IZ RAZREDA
24
Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017
Enačba sence ravne palice v treh ravninah
Marijan Prosen
Povzetek
Članek predstavi izpeljavo enačbe sence v treh značilnih ravninah, to je v vodoravni, navpični in ekvatorialni 
ravnini.
Ključne besede: senca palice, enačba sence palice, vodoravna, navpična in ekvatorialna ravnina. 
Equation for the Shadow of a Straight Stick on Three Planes
Abstract
The article presents the derivation of an equation for shadow on three characteristic planes, namely the hori-
zontal, vertical and equatorial plane.
Keywords: shadow of a stick, equation for the shadow of a stick, horizontal, vertical and equatorial plane.
Uvod
S senco, ki jo od Sonca osvetljena ravna palica meče na različ-
ne ravnine, sem se veliko ukvarjal (1981-2017). Tu navajam del 
svojih raziskav, in sicer svojo izpeljavo enačbe krivulje, po kateri 
se med dnevom premika konec (vrh) sence od Sonca osvetljene 
ravne palice v omenjenih treh ravninah. Enačbe iskanih krivulj 
sem poimenoval enačbe sence. 
Precej razmišljanja, poskušanja in tudi matematičnega dela je 
bilo, predno sem ugotovil enačbe krivulj v teh ravninah. Do da-
nes še nisem opazil, da bi senco, ki jo od Sonca osvetljena ravna 
palica meče na te tri ravnine, kdo tako obravnaval, kot jo sam 
obravnavam. Vse tri enačbe sence sem izpeljal po lastni zamisli 
z vektorji na osnovi srednješolske matematike, zato lahko zapi-
šem, da sem jih odkril. S tem člankom jih zavarujem. Prvo enač-
bo sence sem odkril leta 1994, drugi dve leta 2017.
Osrednji del
Recimo, da želimo ugotoviti, kakšno krivuljo med dnevom popi-
še konec (vrh) sence navpične od Sonca osvetljene palice (gno-
mona) z višino v na vodoravni ravnini v kraju (opazovališču) z 
geografsko širino φ ≥ 0 določenega dne v letu pri znani deklina-
ciji δ Sonca. Za kraje v Sloveniji je φ blizu 45°, deklinacija Sonca 
pa se spreminja v mejah od –23,5
o
 do +23,5
o
.
Vpeljemo prostorski pravokotni koordinatni sistem, ki ima ko-
ordinatno izhodišče v vrhu O navpične palice (gnomona). Po-
zitivno smer osi x usmerimo proti severu, pozitivno smer osi y 
proti zahodu, pozitivno smer osi z pa proti zenitu. Severni nebes- 
ni pol P leži v meridianski ravnini, to je ravnini (xz). Višinski kot 
pola P za kraje na severni Zemljini poluti je po definiciji enak 
geografski širini φ kraja. Navidezna dnevna pot Sonca poteka po 
nebesnem vzporedniku z deklinacijo δ, to je po nebesnem vzpo-
redniku, katerega točke so za kot (90
o
 – δ) oddaljene od P. Son-
čevi žarki, ki gredo med dnevom čez vrh palice, ležijo na plaš- 
ču krožnega dvojnega stožca, katerega os gre skozi P. Kot med 
vektorjem OP in vektorjem OR = r = (x, y, z) Sončevega žarka 
je (90
o
 – δ).
Slika 1: K izpeljavi enačbe plašča krožnega dvojnega stožca, katerega 
os gre skozi severni nebesni pol P. Presek tega plašča in vodoravne 
ravnine skozi podnožišče palice (gnomona; tukaj pokončnega stožca) 
je stožnica, ki je pri nas v splošnem hiperbola, v drugih krajih pa tudi 
krožnica, elipsa ali parabola. Plašč krožnega dvojnega stožca pa pre-
seka tudi navpično ravnino v smeri vzhod-zahod in tudi ekvatorialno 
ravnino. Tako dobimo kot presek plašča krožnega dvojnega stožca s 
tema ravninama spet stožnice.

IZ RAZREDA
25
Matematika v šoli, št. 2., letnik 23, 2017
Naj bo na vektorju OP enotski vektor e = (cos φ, 0, sin φ), na 
vektorju OR pa enotski vektor f = (x, y, z)/r. Najprej je skalarni 
produkt enotskih vektorjev 
e ∙ f = 1 ∙ 1 ∙ cos (90
o
 – δ) = sin δ, 
nato pa tudi 
e ∙ f = (cos φ, 0, sin φ) ∙ (x, y, z)/r = x cos φ/r + z sin φ/r. 
Enačbo ploskve, to je plašča krožnega dvojnega stožca, dobimo 
iz enakosti: 
x cos φ/r + z sin φ/r = sin δ, 
od koder sledi 
r sin δ = x cos φ + z sin φ. 
