IPRESEK list za mlade matematike , fizike , astroname in računalnikarje 23. letnik, leto 1995/96, št evilka 3 , strani 129-192 VSEBINA MATEMATIKA FIZIKA ASTRONOMIJA RAČUNALNIŠTVO NOVICE NALOGE REŠITVE NALOG ZANIMIVOSTI RAZVEDRILO TEKMOVANJA NOVE KNJIGE NA OVITKU Obstoj na prašte vila (Jože Grasselli ) 13 4- 136 P re gradimo triko tnik , 2. del (Boris Lavrič) 148-1 54 Naredi mo škržata (Andrej Likar) 12 9- 132 Past za delce (Janez Strnad) 142-146 Koza (Marijan Prosen) 138- 139 Saj ni res, pa j e (Martin J uvan, Matjaž Zaveršnik) 140 Nemogoči predmet j e mogoč (Marta Zabret) ... 132-133, II I Poročilo s 36 . me dnarodne matematične olim piade (Matjaž Željko) 147 26 . m ednar odna fizikalna olimpiada (Ciril Dominko) 154- 155 Nalogi o 1996 (Roman Drnovšek) 133 Največji zorni kot (Marija Ven celj) 158 Manjkaj oči števili - s str. 99 (Martin Juvan ) 136-137 Funkcij ska enačba - s str . 88 (Rom an Drnovšek) 141 P oc eni t ev , podražit ev - s str . 85 (Vinko Horva t ) 155 Poišči število - s str. 95 (Ivan Lisac) ' " 156 En a finančna - s str. 99 (Mar t in Juv an) 156- 158 Pregradimo trikotnik, 1. del - s str. 86 (Boris Lavrič) 162-163 Križanka "Očetj e fizikalni h enot '! - s str. 96 (Marko Bokalič) 163 Najdaljša četa - s str. 89 (Martin Juvan) 164- 165 Vsakdanje funkcije - s str. 100 (Anton Cedilnik) 165 Sosonc e in 22° halo (Jože Rakovec) 140-14 1, I Križanka "Matematične krivulje" (Marko Bokalič) . 160-161 Urnik te kmovanj v letu 1996 (Darjo Felda ) 167-169 15. področno t ekmovanj e iz fizike za osnovn ošolce - rešitve s str. 114 (Vesna Harej, J elisava Sa kelšek) 169 -171 30 . občinsko te kmovanje za sre b rno Vegovo priznanje - r ešitve s str. 117 (Aleksander Potočnik) 171 - 17 2 Izb irno tekm ovanje iz matematike - r ešit ve s str. 121 (Matjaž Željko) 173-177 Rešit ve n alog s predtekmovanja iz sre dnješolske fizike - s str. 123 (Ciril Dominko) 177-182 15 . državno tekmovanje iz fizike za osno vnošolce (Mojca Čepič) 18 2-1 87 Naloge z državnega tekmovanja iz srednješolsk e fizike (Ci ri l Dominko , Jurc Bajc) 187-192 Strnad J ., F iziki (Andrej Lika r) 159 Večer n a Cresu , 14 . avgust 1995 (foto Marta Za bret). Glej tudi razlago n a strani 140 I Fo togr afija "nemogočega" predme t a (fot o Mo jca in Mitj a Lušt re k ) . Glej tu di prisp evek na st r . 132 III Slovens ki olimpijski eki pi na 26 . fizika lni in 36. matematični olimpiadi . Glej t udi prispevke na straneh 147 in 154 . ... IV I Fizika NAREDIMO ŠKRŽATA Škr žate poslušamo poleti na morju . Njihovo oglušujoče cvrčanj e j e del počitniškega vzd ušja. V zimskih dn eh pa si bomo pomagali s škržati, ki jih nar edimo sa mi. Igrača na sliki 1 sestavlja m ajhen lesen bob en s po lme- rom nekaj centime t rov in prav tolik šno višin o. Op no bobna nar edi mo iz močnej šega papirja, ki ga pr epojirno z lakom. Skoznjo na sredi s šivanko pr ep eljem o vrvico in jo na drugi stra ni apne privežemo na drobno trska . S tem vrvico pripnem o na apno bobna. Na drugem krajišču vrvico ob li- kuj em o v pen tlj o in jo nataknemo na pal ico, natrto s kolofonij o . To smo lo uporablj aj o violinist i , da z njo mažejo lok . Pri vrtenj u bobna okrog pali ce zaslišimo zvok, ki spominja na "petje" škr žatov. vrvica apna Slika 1. Škržat- i grača. Kako pride do zvoka, najlaže poj asnimo , če primerno boben z eno roko in pri nap eti vrvici nekoliko zav rtimo pali co. Zaslišimo po k , ko na palico zalepljena vrv ica v tr enutku zdrsne in s te m sprosti napeto apno . P ri vrtenj u bobna okrog palice slišimo rafal takih pek ov , ki se zlijejo v hreščav zvok . Za st ik med vrvico in pali co j e značilno , da je koeficien t lepenj a večj i od koeficien t a trenja. Tudi pri sti ku avtomobilskih pn evm atik s cesto j e tako. Zato j e zavir anj e z blokiranimi kolesi , ko guma dr sa po cesti, manj učinkovito kot pri vrtečih se kolesih . Posebna naprava v sodobnih avtomobilih ur avnava prijem zavor t ako , da kolesa ne drsij o. Poskusov , s katerimi uvedem o koeficienta trenja in lep enj a , se prav dobro sp omnimo. Na podlago postavimo telo z znano težo in ga vlečemo z vzmetno tehtnico v vodoravni sme ri (slika 2) . Nekaj časa se telo ne pr emakne kljub sili , ki deluje nanj. Ko silo povečujemo, t elo nen ad om a zdrsne . Poskusi kažejo, daje sila FI , pri kateri pr ide do zdrsa , sorazmerna s t ežo t elesa. Zato zapišemo: Fi zika I ::~:: :i: : ': ':': -: .::.:.:.:.;. :- o':':':':';':::::':::::'::::::::::: :::::::::::::::::.:-: . podlogo pn eem er smo z Fg označil i težo telesa , s ki pa koeficient lep enj a . Ko te lo enakome rno drsa po po d- lagi , ga m oramo vleči s silo Ft , ki j e pr av tako soraz merna s težo te- lesa : teto s težo Fg F Slika 2. Poskus, pri ka t er em izmerimo sili lep enja in t re nja. Slika 3 . Pentlja v sre d nji legi. Sili F I in F2 obeh krakov p en tlj e sta p o velikosti enaki. -'.-'iJ ..... vozel v rvico Sorazmernostni faktor kt imenu- j emo v tem primeru koeficient t re- nja . Pri podlagi , prevlečeni s plastj o kolofonij e, j e koeficient lep enja vrvice pr ecej večji od koeficienta trenja. ~ Da bomo laže računali , zane- marimo t renje v primeri z lepe- njem , torej naj bo k, = O, koefi- cient lepenja pa naj bo zelo velik . Zanima nas pogostost pokav , ko se boben z dano frekven co vrti okrog pali ce. Podrobneje si oglej mo pen- t lj o na pali ci (slika 3). Na vozel deluj ejo tri sile: sila vr vice ter sili obeh krakov pentlj e. Vozel im a zelo m ajhno maso , za to j e vsota te h sil nanj vedno enaka nič . Vr- vica v sre dnj i legi leži na premici, ki gre skozi središče pali ce . Takrat sta velikosti sil obeh krakov na vo- zel enaki , in sicer Fo FI = F2 = -2- - , cas ep kjer j e Fo velikost sile vrvice, ep pa polovični kot m ed kr akama pentlje. Pentlja naj v sr ednji legi ne drsa po palici. Ker se vrvi ca vrti , postaj a sila FI vse večj a , sila F 2 pa se manjša (slika 4) . V tr enutku , ko je vrv ica vzporedna z levim kr akom pentlj e, je sila FI kar nasprotno enaka sili vrv ice , sila F 2 pa en aka ni č in j e zato desni kr ak pentlje ohlape n . V tem t renut ku vrvica zdr sne, pentlj a se spe t postavi v srednjo lego in vse se ponovi. Čas med zap orednima pokorna j e kar enak času , ki ga potrebuj e vrvi ca , da se pr emakne za kot ep . Velj a zveza: I Fizika kjer je R polmer pali ce, D pa raz- dalja med vozlom in središčem pa- lice. Če se vrvica vrti s frekvenco v , opravi v času ~ polni kot 27T in zato v času !::lt = tr ~ kot 'P. Fre- kvenca pokov je potem 1 D vp = - = 27TV - ,!::lt R torej obratno sorazmerna s polme- rom palice. V resnic i so razm ere bolj zapletene, kar potrjuje tudi časovni potek signala iz kapacitiv - nega mikrofona (slika 5), s kat erim smo snemali zvok. Vid imo, da pri zdrsu pentlj e opna bobna zaniha s frekvenco blizu 1 kHz in da si zdrsi sledijo v času okrog 5 ms in da niso povsem enakomern i. Koefi- cient lepenja ni neskončno velik in : \0 o o \ ". \ . \ Oo \ 0 Slika 4 . Sili krakov FI in F2 se s časom spreminjata, prva se povečuj e, druga p a zm anjšuj e . Ko je vrvica d esnega kraka ohlapna, p entlja zdrsne . 30 ,-- -,- - ---,-- - -,-- - -.-- -,-- ---,- - ---,-- - -.--- - ,--------, 20 -20 25201510o t[ms] -5-10-15-20 -30 l-_-----'-_ _ -'-__...L_ _ -'--_---.JL-_......L__---'---__--"----__l.-_-----' -25 Slika 5. S kapacitivnim m ikrofonom posnet zvok igrače. Ob zdrsu opna zaniha, potem pa se njeno nihanje duši do naslednjega zdrsa. Fizika - N ovice I t udi koeficient a t renja ne sm emo zanemarit i. Podrobnejši račun pokaže, da je razmerj e velikosti sil FI in F2 v trenutku , ko pentlj a zdrsne, od visno le od koeficienta lepenj a in objem nega kota pent lje .,'} : FI = ek , {) . F2 Tudi v tem primeru je zveza med frekvenco vp , radij em R in raz da ljo D taka kot prej , v njej pa se poj avi še koeficient lepenj a . Morali bi tudi up ošt evati koeficient tr enj a , ki smo ga t u zanemarili . P ri zelo vi- soki frekvenci pokov bi morali upoštevati še giba nje vrv ice in opne, kar ni pr eprosto. Tako igračko lahko naredimo tudi iz pr azne konzervne škatle tako , da je opna kar kovin sko dn o. Njen zvok pa ni več podoben škržatovem u. A ndrej Likar NEMOGOČI PREDMET JE MOGOČ Naslovnica prve let ošnje štev ilke Preseka me je očarala že pr i poštnem nabiralniku. Fotogr afijo Bruna Ernsta , na kateri j e "model" Penrosovega trikot nika , in članek, v katerem je matematično ovrže n obstoj tega pred- meta , sem molela pr ed oči vsakem u, ki mi je bi l pr iprav lj en pris luhniti. Moj e navdušenj e za nemogoče predmete je namreč vzniknil o že v j ulij u 1995, ko sem se ud eležila raziskovalnega tabora z naslovom Od j ezika do dokaza. Tab or st a pri pr avila profesorj a bežigr aj ske gim naz ije , J an i Kovačič in avtor omenjenega članka, Vilk o Domajnko. Udeleženci tabor a smo lahko listali po knjigah z Escherjevimi reprodukcijami ; nekatere so br alci Pre- seka vid eli tudi v članku Penro se - Escher - R euteswiird. V spo min se mi je vt isnila Vilk ova pripomba: "Za mnoge nemogoče pr edmete obs tajajo tridimenzionalni modeli . . . " Ob pogledu na naše dvomeče obraze je na- dalj eval : "... le da niso videti taki, kot mislite." Kljub tej pomoči sem bil a še vedno br ez vsake pr edstave, kakšen na j bi bil tak predmet videti "od zada j in od st rani" . Deseto leto teče , odkar poučuj em m atematiko kamniške srednješolce, in v tem času sem spoznala preprosto , a osnovno pedagoško skrivnost: od dijakov se lahko veliko naučiš. Med svoja dekleta in fan te tako nisem šla sa mo z ogr omno barvno fotokopij o Presekove naslovni ce, ki so se j i vsi čudi li , ampak tudi z vabljivo ponudbo: "Vsa kemu, ki m i j utri prinese tr idimenzionalen model Penrosovega trikotnika , natančnej e , mo del, ki bo z neke točke v prostoru videti kot Penr osov tr ikotnik, zap išem petko v redovalnico .. . " Nouice - Naloqe Kot je pri takih natečajih pričakovati, je večina dijakov zavila z očmi in pr eklopila možgane na večno lepi najstniški program. Pri nekaterih pa sem le dočakala značilni zamegljeni pogled . Kresal e so se prve ideje: nekdo je razmišljal o modelu , pri katerem bi uporabil žico; drugi bi si pomagal z Rubikovo kačo; večina pa je dvomila v uspešnost modeliranja, ker so bili prepri čani, da gre pri Presekovi naslovnici za fotomontažo ali računalniško grafiko . Naslednj ega dn e smo imeli vse: model , množico dijakov, ki so si ga želeli ogledati, petko v redovalnici in običajni soglasni vzklik v 3. B: "Seveda - Mitja, kdo pa drug! " Pred tem mi je Mitja Luštrek postavil na mizo škatlo, iz kat ere sem - z občutkom , ki ga nisem doživela že od svoj ega petega rojstnega dn eva - pot egnila papirnat modelček, ki je ustrezal vsem zahtevam. Mitja svoj e razmišljanje , ki gaje pripeljalo do modela, opisuje takole: "Izdelat i nemogoči pr edmet - zveni dokaj nemogoče , mar ne? Vendar, kot je razvidno s slik , zadeva ni tako nemogoča. Ko sem videl fotografijo v Preseku, mi je najprej prišlo na misel, da gre za pr evaro in da predmet v resnici sploh ni tridimenzionalen - da je narejen enako kot njegova risba, le da je sestavljen iz lesenih ploščic. Toda ko sem ga tako izd elal, mi o njegovi tridimenzionalnosti ni usp elo prepričati prav nikogar. Zato sem poskusil drugače - in , glej ga zlomka, šlo je! Telo , ki sem ga izdelal , je pravzaprav še bolj še od onega v Preseku , saj je mesto , kjer se začetek in konec navidezno stikata, na robu , pri onem v Preseku pa ni (sicer to dosti ne moti, saj je narejen iz lesa in je pričakovati , da so deščice nekje zleplj en e skupaj)." Vse ostalo povedo fotografij e na III. strani ovitka Preseka, saj Je Mitja svojo mojstrovino na mojo željo upodobil tudi v "fotostripu" . Z Vilkom Domajnkom pa se že dogovarjam za izposojo nadaljnje literature. Mitja je namreč problemu nemogočih predmetov pripravljen posvetiti še marsikatero sivo celico . . . Mada Zabret NALOGI O 1996 1. naloga: Določi število k = minj] l + 9m - 96n l : m, nE lN} 2. naloga: Dokaži, da imata za vsako naravno število n števili 1996n in 1996n + 4n v desetiškern zapisu enako število števk. Roman Drnovšek Matematika I OBSTOJNA PRAŠTEVILA Ko vpraštevilu 13 zamenjamo vrstni red števk , dobimo prašt evilo 31. Če napravimo isto spraštevilom 19, pr idemo do št evila 91 = 7 . 