..Vc/J? Aritmetika in '.sedmi in osmi gimna- zijski razred. . ji'* Spisal ' Blaž "Matek, profesor na ^ kr. gimnaziji v Mariboru. Izpopolnil Jakob Zupančič, profesor na $ kr. realki v Gorici. Cena nevezani knjigi K 2 ' 20 , v platno vezani K s 910. Založila „Katoliška Bukvarna“ v Ljubljani. Natisnila „Katoliška Tiskarna*. /' s 4‘j05u \ 0 ?> OoVcSfi«, Vsebina Stran I. Tretji računski način tretje stopnje. § 1. Občna pojasnila o logaritmih 1 § 2. Računski zakoni o logaritmih 2 § 3. O Briggovih logaritmih . 3 § 4. Uporaba Briggovih logaritmov 8 II. Enačbe druge stopnje. Enačbe višjih stopenj, ki se dado pretvoriti na enačbe druge stopnje. Kvadratne funkcije. Di¬ ferencialni kvocijent in integral. § 5. Razreševanje enačb druge stopnje z eno neznanko in njih lastnosti .... 11 § 6. Enačbe višjih stopenj, ki se dado pretvoriti na kva¬ dratne enačbe .... 14 § 7. Kvadratne enačbe z dvema in več neznankami . . 21 § 8. Lastnosti kvadratne funkcije 23 § 9. Načrtavanje kvadratne funk¬ cije in njen diferencialni kvocijent.26 § 10. Diferencijalni kvocijenti ne¬ katerih najnavadnejših funkcij.30 § 11. Pojem o integralu . . •; 36 III. Postopioe. § 12. Aritmetične postopice . . 40 § 13. Geometrijske postopice . . 43 § 14. Obrestno obrestni računi 47 Sira n IT. Sestavbe ali kombinacije. 1 L Tretji računski način tretje stopnje. Logaritmovanje. 1. Občna pojasnila o logaritmih. Ako razstavimo določeno število A na enake faktorje a ter določimo, koliko je teh faktorjev, pravimo, da lo- garitmujemo število A z ozirom na število «, v znakih A — a x . Določeno število A se zove logaritmand ali krajše „število“ sploh, znani faktor « se imenuje osnovno število ali j> o d loga, neznano število x pa logaritem. Da je x logaritem števila A z ozirom na jtpdlogo a, za¬ pišemo tako-le: x = c log A, ali kadar je podloga znana, tudi tako-le x = log A. -Logaritem določenega števila je torej tisti potenčni | eksponent, s katerim se_ mora- zn a n a.. pad logaLv-zmnožiti, , Jftda dobimo dotično število za rezultat, v zn akih a log A = x f\n a x = A. Logaritem števila 1 je za vsako podlogo i enak 0; zakaj a° — 1 Logaritem katerekoli podloge je enak 1; zakaj a 1 = a. Logaritmi enega in istega števila z ozi¬ rom na različne podloge so različni; zakaj če bi v enačbi A = a x = b v bila eksponenta x in y enaka, bi morali tudi podlogi a in & biti enaki. Iz 2» = 1, 2 1 = 2, 2 2 == 4, 2 3 = 8, 2* = 16,... 3° = 1, 3 1 == 3, 3 2 = 9, 3 3 = 27, 3* = 81,... i. t. d. sledi, da si moremo misliti števila ležeča med 2, 4, 8, 16,. . . oziroma med 1, 3, 9, 27, 81,... tudi kakor potence pod¬ loge 2, oziroma kakor potence podloge 3, i. t. d. Števila na¬ ravne številne vrste se torej dado izraziti kakor potence ene in iste podloge. Oe to storimo in pregledno sestavimo dotične eksponente, dobimo logaritemski sestav. Logaritemski sestav je pregledna razvrstitev tistih potenčnih eksponentov, s katerimi moramo določeno pod- Matek, Aritmetika. 1 , ^ogiiritmovati = logarithmieren. Logaritmand = der Logaritli- mand. Osnovno število ali podloga = die Grundzahl oder Basis. Logaritem = der Logarithmus. Logaritem šte¬ vila 1 in katere¬ koli podloge. Logaritemski sestav = das logarithmische System. 2 Briggov logari¬ temski sestav == (las Briggs’sche logarithmische System. Neperjev logari¬ temski sestav = das Neper’sche logarithmische System. logo vzmnoževati, da dobimo števila naravne številne vrste za rezultate. Ker ne moremo z vzmnoževanjem negativnega števila dobiti vsakega pozitivnega števila in ker j e vsaka potenca od 1 zopet 1, smemo za podlogo logaritemskega sestava vzeti le pozitivno število, ki je različno od 1. V rabi sta dva logaritemska sestava. Pri računanju s posebnimi števili rabimo večinoma navadni, dekadični ali Briggov logaritemski sestav, ki ima za podlogo število 10. Za višjo matematiko je posebno važen naravni, hiper¬ bolični ali Neperjev logaritemski sestav, ki mu je podloga iracijonalno število 2*71828 i, katero za¬ znamujemo s črko e in ga dobimo, ako seštejemo brez¬ končno številno vrsto: i+T 1 1 - 2 ' 1 1 - 2-3 + 1 • 2 ■ 3 • 4 Kako logaritmu- ješkvocijent, ozi¬ roma ulomek. §X E Kako logaritmu- ješ produkt. §' 2. Računski zakoni o logaritmih. X. Logaritem produkta je enak vsoti lo¬ garitmov vseh faktorjev, v znakih log ABC = log A -j- log B -j- log C. Dokaz. Recimo, da je log A = m , log B — n in log C = p\ torej A = a"\ B — a" in C = a p . Potem je ABC = a m • a n • a p = a m + n + p in log ABC = -m-|-w-j-p; ali če namesto m, n , p postavimo njih vrednosti, najdemo log ABC — log A -)- log B -f- log C. žf Logarite m kv ocije nta (ulomka) je enak razliki logaritmov dividenda in divizorj a (števca In imenovalca), v znakih A log -g = log A — log B. Dokaz. Recimo, da je log A = m in log B = n, A a m • torej A = a”‘ in B — a n . Potem je -g = — = a m ~ n m log -= = m — n; ali če postavimo namesto m in n navedeni vrednosti, najdemo log ^ = log A — log B. 3 3. Logaritem potence je enak logaritmu podloge, pomnoženemu s potenčnim eksponen¬ tom. v znakih log A p — p log A. Dokaz. Recimo, da je log A == m, torej A = a m . Potem je A p — ( a m ) p — a pm in log A p = pm\ ali če po¬ stavimo namesto m njegovo vrednost, najdemo log A v = p log A. Logaritem korenskega izraza je enak log-aritniu radikanda, deljenemu s korenskim eksponentom, v znakih log V A ^ = i log A. P P _ Dokaz. Ker je po računskih zakonih YA demo po prejšnjem izreku 9/ — L I log \ A — logA p = p log A. 1 Ap. naj- § p Briggovih logaritmih. I. Z ozirom na navadni, dekadični ali Briggov logari¬ temski sestav si je treba števila naravne številne vrste misliti kakor potence podloge 10. Briggovi logaritmi dekadičnih enot višjih redov so pozitivna cela števila. Dokaz. Iz 10° = 1, iO 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, i. t. d. sledi, da je log 1 = 0, log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, i. t. d. Briggov logaritem vsakega celega števila, ki ni dekadična enota, je iracijonalno število. Dokaz. Recimo, da je A celo število, ki ni dekadična enota višjih redov. Če bi bil logaritem od A racijonalno število -, bi morala veljati enačba IcP = A ali 10”‘ = A\ Ta enačba pa je le mogoča, če sta števili 10’” in A n se¬ stavljeni iz enakih prafaktorjev, t. j. iz prafaktorjev 2 in 5 l* Kako logaritmu- ješ potenco. Kako logaritmu- ješ korenski izraz. Logaritmi deka¬ dičnih enot višjih redov in dekadič¬ nih števil sploh 4 Značilka = tlie Charakteristik. Pridavek = die Mantisse. Kako določiš ka¬ rakteristiko celili števil. Kdaj se izpre- meni karakteri¬ stika. Kdaj imajo šte¬ vila isto mantiso. Log-aritmovnik = die Logarith- mentafel oder das Logarith- menbuch. Logaritmi deka- dičnih enot niž¬ jih redov in de¬ cimalnih števil. in sicer iz vsakega teh faktorjev istotolikokrat. Število A bi bilo potem enako dekadični enoti višjih redov, kar pa nasprotuje izrekovemu pogoju. Torej mora log A ležati med dvema zaporednima racijonalnima številoma in je zato iracijonalno število. Briggovi logaritmi dekadičnih števil, ležečih med 1 in 10, so večji od 0, pa manjši od 1, ii ‘i 10 „ 100 , „ „ „ 1 , „ „ „ 2 , » 'i 100 „ 1000, „ „ „ 2, „ „ „ 3, i. t. d. Logaritmi dekadičnih števil so torej sestavljeni iz celega števila in nepopolnega decimalnega ulomka; celote se ime¬ nujejo značilka ali karakteristika, pridejani deci¬ malni ulomek pa se zove pridavek ali mantisa. Iz zgoraj navedenega sledi, da je karakteristika pr! enoštevilčnih številih enaka 0, pri dvoštevilčnih enaka 1, pri troštevilčnih enaka 2, pri četveroštevilčnih enaka 3, i. t. d. Vobče smemo reči, da je karakteristika za enoto manjša od števila številk, s katerimi se pišejo celote do- tičnega števila. Ako pomnožiš, oziroma deliš določeno de- kadično število s kako potenco od 10, se iz- premeni le karakteristika dotičnega števila. Dokaz. Ako je A dekadično število, je po računskih zakonih log A-10” = log A -|- n, log jp = log A n. V prvem slučaju se logaritem števila A poveča, v drugem zmanjša za n enot, t. j. izpremeni se le karakteristika, mantisa pa ostane ista. Briggovi logaritmi takih števil, ki se ujemajo v za¬ porednosti številk, se ujemajo v mantisi, razlikujejo pa v karakteristiki. Mantise dekadičnih števil so se pregledno sestavile v logaritemske tablice, ki se zovejo logaritmovnik. II. Briggovi logaritmi dekadičnih enot nižjih redov so negativna cela števila. 5 Dokaz. Iz 10- 1 = O-l, 1()- 2 = 0-01, 1()- 3 = 0*001, i. t. d. sledi, da je log 0’1 = — 1, log 0‘01 = — 2, log O - 001 = •— 3, i. t. d. Ako delimo števila naravne številne vrste s poten¬ cami od 10, dobimo desetinska ali decimalna števila, ki imajo po zgoraj navedenem iste mantise kakor cela števila. Mantise vseh decimalnih števil, torej tudi pravih de¬ cimalnih ulomkov, so pozitivne in odvisne le od zapored¬ nosti številk. Kar se tiče karakteristike pri decimalnih številih, si je treba sledeče zapomniti. Dokler se nahajajo v decimalnih številih celote, določimo karakteristiko kakor pri celih številih. Pri pravih decimalnih ulomkih pa je karakteristika negativna in znaša toliko enot, kolikor ničel stoji pred prvo veljavno številko dotičnega decimalnega ulomka. Ničla, kjTnadomestuje celote, se pri tem tudi vzame v poštev. Resničnost navedenega pravila uvidimo iz naslednjih pri¬ merov. log 0-2 = log ; log 0’03 = log log 0-007 = log log 0-000351 = log 2 to 3 lob 7 Ibbo 3-51 10000 = log 3-51 i. t. d. Kako določiš karakteristiko pravih decimal¬ nih ulomkov. = log 2 — 1 = (p 30103 — 1, = log 3 — 2 = 0-47712 — 2, = log 7 — 3 = 0-84510—3, 1 = 0-54531 — 4, Negativna karakteristika se postavlja za pozitivno mantiso. Če sta v logaritmu dve karakteristiki, se skrčita v eno. N. pr. 1-30103 — 2 = 0-30103 — 1. Vsak negativni logaritem pretvoriš na obliko s pozitivno mantiso, če mu toliko enot prišteješ in odšteješ, kolikor jih je ravno treba. N. pr. — 2-34467 = 3 — 2-34467 — 3 = 0-65533 — 3. Ako določimo pri kateremkoli celem ali desetinskem številu red njegove prve (na najvišjem mestu stoječe) šte¬ vilke ter ga primerjamo s karakteristiko, vidimo, da se ujemata te dve števili. 6 Logaritmi neka¬ terih decimalnih števil. Kako se poišče s pomočjo logaritmovnika določenemu številu pripadajoči logaritem in kako določenemu logaritmu pripadajoče število, uči navodilo v logaritmovniku. Ako izračunamo številu 10 ponavljajoč kvadratni koren, najdemo logaritme nekaterih decimalnih števil, le¬ žečih med 1 in 10. N. pr. lgj = .|/l0 = 3-16228, torej je log 3'16228 = | = 0'5; 10*= /TlO = 16228' = 1-77828, torej je log 1-77828 = i = 0-25; 10* = jA-77828 = 1-33352, torej je log 1-33352 = = i = 0-125; i. t. d. Rezultati teh računov so sestavljeni v naslednji tablici: Kako izračunaš S pomočjo te tablice izračunaš logaritem števila, le- logaritemiteviia, g e g 6 g a mec i i j n io, n. pr. števila 3• 7, tako-le. Število 3-7 i in io. razstaviš na take faktorje, ki se nahajajo kakor števila v omenjeni tablici, in potem sešteješ logaritme vseh dotičnih faktorjev. Faktorje števila 3‘7 pa najdeš, ako deliš 3 - 7 s številom 3-16228, ki se nahaja v tablici in je manjše od 3-7; dobljeni kvocijent 1'17004 deliš z naslednjim manjšim številom tablice (t. j. z 1-15478); novi kvocijent deliš zopet z naslednjim manjšim številom tablice, i. t. d. Število 3-7 je potem enako produktu vseh zaporednih divizorjev in zad¬ njega kvocijenta, ki se bliža enoti in se sme zato izpustiti. 7 Ce je pa število, kateremu je treba izračunati loga- Kako najdeš io- ritem, večje od 10, razstaviš dotično število najprej na ou^iot’ dva faktorja, izmed katerih je eden manjši od 10, drugi pa neka potenca od 10, in potem postopaš slično kakor v prejšnjem slučaju. N. pr. 157 = 1'57 • 10 2 in log 157 = logi‘57 2. Ker se vrednost 10 _M bliža ničli, če postaja n vednoL L °g aritem ni{le - večji, smemo sklepati, da je 10 _co = 0 in log 0 = — co/ y Kako so logaritmi odvisni od logaritmanda in kako Logaritemska se z njim izpreminjajo, spoznamo najbolje, ako načrtamo ri temska črta funkciji y — log x funkcijsko črto. Po pojasnilih o loga¬ ritmih sme premenljivka x imeti le pozitivne vrednosti. Za x = 0 je funkcija y = — oo. Za vrednosti od x — 0 do x = 1 je funkcija y negativna in se veča. Za x = 1 je funkcija y = 0. Za vred¬ nosti od x = 1 do x = oo so funkcijske vrednosti po¬ zitivne in se večajo. Pride- jana slika predočuje črto (logaritemsko črto), ki pri¬ pada funkciji y = log x. Posamezne točke M u ili 2 , M 3 ... te črte najdeš s po¬ močjo navedenih podatkov. Logaritemska črta iz¬ ide od negativne ordinatne osi v neskončni daljavi, se 8 Računanje z logaritmi. vzdiguje sprva prav hitro, pozneje pa polagoma, preseče pozitivni del abscisne osi in se razteza ob tej osi v pozi¬ tivno smer. § 4. Uporaba Briggovih logaritmov. S pomočjo Briggovih logaritmov se dado računski načini druge in tretje stopnje zelo okrajšati in včasih iz¬ vršiti tudi v takih slučajih, kjer nam manjka potrebnih pravil. V ta namen smatramo rezultat računa za neznano število, kateremu se da iz podatka določiti logaritem po računskih zakonih. Primerjaj naslednje naloge! a) 14-568 X 1*293 X 0-037429 = *, log x = log 14-568 -|- log 1-293 -f- log O - 037429 — = 1-16340 0-11160 _ 0-57321 — 2 log x = 0-84821 — 1 x== 0 -70503 . b) (— |) = — x. Ako se nahaja v računu nega¬ tivno število kakor podloga ali radikand, se smatra med računanjem to število za absolutno in po končanem računu se določi rezultatov predznak po računskih zakonih. log x = 3 (log 43 + i - i = 1-63347 (0 log x = 0 x = 0 81291 log 65) X3 82056 — 1) X 3 46168 — 3 46168 — 1 28953 in (- l) s 0-28953. Ako je pri odštevanju logaritmov minuend manjši od subtrahenda, se prvemu toliko enot prišteje in odšteje, da postane razlikna mantisa pozitivna. 9 y O-23047 _ * 179648 — X ' loga; = (log 0-23047 — log 4-9648) + 4 —4 •. Pri odštevanju logaritmov se je minuendu toliko enot prištelo in odštelo, da je postala razlikna karakteristika deljiva s 5._ d) j/Vl8-7— V^2 = x. Pri navedeni nalogi se mora vrednost vsakega ra- dikandovega dela posebej določiti, da je mogoče nakazano odštevanje izvršiti. log/ltFT = \ log 18-7 = 1-27184:2 = 0-63592, 1/18-7 = 4-3243. log V 9-2 == i log 9-2 = 0-96379 : 3 = 0-32126, V 9^2 = 2-0954. x = b 4-3243 — 2-0954 = b 2'2289, loga; == |log 2-2289 = 0-34809:3 = 0-11603 o; = 1-30626. e) Dvočlensko eksponentno enačbo 3 2x ’ 4 a:_1 = 5f razrešiš, ako jo logaritmuješ in potem poiščeš po že znanili pravilih vrednost za x. x 2x log 3 -f- (x — 1) log 4 = x log 5 o; (2 log 3 -f- log 4 — log 5) — log 4 log 4 2 log 3 -J-4°g ^ — log 5 0-60206 X ~ (P85733 log 4 log 36 — log 5 = 0-7023. log 4 log 7-2 Po računskih zakonih se je skrčilo: 2 log 3 -J- log 4 = = log 9 -f- log 4 == log 36 in log 36 — log 5 = log ~ = = log 7'2. Razreševanje eksponentnih enačb. 10 Logaritemska enačba = loga- rithmische Glei- ehung. Razreševanje logaritemskih enačb. f) Mnogočlensko eksponentno enačbo 2*—11* = = 2*+ 4 — ii^4-i razrešiš, ako jo najprej pretvoriš v dvo- člensko in potem postopaš kakor pri prejšnji nalogi. ll*+i — ip — 2* + 4 — 2* 11 * (11 — 1 ) = 2 *( 2 4 — 1 ) 11*•10 = 2*-15 11*.2 = 2*•3 x (log 11 — log 2) = log 3 — log 2 log 3 — log 2 log 1'5 log 11 — log 2 log 5'5 0-2378. g) Enačba, pri kateri se nahaja neznanka v logarit- mandu, se zove logaritemska. Logaritemsko enačbo razrešiš, ako jo najprej s pomočjo računskih zakonov pre¬ tvoriš v dvočlensko z obliko log A — log B, potem iz¬ enačiš logaritmanda in nadalje postopaš po že znanih pra¬ vilih. N. pr. log x -(- log (x —(— 1) = 2 log (x — 1) log [x (x + 1)] = log(* — l) 2 x(x-\~\) = (x -— l) 2 Ali drugi primer: x j log (4x + 1) = log 3 + \ (log 50 + log x) — l log /4x -|- 1 = log 3 -f- log |/50a; — log 10 log 14x-\-l — log SYhOx 10 \[4x -j- 1 3V50a; — 10 x = 2. 