i
i
“1101-Felda-superkroznice” — 2010/7/13 — 10:50 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 19 (1991/1992)
Številka 6
Strani 334–338
Michael A. B. Deakin, prev. in prir. Darjo Felda:
SUPERKROŽNICE
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/19/1101-Felda.pdf
c© 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
334
SUPERKROŽNICE
X(x , y)
Koord inati polju bne točke na enot-
ski krožnic i, to je krožriici s polrne-
rom 1 in središčem v koordi natnem
izhodišč u , zadoš čata enačb i x 2 +
+ y2 = 1. Le je točka X( x . y) x
presek te krožnice s po ltrakorn , ki - t-- --- - t-- - - - - t--T(l , O)
oklepa kot t s pozi t ivno stra njo abs-
cisne osi, velja x = cos t in y =
= sin t . Odločimo se , da bomo kote
merili v radian ih. Potem je t razda-
lja, ki jo prehodimo, č e gremo po
krožnic i v pozit ivni smeri od točke
T(l, O) do točke X.
x
Dopolni mo sliko z dvema kvadra -
toma in se napot imo iz točke T v
pozitivni smeri po robu notranjega
kvadrata. Poljubno točko N bom o - *-- --- - t-- - - - ----3t-----
podali s koord inatam a x = Cl ( t) in T ( l . O)
Y = 5 1( t ), kje r t pomeni razdaljo ,
ki jo prehodi mo. če grem o po t em
kvadratu od toč ke T do to čk e N.
Narišimo funkciji C1(t) in 5 1( t):
- 1
Poskusimo zap isati C1( t) v eksplicitni obliki . Najprej se omejimo na
interval [0.4/2]. Lomljeno č r to dvignimo za 1 (lom bo torej v (2 /2. O)) in
335
del. ki je levo od loma . preslikajmo preko abscisne osi . Dobimo daljico, ki leži
na premici y = ~ - 2. Za vsak tE [0 .4V2] je zato C1 ( t ) = I~ - 21 -
- 1. Očitno to ne velja za take t , ki niso na intervalu [O, 4V2] , saj dobimo
vrednost 3, če vstavimo v formulo t = 6V2, Cl(t) pa zavzame le vrednosti
z intervala [-1 .1] . pa še periodična je. Le se namreč odločimo , da bomo
korakali naokrog po notranjem kvadratu, bomo na vsakih 4V2 prehojenih
enot prišli v isto točko . Zato po majhnem premisleku nekoliko popravimo
zgornji zapis za Cl (t). Dobimo novega, ki velja pri vsakem t :
C1(t)= I_t _ 4 [_t_] - 21-1v2 4V2
([a] pomeni največje celo število, ki ni večje od a). Vsi, ki se radi sami
prepri čajo v pravilnost zapisa , bodo hitro preverili, ali velja tudi za negativne
t. Le bi se namreč odločili za tek po kvadratu od točke T v smeri urinih
kazalcev, bi (kot matematiki) razdalji za sabo dodali negativen predznak, graf
funkcije C1 ( t) pa nadaljevali še na negativno stran .
S funkcijo Sl( t) hitro opravimo. Bežen pogled na graf pove, da je le za
v2 premaknjena od prejšnje funkcije , zato
t- v2 [t - J2JSl(t)=I-- -4 - - -21-1.J2 4V2
Pa se podajrno na pot iz to čke T(l , O) še po zunanjem kvadratu . Naj bo
tako kot prej t razdalja , ki jo prehodimo , da pridemo do to čke s koord inatama
x in y , z zapisoma x = Coo(t) in y = Soo(t) pa poudarimo , da sta koord inati
odvisni od prehoje ne razdalj e. Narišimo grafa :
- 1
Bralcem pustimo, da poiščejo ekspliciten zapis funkcij Coo in Soo . Vpra-
šajmo se, zakaj smo uporabili indeks 1 oziroma oo. Za začetek se omejimo
na prvi kvadrant. To pomeni , da opazujemo par funkcij CL SI le za O::; t ::;
336
0.60.40.2
u
lk-"""",=~--=:-----,
:s J2 in par Coo, 5,X> za 0 :S t :s 2.
