PRESEK LETNIK 017) ŠTEVILKA 5 a w \ j* POPAČENJE OPTIČNA »NEVIDNOST« Z LE ČAMI IZZIVI ENOSTAVNE ASTROFOTOGRAFIJE ALGORITEM BATMINER ZA RUDARJENJE ASO CIATIVNIH PRAVIL ISSN 0351-6652 9 7 7 0 3 5 I DD545D 9770351665456 9770351665456 MATEMATIČNI TRENUTKI R azlaga mavrice -> Po irski legendi je škrat na koncu mavrice skril lonec zlata. A tudi brez zlata smo lahko nad mavrico navdušeni. Svetloba se pri vstopu in izstopu iz kapljic lomi, znotraj kapljic pa se odbija, včasih večkrat. S pomocjo trigonometrije lahko izracunamo lomni kot, ki doloca, kje se nahaja vrh glavne mavrice. Njegova velikost je približno 42 stopinj. Enak je kotu z vrhom v opazovalcevem ocesu ter krakoma skozi vrh mavrice in skozi senco opazovalceve glave. Ker imajo razlicne barve razlicne valovne dolžine, se lomijo pod razlicnimi koti in tako ustvarijo eno ali dve mavrici. Natancnejši pogled pokaže, da se znotraj sredinskega vijolicnega pasu pojavijo bolj nežni odtenki. Nastanejo zaradi interference svetlobnih valov, pri cemer se nekateri valovi medsebojno ojacujejo. Razlaga teh pasov ni popolnoma ocitna in v prvih teo-reticnih razlagah mavrice ni zaobjeta. Za dokaz teh pasov je potrebna valovna teorija, natancen opis pa dajo Airyjevi integrali, ki jih numericno izracunamo s pomocjo neskoncnih vrst. Radovednost pri prou-cevanju mavric je privedla celo do nekaterih novih odkritij v matematiki in fiziki, npr. do »mavric«, ki jih tvorijo sipani atomi ali jedra. Radovednejši bralci si lahko preberete prispevek »The Rainbow Bridge: Rainbows in Art, Myths and Science«, ki sta ga leta 2001 napisala avtorja Raymond R. Lee in Alistair L. Frasier. XXX KOLOFON Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 44, šolsko leto 2016/2017, številka 5 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Becan (jezikovni pregled), Mojca Cepic, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kracun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohoric (odgovorni urednik), Igor Pesek (racunalništvo), Marko Razpet, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnicni urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2016/2017 je za posamezne narocnike 19,20 eur - posamezno narocilo velja do preklica, za skupinska narocila ucencev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna narocnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski racun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovšcina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI560310 0100 0018 787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proracuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domacih poljudno-znanstvenih periodicnih publikacij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1300 izvodov © 2017 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 2028 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina placana pri pošti 1102 Ljubljana. NAVODILA SODELAVCEM PRESEKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV 2 PRESEK 44 (2016/2017)5 Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. MATEMATIČNI TRENUTKI 2 Razlaga mavrice MATEMATIKA 4-12 Popacenje (Peter Legiša) 12-13 Vsota kvadratov prvih n zaporednih naravnih števil (Jens Carstensen in Alija Muminagic) I I I 14-15,18-19 20-21 FIZIKA Optična »nevidnost« z lečami (Robert Hauko, Jakob Murko, Leo Strmšek, Jana Padežnik Gomilšek in Robert Repnik) Vertikalni temperaturni gradient RAČUNAL NI CTVO 26-29 Algoritem BatMiner za rudarjenje asociativnih pravil (Iztok Fister ml. in Iztok Fister) RAZVEDRILO 21 Barvni sudoku 26 Križne vsote 16-17 Nagradna križanka (Marko Bokalic) 30 Rešitev nagradne križanke Presek 44/4 (Marko Bokalic) 31 Naravoslovna fotografija -Temperaturna inverzija (Luka Senekovic) MATEMATIKA Popačenje Peter Leciša Polarni koordinatni sistem v ravnini V ravnini imejmo pravokotni koordinatni sistem. Pozitivni del p abscisne osi, usmerjen od tocke O, proglasimo za polarno os, tocka O je pol ali koordinatno izhodišče. SLIKA 1. Tocka O je pol, poltrak p polarna os. Števili |OA| = r in kot

0 kot na sliki 5. (0,Yi) (0,h) A odgovarja točka AA s kartezičnima koordinatama A'(X,Y) kot na sliki 4. |y A'(X,Y) O y B'(X2,Y2) A(Xi,YI) |OA|=si / /A(xi,h) |OB|=S2 B(x2, h) P. X2 x SLIKA 5. Tu je |OA| = s1 in |OB| = s2. Blazinasto popačenje daljico AB preslika na rdečo krivuljo od A' do B'. Na popačeni sliki točki T(x,h) na premiči q po enačbi (2) odgovarja točka T'(X(x), Y(x)) s koordinatama X(x) = x + 1x00 d (Vx2 + h2) 100 h Y(x) = h + iq0 d(^x2 + h2) . (3) Poglejmo, kaj se dogaja, ko x narašča od 0 naprej. Narašča funkcija x ^ s(x) = Vx2 + h2. Za nas je še posebno pomembna formula za višino Y ukrivljene slike vodoravne črte y = h, zato jo ponovimo: Y(x) = h + ih0 d (Vx2 + h2). (4) q e 6 PRESEK 44 (2016/2017)5 MATEMATIKA Blazinasto popačenje Denimo, da funkcija 5 ^ d(s) na intervalu J = [s^ s2] strogo narašča. Tocka A(x1,h) z x1 > 0 naj ima polmer s1, se pravi + h2 = s^ na sliki 5. Prav tako naj ima B(x2, h) z x2 > 0 polmer s2. Seveda je x2 > x1. Če je x1 < x < x2, je T(x, h) na daljici AB. Kakšno obliko ima popačena slika daljice AB? Ko x narašča od x1 do x2, narašča s(x)=\lx2 + h2 od s1 do s2. Na intervalu J = [s1,s2] je d naraščajoča. Zato na intervalu I = [x1,x2] narašča funkčija x ^ d(Vx2 + h2). Vsota dveh naraščajočih funk-čij je naraščajoča, zato po (3) na intervalu I strogo narašča preslikava x ^ X(x). Funkčija Y(x) = h + 100 d(Vx2 + h2) prav tako strogo narašča na intervalu I = [x1,x2]. Ko x potuje od x1 do x2, se zato T'(X(x),Y(x)) giblje desno in navzgor. Popačena slika daljiče AB je torej krivulja, ki jo imamo lahko za graf strogo naraščajoče funkčije na intervalu od X1 = X(x1) do X2 = X(x2). Torej, ko potujemo po popačeni sliki daljiče AB od A' do B', se T' oddaljuje od premiče p kot na sliki 5. Imejmo na idealni sliki pravokotni okvir (= rob pravokotnika) s središčem v izhodišču O, tako da polmeri vseh točk okvirja ležijo v intervalu J. Naj bo CD straniča okvirja in p premiča skozi O, vzporedna daljiči CD. Ko se po popačeni sliki straniče CD okvirja oddaljujemo od središča, se oddaljujemo tudi od premiče p. (Premičo p pa, kot smo že rekli, popačenje ohranja.) Popačeni okvir ima tako obliko natlačene blazine -ožje v sredini, s štrlečimi vogali (slika 6), saj je popačenje relativno najbolj raztegnilo prav vogale. Temu pravimo blazinasto popačenje ali popačenje v obliki blazine - angleško pinčushion distortion, saj so take napihnjene blaziniče, v katere šivilja zabada bučike. Povzemimo: Imejmo na idealni sliki daljico AB, vzporedno premici p skozi O (vendar ne vsebovano v p). Premica e naj poteka skozi O in naj bo pravokotna na p. Polmeri tock na AB naj leže na intervalu, na katerem funkcija d strogo narašča. Ko se po popaceni sliki daljice AB oddaljujemo od e, se oddaljujemo tudi od premice p. Zato govorimo o blazinastem popačenju. SLIKA 6. Blazinasto popačenje pravokotnega okvirja. Vzeli smo J = [s1, s2]. Točke na idealni sliki s polmerom v J ležijo na kolobarju s središčem v izhodišču. Meji tega kolobarja sta krožniči s polmeroma s1 in s2. Popačitev ta kolobar preslika na kolobar s središčem v izhodišču. Meji popačenega kolobarja sta krožniči s polmeroma r(s1) = s1(1 + (1/100)d(s1)) in r(s2) = s2(1 + (1/100)d(s2)). V našem primeru je r(s2) - r(s1) = S2 - S1 + (1/100)(d(s2) - d(s1)) > s2 - s1, torej popačenje poveča razdaljo med krožni-čama. Pri »standardnih« zoomih imamo navadno na tele območju rahlo blazinasto popačenje. Sodckasto popačenje Denimo zdaj, da funkcija d na intervalu K = [t1,t2] strogo pada. Naj ima G(z1,h) polmer ti in H(z2, h) polmer t2, kjer je 0 < z1 < z2 kot na sliki 7. Potem x — d(s(x)) na tem intervalu strogo pada. Po formuli (4) funkcija x — Y(x) strogo pada na intervalu L = [z1,z2]. Ker x — s(x) strogo narašca, to velja tudi za x — r(s(x)), saj je r strogo narašcajoca. Toda r(s(x)) = V(X(x))2 + (Y(x))2. Ker x - Y(x) strogo pada, mora x — X(x) strogo narašcati. Ko x tece od z1 do z2, se tocka T'(X(x),Y(x)) giblje desno in navzdol. Tako vidimo: 7 PRESEK 44 (2016/2017) 5 MATEMATIKA Imejmo