene (8,4.5) dobimo
t
0
<*0-E>*t, e APt a t0p
od koder pri n-^co  sledi
<A - *L*t9 = °
Torej   za vsak x*X velja     (A - t  I)P.   x =  0,   oziroma Če  pišemo
o       vß
y = F,   x,   sledi
Ay - t0y  ,     yt^Pt   )
Je
Za operator A4 %t{X) (\ ^^(X)  lahko izrek 8.4.1  še posplošimo na  zvezne kompleksne  funkcije,   če  jih pišemo v obliki
f(t)  = fjCt)  + if2(t)
kjer sta f-,(t) in fp(t) zvezni realni funkciji. Na ta način dobimo operator
H
f(A) = f1(A) + if2(A) = /f(t)dEt
Pri tem seveda operator ffvA) ni več b-sebiadungiran, vendar zanj obstaja adjungirani operator :
- 135 -
8.*-.~'l IZS^K  Za vsak operator A iz X(X)nLp(x) in vsako zvezno kompleksno funkcijo f(t) (t*|m,H]) dobimo operator
f(A) = /f(t) dB.
pri  cerner  je     f(A)  iz   jL*(X) n L:-gO0 •   Njegov b-adjungirani operator je
f(A)° »   /fTtTd^.
Doka a. Očitno sta operatorja f*(A) in fP(A) iz H(X) AjLp(X)., zato je tudi f(A) t ^f^ÇX). Izračunajmo
(f(A)x,y)w = Cf1(A)x,y)^ + i(f2(A)x,y)^ =
= (x,(f1(A) - if2(A))y)^ = Cx,*(A)0y)„
To pomeni, da za operator f(A) obstaja b-adjungirani operator:
r(A)° = fj(A) - if2(A) =^/fTtT dEt
Kaj opomnimo, da bi tudi za unitaren operator Ü*ä?*(X) lahko dobili spektralno dekompozicijo po podobni poti, kot smo jo prehodili z operatorji iz množice 3Ć(X) A ^-^(K).
Da se nam je posrečila spektralna razčlenitev za sebiadjun-girane operatorje iz množice jL«(X}A SC*CX), ni presenetljivo, saj je ta algebra celo izomorfna von Neumannovi algebri, kar. bomo videli v naslednjem izreku.
8.^.5 IZRSK Naj bo X H-lokalno konveksen prostor. Potem je C*-algebra L*00¦•/* ie-J^lQ  izomorfna neki von Neumanno-vi algebri.
Dokaz. C*-algebra z  enoto je izomorfna von Neunannovi algebri
- 137 -
natanko tedaj, ko sta izpolnjena poboja C gi»X5j)i
1. Vsako monotono naraščajoče posplošeno zaporedje herr.iitskiii elementov, ki so od zgoraj omejeni z nekim hermitskim elementom, ima natančno zgornjo mejo.
2. Za vsak pozitiven nenačelen element x te algebre c^jtaja stanje f, ki je na elementu x od nič različno in za vsako monotono naraščajoče posplošeno zaporedje / yr\ pozitivnih elementov, ki ima natančno zgornjo mejo yL0, velja
f(y) = sup f(yr) t* r
Vzemimo torej monotono naraščajoče zaporedje operatorjev (a^c c #(X>/1 Sfp(X) {7*L.J~**b  Ar e Aj»), ki je navzgor omejeno (ArL B, 3*#(X) rti^jOc) za vsak Ter),  Fo izreku 3.2.6 obstaja "krepka" limita A.<fX(X)« CČitno je tudi Ać^p(X). Dokažimo, da je operator A ravno natančna zgornja meja.
