Jože Rodič, dipl. inž., Raziskovalni oddelek Železarna Ravne DK 519.2 Metode matematične statistike Praktične izkušnje železarne Ravne pri uporabi metod matematične statistike v kontroli kvalitete in pri raziskovalnem delu UVOD Končni cilj vsakega industrijskega razvojnega raziskovanja je splošno izboljšanje kvalitete in povečanje ekonomičnosti proizvodnje. Uspeh pri delu s takimi cilji zahteva precejšnjo mero strokovnosti, še bolj pa sistematičnost teamskega dela ter dosledno dokumentiranje poteka raziskav. V prvi fazi se je treba največkrat, kljub navidezno izčrpnim informacijam, šele lotiti sistematičnega ugotavljanja problemov in njihove podrobnejše identifikacije. Ko probleme dovolj spoznamo, jih moramo sortirati po važnosti in po tehnološkem vrstnem redu. Zelo natančno moramo ločiti vzroke od posledic in upoštevati ali pa načrtno iskati medsebojne odvisnosti, šele po vsem tem pride na vrsto reševanje ali izboljševanje kvalitete. Izboljšanje kvalitete je zelo širok po"jem. Če ga ne razjasnimo, lahko napravimo usodno napako in raziskavo že pri načrtovanju obsodimo na neuspeh. Natančno moramo razjasniti, ali gre za ne-enakomernost kvalitete ali za nezadovoljiv povprečni nivo kvalitete ali za obe težavi istočasno. Neenakomerno ali slabo kvaliteto »izboljšati v naskoku« z uvedbo radikalnih sprememb v tehnološkem postopku je skoraj nemogoče in kdor svoje razvojno raziskovanje tako pogumno planira, si nabira bridke izkušnje. Če je kvaliteta proizvodov neenakomerna, tudi dobra povprečna kvaliteta nima nikakršnega pomena. Če pa v tehnološkem procesu dosežemo ena-komernost, se nekoliko nižjemu povprečnemu nivoju lahko prilagodimo, nihanja lahko garantiramo in z njimi računamo. Celotni uspeh je v tem primeru večja zanesljivost in mnogo večji delovni učinek. Pri izboljševanju kvalitete se moramo vsaj v začetku največkrat zadovoljiti s povprečnim kvalitetnim nivojem, dokler ne dosežemo na tem nivoju zadovoljive enakomernosti. Skoraj vedno nam že problem enakomernosti povzroča precej težav. Izkušnje kažejo, da se smernice ukrepov za dviganje kvalitetnega nivoja pokažejo že med reševanjem problema enakomernosti. Če ne spoznavamo karakteristik procesa, ne moremo izboljšati enakomernosti. To pomeni, da takrat, ko dosežemo enakomernost, tudi že temeljito poznamo najvažnejše lastnosti tehnološkega postopka in menjanje kvalitetnega nivoja ni več poseben problem. Pri vseh teh problemih nam nudi uporaba metod matematične statistike osnovo za objektivno analizo istanja in za izbiro najučinkovitejših ukrepov. Oglejmo si prav na kratko nekaj primerov praktične uporabe različnih metod matematične statistike, kot so: — analiza razporeditve, — kontrolne karte, — analize trendov, regresi j, korelacij in asociacij, — analiza variance, — planiranje raziskav po statističnih metodah, — statistične metode vzorčenja. ANALIZA RAZPOREDITEV ALI DISTRIBUCIJ To je elementarna metoda matematične statistike, ki predstavlja osnovo večine drugih metod. Z njo ugotavljamo v pretekli dobi doseženo povprečje, razsipanje, ugotavljamo prirodne tolerance in presojamo realne možnosti analiziranega procesa v danih pogojih. Prav ta metoda nam omogoča, da si probleme objektivno ogledamo, analiziramo z razumevanjem ter jih dokaj natančno identificiramo. Poleg aritmetične srednje vrednosti, ki nam karakterizira nivo obravnavanega procesa, ugotavljamo širino razsipanja posameznih vrednosti, kar nam omogoča postavitev nekih izkustvenih mej — prirodnih toleranc, ki jih lahko vsaj začasno uporabljamo v kontroli enakomernosti procesa. S pomočjo teh analiz lahko presojamo in ločimo normalno od nenormalnega. Nenormalna odstopanja moramo posebej analizirati ■•in ugotavljati vzroke. Tako analizo razporeditev, ki nam daje osnovne informacije, povežemo z drugimi metodami matematične statistike, ki so posebej namenjene ugotavljanju vplivnih faktorjev. Pri potrebah kontrole kvalitete na tak način ugotavljamo realne možnosti v dani situaciji ne glede na obstoječi predpis. Šele nato lahko proces glede na ugotovljene možnosti primerjamo z želenimi ali predpisanimi normami. Če to storimo, se nam odpro samo tri nadaljnje monžosti: — Če so dejansko ugotovljene možnosti za izpolnjevanje predpisanih mej, moramo pri njih brezpogojno vztrajati. Analiza