na idealni sliki daljico GH, vzporedno premici p skozi O (vendar ne vsebovano v p). Premica e naj poteka skozi O in naj bo pravokotna na p. Polmeri tock na GH naj leže na intervalu, na katerem funkcija d strogo pada. Ko se po popačeni sliki daljice GH oddaljujemo od e, se bližamo premici p kot na sliki 7. Zato govorimo o sodčkastem popacenju ali popačenju v obliki sodcka - angleško barrel distortion. Premici p in e se pri popacenju seveda ohranjata. Vzemimo na idealni sliki pravokotni okvir s sredi-šcem v izhodišcu, tako da polmeri vseh tock okvirja ležijo v intervalu K. Najbolj se skrcijo polmeri od središca slike najbolj oddaljenih tock. Popacenje »zategne« vogale pravokotnika. Popaceni pravoko-tnik dobi obliko soda kot na sliki 8. Pri posnetkih arhitekture, reprodukcijah je popa-cenje zelo motece. Pri objektivih akcijskih kamer in »ribjih oces« pa je ekstremno sodckasto popacenje celo zaželeno -ker na ta nacin spravimo na sliko kar se da veliko stvarnosti. Lahko se zgodi, da radiji tock na daljici BA, ki ne gre skozi izhodišce, ležijo v intervalu J, kjer funkcija d strogo narašca, in v intervalu K, kjer funkcija d strogo pada. Naj bo p premica skozi izhodišce © (0,h) G(z1,h) H(Z2, h) / —GG' -- / e / i ! ^ f r / ^ / ^^ / ^ / y p _ O x SLIKA 8. Sodckasto popacenje pravokotnega okvirja. vzporedna in disjunktna z daljico AH. Premica e naj poteka skozi O in naj bo pravokotna na p. Ko se po popačeni sliki daljice AH oddaljujemo od e, se na enem delu oddaljujemo od p, na drugem delu pa približujemo premici p. Temu pravimo popacenje v obliki brkov - mustac ali valovito popacenje. Primer. Denimo, da je d(s) = -0,13s2 + 0,026s4. Oglejmo si vedenje funkcije d za nenegativne s. Ko spremenljivko s povecujemo od 0 naprej, najprej prevlada prvi clen v vsoti za d(s) in funkcija d pada. Kasneje prevlada višja potenca v drugem clenu in funkcija d narašca. Graf za d imamo na sliki 9. V tocki C, kjer d preide iz padanja v narašcanje, zavzame funkcija d naj- C = (1,5811, -0,1625) SLIKA 7. Tu je |OG| = t1 in |OH| = t2. SLIKA 9. Graf funkcije d(x) = -0,13x2 + 0,026x4 ima minima v tockah z absciso x = ±725. 8 PRESEK 44 (2016/2017) 5 MATEMATIKA B H H' 1 0,5- N, 1,5 -1 0,5 G A = (1,5,1) objektivih zelo dober približek dobimo v obliki GV 0 0,5 1,5 d(s) 100 = as2 + bs4. (5) SLIKA 10. Rdeca krivulja predstavlja valovito popačenje daljice AB. manjšo vrednost - minimum. Z matematičnim orodjem, imenovanim odvod (snov četrtega leta gimnazije), ugotovimo, da je ta minimum pri 5 = -J2,5. Minime (in maksime) pa nam poišče tudi ukaz Ekstrem v prosto dostopni GeoGebri. Torej funkcija d pada na intervalu [0, V2,5] in narašča na intervalu [V2,5, oo]. To lahko preverimo tudi s kakim drugim programom ali računalom, ki zna narisati graf polinoma d. Naj bo A(1,5,1) in B(-1,5,1). Popačeno podobo daljice AB imamo rdeče obarvano na sliki 10. V nadaljevanju tega članka bomo na preprostejših primerih razložili, kako smo to narisali. Točki G(V15,1) in H(-V15,1) na daljiči AB imata polmer V2,5. Na sliki 10 vidimo v rdeči krivulji od G' do H' sodčkasto popačenje daljiče GH in v rdečem preostanku blazinasto popačenje daljič AG in BH. Popačitev daljiče AB ima obliko umetniških brkov, kakršni so bili v modi okrog leta 1900. Na [4] imam na GeoGebra Tube interaktivno sliko z naslovom Zapleteno popačenje daljice, kjer je d(s) = -0,13s2 + bs4. Z drsnikom lahko spreminjamo parameter b. Modeliranje popačenja Mnoge funkcije lahko dobro aproksimiramo s polinomi. Ker je d(0) = 0, poskusimo z joO = ais + a2s2 + a3s3 + a4s4 + ... Literatura [3, str. 27], [5, str. 87-90] pravi, da po t. i. Seidelovi teoriji aberacij pri objektivih, sestavljenih iz dobro centriranih lec s sfericnimi površinami, v gornjem izrazu lahko izpustimo lihe potence. Ludwig Seidel je to teorijo objavil v vec člankih v reviji Astronomische Nachrichten leta 1856. Praksa kaže, da pri takih En tak primer smo že podrobno obravnavali. Enostavno popačenje V mnogih primerih lahko v enačbi (5) zanemarimo drugi člen, tako da vzamemo d(s) 2 -= as2 100 in tako ■ r(s) = s(1 + as2). (6) (7) Ce velja enačba (7), bomo to imenovali enostavno popačenje. Razteg radija s znaša r - s = sd(s)/100 = as3. Bistven vpliv na sliko ima predznak koefičienta a. Ce je a > 0, funkčija s ^ d(s) = as2 strogo narašča na intervalu [0, oo]. Povzemimo: ■ Za a> 0 dobimo enostavno blazinasto popačenje. ■ Za a < 0 dobimo enostavno sodčkasto popačenje. Ce to vstavimo v enačbo (2), vidimo, da točki A(x,y) na idealni sliki na popačeni sliki odgovarja točka A' (X, Y) s kartezičnima koordinatama X = x + ax(x2 + y2); Y = y + ay(x2 + y2). (8) Vodoravna premiča z enačbo y = h je sestavljena iz točk (x, h). Zato se popači v krivuljo, sestavljeno iz točk (X, Y), tako daje X = x + ax(x2 + h2); Y = h + ah(x2 + h2). (9) To je parametrična enačba te krivulje; spremenljivka x je parameter. Programi za računalniško geometrijo kot, rečimo, prosto dostopna GeoGebra, znajo narisati take parametrično podane krivulje. Ukaz je Krivulja[ x + a x(xA2 + hA2), h + a h(xA2 + hA2), x, -1.5, 1.5 ], če spremenljivka x teče od -1,5 do 1,5. 1 2 PRESEK 44 (2016/2017) 5 9 MATEMATIKA —^ Na slikah 6 in 8 imamo enostavni popačenji pravokotnega okvirja velikosti 3 x 2, s središčem v izhodišču. Na sliki 6 je a = 0,08, na sliki 8 pa je a = -0,05. Na naslovu [4] sem v GeoGebri naredil interaktivno sliko z naslovom Enostavno popacenje pravokotnega okvirja. Z drsnikom spreminjamo parameter a. Pri a = 0 ni popačenja. TV popacenje Ce imamo le blazinasto ali le sodčkasto popacenje, je zaželena preprosta številska ocena za velikost po-pačenja. Bolj zapletena popačenja in vinjetiranje Kaj pa, če velja formula (5) ali kaj še bolj zapletenega? En tak primer smo že obravnavali in izdelali sliko 9. Objektivi pametnih telefonov in tudi mnogi drugi novejši širokokotni objektivi vsebujejo močno asferične elemente. Zato imajo lahko zelo zapletena popačenja. Na [3, str. 27] imamo grafa funkčije d za tak objektiv pri dveh razdaljah slikanja. Popače-nje sičer ni veliko, a je tako zapleteno, da funkčije d ne moremo dobro aproksimirati s preprostim polinomom. Poglejmo končno primer iz fotografske prakse. SLIKA 11. Tu so A', B', C', D' vogali tipala. SLIKA 12. Zapleteno popacenje pravokotne mreže in temni vogali pri odprti zaslonki. Na sliki 11 so ukrivljene črte popačena slika pravokotnega okvirja s središčem v izhodišču O, pravo-kotnik A'B' C 'D' pa predstavlja tipalo. Kvočient 100 |EG' | |A' D'| je TV popacenje v odstotnih točkah. Nekateri raje uporabljajo SMIA TV popacenje, ki je dvakratnik vrednosti TV popačenja. Vsi ti pojmi in prečejšnja zmeda v terminologiji izvirajo še iz časov katodnih čevi na televizorjih. Uporabljajo pa jih tudi nekatere internetne strani, ki testirajo objektive. Pri primerjalnih testih objektivov velikost popače-nja še zmeraj igra veliko vlogo. Objektivi s fiksno gorišcno razdaljo imajo navadno bistveno manjše popacenje kot zoom objektivi pri enaki gorišcnici. Fotografijo 12 sem posnel s četrt stoletja starim (čenenim) zoomom z goriščno razdaljo 28-80 mm (Canon EF 28-80 mm, 1 : 3,5-5,6 II) na tipalu »polnega formata« (Full Frame, kratko FF), to je velikosti približno 36 mm x 24 mm. Z zrčalom na mizi sem poskusil doseči, da je os slikanja pravokotna na tarčo. Goriščna razdalja je znašala 28 mm in izbral sem najmanjšo možno razdaljo slikanja. Vidno je popačenje, v glavnem sodčkasto. Edinole v vogalih se slika najvišje (najnižje) črte neha približevati vodoravni simetrali slike in se morda čisto v kotu čelo začne oddaljevati. Po formuli (4) torej v vogalih funkčija d neha padati in je skoraj konstantna, morda čisto v kotu čelo začne naraščati. Torej to ni enostavno popačenje. Cisto v kotu imamo morda čelo malče blazinastega popačenja. 