Dalibor RADOVAN* .OPTIMIRANJE DIGITALNEGA MODELA RELIEFA ZA RAČUNANJE TOPOGRAFSKIH ODKLONOV VERTIKALE 1. Zastavitev problema Januarja 1984 je bil skrajni čas, da se lotim izdelave diplomske nalo- ge. šel sem torej k prof. Vodopivcu, ta pa mi je zastavil tale problem: "V SR Sloveniji bodo v kratkem opravljene meritve na več geoidnih toč­ kah. Radi bi izračunali topografske odklone vertikale na teh točkah, vendar ne po klasični "peš" metodi, pač pa z računalnikom na podlagi digitalnega modela reliefa. Vaša naloga .je ugotovi ti, kakšne vrste DMR borno uporabili in kako veliko območje moramo upoštevati." 2. Vzroki za nastanek topografskih odklonov vertikale Kot verno iz višje geodezije, je odklon vertikale kotna razlika med nor- malo na referenčni ali pa na splošni elipsoid Zemlje ter vertikalo na geoid v izbrani točki. Odklon je torej relativna količina, odvisna od izbranega elipsoida. Velik del odklona vertikale povzroča nepravilna razporeditev Zemljinih mas v okolici obravnavane točke. Ta del se ime- nuje topografski odklon in ima približno takšen značaj kot reliefna ko- rekcija v gravirnetriji. Gre ,za vpliv privlačne sile kamnin z različnim reliefom, geološko strukturo, oddaljenostjo in gostoto na smer težiščni­ ce. V hribovitih predelih in tam, kjer so pod površino bloki kamnin, go- stejši ali redkejši od okolice (anomalije), bo topografski odklon večji, ker se geoid bolj strmo vzpenja nad elipsoid. 3. Klasični postopek Odklon vertikale običajno izražamo z rneridiansko komponento t in kompo- nento ~ v smeri I. vertikale. Kolikor želimo izračunati topografski od- klon vertikale v določeni točki, moramo relief v okolici točke v mislih razdeliti na množico koncentričnih kolobarjev in jih razrezati še radi- alno z osjo v točki. Slikal prikazuje eno izmed nastalih koncentričnih "prizem'', slika 2 pa tloris tako razparceliranega območja. h A 1,v~ridi o.n T H Slika 1 T' 1. vertikul * 61000,YU,Ljubljana, Inštitut za geodezijo in fotogrametrijo FAGG dipl. inž. geod. Prispelo za objavo 1984-11-15. GV 28(1984)4 2 03 N \✓ Slika 2 s Praktično izvedemo račun tako, da tlorisno shemo narisemo na prozorno folijo in jo polagamo na topografske karte v različnih merilih tako, da je središče mreže v naši točki. Na ogliščih mreže prečitamo nadmorske visine in jih seštejemo ter vstavimo v preprosto enačbo, ki sledi iz in- tegracije privlačne sile vsakega koščka reliefa nad morsko površino. Kot vidimo iz slike 2, so kolobarji bližje točki ožji, saj bližnje mase povzročajo zaradi močnejše privlačne sile večji odklon kot bolj oddalje- ne. Če računamo komponento f, so manjši kolobarji v bližini meridiana, če računamo~ , pa shemo preprosto zavrtimo za 900 in postopek ponovimo. Ker moramo oačitati več kot 500 točk do oddaljenosti približno 1000 km in več od točke, je postopek zamuden, rutinski in poln grobih pogreškov čitanja višin. 4. Računalniški postopek z uporabo DMR Za avtomatizacijo postopka je bilo treba ponovno izpeljati celotno mate- matično osnovo in opraviti optimizacijske numerične teste. Ker imamo v SR Sloveniji že izdelan DMR 500 za vse ozemlje, je bil ta grid uporab- ljen kot osnova višinske predstavitve reliefa. Obstoječo osnovno mrežo je treba za naše potrebe še gostiti ali redčiti glede na množico parame- trov, ki vplivajo na odklon vertikale. Bistvo je nadomestitev kolobarja- stih ''prizem" s kvadri optimalnih dimenzij tako, da bo odklon dovolj toč­ no izračunan. Klasično kolobarjasto shemo smo sedaj nadomestili z mrežo kvadratov, ki tvorijo DMR. Nad kvadrati so kvadri kamnin, katerih priv- lačni vpliv nas zanima (sl. 3). Komponenti privlačne sile posameznega kvadra v smeri obeh osi Gauss-Krugerjevega sistema izračunc!.mO po Newto- novem zakcinu z integracijo po vsej prostornini: - · pri čemer je: k = gravitacijska konstanta, 8 upoštevana srednja gostota vrhnjega dela Zemljine skorje, in v prostornina kvadra: v = [(y,x,z): a~ y~b, c-< x <;;: d, 204 GV 28(1984)4 z X 1 1 1 -L- 1 H 1 1 1 1 1 1 d ---- -}--- / T / / C ----·- ---- - I / / / / / Slika 3 T' " b y Izpeljava podintegralske funkcije, integriranje in analiziranje prve enačbe za 6 X so dolgi več kot 15 strani,rezultat sam pa obsega celo stran, zato vse skupaj izpuščam. Končna vrednost obeh komponent odklo- na bo sestavljena iz vpliva vseh kvadrov: [ Ll X. r =r -g -2:. in I 6. y. 7" =r g l Pri čemer je g pospešek prostega pada. Ker DMR v Sloveniji ni orientiran na geografski sever, ampak na karto- grafski, je pri večjih odklonih na robu GK cone treba upoštevati tudi korekcijo