razporeditve tudi v primeru, da predpisanih mej proces ni izpolnjeval, jasno pokaže, kakšne so njegove možnosti, če preprečimo nenormalna odstopanja. — Če izpolnjevanje predpisa v danih pogojih objektivno ni mogoče, moramo spremeniti predpis vsaj začasno, da nam bo lahko služil kot ocenjevalni kriterij. — če sprememba predpisa ni mogoča, ali je celo sploh neizvedljiva, moramo spremeniti postopek, ali pa ga ob določeni meji izmečka zaradi neekonomičnosti opustiti. Z dosedanjimi statističnimi analizami smo ugotovili, da se da v mnogih primerih doseči pri urejenem delu tudi pri obstoječih pogojih mnogo boljše rezultate in večjo enakomernost. Nasprotno so rezultati pri nekaterih procesih pokazali, da so predpisi v danih objektivnih pogojih zahtevali nemogoče. Seveda v borbi za doseganje nemogočega uhaja še tisto, kar je mogoče doseči. Poglejmo nekaj praktičnih primerov Na slikah 1 do 4 so prikazane razporeditve v obliki histogramov. To je najpreprostejša in najbolj poznana oblika prikazovanja. Daje nam dober vtis o razporeditvi vrednosti in takoj lahko ugotovimo, da se razporeditev na sliki 1 dokaj približuje normalni razporeditvi, medtem ko je razporeditev na sliki 2 nenormalna — mešana. Na slikah 3 in 4 so včrtane še predpisane meje, tako da lahko razporeditev primerjamo s predpisi in ugotavljamo, kakšne so možnosti za njihovo izpolnjevanje. "S 50- 40- 30- 20- 10- n= 153 i ' I '—I 1 l 1 I 1 I ' I ' I 1 _- 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 d [m m] -1--j——|--j——i——i-1- 302 285 269 255 241 229 217 HB Slika 1 Distribucija trdot v žarjenem stanju 40- 30- S 20- 10- n=153 8 j 12 13 14 15 Slika 2 Distribucija indeksov velikosti avstenitnega Snyder-Graffu v kaljenem stanju 16 SG zrna po — —Predpisane meje I I M X Slika 3 Vsebnost molibdena v jeklu BRW-2 JP ■ Predpisane meje % V I Zelo praktičen je prikaz analize razporditev s premico v verjetnostni mreži. V tej obliki se na abscisi nanašajo vrednosti obravnavane karakteristike, na ordinati pa kumulativne frekvence. Razdelitev ordinate je taka, da kumulativne frekcence pri normalni Gaussovi razporeditvi leže na premici. Tako lahko po odstopanju točk od premice ugotavljamo normalnost razporeditve, obenem pa dobimo o razporeditvi vse podatke, ki nas v zvezi s procesom zanimajo. Z zadovoljivo natančnostjo lahko odčitamo aritmetično srednjo vrednost x in mero trošenja ali standardno deviacijo (slika 5). Tudi za vsako drugo abscisno vrednost lahko X = 12,8 SG (? = 3,2 SG Klasifikacija. grobo zrno___________________ 9,5 % srednje zrno_____K = 35 - 9,5 = 25,5 7= fino zrno_______K = 70 - 35 = 35,0 % zelo fino zrno K = 100 - 70 = 30,0 % skupaj = 100,0 % grobo zrno srednje fino I zelo fino Slika 5 Velikost avstenitnega zrna v brzoreznem jeklu 1C0-90 80 70 60 ^ 50 | 40 30 20 10 0 „ kumulanta histograrr =L £5 11,5 14,5 —velikost zrna SG grobo zrno^ 'srednjJ tino zelo lino "zrno zrno zrno Slika 6 Velikost avstenitnega zrna v brzoreznem jeklu lk index velikosti karbidov Slika 7 Primerjave distribucij indeksov velikosti karbidov lk za različne vrste najvažnejših brzoreznih jekel s komulan-tami v verjetnostni mreži odčitamo pripadajočo frekvenco, ki jo pri ugotovljeni razporeditvi z določeno statistično gotovostjo pričakujemo. Tako si na primer lahko sestavimo tudi za razrede neenakih širin klasifikacijo in ugotavljamo procentualne deleže vrednosti posameznih razredov. Tudi to podaja slika 5. Za isti primer kaže slika 6 histogramski prikaz in pa kumulativno krivuljo razporeditve pri linearni skali na ordinati. Vidimo, da iz teh dveh načinov ne dobimo prej omenjenih informacij. Tabela 1 in slika 7 prikazujeta primer precej obsežne statistične analize razporeditev. Rezultati v taki obliki celo pri zelo skromnem poznanju metod matematične statistike, dajejo ogromno informacij in ne potrebujejo nobenega dodatnega komentarja. V tabeli 1 je za vsako posamezno skupino, za več skupin ene klasifikacije in za vse podatke skupno podana srednja vrednost x, število prob n in standardna deviacija s'. Tako urejeni in podani rezultati analize razporeditev omogočajo v naslednjih fazah še analizo drugih vrst, na primer analizo variance za ugotavljanje statistične pomembnosti medsebojnih razlik aritmetičnih sredin ali standardnih deviacij. Zelo