Vzemimo poljuben xtX, <*t4 » fef  in ocenimo
l(A-xfx)Ä-(Ax,x)w) é Pot(Arx-Ax)p0((x)
Od tod sledi, da tudi zaporedje /(Arx,x)/jft r konvergira proti (Axjx)^ . Če na desni strani neenaČbe (AyX1x')ot   ±  (Ajf-#x,x) , ki velja za iT* $ i"  , naredimo limito po vseh 2'é/\ sa katere je J " > >^'i dobimo  (A^-z x,x) g (AXjX)^ . Torej je A zgornja meja, je pa tudi najmanjša zgornja meja, kajti če je tudi operator G zgornja meja, velja za vsak FeTi   (A7x,x). ^ (Cxtx)rf > Toda, ker zaporedje {ÂXI  konvergira k Ax, velja
lim (A.x,xl = (Ax,x). ±  (Uxtx%
eé C
kar pomeni, da je operator A res natančna zgornja meja.
Preveriti moramo še drugi pogoj. Vzemimo poljuben pozitiven nenicelen operator A iz Ič*(X) r\ ^^(X). Ker je A ^ 0, obstaja
- 133 -
vsaj en element y^'O, da velja Ay^O in zaradi zadostnosti polnorm p« obstaja potem vsaj ena polnorma pyoé- 'i z lastnostjo P^0CAv) / 0, Ker je p.*„(Ay) * C^p^Cy), je tudi p*o (y) / O. Zato lahko izberemo element x=y/p*o(y)» ki ima lastnost py (x ) = = 1. S pomočjo teca elementa in indeksa *ae<d konstruirajmo funkcional
Očitno je f linearen in zvezen zaradi ocene
Ker- je f(I) = (x0ix0X-0 " 1> velja |i f II = 1. Funkcional f je tudi pozitiven
f(j?°r) = (r°jxo,xo)Vo = Cfxo,abco)^ > 0, r^#(X)A^p(2)
Torej je funkcional L  stanje. Ali je njegova vrednost na operatorju A enaka nič ? Recimo, da je f(A) = (Ax ,x L{ = 0, ker je AIO, po izreku 5.5,4 obstaja pozitiven kvadratni koren B = A %   in lahko zapišemo
•  0 = (Axo,xo)^ = (B2xo,xo),ö = P^(3xo)2
od koder sledi
p*0Uy) ¦ p..(^p*o(ax0) = P*o(y)p<a(32x0) e
= P^Cy)q^(3)P=,oC3xo) = 0
kar je v protislovju s predpostavko Pv0(Ay) / °,
Imejmo sedaj posplošeno monotono naraščajoče zaporedje operatorjev {Af\fc? t   ki naj ima natančno zgornjo mejo C. ?orej za
- 139 -
operator G veljata zahtevi
(a)  (Aj.x,x) L   (Öx.,3c]L )  z^ vse xeX, ^*4 in <FV r
(b)  za vsak L> 0 obstaja indeks f»ef  , da za poljuben x*X in dtu  velja:  (A^x^x)^ e (Cx»3c)^ - cCxjx)^.
Iz prve.r;a pogoja pri x=x inx=.y sledi
za vsak 7e '", torej velja ta ocena tudi za supremum
sup fCAj) = sup (A;^,x0)y é CCx0,x0)^ = f(G)
i*'        /t"
Vzemimo poljuben L>G, potem po lastnosti (b) obstaja indeks c0eC, da velja
sup f(Ar) ž (A,x,x) >   (Cxo,x )  - L = r(G) - 6
Ker je L>0  poljuben, sledi:  sup f(A ) = f(C) in skupaj z zgor-njo oceno dobimo enakost.
Naredili smo spektralno razčlenitev za poljuben ^-končen in b-sebiadjungiran operator. Sedaj pa bi hoteli isto narediti za poljuben b-sebiadjungiran operator. V ta namen naredimo nekaj priprav.
8.3 Košutativnost in redukcija operatorjev iz ^L(X)
Ta dva pojma uvedemo v H-lokalno konveksen prostor podobno kot v poljubnem Hübertovem prostoru. Naj bosta A in 3 poljubna zvezna operatorja, definirana na vsem X (A,B ^^(X)), potem rečeno, da A in B konutirata, če velja A3 = BA.