zaradi meridianske konvergence. Točna enačba, dobljena z in- tegriranjem, je zelo dolga, zato jo bomo uporabljali le za tiste kvadre, ki leže najbližje točki in najbolj vplivajo na odklon (notranja cona). Za vse ostale v zunanji coni pa raje uporabimo približno enačbo: /1 X = kc:S' X Približek je v tem, da smo integriranje kratko malo izpustili in s tem· predpostavili, da je masa kvudra strnjena v njegovem težišču. Testiral sem tri različne približne .enačbe, od katerih je ta najprimernejša. Ker ima geoidna točka poljubno lego v mreži DMR, bo shema kvadrov v tlorisu na pogled približno takšna kot na sliki 4. Debelo izrisani ok- vir pomeni mejo med notranjo in zunanjo cono. . X ' '/ ' -,. Slika 4 205 GV 28(1984)4 5. Optimiranje mreže DMR glede na naklon zemljišča Optimiranje videza mreže in velikosti stranic grida, ki bodo uporab- ljene, je potekalo v več fazah. Ker gre očitno za problem več spremen- ljivk, ki je povrhu tega še idealiziran, sem se lotil numeričnega pre- iz~ušanja za različne vhodne podatke in fizikalne parametre. Prvi test se nanaša na naklon zemljišča. Če odklon vertikale za prizmo, ki nima ravne zgornje ploskve (sl. 5), računamo na dva načina: - prvič, iz enega kvadra z višino H - drugič, iz dveh kvadrov z višinama potem bo med izračunanima odklonoma neka razlika, ker smo predpostavili, da je zgornja ploskev prizme ravna. Slika 5 T' /i, ver·t'i\·.al H 1 ~ / 1 1 1 1 )--- -- ,,/. ---~ // / / / ·---- meridio.n Kolikor razlika preseže izbrani cenzus (npr. + 0,0005"), moramo na tej poziciji kvadra (glede na točko) izbrati za polovico manjši grid. 6. Optimiranje mreže DMR zaradi uporabe približne enačbe Vpliva kvadrov zunanje cone računamo s približno enačbo, kar povzroči sistematski pogrešek v odklonu. Ugotoviti je treba, na kakšni oddalje- nosti lahko že uporabimo približno enačbo za določeno osnovno ploskev in nadmorsko višino kvadra, ne da bi pri tem naredili pogrešek, večji od cenzusa. 7. Optimiranje ocenjevanja srednjih višin Jasno je, da nam ocena srednje višine. zemljišča iz DMR nikoli ne da toč­ ne srednje višine kvadra. Največji pogrešek v srednji višini bomo nare- dili takrat, ko bo v središču okenca DMR dolina ali vrh, mi pa bomo za izračun vzeli 4 vogalne višine grida, ki leže npr. na vznožju hriba. Da bi matematično ugotovil, kolikšen pogrešek odklona nam povzroči takšen pogrešek v računanju srednje višine kvadra, sem primerjal odklone, iz- računane na dva načina: odklon kvadra z višino, ki je aritmetična sredina višin posameznih (diskretnih) točk mreže DMR; 206 GV 28(1984)4 - odklon kvadra z višino H = ss H (x,y) dP p S5 dP p pri čemer je P ravnina grida, H(x,y) pa zvezna ploskev reliefa nad gri- dom (sl. 6). Slika 6 o )( Izmed 6 testiranih prostorskih ploskev z= H(x,y) sem izbral parabolični valj - dolino z= a x2, katerega srednja višina je H = 1/3 Zmaks· Iz dobljenih razlik odklonov lahko sklepamo, koliko višin iz DMR je na do- ločenem območju treba upoštevati za izračun srednje višine zemljišča. Tako ta kot .tudi ostali dve fazi optimiranja so bile izvedene za 3 osnovne tipe reliefa (ravnina, hribi, gore), torej za različno razgibanost in nadmorsko višino zemljišča. Testirani so bili kvadri različnih osnovnih stranic grida, stoječi na različnih oddaljenostih od geoidne točke.Tes­ tiranje je bilo izvedeno na univerzitetnem računalniku DEC-10. 8. Rezultati Rezultat optimiranja so tabele, ki nam povedo: - optimalnb velikost grida na določenih razdaljah v notranji coni (toč­ na enačba) - za 4 povprečne višine reliefa, optimalno velikost grida na določenih razdaljah v zunanji coni (pri- bližna enačbe) - za tri tipe reliefa, optimalno število višin, ki jih moramo uporabiti za račun srednje vi- šine kvadra. Tabele uporabljamo glede na izdelano programsko opremo, ceno izvedbe, želeno natančnost odklonov in gle,de na razpoložljive podatke DMR za čim večjo okolico točke. V praksi se bodo uporabljale velikosti osnovne stra- nice grida 12.5, 25, 50, 100, 500 m, 1,2, .... 128 km. Notranja cona se- ga do približno 1,5 km od točke. Na njenem robu uporabljamo grid 100 m. V zunanji coni, ki jo računamo do ca. 2000 km od točke, je treba na raz- daljah, večjih od 1500 km, upoštevati tudi ukrivljenost Zemlje. Literatura l. Čubranic, N.: Viša geodezija, 2.deo, Zagreb 1974. 2. Radovan, D.: Optimizacija digitalnega modela reliefa za račun topo- grafskih odklonov vertikale (diplomska naloga), Ljublja- na 1984. 3. Svečnikov, N.: Viša geodezija, III.dio: Odredjivanje dimenzija i oblika Zemlje, Beograd 1957. GV 28(1984)4 2 07