11 II. Enačbe druge stopnje. Enačbe višjih stopenj, ki se dado pretvoriti na enačbe druge stopnje. Kvadratne funkcije. Diferencijalni kvocijent in integral. § 5. Razreševanje enačb druge stopnje z eno neznanko in njih lastnosti. I. Urejena enačba druge stopnje (kvadratna enačba) ima vobče obliko x 2 ax b = 0 in utegne biti ali čisto ali nečisto kvadratna. Čisto kvadratna je tista enačba, pri kateri se nahaja neznanka samo v drugi potenci, v znakih x 2 -|- b = 0; nečisto kva¬ dratna pa je enačba, če se nahaja neznanka v drugi in prvi potenci, v znakih x 2 -|- ax -j- b = 0 ali x 2 -| - ax = 0. a) Čisto kvadratno enačbo x 2 -j- b = 0 razrešiš, ako prestaviš znani člen v drugi enačbeni del in potem poiščeš vsaki enačbeni strani kvadratni koren, v znakih x 2 -\- b = 0 x 2 — — b x — + ]f — b, ali % = -| -]f—b in a: 2 = — \ — b. Čisto kvadratna enačba ima dva nasprotna realna ali imaginarna korena. Zakaj številni izraz [ — b predstavlja realno število, če ima b negativno vred¬ nost; če pa ima b pozitivno vrednost, je j f—b imaginarno število. b) Nečisto kvadratno enačbo x 2 -j- ax -j- b = 0 raz¬ rešiš, ako prestaviš znani člen v drugi enačbeni del, pri- šteješ obema deloma izraz j-, potem koreniš novo enačbo z 2 in poiščeš vrednost za x po že znanih pravilih, v znakih Kvadratna enačba = qua- dratische Glei- chung. čisto kvadratna enačba = rein quadratische Gleichung. Nečisto kva¬ dratna enačba = gemischt quadra- tische Gleichung. 12 Urejevanje kva¬ dratnih enačb. x 2 ax -(- b = O x 2 +ax + (-|)"= £ — b xJ r | — + \/j — h ali % = — | 1 [~ — b in z 2 = — | — j/| — 6. Neznanko urejene kvadratne enačbe o; 2 —|— aa? —|— & == 0 najdeš torej po obrazcu Izraz -j- — 6 je za kvadratno enačbo zelo važen; zakaj predznak tega izraza določa kakovost enačbenih ko- renov. Ako je izraz -j- — b pozitiven, ima enačba dva različna realna korena; ako je - —- b enak ničli, sta enačbena korena realna in enaka; a 2 če je pa — b negativen, sta korena spojeno kompleksni števili. c) Enačbo x 2 -j- ax = 0 razrešiš, ako jo razstaviš na faktorja in potem izenačiš vsakega teli faktorjev z ničlo, v znakih x 2 -(- ax - 0 x (x -)- a) — 0, torej x = 0 ali x -(- a = 0; iz tega sledi x t = 0 in x 2 = — a. Ako je treba razrešiti kvadratno enačbo, ki nima nobene izmed navedenih oblik, moraš dotično enačbo naj¬ prej urediti, t. j. pretvoriti jo moraš na eno izmed nave¬ denih oblik, in potem postopaš kakor zgoraj. Urejevanje enačb se izvršuje po že znanih pravilih, katera hočemo tukaj kratko ponoviti in popolniti. 1. Izvrši računske načine, katere nakazujejo oklepaji. 2. Odpravi ulomke, oziroma korene ter skrči in okrajšaj dobljene izraze kolikor mogoče. 13 3. Prestavi vse enačbene člene v levi enačbeni del ter jih uredi po padajočih potencah z ozirom na neznanko. 4. Deli vse enačbene člene s koeficientom neznanke v najvišji potenci. Samo po sebi se razume, da red omenjenih pretvar¬ janj ni v vsakem slučaju isti, ki je tukaj naveden; ampak pretvarjanja se izvršujejo v tistem redu, ki je dotični na¬ logi najbolj primeren. Enačbo V%-\- 2 — Vx — 5 = 1 urediš, ako jo ku- buješ po obrazcu (a — b) 3 = a 3 — b 3 — 3 a 2 b -J- 3 db 2 = a 3 — b 3 — 3 ah (a — b ), potem porabiš znano vrednost za a — b in nadalje po¬ stopaš po že znanih pravilih. j/ * -j- 2 — \ x — 5 = 1 x -f- 2 — (x — 5) — 3 ]fx -(- 2 ]fx — 5 • C/x -j- 2 — x — 5) = 1 =nr — 3 y r x 2 — 3x — 10 = — 6 Yx 2 — 3 x — 10 = 2 x 2 — 3x — 18 = 0. Enačbo /2 x -/ 2 -\- /x — 3 — /x -/ 2 = f2x — 5 urediš, ako pustiš v vsakem enačbenem delu po dva ko¬ renska izraza, potem kvadruješ enačbo in nadalje postopaš po že znanih pravilih. -f fx — 3 = | /x~+2 + Y2x — 5 3x — 1 + 2 /2x2 — 4x _ 6 = 8® — 8’+ 2 /2^^x — 10 /2x 2 — 4x — 6 = .— 1 -f /2x 2 — x — 10 2x 2 ■ — 4x — 6 = 2x 2 — x — 9 — 2\f 2cc 2 — x — 10 %/2x 2 — x — 10 — 3x — 3 x 2 — 14® -f 49 = 0. Pri iracijonalnih enačbah je treba vsakokrat posku¬ siti, ali ustrezajo najdeni koreni dotični enačbi. 14 Kaj da vsota, kaj produkt obeh ko¬ renov kvadratne enačbe. Enačb eni trinom = das Glei- chungstrinom. Korenski faktor == der VVurzel- faktor. Lastnost enačbe- nega trinoma. Binomske enačbe = binomische Gleichungen. II. Urejeni kvadratni enačbi x 2 -)- ax -(- b = 0 sta ko¬ rena x x — — | -f- f/'- — b in x 2 — — ^ ^j — b. Iz teh izrazov sledi, da je x i H - x z — — a x i x % = \ — (-j — &) — b. Vsota obeh korenov urejene kvadratne enačbe je enaka nasprotnemu koeficientu dru¬ gega člena; produkt obeh korenov je enak tretjemu členu. S pomočjo tega izreka stvoriš prav lahko kvadratno 3 1 enačbo, če poznaš oba korena. Ako sta n. pr. 4 in — 4 ko- rena, je — a = 4 + I- 4 ) = 2 > b = 4 ‘ 1“ j) = “16 1 3 in kvadratna enačba x 2 — 7; x — ^ = 0. 2 lo Levi del urejene kvadratne enačbe, t. j. izraz x 2 -\- ax-\- b se imenuje enačbeni trinom. Razlika med enačbeno neznanko in onačbenim korenom se zove korenski faktor. Če sta n. pr. x t — —| -j- ]f 'j — b in x 2 = = — — | / ^ — b korena enačbe x 2 -)- ax -)- b = 0, sta x — x t in x — x% korenska faktorja te enačbe. Enačbeni trinom urejene kvadratne enačbe je enak produktu obeh korenskih faktorjev. Zakaj z ozirom na prejšnji izrek najdeš (x — x t ) (x —• x 2 ) — x 2 — (x L -]- x 2 ) x -j- x 1 x 2 — x 2 -)- ax -j- b. Iz te lastnosti sledi, daje enačbeni trinom de¬ ljiv z vsakim njegovih korenskih faktorjev. § 6. Enačbe višjih stopenj, ki se dado pretvoriti na kvadratne enačbe. Enačba, v kateri se nahaja samo ena potenca ne¬ znanke, se imenuje binomska. Urejena binomska enačba ima obliko x n -j- a == 0. Kako se urejene binomske enačbe tretje in četrte stopnje razrešujejo, kažejo naslednji primeri. 15 a) Enačbo x 3 -j-8 = 0 razrešiš, ako razstaviš levo Razreševanje stran te enačbe na faktorja po obrazcu a 3 b 3 = tretje stopnje. = (a -j- b)(a 2 — ab -j- b 2 ) in potem izenačiš vsakega teh faktorjev z ničlo. Iz (as -j- 2) (as 2 —2 as -j- 4) = 0 sledi x -j- 2 = 0 ali pa as 2 — 2 ar-)- 4 = 0; torej je as x = — 2, x 2 = 1 -j- \f — 3 in as 3 — 1 — |/ — 3. b) Enačbo as 3 —27 = 0 razrešiš, ako jo razstaviš na faktorja po obrazcu a 3 — b 3 = (a — b)(a^-\- ab -j- b 2 ) in potem postopaš kakor v prejšnjem primeru. Iz (* — 3) (a: 2 4 - 3 as -j- 9) = 0 sledi as — 3 =£ 0 al i pa 3x --9 = 0; t orej je x t = 3, x 2 = 1 -j- 3) in as 8 = — | (1 -f ]/— 3.) c) Enačbo as 4 — 4 = 0 razrešiš, ako razstavisUvi del Razreševanje 7 . ' binomskih enači te enačbe na faktorja po obrazcu a 2 — P = (a-\-b)(a — b ) četrte stopnje, in potem izenačiš vsakega teh faktorjev z ničlo. Iz (x 2 -)- 2) (as 2 — 2) = 0 sledi as 2 -|- 2 — 0 ali pa as 2 — 2 = 0; torej je x t = \f '■— 2, x 2 = —— 2, x 3 = \2 in x 4 = — [2. d) Enačbo x i -f-16 = 0 razrešiš, ako jo razstaviš na faktorja po obrazcu a 2 -\-b 2 = a 2 — Pi 2 = (a bi) (a — bi) in potem postopaš kakor v prejšnjem primeru. Iz (as 2 —j— 4ž)(as 2 — 47) sledi as 2 -)-4 i =#= 0 ali pa as 2 — 4 i = 0; torej je asj = as 2 = -j-2\f—i, as 3 = 2J/T in a; 4 = —2[i. Vrednostima in p — i najdeš drugo obliko, ako vzmnožiš in koreniš izraza |/0 -)-»-[- — 7 ' in |/0 — (— 7—/o — * z 2 ter sešteješ, oziroma odšteješ dobljeni identični enačbi, v znakih binomskih enačb /o + * + |/b — i = |/ 2 po |/2 sešteto, oziroma odšteto j /* 0 —| — ^ — |/0 — i = ][— 2^0 Vž — V— 2 Iz navedenih primerov izvajamo, da ima vsaka binomska enačba tretje in četrte stopnje 16 Trinomske enačbe = trino- mische Glei- chungen. toliko korenov, kolikor znaša potenčni eks¬ ponent neznanke. Istotako je tudi pri binomskih enačbah višjih stopenj. Način razreševanja binomskih enačb tretje in četrte stopnje se uporablja tudi pri drugih enačbah, ki niso binomske. N. pr. e) Enačbo (x — 3) 3 — (5 —• x) 3 — 0 razstaviš na fak¬ torja kakor binomsko enačbo pod b). Iz [(a; — 3) — — (5 — x)\ — 3) 2 -j- (pc — 3) (5 — x) -(- (5 — o;) 2 ] = 0 naj¬ deš korene x x = 4, x 2 = 4 -(- ]/ — 3 in % = 4 — / — 3. f) Enačbo x i — 625 = 26x (25 — x 2 ) razrešiš, ako raz¬ staviš levo stran te enačbe na faktorja kakor binoinske enačbo pod c), potem prestaviš člen desne strani na levo stran in razstaviš dobljena izraza zopet na faktorja. Iz (i x 2 + 25) (x 2 — 25) + 26 z (x 2 — 25) = (x 2 — 25) (* 2 + 25 + —j— 26 a;) — 0 najdeš korene x t — 5, x 2 = — 5, x 3 = — 1 in = — 25. g) Enačbo (3 — x) B = x — 3 pretvoriš na enostav¬ nejšo obliko, ako prestaviš člena desne strani na levo stran in potem razstaviš enačbo na faktorja. Iz (3 — x ) 3 -(- -j- (3 — x) = (3 — x) [(3 — x) 2 -j- 1] = 0 najdeš korene x i = 3, x 2 —- 3 —j— ][ — 1 in x 3 3 — j/" — 1. h) Pri enačbi = x ~~ 9 postopaš istotako kakor pri prejšnjem primeru. Iz - 3 — — g — = = (*-)- 3)( ^_ -g — ~ '*) = 0 najdeš korene x x — — 3, x. 2 = 5 in x 3 = 1. II. Ako ima urejena enačba obliko x m -\- ax n -\-b = 0 r se zove trinomska. V trinomski enačbi se nahaja ne¬ znanka v dveh različnih potencah, trinomske enačbe se dadč na tej učni stopnji razrešiti, če jih je mogoče pre¬ tvoriti na kvadratne enačbe. To se da izvršiti, ako je potenčni eksponent m dvakrat tolik kakor potenčni eks¬ ponent n. V naslednjem se hočemo torej ozirati le na take trinomske enačbe, ki imajo obliko a: 2 " -j- ax n - f- b = 0 ali i i x" -j- ax 2n -\- b — 0. A V 17 Trinomska enačba x 2n -j- ax n - |- b = 0 je kvadratna z ozirom na neznanko x n ; zakaj ako postaviš x n = y (torej x 2 n __ y 2 ^ (jojjj navedena enačba obliko y 2 -\- ay -[- b =■ 0. Iz te kvadratne enačbe najdeš Razreševanje trinomskih enačb. in če postaviš namesto y vrednost x n , dobiš binomsko enačbo x n — katero razrešiš po pravilih za binomske enačbe. Ji _L Trinomska enačba x n -|- ax 2n -|- b — 0 (ali yx -f- a~y~x- -f- b — 0) je kvadratna z ozirom na neznanko j_ 2re _ j_ J_ x 2n — ][x\ zakaj ako postaviš x 2n = y (torej x n = >/), dobi navedena enačba obliko y 2 w ~|~ b =' 0. Iz te kva¬ dratne enačbe najdeš - 1 ± y ali če postaviš namesto y vrednost x 2 ‘\ je * = (-£+/? 1 r 2 n ) 2 n X M N. pr.: a) Iz enačbe x 4 — 3x 2 — 4 = 0 ali iz y 2 —3 y — 4 = 0 (če postaviš x 2 = y) najdeš y = x 2 = 4, — 1; torej je x = + 2, + i. b) Iz enačbe \fx -\-b\fx — 14 = 0 ali iz y 2 -j- 5 y — 14 = 0 (če postaviš \fx = y) najdeš y = [x — 2; torej je a; = 64. Drugi koren, ki se najde pri razrešitvi, se ne more rabiti. c) Iz enačbe (x 2 — 6x-j-ll) 2 — 4(x 2 — 6£c —)— 11) -|- 3 == 0 ali iz y 2 — 4y —(— 3 = 0 (če postaviš x 2 — 6ic — ]— 11 — «/) najdeš y = x 2 — 6x -j- 11 = 3 ? i; torej je x t — 4, x 2 = 2, x 3 = 3 -j- i in x 4 = 3 — i. d) Iz enačbe x 2 -J- 15x — |/x 2 -j- i5x = 90 ali iz y 2 — y = 90 (če postaviš j/x 2 -f- 15x = y) najdeš y — = I / x 2 + 15x = 10; torej je x 2 -j- 15x = 100 in x = — 20. M a t e k, Aritmetika. 2 18 ZA ~ ■ ' 0 X Obratne enačbe = reziprolce Gleichungen. Lastnost obrat¬ nih enačb. Razreševanje obratnih enačb tretje stopnje. h Pl e) Iz enačbe 2x 2 — 3a? —j— 1 = ][22x 2 — 33cc -j- 1 ali iz y -f- 1 == / lly -j- 1 (če postaviš 2x 2 — 3 x — y) najdeš y = 2x a — 3x — 0, 9; torej je x = 0, -f, 3, — -f. f) Enačbo ~ == ^ razrešiš, ako po¬ staviš = V- I z V — = ■§ najdeš potem y = if52-1- x 0 1... 0 . -.2 = k 4 = 3, — 3; tor ej je % = 2 m = — 54 f3 . III. Ako imajo pri urejeni enačbi členi, ki so enako oddaljeni od začetka in konca enačbe, enake ali pa na¬ sprotne koeficiente, se imenuje dotična enačba obrat na. Občna oblika obratne enačbe je x n -j- ax n ~ 1 -{- bx n ~~ 2 —f- . . . + bx a + ax + 1 = 0. Obratna enačba ima lastnost, daje obratna vrednost vsakega korena te enačbe zopet ko¬ ren dotične enačbe. Dokaz. Če je število k koren obratne enačbe x n -j- ax n ~ 1 -|- bx n ~ 2 - f- bx 2 -j- ax - )- 1 = 0, t. j. v znakih k n -j- ak n ~ l -j- bk n ~ 2 -)- . .. -f- bk 2 -f- ak -j- 1 = 0, je tudi število \ koren iste enačbe; zakaj če postaviš v /c 4 levi del navedene enačbe namesto x vrednost ^ in pre¬ tvoriš vse člene na skupni imenovalec, najdeš izraz 1 _|_ ak -f bk 2 -f .. . -j- bk"- 2 - 1- ak n - l X h " k « katerega števec je po izrekovem pogoju = 0. Število j zadostuje torej navedeni enačbi in je zato koren te enačbe. Dokaz za drugo obliko obratne enačbe je navede¬ nemu sličen. a) Obratno enačbo tretje stopnje x 3 ~\~ ax 2 ax 1 = 0 razrešiš, ako razstaviš najprej po dva člena z enakim koeficientom in potem ves levi del enačbe na faktorja ter izenačiš vsakega izmed končnih faktorjev z ničlo. Iz x 3 -f- ax 2 -(- ax -(- 1 = (x — x -f- 1) -(- ax (x -j- 1) = = (ic — |— 1) (ic 2 — a: —j— 1 —j— ax) — 0 sledi a; -|— 1 = 0 19 ali pa x 2 -j- (a — 1) ac —|— 1 = 0; torej je x ± = —1, x 2 == — —g— + V g- ) — 1 m x 3 =- ^- - Prav tako postopaš tudi pri razreševanju obratne enačbe x s -)- ax 2 — ax — 1 = 0. Po istem načinu kakor obratne enačbe tretje stopnje razrešujejo se tudi enačbe, ki imajo obliko x 3 -f- ax 2 + abx + b 3 = 0, x 3 — ax 2 -j- abx — b 3 = 0. b) Ako deliš obratno enačbo četrte stopnje x 4 -f- ax 3 -j- -|- &x 2 ax 1 = 0 s faktorjem x 2 in zbereš po dva člena z enakim koeficientom, najdeš (* 2 + ^) + «(*+~) + ^ = o - če postaviš x -|- ~ = y, je x 2 2 = y 2 , torej x 2 + = y % — 2. Navedena enačba dobi potem obliko y 2 -j- ay —|— b — 2 = 0. Iz te kvadratne enačbe najdeš y = — | + ]f\ — b -j- 2 , in potem dobiš iz enačbe * + l = -T+Č?-6 + 2 štiri korene za neznanko x. Na isti način razrešujejo se tudi enačbe, ki imajo x 4 ax 8 -j- bx 2 amx m 2 = 0. Ge pa ima obratna enačba četrte stopnje obliko x i -j- ax 3 — ax — 1 = 0, kateri manjka člen z drugo potenco neznanke, se da prav lahko razstaviti na fak¬ torja. Iz x 4 -|- ax 3 — ax — 1 = (x 2 -j- 1) (x 2 — 1) -f- ax(x 2 v- 1) — = (x 2 — 1) (x 2 -j- 1 -f- ax) = 0 Razreševanje obratnih enačb četrte stopnje. 20 Razreševanje eksponentnih in logaritemskih enačb. sledi x 2 — 1 =0 in x 2 -{-ax-{-l = 0; torej je x t = 1, % = — 1, % = — | + /j — 1 in Xi = — | — ]f\ — 1. IV. Dvočlensko eksponentno enačbo razrešiš, ako iz¬ raziš oba enačbena dela kakor potenci iste podloge in potem izenačiš potenčna eksponenta; ali pa, ako logarit- muješ dotično enačbo in potem poiščeš po že znanih pra¬ vilih vrednost za neznanko. Mnogočlensko eksponentno enačbo razrešiš, ako prestaviš člene tako, da se nahajajo v vsakem enačbenem delu le potence iste podloge, potem razstaviš dotične izraze na faktorje in skrčiš kolikor mo¬ goče, nadalje pa postopaš kakor pri dvočlenskih ekspo¬ nentnih enačbah. Mnogočlenska eksponentna enačba se torej pretvori v dvočlensko s pomočjo računskih zakonov. Izmed ostalih eksponentnih enačb moremo razrešiti na¬ dalje le take, ki imajo obliko kvadratnih enačb ali se dad6 pretvoriti na to obliko. N. pr. a) Tročlensko eksponentno enačbo ba x -\- c = 0 razrešiš, ako postaviš a x = y (torej a 2x = y 2 ) in določiš iz kvadratne enačbe y 2 -j- by -(- c = 0 vrednost za y. Potem najdeš iz dvočlenske eksponentne enačbe vrednost za x. b) Pri tročlenski eksponentni enačbi \[a -}- b \f a -f- —j— c = 0 postopaš istotako kakor v prejšnjem primeru. c) Po računskih zakonih o potencah pretvoriš eks¬ ponentni enačbi 25* — 3 • 5* = 10 in 3 1 + 2 -j- 3 2—2 — 28 na obliko kvadratnih enačb in sicer obliki 5 2 * — 3 • 5 * = 10 90 in 3 22 — y3' = — 3. Iz teh enačb najdeš potem na isti način kakor pod a) vrednosti x = 1 in z — 2, — 1. 