13, ki ni praštevilo. Imenujmo dvo ali večmestno praštevilo obstoj no, če vsaka permut a- cij a njegovih št evk pr ipelje do praštevila. Tor ej : pr ašt evilo 13 je obstojno , praštevilo 19 pa ne. Takoj vidimo , da v desetiškem zap isu obstojnega pr aštevila ne mor e biti števke 2. Števke namreč lahko pre uredimo tako , da pride 2 na me- sto enic. Dvo ali večmestno št evilo, ki se končuj e z 2, pa ni praštevilo. Iz podobnih razlogov se v obstojnem pr aštevilu ne more pojavljati tud i nob ena od 'števk O, 4, 6, 8, 5. Zato : V desetiškem zap is u obstojnega praštevila nastopajo le š tevke 1 , 3, 7, 9. Poiščimo vsa dvomestna obstoj na praš tev ila . Najdemo jih med ti- st imi dvomestnimi praštevili, ki se zapišejo le s št evkami 1, 3, 7, 9; torej med praš te vili 11,1 3, 17,1 9, 31, 37, 71,73,79, 97, (1) ki so vsa razen 19 obstojna. Vseh dvomestnih praštevil j e 21, po (1) je devet obstojnih . Kako bi našl i vsa trimest na obstojna praštevila? Podobno kot v (1) bi iz seznama vseh trimest nih praštevil, ki imajo v zap isu le števke 1, 3, 7, 9, odbrali obstojna pr aštevila . Rav namo pa lahko še drugače . V zap isu trimestnega števila so , ali vse števke enake ali vse št evke raz li čne ali pa dve št evki enaki. Če so vse št evke enake, je tr imestno število deljivo s 3 in ni praštevilo . Naj bodo vse št evke raz li čne. Iz števil 137, 139,179 ,379 (2) dobimo s permut acijami števk vsa tr imestna št evila , ki imajo v zap isu same različne števke 1, 3, 7, 9. Števila (2) so sicer prašt evila , ni pa nobeno obstojno. J e namreč 371 = 7· 53, 319 = 11 · 29, 791 = 7 · 113, 793 = 13 · 61. Obstoj nih trimestn ih praštevil s tr emi razl ičnimi št evkami torej ni . Naj bosta sedaj v številu od tre h št evk dve enaki. Napravimo seznam št evil, ki se zapi šejo z 1, 3, 7, 9 in imajo prvi šte vki enaki: 113,111,119, 331, 337, 339, 771, 773,7 79, 991, 993, 997. (3) IMat ematika Obstoj na trimestna praštevila z dvema enakima št evkama so nujno med št evili (3) . Podčrtana števila so deljiva s 3, torej niso praštevila . Ker je 119 = 7 ·17, 133 = 7 ·19, 737 = 11 ·67, 779 = 19 · 41, 979 = 11 . 89, se seznam (3) skrči na 113, 337, 991. (4) Če j e kaj trimestnih obstoj nih prašt evil z dvema enakima števkama, so zaj eta v (4) . Preizkus ali pogled v prašt evilsko tabelo potrdi , da so števila (4) praštevila. Permutacije števk v (4) privedejo do števil 113,1 31,311 ; 337,3 73,733; 991,919,199 , (5) ki so obenem praštevila . Sklep : Med trimestnimi praštevili j e devet obstojnih, navedena so v (5) . Dodajmo še, da je vseh trimestnih prašt evil 143. Pri iskanju štirimestnih obstoj nih prašt evil je treba upoštevati mož- nosti: Od štirih števk, vzetih izmed št evk 1, 3, 7, 9, so , ali vse št iri razli čne ali tri razl ične ali dve raz l ičn i ali vse štiri enake. Če si pomagamo s praštevilsko tabelo, hitro ugotovimo, da štirimestnih obstojnih prašt evil ni. Na tak način bi mog li nadaljevati pr i določanju pet in večmestnih obstoj nih prašt evil. Večmestno število, ki im a vse števke enake c, ob vsaki permutaciji št evk preide vase. Tako število pri c # 1 ni prašt evilo , saj premore delitelj c > 1. Vzemimo sedaj, da v št evilu anastopa samo št evka 1, in to j - krat. Če j e j sestavljeno št evilo , je tudi a sestavljeno število. Naj bo namreč j = st in s, t naravni števili , večji od ena . V številu b = lOs - 1 + lOs - 2 + ...+ 10 + 1 so vse šte vke 1 in j ih je s . Ker je a = b . l Oj -s + b . l Oj - 2s + ...+ b . lOS + b, deli b št evilo a. Zaradi 1 < s,l < t j e tud i 1 < b < a in asest avlj eno št evilo. 136 Matematika - R ešitve nalog I Iz zadnje ugotovitve izhaj a: Št evilo, ki ima v deseti škem zap isu vse št evke enake 1, bi mo glo bi ti praštevilo kvečj emu tedaj , ko je število št evk j praštevilo . Za j = 2 dobimo pr aštevilo 11. Ne velj a pa to za j = = 3, 5, 7,11 ,1 3,17 . Saj j e 111=3 ·37 11111 = 41 ·271 1111111 = 239 ·4649 11111111111 = 21649· 513239 1111111111111 = 53 ·79 ·265371653 11111111111111111 = 2071723 · 5363222357. Pač pa dobimo pr aštevila za j = 19,23, potem pa za j = 29,31,37,41 spet ne. Znano je, da je praštevil neskončno. Ali med št evili , ki se zap išejo s sam imi enkami, neskončnokrat naletimo na pr aštevilo? Ali j e obst oj- nih praštevil neskončno? Na zastavlj eni vpra.šanj i pisec teh vrstic ne ve odgovora . Naloga. Zgoraj so obravnavana obstoj na praš tevila v desetiškem za- pisu . Naj bo p pr aštevilo. V dvoji škem zapisu je iskati obstojna praštevila le med Mersen novimi št evili 1.. .1 = 2P - 1 (števka 1 nastop a na levi p-krat) . Prepričaj se o tem . Jože Grasselli MANJKAJOČI ŠTEVILI - Rešitev s str. 99 Med naravnimi števili od 1 do n iščemo manjkajoči dve. Osnovno idejo že poznamo. I z računamo vsoto šte vil na datoteki , jo odštejemo od vsote števil med 1 in n , t a j e n(n2+ 1) , in dobimo vsoto obeh manj kaj o čih št evil. Označimo j o z s . Venda r pa manj kajačih štev il samo iz nj une vsote ne moremo enolično določi ti. Vemo pa, da bo eno od števil manjše, drug o pa večj e od ~ (ker sta manjkajoči št evili razli čn i , nobeno ne bo enako ~) . Dovolj j e po iskati le manjše, sa j večj e dobimo tako, da od vsote obeh odšteje mo prvo. Iskanj e manjšega pa je že znan a naloga , le pr i pregledu datoteke moramo up ošt evati le ti st a števil a , ki niso večja od ~ . Ker že vemo, da med njimi na dat ot eki manjka natanko eno , iz vsote prisotnih zlahka določimo manjkajočega . ime datoteke } { vsota obeh manjkajočih št evil } { vsota vseh števil na dato teki } { vsota števil pod polovico s } { manjkajoči števili } Rešitve nalog Oglejmo si program: pr ogr am Manjkajocifitevili; { Med števili na izbrani datoteki poišče tisti, ki manjkata. } var ime: stri ng; f: f ile of longint; n: longint ; s: longint ; vsota: longint ; vsot ap: longint; a,b : longint; i,s2: longint ; begin write ('Na kateri datot eki se nahajajo stevila: ' ); readln(ime) ; assign(f,ime); reset(f); n := 2; vsota := O; {na datoteki manjkata n atanko dve števili } while not eof(f ) do { preštejemo števila in izračun amo vsoto} b eg i n read(f,i) ; n := n+ 1; vsota := vsota-l-i; en d ; s := (ll*(n +1) div 2)-vsota; s2 := s div 2; reset (f); vsot ap := O; wh ile n ot eof(f) do b egin read(f,i); i f i< =s2 then vsotap := vsot ap -l-i; end; a := (s2*(s2 +1) div 2)-vsotap; {izračunamo manjkajoči števi1i } b := s-aj writ e('Na datoteki ',ime ,' manjkata stevili ',a,' in ' ,b ,' .' ); read ln ; end . Ker je največja vrednost, ki jo v turbo pascalu lahko shranimo v spremenlj ivko tipa longint, enaka 23 1 - 1 = 2147483647, gornji program računa pravilno le za n :::::: 65535 . Seveda pa ga lahko popravimo tako, da namesto vsote prisotnih števil izračunamo raj e ostanek te vsote pri deljenju z 2n (računati moramo po modulu 2n, saj j e vsota obeh manj - kajočih števil lahko večja od n , ne more pa biti večja od 2n) . Že sam o ta ostanek nam enolično določa vsoto ob eh manjkajočih števil. Podobno storimo tudi pri seštevanju števil, ki so manjša od ~. Tako spremenjeni p rogram bo pravilno računal tudi za zelo velike vrednosti števila n . Se- veda pa taka sprememba zahteva še dodatno branj e datoteke , s katerim najprej preštejemo števila na datoteki in določimo n . Mariin Juvan Astronomija I KOZA ~ ff .VOl // ~SEVERfJICA / ~~/ KAPEL}. V .VOl- ~-----.. Slika 1. Tako le p o Velikem vozu izsledimo Kapelo - Kozo, najsve- t lej šo zv ezdo v ozvezdju Voz ni k - Auriga (lat .). Najboljš a vidlji vost tega ozvezdja pri nas je o d septem - bra do junija . Pr išla j e zim a . J esenske zvezde se polagoma poslavlj aj o od nas . Nado - mest ile ji h bodo zvezde zims kega neba. Med nji mi najbolj izstopa svetlo rumena Kap ela. Pri nas ji rečemo tudi Koza . P rav nič ni težko najti Koze na večernem zimskem nebu , saj je po sij u peta naj svetl ej ša zvezda (slika 1) . Sredi zime jo v naš ih krajih lah ko opazujemo okoli zenita. Slika 2. Oz vezdje Voznik upodablja na ne bu izu- m itelja voza (kočije) . Slika j e iz m oj e knj ižice Veliki in Mali medved, narisalpa joje akademski ' slikar Matjaž Sclunidt. Koza je glavna ali vod ilna zvezda v ozvezdj u Voznik , ali po starem Kočijaž . Nebesni Voznik predstavlja po grškem bajeslovju Erihtonija, si- na boga ognja in kovašt va He- faj st a , Rodil se je s pohablj e- nim i nogami . Vzredila ga je bogi nja modrosti At ena, brez vednosti bogov na Olimpu . S polno let nostjo je postal kralj At en . Ker ni mog el hoditi , je izumil voz oziroma kočij o s šti- rimi konji . Vrhovni bog Zevs je bi l t ako navdu šen nad nje- gov im izumom, da je Erihto- nija za nagrado postavil na ne- bo , kjer bodo lahko umetnost njegove vožnj e občudovali t udi lj udje (slika 2) . Kapela je zvezda, ki so jo zelo proučevali . S posebnimi raziskavami , ki slonijo na in- terferen ci prihaj ajoče svetlobe z zvezd , so ugotovili , da je IAstronomija Slika 3 . Glavne zvezde zim skega n eba, zbrane v oz vezdj ih Bik, Or ion, Veliki pes , Mal i pes, Dvojčka in Voznik : cli Oriona - Betelgeza, cli Bika - Aldebaran , cli Voznika - Kapela , cli Velikega psa - Sirij, na j svetl ej ša zvez da neba, cli Dvojčkov - Kastor (daljnogledska d vojna zvezda) . dvojna zvezda . Ob e zvezdi Kapele pa st a tako zelo blizu sku paj, da bi mora li vzeti zelo močan daljnogled , da bi ju ločili . Ker Kap elo tako preprosto najdemo na nebu , predlagamo, da se pri- mern o oblečete in obuj ete in v j asni noči izsledi te in nato opazujet e to lepo zvezdo. Poskusite izsledit i in opazovati še ostale svet le zvezde zimskega neba, ki so zbrane v ozvezdj ih, kot jih prikazuje zad nja skiea. Od vsega neba je zimsko zvezdna nebo najlepše. Zato ne zamudite priložnost i za opazovanje te zimske lepot e. Marij an Prosen 140 Računaln ištvo - Zanimivosti - Razvedrilo SAJ NI RES, PA JE V Preseku smo že večkrat pisali o številu tt . Tokrat objavljamo program v programskem jeziku C, ki izpiše prvih 800 mest tega zan imivega števila . Sestavil ga je Dik T . W inter z inštituta CWI v Amsterdamu . Sprva nisva verje la, da tako kratek program lahko izračuna to liko mest števila 71" , ko pa sva ga preizk usila, sva bila prijetno presenečena. Kot lah ko vidite iz spodnje kode, ki nima niti 200 znakov, je Dik pr avi program er. int a=10000,b ,c=2800 ,d, e ,f[2801],g; main() { for( ;b-c;) f[b++]=a/5; for( ;d=O, g=c*2 ;c-=14 ,printf("% .4d",e+d/a),e=d%a) for(b=c;d+=f[b]*a ,f[b]=d%--g,d/=g--,--b ;d*=b ) ; } Pri prevajanju gornjega programa nekateri prevajalni ki izp išejo nekaj opo- zoril, vendar se na nj ih ne smemo ozirati . Dik je namreč v programu izpustil vse "nepotreb ne okraske" . Pri tem se je tudi potrudil, da je program kar se da kr atek , zato j e v njem upor abil kopico v C-ju dovo- ljenih okrajšav. Program predpostavlja, da spremenljivka tipa int hrani 32-bitna cela števila . Če uporabljate prevajalnik, kjer so običajna cela števila dolga 16 bitov (Bor land, ... ) , potem int zamenjajte z long. O po drobnostih uporablj enega algoritma pa bova raje molčala. Martin Juvan, Ma tjaž Zaveršnik SaSaNCE IN 22 ° HALO Na fotografiji na naslovn i strani Presekal vidimo ob zahaj ajočern soncu nad obmorsko pokrajino in lesket aj očim se morjem na cirusnih ob la- kih še del pojava halo , in sicer tako imenovano sosonce. Če pozorno pogledamo , opazimo ob notranjem robu sosonca tudi kratek, navpično se raztezajoč del kroga , imenovanega 22° halo. Oba pojava nastaneta zaradi lom a sončne svetlobe na leb deč ih ledenih kristalčkih, ki im ajo obliko pravilne šeststrane prizme . Ker se na sliki vid i sosonce, celo- tnega kroga 22° hala pa ni videti, to pomeni, da so krist al čki v cirusih 1 Za razlago posnetega n a r avn ega pojava smo poprosili Jožeta Rakovca, profesorja m e t eor ologij e na Faku lteti za matematiko in fiziko . Zanimivosti - Razvedrilo - R ešitve nalog 141 orientirani pretežno tako, da so njihove osnovne ploskve pr ibližno vodo- ravne. Tako pride do dvakratn ega lom a svet lobe skozi dve nesosednj i st ranski ploskvi pri zm e, kot kaže skica. Ker se lomni količniki ledu za raz li čne barve nekoliko razlikujejo, se svetloba t udi razklanja : notranj i rob sosonca je rdečkast, zu- L nanji, v rep razpotegnjeni, pa bolj rumen ozir om a ze- leno-moder . V eni od nasl ednjih št e- vilk Preseka pa kaj več o halu , ki ga lahko sestavlj a več krogo v , peg, lokov itd . Toliko, da so včas ih videli v njem znamenj e za bližajoče se hude dogodke, npr. voj- ne, lakoto, kugo, .. . . Jože Rako vec FUNKCIJSKA ENAČBA - Rešitev s str. 88 (a) Če v enačbo f (x+ma)+ f( x ) = Ovstavimo x + m a namesto x , dobimo f (x+ 2ma) + f( x +ma) = O. Zato je f( x+ 2m a) = - f( x +ma) = f( x ) za vsak x E IR. Torej je število 2ma perioda funk cije f. Podobn o ugotovimo, da je število 2na perioda funkcije f . Ker sta št evili m in n tuji, nista obe sodi . Zaradi simetrij e sm emo privzeti, da je m sodo in n liho št evilo. Tor ej je m = 2k in n = 21 + 1 za neki celi šte vili k in I. Potem imamo po eni st ra ni f( x + mna) = f( x + k(2na )) = f (x ) in po drugi f( x + mna) = f( x + m a + 1(2m a)) = f (x + ma) = - f (x ) za vsak o realno število x. Torej velja f( x ) = - f( x ) oziroma f (x) = O za vsak x E IR. (b) Če sta m in n različni lihi števili , potem je funkcija f( x) = sin(7rX / a ) primer iskane funkcije. R om an Drno všek Fizika I PAST ZA DELCE Ujemi ion , daj ga v past in pazi, da ti n e uide. 1 Ali bi lahko naelektr en delec - zara di preprostosti na začetku govorimo o pozit ivnem ionu - l očil i od vseh dru gih delcev in dosegli, da bi dalj časa ostal v določenem delu prostora? Ion bi hi tr o izgubili , če bi ga zap rli v posodo, ker bi zad el steno posode . Pomagamo si z dr ugimi naelekt renimi delci, ki ustvarij o električno in magnetn o polje . Polji izvaj ata silo na ion . Z električnim in magnetnim poljemje treba ion loči t i od okolice in zadržati v določenem delu pro st ora , da bi ga v miru opazovali. Napravo, ki nam to omogoči, imenujemo past . S pastmi so v zadnj em času naredili merj enja, ki so se zdela pr ej neizvedljiva. Past sestavlj aj o tri osno simetrične elektrode: obroč s hiperboličnim pr esekom in hiperb olični kapi ci (slika 1) . Obroč j e priklj učen na en , kapi ci pa na drug priključek izvir a enosme rne napetosti . Taka raz poreditev elek- trod ustvari kvadrupolno elek trično polje. Vsa naprava je v zelo močnem magnetnem polju v smeri osi in je nameščena v nepredušni posodi , iz kat ere so izsesali ostanke zraka. Slika 1. E lek t ro de past i us tva rij o kvadrupolno električno polje. To polje in m agnetno p olj e zadrži elek- trone v majhnem valj as t em pros- toru s p re mero m n ekaj d ese t m i- krom etrov in n ek oliko večjo viš ino. V močnem magnetnem polju elek- treni zar a di gib anj a pravo kotno n a smer p olja s t ako imenovanim sin- hro tronskim sevanj em v desetin i se ku nde izgubij o kineti čno ene rg i- j o , ki je naložena v hitro kroženje v ra vnini , pravoko tni n a smer mag- n etnega p olja. kaPica~ obroč z I _----w:::, I ' I r pot elektrona Delci iz okolice ne smejo moti ti delcev v pasti . Zato morajo ustva- riti dovolj dober vakuum. T lak znižaj o v skrajnem prime ru na okoli 7 . 