10 PRESEK 44 (2016/2017) 5 MATEMATIKA Slika je bila posneta (1 : 3.5). Vogalčki so t t- -rr or - e-8-Va- a- ES- ■OL •8 ■L ■9 ■s -17 -e ■z -rt -H 111 i -f —_ —_ i | 1 - — i äl iL 91 61 H EL Zi U OL 6 8 L 9 S t> E [Z 1 L Zl E fr S 9 L 8 6 0LILZI EL M SL 9L ¿L sr vr ar ar m er sr rr or e 8 v a a £ e L s r s J e & a a v 8 e or rr sr Er or ar ar vr sE- a-aV-8e-or-rr- ■i ■z -e •t ■s ■9 ■L ■8 •6 ■OL ■LL —H I tez _ ■ X0L Zl»6 | 81« 1 - - M* 81 I Uo.1 i -- tr j 1 | ■ - T — ■ —________ !! Illfflii ¡i ti 9i a w a a ll oi 68{9SfrEp ir vr ar ar m sr sr rr or e 8 t a s fr e L mmiii iTO- "illr. z: i.Ty__ ------------___ SI« L----- I-škJ—__ZZZ Z «i______ pri povsem odprti zasloni rnni, temu pravimo vinjet no. Vinjeta pomeni prvotn ali besedila. V fotografiji p imnitev vogalov. Vinjetiranj zaželeno, ker osredotoči pc grafije. Včasih ga pričaram ivnavani reprodukciji pa na — or- ------------1 1 _ e:;6--------IQZT _ - ------------------- — T--L-----------1___ _ a-.9------------|________ = i:::i=S5±::EEE=E — E--e---------------- — s--s---------------- — r--i —I—I————————————-- | ■ | jlc t s 9 ( 8 8 « ii aa «aa r f •■ r s J e f a a v 8 e or rr sr er or ar ar — s-z ---------------- — e--e---------------- — - > —FfcH-;------:: — a--s-------------- — a--9 ---------------- — v--/ ---------------- — 8--8 ----------------- - e;"6--------J- ZZZZ — or- -----------—— PRESEK 44 (2016/2017) 5 11 MATEMATIKA —^ roba do roba. Vredno je kupiti novejše konstrukcije, saj je kontrola kakovosti boljša in pri zrcalno refleksnih aparatih je t. i. fazno avtomatično ostrenje z novimi tipi motorčkov precej bolj zanesljivo. Literatura [1] P. Legiša, Moteča perspektiva, Presek 44 (2016), 1,4-14. [2] R. Cicala, Lensrentals Repair Data: 2012-2013, https://www.lensrentals.com/blog/2013/ 08/lens rentals-repair-data-2012-2013/, ogled: 1. 3. 2017. [3] Strokovnjaka firme Zeiss razlagata popacenje: B. Honlinger, H. H. Nasse, Verzeičhnung, Carl Zeiss Camera Lens News, Photo-Objektive, Oktober 2009, http://www.zeiss.com/ content/dam/Photography/new/pdf/ de/cln_archiv/cln33_de_web_speci al_ distortion.pdf, angleška verzija: Distortion, http://lenspi re.zei ss.com/en/ wp-content/uploads/sites/2/2016/01/ cln33_en_web_special_distortion.pdf, ogled: 1. 3. 2017. [4] Interaktivne ilustracije clanka so na avtorjevi strani na GeoGebra Tube: https://www.geogebra.org/peter. legi sa, ogled: 1. 3. 2017. [5] S. F. Ray, Applied photographič optičs, Second ed., Focal Press, Oxford 1995. [6] R. Cicala, Fun with field of fočus II, https://www.lensrentals.com/blog/2016/ 11/fun-with-field-of-focus-i i-copy-to-copy-variation-and-lens-testi ng/, ogled: 1. 3. 2017. [7] R. Cicala, Is your čamera really the best optičal test, https: //www .lens rental s. com/bl og/ 2016/09/is-your-camera-really-the-best-optical-test/, ogled: 1. 3. 2017. [8] Cambridge in Colour, Lens Diffračtion and Photography, http://www.cambri dgei ncolou r. com/tutori als/di ffracti on-photog raphy. htm, ogled: 1. 3. 2017. _ XXX Vsota kvadratov prvih n zaporednih naravnih števil nU NU NU Jens Carstensen in Alija Muminacic -> Ko boste prebrali naslov, si boste verjetno mislili, saj to pa dobro poznamo. Kaj novega pa lahko še izvemo? Avtorja misliva drugače in zato sva napisala ta članek. Najprej opišimo zgled, kje na omenjeno vsoto lahko naletimo v življenju. Zamislite si jabolka, zložena v kvadratno piramido. Eno na vrhu, pod njim so štiri, zložena v kvadrat s stranico po dve jabolki, v tretji plasti nato sledi devet jabolk in tako dalje. Koliko je vseh jabolk v piramidi, ce vemo, iz koliko plasti je sestavljena? Ravno toliko, kot vsota, ki jo obravnavamo. Poznamo mnogo (tudi zelo duhovitih) doka- 12 PRESEK 44 (2016/2017) 5 MATEMATIKA zov, da je Od tu brez težav izrazimo S2 = 12 + 22 + 32 +... + n2 = n(n + 1)(2b + 1) 6 . (1) Eden od takih je tudi ta dokaz: enostavno preverimo, da za vsa realna števila a velja enostavna zveza: ■ a(a + 1)2 - a(a - 1)2 = 4a2. Če za a po vrsti vstavljamo naravna števila 1, 2, 3, ..., n, dobimo vrsto enačb: od 1 ■ 22-1 ■ 02 = 4 ■ 12 do n(n + 1)2-n(n - 1)2 = 4n2. Vrsto enacb nato seštejmo: ■ 1-22 + 2 ■ 32+.. . + (n-1)n2+n(n+1)2-1 ^02-2 ■ 12- - (n - 1)(n - 2)2 - n(n - 1)2 = S2 = 2n3 + 3n2 + n n(n + 1)(2n + 1) 6 6 Ta dokaz je neizpodbiten (in eleganten), vendar nanj lahko damo nekaj pripomb: 1. Kako vemo, da je vsota kvadratov prvih zaporedni naravnih števil enaka prav n(n+1)6(2n+1) ? 2. Kako smo se domislili enačbe a(a + 1)2 - a(a - 1)2 = 4a2? Pokazali bomo, kako lahko zaslutimo, da velja enačba (1). Dobro je znana vrsta prvih n zaporednih naravnih števil: n(n + 1 ) ■ S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n = Oglejmo si sledečo tabelo 1. 2 (2) Vidimo, da je S2 = za n = 1, 2, 3,... Od tu = 4(12 + 22 + ... + (n - 1)2 + n2). Vidimo, da se na desni pojavi člen, ki bi ga radi izračunali. Člene na levi lahko preuredimo in pri tem upoštevamo, da je 1 ■ 02 = 0 v: ■ - 2 ■ 12 + 1 ■ 22 - 3 ■ 22 + 2 ■ 32 + ... + + (n - 1)n2 + n(n + 1)2 = 4S2. Upoštevajmo še 1 ■ 22 - 3 ■ 22 = -2 ■ 22, 2 ■ 32-4 ■ 32 = -2 ■ 32,...,(n - 2)(n - 1)2 - n(n - 1)2 = -2(n - 1)2, pa dobimo ■ - 2[12 + 22 + ... + (n - 1)2] + (n - 1)n2 + + n(n + 1)2 = 4S2. Izraz v oglatih oklepajih lahko izrazimo z vsoto, ki jo želimo izračunati: 12 + 22 +... + (n - 1)2 = S2 - n2 in ostane nam: ■ - 2(S2 - n2) + n2 - n2 + n3 + 2n2 + n = 4Sn. sledi: S2 = (2n + 1)S1 _ (2n + 1) ■ ^^ 3 3 _ n(n + 1)(2n + 1) = 6 . Deduktivno iskanje kvočientov je zelo zanimivo in nam da idejo, kako priti do izraza, vsekakor pa to ni dokaz. To zvezo bi lahko dokazali npr. z indukčijo. Poskusite! Literatura [1] A. Muminagič, Suma kvadrata prvih n uzasto-pnih prirodnih brojeva, časopis MiŠ, 59, 60 in 61, 2011. [2] J. Čarstensen, Kvadratsummen, Matematik Ma-gasinet 78, 2014. [3] G. S. Barnard, Looking for patterns, The mathe-matičal gazette, 436, 1982. n S1 6 6 14 10 15 21 91 S2 30 55 S2 S1 M 6 30 10 55 15 11 3 91 21 13 3 TABELA 1. XXX PRESEK 44 (2016/2017) 5 13 1 3 4 5 5 FIZIKA Optična »nevidnost« z lečami vU vU nU Robert Hauko, Jakob Murko, Leo Strmšek, Jana Padežnik Gomilšek in Robert Repnik -> Kako doseči optično »nevidnost«? Ali bolje rečeno: Kako optično preslikati območje iz geometrijske sence predmeta (»ozadja«) pred predmet in ustvariti iluzijo (delnega) izginotja predmeta? Fotografija na sliki 1 kaže, da je to mogoče. Za opisano »čarovnijo« lahko uporabimo leče, zrčala ali kombinačijo obojega. V spodnjih vrstičah sledi opis ustvarjanja »nevidnosti« z lomom svetlobe. SLIKA 1. Deli roke lahko postanejo »nevidni«. Za zacetek je dovolj le ena zbiralna leca. Predmet (merilni trak) postavimo med gorišce in leco tako, da leži vzporedno z gorišcno ravnino. V tem primeru deluje zbiralna leca kot lupa, nastane pokoncna po-vecana slika merilnega traku. Na sliki 2 je prikazana fotografija traku, vendar pa - na fotografiji ne vidimo vseh enot merilnega traku. Kam so »izginile«? Na sliki 3 je prikazana shema preslikave, pri cemer je f gorišcna razdalja lece, a oddaljenost predmeta SLIKA 2. Fotografija merilnega traku - deloma skozi lupo, deloma neposredno. Na sliki ni številčnih oznak med 5 in 7 ter med 1 3 in 15. od lece in b razdalja med sliko in leco. K nastanku slike prispeva vsa svetloba, ki izhaja iz predmeta in vpade na leco. Lego slike posamezne tocke predmeta (npr. tocke 1 ali 2) lahko konstruiramo z dvema žarkoma: vzporedni žarek na drugi strani lece poteka skozi desno gorišce lece, središcni žarek ne spremeni smeri. Navidezna slika je v presecišcu njunih podaljškov. Tudi podaljški vseh drugih žarkov iz iste tocke predmeta, ki gredo skozi leco, se sekajo v tej tocki. Dobimo pokoncno povecano sliko predmeta. Ta je tem vecja, cim bližje levemu gorišcu je predmet. Ko opazujemo sliko z ocesom ali fotoaparatom, vidimo samo svetlobo, ki vpade na zenico ali objektiv fotoaparata. Na dani razdalji od lece jo ponazorimo z žarki iz posamezne tocke predmeta, ki gredo skozi majhen del lece (npr. temnejši zeleni snop na sliki 3 za sliko tocke 1). Ce želimo videti preslikavo celotnega predmeta, moramo opazovati zelo blizu zelo majhne lece ali pa spreminjati lego ocesa. V primeru, ko opazujemo sliko z ocesom ali fotoapa- 14 PRESEK 44 (2016/2017) 5 14 FIZIKA ratom na optični osi na veliki oddaljenosti od leče, vidimo samo del slike, ki leži v »geometrijski senci« leče (modro območje). Pri takem opazovanju vidimo le