      P 48 (2020/2021) 610 Elastični trki in prevajanje toplote A L V enem prejšnjih prispevkov [1] smo se prepri- čali, da dobimo smiselne rezultate pri opisu dvo- razsežnega toka tekočin, če se opremo le na ela- stične trke med molekulami, okroglimi ploščicami. Hitrosti ploščic smo na danem mestu povprečevali, povprečna hitrost pa je dobro sovpadala s hitro- stjo pri gibanju tekočine, če smo le poskrbeli za smiselne hitrosti na njenem robu. Pri zaprti posodi z mirujočimi stenami se povpreč- ne hitrosti ploščic povsod hitro bližajo ničli. Ploščice pa se kljub temu ves čas neurejeno gibljejo sem in tja, se odbijajo od sten in trkajo med seboj. Tudi pri tekočini je tako, saj se pri dani temperaturi molekule ves čas neurejeno gibljejo. Povprečna kinetična ener- gija molekule je sorazmerna z absolutno tempera- turo tekočine. Ali lahko z elastičnimi trki med plošči- cami opišemo tudi prevajanje tolpote od toplejšega dela stene proti hladnejšemu tako, da na danem me- stu povprečimo kinetično energijo ploščic? Pri pre- vajanju toplote se v tekočini po daljšem času vzpo- stavi, kot pravimo, časovno neodvisno temperaturno polje – na izbranem mestu je temperatura tekočine konstantna, od mesta do mesta pa se spreminja. Pod vplivom teže se toplota prevaja tudi s konvekcijo. To- rej zaradi vzgona segrete tekočine. Vpliva teže tu ne bomo upoštevali; denimo, da smo v breztežnem prostoru. Do časovno nespremenljivih polj pridemo računsko z reševanjem posebne enačbe, imenujemo jo difuzijska enačba, za katero vemo, da pravilno napove potek temperature v posodi, če le poznamo temperaturo na njenem robu. Teh računov se tu ne bomo lotili, uporabili pa bomo njihove rezultate, da jih bomo primerjali z izidi pri elastičnih trkih plo- ščic. Preizkusili bomo torej možnost, da s sledenjem ploščic pridemo do temperatur znotraj posode na podlagi znanih temperatur na robu. S tem bi prispe- vali nov način reševanja difuzijske enačbe, ki ji za časovno nespremenljive primere rečemo Laplaceova enačba. Ta metoda ne bo posebno uporabna, je pa zanimiva, ker razkrije osnovne pojave pri prevajanju toplote. Ukvarjali se bomo z dvorazsežnimi primeri, ker so le-ti pregledni. Tu gre za toplotno prevajanje v dol- gih ceveh, kjer so po vsej dolžini cevi razmere enake. Presek cevi bo pri vseh primerih kvadraten. Izbrali bomo tri primere časovno nespremenljivih polj, ki jih narekuje difuzijska enačba. Pri vseh treh je torej temperaturno polje vnaprej znano, ploščice pa bodo seznanjene le s temperaturo polja na robu kvadrata. Zanima nas, če bomo s povprečevanjem njihove ki- netične energije znotraj kvadrata prišli do polja, kot ga tam napove Laplaceova enačba. Da bi zgornjo idejo preverili, naredimo načrt. Okrogle ploščice naj drsijo po ravnini xy in naj pred- stavljajo molekule tekočine. Zvezo med absolutno temperaturo (merjeno v Kelvinih) tekočine na danem mestu in kinetično energijo molekul prav tam po- znamo: m 2 v2 “ 2 kT 2 . Vsaka komponenta hitrosti, torej vx in vy , kjer je v2 “ v2x ` v 2 y , prinese molekuli v povprečju kine- tično energijo kT2 . Povprečna kinetična energija mo- lekule je torej kar enaka kT , kjer je k Boltzmannova konstanta. Ker sta povprečna kinetična energija mo- lekule in absolutna temperatura sorazmerni, lahko odslej temperaturo predstavimo kar s povprečno ki- netično energijo. Bomo pač namesto kelvinov upora- bili joule. S sledenjem ploščic in računanjem njihove povprečne kinetične energije na danem mestu bomo ocenjevali temperaturo in jo primerjali s pravo vre- dnostjo, ki jo napove difuzijska enačba. Vse to bomo opravili z računalnikom in se tako izognili zaplete- nem eksperimentiranju. Ker bo glavno vlogo igral elastični trk, povzemimo, kar smo že dognali o njem. Na sliki 1 sta ploščici ravno v stiku. Po trku se obema spremeni gibalna količina. Zaradi tretjega       P 48 (2020/2021) 6 11 SLIKA 1. Ploščici med trkom – izmenjana gibalna kolǐcina G~e je v smeri veznice obeh središč. Enotski vektor ~e kaže od enega sredi- šča do drugega, vektor, ki ju povezuje, je torej 2r ~e, kjer je r polmer ploščice Newtonovega zakona, ki