10- 17 mbara, kar je okoli 1,4 · 1019-krat manj od navadnega zračnega tl aka. To je milijonkrat nižji tlak od najnižjega tl aka, ki ga je mogoče izme rit i z običajnimi merilniki. 1 P o amer iški p opevki "Catch a falling star and p u t it in your pocket, n ever le t it go a way." Fi zika Kljub zelo dobremu vakuumu delci v pasti niso popolnoma neodvisni od okolic e. Elektroni, ki ustvarijo električno polj e, se v elektrodah ne- urejeno giblj ejo sem in tja in se po naključju zdaj tu nakopičijo in t am razredčijo , zdaj tam nakopičijo in tu razredčijo . Te fluktuacije so tem iz- datnejše, čim večja j e povprečna kinetična energija elektronov, to rej čim višja je temperatura . Fluktuacije elekt ronov povzročajo fiuktuacije elek- tričnega polja, ki vplivajo na naelektreni delec. Tako delec v pasti sledi fiuktuacijam elektronov v elekt rodah in se neur ejeno giblj e sem in tja . Delcu lahko priredimo v povprečju kineti čno energijo, ki jo ima zaradi fiuktuacij in ki je sorazmerna s temperaturo. Navadno nam ne pride na mis el, da bi posameznemu delcu priredili temperaturo , a v tem primeru to na opi sani način lahko st orimo, le pozabiti ne smemo, za kaj gre. Past hladijo s kaplj evinskim helijem pri temperaturi malo nad 4 K, samo dobre 4 stopinje nad absolutno ničlo pri -273 o . Zato im a delec pri tej temperaturi okolice v povprečju samo 0,0005 eV kinetične energije. Izračunamo jo z enačbo za povprečno kinetično energijo ~kT , v kateri j e k = 1,38.10- 23 J/K Boltzmannova konstanta. Joule spremenimo v elekt ronvolte : 1 eV = 1,6 .10- 19 J. Zaradi zelo nizke temperature se molekule preostalega plina obesijo na st ene posode , t ako da za vakuum ni tr eba še posebej skrbeti . Pri navedenem tlaku in temperaturi je v kubičnem cent imet ru v povprečju 130 mol ekul. To izhaj a iz plinske enačbe za gostot o molekul n = p/k'I', Delec v pasti s svojim elektri čn im poljem vpliva na elektrone v elek- trodah in povzroča med elektrodama napetost, ki je odvisna od njegove lege. Zar adi tega nastane med obema kapicama napetost , ki jo ojačijo in neposredno opazujejo efekt ivno napetost na izhodu ojačevalnika. (Efek- tivno vrednost napetosti dobimo tako, da tr enutno vredn ost napetosti kvadriramo, izračunamo povprečj e in nato korenimo.) Na drugi strani lahko med kapici priključijo visokofrekvenčno izmenično nap etost in z njo vplivajo na gibanj e ujetega delca , s tem da delcu doved ejo energijo ali jo odvedejo od njega (slika 2) . Na pos eben način zmanjšajo povprečno kinetično energijo delca v pasti - ga "hladijo" . Med kapici priključijo napetost , ki niha z malo nižjo frekvenco od lastne frekvence delca . Energij o iz elekt romagnetneg a valovanj a absorbirajo pretežno delci , ki potuj ejo v nasprotni sm eri kot elektromagnetno valovanje in za katere je na račun Dopplerj evega pojava frekvenca povečana. Delci nato valovanje izsevajo v vseh mogočih smereh , zaradi česar se jim v povprečju zmanjša kinetična energij a . Pasti so razvili po stari Penningovi zamisli : Hans Georg Dehmelt z univerze v Seattlu v ZDA in Wolfgang Paul z univerze v Bonnu ter njuni učenci in sod elavci . Dehmelt in Paul sta svoj čas imela istega učitelja in sta Fi zika I Slika 2. E lektronski krog, s ka t erim p osredno opa zujej o gibanje n aelektrenega d elc a v p a sti . Z m erilnikom M m erij o efek t ivn i t ok , m ed t em ko izv ir G daj e izmenično gonilno n ap et os t z vi soko fr ekven co. Zasledujejo časovno odvi- snost efek t ivne n ap etos ti , k i ustreza efektiv - nemu t oku. To n ap etos t nanesejo v gr a fu v odvisnos t i od časa. G M si let a 1989 raz delila Nobelovo nagrad o. Paul j e raziskoval pa- st i, na katere je priključil iz- menično nap etost z rad ijsko frekvenco, Dehmelt pa je up o- rabil enosme rn o napetost in dod al m agnetno polje. V pa st uj amejo različne delce in izvaj aj o z njimi zelo natančna merj enj a v r azli čne namene. Naj prej omenimo merj enj a z elektronom . Elek- tron je v pasti vezan kot v or- j aškem ato mu, le da ga name- sto električnega poljaj edra ve- žeta električno polje elektrod in magnetno polje tulj ave. Tak "atom" imenuj ejo geonij , češ da je elektron, vezan na Zem- ljo. V marsičem j e geonij pre- prostejši od navadnih ato mov in omogoča merj enj a , ki jih z navadnimi atomi ni mogoče iz- vesti . Pri enem izmed posku- sov so elekt ron zadrževali v pa- sti deset mesecev. Doslej smo elektron opisovali , kot da bi šlo za naelekt reno točkasto te lo, katerega gib anj e obravnava Newtonova mehanika . Vendar je t reba vezani elekt ron ob ravnavati v okviru kvan tne mehanike, ki velja v svet u atomov. Naelektreni delci v pasti ne morejo im eti katere koli energij e, am- pak so lahko sa mo v st anjih z določeno energ ijo. Mogoči so preho di med stanj i, pri katerih vezani delec seva ali absorbi ra elekt romagnet no valova- nje. Z merjenjem frekvence tega seva nja je mogoče priti do pomemb nih pod atkov. Elekt ron se obnaša hkrati kot vr t avka in magnetnica. Vrtenja elektrona si sicer ne moremo predstavljati kot vrten ja kolesa , ker se naboj elektrona kaže do zelo majhnih raz dalj do 10- 18 m , kot točkast . Mogoče pa je količino , ki zadeva magnetne lastnosti elekt rona, povezati s količino , ki zadeva njegovo "vrt enje" . Z merjenj em frekvence elektro magnetneg a valovanj a pri pr ehodih med stanj i so določili to raz merje na enajst mest . Pod atek se v okvi ru nap ak pri merjenju in računanju ujem a s teoret ično napovedjo in je eden izmed najnatančnej e izmerjenih količin v fiziki . Fizika V pasti lahk o zadržujejo posamični ion težjega elementa in ga dražijo s curkom laserske svetlobe, da znova in znova absorbira in seva . Izsevano svetlobo je mogoče opazovati na primer v sm eri pravokotno na curek la- serske svet lobe . Tako so opazovali barij ev ion , ki j e seval modrozeleno svetlobo, ko so ga osvetlili z laserj em . Ion so poimenovali Astrid , češ da so bili z njim tako dolgo v stiku , da so dobili do njega oseben odnos. Dehmelt , ki si je ves čas želel delati poskus e s posamičnimi delci in ki so ga neka teri zato imeli za čudaka , j e zapisal : "Laserska svetloba je lahko povprašala en in isti atom: 'Ali si še tukaj? ' in zelenomodra fluorescenčna svet lob a je odgovarjala : 'Da, še sem tukaj .' " Delec v pasti zelo dolgo časa ne tr či z delcem iz okolice. Zato je mogoče v pasti zadrževati ant idelce. Antidelci so nekakšne slike delcev, po dobno kot je leva roka zrcalna slika desne. Antidelci im ajo enako maso in ne razpadejo, če ne razpadajo nj ihovi delci , a imajo naboj z nasprotnim znakom. Če antide lec t rči z delcem, se sprem eni v dr uge delce ali v sevanje, kar imenujemo anihilacija . V past i so trki tako redki, da je mogoče v njej zadrževati tudi antide lce po več mesecev . Tako so več mesecev držali v pa- st i pozitron, antidelec elektrona , in delali z njim pos kuse. Temu pozitronu so dali im e Priscilla. Zapisali so: "Tukaj prav zdaj v majhnem valjastem prostoru s pr em erom približno 30 11m in dolžino 60 11m v središču naše pasti biva pozitron Priscilla , ki j e v zadnj ih treh mesecih po ukazih ali sam od sebe nastopal zbaletom kvantnih skokov." Pozit ron ov ni težko dobiti , oddaja jih na primer umetni radio aktivni izot op natrija 22Na. Z nekoliko sprem enj eno pastjo so raziskovali antiprotone, antidelce protonov , vodikovih atomskih jeder (slika 3) . Past mora biti nekoliko drugačna , ker nastanejo antiprotoni z veliko energijo pr i reakcijah pro- tonov z veliko energijo s protoni v snovi. V nekakšnem majhnem pos- peševalniku , pravzaprav "pojemaIniku" , sicer zavr ejo antip rotone, a ima- jo ti kljub te mu preveliko energij o. Gruče antiprotonov gredo skozi st eno pasti in pri trkih izgubijo kinetično energijo, nekateri se anihilirajo . Zato je past oblikovana neko liko drugače . V njo spustijo gručo antiprotonov na strani , na kateri j e tisti trenut ek na zunanji elekt rodi pozitivna napetost . V pasti pa pripravijo množico elektronov z majhno energijo . Del antipro- tonov se ob trkih z njimi znebi presežne energije in obtiči v pasti . Potem ko gruča vstopi v past , takoj t udi na to zunanjo elektrodo priključijo znat- no negativno napetost . Antiprotoni niso antidelci elektronov in pri trkih ne pr ide do anihilacije . Upajo, da bo mogoče ob pospeševaln iku spraviti antiprotone v past in nato past odp eljati na mes to, kje r ne moti zunanj e magnetno polj e. Izde lali so tudi sup erprevodno t uljavo, ki se je odzvala na sprem emb e magnetnega polja ob posp eševalniku, tako da je ostal tok. . . po njej nespremenj en. 1. 2 cm J!J ~- lll ~- - L+J efekt ivna nap etost efekt ivna nap etost V~ ' frekvenca V , frekvenca Fizika I Slika 3 . E lektrode p asti za ant ip rot one imajo n ek olik o drugačno obliko. M ed sre d nj im obročem in zunanj ima elektrodama , ki us trezata ka pi cama , sta vmesni ele ktro di . Tudi tako razvrščene elektro de d aj o kvadrup olno električno polje. Obroč j e razde ljen na več odseko v, ki j ih up orabljajo pri m erj enju. Me d t ak odsek in vmesno elek trodo priključijo izmenično n apetost , ki j i sp re mi njajo frekvenco . Med d rug odsek in vmesno elek t rodo priključij o vhod ojačevalnika in na izhodu m erij o efek t ivn o n ap et ost . V od visno sti te n ap etosti od frekven ce izm eni čne n ape tosti se p oj avi vrh, ko p ride d o re son ance. Tedaj se fr ekven ca izmenične napetosti uj ema s fr ekven co hitrega kroženj a v~ v ra vnini , pravoko tn i n a m a gnetno polje d elc a (zgoraj) , a li s fr ekven co nihanj a v smeri magne t nega p olj a Vz (sp odaj ) . S t em natančno izrnerij o obe fr ekvenci in preko prve določijo m as o. V past i so zadrževali več tisoč ant ip rotonov več kot dva m eseca . P ri tem so tisočkrat natančnej e kot pr ej izm er ili m aso antiprotona . Ugot o- vili so , da se na sedem mest ujem a z m aso protona . Nadej ajo se, da bo na istem kr aju nekako usp elo shraniti dovolj ant ip rotonov in dovo lj po- zit ronov, da se bod o spo j ili v atome antivodika. Raziskovanj e teh naj bi natančno pokazalo , ali imajo antidelci glede na delce natančno opisane lastnosti in ne obstajajo m ajhni odm iki od teh. Ant ia to mo v ne bo lahko opazova t i . Načrt je sicer jasen : dobi ti dovolj pozit ron ov in antip rot onov pri zelo majhni hitrosti , da ujamejo drugi druge in se spojijo vant ia tome. Pri tem je treba opazovat i sevanje in ugotoviti , ali je pra v tako kot seva- nj e, ki nast an e pri zdu ževanj e elektronov in pro tonov v atome . Težava je v tem , da so ant iatomi brez nab oj a in jih ni mogoče zadržati v past i. P ast so up orabili tudi kot zelo natan čen m asni spektrometer, s kat e- rim m erijo m ase ion ov . Z relativno natančnostj o 4 . 