svetlobo, ki je po lomu na leči skoraj vzporedna z optično osjo in vpade v oko ali na objektiv fotoaparata. V limiti neskončne oddaljenosti jo ponazorimo z žarki, ki potekajo iz točk predmeta znotraj stožča z vrhom v gorišču in osnovno ploskvijo na leči (oranžno območje), »geometrijska senča« pa dobi obliko valja (temnejše modro območje). Za opa-zovalča rdeči deli predmeta navidezno izginejo, opazuje lahko preslikan spodnji del predmeta ter neposredno vrhnji del predmeta (mimo leče), oboje je označeno zeleno. Na fotografiji merilnega traku (slika 2) torej manjkajo dolžinske enote v območju, ki je na sliki 3 označeno z rdečim. Iz podobnih razlogov ne opazimo slike posameznih delov predmeta tudi v primeru, ko predmet postavimo na razdaljo a od leče tako, da velja f < a < 2f (slika 4). V približku velja, da pri opazovanju na veliki oddaljenosti od leče ne vidimo točk, ki ležijo v prostoru za lečo zunaj označenih oranžnih stož- čev. To območje imenujemo »skrito območje« in ga lahko izkoristimo za umeščanje predmetov, katerih dele želimo »narediti nevidne«. Zdaj nam preostane še drugi del naloge - preslikava ozadja. Ko postavimo lečo pred navpično ravnino (»ozadje«) tako, da je ravnina leče z njo vzporedna, goriščna ravnina leče pa je na sredini med lečo in ozadjem, nastane na razdalji b od leče enako velika obrnjena slika ozadja. S pogojem a = 2f iz enačbe leče 1/a + 1/b = 1/f izračunamo vrednost b = a, za razmerje med velikostjo slike in predmeta m = -b/a pa m = -1. Slika 5 prikazuje potek žarkov pri preslikavi ozadja. Pri preslikavi posamezne točke ozadja sodeluje vsa svetloba, ki izhaja iz te točke in vpade na lečo. Ko z očesom ali fotoaparatom opazujemo sliko daleč stran od leče, nas iz tega snopa doseže le svetloba, ki je skoraj vzporedna z optično osjo. Za točko 1 na sliki 5 ponazorimo to svetlobo s snopom žarkov, ki so skoraj vzporedni z goriščnim žarkom in potekajo skozi spodnji rob leče (zeleno). Točka 2 je od optične osi enako oddaljena kot rob leče. Svetlobo, ki izhaja NAVIDEZNA SLIKA 3. Shema preslikave pri lupi in opazovanje slike predmeta na končni razdalji od lece. Zaradi preglednosti je predmet narisan samo na eni strani optične osi. Razdalja med sliko in leco (b) je odvisna od lege predmeta (a) in goriščne razdalje lece (f). Prikazani so žarki, s katerimi konstruiramo nastanek slike dveh točk predmeta (točki 1 in 2). Večina žarkov po lomu na leči ne seka objektiva fotoaparata. Vidimo lahko - skozi lečo ali neposredno mimo nje - samo zeleno obarvane dele premeta. V limitnem primeru, ko opazujemo na neskončni razdalji od leče, vidimo preslikane samo tiste dele predmeta, ki se nahajajo znotraj oranžno obarvanega stožča. 18 PRESEK 44 (2016/2017) 5 15 FIZIKA -> 15 predmet zbiralna leča fotoaparat SLIKA 4. Shema preslikave za predmet na razdalji a od leče, tako da velja f < a < 2f, pri čemer je f goriščna razdalja lece in b razdalja med sliko in lečo. Tudi v tem primeru lahko pri opazovanju na optični osi daleč od leče vidimo samo del slike, ki leži v »geometrijski senci« leče. V limiti neskončne razdalje postane to območje valj (modro), vidimo lahko le preslikave točk predmeta, ki ležijo znotraj levega oranžnega stožča. i ozadje leča slika ozadja 12 fotoaparat skrito nobmočje/ K skritoN. območje n. I \ 1'____1 I / , b i . SLIKA 5. Nastanek slike ozadja s potekom žarkov in skritim območjem za nevidni predmet. Pri opazovanju slike z očesom ali s fotoaparatom so pomembni le žarki, ki so po lomu na leči skoraj vzporedni z optično osjo (npr. zeleno obarvan snop). iz te točke in vpade na lečo, ponazorimo s snopom žarkov, ki ga omejujeta goriščni in vzporedni žarek (oranžna črta). Ti žarki ne sekajo objektiva fotoaparata. Točka 2 leži na robu vidnega območja in jo lahko opazimo šele v limiti neskončne oddaljenosti fotoaparata od slike. Velja, da na nastanek slike vplivajo le žarki z ozadja, ki potekajo skozi oranžna svetlobna stožca z vrhom v gorišču in z osnovnima ploskvama na ozadju oziroma leči. Tako smo pokazali, da predmeti v »skritem območju« ne ovirajo nastanka slike ozadja, če jo opazujemo na op- SLIKA 6. Optično izginjanje delov predmeta z uporabo zbiralne leče. Predmete, ki jih skrivamo (škarje, del paliče), postavimo v bližino goriščne ravnino leče tako, da poteka optična os leče mimo njih. tični osi leče v veliki razdalji od leče (mnogo večji od goriščne razdalje leče). »Skrito območje« povečamo z uporabo leče s čim večjo goriščno razdaljo. Slika 6 prikazuje fotografiji izginjanje delov predmetov -škarij in kovinske paliče. Slika ozadja je zrčaljena glede na optično os leče, vendar tega ne opazimo, saj smo izbrali ozadje, ki je na to os zrčalno simetrično. Z uporabo večjega števila leč lahko odpravimo zr-čaljenje slike ter zmanjšamo odvisnost od zornega 18 PRESEK 44 (2016/2017) 5 FIZIKA OZADJE LECA 1 LECA 2 LECA 2 LECA 1 SLIKA OZADJA SLIKA 7. Prikaz poteka žarkov pri uporabi sistema iz štirih zbiralnih lec. Razdalja med zunanjima paroma lec (leci 1 in 2) je enaka vsoti njunih gorišcnih razdalj, razdalja med notranjima lecama pa je v splošnem lahko poljubna. Zgoraj je shema poteka žarkov, spodaj pa fotografija eksperimenta in dveh skrajnih žarkov. Potek žarkov je dobro viden zaradi sipanja laserske svetlobe na parafinski pari. kota opazovanja in morebitnega odklona točke opazovanja od optične osi. Enega od možnih sistemov predstavlja simetrična postavitev dveh parov enakih zbiralnih leč [1], prikazana na sliki 7. Ideja zakrivanja ostaja ista, »skrito območje« se precej poveča, slika ozadja ni obrnjena. Snop vzporednih žarkov iz oddaljenega ozadja po lomih na prvih dveh lečah zožimo, z lomoma na drugih dveh lečah pa dobimo prvotno širino snopa z ohranjeno orientačijo. SLIKA 8. »Izginjanje« delov predmetov z uporabo lecja iz štirih zbiralnih lec. Opisani eksperiment je v obliki filma dostopen na spletnih straneh [2]. Na sliki 8 so prikazane fotografije »nevidnih predmetov«, pri katerih smo uporabili opisani sistem iz štirih lec. Ste dobili ob branju tudi že lastno idejo ustvarjanja »nevidnosti«? In kako doseci »nevidnost« z odbojem svetlobe na zrcalih? O tem kdaj drugic, za motivacijo k lastnemu raziskovanju pa tokrat le povezava na enega od posnetkov na spletnih straneh [3]. Literatura [1] J. S. Choi in J. C. Howell, Paraxial ray optics cloaking, Optics Express, 22, 29465-29478, 2014. [2] https://www.youtube.com/watch?v= KH6W9qFwsWw, ogled: 3. 3. 2017. [3] https://www.youtube.com/watch?v= oJb9RnAVDuE, ogled: 3. 3. 2017. XXX www.presek.si www.dmfa.si PRESEK 44 (2016/2017) 5 19 FIZIKA Vertikalni temperaturni gradient Jože Rakovec -> Opis spreminjanja temperature z višino, vertikalni temperaturni gradient, ki je bil podan v prispevku v [1] prejšnji številki Preseka, potrebuje nekaj dodatnih pojasnil. Sončevo obsevanje je skoraj edini vir toplote za Zemljo (dotok toplote iz njene vroče srediče prispeva skoraj štiri tisočkrat manj). Ce bi toploto samo dodajali, bi bilo vse topleje in topleje. A ni tako, ker Zemlja tudi oddaja toploto v vesolje z infrardečim sevanjem - toliko, kot je dobi od Sonča, toliko je odda. Ker čist zrak skoraj popolnoma prepušča Sončeve žarke, se od Sonča neposredno ogrevajo le tla (od tistega, kar se ne odbije od tal nazaj navzgor). Mirujoč zrak je obenem zelo dober toplotni izolator, zato se od tal navzgor toplota skoraj nič ne prevaja; prevaja pa se v tleh - podnevi navzdol v globino, ponoči z globine proti površini. Ce ne bi bilo še drugih načinov prenosa toplote od tal navzgor, bi bilo pri tleh zelo vroče, zgoraj v ozračju pa zelo mraz. Razlike bi bile seveda posebej velike podnevi, ko Sonče obseva tla, manjše pa ponoči. Toplota od tal se vseeno prenaša tudi v višine, a skoraj nič s prevajanjem, ampak z dviganjem toplega zraka v višine, z infrardečim sevanjem, pa tudi tako, daje toplota, ki se porabi za izhlapevanje vode iz tal (iz morij in iz vlažnih kopnih tal) »skrita« v zraku (s tem, da je v zraku para). Ko se para »tam zgoraj« v oblakih kondenzira nazaj v vodne kapljiče, se ta toplota ponovno »prikaže tam zgoraj«. Zato je v povprečju