izčrpno podobo teh razporeditev nam prikazuje slika 7, iz katere lahko takoj vidimo, da se širina trošenja pri posameznih vrstah jekel ne razlikuje pomembno (to kažejo nagibi premic), pač pa se razlikujejo posamezne skupine po srednjih vrednostih (to kažejo premaknitve v smeri abscisne osi). Z analizo variance, ki jo bomo obravnavali kasneje, samo preverimo pomembnost teh razlik. Probir BRC 3 BRC BRW2 BRW BRM 2 Tabela 1 \yJeklo Dimenzije^v 18-0-1 BRW 12-1-2 BRVV2 18-1 — 2—5 BRC 18 - 1 - 2 - 10 B R C 3 6-5-2 B R M 2 vse vrste d > 20mrn X = 6,87 h =135 s'= 0,59 x = 700 n= 79 s'= 0,66 x = 6,45 n=434 s'= 0,82 x = 6,40 n = 81 s = 0,66 x = 7,65 n=91 sto,56 x=6,70 n = 820 5=0,72 d = 21--50 mm x = 6,87 n = 148 s = 0,76 x = 6,80 n=103 s = 0,80 x = 6,60 n=402 sto,71 x= 6,30 n = 56 s'=0,56 x =7,25 n = 329 s= 0,79 x = 6,85 n=1038 s=0,74 d>50mm x = 6,60 n = 82 s'=0,85 x = 6,70 n=40 s'= 0,52 x = 5,95 n=107 s'= 0,79 x = 5,75 n=9 s'= 0,62 x = 6,95 n=188 5=0,81 x = 6,58 n = 426 s'=0,78 x = 6,70 n=62 s'=0,50 x = 6,67 n=151 s'= 0,82 X = 6,60 n=242 S= 0,73 x=5,95 n= 32 s'= 0,80 x = 7,20 n=25 5=0,57 "X = 6,62 n = 512 s'=0,75 Vse dimenzije x = 6,80 n = 434 s'= 0,72 x = 6,75 n = 373 s=0,77 x = 6,50 n = 1185 s'=0,76 x = 6,30 n=178 s=0,66 x = 7,25 n=553 s'= 0,825 X=6,72 n=2723 s'=o,76 Č2330-K 0% Si% Mn* P% SV. Cr% 055-0,70 •125-180 0.80-1,30 max. 0.050 max. 0,050 max0,50 PREMERI OKROGLIH PALIC Z ENAKO TRDOT pPOLOŽAJ MERJENJA KALJENJE V olju 7 15 42 98 PovrSina H =0,4 5 10 28 42 54 68 80 90 98 106 sredina 20 30 40 50 60 Oddaljenost od kaljenega četa v mm Slika 8 Pas garantirane kaljivosti jekla C 2330-K (KHS-olje) na osnovi 270 preizkušenih šarž. Celoten pas je razdeljen pod viplivom kombinacij C — Mn — Cr v dva dela A in B Zelo zanimiv primer praktične vrednosti in uporabnosti teh elementarnih metod matematične statistike je izdelava pasov garantirane kaljivosti jekel. Pri različnih ohlajevalnih pogojih merimo dosežene trdote jekel. Z analizo razporeditev določimo na osnovi 95 «/o statistične gotovosti meje razsipanja in srednjo vrednost teh trdot. Tako dobl jene točke povežemo in dobimo zgornjo in spodnjo mejo pasu kaljivosti na osnovi enotnega kriterija stati-sitčne gotovosti (slika 8). Pri taki analizi razporeditev trdot se često odkrije marsikaj, kar bi sicer ostalo neznano. Prav na primeru slike 8 smo pri posameznih ohlajevalnih pogojih ugotovili mešane distribucije, kakršne kaže slika 9. Z razstavljanjem teh mešanih distribucij na dve komponenti smo lahko začetno območje pasu razdelili v območji A in B, ki se v sredini prekrivata AB. S tem je dana možnost klasifikacije šarž po kaljivosti v tri grupe, kar daje velike prednosti v tehnologiji toplotne obdelave. Tudi pri razstavljanju mešanih distribucij je elegantnejši in lažji način z uporabo kumulativnih frekvenc v verjetnosti mreži (slika 10). Analiza razporeditve na osnovi razpoložljivih podatkov iz tekoče proizvodnje ali kontrole nam zelo dobro služi za ugotavljanje prirodnih toleranc procesa ali za oceno realnih možnosti izpolnjevanja norm ali kakršnihkoli tehnoloških predpisov v redni normalni proizvodnji. STATISTIČNE KONTROLNE KARTE Kontrolne karte x-R in x-u Analiza razporeditve nam daje zelo pregledne podatke o povprečju in točnosti (kvalitete opazovanega procesa. Ne daje pa nam dovolj podatkov 5mm Trdol-a v Rc Slika 9 Distribucija trdot pri oddaljenosti 5,10 in 20 mm od kaljenega čela o enakomernosti kvalitete v toku časa, saj nam ne kaže niti sprememb posameznih vrednosti oziroma povprečij kvalitete vzorcev niti sprememb točnosti posameznih kvalitetnih karakteristik v določenem časovnem obdobju. Za tekoče spremljanje proizvodnje in 'kvalitete produktov nam odlično služijo statistične kontrolne karte različnih vrst, ki nas v primerni obliki pravočasno opozarjajo na nenormalne spremembe in dajejo možnost pravočasnega ukrepanja za izboljšanje stanja oziroma za ohranitev enakomernosti v proizvodnji. S kontrolnimi mejami, ki jih izračunamo na osnovi določene statistične verjetnosti, ločimo normalna, slučajna ali dovoljena nihanja od nenormalnih, neslučajnih ali nedovoljenih nihanj. Tako ugotovljene prirodne meje nam služijo za oceno procesa samega oziroma njegove enakomernosti v danih pogojih. Lahko pa nihanje kvalitete primerjamo s