- 140 -
Za konutativnost preverimo nekaj lastnosti, ki jih bomo kasneje še srečali,
8.5.1 TRDI DSV ila j bodo operatorji A, 3 in 3n iz L(X), Potem zanje veljajo trditve:
1) če A komutira z 3-, in 3-, potem A komutira tudi z B, 3p in z  B,+Bp,
2) Se A komutira z B, obstaja operator 3" in je S(B" )=X, potem A komutira tudi z 3~ ,
3) če A komutira z vsakim operatorjem 3 in zaporedje (B_] "krepko" konvergira k operatorju C, potem A komutira tudi z njin,
4) če obstajata operatorja A in B ter A komutira z 3, potem A° komutira z B°.
Dokaz. Lastnost 1) je očitna, Tudi lastnost 2) preverimo kaj hitro, kajti operatorji A, B in 3~ so definirani povsod. Če vzamemo poljuben x^X, obstaja element y^X, da velja y = B~ x
in dobimo
Ax = ABy = AB3~1x = BAB"1*
-1      -1
kar pomeni  3 Ax = AB x,
Vzemimo sedaj zaporedje operatorjev {3 }, ki krepko konvergira k operatorju C in z vsemi operator A komutira. Za poljuben B. > 0 in <*tâ  velja ocena
p^(ACx-CAx) L p^(ACx-AB x) + pot(3nAx-GAx) i
é  q^(A)p^(Cx-3nx) + px(3nAx-CAx) l   <&(&)L +   L
če je le n dovolj velik. Ker leva stran ni odvisna od števila
- 141 -
n, do bi ino
PUCAČA - CAx) = 0 , Uta
oziroma  AC = CA.
Tudi zadnjo trditev hitro preverimo*, ker A° in 3° obstajata, po trditvi 4.5.9 sledi
A°3° = (3A)° = (A3)0 = B°A°
Poseben primer imamo, če operator Aé-Iff(X) komutira z nekim projektorjem p :  AP = FA. Če pišemo Q = I-P, je po izreku 8.1.6 tudi Q projektor in tildi z njim operator A komutira
AQ = A - AP = A - PA = QA
Iz te zveze dobimo še relaciji
PAP = APP = AP                                         (8.5.1)
in
QAQ = AQ                                               (3.5.2)
Zapišimo še zvezo
A = (P + Q)A = PA + QA = AP + AQ                     (8.5-3)
Če pišemo  X-, = $j(F) in Xp = &(3), vemo, da velja
kjer sta podprostora X-, in Xp medseboj ortogonalna. Definirajmo še operatorja
Ap = Alx1 *   k"i  = Al:<2
Iz lastnosti (C.5.1) in (G.5.2) potem sledi, da operator Ap preslika podprostor X-, vase in operator A~ podprostor Xp vase.
- 142 -
Za vsak element x = (x, + Xp) L X, kjer je x-jé-X, in x?eXp, velja
Ax = A-Xn + A,,xn x- 1   Q 2
kar sledi iz relacije (S,5.5).
V taki situaciji, kot smo jo sedaj opisali, bomo rekli, da podprostora X-, in Xp reducirata operator A.
8.6. Spektralna razčlenitev operatorja Ać^(X)
Pri dokazovanju eksistence spektralne razčlenitve operatorja AéîL(x) nam bo v pomoč že dokazana razčlenitev za 4-končne in b-sebiadjungirane operatorje. Lokažimo najprej izrek;
S.6.1 IZH5K Naj bo X H-irechetov prostor in operator A iz ^*(X), potem obstajata operatorja B = (l+A°A)~ in C = = A(I+A°A)"1 ter velja
b* iL(x)n Lp(X) , Ct^(X)n Lp(X)
Pri tem je /I B II L 1, (ICH 11 in B pozitiven operator.
