    
P 51 (2023/2024) 6 11
Celoletne priprave za mednarodna
matematična tekmovanja v letu
2023/24
L H
V letošnjem šolskem letu se slovenski dijaki in
dijakinje v organizaciji DMFA Slovenije udeležu-
jejo treh mednarodnih matematičnih tekmovanj –
to so Mednarodna matematična olimpijada (MMO),
Evropska dekliška matematična olimpijada
(EDMO) in Srednjeevropska matematična olimpi-
jada (SMO). Proces za uvrstitev v katerokoli izmed
teh ekip je zelo zahteven in poteka že od samega
začetka šolskega leta. Za uspešen nastop na takem
tekmovanju namreč ne zadošča samo znanje ma-
tematike, ki ga pridobimo v šoli. Naloge na olim-
pijadah so zahtevnejše, od tekmovalcev zahtevajo
veliko mero iznajdljivosti, poleg tega pa tudi zna-
nje izrekov in strategij, ki niso del učnega načrta
za gimnazije. Vsako leto tako izvajamo celoletne
priprave, ki služijo tako dopolnitvi znanja tekmo-
valcev kot tudi grajenju intuicije za reševanje za-
pletenih problemov.
Tako kot v prejšnjih letih smo priprave tudi letos
v glavnem vodili študenti, ki smo tudi sami v svojih
srednješolskih letih sodelovali na zgoraj omenjenih
tekmovanjih. Priprave so večinoma potekale v živo
na Fakulteti za matematiko in fiziko v Ljubljani, za-
interesirani pa so lahko predavanja spremljali tudi
na daljavo preko spleta. Teme 4-urnih predavanj na
osnovni oziroma višji ravni (označene z *) so bile na-
slednje:
Kombinatorika (13.10.2023): Preštevanja, načelo
vključitev in izključitev, Dirichletov princip (Jaka
SLIKA 1.
Med reševanjem 3. izbirnega testa na Fakulteti za matematiko
in fiziko v Ljubljani.
Vrhovnik), *Teorija grafov (Luka Horjak)
Geometrija (27.10.2023): Usmerjeni koti (Kaja
Rajter), *Inverzija (Matija Skrt)
Teorija števil (10.11.2023): Modularna aritme-
tika (Katarina Grilj), *Lema o dvigu eksponenta
(Hugo Trebše)
Indukcija / Geometrija (24.11.2023): Indukcija
(Luka Peruš), *Projektivna geometrija (Matija Skrt)
Algebra (8.12.2023): Funkcijske enačbe (Luka
Horjak), *Funkcijske enačbe (Lovro Drofenik)
Geometrija (12.1.2024): Potenca točke na krož-
nico (Luka Horjak), *Sučni razteg (Matija Skrt)
Algebra (26.1.2024): Polinomi (Jan Pantner), *Ro-
dovne funkcije (Luka Horjak)
Kombinatorika (7.2.2024): Kombinatorne igre,
rekurzija in bijekcije (Jaka Vrhovnik), *Uporaba li-
nearne algebre v kombinatoriki (Marko Čmrlec)
Teorija števil (20.3.2024) Diofantske enačbe
(Hugo Trebše), *Kvadratni ostanki, Vietovi skoki
(Marko Čmrlec)
    
P 51 (2023/2024) 612
Geometrija (3.4.2024): Menelajev, Cevov in Pa-
scalov izrek, homotetija (Lovro Drofenik), *Splošne
strategije reševanja nalog (Luka Horjak)
Kombinatorika (8.5.2024): Invariante in dvojno
štetje (Kaja Rajter)
Na pripravah so lahko tako novi tekmovalci spo-
znali vse temeljne koncepte, ki se pogosto pojavljajo
v rešitvah olimpijskih nalog, izkušeni tekmovalci in
tekmovalke pa so lahko svoje znanje še poglobili z
zahtevnejšimi temami. Svoje znanje so oboji utrje-
vali še z reševanjem domačih nalog, ki so bile prav
tako eden izmed pogojev za uvrstitev v slovensko
ekipo za katero od mednarodnih tekmovanj.