po vseh krajih na Zemlji, preko dneva in noči ter v vseh letnih časih temperatura pri morju 15 °C, zgoraj, kjer letijo letala (okrog 10 km visoko), pa poleti in pozimi okrog -50 °C. Torej v povprečju beležimo 65 °C razlike na 10 km ali -6,5 °C na kilometer višinske razlike. Ni pa vedno in povsod tako. Vsako noč, posebej močno pa pozimi, se zrak pri tleh ohladi in je prav pri tleh najbolj mrzlo. Ta pojav je še posebej izrazit v kotlinah, kamor se z okoliških pobočij nateče mrzel, gost zrak in se ujame v kotlino (kot voda v škaf). Tedaj je lahko pri tleh tudi za pet, deset ali čelo več stopinj hladneje kot 100 ali 200 m višje. Takrat torej temperatura zraka z višino ni vse nižja, ampak obratno - višja. Takemu pojavu rečemo temperaturni obrat ali temperaturna inverzija. Včasih je v posameznih plasteh zraka kar po vsej višini enaka temperatura - temu rečemo izotermija. Redkeje, a vseeno tu in tam, pa se temperatura z višino znižuje tudi za več kot -6,5 °C/km. To je tedaj, ko se zrak po višini izrazito meša: deli zraka se dvigajo, drugi deli pa spuščajo. Pri dviganju zrak prihaja v višine, kjer je zračni tlak nižji. Ker ga nič ne zadržuje, se tlak v njem prilagaja tistemu okoli njega tako, da se mu poveča volumen. Tako se tlak znotraj zraka, ki se je dvignil, zniža. Za povečanje volumna pa je treba odriniti okoličo, v kateri je tlak p - to pa pomeni, da zrak ob povečevanju volumna opravlja delo + pAV. To delo »plača« z znižanjem svoje notranje energije - mcvAT. Upoštevamo enačbo stanja plina pV = mRT/M in iz tega pAV + VAp = (mR/M)AT, kako se zračni tlak spreminja z višino: dp = -pgdz = -(m/V)gdz, ter da je R/M = cp - cv in ugotovimo, da se zraku, ki se dviga, temperatura niža: AT = -(g/cp) ■ Az = -9,8 ° C/km ■Az. Tam kjer je dviganje, se torej temperatura znižuje bolj, kot v povprečju: « -10 °C/km. 20 PRESEK 44 (2016/2017) 5 20 FIZIKA Ob spušcanju pa obratno: zrak ki pride »dol«, okolica stisne na svoj tlak - in zato se spušcajoci se zrak ogreva z globino za « 10 °C/km. Ker se ob vertikalnem mešanju dogaja tudi mešanje po horizontali, se torej povsod na takem podrocju vzpostavi upad temperature z višino « -10 °C/km. Kje pa se pojavlja tako mocno zniževanje temperature z višino? Dviganje zraka je pod oblaki, v okolici pa je za izravnavo spušcanje zraka. Kjer vidimo, da nastajajo oblaki, je A T « -10 °C/km -A z. Kako dolgo to traja? Dokler se zrak dviga. Kaj pa kjer ni oblakov? Tam se zagotovo temperatura z višino znižuje za manj, kot za « -10 °C/km. In pov-precno? Kot smo že povedali, v povprecju je T = -6,5 °C/km -Az. To je povprecje med vsemi najra-zlicnejšimi možnostmi; vkljucno z obmocji, kjer so temperaturne inverzije, kjer so izotermije, vkljucno z obmocji z zmernim padcem temperature z višino ter vkljucno z obmocji, kjer se zrak izrazito meša in zato temperatura z višino mocno pada. višina [km] 90 80 70 60 gostota [kg/m3] 200 400 600 800 1000 1200 tlak [hPa] -100 -80 temperatura [°C] SLIKA 1. Nad troposfero začne temperatura naraščati do višine 50 km, nato pa spet pada. Grafi kažejo temperaturo (modro), gostoto (rdeče) in tlak (zeleno) zraka na različnih nadmorskih višinah, kot jih definira Mednarodna standardna atmosfera. Literatura [1] A. Mohoric, Atmosferski tlak in plastenka, Presek 44, 4 (2016/17), 30-31. _XXX Barvni sudoku •i' V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati zacetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil. 5 1 6 6 4 7 4 8 3 6 4 7 2 3 8 4 7 6 5 3 O □ m > a. < m > m a 17 5 Z L 6 8 L E E 7 9 8 L 17 Z S 9 L 4 S 8 L 3 Z Z 8 7 E 4 S 6 L L 3 8 9 S Z 4 7 L 4 S Z E 6 L 8 8 9 E L Z 1 S 17 S Z L 17 L E 8 9 XXX PRESEK 44 (2016/2017) 5 21 ASTRONOMIJA Izzivi enostavne astrofotografije nU NU NU Andrej Guštin -> Fotografija je zelo močna astronomska metoda, ki pa ima ogromno »sovražnikov«. Sovražniki astronomske fotografije so naravne, tehnične in druge danosti, ki nam preprečujejo jasen pogled v vesolje. Pokaže pa se, da lahko z relativno enostavnimi prijemi in ne predrago opremo te ovire premagamo. Cilj mladega astronoma pa ne more biti samo lepa astronomska fotografija, temveč mora fotografija služiti tudi meritvi oziroma spoznavanju osnov astronomije, zato vam tokrat predlagamo tudi nekaj takih izzivov. SLIKA 1. »Sovražniki« Majhen sij nebesnih teles Vesoljska telesa so daleC, zato je gostota svetlobnega toka, ki pride od njih na Zemljo, zelo majhna. V astronomiji navadno namesto gostote svetlobnega toka uporabljamo pojem navidezni sij, ki je izražen v magnitudah. Izjemi sta seveda Sonce in Luna. Ce hoCemo na Cip kamere ujeti šibko svetlobo daljnih vesoljskih teles, moramo fotografirati z dolgimi Casi osvetlitve - od nekaj sekund pa do veC ur. Potrebni Cas osvetlitve je odvisen od veC faktorjev, ki so opisani v nadaljevanju. Poseben primer je snemanje svetlih planetov, ki se jih z nekoliko večjimi teleskopi in videokamerami lahko lotimo drugaCe kot snemanja zvezd in megli-Castih objektov. Vrtenje neba Verjetno ni potrebno poudarjati, da se nebo navidezno vrti okoli nebesnih polov, ker se Zemlja vrti okoli svoje osi. To pomeni, da nebesna telesa niso pri miru, kar onemogoCa dolge Case osvetlitve, Ce njihovemu gibanju ne sledimo. Ce fotoaparat postavimo na stojalo, ga usmerimo v nebo in naredimo nekaj -minutno osvetlitev, potem zvezde na fotografiji niso pike temveC svetle sledi. Daljša kot je gorišCna razdalja objektiva, daljše sledi se v enakem Casu osvetlitve zarišejo. Videli bomo, kako lahko to izkoristimo za nekaj astronomskih vaj. S primerno kratkimi Casi osvetlitve in izbiro krat-kogorišCnih objektivov pa je navidezni premik nebesnih teles tako majhen, da so zvezde na fotografiji videti kot pike. Tudi to je zabaven naCin fotografi- 22 PRESEK 44 (2016/2017) 5 SLIKA 2. Zvezdne sledi ranja neba, ki mu nekateri pravijo kar nebesno kraji-narstvo. Seveda lahko fotoaparat pritrdimo tako, da sledi vrtenju neba. Takrat pa lahko čase osvetlite podaljšamo do meje, ki jo postavljajo druge okoliščine. Ozračje Plinasti omot Zemlje nam omogoča življenje, za astronomijo pa je pravi strup, in to iz več razlogov. Pri prehodu svetlobe vesoljskih teles skozi nemirno ozračje, se ta lomi, sipa, vpija. Zaradi gibanja zračnih gmot je slika nebesnih teles nemirna - migota. Posledično lahko na nebu razločimo podrobnosti, ki so večje od zmazka slike, ki nastane zaradi migota-nja. To pomeni, da nam ozračje omejuje ločljivost. Zvezde so točkasta svetila, vendar je zaradi tega pojava njihova slika razmazana v svetel krogeč, katerega premer je odvisen od nemirnosti ozračja. V idealnih pogojih je premer tega krogča okoli kotne sekunde, pogosteje pa je mnogo večji, tudi do 10 kotnih sekund. Ce je ozračje mirno, lahko razločimo dve zvezdi, če sta na nebu eno kotno sekundo narazen, v slabih razmerah pa ne. Težav z ozračjem je še veliko, od očitnih oblakov do manj očitne ekstinkčije, zaradi katere je isto nebesno telo nizko nad obzorjem videti manj svetlo, kot če je blizu zenita. Svetlobno onesnaženje Težave z ozračjem pa se ne končajo pri naravnih danostih. Svetloba, ki jo ponoči ustvarja človek, gre tudi v ozračje in ga razsvetljuje. Temu pravimo svetlobno onesnaženje, zaradi katerega je ozadje neba svetlejše, kot če umetne razsvetljave ne bi bilo. Kako to vpliva na astronomsko fotografijo? Dramatično! Zaradi svetlobnega onesnaženja ne moremo videti in fotografirati svetlobno šibkejših nebesnih teles. Svetlobno onesnaženje lahko zlahka posnamete. Ce podaljšujete čas osvetlitve nočnega neba, potem bo zaradi svetlobnega onesnaženja slika vse svetlejša, kot bi bil dan, in zvezdnih sledi ne bo več videti. PRESEK 44 (2016/2017) 5 23 ASTRONOMIJA tudi 100.000 ISO. Žal pa stvari niso tako enostavne. Z večanjem ISO se veča tudi »šum« na sliki, kar pomeni, da postane slika pri velikih ISO zelo »motna«. Pri enostavni astronomski fotografiji navadno uporabljamo nastavitve občutljivosti med 800 ISO in največ 3200 ISO, kar je odvisno od tipa fotoaparata. Sledi nekaj astronomskih izzivov: SLIKA 3. Svetlobno onesnaženje Optika 1. astrofotografski izziv Izračunaj ali