Dokaz. Ker je  (A Ax,x)^ = (AXjAx)^ >  0, je operator A A pozitiven in so tedaj vsa negativna realna števila po trditvi 6.5-2 iz <S?(A A). Operator I+A A je tudi pozitiven in vsa števila manjša od 1 so v njegovi resolventni množici, torej obstaja operator (I+A°A)~  ¦ B. Ker je tudi -lL^(A°A), je po lemi 5.2 &(I+A A) = X, ali 9)(3) = X. Vzemimo poljuben element 2.4X, potem obstaja element xé-X z lastnostjo z = (I+A A)x, oziroma  x = Bz. Dobimo
pŠO) = p^((l+A°A)x) = p^(x) + 2Re(x,A°Ax)y + p*(A°Ax) =
- 14-3 -
= p|(x) + 2p2(Ax) + p2(A°Ax) >  p2(x)                       (S.6.1)
Od tod sledi:  p^(3s) ^ P.^C2) sa vsak <*ć4, kar že pomeni, da je operator B iz ^C-^CX) in
il 3 II = sup qy(3) ^ sup sup (p0((3x)/piy(x)) E 1
Dokašimo, da za operator 3 obstaja b-adjungirani operator. Naj bosta x,ytX poljubna, potem obstajata elementa u,v<0L, da velja u = Bx in v = By, oziroma x=(I+A°A)u in y=(I-t-A°A)v. Velja
(3x,y)w = (u,(I+A°A)v)^ = (u,v)^ + (u,A°Av)* =
= Cu,v)^ + (A°Au,v)x = ((I+A°A)u,v)(X = C**3r3*
kar poneni, da obstaja operator 3° in je enak operatorju 3, torej je 3 iz 3-L(X). Operator 3 je celo pozitiven:
CBt,x)Ä = (3x,(I+A°A)3x)^ = (Bx.Bx)^ + (Bx,A°ABx)a< = = Pv(Bx)2 + pjABx)2 > O
Oglejmo si še operator C. Ker operator 3 obstaja, obstaja tudi operator C = A3 in ker je 35(B) = S3 (A) = X, je tudi 55(C)=X. Naj bo z«X poljuben element, potem obstajata elementa x,ytX, da velja x  = 3z, j =  Cz = A3z = Ax in če prepišemo prvi del relacije (3.6.1), dobimo
pS(z) = P2(x) * 2p2(Ax) + p2(A°Ax) = = pi(Bz) + 2p2(Cz) + piCA°Ax)? p|(Cz)
Cd tod sopet sledi  G e aLp(X) in 9 G /I 4L Ker za operatorja A in 3 obstajata b-adjungirana operatorja, tudi za C obstaja b-adjungirani operator G  z lastnostjo
- 144 -
C° = (A3)0 = B°A° = BA
Torej je  CLjL;*(X) fi jL /X), s čimer smo zgornji izrek v celoti dokazali.
Nekajkrat bomo rabili še naslednji pomožni izrek :
8.6.2 L5PIA Naj bo i^^^Li   sistem ortogonalnih projektorjev z vsoto I in naj bodo  X = &(P ) ustrezni podprostori. Naj bo dana Še družina operatorjev {A \  -¦ L ^ (X) z lastnostjo, da jib podprostori X reducirajo na b-sebiadjungirane operatorje. Ti operatorji naj bodo glede na posamezne pol-norme q* enakomerno omejeni
1o((An) e D* »  nt
N
Fotem obstaja natanko en b-sebiadjungiran operator A, ki ga podprostori X reducirajo na operatorje A in velja
M
Ax = 2L A,x
¦^ n n
¦ =Zx tX.
za vsaJL x
*~ n
Dokaz. Vzemimo poljuben xtX, potem velja
To pomeni, da je zgornji operator A definiran na vsem X in je
Ker je  Akxk = AkPkx = PkAkx tIk za vsak xk&Xk, velja
•i                                                                  <"
(Ax,y)„ - Cx^Ay)^ = Ž <Vck,yk)^ - Z t^V^ = 0
kjer smo upoštevali, da so podprostori Xk med seboj ortogonal-ni zaradi ortogonalnosti projektorjev P. . Torej je operator A
- 145 -
b-sebiadjun^iran. Dokasati moramo le še enoličnost. Privzemimo, da di bil še en operator A' z lastnostjo  (A'x,y) = 'x,A'y)ji za x.»y«-*(Â*) in bi se na vsakem podprostoru X, reduciral na operator A- .   Ker velja
Pq,(A'x) = py(2:A'xk) = p^(pkxk) * C^p^Cx)
je%A'3   =   X in tudi  A'^yo(X)   ter velja
A'x  = lA'xk  = Z\xk  =  Ax
Vrt                         *•/
torej je  A' = A, s čimer je zgornja lema potrjena.
