Priporočeno predznanje

Priporočeno pre

iz srednješolske

iz srednješolske

matematike

Naloge

Mojca Premuš

Priporočeno predznanje iz srednješolske MATEMATIKE

Naloge

Mojca Premuš

Ljubljana, 2024

Kazalo

1

Raˇ

cunanje z ulomki in potencami. Razstavljanje izrazov.

3

2

Linearna funkcija, linearna enaˇ

cba in neenaˇ

cba. Enaˇ

cbe premic.

5

3

Polinomi, polinomske enaˇ

cbe in neenaˇ

cbe, racionalne funkcije, stoˇ

znice.

8

4

Eksponentna in logaritemska funkcija.

12

5

Trigonometrija. Kotne funkcije.

14

6

Operacije na grafih.

15

7

Reˇ

sitve.

18





FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 3

1

Računanje z ulomki in potencami. Razstavljanje izrazov.

1. Izpostavi skupni faktor: (a) ab + ac + b2 + bc=

(b) acd − ace + bcd − bce=

(c) abc + bda − eba=

2. Razstavi izraz:

(a) 49a2 − 4b2=

(b) a3 + 27=

(c) x5 − 8x2=

(d) 4x3 + 20x2 + 24x=

3. Okrajšaj ulomke:

(a) ac+bc =

cd

(b) a5−3a4+9a3−27a2 =

a4−81

4. Poenostavi:

(a)

3x

:

x3

=

x2−4

x2−2x





(b)

1

+ 1 −

1

· x2y2−y4 =

x+y

x−y

x2−y2

4x2−1

1− x

(c)

x−y

y

=

− y

x

x−y

5. Izrazi kot potenco z racionalnim eksponentom:

√

(a) 4 x3=

FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 4

√ √

√

(b)

x 4 x3 6 x−5=

6. Delno koreni:

√

(a)

175=

√

√

√

(b)

32 +

98 +

18=

7. Racionaliziraj ulomek: (a) 3

√ =

5

√

(b)

2

√ =

1−2 2





FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 5

2

Linearna funkcija, linearna enačba in neenačba. Enačbe premic.

8. Določi parametra k in n v funkcijskem predpisu f (x) = kx+n, če velja f (−1) = 2 in f (1) = −4.

9. Zapiši enačbo premice, ki poteka skozi točko T (2, 3) in je: (a) vzporedna premici y = x, (b) pravokotna na premico x + 2y = 1.

10. Prepričaj se, da so točke A(1, 3), B(4, 7), C(2, 8) in D(−1, 4) oglišča paralelograma.

11. Reši enačbo:

(a) x+2 = x+1 ,

x+1

x−2

(b) (2x − 5)2 − (5 + x)(5 − x) = (5x + 16)(x + 12).

FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 6

12. Obravnavaj enačbo ax + 3 = a + 3x glede na vrednost parametra a (tj. razišči rešljivost enačbe v odvisnosti od parametra a) in poišči njene rešitve.

13. Reši neenačbo 4x − 1 < 2x + 3.

14. Obravnavaj neenačbo glede na vrednost parametra a: (a) ax − 2 < 3x + 2, (b) ax + 4 ≤ 2x + a2.

15. Reši sistem enačb.

2x − 3y = −7

(a) 2x + y = 5

FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 7

3x + 2y = 3

(b) 5x + 4y = 1

16. Obravnavaj sistem enačb v odvisnosti od parametra a.

x

+ ay = −2

(a) ax + y = a

ax +

y

= 3

(b) 4x + ay = 6





FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 8

3

Polinomi, polinomske enačbe in neenačbe, racionalne funkcije, stožnice.

17. V kvadratni funkciji f (x) = ax2 + bx + 8 določi parametra a in b tako, da bo njen graf potekal skozi točko A(2, 5) in bo abscisa temena x = −2.

18. Reši enačbe:

(a) 7x2 + 12x = 0,

(b) x2 − 6x − 9 = 0,

(c) x2 − 2x + 2 = 0.

19. Skiciraj graf funkcije f (x) = 2x2 − 4x + 1.

20. Okrajšaj ulomek 3x2−11x−4 .

x2−x−12

FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 9

21. Določi presečišča parabole y = x2 + 3x − 1 in premice y = 6x − 3.

22. Reši enačbo 2x+1 − x+2 = 3 .

x−1

x+1

x−1

23. Reši neenačbo:

(a) x2 < 1,

(b) x2 − x − 2 ≥ 0,

(c) x − 2x2 < 4.

