Ventil 1 / 2022 • Letnik 28 32 ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGONI 1 Uvod Konvencionalni hidravlični pogoni so pogosto uporabljeni predvsem tam, kjer je potrebno pre- mikati večja bremena ob čim manjših izmerah uporabljenih komponent. Izdelava krmiljenih po- gonov, kjer zahteve po natančnosti in hitrostih niso tako velike, je razširjena in dokaj dobro po- znana. Povsem drugače pa je pri pozicioniranju večjih mas, kjer ob višji natančnosti pozicionira- nja nastopajo tudi zahteve po boljšem dinamič- nem odzivu. Vse to zahteva uporabo boljših in dinamično zmogljivejših komponent, ki sestavlja- jo hidravlične servopogone. Uporaba dodatnih komponent, kot so elektrohidravlični servoventi- li, dodatni merilni vmesniki in ojačevalniki, sno- vanje sistema otežijo. Ta prispevek je namenjen prav razjasnitvi postopkov pri snovanju sistemov, predvsem pa pri iskanju primernih strategij vode- nja (projektiranje regulatorskih konceptov). Sodobna računalniška oprema omogoča reševa- nje matematičnih sistemov enačb, ki so osnova zapisa modela, s pomočjo katerega lahko pre- verimo delovanje realnega sistema z različnimi strategijami vodenja. Izdelava primernega mode- la temelji na fizikalnih osnovah, ki jih najdemo v različnih virih [1, 2, 3, 4] ter v prispevkih, ki dajejo napotke glede obravnavanja nekaterih nelinear- nih pojavov pri uporabi komponent [5, 6] ter ce- lotnih sistemov [7]. Obravnava podajalnih pogonov z namenom pozi- cioniranja mase predstavlja poseben izziv, saj se zahteva čim višja dinamika z mehkim potekom in brez prenihaja želene pozicije [8, 9]. Za računalniško simulacijo je uporabljen program- ski paket Matlab Simulink. Simulink je grafično okolje za interaktivno modeliranje, simulacijo in analizo dinamičnega sistema [10]. Z uporabo to- vrstnega programskega okolja je možno zgraditi kompleksen opis, ki vsebuje različne komponente – tako linearne kot nelinearne. Programsko okolje vsebuje tudi dodatna orodja, ki omogočajo po- globljene analize, optimizacijo pa tudi povezavo z realnimi sistemi. S pomočjo definicij spremen- ljivk v inicializacijskih postopkih (opis v posebnih podatkovnih datotekah) lahko omogočamo tudi simulacije iz različnih začetnih in robnih pogojev kakor tudi spreminjanje parametrov brez posega v blokovne sheme, ki jih ustvarimo z grafičnim pro- gramskim okoljem. Te ugodnosti nam omogočajo hitro in enostavno preverjanje in razvoj tako kom- ponent kot tudi konceptov vodenja (regulacijskih konceptov) [11]. 2 Matematični model Tipičen elektrohidravlični servosistem za pozici- oniranje je sestavljen iz hidravličnega agregata (hidravlična črpalka s konstantnim tlakom z raz- bremenilnim ventilom in akumulatorjem), servo- ventila za regulacijo pretoka (SV), hidravličnega cilindra, senzorja položaja in elektronske krmilne enote (slika 1). Doc. dr. Mitja Kastrevc, univ. dipl. inž., Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo Izvleček: Nelinearna narava elektrohidravličnih servopogonov je v praksi znana. Glavni razlogi za nelinearne ma- tematične opise dinamike sistemov so stisljivost tekočine, lekažni tokovi, sile trenja in nelinearni pretok tekočine skozi odprtine servoventilov. Za izdelavo računalniških simulacijskih modelov so potrebni natančni nelinearni matematični modeli, ki temeljijo na fizikalnih zakonitostih. Modeli se uporabljajo za podrobno analizo nelinearnega dinamičnega obnašanja in razvoj različnih strategij vodenja. Ključne besede: elektrohidravlični servopogoni, nelinearno matematično modeliranje, računalniška simulacija n elinearni model elektrohidravličnega Podajalnega servoPogona Mitja Kastrevc Ventil 1 / 2022 • Letnik 28 Pred projektiranjem krmilnika z zaprto zanko za elektrohidravlični servosistem so potrebni analiza dinamike sistema ter matematično modeliranje in računalniška