izmeri zorno polje svojega fotoaparata pri različnih goriščnih razdaljah objektiva (to velja za objektive z zumom). Lahko pa zorno polje izračunaš in izmeriš ter nato primerjaš rezultate. Namig. Če boš zorno polje poskušal izračunati, potem ugotovi velikost svetlobnega tipala v fotoaparatu (ne brskaj po fotoaparatu, temveč po internetu). Za slikanje nočnega neba lahko uporabite vsak digitalni fotoaparat. Najboljši so zrčalnorefleksni fotoaparati, pri katerih lahko zamenjujete objektive, če jih seveda imate. Ker je sij nebesnih teles majhen, ozračje in vrtenje neba pa vam omejujeta trajanje osvetlitve, morate v čim krajšem času na tipalo fotoaparata spraviti čim več svetlobe. Pri tem je najpomembnejša t. i. svetlobna jakost objektiva, ki pomeni razmerje med goriščno razdaljo f in premerom objektiva D. Navadno je na objektivih oz. fotoaparatih označena z vrednostmi 1,8, 2,8, 3,5, 4, ki jih lahko spreminjamo z zaslonko. Manjša, kot je ta vrednost (razmerje f/D), več svetlobe pride v enakem času na tipalo oziroma svetlobno občutljivi čip fotoaparata. Pomen f/D je za astronomijo očiten. Elektronika Fotoaparati pa premorejo še en nadzor nad svetlostjo slike - občutljivost, ki jo izražamo v enotah ISO (kratiča izhaja iz angleškega imena za Mednarodno organizačijo za standardizačijo). Navadno si občutljivosti sledijo kot 100 ISO, 200 ISO, 400 ISO, 800 ISO itd. Večja, kot je vrednost ISO, bolj je tipalo občutljivo na svetlobo - pri enaki osvetlitvi bo slika pri 800 ISO mnogo svetlejša kot pri 100 ISO. To se zdi čudovita rešitev za astronomsko fotografijo, saj nekateri sodobni fotoaparati premorejo 2. astrofotografski izziv Izmerni mejno magnitudo zvezd na lastnem posnetku nočnega neba. Kako je ta odvisna od časa osvetlitve, svetlobne jakost objektiva, svetlobnega onesnaženja? Namig. Za to vrsto fotografije ne potrebuješ sledenja. Pri določanju magnitud zvezd na posnetku si pomagaj s programom Stellarium (http://www. stellarium.org) ali podobnim računalniškim pla-netarijem. 3. astrofotografski izziv Na podlagi lastne fotografije izmeri oddaljenost Se-verniče od severnega nebesnega pola v kotnih minutah. Namig. Pri fotografiranju uporabi objektiv s čim daljšo goriščno razdaljo. Pri fotografiranju ne potrebuješ sledenja. Dobro je poznati zorno polje, ki ga fotografija pokriva. Priložena fotografija (slika 4). 4. astrofotografski izziv Ali so zvezde res različnih barv? Kakšnih? 24 PRESEK 44 (2016/2017) 5 RAZVEDRILO Namig. Lahko posnameš zvezdne sledi. Lahko fotografiraš s krajšimi časi osvetlitve in z nekoliko ne-izostrenim fotoaparatom, da se slike zvezd spremenijo v nekoliko večje krožče. Križne vsote vU vU vU -> Naloga reševalča je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrstičah in po stolpčih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstiče (stolpča) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstiči (stolpču) različne. SLIKA 4. Ker Severnica ni tocno na severnem nebesnem polu, navidezno križi okoli njega. 21 14 12 11 ■ \ 5 18 7 • 9 sU vU nU REŠITEV KRIŽNE VSOTE SLIKA 5. Na neostri sliki so barve zvezd lepše vidne. Prepoznaš ozvezdje na sliki? _ XXX 17 S S L L z 6 9 81 s L E Z > 6 L 8 L S 9 11 E 6 XXX PRESEK 44 (2016/2017) 5 25 RAČUNALNIŠ TVO Algoritem BatMiner za rudarjenje asociativnih pravil Iztok Fister ml. in Iztok Fister -> Razvoj spletnega računalništva dandanes spremljata dva med seboj tesno prepletena izziva: velika količina neraziskanih podatkov v podatkovnih bazah in eksponentna rast računske moči računalniških sistemov. Prvi izziv je pripeljal do nastanka moderne računalniške disčipline podatkovno rudarjenje, katerega čilj je odkrivanje infor-mačij, skritih v podatkih, medtem ko drugi izziv poskuša zadovoljiti vse večje zahteve spletnega računalništva po pročesorski moči in velikosti po-mnilniških medijev. Dejansko je prav zadnji omogočil veliko rast in razvoj podatkovnega rudarjenja v zadnjem desetletju. Podatkovno rudarjenje je multidisčiplinarno področje, ki se zgleduje po prinčipih ostalih znanstvenih področij, matematike, statistike, računalništva, fizike, inženirstva. Na to področje so imele največji vpliv naslednje disčipline: statistika z uporabo statističnih metod in vizuali-začijo podatkov, umetna inteligenča z uporabo metod strojnega učenja, metode računske inteligenče in sistemi podatkovnih baz. Dandanes se na tem področju pojavlja več vrst apli-kačij, ki jih lahko razdelimo v napovedne in opisne. Prvi tip aplikačij je namenjen napovedovanju (npr. klasifikačija, regresija) vrednosti ene ali več spremenljivk v prihodnosti na podlagi dela spremenljivk v podatkovnih bazah, medtem ko se drugi tip (npr. gručenje, rudarjenje asočiativnih pravil, odkrivanje zaporednih vzorčev) ukvarja z identifikačijo vzorčev za opis podatkov, shranjenih v podatkovnih bazah, in njihovo vizualizačijo na način, ki je enostavno razumljiv uporabnikom. V tem članku se osredoto-čamo na rudarjenje asočiativnih pravil. Rudarjenje asočiativnih pravil je pročes identifiči-ranja pravil odvisnosti med objekti znotraj velikih transakčijskih podatkovnih baz [4]. S temi pravili iščemo povezave med objekti oziroma napovedujemo pojavitev objektov v primeru, da se pojavi določeno sosledje drugih objektov. Formalna definičija rudarjenja asočiativnih pravil je naslednja: Predpostavimo, da sta podani množiča objektov O = {o1,..., on} in množiča transakčij T v transakčijski podatkovni bazi D, kjer je vsaka tran-sakčija t G T podmnožiča objektov T c o. Potem lahko asočiativno pravilo definiramo kot implikačijo oblike X = Y, (1) kjer velja X c O, Y c O in X n Y = 0. Množičo mogočih pravil očenimo z naslednjima meriloma [1]: supp(X == Y) = in conf (X = Y) = |{t e T ; X u t} IT | supp(X u Y) supp(X ) (2) (3) 26 PRESEK 44 (2016/2017) 5 26 RAČUNALNIŠ TVO kjer podpora supp(X = Y) označuje, kako pogosto se objekt X pojavlja v transakcijski podatkovni bazi in zaupanje conf (X == Y), kako pogosto asociativno pravilo X == Y vrača vrednost pravilno. Iz te množice izberemo tista pravila, ki izpolnjujejo nasledni relaciji: ■ SUpp(X = Y) > Smin in ■ conf (X = Y) > C min, kjer Smn oznacuje minimalno zaupanje in Cmin minimalno podporo. Do danes je bilo razvitih veliko algoritmov za rudarjenje asociativnih pravil, kot npr. Apriori, Eclat, FP-Growth. Zadnjih nekaj let poskušajo raziskovalci reševati ta problem tudi z uporabo algoritmov po vzorih iz narave. Med algoritme po vzorih iz narave štejemo evolucijske algoritme in algoritme inteligence rojev. Oboji spadajo med populacijske algoritme, kar pomeni, da operirajo s populacijo rešitev. Prva vrsta posnema Darwinovo evolucijsko teorijo, po kateri imajo v naravi najvec možnosti za preživetje najuspešnejši posamezniki. Druga vrsta pa temelji na obnašanju delcev znotraj roja delcev, kjer delci delujejo kot agenti, ki so sposobni izvajanja relativno enostavnih opravil. Ce ti agenti delujejo povezani v skupnost, so sposobni izvajanja tudi kompleksnejših opravil. Vec informacij o teh algoritmih lahko najde bralec v clanku [2]. Eden izmed algoritmov za rudarjenje asociativnih pravil je tudi BatMiner, ki ga predstavljamo podrobneje v nadaljevanju clanka. Ta temelji na algoritmu na osnovi obnašanja netopirjev [5] in ga je za rudarjenje asociativnih pravil potrebno prilagoditi. Pri tem sta najpomembnejši dve: prilagoditev predstavitve rešitev, in ■ prilagoditev ocenitvene funkcije. Rešitev algoritma za rudarjenje asociativnih pravil BatMiner je predstavljena kot vektor realnih števil: . x(t) _ ix(t) x(t) x(t) m ) kjer xitj G [0,1) za i = A j = !,■■■, d ko- dira znacilnice v asociativnem pravilu, o ozna- čuje tocko reza, x(t)+2 pa smer asociativnega pravila. Spremenljivka n doloca velikost populacije, d maksimalno število atributov v asociativnem pravilu in je t števec generacij. Tocka reza doloca, katere znacilnice spadajo v predpostavko (angl. antecedent) in katere v posledico (angl. consequence) specifičnega asociativnega pravila. Vsak element vektorja x(tj kodira dve vrsti informacije. Ko so elementi urejeni po narašcajocem vrstnem redu, pripadajoci