i
i
“974-Domajnko-kvadrat” — 2010/6/16 — 11:08 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 17 (1989/1990)
Številka 2
Strani 125–127
Vilko Domajnko:
KVADRAT NA TRIKOTNIKE
Ključne besede: razvedrilo, naloge.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/17/974-Domajnko.pdf
c© 1989 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
I PRESEKOVA NADLOGA
KVADRAT NA TRIKOTNIKE
125
:r
T rikot nik je ostrokoten , če vsak
izmed njegov ih notranjih kotov meri
manj od pravega kota . In med mate-
matičnimi rek reativci je v tej zvez i
zelo znana naloga, ki pravi: Dani
kvadrat razreži na same ostrokotne
trikotnike.
O tem problemu je pred leti
profesor Ivan Vidav že pisal v Pre-
seku (glej Presek 4 (1976/77 2) in
o njem na t istem mestu povedal
pravzap rav že skoraj vse.
Povzemimo na kratko :
Čeprav je problem zelo eno-
st avno zastavljen in se na prvi po-
gled najbrž večini reševalcev zdi, da
ga zagotovo ni težko razrešiti, je
resnica povsem drugačna. To ve vsak,
ki se je že kdaj poskusil z njim .
Seveda je dodatna draž problema
v tem, da mora reševalec razrezati
dani kvadrat na kar najmanjše število Slika 1
ostrokotnih trikotnikov. Na sliki (2)
vidimo eno izmed rešitev problema,
ki jo je za objavo prispeval Miha TOMŠiČ, dijak Srednje naravoslovne šole v
Ljub ljani. Kasne je mu je uspelo rešitev še precej izboljšati.
slika (2) slika (3) slika (4)
126
Martin GARDNER, znani ameriški publicist, trdi, da je najmanjše možno
štev ilo ostrokotnih trikotnikov pri tej nalogi osem. Na sliki (3) vidimo ustrezno
rešitev.
Za dokaz, da je ta rešitev dobra, pa služi slika (4). Ostrokotnost nekaterih
tr ikotnikov v rešitvi s slike (3) namreč na prvi pogled najbrž ni dovolj očitna .
Brž, ko v kvadrat vrišemo še polkroge, je drugače. Le izreka o v polkrog včrta­
nem trikotniku se je treba spomniti. Na sliki (5) se da razbrati, da je trikotnik
ABC pravokoten, trikotnik ABC I topokoten, trikotnik ABC2 pa ostrokoten.
A
slika (5) slika (6)
Slika (4) nas pouči tudi o tem , da je za razrešitev naloge ugodno izbirati
delilne točke prav v območju med polkrogi; v tistem delu kvadrata torej. ki je
na sliki osenčen . Ugodno, pravim, kajti nikakor ni tudi nujno , da jih poiščemo
prav tam. O tem nas pouči že rešitev s slike (2). Pa tudi rešitev s slike (6). Na
njej je kvadrat razrezan na deset ostrokotnih trikotnikov , njen avtor pa je spet
Martin GARDNER .
Tako. Poduka bodi dovolj . Sedaj pa k vprašanjem:
1) Koliko je vseh med seboj različnih razredov danega kvadrata na osem
ostrokotnih trikotnikov?
2) Razreži kvadrat na enajst ostrokotnih trikotnikov. Namig - uporabi idejo s
slike (6).
3) Ali obstaja naravno število n, za katerega velja: dani kvadrat je mogoče
razrezati na katerokoli število ostrokotnih trikotnikov, ki je večje od n.
Če misliš, da obstaja, poišči najmanjše takšno število.
4) Razreži kvadrat na devet ostrokotnih trikotnikov. Namig - slika (6) .
5) Ali obstaja razrez kvadrata na same enakokrake ostrokotne trikotnike?
6) Topokotni trikotnik razreži na same ostrokotne trikotnike.