24. Reši enačbo x3 + 2x2 − x − 2 = 0.

FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 10

25. Določi ničle, začetno vrednost in nariši graf funkcije f (x) = (x − 1)2(x − 2)(x + 1)2.

26. (x4 + 1) : (x2 + x)=

27. Določi ničle, pole, asimptoto in skiciraj graf funkcije: (a) f (x) =

x2−x

,

x2+4x+4

(b) f (x) = 1 ,

x

(c) f (x) = 1 ,

x2

FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 11

(d) f (x) =

1

.

1+x2

28. Za podane enačbe zapišite katero množico točk določa.

(a) x2 + 2x + y2 + 2 = 0

(b) 3x2 − 2y2 + 8y − 14 = 0

(c) x2 − x + y2 + 6y + 9 = 0

(d) 2x2 − 4x + y2 − 2 = 0





FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 12

4

Eksponentna in logaritemska funkcija.

29. Reši enačbo.

(a) 12x−8 = 1

144

(b) 52x−1 = 1

(c) 3x+2 − 5 · 3x − 7 · 3x−1 = 5

30. Reši neenačbo.

(a) 12x−8 > 1

144

(b) 52x−1 ≤ 1

31. Izrazi z log a in log b.

(a) log(a3b4)=

q

(b) log 5 2a3 =

3b2

FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 13

32. Reši enačbo.

(a) log(3x + 1) = 1

(b) ln(x − 3) = 0

(c) ln(x2 + 2) = 0





FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 14

5

Trigonometrija. Kotne funkcije.

33. Izrazi s funkcijami kotov med 0 in π .

4

(a) sin 4π =

3

(b) cos 50π =

7

(c) sin − 7π =

6

34. Poenostavi izraz

sin 2x .

1−cos 2x

35. Reši enačbo:

(a) sin x = 1 ,

2

(b) cos 3x = 0.

5





FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 15

6

Operacije na grafih.

36. Skiciraj graf dane funkcije. Za pomoč so v sivi barvi skicirani grafi osnocnih funkcij.

(a) f (x) = 1 − x2

y

y = x2

1

x

1

(b) f (x) = e2−x − 1

y

y = ex

1

x

1

FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 16

(c) f (x) = 1 − ln(2x)

y

y = ln x

1

x

1

(d) f (x) = 2 sin(x − π) + 1

y

1

y = sin x

x

1

FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 17

(e) f (x) = |2 − x2|

y

y = x2

1

x

1





FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 18

7

Rešitve.

1.

(a) (b + c)(a + b)

14.

(a) Za a = 3 neenačbo rešijo vsa realna števila, za a > 3 jo rešijo x < 4 ,

(b) (a + b)c(d − e)

a−3

za a < 3 pa x > 4 .

(c) ab(c + d − e)

a−3

(b) Za a = 2 neenačbo rešijo vsa realna 2.

(a) (7a − 2b)(7a + 2b)

števila, za a > 2 jo rešijo x ≤ a + 2, za a < 2 pa x ≥ a + 2.

(b) (a + 3)(a2 − 3a + 9) (c) x2(x − 2)(x2 + 2x + 4) 15.

(a) x = 1, y = 3

(d) 4x(x + 2)(x + 3)

(b) x = 5, y = −6

3.

(a) a+b

16.

(a) Pri a 6= ±1 je rešitev x = − 2+a2 in d

1−a2

y = 3a , pri a = ±1 pa sistem nima (b) a2

1−a2

a+3

rešitev.

4.

(a)

3

(b) Pri a 6= ±2 je rešitev x =

3

in

x(x+2)

2+a

y =

6 , pri a = 2 sistem rešijo vsi 2+a

(b)

y2

2x+1

pari x ∈ R in y = 3−2x, pri a = −2

(c) x

pa sistem nima rešitev.

y

3

17. a = − 1 , b = −1

5.

(a) x 4

4

5

(b) x

18.

(a) x

12

1 = 0, x2 = − 12

7

√

√

(b) x

2

6.

(a) 5 7

1,2 = 3 ± 3

√

(c) Enačba nima realnih rešitev.

(b) 14 2

√

19.

7.

(a) 3 5

5√

(b) − 2+4

7

y

f (x) = 2x2 − 4x + 1

8. k = −3, n = −1

9.

(a) y = x + 1

(b) y = 2x − 1

1

1

x

10. Premica skozi A, B je vzporedna premici skozi D, C ter premica skozi A, D je vzporedna premici skozi B, C.

−1

√

√

1 −

2

1 +

2

2

2

11.