SLIKA 2.
Reševanje naloge z Mednarodne matematǐcne olimpijade z
uporabo dvojnega štetja.
Ekipe, ki zastopajo Slovenijo na mednarodnih tek-
movanjih, določamo na podlagi treh izbirnih testov
skupaj z državnim tekmovanjem srednješolcev v
znanju matematike za Vegova priznanja. Na izbir-
nih testih je letos sodelovalo 44 dijakov srednjih šol.
Največ prijavljenih je dijakov ljubljanskih srednjih
šol, sledijo pa Maribor, Celje in Škofja Loka. Od tega
je približno tretjina deklet, vendar se v zadnjih letih
v ekipi za MMO in SMO uvrščajo pretežno fantje. To
ne velja samo za naš izbirni proces – v zadnjih letih
je med tekmovalci na Mednarodni matematični olim-
pijadi le okoli 10 % deklet, poprej pa je bil ta delež
še manjši.
Prav s tem namenom sodelujemo na Evropski de-
kliški matematični olimpijadi, saj ta k sodelovanju
na tovrstnih tekmovanjih posebej spodbuja dekleta.
Letošnja EDMO je kot običajno potekala aprila, zato
smo za uvrstitev v ekipo upoštevali le dva izmed
izbirnih testov, slovenske tekmovalke pa so dose-
gle najboljše rezultate doslej. Več o tem ste lahko
prebrali v prejšnji številki Preseka. Med poletnimi
počitnicami pa bosta potekali še Mednarodna mate-
matična olimpijada in Srednjeevropska matematična
olimpijada. V času pisanja tega prispevka rezultati
3. izbirnega testa in končnega izbora še niso bili zna-
ni, obe ekipi pa poleti pred potovanjem čakajo še in-
tenzivne priprave. Posebej naj izpostavim, da bomo
v tednu pred Mednarodno matematično olimpijado v
Portorožu gostili švicarsko ekipo, s katero imamo že
dolgoletno tradicijo skupnih priprav na tekmovanje.
Za konec si oglejmo še dve nalogi iz letošnjega
2. izbirnega testa.
Naloga 1. Naj bosta n in k naravni števili, pri če-
mer velja n ě k. Podanih je n kroglic in k škatel.
Ana in Bor igrata naslednjo igro. Najprej Ana raz-
deli vse kroglice v škatle, pri čemer nobene ne pusti
prazne. Nato izmenično izbereta neprazno škatlo in
iz nje odstranita eno kroglico, pri čemer začne Ana.
Če igralec vzame zadnjo kroglico iz škatle, dobi eno
točko. Določi največje število K, za katerega lahko
Ana dobi K točk ne glede na Borove poteze.
Rešitev 1. naloge Igralcema je skupaj na voljo toliko
točk, kot je škatlic, torej k. Pri reševanju naloge mo-
ramo biti pozorni, da je naloga sestavljena iz dveh
delov – določiti moramo K, za katerega lahko Ana
dobi K točk, poleg tega pa dokazati, da Ana ne more
dobiti K ` 1 (ali več) točk.
Z obravnavo majhnih primerov vidimo, da je smi-
selno ločiti dva primera. Naj bo število kroglic n
sodo. Tedaj lahko z začetno porazdelitvijo, v ka-
teri je v k ´ 1 škatlah po ena kroglica, v zadnji pa
preostale kroglice, Ana dobi
Y
k
2
]
točk, in sicer tako,
da na vsaki potezi (dokler lahko) izbere škatlo z eno
kroglico.
To je tudi iskan maksimum. Vzemimo namreč po-
ljubno porazdelitev kroglic v škatle. Če ima na Bo-
rovi potezi katera izmed škatel natanko eno kroglico,
    
P 51 (2023/2024) 6 13
SLIKA 3.
Optimalna porazdelitev za n “ 6 in k “ 4.