10-1 0 so , na prime r, določili razliko mas ionov CO+ in Nt . J an ez St rnad I Novice POROČILO S 36. MEDNARODNE MATEMATIČNE OLIMPIADE Po napornem popoldnevu (trije obroki hrane, dva filma in en prelet Atlan- tika) nam je do zasluženega počitka manjkal le še prevoz do univer- zitetnega centra York v Torontu v Kanadi . Nepolna dva tedna smo v njem prebivali udeleženci letošnje matematične olimpiade; med njimi tudi Jernej BARBIČ (Gimnazija Tolmin), Gorazd BRUMEN (Gimnazija Bežigrad, Ljubljana), Polona GREŠAK (Gimnazija in ESŠ , Trbovlje) , Ta- dej NOVAK (SŠ Rudolfa Maistra, Kamnik) in Mitja PIRC (Gimnazija in ESŠ, Brežice) ter Matjaž ŽELJKO kot vodja slovenske ekipe. Dneve do tekmovanja smo preživeli dinamično in v skladu z ameriš- kim hitrim načinom življenja (in prehranjevanja) . In prav Mc'Donalds nas je rešil zanesljive dehidracije, saj smo si za ogled živalskega vrta v Torontu izbrali enega najbolj vročih in sap arnih dni v zadnjih nekaj letih . Člani tekmovalne komisije (Slovenijo je zastopal Darjo FELDA) so poskrbeli, da sta dopoldneva 19. in 20. julija za 413 dijakov minila v globoki zbranosti ob šestih tekmovalnih nalogah . Naslednji dve nalogi sta bili srednje težki : 1. Določi vsa cela števila n > 3, za katera obstaja n točk Al, A 2 , . . . , An na ravnini in realna števila 7'1,7'2, , 7'n, da sta izpolnjena pogoja (i) nobene tri točke izmed Al, A 2 , ,An ne ležijo na isti premici in (ii) za vsako trojico i, i. k (1 :s i < j < k :s n) je ploščina trikotnika A;Aj Ak enaka 7'i + 7'j + 7'k· 2. Poišči največjo vrednost števila Xo, za katerega obstaja zaporedje pozitivnih realnih števil Xo, Xl, ... , X1995, ki zadošča pogojema (i) Xo = Xl995 in (ii) Xi -l + _ 2 _ = 2Xi + 1... za vsak i = 1,2, . . . ,1995 . Xt-l Xl Tudi v dneh do zaključne svečanosti nam vreme ni bilo preveč na- klonjeno. Pri ogledu Niagarskih slapov je lilo kot iz škafa, razgled s 553 metrov visokega stolpa (CN Tower v Torontu) pa so kazile meglice sopare . Za uspešno reševanje nalog so prejeli pohvale trije naši tekmovalci : Jernej BARBIČ, Gorazd BRUMEN in Polona GREŠAK . Mednarodna matematičnakaravana so bo leta 1996 preselila v Indijo, za kar je organizator vsem bodočim udeležencem že sedaj izrekel še posebej toplo dobrodošlico. Matjaž Željko Mat ematika I PREGRADIMO TRIKOTNIK, 2. del V pr vem delu članka, ki je izšel v prejšnji št evilki Pr eseka , smo našli na jkrajšo daljico, ki pregradi dani t rikotnik na dela s predpisanima plo- ščinama . Zdaj se bomo lotili splošnejše naloge, poiskali bomo najkraj šo krivuljo, ki pr egradi dani trikotnik na dva dela s predpisanima ploščinama. Ta nal oga je precej težja od prejš nje. Če bi jo hoteli obravnavati z vso matematično str ogostjo, bi že na sa mem začetku naleteli na težave. Mo- rali bi namreč korektno opredelit i pojme, kot so ploščin a rav ninskega lika, krivulja in dolžina krivulj e. Ker to ni preprosto in presega okvir Pr eseka, si bomo delo olaj šali . Z definicijo plo š čine si ne bomo belili glave, pa tudi pojma krivulja ne bomo natančno opredelili. Krivuljo si bomo predsta- vljali kot zelo tanko nerazteglji vo nepr etr gan o nitko z dvema koncerna , položeno na ravnino, tako da se pokrivata kvečj emu njena konca. Če to nitko (kr ivuljo) napnemo in s tem zrav na mo , dobimo daljico, katere dolžino ra zglas imo za dolžino kri vulje. Postavlj eno nalogo bomo ugn ali v nekaj korakih in si pom agali z naslednjim , zelo pomembnim rezultatom . Izoperimetrični izrek. Krog ima večjo ploščino kot vsi drugi rav- nin skimi liki z enakim obsegom . Tu si pr edstavljamo, da je ravninski lik območje ravnine, ogr aj eno s sklenjeno krivuljo , obseg lika pa dolžina te krivulje. Obstaja nekaj elemen- tarn ih dokazov izoperimetričnega izreka (b rez uporab e višje matem atike) , vendar so pr ecej zapl eteni. Med nj imi naj omenim zelo lep dokaz ka- talonskega matematik a Santal6ja, ki je obdelan v Vid avovi knjiži ci Rešeni in nerešeni problemi matematike iz zbirke Sigm a . In zdaj k nalogi! Krivulja, ki razdeli trikotnik na dva dela , ima kraj iš či na strani cah trikotnika, torej povezuje točki krakov enega od no- t ranj ih kotov t rikotnika . Zato se bomo najprej lot ili nasl ednje nal oge: Poišči najkrajša krivuljo, ki veže točki na kr akih danega konveksnega kota in odreže od tega kot a lik z dano ploščino. Tudi ta naloga ni preprosta in ji bomo kos postopom a. Najprej bomo pred p isali d ol žino kri vulj e in njeni kra j i š či n a k raku ko t a ter dokaz a li nas lednj i rezul tat : Trditev 1. Dan j e konveksen kot z vrhom A in od A različni točki X in Y na nj egovih kr akih . Med vsemi krivuljami dane dolžine 1> IXYI, ki vežejo X in Y , ogradi skupaj z daljicam a A X in AY lik z največjo ploščino krožni lok .cXY s krajiščema X in Y, ki leži na nasprotnem bregu premice X Y kot točka A . Mat ematika Dokaz. Vzemimo poljubno kr ivuljo Je dolžine 1, ki veže točki X in Y t er leži na nasprotnem bregu premice X Y kot A. Bralca vabimo, da premisli , zakaj sm emo pri doka zu brez škode privzeti zadnji pogoj. Zaznamujmo s K lik , ki ga ograjujeta kri vulja Je in dalj ici AX, AY , z L pa unij o trikotnika AXY in krožnega odseka, ki ga določa lok LXY (glej sliko 1). A A Slika l. x Če v likih K in L t rikot nik AXY nad omestimo s krožnim odsekom , ki ga določa lok , komplement aren loku L XY (na isti krožni ci) , dobimo lika K1 in L1 z enakima obsegoma (glej sliko 2). A A Slika 2. Lik L1 j e krog , zato ima po izoperimetričnem izreku vsaj to likšno ploščino kot K1 . Od tod že sledi , da ploščina lika K ne presega ploščine lika L in da imata enaki ploščini le takra t , kadar je Je = L XY. Dokaz trditve je sklenjen . Trditev 1 zlahka razširimo tudi na primer, da se kat era od točk X in Y (ali obe) ujema z A, vend ar podrobnosti prepustimo bralcu. V naslednjem koraku bomo sprostili točki X in Y iz trditve 1 in ju premikali po kraku kota. 150 Mat ematika I Trditev 2. Med vsem i kri vuljami dane dolžin e I > O, ki vežejo kaki točki X in Y s krakov danega konveksnega kota A z vrhom A , ograj uje sk upaj z daljicam a AX in AY, lik z največjo ploščino lok E krožni ce s središčem v točki A . Dokaz. Če za par točk X in Y z različnih krakov kota A velj a IX YI < < 1, mu priredimo krožni lok .cXy iz t rditve 1, če pa velja IX Y I :::: 1, mu priredimo dalj ico XY . Družino vseh teh lokov in dalji c zaznam uj mo z n. Pri vsakem strogo poziti vnem št evilu z ~ I si oglejmo po ddružino nz c n, sestavlje no iz t isti h lokov Cx v oziroma da lj ic XY (pri z :::: 1) iz n, ki ustrezaj o pogoju IXY I :::: z . Največj o pl oščino med trikot niki AXY (ki ustrezajo pogoj u IXYI :::: z) ima po posledici iz prvega dela članka (glej Presek 2, str . 86) ena kokraki t rikot nik z osnovn ico X Y . Ker so poleg te ga pri z < I krožni odseki, ki j ih določaj o loki .cXy iz nz , skladni, med vsem i loki Cxv iz nz , z < 1, (oziroma dalji cami iz ni ) sku paj z AX in AY ograj uje lik z naj večj o ploščino lok L x v (oziroma da lj ica XY) , ki ustr eza pogoju IAXI :::: IAY I. Ta.lok pri z < I (oziroma dalji ca pri z :::: 1) j e določen ( a) že s kraj iščem X na kraku kota A . Njegovo (njeno) drugo krajišče bo mo označili z X' , lok (oziro ma da ljico) pa z .cx (slika 3) . Premikaj mo točko X po kra- ku kota A od njegovega vrha A do točke B , v kateri se lok .cx zravn a v daljico C» . Bralec naj se za vajo prepriča , da velja ena- kost \ABI :::: I /( 2sin%) , kjer j e cl:' velikost kota A. Pri določenem položaju točke X me d A in B ima lik Lx , ograjen z .cx in dalj icama A X ter A X ', največjo ploščino . A X, X2 B Dokažimo najprej , da v te m Slika 3. (ekst rem nem) po ložaj u .cx leži v kotu A . Denimo, da lok .cx sega čez A. Potem seka kraka AX in AX' (v ist em zapo redj u) v točkah U #- X in U' #- X ' ter t ako razpade na tr i loke (glej sliko 4) . Lok s kraji š č ema X in Uprezrcalimo čez U na lok s krajiš č ama U in V , lok s krajiščema X ' in U' pa na lok s kraj i š čema U' in V' . Doblj eni zrcalni sliki nat o združi mo z lokom .cx nA v krivulj o M . Ta je sestavlj ena iz t reh krožnih lokov, ima dolžino I in skupaj z da lj icama AV ter AV' ograj uje lik z enako ploščino kot lok .cx. Po t rditvi 1 krožni lok .cv skupaj z dalji cam a AV in AV' ogra j uje lik z večjo p loščino , zato lok .cx v ekst rem nem položaju leži v kot u A. Dokažim o, da se Lx ujem a z lokom L , op redelje nim v besedilu t rditve, ki jo dokazujemo. ., Mat ematika A Slika 4. /,, I I 1 \ \ \ "-·- ..····u v Zazn amujmo z Z sečišče sime- t rale kota A z Lx (slika 5) . Pre- zrcalimo del loka (oziroma daljice) Lx s kr ajiščema X in Z preko pr e- mi ce AX in ga zdru žirno z njegovo zrcalnosliko v krivuljo N s kr aji š- čema Z in Z i. Krivulj a N povezuje točki Z in Zi s krakov kot a ZAZ', skladnega s kot om A , ima dol žino 1in skupaj z daljicama AZ ter AZ' ograj uje lik , ki ima enako ploščino kot Lx. A Zi Slika 5. Iz t rditve 1 in ekst rem nega položaja Lx sledi , daj e kri vulj a N kro žni lok. Središče S nosiln e krožnice teg a loka tedaj leži na prem ici AX. Ker tudi Lx leži na isti kro žnici, S leži tudi na premici AZ. Oboje hkrat i velja samo takrat , kadar se S ujema z A , zato se Lx ujema z lokom L. S tem je dokaz sklenj en. S trditvijo 2 bi lahko pomagali Did oni , mitološki feničanski kraljici in ustanovitelj ici Kartagine. Ob nakupu zem lje na libijski obali , kamor je s pristaši zbežala iz rodnega Tira , si j e Didona namreč zakuhala naslednji problem: Med vsemi krivuljami dane dolžine, ki vežejo kaki točki na dani premici, poišči tisto, ki skupaj s premico ograjuje lik z največjo ploščino . Did on a je bil a prebrisana in je kupila le toliko zem lje na obali , ko- likor j e more obseči volovska koža . Domačini so ji nasedli in za m ajhno 152 Mat em atika I B c Slika 6. vsoto prodali mn ogo več , kot so mislili prodati. Did on a je namreč vo- lovsko kožo razrezala na tanke jerm ene, j ih zvezala v trak (krivuljo) in z njim zajela precejšen del ozemlja ob ravni obali (premici), na kate- rem so zgr adili kartagin sko trdnj avo. Ker je hotela č imvečj i kos zemlje, se je znašla pred omenjenim problemom . Še zdaj pod oben sp lošnejši matematični probl em im enuj emo Didonina nal oga. Zdaj lahko brez težav rešimo nalogo, ki smo si jo zada li . Trditev 3. Najkrajša krivulja, ki od danega konveksnega kota veli- kosti o' z vrhom A odreže lik z dano ploščino p, je lok krožni ce s središčem v A. Polmer te kro žni ce m eri J 2p /0' , lok pa J 2pO' . Dokaz. Naj bo K kr ivulj a s krajiščema na krakih kota , ki odreže od kota lik s ploščino p . Če K ni krožni lok s središčem v A , obstaj a po trditvi 2 enako dolg kro žni lok L , ki odreže od kot a kro žni izsek s ploščino q > p . Pod obn ostn a pr eslikava s s rediščem v A in koeficientom raztega JPjq < 1 pr eslika L v kr aj ši kro žni lok , ki od kota odreže krožni izsek s ploščino p. Dokaz trdi tve je s tem sklenjen . Za rešitev prvotne nal oge bomo potrebovali še naslednj o neenakost . Lema. Za vsak o' > O velja sin o' < 0'. Dokaz . Ker je sin o' ::; 1, smemo brez škode za splošnost dokaza privzeti , da je o' ::; 1. Naj bo ABC enakokraki tr ikotnik s pod atki lABI = lACI = 1, o' = LBAC (slika 6) . Njegova ploš čina meri t sin o' in je seveda manj ša od ploščine krožnega izseka , Aki pripada tetivi BC v kro gu s središčem A . Ker plo š čina izseka meri tO',je res sin o' < 0'. Odgovor na prvotno nalogo zdaj strnimo v Izrek. Najkrajša kri vulja, ki razdeli dani trikotnik ABC na dela s ploščinama Pl in P2 (Pl ::; P2) , j e lok krožni ce s središčem v oglišču ob najmanjšem ko tu trikotnika, in m eri J 2P10', kj er j e o' velikost najmanjšega kota trikotnika A BC. Dokaz. Upora bimo običaj ne oznake za elemente trikotnika ABC in pr edp ostavimo, da velja o' ::; f3 in o' ::; ,. Po t rd itvi 3 meri dolžina iskan e krivulj e vsaj J 2P1 0'. Tako dolžino im a lok L krožni ce s sred iščem A , središčnim kotom o' in polmeram r = J 2pl/0' . Ko bomo ugotovili , da ta lok leži v t rikotniku ABC , bo dokaz izreka sklenjen . Mat ematika Ker iz pogoj ev in leme sledi 2 2Pl p(ABC ) bc sin Q' be r = - < = - - - <-Q' - Q' 2 Q' 2 ' bi iz neenakosti r 2 b dobili b2 < bc/2 in tedaj 2b < c, od tod pa zaradi a ::; b še a + b ::; 2b < c. Slednj e seveda ni res , zato je r ::; b. Podobno vidimo, da je r ::; c. Kad ar vsaj eden od kotov f3 in I ni oste r, iz neenakosti r ::; b in r ::; c sledi , da lok E leži v trikotniku ABC . Če pa sta kota f3 in I ost ra , m oramo dokazati neenakost r ::; Va, kjer j e Va dolžina višine na st ranico B C . Trikotniku ABC oč rt. ajmo krožni- co, z Al pa zaznamujmo nožišče njegove višine iz oglišča A (slika 7). Vzp orednici pr emi ce AA l skozi B in C naj sečeta krožni co v točkah Bl in Cl. Pot em leži A na krajšem loku očrtane krožnice s krajiščema Bl in Cl ' Ker je poleg tega po izreku o obo dnem kotu LB B l C = LB AC = Q' , velj a Va = IA A 11 2 IB B 11 = a ctg Q' . A Slika 7. Zaradi Q' ::; f3 in Q' ::; I velj a tudi Q' ::; i in te daj cos Q' 2 ~ . Od tod z up or abo leme sledi COS Q' a a V > a- -> -- > - a - sin Q' - 2 sin Q' 2Q' ' nato p(ABC) aVa 2:""":""_--'- = - < VQ' 2Q' a in zar adi r 2 ::; p(ABC)/Q' še r < Va . 154 Ma tematika - Novice I Sklen imo pr ispevek z nalogami. 1. Najmanj koliko mor a biti od dalj ena točka X od vr ha A kota A , da lok .cx iz tr ditve 2 leži v kot u A ? 2. Dan je ost er kot z vrhom A in od A različna točka X na njegovem kraku . Med vsem i kr ivulj ami dane dolžine , ki vežejo točko X s kako točko Y na drugem kraku kota , poi š či t isto, ki skupaj z dalj icama AX in AY ogradi lik z največjo p loščino . 