Zapisano enačbo kvadriramo, upoštevamo r
2
 = x
2
 + y
2
 + z
2
, in 
dobimo 
(x
2
 + y
2
 + z
2
) sin
2
 δ = (x cos φ + z sin φ)
2
.
To je enačba plašča krožnega dvojnega stožca z odprtino 2 ∙ (90
o
 – δ). 
Presek tega plašča z vodoravno ravnino, vzporedno z ravnino 
(xy), pa je stožnica. Enačbo stožnice, to je krivulje, ki jo čez dan 
na vodoravni ravnini popiše konec (vrh) sence naše navpične pa-
lice (pokončnega stožca), dobimo s presekom plašča tega krož- 
nega dvojnega stožca in vodoravne ravnine z enačbo z = – v.
1.  Krivulja, ki jo določenega dne (δ) popiše konec sence navpič-
ne palice na vodoravni ravnini v kraju z geografsko širino φ, 
ima enačbo: 
 (x
2
 + y
2
 + v
2
) sin
2
 δ = (x cos φ – v sin φ)
2
.
To je izpeljana enačba sence navpične palice v vodoravni rav-
nini, vzporedni z (xy) ravnino. O tej enačbi lahko razpravlja-
mo za različne geografske širine φ ≥ 0 (različne kraje) in za 
različne deklinacije δ Sonca (različne datume). Enačba sploš- 
no velja za vsak kraj φ ≥ 0 in dan (δ) na Zemlji.
2.  Namesto vrha O navpične palice z višino v si lahko mislimo 
vrh vodoravne palice z dolžino d, ki jo navpično zapičimo 
v navpično ravnino vzhod-zahod. Enačba sence v navpični 
ravnini vzhod-zahod, vzporedni z (yz) ravnino, za x = d dobi 
obliko: 
 (d
2
 + y
2
 + z
2
) sin
2
 δ = (d cos φ + z sin φ)
2
.
3.  Če pa si predstavljamo, da leži O na vrhu ravne palice z dol-
žino a, ki jo navpično zapičimo v ekvatorialno ravnino tako, 
da je palica usmerjena proti severnemu nebesnemu polu P, 
dobimo enačbo plašča krožnega dvojnega stožca iz enakosti 
skalarnih produktov 
 e ∙ f = 1 ∙ 1∙ cos (90
o
 – δ) = sin δ in 
 e ∙ f = (0, 0, 1) ∙ (x, y, z)/r = z/r. 
Tako je enačba plašča krožnega dvojnega stožca z/r = sin δ 
oziroma: 
z
2
 = (x
2
 + y
2
 + z
2
) sin
2
 δ.
Enačba sence palice v ekvatorialni ravnini za z = – a dobi najprej 
obliko: 
a
2
 = (x
2
 + y
2
 + a
2
) sin
2
 δ 
in končno: 
x
2
 + y
2
 = a
2
/tg
2
 δ; δ > 0.
To pa je enačba krožnice z radijem (ki je hkrati tudi dolžina sen-
ce palice) R = a/tg δ in ob enakonočjih (δ = 0) ni opredeljen, saj 
gre R v neskončnost, in to za vse φ ≥ 0. Na ekvatorialni ravnini je 
namreč tega dne pot vrha sence palice neopredeljena (je ni), jese-
ni in pozimi pa senca palice sploh ne pade na ekvatorialno ravni-
no. Spomladi in poleti se vrh sence palice giblje po krožnicah, od 
katerih doseže R minimum ob poletnem Sončevem obratu, ko je 
R = a/tg 23,5° ≈ 2,3 a. Tega dne je torej radij krožnice (dolžina 
sence palice) najmanjši, ostale dni pa je večji in se veča vse do 
neopredeljenosti ob enakonočjih.
Zaključek
Razen, ko gre za neopredeljenost, je krivulja, po kateri se giblje konec (vrh) sence od Sonca osvetljene ravne pali-
ce v vseh treh ravninah, vedno stožnica (krožnica, elipsa, hiperbola, parabola), ki se le v posebno redkem prime-
ru (in to na primer pri nas v vodoravni in navpični ravnini za δ = 0) izrodi v premico (glej podpis k drugi sliki).
Navedli smo le teoretično izpeljane enačbe senc za vse tri navedene ravnine. Lahko pa z neposrednim opazo-
vanjem sence, ki jo ravne palice mečejo na te ravnine, teorijo preskusimo tudi v praksi. Treba si je vzeti čas. Jaz 
sem to naredil. Veliko časa mi je vzelo, dolgo, dolgo vrsto let. ■
Literatura
Prosen, M. (2003). Ukvarjanje s senco, Presekova knjižnica 39. Ljubljana: DMFA in tam navedena literatura.
Prosen, M. (1995). Enačba sence. Matematika v šoli, 3, str. 237. 
Prosen, M. (2001/2002). Kako do enačbe sence?. Presek, 29, str. 144–148. http://www.presek.si/29/1478-Prosen.pdf