1 2 d) Logaritemsko enačbo 6 _ lpg -■ + = 1 raz¬ rešiš, ako postaviš log x — tj in izračunaš najprej vred¬ nost za y. Iz log x = 4, 3 najdeš x = 10000, 1000. e) Enačbo x l °s x ~ 1 = 100 razrešiš, ako jo logarit- muješ in potem postaviš log x = y. Iz log x = 2, — 1 najdeš x = 100, J ^ V > 21 § 7. Kvadratne enačbe z dvema in več neznankami. Ako imajo kvadratne enačbe po več neznank, moreš jim korene natanko določiti le tedaj, kadar imaš toliko neodvisnih in nenasprotnih enačb, kolikor je neznank. Tudi tukaj se razreševanje izvršuje vobče po istih načinih, ki se uporabljajo pri enačbah prve stopnje. To velja posebno o enačbah z obliko ax 2 by 2 — c. Sicer pa primerjaj na¬ slednje podatke! I. Ako je ena izmed določenih enačb kvadratna, druga pa linearna, se uporablja navadno zamenjalni način, t. j. iz linearne enačbe se določi vrednost ene neznanke in ta vrednost se postavi v kvadratno enačbo, katera se potem razreši po pravilih prejšnjih odstavkov. Zamenjalni način se tudi uporablja, kadar sta določeni enačbi kvadratni z obliko ax 2 — b-y 2 = c in xy — d. II. Iz določenih enačb se izvede po računskih zakonih najprej linearna enačba, ako je mogoče. Iz te nove enačbe in ene izmed določenih enačb najdeš potem korene kakor v prejšnjem slučaju. N. pr. a) Iz enačb xy -|- x — 4 in xy y — 3 najdeš li¬ nearno enačbo, ako odšteješ eno od druge. x = 2, — 2 in y — 1, — 3. b) Iz enačb X 1 -)- xg = 21 in xy -f- y 2 = 28 najdeš li¬ nearno enačbo, ako deliš eno z drugo. x = + 3 in y = -j- 4. c) Iz enačb (x — 2) (y -j- 2) = 18 in (7 — x ) {y — 3) = 2 najdeš linearno enačbo, ako izvršiš nakazane računske načine in potem sešteješ enačbi. x — 8, 5 in y = 1, 4. III. Iz določenih enačb izračunaš najprej ali vsoto, ali razliko, ali produkt, ali kvocijent, ali kako drugo zvezo neznank, in potem postopaš kakor poprej. N. pr. a) Iz enačb x 2 -f- y 2 = 52 in xy = 12 (x — tj) najdeš razliko naznank, ako odšteješ dvakratno drugo enačbo od prve in iz dobljenega zneska izračunaš x — y ka kor n e- znanko iz kvadratne ena čbe. x = 6, — 4, — 13 + /— 143 in y = 4, — 6, 13 + / — 143. b) Iz enačb x 2 -\-xy-\-y 2 — 3a 2 -(- b 2 in x 2 — xy -\-y 2 — = a 2 -\-3b 2 najdeš produkt neznank, ako odšteješ drugo enačbo od prve. Ako potem prišteješ dobljeni produkt Občna pojasnila o razreševanju kvadratnih enačb z dvema neznankama. Ena izmed dolo¬ čenih enačb je linearna. Iz določenih enačb se izvede linearna enačba. Iz določenih enačb se določi kaka zveza med neznankama. 22 neznank prvi določeni enačbi, oziroma ga odšteješ od druge, dobiš enačbi, iz katerih se da vsota, oziroma razlika ne¬ znank izračunati. Iz teh rezultatov najdeš x = + (a -j- b) in y = 4- (a — b). _ c)_ Ako je tre ba enačbi f (x — ij )'— \fx '— y — 1 in ]/x y -(- ]/x — y — 5 razreši ti, izr ačunaš iz prve enačbe vrednost korenskega izraza /x — y kakor neznanko iz kvadratne enačbe in potem najdeš iz druge enačbe vred¬ nost korenskega izraza \fx-\- y. Iz teh rezultatov dobiš 13 d) Enačbi + W -qri = 5 in x 2 + y 2 = 15 y razrešiš, ako določiš iz prve enačbe vrednost korenskega izraza i 1 in potem najdeš iz tega rezul¬ tata in druge enačbe x — 1, 8, 1 in y = 15, 7, 0. e) Ako je treba enačbi 2x 2 -)- xy — 4 y 2 = 8 in 4a; 2 — — &xy — 3 y % — 0 razrešiti, določiš najprej iz druge enačbe vrednost kvocijenta ~ ; zakaj ako deliš drugo enačbo s številom y 2 , postane kvadratna z ozirom na neznanko Potem najdeš iz dobljenega rezultata in prve enačbe x — + 3, -(- \ — 2 in y = + 2, + / — 2. f) Enačbi x i -|- 2 xy — 3y 2 — 5 in 2x 2 — 3 xy -(- y 2 = 3 razrešiš, ako postaviš y = tx , potem deliš eno enačbo z drugo in iz dobljene nove enačbe poiščeš vrednost ne¬ znanke L Nadalje postopaš kakor v prejšnjih slučajih. x = + 2 in y — + 1. g) Enačbi x -f- y — xy = 1 in x 2 y -[- xg 2 = 30 raz¬ rešiš, ako postaviš x -j- y = u in xy — z ter določiš naj¬ prej vrednosti za u in z. Potem najdeš x — 1, 5, —^6 in y = 5, i, l. h) Iz enačb x — y = 2 in x 3 — y 3 = 98 najdeš produkt neznank, ako kubuješ prvo enačbo ter porabiš v dobljenem rezultatu določeni vrednosti za x — y in x 3 — y s . Potem najdeš x = 5, — 3 in y = 3, — 5. i) Iz enačb x -)- y — 8 in x 4 -j- = 706 najdeš pro¬ dukt neznank, ako kvadruješ prvo enačbo, v dobljenem 23 znesku prestaviš člen 2xy v drugi enačbeni del, potem kvadruješ to enačbo ter porabiš določeno vrednost za x i H - V i - Koreni so x = 3, 5, 4 + [/ — 97 in y = 5, 3, 4 + |/— 97. x \ y — u:z x —j— tj — |— a — 1~“ z — 21 xz - 24 Z 2 _|_ y 2 „2 -j- Z 2 = 125. Ako kvadruješ drugo enačbo ter porabiš xz = yu = 24 in x 2 if -j- m 2 -j- z 1 = 125, najdeš novo enačbo, iz katere se dasta s pomočjo druge določene enačbe določiti vred¬ nosti za x -\- z in y -(- u. Potem je: x — 3, 8, 6, 4; y = 6, 4, 8, 3; u = 4, 6, 3, 8; z = 8, 3, 4, 6. § 8. Lastnosti kvadratne funkcije. Cela funkcija druge stopnje ali kvadratna funkcija ima vobče obliko y = era 2 4-čra + c in se uničuje v slu¬ čajih, ki sta določena po korenih enačbe era 2 -j— &£c —j— c = 0. Kvadratna funkcija era 2 -)- bx -)- c je enaka produktu dveh linearnih funkcij. Dokaz. Navedena funkcija se da pretvoriti na obliko era 2 + bx + c = a ( x 2 + \x + |), v kateri se sme faktor x 2 —x -j- — smatrati za enačbeni >o 1 a 1 a trinom, ki je po § 5. enak produktu korenskih faktorjev, t. j. dveh linearnih funkcij, v znakih era 2 —j— —|— c = a(x — x t )(x — x 2 ). N. pr. 3ec 2 -j- 4x -j- 1 = 3 (ec 2 -f- |ra -j- -|) = == 3 —f- -g-)(a? —|— 1) = (3x -j- 1) (x -j- 1). Ako se kvadratna funkcija era 2 -(- bx -|- c uničuje za vrednosti x x in x 2 , je po prejšnjem era 2 bx -f c — a (x — x 1 )(x — x 2 ). Oblika kvadratne funkcije. Kvadratna funk¬ cija je sestav¬ ljena iz linearnih funkcij. Predznak kva¬ dratne funkcije. 24 Naj večja in naj¬ manjša vrednost kvadratne funkcije. Iz te identične enačbe sledi, da je funkcija ax 2 -f- bx -f- c negativna (pozitivna) za vse med x 1 in x 2 ležeče x-ove vrednosti, če je a pozitiven (negativen), sicer pa se pred¬ znak funkcijske vrednosti ujema s predznakom stalnice a. Kvadratna funkcija ax % bxc dobi za * = — 2 ~, najmanjšo vrednost, če je a pozitiven; največjo vrednost pa, če je a negativen. Dokaz. Navedena funkcija se da tako-le pretvoriti: ax 2 -j- bx -j- c = a(i c 2 -j- ~ ) / o | b , J s 6 2 , ( = at x 2 n—» + i—5 — i—9 + - \ 'a '4 a 2 4« 2 1 ( ) V tej algebrajski vsoti se izpreminja prvi sumand, če se x izpreminja; drugi sumand pa ima stalno vrednost = c — Za pozitiven a je prvi sumand pozitiven in dobi za x — — ~ najmanjšo vrednost == 0; v tem slu- Ci d čaju ima torej tudi funkcija ax 2 -\- bx c najmanjšo vred- b 2 nost == c — Za negativen a je prvi sumand negativen 4(1 h in dobi za x = — s— največjo vrednost = 0; v tem slu- u d čaju ima tudi funkcija ax % -j- bx -J- c največjo vrednost _ __ 4, hipotenuza je c. Napravi" primerno sliko ! Če pomeni x hipotenuzni odsek, ki je po točki 1) določen in kateti a priležen, in če sta y in z pravokotnici iz točke I) na kateti, najdeš iz podobnih trikotnikov vrednosti za y in 3 . Potem je ploščina nastalega pravokotnika p yz ab(cx — x 2 ) Ta izraz dobi največjo vrednost yp = če je ~ — i = 0, torej x = ^, t. j. točka D mora ležati v središču liipo- tenuze. 26 'unkcijska črta kvadratne funkcije. X y 3. Očrtaj določenemu kvadratu najmanjši enakokraki trikotnik tako, da leži ena kva- dratova stranica na trikotnikovi osnovnici! Razrešitev. Kvadratova stranica je a. Vrh očrtanega enakokrakega trikotnika mora ležati na somernici kva- dratove osnovnice. Napravi primerno sliko ! Če pomeni x razdaljo trikotnikovega vrha od določenega kvadrata, najdeš iz podobnih trikotnikov vrednost za trikotnikovo osnovnico, namreč y = - Ploščina enakokrakega trikotnika je potem _ Sda + art _ _ a j _ p— 2 ~ 2x — 2 \ J ° “1 — = | [2a + + ^) ] = | [ 2 « + + 4 « 2 ]- Ta izraz dobi najmanjšo vrednost (p = 2a 2 ), če je x — ~ = 0, torej x = a. § 9. Naertavanje kvadratne funkcije in njen diferencijalni kvocijent. Geometrijsko podobo kvadratne funkcije y = — j* 2 -f- -f- 2x -\- 5 najdemo, ako poiščemo n. pr. razrešitvam : pripadajoče točke ter narišemo skoz te točke funkcijsko črto. Primerjaj sliko! Če pridenemo navedenim razrešitvam še naslednje: vidimo, da raste funkcija y = — 2* -vj- 5 od — 00 do 9 in potem pojema od 9 do — 00, če raste premenljivka 27 od —oo do -)- oo. Za x = 4 dobi funkcija največjo vred¬ nost = 9. Ker pripadajo enakim prirastkom premenljivke različni funkcijski prirastki, oziroma zmanjški, mora funk¬ cijska črta biti kriva (krivulja). Iz funkcijske črte spo- Krivulja = die znamo, kje in kako raste (pojema) funkcija in kje dobi največjo, oziroma najmanjšo vrednost. Da je mogoče iz prirastka premenljivke in iz funkcijskega prirastka (zmanj- ška) izračunati trigonometrijsko tangento tistega kota, katerega tvori sekanta, oziroma tangenta funkcijske črte s pozitivno smerjo abscisna osi, bomo videli iz naslednjega. Recimo, da pripada določeni vrednosti x = OP funk¬ cijska vrednost y = PA. Če se x poveča za Ax, se funk¬ cijska vrednost poveča za Ay, torej je v sliki OR = x -j- Ax in RB = y -j- Ay. Sekanta AB, ki gre skoz točki A in B , tvori s pozitivno smerjo abscisne osi kot /?, katerega trigonometrijska tangenta je določena po prirastkih Ax in Ay, v znakih tang /? = Če zavrtimo sekanto AB okoli točke A tako, da se točka B bliža točki A, se manj¬ šata prirastka Ax in Ay. Ko se točka B stika s točko A, preide sekanta AB v tangento AT; kot /9 preide v kot a, 28 Diferenčni kvo- cijent = Diffe- renzenquotient. Diferenciral = das Differential. Diferencijalni kvocijent == Differential- quotient. Kako zaznamu¬ jemo in izraču¬ namo diferenci¬ jalni kvocijent. Pomen diferen¬ cialnega kvocijenta. katerega tvori tangenta AT s pozitivno smerjo abscisne osi; izmerljiva prirastka Ax in Ay preideta v neizmerno majhna prirastka dx in dy, ki se zoveta diferencijala; in ' A i/ diferenčni kvocijent ~ = tang /? preide v diferen¬ cijalni kvocijent = tang a, v znakih lim ^ (lim = limes = meja ali mejna vrednost). Diferencijalni kvocijent funkcije y = f(x) z ozirom na premenljivko x zaznamujemo tako-le % = y' = /» ter izračunamo njegovo vrednost po pojasnilu _ (v + d v) — y _ f( x + dx) — f(x) dx dx dx ’ t. j. ako postavimo v določeno funkcijo namesto x izraz x -j- dx in odštejemo od tega izračunanega zneska vrednost prvotne funkcije ter delimo dobljeno razliko z dx, najdemo kvocijent, v katerem je člen s faktorjem dx neizmerno majhen (= 0) in se sme zategadelj izpustiti. V našem primeru je dij _ — -f(x dx) 2 -j- 2(x -j- dx) -)- 5 — (— \x 2 -j- 2x -f- 5) _ dx dx -\xdx + 2dx-\[dxY 1_ | 0 1 LO - dx -— — + T dX — —2 X ^ Z - Diferencijalni kvocijent za določeno točko funkcijske črte pomeni torej trigonometrijsko tangento tistega kota a, katerega tvori geometrijska tangenta v dotični točki s pozitivno smerjo abscisne osi, v znakih = tang a. Če se geometrijska tangenta AT porniče po funkcijski črti tako, da se dotikališče A bliža vrhovni točki C, je kot a oster in se manjša; diferencijalni kvocijent jo pozitiven in se manjša. Ko se točka A stika z vrhovno točko C , postane kot a = 0° (tangenta CT je vzporedna z abscisno osjo) in diferencijalni kvocijent dobi vrednost = 0, v znakib ~ — f'(x) = 0. Če drči geometrijska tangenta CT po 29 funkcijski črti dalje na desno, postane kot a top (= a x ) in diferencialni kvocijent negativen. Dokler se vzdiguje funkcijska črta, raste funkcija Kako spoznamo, J J J da kvadratna in prirastek dy je pozitiven; torej je tudi diferencijalni funkcija raste, kvocijent ~ pozitiven, ker smatramo namreč prirastek dx 0/1,0,na p °j“" ia - vedno za pozitivno količino, če pa pada funkcijska črta, dratna funkcija pojema funkcija in prirastek dy in diferencijalni kvocijent ro.^^mnjL j~ x sta negativna. Obratno smemo sklepati, da raste dolo- vrednost, čena funkcija tako dolgo, dokler je njen diferencijalni kvocijent pozitiven; če pa postane diferencijalni kvocijent negativen, začne funkcija pojemati. Ko je diferencijalni kvo¬ cijent = 0, je funkcija največja (najmanjša). Iz enačbe ^ = f(x) = 0 določiš torej tisto vrednost premenljivke x, dx . v 7 za katero dobi funkcija naj večjo, oziroma najmanjšo vred¬ nost. Prvi slučaj se nahaja pri funkcijah, ki rastejo, drugi pa pri funkcijah, ki pojemajo do dotične premenljivkine vrednosti. V našem primeru je diferencijalni kvocijent — — i x 2, ki je pozitiven od x = — oo do x = 4; negativen pa od x = 4 do x = -J- oo. Iz enačbe — ^x -j- —f— 2 = 0 najdeš vrednost x — 4, za katero dobi nave¬ dena funkcija naj večjo vrednost = 9. Geometrijsko podobo kvadratne funkcije y = 2x 2 — Primer z» toima- _ , „ . t čenje kvadratne — 6x -j- 9 najdemo n. pr. s pomočjo razrešitev: funkcije. Napravi primerno sliko! Diferencijalni kvocijent navedene funkcije je = 4x — 6. Ker je ta izraz od x = — oo do x = f negativen, od x = -f do x = -f - 00 P a pozitiven, pojema torej funkcija y = 2x 2 — 6x -(- 9 od x = — co do x = f, od x — | do x — -)- oo pa raste. Za x = f dobi funkcija najmanjšo vrednost = 4|. Če poiščemo kvadratni funkciji y'= ax 2 bx -j- c Kako se razresu- geometrijsko mesto ter izmerimo abscise presečišč funk- moiyo funkci j_ cijske črte in abscisne osi, najdemo razrešitve kva- skih ert. dratne enačbe ax 2 —j— &x —j— c = 0. Če ima funkcijska črta 30 z abscisno osjo dve, oziroma eno skupno točko, ima na¬ vedena kvadratna enačba dve, oziroma eno realno raz¬ rešitev; če pa nima funkcijska črta z abscisno osjo no¬ bene skupne točke, nima omenjena kvadratna enačba no¬ bene realne razrešitve. Primerjaj § 5! Ako poiščemo dvema kvadratnima funkcijama (ozi¬ roma kvadratni in linearni funkciji) geometrijski mesti ter izmerimo koordinate skupnih točk, najdemo skupne razrešitve dotičnih dveh enačb. Če imata funkcijski črti skupne točke, imata dotični enačbi realne razrešitve; če pa nimata funkcijski črti nobene skupne točke, nimata omenjeni enačbi nobene realne razrešitve. Mejna vrednost „ _ sina; funkcije - § 10. Diferencialni kvocijenti nekaterih najnavadnejših funkcij. Mejno vrednost funkcije s ™' ; za x = 0 najdemo tako-le. Mera določenega kota ACB — x (primerjaj sliko!) je pripadajoči lok AB = x, katerega polumer je r — CB — 1 . Če nari¬ šemo BE 1 AC in AD L AC , vidi¬ mo iz slike, da jeBE<^AB < AD ali pa z ozirom na pojasnila o trigonometrijskih funkcijah sin x <^x<( tangcc. Iz te neenačbe •. l . 1 .. kos x .. sledi, da je -— j> — — — ah ’ J sina: sin a: Če se premenljivka x manjša in bliža ničli, se kosx bliža 1. Ko postane x = 0, sta obe meji . . sin*. , 1 > — > kos x. funkcije enaki; torej je 1 za x 0 . Diferencijalni kvocijent potence. Diferencovati = differenzieren. 1. Diferencijalni kvocijent funkcije y — x m najdemo tako-le. Ako porabimo deljivost — _ _J_ a m -25 . _j_ ab m ~ 2 ki velja za cele pozi- ,. ... - . v . . dv (x-\-dx) m — x»' tivne m, dobimo v našem slučaju izraz ^ ^ _ — = = (x -|- dcr)" 1 - 1 -)- (x + dx)'”- 2 x {x -j- dx)x m ~ 2 -\- —[— x m h Ker je dx = 0, je vsak izmed m sumandov 31 navedenega kvocijenta enak torej je = mx m 1 ali -H —- — mx' n ~ l . ax Po tem pravilu se difer encuj ej o (se išče dife¬ rencialni kvocijent) potence, katerih eksponent je celo pozitivno število. Da smemo po istem pravilu diferencovati tudi take potence, katerih eksponent je ali negativno ali ulomljeno število, bomo pozneje spoznali. 2. Diferencijalni kvocijent funkcije y — sina? najdemo oiferencijaini kvocijent sinusa. tako-le. S pomočjo goniometrijskega obrazca, po katerem se sinusi odštevajo, dobimo dy sin {x -)- dx) — sin x 2 cos \ x ~r t) sin ~Y dx = ” dx _ dx 2 torej je z ozirom na zgoraj navedeno mejno vrednost dx cos x ali d (sin x ) dx cos x. 3. Na isti,način kakor poprej najdemo tudi diferen¬ cialni kvocijent funkcije y - cos x. Diferencialni kvocijent kosinusa. dy cos (x -j- dx) — cos x dx dx / i dx\ • dx 2 sini 35 “h y ) sin T dx Sin f^+f) sin dx ~ 2 ~ torej je dij dx „ d (cos x) — —sina?- ah..— 1 —;- dx —- sm x. 4. Ako poiščemo diferencialni kvocijent funkcije y = f{x) -f- k, kjer pomeni k stalnico, najdemo dy __ f{% + dx) + k - [f{x) + k] _ /(x + dx ) -/( x) dx - /(*)• dx dx Ker se ta rezultat popolnoma ujema z rezultatom, ki ga dobimo, če diferencujemo funkcijo y = /( x), smemo skle¬ pati, da j e diferencij alni k vo ci j en t v s ak e stal¬ nice = 0, v znakih ^ ^ dx Diferencijalni kvocijent stal¬ nice. 32 Stalni faktor pri diferenco vanju. Diferencialni kvocijent alge- brajske vsote. Kako se diferen- cuje nerazvita funkcija. • Če diferencujemo funkcijo y — k • f(x), kjer pomeni h stalnico, najdemo cly k 'f(x -j- dx ) — k •f(x) , f(x -j- dx) — f(x) dx dx dx = k ./(*). Stalni faktor ostane torej pri difer e n co vanj u neiz preme njen, v znakih * <*•/<*>] = k •/'(*). 5. Ako poiščemo diferencijalni kvocijent funkcije y — f(x) +