3. Krivulj a K razdeli kvad rat s stranica dolžine 1 na dva dela , kat erih ploščini st a v razmerj u m : n . Dokaži, da pri pog oju 1r ~ 1 ::; ~ ::; 7f - 1 dolžin a K meri vsaj 1. 4. Dokaži , da je premer kroga najkraj ša krivulj a , ki razpolav lja njegovo ploščino . B or is Lavrič 26. MEDNARODNA FIZIKALNA OLIMPIADA Mednar odna fizikain a olimp iada je pot ekala od 5. do 12. j ulija 1995 v Canberri, Avstralija. To je bila pr va " zimska" fizikaina olimp iada, saj je v tem času na južni polobli zima . Na olimpiadi je sod elova lo 246 te kmovalcev iz 51 držav . Ob finančni podpori Mini strstva za šolstvo in špo rt se je t udi slovens ka ekipa ud eležila olimpiade v pop olni sestavi: pet tekmovalcev ter dva sprem ljevalca , člana mednarodne komi sij e. Za Slovenijo so na olimpiadi tekm ovali: Ma rtin KLANJ ŠEK , Gimnazija Bežigrad , Ljublj ana; J ure BABN IK , Srednja šola za elektro tehniko in računalniš tvo , Ljublj an a; Marko ŽNIDARIČ, II. gi- mn azija Marib or ; Andrej BARTOLIČ , Srednja šola Nova Gor ica ; Sašo PUKŠIČ , Srednj a tehniška šola Celj e. Spremlj evalca sva bila Jure Baj c (Fakulteta za matem atiko in fiziko, Oddelek za fiziko) in Ciril Dominko (Društvo m atem atik ov, fizikov in astronomov Slovenije). Ekipa je im ela konec maj a enotedenske pri prave na Fak ult et i za ma- tematiko in fiziko. Več pripr av ni bilo mogoče izvest i, ker zaradi matu re tekmovalci niso im eli časa . Tudi letos so tekmovalci naj pr ej mor ali v pet ih urah rešiti tri teo- retične nalog e in nat o po enodnevnem odmoru še v pet ih ur ah nar editi dva ekspe rime nta in napi sati poroč ili . Skupaj torej pet enakovrednih na- log. Tako kot že nekaj let so bili tudi letos bili naj bolj uspešni tekmovalci LR Kitajske. Vseh pet j e dobil o zlato medalj o, njihov tekmovalec Yu Haitao pa je bil absolutni zmagovalec olimpiad e. Novice - R ešitve nalog Tudi naša ekipa je dosegla lep uspeh. Najboljši je bil Martin KLA NJ - ŠEK, ki je dosegel 69 % točk od povprečja t reh najboljših tekmovalcev in dobil bronasto medaljo. Sašo PUKŠIČ pa je dosegel 51 % točk in prejel pohvalo. Naslednja, 27. Mednarodna fizikaIna olimpiada, bo od 30.6. do 7.7.1996 v glavn em mestu Norveške, Oslu . Ciril Dominko POCENITEV, P ODRAŽITEV - R eši tev s str. 85 Naj bo cena blaga na začetku enaka a , ods tot ek podražitve naj bo p in označimo x = Ro. Če up oštevam o dve podražitvi in poceni tev , dobimo enačbo : a(l + x )2(1 - x) = a . a je različen od ni č, zato enačbo delimo z njim in jo uredimo. Dobimo x 3 + x 2 - X = O. Ena od rešitev enačbe j e x = 0, ki ni up orabna, saj podražitev za nič odsto tkov ni podražit ev . Preostali dve sta X1, 2 = - 1± V5 2 Tudi xl = - 1; v'5 ni rešite v, saj je Xl < °in tudi to ne bi bila podražit ev . Preostane nam samo še X 2 = -1!v'5, kar je približno 0,618. 1 Odgovor se torej gla si : "Blago bi morali podražiti za 61,8 ods totka" . Če pa odgovarjamo na drugi del vprašanja, moramo z ačeti z enačbo a(l- x?(1 +x)=a, ki nam da rešitve Xl = 0, x 2 = l -l[ in X3 =~. Prva rešit ev očitno ni ustrezna in tudi druge ne moremo uporabit i , ker je X2 < °in bi dobili podražitev . Tako nam ostane samo X3. Ta rešitev je večja od 1, kar bi pom eni lo, da je tr eba blago poceniti za več kot 100 odstotkov , kar pa ni mogoče. · Torej take pocenitve ni. Vinko Horvat 1 Zanimivo pri tem rezultatu je, d a je iskana podra žitev enaka razmerju pri zlatem r ezu . Podjetnega bralca vabimo , da poišče zanj geometrijsko razlago (op . urednice) . Rešitve nalog I POIŠČI ŠTEVILO - Rešitev s str. 95 Označimo iskano število z n. Ker potreb ujemo za njegov zapis v dvojiškern sist em u sedem m est , velja neenačba: 64 = 26 ~ n < 27 = 128. V petiškern sistemu porabimo za zapis štiri mesta , torej j e 125 = 53 ~ n < 54 = 625. Od t u sledi 125 < n < 128. Ker j e n sod , j e n = 126. Poglejmo še oba zapisa: 126 = 111111 0(2) = 1001(5)' Iv an L isac ENA FINANČNA - Rešitev s str. 99 Med t rem i ponudbami bo rzne hiše želimo izbrat i t isto, ki je za nas naj - ugodn ejša . Za hip pozab im o na stroške upravlj anj a in ponovimo nekaj osnov . Recim o, da bo letni donos na naše premoženje znašal d odstotkov . Če leto začnemo z x denarnimi enot ami, potem bomo imeli pri takem donos u na kon cu let a x . D denarnih eno t , kj er j e D = 1+d. Naprim er , če j e d = 10%, potem končno vre dnost premoženja dobim o tako, da začetno vred nost po m nož imo z 1.1. Vključimo v račun še stroške upravljanja in delitev dobička te r si oglejmo posamezne mož nosti. V prvem primeru plačamo stroške up ravlj anj a na začetku . To upo- števamo tako, da količino vloženega denarja naj pr ej zm anjšamo za 2.4%. Začetna vrednost premoženja v upravljanj u je to rej x . 0.976 denarnih enot . Borzn a hiša nam t o vsoto čez let o poveča na (x · 0.976) . D . Na kon cu let a nam odtegne še 10% ustvarjenega dobička, to rej deset ino razlike x · 0.976· D - x . 0.976. Končna vrednost premoženja j e to rej 1 9D + 1 YI = z: >0.9 76 · D - 10 (x, 0.976 · D - x · 0.976) = x · 0.976 · -1-0- ' I R ešitve na log Druga različica nam ponuja plačilo st roškov up ravljanja na koncu obdobja. Ker se stroški upravljanj a nanašaj o na vredn ost prem oženj a na koncu obdobj a , nam po pl ačilu stroškov ostane (x . D) · 0.976 denarnih enot. To pa je ra vno to liko kot pri prejš njem prim eru . Končna vrednos t premože nj a ob izbiri druge različice j e torej (morda nekoliko pr esenetlj ivo) enaka kot pri pr vi izbiri: 9D + 1 Y2 = X . 0.976 . --- = Y1 . 10 Oglejmo si še zadnjo možnost . Ta je računsko nekoliko zahtevnejša. Naj bodo dl , d2 , . . . , d12 donosi, ki jih v posamez nih mesecih pri up ravlja- nju naš ega premož enja doseže borzna hiša. Označimo še Di = 1 + di , i = 1,2 , .. . , 12. Število Di j e torej faktor , s katerim mo ramo pomnožit i vrednost premoženj a na začetku i-t ega meseca, da dobimo njegovo vre- dnos t ob koncu meseca . Na začetku pr vega meseca imamo x denarnih enot . Do konca meseca ta znesek nar aste na x . D l denarn ih enot . Ob koncu meseca ga borzna hiša zmanjša za stroške up ravljanj a , tako da je začetna vrednost za drugi mesec enaka x . D l · 0.998 . Drugi mesec se zgodba ponovi. Vrednos t z začetka meseca moramo po- m nožiti z D 2 in na koncu še z 0.998. Tako imam o na začetku t retj ega mes eca (x · D l · 0.998) . D 2 · 0.998 = x . Dl . D 2 . 0.9982 denarn ih enot . Zgodba se ponavlja še naslednj ih deset mesecev. Ob koncu leta pred obračunom dobička je vrednost našega premoženja enaka x . Dl . D 2 . . . . . D 12 . 0.998 12 denarnih enot . Ker je celolet ni donos enak d, pripadajoči fak tor pa je D = 1 + d, velja D = Dl . D 2 . . . . . D 12 . Rešitve n alog - Na loge I Pripomnimo, da ta zveza velja t udi tedaj , koje donos v nekaterih mesecih negativ en (tedaj so pripadajoči faktorji Di manjši od 1) . Torej je vrednost premoženja pred obračunom dobička enaka kar x . D . 0.99812 . Če vklj učimo še delit ev dobi čka , je končna vredn ost premoženja ob izbiri tretje razl i čice plačila stroškov upravljanja enaka Y3 == X . 0.998 12 . 9D + 1 . 10 Izraču n ali smo že, da sta prva in druga možnost enakovredni, ugoto- viti pa mo ramo še , kako je s t retjo ponudbo. Ker je 0.998 12 == 0.97626 > 0.976 , je tudi Y3 > YI == Y2. Torej j e t retja pon udba naj ugodnejša. Res pa je, da so razlike med pos amez nimi ponudbami m ajhne. P ri začetnem vložk u x == 500000 SIT in letnem danasu d == 30% je razlika med prvima in tr etjo izb iro le slabih 167 SIT. Vend ar pa nekaj velja tudi zadovoljstvo, da smo vsaj tokrat izbr ali naj ugodnejšo možnost , mar ne? Martin Ju van NAJVEČJI ZORNI KOT p ločnik zid • Ta Izpred vhoda v svojo trgovino, ki je a met rov oddalj en od vogala t rga, opa- zuje t rgovec J aka sosednji zid. Ta postrani izhaj a iz vogala trga (glej skico) . J aka bi rad ugotovil , kam naj obesi b met rov širok reklamni na- pis, da bo izpred vhoda viden pod največjim možnim kotom. Pomagaj- te mu ! Posku site naj t i elementarno geometrijsko rešit ev! Če nalogi ne boste kos , poskusite z nekoliko lažjo. Jaka naj svoj napis naj prej obesi na zid , vi pa mu svet uj te , kako daleč od vogal a naj se postavi na pločniku pred svojo t rgovino, da bo v reklami užival pod največjim zornim kotom . M arij a Vencelj INove knj ige Strnad J.: FIZIKI, Založba Mihelač In N ešovič, Lju- bljana 1995 , 159 str. P ri založbi Mihelač in Nešovic je izšla knj iga J aneza St rnada z nas lo- vom Fiziki. V njej naj demo na 159 straneh strnjene zap ise o trinajstih znamenitih fizikih od Galileja, Newt ona in Einsteina, utemelj ite lje v fi- zike m akroskops kega sveta, do očetov kvantn e mehanike: P lancka, Bohra , de Broglia , Heisenberga in Schrcdingerja. Avtor je tej bleščeč i osmerici pr idružil še po rt rete pet ih znanih fizikov , ki so gradili na delu prejšnj ih : Saharova, Landau a , Feynmana, Lederman a in Hawkin ga. Knj iga je nast ala po nizu oddaj na tretj em programu Radia Lju- bljana v letih od 1993 do 1995. Zato ne vsebuj e slik , prav tako ni v njej niti ene enačbe . Vendar knj igi to ni v škodo, saj je na- menjena širšemu krogu br al- cev , ki bi j ih ustalj eni način I Ji\NEZSTRN/\D pisanja prav gotovo odvrnil od branja. Poleg tega so te- IZI meljne poteze pojavov in te- orij predstavljene t ako nazor- no, da risbe in enačbe kot v ra dijski igri kar same stopijo . pred bralca. Delo portretirancev je opisano z biog rafskega vidika . Zvemo , kaj vse je vplivalo na nji hovo delo , s pravo mero je opisan tudi njihov značaj. V knj igi j e zbranih veliko podat- kov , zato bo prišla prav uči­ teljem fizike na vseh stopnjah za popest ritev strokovnih raz- lag z zgodbami iz zgodovine fizike. Radi pa jo bodo vzeli v roke t udi nefiziki , ki bodo iz nje z bo lj domačega zor- nega kot a marsikaj zvedeli o osnovah klasi čne in modern e fizike. Andrej Likar 1160 Zanimivosti - Razvedrilo I KRIŽANKA "MATEMATIČNE KRIVULJE" ~ B - ) ' PLO~ČATA C ~ MEDENIČNA VERGILOV SRJ KOST. EP DI ~. ČREVNICA ~"r ~9 I - ~ I ~~ /~ '; 'G;yi""" ~ K" 01-"');; I //..J MATI POLJSKI STARO NOGO- ~;:r""" GR~K IH MATEMATIK EVROPSKO ,}'JlfJoBOGOV (~TEFAN) LJUDSTVO I ~ -z. T~~ PRODAJA- LECNA NAROD SESTAVNI 1 2MLSKEM VZRJ ELEMENT 1 TRGU T BRAZILSKi ~'&rg DENAR SRJEDSTVO- ZA GR. POTU- ~IVAN JE JOČI PEVEC PREBIVALCI IGRALKA ~~~f ~ ZORMAN MESTOV LUKANA znM NI SWJ U ~PANIJI K OBSE2NO ROČNI NEM. PESNIK(CLE VOZiČEK MNOAM. DREVESNI KU~ČI GORSTVO NDGSTROK SPREMINJABAI(BRANE) OBG{NO SLIKAR ČUČEK SPEČ T~~~~~E AVTOR ~~ MARKOJANEZ ČLOVEK NAČE~KEM BOKALIČ PSIHOLOG TEV ROSTOHAR SPLIT SILEN, HI~~~KA LETNI KIJE POSEK ''i!lt,:t'GOZDA SL SKLAD. PIANIST ZAB.GLASSE IZTOK POGDRELlČ I (MOJMIR) MLAKAR VEK DELAVECV GEOME- CEMEN- TRJJSKO TARNI TELO ~ESTEREC NEKO. ALB. MESTNO I VODITELJ NA SICILIJI DWIGHT EIS8'HD\Nffi \l\ ~ ~~c ~ /~IS---"' ~ 2LAHTNI PLIN I Zanimivosti - Razvedrilo ITO$KA I NJELS POo- STARA STO ...EJf~o ALEKSAN- + l' ~ZEM ~l~~) MŽr:fOZA ROŽEVlNA KVADRATNIH DAR V1CA JERNE lIETROV (1 lACI I· 2. Upora bimo st andardne oznake za elemente dan ega trikotnika ABC in pr edpost avimo, da velja a ::; b in a ::; c. Po izreku iz članka je najkraj ša da lj ica XY , ki razp olavlj a ploščino trikotnika , osnovnica enakokrakega trikotnika AXY . Za dolžino x krakov AX in AY velja ~X2 sin o' = p(AXY) = ~p(ABC) = ~bc sin o' in tedaj x = Jbc/2 . Od tod z upor ab o kosinu snega izreka za stranico X Y t rikot nika AXY dobimo enakost IXYI2 = x 2 + x 2 - 2x 2 cos o' = bc(l - cas 0'). Če iz formule a 2 = b2 + c2 - 2bccos o' izračunamo cas o' in dobljeni izraz vst avimo v prejšnj o enakost, dobimo po kratkem r ačunu Opi šimo konstrukcijo dolžine x (in s tem iskanih točk X in Y) , ki je skicira na na nasledn j i slik i. I R ešitve nalog Na po ltraku AC določimo toč­ ko D , tako da velj a lADI = c/ 2. Ker velja c < 2b (glej dokaz izreka v članku) , točka D leži na str ani ci AC. Skozi Dnačrtamo pravokot nico na AC, in točko , v kat eri ta seka pol- krožnico nad prem erom AC, zazna- muj emo z E . Po Evklidovem izreku za pravokot ni t rikot nik ACE velja IAEI 2 = lADI · lAC I = bc/2 , zato je x = IAEI . 