Vzemimo sedaj poljuben operator Ae^(X). Po izreku 8.6.1 vemo, da obstaja operator 3 = (I+A ) e 0€(X)/i ^j.(X) ter operator C = AB = A(I+A2)_1é JL* (X) /i aLF(X). Pri tem je II 3 II é 1 in HC 1141. Ker je operator B celo pozitiven, velja 0L3 L1, ali na daljši način zapisano
0 ^ (Bx,x)rf 4 (x,x); xfrX, *ea
Po izreku 8,4,1 obstaja za operator 3 spektralna družina {F.y v intervalu [.0,1] z lastnostjo
B = /tdF,
Pri tem je funkcija t *-* F. tudi v točki 0 zvezna, Če bi namreč P, pri t=0 naredila skok, bi bila točka t=0 po izreku 8,4,3 lastna vrednost operatorja 3 in operator 3~ ne bi obstajal. To pomeni  P  = 0.
Definirajmo družino projektorjev
P     = Pj.     -  Fj_        ;     n=l,2,.... n                ju                     «+<
o
ki  ima očitno  lastnost   :   i- P     =  0  za n/m in P     = F       ter
n m                                 n         n
- 146 -
zanje velja
»j 22  ^ = Fi - F  = I
fe n 1      °
Fišimo  X = (&(F ), potem so prostori X paroma ortogonalni
in njihova direktna vsota je ves prostor X.
o
Operatorji A, 3, C in (I+A ) so povsod definirani, zato
2       2
lahko relacijo A(I+A ) = (I+A )A pomnožimo z leve in desne
z operatorjem B :
BA(I+A2)3 = B(I+A2)A3
od koder sledi
AB = BA
in prav tako velja 3C = BAB = ABB = GB, oziroma
CB = 3C
Torej operator B komutira z operatorjema A in C.
Ker operator C komutira z operatorjem 3, komutira tudi z vsemi polinomi operatorja B in s krepkimi limitami polinomov od 3. To pomeni, da operator C komutira tudi z  operatorji F. in P kot tudi z operatorji oblike s (3), kjer je
sn(t) -
J t » H+T* t =n L 0 , drugod
Funkcija t.s (t) =1  za t L(l/(n+l),l/n] in enaka nič drugod, zato da po ugotovitvah razdelka 8.4 ravno projektor F in ve-
lja
Od tod sledi
3.S fB) = s f3).3 = F„ n      n       n
- 14-7 -
APn   =  A3.sR( l)   =  G.SnOD   =   3^(3)0   =   sr(3)A3  =   sp_(3):3A  =  ?rA Jorej   budi  operator  A komutira  3  projekirorjen i-   .   Pišimo
Ar.  - Aîn  -  W3>
rodprostori X reducirajo ODerator A na operatorje A , ki so
i                    n                                                                      *       n
4-končni,   namreč,   ker  je  SeJf_,(X)  in  s n(B) L Jjf _,(;<),   Je  tudi
Il An|| g !|G/|ttsnC--i)ll  L (n+1)
Operatorji A so tudi enakomerno omejeni glede na posamezne polnorme q^
"  9*CV é ^(A)qst(Pn) | q„(A)                         (3.6.2)
Judi za operatorje A obstaja spektralna razčlenitev
An =  / td^
uri tem sta meji a in b končni zaradi ccene u   n    n
fCAnx,x)^| 4 i^(An)(x,x^ i IIA^Cx.x^ i (n+lXx.x)^
za vsak oitA. Kadar pišemo skalarne produkte, se zgornja oblika integrala še malo spremeni, upoštevajmo namreč oceno
l(Anx,x)rt| ^ q«(An;(x,x)^ ^ ^(A)(x,x)^
kar pomeni,   da obstajata konstanti n'  in H',   da  je