{y) — 0 , n. pr b 2 x 2 -\- a 2 y 2 — a 2 b 2 = 0 diferencujemo tako-le. Če raste neodvisna premenljivka x za dx, se odvisna premenljivka y izpremeni za dy; torej je tudi f{x -\- dx) -\-

3 2 G 4 128 i f f ] —5 T54 TTffi tTBT *• u ' ima lastnost, da je kvocijent po dveh zaporednih števil (prejšnje število vzeto za divizor) vedno isti. Vsaka taka številna vrsta se imenuje geometrijska postopica, njena posamezna števila se zovejo členi in stalnemu kvo- cijentii po dveh zaporednih členov se pravi postopični kvocijent. Če zaznamujemo z a u « 2 , a 3 i. t. d. zaporedne člene, izrazimo pogoj za geometrijsko postopico v znakih tako-le: Geometrijsko postopico imenujemo rastočo (padajold ali pojemajočo), če se njeni zaporedni členi večajo (manj¬ šajo); v prvem slučaju je postopični kvocijent večji od enote, v drugem pa pravi ulomek. Primerjaj zgoraj na¬ vedeni postopici ter določi pri vsaki kvocijent! Vsak naslednji člen geometrijske postopice najdeš, ako pomnožiš prejšnji člen s kvocijentom. Iz prvega člena Geometrijska postopica = geometrische Reilie joder Pro- gr^ssion.) Pojasnila^ Tvorbeni zakon geometrijske postopice. 44 Občni člen geometrijske postopice. Vsota geome¬ trijske postopice. Vsota padajoče brezkončne geometrijske postopice. izračunaš torej vse naslednje člene, ako pomnožiš prvi člen ponavljajoč s kvocijentom, t. j. v znakih a., — a-Jc , a 3 == a 2 k = % k 2 , a i = a 3 k = a,jfc 3 , a„ = a 1 k n ~ t . Izraz a n =±~a'{fc ~— ^eTTmenuje občni člen geome¬ trijske postopice; on določa, kako izračunaš iz prvega člena in kvocijenta katerikoli člen geometrijske postopice. Vsota iz n členov geometrijske postopice je po na¬ vedenem s n — (x-y — a^k —|— cc-^Jc u —j— .,. — |— a^k n h ('e pomnožiš to enačbo s kvocijentom k, dobiš ks n = d]k -j— Oj k? —j— (x j k® — [— .... —j— Oj/c n , in ako odšteješ od te enačbe prvo, najdeš s n (k — 1) = a 1 k n — ^ in s„ = ■ Izraz s„ = — -j— se imenuje vsota geometrij¬ ske postopice; on določa, kako moreš iz prvega člena, kvocijenta in števila členov izračunati vsoto. Pri padajočih geometrijskih postopicah pojemajo (se manjšajo) zaporedni členi. Čim večje je število členov, tem bolj se bliža vrednost zadnjih členov ničli. Na isti način kakor zgoraj najdemo vsoto takih brezkončnih postopic in sicer s = -j- a x k -|- ak 2 -j- .. . brez konca ks — d^k —j— (tk 2 —j— akP —j—. s(l — k) = a u torej s = odšteto Izraz s = _ določa vsoto padajočih brez- 1 — /C končnih geometrijskih postopic. 45 Ako je treba med določeni števili a in b vriniti n takih števil, ki tvorijo z a in b skupaj geometrijsko postopico, morajo števila, katera iščeš, imeti obliko ak , ak 2 , ak 3 , ... ak", kjer pomeni k še neznani kvocijent geometrijske postopice. Za alc" pride število b, za katero velja isti tvorbeni zakon; torej je b = ak n + l . Iz te enačbe dobiš kvocijent za geo¬ metrijsko postopico Naloge. +" 1. Določi vsoto naslednj e postopice: 2 3 2 1 I 2 \ , 2 as “i Q4 i a» ~r a« "I - ■ ■ ■ Razrešitev. Ako urediš navedeno postopico tako-le: 1 _i_ 1 i 1 i i 2 i 2 i 2 i 3 "l 3* ' 3* i ’ • ' + 3 2 l 3 * ■+■ 3 6 “r-”’ dobiš dve brezkončni geometrijski postopici, katerima se dasta vsoti določiti. i 3 2 5 i 7 } 1 : S 8 ' S’ " ■r 2. Vsota iz 1. in 3. člena geometrijske po¬ stopice je 9£ in vsota iz 2. in 4. člena 14f; kako se glasi postopica? Razrešitev. Po pogoju naloge je «i -)- a s = 9£ in a 2 -f- a 4 = 14 4 . Ce porabiš pri teh podatkih obrazec za občni člen ponav¬ ljajoč in razstaviš dobljena zneska na faktorje, najdeš + == ^ in a x k (1 -j- k 2 ) = i-U. Ako deliš zadnji enačbi eno z drugo, dobiš k = 4 . Potem najdeš a i — 3. 4 - 3. Produkt iz 1. in 8. člena geometrijske postopice znaša 4374 in vsota iz 4. in 5. člena 135; kolika je vsota 8 členov? *S 5 Kako se med do¬ ločeni števili vrinejo novi členi. 46 Razrešitev. Po pogoju naloge je a t ■ a 8 = 4374 in a 4 -j- a- 0 = 135. Ako porabiš obrazec za občni člen, dobiš a[¥ = 4374 in a t ¥ (1 -f k) = 135. Če deliš kvadrat druge enačbe s prvo, najdeš kvadratno enačbo, iz katere dobiš It = f, -f. Potem je a x = 16, 273f in s 8 = 788 i 4. Vsota treh števil, ki tvorijo geometrij¬ sko postopico, znaša 21; vsota njihovih kva¬ dratov je 189. Katera so števila? Razrešitev. Po pogoju naloge je a i ~b a 2~t~ a s ~ 21 in a \-\- a t~\~ a l — 189 ali drugače izraženo «i(l + k -f ¥) == 21 in o*(l + ¥ + ¥) = 189. Ako deliš kvadrat prve enačbe z drugo, najdeš obratno enačbo četrte stopnje, iz katere dobiš k = 2. Potem je «4 = 12, 3. Zahtevana števila so: 12, 6, 3 ali 3, 6, 12. Druga razrešitev. Ako odšteješ od kvadrata prve enačbe drugo in dobljeni znesek deliš s prvo enačbo, naj¬ deš vrednost produkta ajt. Iz te vrednosti dobiš s pomočjo prve enačbe iste rezultate kakor zgoraj. 5. Prvi, drugi, peti in zadnji člen aritme¬ tične postopice tvorij o štiri zaporedne člene geometrijske postopice. če znaša vsota te četveročlenske postopice 80, kolika je vsota aritmetične postopice? Razrešitev. Če tvorijo členi a, a -f- d, a + 4d in a-\-{n — 1 )d aritmetične postopice štiri zaporedne člene geometrijske postopice, je a -f- d a -J- id a-\-(n — 1 )d a a -)- d a -j- 4 d V tem izrazu se nahajata dve enačbi. Nadalje je po po¬ goju naloge 4a -f- (n -j- 4 )d — 80. Iz navedenih enačb najdeš: n = 14, a = 2, d = 4. Vsota aritmetične posto¬ pice je 392. 47 6. Kvadratu s stranico a se včrta drugi kvadrat tako, da njegova oglišča razpolav¬ ljajo stranice prvega kvadrata; drugemu kva¬ dratu se včrta na isti način tretji kvadrat i. t. d. Koliko znašajo a) obsegi, b) ploščine vseh teh kvadratov? Razrešitev. Stranica prvega kvadrata je = a. Stra¬ nico drugega kvadrata najdeš po Pitagorovem izreku in sicer je a 2 = 2. Stranica tretjega kvadrata je ct 3 = = a 2 *||/2, stranica‘četrtega kvadrata je == 2, i. t. d. Ako primerjamo navedene rezultate, vidimo, da tvo¬ rijo stranice zaporednih kvadratov geometrijsko postopico, katere prvi člen je = a in kvocijent = ||/2. Obsegi vseh kvadratov znašajo 4a -j- 4a • \ \f 2 4 a 4a.(*/2/ + - = M2 + /2). 1 — } Z 2 Ploščine vseh kvadratov znašajo S = a 2 + a 2 • (^/2) 2 + a 2 • (iv' 2) n% 2a 2 . 1 - (i/2f 14. Obrestno obrestni računi. M TL K i Vr Dostikrat se nalože glavnice ali kapitali tako na obresti, da se pridenejo obresti koncem vsake dobe (na¬ vadno koncem vsakega leta ali poluletja) h kapitalu ter se s tem vred zopet nalože na obresti. V takem slučaju pravimo: kapital je naložen na obrestne obresti. Pri obrestno obrestnih računih pride v poštev: 1. glav¬ nica ali kapital, 2. čas, 3. odstotek ali procent (obrestna mera), 4. obresti. Če naložiš kapital po p %, naraste 100 K kapitala z obrestmi vred v 1 letu na ( 100 4- p) kron, 1 K kapitala torej na kron = (1 + ) kron. Vrednost 1 + ik = *» na katero naraste kapitalova enota z obrestmi vred v 1 letu, imenujemo obrestovalni faktor. Obrestno obrestni račun Zins es z i usmili- nun g Obrestovalni faktor = Ver- zinsungsfaktor. 48 Kako izračunaš Ker j e vrednost kapitalove enote čez eno leto enaka k, pitei^po doto- hna kapital a čez 1 leto vrednost a l = ak\ y t. j. kapita- čenem času. lovo vrednost čez 1 leto najdeš, ako pomnožiš prvotni kapital z obrestovalnim faktorjem. Prvotni kapital za drugo leto je a t in naraste z obrestmi vred koncem tega leta na vrednost a 2 = a t k = ak 2 . Ka¬ pital tretjega leta je a 2 in dobi koncem tega leta vred¬ nost a 3 = a 2 k = ak s i. t. d. Čez n let ima torej kapital a vrednost a n = ak n . Enačba a n = ak 1 ' določuje vrednost kapi¬ tala,'naloženega na obrestne obresti, čez n let. Iz te enačbe se da določiti tudi vsaka izmed količin a, h, n; iz pogoja za obrestovalni faktor k = 1 -)- j— najdeš procente. Kadar se obresti kapitalizujejo (pridenejo h ka¬ pitalu) poluletno, je obrestovalni faktor k = 1 -j- — in namesto n se postavi 2 n. Kako izračunaš vrednost letnih zneskov po dolo¬ čenem času. * Enačba a n — ak n ne velja samo za kapitale, naložene na obrestne obresti, temveč tudi za količine sploh, ki se večajo po stalnem razmerju kakor n. pr. prebivalci kake dežele, množina lesa v gozdu i. t. d. Ako- naložiš v začetku ali koncem vsakega leta isti znesek jr) na obrestne obresti, najdeš vrednost vseh teh zneskov v začetku, oziroma koncem n-tega leta tako-le. Prvi znesek je naložen (n — 1) leto na obrestne obresti; vsak naslednji znesek pa 1 leto manj ko prejšnji. Torej je vrednost 1. zneska ob času zadnjega vplačila „ 2 . „ ^ ,, ,, ,, I „ n w n w w ?? „ (n I)- 7) 11 n n ti it ,, ,, „ ii „ in vsota vrednosti vseh n zneskov je = rk, 8 n = r(l + & + P+ ... +&»-* + A: — 1 ) ali skrčeno po pravilu prejšnjega paragrafa 49 fon _ 1 Enačba s n = , določuje vrednost vseh skoz wlet vplačanih zneskov r in sicer ob času zadnjega vplačila. Iz te enačbe se dasta do¬ ločiti tudi količini r in n; z ozirom na količino h se ne da enačba razrešiti na tej stopnji. Na obrestne obresti naloženi kapital a, ki se koncem vsakega leta poveča, oziroma zmanjša za znesek r, Ima po zgoraj navedenem na koncu w-tega leta vrednost b = ak n r - . - iC - 1 Iz te enačbe moreš določiti tudi količine a , r in n. Znesek, ki se komu skoz nekatera leta izplačuje, se imenuje renta. Renta je ali vsako leto enako velika (stalna) ali včasih tudi po določenem zakonu izpremenljiva; izplačuje se navadno koncem (redkokdaj v začetku) vsa¬ kega leta, oziroma poluletja. Renta se mora kupiti, t. j. za rento se mora poprej neka vsota (vloga) ali enkrat ali ob določenih obrokih plačati. Pri vsaki renti je važna njena gotova vrednost, t. j. tisti znesek, ki bi se moral v začetku onega leta, v katerem se prvokrat izplača renta, zanjo plačati. Ako naložiš gotovo vrednost (a) rente na obrestne obresti, dobiš za časa zadnje rente isti znesek, kakor če bi naložil vsako rento r takoj, ko jo dobiš, na obrestne obresti, t. j. v znakih ak n — r 1 ' - --. k — J Iz te enačbe se da izračunati vsaka izmed količin a , r in n. če bi se renta dobivala skoz wlet In sicer v začetku vsakega leta, bi zanjo veljala ta-le enačba Renta die Rente. Enačbi za rente. ak n ~ x = r ^- y . Vrednosti določenih kapitalov, ki jih je treba izplačati ob različnih obrokih, se dado med seboj primerjati le po n jih gotovih vrednostih ali po tistih končnih vrednostih, katere dobijo posamezni kapitali za časa zadnjega obroka, ki se jemlje v poštev v dotičnem slučaju. Matek, Aritmetika. 4 50 Naloge. - j- 1. Sedanji vrednosti dveh kapitalov se raz¬ likujeta za 1000 K. Večji kapital je naložen po 4%) manjši po 4|%; čez 20 let bo prvi kapital dvakrat tolik ko drugi. Kolik je vsak kapital? Razrešitev. Večji kapital je x, manjši x — 1000. Vrednosti teh kapitalov čez 20 let sta x • k 04 20 in (x — 1000) -P045 20 . Po pogoju naloge je a;. 1-04 20 ’= 2(x — 1000) -1-045 20 . 2000* 1-045 20 Iz te enačbe najdeš x — = 1831 • 92 K. 2.1-046“ -1-042» f~2. Kapital 3000|K j e 15 let in sicer v začetku po 5%, pozneje po 4% naložen na obrestne obresti in naraste v tem času na 58327 K; ko¬ liko časa je bil naložen po 5%? Razrešitev. Kapital je wlet po 5% in (15 — n) let po 4% naložen. Iz enačbe najdeš n 58327 = 30000 • P05" • 1-04 15 -” log- 58327 — log 30000 — 15 logl'04 = 8 let. log 1-05 — log 1-04 ~*T 3.Nekdo si izposodi 2400 K po 3|°/o i n posodi ta denar drugemu po 5%; koliko ima dobička v 9 letih? Razrešitev. Dobiček znaša vsako leto l^°/o od kapitala 2400 K, t. j. 36 K. Ti zneski se obrestujejo po 5% in na¬ rastejo v 9 letih na 1 - 0^9 _ 1 s 9 = 36 • - 396-98 K. *4“ 4. Od nekega dolga se plača koncem vsa¬ kega leta 250 K. Če znaša dolg čez 15 let še 1300 K in se obresti računajo po 4|°/o) a ) kolik je bil prvotni dolg, b) čez koliko let bi bil dolg popolnoma poravnan? Razrešitev, a) Iz enačbe a • 1-045 16 — 250 • najdeš prvotni dolg a 15 . V'1 1- 045» — 1 0-045 3356-85 K. 1300 iUv b) Iz enačbe 3356-85 • 1-045" = 25Q • — jf.” T 1 l 0-045 , _ - log 10000 - log 3957-^67 AK . najdeš » = -i^Tofe- — = 21-05 let, t. j. dolg bo poravnan čez 21 let, če bo zadnji obrok ne¬ koliko večji od prejšnjih. Jr s- Parni stroj velja 17.000 K, popravljalni stroški znašajo poprečno na leto 1160 K in vsakih 25 let je treba kupiti nov stroj. S ka¬ terim kapitalom se dado vsi ti stroški enkrat za vselej poravnati, če se je stroj ravno kupil in se obresti računajo po 4%? Razrešitev. Obrestne obresti dotičnega kapitala čez 25 let morajo biti enake kupni ceni parnega stroja, po¬ večani za oni znesek, na katerega narastejo popravljalni stroški v 25 letih, t. j. v znakih 1 - 04-25 _ 1 a • p045 25 — a = 17000 + 1160 • q-04~ - Iz te enačbe najdeš a — 39208-4 K. 6 . Kdaj se plača 24000 K za rento 1000 K, ki se dobiva skoz 24 let, če se obresti računajo po 3*%? Razrešitev. Gotovi vrednosti rente in kapitala, ki se plača za rento, sta enaki. Torej veljata enačbi a • 1-0375« = 1000- 1-037524 — 1 0 0375 ’ a -1-0375" = 24000, iz katerih je treba gotovo vrednost a iztrebiti. Potem najdeš 1 donKn 0-9. 1-037524 . 1 0375 - j .037524 _ i ln 11 — 11"62 let. 7. Koliko moraš skoz 20 let in sicer v za¬ četku vsakega leta vložiti pri zavarovalnem društvu, da dobivaš potem skoz 12 naslednjih let rento 600 K, če se računajo obresti po 4% 2 52 Sestavljati = kombinieren. Sestavba die Kombination. Prvek = das Element. Skupina — die Komplexion. Kazalo = der Zeig-er oder Index. Pojasnila. Razrešitev. Gotova vrednost vseh vlog je enaka go¬ tovi vrednosti 12 letne rente. Torej veljata enačbi a • 1-04 19 a • 1-04 32 = 600 1 0420 _ i 0- 04 1 1- 0412- 004 Ako iztrebiš iz teh enačb gotovo vrednost a, najdeš = 181-85 K. 600 1-0412 1-0413 ' I-H42" IV. Sestavbe ali kombinacije. Določene stvari ali določena znamenja sestavljamo ali kombinujemo (v širšem pomenu besede), ako jih pravilno uredimo, oziroma razporedimo, ali ako napra¬ vimo iz njih oddelke, ki ustrezajo določenim pogojem. Stvari ali znamenja, ki se kombinujejo, se zovejo prveki ali elementi, vsak spoj več elementov pa se imenuje skupina ali kompleksija. Posamezne elemente za¬ znamujemo ali s črkami ali s števili naravne številne vrste (s kazali) ali pa tudi tako, da si izberemo neko črko, kateri pridenemo kazala, n. pr. a 1} a 2 , a 3 , a i . .. Izmed dveh elementov je tisti višji (nižji), ki stoji pozneje (po¬ prej) v abecedi, ali ki ima večje (manjše) kazalo. Tako je n. pr. element 5 višji od elementa 3 in element c nižji od elementa d. Izmed dveh skupin je tista višja, v kateri najdeš od leve proti desni poprej višji element, n. pr. sku¬ pina adbc je višja od skupine acbd. Naj nižja skupina je tista, v kateri ni višjega elementa pred nižjim, naj višja pa tista, v kateri ni nižjega elementa pred višjim. V najnižji skupini so elementi naravno urejeni od najnižjega do naj¬ višjega, v najvišji skupini pa sledijo elementi drug dru¬ gemu v obratnem redu. Tako je n. pr. obede najnižja in edeba naj višja skupina. 