3. Vzemimo poljubno točko X na st ranici AB in poljubno točko Y na st ranici AC t rikot nika ABC , zapi šim o x = IAX/, y = IAY I, z = IXYI in predpostavimo, da dalji ca XY razpolavlja plošči no p = p(A B C) tr i- kot nika ABC. Potem velj a p = xy sin a , iz dokaza t rd itve v članku pa dobimo t udi enakost Z2 = (x - y)2 + 2ptg~ . Od to d sledi, da je dolžin a z največja takrat , kad ar je absolut na vrednost lx - y I naj večja. Ker je pr odukt x y konst anten in velja O< x :::::: lABI te r 0 < y:::::: lACI , doseže izraz IX-Yi največjo vrednost , kad ar je x = lABI ali y = [ACI . V prvem primeru je z dolžina te ži š čnice iz oglišča B , v drug em pa dolžin a težiščn i ce iz oglišča C trikotnika AB C . Odgovor je zdaj na dlani . Najdaljša dalj ica , ki razpolavlj a ploščino tr ikot nika , je njegova naj daljša težiščnica . Boris La vri č KRIŽANKA "OČETJE FIZIKALNIH ENOT" Rešitev s str. 96 Vodoravno: Pascal , gad , Arnpere, Olaf , real , pasti nak, KN, satelit, Ahac, cirkas, Garbo , pouk , t lo , Ero , plus , koristn ik , Bol, Vezuv, Eho, topol , Mans ell , Milva, relief, batist , Watt , OM , Van , akt , raja, st rok , AH, igo, Ohm , Nolde, Kr u , Bru ce, Marn , Selca , komandir , Bell , Far aday. Marko Boka lič ali pa real,.. . } R ešitve nalog I NAJDALJŠA ČETA - Rešitev s str. 89 Naloga zahteva, da ses t avirno funkcijski podprog ram , ki v danem zapo- redju št evil poišče dol žino najdalj še čete . Vem o, da vsako zaporedj e raz - pade na nekaj disjunktnih čet . Meje med četami določajo pari zapo rednih eleme ntov, pri katerih j e prvi eleme nt st rogo večji od drugega. V pod pr ogr amu bomo s pomočjo indeksa i v zanki for od kon ca proti začetku t abele primerj ali vse par e sosednji h eleme ntov. V sp rem en- ljivki kon bomo ves čas vodili in deks zadnj ega eleme nta v trenu tni četi , v sprernenlj ivki maxD pa dolžino trenu tno najdaljše čete. Ko i -ti element ne pripada več t renutni četi, pr im erjamo dolžin o pravkar končane čete z do- slej najdaljšo in ustrezno ukrep amo . Ker j e parov elementov , ki določajo m eje med četami , za ena m anj , kot je čet , tabelo števil razširi mo z doda- tnim elementom na začetku , obi čajno mu rečemo stražar , ki zagotovi, da bomo v zanki up ošt evali t ud i dolžino prve čete . Ogl ejmo si rešit ev v pascalu . const maxN=lO O; type element= integer; tabela= ar r ay[Ooo maxN] of element ; function NajdaljsaCeta(var a: tabela; n: integer) : integer; V zaporedj u a[1J,...,a[nJ poišče dolžin o n ajd alj še čete . } var i: integer ; kon,maxD: integer; begin arO] := a[l ]+l; s tražar } kon := n; maxD:= 1; for i:=n-l downto O do if a[i]>a[i+ l ] then begin if kon-i> maxD then maxD kon-ii kon := i; end; NajdaljsaCeta := maxD; end; { Naj daljsaCeta } V zadnjih letih se tudi pri reševanju r ačunalniških nalog vse bolj uve- lj avlja programs ki jezik C. Prevajalniki za t a programski j ezik slovijo po izredno hitri prevedeni kodi. Oglej mo si še gornjo reši tev v tem pr ogram- skem jeziku . Rešitve nalog 165 I typede f int element; 1* al i pa f l oa t • . . . *1 1* V zaporedj u a [ l ] , ...• a [n] po išče dolž ino najdal j še čete . *1 int NajdaljsaCet a (element a []. int n) { i nt i; i nt kon = n ; i nt maxD = 1; a [O] = a[1]+l ; for ( i = n-l; i >= O; i-- ) if (a [ i ] > a [ i +l ]) { i f (kon-i > maxD ) maxD = kon-ij kon = i ; } ; r eturn maxD; Ker sta tako pascal kot C proceduraln a programska jezika , sta si rešit vi precej podobni . Ena od razlik med pascalom in C-jem je, da se v C-j u tabele vedno začno z indeksom O. Programski jezik C nam tudi omogoča, da podprogram kličemo z raz lično dolgimi tab elami . Tega v standa rd nem pascalu ne mo remo na rediti. To je ena bolj motečih po- manj kljivosti t ega jezika. Izognemo se ji lahko z uporab o dinamičnih sprem enlj ivk, v tu rbo pascalu pa tudi z uporabo "odprtih" polj . Težavo pa lahko uženemo tudi tako, da sestavimo obj ekt tabele, ki meje ind eksov nosi s seboj . Mart in Ju van V SAKDANJE FUNKCIJE - Rešitev s st r . 100 Funkcija (x)n j e zaokrožena vrednost števila x na n decimalk, če j e n pozitiven , oziroma na Ini celih mest , če n ni pozit iven . Približek (2) je skoraj vedno enak funkciji; raz likuje se od nje le takrat , kadar pri okraj šanj u izločimo le 5 na zadnjem mestu, ki ima pred seboj sod o št evko, npr .: (1,35h = 1, 4; (1,4500lh = 1, 5; toda (1, 45h = 1,4. Približek (2) , ki pet ko vedno zaokrož i navzgor , up orabljajo povsod v pra- ksi, npr . v bankah. Anton Cedilnik PRVA SLOVENSKA ASTRONOMSKA REVIJA VSAK MESEC NOVA. BARVNA ŠTEVILKA REVIJE ZA UUBITEUE ASTRONOMIJE, KI PRINAŠA NOVICE, VSE O SONCU, PLANETIH, ZEMUI, ZVEZDAH, GAlAKSIJAH, ASTROFIZIKI, KOZ OLOGIJI, ASTRONAVTIKI, ASTROFOTOGRAFIJI, ARHEOASTRONOMIJI... ZA AMATERJE MESEČNO SVEŽE EFEMERIDE IN ZVEZDNA KARTA. O TELESKOPIH, UPORABNIH PROGRAMIH... IN ŠE OSNOVE ZA ZAČETNIKE, RAZISKOVALNI KOTIČEK, TESTI, ZNANSTVENA FANTASTIKA. MALI OGLASI TER NAGRADNA IGRA! Revijo naročajte na naslov: Spika, Poštni predal 9 , 611 09 Ljubljana. Četrtletna naročnina 115% popusta) je 1070,00 SIT, polletna naročnina 120% popusta) je 2015,00 SIT, celoletna naročnina 125% popusta) je 3780,00 SIT. I Tekmovanja URNIK TEKMOVANJ V LETU 1996 področje šola t ekmovanje datum matematika osnov na šolsko 22. mar ec področno 20. april držav no 18. maj srednj a šolsko 22. marec izbirno 13. april dr žavn o 25. in 26. maj olimpiad a j ulij fizika osnovna šolsko do 15. marca področno 30. marec državno 11. maj srednj a področno 30. marec drž avno 20. april olimpiada 30. junij logika osnovn a ln šolsko september srednja izbirno oktober državno novemb er matematika osnovna ln državno 7. septemb er za razvedrilo srednj a računalništvo osnov na šolsko 22. marec področna 19. april državn o 11. maj srednj a državno 11. maj raziskovanje srednj a državno inovatorstvo N ekaj informacij o t ekmovanjih Matematika - osnovna šola Vsa tekmovanj a bodo pot ekala v skladu s Pravilnikom o tekmovanj u u čen cev osnovne šole v znanj u m atem atike za Vegova priznanja. Poj a- sn ila lahko dob it e pri g. Aleksandru POTOČNIKU , OŠ Božidarj a J akca , Nusdorferjeva 10, Ljublj an a , telefon (061)-443-074 ali (061)-442-900. Matematika - srednja šola Vsa tekmovanj a bod o potekala v skladu s Pravilnikom o tekmova- nju srednješolcev v znanj u m atem atike. Pojasnila daje g. Darj o FELDA , Fakult et a za elektrotehniko in računalništvo , Tržaška 25, Lj ub ljana, te l. (061)-17-68-233 ali (061)-17-68-234 . 168 Tekmovanja I Fizika - osnovna šola Vsa tekmovanja bodo potekala v skladu s Pravilnikom o tekmovanju učencev osnovno šole v znanju fizike za Stefanava priznanja. Izjemoma bosta v tem šolskem letu šolsko in področno tekmovanje bolj zgodaj , ker je prva sobota v aprilu velikonočna. V februarju bomo na šole poslali raz - pis tekmovanj. Dodatne informacije dobite pri ga. Jelisavi SAKELŠEK, OŠ Ketteja in Murna, Koširjeva 2, Ljubljana, tel. (061)-444-401 ali (061)-444-181. Fizika - srednja šola Razpis za tekmovanja bomo skupaj s prijavnicami poslali na šole do konca februarja. Informacije dobite pri g. Cirilu DOMINKU na Gimnaziji Bežigrad, Peričeva 4, Ljubljana, telefon (061)-321 -567 ali (061)-311-024 . Matematika za razvedrilo Vse informacije dobite v časopisih Logika & Razvedriina matematika in Ugankarski domenek. Logika Na državnem tekmovanju tekmujejo učenci, ki bodo v času tekmo- vanj na predmetni stopnji osnovne šole, učenci srednjih šol in študenti. Šole, ki bodo organizirale izbirno tekmovanje, se morajo prijaviti na raz- pis do 1. junija na ZOTKS, Komisija za logiko, Lepi pot 6, 61001 Lju- bljana. Druge informacije daje g. A. JUS na ZOTKS, tel. (061)-213-727, faks (061)-222-487 . Računalništvo - osnovna šola Razpisi za tekmovanje so že na šolah. Informacije dobite pri g. A. JUSU, ZOTKS - Svet za tehnično vzgojo mladine, Lepi pot 6, Ljubljana, tel. (061) -213-727, faks (061)-222-487. Računalništvo - srednja šola 1. Raziskovalne naloge Strokovna komisija bo pregledala naloge, ki bodo do 1. maja pri- spele na naslov Gibanje znanost mladini, Lepi pot 6, Ljubljana. Na osnovi dobljenih ocen bo določila tiste učence, ki bodo svoje naloge ustno zago- varjali . II . Tekmovanje iz znanja računalništva Mentorji naj pošljejo prijavo šole s poimenskim seznamom tekmoval- cev (ne več kot po 5 učencev za vsako od treh tekmovalnih skupin) do 10. aprila na Gibanje znanost mladini . Pri tem naj upoštevajo pravila, ki že vrsto let veljajo za to tekmovanje. F., = 250 N F , == 430 N Tekmovanja Potrditev prij av in natančni raz po red tek movanja bo do šole dobile teden dni pred te kmo vanje m . Šolam priporočamo, da izvedejo predtek- movanj a in tako izberejo najboljše predstavn ike. Učenci šol, ki se ne bodo prij avile na tekmovanj e kot orga nizacije, se lahk o sami prijav ijo na ist i naslov , prav t ako najkasneje do 10. ap rila . Informacije dobite pri ZOTKS - Komi sija za računalništvo , Lepi pot 6, Ljublj ana , tel (061)-213-727, faks (061)-22 2-48 7. Raziskovanje in inovatorstvo Razpise za srečanj e mladih razi skovalcev in inovatorjev Slovenije so srednje šole že dobil e, podrobnejše informacije pa dobi te pri g. B. SOTOŠ- KU , ZOTKS - Gibanj e znanost mladini , Lepi pot 6, Ljublj an a, p .p . 99, te l. (061)-213-727, faks (061)-222-48 7. Darjo Felda ALTIUS, CITIUS, FORTIUS Čas matematičnih te kmo vanj se približuje. Sred nješolcem, ki se želijo spopasti z različnimi t ekmovalni mi nalogami, j e namenje na knjiga Altius, Cii ius, Fortius, v ka teri lahk o po leg številnih na log s pod robno izdelan imi rešitvami naj dete tudi pregled pot rebnih teoretičnih znanj . Knjigo lahko kupite pri Komisiji za tisk DMFA S, Ljubljana , J a- dr anska 19. Matjaž Željko 15. PODROČNOTEKMOVANJE IZ FIZIKE ZA OSNOVNOŠOLCE - Rešitve s str. 114 7. razred 1.a) Ker je gibanje enakomerno , mor a biti vsota vseh zunanjih sil enaka O. Torej je sila J ank a nasprotn o enaka vsoti dina- mične komponente sile teže in sile tr enj a . FJ = 260 N. b) Tlak povzroča sila , ki j e pr a- vokotn a na podlago. p = FN/S = 21500 Pa . c) Ker je gibanje še vedno enakomerno, mora J ank o delovati s silo, ki je nasprotno enaka sili trenja (20 N) . 1 170 Tekmovanja I 2. Če težo ladji ce zan emarimo, je vzgon enak teži kamna. F vzg = F gk . Od tod sledi hI = mk/PvS = 2,5 mm. To je višina gladine vode glede na gladino vode, ko v posodi še ni bilo ladjice in kamna. Potopljeni kamen izpodrine toli ko vode, kot je njegova prost ornina . Višina gla- dine vode hi = Vk / S = 1 mm, razlika gladin je torej !:!..h = hI - hi = = 1,5 mm. 3. Tlak v levem krak u manom etr a , ki ga povzroča vodni st olpec višine h , j e enak t lak u v desnem kr aku manometra, ki ga povzroča živosrebrni st olpec višine ba- Iz enakosti t lakov sledi h = 68 cm . Torej je r = = h - li: = 48 cm . 4.a) Delo v pr vem primeru je večje od dela v drugem pr imeru. b) Al = FI . S = 7 N · 2 m = 14 J A 2 = F2 . S = 5 N . 2 m = 10 J 5. a) Pali ci bosta enako dolgi, ko bo l l Ql !:!..T -12Q2!:!..T = !:!..l . Sledi !:!..T = = 2400 C . b) Nj una dolžina je tedaj 1= II +!:!..l l = 1200 mm+5,5 mm = 1205,5 mm. 8 . r azred l . Svetloba gre od predmeta do zr- ~~~:~~e I~:;nj ~~~i~~~~ :~~d:n~~ ··········..·_ -_··.~·.· ·.· _--- ~--..J30cm od bojnemu kotu , je s slike raz- vidno , da mo ra bit i ogledalo vi- soko najmanj 90 cm . Ogledalo mora pritrditi tako, da bo spo- 150cm dnji rob ogledala 75 cm od tal. S slike naj bo razvi dn a tudi sm er svetlobe od predmet a do zrcala , kjer se odb ije v oko . 2. Potencialna energij a se je uteži zmanjšala za Fgh = 200 N · 20 m = = 4000 J. Za 1000 J se je povečala kinet i čna energija, torej je delo zavira lne sile 3000 J . Ker deluj e sila F na poti 20 m , je velikost te sile 150 N. 3. V navpični legi ima palica s kroglama samo Wp = Fg1b, + Fg2h2 = = 11,7 J. Ko se dotakne tal , pa ima samo kinetično energijo. Ker druga krogla opravi v ist em času t rikrat kraj šo pot , j e njena hitrost t udi trikrat manjša od hit rosti pr ve krogle. !:!..Wp = !:!..Wk in od tu izrazimo hitrost prve krogle VI = 4,7 m i s. ~ S C E S f) R I Tekmovanja 4.a) Ko skakalec počepne , se mu težišče zniža za hI . Njegova z ačetna hitrost je enaka O. P ri odrivu pr idobiva kineti čno energij o z delom mišic. Hitrost j e odv isna od počepa . Ker je pospešek a pri odrivanju kons tan ten , potem iz v = at in h I = at 2 / 2 sledi t = 2h d v = 0,25 s. b) Ko se odlepi od tal, ima m aksi malno kinetično energijo . Na račun te energije se dvigne težišče skakalca v prostem let u za h2 = v 2 / 2g = = 0,5 m . 5.a) Vezje nari šemo drugače in vi- dimo, da so vsi trij e uporniki vezani vzp oredno. Skozi vsa- kega izm ed t reh enakih upor- nikov teče to k 0,2 A. Vesna Harej , lelislava Sakelšek 30. OBČINSKO TEK MOVA NJE ZA SREBRNO V E G OVO PRIZNANJE - Rešitve s str. 117 6. razred Sklop A naloga Al A2 A3 A4 A5 A6 pr avi lni od govor Č C C Č D B Sklop B B l l. + 2 . l. + 3 . l. + 4 . l. - 16 3 in 17 + 163 - 180 - 3 Od števa li smo 2 3 4 5 - 60 ' 60 60 - 60 - . od št evila 3. B 2 Ker je 370 = 2 . 5 . 37, 148 = 2 · 2 . 37 in 222 = 2 . 3 . 37 , je D (148 , 222, 370) = 2 ·37 = 74. V enem šopku je torej 5 gerb er , 2 nageljna in 3 vejice zelenja. 5 ·210 + 2 . 100 + 3 . 80 = 1490 . Šop ek st an e 1490 SIT. B 3 <}.BAC = 180° - 90° - 25° = 65° . Ker je 1.DAC == 1.BAC, je 1.BAC = 65°, odtod pa <}.EAC = 32°30'. Ker je 1.ACE == 1.ACB, j e t udi 1.AC B = 25°, odtod pa dobimo 1.CE A = = 180° - (25° + 32°30') = 122°30'. Tekmovanja I 7. r a zred Sklop A naloga Al A2 A3 A4 A5 A6 pr avilni od govor B B Č A B Č Sklop B Bl Rešitev enačbe j e x = 2. B2 Ker je a !±a 2to·.+a !O = 10, j e al + a2 + ...