simulacija dinamičnega obnašanja [2, 8, 9]. Celoten matematični model sistema temelji na fizikalnih zakonih, ki izražajo dinamično vedenje in so opisani z diferencialnimi enačbami. Vendar je ta naloga težavna zaradi multidisciplinarne narave elektrohidravličnega sistema, ki zahteva električno, magnetno, mehansko in hidravlično znanje. Med- tem pa nelinearnosti te vrste sistema, kot so neline- arne lastnosti tekočine, nelinearna dinamika servo- ventila in značilnosti pretoka, pa tudi nelinearnosti, povezane s hidravličnim aktuatorjem s pretvorbo hidravlične moči v mehansko, povečujejo komple- ksnost modela. 2.1 Dinamični model servoventila (SV) Dvostopenjski SV je sestavljen iz treh glavnih delov: električnega navornega motorja (torque motor), hidravličnega ojačevalnika in sklopa tuljave venti- la. Pri teh SV navor motorja upravlja električni tok, ki povzroči premik zaslonke iz njenega osrednjega položaja. Prva stopnja je tako imenovani sistem sa- pnica-zaslonka, ki omogoča gibanje tuljave s prila- gajanjem zaslonke z električnim signalom majhne moči. Druga stopnja povezuje majhne premike za- slonke ([μm]) v velik tok tekočine skozi odprtine. Tokovi v SV se nanašajo na dva dela: eden je vklju- čen v prvi stopnji, drugi pa v drugi stopnji. V prvi stopnji se zaslonka odkloni zaradi navora, ki ga ustvari navorni motor. Ta sila je posledica toka skozi dve tuljavi, pritrjeni na rotor, ki je povezan z zaslonko. Zaradi tega premika se spremenijo prečni prerezi odprtin, povezanih s sapnicama. Presek SV je prikazan na sliki 2. Dinamično obnašanje ventilov vključuje veliko število parametrov. Natančen analitični opis bi bil dolgotrajen in bi ga bilo zelo težko potrditi za po- drobnosti. Zato je koristno uporabiti informacije iz kataloga proizvajalca, ki zagotavljajo dobro znane odzive korakov in frekvenčne odzive za različne ve- likosti in vrste ventilov. Pregled korakov odzivov in frekvenčnih diagramov nakazuje približek SV z mo- delom drugega reda oblike [12]. ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) (1) pri čemer so: ω v – lastna frekvenca ventila, ξ v – koe- ficient dušenja, x v – premik tuljave ventila, f HS – upo- števa histerezo ventila in občutljivost odziva, k v – ojačitev pretoka ventila, u – vhodni krmilni signal ventila 2.2 Dinamični model hidravličnega cilindra Hidravlični aktuator (cilinder) pretvarja hidravlično moč v mehansko. Hidravlični cilinder je sestavljen predvsem iz votlega valjastega telesa in bata. Za dinamiko tlaka v komori je dobro znan izraz, ki ga predlaga [6] in ga je mogoče izraziti z uporabo na- čela obravnave vsake komore posamezno, kot sledi: ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) (2) ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) (3) ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGONI 33 Slika 1 : Shema elektrohidravličnega pozicionirnega servopogona, kjer so: 1 – hidravlični napajalni agregat, 2 – elektrohidravlični servoventil, 3 – hidravlični cilinder s skoznjo batnico in 4 – masa, ki jo pozicioniramo. Slika 2 : Presek dvostopenjskega servoventila Ventil 1 / 2022 • Letnik 28 34 Efektivni modul stisljivosti β je v bistvu odvisen od tlaka. Odvisnost opisuje več avtorjev [2], najpogo- stejša omemba zapisa za spremembo efektivnega modula stisljivosti je zapis po Leeju iz leta 1977: ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) (4) ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) (5) s parametri a 1 = 0,5, a 2 = 90, a 3 = 3, β max = 18000 [bar], p max = 280[bar]. Med gibanjem bata v cilindru se spreminjajo tudi volumni obeh komor. Prostornine komor cilindra so podane z: ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) (6) ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) (7) kjer so: x 0 začetni položaj bata, x p dejanski polo- žaj bata in V A0 , V B0 