indeksi tvorijo permutacijo znacilnic, ki doloca vrstni red pojavitve elementov v asociativnem pravilu. Povedano z drugimi besedami, glede na relacijo >manjši ali enak< dobimo naslednjo relacijo urejenosti: (t) (t) xi,n(i, 1) - xi,n(i,2) - < X{t) - xi, n(i, d)' kjer n(i, j) doloca pripadajoči indeks atributa na j-ti poziciji i-tega vektorja. Po drugi strani je območje dopustnih vrednosti znacilnic v intervalu x^j G [0,1] za j = 0,...,d razdeljeno v mj + 1 ekvidistantnih intervalov, kjer vsak inteval [k, k + 1] za k = 0,...,mj ustreza enemu izmed elementov množice atributov j-te znacilnice oij G {aio0, aii1,..., aimj} in parameter mj oznacuje število elementov te množice. Atribut aij v generaciji t izracunamo po naslednji enacbi: a(t) -ai,j = x (t) i,j mj + 1 za i = 0'...,n A j = 0'...,d. (4) Atribut a( q = NULL ima poseben pomen, saj doloca, da pripadajoce znacilnice ni v asociativnem pravilu. Tocko reza p(it) asociativnega pravila doloca nadzorni parameter xit)+1 in jo dekodiramo po naslednji enacbi: Pi] = Xh(d - 2)J + 1' za i = O, ,n' kjer dovoljujemo maksimalno d - 2 tock reza v vsakem asociativnem pravilu. Element xif\+2 G [0,1] doloca smer branja asociativnega pravila, ki ga dekodiramo po naslednji enacbi: & = O, ce xith - 0.5' ce x\%o > °.5, za i = °'...,n. PRESEK 44 (2016/2017) 5 27 RAČUNALNIŠ TVO -> Znacilnica Atributi Vrednosti KRATKO < 150 min TRAJANJE SREDNJE > 150 min A < 300 min DOLGO > 300 min KRATKA < 50 km DOLŽINA SREDNJA > 50 km A < 120 km DOLGA > 120 km MAJHNA < 1200 kCal PORABA SREDNJA > 1200 kCal A < 2800 kCal VISOKA > 2800 kCal MAJHEN < 130 BPM UTRIP SREDNJI > 130 BPM A < 170 BPM VISOK > 170 BPM TABELA 1. Diskretizacija zveznih spremenljivk, ki služijo kot znacilnice. TRAJANJE DOLŽINA PORABA UTRIP VREME TIP SPANJE KRCI P KRATKO KRATKA 0 0 0 INTERVAL 0 0 3 0 Predpostavka Posledica Nadz. par. TABELA 2. Primer veljavne rešitve. Ce je vrednost q[t') = 0, asociativno pravilo beremo z leve proti desni, ce je q(t) = 1 pa z desne proti levi. Ocenitvena funkcija v algoritmu BatMiner je podobna funkciji, uporabljeni v [3] in jo izrazimo na naslednji nacin: f(X?) = Í a * conf (x(t) ) + y * supp (x1^) a+y ' -1- ce feasible(x(t^ ) = true, drugače, kjer je čonf () merilo zaupanja, supp() merilo podpore pravila, a in y so uteži, namenjene uravno-teževanju vpliva zaupanja in podpore ter funkcija feasible(xi), ki doloca, ce je rešitev dopustna ali ne. Naloga optimizacije je poiskati maksimalno vrednost ocenitvene funkcije. Algoritem BatMiner uporabimo za ugotavljanje znacilnostih športnika v športnem treningu. S športnimi aktivnostmi se namrec v današnjih casih zace-nja ukvarjati vse vec ljudi, v kar jih najveckrat prisili moderni življenjski slog. Ti športniki obicajno spremljajo napredek svojega treniranja s pomocjo športnih ur oziroma mobilnih naprav, ki jih nosijo med treningom. Te naprave praviloma generirajo veliko število podatkov, ki lahko služijo športnim trenerjem pri nacrtovanju športnih treningov, ugotavljanju trenutne pripravljenosti športnika v treningu, sestavljanju športnih jedilnikov ipd. V naši študiji uporabimo te podatke (tj. dolžino, trajanje, srcni utrip in porabo kalorij med treningom) kot osnovo za ugotavljanje znacilnostih športnika v športnem treningu. Pri tem podatke o spremljanju športnih treningov, pridobljenih z mobilnih naprav, dopolnimo s informacijami o psiho-fizicnem stanju športnika pred tre- 28 PRESEK 44 (2016/2017) 5 28 RAČUNALNIŠ TVO ningom (tj. vpliv vremena, tip treninga, nočno spanje pred treningom, morebitni krči) in vse skupaj shranimo v podatkovno bazo. Iz podatkov v podatkovni bazi izluščimo dejavnike, ki vplivajo na izvedbo športnega treninga posameznega športnika, in te shranimo kot značilniče (angl. features) v transakčijsko podatkovno bazo. Algoritem BatMiner za rudarjenje asočiativnih pravil v tej bazi išče asočiativna pravila, ki so za športnega trenerja lahko zelo uporabna pri napovedovanju športnikove forme ali odkrivanju problemov, povezanih s športnim treningom oziroma tekmovanji. V našem primeru imamo opravka z osmimi značil-ničami predstavljenimi kot zvezne oziroma diskretne spremenljivke. Zvezne značilniče, dobljene iz mobilnih naprav, je potrebno najprej diskretizirati. Primer diskretizačije podatkov, pridobljenih z mobilnih naprav, je prikazan v tabeli 1. Omenjena dis-kretizačija je narejena na osnovi teorije športnega treninga in velja tako za profesionalne kot amaterske športnike. Diskretne značilniče, ki označujejo psihofizično stanje športnika, imajo preddefinirano število atributov. V našem primeru so to: ■ VREME = {SONČNO, OBLAČNO, DEŽEVNO, SNEŽENO}, TIP ={RAZPELJAVA, INTERVAL, MOČ, VZDRŽLJIVOST}, SPANJE ={DOBRO, SREDNJE, SLABO}, KRČI ={BREZ, RAHLI, VELIKI}. Primer predstavitve asočiativnega pravila, ki ga je odkril algoritem BatMiner v traksakčijski podatkovni bazi z 80 transakčijami, prikazuje tabela 2, kjer nadzorni parameter p = 3 pomeni točko reza, ki deli pravilo na predpostavko in posledičo, in kjer nadzorni parameter q = 0 določa smer branja asočiačij-skega pravila z leve proti desni. Če predpostavimo, da značilničo združimo z atributom s pomočjo ope-račije združevanja (znak >_<), posledično iz rešitve dekodiramo naslednje asočiativno pravilo ■ TRAJANJE_KRATKO A DOLŽINA_KRATKA ^ TIP_INTERVAL, ki pravi: Če je trening kratke dolžine in kratkega trajanja, gre za intervalni tip treninga. Seveda je pravilo v skladu s teorijo športnega treninga, saj gre pri intervalnih treningih za zelo intenzivne kratkotrajne treninge kratkih dolžin. Kot prikazuje zgornji primer, so algoritmi po vzorih iz narave uporabni tudi pri rudarjenju asočia-tivnih pravil. V današnji družbi se ne moremo izogniti veliki rasti podatkov, ki nastajajo praktično na vsakem koraku, lahko pa se iz njih veliko novega naučimo. V prihodnosti lahko pričakujemo, da se bodo podobne rešitve z algoritmi po vzorih iz narave za podatkovno rudarjenje začele uporabljati tudi na ostalih področjih človekove dejavnosti. Literatura [1] R. Agrawal, T. Imielinski in A. Swami, Mining association rules between sets of items in large databases, ACM SIGMOD Record, 22(2), 207-216, 1993. [2] I. Fister Jr., X.-S. Yang, I. Fister, J. Brest in D. Fister, A brief review of nature-inspired algorithms for optimization, Elektrotehniški vestnik, 80(3), 116-122, 2013. [3] K. E. Heraguemi, N. Kamel in H. Drias, Association rule mining based on bat algorithm, In Bio-Inspired Computing-Theories and Applications, 182-186, Springer, 2014. [4] G. Hrovat, G. Stiglic, P. Kokol in M. Ojster-šek, Contrasting temporal trend discovery for large healthcare databases, Computer methods and programs in biomedicine, 113(1), 251-257, 2014. [5] K. Ljubic in I. Fister Jr., Algoritem na osnovi obnašanja netopirjev, Presek, 42(3), 26-28, 2015. _XXX www.obzornik.si www.dmfa-zaloznistvo.si PRESEK 44 (2016/2017) 5 29 RAZVEDRILO Novosti v naši ponudbi V DMFA - založništvo izdajamo razliCne vrste literature. Predstavljamo vam dve zadnji novosti: Janez Strnad: MALA ZGODOVINA DOPPLERJEVEGA POJAVA 120 strani, format 14 x 20 Cm 15,50 EUR Carlo Rovelli SEDEM KRATKIH LEKCIJ IZ FIZIKE 76 strani, format 12 x 17 Cm 9,50 EUR Poleg omenjenih lahko v naši ponudbi najdete še veliko drugih zbirk nalog. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse zbirke tudi naročite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ceni k/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta, razen za najnovejše knjige! