i
i
“Razpet” — 2021/1/4 — 8:49 — page 159 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Dörte Haftendorn, Mathematik sehen und verstehen, Werkzeug des Den-
kens und Schlüssel zur Welt, Springer Spektrum, Wiesbaden, 2019, 418
strani.
Knjiga je nastala na podlagi dobro obi-
skanih predavanj, ki jih je avtorica imela
na univerzi Leuphana v Lüneburgu (Spo-
dnja Saška) za študente različnih študij-
skih smeri. Rdeča nit teh predavanj je
bila matematika za vse. V Nemčiji so
namreč opazili, da so po šolah pri ma-
tematiki zadnje čase dajali vse preveč
poudarka na računanje, premalo pa na
razumevanje učne snovi. Avtorica za-
vzema stalǐsče, da je matematiko treba
hkrati videti in jo razumeti. Matema-
tika je zanjo orodje mǐsljenja in ključ do
sveta. Da bi to dosegli, je treba matema-
tiko popestriti, kjer se le da, s slikovnim
materialom. Prav zato je v knjigi veliko lepih barvnih fotografij, slik in gra-
fov, ki ji dajo še dodatno privlačnost. V knjigi seveda pǐse veliko več, kot je
bilo povedanega in prikazanega na predavanjih.
Predavanja so naletela na odličen odziv. Več kot 1000 študentov se je že-
lelo naučiti vsaj nekaj matematike (čeprav univerza Leuphana v Lüneburgu
zagotovo ni posebno velika univerza). Pri tem je avtorica imela opravka s
celim spektrom študentov: od zelo nadarjenih za matematiko prek tistih,
ki jih zanima le njena uporaba, do tistih, ki zanjo niso pokazali posebnega
smisla. Z vizualizacijo je skušala prepričati tudi največje matematične skep-
tike, da je matematika lepa in tudi uporabna. Zato je navedla veliko dobro
izbranih zgledov, na primer iz zgodovine matematike, vsakdanjega življenja,
narave, umetnosti in gradbenǐstva.
V tej obsežni knjigi je v besedi in sliki opisanih deset pomembnih mate-
matičnih področij, in sicer: kriptografija, kodiranje, teorija grafov in vozlov,
fraktali skupaj s kaosom in urejenostjo, funkcije, optimizacija, računalnǐstvo
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4 159
i
i
“Razpet” — 2021/1/4 — 8:49 — page 160 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
in matematika, numerična matematika, stohastika ter geometrija. Vsakemu
od naštetih področij je namenjeno posebno poglavje. Nekatera izmed njih
vsebujejo tudi naloge, katerih rešitve so na koncu knjige. Nekateri matema-
tiki imajo na izbiro področij morda tehtne pripombe, toda za nematematike
je glede na odziv izbira vsekakor primerna. Avtorica je iskala kompromis,
da bi bila enako upoštevana temeljna matematična področja (geometrija,
funkcije) in področja, ki so še posebej primerna za vizualno predstavitev
(kriptografija, kaos). S svojim strokovnim znanjem, izkušnjami in didak-
tično veščino ji je uspelo predstaviti tudi nekatere težje teme.
Opǐsimo na primer na kratko vsebino poglavja o kodiranju. Najprej so
omenjeni notni zapisi v glasbi. V njih so zakodirani toni, njihove dolžine,
načini izvedbe, glasnost, takti, ključi in še kaj. Nato pridejo na vrsto opisi
kodiranj, s katerimi imamo opravka v vsakdanjem življenju (v trgovini, knji-
žnici, bančnǐstvu), a jim ne posvečamo posebne pozornosti. To so na primer
črtne kode EAN za označevanje izdelkov, ISBN za označevanje knjig, ISSN
za označevanje revij, IBAN za označevanje bančnih računov, dvorazsežna
črtna koda QR in Hammingova koda.
