i
i
“Razpet-Boyer” — 2012/10/24 — 11:06 — page 152 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
dodan tudi obsežen seznam literature, poleg splošnega še za vsako poglavje
posebej. Knjiga je ilustrirana s številnimi skicami in fotografijami. Morda
bi ji bilo dobro dodati le še kaj malega o japonski matematiki, teoriji kaosa,
fraktalov in katastrof.
Še nekaj besed o avtorjih. Uta C. Merzbach, rojena leta 1933, je študi-
rala matematiko na univerzi v Austinu v Teksasu in na Harvardu, kjer je
leta 1965 doktorirala iz matematike in zgodovine znanosti. Napisala je več
del s tega področja, kjer je aktivna tudi po svoji upokojitvi. Carl B. Boyer
(1906–1976) je doktoriral na univerzi Columbia leta 1939. Od leta 1952 do
svoje smrti je bil profesor matematike na brooklinskem kolidžu. Napisal je
več del iz zgodovine matematike.
Marko Razpet
Alexander Ostermann in Gerhard Wanner, Geometry by its hi-
story, Springer–Verlag, Berlin, Heidelberg, 2012, 449 strani.
Avtorja predstavljata geometrijo
zgodovinsko, tako kot je nastajala.
Knjigo sta razdelila na dva dela. V
prvem obravnavata klasično, v dru-
gem pa analitično geometrijo. Prvi
del sta razdelila na pet, drugega
pa na sedem poglavij. Ker se-
veda ni mogoče celotne geometrije
z vsemi podrobnostmi zajeti v eni
sami knjigi, predstavita le bistvene
ideje.
Prvih pet poglavij avtorja po-
svetita stari grški geometriji. V
prvem poglavju so zajete naslednje
vsebine: Talesov izrek, podobni liki,
lastnosti kotov, pravilni večkotniki,
računanje ploščin, Pitagorov izrek
in trije znameniti problemi grške ge-
ometrije. Drugo poglavje je v glav-
nem posvečeno nekaterim knjigam Evklidovih Elementov. Pomembne vse-
bine tega poglavja so: lastnosti krogov in kotov, teorije razmerij, tudi Ev-
152 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4
i
i
“Razpet-Boyer” — 2012/10/24 — 11:06 — page 153 — #4 i
i
i
i
i
i
Geometry by its history
doksova, v kateri je 22 stoletij kasneje Dedekind verjetno dobil navdih za
svojo teorijo presekov, iracionalnost, prostorska geometrija, ploščina kroga,
prostornina piramide, stožca in krogle ter platonska telesa. Tretje poglavje
predstavlja stožnice, ki jih je študiral že Apolonij iz Perge. Pomembnost sto-
žnic se je pokazala šele s Keplerjevimi zakoni. Četrto poglavje predstavlja
nekatere nadaljnje napore in rezultate v evklidski geometriji, na primer: tre-
tjinjenje kota z Nikomedovo konhoido, Arhimedovo spiralo, znamenite točke
v trikotniku, Menelajev in Cevov izrek, Eulerjevo premico, Steinerjeve in
druge izreke v zvezi s trikotniki in krogi. Zadnje poglavje prvega dela knjige
obravnava trigonometrijo, kakršno so poznali stari Grki in Arabci. Kotnih
funkcij, kakršne imamo danes, v antičnih časih še niso poznali. Ptolemaj je v
svojem Almagestu uporabljal samo eno: tetivno funkcijo, ki obodnemu kotu
v krogu priredi dolžino ustrezne tetive. Pod vplivom indijske matematike se
je od 7. stoletja naprej začela uporabljati polovica tetive, ki ustreza polovici
sredǐsčnega kota, kar nam je dalo sinusno funkcijo. V tem poglavju je po-
kazano, kako razrešujemo ravninske in sferne trikotnike, kaj je stereografska
projekcija in velika Keplerjeva ter Newtonova odkritja.