začetni prostornini komor, ki je sestavljena iz delovnega volumna (prostornina, po- trebna za polnjenje same komore) in mrtvega vo- lumna (volumen cevovodov med ventilom in aktu- atorjem) za stran A in B. Pri diferencialnem cilindru sta aktivni površini različni in sta definirani kot: A A = A p je površina bata brez batnice in A B = αA p površina bata z batnico, α = A B /A A pa je razmer- je med površinama z batnico in brez nje. Kadar je uporabljen cilinder s skoznjo batnico, je razmerje α = 1 (površini sta enaki). Q Li in Q Le označujeta lekažni tok. Puščanje iz ene komore cilindra v drugo, znano kot notranja lekaža, lahko predstavimo s: ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) (8) kjer je k L koeficient notranje lekaže. Zunanjo lekažo običajno zanemarimo, saj ta že s tehnološkega vidi- ka ni zaželena. Obširnejša pojasnila o lekaži najde- mo v literaturi [3, 4]. Dinamiko mehanskega dela opišemo z: ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) (9) kjer so: m t skupna masa, sila trenja F f in sila zunanje obremenitve F ext . Skupna masa m t je sestavljena iz mase bata in mase hidravlične tekočine v komorah cilindrov in cevovo- dih. Maso tekočine lahko zanemarimo, saj je masa batnice neprimerno večja. Pomemben del enačbe (9) predstavlja sila trenja. Trenje je kompleksen naravni pojav. Pojavi se na sti- ku dveh površin in tangencialne reakcije med njima. Trenje predstavlja motilno veličino zlasti pri pozici- oniranju in je pogost razlog za nenatančnosti pozi- cioniranja. Zapis sile trenja je podan v enačbi (10): ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) (10) kjer so σ vf parameter viskoznega trenja, F co sila su- hega trenja, F so Stribeckova sila trenja, c s Stribeck- ova hitrost. Sila trenja je odvisna od predznaka hitrosti in jo sestavljata viskozno trenje in Coloum- bovo trenje s Stribeckovim učinkom. Lastno frekvenco hidravličnega sistema izračuna- mo z upoštevanjem vseh komponent v sistemu. Iz- računamo jo z: ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) (11) Za izračun lastne frekvence hidravličnega cilindra je potrebno določiti togost hidravličnega cilindra. Ce- lotna togost diferencialnega valja je definirana z [12]: ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) (12) V primeru simetričnega cilindra (cilinder s skoznjo batnico, kjer so na obeh straneh enake površine) je A A enak A B . Za izračun zmogljivosti bo upoštevana le minimalna togost, saj ima najslabši učinek na di- namiko sistema. Sedaj lahko zapišemo sistem diferencialnih enačb, ki so osnova za izdelavo simulacijskega modela: ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) (13) ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGONI Ventil 1 / 2022 • Letnik 28 kjer so: x 1 pomik cilindra y, x 2 hitrost gibanja cilin- dra, x 3 tlak v komori A, x 4 tlak v komori B, x 5 pomik drsnika ventila in x 6 hitrost pomika drsnika ventila. Pri izdelavi modela je potrebno določiti tudi preto- ka olja v komori A in B s pomočjo enačb [5]: ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) ( ) 2 2 1 sgn v v v v HS v v vv x x x f x ku   + ++ = (1) Aeff A A p p Li LeA A p Q Ax Q Q V   = −+−  (2) Beff B B p p Li LeB B p Q Ax Q Q V   = + −−  (3) 1 max 2 3 max log A Aeff p a aa p   =+   (4) 1 max 2 3 max log B Beff p a aa p   =+   (5) ( ) 00 AA p p V V Ax x  =++  (6) ( ) 00 BB p p V V Ax x   = +−  (7) ( ) Li L B A Q kp p = − (8) ( ) ( ) t p f p A B p ext mx Fx p p A F  + = − − (9) ( ) ( ) () () () () p s x c f p v p c p s p vf p co p p so F x F x F x F x x F sgn x sgn x F e  − = + + =+ +  (10) H H C m  = (11) 22 Aeff A Beff B H AB AA C VV   = + (12) ( ) ( ) ( ) 2 12 2 34 2 2 2 ' 32 ' ' 42 ' 56 66 22 11 21 bx b p vf co so A A p li le A B B p li le B v xx F x x x A x F sign x sign x F e mm m x Q Ax Q Q V x Q Ax Q Q V xx k xx u        − =  = − − + +  −   = −+−   = −+ −  = = − −+ (13) 𝑄𝑄 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 3 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 3 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] 𝑄𝑄 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 ⋅ [ 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 ) ⋅ √ | 𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥 4 | − 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( − 𝑥𝑥 5 ) ⋅ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 ) ⋅ √ | 𝑥𝑥 4 − 𝑝𝑝 𝑇𝑇 | ] (14) kjer so: 2 d CC  = 10 ( ): 0 0 10 x sign x x x −→    = →=   →  – funkcija signum in ( ) 0 : 00 xx sg x x →  =  →  in p S napajalni tlak, p T tlak proti rezer- voarju in sta uporabljeni funkciji defi- nirani kot: 2 d CC  = 10 ( ): 0 0 10 x sign x x x −→    = →=   →  – funkcija signum in ( ) 0 : 00 xx sg x x →  =  →  2 d CC  = 10 ( ): 0 0 10 x sign x x x −→    = →=   →  – funkcija signum in ( ) 0 : 00 xx sg x x →  =  →  Pri zapisu modela za simulacijo pretoka v komori se izkaže vpliv pretoka skozi ventil. Pri dvostopenj- skih servoventilih ima običajno velik vpliv dinamika drsnika ventila v drugi stopnji (slika 2). Uporabimo lahko različne modele, ki obravnavajo obnašanje drsnika z upoštevanjem trenja. Izkaže se, da je za verodostojno obravnavo delovanja v dinamičnem modelu smiselno v matematični model vključiti omejitev hitrosti samega drsnika. Proizvajalci ser- voventilov podajajo frekvenčne karakteristike ven- tilov za različna obratovalna stanja (5 % odprtje, 40 ali 50 % odprtje in 100 % odprtje), iz katerih lahko določimo karakteristične vrednosti servoventilov. Pri najpogostejši obremenitvi določimo najvišjo možno hitrost drsnika in jo v modelu omejimo na 80 % maksimalne vrednosti. 2.3 Simulacijski model v Matlab-Simulinku Za izvedbo simulacije je uporabljen programski pa- ket Matlab. V sklopu tega obsežnega programske- ga paketa je več enot, ki omogočajo kompleksno obravnavo problemov, temelječih na matematičnih zapisih različnih oblik enačb. Simulink je namenjen grafičnemu programiranju s pomočjo povezovanja blokov z različnimi operacijami. V bistvu predsta- vlja sodobno digitalno obliko analognega računal- nika. Ker je programiranje grafično, bloke izbiramo v knjižnicah in jih grafično povezujemo v simulacij- sko shemo. Zaradi razširjenosti uporabe predvsem v komercialne namene knjižnice s funkcijami pokri- vajo širok spekter operacij, ki se v osnovi delijo na zvezne in diskretne. Ker pri nelinearnih modelih rešujemo predvsem sisteme diferencialnih enačb, je grafični način zelo enostavno uporabljati. Možnost poimenovanja in definiranja spremenljivk omogoča gradnjo mode- 35 (14) Slika 3 : Simulacjska shema sistema Slika 4 : Shema podprograma za izračun nelinearnega modela v Matlab-Simulinku ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGONI Ventil 1 / 2022 • Letnik 28 36 lov, ki so lahko široko uporabni. Pred pričetkom izvedbe simu- lacije je torej potrebno vnesti spremenljivke, ki jih uporabljamo v programu, kar lahko naredimo s preprostim vnosom spreme- ljivk s pridodanimi vrednostmi v obliki zapisa, ki ga poznamo iz klasične matematike. Sam paket vsebuje tudi urejevalnik tovr- stnih datotek, ki imajo sistemsko končnico ˝.m˝ Operacije oziroma funkcije, ki niso definirane v naboru, ki ga uporablja Simulink, izvedemo s pomočjo bloka subgram ali func- tion. Slika 3 prikazuje simulacijsko shemo, s katero se preverja de- lovanje matematičnega modela, vključenega v testiranje celotne- ga sistema. Samemu matema- tičnemu modelu so dodani še regulator in generatorji želenih vrednosti. Slika 4 prikazuje podprogram za izračun nelinearnega sistema. Za izračun spremembe volumna v komori A in B, ki je na shemi pri- kazan kot funkcijski blok, sta bila uporabljena izraza (6, 7). Prav tako je upoštevana sprememba efektivnega modula stisljivosti, podanega v enačbah (4, 5). 