kakršnimi koli predpisanimi mejami, ki jih določajo norme, prevzemni KHS olje si Slika 10 Distribucija silicija v verjetnostni mreži pogoji ali kaki drugi kriteriji. Za katero koli časovno obdobje si lahko izračunamo centralno linijo kontrolne karte, ki predstavlja povprečje opazovane karakteristike v tem časovnem obdobju in s tem povprečni kvalitetni nivo. Za isto časovno Slika 11 KHS olje — kontrolna karta x — R obdobje si izračunamo tudi kontrolne meje, ki predstavljajo torej prirodne tolerance v danih pogojih. Te prirodne tolerance lahko primerjamo s predpisanimi tolerancami in s tem ocenjujemo, koliko kvalitetni nivo in točnost procesa ustrezata zahtevam. V taki grafični obliki nam kontrolne karte dajejo zelo nazorno sliko gibanja kvalitete v toku časa in nas opozarjajo na pravočasne ukrepe, ko se že pojavijo nenormalna nihanja, ali pa ko se pojavi šele tendenca takih nenormalnih nihanj izven kontrolnih mej. Vodenje statističnih kontrolnih kart in izračunavanje kontrolnih mej je s pomočjo primernih tabel tako poenostavljeno, da je popolnoma prilagojeno nivoju izobrazbe obratnega kontrolorja. Kontrolnih kart je več vrst: največ se uporabljajo kontrolne karte "x-R. Te se uporabljajo za kakršne koli merljive vrednosti, kot so dimenzije, teže, kemijske sestave ali druge fizikalne merjene karakteristike. V določenih časovnih obdobjih jemljemo vzorce in za vsak tak vzorec določamo srednjo vrednost merjene karakteristike in širino razsipanja. Prva vrednost, ki jo označimo z x, nam predstavlja povprečni kvalitetni nivo vzorca, druga vrednost, ki pa predstavlja razliko med največjo in najmanjšo merjeno vrednostjo v vzorcu, pa predstavlja razpon ali širino razsipanja merjenih vrednosti v vzorcu, kar označujemo z R. Slika 11 kaže primer kontrolne karte "x-R za vsebnost kroma v jeklu, izraženo v procentih za 130 šarž, pri katerih po 5 zaporedno izdelanih šarž predstavlja vzorec. V kontrolno karto so vrisane kontrolne meje, ki ustrezajo zahtevam kvalitetnih predpisov. Ob desnem robu so označene prirodne meje, izračunane iz karakteristik kontroliranega procesa. Iz kontrolne karte vidimo, da »procesa ni v statistični kontroli«, ker posamezne točke odstopajo od prirodnih mej, obenem pa tudi opažamo posebno pri 14., 15. in 18. vzorcu groba odstopanja od razmeroma širokih predpisanih mej. To pomeni, da nihanje kvalitete, ki jih registrira kontrolna karta, niso samo posledica slučajnih vplivov oziroma dovoljenih vplivnih faktorjev, ampak posamezna odstopanja vzorcev od normalnega nivoja povzročajo nedovoljeni — neslučajni vplivi. Statistična kontrola karta nas le opozori na take nenormalnosti, delo strokovnjaka pa je podrobna identifikacija vzrokov, ki jih moramo odpraviti in preprečiti. Tabela 2 Vzorec št. X R Vzorec X R Vzorec X R št. št. 1 1271 230 66 699 490 162 319 180 2 662 940 67 897 120 163 288 230 3 1003 550 68 501 320 164 341 170 4 945 620 69 515 230 165 298 10 5 621 980 70 411 270 166 355 200 6 1396 170 71 561 370 167 322 170 7 838 590 72 704 430 168 311 90 8 1118 380 73 1223 360 169 349 130 9 795 1150 74 677 260 170 344 90 10 1045 460 75 607 310 171 315 130 11 774 210 76 659 380 172 327 190 12 1209 440 77 674 280 173 330 40 13 1234 840 78 508 320 174 337 160 14 698 1170 79 391 30 175 310 80 15 1517 230 80 439 180 176 310 30 16 1105 660 81 395 90 177 307 40 17 1366 110 82 733 310 178 336 160 18 1016 400 83 516 330 179 200 30 19 1170 440 84 700 470 180 325 230 20 853 430 85 692 310 181 301 70 21 861 520 86 350 70 22 420 290 87 331 190 23 484 610 88 513 230 24 745 440 25 1055 260 26 749 490 27 644 320 28 610 110 r 26204 14040 13696 6450 6395 2430 r N X = 936 R = 501 X = 595 R = 280 X = 320 R = 122 PODATKI ZA KONTROLNO KARTO X — R ZgM= 391 320 ~SpM = 24 9 .162 170 180 1000 600 a CL 200 ZgM = 10 57 R = 501 |SpM= 10 20 30 ...66 70 [SPM=0 jfalffclA' 5pM = ZgM = 257 5 = 122 = 0 ...162 170 180 Vzorci po 5 analiz Slika 12 Kontrolne karte x, R za kalorično vrednost pepela pri plinskih generatorjih Učinkovitost statistične kontrolne karte x-R ob pravilni uporabi in pravočasnih učinkovitih ukrepih za izboljšanje kvalitete kaže primer kontrole kalorične vrednosti pepela pri plinskih generatorjih. Pri kontroli hoda plinskih generatorjev se dnevno jemlje vzorec pepela in določa njegova kalorična