pravi, da je sila ene ploščice na drugo nasprotno enaka sili druge na prvo, in ena- kega časa delovanja obeh sil sta spremembi gibalnih količin nasprotni, po velikosti pa enaki. Sili delujeta le vzdolž enotskega vektorja ~e, ki povezuje središči obeh ploščic in kaže od ploščice 1 k ploščici 2 zato, ker se ploščici pri trku vdata le pravokotno na obod, sicer pa ob stiku le zdrsneta. Sprememba gibalne količine druge ploščice je potem ∆ ~G2 “ G~e, prve pa ´G~e. Da določimo velikost G, upoštevamo, da se skupna kinetična energija pri trku ohrani, torej 1 2 mv21 ` 1 2 mv22 “ 1 2 mp~v1´ G m ~eq2` 1 2 mp~v2` G m ~eq2 . Na levi strani smo zapisali kinetično energijo ploščic pred trkom, na desni pa po njem. Ko maso ploščice m pokrajšamo, sledi po krajšem računu G m “ ~e ¨ p~v1 ´ ~v2q , od tod pa takoj dobimo hitrosti ploščic po trku ~v po 1 “ ~v1´ G m ~e in ~v po 2 “ ~v2` G m ~e. Enotski vektor ~emo- ramo določiti za vsak trk posebej. Pri sledenju plo- ščic zaznamo trk, ko se središči približata bolj kot na razdaljo premera. Vmes ploščice premikamo glede na njihove hitrosti in čas med zaporednimi koraki. Na robu posode se ploščice odbijajo v posodo enako- merno na vse strani s povprečno kinetično energijo, ki je skladna s tamkajšnjo temperaturo. Pri vsako- kratnem trku na robu določimo hitrosti po odboju naključno, da dobijo ploščice v povprečju kinetično energijo, ki ustreza temperaturi roba. Na tak način se najbolj približamo pravim razmeram pri trku mo- lekul s steno. Izidi računov pa se ne bi kaj dosti spre- menili, če bi ob trku ploščici podelili kar povprečno energijo pri znani temperaturi na mestu odboja. Z nekaj preprostega računanja pridemo do kine- tične energije ploščice po trku: E po 1 “ E1 ´ m 2 p~v1 ¨ ~eq 2 ` m 2 p~v2 ¨ ~eq 2 , pri čemer je E1 kinetična energija pred trkom. Pri povprečnem trku je pri danih hitrostih pred trkom ~v1 in ~v2 p ~v1 ¨ ~eq2 “ 1 2v 2 1 in p ~v2 ¨ ~eq2 “ 1 2v 2 2 , zato sledi E po 1 “ E1 ` 1 2 pE2 ´ E1q . Kinetična energija se v povprečju torej spremeni prav za razliko kinetičnih energij E1 in E2 ploščic pred trkom. To je v skladu s toplotno prevodnostjo, kjer teče toplota od mesta z višjo temperaturo na mesto z nižjo temperaturo. Hladna ploščica, torej taka z manjšo kinetično energijo, se segreje na ra- čun toplejše. Pri ploščicah, ki se povsod od roba ela- stično odbijajo ali kjer je robna temperatura povsod enaka, se torej hočeš nočeš vzpostavi ravnovesje; ta- krat imajo vse v povprečju enako kinetično energijo, torej enako temperaturo. To je v skladu s spozna- njem, da se v toplotno izoliranem delu narave vzpo- stavi ravnovesno stanje s povsod konstantno tempe- raturo. Sedaj pa poglejmo, kako se trkajoče ploščice od- režejo pri nalogah o prevajanju toplote. Ker bomo zaradi nazornosti obravnavali dvorazsežne primere, bomo postavili koordinatni sistem tako, kot kaže slika 2. Presek cevi je pri vseh obravnavanih prime- rih kvadraten z dolžino stranice 2a. Temperaturo v točki s koordinatama xp in yp prikažemo kot da- ljico, pravokotno na ravnino xy z enim krajiščem v tej točki in z dolžino T pxp, ypq. V prvem primeru izberemo temperaturo znotraj preseka in na robu cevi takole: T px,yq “ Tc 2a´y 2a ` T0 . S T0 smo označili absolutno temperaturo na stranici CD, stranica AB pa je pri temperaturi Tc `T0. Ostali       P 48 (2020/2021) 612 SLIKA 2. Postavitev koordinatnega sistema pri slikah temperaturnih polj. V navpǐcni smeri, torej pravokotni na ravnino xy, nanašamo temperaturo T pxp , ypq pri točki s koordinatama xp in yp. Rob kvadrata tvorijo stranice AB, BC, CD in DA. SLIKA 3. Slika temperaturnega polja pri prevajanju toplote v prvem primeru dve stranici sta toplotno izolirani. Ploščice se na njima le elastično odbijajo. Difuzijska enačba pove, da se takšno temperaturno polje s časom ne spremi- nja. Pri tako preprostem polju bi to lahko tudi uga- nili. V poljubno področje znotraj cevi priteče prav toliko toplote, kot je iz njega odteče, zato se podro- čje niti ne segreva niti ohlaja. Tolpotni tok je pri zgoraj omenjenem polju povsod enak, v tenko plast z debelino 2δy pri konstantnem