3 Rezultati simulacije Za potrebe preverjanja delovanja nelinearnega modela v program- skem paketu Matlab-Simulink je model uporabljen za simulacijo pozicioniranja v zaprtem regula- cijskem krogu. Za snovanje regu- latorja je bil izbran P-regulator, ki zadovoljuje pogoju monotonega približevanja končni poziciji brez prenihaja. Za primerjavo je bil iz- delan tudi lineariziran model sis- tema. V tabeli 1 so podane vre- dnosti, uporabljene v simulaciji, ki ustrezajo eksperimentalnemu sistemu, ki je uporabljen za verifi- kacijo simulacijskih rezultatov. Za izvedbo primerjave najprej poiščemo začetne parametre re- gulatorja ob pogoju, da sistem ne sme prekoračiti končne vredno- sti (brez prenihaja). Za določitev uporabimo kot vhodno referenco najbolj neugoden potek referen- ce v obliki skočnega signala (sto- pnica). Slika 5 prikazuje odziv na skočno spremembo z različnimi vrednostmi ojačanja P-regula- torja. Za razlikovanje primerjanih Tabela 1 : Glavni parametri EHS-sistema Par. Vrednost Par. Vrednost Par. Vrednost Par. Vrednost A p 6.4 10 -4 m 2 m 200 kg F ext [N] p s 210 bar σ vf 70 Ns/m V t 131.85 10 -6 m 3 k L 3 10 -13 m 5 /Ns 850 kg/m 3 F CO 19.62 N β 1.5 10 9 Pa C d 0.63 k v 5.53 10 -7 m 2 /V Slika 5 : Odziv na skočno vhodno spremembo Slika 6 : Primerjava rezultatov simulacije z eksperimentalnim rezultatom ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGONI Ventil 1 / 2022 • Letnik 28 izbranih linij so vrednosti refe- rence, lineariziranega in nelinear- nega odziva modela pri enakem ojačanju P-regulatorja odebelje- ne. Na sliki 5 so odebeljeno narisani poteki vrednosti pomika giba- joče se mase, ki jih medsebojno primerjamo (referenca: K = 2,3 nelinearni model, K = 2,3 lin line- arizirani model). Vidna je razlika med lineariziranim modelom in nelinearnim modelom (oba upo- rabljata P-regulator s K = 2,3), ki je predvsem posledica nelinear- nosti, ki jih predlagani nelinearni model upošteva. Izbor referenč- ne veličine skoka je bil izbran gle- de na najverjetnejše referenčne vrednosti pri realnih pogojih. Verifikacijo matematičnega mo- dela preverimo z eksperimental- nim rezultatom. Za primerjavo in verifikacijo nelinearnega modela je bilo izbrano ojačanje Kp = 2,3, ki je bilo uporabljeno tudi na pre- izkuševališču s skupno gibajočo se maso 200 kg. Slika 6 prikazuje rezultat poti gibajoče se mase pri uporabi trapezne oblike želene vrednosti. S slike je razvidno, da se predla- gani matematični model sklada z eksperimentalnim rezultatom, dobljenim na preizkuševališču. Pri sami verifikaciji modela je po- membno, da eksperiment odraža verjetno dogajanje v praksi, torej z realnimi vrednostmi (predvsem realne velikosti premikajoče se mase). Razvoj matematičnih modelov, ki jih je možno uporabiti za različne primere uporabe, predstavlja do- datno orodje, ki ga inženir potre- buje pri reševanju tako enostav- nih kot zelo zahtevnih primerov. Pri razvijanju hidravličnih po- dajalnih pogonov je pogosto vprašanje pravilnosti izbire tako komponent kakor tudi strategij vodenja. V ta namen so prikazani modeli odlično orodje, ki omogo- čajo hitro preverjanje, dajejo pa tudi vpogled o primernosti izbo- ra kakor tudi napotke za potreb- ne spremembe. Slika 7 prikazuje 37 Slika 7 : Primerjava lineariziranega in nelinearnega modela pri lomljenem trapeznem odzivu Slika 8 : Primerjava lineariziranega in nelinearnega modela pri pravokotni referenci Slika 9 : Primerjava lineariziranega in nelinearnega modela pri sinusni referenci ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGONI Ventil 1 / 2022 • Letnik 28 38 tipičen potek pomika za hidravlični servopogon, kjer si sledita hitri gib (grobo približevanje želeni končni poziciji) in počasni gib, ki zagotavlja točno doseganje končne pozicije brez prenihaja (nižja hitrost). Nikakor pa ni nepomemben tudi povratni gib, ki mnogokrat predstavlja večjo težavo kot de- lovni gib (zmanjšanje obremenitve). Sliki 8 in 9 prikazujeta primerjavo pri pravokotni in sinusni obliki želene referenčne vrednosti. Tovrstni referenčni signali so pogosti pri uporabi hidravlič- nih servopogonov v testnih napravah za testiranje lastnosti materialov ali komponent in sklopov. 