α Nataša Podojsteršek Osnovna šola Mežica Σ Povzetek Predstavljeni sta dve matematični aktivnosti, ki jih lahko izve- demo pri izbirnem predmetu Matematična delavnica. Spadata v področje kombinatorike. Nakazane so možnosti razširitve aktivnosti in primeri izvedbe, za katere se lahko učitelj odlo- či glede na starost in sposobnost otrok v skupini, v kateri se aktivnosti izvajata. Tako ju lahko igrajo že v petem razredu, še najbolj pa je primerna za sedmošolce in osmošolce. Obe ak- tivnosti omogočata izkustveno učenje in razvijata divergentno razmišljanje, strategijo poskus–napaka, strategijo reševanja problemov, sposobnost zbiranja in urejanja podatkov, ki pelje- jo do induktivnega sklepa. Ključne besede: Matematična delavnica, Hanojski stolpi, Me n j a v a k r o gc e v Σ Abstract Featured are two mathematical activities that can be performed in the elective subject Mathematical Workshop. They belong in the field of combinatorics. Indicated are possibilities of extend- ing the activities and examples of implementation for which the teacher can decide according to the age and ability of children in the group in which the activities are carried out. The activities can be introduced as early as the fifth grade, but they are the most suitable for seventh- and eighth-graders. Both activities enable experiential learning, develop divergent thinking, enable Matematični aktivnosti pri izbirnem predmetu Matematična delavnica Mathematical activity in the elective subject of Mathematical Workshop Matematika v šoli ∞ XX. [2014] ∞ 39-45 40 a Uv od Izbirni predmet Matematična delavnica izvajam na naši šoli že od leta 2003. Name- njen je učencem različnih matematičnih sposobnosti. Zato vsebino in obliko dela prilagajam željam, interesom in sposobno- stim učencev, ki so vključeni v skupino. Zdi se mi pomembno, da so učenci dejavni in da znanje pridobivajo iz lastnih izkušenj in doživljanj. Zaradi tega so tudi metode dela bistveno drugačne kot pri rednem pouku matematike. Sproti se odločam za samo- stojno, skupinsko delo ali delo v dvojicah, za preiskovanje ali dejavno pridobivanje iz- kušenj. Rada vidim učence, ki so zadovoljni in z veseljem rešujejo naloge ali preiskujejo ali igrajo matematične igre. Učenci tako raz- vijajo pozitiven odnos do matematike in do svoje, lastne dejavnosti. V prispevku predstavljam dve mate- matični aktivnosti, ki jih učenci igrajo pri Matematični delavnici. Pri obeh se skrivata matematika in logično mišljenje. Spadata v področje kombinatorike. Obe igri lahko igrajo vsi učenci, razširitve aktivnosti so ne- obvezne in so stopnjevane po zahtevnosti. Najboljša izvedba se je izkazala pri »bloku- rah«, kjer so prvo šolsko uro učenci spozna- vali igro in pravila ter igro dejansko igrali, jo »izkusili« in doživeli. Drugo šolsko uro pa smo aktivnost igre razširili in izpeljali mate- matično refleksijo. b Prva aktivnost: Hanojski stolpi Hanojski stolpi je matematična igra. Za igro so potrebne tri palice, na katere nati- kamo okrogle ploščice različnih velikosti. Število ploščic je lahko poljubno, toda vse morajo biti različnega premera. Več kot je ploščic, težja je igra. Na začetku igre so vse ploščice zložene na prvi palici, in to v urejenem redu, od največje do najmanjše, tako da ima kup obliko