y`δy priteče prav toliko toplote, kot je pri y´δy odteče. Vsa plast ima tako ves čas enako temperaturo. Pri obravnavi toplo- tnega toka se že v osnovni šoli seznanimo s takim potekom temperature v prevodni plasti. Prepustimo sedaj ploščicam, da same zgradijo temperaturno polje znotraj kvadrata le na podlagi odbojev na robu. Na začetku imajo ploščice sicer poljubne, od nič različne hitrosti, ki jih izberemo na- ključno. V izbranih točkah čakamo na ploščice in tam ves čas računamo povprečno kinetično energijo. Po daljšem času, ko se temperaturno polje dovolj zgladi, ga primerjamo s pravim, ki ga podaja zgor- nja enačba za T px,yq. Pogled na sliki 3 pove, da so se ploščice tu dobro izkazale, slika temperaturnega polja je res ravnina, čeprav smo pri zgledu uporabili le kakih sto ploščic. V drugem primeru si izberemo nekoliko bolj za- pleteno polje, podano takole: T px,yq “ Tc cos ` πx a ˘ sinh ´ π 2a´y a ¯ sinh p2πq ` T0 . Funkcija sinh je definirana takole: sinhpxq “ ex ´ e´x 2 in jo imenujemo hiperbolični sinus. Zaradi pregle- dnosti smo izbrali Tc ă 0; kjub temu je temperatura povsod večja od nič. Spet ploščice vedo le za tempe- raturo na robu kvadrata. Slika 4 pokaže primerjavo temperaturnega polja, ki ga dobimo s trki, s privze- tim poljem pri enakem poteku temperature po robu. Primerjava je kar dobra. Upoštevati moramo, da se povprečje kinetične energije ploščic na danem me- stu le počasi bliža končni vrednosti. K temu precej prispeva vnašanje negotovosti z roba cevi, kjer po odboju naključno spreminjamo kinetično energijo in smer odbite ploščice, a v skladu s predpisano tempe- raturo roba na mestu odboja. Za primerjavo si po- glejmo še potek temperatur pri zasukani sliki 4, kjer kaže os x proti nam (slika 5). Tudi tu je primerjava prav dobra. Podobno ujemanje opazimo za temperaturo točk znotraj kvadrata v tretjem primeru: T px,yq “ Tc cos ` πx 2a ˘ sinh ´ π 2a´y 2a ¯ sinh pπq ` T0.       P 48 (2020/2021) 6 13 SLIKA 4. Temperaturni polji, kot ju dobimo s trki ploščic (leva slika), in z računom (desna slika) za polje T px,yq “ Tc cosp πx a q sinhpπ 2a´y a q{ sinh p2πq ` T0. SLIKA 5. Sliki temperaturnih polj, ko sliko 4 zasučemo tako, da os x kaže proti nam. SLIKA 6. Temperaturni polji, kot ju dobimo s trki ploščic (leva slika), in z računom (desna slika) za polje T px,yq “ Tc cosp πx 2a q sinh pπ 2a´y 2a q{ sinh pπq ` T0 . Spet smo odvisnost T px,yqizbrali tako, da se s ča- som ne spreminja, kar potrdi difuzijska enačba. Le- ta se po preseku cevi nekoliko počasneje spreminja v primeri s prejšnjo. Tudi tu so ploščice dobro našle temperature znotraj kvadrata. SLIKA 7. Pogled na temperaturno polje v tretjem primeru pri zasukani sliki 6. Doslej smo obravnavali dvodimenzionalne prime- re. Ploščice so se gibale po gladki plošči z robom. Ne dvomimo, da bi pri trorazsežnih primerih prav tako dobili dobro ujemanje med pravim in temperaturnim poljem, dobljenim s trki. Kaj pa v enorazsežnem pri- meru, ko ploščicam dovolimo le gibanje po daljici? Ploščice tedaj le čelno trkajo med seboj, pri takih tr- kih pa velja E po 1 “ E2 . Po trku dobi prva ploščica kinetično energijo E2 druge. Ploščici le izmenjata energiji, pri taki dina- miki pa ne moremo pričakovati kaj drugega kot kon- stantno temperaturno polje ne glede na temperaturo na konceh. Na izbranem mestu namreč lahko priča- kamo le ploščico z energijo enega ali drugega konca. Na počasnejše ploščice naletimo pogosteje kot na hi- trejše. Konstantna temperatura po celi dolžini da- ljice je zato nekoliko nižja kot povprečna tempera- tura na konceh. Tudi porazdelitev ploščic po hitrosti ni taka kot v dvo ali trorazsežnih primerih. Podob- nosti trkajočih ploščic s primeri prevajanja toplote je v tem primeru konec. Seveda tako tanke palice, po kateri bi se pretakala toplota iz enega konca na drugi le s centralnimi trki med molekulami, pač ni. Primer pa pokaže, da ploščic ne gre preveč utesnje- vati, če želimo z njimi rešiti kako zapleteno nalogo o prevajanju toplote. Literatura [1] A. Likar, Vrtinci v toku kapljevin in plinov, Presek 48 (20020/2021) 3, 15, 18–20. ˆ ˆ ˆ