4 Zaključek Sodobni razvojni postopki zahtevajo kratek čas ra- zvoja posameznega izdelka, zato so vsa orodja in postopki, ki omogočajo časovni prihranek, še kako pomembni. Obstoječe tehnike, predvsem pa nagel razvoj računalniških tehnologij, omogočajo snova- nje novih, hitrejših oblik simulacij obnašanja realnih sistemov. Na trgu je sorazmerno velika izbira ko- mercialnih programov, ki omogočajo tako celostno obravnavo sistemov kakor tudi obravnavo specifič- nih pojavov. Kompleksnost samih modelov določa hitrost in zanesljivost simulacije, zato je preverjanje na realnih objektih (tudi modelih realnih objektov) izrednega pomena. Komercialni programi so pripra- vljeni tako, da pokrijejo čim širše področje uporabe, pogosto ponujajo tudi že izdelane matematične module za simulacijo posameznih (tudi hidravlič- nih) komponent. Zaradi svojega univerzalnega pri- stopa pa je posledica kompromisa tudi opustitev posameznih specifičnih nelinearnosti. Elektrohidravlični podajalni pogoni so zaradi svoje specifične uporabe še posebaj zanimivi tako iz raz- iskovalnega kot tudi uporabnega stališča. Obravna- va nelinearnosti, ki so značilne za te pogone, pa je včasih lahko tudi problematična. Zato so v prispevku predstavljeni pristopi in uporabljene nelinearnosti, ki vplivajo na realen potek obnašanja pozicionirne- ga sistema. Glede na izkušnje pri snovanju različnih vrst regulacijskih algoritmov in praktične izkušnje na eksperimentalnem modelu se izkažejo nekatere reši- tve za pomembnejše kot druge. V članku prikazani model predstavlja kompromis, ki ga avtor mora po- staviti pri iskanju optimalne rešitve, vendar pa se je potrebno zavedati posledic, ki iz tega izhajajo. Predlagani model predstavlja kompromis med funkcionalnostjo in natančnostjo. V bistvu pri si- mulacijah uporabimo matematični model, predsta- vljen s sistemom enačb, ki jih je možno reševati na različne načine. Uporaba že potrjenih komercialnih rešitev je zato dobrodošla, saj skrajša razvojni čas. Odločitev vsakega uporabnika pa je torej odvisna od poznavanja že obstoječih orodij in možnosti im- plementacije za reševanje matematičnega proble- ma, podanega z modelom. Pri snovanju in preizkušanju različnih načinov vo- denja zlasti pri servohidravličnih podajalnih pogo- nih se je izkazal predstavljeni model kot zelo upo- raben tako v fazi primerjanja posameznih strategij vodenja (vrst regulatorjev) kakor tudi ob iskanju optimalnih parametrov izbranih strategij (parame- ter tuning). Prav poseben pomen ima pri ročnem iskanju optimalnih parametrov, saj bistveno skrajša optimiranje na realnem sistemu. Za okolje simulacije izbranega sistema je bil upora- bljen programski paket Matlab z grafičnim orodjem Simulink, ki omogoča hitro in enostavno preverja- nje in določanje posameznih parametrov. Na trži- šču je več podobnih orodij, ki omogočajo izvedbe simulacij z opisanim matematičnim modelom (npr. Scilab). Literatura [1] Merritt, H. E., Hydraulic Control Systems. Wiley, NewYork (1967). [2] Jelali, M., Kroll, A., Hydraulic Servo-sys- tems:modelling, identification and control, Springer –Verlag, London, Berlin, Heidelberg (2003). [3] Lovrec, D., Uvod v hidravlično pogon- sko-krmilno tehniko, Univerzitetna založba Univerze v Mariboru (2018). [4] Lovrec, D., Tič, V., Hidravlika za mehatronike, Univerzitetna založba Univerze v Mariboru (2018). [5] Kovari, A. (2015), Effect of Leakage in