+ a l O = 100. Največje št evi lo dobimo, če od 100 odšt ejemo vsoto prvih devet ih zaporednih naravnih števil: al O = 100 - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = = 100 - 45 = 55 , torej največj e št evilo ni večje od 55. B3 Ploščina 44 kvadratov s st ranico a je 44a 2 , ploščina 28 krogov s pol- merom r = !!. pa 77ra2 R azm erj e ha 2 - z:11 - 1 nam pove da je2 . 44a 2 - 44· 7 - 2 ' pokrita polovica pravokotnika . 8. razred Sklop A naloga Al A2 A3 A4 A5 A6 pravilni odgovor B C Č A D C Sklop B a Bl Iz enačbe ~ ::::~ = %+ 1 sledi a = b2 , pri čemer b -j; 1. B2 10°C = 50°F, 14°F - 10°C in Te = ~ .(Tp - 32). B3 Zaradi a = 3t in b = t, dobimo d~ =9t 2 + c2 in d~ = t 2 +c2 , zato je 13 : 5 = =(9t 2 + C2 ) : (t 2 + c 2 ) , od koder je c = 2t. Tedaj j e 22t 2 = 49,5 in t = 1, 5. Robovi kvadra me rijo a =4,5 cm, b =1, 5 cm in L-- -----.: '" C = 3 cm, prostornina pa V = 20,25 ern". Aleksander Pot o čn ik I Tekmovanja IZBIRNO TEKMOVANJE IZ MATEMATIKE - Rešitve s str. 121 Prvi letnik 1. Ker 313n, j e vsota št evk št evila 3n deljiva s 3. Vsota šte vk št evila n j e enaka vsoti števk števila 3n , zato je tudi n delji v s 3. Tod a potem je 3n deljiv z 9 in je t udi vsota njegovih števk deljiva z 9. Končno j e t udi vsota št evk števila n delj iva z 9 in je n deljiv z 9. 2. Iz računajmo x - y = (a + b)(e + d) - (a + e)(b+ d) =ae + ad + be + bd - ab - ad - be - cd = (a - d)(e - b) . Ker je a - d < Oin e - b > O, je x - y < O ozirom a x < y . Podobno iz z - y = (a + d)(b + e) - (a + e)(b + d) = (a - b)(e - d) sklepamo , da je z > y , in imamo oceno x < y < z . 3. Tr ikotnik B A S j e enakokrak. Ker je iVI A tet iva M N vzpo redna z AB , j e tudi t rikotnik RPS enakokr ak. Naj bo T nožišče višine na strani co R P v tri- kotniku RPS. Potem je l.RST = = 122°° = 60°, t rikot nik T SR je enak polovici enakos t rani čnega t rikot nika in l · ISTI - ITRI - -L . INPI-I NRI -ve Ja - VIJ - VIJ 2 - INPI-IMPI 17 . ITNI - IMNI -2.vIJ . :\-er pa je - - 2- - = IMPltI PNI , sledi r 2 = ISNj2 = N B = IST !2 + jT N I2 = ( I NPI ~.~P/) 2 + + (INPI+IMP/)2 _ INP!2+IMPI2+INPI·IMP I = 13 in dobi mo r = '13.4 - 3 V ~ ,) 4. Za št evi la žetonov , kij ih imajo igr alci , velj a , da daj o paro ma različne ostanke pri delj enju s 3: 19 = 3 · 6 + 1, 9 = 3 . 3 in 5 = 3 . 1 + 2. Po vsa kem met u kocke se dvem a igralcema št evilo žet onov zm anjša za 1, tr etj em u pa se poveča za 2, tako da za nova števila žeto nov pono vno velj a , da daj o paroma različne ost anke pri deljenju s 3, zato se ne more zgodit i , da bi na koncu dva ostala brez žetonov. Tekmovanja I Drugi letnik 1. Predpostavimo najprej, da je m 2: n . Tedaj lahko enakost iz nal oge zapišemo mn(mm-n + nn) = 1995. Ker je 1995 = 3 ·5·7 ·19, mora bit i n = 1 in enakost pr eide v obliko m(mm -l + 1) = 1995. Od tod pa že sklepamo, da noben m ni dober, saj j e na levi strani produkt sodega in lihega števila, na desni pa liho število . Naj bo torej m < n . Tokrat lahko zapišemo mm(1 + mn -mnn) = = 1995 in mora biti m = 1, zato enakost preide v 1 + nn = 1995 ozirom a n" = 1994. Naravnega števila, ki bi zadoščalo tej enakosti, pa ru . Ugotovili smo, da ne obstajata naravni števili m in n , da bi veljalo mm + (mn)n = 1995. 2. Naj bosta p in q rešitvi kvadratne enačbe . Po Vietovih formulah dobimo p + q = 4a in pq = 5a2 - 6a. Rešitvi p in q bosta najbolj oddaljeni med seboj takrat , ko bo (p - q)2 največji . Izraz (p - q? = (p + q)2 _ 4pq = 16a2 - 4(5a 2 - 6a) = - 4a2+ 24a = - 4(a- 3? + 36 bo največji, ko bo prvi člen enak O; torej ko je a = 3. 3. Če točke t vorijo nekonveksni štirikotnik, pade ena od točk v notra- njost ali na rob trikotnika, ki ga tvorijo druge tri . Potem temu tri- kotniku očrtamo krožnico in njen polmer mora očitno biti manjši od 1. Še lažje gre, če so vse točke na isti daljici (notranje točke prem era kroga s polmerom 1) . Naj sedaj točke tvorijo konv eksn i št irikotnik ABCD . Ker je (1:A + 1:C) + (1:B + 2 +~ < 2 + c2+ d2 - a b c2±d2 - +~ <===> 4 < c2±d2 . a2 ±b2 . Iz (a _ b)2 > O sledi a2±b2 > 2 in ab - cd ab - ab - d b c2 ±d2 ,2 J...d 2 n 2J... b2 po O no še cd 2: 2, za to je neenakost 4 :s~.~ izpolnj ena . Razpolovišče st ranice AE označimo z D in naj bo 4.ADC = 'P. c .~ A c/2 D c/2 B Uporabimo kosinusni izrek v t rikotnikih ADC in EC D: b2 = ( E.) 2 + t 2 - 2 . E. t cos 'P2 c 2 c , a2 = (~ ) 2 + t ~ - 2 . ~ t e COS(7T" - 'P). Tekmo vanja I Enačbi seštejemo, up ošt evamo cos( 7r - tp) = - cos tp in dobimo t ~ = = t (2(a2+b2) - c2 ) . Sledi4t~- c2 = 2(a2+b2 - c2 ) = 2·2ab cas, = = 4 ·ll cos v = 8S ctg-v . SinI' I I B Četrti letnik 4. Opazimo 1.DTA = 1.TCD + 1.TDC = 1.ADT + 1.T DC = 1.ADC in 1.BTC = 1.BAT + 1.T B A = 1.CBT + 1.TBA = 1.CBA. Ker je 1.DTA = 1.BTC, sta kota 1.AD C in D 1.CBA enaka. Torej ležit a točki B in D na kro žnicah , iz katerih vidimo da- ljico AC po d zornim kotom 1.DTA . Krožni ci imata zato enaka pol mera . 1. Denimo , da obstajata m in n , da je 3m + 3n + 1 = k 2 za neko naravno št evilo k. Torej je k liho število. Če enačbo preoblikujemo, dobimo 3m + 3n = (k - l)(k + 1). Ker je k liho število, st a k - 1 in k + 1 zap oredni sodi št evili , zato je desna st ran deljiva z S. Pokažimo, da je 3n = SZ + 3, če j e n liho, in 3n = SZ+ 1, če j e 11 sodo. Za 11 E {1, 2} trdi tev očitno velja . Pr edpost avimo, da trditev velja za vse n , m anjše ali enake 25. Poka žimo, da velja tudi za 25 + 1 in 2(5 + 1): 325+1 = 325 · 3 = (SZ + 1) . 3 = SZl + 3, 32(5+1) = 325 · 9 = (SI + 1) · 9 = S/2 + 1. Torej trditev velja za vsako naravn o št evilo 11. Če st a m in n lihi št evili , je 3m + 3n = st + 6; če sta sodi , j e 3m + + 3n = st + 2; če st a r azlične parnosti , pa 3m + 3n = St + 4. Torej v nobenem primeru leva stran ni deljiva z S. Tako smo pri šli do protislovj a , zato taki naravni števili m in n ne obstajata. 2. Naj prej je f (x · f (I) ) = xP. Iz f (l ) = f ( f(\ ) . f (I )) = (f (\ ))P sledi f (1) = 1. Tako imamo f (x) = z" , Potem pa zaradi 2 xq = f (1 . f(x )) = f(J( x )) = (xP)P= xP velja q = p2. 3. Naj bo p(x ) = anxn+ ...+ a1 x +aa , mE '!L ni čl a polinoma p(x ) in k naravn o število, ki ne deli nob enega izmed števil p(I ), p(2), . . . , p(k). Zap išimo m v obliki m = lk + i . Z, jE '!L , 0 < j ::; k in poračunajmo : Tekmovanja o = p(m) = p(lk + j) = an (l k + j r + . .. + al(lk + j) + aa = = k anIn + an j n + .. . + ka lIl + ad + aa = k . (- .. ) + p(j) . Takoj opazimo, da m ora bi ti p(j) deljivo s k , kar pa je očitno prot islovje . 4. Izp eljimo zvezo med po lmero ma sose dnji h včrtanih krogov. S slike razb erem o r l = (rl + r 2+ x) sin %in r 2 = xsin %. Iz teh enačb 1 - sin ~ izp elj emo r2 = rl . 2 . Pri cl' = i j e r2 = rl/3 . 1+ sin % Naj bo R polmer temu trikotniku včrtane kr ožni ce. Sku pn a ploščina krogov je potem 2 2 (1 1 1 ) 2 ( 3 1 ) 11 21rR + 3' 1rR -+- +-+ ... = 1rR 1+--- =-1rR . 9 92 93 9 1 - 1 8 9 Ker je ploščina enakostraničnega t rikotnika enaka 3R 2 v'3, j e iskano . k Ih razm erj e ena o f'i ' 24y 3 Matja ž Željko REŠITVE NALOG S PREDTEKMOVANJA IZ SREDNJEŠOLSKE FIZIKE - S str. 123 Skupina A 1. Čas t po tovanj a signala od vesoljske ladj e do Zem lj e in nazaj izraču­ namo iz enačbe : L + L + VI t = et => i = -.li- = 6730 s . Čas t' o d C - Vl t renutk a , ko ladj a pošlje sign al , do trenu tk a , KO trčita , i z računamo iz enačbe : d = vlt' + V2t' => i ' = _ +d = 6500 s. Ukaz ni prispel VI V 2 pravočasno , ker j e t > t' . 2. Ker j e koeficient lep enj a ki večj i od koeficienta trenja kt , j e vod oravna kompon en ta sile ceste na avto največj a , ko so kolesa ti k pr ed tem, da zdrsnejo . Navor na os kolesa j e takrat M = rl FI = 500 mN, pri čemer j e r l radij kolesa in FI = tmgkl = 1800 N vod oravn a kom pon enta sile 178 Tekmovanja I ceste . Iz razmerj a izračunamo povečanj e tl aka v zavorne m sistemu /}. p = 5 bar in po tem silo na zavorn i pedal F = /}.P1IT~ = 88 N, pri čemer j e T2 polmer valjastega bata pod zavorni m pedalom . 3. Največja sila, ki jo kost lahko še prenese, je Fn = E (2S) ~l = 8000 N, kjer sta E in S prožnostni modul oziroma presek kosti , ~l pa relativni skrček. Iz II . Newtonovega zakona F = ma = Fn - mg izračunamo pospešek človeka a = 120 m/s2 pri ugr ezanju . Iz posp eška a in globine ugreza d izrazimo hitr ost na začetku ugrezanj a , ki pa je po dru gi st rani končna hi tr ost prostega pad a z iskane višine h. Torej ad V2ad = v2fih => h = - = 61 cm . g 4. Sile so narisan e na sliki , pri čemer v splošnem lahko sila FI kaže kamor- koli v notranjost kozarca . Iz podob- nih t rikotnikov izračunamo dolžino 12 = 1/V2 dela žice, ki je v kozar cu in dolžino Il = 12/(2V2) potoplje- nega dela žice. Ravnovesje navorov glede na os na sliki je pot em: Il v2 1v2 F12 + F - - = F - -v 2 2 g2 2 ' kjer je vzgon Fv = POgSIl in Fg = =mg teža žice. Končni izraz za silo F na rob kozarca je potem F = 8mg - pogSI . 16 os 1/2 Skupina B 1. Da ulovimo v posodo vso vodo , mor a biti dolžina pali ce enaka dometu curka, vrteti se mora z enako frekvenco kot top , vendar zamaknjena za določen kot . Dolžina palice je potemtakem 1= (v6sin 2r.p )/ g = 5,1 m . Pal ica zaostaja za to pom za kot o:' =wt = 21rl/t = 1,67 rad = 95°, pri čemer je 1/ frekv enca vrtenj a topa in t = (2vo sin r.p)/g = 0,53 s čas potovanj a vod e od ustj a top a do posode. 2. V začetku j e drugo vedro v višini h2 = 2h - 1 = 5 m , kjer je h višina škr ipca in 1 dolžina vrvi . Ko druga krogIa pade z višine h2 Tekmovanja nad tl emi v vedr o, ima hitrost v2 = J2g(h l - h2) = 6,3 mis . Pride do neprožnega t rka . Iz izreka o ohr anitvi gib aln e količine dobimo hitrosti v obeh veder po t rku: m2v2 = (ml + m2) v ::::} v = v2/3 = = 2,1 mis , kjer je ml masa prve krogl e in m2 = ml/2 masa druge krogle. Iz izreka o oh rani tvi mehanske ener gije Hml + m2) v2 + +m2g6..h = mlg6..h izračunamo spr emembo višin e 6..h = 3v2/(2g) = = 68 cm . 3. V ravnini j e moč mot orj a P = (Fu + Ft) v = 13,5 kW, pri čemer je sil a trenja Ft = mqk, = 180 N in sila upora Fu = C v2 = 310 N. Opravlj eno delo za prevoženih 100 km je Pt /1] = 320 MJ, kjer je čas vožnj e t = 3600 s in 1] izkoristek motorja. Poraba goriva na 100 km vožnj e je v tem primeru 3 4 2 0 0 N? = 8,0 1. Na klan cu j e moč motorj a 1 P = (Fu + Ft + Fd)v = 25 kW , pri čemer j e dinamična komponenta teže Fd = mg sin \O = 410 N, sila tr enja F, = m q coe ipk, = 180 N, Fu j e enaka kot v ravnini. Povečanj e po rabe goriva je po tem za (25 kW - 13,5 kW)/13,5 kW = 85 %. 4. P remik zgornj e in spodnje plošče izračunamo iz izreka o ohra nit vi mehanske energije in iz ravnovesja sil v položaju, ko so vzm eti najbolj stisnj ene : ( ) 1 2 1 2 mg h + Xl = 2k1(Xl - X2) + 2 . -~} 2 X 2 kl(Xl - X2 ) = 2k2X2, pri čemer j e Xl premik zgornje plošče in X2 prem ik spodnj e plošče. Rešitvi sistem a enačb sta Xl = 10 cm, X2 = 2 cm. Skupina C 1. "Baterij a" električne j egulj e ima 140 vzporednih verig členov, v vsaki verigi pa je 5000 zaporedno vezanih členov. Gonilna napetost bate- rije je U = 5000 . 0,15 V = 750 V, notranji up or pa Rn = 5000 . · 0,25 S1/140 = 8,9 S1. Skozi vodo teče to k 1 = U/(Rn + R) = 0,93 A, kjer je R up or vode. Tok skozi posamezno celico je 1/140 = 6,6 mA. 2. Zaradi influ ence se na posameznem lističu nabere naboj e = [oE S = = [O ~S = 6,2.10- 10 As , kjer je S ploščina lističa, U nap etost na kondenzatorju in d razdalja med ploščama kondenzatorj a. Listi č se enakomern o pospešeno giblj e proti nasprotno nabiti plošči in hkrati prosto pada . Izračunamo čas t, ko listič doseže ploščo : d 2 eEt 2 ::::} t = Jmd2 = 34 ms 2m eU ' 180 Tekmovanja I kjer je m masa lističa. V tem času se listič spusti za višino t:lh = = ~gt2 = 5,7 mm. 3. Navor na valj je najenostavneje računati glede na os valja. Magne- tni navor je v ravnovesju enak navoru sile lepenja (ki je enaka di- namični komponenti teže). Velja: N hSB sin ip = mgr sin \O , S = = 2rl, pri čemer je N število ovojev tuljave, h tok, pri katerem je valj v ravnovesj u , B gostota magnetnega polja, r polmer valja, l dolžina valja, m masa valja in \o naklonski kot klanca. Iz enačbe izračunamo h = 2';YB = 2,5 A. Ko povečamo tok skozi tuljavo, se poveča magnetni navor in tuljava se zavrti navzgor po klancu za določen kot, da se magnetni navor izenači z navorom v prejšnjem pri - meru : Nh2rlBsin(3 = mgr sin \o oziroma 2hsin(3 = 2';YB sin \o = = h sin \O, kjer je (3 kot med magnetnim poljem in osjo tuljave. Iz prejšnjega sledi, da je sin (3 = ~ sin \o =} (3 = 14,5°. Tu ljava se zavrti za kot \o - (3 = 15,5° . 4 . Višini tekočine v prvem kondenzatorju (x) in drugem kondenzatorju (y) se spreminjata po enačbah: x ==13 km (r -x)2 1+ [ii;; , V m, kjer je ml masa manjše postaje, m2 masa večj e postaj e in r razdalja med postajama. Iz izreka o ohranitvi meh anske energije r;;mlm r;; m2 m 1 2---- - --- + - m v rl r - rl 2 x r - x kjer j e rl polmer manjše postaje, izračunamo hitrost v = 3,9 mis . 2. Zaradi opisane vožnje je smer navideznega težnega pospeška pravo- kotna na nagnj eno cesto . Pravo hitrost avtomobila dobimo iz zveze Fe ~ tgrp = - => V = V r gat g rp = 19,9 mis, mga kjer je Fe centripetalna sila, r po lmer krožne ceste, rp kot nagnjenosti cestišča, go = 9,81 m/s2 . Nav idezni težni pospešek je ga/cosrp < g, zato je nihaj ni čas nihala v vozečem avtu Jcos rp-krat manjši od ni- hajnega časa v mirujočem vozilu . Voznik zato našteje preveč niha- jev; določi torej prevelik čas in kot posledico tega manjšo hit rost v' = v.Jcos rp =19,7 mis . Razlika med hitrostma je torej v' - v = - 0,2 mis . 3. Druga kroglica mora biti negativno nabita, da bo vsota sil na os enaka nič . V ravnovesju je le21 E = 2mg + elE . Iz tega lahko izračunamo absolutno vrednost neznanega negativnega naboja le21 = = el +2mgd/U = 3,0 .10- 5 As . Ko zasukamo palico za kot rp , postane navor električnih sil različen od nič , navor teže pa je še vedno enak nič. Vsota navorov je 182 Tekmo vanja I Za majhne zasuke (sin