67 Naloge, 1. Kolika je verjetnost, da z dvema koc¬ kama prej vržeš dve enaki števili ko pa dve neenaki? Razrešitev. Za dve enaki števili je 6, za dve neenaki 6 1 pa 30 ugodnih slučajev, v — Q 3Q = g. 2. V neki žari je 10 belih, 7 črnih in 8 ze¬ lenih krogel. Kolika je verjetnost, da potegneš prej belo nego zeleno kroglo? Razrešitev. Absolutna verjetnost za belo kroglo je »j = |4;, za zeleno pa v 2 = -jr-', torej je relativna verjetnost za belo kroglo v = — j — = ... III. Ako se verjetnost kakega dogodka določi s po¬ močjo verjetnosti dveh ali več drugih dogodkov, govorimo navadno o sestavljeni verjetnosti. Važni sta dve obliki te verjetnosti. a) Verjetnost dveh ali več dogodkov, ki se izključujejo. Recimo, dogodka A t in A 2 imata m mo¬ gočih slučajev, izmed katerih je % ugodnih za A 1 in u 2 ugodnih za A 2 . Za A x in A 2 je torej u x -j- u 2 ugodnih slu¬ čajev in verjetnost, da se zgodi ali A x ali A s , je v ^1 I ^2 m * m — n + » 2 , kjer pomenita v x in v 2 absolutni verjetnosti dogodkov A t in A 2 . Ako pride več dogodkov v poštev, najdemo na isti način, da je verjetnost za enega teh dogodkov, ki se izključujejo, enaka vsoti absolutnih ver¬ jetnosti vseh posameznih dogodkov, v znakih V = -f- »2 H - ®8 • Naloge. V neki žari je 7 belih, 8 rumenih, 9 rdečih in 10 modrih krogel. Kolika je verjetnost, da potegneš belo ali rdečo kroglo? Sestavljena ver¬ jetnost = zusam- mengesetzte Wahrscheinlich- keit. 5 * 68 Razrešitev. Absolutna verjetnost za belo kroglo je v i — tj-, za rdečo kroglo v 2 = torej verjetnost za belo ali rdečo kroglo v == v x -(- c 2 = 2. Kolika je verjetnost, da vržeš z dvema kockama več nego pet pik? Razrešitev. Vsote, ki znašajo več ko 5, so 6 do 12 in treba je izračunati verjetnost za vsako teh vsot posebej. Potem jev = -j- A + tw + T?r + A ~b iz + ttt = tt- — Isti rezultat najdeš tudi tako-le: Verjetnost, da vržeš eno izmed vsot 2, 3, 4, 5, je v ± = ^ + A + A + A = * in verjetnost, da ne vržeš nobene izmed teh vsot, je potem v = 1 — Vl = ||. 6) Verjetnost zaporednih dogodkov, t. j. verjetnost, da se določeni, med seboj neod¬ visni dogodki zaporedno vrše. Recimo, dogodka A ± in A 2 imata oziroma % in u 2 ugodnih, m x in m 2 pa mogočih slučajev. Število ugodnih slučajev, da nastopita oba dogodka zaporedno, je — u t • w 2 , ker se lahko vsak ugoden slučaj prvega dogodka združi z vsakim ugodnim slučajem drugega dogodka. Isto velja tudi o mogočih slu¬ čajih obeh dogodkov. Verjetnost, da nastopita oba dogodka zaporedno, je torej kjer pomenita v t in v 2 absolutni verjetnosti dogokov A t in A 2 . Ako pride več dogodkov v poštev, najdemo na isti način, da je verjetnost, da se dogodki zaporedno vrle, - enaka produktu iz absolutnih verjetnosti vseh posameznih dogodkov, v znakih V = • v 2 • v 3 . . . Ce je — v 2 = v 3 = ..., se ponavlja isti dogodek; potem je v — v*, kjer p naznanja, kolikokrat se ponovi dotični dogodek. 69 Naloge. 1. Nekdo zapiše trikrat zapored vselej drugo dvoštevilčno število. Kolika je ver¬ jetnost, da zapiše trikrat zapored liho šte¬ vilo? Razrešitev. Dvoštevilčnih števil je 90 (od 10 do 99); od teh je 45 sodih in 45 lihih števil. Verjetnost za liho število je prvič v i = ff, drugič ® 2 = M i n tretjič % = -ff. Verjetnost, da se zapiše trikrat zapored liho število, je torej v = v 1 -v 2 -v 3 = 2. V žari je 9 belih in 6 črnih krogel. Ko¬ lika je verjetnost, da potegneš najprej dve beli in potem dve črni krogli, a) ako vržeš beli krogli nazaj, b) ako obdržiš beli krogli? Razrešitev, a) 15 krogel se da sestaviti v ambe (*) krat, 9 belih (J)krat in 6 črnih ©krat. Verjetnost za dve beli m Z' 6 ') krogli je v t = ^ in verjetnost za dve črni ® 2 = ^ • Verjetnost, da potegneš najprej dve beli in potem dve črni krogli, je torej v = v x • v 2 = . — b) Verjetnost za dve beli krogli ostane ista, verjetnost za dve črni krogli je sedaj drugačna. V žari je namreč samo še 13 krogel, 7 belih in 6 črnih. Verjetnost za dve črni krogli je v 2 = IV Verjetnost, da potegneš najprej dve beli in po- t 2 ' tem dve črni krogli, je torej v = v 2 = •* 3. Deset oseb srečka za neko nagrado. V to sviho vzame vsaka oseba iz žare, v kateri je 9 belih krogel in 1 rdeča, po eno kroglo ter jo obdrži. Kolika je verjetnost, da po¬ tegne tretja oseba rdečo kroglo? Razrešitev. Ko pride tretja oseba na vrsto, je v žari še 8 krogel in med njimi mora biti tudi rdeča krogla. Verjet¬ nost, da je rdeča krogla še v posodi, t. j. verjetnost, da sta prvi dve osebi dobili beli krogli, je % = • f == yV Verjetnost, da potegne tretja oseba rdečo kroglo, je 70 v 2 — }• Verjetnost obeh zaporednih dogodkov je zato v = v 1 • v 2 = Isti rezultat dobimo tudi za vsako drugo osebo; torej je vseeno, v kateri vrsti iščejo osebe rdečo kroglo. 4. Kolika je verjetnost, da vržeš z eno kocko v treh metih vsaj enkrat 6 pik? Razrešitev. Verjetnost, da ne vržeš 6 pik je v t = -§. Verjetnost, da trikrat zapored ne vržeš 6 pik, je v 2 — (|) 3 . Verjetnost, da v treh metih vsaj enkrat vržeš 6 pik, je nasprotna verjetnosti ® 2 ; torej je v = 1 — « 2 = . Vadbe in naloge. i K 1. Zapiši naslednje enačbe tako, da je a: potenčni ekspo¬ nent, ter določi potem vrednost za a) 6 log 625 = x, b) 2 log- 6 1 r = c) 8 log /9 = x. ~s}z 3 ~ t ' t' 3 2. Določi številom 2, 4, 8, |/2, /2, 1, |, |, | logaritem z ozirom na podlogo 2. ,it. Kolik je logaritem števil: a) 2, 4, 8, 16, 32, 64 z ozirom na podlogo 64; 9, 729, 1, „ „ „ „ 3; 2, 4, 8, -j, „ „ „ „ 8; d) 1, i f? i) 1» 2, 4, 8 e) 10, 100,1000, 1, ^ 10 ’ 100 ” 10 , Določi naslednjim enačbam logaritmand: a ) 4 log x = 0 , 4 log a; = — 1 , c) 4 log a; = — J^ 3 logx — 4, 5 log x = 1, B log x = |, ,.(/) 10 log x = — 1, ft> 10 loga: = »f^loga: == — §. jjf Določi naslednjim enačbam podlogo : jrS-/^; r y «) ■* log 10 — 2, l>) ' log 10 == —1, d) * log 8 = g) ' log 343 = -O „ fA' 3 3 , , * log 2 = 3, h) x log 0‘1 = — 1, j A A 1 L 0 0) ■'log 10 = J) *log 2 = 1) -“log 0’01 ; V r !p ii - 2 , = 2 . II K § 2. 1. log (7 ab). 4. log (a 2 — b 2 ). — , 2ax 7. log-3* . •y»2 _ ,j/2 cJ 13. log a& 2 e 3 . 36« 2 » 4 2. log [5 (a - 5. log (4 a; 2 - a iog 5 ' »11. log -3 6)]. 9 >/)■ 3 (o — b) ’ 4 a 2 — 95 2 *16. log 19. log (^) 125 bh) • 5 22. log ]/ xy 2 z 3 . 25 a; 4 — 36 y *' £>14. log (abx) 2 . ‘ / ' W . 10 « [(!)■• ©1 2 ". 23. log 8 a 2 /6 3 x. 3 k ,• 24. log 2 j X 3. log (a -|- 6) (m -|- n). 6. log a(x 2 — 1). 9 - lo sr^- » 12 log 8 — i°g w- » 102 (w)'; 21. log \f ab. 25. log' 5 bf' 30. log 32. log j/2 a a \f y 20. log /a 2 ^! 2 . iog [/". 2 i>. log \a \ a ta \ a ). 31. log |/. 2 3 yax 33. Izrazi naslednje logaritme s pomočjo računskih zakonov z logaritmi praštevil: a) log 96, log 75, c) log -U, d) log 0'75, 3 / e) log /72, f) log /M. 34. Pretvori naslednje mnogočlenike v enočlenske izraze, t. j. poišči izraz, katerega logaritem so naslednji podatki: a) log x -f- log y — log z; b) log a — (log b -f- log c); c) 3 log a -(- 2 log b — 4 log c; d) log*— 21ogy — 3 log.s; .e) J loga — | log b — \ log c; f) loga; -j- %logy — flogs; (2 log a -f- 3 log b) — [log (a + b) -f log (a — 6 )]; III Ji) log 3 -f- log 5 -|- log 7 — f log 3 -f- 3log a — flogfc; i) Iog(a + i) + 2 log a — |[log(a — b) + 3log 6]; k) 2 log 3 — ^(2 log 5 -f- vrlog 7) + flogll; l) 2 log (x — y)~ *log(® + y) —'pog^ 2 — xy -j- y 2 ); m) l [log 3 -f 5 log a -f- f log (a — b) — 4 (log a; -f- log y)] K § 1. Izračunaj po računskih zakonih Briggove logaritme števil: a) 6, 14, 20, 25; b) -f, s i . c) /10, /2, */4|, /2| 0-47712, log 5 če je log2 = 0"30103, lqg3 in log 7 = 0-84510. 2. Poišči naslednjim številom Briggove logaritme: 0-69897 a) 83, e) 3807, ^ 7648 - 3 , n) 1-04736, s) 114257, b) 113, f) 6025, k) 4509-8, o) 46358, t) ,0-69583, c) 837, g) 8-476, i) 37-4968, p) 179265, u) 0-036728, d) 1008, h) 83-95, m) 2-53694, r) 310486, v) 0-00416953. 3; Poišči naslednjim logaritmom pripadajoča števila: a) 0-24055, /f 1-57287, c) 2-61278, d) 3-02816, e) 0-66058 — 1, h) 2-01396, 1) 0-55342 — 2, 3 , g) 0-89009 k) 0-40016, n) 0-68102 — 3 v f) 0-27161 — 2, i) 1-46370, m/’0-25893 — 1, K ^ Izračunaj s pomočjo logaritiAov naslednje izraze: 1. 13 • 794 • 7 • 2495. 2. 0 • 33306 ■ 15 • 796. 3. 3-1593-0-0237-6-8345-0-4579Ž. * 5.1:0-94276. 6.35:^^^. 13-179 2488 -(— 1926 ) 4. 0-36:2-7453. 7. 17-963:' 38-402 4 - 2756 ’ 8 . 4 - 256 - 0 - 27965 - 521347 IV , 10. 1'035 26 . V y 4 n-O- 29674 3 \ ■ x 17. /0-97315. 20. \[2 ■ 7961 2 . 23. | :!j 6 . 11. 7-1414 2 . Ig. 0-61734 3 . °14. (- y)Ž o 15. (— j)t 0 16. /15. 18. jj/78'125-0 ; 34963. o 19. p 10. *"i/ 2 - 1734 8 C™* I n-9f!415- 24. ^ 87 V 8105 93 7 244 22 . 25. 3 MS -922 t V 13ti 3 /5 y 6 ■Z' 26, 29. o 32. |/340 ■ 24-105 - 58-937 1 - 4793 1 27. log- 2-0255 log- 1-04 '■ log- 0-98765 log O -(13893 ' 30. log 0-071289 log 0-267 »■ S X / 11 \[ 4V124 25 -348 * log 1 33*607 V 3 -j- V 4 5 — V 5 52 jyi0 (,33. 1^2 4, j /2 4-./2 . V 8-7 1 34. |/ 10 + /10. 35. 1^(778 • 7 — | 9-2. 36. (l‘ 04 — 5 /(F3) 3 . 31 /8-16 2 + 10-12 2 . 38. /58-fflL 2 — 53-69 2 . Razreši naslednje eksponentne enačbe: i 3" = 0-5. o40. 10" = 2-71828. o41. 25- 11 . 042 . 2 33, + 4 . 2 2 + ° 43. 2 2x -3 3 * = 2-0477. 44. 3 2x • 5 3a 46. 6 3 - 4 " X -j— 1 / 123 W +2 _ 345 m \ 234 / 456 ’ 4 _ rj x — 1 _ x 0-006 7 - 4a: . «• (!) 45. 2 X • 3 *— 1 . 4*-2 3\5a? — 2 6-301- + 1 . 49. VlO = 2. ~t~ Sx = 5 . 3 2\3*+8 50 . /2 a ' : r 52 . j- 20 - " * 53 . — 3 X ~ 1 = 3 • 2 3 . 55 . 3 1 + 4 * — 2 3 — 5 = 2 3x ~ 1 56 . 3 * -j- 3 *+* -f- 3 * + 2 -j- 3*4 57 . 7 2 *-» 51. \/ 2 X ~ 13\a —6 ”1/5- 8 . v 54. 3* - j- 3*4 - 1 = 2* + 2 . 3 4 *. — 4 * _j_ 4 ^ -f x 4 ^ 3 - 2 . Q3x—2 _ ^2^+1 33^ + 2_ 58 . 2*— 1 • 2*'+ 1 = 1 3 2 * . 3J/ + 3 _ 1 4 '59j 3* • 5 y '2* • 7- !/ 405 112 . 0 y- v •J, 62. 64. 66 . 68 . 69. 70. / v 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 84. 1. 2 3. Y fx -\-ly = 3 (x -j- 7y) • 2 X = 1296. /2*.f/ r p = 12 l / (i) v :i = t,V- 5 y . j /4 = 400 ][%*• /š? =12 /iFV/lF^ = 3-375. 63. j/l-j/8 = 1 /2-j/2 = 1-41421. 65. = 1024 3/x = 2 y /729. 2*+ 1 .j/3 = 72. Razreši naslednje logaritemske enačbe: 2 log a: = 3 log 4. 67. -^logx = 21og3. ^log(x— 1) = 1 — log 5. log x -j- log (a? -j- 1) = 2 log (1 — at). log (x 4 5) — log (x — 5) = 2. log(x —j— 2) — log (a; — 2) = 0-43512. log (x + 2) — log (x + 1) = 0-02345. log (2x — 1) — log (x -|- 9) = — 1. log (x — 1) — log (2x — 4) = log (x 4 2) — log (2x4 U)- log (5x) 4 log ( 2x 4 3) = 14 2 log ( 3 — *)• log (16x) — log (2x) 4 log (3x) = log 9 4 log 4 — log 6. log 5 4 i l°g (3x4 4) = log 7 4 log/2x -Hi. Iog(/x — 5) — log(/x — 3) = log(/x — 2) — log (^ x — 4). log3 4 |log(4x — 2) — log/3x4 2 = 2log 2. log (4 — x) — \ log (x — 2) = log 44 2. 2 l0 s* = 8. 82. 5^(2*) = 625. 83. 3'°fc' x = 10. M*!* '' 2 l0 s x = 3. K J 5. Uredi naslednje enačbe: (9 4*) (7 — x) 4 (9 — x) (7 4 x) = 76. (5x 2 — l) a — (2 4 3x2)2 _ (3 _ 4^2)2. 4 9 19 10 3 , 16x 10x 2 — 5x X ' x -J- 2 _ x 2 4x 2 — 1' 4. 5x -J- 4 2x+ 1 4 3x — 3 = 0. x — 3 x 2 —J— 2x -j-- 4 33 > O? VI 6 . m 2x*-{-3x 2 1 • 2x2-1 -+- x ^ a — x 1 2 1 x 2 — x 15 x x 2 -j- x ' lOa: 4 — 4 2x 2 — 1 6x 2 — 3 2 ax 10 , a — x ' a -x a 2 — x 2 ' 3a -\- 5b a — b b — x 2 (a -J- b) a — x a -)- b 9. 11 . a — x b -f- x b -x a — x x — a x — 25 26 x — 6 b_ a b a -j- 6 a, b' f 4x 1. 13. \f a -f- x -|- ]f a - 15. / x -\- a — Z' x x = \! a. x - a 14. /® + a — f a ' a — b V2o Z x + 16. y x 17. /3 sc 1 — |/2* — 18. fx — a -f- /* — 2 a 19. f a (x — b) — /&(* — a) — /(a - /lO — f6x — 11 = 0. 1 — /3cc — 6 -j- Z % x — 6 — 0. \ x — 3 a 0. b)(x — 2 b)' 0. 20. /3 (a 21. f~x ~~F a 22 . 23. 1 -j- j/1 — * 2 a 2 2) -f- /aT — /5* — + 1 -|- Z x -(- 2 == /3(a: -j- 1). 2 b 3a — 4b = 1 a: -f- /4a 2 24. /x 2 +a 2 1-/1 +" — x 2 a 2 Z x ■ 2x 9 ' /4 x. a“ 2 a \ x 2 — b 2 -\- x = Razreši naslednje enačbe: 25. x 2 -j- 15aj —j— 56 = 0. 26. x 2 — 13x — 140 = 0. tl. 5x 2 + 7x = 24. 28. 12x 2 = 20x — 3. 29. 16a; 2 — 24* + 11 = 0. ^30. 24x 2 — 14x = 3. 31. (12 + *)(* — 3) = (12 — x) (* + 3). 32. (x -f- 3) 2 — 4x 2 — (x -J- l)(4x — 5). o 33. (5 + x) 2 — 11 (5 -f ®) (4 — *) + 24(4 — x) 2 = 0. 34. (*' + 1): (* + 3) = (* + 11): (3® — 3). 35. (x + £)(® + |)- (4® + i)(4® - *J + 1 = 0. 1 J VII „„ 3* — 4 0 _ 2 — x wb, t v o x — 4 ^ 38. • J + * -1 X + 1 -(- 1 2x — 3 ^ x + 2 3« — 4 u _ .„' 3* 2 -3 , 6 * 2 _| ® 42 . x _|_ g + o . - 6 * 'X ^ .o 8* + 5 & 43. —»UT — 0 44 — 1 ? . + 2 _ 2x — 1 3x — 2 X o 41 . 6 . 3* -j-1 37 . -+= + - x -f- 2 1 x ■ 5 _ 5 x x -f- i 6 , »10 8 2 — 3 • 12 * + 2 ' _ i 1^ x — 3 ’ 2 * - j - 1 * 2 - j - * -{- 1 ' 11* + 7 _ 77 — 7* 2 ~2_jJ 4* + 4 — * 3 -j- 8 «. 6i *)’ - 8 6±D - 15 - ¥ ( 8 4^) ! + 8J 4;- = • 47 . &žffJ*$=p+» _ a » (+)'+ 49. x 2 -\- 2x^b = 2/6. 30. Jr N «3 4 -rl = 0. 50. x(x-\~ 2/1 i) = 6/2. 51. a; + 7/® = 30. 52. 2x — 3 /+-1 = 4. 53. x — 10 — 2/z 2 — 3®+5' = 0 54. /a: + 2 + /2® + 7 = 4. * 55. 2 + /2®+~8 = 2/® + 5! 2 . ’/7*^t 13 — /5* + l = 12 E). |/10 — x -\- /® 56. /2® 2 — 1 — \f2x 2 — 25 57. 2/3® + l — 3/2aT— 1 == 1. 59. ]f 2x -j— 2 -j- (/ x —}— 2 = x. 61. fx + /10 + \[x — /10 = /6» — 11. 62. 3/-L8 — /¥=8 = 2/2a; + 2. 63. a; + 3 — /a; + 1 — /® — 2 = 0. o 64. |X5 —J— \fx + j/*7 + /® = |/*2 (6 + /cc). o 65. /(* — 1) (a? — 2) + /(® — 3) (as — 4) = /2. 0. 1/ j/ a; \ t> 66. /3 a; + 6 °) q . yi 2 — x /3a? + 1 — \[2x — 1 /16 — x = 2. j/"® + /2 — /a; — /2 = /2. 70 . /(+++'- - 4 /r 69 . /x + 2 :* J /a: — 5 = 1. VIII 71. x 2 -j- 2 ax —■ 2 ab — b 2 = 0. 72. x 2 —2 abx = a 4 -j- a 2 b 2 -f- b 4 . 73. x 2 — (a -\- b)x -|- ab = 0. 74. x 2 — ( a — b) ± — ab 75. x 2 -— ( a 2 -j- b 2 )x -\- a 3 b — ab 3 — 0. \76. (a —7 x) 2 -|- (b — x) 2 — (a — b) 2 . 77. abx 2 — ( a 2 -f b 2 )x -f 2 a 2 — 3ab — 2b 2 = 0. 78. 10 abx 2 — (25 a 2 + U 2 )x -j- 25 a 2 — M 2 = 0. 79. (ax -f- b) 2 -}- (a — bx) (ax — b) = x(a-{- b) 2 . 80. 2(x 2 + l)(a 2 — b 2 ) — 5x(a*\- b 2 ) -f 3 ab(x 2 — 1) = 0. X -f a I X ■ } ’ 1, X+b' X == 0. 83. 85. 87. 88 . a 2 — Z > 2 __ « 2 -)- & 2 2 x x 2 -)- 1 x x _ a x — 1 x -f- 1 b ou ’ 4x -j -5« — ---tf 4- (a — b)(a — b — x) = 0. X — « -f~ 0 1 V /v x -j -a x — a _ 4 a(a -\- b) x — a x-\-a b (2 a-\-b)' 89. a]/x -\- b 2 ~\~ b\fx -\- a 2 = 2ab. 90. 91. '. j f a 2 x\[ 2x 2 —■ a 2 = Y% | f a X + a -j- x. x ]f X — \[. a 8 a 3|/~x 92* / rr. o n i — /:©92l / = 4 - a X [/a 2 -)- x 2 \f c 2 -\- (b — x) 2 0. 95. |/l + s + /l — |/T -f- X — |/1 - X a F' 0 96, , /a + ]/s r* I / X ' |/4 6* 931 a \[xT— a — ']f '2x. 98. Ya -f- x — (/4 — b = |^3(a -j- 6). cv z -t ^ IX Uporabne naloge. 99. Produkt iz tretjega in četrtega dela nekega števila znaša 108; koliko je število? 100. Katero število je treba za 5 povečati in za 5 zmanj¬ šati, da znašata kvadrata dobljenih zneskov 178? 101. Poišči tri števila, ki so si kakor in katerih kvadrati znašajo skupaj 4525! 102. Poišči število, katerega dvanajsterokratnik je za 45 manjši od kvadrata dotičnega števila!. 103. Pri dvoštevilčnem številu je številka na desni za 3 manjša od številke na levi; če pomnožiš to število s številko na levi, dobiš 42 kratno številčno vsoto dotičnega števila. Katero je to štavilp? 1,04. Ako zameniš pri dvoštevilčnem številu, katerega šte¬ vilčna vsota znaša 5, številki med seboj ter pomnožiš obe števili, najdeš produkt 574. Katero je število? 