Electro- hydraulic Servo Systems Based on Complex Nonlinear Mathematical Model and Experi- mental Results, Acta Polytechnica Hungarica, vol. 12, no. 3, p. 129–146. [6] Zulfatman, R., A. and M. F. Rahmat (2009), Modeling and controller design of electro-hy- draulic actuator. Proceeding of the 2nd Inter- national Conference on Control, Instrumenta- tion and Mechatronic Engineering, June 9-9, UTM Publisher, Malacca, Melaka, Malaysia, pp. 225–231. [7] Wang, Z., J. Shao, J. Lin and G. Han (2009), Research on controller design and simulation of electrohydraulic servo system. Proceed- ing of the International Conference on Me- chatronic and Automation, Aug. 9–12, IEEE Xplore Press, Changchun, pp. 380–338. DOI: 10.1109/ICMA.2009.5245095. [8] Detiček, E., Kastrevc, M., Design of Lyapunov Based Nonlinear Position Control of Electro- hydraulic Servo Systems. Journal of Mechan- ical Engineering. 62, 3(2016), pp. 163–170. [9] Kastrevc, M., Detiček, E., The nonlinear math- ematical model of electrohydraulic position servo system. Conference proceedings. 1st ed. Maribor: University of Maribor Press, 2017, pp. 163–173. ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGONI Ventil 1 / 2022 • Letnik 28 [10] Lopez, C. P. (2014), Matlab Control System Engineering, Apress Academic, Springer Ver- lag, London, Berlin, Heidelberg. [11] Bang, B., J. Draxler, and G. James (1990, Dy- namic Hydraulic System Simulation – An In- tegrated Approach, SAE Technical Paper 902003. [12] Wright, H., Alleyne, A., Liu, R. (1997), On the stability and performance of two-state hydraulic servo valves, Proceedings of the ASME Dynamic Systems and Control Divi- sion, vol. 63, p. 215–222. 39 A nonlinear model of positioning electrohydraulic servo drive Abstract: The highly nonlinear nature of the electrohydraulic servo system is well known. The main reasons for non- linear and non-differentiable mathematical descriptions of systems dynamics are fluid compressibility, leakage flows, friction forces, and nonlinear fluid flow through servo valve orifices. Accurate nonlinear mathematical models based on physical analysis are necessary for the construction of computer simulation models. These models are used for detailed analysis of nonlinear dynamic behavior and the development of different control strategies. Keywords: electrohydraulic servo system, nonlinear mathematical modeling, computer simulation Zahvala Predstavljeni rezultati so del raziskave načrtovanja nelinearnih načinov vodenja v sklopu raziskovalne- ga projekta J2-7631 Optimalno projektiranje oblike linijskih konstrukcij z nelinearnim odzivom. Avtor se zahvaljuje za vso nudeno pomoč pri izvedbi raziskave. ELEKTROHIDRAVLIČNI SERVOPOGONI Želite postati del enega največjih razvojnih centrov pri nas? Skupina Hisense, družba Gorenje, d.o.o. v kratkem odpira v Velenju nov razvojni center in k sodelovanju vabi nove sodelavce. Prijave: irena.permansek@gorenje.com Opis DM: • opravlja dela razvoja aparatov, komponent in sklopov aparatov ali razvoja produktnih tehnologij • sodeluje z ekipo sodelavcev na svojem strokovnem področju • sodeluje v interdisciplinarnih razvojnih ekipah • opravlja strokovne analize in pri delu uporablja strokovne metodologije • samostojno opravlja vsa ostala dela iz delovnega področja, ki ustrezajo njegovi strokovni izobrazbi, znanju in sposobnostim ter so povezana z deli in opravili, navedenimi v opisu delovnega mesta Razvoj pralnih in sušilnih strojev VODILNI INŽENIR (m/ž) - strojništvo VODILNI INŽENIR (m/ž) - elektrotehnika Kandidatom nudimo: • dinamično projektno delo s poudarkom na inovativnosti • delo v prijetnem, mladem internacionalnem in ambicioznem kolektivu • zaposlitev za nedoločen čas s poskusno dobo 6 mesecev • možnost stalnega izobraževanja ter pridobivanja novih znanj in izkušenj ID 5916 ID 5917