Torej  so  vsi  operatorji   A    v istih mejah pri  fiksnem indeksu efë4 .   Vzemimo  torej  fiksen indeks *tC ,   tak n*A ,   da  bo   CT^->- lt\c c* Ca   »h-l   ^eT Sé[aniH^j,   potem  za vsak element  oblike y*E x
- 148 -
velja
^tj - -vJsx -   -sx - 2
če je le t ; s. To pomeni
(Any,y)« * / * /tdCs^y^ L s/dC^y)^ = s(^yty)Ä = = s(y,y)M
kar je zaradi ocene (S.6.5) mogoče le za element y € J^. Sa vsak st(a ,ni) je torej Z xć J^ za poljuben x«X. Vzemimo še Sc(i:J,b ], potem velja za vsak element oblike y = S x-x zveza
Šr - 3XX - ES* - °
če je le t L s. Od tod sledi
-     s/d(E^,y)^   =  s(y,y)o(
5
kar je  zopet mogoče  zaradi ocene   (0.6.3)  le  za y< 3^,  Se pravi za  s«(K*tbn]   velja:   2^x = x + y,   kjer  je  y« Jrf.
Imamo  torej dva primera:   če  je  s<mj,   je d(23 x,x)x   = 0 in tudi   za s>M*  je  d(T^x,x)rf   = d((x,x)a(+(y,x)3t )  = 0.   Torej velja
(Anx,x)^   =   / + /  +    /td(^x,x)x   =     yWCEg*,*),
če je število n tako, da ne velja inkluzija [m^,M^JC [a ,b 1,
lahko ustrezno povečamo interval na fa',b']:>(a ,b I, da bo
tnnJnn
zgornja inkluzija izpolnjena, Torej velja zadnja zveza za vsako število n«*:, s čimer smo dosegli, da na desni strani nimamo več odvisnosti od števila n*IK.
Za spektralne družine {Bri veljajo po izreku 'č. 4.1 nas ledu j s lastnosti:
- 149 -
(1)  za s^r je 3S e sr /o)  ,n  m  ~.n
v~y       ^3+0              S
(5) sa s^an je ^ = 0,  za s i bn je EJjj ¦ I
Pri ten so  3 projektorji, torej b-sebiadjungirani operator-ji, ki jih podprostori X reducirajo. Ker velja še
so glede na posamezne polnorme enakomerno omejeni. Po lemi 8.6.2 obstaja b-sebiadjungiran operator Z . dan s predpisom
za vsak xtX. Vsak podprostor X reducira operator E na operator E . Operator E je projektor, ker velja
E** - f E^(LeIi> x) = L H^F^Fx = Scx s   ^7, s nv ~ s k    iT, s D 8 n    s
in tudi lastnostim (1), (2) in (3) zadošča : za s i r je
Če gre s-*-°°, f^redo vsi operatorji E —> 0 in velja S =0.
s                                                s   «,
Če gre s^> **>, gredo vsi operatorji E^ _» 1 in velja E = JJP =
S                                                S    ^»^  IL
= I.
Definirajmo projektorje oblike
%  » Em - Sm-1 *  m=0' **« I2' '" in naj bodo Y = J$L(Q ) podprostori, kamor projicirajo. Pišimo
sm = Jtd-t Operatorji 3 so spet b-sebiadjungirani in d-končni. So pa celo
- 150 -
enakomerno omejeni glede na posamezne polnorme. Velja namreč
=iit2d(ESFnx'^„4r/t2đ( ^PnX,x)a iÇp2(AnFnX) < qI(A)p2(x)
Pri tem smo pisali M = [m,m-lj n [m^,ii^J, upoštevali neenačbo (8,6,2) in dejstvo, da lahko vrsto členoma integriramo, ker imajo funkcije (S.PXjx)^ enakomerno omejene totalne variacije zaradi ocene  | ( iiLPnx, x )^ | ^ p^(^Pnx)p^ (x)| Pot(3tx)pw(x) L P*(x).