vrednost. Izvlečke iz kontrolnih kart za tri časovna obdobja prikazuje tabela 2 in slika 12. Za prvih 28 vzorcev kažejo kontrolne meje, da je proces popolnoma izven kontrole v kartah x in R ter na zelo slabem nivoju, saj znaša srednja kalorična vrednost pepela 936 kalorij na kilogram. Tako stanje povzroča prav gotovo zelo neenakomeren hod generatorja in neenakomerno kvaliteto plina z vsemi posledicami. Z natančno evidenco in analizo nenormalno dobrih in nenormalno slabih vzorcev, ki ležijo izven kontrolnih mej, pride strokovnjak prav lahko do podatkov, ki mu omogočajo učinkovite ukrepe. Dobre ali slabe posledice teh ukrepov in njihovo učinkovitost lahko prav nazorno kontroliramo s kontrolno karto v naslednjih obdobjih. Tako kaže drugi izrez kontrolne karte od 66. do 90. vzorca že pomemben napredek tako v nivoju kvalitete kakor tudi glede enakomernosti. Uvedba sistematične kontrole in vodenje kontrolne karte v prvem obdobju navadno že na osnovi psiholoških vplivov povzroči precejšnje izboljšanje. Nadaljevanje začete akcije je v tretjem obdobju od 162. do 181. vzorca že privedlo celoten proces v meje statistične kontrole in na popolnoma zadovoljiv ter enakomeren kvalitetni nivo. Bistveni pomen pri tem imata sistematično delo in potrpežljivost. Ce je število meritev v vzorcu večje, kar je primer predvsem pri veliko serijski in ostreje kontrolirani proizvodnji, moramo namesto razponov računati s standardnimi deviacijami sigma. Sicer je postopek popolnoma enak. V splošnem pa velja pravilo, da je kontrola učinkovitejša, če pogosteje jemljemo vzorce manjšega obsega, kakor pa v večjih časovnih obdobjih posamezne večje vzorce. Modificirane kontrolne karte x-Rp Pri procesih, ki so zelo počasni, bi z večjimi vzorci le počasi prišli do kontrolne karte in kontrola ne bi bila več učinkovita. Zato v takem primeru namesto x-karte vnašamo posamezne vrednosti, namesto R-karte pa vnašamo kot razpone razlike dveh sosednih vrednosti. Kontrolne karte p Ta vrsta kontrolne karte služi predvsem v kontroli atributivnega značaja. Najbolj značilno področje uporabe te karte je zasledovanje deleža neustreznih proizvodov v neki seriji, ki je lahko enakega ali pa različnega obsega. Primer na sliki 134 kaže uporabo kontrolne karte p pri uvajanju nekega novega proizvoda v serijski proizvodnji. Po natančno izdelanem tehnološkem postopku, ki vključuje tudi vse kontrolne točke in točno evidenco kvalitetnih kazavcev, steče enomesečna proizvodnja pod nespremenjenimi pogoji, četudi je izmeček v posameznih serijah izredno visok. Bistvenega pomena pri takem načinu uvajanja nove proizvodnje je prav to, da brezpogojno vztrajamo določen čas pri nespremenjenih pogojih dela. Ce POTEK OSVAJANJA S POMOČJO STATISTIČNE KONTROLNE KARTE P 2 6 10 14 18 22 2 6 30 Podgrupe 10 14 18 Podgrupe 2 6 10 K Podgrupe 2 6 10 K 18 22 26 30 Podgrupe 2 6 10 K Podgrupe Pocgrupe Slika 13 bi ob prvem pojavu izredno visokega izmečka spremenili tehnologijo, bi se s tem popolnoma razorožili in onemogočili kakršno koli tehnično osnovano ukrepanje. V prvem obdobju dobimo kontrolno karto, ki jo kaže slika 13 — 1 a. Vzemimo, da smo iz podatkov tehnološke evidence pojasnili vzroke izredno visokih izmečkov v 14. in 18. seriji ter vzroke nenormalno majhnemu deležu defektnih kosov v 29. in 31. vzorcu. Kakor hitro so ta abnormalna odstopanja pojasnjena, jih ne moremo več smatrati za slučajna, zato tudi kontrolne meje, ki smo jih, upoštevajoč te vzorce, izračunali, ne 'veljajo več. Te serije je treba iz celote izločiti in izračunati nove kontrolne meje. Te nam izvršijo nadaljnjo selekcijo. S takim postopnim izločanjem pridemo do kontrolne karte 1 b, pri kateri posameznih nihanj ni več mogoče razložiti in jih smatramo kot posledice slučajnih vplivnih faktorjev v tehnološkem postopku. S primerjavo tehnološke evidence dobrih in slabih serij pridemo do važnih podatkov o tistih faktorjih, ki na kvaliteto najmočneje vplivajo. Te v drugi fazi tehnološkega postopka upoštevamo in s spremembami tehnologije izboljšamo kvalitetni nivo ■— zmanjšamo izmeček. Tu postopamo na enak način in to po fazah ponavljamo, dokler ne pridemo do neke meje, ko je kvalitetni nivo zadovoljiv in nadaljnje izboljševanje ne bi bilo več ekonomično. Kontrolne karte p s spremenljivimi mejami