stož- ca. Cilj igre je premakniti Hanojski stolp na tretjo, prazno palico. Pri prestavljanju plo- ščic smemo naenkrat premakniti samo eno ploščico in nikoli ne smemo večje ploščice postaviti na manjšo. Srednjo palico pa upo- rabljamo za začasno odlagališče. [Slika 1] Začetno stanje in končno stanje the use of the strategies of trial and error and problem solving, and encourage children to collect and organize data, leading them to an inductive conclusion. Keywords: Mathematical Workshop, Hanoi towers, Changing the circles Matematični aktivnosti pri izbirnem predmetu Matematična delavnica 41 Primer izvedbe 1. Učencem najprej predstavim igro in de- monstriram igranje, saj je zgolj navodi- lo nekaterim učencem premalo. Če pa so v skupini učenci z višjimi matema- tičnimi sposobnostmi, lahko navodila in pravila igre podam zgolj ustno ali za- pišem na list in učenci sami poskušajo igrati po navodilih brez demonstracije. 2. Nato učenci sami zaigrajo igro. Pri tem je pomembno, da se število ploščic spreminja. Lahko začnejo z dvema ali tremi ploščicami. Pozneje poskusijo z več ploščicami. Pomembno je, da zaigra vsak učenec, da res izkusi igro. Za to je potrebno dovolj materiala. Po izkušnjah učenci igrajo do konca šolske ure in z veseljem prelagajo ploščice. [Slika 2] Vmesno stanje pri premikanju Hanojske- ga stolpa s 5 ploščicami 3. Naslednjo šolsko uro pa skušamo aktiv- nost razširiti. Učencem ponudim vpra- šanja: • Opazuj začetek igre: Kam prestaviš prvo, najmanjšo ploščico pri sodem (li- hem) številu ploščic v Hanojskem stol- pu? • Z najmanj kolikimi potezami prestaviš Hanojski stolp treh (štirih, petih, šestih, sedmih) ploščic iz prve palice na tretjo palico? Zapisuj ali riši potek igre. • Raziskuj odnos med številom ploščic in številom potez, ki so potrebne za pre- mestitev Hanojskega stolpa iz prve na tretjo palico. Izdelaj tabelo. • *Ali lahko izračunaš, najmanj koliko potez je potrebnih za premestitev Ha- nojskega stolpa z 10 ploščicami? • *Zapiši splošni obrazec za premestitev Hanojskega stolpa z n ploščicami na tretjo palico. *Zadnji dve vprašanji sta za učence kar zahtevni, ampak ju je smiselno vključiti, ker pripeljeta do posplošitve. Učencem (lahko) ponudim tabelo: število ploščic v Hanojskem stolpu min. število potez za premestitev Hanojskega stolpa na 3. palico 1 2 3 4 5 6 7 10 n Izpolnjena tabela: število ploščic v Hanojskem stolpu min. število potez za premestitev Hanojskega stolpa na 3. palico 1 1 2 3 3 7 4 15 5 31 6 63 7 127 10 1023 n 2 n – 1 42 Matematični aktivnosti pri izbirnem predmetu Matematična delavnica Namig učencem, kako si naj zapisujejo potek igre: Npr. za Hanojski stolp z eno ploščico: (1,0,0) → (0,1,1) za Hanojski stolp z dvema ploščicama: (2,0,0) → (1,1,0) → (0,1,1) → (0,0,2) Nekaj spoznanj in možnosti Prišla sem do spoznanja, da morajo učen- ci imeti na voljo dovolj časa. Zato je smisel- no načrtovati še kakšno uro več. Zdi se mi pomembno, da sami uvidijo in izkusijo igro. Igra se zdi na prvi pogled zelo enostavna. Toda pri prestavljanju Hanojskega stolpa s 7 krogci še zdaleč ni tako, saj moraš narediti vsaj 64 premikov. Če opazimo, da imajo učenci težave pri prestavljanju ploščic, jih nekaj časa le pusti- mo, da sami igrajo in pridejo do nekaterih spoznanj. Učence usmerimo, naj bodi