Fo lemi 8,6,2 obstaja b-sebiadjungiran operator S, ki se na posameznem podprostoru Y ujema z operatorjem S ,
Sx = 22 sxm = 22 smQ^x
Za vsak xtX imamo
IH.                                                    Vi                                        J«
Sx =   2 Sx    =   X J tdE. xm  =   ZjtdS-.x =    JtdS.x rs,   m m       .3»   *        trn       -»,  ^        t          J        t
Dokazati moramo še, da je dobljeni operator 3 enak našemu
izhodnemu operatorju A, Za vsak element x cX velja K             -                                              n  n   w
s n   s n
kjer je { E J spektralna družina operatorja A , zato leži v kon-Snem intervalu [a ,b 1. To pomeni 3 x je konstantna funkcija
i i-        1I                                                      o  il
za s < a in za s >b  , tako imamo n       - n '
t»*                               b*
Sx^ = JtdC. 3C = /tdB&L = A x  = Ax„ n *&        t  n  V«,   t n   n n    n
Torej se b-sebiadjungirana operatorja A in S ujemata na vsakem
podprostoru X in po lemi 3,6,2 sta tedaj enaka : S = A.
Tako smo dobili spektralno razcepitev za operator A
- 151 -A = itd::.                                               (8.6.?)
Jt
Dokažimo še, da je spektralna družina iE t enolično določe
na
z operatorjen A. Najprej ugotovimo : vsak operator If^ (X), ki komutira z operatorjem A, komutira tudi z operatorji E .
S
Res, če operator T komutira z operatorjem A, potem komutira tudi z operatorjem B = (I+A~)~ , ker je "3(3) = X (trditev 8.5.1). Operator I1 komutira tudi z vsemi polinomi od B in njihovimi krepkimi limitami, tedaj T komutira tudi z operatorjem P = B.s (3). Se pravi, da operator T reducira vsak podprostor X . V tem podprostoru je operator E limita polinomov operatorja A, torej T komutira tudi z E , iz česar nazadnje skle-
s                                            m
parno, da operator I1 komutira tudi z operatorjem E = Z" E P
s  iH-i s n •
Dokazali smo torej trditev :
¦
AT = TA =L EB = ET     ,   T«-LfX)       (8.6.6)
Operator A komutira z operatorji E , kar razvidimo iz zveze
AEox = SSox = LSLB» = E^SSmxm = E Ax    (8.6.7) s     s   ri m s m   s f", mm   s
Vzemimo sedaj, da imamo Še eno spektralno družino {-';, za
katero tudi velja
A = JtdEL
pri tem tudi operatorji E* komutirajo z operatorjem A in po
lastnosti (6.6.6) velja E'E^ = E_E*'« 'Tudi projektorji  0 =
= E - E -, komutiraju z vsemi operatorji E' in velja m   m— l        ^                                              s
e*      e*
AQm = jt^t   -  /«KJ Ve      *¦-«
To pomeni, da operatorja E in E' sovpadata v podprostorih Y =<Â.(.J ). Ker so Y med seboj ortogonalni in njihova direk-
- 152 -
tna vsota je ves prostor X, sovpadata družini 3 in E' povsod. Dokazali smo tako izrek :
8,5.3 IZREK Kaj bo X E-Frechetov prostor, potem za vsak
operator AéX(X) velja
ca
A = JtdE.                                                  (8.6,8)
-bo    y.
kjer je [ S.\   spektralna družina projektorjev z lastnostmi (1)  za s e r je 3S = Er
^  ^s+0  ^s
(3)  E *¦* 0, če s^> -<» in E —» I, če  s -* *•
Družina Cs_i je z operatorjem A enolično določena in komutira z vsemi operatorji, s katerimi komutira operator A,
Kadar računamo s skalarnimi produkti, se integral (8,6.8) v resnici ne razteza po vsej realni osi. DokaŽimo izrek :
8.6.4 IZPEK Naj bo X H-Fre'chetov prostor in operator A^H(X), potem za vsak indeks of^4, obstajata konstanti m in i-.^, da velja                                          Htl
(Ax>y)* ¦ J"td(Etx,y)„
kjer je l-sT spektralna družina operatorja A.