Če so serije, ki jih kontroliramo, po obsegu zelo različne, moramo za vsako serijo ali za skupine serij podobnega obsega določati kontrolne meje posamič (slika 14). Popolnoma jasno je namreč, da deležev 5., 7. in 9. serije ne moremo ocenjevati z enakimi statističnimi kontrolnimi mejami, saj so njihovi obsegi 151, 78 oziroma 18 palic zelo različni. Različne kontrolne meje, ki so usklajene z obsegom serije, omogočajo nespremenjen kriterij kontrole z enako statistično gotovostjo. Kontrolne karte c Ta vrsta statistične kontrolne karte se uporablja predvsem za analize pojavljanja defektov, prekinitev, zastojev, neupravičenih izostankov itd. Kot defektno enoto smatramo kakršno koli enoto, ki zaradi česar koli ne ustreza določenim zahtevam. Seveda ima taka defektna enota lahko tudi več defektov, kar moramo za podrobnejše analize pose- n = 151 n = 78 n=18 7 54 7. O 2 4 6 8 10 12 14 16 Serije Slika 14 Kontrolna karta P za deleže drugorazrednih valjanih palic nestandardnih dolžin ZgM = 8,43 0 2. 4. 6 8. 10-12. 14- 16. 18. 20. -- Izmena Slika 15 Kontrolna karta C za število prekinitev pri vlečenju žice bej evidentirati. Ta vrsta kontrolne karte temelji na zakonitosti Poissonove distribucije. Izračun centralne linije oziroma povprečne pričakovane vrednosti in kontrolnih mej je izredno preprost. Oglejmo si primer na sliki 15. Pri 'vlečenju jeklene žice kaže evidenca, da se je v zaporednih izmenah žice strgala tolikokrat, kolikor kažejo sledeče zaporedne številke: 1, 1, 3, 1, 15, 2, 1, 1, 0, 0, 0, 2, 13, 8, 3, 1, 1. To število prekinitev na izmeno je vrisano v kontrolni karti c. Srednja vrednost znaša "c = 3,118 na izmeno. Kontrolne meje izračunamo po preprosti formuli c ± 3Ve Tako dobimo zgornjo kontrolno mejo 8,43 prekinitev za izmeno in spodnjo kontrolno mejo enako nič, ker je izračunana vrednost negativna. V 5. in 13. izmeni so se pojavile izredne težave izven kontrolnih mej, kar dokazuje, da je to posledica močnih anomalij. Nihanja znotraj kontrolnih mej so v danih pogojih normalna in nas ne smejo posebno vznemirjati. Seveda postopoma želimo meje zožiti na enak način s pomočjo tehnološke evidence, kakor smo omenili v prejšnjih primerih. ANALIZA TRENDA Z analizo trenda spremljamo spremembe nekega pojava v odvisnosti od časa in tako predstavlja v bistvu trend nekako dinamično srednjo vrednost. V tem se grafično prikazovanje trendov razlikuje od kontrolnih kart. V odvisnosti od časa kaže nagnjenost k naraščanju ali padanju, pri čemer sledi linearni ali pa nelinearni zakonitosti. Posamezne vrednosti odstopajo bolj ali manj od linije trenda, ki ponazarja povprečno tendenco pojava. Analiza trenda predstavlja prazaprav izračun interpolacijske premice ali krivulje za dano skupino točk v časovnem obdobju. ANALIZA REGRESIJE IN KORELACIJE Te matematično statistične metode predstavljajo že višjo stopnjo statističnih analiz, saj z njimi ugotavljamo vzroke sprememb nivojev, širine trošenja in kvalitetnih nihanj, ki smo jih ugotavljali z analizo razporeditev in s kontrolnimi kartami. Ugotavljanje vplivov na posamezne lastnosti in kvalitetne karakteristike nam omogoča izboljšanje enakomernosti in točnosti tehnoloških postopkov, kvalitetnih karakteristik ter pravilno usmerjene ukrepe za izboljšanje kvalitetnega nivoja. Če dve spremenljivki, katerih medsebojni vpliv analiziramo, lahko smatramo za par neodvisne in odvisne spremenljivke in jima pripišemo vlogo vzroka in posledice, imamo opravka s tipično analizo regresije. Na slikah 16 in 17 sta grafično X— index velikosti karbidov v žarjenem stanju y— index velikosti karbidov v kaljenem stanju (U— Odgovarjajoii premer karbidov 17,6 12,4 8,8 6,2 4,4 M I-1-1-.-1 >8,5 8 7,5 7 K i 6,5 6 5,5 5 ',5 4 / / T7~ .z / / / / :■: - >4 AJ. ,4,4 6,2 8,8 12,4 4- 17,6 4 4,5 5 5,5 n =153 * = 6,87 V =8,96 r =0,903 0,815 Sy»= 0,594 y= 0,391 + 0,956 x ________ y+1,96.Syx=y+1,16 "J i y-1,96,Syx = y-1,16 X— index velikost-i karbidov v kaljenem sranju y— trdol-a Rc v kaljenem stanju m—odgovarjajoSi premer karbidov 17,6 1— 12,4 8,8 6,2 —I— 4,4 (a X— velikost* zrna SG po Snyder-Graff-u y— inde* velikosti karbidov v kaljenem sranju •—enakomerno zrno x — neenakomerno zrno (U.— odgovarjajo&i premer karbidov 64,5 64 -j" * ' • ::.