pozor- ni, ali Hanojski stolp sestavlja liho ali sodo število ploščic in kako začnejo igro, kako se premikajo ploščice po prvi potezi … Poma- gamo z navodilom, da naj začnejo raziskova- ti pri manjšem št. ploščic in naj si ugotovitve zapišejo. Na koncu se le pogovorimo o stra- tegiji premikanja ploščic in demonstriramo. Smiselno se je pogovoriti o igri. Npr: Katera ploščica naredi največ in ka- tera najmanj premikov? Kakšno je stanje tik, preden prestavimo največjo ploščico? Kako pa prestavljamo ploščice, ko je največja že prestavljena na zadnjo, tretjo palico? Koliko potez smo naredili do te stopnje in koliko jih bomo še do konca? S pomočjo zgornjih vprašanj, pridemo tudi do posplošitve. Se je že zgodilo, da je kak učenec sam prišel do posplošitve in splošne- ga zapisa, sicer pa zapis oblikujemo skupaj in povemo, da spada v eksponentno funkcijo. Te učenci ne poznajo, poznajo pa potence (osnovo, stopnjo). Ker je vsak učenec igral, si zapisoval po- teze, izpolnjeval tabelo, mu je oblikovanje splošnega zapisa bližje in bolj razumljivo. To je aktivno učenje, saj pripelje do povezav med konkretno in miselno dejavnostjo. Če igro igrajo osmošolci, jo razširimo v sklopu Zgodovine matematike. In sicer učenci lahko samostojno odkrijejo izvor igre, avtorja igre ter legendo, ki je povezana s Hanojskimi stolpi. Lahko naredijo tudi pla- kat in predstavitev. Učenci lahko igro zaigrajo tudi na med- mrežju, kjer najdemo kar nekaj računalni- ških aplikacij za to igro. g Druga aktivnost: Menjava krogcev Za to igro so potrebni po trije krogci dveh različnih barv ter igralna ploskev z osmimi kvadratki. Krogci in kvadratki na igralni ploskvi so označeni s črkami oz. so oštevilčeni, kot kaže spodnja slika št. 3. Učenci si lahko sami izdelajo igralno plo- skev in krogce, ali pa si za krogce sposodijo figure iz kakšne druge igre, kot je npr. Človek ne jezi se, ali pa dobijo barvne zamaške od plastenk. 43 [Slika št. 3] Začetno stanje pri igri menjava krogcev (delo učencev) Na začetku igre so krogci iste barve po- loženi v isti vodoravni liniji. Cilj igre je za- menjati položaje krogcev ene barve s krogci druge barve. Pri tem smemo krogec premak- niti za en korak vodoravno ali navpično v prazen kvadratek. Primer izvedbe 1. Tudi pri tej igri učencem najprej pred- stavim igro in pravila igranja. 2. Nato vsak učenec zaigra igro. Izkušnje kažejo, da učenci kar hitro pridejo do cilja in da pri igri uživajo. Igra spodbuja divergentno razmišljanje, saj je cilj eden, a poti do njega je več. Igra podpira tudi strateško razmišljanje ob korelaciji poskus – napaka. 3. Nato učencem zastavim izziv: Koliko potez je najmanj potrebnih za do- sego cilja? Učence spodbujam, da zapisujejo ali rišejo potek igre. Pri tem se lahko dogovorimo, da za pre- mik krogca B na polje 7, zapišejo B7. Lahko pa si preprosto rišejo polja in krogce. Za to porabijo kar nekaj časa. Učenci pridejo sami do rešitve. Z njimi se pogovorim o premikanju krogcev, in to de- monstriramo (lahko kar na tablo z magneti). Tako tudi učenci, ki niso sami prišli do cilja z najmanj potezami, slišijo in vidijo strategijo premikanja krogcev. Ugotovimo, da 16 potez zadostuje za m en j a v o k r og ce v : [Slika št. 4] Vseh 16 potez pri menjavi 6 krogcev 44 4. Aktivnost nadgradim tako, da