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (041) 721 264. sU vU nU Si k 2 PREDLN 5i™!sei - tEF ur s ¥ "j s: # "iT is« s — jffiv a m x p l a T t t s v s t 0 T T i k m ill a p a r a t 5u r a s 2o t e k l i n a T5*-* #j n a n JL _z_ a n k a s g e r i 21a t e r S i 3r t S A 6l b s r r S X s k r b i p t i T n X fi j A i a n » m A t i |r±3j H ESS liftrll n e m a Sr a n j a S M n d i j A n d iS sšs, viSS, ™»K ».DRvi^N ¡Tui v s s p T s s d a T i l A S X s t a n a iir ■v M as* s. A JI» BE ■s0 l e i Ji e S t e k s p a 8s t e r n a k s S T r i a n j e x t T d Ivt T T ž i c a if s t a A * u s X a v a jsr a k s T i n fsk p i e r c I] b r 0 JL n "a n »¡¡¡KM n IT b e l ¡as s? t t s r A m X n s 7z m n 0 Ž e k »Er if® 0 'f r e h t sis e JI k X M p i s a T iif n i k i n 4m n A T k 0 1! l u k A c s M u l a tm T i S a r b 0 r e 't u m h T l i n d e n l u k s ■ p A j§K i 0 n aa i l i a d X m a r A d 0 n a — k a s a r n a s e š a 10r T a S? M g i a T 13s fj k r a n T s k a S a n a n CO m e s k 0 n T T 0 K k i k T ± as -jg- t 0 t h s n i l 12s s t a J f U n S, l T T T "5r j<_ r s™ 0 n J e g i n EE 19e _p_ i T e n t e T «s 0 i s k a k A v 0 T t SE c e m e n t a t n a K t a j a a. 0 s l A SE a r e X a j A "g r REŠITEV NAGRADNE KRIŠANKE presek 44/4 -> Pravilna rešitev nagradne križanke iz Cetrte številke Preseka je Formula Strassnitzkega. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Laura Pavlin Gregorčič iz BlanCe, Ivanka Tompa iz OdranCev in Nejc Hauptman iz Zgornje Kungote, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX 30 PRESEK 44 (2016/2017) 5 30 RAZVEDRILO Temperaturna inverzija nU vU sU Luka Senekovič -> Gotovo se je vsakomur že kdaj pripetilo, da je obisk gora zaznamovalo presenečenje ob prihodu na vrh, ko je bila temperatura tam višja kot pa v dolini. Ta pojav vremenoslovci imenujejo temperaturna inverzija. Gre torej za nenavadnost, za obrat v spreminjanju temperature z višino. Ob odhodu v gore namreč pričakujemo, da bo zrak v dolini toplejši kot na vrhu. Sonce segreje zemeljsko površino, ta pa greje zrak nad njo. Nižine pokrivajo vecji del zemeljskega površja. Nižine so sredi dneva, ko Sonce sveti najmočneje, dokaj pravokotne na vpad sončnih žarkov, prejmejo vec sončne energije in se bolj segrejejo. Še bolj se seveda segrevajo tla na prisojnih pobočjih, toda tam se zato pojavi veter, ki piha po pobočju navzgor, kar segrevanje zraka nad tlemi nekoliko zavira. Tla se pričnejo ohlajati že popoldne, izrazito pa po sončnem zahodu. Posledično se prične ohlajati tudi zrak ob tleh. Zrak je slab prevodnik, zato traja prečej časa, preden se ohlajanje prenese tudi na višje ležeče plasti zraka, torej, preden se višje ležeče plasti zraka pričnejo ohlajati. Zato so plasti zraka po nižinah hladnejše in posledično gostejše kot višje ležeče. Razlika v gostoti še dodatno pripomore k temu, da se hladnejše plasti zadržujejo v nižinah, torej pod redkejšimi in toplejšimi. Saj se spomnimo, da gostejše v redkejšem »potone«? Tudi zato se vpliv ohlajanja ne prenaša v višine z mešanjem zraka, ki je sičer učinkovitejše od prevajanja. Zrak sestavlja tudi vodna para, ki se lahko izloča v kapljičah. Kondenzačija se zgodi pri nižjih temperaturah, ko je relativna vlažnost zraka večja. V našem primeru nastane pri tleh megla, višje pa oblaki. Megla in oblaki naredijo nad kotlinami in dolinami »pokrov«, kar pomeni, da je prehajanje sončne svetlobe oteženo. Zato v primeru temperaturne inverzije nižin ne doseže toliko sončne svetlobe, poslediča so nižje temperature kot v višinah, kjer je takrat sončne svetlobe v izobilju. Najizrazitejši pojav inverzije je običajno pozimi, ko daljše noči omogočajo znatnejše ohladitve površja, ker je takrat sončne svetlobe manj poslediča pa so večje temperaturne razlike med plastmi zraka bližje površju in tistimi višje ležečimi. Ob kondenzačiji se sprošča latentna toplota, ki zrak nekoliko ogreje, kar pročes nekoliko zavira. Pojav inverzije lahko opazujemo zjutraj oziroma dopoldan, kasneje se namreč površje spet segreje, z njim pa tudi nižje ležeče zračne mase. V posebnih primerih, kadar smo na območju visokega zračnega tlaka ali morda nad kotlino, lahko pojav opazujemo več dni skupaj, torej vlogo pri tem gotovo igrajo tudi razgibanost površja. Nižje temperature so razlog za povečanje gostote zraka in zato gostejši zrak polzi po pobočjih navzdol v doline in kotline. Izločanje vodne pare v obliki kapljič pa tvori meglo in nizko oblačnost. _ XXX PRESEK 44 (2016/2017) 5 31 Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizačija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv način zastavljanja matematičnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vključevali tudi otroči in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematični kenguru. Leta 2016 se ga je udeležilo več kot 6 milijonov tekmovalčev iz več kot 60 držav sveta. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za učenče od prvega razreda osnovne šole do četrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih pokličnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralča vodi v logično mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, kije sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematični izziv. MEDNARODNI MATEMATIČNI KENGURU 2012-2016 10,99 EUR 18,74 EUR 14,50 EUR 23,00 EUR Pri DMFA-založništvo je v Presekovi knjižniči izšlo že pet knjig Matematičnega kenguruja. Na zalogi so še: • Evropski matematični kenguru 2002-2004, • Mednarodni matematični kenguru 2005-2008, • Mednarodni matematični kenguru 2009-2011, • Mednarodni matematični kenguru 2012-2016 (novost). Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikačije tudi naročite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu starejših zbirk nalog pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene - izkoristite ga! RAZVEDRILO nU NU NU Nagradna križanka premoženje, ki ga da ženin nevesti za prineseno doto časovna ali krajevna razlika za tekmecem ozvezdje severnega neba z galaksijo plod bukve smučarska skakalka kunec drama-truginja milčinski ang. igralec (alan) ) spodbu- s*|ëe jevalec knd0esjt7" murske n0sti občine simbol za stroncij glavno i esto severnoafriške države listnato alpsko esto vitalui madžarski pesnik (arpad) velik sladkovodni krapovec voditelj liberije v 80. letih (samuel) pravniški poklic skladatelj firšt nizozemska poginula ali onemogla žival žarnica imenovana po ameriškem izumitelju močna čutna želja čebelarski proizvod avtor marko bokalič odporne trajne oblike nekaterih bakterij primorski kraj sogla-ob cesti snika proti v razoru sočergi preizkus znanja kandidata nekd.avs. zunanji minister nasprotje oseke smučar disciplin skupek las strokovni uslužbenec v knjižnici ohromelost vseh okončin am. preds. (donald) slikovna sestavljanka iz različ. ploščic zašiljena konica judovsko o sv. pismo woleja soyinke are; jivost mesto na vzhodu ukrajine najdaljša ruska reka školjka za sultanov "polovica" žice arhitekturna zgodovinarka krečič melodični okrasek iz hitrih zaporednih tonov predpisan ameriška kuna, sr podpisnik vojaške pogodbe, zaveznik babica, eden od staršev jure ivanušič spoštovanje poškodo-vanka radij kroga naš pesnik (anton) podredni VEZNTK svetopisemski očak predstojnik pravoslavne župnije FIGURA močen odsev svetlobe zoltan fabri izdelek človeških rok 16 PRESEK 44 (2016/2017)5 RAZVEDRILO francoski srednjeveški zgodovinopisec in pesnik (jean) prijetno počutje avs.-madž. skladatelj (franz) znak za nikelj enota za električni tok francoski impresionist (claude) vesna slapar črka iz dveh pre-križanih črt neumen, \past himalajsko govedo naš pisatelj, literarni kritik in zgodovinar (fran) strjena juha, žolča francoski skladatelj deubes navpično skalnato pobočje vzkipljiv temperament velika dvorana muslimanski bog vranični prisad pristaniško mesto v alžiriji obrambna igralka mesto v italiji pripravnik za poklic H izdelek za čiščenje zob zvočni znak za nevarnost knjižni izraz zajarem fizik newton egipčan. faraon znak zacerli velika španska reka priprava za trenje HI ovira, prepreka sol titanove kisline meren konjski tek traktorist s plugom ameriška pevka fitzgerald iz dveh plodnih listov nastali suhi plod sumator nalezljiva otroška bolezen ulkus, razjeda grafično oblikovanje matevž bokalič ribiška vrvica radijska moderators baš astat talina, ki jo izbruha naselje sredi korčule oseba z govorno motnjo ozvezdje zodiaka nekd. avs. smučarka fenninger specia-liteta iz iker lunino število vastro- NAGRADNI RAZPIS Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 5. maja 2017, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado. XXX PRESEK 44 (2016/2017) 5 17