Bor izbere to škatlo, sicer pa izbere poljubno škatlo z
lihim številom kroglic (ki gotovo obstaja zaradi pred-
postavke, da je n sodo število). Če Ana na katerikoli
potezi (razen prvi) dobi točko, to pomeni, da je v eni
izmed škatel bila le ena kroglica. To zaradi Borove
strategije pomeni, da Bor svoje kroglice ni vzel iz te
škatle. To pa pomeni, da jo je vzel iz neke druge ška-
tle, v kateri je prav tako bila le ena kroglica, in tako
dobil točko. Ker je dobil tudi zadnjo točko, je torej
dobil vsaj polovico točk. Sledi, da je res K “
Y
k
2
]
.
Sedaj si oglejmo še lihe n. Če je n ě 2k´ 1, lahko
Ana v vse razen ene škatle da 2 kroglici. Na vsaki
potezi nato izbere škatlo, ki vsebuje liho število kro-
glic. Ker bo Bor na svoji potezi vedno moral izbrati
škatlo s sodim številom kroglic, ne bo dobil nobene
točke in je tako K “ k (več kot k točk Ana očitno ne
more dobiti).
SLIKA 4.
Optimalna porazdelitev za n “ 9 in k “ 4.
Preostane še možnost, ko je n ă 2k´1. Pokažimo,
da v tem primeru velja K “ n`12 . To Ana doseže tako,
da v vsako škatlo da kvečjemu 2 kroglici, in v vsaki
potezi izbere škatlo z natanko eno kroglico (to lahko
stori, saj vedno obstaja škatla z lihim številom kro-
glic). Tako na vsaki potezi dobi točko, teh pa naredi
natanko n`12 . Jasno je, da več točk ne more dobiti.
Naloga 2. Naj bo Qpxq “ a2024x2024 ` a2023x2023 `
¨ ¨ ¨ ` a1x ` a0 P Zrxs polinom s celoštevilskimi ko-
eficienti. Za vsako praštevilo p ą 2 označimo
Qppxq “ ap´22024x2024 ` a
p´2
2023x
2023 ` ¨ ¨ ¨ `
` ap´21 x ` a
p´2
0 .
Denimo, da za neskončno praštevil p ą 2 velja, da
p | Qppxq ´Qpxq
za vsa cela števila x. Določi največjo možno vre-
dnost Qp2024q.
Rešitev 2. naloge Predpostavimo, da Q ni ničelni
polinom. Oglejmo si praštevila p, ki ne delijo no-
benega izmed neničelnih ai. Deljivost lahko v tem
primeru z uporabo malega Fermatovega izreka zapi-
šemo kot
p
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ÿ
ai‰0
´
ai ´ a´1i
¯
xi ,
kjer so a´1i multiplikativni inverzi po modulu p. Da
odpravimo inverze, celotno deljivost pomnožimo z
najmanjšim skupnim večkratnikom L števil ai. Tako
dobimo
p
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ÿ
ai‰0
ˆ
ai ¨ L´
L
ai
˙
xi .
Sedaj označimo
Ppxq “
ÿ
ai‰0
ˆ
ai ¨ L´
L
ai
˙
xi.
To je seveda polinom, ki pa ima po definiciji L celo-
številske koeficiente. Vzemimo poljuben x P Z. Ker
za neskončno praštevil p velja, da p | Ppxq, sledi
Ppxq “ 0. Tako dobimo, da je P kar ničelni poli-
nom. Za vsak ai torej velja ai “ 0 ali ai ´ 1ai “ 0
oziroma ai P t´1,0,1u. Vsi taki polinomi zadoščajo
pogojem, saj v tem primeru velja a
p´2
i “ ai oziroma
Qppxq “ Qpxq.
Vrednost števila Qp2024q bo tako največja, ko bo
veljalo ai “ 1 za vsak i. Tako dobimo
Qp2024q “
2024
ÿ
i“0
2024i “ 2024
2025 ´ 1
2023
.
ˆ ˆ ˆ