V drugem delu knjige prva tri poglavja pokažejo, kako je napredovala
geometrija, vzporedno z razvojem algebre v času Descartesa, Eulerja in Ga-
ussa. Spoznamo, kako so se lotili približne konstrukcije pravilnega sedem-
in devetkotnika, tretjinjenja kota in reševanja kubične enačbe. Izpeljani sta
formuli za ploščino trikotnika in tetivnega štirikotnika z znanimi stranicami
– Heronova in Brahmaguptova formula. Nato delo preide na kartezične ko-
ordinate. Podani so zapisi enačbe premice, krožnice, stožnic in nekaterih
drugih krivulj v teh koordinatah. Prav tako so vpeljani zapisi krivulj v pa-
rametrični in polarni obliki. Tu se srečamo s problemom iskanja tangent na
krivulje in njihovih ukrivljenosti, pa tudi s problemom ekstremnih vredno-
sti funkcije. Poglavje v zvezi s konstruktibilnostjo z neoznačenim ravnilom
in šestilom avtorja pričneta s kompleksnimi števili in logaritemsko spiralo.
Med drugim opǐseta Gaussovo konstrukcijo pravilnega sedemnajstkotnika in
navedeta pogoj za konstruktibilnost pravilnega n-kotnika. Dokažeta, da ni
možno z neoznačenim ravnilom in šestilom konstruirati pravilnega sedemko-
tnika in da tudi ni možno rešiti treh znamenitih problemov grške geometrije
samo s tema dvema pripomočkoma.
Deveto poglavje obravnava prostorsko geometrijo in vektorsko algebro.
Poudarek je na uporabi vektorjev v analitični geometriji v prostoru, opisana
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4 153
i
i
“Razpet-Boyer” — 2012/10/24 — 11:06 — page 154 — #5 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
sta Gaussova eliminacijska metoda in računanje prostornine paralelepipeda z
vektorji, s katerimi so izpeljani nekateri izreki sferne geometrije. Tu najdemo
tudi Pickov izrek, arhimedska telesa in veliko drugih zanimivosti. Deseto po-
glavje uvaja matrike in linearne preslikave, zamenjavo koordinat, Gramove
determinante, ortogonalne preslikave in izometrije, Cayleyjevo transforma-
cijo, lastne vrednosti in lastne vektorje matrik, kvadratne forme, stožnice
in ploskve drugega reda. Predzadnje poglavje razloži osnovne pojme pro-
jektivne geometrije, njeno zgodovino in konča s projektivno teorijo stožnic.
Zadnje poglavje vsebuje rešitve nalog, ki so v knjigi zapisane na koncu vsa-
kega poglavja. Na koncu so našteti viri, dodano pa je tudi stvarno kazalo.
Knjiga prinaša veliko primerov, nalog, skic, geometrijskih konstrukcij,
avtentičnih fotografij zgodovinskih predmetov in besedil. V njej je tudi
mnogo citatov, komentarjev in izčrpnih pojasnil, tako da bralcu vse skupaj
ponuja motivacijo za študij geometrije, obenem pa mu zagotavlja prijetno
branje. Knjiga je namenjena predvsem dodiplomskim študentom in učite-
ljem.
Še nekaj besed o piscih. Oba sta avtorja ali soavtorja več matematič-
nih knjig in se očitno precej trudita, da bi bila matematika čim bolj odprta
tudi navzven. A. Ostermann, rojen leta 1960, je doktoriral leta 1988 na
univerzi v Innsbrucku in je profesor na matematičnem oddelku univerze v
Innsbrucku. Opravljal je tudi funkcijo predstojnika tega oddelka in dekana
fakultete za matematiko, računalnǐstvo in fiziko ter matematičnega inšti-
tuta. Med drugim se ukvarja s časovno odvisnimi nelinearnimi parcialnimi
diferencialnimi enačbami, ki so močno orodje za modeliranje kompleksnih
dinamičnih procesov.
G. Wanner, rojen leta 1942, je doktoriral leta 1965 na univerzi v Inns-
brucku. Bil je profesor na oddelku za matematiko univerze v Ženevi, pred-
stojnik tega oddelka, predsednik enega od oddelkov švicarske akademije
naravoslovnih znanosti in predsednik švicarskega matematičnega društva.
Njegovo glavno raziskovalno področje je numerično reševanje diferencialnih
enačb. Od leta 2004 je v pokoju. Omenimo knjigo Analysis by Its History,
ki jo je Wanner napisal skupaj z Ernstom Hairerjem in je prav tako izšla
pri Springerju leta 1996.
Marko Razpet
154 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 4