•. • • ... • 63,5 63 62,5 n =152 X = 7,0 y= 63,8 Rc r = 0.524 r*s 0,275 Syx=0,398 y= 62,530+0,180 x -----C — y+1,96 • Syx = y+0,78 »e in <71 ct y-1,96-Syx = y-0,78 Slika 17 Regresija velikosti karbidov in trdote v kaljenem stanju prikazana dva primera statistično pomembne re-gresijske odvisnosti, pri čemer je x obakrat neodvisna, y pa odvisna spremenljivka, torej x vzrok, y pa posledica. Koeficient korelacije ali regresije r je merilo za statistično pomembnost medsebojne odvisnosti. Koeficient determinacije r2 = 0,815 na sliki 16 pomeni, da 81,5% ugotovljenih variacij spremenljivke y pripisujemo vplivu spremenljivke x. Le preostalih 18,5 % variacij spremenljivke y je ostalo nepojasnjenih in jih pripisujemo drugim vplivnim faktorjem, že iz grafičnega prikaza na sliki 17 vidimo, da je medsebojni vpliv v tem primeru precej šibkejši, kar potrjuje tudi primerjava koeficientov r oziroma r2. Ker gre v tem primeru za analizo linearne regresije, je podana enačba vrisane regresijske premice, obenem pa je nakazano območje, v katerem s 95 % statistično gotovostjo pričakujemo posamezne točke s koordinatama x, y. Izračun linearne regresije je z uporabo nekaterih statističnih poenostavitev dokaj preprost, vendar se že na tem področju priporoča uporaba elektronskih računalnikov. Za tovrstne analize li- 1-------r?-----y- 5 - 5 / -/ >V/ * X X X X Vx x / XXX X x X ■ «,xx XXX S /X X / ' */f * / x XXX / v« x X X • X X • rt X x X / / s \ 6 7 S 9 10 11 12 13 14 15 16 17 - x Sy*=0,685 -----1 — y-1)96-Syx= y-1p4 Slika 18 Korelacija velikosti zrna in velikosti karbidov v kaljenem stanju X— premer Brinell-ovega vriska v žarjenem sfanju y— index velikosri karbidov v kaljenem stanju (U— odgovarjajoči premer karbidov 265 269 255 241 2 8,5 e 7,5 7 6,5 5,5 5 4,5 4 3,5 3,6 6,2 3,7 3,8 ~ x 4,0 4,1 d mm n= 153 = 0,034 "0£01 * =3,74 mm ? ■ 6,94 r Slika 19 Slika 20 Nomogram za določanje dimenzijske dispozicije pred valjanjem po sestavi »K« mej nearnih regresij ima železarna Ravne pri Računskem centru v Ljubljani izdelan program za računalnik ZUSE 23, s katerim je bilo izračunanih že veliko število takih regresij. O analizi korelacije govorimo, kadar spremenljivk x in y ne moremo deliti po vlogi vzroka in posledice. Obe sta lahko neodvisni spremenljivki. V tem primeru se v bistvu pri izračunu vlogi zamenjata in vzamemo najprej eno, nato pa v ponovnem izračunu še drugo kot neodvisno spremenljivko. Kolikor je močnejša medsebojna odvisnost, toliko manj se posamič ugotovljeni regresijski premici razlikujeta. Slika 18 prikazuje razmeroma zelo ozko medsebojno povezanost spremenljivk, ki jo karakterizira visok koeficient korelacije r = 0,869. Korelacijska odvisnost je statistično zelo pomembna. Nasprotno iz slike 19 vidimo na prvi pogled, da med spremenljivkama x in y ni pomembne zveze, kar potrjuje tudi koeficient korelacije r= 0,034. Nomogram za predvidevanje Slika 21 trdnosti tankih vzmeti v poboljšanem stanju Nomogram je izdelan na osnovi Jominy preizkusov za 103 šarže ARr=Rc3r-Rcmpm =1.31+ 0,359-r8:- 5,57-Cr 5,57 • Cr[%]~ V3l| RCk=hrdot"a v Kaljenem stenju' rc,= rrdora v poboljšanem sranju Č2330-K (KHSolje) 830 °C olje+ 1h 540 °C -j-155 150 ■145 . .140 Sliks 21 o 39 o; ■38 --37 36 --35 --34 33 -130 E t9 Nomogram je izdelan na osnovi Jominy preizkusov za 103 šarže: Č2330~K (khs i ) ARc™" = RcT-RcT = 0,376-RcT+23,70-C + 5,69-Mn-22,663 ••• [±2Rc] 830"C Olje + "|h 540" "C Rc7 = 0,624-RcT- [23,70-C + 5,69 Mn] + 22,663 d =11-14 mm K = 23,70-C(%] + 5,69Mn [*] Rcp = 0,624-Rck - K + 22,663 f?c>= frdora v kaljenem sranju Rc^frdoha v poboljSanem sfanju Slika 22 Nomogram za splošno določanje kalilne grupe (levo). Nomogram za predvidevanje trdnosti debelih vzmeti v po- boljsanem stanju (desno) Več linearnih regresij lahko s primernimi metodami povežemo v enačbo množične linearne re-gresije. Taka enačba definira medsebojne odvisnosti in zajame istočasno več vplivov na določeno odvisno spremenljivko. Za praktično uporabo rezultatov je tako pri posamičnih kakor pri množičnih regresij ah mnogo bolj uporaben grafični prikaz, ker enačbe ne moremo neposredno uporabljati. Za prikazovanje rezultatov množičnih regresij uporabljamo primerno konstruirane nomogra-me. Oglejmo si nekaj praktičnih primerov iz železarne Ravne. v S Pomočjo nomograma na sliki 20 posamezne sarze jekla v proizvodnji