105. Številčna vsota dvoštevilčnega števila znaša 13; ako deliš to število s produktom obeh številk, dobiš kvocijent 2 in ostanek 5. Katero je to število? 100. Vrednost nekega ulomka znaša Če povečaš števec in imenovalec za 12, dobiš ulomek, ki je 5 krat večji od onega ulomka, ki ga najdeš, če zmanjšaš števec in imenovalec za 6. Kako se glasi ulomek? 107. Dve pozitivni celi števili sta si kakor 3:2; če zmanjšaš prvo število za l in povečaš drugo za 2, znaša vsota njunih kvadratov 2581. Kateri sta dotični števili? 108. Več oseb napravi-skupno potovanje, za katero je treba 432 K plačati. Ker sta bili 2 osebi prosti vseh stroškov, je morala vsaka izmed ostalih oseb za 3 K več plačati. Koliko je bilo oseb? 109. Oče zapusti svojim otrokom 14400 K, katere je treba razdeliti na enake deleže. Kmalu po očetovi smrti umrjeta 2 otroka in vsak izmed ostalih otrok dobi potem za 1200 K več, nego bi bil dobil sprva. Koliko otrok je bilo? 110. A proda blago za 96 K in ima toliko odstotkov do¬ bička, kolikor kron je plačal za blago. Za koliko je kupil blago? X m. Nekdo ima 5600 K kapitala; od obresti prvega leta porabi 152 K in ostanek priklopi h kapitalu. V drugem letu dobi 256*5 K obresti. Po koliko procentov je naložen kapital? llž. Zidarja A in B sezidata zid v 18 dneh. V koliko dneh bi dovršil A sam delo, če B potrebuje za isto delo 15 dni več nego A? 1.13. Cevi A in B napolnita neko posodo v 2-f ure; cev A sam/ napolni posodo 4 ure poprej ko cev B. V katerem času napolni vsaka cev sama dotično posodo? 114 . Dve telesi se pomikata enako hitro po krakih pravega kota od vrha proč. Prvo telo se je začelo pomikati 7 sekund poprej ko drugo telo in je po 12 sekundah 65 m oddaljeno od drugega telesa. Kako hitro se pomikata telesi? 115. Dve telesi se začneta istodobno pomikati po krakih pravega kota od vrha proč in pretečeta oziroma po 4'8?« in p 4 m vsako sekundo. Po koliko sekundah sta telesi 100 m >narazen? 116 . Po krakih pravega kota se pomikata dve telesi proti vrhu in pretečeta oziroma po 5 m in 3*6 m vsako sekundo. Po koliko sekundah sta telesi 26 m narazen, če*sta bili v začetku po 60 m oddaljeni od kotovega vrha? 117 . Od krajev A in B , ki sta 152 km narazen, se peljata istodobno voza drug proti drugemu in se srečata po 12 urah. V koliko minutah preteče prvi voz 1 /cm, če rabi drugi voz za 1 km eno minuto manj ko prvi? /"118. Dva kolesarja se peljata istodobno od krajev A in B drug proti drugemu. Ko se po 78 minutah srečata, je prvi ko¬ lesar 1560 m več prevozil ko drugi in pride 12/ minute poprej v kraj B ko drugi kolesar v kraj A. Kako daleč sta kraja A in B narazen? 119 . Na 3000 m dolgi cesti se zavrti zadnje kolo nekega voza 200 krat manj ko sprednje kolo, katerega obseg je za / m manjši od obsega zadnjega kolesa; kolik je obseg zadnjega kolesa? 120 . Ako podaljšaš eno stranico nekega kvadrata za a — 11/ cm in zmanjšaš stikajočo se stranico za istotoliko, dobiš pravokotnik s ploščino p — 860 cm 8 ; kolika je kvadra- tova stranica? XI 121 . Pri pravokotniku meri osnovnica 118 cm in višina 59 cm, Ako zmanjšaš višino za nekoliko centimetrov in podaljšaš osnovnico za dvakrat toliko centimetrov, se zmanjša .ploščina za 3698 cm 2 . Kolike so stranice novega pravokotnika? \ 122 . V pravokotniku se osnovnica in višina razlikujeta za 23 m in diagonala meri 65 m; kolike so stranice? \| 123 . V pravokotnem trikotniku meri ena kateta 4-f krat to¬ liko ko druga kateta, hipotenuza pa 82 m; kolika je vsaka kateta? 121. V pravokotnem trikotniku meri hipotenuza 25 m in njej pripadajoča višina 6'72 m; kolika sta hipotenuzna odseka in koliki kateti? 125 . Ploščina poševnokotnega trikotnika znaša p — 360 cm 2 in dve stranici merita 29 cm in 25 cm; kolika je tretja stranica? . 126 . Kolik je poluiner kroga, če je neka tetiva za 2 cm manjša od premera in njena središčna razdalja = ^ polumera? 127 . Za koliko je treba krogov polumer r — 1 cm podaljšati, da bode tangenta, katero narišeš iz krajišča tega podaljška na krog, enaka t = 24 cm? 128 . Površje pokončnega valja znaša P — 706 - 86..cm 2 in višina v — 8 cm- kolik je polumer osnovne ploskve? 129. Prostornina 7 cm visokega valja se poveča za 2552 cm 3 , če povečaš polumer osnovne ploskve za 2 cm in višino za 3 - 5 cm; kolik je polumer osnovne ploskve? (n = 4p.) 130. Površje pokončnega stožca znaša P = 1385-44..cm 2 in stranica s = 40 cm; kolik je polumer osnovne ploskve? 131 . Prostornina stožca postane 2\ krat večja, če povečaš polumer osnovne ploskve za-8 cm; kolik je prvotni polumer? 132 . Ako povečaš polumer krogle za 10^ cm, se prostor¬ nina poveča za 92169 cm 3 ; kolik je prvotni kroglin polumer? (* = V)- 133. Določi enačbe, ki imajo naslednje korene: a) 4 - 1 in “ /— 1 ; c) 10 in — 1; e) 2-j in -j, g) 1 -j- /2 in 1 — /2; b) +3^2 in — 3/2; d) — 9 in — 13 ; f) 0-7 in -2-4; h) [2 -)- / — 3 in f~2 — /-3; Matek. Aritmetika. ti g- XII 4- i) 2<*^f3&/2 in 2a— 3b[f2; k) a -T b j n £j=L 4\ L 3. ar 3 — {— « 3 = o. 4. x 8 — a 3 = 0. 8x 3 -j- 27 J= 0. (6?)64x 3 — 125 = 0 7. )x« — 1 — 0. 8. 3x fi - 2187 = 0. 9. 64x 6 = 15625. 10. (7 — x) 3 — (7 + x) 3 = 0. 11. (2x — 5) 3 -f (5x — 2) 8 = 0 12. (2x — 3) 8 + (x -f 9) 3 = 0. 13. (x — a) 3 — (b — x ) 3 = 0. 14. x(x 2 — 8) = 8(1 j- x). H 3x 2 = 10x. 16. x 3 -|~3x 2 —(x-f 3)(2x-f-15) 0 « o^. x 3 — 8x 2 -f- (x — 8) 2 6x(x — 8) = 0. 18. x 3 — a 3 = a 2 (a — x). 19. (x 2 — 4)(x 2 -f- 4) C 20. x 4 — 81 = 0. 21. x 4 + 64 = . 0. 22 . 11 X 4 18 x 2 = 9(x 2 — l) 2 — 65. — Th~ 23. ! + fi 240. x 2 — x r> 36 x 4 — 13x 2 —j— 36 = 0. 26. 4 x* 2 x 2 3 ^3 3 ~ ~ 64 ' 28. x« + 23 x 3 — 108 30. 3x 6 — 7x 3 = 6. 32. 3x 3 — 4x|/x == 160. 35. (3 + x) 2 +(g^) 2 = 100-01. 36. x l±± + = 4. 25. 6x 4 — llx 2 = 35. Tj{ 9x 2 ) 2 — 41 (3x) 2 + 400-= 0. 0. 29X$ 6 4= 27 == 28 x 3 . tj|31. 2^ V 5xfx = 1323. 33 . 6 x ~ 4 — 5 x _2 -{-1 = 0 . 38. X 2 — 1 “ x 2 -f 1 x 2 -f 3 _ 1 37.: 3 x 2 +4 , 3 x 2 — 4 ' _ 26 17 -x 2 x 2 -f- 3 ‘ 39. x 2 3 x 2 — 4 ' 3 x 2 + 4 ' 32 \ - 5 - 2 _!_ A / y ' _!__ ^^2 51. (a* 2 + 6* x + 1 = 2x + 3. 12(x 2 + 3x) = 1. 3x 2 — 18* = 24. 52. (3x 2 ■ x 2 ) 2 — 30x 2 — 10x + 36 = 53. fx 2 + 3x + 8 + \[x 2 + 3x- — 3 = 11. 54. 4x 2 + 6x + \[2x 2 + 3x + 9 = 60. 55. (x — 5) 2 + l /UT— 10x++2 = 13. 56. (x — 4) 2 + f x 2 č> a 57. f+ 2 + 24 o 58. p'72 — x - (/a 8x + 31 -9 + fs 5. ■2 _ 16. '\f 16 — x = 2. o 39. 9|/x 2 — 2xj/x = 10. JJl 0. 60. x 3 + x 2 + x + 1 = 0. 61. x 3 — x 2 + a: — 1 = 0. 62. x s + 3x 2 — 3x — 1 = 0. 63. x 3 — 3|x 2 + 3^x — 1 64. 7x 3 — 43x 2 — 43x + 7 = 0. * o 65.+0x 3 + 31 x 2 — 31 x — 20 = 0. jlifo. x 3 + 2x 2 — 4x — 8 = 0. j6TTx 3 + 3x 2 + 15a? + 125 = 0. ^>8."”* 27x 3 + 12x 2 —8x •—8 = 0. 8x 3 + 10x 2 + 15x + 27 = 0. 70. x 4 + x 3 — 4x 2 + x + 1 = 0. 7^ x i — 12x B + 29x 2 — 12 x + 1 = 0. 3x 4 — x 3 — 24x 2 — x + 3 = 0. 6x 4 + 5x 3 —38x 2 +5x + 6 = 0. . 24x 4 — 50x 3 — 173x 2 — 50x + 24 = 0. L0x 4 + 27x 3 — 110x 2 + 27x + 10 = 0. 6. 6x 4 — 13x 3 + 13x — 6 = 0. fi 77. x 4 — 16 x 3 + 16x — 1 = 0. + / /t '%< ^ tl 4 a XIV (9 £>< 78. 2x i + 5* 3 — 5* — 12 = 0. o 79. * 4 — 2x s + 2x — 1 =. 0. O 80. a; 4 + 5a; 3 + 10* 2 + 15* + 9 = 0. O 81. — 3* 3 — 8* 2 — 15* —j— 25 == 0. / 82. x i — 5* 3 + 10* 2 — 10* + 4 = 0. 83. 7* 3 4 - 28* — 16^0. v 84. 3" k 86. (3 = 7 ». f\ 1 — X __ J v 88. 10--8-+6 = 100 V 90. 2*+ 4 = * +1/ " 92. 3-4*+ 2 94. 3 2r 6 4(/3^+i. 5 - 3^ —(— 6 = 0. 26 k85. 8 2 *+ 2 = / S2 2 ~ x . l 'H7. = 100 3 ( 3 --). 89. rjy'2 = 4* + 3 . 91. 3 • 2 X = 4^9. 93. —/2. “/Š-^IO = 1. Q - /5\2x 15/5\* , 25 t/9a. /) - + -g = 0. w97. 6‘+* + 6 1 -* = 13. V 99. 8* + ‘— 8 2 *- 1 = 30. V 101. 3/l2 = 360 + 6-/12. V jM. /l6* + /l6 4 = 272. '/>05. 12-/10 - 5-/10 = 25. 96. 2* + 2~ x = -g-. 98. 3*+ 2 + 3 2 --* = 82. U 100. 3 2x = 100(3»— 1 — 1). / 102. /128 + -/128 = 20. >04. 5-/3 + 3*/3 = 10. t+OOf /2-3 3 *+l0 = 3 + /3 3 *— 2. O 107. |log(* + 1) + log/* — 1 = 2 — log2. 108. log (* — 1) + log (* + +-) = 2 log 5. H09. log(* 2 + */2 + 1) + log(* 2 — */2 + 1) = log3 + log 5. 110. log/* — l+log/* + f = /5—log2. klil. + og * = 578. m/ jj.logk __ 1)3. * ,og * = +!>/*++- 5 = 0-01. W 21 „ g « + + =3. • 2 117. 3* lo s*+100*~ lo e* = = 1. 1 -f- log* 40. — 4*- ,og * = 3. \/119. * 21 °s*-6 + 12 = 7x lo e*- 3 . ' 120. * lQg -' >4lfca;t«>8^ = 400. K § 1. 3. 5. 9 9. n. 13. /v/ Vf 17. 2x 2 — 3 y 2 = 71 3x 2 -j- 2y 2 = 165. 4x 2 -|- y 2 — 5 3 ?/ 2 — 20 a; 2 = 7. x 2 —y 2 = 32 x — 3j/ — 0. a: 2 -j- xy -j- y 2 = 63 x — y 3 — 0. 2a: 2 — 5xy -[- 3 y 2 == 48 3x — y — 11. (x — 4) 2 (y -\- 4) 2 = 100 x -f- y = 14. ( x 2) 2 -\~ {y 3) 2 = 32 (x + 2)-G/ + 3) = 0. 7x 2 — 5 y 2 = 163 \xy = 28. x:y = 3:2 \f x — 2 — |fy — 3 = 1. f 4 ' 6. 10 . -J*-' 'J "f , v x/ « ? XV \ , ; v-<) nr* . 12x 2 + 5y 2 *= 233 3x 2 + 7y 2 = 202. ©’+(!) = 0 x 2 -\- ij 2 = r 2 . 2 y — 3x = xy x y = 4. 4x 2 -)- 6y 2 = 4x — y (>// - - 2 x =, L (3x — 2«/) 2 — (2x — 3y) 2 = 80 4x — 5 y — 5. yi. (x - 4) + (y - 3) = 6 • (x — 4) (y — 3) = 8. x 2 — / = n ] • xy — 30. 16. ]f x -f- X y — 12 x y = 74. 18. |/^a5 —j— 4? — |/y -f? 1 == 1 L ( ix JU H OX 3 y = 16. 20. 2 xy y 21 r /xy — 2x = 4. .9 afi. (x — 2) 2 — (y — 3) 2 = 44 * & 24. a; 2 — * 9 nr/ij - (i 19. xy + x = 18 xy — y = 10. o 21. (x + i)'(y — 2) = 30 (x 2) (i/ -j- 1) == 24. ' o 23. x -)- -)- &.= 14 ' ' ^ xy = 16. j|. x 2 + yH-^ = 52-75 ' /% 2 XI J = "• 0 27. x 2 */ 2 + x “h ?/ = 510 O 28. x 2 -f- xy = 170 /' x 2 - j Ji ’a ~ x — y = 490. y 2 -]-xy = 119. 29. x 2 — 76 g 30. \fx-\-\fy = 10 (x — l) 2 — (y — 5) 2 - 17. 3 xy -j- y 2 = 17| 2 xy = 5. 26. x 2 -|- xy -\- y 2 == 49 x 2 — xy -j- y 2 = 19. xy 60. . ' ]fxy = 4 v V 16. XVI JQ [2~x — \[3y = 4 32. (a: + 2*/) 2 + (2x- — yf = 26 2a; — 3 y = 88. (a; -j- 2y){2x — y) — 5. 33. (x — 5) 2 + (y — 3) 2 = 20 34. (z + s/) 2 — 3 (x + y) = 270 (z — 5) (y — 3) = 8. xy — 80. 35. a? 2 —J— 2 / 2 — )— a? — (— «/ = 8 36. a; 2 -j- y 2 -j- x — y = 182 xy = 2. xy x — y = 85. o 37. x 2 -(- y 2 — x — y = 12 <5 38. a; a;i/ == 9. ° 39. 2x-\-3y- 2x — 3 y - y -= 1 J * — y xy -= 2. J xy 76 2* + % 3 2x — 3y = 15 e 40. * — y + |/ = 4. y 2 -]- i/ 2 = 34. 41. - + i = J x ' y 6 x 2 y -)- xy 2 = 30. 43. gg J f x-\- y = 1 — -^= + V + \/~x^ y = 6, 4K I/ ^ -T- . Kolika je ploščina pravokotnega trikotnika, če znaša vsota 'obeli katet 7 m in hipotenuzi pripadajoča višina 2'4 m? 97. Koliki sta diagonali romba, katerega stranica meri 65, cm in ploščina 3696 cm? 9p. Kolik je rob kocke, katere prostornina se poveča za 1951/ ci|i 3 , če postane vsak rob za 1 c,m daljši ^ 99. Določi robe pravokotnega paralelep'iped%če meri osnovna ploskev 48 cm 2 , površje 768 cm 2 in diagonala 26 cm? 100. Prostornina pravilne četverostranične piramide znaša 1280 cm 3 in površje 800 cm 2 . Kolik je osnovni rob in kolika višina? 101. Pravilna četverostranična prikrajšana piramida je 15 m visoka in ima 855 m 8 prostornine. Koliki so osnovni robi, ki so v razmerju 3:2? 102. Kolik je polumer pokončnega valja, ki je 5 cm visok in ima 48/r cm 2 površja? 103. Prostornina pokončnega prikrajšanega stožca znaša 6695 n cm 3 , stranica 17 cm in višina 15 cm. Kolika sta polumera osnovnih ploskev? XX K §8. 1. Razstavi naslednje trinome na faktorje: a) x 2 — 17* + 70; h) x 2 -f 3x — 88 ; e) 3x 2 — 14« + 8 ; «9 3x 2 -|-10x — 153; e) 6x 2 -}- x 1; f) SOa? 2 —(— 17a? — 24; g) acx 2 — (a 2 —j— fec) cc —j— h) acx 2 — (3ač — &c)x — 3& 2 ; i) abx 2 -J- (a -|- b)x -j- 1; aix 2 -f- (a 2 — & 2 ) * — a/;. 2. Za katere vrednosti premenljivke x so naslednji izrazi pozitivni in za katere negativni: a) x 2 — 14x — [— 45; b) x 2 — 3 x — 4; c) x 2 -j- 8 a? —j— 15 ; d) 2x 2 —- x — 2 ; e) 8x 2 -j- 4x —• 1; f) — 2x 2 — x -|- 10. 3. Določi naslednjim izrazom največjo, oziroma najmanjšo vrednost ter povej obtenem vrednost premenljivke za ta slučaj: p d) a x 2 1; - bx c ; g) x 5 + 1 ; " 1 x — a 7 h) X 1 -(- (a b ) x -j- a 2 ab — b 2 . tenijivke za ti 3 x 2 — 8 x i) x |/9 - > A 6: 6 ; l) x 2 -|- (a — &) x — a 4. Razstavi število a na dva sumanda tako, da dobi njun produkt največjo vrednost. 5. Razstavi število a na dva faktorja tako, da dobi njuna vsota naj večjo vrednost. 6. Razdeli daljico a na dva dela tako, da dobi vsota kva¬ dratov napravljenih iz teh delov najmanjšo vrednost. /I?* Včrtaj določenemu trikotniku največji pravokotnik tako, da leži dvoje pravokotnikovih oglišč v eni trikotnikovi stranici, tretje in četrto oglišče pa v ostalih trikotnikovih stranicah. 8. Včrtaj določenemu kvadratu (krogu) največji pravo¬ kotnik. 4-J 9. Včrtaj določenemu pokončnemu stožcu pokončni valj z največjim plaščem. Včrtaj določeni krogli pravilno četverostranično prizmo z največjim plaščem (površjem). XXI 11. Kateri pokončni valj (stožec) ima največji plašč, če je obseg\o,sjega preseka določene velikosti. M Včrtaj določeni krogli pokončni val z največjim plaščem. K § 9. Načrtaj funkcije: y = 1 -f- 6x -f 8x 2 , y 12 — x — 6x 2 , ^y = x 2 — 2x — 15, d) y — x 2 -)- 2x — 3 ter določi presečišča funkcijskih črt z abscisno osjo! ^ V K ' 0 K § 10. Določi diferencijalne kvocijente naslednjim funkcijam: b. bx b / 1. y — cix —f— 3. y = (XX 1 -| /5. y = o® + ^ 7. (xx -|- by = c. 9. b 2 x 2 — a 2 y 2 = \x - ! 2. y = x 2 / 4. y = (a -)- bx) (c dx). y — a sin x -j- b cos x -]- c. a 2 b 2 . 11. y — 2px -f- x 2 13. y = «* 2 + m D i- /'.<■)“' 15. y 17. y = |/xl 19. y = |/ a -I- bx. X = a8in “' 23. y = cos (x 2 — a 2 ). 8. x 2 10 . 3 - - 2« - 3/>; e) x 4 — 625 26x(x 2 — 25); f) 16x 2 -j- 48 xy -j- 36 y 2 — 25 2 2 ; g) 2x 2 -)- : '7x — 5 ; h) 4x 2 -|- 4ax -j- a 2 —• b 2 . 2. Poišči naslednjim izrazom največjo skupno mero: a) 2x 3 — 2xy 2 j- x 2 xy, 4x 4 -j- 4xy 8 ; b) 4x 3 y 2 — 8x 2 // 3 , 2 x 3 y - 8x 2 y 2 -)- 8xy 3 , 2 x 4 y — 16 xy 4 \ c) 4 a 3 7-j— 17« 2 -f- 23« 10, 8« 3 — 2« 2 — 23« — 10; d) 6x 3 -f- 4 x 2 y — 6 xy 2 — - 4v/ 3 , 9x 2 -)- 18xi/ -|- 8?/ 2 ; e) 2 « 3 —j— 7 « 2 —(— 7 « —f- 2, 3 « 3 -j- 4 « 2 — 5 d — 2, 4« 3 + 7« 2 3« — 2. 3. Poišči naslednjim izrazom najmanjši skupni mnogokratnik: a) 2 x 3 y - 4 x 2 y 2 -j- 2xy 3 , 3 x 4 y -j- 6 x 3 y 2 -)- 3 x 2 y 3 , 5 x 3 y 2 — 5 xy 4 \ b) 2x 3 -f- 2f, 3x 3 — 3 x 2 y -f 3 xy 2 , 4x 3 + 4 x 2 y ; c) a 8 -j- 4 « 2 -f 5« -p 2, a 3 -f- 5« 2 -f- 8 a -(- 4; d) 9« 4 -| 9« 3 -fl4« 2 — 9«- r 7, 3« 4 , 5« 3 -j-« 2 —10« — 14. £•2 _ gn2 _ 3 1 2 4. Določi ulomkoma g8 _ 7 x _r iq in 7_ _ g vrednost za x = 2. 5. Okrajšaj naslednja ulomka: ^ «”+ 2 — 2a n a”~ 2 7 ] « 4 — a 2 b 2 -j-b 4 a ' a n + 1 -j- a 11 -j- «"“ 1 ’ ‘ « fi — Določi naslednjim računom rezultate: T- 2 -- —T" r ° — b i L(x — tj) "J l (x -\- y) ”J (x 2 — y 2 )' (x + y) J ' (a -f b)” XXXVI 10 . 11 . 12. 13. 14. 15. 16. 17. (* *'/ ° — 2xy 3 -|-3 x 3 y ‘) • [x~ 1 y~ r ’ -f- 2xy ~' A — 3x 3 y~ '). ( 4 a 2 *+«ž> 6 y _(_ 16a 6 & 3 *'c 3 » r -)- 16a 6 - 2 *c 6 "):(2a a, + 3 6 3 "-f -j- 4 a 3 ~ x c 3 >'). 751 . / 12 a* 2 a 3 , 5) i/• \ 7 3 85«» j_ 251 a 6 21 84 8, !)• (e a 12 i 2 x- + 3 X,J -f- y 8 \ 3 . / 2s + y\ 3 . / •« + .'/ V 1 V 3 x -J- y / — /// ’ \3x -j- y/ ( — 4a;“ 2 -|- 15 x~ l — 24 — (— 9x -\- 4x 2 ): ( — 4x~ 4 -(- 3x~ 3 -|- x~ 2 ). /a s -j- & 3 \ 2 / a — b \ 2 Ja — 61 /h — c\ 3 /c — a\3 u — b ) \a 2 — ah -j- bV \ a — c/ v; — a' \c — b) ‘ [(8|)“-(li)*: - [(9|)‘: (l|±)‘: (af)']. h '):( :>|. 18. (16a 2 + 40 ah -f 25 i 2 ) 2 • (4 a - 5ž>) 4 : (16a 2 25/; 2 ) 3 . 10 . 5 ■d) 2 • (— « 2 ) - 5 + (H ) 2 • (— « B ) ■ n aV 24. Pretvori naslednje izraze na enostavnejšo obliko ter jih skrči kolikor mogoče: 31 99 — 7(/88 -f- 3(/198 - | 704; ir—- :j 2 / 0 T , 3 Vi on O \r o 73 > V ^27 7 ' 21 \ '^ 125 ’ a | /a 2 — 1 a — j/a 2 — 1 a — (/ a 2 — 1 a -f- (/a 2 — 1 f y' s — 4 (./■ r /z) 3 + /(a: 2 — y 2 ) (x — «/); aj 2 j/ 275 — h) 2 1 0-875 1 2(l — 2a.