wb elaWčrna = wb elaWčrna < Wb ela 15 .0 Wčrna Wbela 16. 0 Wčrna Wb ela 17.0 Wčrna Wb ela 18.0 Wčrna Wb ela 19 .0 Wčrna Wb ela 20 .0 Wčrna Wbela d 15 ,0 16 ,0 17 ,0 18,0 19,0 20,0 mm Slika 5. Tabela in graf. Tekmovanja 4. Ali j e lahko v kakšnem primeru kineti čna energij a črne kroglice po t rku enaka kinet i čni energij i bele kroglice pred trkam? Od govor ute- meljite. Pom agajte si s poskusom : trk dveh kroglic v žlebu (premičn i tirnici) . 2. naloga: Upornik z uporom Ro = 100 n vežemo z žarn ico z neznanim up orom na nap et ostni vir vzpo redno, v drugi vezavi pa zap oredno. Koliko meri up or ža rn ice R , v zap oredni vezavi in koliko je njen up or R; v vzpo- redni vezav i? Na voljo je ampermeter (njegovega notranj ega upora ne up oštevam o). Skiciraj t e najprej vezja in vanj e vpišite simb ole količin , ki jih boste uporabili pri računih. ( Op omba: z napačno vezavo lahko pregari varovalka instrumenta , tedaj meritve ne boste mogli več nad aljevati .) Mojca Čepič NALOGE Z DRŽAVNEGA TEKMOVANJA IZ SREDNJEŠOLSKE FIZIKE Na loge je 6.5.1995 reševalo 126 najboljših te kmovalcev z regijskega te k- m ovanja , Skupina A 1. Po gladki podlagi drs ita vštric enaki kladi. Hitrost posam ezne klad e je 1,5 mis . Prva klada na svoj i poti naleti na vdolbino , ki jo v pr erezu kaže slika. Vodoravni del vdolbine, ki j e globo ka 5,0 cm, je dolg 100 cm . Pospešek telesa na klancu znaklonom 30° je 5,0 m/s2 . Katera klada po izstopu prve klade iz vdolbine prehiteva? Od govor ut em elji z računom! Kako bi morali spremeni t i dolžino vodoravn ega dela vdolbine, da bi bil izid drugačen? :::::;: :;: ::::::;:;:::, ~:~:~~:~;~~:~;~:J~,o cm -1: : : : : : : : : : :':': ': : : : : : : i- I 100 cm I I ( ) I 2. Homogeno pal ico z dolžino 100 cm in težo 200 N postavimo navpično na ravn o pod- lago in pripnem o z vrvjo, kot kaže slika. Kot cl' med vrvico in tlemi je 60° l koefici- ent lepenja med pa lico in podl ago pa 0,35. S silo F vlečemo palico v vod oravni sm eri na polovi ci višin e. Pri kolikšni najmanjši 188 Tekmovanja I sili F palica zdrsne? Kolikšna pa mora biti ta sila, če je prijemališče 75 cm nad tlemi? Utemelji! 3. V posodo z velikim presekom natočimo 20 cm živega srebra s spe- cifično težo 136 kN1m3 in nato še 30 cm vode s specifično težo 10 kN1m3 . V posodo damo dva enako velika kvadra, ki sta pove- zana z lahko, tanko, neraztegljivo vrvico z dolžino 15 cm. Vrvica povezuje središči osnovnih ploskev . Ploščina osnovne ploskve kva- dra je 400 cm", višina pa 10 cm . Specifična teža enega kvadra je 70 kN1m3 , drugega pa 4,5 kN1m3 . Koliko zgornjega kvadra gleda iz vode? S kolikšno silo je napeta vrvica? Skupina B 1. Po gladki podlagi drsita vštric enaki kladi. Obe kladi imata hitrost vo . Prva klada na svoji poti naleti na vdolbino, ki jo v prerezu kaže slika. Dolžina vodoravnega dela vdolbine, ki je globoka 10 cm, ni znana. Naklonski kot obeh klancev vdolbine je 15°. Kolikšna mora biti začetna hitrost klad, da bo po izstopu prve klade iz vdolbine ta pred drugo, ne glede na dolžino vodoravnega dela vdolbine? 2. Tovorni vlak z dolžino 100 m je naložen tako, da se njegova masa na dolžinsko enoto linearno veča od začetka proti koncu. Na začetku vlaka znaša masa na dolžinsko enoto 500 kg/rn. Vlak se začne gibati s konstantnim pospeškom 0,10 m/s2 , pri čemer mora lokomotiva vleči s silo 10 kN. a) Kolikšna je masa vlaka? b) Kolikšna je masa na dolžinsko enoto na koncu vlaka? c) Zadnja četrtina vlaka je pripeta k preostalemu dela vlaka z jeklenim drogom. Kakšen premer naj ima drog, da bi se pretrgal šele pri pospeških, večjih od 10 m/s2? Jeklena palica s premerom 1,0 cm se pretrga pri obremenitvi s silo 100 kN . 3. Kovinski lonec s toplotno kapaciteto 180 J IK je do višine 1,0 cm na- polnjen z vodo . Lonec je valjaste oblike, njegov notranji polmer je 10 cm, prav toliko višina. Na začetku imata voda in lonec 20°C. Na- pravimo dva poskusa. Najprej polagamo v vodo železne diske višine 1,0 cm in polmera 9,0 cm . Kateri disk po vrsti bo delno potopljen v vodo, če imajo diski temperaturo 20°C? Drugi poskus napravimo Tekmovanja z vročimi diski , segret imi na temperaturo 200°C. Kateri disk bo se- daj prv i pogledal iz vode, če ji h zelo počasi polagamo drugega vrh dr ugega v posodo? Specifična toplota vode je 4,2 kJ /kgK , železa 450 J / kgK . Izparilna to plota vode je 2,3 MJ /kg . Gostota železa je 7,8 kg/ ], vode pa 1000 kg/m3 . 4. Na klanec z nakl onskim kotom 45° vržemo prožno žogico pod kotom 47° (2° glede na klanec). Največ kolikokrat se žogica odbij e, preden se začne vračati nazaj k nam? Skupina C 1. V posodo z živim srebrom z gostoto 13600 kg/ m3 in specifičnim upo- rom 9,6 . 10- 7 Drn , je potopljena 100 cm dolga cev kvadratnega pro- fila s stranico 5,0 mm , ki je proti vodoravnici nagnje na za 5,0° in ima prevo dni navpični ste ni (glej sliko) . Kolikšno napetost moramo priključiti na st eni, da bo v navpičnem magnetnem polju z gostoto 1,0 T živo srebro začelo izte kat i na zgornjem koncu? :Q\, ,, , , ., , '. . u 2. V poenostavljenem mo delu vod ikovega atoma elektron enakomern o krož i okoli dosti težjega pro tona . S predpostavke, da je vrtiina koli- čina atoma za osnov no stanje enaka h = h/27r (Bohrov postulat), kjer je h Planckova konstan ta , izračunaj radij ti ra elekt rona vod i- kovega atoma v osnovnem stanju. Izračunaj še vse možn e spre- membe ra dija, ko pravokotno na ravnino kroženja vklop imo magne- tno polje z magnetno po ljsko gostoto 100 T . P lanckova kons tanta je h = 6,63.10-34 Js , influenčna konstan ta pa co = 8,85.10- 12 As/Vm . Fizikalni poduk: Vrtiina količin a točkastega telesa, ki krož i po krogu z določenim radijem , je glede na središče kroženja enaka produktu med radijem in gibalno količino telesa. 3. Neskončno velika vodor avna plošča, nabit a s pov ršinsko gostoto na- boja -1 ,5.10- 5 As/m2 , ima luknj o s poimerom 5,0 cm . Kje je rav no- vesna lega prašnega delca z maso 1,0 mg in nabojem +3,2 · 1O-11 As, ki se lahko gib lje le po simetrijski osi luk nje? 190 Tekmovanja I Fizikalni poduk: Jakost električnega polja je na osi okrogle enako- merno nabite plošče zradijem r in nabojem e, v oddaljenosti z od središča plošče, enaka - - - - - - "fi :-1-,----,-- +.,---,+----,-+- +7'1§ Neznano hitrost protonov v curku bi radi omejili na ozek interval. Zaradi tega usmerimo curek skozi napravo, ki je prikazana na sliki. Curek vstopa pod pravim kotom v območje s homogenim magnetnim poljem gostote 0,10 T v točki V (na sliki šrafirano kvadratno ob- močje s stranico 20 cm), izstopa pa skozi ozko zaslonko širine 1,0 mm v električno polje ploščatega kon- denzatorja z jakostjo 1000 VIcm in dolžino plošč 20 cm, za katerim je zaslon . Kolikšna je širina cur- ka na zaslonu? Naboj protona je 1,6 .10- 19 As, masa pa 1,67 .10- 27 kg. 4. Skupina D 1. Ko ob poznih zimskih večerih žerjavica v peči že dogori, je ob ohla- janju kovinskih vrat moč slišati zaporedne poke, ki se pojavljajo v približno enakih časovnih presledkih. To dogajanje približno opišemo z naslednjim modelom (glej sliko). Palica z dolžino l in presekom S naj bo na obeh konceh vpeta, tako da nanjo delujeta na konceh veliki konstantni prečni sili F. Sprememba temperature na časovno enoto naj bo R, koeficienta lepenja in / ~1i~~r~{~~~;~H~iff~?~f navedenih količin izberi sam! 2. Zvezdi s temperaturama 1500 K in 10000 K, masama 1,0 . 1031 kg in 7,0.1029 kg ter radijema 2,0 . 109 m in 8,0 .107 m krožita okoli skupnega težišča. Razdalja med zvezdama je 9,0 . 1010 m . Zemlja se nahaja v ravnini, v kateri krožita zvezdi . Dogodek , ko se zvezdi prekrivata, imenujemo mrk. Gostoto svetlobnega toka s sistema zvezd Tekmovanja m erimo s teleskopom, ki ima prem ajhno ločljivost , da bi lahko zaznali posamezno zvezdo . a) Skiciraj gr af, kako je izm erjena gostota svetlobnega toka odvisna od časa . Na ski ci jasno označi tipične količine: ekstrem e, čase traj anja mrkov in čase zahajanja ene zvezde za drugo. b) Izračunaj: i) razmerja med največjimi in najmanj šimi izm erjenimi gostotami svet lobnega toka ; ii) čas tr aj anja zah od a manjše zvezde za večjo; iii) čase traj anja mrkov , Upoš te vaj , da je ena zvezda veliko manjša od druge zvezde in da sta velikosti obeh veliko m anj ši od razd alje med zvezdam a. Upoštevaj t udi , da je m asa ene zvezde veliko m anjša od mase druge zvezde . Zvezdi obravn avamo kot črni telesi . St efanova konstanta je a = = 5,67 . 10-8 W/m2K4 . 3. Na st opnico z višino h postavim o togo , lahko desko dolžine 1 tako, da je 3/4 gleda čez rob (glej sliko). Na en kon ec deske postavimo utež z maso m 2, na drugi kon ec deske pa z višine H spustimo utež z m aso ml. Ut eži sta kovinski . Če taka utež pade na primer na t la, se ust avi , venda r se na tl a ne prilepi . Dimenzije uteži so zan em arljive. Izračunaj največj e višine obeh uteži med pos kusom ! m l~ 11 Eksperimentalna naloga Raztopina so li prevaj a električni t ok . Upor takšneg a prevodnika j e, tako kot up or žice, odvisen od razdalje med priključkoma in od prečnega pr e- seka dela tekočine , ki tok prevaja. Odvisen pa je tudi od temperature, koncentracije in vrste soli . 1. Izmeri specifični upor raztopine pri sobni temperaturi . 2. Izmeri in nari ši odvisnost specifičnega up ora raztopine od te m pera- ture (v območju od 40°C do 60°C) ter določi temperaturni koeficient specifičnega up ora v tem temperaturnem območj u . Tekmo vanja I V poročilu v nekaj stavkih predst avi in skiciraj poskus, na kratk o opi ši , kako si meril , pr edstavi rezultat in ga komentiraj ter odgovori na vprašanj i. Vprašanji 1. Zakaj smo pri poskusu uporabili izmenično nap et ost ? 2. Kakšno je temperaturno spreminjanje upora kovine in kakšno upo ra pr evodne raztopine? Potrebščin e • plastična banjica ; • nap et ostni izvir ŠMI 03 (uporabi izmenično nap etost 5 V) ; • dve bakreni plošči ci s priključnimi žicami (na koncu banana) ; • tri žice z bananami; • pripravlj ena raztopina (sobna temp.) , v drugem delu vroča raztopina (cca 70°C) ; • digitalni unimer za merj enje izmen ičnega tok a - območje do 10 A, natančnost 0,01 A; • analogni unimer za merjenje izmeni čne napetosti z natančnostj o 0,1V; • š č ip alka, plastična ž l ič ka za mešanje, papirnata brisača , smirkov pa- pIr ; • te rmo mete r; • milimetrski papir , ravnilo . Ci ril Dominko, Ju re Bajc PRESEK list za mlade matematike, fizike , astronome in računalnikarje 23. letnik, šolsko leto 1995/96, številka 3, strani 129 - 192 UREDNIŠKI ODBOR: Vladimir Batagelj , Tanja Bečan (jezikovni pregled) , Dušica Boben (oblikovanje teksta) , Vilko Domajnko, Roman Drnovšek (novice), Darjo Felda (tekmovanja), Bojan Go lli , Marjan Hribar, Boštjan Jaklič ( tehnični urednik) , Martin Juvan (računalništvo), Sandi Klavžar, Boris Lavrič, Andrej Likar (fizika) , Matija Lokar, Bojan Magajna (glavni urednik), Franci Oblak, Pe te r Petek , Mar ijan Prosen (astronomija), Marjan Smerke (svetovalec za fotografijo) , Miha Štalec , Jana Vrabec (n ove knjige), Marij a Ven celj (matematika, odgovorna urednica) . Dop isi in naročnine: Društvo m atematikov, fizikov in as tro nomo v Slovenij e - Po- družnica Ljubljana - Komisija za tisk, Presek , Jadranska c. 19 , 61111 Lju bljana, p .p. 64 , t el. (06 1) 1232-460 , št . ŽR 50106-678-47233 . Naročnina za šols ko leto 1995/96 je za p osamezne naročnike 1.250 SIT, za skupinska naročila šol 1.000 SIT, p osamezna šte vilka 250 SIT, za tujino 25. 000 LIT , devizna nakazila SKB banka d .d . Ljubljana, val-27621-42961/9 , Ajdovščina 4, Ljubljana . List sofinancirata MZT in MŠŠ Ofset ti sk DELO - Tiskarna, Ljubljana Po mnenju MZT št . 41 5-52/92 z dne 5.2 .1992 štej e revija med proizvode iz 13 . točke t a rifn e št . 3 zakona o prometnem davku, za katere se plačuje 5% davek od prometa proizvodov. © 1996 Društvo matematikov , fizik ov in astronomov Slovenije - 1265 Slovens ka ekipa na 36. matematični olimpiadi v Toront u v Kanadi . Slovens ka fizikaIn a olimpijs ka ekipa na 26. olimpiadi v Canbe rr i v Avs t ralij i.