Kot naslednji in zadnji primer si malo natančneje oglejmo poglavje o
zelo uporabni numerični matematiki. Z ocenjevanjem napak posameznih
numeričnih metod se ne ukvarja, le opozarja nanje. Najprej obravnava
starodavno iterativno Heronovo metodo za računanje kvadratnega korena
in potek predstavi grafično v koordinatnem sistemu. Sledita sekantna in
Newtonova ali tangentna metoda za iskanje ničel funkcij. Nato so na vrsti
metode za računanje določenih integralov. Najprej je pojasnjeno, kako je
Arhimed izračunal ploščino odseka parabole in kako je Kepler njegov re-
zultat uporabil za približen izračun ploščine lika pod grafom funkcije nad
intervalom. Arhimed in Kepler še nista poznala pojma integrala. Razdelek
o numerični integraciji zaključuje Simpsonova metoda. Tej sledijo polinomi
kot preproste funkcije, še posebej Taylorjevi in interpolacijski polinomi. V
naslednjem razdelku so predstavljeni zlepki, v prvi vrsti kubični in Bézie-
rovi, ter njihova uporaba. Poglavje se nadaljuje s Fourierovimi vrstami, ki
jih poveže z glasbo: s toni in zveni. Morda je nekoliko zgrešeno, da so Fou-
rierove vrste našle mesto v tem poglavju, saj ne omenja nobene numerične
metode za računanje Fourierovih koeficientov. Zadovolji se z načrtovanjem
grafov delnih vsot Fourierovih vrst neke funkcije, s čimer želi pokazati, kako
160 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4
i
i
“Razpet” — 2021/1/4 — 8:49 — page 161 — #3 i
i
i
i
i
i
Mathematik sehen und verstehen, Werkzeug des Denkens und Schlüssel zur Welt
se grafi teh delnih vsot z rastočim številom členov približujejo grafu funkcije.
Prav tako ni opisane nobene numerične metode za reševanje diferencialnih
enačb v naslednjem razdelku, niti Eulerjeve ne. Pač pa pokaže uporabnost
polja smeri diferencialne enačbe. Tako polje lahko preprosto narǐsemo z
GeoGebro, ki ima za to poseben ukaz. Polje smeri nakazuje potek rešitve.
Poglavje se konča z razlago o pomembnosti numerične matematike v tehniki,
gradbenǐstvu in medicini.
Desetim glavnim poglavjem, od katerih je vsako posvečeno enemu od
omenjenih matematičnih področij, je na začetku knjige namenjeno uvodno
poglavje, v katerem je razloženo, zakaj in kako je knjiga nastala in kaj je
njen cilj. Nekaj malega je tam zapisanega tudi o zgodovini poučevanja
matematike. Temu sledi obširna razlaga, kaj početi ob branju knjige. Moto
knjige je bolje razumeti brez računanja kot računati brez razumevanja. Pred
začetkom pravih poglavij so njihovi kratki opisi ter nekaj osebnih razmǐsljanj
in pripomb avtorice glede matematike in študija. Zadnje, dvanajsto poglavje
podaja nekaj osnov matematike, kot so izgradnja števil od naravnih do
kompleksnih, dokazovanje z nekaj dobro znanimi primeri in nerešljivi antični
problemi. Kot se za vsako resno matematično knjigo spodobi, sta tudi tej
dodana čisto na koncu zajeten seznam literature in stvarno kazalo.
Po mnenju nekaterih je to kljub nekaterim pomanjkljivostim ena od naj-
bolj priljubljenih knjig iz matematike za mlade v zadnjih letih. Priporočajo
jo vsem, ki jih ta znanost zanima, tudi učencem in dijakom, ki se lahko iz
nje naučijo veliko novega. Knjiga je doživela že tri izdaje (2010, 2016, 2019),
v vsaki noveǰsi izdaji je dodanih nekaj novih matematičnih področij. Do-
polnilo h knjigi je spletǐsče www.mathematik-sehen-und-verstehen.de, od
koder lahko prenesemo številne datoteke, tudi za GeoGebro, s katero imamo
možnost na preprost način spreminjati parametre.
Prof. Dörte Haftendorn, avtorica knjige, rojena leta 1948, je študirala
matematiko in fiziko. Po doktoratu (algebra) je poučevala na gimnaziji
in predavala bodočim učiteljem, inženirjem in informatikom na strokovni
visoki šoli ter na univerzi Leuphana v Lüneburgu (Spodnja Saška). Leta
2013 se je upokojila, z univerzo pa še vedno sodeluje.
Marko Razpet
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 4 XV