|/a 2 — 1) ; 4 (/81 — 2 j/192 -f 3( 375 — 2* e; 3/24 J) W i|- 2 / 20 - f.j/i§ :p»;;; XXXVII 1 — |/a . 3 (/« ,3 a h) 10/288 + 31/81 — 5/242 — /l28 + 2 /648 — 4|/375; 9 « 16 ® 8* 27 2 27 4 _ 64~ 4 ’ k) |/" 6/28 —• /l 2/7 + 2 (/ 3/7 — 2 4 / 63 . 25 . Izvrši naslednje množitve: «J ( 2/30 - 3/5 + 5 / 3)(/8 + /3 — / 5 ); h ) (/* + /*)*■> (Z* — Vv ) — (/* + Vy) • (Z® — /ž/) 2 ; c) (/a B + 2 /a 2 — 4 /a)(/a 2 — 2 /a + 4 / a); d) (/a -j- /'&)(/» — /afe -j- /&)(/a — /Ž); e) (/5 — 2)|/~9 + 4 / 5 j_ f) (/10 + / 6 )/TZ , 15 ; g) \f 2/3 — 3 / 5 -M + 2 / 15 ; h) (3 — / 5 ) (/9 -f- 4 / 5 ; l ) (a -j- a ' 2 — a 2 — a f, )(l -J- a 2 -f- a 3 -f- k) ( 4 a 2 — 3 a :! — 2 a r, )(a‘ — 2 a :! -j- 3 a lž ) ; 20 . Izvrši naslednje delitve : a) (® /f — !) / f) : (/* /?/); b) (a -)- / o6 -f- ž>) ; (/a — ; /a& +•/&); c) (12—6/6+6/15 — 9 /TO) : (2 /3 — 3 /2); d) (24a + | 4 a :r + |) : (6a :i + a* + -|) ; /7 5 29 21V / 2 3\ 0 ) \6a;'' — 8se J + 3# Tft —■ 4x 2IJ ) : (3.r :i — 4x + 27. Določi rezultate naslednjih računov: /+ d) // 2 — 2ay + j/ 2 ) 3 ; b) y~c c) |/x , 2 /a+ : |/"y /a?y ; d) (j/"a : 2 /a; 3 : J/ZŽ// 2 ; 3 ) • /že 2 ; 4 ■ \l 5 a*Y¥i) ' XXXVIII 28. Določi vrednosti naslednjih izrazov: a) 32*; b) 16 1 ' 73 ; c) 81 0 25 ; 2 _ 4 _ e) (_ 0*008)"*; f) } 49; g) ^ 29. Izrazi naslednje ulomke z racijonalnim imenovalcem: d) 0-027 0 - 8 / - h) 1/5. a) c) e ) 9) 3 + V 3 n ^ a ^ — r | V a f — b (/ a — /— b (/ a -I- (/— /)' 30. Pretvori naslednje binome v monome: a) | 9- 21 8 - /9 ~2\/8; b) /g : {- \/2() + /6 [ 20 ; c ; /7 + 7— i \i5 \fl I / : l5; <*; /l + i* — |/"f — ■}*; ej J^a -)- b -f- 2 |/«& -j- j/a -f- ^ — 2|/ ab ; ./) + P * ---- 1 ~r /*"— |/» — {• 31. Pretvori naslednje korenske izraze v binome: j/lO — 2/21; b) (/43 —15 7f; c) |/ 11 — DO /; d; |/- 3-4i ; /-3 + 2^10; /): /- 2 + 4 7~ 32. 1/(16«« — 24 « B + 25 « 4 - 20 « 3 -| 10 « 2 — 4 « + 1). XXXIX 53. /« -1 a* T a* IT 54. 'p (a 6 — 6 a r, b -(-21 a l l- i, « 5 + A «")• - 44 a 3 /; 3 -f 63 a 2 ^ — 54 a& 6 + 27 b 6 ). 55. 12 a ; 2 10 x 27/ 56. Izračunaj s pomočjo logaritmov naslednje izraze: ^ , :i / 49'18 2 /O'0485 _ V I/ 3 r ;-- ’ 1 /0*8465 '•) P 21/4/8; 4) iVsi •43 — /21-72. ^ (/181-4 - /0-973) 3 ; 37. Izračunaj (4 -j- /— 4f. 38. Določi sedmi člen od (~ |/— a -f- 39. Določi v rezultatu od se nahaja —. 3|/y I tisti člen, v katerem Razreši naslednje racijonalne enačbe z eno neznanko: 40. (2® + 3)(3* + 2 ) 7 (x -j- 3)(ag — 1) 10 (3* 4- 1)(* -j- 1) M 42. 43. 44. 3 2 X 3 14 + 2 * ’)•+(*»+i )*- (i-V*)’ 22 49 — * 2 14 — 2a «• <£r»’ 7 . • • -4-12 = 0. 2x — 5 3* 2 a- -j~ 3 | «/*-•* _ 5.0 47. 4 T 2x + 3 0 V 44 3 • 4lj. (x 2 — 5x) 2 + 55x = llx 2 — 30. 50. x 2 (x 2 — 4 x -f- 4) = 8x(x — 2) 51. x 8 — 27 + 37 (3 — x) = 0. /- 6 33 8 X ' - Q 2 - ° 1F* 15. XL V <& 52 . ( 2 « + 1)3 — ( 3 x 4 - i ) = 0 . 53 — 256 + 41 ( 16 — x 2 ) = 0 . 3« 8 — 13« 2 - j - 13 « — 3 = 0 . 55 . 3 ®*. — 10« 3 -f 10 « — 3 = 0 . 56 . 3« 4 — 10« 3 + — 10 « -f 3 = 0 . 57 . « 3 + 3« 2 — 6 « — 8 = 0 . 58 . + 3« 3 4 - 4 *» + 12 « + 16 = 0 . Razreši naslednje iracijonalne enačbe z eno neznanko: - 12 m 24 1 1 . a t i 3?/ ~t 4 't 11 2;r + 3| 3y~H 3 in 2-J-cc — 3 2\ y-\-h 174. H- r tl = 3-- (A in 2x -j- 34/ = 66. a; f X 1 17 /2 ar - • (/ 3 j/ 3 in 3 j/ar + 16t/ = 7 /2. '.t - 1 — j/® 2 + 2ar — 7// 4 7 in * 'r , # ^ 2 1 i 6 y -J- 4 = |/ 2/ 2 -j- 2 y -j- 3 ar + 25. M? 8(^10 |/| 4 -| = 13 + 1 f\u'- 1 19 i1+S-+-eJ+-r B 11 . 1 15 20 . in 87. = 1 - ++ _ iV ... =, 3f/x-\-b 4y / y-^-4 |/ar+-5 36 88. l ? .r 6 ! // — 1 = 6 in 4x-\ 3y — 42. lU' i* 7 ^ 13 0 in +/ 2 + x + y = 3. £0 xy l + y + 1 90. ,r« - 9xy + 7v/ 2 = 13 -in lxy-^ 6 y 2 “1. 2,r 2 a^ 2 31 /y + 4 C K ib M ]j0 1 *l h X 12 . 0 . 3 xy + y 2 = 0 in 5^ 2 +6ar + 7i/ — 18. 3xy + 4;y 2 — 24 in 3 ar 2 — 5 xy — 2 y 2 + 15 — 0. „2 . ! ar y 2 f a in (ar 2 — y 2 ) (x — y) 34Sl,xy — [xy 66 in 2 (a- — y) i 3 (ar — ,/) = 35. 95. a; 2 + xy = 78 in ifjjp xy = 91. .r s + ; j/ xy = 9 in v/ 2 + x ]/' xy = 18. 97. |/x .- y — 5 = — B. in I •' •! ' ^ I •< tar y y 3 . XLII 98. 99. 100 . 101 . 102 . 109. 104. 105. 10«. 108. 5 x — 2 y 2x I/ 2 x 5x — 2 y 5 x x — y x — y 3 r — 3 /- 3 |/ 2 . 2 111 in x 2 -(- y 2 h t = &• 25. a: — y ----- 61 in |/cč — /y = 1. x 3 — y 3 — 7fi-xy in % — y = 2. -f- x 2 ;// 2 -j- 1 / 4 == 133 in x -{- t/ = 5. a’ -j- y = fx-\-\fy — 2 (/xy — (— 42 in — f/ y = 1. X a -)- J/ ;i/ a = 104. I' 'V/ + \f „ = 2 in xy — x — y = 54. V - i ?/r |/ x -j- |/ y 12 in [/x 2 - - 1 -" 2 3* 1 ' x -)- y x -j- y — z - 6 107. x -j— y — )— £ = 42 * 2 :+/ + * s xy .-(- xz -f- yz x:y = y : 2 y(* + ») = 272. 110 . m x:«/ == 2!: m 109. (x -|- z) 2 -j- (y -j- uf = 208 x — « = 3 -j- u(x -j- z) = 48 y — z ----- 1 x-\-y-\-z-\-u = 20 x 2 4-|~ y 2 ~ j-- z 3 -j- m 2 ; 41. == 14. Razreši naslednje eksponentne in logaritemske enačbe: X — 1 , 114. 11 k 11 i' 115. 11 «. 117. 118. 119. 2*(*-2). 4 *-2.o-5*+f = l. m. —/p.3*~ 2 • 9*+ 1 — 3 • 4 * == 6 • 4 r + 1 j - 6 * 9 *. 2 X -\-2 x + 1 2 X + 3 — 7 ~ 2 1 7-'' ~ 5 2 *~I — 3 x ~i = 3- r +i — 5 2 x- t. 72^ + 1 — 3- 2 3 *- 1 = 9.2 3 * -3 -(- 5 • 7 2 * -1 . 72. 4- 1 . 13 \ 9 :i * 4 ; . 6|/4= V 3x+4 _ ±y (jŠ.c-f 7 3 1 4 3ir , 2 s/p-r 3 — 9 ]/2 x := 6•2'- :i • 8|/9' ’. | 3 4x f 1 + l/2 • 3 I Y • 3 = 5. (/32^ + 4 -f /e - 3 2x = 4. 120. 4 2 * f 5 • 4* 36 XLIII o. 122. 1Q(3 3+ 100) = 15 • 3 X -j- 2. 123. 2*+ 3 + 2 3 — X 208 5' 124. l 2 *^ — 4 x + i 144. 125. 5/64 — 6-/64 = 8. 12«. /9 — 12/3 + 27 = 0. 127. -/4 — |*V2 + 1 = 0. 128. 3 y + 2 = — /9^ in 2*+ 2 = — /pi^c. 129. 3'"+' • ?—Y2#=i =.36 ih 7*~‘- /š^M = 5, 130. 3* + 4* = 265 in 3 x -4^ = 2304. 131. 2* + S v = 13 in 4* -f 9 y = 97. _ v 515 . V = Tfi" in 4 l/y 4! 4- 132. 22/ x -p — 16 133. log (a: — 3) = 0’90309 -j- log* — log (a? -)- 3). 134. 2 log (4* — 3) = log(x -j- 3) -|- log(2x -j- 1). 135. |log(x — 1) -(- log(3x -j- 2) — log3 == f — log2. ,^36. 3 _ [ 0 g x 2 r 1 + lo gx 100 x~ l °s x 137. x 3 + lo s* = 10000. 138. 3x l0 s* J- 100x - l °z x =4 35. 139. x lo ey =4 in xy = 200. 140. 2'°"* + 3'°^ = 11 in 2 ,0 »+'3 lo

. A potrebuje za neko delo 2 dni več in B 4| dneva več nego A. in B skupaj. V katerem času izvršita A in B skupaj dotično delo? 166. Delavci neke tovarne so enako plačani in zaslužijo 65 K na dan. Če bi tovarna 7 delavcev odpustila in vsakemu izmed ostalih delavcev dnevni zaslužek za 40 h znižala, bi znašal dnevni zaslužek 39 K 60 h. Koliko delavcev je bilo sprva in koliko je vsak zaslužil? Jj 67^ Načrtaj skoz točko C določenega kroga tangento in s to tangento vzporedno tetivo AB. Kolika mora biti razdalja med točko C in tetivo AB, da je trikotnik ACB največji? 168. Določi izmed vseh prisekanih stožcev, ki imajo enake višine in pri katerih znaša vsota polumerov v osnovnih ploskvah 2 a, tistega, ki ima najmanjšo prostornino. 169. Sprednje kolo nekega voza se zavrti na 1260 m dolgi cesti 105krat več nego zadnje kolo. Če bi bil obod vsakega kolesa za | m manjši, bi se sprednje kolo na isti poti le 80 krat več zavrtelo ko zadnje kolo. Kolik je obseg vsakega kolesa? 170. Dve telesi se pomikata po krakih pravega kota proti vrhu in pretečeta po 6 m in 8 m vsako sekundo,. V začetku sta telesi oziroma 103 m in 76 m oddaljeni od kotovega vrha~- Po koliko sekundah sta telesi 109 m narazen? 8 * XLVI 171. Dve telesi se pomičeta po premicah, ki stojita pravo¬ kotno druga na drugi, proti njiju presečišču in pretečeta vsako sekundo oziroma po 3 m in 4 m. V začetku svojega premikanja sta telesi 20 m in po 2 sekundah 10 m narazen. Kako daleč je bilo sprva vsako telo od presečišča premic? 172. Sela A in B gresta istodobno od istega kraja M proti 60 km oddaljenemu kraju N. Sel B prehodi vsako uro $ km več ko A in pride za f ure poprej v kraj N. Koliko km prehodi A in koliko B v eni uri? 173. Dva popotnika gresta od krajev A in H, ki sta 45 km narazen, istodobno drug proti drugemu in se srečata po 5 urah. Prvi popotnik pride 2\ ure poprej v kraj B ko drugi v kraj A. Kje sta se srečala? 174. Kolesar se pelje ob osmih zjutraj od kraja A proti 9 km oddaljenem kraju B in odtod proti kraju C. Istodobno od¬ ide od kraja B proti kraju G pešec, ki potrebuje za vsak kilo¬ meter 4| minute več kot kolesar. Če kolesar dohiti pešca ob 11. uri 20. minuti predpoldne, koliko pot napravi vsak v 1 minuti? ---^7175. Pri katerem mnogokotniku je število diagonal za 18 večje od števila stranic? 176. Ena kateta pravokotnega trikotnika je za 17 m 'večja od druge. Če podaljšaš manjšo kateto za 20 m in večjo za 10 w, postane hipotenuza za 20 m večja. Kolika je krajša kateta? 177. Hipotenuza pravokotnega trikotnika meri 35 m in vsota iz ene katete in njenega vzmeta na hipotenuzo znaša 33 - 6m; koliki sta'kateti? 178. Določi stranice pravokotnega trikotnika, če znaša vsota iz ene katete in liipotenuze 50 m, vsota iz druge katete in liipotenuze pa 81 m. 179. Določi izmed pravokotnikov z obsegom 2s tistega, ki ima a) največjo ploskev, b) najmanjšo diagonalo. 180. Očrtaj kvadratu s stranico a najmanjši enakokraki trikotnik tako, da leži kvadratova osnovnica na trikotnikovi osnovnici. 181. Včrtaj določenemu kvadratu enakokrak trikotnik tako, da je njegov obseg najmanjši in da leži vrh v kvadratovem oglišču. XLVII 182. Ako načrtaš skoz točki x A = — =— -I- m in x 0 = b ' 6a 1 = — 9 - — m funkcijske črte y — ax- -j- bx -j- c. tangenti, sta kota teli tangent s pozitivno abscisno osjo supleraentarna. Do- kaži to! 183. Pri katerem pokončnem valju je obseg osjega preseka najmanjši, če ima plašč (površje) določeno velikost? 184. Pokončnemu stožcu s stranico a naj se očrta pokončni valj z največjim plaščem. Kolik je polumer skupne osnovne ploskve? ■ 185. Včrtaj določeni krogli pravilno tristranično (šestero- stranično) prizmo z največjim plaščem. 180. Očrtaj določeni krogli pokončni prisekani stožec z najmanjšim plaščem (najmanjšo prostornino). 187. Pri koliko elementih je razlika med številom kom¬ binacij četrtega razreda s ponavljanjem in številom kombinacij četrtega razreda brez ponavljanja 32-|- krat toliko ko število elementov? 188. Pri koliko elementih se števili premen in kombinacij tretjega razreda brez ponavljanja razlikujeta za 5 kratno število elementov? 18!). Pri koliko elementih je število premen tretjega raz¬ reda s ponavljanjem za 225 večje nego število premen tretjega razreda brez ponavljanja? Uporabne naloge o postopicah, 11)0. Razdeli 756 K med več oseb tako, da dobi prva oseba 80 K in vsaka naslednja za 4 K manj ko prejšnja. Koliko je oseb? 191. Pri kateri aritmetični postopici je osmi člen enak kvadratu četrtega člena in šesti člen enak srednji geometrijski sorazmerni« med 4. in 11. členom? - -492,^Kako se glasi aritmetična postopica, ki šteje 21 čle¬ nov, čeT znašaj vsota prvih 20 členov 650 in vsota zadnjih 20 členov 710? * S; Vrini med prvi in drugi člen postopice 2, 5, 8 ... to¬ liko'novih členov, da je vsota vrinjenih členov, ki tvorijo arit¬ metično postopico, le za 1 manjša ko vsota prvih 20 členov prvotne postopice. -\ 194. Katero liho število je za 1 manjše ko peti del vsote vseh prejšpjih lihih števil? Vsota iz 5. in 8. člena aritmetične postopice znaša 21- in rsora^ iz kubov istih dveh členov 2457; kolika je vsota prvih 33 členov? 196. Pri aritmetični postopici z razliko | znaša vsota prvih n členov 236^; ako prišteješ k tej vsoti naslednjih 7 členov, dobiš 418-|. Določi n in prvi člen! 197. Štiri števila tvorijo aritmetično postopico; produkt vseh 4 števil je 880 in razlika med kvadratoma srednjih števil znaša 39. Katera so števila? 198. Stranice pravokotnega trikotnika tvorijo aritmetično postopico in hipotenuzi pripadajoča višina meri 21*6 m; kolike so stranice? 199. Določen kapital je naložen po 5% in se poveča vsako leto za 250 K; ako znašajo po 10 letihflietne obresti vsega ka¬ pitala 1812 - 5 K, kolik je prvotni kapital? 209. Kako se glasi geometrijska postopica, pri kateri je 11. člen za 7|| večji od tretjega in 9. člen za 1| večji od petega? 201. Pri geometrijski postopici 4 členov znaša vsota prvega in zadnjega člena 172 in vsota srednjih členov 28; kolik je prvi člen in kolik kvocijent? 202. Ako prišteješ prvim 4 členom aritmetične postopice. zaporedoma števila 5, 6, 9, 15, dobiš geometrijsko postopico; kako se glasi aritmetična postopica? pd. Ako odšteješ zaporedoma od prvih 4 členov geome¬ trijske postopice prve 4 člene aritmetične postopice, dobiš raz¬ like 1, 2, 8, 24. Kako se glasi geometrijska in kako aritmetična postopica? jŽ04TVsota geometrijske postopice, ki šteje osem členov, znaša 250 ; vsota sodih členov je za 150 večja od vsote lihih členov. Kako se glasi postopica? XLIX v 205. Kolika je vsota brezkončne geometrijske postopice, pri kateri je produkt prvih treh členov 1728 in vsota iz kubov teh členov 15768? 206: Kolika je vsota brezkončne geometrijske postopice, pri kateri znašajo prvi trije členi 351 in naslednji trije členi 13? 20^ Koliko členov moraš med 3 in 46875 vriniti, da dobiš geometrijsko postopico z vsoto 58593? 208. Razdeli določeno vsoto denarja med 5 oseb tako, da tvorijo deleži geometrijsko postopico in da znašata 2. in 3. delež 8400 K, prvi in tretji pa 10000 K. Koliko denarja seje razdelilo? 209. Določi 5 števil tako, da tvorijo prva 4 števila arit¬ metično postopico z vsoto 30 in zadnja tri števila geometrijsko postopico in da je produkt iz 3. in 5. števila 24krat večji od drugega števila! m Krogli s polumerom r se včrta pravilni tetraeder, tetraedru se včrta krogla, tej krogli se včrta zopet tetraeder i. t. d. Kolika je prostornina a) vseh krogel, b) vseh tetraedrov? \/ 2ll. Določeni kocki se včrta krogla, tej krogli se včrta kocka, tej kocki se zopet včrta krogla i. t. d. Kolika je vsota prostornin a) vseh kocl^W vseh krog > i '~~ ? TTiinii sil ' or, 1 1 o K 'j,. ,w> ^ gel’ #■ KapftaT~~25110 K je po 3^% naložen na obrestne obresti.'Za koliko se mora ta kapital zmanjšati koncem vsa- kegmleta, da bode njegova vrednost čez 10 let znašala 25604 K? ~ Neki kapital, ki je po 44-% naložen, se je v 18 letih podVojil^akoravno se ja koncem vsakega leta zmanjšal za 420K. Kolik je Ml kapital? ^ Kapital 1300 K se koncem vsakega leta poveča za 200 R ;Nlrugi kapital znaša 5960 K in se koncem vsakega leta zmanjša za 200 K. Čez koliko let bosta kapitala enaka, če se računaj(^(((bresti po 4%? ;2|p/Nekdo ima vsaka tri leta po 4000 K plačati in sicer povse$M\10 krat. S katerim kapitalom se da ta dolg takoj po- . /ravnhti, če se računajo obresti po 3|-%? J 216. Nekdo si izposodi pri hranilnici, kapital 8000 K. T' dolg hoče tako poravnati, da plača skoz 15 let koncem* vf kega leta enako vsoto ; kolika je ta vsota, če hranilnica z sojeni denar računa obresti po 5%, za prejeti denar pa p< f ,AAVfk ' H ib s 7 L 217 . Kapital 10000 K se naloži 10 let po 4% na obrestne obresti; skoz koliko naslednjih let dobiš od tega kapitala rento 1825 JK? I T 218 . Kolik kapital moraš 18 let po 5 %-naložiti na obrestne obresti, da dobiš potem skoz 13 naslednjih let rento 1200 K? + 21 9 . A hoče od 20. leta naprej skoz 16 let in sicer koncem vsakega leta dobivati rento 1000 K. Koliko mora sedaj za rento plačatij če se obresti računajo po 4£%? _}- 220 . Nekdo ima skoz 15 let dobivati rento 1250 K; koliko časa se mora tej renti odpovedati, da dobiva potem skoz 12 let rento 1785‘5 K, če se računajo obresti po 3^%? 221 . Letna renta 1000 K, ki se ima še 10 krat izplačati, se zamenja za poluletno rento 597 - 7 K; koliko časa se dobiva zadnja renta, če se računajo obresti po 4%? e. 222 . Pri igri „domino“ so kameni zaznamovani z vsemi kombinacijami dveh števil 0 do 8. Kolika je verjetnost, da obrneš kamen, ki ima število 5? 