Dokaz. Ker je AtÜ(x), po trditvi 8.2,3 vemo, da obstajata konstanti m^ in HM  z lastnostjo
n^(x,x)^ L  (Ax,x)  L Hu(x,x)
ti
Sedaj za operator A naredimo prav tak sklep, kot smo ga naredili za operator A in družino {.Sgf* Dobimo : za se  m^ je E xt É^ in  (E at'»y^ = O, za S* H«, je Esx-x ć J„ in (E^y^ =(x,y)o(
- 153 -
kar nam da nasadnje
;
(Ax,y),.   *  J*   + J   +   J fcd(3 x,y)     =   J i      ^x,y)„
V       **               V*
- 154 -
L I T i S A T U R A
1   Achieser U.I* ,Glasn:ann I.H.: Theorie der linearen Operatoren im Hilbert Raum.
Akademie-Verlag, Berlin, 195^
2   Antonovskij H.J.,3oltjanskij V.G.,5arimsakov T.A.: Topologico skie polupo1ja.
Izd. Sam. Ga*, Taškent, I960
3   Antonovskij M.J.,Boltjanskij V.A.,Sarimsakov T.A,: Hetrice skie prostranstva nad polupoljami.
Tr. Taškent. Gos. un-ta,vip 191, Taškent, 1962
4   Antonovskij M.J.,Boltjanskij V.G.,Sarimsakov T.A.: Očerk teorii topologiceskih polupolej.
Uspehi mat. nauk 21(1966)135-218
5   Dixmier J.: Les C*-algebres et leur representations. Gauthier-Villars, Paris, 1969
6   Groethendick A.: Topological vector spaces. Gordon Break 1973
7   Hadžiev D.: 0 proektivnih predelah gilbertovih prostranstv. Izv.akad.nauk Uzb.SSR 3(1974)39-90
8   Kotne G.: Topologische lineare Räume.
Springer b.l07, Berlin-Göttingen-Heidelberg, I960
9   Lassner G.: Topological algebras of operators. Reports on Math.Fhys. 3(1972)279-293
10   Lassner G,: Über Realisierungen gewisser jf--Algebren. Math.Nachr. 52(1972)161-166
11   Michael S.A.: Locally multiplicatively-convex topological algebras.
Kem.Amer.math.soc. 11(1952)1-79
12   rioore T.: Banach algebras of operators on localy convex spaces.
Bull.Araer.ilath.;ioc. 75(1969)63-73
- 155 - @
13   Precupanu T.: espaces linéaires a semi-normes hilberti-enne s.
An.3ti.Univ."Al I Cuza" lasi secb.I a ISatera. 15(1969)83-93
14   Precupanu T.: Sur le produits scalaires dans des espaces vector topologique.
Rev.Iiouo.de Hath.Paresset Appi. 13(1968)35-90
15   Precupanu T.: Sur l'espaces dual d'un espace linéaire a semi-normes hilbertiennes.
An.Sti.Univ."Al I Cuza" lasi sect.I a Matem. 19(1973)73-78
16   Riesz P.,Nagy 3.S.: Vorlesungen über Funkcionalanalysis. Veb Deutsch. Verlag der Wissensch., Berlin, 1973
17   Shaefer H.: Topological vector spaces. He Biliar ser. 1966
18   Schmüdgen K.: Über LHC*-algebren. Math.Nachrichten 68(1974)167-182
19   Wloka J.,Floret K.: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räumen.
Lectures Notes in Math., Springer 1968
20   Yoshida K.: Funkcionalni;) analiz. Hir, Moskva, 19&7
21   Pietsch A.: Kuclear locally convex spaces. Spinger-Verlag,Berlin-Heidelberg-I!ew York, 1972
22   Precupanu T.,Hunteau I.: On K-smooth in linear spaces. An.Sti.Univ."Al I Cuza" lasi sect.I a Matera. 20(1974)311-316