vzmeti na osnovi kemijske sestave (C, Mn, Cr »/„) že vnaprej namenimo za izdelavo tankih, srednjih ali debelih vzmeti, pri čemer upoštevamo rezultate sistematičnih preiz- kusov kaljivosti. Nomogram predstavlja obenem kontrolni predpis, ki je podan z območjem posameznih kemijskih elementov, če je vsebnost nekega elementa izven območja, prikazanega na nomo-gramu, potem šarža ne ustreza predpisom kemijske sestave. Sliki 21 in 22 prikazujeta dva primera nomo gramov, s katerima lahko na osnovi statistično pomembnih vplivov naprej predvidevamo trdoto ali trdnost vzmeti pri določenih pogojih toplotne obdelave. Natančnost ali napako takega predvidevanja prav lahko ugotovimo s pomočjo analize razporeditve, kakor kaže slika 23 s histogramom frekvenc ali pa z ustreznim prikazom v verjetnostni mreži. Za vsak primer posebej določimo razliko med merjeno in izračunano, na osnovi nomograma določeno vrednostjo. Analiza razporeditve teh raz- 22 20- 16 12 10 2 - A = 0,05 Rc n-103 A" 0,05Rc 6T-1RC -3,0 -2,0 -1,0 + 1,0 +2P + 3,0 A = RSmerjeno — Rcp računsko Slika 23 Natančnost računskega določanja ali uporabe nornograma za določanje trdote v poboljšanem stanju Toplot-na obdelava: 1210"C 2min.10sek.-olje +560"C 2x1ur-o □ Udarno žilavosl-ni preizkus na Charpy kladivu 10kpm fo enakomerno zrno f* neenakomerno zrno ak- Jilavosr 5G-index velikoshi zrna lik kaže, da s 95-odstotno statistično gotovostjo lahko zaupamo nomogramskemu predvidevanju trdot v mejah natančnosti ± 2 Rc. Precej bolj zapletene za izračun so analize nelinearnih in predvsem množičnih regresi j, pri čemer so izračuni brez uporabe elektronskih računalnikov praktično neizvedljivi. Raziskovalni oddelek železarne Ravne je v zadnjih letih izvršil veliko število takih nelinearnih množičnih regresij, z velikim številom neodvisnih spremenljivk in regresijs'kih odvisnosti druge, tretje in celo četrte stopnje. Te analize smo izvrševali v sodelovanju z Računskim centrom Metalurškega inštituta v Zenici, ki ima za računalnik elliot 803 izdelan odličen program za analizo tako imenovane selektivne množične regresije. Na osnovi rezultatov tega izračuna tvorimo enačbo regresije, nato pa v sodelovanju z Računskim centrom v Ljubljani na računalniku ZUSE 23 izvršimo potrebno tabeliranje za izdelavo nomogramov. Oglejmo si nekaj primerov takih nelinearnih regresij. Slika 24 kaže tak primer regresijske odvisnosti žilavosti od velikosti zrna v brzoreznem jeklu. Ploščine posameznih krogov so sorazmerne s frekvencami. Razmeroma veliko razsipanje je razumljivo, saj je žilavost odvisna v veliki meri tudi od trdote jekla in od velikosti karbidov. Primere množičnih nelinearnih regresij kažejo nomogrami na slikah 25, 26 in 27. ASOCIACIJSKA ZVEZA DVEH SPREMENLJIVK Večkrat nas pri raznih tehnoloških analizah zanima le pomembnost medsebojnih vplivom, pri čemer posamezne karakteristike ali lastnosti razdelimo v dobre in defektne, visoke ali nizke, prvorazredne ali drugorazredne lastnosti in podobno. V takih primerih gre za ugotavljanje tako imenovane asociacijske zveze, ki jo preizkušamo in vrednotimo s pomočjo Pearsonovega kriterija x2- S pomočjo primerjave izračunane vrednosti tega kriterija in tabelaričnih vrednosti ugotavljamo statistično pomembnost medsebojne zveze. Poglejmo praktičen primer. Na sliki 18 je prikazana medsebojna odvisnost velikosti zrna z indeksom SG kot spremenljivke x in indeksa velikosti karbidov kot spremenljivke y. V diagramu so spikami in križci označene razlike med enakomernim in neenakomernim zrnom v metalografski preiskavi, že na prvi pogled vidimo v tem primeru zelo jasno, da se pike zbirajo pri višjih vrednostih x in višjih vrednostih y, križci pa pri nižjih vrednostih x in y. Sigurnost ali statistično pomembnost te ugotovitve moramo preveriti (posebno v primerih, ki so manj izraziti) s pomočjo asociacijske analize. Prav v tem primeru je bila izračunana vrednost Pearsonovega kriterija x2 = 95. Tabelarična vrednost za 99 o/o statistično sigurnost pa znaša x2 = 6,63. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 SG jproximacija interpolirane krivulje s parabolo ak=l.66-0,l98[$G] + 0,015[SG]2 Slika 24 žilavost v odvisnosti od velikosti avstenitnega zrna in njegove enakomernosti Kj=60 / / / — \ \ \ \ \ \ \ \ x2 = 5C h y /z T / \ i \