spremi- njamo število krogcev in igralno plo- skev. Učenci najprej igrajo igro, nato prav tako štejejo število potez, ki so potrebni do končne zamenjave krogcev. Npr: Učence nagovorim, naj opišejo (tudi za- pišejo) strategijo igranja, ki jih pripelje do najmanj mogočih potez. Lahko pa jih izzovem tudi tako, da jih vprašam, kdo pride do cilja z 20 potezami. Seveda potem učenec, ki to zmore, pred tab- lo demonstrira premikanje krogcev in poja- sni strategijo. Učencem lahko ponudim prazne igralne ploskve, da si rišejo poteze krogcev. S tem jim pomagam pri časovni stiski, ki nas lahko vedno spravi v zadrego. Primer takega delov- nega lista Slika št. 5. 5. Lahko še razširimo dejavnost z razi- skovanjem zveze med številom praznih polj in vseh polj na igralni ploskvi ter številom krogcev. Učence napeljem na zapis posplošitve. Pomoč jim je lahko tudi tabela: Število krogcev Število praznih polj Število vseh polj 6 8 10 12 n Izpolnjena tabela: Število krogcev Število praznih polj Število vseh polj 6 2 8 8 4 12 10 6 10 12 8 20 n n–4 2 n – 4 = 2 (n – 2) Nekaj spoznanj in namigov Ta aktivnost spodbuja tudi divergentno razmišljanje (cilj je eden, a poti do njega je več). Vsi učenci pridejo do cilja. Lažje in hi- treje kot pri Hanojskih stolpih. T oda težje jim je ugotoviti strategijo premikanja krogcev, ki pripelje do cilja z najmanj potezami. Zato je skoraj res bolje, če je naloga zastavljena tako, da jim povemo št. najmanj potez in je izziv, kdo pride do cilja z najmanj premikov. To tudi spodbuja neke vrste zdravo tekmoval- nost med učenci. Učenci do posplošitve pri zadnji tabe- li pridejo hitreje. Če je treba, jih vodimo s podvprašanji. Ampak to linearno povezavo dokaj dobro sami odkrijejo in jo tudi razu- mejo. Za mlajše učence lahko aktivnost naredi- mo zabavnejšo in privlačnejšo, če krogce za- menjamo z živalmi, npr. zelene in rjave žabe ali zelene in rjave kobilice … Matematični aktivnosti pri izbirnem predmetu Matematična delavnica 45 d Komu sta aktivnosti namenjeni? Menim, da ne moremo postaviti staro- stnih meja. Igri so igrali tako sedmošolci, osmošolci kot devetošolci. Igri prilagodimo starosti in sposobnostim učencev primerno. Lahko ju igrajo tudi v nižjih razredih. Učen- ce spodbujamo, da zapisujejo ali rišejo potek igre. Obe aktivnosti razvijata divergentno razmišljanje, strategijo poskus – napaka, strategijo reševanja problemov, sposobnost zbiranja in urejanja podatkov, ki peljejo do induktivnega zaključka. e Sklep Do zdaj sta obe igri učence navdušili. Igra- li so vsi učenci, ne glede na njihovo sposob- nost. Vsi učenci pridejo do cilja. Seveda eni hitreje kot drugi, ampak temu ne posvečam preveč pozornosti. Pomembno se mi zdi, da so pri uri dejavni vsi učenci in da imajo mož- nost nadgradnje igre in razvoj miselnih pro- cesov, kar pa ti dve igri seveda omogočata. [Slika št. 5] Delovni list za zapis potez pri igri menjava krogcev z Viri in literatura: 1. Vilko Domajnko, Z nalogami skozi zgodovino mate- matike, DZS, Ljubljana, 1993. 2. Učni načrt za izbirni predmet Matematična delav- nica, Ministrstvo za šolstvo, znanost in šport, Zavod RS za šolstvo, Ljubljana, 2004. 3. Kirkby Dave, Marvellous Ideas for Mellow Maths Teachers (Ideas – a Collins Educational photocopy master), Collins Educational, 1992.