FIZIKA Od kladiva do kija •4/ -i' •i' Tine Golež Včasih nam manjka kakšno orodje. Ce, denimo, nimamo kladiva, žebelj lahko dokaj uspešno zabi-jemo kar z nedrobljivim kamnom. A če nimamo niti kamna, imamo pa debelejši oglat drog, upanje ostaja. Toda, s katerim delom droga udarjati po žeblju, da roka ne bo občutila neprijetnega sunka v prečni smeri? Naj bo to ravno polovica, kjer je težišče droga? Po drugi poti Nalogo lahko zastavimo tudi drugače. Vprašamo se, kje moramo vodoravno udariti drog, ki stoji pokončno, da se bo krajišče droga, ki je na podlagi, začelo dvigovati navpično navzgor. Ce ga bomo zadeli v težišču, bo ob sičer majhnem trenju prišlo do transla-čije. Ce ga bomo zadeli tik pod vrhom, se bo spodnji del zasukal nazaj. Iskana točka bo torej nekje vmes; nekje na zgornji poloviči droga. Trk mora biti tak, da bo začetna hitrost spodnjega dela paliče obrnjena navpično navzgor. Da translačija droga ne bo prava rešitev, smo že ugotovili. Zato bomo upoštevali tako izrek o gibalni količini kot tudi izrek o vrtilni količini. Privzamemo še, da je v igri kratkotrajna sila, ki je bistveno večja od sile teže. Drog bomo zadeli ali udarili za b nad težiščem (slika 1). Zapišemo oba izreka: ■ F At = mv in ■ bF At = Jc. In kakšna je zveza med v in c? Pomislimo na ko-taljenje koles. Nalepimo ali narišimo navpično črto (slika 2). Ko se kolo giblje, bo gibanje spodnjega krajišča črte, ki ustreza premeru oziroma našemu drogu, natančno tako, kot želimo, da je gibanje droga. V začetnem trenutku se spodnje krajišče giblje navpično navzgor, seveda pa že po neskončno majhnem premiku spremeni smer potovanja in potuje po SLIKA 1. Drog, ki stoji na tleh, bomo sunili vvodoravni smeri. čikloidi. Gre za krivuljo, ki jo dobimo, ko sledimo točki na krožniči, ko se ta kotali po premiči. Lepa animačija je na voljo na spletu [1]. Gre seveda za kotaljenje (brez spodrsavanja), za katerega velja zveza med hitrostjo gibanja težišča in kotno hitrostjo: ■ v = cr. SLIKA 2. Na gumo smo nalepili ozek pokončni pravokotnik (ki nas pravzaprav spominja na naš drog). Avtomobilček potisnemo naprej in naredimo več slik. Zaporedne slike kažejo, da se spodnji del »droga« giblje po čikloidi. Tako je izpolnjen pogoj, daje v začetnem trenutku smer hitrosti spodnjega krajišča obrnjena navpično navzgor. b 11 PRESEK 42 (2014/2015) 2 FIZIKA Ker dolžina palice ustreza premeru, bo za naš primer veljala enačba l ■ v = w ^, pri tem je l dolžina droga. Vztrajnostni moment (tankega) droga okoli težišča je ■ J = -2 ml2. Iz zapisanih enačb dobimo b = -1 in od tod h=3L To je hkrati tudi odgovor na zastavljeno vprašanje. Drog moramo torej udariti ali zadeti eno tretjino dolžine pod vrhom, pa bosta obe krajišči opisovali ciklo-ido. Seveda bomo zapisano preverili s poskusom. Še prej pa nazaj k prvemu vprašanju. Če bomo drog uporabili kot kladivo, je smiselno, da udarjamo po žeblju tako, da ga zadevamo s točko, ki je dve tretjini dolžine droga oddaljena od kraji-šča, kjer ga držimo. V tem primeru ne bomo občutili sunka na roko (kot ni imel udarjeni drog v začetnem trenutku vodoravne komponete hitrosti spodnjega krajišča). Hkrati pa to pomeni, da bo kar največji delež kinetiČčne energije porabljen za delo, za zabijanje žeblja. Pri tem pa naj se dlan, ki drži in suka drog, giblje po čikloidi. Tako bomo prepreČčili, da bi nas neprijetno presenetila preČčna sila, zaradi katere bi morda roka čelo spustila drog. Meritev Najprej se lotimo udarča po drogu. Paliča, s katero bomo udarili drog, bo drsela po vodoravni ustrezno visoki podlagi. Zelo uporabna je