223. Kolika je verjetnost, da vržeš z dvema kockama (y števili 2 in 6? 224 . Kolika je verjetnost, da pptegneš iz 32 kart igre (£> „pike“, kjer so 4 kralji, dvakrat zapored kralja? 225 . Nekdo zapiše štiri različna troštevilčna števila. Ko¬ lika je verjetnost, da so prva tri števila liha, četrto pa sodo? 226 . Pri neki dobrodelni ustanovi so določili ssrečkanjem vsakoletne nagrade za pet revnih nevest. V nekem letu se oglasi 40 deklet in med njimi tri sestre. Kolika je verjetnost, da a) nobena teh sester ne dobi nagrade, b) da jo dobi samo ena, c) da jo dobi najstarejša, d) dajo dobita dve, e) da jo dobe vse tri, f) da jo dobita najmlajši dve, g) da jo dobi vsaj ena. Zgodovinski dostavki Matematična veda se je razvijala le polagoma, kakor je potreba zahtevala. Tako nam zgodovina priča o starih Feni- čanili, da so bili izvrstni trgovci, torej gotovo dobri računarji. Egipčane so vsakoletne poplave reke Nila kmalu prisilile, da so zgradili nasipe, prekope in vodotoke, in tako so se izurili v zemljemerstvu inv praktični geometriji. Stari Kal dej c i so častili zvezde kakor božanstva in postali na ta način prvi zvezdogledi. Pa tudi Indijci in Kitajci niso zaostali za njimi; opazovali so solnčne in lunine mrke in zvezde repatice ter nam ohranili najstarejšo astronomsko kroniko. Prvi korak do znanstvene matematike sploh so bili šte¬ vilni sestavi. Od Asircev in Babiloncev smo prejeli seksa- gezimalni številni sestav, ki se kaže še sedaj v razdelitvi kroga na stopinje, minute in sekunde in istotako v razdelitvi časa. Izvrstni računarji so bili stari Indijci. Od njih imamo takozvani pozicijski številni sestav, ki sloni na dvojni vrednosti vsake številke. S pomočjo tega sestava je omogočeno z malim številom znamenj kratko in hitro računanje z velikimi števili. Zlasti uvedba ničle pomeni velik napredek v pismenem šte- viljenju. Indijski številni sestav je tako duhovit in vendar tako preprost, da se je le čuditi, kako da se je seznanila Evropa ž njim šele v srednjem veku (v 13. stoletju) po Arabcih iz Španske. Indijci so tudi že razreševali enačbe prve in druge stopnje. (Glej staroindijsko nalogo št. 133 na strani XLVII vadb in nalog za četrti in peti gimnazijski razred.) Drugi koren in ne¬ gativna števila so jim bila tudi že znana. V razreševanju ne¬ določnih enačb pa so jih prekosili Kitajci. O napredku starih Egipčanov v aritmetiki nas poučuje pisar A hm e s (Amasis med 2000 in 1700 pr. Kr.) v svoji zbirki računskih vaj. Poleg celih števil obdeluje tudi navadne ulomke Lil s števcem ena. V tej zbirki so razrešene tudi nekatere enačbe z eno in dvema neznankama. Stari Grki so gojili v prvi vrsti znanstveno geometrijo, pa tudi v aritmetiki in algebri so dosegli lepe uspehe. Naj¬ važnejši zastopnik aritmetike je bil fdožof Pitagora (rojen na otoku Samu okrog 570 pr. Kr.), ustanovitelj italske šole v Krotonu v južni Italiji. Njegova šola se je bavila zlasti z last¬ nostmi celih števil, s proporcijami in progresijami. On je prvi razvil matematično teorijo tonov in je sklepal iz razdalje plasti, v katerih se sučejo svetovi, na „harmonijo sfer“. Na geome¬ trijski način je prišla ta šola do pojma iracijonalnosti. Sčasoma pa se je izgubljalo njeno delovanje bolj in bolj v računske igrače in v brezplodne mistične spekulacije s celimi števili. S Platonom (ki je bil rojen okrog 430 pr. Kr. v Atenah) je zopet oživelo zanimanje za pravo aritmetiko. Platonova šola na akademiji v Atenah je uvedla v matematično znanost nove indirektne dokaze. Vendar pa so Platonovci gojili arit¬ metiko bolj kot pomožno vedo, isto velja tudi za naj večjega učenjaka starega veka, za Aristotela. Ko je uničil macedonski kralj Aleksander docela samo¬ stojnost grških držav, je začela matematična veda na Grškem propadati in Atene niso bile več središče znanstvenikov, njih mesto je prevzela nova Aleksandrija v Egiptu. Nasledniki Aleksandra Velikega v Egiptu so bili Ptolemejci, ki so si mnogo prizadeli, da se je razvila v Aleksandriji grška (helenska) ma¬ tematična veda do one stopnje, da je več ko tisoč let noben narod v Evropi ni prekosil. Najznamenitejši matematik prve aleksandrijske dobe je Evklid (okoli 300 pr. Kr.) V svoji knjigi „Elementa“ (otopela) je zbral vse matematično znanje tedanjega sveta. Ta knjiga je bila pozneje stoletja in stoletja vzor pregledne razvrstitve in metodičnega dokazovanja. Aritmetiko obdeluje pisatelj v 7., 8. in 9. knjigi. V isto dobo spada tudi Eratosten (rojen okrog 276 pr. Kr.), ki je znan po svojem načinu, kako se dobijo vsa praštevila do po¬ ljubne meje (Eratostenovo sito). Nekako ločen od teh dveh in od središča v Aleksandriji je živel na Siciliji Arhimed (rojen 287 pr. Kr. v Sirakusah). Njemu pa je služila aritmetika le v toliko, kolikor jo je rabil za svoje geometrijske in mehanične študije. LIH V aleksandrijski dobi dobi so se uvedli pismeni računi. Po¬ prej in tudi še dolgo pozneje so imeli nekako pripravo „abacus“, kjer so na deski ali na palčicah sestavljali kroglice in vozle in ž njimi računali. Še celo v srednjem veku so na ta način računali „abacisti“, sčasoma pa so jih čisto izpodrinili „algoritm ik so računali po indijskem, oziroma po aleksandrijskem načinu. Ko so si osvojili Rimljani Egipet, je začela helenska mate¬ matična veda nazadovati. Šele za rimskih cesarjev Hadrijanov in Antoninov je zopet nekoliko oživela. V tej drugi aleksan¬ drijski dobi je poleg slavnega astronoma Klavdija P t o - lomeja (okrog 125 do 160 po Kr.) za aritmetiko in algebro posebno važen Diofant iz Aleksandrije (sredi 4. stoletja po Kr.). V svoji knjigi „13 aritmetičnih problemov 44 je položil temelj sedanji algebri. Bil je zelo izurjen in iznajdljiv v razreševanju določilnih in nedoločilnih (diofantičnih) enačb. Poskušal je že tudi uporabljati algebro v geometriji, kar je šele v novejši dobi slavni Descartes takorekoč iznova začel v analitični geometriji. Med Rimljani, ki so bili toliko časa gospodarji sveta, se ni pokazal noben odličen zastopnik matematične vede. Učili so se pač pri Grkih in prevajali njihova dela, toda dosegli niso nikdar svojih učiteljev. Kot izvežbani juristi so prvi spoznali obrestne obresti. Od Rimljanov imamo več matematičnih iz¬ razov, ki so še sedaj splošno v rabi. Ti izrazi pa so nastali v poznejši latinski dobi, ko so prevajali grške pisatelje. V tem oziru je posebno znan Avrelij Kasiodorij (475—570 po Kr.). Po razpadu velikorimske države je jela tisočletna grško- rimska kultura hirati in matematična veda se ni mogla dalje razvijati. Leta 640. so pridrli" mohamedanski Arabci v Egipet in kalif Omar je dal zažgati v Aleksandriji slavno veliko knjižnico. In zdelo se je, da je to smrtni udarec helenski in staroveški kulturi sploh. Toda ravno isti zmagonosni Arabci, ki so si z mečem v roki podvrgli severno Afriko in pridrli tudi na Špansko, ravno ti so postali nekaki posredovalci staroklasične kulture. Arabske visoke šole v Bagdadu in Damasku in pozneje v Kur¬ dovi so se ponašale s pravimi učenjaki matematične vede. Arabci so bili v prvi vrsti učenci Grkov, pa tudi od vzhodnih Indijcev so prejeli marsikaj (n. pr. številni sestav). Posebno sta se odlikovala arabska matematika Mohamed ibn Musa (okrog 800 po Kr.) tudi Alchvarismi imenovan in LIV pa T hab it ibn Kurrah. Arabci so že poznali pri drugem korenu dvojno vrednost in razreševali so že enačbe tretje stopnje, pa tudi algebro so uporabljali v geometriji. Beseda algebra sama je arabskega izvora. Na visoki šoli v Kordovi se je seznanil z arabskimi matematiki francoski menih G e r b e r t (poznejši papež Silvester II., 940—1003), ki je pač prevzel arabske številke, pa je vendar ostal še abacist. Doba od 10. do 16. stoletja je za aritmetiko in algebro doba posnemanja grških in arabskih učenjakov. Nekaka izjema je 13. stoletje, ko je živel duhoviti računar Leonardo Pisano (literarno delovanje okrog 1202—1228). Njegovo delo „Liber Abaci“ (dovršeno 1202) obsega vso tedanjo aritmetiko in al¬ gebro. Za poskušnje pri računih je rabil in tudi dokazal staro¬ indijsko poskušnjo z devetinskimi ostanki. Njegov sodobnik dominikanec Jordanus Nemorarius (umrl 1236) je rabil za števila že črke. Ali za tisto dobo sta bila Leonardo in Jor¬ danus preučena, sodobniki ju niso umeli in prešlo je zopet nekaj stoletij, da je zopet oživelo zanimanje za to vedo. Za križarskih vojsk so upoznali laški kupci arabske in bizantiske računarje in na laških visokih šolah so se učili pozneje Nemci algebre. Na to spominjajo stare računice „Die welsche Praktik 14 in pa „Die Ko(5“ od laške besede cosa = reč, ki je pomenila neznanko. Iz arabskih virov sta črpala angleški menih Roger Bacon in Nemec AlbertusMagnus. Iz 16. stoletja so na glasu laški matematiki Hi er onim o Cardano iz Milana (1501 — 1576), Niccoto Tartaglia iz Brescie (1501—1557) in Lodovico Ferrari (1522—1565). Cardano je dal splošni obrazec za razreševanje enačb tretje stopnje, pri njem se nahaja tudi že drugi koren negativnih števil. Sedanjo pisavo korenov je začel Girard (1600), izraz za realna in imaginarna števila pa je rabil šele Descartes. Ima¬ ginarno enoto je uvedel naj večji nemški matematik Karl Fri¬ derik G a u fi (1777—1855), ki je dokazal potem s pomočjo kompleksnih števil, da ima vsaka algebrajska enačba toliko korenov, kolikršna je stopnja enačbe (Dissertation 1799). R. Descartes je uvedel sedanjo pisavo potenc in rabil za ne¬ znanke črke x, y, z... Leonhard Euler (1707 — 1783) pa je prvi jel rabiti za funkcijo pisavo /(«). Tatarglia se je pečal z iracijonalnimi imenovalci ulomkov in je prvi pravilno izračunal LV obrestne obresti. Kako se enačbe 4. stopnje s pomočjo Carda- novega obrazca razrešujejo, je prvi dokazal Ferrari. Šele v no¬ vejšem času je Gaufi dokazal, da se algebrajske enačbe pete stopnje in višjih stopenj splošno ne dajo razrešiti. Iz 16. stoletja se tudi pogosto omenja Francesco Maurolico (1494—1575), ki je prvi uvedel induktivni sklep od n na n -}- 1. Največji francoski matematik v tej dobi je brezdvomno Frantjois Viete (Vieta, 1540—1603). Obdelal je zlasti pro- porcije in „regeldetrijo“. Uvedel je v računih vseskozi pozitivna in negativna števila. Računska znamenja -)- in — pa je prvi rabil slavni slikar in filozof Leonardo da Vinci (1452—1519). Namesto posebnih števil je uvedel Vičte občna števila in je postal tako ustvaritelj občne aritmetike. Izmed nizozemskih matematikov sta posebno znana L u - dolf von Ceulen (1540—1610), ki je preračunal število n na 35 decimalk, in pa Simon Stevin po svoji algebri (1585), kjer je praktično začel z računi decimalnih števil. Prvi se je pač že poskušal z njimi Nemec Regiomontanus (Joh. Miiller 1436—1476). Z uvedbo decimalnih ulomkov, še bolj pa z iznajdbo loga¬ ritmov se je razvijala matematika odslej jako hitro. Za prvenstvo iznajdbe logaritmov sta se kosala Švicar J o s. Bilrgi in pa Škot John Neper (Napier), ki je prvi dal natisniti (1614) razpravo o logaritmih, in sicer z osnovnim številom e — 2'71828... (naravni ali hiperbolski logaritmi). Deset let pozneje je izdal Anglež Henry Briggs prve tablice logaritmov števil 1 — 20.000 in 90.000 — 100.000, in sicer z osnovnim številom 10 (Briggovi ali navadni logaritmi). Za njim je Nizozemec Adrian Vlacq dopolnil še logaritme števil 20.000 — 90.000. Kmalu nato so se prikazale tudi tablice logaritmov goniometrijskih funkcij. Naš rojak baron Jurij Vega je Vlacq-ove tablice popravil in pomnožil ter jih izdal pod naslovom „Thesaurus logaritmorum“ (1794) na 10 decimalk. V 17. stoletju se je pečal posebno z aritmetiko Francoz Pičrre de Fermat (1608—1665), ki je začetnik znanstvene teorije števil. Obdelal je zlasti kombinacije in pa račune o verjet¬ nosti. Na istem polju so delovali še: Francoza B1 ai s e Pascal (1623—1662) in Pičrre Simon Laplace, potem oba švi¬ carska brata Jakob in Janez Bernoulli (1654—1705, I 1667—1748) in Anglež Isaak Newton (binoraski stavek 1676), pozneje tudi še Leibniz, Euler, Lagrange i. t. d. Jako je napredovala matematična veda z iznajdbo infinite¬ zimalnih računov (z diferencijali in integrali) po Nevvtonu in Leibnizu. Ta račun se je razvil, kakor povestnica uči, iz geome¬ trijskih problemov. Že Arhimed je bil napravil nekak začetek s svojo metodo izčrpanja (ekshauscijsko metodo), ko je primerjal ploščino kroga s ploščino včrtanega in očrtanega mnogokotnika. Isti način je uporabljal pozneje z dobrim uspehom Lah Bona¬ ventura Cavalieri (okrog 1591 - 1647), pozneje tudi Angleža Barrow in Wallis in Francoza Roberval in Fermat. Ko je nato še R6n6 Descartes (1596 — 1650) v svoji znameniti knjigi „Geometrie“ (1637) dal podlago za analitično geometrijo, bili so se izpolnili vsi pogoji in dovršile vse predpriprave za infi¬ nitezimalni račun. Odločilen korak sta napravila Anglež Isaak Newton (1642—1727) in pa Nemec Gottfried Wil. von Leibniz (1646—1716). Newton je poslal svojo razpravo 1. 1669. akademiji v London, v tisk pa je prišla šele 1. 1736. Leibniz pa je izdelal svoj rokopis 1. 1675. in ga dal tiskati 1. 1684. Vsled tega je nastal med njima dolgotrajen znanstveni prepir za prven¬ stvo. Vsekako pa je Leibnizova zasluga, da je uvedel v mate¬ matiko znake za nove račune diferencijalov in integralov in s tem določil enotno pisavo in enotni matematični jezik. (M. Cantor, Vorlesungen iiber Geschichte der Mathem., 4 deli 1880 — 1907.) Infinitezimalni račun je odslej obvladal vso matematično vedo in odkril znanosti sploh čisto nova pota. Matematična veda se je razvijala odslej z neznansko hitrico. Uporabljali so novi račun v geometriji, v fiziki in astronomiji, v moderni tehniki i. t. d. Cela vrsta učenjakov raznih narodov je tekmo¬ vala odslej v spopolnitvi teh računov in je dovedla na ta način matematično vedo na tako visoko stopnjo, da se lahko ponaša s pridevkom najeksaktnejše vede sploh. Izmed domačih pisateljev matematikov se več¬ krat omenjajo: 1. Andrej Kobal (Kobavius, rojen v Cirknici 1594, umrl v Trstu 1654). Bil je profesor matematike na jezuitskih šolah v Ljubljani in je spisal knjigo o astronomiji. 2. Joahim Košutnik (rojen v Beljaku 1714, umrl v Mariboru 1789) iz reda jezuitov. Bil je profesor na akademični L VII gimnaziji na Dunaju, pozneje pa v Gradcu vodja zvezdarne. Spisal je 1.1754. knjigo „Prima elementa Arithmeticae, Algebrae, Geometriae, Trigonometriae planae et sphaericae, Architecturae civilis et inilitaris“. (Posneto iz razprave Fridol. Kaučiča ^na¬ meniti Slovenci 41 .) 3. Baron Jurij Vega (rojen Veha v Zagorici pri Mo¬ ravčah 1754, utonil v Donavi 1802), profesor matematike na vojaški šoli na Dunaju. Vega je bil tudi slaven junak, ki se je odlikoval v vojskah s Turki in s Francozi in je postal na¬ zadnje baron in podpolkovnik. L. 1783. je izdal logaritemske in trigonometrijske tablice na 7 decimalk, ki so doživele 60 izdaj. L. 1794. pa je izšel njegov veliki logaritmovnik „Thesaurus logaritlimorum 44 na 10 decimalk. Za šolsko rabo je izdal svoja predavanja o višji matematiki „Vorlesungen liber Mathematik 44 (1786—1802). 4. Dr.Franc vitez Močnik (rojen v Cerknem na Go¬ riškem 1814, umrl 1892), profesor matematike v Lvovu in Olo¬ mucu. Služboval je pozneje v Ljubljani kot deželni šolski svetnik in v Gradcu kot nadzornik. Pisal je zlasti učne knjige za ljudske in srednje šole. Njegove knjige so doživele mnogo izdaj ter se še rabijo. Preložili so jih v slovanske in razne druge jezike ter so bile v rabi na Avstrijskem, Ogrskem, Laškem in Nemškem. NARODNA IN UNIVERZITETNA KNJIŽNICA ' r '