Na sliki je narisanih pet krivulj z oz-
nakami 2/3, 1, 2, 5 in (X) . Da-
ljica , ki veže točk i ( 1, O) in (0 ,1 ) ,
leži na premic i x + y = 1. Le to
zapišemo v obl iki x l + y I = 1, vidi-
0.6mo, da ima indeks 1 svoj pomen pri
opisu te poti . Krivulja z oznako 2
je enotska krožnica x 2 + y2 = 1, 0.4
zato lahko pišemo C2 ( t ) = cos t in
52( t) = sin t . Oznako 5 nosi krivu- 0.2
lja x S + y S = 1, ki je le ena od
mno gih v dr užini krivulj x " + y n =
= 1. Pr i vsakem n lah ko krivuljo
opišemo s parom funk cij (Cn , 5 n ) :
vsako točko (x ,y) krivulje pod am o z x = Cn( t), y = 5n(t ). Le n večamo ,
se krivulja ved no bolj prilega poti , ki srno jo opisali s paroma CX> , 5= , t ako da
indeks oo ni kar iz trte zvit. Od ločimo se , da bomo vsem krivuljam , kate rih
koordinati poljubne to čke veže en a čba x " + y n = 1, rekli superkrožnice.
Pr i tem nas ne bo mot ilo, da superkrožnici, ki ju d ol očat a para (Cl , 51) in
(Coo, 5 (0 ) , nista nit i malo okrogli . Še več, n bom o sp usti li pod 1, prišli
do x 2/ 3 + y 2/3 = 1, ki ji r e čemo astr oida, in se pod a li z n prav do O, ko
se krivulja prilepi na koordinatni os i. Narišimo grafa funk cij x = Co( t) in
y = 5o(t ):
- 1
'"/ "-
/
10 t
Ko hočemo zapustit i prvi kvadra nt , se poja vijo težave , vendar se j ih
znebimo , č e na pom oč p okli č emo absolu tn o vrednos t. Tako je na primer
absolutna vredn ost števi la a, kar ozn ač i mo z [a ], razdalja med številom a in
števi lom O na številski premici , ta pa je zmer aj pozitivna . Le smo z x l +
+ yI = 1 pod ali da lj ice . ki je povezovala točki (1 , O) in (0 , 1) , potem z
337
lxiI+IYII = 1 predstavimo kvadrat z ogli šči (1, O), (0,1), (-1, O) in (O, -1) .
V splošnem bomo torej superkrožnico podali z
Pri nekaterih n so sicer oznake za absolutno vrednost odveč (na primer pri
n = 2), vendar pa ni zmeraj tako. Pomislite , kaj bi se zgodilo , če pri n = 1,
3 ali 1/2 ne bi imeli absolutne vredno sti .
V tem sestavku je problem predstavljen le v grobem. To je bila ena od
tem na Raziskovalnih dnevih iz matematike za srednješolce, ki jih je Društvo
matematikov. fizikov in astronomov Slovenije organiziralo septembra 1991.
Vsebina je povzeta iz revij e Function , ki jo za srednješolce iz Avstralije izdajajo
na Monash University v državi Victoria .
Seveda ostajajo odprta še mnoga vprašanja; zapišimo jih le pet :
1. Funkciji Cn, Sn zadoščata nekim lastnostim trigonometričnih funkcij ,
na primer
Cn(O) = 1, Sn(O) = O
Cn(-t) = Cn(t) , Sn(-t) = -Snet)
C~(t) + S~(t) = 1
Kaj se zgodi, če
Kaj pa druge lastnosti?
2. Enačbo [x]" + Iyln = 1 smo obdelali le za n 2: O.
izberemo n < O?
3. Kako si razlagamo enakosti
Ixlo+ lylO = 1 in Ixloo+ lyl OO = 1, Tn
ki ju dobimo kot skrajna primera ? 8
4 . Le s Tn označimo periodo
funkcij Cn in Sn, je ta seveda ena- 211"
ka obsegu ust rezne superkrožnice. 4-./2
Najmanjši obseg ima lxiI + IYII =
= 1, saj je TI = 4/2, največja ob-
sega pa dobimo pri n = O in n =
= oo, ko je To = Too = 8. ' Na sliki
imamo Tn kot funkcijo indeksa n .
O podrobnostih pa ne vemo še nič
določnega .
I
I
I
I
I
I
I
2 n