trdna železna ograja. Za kratek trk pa poskrbimo tako, da lahko paliča deluje na drog le na kratki razdalji, saj jo kmalu zaustavi navpična - v našem primeru je to hkrati končna - prečka ograje (slika 3). Naš drog je kar votla železna čev. Dogajanje posnamemo s hitroslikovno kamero, lahko tudi z navadno. Potem v programu LoggerPro odpremo posnetek in označujemo lego spodnjega dela droga. Po vsaki označitvi lege program sam zamenja sličičo z naslednjo sličičo. Seveda hkrati še zapiše koordinati točke, ki smo jo označili. Pri tej analizi je bilo v igri kar 96 slik. Iz znane dolžine droga doloČčimo pretvornik med koordinatami in dejansko lego spodnjega dela droga. Lahko tudi v samem programu doloČčimo koordinatno izhodišče. Oboje (pretvornik in izhodišče) smo preračunali kar v Exčelu. Prav tam smo tudi »popravili« koordinato y. V navpični smeri deluje namreč sila teže in zato smo vsako koordinato y povečali za l/2gt2. Časovni interval je naraščal po korakih At = 1/300 s. Petdeseta pikiča je imela tako npr. popravek 1 /2 ■ 9,81 ■ (50 ■ 1/300)2, kar je 0,136 oziroma 13,6 čm. Popravljene koordinate smo vnesli v program Geo-Gebra. Poleg izmerkov smo dodali še teoretično SLIKA 3. Palica najprej drsi po vodoravni podlagi. To nam omogoča, da drog zadenemo precej točno na izbrani višini. Kratkotrajnost trka dosežemo tako, da se palica »zatakne« v zadnjo navpično prečko ograje. Tako skupaj z drogom lahko potuje le kak centimeter. Palico seveda držimo drugace, kot na tej fotografiji, in sicer z obema rokama, daje trk z drogom res silovit, kar kaže naslednja slika. 12 PRESEK 42 (2014/2015) 2 FIZIKA SLIKA 4. Ker gledamo le zadnjo sličico, je drog en sam in bele barve. Potovanje spodnjega krajišča je označeno z modrimi krožci. Da bi si lažje predstavljali, kako je drog po udarcu odfrčal, smo ga na podlagi petih prejšnjih (ne zaporednih!) slik narisali z rdečo. Tako sedaj vidimo, kje je bil v začetnem trenutku in še v štirih vmesnih trenutkih. Paliča, s katero smo ga udarili, se je do zadnje sličiče že odbila malo nazaj, zato ni poleg rdečega droga. Ločljivost je sičer slaba (hitroslikovna kamera), a povsem zadošča za to meritev. predvideno cikloido, ki bi jo moralo izrisati krajišče droga. Ker je dolžina droga 0,462 m, je parametrična oblika cikloide x = (0,462/2) ■ (t - sin(t)) in y = (0,462/2) ■ (1 - cos(t)). Pri tem gre parameter t od 0 do 2n. Izmerjena cikloida je dokaj blizu teoretični. Vsekakor poskus ni izveden v idealnih oko-lišcinah. Ko udarimo po drogu, bi morali hkrati odmakniti podlago, na kateri drog stoji, navzdol. Ob udarcu se namrec drog nekoliko nagne že tedaj, ko se dotika podlage. V tistih trenutkih drog deluje na podlago z vecjo silo, kot je sila teže, hkrati pa tudi podlaga na drog (3. Newtonov zakon), tako da (žal) ni v igri le sila, s katero palica deluje na drog (in teža, katere vpliv poznamo in smo ga lahko racunsko odpravili). Sedaj je cas, da zabijemo žebelj. Vec posnetih poskusov kaže, da tudi tokrat (vsaj približno) krajišce, ki ga držimo, potuje po cikloidi. Seveda je drog, ki ga drži roka, nekaj drugega kot samostojen drog in zato ne bo v igri popolna cikloida. Nekaj podobnega sem pred vec leti opazil tudi pri cepljenju drv s sekiro. Najmanj neprijetni udarci so bili tedaj, ko sem sekiro 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 SLIKA 5. Krožči označujejo, kako se je gibalo (sprva) spodnje krajišče droga, tako da izhodišče sistema sovpada s točko, na kateri je pred udarčem stal drog. Koordinate so popravljene za izničenje vpliva gravitačije. Posamezna