(a) x = − 52

(b) x = −2

20. 3x+1

x+3

12. Če je a = 3, enačbo rešijo vsa realna 21. T1(2, 9), T2(1, 3)

števila x, če pa je a 6= 3, pa je rešitev x = 1.

22. x = 0

13. x < 2

23.

(a) x ∈ (−1, 1)

FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 19

(b) x ∈ (−∞, −1] ∪ [2, ∞) y

(c) Vsi realni x.

1

24. x1 = −2, x2,3 = ±1

f (x) = 1x

x

1

25. ničle: x1,2 = −1, x3,4 = 1, x5 = 2, začetna vrednost: f (0) = −2

(c) ničle: jih ni, poli: x = 0 (2. st.) in f (x) = (x − 1)2(x − 2)(x + 1)2

asimptota: y = 0

y

y

1

−1

1

x

2

1

f (x) = 1

x2

−2

x

1

(d) ničle: jih ni, poli: jih ni, asimptota: y = 0 in začetna vr.: f (0) = 1

y

26. x2 − x + 1 + 1−x

x2+x

1

f (x) =

1

27.

(a) ničle: x

1+x2

1

=

0 (1.

st.)

in

x

x

2

= 1 (1.

st.), poli: x = −2

1

(2.

st.), asimptota: y

= 1 in

začetna vrednost: f (0) = 0

28.

(a) Prazna množica.

(b) Hiperbola s središčem v S(0, 2), re-y

√

f (x) =

x2−x

x2+4x+4

alno polosjo

2, imaginarno polosjo

√3, odprto v smeri osi x.

(c) Krožnica s središčem S 1 , −3 in 2

polmerom r = 1 .

2

1

(d) Elipsa s središčem S(1, 0), veliko polosjo (vzporedna osi y) 2 in malo po-x

√

−2

1 2

losjo (vzporedna osi x) 2.

29.

(a) x = 6

(b) ničle: jih ni, poli: x = 0 (1. st.) in asimptota: y = 0

(b) x = 12

(c) x = 1

FGG in FA, Priporočeno predznanje iz MATEMATIKE - naloge 20

30.

(a) x > 6

(c)

(b) x ≤ 12

y

31.

(a) 3 log a + 4 log b

f (x) = 1 − ln(2x)

(b) 1 log 2 + 3 log a − 2 log b 5

3

32.

(a) x = 3

y = ln x

1

(b) x = 4

(c) Enačba ni rešljiva.

x

1 e

33.

(a) − cos π

2

6

(b) − cos π7

(c) sin π6

34. ctg x

(d)

35.

(a) x1,k = π + 2kπ, x

+ 2kπ,

6

2,k =

5π

6

k ∈ Z

(b) xk = 5π + 5kπ , k ∈

6

3

Z

y f(x) = 2 sin(x − π) + 1

36.

(a)

3

y = sin x

y

y = x2

1

x

1

−1

1

(e)

x

−1

1

y

f (x) = 1 − x2

y = x2

2

f (x) = |2 − x2|

1

x

√

√

(b)

1

− 2

2

y

y = ex

e2 − 1

1

x

1

2

−

f (x) = e2−x − 1

1



Priporočeno predznanje iz srednješolske matematike Naloge

Avtorica: Mojca Premuš Recenzenta: Ganna Kudryavtseva, Nik Stopar Oblikovalec naslovnice: Niko Fabiani Založnik: Založba Univerze v Ljubljani Za založbo: Gregor Majdič, rektor Univerze v Ljubljani Izdajatelj: Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Za izdajatelja: Violeta Bokan Bosiljkov, dekanja Fakultete za gradbeništvo in geodezijo

Ljubljana, 2024

Prva e-izdaja.

Publikacija je brezplačna.

Publikacija je v digitalni obliki prosto dostopna na https://ebooks.uni-lj.si DOI: 10.15292/9789612974312

To delo je ponujeno pod licenco Creative Commons Priznanje avtorstva-Deljenje pod enakimi pogoji 4.0 Mednarodna licenca. / This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Kataložni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjižnici v Ljubljani COBISS.SI-ID 212656387

ISBN 978-961-297-431-2 (PDF)





Document Outline


Računanje z ulomki in potencami. Razstavljanje izrazov.

Linearna funkcija, linearna enačba in neenačba. Enačbe premic.

Polinomi, polinomske enačbe in neenačbe, racionalne funkcije, stožnice.

Eksponentna in logaritemska funkcija.

Trigonometrija. Kotne funkcije.

Operacije na grafih.

Rešitve.