odstopanja nekaterih točk so napake, ki so nastale zaradi netočnega pritiskanja s kazalčem (miške) po posamezni sliki. S polno črto je narisana teoretično predvidena čikloida, ki jo dobimo, ko (idealni) drog enakih dimenzij (idealno) sunemo v vodoravni smeri na dveh tretjinah višine. med letom proti polenu povlekel še nekoliko proti sebi. Najbrž je tudi v tem primeru tocka, kjer roka drži sekiro, približno potovala po cikloidi. Morda pa še kdo izmed bralcev preveri, kako je s tem. SLIKA 6. Zaporedne slike zabijanja žeblja z drogom kažejo, kako se giblje izbrana točka na drogu. Na tej sliki je označena z rumeno, na ostalih slikah je bila ta točka tam, kjer so rdeči krožči. Vsekakor prijemališče droga ni (le) osišče vrtenja, pač pa tudi potuje nekoliko nazaj, kar nakazuje čikloido. Ker je žebelj bolj slabo viden, nanj kaže rdeča puščiča. -> 13 PRESEK 42 (2014/2015) 2 FIZIKA —^ COM, COP in SZ V tem podnaslovu zapisane kratice so okrajšave (v anglešini) za masno središče (COM - center of mass), tocko udarca (COP - center of percussion) in mehko območje (SZ - sweet zone). Prvo dobro poznamo iz gimnazijske fizike, pri drugi pa gre tocno za tocko, s katero se ukvarjamo v tem clanku. V praksi so se te tocke zavedali že stoletja. Le pomislimo na vse vrste sabelj in mecev; tudi pri njihovi uporabi niso želeli ob udarcu obcutiti precne sile na roko, ki je zamahnila z orožjem. Tak precni sunek je marsikoga razorožil, saj mu je tresljaj izbil orožje iz roke in prepušcen je bil na milost in nemilost tistemu, ki mu je mec uspelo obdržati v rokah. Zadetek z ustrezno tocko pa je pomenil tudi najvecji ucinek reza ob zadetku. Ce me spomin ne vara, nekaj takega opazimo na ilustracijah boja Martina Krpana z Brdavsom. Na sreco cesarskega Dunaja in njemu podložnih dežel je kij navkljub COP udarcu, ki ga je zadal Brdavs, dobro opravil svojo nalogo. Ocitno je Martin Turkovo orožje pricakal s COP blokado! Toda kako ugotoviti, kje je COP pri malce manj preprostih telesih? Kje je COP pri bejzbolskem kiju? Tokrat do rezultata ne bomo prišli teoreticno, pac pa z meritvijo. A najprej se vprašajmo, katera meritev bi pri drogu izdala, kje se nahaja COP. Odgovor je preprost -to bo nihanje. Ce drog obesimo na enem krajišcu, bo nihal z nihajnim casom to. Tocka COP je natancno toliko oddaljena od osišca, kot je dolžina nitnega nihala, ki bi imel enak nihajni cas t0. Pri drogu bomo to trditev preverili z racunom in poskusom, pri bolj zapleteneih telesih pa se do rezultata odpravimo le s poskusom. Nihajni cas fizicnega nihala je to = 2n J mgr *' kjer je r* razdalja od osi do težišča, J pa vztrajno-stni moment okoli osi nihanja. Pri drogu, ki je pritrjen v zgornjem krajišču, tako da lahko niha, je ■ r* = 1/2l in Od tod dobimo, da je dolžina nitnega nihala, ki bi imel enak nihajni čas kot drog, enaka 2/3 dolžine droga: to = 2n J mgr * = 2n A 3 ml2 mg i l = 2n \ J = l/3ml2. Izračunani COP se nahaja tam, kjer smo predvideli že s prejšnjim računom in potrdili s poskusom, z udarcem palice. Ker ima vsak bralec doma kak drog, lahko hitro to potrdi še s poskusom, saj je merjenje nihajnega časa droga res enostavno. Pravzaprav je premislek logičen. Za COM ali težišče telesa smo dejali, da je to točka, v kateri je navidez zbrana vsa masa telesa. (COM in težišče sovpadata, kadar se nahajamo v homogenem gravita-čijskem polju. Ce pa bi bil v glavni vlogi nekaj tisoč kilometrov dolg drog, ki bi bil v poševni ali navpični legi glede na površje Zemlje, pa COM in težišče ne bi sovpadala.) Težišče paliče je točno na sredini, medtem ko je COP tam, kjer je »navidez zbrana vsa masa paliče pri nihanju«, kot je vsa masa nitnega nihala v obešenem majhnem telesu, saj je masa vrviče zanemarljiva. Pri zahtevnejšem telesu pa se lotimo le poskusa. Vzamemo torej poljubno fizično nihalo (teniški lopar, bejzbolski kij, badmintonski lopar) in z enakim poskusom - merjenjem nihajnega časa - ugotovimo, kje je COP. Izmerjeni nihajni čas namreč vstavimo v enačbo za nihajni čas nitnega nihala in izračunana dolžina je lega COP tega telesa (merjeno od osišča). Ugotovili smo, da se po udarču droga na dveh tretjinah višine krajišči droga gibljeta po čikloidah. Pri bejzbolu to poteka v obratni smeri: giblje se drog, ki zadene tudi gibajočo se žogičo. Tudi tu se osi-šče sukanja kija stalno spreminja. Tik pred udarčem žogiče je najbolj blizu sredine kija. Morda kdo izmed bralčev pozna koga, ki ta šport dobro obvlada. S pravilno postavitvijo kamere bi lahko pokazali, če se prijemališče droga giblje po čikloidi. A čelotna zgodba je tu bolj zapletena, saj se vmeša še pojav, ki ga opiše oznaka SZ. Gre za »mehko območje«, ki se nanaša na tisti del bejzbolskega kija, ki da najboljši odboj žogiče. Ne smemo namreč pozabiti, da vsak udareč po kiju - torej tudi trk z žogičo - povzroči lastna nihanja kija. Ce nočemo, da bo krajišče, ki ga držimo, neprijetno zavibriralo, moramo žogičo zadeti s tisto točko kija, kjer je vozel lastnega nihanja. Ena izmed meritev [2] 2 l 14 PRESEK 42 (2014/2015) 2 FIZIKA je pokazala, da je prva lastna frekvenca kija 170 Hz. Vozel pri debelejšem krajišcu droga je bil okoli 15 centimetrov od krajišca. Ce torej zadenemo žogico s to tocko kija, bo vibracij droga kar najmanj, to pa pomeni, da bomo dosegli dvoje. Znaten delež energije bo po odboju spet prevzela žogica, saj ne bomo »spravili kija v vzbujeno stanje«. Po drugi strani pa ne bo neprijetnega občutka pri držanju kija, saj ne bo nihanja krajišca, ki ga igralec drži. Pri istem kiju so izmerili frekvenco drugega lastnega nihanja. Ta je bila okoli 600 Hz, medtem ko je bil vozel le kakšnih 7 cm od krajišca kija. »Mehko obmocje« je torej predel kija med tema dvema vozloma. Udarec žogice s tem obmocjem ne bo povzro-cil neprijetnega nihanja kija v rokah igralca. Zaključek Vsi, ki smo že držali v rokah teniški lopar, smo se gotovo srecali z naštetimi pojavi. Vcasih nam je ne ravno posrecen odboj žogice mocno zavibriral lopar, spet drugic smo obcutili precno silo. Seveda smo se ucili s poskusi in napakami, da so postali naši odboji lažji in ucinkoviti. Vsekakor pa so bile naše napake manj usodne od napak naših prednikov, ki so podobne pojave ustvarjali z mecevanjem. Tudi na tem podrocju fizika ugotavlja in razlaga tisto, kar so ljudje sami spoznali že s prakso. Ko pa se je fizika poglobila v ta spoznanja, pa je lahko dala še dodatne namige, kako bi z razlicnimi razporeditvami mase pri orodjih za odbijanje (kij, lopar, palica za golf) dosegli boljši ucinek. In prav zato imajo igralci golfa kar polno torbo razlicnih palic, saj so ene primerne za dolge odboje, druge za precizne, tretje za ... Literatura [1] http://sl .wikipedia.org/wiki/Cikloida, dostopano: 12. 9. 2014. [2] http://www.kettering.edu/physics/ drussell/bats-new/batvi bes.html, dostopano: 12. 9. 2014. _XXX Barvni sudoku •4/ -i' •i' V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil. 3 1 7 6 4 1 5 6 4 3 7 3 8 5 7 4 6 8 O v O □ O m > a < 00 > m * £ -» a L E Z L 8 S 6 17 9 8 4 S Z 7 L E 17 L 9 Z E L 5 8 S L 8 3 7 9 17 Z 3 4 S L 9 8 Z L Z 6 L 8 5 17 E 1 8 7 S Z E 4 L Z L 6 1 9 17 3 8 S www.presek.si XXX PRESEK 42 (2014/2015) 2 15